Curs Hidrodinamica Dresden

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DRESDEN

Fakultät Bauingenieurwesen Institut für Wasserbau und Technische Hydromechanik

Aufgabensammlung Technische Hydromechanik Bearbeiter: apl. Prof. Dr.-Ing. habil. R. Pohl (Lehrgebiet Hydromechanik im Wasserbau) 6. ergänzte Auflage Dresden, im April 2007 .

Institut für Wasserbau und Technische Hydromechanik Hydromechanik im Wasserbau

TECHNISCHE

Aufg

Technisc

Aufgaben

Technische Hydromechanik

UNIVERSITÄT DRESDEN

abensammlung

zur Vorlesung

he Hydromechanik

I, II, III

6. Auflage 2007

Teil I bis III

Studiengänge:

Bauingenieurwesen Wasserwirtschaft

Hydrologie Abfallwirtschaft und Altlasten

Hydroscience and Engineering

Institut für Wasserbau und Technische Hydromechanik Hydromechanik im Wasserbau apl. Prof. Dr.-Ing. habil. R. Pohl

Aufgabensammlung zu den Vorlesungen


6. überarbeitete Auflage April 2007

zusammengestellt von R. Pohl

Anschrift : Technische Universität Dresden Institut für Wasserbau und Technische Hydromechanik 01062 Dresden

Besucheradresse: 01069 Dresden George-Bähr-Straße 1 Beyer-Bau, Zimmer 82

Hinweise und Vorschläge werden erbeten unter:

Telefon/Telefax 4633 56 93e-mail: reinhard.pohl@ tu-dresden.de

Internet: www.iwd.tu-dresden.de

Aufgabensammlung Technische Hydromechanik

Bestellung e-mail: [email protected]_aufg.doc

Inhaltsverzeichnis 1 Symbole, Formelzeichen, Einheiten ....................................................5 2 Physikalische Eigenschaften des Wassers ....................................... 15 3 Hydrostatik......................................................................................... 19 3.0 Grundlagen .............................................................................................. 19 3.1 Druck in ruhenden Flüssigkeiten; Niveauflächen................................... 21 3.2 Wasserdruckkraft auf ebene und gekrümmte Flächen ............................ 24 3.3 Konstruktionen mit selbsttätiger hydraulischer Regelung...................... 28 3.4 Auftrieb, Schwimmfähigkeit und Schwimmstabilität............................. 31 4 Grundlagen der Hydrodynamik ...................................................... 33 4.0 Grundlagen .............................................................................................. 33 4.1 Massenerhaltungssatz - Kontinuitätsgesetz............................................. 33 4.2 Energieerhaltungssatz - Bernoulligleichung ........................................... 34 4.3 Impulserhaltungssatz - Stützkraftsatz ..................................................... 39 5 Stationäre Strömung in Druckrohrleitungen ................................. 43 5.0 Grundlagen .............................................................................................. 43 5.1 Druckrohrströmung idealer und realer Flüssigkeiten.............................. 47 5.2 Örtliche hydraulische Verluste in Druckrohrleitungen........................... 51 5.3 Pumpen und Turbinen in Druckleitungen............................................... 54 5.4 Wasserverteilung, Rohrleitungsnetze...................................................... 62 6 Stationäres Fließen in offenen Gerinnen......................................... 69 6.0 Grundlagen .............................................................................................. 69 6.1 Gleichförmiger Abfluss; Anwendung der Fließformeln......................... 72 6.2 Bemessung von Fließquerschnitten......................................................... 79 6.3 Fließbewegung bei Querschnittsänderung .............................................. 81 6.4 Wechselsprung und Tosbeckenbemessung ............................................. 83 6.5 Stationär ungleichförmiges Fließen; Stau- und Senkungslinien............. 85

4 Aufgabensammlung Technische Hydromechanik

7 Instationäre Strömungen in Rohrleitungen und Gerinnen ........... 87 7.0 Grundlagen .............................................................................................. 87 7.1 Druckstoß in Rohrleitungen .................................................................... 89 7.2 Schwall- und Sunkwellen in offenen Gerinnen ...................................... 93 8 Ausflussströmungen .......................................................................... 95 8.0 Grundlagen .............................................................................................. 95 8.1 Stationärer Ausfluss aus Öffnungen........................................................ 96 8.2 Instationärer Ausfluss aus Öffnungen..................................................... 97 8.3 Freier und rückgestauter Ausfluss unter Schützen................................ 101 9 Überfallströmungen ........................................................................ 103 9.0 Grundlagen ............................................................................................ 103 9.1 Überfallformeln und Abflussberechnung.............................................. 104 9.2 Bemessung von Überfallbauwerken ..................................................... 106 10 Wasserbauliches Modellversuchswesen ........................................ 109 10.0 Grundlagen .......................................................................................... 109 10.1 Ähnlichkeitsgesetze, Versuchsplanung............................................... 111 10.2 Dimensionsanalyse.............................................................................. 113 10.3 Messung physikalischer Größen ......................................................... 114 11 Potenzialströmungen ....................................................................... 115 11.0 Grundlagen ......................................................................................... 115 11.1 Hydrodynamisches Netz .................................................................... 116 11.2 Grundwasserströmung........................................................................ 120 12 Hydrodynamik der Gewässer......................................................... 125 12.0 Grundlagen .......................................................................................... 125 12.1 Flüssigkeitsstrahlen ............................................................................ 126 12.2 Mischungsvorgänge, Dichteströmungen ........................................... 126 13 Lösungen........................................................................................... 127

Aufgabensammlung Technische Hydromechanik 5

100Auf01

1 Symbole, Formelzeichen, Einheiten A m² Fläche

a m senkrechte Höhe einer Öffnung eines geschlossenen Fließquerschnittes

a m/s² Beschleunigung

AH m² Durchflussfläche eines Hebers

aH m senkrechte Höhe des Heberschlauches im Scheitel

AR m² Durchflussfläche eines Rohres

AS m² Querschnittsfläche eines Fallschachtes

B m Breite

b m Breite, Überfallbreite

BHQ m³/s Bemessungshochwasserabfluss

Cm m3/2/s Überfallbeiwert

C m/s Ausbreitungsgeschwindigkeit von Schwall- oder Druckwellen

CH - Durchflussbeiwert von Hebern

d m Wassertiefe

d m mittlere Wassertiefe

D, d m Durchmesser einer Rohrleitung

E Pa Elastizitätsmodul, Kompressionsmodul

F N Kraft, Wasserdruckkraft

F, f - Charakteristik von Schwallwellen

Fr - Froudezahl

FrΔ - densimetrische Froudezahl

G N Gewicht

G´ N Gewicht unter Auftrieb

g m/s² Erdbeschleunigung

H m Höhe, Fallhöhe, Wellenhöhe

H, he, hE m Energiehöhe

h m Wasserstand, Wassertiefe, Überfallhöhe

H m mittlere Wellenhöhe

hB m Entwurfsüberfallhöhe


hEB m Entwurfsüberfallenergiehöhe

HA m Wellenauflaufhöhe, wirksame Energiehöhe

hE m Höhe des Überfalltrichters bei Schachtüberfällen

hf m Freibordhöhe; Höhe des Fallschachtes

hf m Reibungsverlusthöhe, Energieverlusthöhe

hkr m kritische Tiefe, Grenztiefe

HQ100 m³/s Scheitelabfluss des hundertjährlichen Hochwassers

HQ1000 m³/s Scheitelabfluss des tausendjährlichen Hochwassers

hs m lokale Energieverlusthöhe

hV m Energieverlusthöhe

Io - Sohlgefälle

IE - Energie(linien)gefälle

k m, mm absolute Rauheit

kf m/s Durchlässigkeitsbeiwert

kSt m1/3/s Geschwindigkeitsbeiwert nach Strickler

L, l m Länge, Wellenlänge

L m mittlere Wellenlänge

m - Böschungsneigung m = cot α

m - Einschnürungsbeiwert von Ringkolbenventilen

m kg Masse

p Pa Druck

pa Pa Außendruck

pD Pa Dampfdruck des Wassers

pi Pa Druck im Zentrum eines Ablösungswirbels

pi Pa Innendruck

pk Pa Druck auf dem Überfallprofil

pk Pa Druck in einem (Druckwind-) Kessel

po Pa Luftdruck

Q m³/s Durchfluss, Zufluss, Abfluss

q m³/sm Abfluss je Breitenmeter

q1 Parameter der Betaverteilung


100Auf01

QK m³/s Durchfluss, bei dem die Kavitation beginnt

Qkr m³/s kritischer Durchfluss

QS m³/s Scheiteldurchfluss einer Hochwasserganglinie, Scheitelzufluss

QÜ m³/s Überdeckungsabfluss beim Schachtüberfall

QT m³/s Grundablassleistung

QZ m³/s Zufluss

R - Reflexionskoeffizient

R, r m -

Radius, hydraulischer Radius, Retentionsparameter

ra m äußerer Radius des Heberscheitels

rhy m hydraulischer Radius

Re - Reynoldszahl

RE m Radius des Schachteinlaufes

ri m innerer Radius (z.B. des Heberscheitels)

RU m Radius eines kreisförmigen Überfallprofils

s m Weg, Abstand

s Einheit des

Merkmals

Standardabweichung der Stichprobe

S0 m-1 spezifischer Speicherkoeffizient (Grundwasser)

T s Wellenperiode

T K, °C Temperatur

T m²/s Transmissivität

t s Zeit

T s mittlere Wellenperiode

tA s, h Anstiegszeit vom Beginn des Hochwassers bis zum Erreichen des Zuflussscheitels, Hochwasseranstiegszeit

Tn a Wiederholungszeitspanne

V m³ Volumen, Speicherinhalt

v m/s Geschwindigkeit


vK m/s Geschwindigkeit am Fallschachtanfang

vo m/s Anfangsgeschwindigkeit

vR m/s Geschwindigkeit im Rohr

w m/s Wellengeschwindigkeit

w m Wehrhöhe, Wassertiefe auf der Anströmseite von Überfällen

z m Aufstau

α ° Winkel, Böschungswinkel, Neigungswinkel α m Dispersivität α Geschwindigkeitshöhenausgleichsbeiwert β - relative Wärme-Raumausdehnung β ° Winkel β Druckhöhenausgleichsbeiwert ρ kg/m³ Dichte κ s²/m5 Beiwert für die vereinfachte Rohrkennlinienberechnung λ - Reibungsbeiwert μ - Ausflussbeiwert, Überfallbeiwert (Poleni) μ - Reibungsbeiwert ν m²/s kinematische Zähigkeit (Viskosität) σ Pa Spannung τ Pa Schubspannung, Schleppspannung σ N/m Oberflächenspannung Φ m²/s Potenzialfunktion Ψ m³/(s.m) Stromfunktion ζ - Verlustbeiwert


100Auf01

Umrechnung von Einheiten Längenmaße

Flächenmaße

Raummaße


Masse und Gewicht

Druck, Spannung

Wärmeenergie

Temperatur


100Auf01

Leistung, Energie, Wärmestrom

Wasserhärte


Durchfluss

Dichte, Konzentration


100Auf01

Volumen pro Fläche (und Zeit)

Sonstige Einheiten


Temperatur Druck

2 Physikalische Eigenschaften des Wassers Medium T

°C ρ

kg/m3 γ

N/m3η

N⋅s/m2 ν

m2/s pD bar

β %

E N/m2

Eis bei atmosphä-rischem Druck

-20 -10

0

920,2 918,6 916,7

902490088990

9,08

reines, luftfreies Wasser bei 1013 hPa

0 4

10 20 30 40 50 60 80

100

999,84 1000,0 999,6 998,2 995,6 992,2 988,0 983,2 971,8 958,3

9805980798039789976497309689964295309398

1,78⎫ 1,57⎪ 1,31⎬⋅10-3

1,00⎭ 8,02⎫ 6,52⎪ 5,44⎬⋅10-4

4,70⎪ 3,56⎪ 2,82⎭

1,78⎫ 1,57⎪ 1,31⎬⋅10-6

1,00⎭ 8,06⎫ 6,57⎪ 5,50⎬⋅10-7

4,78⎪ 3,66⎪ 2,94⎭

0,0061 0,0081 0,0123 0,0233 0,0425 0,0738 0,1234 0,1992 0,4736 1,0132

0,0132 0 0,0272 0,1768 0,434 0,783 1,71 2,90 4,34

2,01⎫ ⎪ 2,12⎪ 2,20⎪ 2,26⎪ 2,29⎬⋅109

2,29⎪ 2,26⎪ 2,19⎪ 2,08⎭

Meerwasser, Salzgehalt 35°/oo sehr schwebstoff- reiches Wasser

10

≈ 1027

≈ 1020

≈1007,2

≈1000,3

Wasserdampf bei atmosphärischem Druck

100 200 300 400 500

0,598 0,467 0,384 0,326 0,284

5,8644,5803,7663,1972,785

1,27⎫ 1,65⎪ 2,03⎬⋅10-5

2,42⎪ 2,81⎭

2,12⎫ 3,53⎪ 5,29⎬⋅10-5

7,42⎪ 9,89⎭

T Temperatur T = 0 °C = 273,15 K ρ Dichte

γ Wichte η dynamische Viskosität ν kinematische Viskosität

pD Dampfdruck, Siededruck E Elastizitätsmodul

Thermischer Raumausdehnungskoeffizient (z. B. für 20°C bezogen auf 4°C): V20° = V4°

. (1 + β20°) β20° = ΔV4-20°/V4°

16 Physikalische Eigenschaften des Wassers

Aufgabe 2.1: Zur Temperaturmessung wird eine thermometerähnliche Konstruk-tion verwendet, die mit Wasser gefüllt ist. Es ist das erforderliche Volumen des Be-hälters zu berechnen, wobei einer Tempe-raturänderung von T1 = 20 °C auf T2 = 80 °C eine Steighöhe von Δh = 0,3 m entsprechen soll. Die relative Raumaus-dehnung des Wassers bezogen auf 4 °C beträgt für 20 °C β20 = 0,001768 und für 80 °C β80 = 0,029. Aufgabe 2.2: Die im Schnitt dargestellte Vorrichtung wird zur Eichung von Flüssigkeitsmanometern verwendet. Über eine Gewindespindel wird ein zylind-rischer Kolben in die mit einem speziellen Öl gefüllte Druckkammer bewegt. Es wird angenommen, dass sich die Wände der Druckkammer nicht verformen. Das Ausgangsvolumen der Druckkammer beträgt V0 = 700 cm³. Der Kolben hat ei-nen Durchmesser von d = 10 mm. Mit jeder Spindelumdrehung wird ein Vor-schub von s = 1 mm erreicht. Der Elastizitätsmodul von Flüssigkeiten ist im Allgemeinen vom Druck und der Temperatur abhängig, es soll hier aber mit ei-nem konstanten Wert von EÖl = 1600 MPa gerechnet werden. Wie viel Umdrehungen der Spindel sind erforderlich, um einen Druckanstieg von Δp = 0,8 MPa zu erzeugen?


100Auf02

Aufgabe 2.3: Der Wasserstand in ei-nem Behälter soll durch ein seitlich an-gebrachtes Glasröhrchen (so genanntes Schauglas) angezeigt werden. Wie groß muss der Durchmesser D des Röhr-chens mindestens sein, wenn der An-zeigefehler infolge Kapillarwirkung kleiner als f = 5 mm und die Flüssig-keitsoberfläche eine nach oben offene Halbkugel sein soll? Bei der angegebenen Temperatur von 20 °C beträgt die Oberflächenspannung des Wassers gegenüber Luft σ = 73 mN/m (vgl. Technische Hydro-mechanik/1, S. 29).

Aufgabe 2.4: Welche relative Volumenzunahme hat Wasser bei einer Erwär-mung von 10° C auf 90° C? (β10 = 0,0272%; β90 = 3,61%) Aufgabe 2.5: Eine Sauerstoff-Druckgasflasche, wie sie beim Autogenschweißen verwendet wird, hat ein Leervolumen von V0 = 50 l. Bei dem Betriebsfülldruck von PB = 200 bar Überdruck enthält die Flasche eine Sauerstoffmenge, die bei Luftdruck einem Volumen von VS = 10 m³ entspricht. a) Ermitteln Sie, wie viel Liter Wasser bei dem gleichen Betriebsdruck in die

Flasche gefüllt werden können. b) Die Flasche wird nun bei Luftdruck und einer Temperatur von To = 4°C mit

Wasser voll gefüllt und verschlossen. Welcher Druck herrscht in der Flasche, wenn diese auf T1 = 40 °C erwärmt wird?

Anmerkung: Der Kompressionsmodul des Wassers wird mit Ew = 2100 MPa als konstant an-genommen. Bei T1 = 40 °C beträgt die relative Raumausdehnung (bezogen auf eine Temperatur von 4°C) β = 0,783 %. Es soll weiterhin angenommen werden, dass sich die Flasche nicht verformt.

18 Physikalische Eigenschaften des Wassers

Aufgabe 2.6: Es soll angenommen werden, Temperatur und Salzgehalt des Meerwassers seien in jeder Tiefe gleich. Die Dichte beträgt an der Wasserober-fläche ρw = 1030 kg/m3. Der Elastizitätsmodul kann als konstant angenommen werden: Ew = 2100 MPa. Ermitteln Sie, welchen Rauminhalt 1000 kg Wasser an der Meeresoberfläche und in h = 500 m Wassertiefe einnehmen. Aufgabe 2.7: Ein Zylinder mit einem Außendurchmesser von d1 = 0,244 m ro-tiert konzentrisch in einem anderen Zylinder mit einem Innendurchmesser von d2 = 0,256 m. Beide Zylinder haben eine Höhe von 0,305 m. Bestimmen Sie die Viskosität der Spaltflüssigkeit, wenn ein Drehmoment von M = 0,881 Nm erfor-derlich ist, um die Drehzahl von n = 60/min beizubehalten! Um welche Flüssig-keit könnte es sich handeln? ___________________________________________________________________________ Aufgabe 2.8 : Berechnen Sie die ungefähre kapillare Absen-kung von Quecksilber bei 20°C in einem Röhrchen mit einem Innendurchmesser von d = 3 mm. (σ20°C = 0,514 N/m; Θ= 140°; ρHg = 13568 kg/m³) ___________________________________________________________________________ Aufgabe 2.9: Welches Wasservolumen kann in einem Grundwasserleiter mit einer Fläche von 100 × 100 m² und einer Mächtigkeit von m = 10 m bei einem Anstieg der Druckhöhe um Δh = 1 m gespeichert werden, wenn a) der Aquifer gespannt ist und einen spezifischen Speicherkoeffizienten von

S0 = 10-5 m-1 besitzt? b) der Aquifer ungespannt ist und einen spezifischen Speicherkoeffizienten von

S0 = 10-2 m-1 besitzt?

Θ

3 Hydrostatik

3.0 Grundlagen

Niveauflächen: a dx a dy a dzx y z⋅ + ⋅ + ⋅ = 0

Druck in der Tiefe h: p g h= ⋅ ⋅ρ

Wasserdruckkraft: F g y AS= ⋅ ⋅ ⋅ρ

Druckschwerpunkt D , Flächenschwerpunkt S:

Form =

α=

sinhzy S

S =α⋅ siny

F

S e SD= =

s

y

bb

E

SD h

s y b

y

y h b sb s0 3

2+ ⋅

++

ρ ⋅ ⋅ ⋅+g h b s2

h b s bs

b s ys

2 2

2182( )

( )+ ++ ⋅

b

SD

h

20hy +

ρ ⋅ ⋅ ⋅g b h

hys

2

12 ⋅

b

SD

h

y h0 3+

ρ ⋅ ⋅ ⋅g b h2

h

ys

2

18 ⋅

SD h*

d

y d0 2+

ρπ

⋅ ⋅g d 2

4

d

ys

2

16 ⋅

b*d

SD

h*r

y r0

43

+⋅⋅ π

ρπ

⋅ ⋅⋅g r 2

2

r

y s

2

14 31, ⋅

Hebelgesetz: F l F l1 1 2 2⋅ = ⋅

Archimedisches Gesetz: verdrängtAuftrieb VgF ⋅⋅ρ=

Schwimmstabilitäth

I

VeM

Kippachse

verdrängt= − >

= −

0

mit e Abstand zwischen Körper u. Verdrängungsschwerpunkt

20 3 Hydrostatik

Beispiele für Belastungsflächen bei verschiedenen Konstruktionen:

a) Schütz, b) geneigte Stauwand (z.B. Nadelwehr), c) Doppelschütz, d) Schütztafel mit 5 gleich belasteten Riegeln, e) zylindrische Stauwand (Klappe, Sektor, Segment),

f) Walzenwehr, g) Segment (Tiefschütz), h) Dachwehr, i) Sektorwehr


100Auf03

3.1 Druck in ruhenden Flüssigkeiten; Niveauflächen Aufgabe 3.1.1: In einem Differenzdruckmanometer (U-Rohr-Manometer) ist die Sperrflüssigkeit im Schenkel 1 bis zur Höhe von h1 = 2 m mit Wasser überschichtet. In dieser Höhe wirken die beiden Drücke p1 und p2 auf die beiden Anschlüsse des Manometers. Welcher Druckdifferenz Δp = p1 - p2 entspricht ein Ausschlag der Sperrflüssigkeit von Δh = 754 mm, wenn a) Quecksilber (ρHg = 13600 kg/m³) und b) Tetrachlorkohlenstoff (ρT = 1594 kg/m³) als Sperrflüssigkeit verwendet

werden? c) Welcher Wassersäule entsprechen die Drücke in a) und b)?

Aufgabe 3.1.2: An einem unter dem Druck p = 117,72 kPa stehenden Wasserbehälter sind 3 Leitungen angeschlossen, die 5 m unter der Wasseroberfläche durch drei Platten mit den Flächen A1 = 0,1 m², A2 = 0,5 m² und A3 = 0,05 m² verschlossen sind. Der Luftdruck beträgt pL = 101325 Pa. a) Wie groß sind die Drücke pB am Behälterboden bzw. p1, p2 und p3 an den

Endquerschnitten? b) Welche Kräfte müssen aufgebracht werden, um die Platten 1 bis 3 an den

Endquerschnitten zu halten?

22 3 Hydrostatik

Aufgabe 3.1.3: Ein rechteckiger, mit Wasser gefüllter Trog wird mit der Beschleunigung a = 1,0 m/s² horizontal in Bewegung gesetzt. Die Wassertiefe im l = 4,0 m langen Trog beträgt h = 1,0 m. Gesucht sind a) der Verlauf der Wasseroberfläche während der Beschleunigung, b) die Höhe Δh, um welche die Flüssigkeit an der Bordwand hochsteigt, c) die Änderung der Oberfläche, wenn anstelle von Wasser flüssiger Beton mit

ρB = 2000 kg/m³ befördert wird.

Aufgabe 3.1.4: Auf einem Kreuzfahrtschiff befindet sich ein Schwimmbecken mit den Abmessungen l = 20 m (in Fahrtrichtung) und b = 5 m. Das Schiff erreicht nach gleichförmiger Beschleunigung seine Reisegeschwindigkeit v0 = 28 km/h nach einer Fahrstrecke von s = 1000 m. a) Bestimmen Sie den Neigungswinkel ß der freien Wasseroberfläche im

Becken während der Anfahrzeit und während der Fahrt mit der Reisegeschwindigkeit v0.

b) Wie groß muss der Freibord im Schwimmbecken sein, damit beim Anfahren kein Wasser überschwappen kann?

Aufgabe 3.1.5: Ein zylindrisches, zur Hälfte mit Glyzerin gefülltes Gefäß mit einem Durchmesser von d = 1,2 m wird mit einer geringen Winkelbeschleunigung allmählich in Rotation um die Zylinderachse versetzt, so dass kein Schlupf zwischen Gefäßwand und Flüssigkeit auftritt. a) Geben Sie die Form der Flüssigkeitsoberfläche an, die sich einstellt, wenn

sich das Gefäß schon einige Zeit mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit von π/s gedreht hat!

b) Geben Sie die Lage der Oberfläche für eine Füllung mit Wasser an!


100Auf03

Aufgabe 3.1.6: Bestimmen Sie den Druck auf dem Boden des abgebildeten Behälters! (ρGlycerin = 1265 kg/m³) Aufgabe 3.1.7: In einem offenen Behälter befinden sich zwei ideale Flüssigkeiten unterschiedlicher Dichte. Bestimmen Sie die Standrohrspiegelhöhen a) und b) sowie c) den Druck an der Behältersohle. Aufgabe 3.1.8 (vgl. 3.1.5): In einem geschlossenen zylindrischen Behälter mit einer Höhe von 1,8 m und einem Innendurchmesser von 0,9 m steht Wasser bis zu einer Höhe von 1,35 m über der Sohle. Welche Bodenfläche des Behälters bleibt wasserfrei, wenn er mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit von 20 rad/s rotiert? Anmerkung: rad = Bogenmaß

x3

1.8m

y3

y2x1

y1

C D

S

B

x2

X

A

0.9m D

24 3 Hydrostatik

3.2 Wasserdruckkraft auf ebene und gekrümmte Flächen Aufgabe 3.2.1: Eine Schütztafel von h = 4 m Höhe, die bis zur Oberkante unter einseitigem Wasserdruck steht, soll mit 4 Riegeln gleicher Abmessungen (und demzufolge gleicher Biegesteifigkeit) ausgesteift werden. Ermitteln Sie die Lage der einzelnen Träger so, dass eine Lastaufteilung in gleiche Teile erfolgt! Aufgabe 3.2.2: Eine ebene Wand wird von beiden Seiten eingestaut. Die Ober- und Unterwassertiefen betragen h1 = 5 m und h2 = 2 m. Bestimmen Sie die resultierende Druckkraft nach Größe, Lage und Richtung für einen Meter Wandbreite (b = 1 m) und zeichnen Sie die Belastungsflächen, wenn der Wandneigungswinkel a) α = 90° und b) α = 135° beträgt!

Aufgabe 3.2.3: Die Gründung eines Pfeilers in einem Hafenbecken (Dichte des Meerwassers ρ = 1020 kg/m3) wird mit einem Caisson (= Senkkasten) quadrati-scher Grundfläche durchgeführt. Die Abmessungen für den Caissonkörper erge-ben sich aus der Skizze. a) Um wieviel muss der Innendruck im Arbeitsraum erhöht werden, wenn die

Caissonunterkante von einer Eintauchtiefe von H = 20 m auf H = 30 m abgesenkt wird und kein Wasser eindringen darf?

b) Zeichnen Sie die Belastungsflächen für den 30 m tief eingetauchten Caisson-körper und berechnen Sie die Druckkräfte auf die Konstruktion sowie den Auftrieb!


100Auf03

Aufgabe 3.2.4: Ein Walzenwehr (hohle, zylindrische Walze) habe einen Durchmesser von D = 4 m und eine Länge von L = 20 m. Man bestimme die Größe, Lage und Richtung der resultierenden Wasserdruckkraft, wenn die Walze auf dem Wehrboden aufliegt und die Oberwassertiefe ho = 4 m und die Unterwassertiefe hu = 2 m beträgt.

Aufgabe 3.2.5: Ein 1 m tief gegründetes festes Wehr mit einer 8 m langen (in Fließrichtung) Gründung staut das Wasser h1 = 5 m über der Flusssohle auf. Der Unterwasserstand beträgt h2 = 1 m. Wie groß ist die auf den Wehrkörper pro Breiteneinheit (b = 1 m) infolge Wasser wirkende Kraft, wenn keine Wasserauflast vorhanden ist? Zeichnen Sie die Belastungsflächen!

26 3 Hydrostatik

Aufgabe 3.2.6: Für das abgebildete, voll ausgefahrene Sektorwehr mit b = 10 m Breite und r = 4 m Krümmungsradius der Stauhaut ist die hydrostatische Druckkraft nach Größe, Lage und Richtung zu bestimmen. Aufgabe 3.2.7: Die kreisförmige Bodenöffnung eines Wasserbehälters mit der Füllhöhe H = 10 m ist durch ein Kegelventil, das eine Höhe von h = 0,3 m und einen Radius von r = 0,1 m hat, verschlossen. Mit welcher Kraft wird das Ventil in die Bodenöffnung gedrückt, wenn seine Masse mit m = 10 kg berücksichtigt wird? Zeichnen Sie die Belastungsflächen.


100Auf03

Aufgabe 3.2.8: Der abgebildete Kreissegmentverschluss mit einem Radius von r = 4 m, der im Punkt D zentrisch drehbar gelagert ist, und dessen Konstruk-tionsgewicht durch ein Gegengewicht kompensiert wird, staut das Wasser h = 5 m auf. Der d = 3 m hohe Raum hinter dem Verschluss ist wasserfrei. Be-rechnen Sie für einen Meter Verschlussbreite a) Die Größe, Lage und Richtung der Wasserdruckkraft auf den Kreissegment-

körper (ohne Dichtungsbalken). b) Die Kraft, mit der der a = 100 mm hohe Dichtungsbalken gegen die Sohle

gepresst wird. c) Die vom Gelenk D aufzunehmende Kraft für den gesamten Verschluss (d.h.

Kreissegmentkörper und daran befestigter Dichtungsbalken).

Aufgabe 3.2.9: Mit Hilfe einer Hydraulikpresse, die aus zwei verbundenen Kolben unterschiedlichen Durchmessers besteht, soll eine Last mit einer Masse von einer Tonne um s2= 10 cm angehoben werden. Das Hydrauliköl darf als reibungsfrei und masselos betrachtet werden. a) Welchen Durchmesser muss der Kolben auf der Lastseite haben, wenn auf der

anderen Seite eine Kraft von maximal F1= 1,2 kN aufgebracht werden kann, die auf einen Kolben von d1= 5 cm Durchmesser wirkt.

b) Welchen Weg legt der Kolben 1 zurück?

28 3 Hydrostatik

Aufgabe 3.2.10: Eine 7 m hohe Gewichtsstaumauer aus Beton (ρBeton= 2400 kg/m³) mit senkrechter Wasserseite habe einen Trapezquerschnitt mit einer 2 m breiten Krone und einer 4 m breiten Aufstandsfläche auf dem wasserundurchlässigen Untergrund. Das Becken ist bis einen Meter unter der Mauerkrone gefüllt. Der Reibungsbeiwert für die Mauer auf dem Untergrund beträgt μ = 0,48. a) Bestimmen Sie die Gleitsicherheit. b) Bestimmen Sie die Kippsicherheit. c) Wie groß ist die Vertikalspannung in der Gründung? 3.3 Konstruktionen mit selbsttätiger hydraulischer Regelung Aufgabe 3.3.1: In eine Seitenwand eines mit Wasser gefüllten Bassins ist eine rechteckige Klappe eingebaut worden. In welcher Tiefe s (in Abhängigkeit von der Abmessung h) muss die Klappe drehbar gelagert sein, damit sie sich beim Steigen des Wasserspiegels über die angegebene Höhe h hinaus selbsttätig öffnet?


100Auf03

Aufgabe 3.3.2: Bei einer selbstregulierenden Stauhaltung ist in einer um α = 45° geneigten Wand eine l = 2 m lange Öffnung mit einem kreisförmig gewölbten, drehbar gelagerten Verschluss abgedeckt. Welcher Radius r des (Viertelkreis-) Verschlusses muss gewählt werden, damit dieser sich bei einem Wasserstand von ≥ 2 m über dem Drehpunkt der gelenkig gelagerten Stauklappe von b = 10 m Breite selbsttätig öffnet? Die Masse des Verschlusses darf vernachlässigt werden. Der Drehpunkt des Verschlusses liegt s = 2 m unterhalb des Stautafelgelenkes.

Aufgabe 3.3.3: Eine kreisrunde Öffnung mit d = 1 m Durchmesser wird durch eine um den Punkt M drehbar gelagerte Klappe verschlossen. Der Drehpunkt M liegt s = 0,2 m über dem oberen Öffnungsrand. Der Abstand des Schließgewichtes G von der Vertikalen durch den Drehpunkt M beträgt L1 = 0,7 m. a) Bestimmen Sie das Schließgewicht G so, dass sich die Klappe bei einem Wasserstand von h1 = 3 m über der Öffnungsmitte selbsttätig öffnet! b) Um welche Strecke (L2 -L1) muss das Schließgewicht G nach außen rücken,

wenn die Klappe erst beim Wasserstand h2 = 4 m öffnen soll? Das Eigengewicht der Klappe und des Hebelarmes darf vernachlässigt werden.

30 3 Hydrostatik

Aufgabe 3.3.4: Zur Regulierung des Wasserstandes in einem b = 5 m breiten Bewässerungsgraben ist eine automatische Stauklappe entsprechend der Abbildung eingebaut worden. Wie groß muss das Gewicht G im Auflagerpunkt der Klappe sein, damit die Klappe bei dem eingezeichneten Wasserstand gerade noch schließt? Aufgabe 3.3.5: Ein Dreikantprisma mit den Abmessungen b = 0,3 m; e = 0,25 m und l = 4 m Länge wird in Wasser getaucht. a) Wie groß ist die Kraft F und welche Richtung hat sie in Abhängigkeit von der

Eintauchtiefe h? b) Wie lautet die Funktion F = F(h) in den Bereichen h = 0; 0 < h < e und h > e.

Die Dichte des eingetauchten Körpers beträgt ρPrisma = 700 kg/m³.

α=30°h=

2.00

ms=

2.00

m

Drehpunkt

G

Auflager


100Auf03

3.4 Auftrieb, Schwimmfähigkeit und Schwimmstabilität Aufgabe 3.4.1: Ein Werkstück aus Messing wiegt in der Luft G = 32,079 N und im Wasser G' = 28,156 N. Die Legierungsbestandteile haben eine Dichte von ρCu = 8930 kg/m³ (Kupfer) und ρZn = 7100 kg/m³ (Zink). Wie groß ist a) die enthaltene Masse Kupfer bzw. Zink, b) der Massenanteil des Kupfers, c) die Dichte des Messings? Aufgabe 3.4.2: Ein rechteckiger Schwimmkasten, der als Fundament eines Brückenpfeilers dienen soll und schwimmend zur Einbaustelle transportiert wird, ist l = 4 m lang, b = 1,80 m breit und d = 1,20 m hoch. Sein Schwerpunkt liegt s = 0,40 m über der äußeren Bodenfläche. Die Masse des Kastens beträgt m = 2,88 t. Überprüfen Sie seine Schwimmstabilität!

Aufgabe 3.4.3: Ein zylindrischer Körper mit der Grundfläche A = 4 m² und der Höhe s = 2 m hat an der Unterseite eine zylindrische Aussparung von a = 1 m² Fläche und der Höhe e = 1 m. Der Körper mit der Dichte ρK= 3000 kg/m³ soll vom Grund des Gewässers aus einer Tiefe von h = 10 m gehoben werden. Welche Seilzugkräfte treten während des Hebens in den Lagen a) in Luft, b) im Wasser und c) im Wasser auf der Sohle aufgesetzt, auf?

32 3 Hydrostatik

Aufgabe 3.4.4: Ein schwimmender Steg aus Holz (ρHolz= 650 kg/m³) besteht aus zwei quadratischen, l = 4 m langen Balken mit den Querschnittsab-messungen a = 0,25 m und b = 2 a sowie darüber gelegten Brettern der Dicke d = 30 mm. Der Achsabstand der Balken beträgt s = 1,5 m. a) Wie groß darf die Last F höchstens sein, wenn die Stegoberkante mindestens

y = 50 mm über der Wasseroberfläche stehen soll? b) An welche Stelle (Abstand x) muss die Last F gerückt werden, wenn der

Steg horizontal schwimmen soll?

y = 50 mm

5 m

4 Grundlagen der Hydrodynamik 4.0 Grundlagen Satz von der Erhaltung der Masse - Kontinuitätsgesetz: Q Q v A v A1 2 1 1 2 2= = ⋅ = ⋅ Satz von der Erhaltung der Energie - „Bernoulligleichung“ :

[ ]Verlust

222

2

211

1 hg2

vg

phg2

vg

ph ++⋅ρ

+=+⋅ρ

+

Satz von der Erhaltung des Impulses -

Stützkraftsatz für ein Kontrollvolumen:

F

FF p A v Q

S horizontal

S vertikal

S

,

,

∑∑

=

=

= ⋅ + ⋅ ⋅

0

0ρ

4.1 Satz von der Erhaltung der Masse - Kontinuitätsgesetz Aufgabe 4.1.1: Bei einer Rohrverzweigung ("Hosenrohr") haben die weiterführenden Stränge Kreisdurchmesser von d2 = 150 mm und d3 = 200 mm. Der Durchfluss im Strang 2 beträgt Q2 = 26,5 l/s. Welchen Durchmesser d1 muss der ankommende Strang erhalten, damit die Geschwindigkeit in allen drei Rohrleitungen gleich groß sein kann?

34 4 Grundlagen der Hydrodynamik

Aufgabe 4.1.2: Eine horizontal liegende Rohrleitung mit wechselnden Kreisquerschnitten von unterschiedlichem Durchmesser D führt einen Durchfluss von Q = 50 l/s. Ermitteln Sie die Lage der Energie- und Drucklinie (= Piezometerlinie), entlang der Rohrleitung unter der Annahme einer idealen (reibungsfreien) Flüssigkeit. Im Rohrabschnitt 1 mit dem Durchmesser D1 herrscht ein Druck p1 = 15 kPa. Die Rohrinnendurchmesser in den Abschnitten 1 bis 3 betragen D1 = 20 cm, D2 = 40 cm, D3 = 10 cm.

4.2 Energieerhaltungssatz - Bernoulligleichung Aufgabe 4.2.1: Ein horizontal eingebautes Venturirohr, welches zur Durchflussmessung in einer Wasserleitung mit einem Durchmesser von d1= 150 mm dient, verengt sich im Messquerschnitt auf d2 = 140 mm. a) Zeichnen Sie die Druck- und Energielinie! b) Wie groß ist der Durchfluss Q, wenn am angeschlossenen, mit

Tetrachlorkohlenstoff (ρT = 1594 kg/m³) gefüllten Differenzdruckmanometer ein Messausschlag von Δh = 80 cm abgelesen wird? Es darf reibungsfreies Fließen angenommen werden.


100Auf04

Aufgabe 4.2.2: In dem abgebildeten Gefäß wird der Wasserspiegel konstant gehalten. a) Wie groß ist die theoretische

Ausflussgeschwindigkeit durch die 1,7 m unter dem Wasser-spiegel liegende Öffnung?

b) Welcher Druck herrscht in den Querschnitten A1 und A2 bei rei-bungsfreiem Fließen?

c) Aus welcher Tiefe y kann theore-tisch durch ein im Querschnitt A2 angeschlossenes Rohr Wasser angesaugt werden?

Aufgabe 4.2.3: Aus einem unter dem Druck p0 = 200 kPa stehenden Behälter strömt Wasser in das skizzierte Rohrleitungssystem mit den Rohrdurchmessern D1 = 50 mm, D2 = 90 mm, D3 = 25 mm, D4 = 70 mm und D5 = 20 mm. Dabei wird der h1 = 0,6 m über der horizontalen Rohrachse liegende Flüssigkeitsspie-gel im Behälter durch einen entsprechenden Zufluss auf konstanter Höhe gehal-ten (stationäre Strömung). Die Wasseroberfläche im Behälter sei sehr groß im Vergleich zum anschließenden Rohrquerschnitt (v → 0). Die freie Rohraus-mündung (p5 = 101,3 kPa) liegt h2 = 1,4 m unterhalb der horizontalen Rohrachse. a) Berechnen Sie im horizontal verlaufenden Rohrabschnitt in den

Querschnitten 1 bis 4 den statischen Druck und die über den Querschnitt gemittelte Geschwindigkeit der Rohrströmung unter Annahme einer idealen (reibungsfreien) Flüssigkeit.

b) Zeichnen Sie Druck- und Energielinie. c) Bestimmen Sie den kleinstmöglichen Durchmesser D3 so, dass gerade noch

kavitationsfreies Fließen möglich ist.


Aufgabe 4.2.4: Die Breite eines offenen Rechteckgerinnes erweitert sich von b1 = 2 m auf b2 = 4 m. Die Querschnittsänderung sei konstruktiv so gestaltet, dass der örtliche hydraulische Verlust vernachlässigt werden kann (Dies entspricht der Annahme einer idealen Flüssigkeit). Die Wassermenge von Q = 5 m³/s fließt im Abschnitt 2 mit der Normalabflusstiefe h2 = 1,47 m ab. Wie groß sind die Fließgeschwindigkeiten, die Energiehöhen und die Wassertiefe h1? Zeichnen Sie Energie- und Drucklinie. Aufgabe 4.2.5: Aus einem Druckkessel mit einem Druck pK = 3,2 . 105 Pa werden über eine Hauptleitung mit D0 = 0,5 m Durchmesser und einem Druck p0 = 2,7 . 105 Pa drei Leitungen gespeist, deren Öffnungen sich in den Höhen h1 = 0,75 m, h2 = 1,5 m und h3 = 17,5 m befinden. Be-rechnen Sie für eine rei-bungsfreie Flüssigkeit die Durchmesser der drei Lei-tungen so, dass aus allen Leitungen die gleiche Wasser-menge ausfließt. Der Außen-druck beträgt pa = 105 Pa. Aufgabe 4.2.6: Zeichnen Sie Druck- und Energielinie ein! a) Behälter mit horizontalem Druckrohr. D = konst.

b) Behälter mit geneigtem, abgestuftem Druckrohr.


100Auf04

c) Behälter mit Fallrohr.

d) Druckrohr mit Schieber am Rohrleitungsende.

e) Druckrohr mit Schieber in der Rohrleitungsmitte.


f) Heberwehr mit konstantem Heberschlauchquerschnitt. g) Heberwehr mit verengtem Auslauf.

h) Pumpe mit Saug- und Druckleitung unterschiedlicher Durchmesser, sowie

Einlauf- und Krümmerverlusten.


100Auf04

4.3 Impulserhaltungssatz - Stützkraftsatz Aufgabe 4.3.1: Das Mundstück einer Feuerwehrspritze ist als Düse mit e = 500 mm und mit einer Durchmesserreduktion von D1 = 75 mm auf D0 = 20 mm ausgebildet. Der Durchfluss beträgt Q = 7 l/s. a) Bestimmen Sie unter Vernach-

lässigung der Reibung den Druckverlauf (Drucklinie) in der Düse und berechnen Sie dazu die Drücke an den Stützstellen x = 0; x = 50 mm und x = e = 500 mm vor dem Rohrende!

b) Wie groß ist die Reaktionskraft FR des austretenden Strahles?

Aufgabe 4.3.2: An ein ho-rizontales Wasserrohr ist ein düsenförmiges Endstück angeflanscht. Die Ausmün-dung erfolgt ins Freie. Es ist die auf die Flansch-verbindung wirkende Kraft zu berechnen, wenn der Durchfluss im Rohr Q = 25 l/s beträgt. Reibungsverluste und Gewichtskräfte dürfen vernachlässigt werden.

Aufgabe 4.3.3: Durch einen horizontal liegenden Rohrkrümmer mit dem Rohrinnendurchmesser D = 0,15 m und dem Zentriwinkel von ß = 60° fließen Q = 0,033 m³/s Wasser bei einem Druck von p = 2,5 .105 Pa. Wie groß ist die Reaktionskraft FR auf den Krümmer und welche Richtung hat sie, wenn die Reibungsverluste wegen der vergleichsweise kurzen Fließstrecke vernachlässigt werden dürfen?


Aufgabe 4.3.4: In einem horizontal liegenden 60°-Rohrkrümmer verjüngt sich in Fließrichtung der Rohrinnen-durchmesser von D1 = 0,4 m auf D2 = 0,2 m. Am Krümmerausgang (Schnitt 2-2) herrscht in der Rohr-leitung ein Druck von p2 = 49 kPa. Es sind der Betrag und die Richtung (Winkel β) der Krümmerabtriebs-kraft FK bei einem Durchfluss von Q = 120 l/s zu bestimmen, wobei die Reibungs-verluste wegen der nur sehr kurzen Fließstrecke vernachlässigt werden dürfen.

Aufgabe 4.3.5: Eine an einer lotrechten Führung reibungsfrei gleitende Scheibe mit der Masse m = 6 kg wird von unten durch einen Wasserstrahl mittig getrof-fen. Dieser Strahl tritt aus einem Mundstück mit dem Öffnungsdurchmesser D = 50 mm mit der Geschwindigkeit v0 = 6 m/s aus. In welcher Höhe x über dem Austrittsquerschnitt bleibt die Scheibe schwebend im Gleichgewicht, wenn der Luftwiderstand keine Berück-sichtigung findet?

D1 = 0,4 m

D2 = 0,2 m

Q = 120 l/s

FK

α = 60 °

1

1

2 2

β


100Auf04

Aufgabe 4.3.6: Auf die Schau-feln einer Peltonturbine trifft ein d = 50 mm starker Wasser-strahl mit einer Geschwindig-keit von v = 70 m/s, der mit einem Winkel von ß = 10° ab-gestrahlt (zurückgeworfen) wird. Die Umdrehungsge-schwindigkeit der Schaufeln beträgt

vu = 35 m/s. a) Berechnen Sie die Kraft Fs des Strahles auf eine feststehende Schaufel! b) Welche Leistung P gibt die Turbine ab, wenn die Reibung unberücksichtigt

bleiben kann (η = 1)?

Aufgabe 4.3.8: Bei einer talwärts führenden Triebwasserrohrleitung für ein Pumpspeicherwerk werden die Kräfte von Festpunkten aufgenommen. Der Ab-stand der Festpunkte beträgt L = 40 m. Durch das Stahlrohr (ρStahl= 7800 kg/m³) mit einem Innendurchmesser D = 2 m und einer Wandstärke s = 35 mm fließen Q = 10 m³/s Wasser.

Aufgabe 4.3.7: An einem Druck-behälter, der mit einer Flüssigkeit der Dichte ρ = 920 kg/m³ gefüllt ist, muss die Druckfeder für das dargestellte Sicherheitsventil ersetzt werden. Die Ventilöffnung mit einem Durchmesser D = 25 mm soll bei einem Innendruck von p = 2,5 MPa und einem Außendruck von pa = 0,1 MPa freigegeben werden. Be-stimmen Sie die Federkonstante C so, dass sich das Ventil bei einem Innen-druck von p1 = 3,3 MPa um s = 5 mm öffnet und dabei Q1 = 10 l/s ausströ-men. Der Abstrahlungswinkel beträgt α = 57°.


Am Festpunkt ver-größert sich die Nei-gung der Rohrleitung von ß1 = 25° auf ß2 = 35°. Welche Kraft wirkt auf den Fest-punkt, wenn die Druckhöhe an der Knickstelle hD = 200 m beträgt und die Stopf-buchsen- und Reibungskräfte vernachlässigt werden können? Aufgabe 4.3.9: Eine an der Oberkante D drehbar gelagerte L = 1 m lange Platte mit der Masse m = 60 kg wird in der Entfernung e = 0,8 m von einem Wasserstrahl getroffen. Berechnen Sie den Auslenkungswinkel ß, die Gelenkkraft in D und ihre Richtung, wenn Q = 5 l/s Wasser mit v0 = 15 m/s auf die Platte treffen.

Aufgabe 4.3.10: Ein rechteckiger Freistrahl mit dem Abfluss Q trifft unter einem Winkel von β = 60° auf eine ebene Tafel. Bestimmen Sie die Aufteilung der nach beiden Seiten abfließenden Teilmengen Q1 und Q2 unter Annahme eines ebenen Problems.

5 Stationäre Strömung in Druckrohrleitungen

5.0 Grundlagen

Reynoldszahl: Re =⋅v dυ Re < 2320: laminar, Re > 2320: turbulent

Reibungsverlustbeiwert bei laminarer Strömung:

λ =64Re

Reibungsverlustbeiwert bei turbulenter Strömung:

Colebrook, White: 1λ λ

f k D

fg

glattr

rauh

= − ⋅ +

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

2 lgRe

/

123 123

Zanke:

( ) ( ) ( )λ = ⋅ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + ⋅ − ⋅ +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− −−

− ⋅ − − ⋅ −641 0 868

0 0033 8 75 0 0033 8 75 1 2

Re, ln

ln ReRe

/, Re , , Re , ,2e e

k df

e e

r

Gerinneform fg fr Rechteck b = h 2,80 3,45 Rechteck b = 2h 2,90 3,30 Rechteck b → ∞ 3,05 3,05 Rechteck Mittelwert 2,90 3,20 Halbkreis h = d/2 2,60 3,60 Trapez Mittelwert 2,90 3,16 Kreisrohr 2,51 3,71

44 5 Stationäre Strömung in Druckrohrleitungen

100Auf05

Mock:


45

Verlusthöhe infolge Rohrreibung, Darcy, Weisbach:

h Ld g

IhL d gf Ef= ⋅ ⋅ ⇒ = = ⋅λ

λv² v²2 2

Verlusthöhe an örtlichen Widerständen:

hvgS = ⋅ζ²

2

Örtliche Verluste (z.B. Einlaufverluste):

d r

r

v

β

d d v

v

rd

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0 2 0, ...

ββζ 2cos2,0cos3,05,0 ++=E 5,0...03,0=Eζ 1,0...04,0=Eζ

Querschnittsgemittelte Geschwindigkeit in Druckrohren:

{

vg H

Verlusteg H

LdEinlauf

Rohrreibung

Krümmer Auslaufin der gel

=⋅

=⋅

+⋅

+ + +∑

=

2 2

1

ζλ

ζ ζ...Re

124 34

Rohreigenschaften:

Material Druck Durchmesser Länge k-Wert (mm) Bemerkung k Pa mm m neu/von alt/bis

Gusseisenrohr 1 - 1,6 ∗ 103 50 - 1200 6 0,3 1,5 korrosionsfest Stahlrohr - nahtlos - geschweißt - verzinkt - bituminiert

≤ 104 ≤ 500

alle alle alle

alle alle alle alle

0,1 0,1 0,1 0,1 0,1

3 4

Korrosionsbe-ständigkeit abhängig von der Veredlungsart

Betonrohr 8 - 35 ∗ 102 100 - 1200 (2000)

1 - 5 0,3 10 Rauheit nach Herstellungsart

Plastrohr 103 alle alle 0,003 0,03 Werte sind abhängig von Material und Wandstärke

Steinzeugrohr 50 ≤ 1200 1 - 6 0,7 1,4


100Auf05

Druck- und Energielinie am Beispiel einer Pumpenanlage

DruckseiteSaugseite

ELD

PLDV

gD2

2 ha

hvD

vD,QdD

Schieber

Rückschlagklappe

hhD

hgeo

dsvs

ELS

PLS

hS hvS

Vg

S2

2Saug-korb

hgeo,s

Pumpe

Va

Pumpen- und Rohrleitungskennlinie (hV = λπ

κ

⋅⋅

⋅ ⋅

85

Lg d²

1 244 344

. Q² = κ . Q²):

33

4

5

6

0,55 0,6 0,65 0,7 0,75

3,5

A

h

m3/sQ

2000 2200 2400 2600

PumpenkennlinieKAEA 500/5

Rohrleitungskennlinie

h = 3,5 + 0,881 Q22

m3/s

m3/h

m

Leistungsaufnahme Pumpe: Pg Q HBruttoförderhöhe=

⋅ ⋅ ⋅ρη

Leistungsabgabe Turbine: P g Q HNettofallhöhe= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ρ η


47

5.1 Druckrohrströmung idealer und realer Flüssigkeiten Aufgabe 5.1.1: Aus einem großen Reservoir wird das Wasser über eine gerade Rohrleitung mit freier Ausmündung einem Bewässerungsgraben zugeführt. Die Leitung besteht aus Polyethylenrohren. Bestimmen Sie den Durchfluss in der Leitung erstens für den Fall, dass die Reibungsverluste vernachlässigt werden und zweitens für den Fall, dass die Rohrreibung berücksichtigt wird. Der Einlauf der Leitung ist gut ausgerundet, ein Einlaufverlust soll nicht berücksichtigt werden.

Aufgabe 5.1.2: Eine Stahlrohrleitung mit einem Durchmesser von D = 200 mm wird von Wasser (Temperatur T = 15 °C) bei einem Durchfluss von Q = 0,32 l/s durchströmt. Es ist die Energieverlusthöhe pro laufenden Meter Rohrlänge zu bestimmen. Aufgabe 5.1.3: Für ein neues Rohrmaterial soll im Versuch die absolute hydraulische Rauheit k bestimmt werden. Der Rohrdurchmesser beträgt D = 150 mm. Im Abstand von L = 10 m werden an dem horizontal verlegten Rohr zwei Druckmessstutzen angebracht. Bei einem Durchfluss von Q = 45 l/s (Wasser, Temperatur T = 10 °C) wird an dem angeschlossenen Differenzial-U-Rohr-Manometer ein Ausschlag von Δh = 900 mm gemessen. Die Sperrflüssigkeit ist Tetrachlorkohlenstoff mit einer Dichte von ρT = 1600 kg/m³. Welche absolute hydraulische Rauheit k hat das Rohrmaterial?


100Auf05

Aufgabe 5.1.4: Durch die Druckrohrleitung einer Bewässerungspumpstation werden Q = 9000 m³/h Wasser gefördert. Die Leitungslänge beträgt L = 80 m, der Durchmesser D = 1 m. Die Wassertemperatur ist T = 20 °C. Es wurden geschweißte, bituminierte Stahlrohre verwendet. a) Es ist die Energieverlusthöhe hV in der Druckrohrleitung für die

neuverlegten Rohre zu ermitteln. b) Wie ändert sich die Energieverlusthöhe nach langjährigem Gebrauch? c) Am Auslauf der Druckrohrleitung soll der Kreisquerschnitt auf ein Rechteck

gleicher Fläche mit einem Seitenverhältnis von Breite: Höhe = 4 : 1 umgeformt werden. Wie ändert sich der Rohrreibungsbeiwert λ infolge des Überganges zum Rechteck im Vergleich zu Aufgabenteil a)?

Aufgabe 5.1.5: Zwei Behälter A und B mit konstanten Wasserspiegelhöhen sind durch eine Heberleitung verbunden. Welche maximale Entfernung L1 darf der Heberscheitel S vom Behälter A haben, ohne dass die Strömung abreißt?

Aufgabe 5.1.6: An den Hochbehälter eines Wasserwerkes schließt am Punkt A eine Rohrleitung mit konstantem Durchmesser D und der Länge l an, welche bei C frei ausmündet. 5.1.6.1 Unter der Annahme einer idealen Flüssigkeit sind a) der Verlauf von Druck- und Energielinie zu zeichnen, b) der Durchfluss Q zu berechnen, c) der Druck pB im Punkt B zu bestimmen. 5.1.6.2 Für eine reale Flüssigkeit sind a) der Verlauf von Druck- und Energielinie zu zeichnen, b) der Durchfluss Q zu berechnen, c) die einzelnen Verlusthöhen anzugeben, d) die absolute hydraulische Rauheit k der Rohrleitung zu bestimmen,


49

wenn die Energieverluste durch die folgenden Beiwerte berücksichtigt werden:

- scharfkantiger Einlauf Behälter ® Rohrleitung: ζe = 0,5 , - Rohrreibung: λ = 0,025 ,

- Krümmer jeweils: ζK = 0,25

Aufgabe 5.1.7: Berechnen Sie die Wandschubspannung τ0 in einer Triebwasserleitung von D = 6 m Durchmesser bei einer Fließgeschwindigkeit von v = 6 m/s für λ = 0,02. Wie groß ist das Energieliniengefälle IE? Aufgabe 5.1.8: Durch die l = 1200 m lange Triebwasserleitung eines Pumpspeicherwerkes mit einem Durchmesser von D = 6,0 m sollen Q = 180 m³/s Wasser fließen. Der Stollen hat eine schalungsraue, ungeglättete Betonauskleidung erhalten. Berechnen Sie: a) Die Energieverlusthöhe hf und das Energieliniengefälle IE. b) den Einfluss der Einlaufgestaltung aus dem Oberbecken in die

Druckrohrleitung auf den Energieverlust, c) die Wandschubspannung τ0. Welche Bedeutung hat sie?


100Auf05

Aufgabe 5.1.9: Ein Heber mit rechteckigem Querschnitt a b m m× = ×1 3 hat die in der Abbildung dargestellte Form. Die absolute Rauheit beträgt k = 1,5 mm und die Temperatur des Wassers Tw = 10°C. Als lokaler Verlust ist nur der Krümmerverlust (α = 50°, rk = 8,6 m) zu berücksichtigen. Der Wasserspiegel liegt für den angesprungenen Heber in der Heberscheitelachse bei H = 16 m über dem Endquerschnitt des Hebers. a) Skizzieren Sie die Druck- und Energielinie ! b) Berechnen Sie, bis auf welches Maß ae die Höhe des Fließquerschnittes am

Heberende verengt werden muss, damit im Heberscheitel ein Druck von p = 30 kPa nicht unterschritten wird!

c) Berechnen Sie den Durchfluss Q des vollaufenden Hebers ! d) Wie groß ist der Abfluss Q bei einer Oberwasserhöhe von hB = 1 m über der

Sohle im Heberscheitel im Vergleich zum Durchfluss nach Punkt c), wenn mit gleicher Höhe ein Überfallprofil nach Ofizerow den Heber ersetzt?

Aufgabe 5.1.10: Wie groß ist der Rohrreibungsbeiwert l bei einem mit Beton ausgekleideten Kraftwerksdruckstollen mit einem Durchmesser von D = 5 m, für den hinsichtlich der Rauheit der Betonoberfläche aus Versuchen ein Stricklerbeiwert von kSt = 60 m1/3/s gefunden wurde? Welcher absoluten Rauheit entspricht dieser l-Wert?


51

Aufgabe 5.1.11: In einem Ver-suchsrohr von D = 200 mm ist eine Bodenprobe eingebaut worden. Durch die Bodenprobe fließen Q = 0,32 l/s Wasser. Dabei stellt sich am angeschlossenen, mit der Sperr-flüssigkeit Quecksilber gefüllten Differenzdruckmanometer (U-Rohr), dessen Anschlüsse in l = 1 m Entfernung voneinander angebracht sind, ein Ausschlag von Δh = 0,80 m ein. Die Wassertemperatur beträgt TW = 15°C. a) Wie groß ist der Durchlässigkeitsbeiwert kf nach Darcy der Bodenprobe? b) Um welche Bodenart handelt es sich? c) Wie groß ist der Energieverlust zwischen den Messstutzen, wenn keine

Bodenprobe eingebaut ist?

5.2 Örtliche hydraulische Verluste in Druckrohrleitungen Aufgabe 5.2.1: Wie groß ist der Durchfluss in der abgebildeten Rohrleitung, wenn der Wasserspiegel im Behälter konstant Δh = 50 m über der Rohrachse am Leitungsende liegt? Die Wassertemperatur beträgt T = 10 °C, und die absolute hydraulische Rauhigkeit ist k = 0,4 mm.


100Auf05

Aufgabe 5.2.2: Aus einem Hochbehälter wird Wasser (Temperatur T = 10 °C) über eine Rohrleitung in ein tiefer gelegenes Becken geleitet. Am Ende der Rohrleitung befindet sich ein Flachschieber DN 1000. Welches Öffnungsverhältnis muss am Schieber eingestellt werden, damit der Durchfluss Q = 5 m³/s beträgt?

Aufgabe 5.2.3: Die Hochwasserentlastung eines Staubeckens besteht aus mehreren Hebern der unten dargestellten Form. Der Fließquerschnitt ist rechteckig und hat jeweils eine Breite von b = 3 m und eine Höhe von a = 1 m. An der Ausmündung verringert sich die Höhe auf ae = 0,7 m. Die absolute Rauhigkeit beträgt k = 1,5 mm, die Wassertemperatur T = 10 °C. Es ist der Durchfluss des vollaufenden Hebers zu berechnen.


53

Aufgabe 5.2.4: In einer Rohrleitung mit dem Durchmesser D1 = 200 mm ist zur Durchflussmessung eine Messblende mit einem Durchmesser von D2 = 180 mm eingebaut. a) Wie groß ist der Durchfluss Q, wenn

am angeschlossenen U-Rohr-Mano-meter eine Höhendifferenz in der Messflüssigkeit von hT = 0,8 m abge-lesen wird? Als Sperr- bzw. Messflüs-sigkeit wird Tetrachlorkohlenstoff mit ρT = 1594 kg/m³ verwendet.

b) Wie groß ist der Energiehöhenverlust infolge der eingebauten Messdüse beim ermittelten Abfluss Q?

Aufgabe 5.2.5: Ermitteln Sie die auf den jeweils kleineren Querschnitt d = 1 m bezogenen Verlustbeiwerte ζ und die Verlusthöhen hS für Q = 3 m³/s!

ø1,0

ø2,0 14° ø1,0

ø2,014° ø1,0

ø2,014°

ø1,0

ø2,0 14°

ø2,0

ø2,0

ø2,0

ø1,0

ø1,0

ø1,0 ø1,0

ø 1,0


100Auf05

5.3 Pumpen und Turbinen in Druckleitungen Aufgabe 5.3.1: Eine Pumpe fördert Wasser in ein Bewässerungssystem. Der Durchfluss beträgt Q = 80 l/s. Es ist die erforderliche elektrische Anschlussleistung zu bestimmen. Der Wirkungsgrad der Pumpe ist ηP = 0,75, der des Elektromotors ηM = 0,9.

Aufgabe 5.3.2: Aus einem unteren Becken wird Wasser (Temperatur T = 10 °C) in ein höher gelegenes Ablaufgerinne gepumpt. Es ist der Arbeitspunkt der Pumpe mit Hilfe der gegebenen Pumpenkennlinie zu bestimmen. Angaben zur Rohrleitung: Gesamtlänge L = 60 m Innendurchmesser D = 0,3 m absolute hydraulische Rauheit k = 1 mm Verlustbeiwerte der Krümmer jeweils ζ = 0,5 Pumpenkennlinie:

Q (l/s) 0 50 100 150 200 H (m) 16,0 15,7 14,7 12,8 9,8


55

Aufgabe 5.3.3: Für die unten dargestellte Pumpstation soll die maximal mögliche geodätische Höhe hgeo,S des Aufstellortes der Pumpe für einen Durchfluss Q = 0,5 m³/s bestimmt werden. Die Haltedruckhöhe der Pumpe beträgt hH = 4,5 m. Als minimaler Luftdruck wird p0,min = 93 kPa angenommen. Die Wassertemperatur beträgt T = 10 °C.

2,0


100Auf05

Aufgabe 5.3.4: Für eine Wasserhaltung wird eine Kreiselpumpe eingesetzt, die das Wasser mit einem Förderstrom von maximal Q = 72 m³/h und minimal Q = 45 m³/h in einen H = 15 m höher liegenden Graben hebt. Der Innendurchmesser der insgesamt L = 80 m langen Rohrleitung beträgt d = 100 mm. Der Rohrreibungsbeiwert beträgt λ = 0,025, wobei örtliche Verluste vernachlässigt werden sollen. a) Stellen Sie den Verlauf von Druck- und Energielinie (qualitativ) dar. b) Für welche Förderhöhe muss die Pumpe ausgelegt werden? c) Welche der drei Pumpen A, B oder C ist für die beschriebene Aufgabe am

besten geeignet? (Vom Pumpenanbieter mitgelieferte Kennlinien s.u.) d) Für welche Antriebsleistung muss der Motor der ausgewählten Pumpe

ausgelegt werden? e) Wie würde sich eine Änderung des Rohrdurchmessers auf der Saugseite auf

die zulässige Aufstellungshöhe der Pumpe auswirken?

05

10152025303540

0 20 40 60 80 100

Q (m³/h)

H (m

)

0.10.20.30.40.50.60.70.80.9

η

η

Η

05

10152025303540

0 20 40 60 80 100

Q (m³/h)

H (m

)

0.10.20.30.40.50.60.70.80.9

η

η

Η

05

10152025303540

0 20 40 60 80 100

Q (m³/h)

H (m

)

0.10.20.30.40.50.60.70.80.9

η

η

Η

Aufgabe 5.3.5: In einem Speicherkraftwerk wird das Wasser über eine l = 250 m lange Rohrleitung einer Turbine mit einer Leistungsaufnahme von P = 10 MW zugeführt. Die Fließgeschwindigkeit in der Triebwasserleitung soll v = 5 m/s nicht überschreiten. Die geodätische (Brutto-) Fallhöhe beträgt H = 200 m. Welcher Durchmesser muss für eine Stahlrohrleitung gewählt werden?


57

Aufgabe 5.3.6: Man bestimme für das angegebene System bei einem Förderstrom von Q = 0,045 m³/s und einem Rohrdurchmesser von D = 0,2 m a) die Förderhöhe H der Pumpe bei einer konstanten Wasserspiegellage im

Pumpensumpf von hgeo,S = 4 m unter der Pumpenachse. b) den Verlauf von Druck- und Energielinie auf der Druck- und Saugseite. c) die maximal zulässige Spiegelabsenkung e im Pumpensumpf, wobei ein

Haltedruck von pH = 30 kPa und ein Dampfdruck des Wassers von pd = 2,4 kPa bei normalem Luftdruck zu berücksichtigen sind.

Aufgabe 5.3.7: Für die dargestellte Wasserversorgungsanlage sind der Förderstrom Q, die Förderhöhe H und die Leistung P der Pumpe zu berechnen, wenn der Druck im Kessel pK = 120 kPa beträgt und das Manometer einen Druck von pM = 250 kPa anzeigt! Zeichnen Sie den Verlauf von Druck- und Energielinie!


100Auf05

Aufgabe 5.3.8: Für die Entwässerung eines Polders wird ein Schöpfwerk mit einer Heberauslassleitung konstruiert. Es soll eine Diagonalradpumpe mit einem Nennförderstrom QN = 2500 m³/h mit der folgenden Pumpenkennlinie eingesetzt werden: Förderstrom Q [m³/h] 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 Förderhöhe H [m] 18,5 25,0 29,0 33,0 34,5 35,5 36,0 Der Wirkungsgrad der Pumpe beträgt ηP = 0,81 und der des Pumpenmotors ηM = 0,95. Für die l = 45 m lange Rohrleitung stehen Stahlrohre NW 500 (k = 2 mm) zur Verfügung. Für die schräg auslaufende Heberkonstruktion werden die folgenden Formteile verwendet: ein 30°-Kreiskrümmer (rK = 1,6 m), ein 60°-Kreiskrümmer (rK = 1,6 m), ein Diffusor (ζD = 0,3) und ein Doppelklappenventil (ζV = 0,3). Es ist mit einer mittleren geodätischen Höhe von hgeo = 22,9 m und einer mittleren Wassertemperatur von TW = 10°C zu rechnen. a) Bestimmen Sie die Rohrleitungskennlinie und den Arbeitspunkt der Pumpe

(Berechnungsschritt: ΔQ = 0,1 m³/s) . b) Für welche elektrische Leistung P muss der elektrische Anschluss ausgelegt

werden?


59

Aufgabe 5.3.9: Aus einem Sammelbecken, in welchem der Wasserspiegel auf 210 m über NN liegt, sollen Q = 1,2 m³/s Wasser über eine l = 800 m lange Stahlrohrleitung durch eine Pumpe mit der Förderhöhe H = 50 m in den Hochbehälter einer zentralen Wasserversorgung gepumpt werden. Der Wasserspiegel im Hochbehälter liegt auf 230 m ü.NN. Lokale Verluste sind zu vernachlässigen. Welcher Rohrdurchmesser D muss mindestens gewählt werden, und wie groß ist die Fließgeschwindigkeit v in der Rohrleitung, wenn TW = 10°C und k = 1 mm sind?

Aufgabe 5.3.10: Wie groß muss der Durchmesser D einer Rohrleitung, deren absolute Rauheit k = 1 mm beträgt, mindestens sein, wenn ihre Länge l = 1200 m ist und wenn durch sie Q = 2 m³/s Wasser von TW = 10°C aus einem Becken, dessen Wasserspiegel auf 120 m ü.NN liegt, mit einem hydraulischen Wirkungsgrad der Rohrleitung von mindestens ηR = 0,95 in ein zweites Becken gepumpt werden soll, dessen Wasserspiegel auf 230 m ü.NN liegt ? Aufgabe 5.3.11: Aus einem See (0.00 m ü.NN) soll mit einer Pumpe (η = 1/ηMP = 1,2) über eine 3000 m lange Rohrleitung ein Hochbehälter (100,00 m ü.NN) mit einem Volumenstrom Q = 1 m³/s versorgt werden. a) Berechnen Sie den wirtschaftlichen Durchmesser der Rohrleitung sowie die

elektrische Anschlussleistung für den Pumpenmotor. Folgende Werte sind gegeben:

Energiepreis kw = 0,32 Є/kWh jährliche Betriebszeit der Anlage ta = 2000 h/a Stahl- und Baupreis kE

.ρStahl.g = 50 000 Є /m³

Kostenanteil pro Jahr a = 0,1/a (=10 Jahre Nutzungsdauer) zulässige Zugspannung für den Stahl σzul = 1,6.108 N/m² Rohrreibungsbeiwert λ = 0,02 Druckstosshöhe hD = 2.hgeo


100Auf05

Die Kosten für die Pumpe und weitere Ausrüstungsteile sowie die Kosten für die Verlegung der Rohrleitung sind im Stahl- und Baupreis enthalten.

b) Wie verändert sich der wirtschaftliche Durchmesser, wenn die Pumpe als

Turbine (η = 0,8) betrieben wird und der Verkaufspreis der Energie nur bei kw = 0,15 Є/kWh liegt?

Aufgabe 5.3.12: Gegeben ist das unten dargestellte System aus zwei Behältern, zwei Rohrleitungen und einer Pumpe. Die Kennlinie der Pumpe ist durch vier mögliche Arbeitspunkte in Form eines Polygonzuges in der Tabelle vorgegeben. Die κ-Werte für die Rohrleitungen können hier als konstant angenommen werden. Pumpenkennlinie:

Q (l/s) 0 40 80 100 H (m) 30 28 24 20

Bestimmen Sie grafisch den Durchfluss Q und die Förderhöhe H der Pumpe (Arbeitspunkt). Berechnen Sie die Bruttoleistung der Pumpe.

Rohrleitungskennlinien: Q (m³/s) h2 (m) h3 (m)


61

H (müNN)

130

120

110

100

90

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 Q (l/s)

Aufgabe 5.3.13: Formulieren Sie den Berechnungs-ansatz für das Drehmoment und die Lei-stung für das abgebildete Turbinenlauf-rad bei stationärem Durchfluss !

r1 r2

0

v2 V2

u2

2

β2

v1

1

α1

β1

ω

u1

α1

V1


100Auf05

Aufgabe 5.3.14: Eine Turbine, deren Laufrad sich mit 100 Umdrehungen pro Minute dreht und die eine Leistung P = 107 kW abgibt, nutzt eine Nettofallhöhe von 7,62 m. a) Welche Leistung ergibt sich bei dem gleichen Durchfluss und gleichem Wirkungsgrad, aber bei einer Fallhöhe von 10,97 m? b) Welche Drehzahl würde das Laufrad dann haben? Aufgabe 5.3.15: Eine Modellturbine mit einem Durchmesser von d = 380 mm hat eine Leistung von P = 9 kW bei einer Drehzahl von n = 1500 min-1 und einer anstehenden Fallhöhe von H = 7,6 m. Eine geometrisch ähnliche Turbine mit einem Durchmesser von d2 = 1,9 m läuft mit dem gleichen Wirkungsgrad unter einer Druckhöhe von H2 = 14,9 m. Welche Drehzahl und Leistung können erwartet werden? 5.4 Wasserverteilung, Rohrnetze Aufgabe 5.4.1: Die skizzierte Hauptleitung eines städtischen Trinkwassernetzes ist so zu bemessen, dass bei den angegebenen, gleichzeitig erfolgenden seitlichen Entnahmen der Druckabfall zwischen dem Hochbehälter und dem Endpunkt der Leitung nicht größer als ein Druckabfall der Größe h1 = Δp/(ρ.g) = 30 m ist. Für die Leitung wird ein auf der sicheren Seite liegender Rauheitswert von k = 3 mm angenommen. Die Wassertemperatur beträgt im Mittel Tw = 10°C.


63

Aufgabe 5.4.2: Eine l = 50 m lange, horizontal verlegte und am Ende verschlossene Rohrleitung mit einem Durchmesser D = 200 mm soll so perforiert werden, dass der seitliche Ausfluss je Meter Rohrlänge konstant ist und q = 1 l/(s.m) beträgt. Bestimmen Sie den gegenseitigen Abstand e der zylindrischen Bohrungen mit einem Durchmesser von d = 10 mm, wenn die Druckhöhe am Rohrleitungsanfang H = 10 m beträgt. Die Wassertemperatur beträgt TW = 20°C und die absolute Rauheit des Rohrmaterials k = 1 mm. Zur Vereinfachung kann über die gesamte Rohrlänge mit einem mittleren Rohrreibungsbeiwert λ gerechnet werden. Aufgabe 5.4.3: Der Durchfluss eines neuen, bituminierten, geschweißten Stahlrohres NW 1000 wird durch Messen des Durchflusses in einer Messleitung NW 50 bestimmt, die sich im Nebenstrom befindet und aus dem gleichen Material besteht. Die rechtwinkligen Anschlüsse der Messleitung sind an der Hauptleitung l = 10 m voneinander entfernt. Die Länge der Messleitung beträgt lM = 12 m. Wie groß ist der Durchfluss in der Hauptleitung, wenn in der Messleitung QM = 12 m³/h gemessen wird? Die Wassertemperatur beträgt TW = 10°C. Beurteilen Sie die Genauigkeit des Messverfahrens!

Aufgabe 5.4.4: Eine Rohrleitung mit dem Durchmesser D und der Länge l wird mit einem Zufluss QZ gespeist. Im ersten Fall wird der Zufluss QZ vollständig am Rohrleitungsende entnommen (QE = QZ). Im zweiten Fall soll der Zufluss QZ über die Rohrlänge l gleichmäßig verteilt abgegeben werden (QE = 0; q = QZ/l). a) Wie groß ist das Verhältnis der beiden Reibungsverlusthöhen hf1/hf2? Zur

Vereinfachung kann mit einem konstanten Rohrreibungsbeiwert gerechnet werden.

b) Skizzieren Sie den Verlauf von Druck- und Energielinie für beide Fälle ! c) Welche Rohrreibungsverlusthöhen ergeben sich bei folgenden Systemgrö-

ßen: QZ = 100 l/s; D = 150 mm; l = 75 m; TW = 10°C; Rohrmaterial: Faser-zement?


100Auf05

Für λ soll in beiden Fällen der Wert eingesetzt werden, der sich im ersten Fall ergibt.

Aufgabe 5.4.5: Berechnen Sie die Durchflüsse und Geschwindigkeiten des Wassers im dargestellten Ringnetz nach dem maschenorientierten Gesamtschrittverfahren. Das Netz aus Stahlrohrleitungen soll für eine wirtschaftliche Geschwindigkeit von v = 1,5 ... 2,0 m/s ausgelegt werden. Strang - 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Länge m 200 350 235 225 450 200 350 150 180 400 270 200Strang-verbrauch l/s 15 44 16 26 4 44 26 5 56 8 2 4

Aufgabe 5.4.6: Berechnen Sie die Druckhöhen im abgebildeten Verästelungsnetz und überprüfen Sie die Bedingung im Knoten 5! Wie würden sich die Druckhöhen im Behälter 1 und in den Knoten unter Einhaltung dieser Bedingung ändern?

Ebene S(trang) kA kE ΣQS QkE Qs κs dhs hkE hkE

0 1 2 3


65

1 Ebene 3

100 m ü NN

23

2

3 4 5

6 7

1

4

5 63 4 5

76

E = 0,3 E = 0,3 E = 0,2

E = 0,1 E = 0,05

Ebene 2

Ebene 1

Ebene 0

Bedingung: h > 75 m ü NN-

Aufgabe 5.4.7: Gegeben ist das abgebildete Verästelungsnetz mit Hochbehälter, Druckerhöhungsstation (Pumpe) und den Entnahmen (in m³/s) an den Knoten. Gesucht sind der Förderstrom und die Förderhöhe der Pumpe, wenn an den Knoten 7, 8 und 9 eine Druckhöhe von mindestens 90 m ü.NN gewährleistet sein soll. Die κ-Werte sind dabei als konstant anzunehmen.

Strang κ (s2/m5)

1 22 2 35 3 70 4 60 5 29 6 120

m³/s

m³/s m³/s m³/s

m³/s


100Auf05

Ebene Leitung Knoten

Anfang Knoten Ende

QEntnahme am End-knoten

Qab Summe der Q durch die folgenden Leitungen

Qj Durch-fluss in der Leitung

κj Δhj Druckverlusthöhe in der Leitung

hKE Druck-höhe am Endkno-ten der Leitung

Be-dingung

Nr. Nr. Nr. Nr. m³/s m³/s m³/s s²/m5 m m ü.NN 0 7 100 ≥ 90 8 190 ≥ 90 9 320 ≥ 90 1 Pumpe - 2 3 30 4 50 5 60 3 2 22 4 1

Becken 0 100

Aufgabe 5.4.8: Berechnen Sie das abgebildete Rohrnetz tabellarisch nach dem maschenorientierten Berechnungsverfahren! Ermitteln Sie die Strangdurchflüsse und die Druckhöhen in den Knoten mit 4 Berechnungszyklen.

Aufgabe 5.4.9: Für das in der Abbildung angegebene Wasserversorgungsnetz mit drei Maschen und einer Pseudomasche sollen die Durchflüsse in den

= 0,1 m³/s = 0,1 m³/s = 0,5 m³/s


67

Strängen und Druckhöhen an den Knoten ermittelt werden (maschenorientiertes Einzelschrittverfahren). Die Entnahmemengen sind in l/s angegeben.

Aufgabe 5.4.10: Um das Wasseraufkommen für ein Trinkwasserversorgungs-system zu erhöhen, wird Wasser aus den Speicherbecken A und B in das Speicherbecken C übergeleitet (siehe Skizze). Der Zufluss zum Speicherbecken C kann durch einen Keilschieber am Ende der Rohrleitung 3 geregelt werden, dessen Nennweite (dSchieber = 0,3 m) beträgt. Die Wassertemperatur beträgt TW = 10 °C. a) Berechnen Sie die Durchflüsse in den Rohrleitungen 1, 2 und 3, wenn der Schieber voll geöffnet ist. Beurteilen Sie die Fließgeschwindigkeiten in den

Leitungen aus wirtschaftlicher Sicht. b) Welches Öffnungsverhältnis des Keilschiebers s/d muss eingestellt werden,

damit der Durchfluss in der Leitung 2 Q2 = 0 ist? c) Welcher Durchfluss stellt sich im System ein, wenn der Schieber am Ende der

Rohrleitung 3 geschlossen ist? d) Zeichnen Sie für die Fälle a), b) und c) den Verlauf von Druck- und

Energielinie! Für die Berechnung gelten folgende Daten: d1 = 0,25 m, L1 = 1900 m, k1 = 1 mm, hA = 233 m ü.NN d2 = 0,40 m, L2 = 2300 m, k2 = 1 mm, hB = 221 m ü.NN d3 = 0,40 m, L3 = 9400 m, k3 = 1 mm, hC = 211 m ü.NN Abgesehen von dem Schieber sind lokale Verluste in den Berechnungen nicht zu berücksichtigen. Die Lösung der Aufgabe kann rechnerisch oder/und grafisch erfolgen.


100Auf05

Aufgabe 5.4.11: Eine Heizungsanlage soll im Einrohr-System ausgeführt werden. Die mittlere Wassertemperatur soll für die Berechnung 68° C betragen. Im Heizkörperstrang (d1= 25 mm) soll die mittlere Fließgeschwindigkeit v1= 1,1 m/s und im Kurzschlussstrang (d2= 32 mm) v2 = 1,2 m/s betragen. Die Rohrrauheit betrage k = 0,15 mm. Der lokale Verlust des Heizkörpers beträgt ζH = 2 75, bezogen auf die Rohrgeschwindigkeit im Heizkörperstrang. a) Berechnen Sie den Verlustbeiwert des Widerstandes (z.B. Ventil, Blende),

der in den L = 1,8 m langen Kurzschlussstrang einzubauen ist. b) Ermitteln Sie den Durchmesser d0 der Zu- und Ableitung, wenn die

Strömungsgeschwindigkeit dort etwa v0 = 1,2 m/s betragen darf. c) Berechnen Sie den Druckverlust und die Leistung, den eine Pumpe je

Heizkörper überwinden bzw. aufbringen muss.

6 Stationäres Fließen in offenen Gerinnen 6.0 Grundlagen

Rohr- und Gerinnerauheiten

Fließformel nach Manning, Strickler: Q v A v k r ISt hy E= ⋅ = ⋅ ⋅2 3 1 2/ / Universelle Fließformel

hyEr

hy2/3

hyE

g rIg2f4

k/rrIg28

fv ⋅⋅⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅+

⋅⋅

⋅ν⋅−= lg4

Energiehöhe bei Freispiegelabfluss

H hg

hQ

g A h= + = +

⋅v ² ²

( ) ²2 2

70 6 Stationäres Fließen in offenen Gerinnen

Charakteristische Größen für offene Gerinne:

Rechteck-

gerinne

A b h= ⋅

r b hb 2 hhy =

⋅+ ⋅

h

b

h Qg bgr,R

2

23=

⋅

Trapez-

gerinne

A = b h m + n2

h 2⋅ + ⋅

′⋅b = 2 b

m + n

h

bm*h n*h

h

h 0,76

gr,T

gr,R

hbgr,R

≅

≅ ⋅ ′

( )r =b h+ m+ n

2h

b+ h 1+ m 1+ nhy

2

2 2

⋅ ⋅

⋅ +

Kreis-

gerinne ( )( )A = d

8sin

2

⋅ −)α α

( )r d

4hy = ⋅ −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟1

sin αα)

h

d

α

h Qg dgr,K

24≅

⋅

Parabel-

gerinne

A 23

B h= ⋅ ⋅

h = c B2

⋅ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

h

B

h 27 c Q32 ggr,P

24=

⋅ ⋅⋅

r =

43

B h

B 4 c h + 1+ 1c

lnc B + 4 c h + 1hy

⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Dreieck-

gerinne

A m n2

h2=+

⋅ r = h2

m + n

m 1+ n 1hy 2 2

⋅+ +

h 1:m1:n

B=(m+n)*h

h 2 Q

(m n2

) ggr,D

2

25=

⋅+

⋅


71

Stehen

de

Wellenfr

ont

Störungsstelle

vv vv

v

Ste h

ende

We l

lenf

ront

v

Fließzustände: v = 0

stehendes Gewässer

v g h< ⋅ Fr < 1

Strömen

v v g hgr gr= = ⋅

Fr = 1 Grenzzustand

v g h> ⋅ Fr > 1

Schießen v v ≈ 0 klein vgr groß

Frvg h

=⋅

Fr ≈ 0

0 < Fr < 1

= 1

> 1

h h ≈ hE groß hgr klein IE IE ≈0 flach Igr steil

Schleppspannung: τ ρ= ⋅ ⋅ ⋅g r Ihy Wechselsprung, konjugierte Wassertiefe:

hh

F r21

12

21 8 1= ⋅ + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

v1 v2

h1

h2


6.1 Gleichförmiger Abfluss, Anwendung der Fließformeln Aufgabe 6.1.1: Für ein Kraftwerk soll ein l = 600 m langer Werkkanal als Tra-pezprofil mit einer Sohlbreite b = 3 m und einer Böschungsneigung von 1 : m = 1 : 2 ausgeführt werden. Das Ende des Gerinnes liegt ∆h = 1,5 m tiefer als der Anfang. Der Kanal soll eine Kiesauskleidung erhalten und bei einer Was-sertiefe von h = 3 m den Durchfluss von Q = 100 m³/s abführen. a) Wird der erforderliche Durchfluss bei den gegebenen Abmessungen er-

reicht? b) Werden die Sohle und die Böschung erodiert und welche Maßnahmen sind

gegebenenfalls zu treffen? Aufgabe 6.1.2: Für ein rechteckiges Abflussgerinne mit der Sohlbreite b = 15 m, dem Sohlgefälle Io = 0,000115 und einer dem Geschwindigkeitsbei-wert kSt = 35 m1/³/s entsprechenden Wandrauheit (z.B. Felsausbruch, bearbeitet, grobes Bruchstein-Trockenmauerwerk) soll die Abhängigkeit der Normalab-flusstiefe vom Durchfluss dargestellt werden (= "Schlüsselkurve"). Verwenden Sie hierzu vergleichsweise die Fließformel nach Manning-Strickler, die univer-selle Fließformel und die vereinfachte universelle Fließformel! Aufgabe 6.1.3: In einem glatten, unverputzten Betonkanal mit der Sohlbreite b = 5 m und der Böschungsneigung 1 : m = 1 : 2 beträgt die Tiefe des abflie-ßenden Wassers h = 1,2 m bei einer Längsneigung von Io = 0,2°/°°. Bestimmen Sie a) den Durchfluss, b) die Schleppspannung τo und c) die Wassertiefe h für einen Abfluss von Q = 15 m³/s ! Aufgabe 6.1.4: Ein im Querschnitt kreisförmiger Abwassersammler aus Beton, dessen Innenwand geglättet ist, hat einen Innendurchmesser von d = 2 m. Bei einer Füllhöhe von h = 1,5 m soll ein Durchfluss von Q = 2,6 m³/s abgeführt werden. Welches Sohlgefälle Io muss das Gerinne erhalten?


73

Aufgabe 6.1.5: Für das dargestellte gegliederte Hochwasserprofil eines Flusses betragen die Geschwindigkeitsbeiwerte nach Manning - Strickler für die Vor-länder k m sSt V,

/ /= 30 1 3 und für das Mittelwasserbett k m sSt M,/ /= 40 1 3 . Berechnen

Sie für ein Gefälle von Io = 0,4 %o a) den Gesamtabfluss Q und b) die Fließgeschwindigkeit vM im Mittelwasserbett.

Aufgabe 6.1.6: Der Fließquerschnitt eines Gerinnes kann als Trapezprofil ange-nähert werden. Die etwa 1 : m = 1 : 2 geneigten Böschungen sind mit grobem Bruchsteinpflaster gesichert; die b = 5 m breite Sohle besteht aus Grobkies. Wel-che Längsneigung muss das Gerinne haben, wenn bei einer Wassertiefe von h = 2 m eine mittlere Fließgeschwindigkeit von v = 0,482 m/s gemessen wurde? Wie groß war der Durchfluss zur Zeit der Messung?


Aufgabe 6.1.7: Ein Gerinne mit parabelförmigem Fließquerschnitt und vollem Bewuchs (Bäume und lockerer Strauchbewuchs) wird während eines Hoch-wasserereignisses mit einer Wassertiefe von h = 2 m durchflossen. Die Sohl-neigung in Fließrichtung beträgt Io = 0,0004. Der formabhängige Widerstandsbeiwert für die Elemente des Bewuchses cwR wird mit 1 angegeben. Es sind auf einem Quadratmeter Gewässerfläche etwa 2 Stämme mit einem mittleren Durchmesser von dpm = 0,08 m anzutreffen. Bö-schung und Sohle entsprechen der eines regelmäßigen, sandig bis lehmigen Erdkanals. Berechnen Sie den Durchfluss.

Aufgabe 6.1.8: Ein rechteckiger Bewässerungskanal mit einer Breite von b = 100 m und einem Geschwindigkeitsbeiwert kSt = 60 m1/3/s wird aus einem See mit sehr großer Wasseroberfläche gespeist. Der Seewasserspiegel liegt auf 127,80 m ü.NN und die Kanalsohle am Einlauf auf 125,80 m ü.NN. Das Gefälle der Kanalsohle beträgt I0 = 0,09 % und der Einlaufbeiwert ζ = 0,25. a) Zeichnen Sie die Energie- und Drucklinie. b) Berechnen Sie den Abfluss Q aus dem See in den Kanal (Annahme: rhy ≅ h). Aufgabe 6.1.9: Ein offenes, rechteckiges Betongerinne mit b = 12 m Breite soll bei gleichförmiger Wasserbewegung und gleichmäßigem Sohlgefälle einen Durchfluss von Q = 62 m³/s abführen. Die Höhe der Energielinie über der Ge-rinnesohle beträgt hE = 2,50 m. a) Mit welchen Wassertiefen kann der Abfluss unter diesen Bedingungen er-

folgen, und wie sind die dazugehörigen Gefälle? b) Wie groß sind die Grenztiefe, die Grenzgeschwindigkeit und das Grenzge-

fälle?


75

Aufgabe 6.1.10: In einem b = 10 m breiten Rechteckgerinne ist der Übergang vom Strömen zum Schießen bei einer Wassertiefe von h = 1 m festgestellt wor-den. Die Rauheit des Gerinnes beträgt kSt = 60 m1/3/s. Ermitteln Sie a) das Sohlgefälle Io des Gerinnes, b) den Abfluss Q bei einer Wassertiefe von h = 1 m! Aufgabe 6.1.11: Der in der Abbildung dargestellte Bewässerungskanal ist zu dimensionieren. Als Kanaldichtung ist eine Lehmschicht vorgesehenen die durch eine d1 = 0,3 m starke Schicht aus Grobkies gegen Erosion gesichert wird.

a) Bestimmen Sie die Querschnittsabmessungen H, h und b/2. Gehen Sie von einem Normalabflusszustand unter den folgenden Bedingungen aus: • Abfluss im Kanal Q = 135 m3/s • mittleres Sohlengefälle Is = l%o • Ein Freibord von 0,5m ist einzuhalten b) Bemessung der Grobkiesschicht Welchen maßgebenden Korndurchmesser muss die Grobkiesschicht d1 an der Sohle mindestens haben, um selbst nicht erodiert zu werden? c) Ist an der Böschung ein größerer oder kleinerer Korndurchmesser dm erforder-lich, um eine Erosionsresistenz durch Grobkies zu erreichen? Begründen Sie kurz Ihre Antwort! d) Wie stark muss die Lehmschicht d2 ausgeführt werden, wenn der Sickerwas-serdurchfluss von QS = 2 l/(s.km) nicht überschritten werden soll? Berücksichti-gen Sie nur die Sickerung durch die Sohle. Der Potenzialabbau in der Kies-schicht darf vernachlässigt werden! Hinweise: Wählen Sie die benötigten Daten aus den nachfolgenden Abbildungen und Ta-bellen. Die Annahme b » y ist nicht zulässig. Die Dichte des Grobkieses kann

Böschungs-neigung 1:2

H

b/2

h

d2

d1 = 0,3 m


mit ρS = 2650 kg/m3 angenommen werden. Ansatz zur Berechnung der Durchsi-ckerung: QS = vS

.A mit vS = kf.i und i =dH/dL

Geschiebebewegung

keine Geschiebebewegung


77

Aufgabe 6.1.12: Ein Fluss hat angenähert einen trapezförmigen Querschnitt mit einer b = 60 m breiten Sohle und einem mittleren Längsgefalle von IS = 0,04%. Die Uferböschungen sind im Verhältnis 1:3 geneigt und mit Faschinen und Schüttsteinen befestigt, so dass sie von den Geschiebeuntersuchungen ausge-klammert werden kömien. Ein Düker soll senkrecht zur Fließrichtung verlegt werden. Aus diesem Grund ist das Baggern einer 5 m breiten Rinne quer durch den Fluss vorgesehen, in die der Düker abgesenkt werden soll. Um die Dükerverlegung verfahrenstechnisch vorzubereiten, soll der Geschiebe-trieb mG bestimmt werden. Untersuchungen haben ergeben, dass sich entlang der Gewässersohle hauptsächlich ein Feinkies (d50 = 2 mm, d90 = 4 mm, kSt = 44 m1/3/s, ρS = 2650 kg/m3) befindet. a) Wird sich das Sohlenmaterial bei einer Wassertiefe von h = 1,50 m voraus-sichtlich bewegen? b) Welcher Geschiebetrieb mG in kg/(m.s) ist abhängig von den Wasserständen zu erwarten? Stellen Sie in dem unten abgebildeten Koordinatensystem für den angegebenen Bereich von h = 0 bis h = 4,5 m den Zusammenhang graphisch dar, indem Sie nach der Formel von Meyer-Peter und Müller zunächst einige Stützstellen berechnen und die Zwischenweite linear interpolieren. c) Zwischen dem Abschluss der Baggerarbeiten und dem Verlegen des Dükers vergehen 25 Stunden. Für diesen Zeitraum wird ein Wasserstand von h = 2,30 m vorausgesagt. Im ungünstigsten Fall ist davon auszugehen, dass die Baggerrinne in der genannten Zeit das gesamte ankommende Geschiebe wie ein Sandfang auffängt. Um wie viel ist die Baggerrinne tiefer auszuheben, damit der Düker auf der geplanten Höhe eingebaut werden kann?


Hinweise: • Die Annahme b » h ist nicht zulässig • Die kritische Schubspamnmg des vorhandenen Sohlenmaterials kann der oben stehenden Tabelle entnommen werden • Geschiebetriebformel nach Meyer-Peter und Müller:

( ) 2/3047,0*8 −⋅=Φ Fr mit

390' dg

m

S

G

⋅⋅⋅=Φ

ρρ;

ρρρ

ρ−

= S' ; 6

90

26'd

kSt = ; 2/3

*0 '

* ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

St

St

kk

FrFr ;

( ) 90

0*0 dg

FrS ⋅⋅−

=ρρτ

Gehen Sie von einer gleichmäßigen Verlandung der Baggerrinne über die ge-samte Rinnenbreite aus.


79

6.2 Bemessung von Fließquerschnitten Aufgabe 6.2.1: Über einen als betoniertes Trapezgerinne (kSt = 65 m1/3/s) ausge-führten Kanal sollen einem Kraftwerk Q = 50 m³/s Wasser zugeführt werden. Als mittlere Fließgeschwindigkeit wird v = 2 m/s zugelassen. a) Welche Abmessungen muss der Kanal erhalten, damit in ihm ein möglichst

geringer Fallhöhenverlust auftritt? b) Wie groß ist das Mindestgefälle in Längsrichtung bei gleichförmigem Ab-

fluss? Aufgabe 6.2.2: Für die bauzeitliche Wasserumleitung an der Baustelle eines Wehres ist ein rechteckiges Holzgerinne für einen Abfluss von Q = 60 m³/s vor-gesehen. Das l = 100 m lange Gerinne muss einen Höhenunterschied von ∆h = 1,5 m überwinden. Ermitteln Sie a) die Gerinneabmessungen unter der Bedingung des geringsten Materialein-

satzes, b) die maximale Scherkraft und das Eckmoment für die senkrechten Wände, c) ob strömender oder schießender Abfluss vorliegt und d) ob und wenn ja, welche Maßnahmen vorzusehen sind, damit im anschlie-

ßenden Flussbett (Grobkies) keine Auskolkungen auftreten!


Aufgabe 6.2.3: Einem Kraftwerk mit einer Schluckfähigkeit der Turbinen von Q = 80 m³/s wird das Wasser über einen Werkkanal zugeführt. Der trapezförmi-ge, mit Beton verkleidete Kanalquerschnitt (k m sSt = 67 1 3/ / ) hat eine Böschungs-neigung von 1 : m = 1 : 1,5. Das Sohlgefälle beträgt I0

0000 1= , .

a) Welche Sohlbreite muss der Querschnitt erhalten, wenn die Wassertiefe

nicht größer als h = 3,5 m werden soll? b) Ist der Querschnitt so ausgelegt, dass die kleinstmöglichen Energieverluste

auftreten? Aufgabe 6.2.4: Ein b = 3 m breiter rechteckiger Werkkanal soll bei einer Fließ-geschwindigkeit von v = 2 m/s und einem Sohlgefälle von Io = 0,09 % Wasser abführen. Wie groß sind die Wassertiefe h und der Durchfluss Q, wenn der Ka-nal a) mit grobem Bruchsteinmauerwerk und b) mit geglättetem Beton verkleidet wird? c) Welche Wassertiefe entspricht dem hydraulisch günstigen Fließquerschnitt? Aufgabe 6.2.5: Ein Abwasserkanal d = 300mm soll als Kreisprofil aus Beton-fertigteilen k = 1,5 mm mit einem Gefälle I = 0,3% verlegt werden. In den ein-zelnen Abschnitten zwischen den Schächten soll stationärer gleichförmiger Ab-fluss bei einer maximalen Teilfüllung von 75% vorherrschen. Die Zuführung des Abflusses soll über eine Steilstrecke (d = 150mm) mit I = 30% Gefälle erfolgen. Ermitteln Sie, ob der Zuführungskanal unter Berück-sichtigung möglicher Lufteinmischungen ausreichend dimensioniert ist, oder ob mit dem Zuschlagen des Kanals gerechnet werden muss. Weisen Sie nach, dass die Schubspannung im flachen Kanal mindestens 1N/m2 beträgt. Welche Prob-leme können beim Übergang zum flacheren Kanal auftreten?

d


81

6.3 Fließbewegung bei Querschnittsänderung Aufgabe 6.3.1: In einem Gerinne mit rechteckigem Fließquerschnitt ist ein Ven-turi-Kanal zur Durchflussmessung eingebaut. Die Gerinnebreite ist b1 = 400 mm, die Breite im engsten Querschnitt ist b2 = 150 mm. a) Es ist die Abhängigkeit des Durchflusses Q von der Energiehöhe hE vor der

Verengung zu bestimmen. b) Wie groß ist der Durchfluss bei einer gemessenen Oberwassertiefe von

h1 = 250 mm? Es soll kein Rückstau vorhanden sein. Der Berechnung kann außerdem die An-nahme zugrunde gelegt werden, dass zwischen der Messstelle für die Oberwas-sertiefe und dem Ort des Fließwechsels nur vernachlässigbare Energieverluste auftreten.

.

Aufgabe 6.3.2: In einem rechteckförmigen Gerinne mit einer Breite von b = 10 m ist eine negative Sohlstufe (Sohlabsturz) mit einer Absturzhöhe von d = 0,75 m eingebaut. In dem Gerinne tritt bei einem Abfluss von Q = 70 m³/s oberhalb der Stufe eine Wassertiefe von h0 = 2,642 m auf. Ermitteln Sie die E-nergieverlusthöhe an der Sohlstufe und die Wassertiefe unterhalb der Stufe!


Aufgabe 6.3.3: Gegeben ist der Betriebswasserkanal eines Wasserkraftwerkes. Der Durchfluss beträgt Q = 18 m³/s, die Wassertiefe h = 2,0 m, die Breite des Rechteckgerinnes b = 6 m. Zur Durchführung von Reparaturarbeiten an der Sei-tenwand soll ein Fangedamm mit rechteckigem Grundriss errichtet werden. a) Wie groß darf das Maß bG (siehe Skizze) höchstens sein, wenn der Aufstau

stromaufwärts der Einengung nicht größer als z = 20 cm sein soll? b) Es ist nachzuweisen, dass im Bereich des Fangedammes kein schießender

Abfluss auftritt. c) Wie groß ist der Energieverlust infolge der Einengung des Gerinnes?

Aufgabe 6.3.4: In einem B = 80 m breiten Fluss mit Rechteckquerschnitt wird bei einem Wasserstand von h = 2,5 m ein Durchfluss von Q = 400 m³/s gemes-sen. Eine b = 20 m breite und l = 140 m lange Baugrube in Flussmitte wird durch einen Spundwandfangedamm abgeriegelt. Berechnen Sie den maximalen Aufstau im Oberwasser, wenn der Formbeiwert der Baugrubenumspundung δ = 2,1 beträgt.

Aufgabe 6.3.5: Der Rechenverlust für einen 75° geneigten Rechen mit s = 6,2 mm dicken, rechteckigen Stäben und einem lichten Stababstand von b = 62,4 mm soll bestimmt werden. Die Anströmgeschwindigkeit liege zwischen v = 1,15 m/s und 1,52 m/s.


83

6.4 Wechselsprung und Tosbeckenbemessung Aufgabe 6.4.1: In einem offenen Gerinne wird ein spezifischer Durchfluss q = 1,2 m3/s·m abgeführt. Der Strickler-Beiwert beträgt kSt = 55 m1/3/s. An ei-nem Gefälleknickpunkt verringert sich die Sohlneigung von I1 = 1,5 % auf I2 = 0,1 %. a) Es ist nachzuweisen, dass unmittelbar hinter dem Gefälleknickpunkt ein

Wechselsprung auftritt. (Anmerkung: Die Aufgabe ist als ebenes Problem zu betrachten.)

b) Welche Form hat der Wechselsprung?

Aufgabe 6.4.2: Für eine Wehranlage soll das Tosbecken bemessen werden. Die Wehrhöhe des festen Überfalles beträgt w = 4 m, als Überfallbeiwert soll μ = 0,7 konstant angenommen werden. Die bei der Überströmung des Überfalles auftre-tenden Reibungsverluste werden durch einen Energieverlustbeiwert m = 0,9 be-rücksichtigt. Das Gerinne hat eine konstante Breite von b = 25 m. Im Unterwas-ser beträgt das Sohlgefälle I = 0,07 %. Das rechteckige Profil ist mit grobem Bruchsteinmauerwerk (Strickler-Beiwert kSt = 45 m1/3/s) ausgekleidet. Der ma-ximale Durchfluss ist Qmax = 250 m3/s. Es ist die Eintiefung des ebenen Tosbe-ckens mit horizontaler Sohle so zu bemessen, dass der Einstaugrad η zwischen 1,05 und 1,15 liegt.


Aufgabe 6.4.3: In einem b = 10 m breiten Rechteckgerinne, welches an ein Ü-berfallwehr anschließt, tritt ein anliegender Wechselsprung mit freier Deckwalze auf. Der strömende Abfluss im Unterwasser (Schnitt 2) beträgt Q = 43 m³/s bei einer Wassertiefe von h2 = 3 m. a) Wie groß ist die konjugierte Wassertiefe h1 (Schnitt 1) des schießenden Ab-

flusses ? b) Was geschieht, wenn h1 von dieser berechneten Größe abweicht, z.B. durch

die Veränderung der Wehrüberfallhöhe? c) Welche Energiehöhe hv wird durch den Wechselsprung in Dissipationsener-

gie umgewandelt? d) Berechnen Sie die Länge der Deckwalze des Wechselsprunges ! e) Berechnen Sie die Wassertiefe ho und die Geschwindigkeit vo (im Schnitt 0)

vor dem Wehr unter Vernachlässigung der Reibungsverluste bei der Wehrüberströmung !

6.5 Stationär ungleichförmiges Fließen

Stau- und Senkungslinien Aufgabe 6.5.1: Der Ablaufstollen einer Hochwasserentlastungsanlage hat einen rechteckigen Querschnitt mit einer Breite von b = 5,6 m, einer Länge von L = 200 m und einem Gefälle von I = 1 %. Der Rauheitsbeiwert nach Manning-Strickler beträgt kSt = 60 m1/3/s. Bei einem Abfluss von Q = 250 m3/s beträgt die Fließgeschwindigkeit am Beginn des Stollens v0 = 23,6 m/s. Es ist der Verlauf der Wasserspiegellinie im Stollen zu berechnen.


85

Aufgabe 6.5.2: Für eine Talsperre wird die Hochwasserentlastungsanlage ent-worfen. Wie aus dem dargestellten schematischen Längsschnitt ersichtlich, be-steht sie aus der Sammelrinne, einem Übergangsgerinne, der Schussrinne und dem anschließenden Tosbecken. Es ist die Wassertiefe h1 am Ende der Sammel-rinne zu berechnen, wenn der Abfluss Q = 20 m3/s beträgt und der nachfolgende Abschnitt eine Länge von L1 = 70 m hat.

Aufgabe 6.5.3: Berechnen Sie für Q = 20 m³/s die Wasserspiegellage und die über den Fließquerschnitt gemittelten Geschwindigkeiten für das in der Tabelle beschriebene Fließgewässer. Ist mit Fließwechseln zu rechnen? Wenn ja, wo liegen diese?

Länge des Gerinne-abschnittes

Sohlgefälle Geschwindig-keitsbeiwert nach Strickler

Sohlbreite Böschungs-neigung

Form des Fließ-querschnittes

L Io kSt b 1 : m m %o m1/3/s m - 30 27 62 5 0 Rechteck 30 0,97 60 5 0 Rechteck 100 1 45 4 1 : 2 Trapez 60 10 60 3,5 1 : 1 Trapez 40 1 60 3,5 1 : 1 Trapez 20 1 60 4 1 : 0,5 Trapez 4 1 : 0,5 Sohlabsturz

Aufgabe 6.5.4: Ein rechteckiger Kanal mit b = 10 m Breite führt bei einer Was-sertiefe von h = 2,83 m einen Abfluss von Q = 50 m³/s ab. Das Sohlgefälle be-trägt I0 = 0,04 % und der Rauheitsbeiwert kSt = 60 m1/3/s. Durch ein Wehr er-folgt ein Anstau auf hs = 3,75 m. Berechnen Sie die Staukurve schrittweise mit dem Δh-Verfahren (Δx = 1225 m). Die Kanalsohle liegt am Wehr auf 120,00 m ü.NN.


Aufgabe 6.5.5: Ein staugeregelter Fluss mit Trapezprofil führt bei einer Wasser-tiefe von h = 2,25 m einen Abfluss von Q = 25 m³/s. Die Sohlbreite beträgt b = 10 m, die Böschungsneigung 1 : m = 1 : cotα = 1 : 2 und der Rauheitsbei-wert nach Manning-Strickler kSt = 35 m1/3/s. Um Brauchwasser ableiten zu kön-nen, wird der Fluss auf hs = 3,10 m Höhe angestaut, wodurch der Wasserspiegel am Wehr auf 382,00 m ü.NN liegt. Berechnen Sie a) das Energieliniengefälle im ungestauten Fluss bei stationär gleichförmigem

Abfluss, b) schrittweise die Staukurve im Δx - Verfahren (Δh = 100 mm) mit Angabe

der Wasserspiegellagen in m ü.NN, c) überschläglich die Staulänge nach Winkel. Aufgabe 6.5.6: Ein b = 10 m breites Rechteckgerinne mit kSt = 35 m1/3/s hat bei einem Gefälle von I1 = 0,083 % normalerweise eine Wassertiefe von h1 = 1,40 m. Nach einem Sohlknickpunkt beträgt das Gefälle I2 = 4,32 % und die Wassertiefe h2 = 0,40 m in gewisser Entfernung vom Gefällewechsel. Be-rechnen Sie a) den Abfluss Q im Gerinne, b) die Senkungslinie. Aufgabe 6.5.7: Berechnen Sie für Q = 5 m³/s und eine Unterwassertiefe von 80 cm die Wasserspiegellage und die über den Fließquerschnitt gemittelten Ge-schwindigkeiten für das in der Tabelle beschriebene Rechteckgerinne mit 5 m Sohlbreite und kSt = 30 m1/3/s. Ist mit Fließwechseln zu rechnen? Wenn ja, wo liegen diese?

Station Sohlhöhe m m ü. NN

300,00 106,00 200,00 105,00 160,00 104,00 140,00 102,10 135,00 102,05 120,00 101,10 110,00 101,00 100,00 101,00

0,00 100,00

7 Instationäre Strömungen in Rohrleitungen und Gerinnen

7.0 Grundlagen Ausbreitungsgeschwindigkeit einer (Schwall-) Welle im flachen Wasser: v g h= ⋅ relative Schwall- oder Sunkschnelligkeit im Rechteckkanal:

w g h zzh

= ⋅ + ⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

32 2

²

absolute Geschwindigkeit des Schwall- oder Sunkwellenkopfes: c v w= ± Druckstoß in Rohrleitungen: Annahme einer starren Wassersäule und mit linearem Schließgesetz

h

hK

Kmit K

L Qg A h

ddt

a max

0

1

11

0

0

2

21 1

4= ⋅ ± +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⋅⋅ ⋅

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟τ

überschläglich nach Budau: hL Q

g A ta,max =⋅ ⋅⋅ ⋅

32

ΔΔ

88 7 Instationäre Strömungen in Rohrleitungen und Gerinnen

100Auf07

Annahme einer elastischen Wassersäule

( ) ( )h h F fp t p0 0 0 1 1, ,

− = +

[ ]

( )v v

gc

F f

BA c g

A

t

g

R

( , ) ( , )0 0 0 1 1

2

− = − ⋅ −

=⋅ ⋅ ⋅μ

vc B

gB c B

gh

c vg

fp=⋅

+⋅

+ +⋅

+ ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

² ² ²²2 2

4 200

1

( )Fcg

v v f1 0 1= − ⋅ − +

h F fa = +1 1

Joukowski: hv c

gcg A

QaSchall Schall

x,maxmax

( , )=⋅

=⋅

⋅ 0


7.1 Druckstoß in Rohrleitungen Aufgabe 7.1.1: Für das im Schema angegebene Überleitungssystem werden Stahlrohre mit einer absoluten Rauheit k = 2,0 mm und einer Zugfestigkeit von σz = 140 N/mm² verwendet. Die Wassertemperatur beträgt TW = 20 °C, der Dampfdruck des Wassers pD(20 °C) = 23,3 hPa und die Geschwindigkeit der Druckwellenfortpflanzung c = 1000 m/s. Bestimmen Sie: a) den maximal möglichen Durchfluss Qmax durch die Rohrleitung, b) den maximalen Durchfluss Q1, wenn am Gefälleknickpunkt B ein

Wasserschloss angeordnet ist, in welchem der kleinste Wasserstand noch 2,0 m über dem Rohrscheitel liegen soll, damit keine Luft angesaugt wird,

c) den maximalen Druckanstieg am Schieber bei Berücksichtigung der Verluste für das unter b) beschriebene System, wenn der Schieber im Punkt C nach einem linearen Schließgesetz den Querschnitt in t = 12 s vollständig schließt (Wasserstandsschwankungen im Wasserschloss sind zu vernachlässigen),

d) die erforderliche Wandstärke s der Rohrleitung vor dem Schieber im Punkt C unter Berücksichtigung des maximalen Druckanstieges, welcher beim plötzlichen Schließen des Schiebers auftreten kann!

L1 = L2 = 1000 m L = L1 + L2


100Auf07

Aufgabe 7.1.2: Für die dargestellte Rohrleitung von D = 3 m Durchmesser und L = 1000 m Länge ist die kleinste Druckhöhe ha am Regelorgan und in der Mitte der Rohrleitung (L/2) für folgende Öffnungsfunktion zu berechnen (μ · A = hydraulisch wirksame Öffnungsfläche des Regelorgans).

t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 μ . A (m²) 0 0,05 0,10 0,14 0,30 0,35 0,40 0,42 0,44

Die Druckwellengeschwindigkeit beträgt c = 770 m/s. Die Reibungseinflüsse sind zu vernachlässigen.

Aufgabe 7.1.3: Der Durchfluss des in der Skizze dargestellten Fernwasserleitungssystems kann durch ein Regelorgan am Ende der Rohrleitung verändert werden. a) Ermitteln Sie den maximalen Durchfluss für das vollständig geöffnete

Regelorgan, das in dieser Stellung die Querschnittsfläche der Rohrleitung vollständig frei gibt und keinen Verlust verursacht (absolute Rauheit der Rohrleitung k = 1,5 mm, Wassertemperatur TW = 10 °C).

b) Ermitteln Sie für den Durchfluss Q = 0,65 m3/s die minimale Schließ- und Öffnungszeit des Regelorgans, wenn die Druckerhöhung vor dem Regelorgan beim Öffnen 10 % der statischen Druckhöhe nicht überschreiten soll! Die Änderung der Durchflussfläche in der Zeiteinheit ist dabei als Konstante zu betrachten (lineare Regelfunktion). Reibungseinflüsse sind zu vernachlässigen.


Aufgabe 7.1.4: Für die abgebildete Stahlrohrleitung DN 800 mit der absoluten Rauheit k = 3 mm soll der zeitliche Druckverlauf am Querschnitt a unmittelbar vor dem Regelorgan und im Querschnitt b in Rohrmitte für die angegebene Öffnungsfunktion berechnet werden. Die Leitung ist L = 5500 m lang und hat eine Wandstärke e = 10 mm. Öffnungsfunktion: t(s) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 μAg (m²) 0,00 0,02 0,04 0,08 0,12 0,17 0,25 0,30 0,35


100Auf07

Aufgabe 7.1.5: Bei der abgebildeten Pumpenanlage mit Druckwindkessel fällt die Pumpe aus (z.B. durch Stromausfall). Es wird angenommen, dass sich die Rückschlagklappe plötzlich schließt. Wie groß kann der Druckstoß infolge Energieausfall werden?

Gegeben ist weiterhin: Q0 = 0,60 m³/s v0 = 1,5 m/s c = 1000 m/s L = 1000 m hp* = absolute Druckhöhe [m WS] p/ρ.g = Luftdruckhöhe [m WS]


7.2 Schwall- und Sunkwellen in offenen Gerinnen Aufgabe 7.2.1: Wie hoch müssen die Seitenwände eines b = 8 m breiten rechteckigen betonierten Zuleitungskanals zu einem Kraft-werk sein, wenn die bei plötzlichem Abschalten der Tur-bine auftretenden Schwallerschei-nungen berücksichtigt werden? Bei einem Zufluss von Q = 80 m3/s beträgt die mittlere Fließ-geschwindigkeit v = 2 m/s.

Aufgabe 7.2.2: Der Unterwasserkanal eines Kraftwerkes hat eine Sohlbreite von b = 8 m und eine Böschungsneigung von 1 : 2. Bei stationär gleichförmigem Normalabfluss führt er einen Abfluss von Q0 = 120 m3/s bei einer mittleren Geschwindigkeit von v0 = 2 m/s ab. a) Berechnen Sie die Wassertiefe bei Normalabfluss! b) In welchem Bereich kann der Abfluss bei plötzlicher Durchflussänderung

geregelt werden, wenn die mittlere Sunkwellenhöhe von 0,5 m und die mittlere Schwallwellenhöhe von 0,35 m nicht überschritten werden dürfen


Aufgabensammlung Hydromechank 2004

Aufgabe 7.2.3: Dem in der Skizze dargestellten Entlastungsgraben wird durch plötzliches Öffnen einer Hochwassereinlassschleuse ein Abfluss von Q = 80 m3/s zugeführt. Der Normalabfluss wird bei einer Wassertiefe von h = 4,5 m und einem Gefälle von I = 0,03 % abgeführt. Wie groß ist die maximale Schwallhöhe zmax? Der Stricklerbeiwert beträgt kSt = 65 m1/3/s.

8 Ausflussströmungen 8.0 Grundlagen

Ausfluss aus einer Bodenöffnung: Q A g z= ⋅ ⋅ ⋅μ 2 Ausfluss aus einer rechteckigen Seitenöffnung:

[ ]( )Q b g h h a= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − −23

2 3 2 3 2μ / /

Absinkzeit des Wasserspiegels in einem Gefäß:

( )tA

g Ah h=

⋅⋅ ⋅

⋅ −2

20

0 1μ

Absinkzeit des Wasserspiegels in einem Gefäß mit konstantem Zufluß:

( )tA

g Ag A h h Q

Q A g h

Q A g hZZ

Z=

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅

− ⋅ ⋅ ⋅

− ⋅ ⋅ ⋅

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

00 1

0

12

2

2μμ

μ

μ² ²ln

Ausfluss unter Planschützen: [ ]q ag h

ah

unvollk= ⋅ ⋅⋅

+⋅ ⋅ψ ψ κ

2

1

0

0

.

8 Ausflußströmungen

100Auf08

96

8.1 Stationärer Ausfluss aus Öffnungen Aufgabe 8.1.1: Für eine Auslaufkonstruktion am Boden eines Behälters soll der Ausflussbeiwert be-stimmt werden. Dem Be-hälter wird ein konstanter Volumenstrom Q = 30 l/s zugeführt. Der Was-serspiegel liegt dabei in einer Höhe von h = 1,2 m über dem Austrittsquerschnitt der Bodenöffnung. Die Öffnungsfläche beträgt A = 80 cm². Aufgabe 8.1.2: Aus einer scharfkantigen Öffnung von b = 2 m Breite in einer senk-rechten Wand soll bei einem Wasserstand von h = 2,2 m über der Unterkante der Öff-nung ein Ausfluss von höchstens Q = 7,5 m³/s hindurchgelassen werden. Wie groß darf die Öffnungshöhe a höchstens sein, wenn freier Ausfluss vorliegt und der Ausflussbeiwert μ = 0,65 beträgt?


97

8.2 Instationärer Ausfluss aus Öffnungen Aufgabe 8.2.1: In einem zylindrischen Gefäß mit A0 = 1,5 m² Querschnittsflä-che liegt der Wasserstand um h = 1,0 m über der Bodenöffnung, die eine Fläche von A = 10 cm² aufweist. Das Gefäß kann nur über die Bodenöffnung oder durch eine an der Bodenöffnung angeschlossene Rohrleitung entleert werden. a) Wie groß ist der mittlere Ausflussbeiwert µ der Bodenöffnung, wenn der

Behälter nur über die Bodenöffnung entleert wird und der Wasserspiegel in 16,5 s um 3 cm sinkt?

b) Wie groß ist die Entleerungszeit, wenn der Behälter nur über die Bodenöff-nung vollständig entleert wird?

c) Wie groß ist die Entleerungszeit, wenn an dem Behälter eine Rohrleitung mit dem Querschnitt der Bodenöffnung und einer Länge von LR = 5 m ange-schlossen wird und Ver-luste vernachlässigt wer-den?

d) Wie verändert sich die Entleerungszeit von c), wenn ein Einlaufverlust-wert von ζe = 0,5 und ein Widerstandsbeiwert von λ = 0,02 der Rohrleitung berücksichtigt werden?

e) Wie groß ist zur Zeit t = 0 der minimale Druck p in der Rohrleitung, wenn von dem in d) be-schriebenen System aus-gegangen wird?


100Auf08

98

Aufgabe 8.2.2: In einem prismati-schen Behälter von A0 = 8 m² Quer-schnittsfläche steht das Wasser h = 10 m über der Unterkante einer rechteckigen Seitenöffnung von b = 1,2 m Breite und a = 0,8 m Höhe. Berechnen Sie die Fallzeit des Was-serspiegels bis auf die Höhe, die dem Beharrungszustand entspricht, wenn ein konstanter Zufluß von QZ = 5 m³/s vorhanden ist! Der Ausflussbeiwert ist zu μ = 0,62 anzunehmen. Aufgabe 8.2.3: Ein Stau-becken, dessen Inhalt durch die Gleichung V = V0 + 1,3 . 106m1,5 . z1,5 angegeben werden kann, ist bis zu einer Höhe h = 10,0 m gefüllt. Das Staubecken soll in kürzester Zeit über die Grundablässe mit einer Fläche von AG max = 15 m2 und einem Ausflussbeiwert von μ = 0,60 entleert werden. Wie lange dauert die Entleerung, bis der Wasserspiegel des Restvolumens V0 mit dem Unterwasserspiegel ausgeglichen ist und wenn der maximale Abfluss Qmax = 60 m3/s betragen darf ? Aufgabe 8.2.4: Bestimmen Sie in Abhängigkeit von der Größe der Bodenöff-nung die Form der Mantellinie eines Rotationskörpers, in welchem der Wasser-spiegel mit konstanter Geschwindigkeit v = 0,01 m/s absinkt. Es ist dabei mit einem mittleren Ausflussbeiwert μ = 0,6 zu rechnen. Die erhaltene Lösung ist zu diskutieren und die Mantellinie für eine Ausflussöffnung mit d = 2 cm Durch-messer und für eine Ausflusszeit von t = 15 s aufzuzeichnen !


99

Aufgabe 8.2.5: Zwei zylindrische Behälter mit A1 = 10 m² und A2 = 20 m² Querschnittsfläche sind durch eine Rechtecköffnung von a b m m× = ×0 4 0 6, , mit-einander verbunden. Die Öffnung ist durch ein Schütz verschlossen. Der Wasserspiegel im Behälter 1 liegt um h = 5 m über dem im Behälter 2. Wie lange dauert es, bis eine Ausspiegelung eintritt, wenn das Schütz mit einer kon-stanten Geschwindigkeit von vc = 2 cm/s angehoben wird? Welcher maximale Durchfluss Q durch die Öffnung tritt ein und wieviel Sekun-den nach dem Beginn der Öffnung ist das der Fall? Der Ausflussbeiwert ist mit m= 0,6 anzunehmen. Aufgabe 8.2.6: In einem zylind-rischen Behälter mit einer Flä-che von A = 4 m² befindet sich eine Bodenöffnung mit einer Länge l = 0,40 m und einer Breite b = 0,275 m. Die Öff-nung kann durch einen Schütz-verschluss über die Länge l ge-öffnet werden. Der Behälter ist bis zu einer Höhe von h = 3 m mit Wasser gefüllt. Mit welcher Geschwindigkeit vs muß das Schütz geöffnet werden, damit bei voller Öffnung gerade noch ein Wasserstand von z = 1 m verbleibt ? Die Öffnungscharakteristik ist linear, der Ausflussbeiwert wird kon-stant zu m = 0,6 angenommen.


100Auf08

100

Aufgabe 8.2.7: Als Hochwasserschutzmaßnahme soll an einem Fluß ein Rück-haltebecken errichtet werden. Der schadlose Abfluss im Unterwasser beträgt Qmax = 10 m³/s. Zur Berechnung sind die Zuflussganglinie für die größte bekannte Hochwasserwelle und die aus dem Lageplan ermittelte Beckenober-fläche bekannt. Ermit-teln Sie graphisch und rechnerisch a) die Abflussgang-

linie, b) die Größe des un-

gedrosselten, kreis-förmigen Grundablassquer-schnittes, dessen Sohle bei h = 0 m liegt,

c) die Stauhöhe des Rückhaltebeckens.

Aufgabe 8.2.8: Wie viele Sparbecken muss eine Schleuse von h = 6 m Hubhöhe mit einer Kammerfläche von AK = 1500 m² aufweisen, damit eine Wasserer-sparnis von mindestens 70 % vorhanden ist, wenn die Fläche der Sparbecken AS = 1000 m² beträgt ? Die Füllung bzw. Leerung eines Sparbeckens beginnt dann, wenn der Wasserspiegel in der Schleusenkammer mit dem Wasserspiegel des vorhergehenden Sparbeckens eine Höhendifferenz von Dh = 0,15 m auf-weist. Welche Wassertiefe ist in den Sparbecken vorhanden ? Wie viele Sparbe-cken wären notwendig, wenn immer bis zum Spiegelausgleich gewartet würde und um wie viel Prozent würde sich dann die Füll- bzw. Leerungszeit verlän-gern, wobei m als konstant angenommen wird ?

t [h]

Qz

[m³/s

]

05

101520253035

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Ao [10 000 m²]

h [m

]

02468

10121416

0 5 10 15


101

8.3 Freier und rückgestauter Ausfluss unter Schützen Aufgabe 8.3.1: Der Auslass eines Wasserbe-ckens besteht aus einer drehbaren Klappe mit einer Breite b = 1 m und einer Höhe r = 4 m. Um welchen Winkel α muß die Klappe gedreht wer-den, wenn bei einem Beckenwasserstand von ho = 3 m der Abfluss Q = 2,6 m3/s betragen soll?

Aufgabe 8.3.2: In ei-nem offenen Gerinne mit Rechteckquerschnitt (Breite b = 4 m) wird der Abfluss mit einem scharfkantigen senk-rechten Schützver-schluss geregelt. Es ist die Abflusscharakteristik für den Schützverschluss, das heißt, die Funktion des Durchflusses Q von der Öffnungshöhe a für h0 = 3 m gesucht. Im Unter-wasser schließt sich ein Rechteckgerinne mit folgenden Parametern an: Ge-rinnebreite b = 4 m, Strickler-Beiwert kSt = 60 m1/3/s, Gefälle I = 0,0625 %. Der maximale Durchfluss beträgt Qmax = 15 m3/s.


100Auf08

102

Aufgabe 8.3.3: In einem Kanal mit der Breite b = 8 m wird das Wasser durch ein senkrechtes, scharfkantiges Schütz H = 6 m hoch gestaut. Zu bestimmen sind a) der Ausfluss Q unter dem um a = 0,5

angehobenen Schütz bei Vernachläs-sigung der Reibungsverluste,

b) die Größe der Wasserdruckkraft auf die Schütztafel in diesem angehobe-nen Zustand unter Verwendung des Stützkraftsatzes. Die ungefähre Druckverteilung auf die Schütztafel in der Lotrechten ist für diesen Fall zu skizzieren.

Aufgabe 8.3.4 : Ermitteln Sie die Druckverteilung auf das in der Abbildung dar-gestellte Schütz !

9 Überfallströmungen 9.0 Grundlagen

Überfallformeln:

Überfallbeiwerte für den Standardüberfall

h / hE B

hE / hE B

C E

0 0 ,2 0 0 ,6 1 ,0 1,4 1,8 2 ,2 2,6 3,0

0 0 ,2 0 0,6 1 ,0 1,4 1 ,8 2 ,2 2 ,6 3,0

Thompson (scharfkantiges Dreiecks-Messwehr mit dem Öffnungswinkel 2α):

104 9 Überfallströmungen

9.1 Überfallformeln und Abflussberechnung Aufgabe 9.1.1: An einem Wehr mit scharfkantigem Rechtecküberfall wird die Überfallhöhe zu h = 0,25 m gemessen. Es ist der Abfluss Q zu berechnen.

Aufgabe 9.1.2: Der Hochwasserüberlauf eines kleinen Stauteiches wird in der dargestellten Form ausgebildet. Die Breite des Überfalles beträgt b = 3,2 m. Es ist die Lage des Stauspiegels bei einem Abfluss von Q = 4 m3/s zu bestimmen.

Aufgabe 9.1.3: An der Mündung eines Kanals mit Rechteckquerschnitt in ein Staubecken befindet sich ein Wehr mit einem festen Standardüberfall. Die Bemessungsüberfallhöhe beträgt hB = 0,6 m, die Wehrhöhe w = 3,0 m, Kanal und Überfallkrone haben die gleiche Breite b = 6 m. Der Zufluss im Kanal beträgt konstant Q = 8 m3/s. Es ist die Stauhöhe vor dem Wehr für hu1 = 0 und hu2 = 0,5 m zu bestimmen. Welche Stauhöhen stellen sich ein, wenn anstelle des Standardüberfalles ein scharfkantiger Überfall verwendet wird?


100Auf09

Aufgabe 9.1.4: Eine Flussstaustufe besteht aus einem 3-feldrigen Wehr mit rundkronigen Überfällen. Wie groß ist der Abfluss Q über das Wehr, wenn der Einfluss der Pfeiler und seitlichen Widerlager berücksichtigt wird?

Aufgabe 9.1.5: Zur Durchflussmessung in einem offenen Gerinne wird die in der Vorderansicht abgebildete scharfkantige Messblende verwendet. Es ist die theoretisch ableitbare Überfallformel für den Bereich h > h0 anzugeben.


Aufgabe 9.1.6: Zur Durchflussmessung bei einem hydraulischen Modellversuch wird ein Thompsonüberfall als Messwehr mit einem Überfallbeiwert von μ = 0,627 verwendet. Welcher Durchfluss liegt vor, wenn vor dem Messwehr eine Überfallhöhe von h = 185 mm gemessen wurde? Aufgabe 9.1.7: Im massiven Entlastungsbauwerk eines Erddammes werden zwei jeweils b = 8 m breite, l = 12 m lange Öffnungen freigelassen, um während der Bauzeit Hochwasser bis HQ = 150 m³/s abführen zu können. Im Staubecken darf dabei die Höhenkote 90 m ü.NN nicht überschritten werden. Auf welcher höchsten Höhenkote (m ü.NN) darf die Sohle der Öffnungen liegen? Rückstau aus dem Unterwasser tritt nicht auf.

9.2 Bemessung von Überfällen Aufgabe 9.2.1: Zur Messung des Durchflusses in einem Rechteckgerinne soll ein Messwehr mit Thompson-Überfall eingebaut werden. Bestimmen Sie die erforderlichen Abmessungen für Wehrhöhe und maximale Überfallhöhe, wenn bei dem Maximaldurchfluss von Q = 80 l/s der Unterwasserstand hu = 0,35 m beträgt. In welchem Abstand stromaufwärts der Messblende muss die Pegellatte für die Messung der Überfallhöhe angebracht werden?


100Auf09

Aufgabe 9.2.2: In ei-nem Bewässerungska-nal ist ein Wehr zur Stauregulierung zu di-mensionieren. Es be-steht aus einem festen Überfall. Folgende Größen sind gegeben: Stauhöhe über der Ka-nalsohle bei dem ma-ximalen Abfluss Qmax = 30 m³/s, hS,max = 2,0 m, minimale Stauhöhe hS,min = 1,3 m bei einem Mi-nimalabfluss von Qmin = 4 m³/s. Eine Beeinflussung der Überfallströmung durch das Unterwasser sowie infolge seitlicher Einschnürung kann ausgeschlossen werden. Bestimmen sie unter Beachtung der obengenannten Bedingungen die erforderliche Wehrbreite und Wehrhöhe. Aufgabe 9.2.3: Über den Hochwasserüberlauf einer Betonstaumauer ist ein Hochwasserabfluss von HQ = 65 m³/s bei einer Überfallhöhe von ho = 1,30 m abzuführen. Die Überfallkrone liegt horizontal und ist als "hydraulisch günstiges Profil" nach der Strahlform am scharfkantigen Überfall ausgebildet. Welche Breite muss der Überfall erhalten? Aufgabe 9.2.4: Zeichnen und erläutern Sie die Überfallcharakteristik eines Schachtüberfalls. In welchem Bereich muss der Bemessungsabfluss liegen? Aufgabe 9.2.5: In einem b = 24 m breiten Fluss mit (näherungsweise) Rechteckquerschnitt wird das Wasser durch ein Wehr auf hs = 1,05 m angestaut. Die Wehrhöhe beträgt w = 0,45 m. a) Welcher Abfluss Q ergibt sich für einen Überfallbeiwert von μ = 0,7, wenn

die Zuströmgeschwindigkeit vernachlässigt wird? b) Welcher Abfluss Q ergibt sich wie unter a), aber mit Berücksichtigung der

Zuströmgeschwindigkeit. c) Der Wehrrücken sei als hydraulisch günstiges Profil für die

Entwurfsenergiehöhe hEB = 0,45 m geformt worden (hEB /w = 1). Welcher Abfluss errechnet sich für diese Form des Wehrüberfalls?

d) Welcher Druck wirkt bei c) auf den Wehrrücken? e) Welche Wehrhöhe w muss das Wehr erhalten, wenn der Wehrrücken nach

der Unterkante des belüfteten Überfallstrahles am scharfkantigen


Plattenwehr für die Bemessungsüberfallhöhe hB = 0,3 m ausgebildet wird? Der Abfluss soll dabei Q = 22 m³/s betragen.

Aufgabe 9.2.6: Als Hochwasserentlastungsanlage eines Staudammes ist ein Schachtüberfall entsprechend der Abbildung geplant. Nach den hydrologischen Untersuchungen ist ein Hochwasserabfluss von HQ1000 = 40 m³/s an der Sperrstelle zu erwarten. Die Entwurfsüberfallhöhe beträgt h0B = 1 m. Der Einlauf wird mit Wirbel verhindernden Leitwänden versehen. a) Berechnen Sie den Abfluss Qü, bei welchem der Einlauf überdeckt wird und

von dem an die Überfallhöhe stark ansteigt. b) Beurteilen Sie, ob der Schachtüberfall mit ausreichender Sicherheit

bemessen ist.

10 Wasserbauliches Modellversuchswesen 10.0 Grundlagen Umrechnungen im Modellversuchswesen für gleiche Flüssigkeiten in der Natur und im Modell: Ml = lN/lM Maßstabsfaktor der Längen Ml = hN/hM Maßstabsfaktor der Höhen

Zu übertragende Größe Maßstabsfaktor nach dem Ähnlichkeitsgesetz von

Bezeichnung Einheit Froude für Mρ = 1 Reynolds Weber Cauchy-Mach

nicht ü-berhöht

überhöht Mν = 1 Mρ = 1

Mρ = 1 Mσ = 1

Mρ = ME = 1

Längen, Breiten m Ml Ml Ml Ml Ml Höhen2 m Ml Ml /n Ml Ml Ml Horizontale Flächen

m2 Ml2 Ml

2 Ml2 Ml

2 Ml2

Senkrechte Flächen

m2 Ml2 M nl

3 / Ml2 Ml

2 Ml2

Volumen m3 Ml3 M nl

3 / Ml3 Ml

3 Ml3

Kräfte (horizontal)

N Ml3 M nl

3 2/ 1 Ml Ml2

Fließzeit, Versuchsdauer

s Ml1 2/ ( ) /M nl ⋅

1 2 Ml2 Ml

3/2 Ml

Fallzeit s Ml1 2/ ( / ) /M nl

1 2 Ml2 Ml

3/2 Ml Geschwindigkeit m/s Ml

1 2/ ( / ) /M nl1 2 Ml

−1 Ml−1 2/ 1

Beschleunig. (horizontal)

m/s 1 1/n Ml−3 Ml

−2 Ml−1

Abfluss m3/s Ml5/ 2 ( )M nl

5 3 1 2/

/ Ml Ml3/2 Ml

2

Relatives Gefälle m/m 1 1/n 1 1 1 Stricklerbeiwert m1/3/s Ml

−1 6/ M nl− ⋅1 6 2 3/ / - - -

110 10 Wasserbauliches Versuchswesen

Kräftearten, deren Kenngrößen und Maßstabsfaktoren

Kraft in-folge von

Ansatz Physikalische Kenn-größe mit Maßstabs-

faktor M

Maßstabsfaktor MFFF

N

M=

Trägheits-reaktion

F m aV g

T = ⋅= ⋅ ⋅ ρ

Dichte ρ

M N

Mρ

ρρ

= MV aV a

M M MFTN N N

M M Ml t=

⋅ ⋅⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ −ρρ ρ

4 2

Schwere F m gV g

G = ⋅= ⋅ ⋅ ρ

Erdbe-schleuni-gung g

Mggg

N

M= M

V gV g

M M MFGN N N

M M Mg l=

⋅ ⋅⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ρρ ρ

3

Reibung F ddn

AR = ⋅ ⋅ηυ dynami-

sche Vis-kosität η

M N

Mη

ηη

= MA d dnA d dn

M M MFRN N N N

M M M Ml t=

⋅ ⋅⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ −η υη υ η

//

1

Kapillari-tät (Ober-flächen-span-nung)

F lK = ⋅ ⋅2 σ Oberflä-chen-spannung σ

M N

Mσ

σσ

= Mll

M MFKN N

M Ml=

⋅⋅

= ⋅σσ σ

Elastizität F E VV

AE = ⋅ ⋅Δ Elastizi-

täts-modul E

MEEE

N

M= M

E A V VE A V V

M MFEN N N

M M ME l=

⋅ ⋅⋅ ⋅

= ⋅( / )( / )ΔΔ

3


100Auf10

10.1 Ähnlichkeitsgesetze, Versuchsplanung Aufgabe 10.1.1: In einem Unternehmen soll aus einem neuen Material eine l = 20 m lange Rohrleitung mit einem Durchmesser von D = 1000 mm montiert werden, durch die Q = 250 l/s fließen sollen. Da keine Angaben über die absolu-te Rauheit k des Materials vorliegen, muss der l-Wert experimentell bestimmt werden. Dazu steht eine nach dem gleichen Verfahren hergestellte Rohrleitung mit einem Durchmesser NW 300 zur Verfügung. a) Mit welchem Durchfluss QModell müssen die Druckverlustmessungen an der

Rohrleitung NW 300 durchgeführt werden, um den Rohrreibungsbeiwert l zu bestimmen?

b) Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit der experimentell ermittelte l-Wert auf die Naturausführung übertragbar ist?

Aufgabe 10.1.2: Das Abschlussbauwerk eines Hochwasserrückhaltebeckens soll im Maßstab 1 : 5 für einen hydraulischen Versuch modelliert werden. Be-stimmen Sie für die nachfolgenden Größen die Modellwerte: Abflussscheitel Q 200 m³/s Länge L des Abschlussbauwerkes 200 m Staufläche A 10000 m² Druckkraft F auf die Schütztafel 1 MN Dauer t der Hochwasserwelle 3 h Fließgeschwindigkeit v 5 m/s maximale Überfallhöhe h 1 m Stauraum V 100000m³Sohlgefälle I 1 %


Aufgabe 10.1.3: Eine l = 400 m lange, technisch glatte Rohrleitung mit D = 400 mm Durchmesser soll von einer Flüssigkeit (rFl = 850 kg/m³, nFl = 10-4 m²/s) mit Q = 63 l/s durchflossen werden. Zur Ermittlung des Rohrrei-bungsbeiwertes l wurden an einer Modellrohrleitung NW 80 Druckverlustmes-sungen mit der gleichen Flüssigkeit durchgeführt. Die Druckmessstellen lagen lModell = 2 m voneinander entfernt und waren durch ein Differenzenmanometer miteinander verbunden. Als Sperrflüssigkeit im Manometer wurde Tetrachlor-kohlenstoff (rSp = 1600 kg/m³) verwendet. a) Wie groß muss der Modelldurchfluss sein? b) Wie groß ist der Rohrreibungsbeiwert l für das Modell und die Naturausfüh-

rung, wenn am Differenzenmanometer eine Differenz von DhT = 310 mm abgelesen wurde?

c) Wie groß ist der l-Wert für die Naturausführung nach der Theorie? Aufgabe 10.1.4: Es soll der Strömungswiderstand eines bei einem Flugzeug verwendeten Profildrahtes von d = 10 mm Durchmesser bei einer Geschwindig-keit von v = 150 km/h bestimmt werden. Welcher Drahtdurchmesser ist im Mo-dellversuch in einem Wasserkanal (TW = 15°C) zu wählen, wenn der Draht mit einer Geschwindigkeit von vModell = 0,2 m/s im Wasser bewegt wird? Die Zähigkeit der Luft beträgt bei TL = 20°C n = 1,51 . 10-5 m²/s. Aufgabe 10.1.5: Für einen Küstenabschnitt an einer Flussmündung wird eine ausgedehnte Hafenanlage geplant. Zur Feststellung der günstigsten Bauvariante soll die Anlage im hydraulischen Modell untersucht werden. Dazu stehen eine Freifläche von l b 50m 25m× = × und eine Pumpe zum Umwälzen des Wasser-stromes mit einem Förderstrom von Q = 0,25 m³/s zur Verfügung. Welcher Mo-dellmaßstab und welche Modellgrößen müssen bei vollständiger Ausnutzung des Förderstromes gewählt werden, wenn die Originalausführung die folgenden Abmessungen erhalten soll: Länge L der gesamten Hafenanlage

10 km Hochwasserabfluss HQ des Flusses

2000 m³/s

Breite B der Hafenanlage 3 km Länge LMole der Mole 600 m Tiefe H des Hafenbeckens 16 m Tiefe HY des Yachthafens 5 m


100Auf10

Aufgabe 10.1.6: Eine Flussstrecke soll im Maßstab 1 : 20 im hydraulischen Modellversuch nachgebildet werden. Welcher Strickler-Wert muss für den Mo-dellversuch angesetzt werden, und welchem Material entspricht das, wenn in der Natur kSt = 45 m1/3/s ermittelt wurden? Aufgabe 10.1.7: Der Ausfluss von Kerosin (nK = 4,5 . 10-6 m²/s) aus einem Behälter mit einer Öffnung von d = 75 mm Durchmesser soll durch Wasser (nW = 1 . 10-6 m²/s) unter Einhaltung der Ähnlichkeit der Schwere- und Reibungskräfte nach-gebildet werden. Berechnen Sie den Durchmesser dModell der Öffnung im Modell und die Verhältnisse der Naturgrößen zu den Modellgrößen für die Was-serhöhe (h/hModell) und den Ausfluss (Q/QModell)! 10.2 Dimensionsanalyse Aufgabe 10.2.1: Es wird angenommen, dass die Leistungsabgabe P einer Pum-pe eine Funktion des Durchflusses Q, der Förderhöhe H, und des Produktes aus der Erdbeschleunigung g und der Dichte ρ der Flüssigkeit ist. Begründen Sie die funktionelle Abhängigkeit P = P(Q; H; ρ . g) mit der Dimensionsanalyse! Aufgabe 10.2.2: Geben Sie mit Hilfe der Dimensionsanalyse eine Gleichung für den von einem frei fallenden Körper zurückgelegten Weg in Abhängigkeit von seinem Gewicht, der Fallbeschleunigung und der Zeit an! Aufgabe 10.2.3: Es soll angenommen werden, die Kraft auf einen im Wasser bewegten Körper hänge von der Dichte, der Viskosität, der Geschwindigkeit und der charakteristischen Abmessung des Körpers ab. Entwickeln Sie eine all-gemeine Gleichung!


10.3 Messung physikalischer Größen (vgl. Aufg. 2.3; 3.1.1; 4.2.1; 6.3.1; 9.1.5; 9.2.1)

Aufgabe 10.3.1: Ein Pitotrohr mit einem Beiwert von 0,98 wird zur Messung der Strömungsgeschwindigkeit in der Mitte eines Rohres verwendet. Die Stau-druckhöhe beträgt 5,67 m und die statische Druckhöhe 4,73 m. Wie groß ist die Geschwindigkeit?

Aufgabe 10.3.2: Die Wellenauflaufhöhe R auf einer Modellböschung wird rechnerisch aus der in einem Modellversuch gemessenen Wellenhöhe H und der Wellenperiode T nach der Gleichung R

H g T=

⋅ ⋅⋅

²tan

2πα ermittelt. Mit welchem

Fehler kann das Ergebnis R behaftet sein, wenn für die Werte H und T die fol-genden Messfehler nicht ausgeschlossen werden können:

ΔH = 2 mm; H = 150 mm, ΔT = 0,026 s; T = 1 s, Δtanα = 0,002; tanα = 0,4

11 Potenzialströmungen

11.0 Grundlagen

Potenziallinie:

dx

dxy

dy v dx v dyx yϕ∂ϕ∂

∂ϕ∂

= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = 0 mit vx

vyx y= =

∂ϕ∂

∂ϕ∂

.

Stromlinie: dψ = 0

Durchfluss:

Filtergesetz von Darcy: v k If= ⋅ = ⋅kHsfΔΔ

Bodenart mindestens

kf [in m/s] häufig

höchstens

Kies, gleichförmig 1 10 2⋅ − 1 10 1⋅ − 2 10 1⋅ − Kies, sandig, mit wenig Feinkorn 1 10 6⋅ − 5 10 3⋅ − 1 10 2⋅ − Kies, sandig, mit Schluff- oder Tonbeimengungen 1 10 8⋅ − 5 10 5⋅ − 1 10 4⋅ − Sand, gleichkörnig, fein 1 10 5⋅ − 1 10 4⋅ − 2 10 4⋅ − Sand, gleichkörnig, grob 2 10 4⋅ − 2 10 3⋅ − 5 10 3⋅ − Sand, abgestuft, kiesig 2 10 5⋅ − 2 10 4⋅ − 5 10 4⋅ − Sand mit Feinkorn 1 10 7⋅ − 5 10 6⋅ − 1 10 5⋅ − Schluff, wenig plastisch 1 10 8⋅ − 5 10 6⋅ − 1 10 5⋅ − Schluff, plastisch 1 10 9⋅ − 5 10 7⋅ − 1 10 6⋅ − Ton, geringplastisch 2 10 9⋅ − 5 10 8⋅ − 1 10 7⋅ − Ton, mittelplastisch 1 10 10⋅ − 5 10 9⋅ − 5 10 8⋅ − Ton, hochplastisch 1 10 11⋅ − 5 10 10⋅ − 1 10 9⋅ − Ton oder Schluff mit organischen Beimengungen 2 10 11⋅ − 5 10 10⋅ − 1 10 9⋅ −

Kozeny-Parabel (Sickerlinie):

y x y y= ⋅ ⋅ +2 0 02 mit y h b b0

2 2= + − (Koordinatenursprung = Schnittpunkt mit der Entlastungsebene)

ΔΔΔ

q kHr

nsf= ⋅ ⋅

dq = dn ⋅ v = dψ oder q = ψ2 - ψ1

116 11 Potenzialströmungen

11.1 Hydrodynamisches Netz Aufgabe 11.1.1: Eine 5 Meter in den Untergrund einbindende Spundwand, die als Baugrubenumschließung für ein Wehr dient, wird unterströmt. Durch einen teilweisen Ausfall der für die Wasserhaltung eingesetzten Pumpen kann der Au-ßenwasserstand von 5 m über der Sohle in der Baugrube nur um ΔH = 2,5 m abgesenkt werden. Das hydrodynamische Netz wurde ermittelt und entsprechend den Tabellenwerten in die Abbildung eingetragen. a) Tragen Sie die Standrohrspiegelhöhen ein. b) Wie groß ist der Druck auf die Spundwand im Punkt P? c) Welche Wassermenge tritt pro Stunde durch den markierten Bereich B in die

Baugrube ein, wenn die Breite b der Spundwand 40 m beträgt und der Durch-lässigkeitsbeiwert nach Darcy k m sf =

−10 6 / beträgt?

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

-20,00 -15,00 -10,00 -5,00 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00

B

H

0

1

2

3

45 6

7

8

9

m=10

OW

UW

P

huho

hp

s

n


100Auf11

0 - 10 1 - 9 2 - 8 3 - 7 4 - 6 5 x y x y x y x y x y x y

-11,50 0 -10,95 -3,85 -9,30 -7,35 -6,75 -10,15 -3,55 -11,9 0 -5 -8,05 0 -7,65 -2,95 -6,50 -5,6 -4,75 -7,65 -2,50 -9 0 -5,25-5,45 0 -5,15 -2,3 -4,40 -4,35 -3,20 -5,95 -1,70 -7 0 -6,05-3,35 0 -3,20 -1,85 -2,70 -3,55 -2,00 -4,9 -1,05 -5,75 0 -7,4 -1,60 0 -1,50 -1,6 -1,30 -3,1 -0,95 -4,25 -0,50 -5 0 -9,5 0,00 0 0,00 -1,55 0,00 -2,95 0,00 -4,05 0,00 -4,75 0 -12,551,60 0 1,50 -1,6 1,30 -3,1 0,95 -4,25 0,50 -5 0 -9,5 3,35 0 3,20 -1,85 2,70 -3,55 2,00 -4,9 1,05 -5,75 0 -7,5 5,45 0 5,15 -2,3 4,40 -4,35 3,20 -5,95 1,70 -7 0 -6,058,05 0 7,65 -2,95 6,50 -5,6 4,75 -7,65 2,50 -9 0 -5,2511,50 0 10,95 -3,85 9,30 -7,35 6,75 -10,15 3,55 -11,9 0 -5

Aufgabe 11.1.2: Ein zweidimensionales (ebenes) Strömungsfeld wird mit den Komponenten der Geschwindigkeit

v U yL

v U xLx y= ⋅ = ⋅

beschrieben. Die Konstanten U und L haben die Dimension einer Geschwindig-keit bzw. einer Länge. Es soll überprüft werden, ob es sich um eine Potenzial-strömung handelt. Gegebenenfalls sollen die Potenzialfunktion Φ und die Stromfunktion Ψ bestimmt und in einer Skizze dargestellt werden. Aufgabe 11.1.3: Zeichnen Sie für den Ausfluss unter dem abgebildeten, unterströmten, senkrech-ten Planschütz das hydrodynamische Netz (gra-phisches Verfahren nach Prasil).


Aufgabe 11.1.4: Zu Entwässerungszwecken wird ein einseitig geschlitztes, ke-ramisches Drainagerohr mit dem Durchmesser D und der Schlitzbreite b ver-wendet, welches mit einer Scheitelüberdeckung der Höhe d verlegt wird. Skiz-zieren Sie das hydrodynamische Netz des Zuströmbereiches wenn a) der Schlitz nach oben und b) nach unten gerichtet ist. In welchem Falle wird die bessere Entwässerungs-

wirkung (größere Absenkung, geringere Verlegetiefe) erzielt? Aufgabe 11.1.5: Wie lautet die Kontinuitätsgleichung für eine Strömung in-nerhalb einer rotationssymmetrischen (festen) Berandung in Differenzialform, wenn eine Geschwindigkeit nur in radialer und axialer Richtung vorhanden ist? Eine Rotation soll nicht vorliegen.

dϕ

d z

V r

d rV z

r.dϕ

VVr

drrr+ ⋅

∂∂

VVz

dzrz+ ⋅

∂∂

r VVz

dzrz+ ⋅

∂∂

( )r dr d+ ⋅ ϕ

r

Aufgabe 11.1.6: Ermitteln Sie die Vertikalkräfte auf das in der Abbildung dargestellte Tiefschütz und benutzen Sie zur Lösung das hydrodynami-sche Netz.


100Auf11

Aufgabe 11.1.7: Das abgebildete Saugrohr einer Turbine ist zwecks rechneri-scher Kontrolle so ausgebildet, dass eine Potenzialfunktion f(r,z) vorhanden ist, welche die Kontinuitätsbedingung

∂ ϕ∂

∂ ϕ∂

∂ ϕ∂

2

2

2

2r2r r z

0+ ⋅ + =

in einfacher Weise erfüllt: ϕ(r, z) 3 c z c r2 2= ⋅ ⋅ − ⋅ . In 1 m Höhe über dem Boden betrage der Durchmesser des Saugrohres d = 1 m. a) Prüfen Sie die Kontinuitätsgleichung nach. b) Berechnen und zeichnen Sie das Saugrohr als Randstromlinie. c) Entwerfen Sie das hydrodynamische Netz, wobei durch jede der einzelnen

Stromröhren die gleiche Wassermenge (z.B. Q/4) fließen soll. Dabei wird dann π π π⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅d b d b d bi i1 1 2 2 usw. .

d) Zeichnen Sie die Potenziallinie (Spur der Potenzialfläche) durch den Punkt z = 0,7 m und r = 0,59 m

e) Berechnen und zeichnen Sie die Stromlinien (Spuren der Stromlinienfläche) durch die Punkte z = 1 m und r = 0,05 m sowie z = 1 m und r = 0,42 m.

Aufgabe 11.1.8: In der z-Ebene ist eine Parallelströmung in x- Richtung gege-ben. Diese Parallelströmung soll mit der Funktion ω = ⋅a z 2 in die w-Ebene ab-gebildet werden. a) Welche Funktionen (Kurven) ergeben sich für die Strom- und Potenzialli-

nien? b) Welche bekannte Strömung stellt diese Abbildung dar? c) Beweisen Sie die Orthogonalität der ermittelten Strom- und Potenziallinien! d) Berechnen Sie die Größe und Richtung der Geschwindigkeit (als Vielfaches

der Geschwindigkeit v0 der Parallelströmung) in den Punkten 0 0 1 1 2 1; , ; ;und .


Aufgabe 11.1.9: In der z-Ebene ist eine Parallelströmung in x- Richtung mit der Geschwindigkeit v0 gegeben. Diese Parallelströmung soll mit der Funktion ω π α= ⋅a z / 0 in die w-Ebene abgebildet werden. a) Welche Funktionen (Kurven) ergeben sich für die Strom- und Potenzialli-

nien? b) Welche bekannte Strömung stellt diese Abbildung dar? c) Spezialisieren Sie den Fall auf α0 = π/2 und beweisen Sie die Orthogonalität

der ermittelten Strom- und Potenziallinien! d) Berechnen Sie die Größe und Richtung der Geschwindigkeit (als Vielfaches

der Geschwindigkeit v0 der Parallelströmung) auf der Linie ψ = 0. 11.2 Grundwasserströmung Aufgabe 11.2.1: Ermitteln Sie die Geschwindigkeitsverteilung im Sickerwasser-strömungsfeld sowie die Durch- und Unterströmungsmenge pro Breiteneinheit für die nachfolgend dargestellten Stauanlagen mit Hilfe eines FEM-Sickerwasserströmungsprogrammes! Wählen Sie für die Sickerprismen in den Abbildungen c) und d) geeignete Erdstoffe aus.

a)


100Auf11

b)

c)

d)


Aufgabe 11.2.2: Gegeben ist das abgebildete Gebiet einer Flussaue mit voll-ständigem hydraulischen Anschluss an den Fluss und einem gespannten Aquifer. Besteht im stationären Fall die Gefahr, dass verunreinigtes Flusswasser in die Brunnen gelangt? a) Führen Sie eine Abschätzung durch einfache Bilanzierung der Zu- und Ab-

flüsse durch. b) Berechnen Sie die Wasserstände in den vorgegebenen Elementen von Hand

nach dem expliziten Verfahren der finiten Differenzen. c) Verwenden Sie ein numerisches Grundwassermodell mit der gegebenen Dis-

kretisierung. Transmissivität T1 = T2 = T3 = 0,05 m²/s T4 = T5 = T6 = 0,01 m²/s Entnahme Q2 = -0,001 m³/s Q6 = -0,005 m³/s Grundwasserneubildung GWN = 10-8 m³/s.m² = 10 l/s.km² Wasserstand im Fluss h1 = h4 = 10 m

Modellgebiet und Differenzen-Netz


100Auf11

Aufgabe 11.2.3: Die Durchströmung eines mit drei Sandzonen gefüllten Wür-fels (inhomogen, isotrop, gespannter Aquifer) soll untersucht werden. Die Po-tenzialdifferenz zwischen linkem und rechtem Rand betrage 10 cm. Im Fall 1 wird der Würfel parallel zu den Schichtgrenzen durchströmt, im Fall 2 senkrecht dazu.

0.35

m0.

30m

0.35

m

1m 1m

1m

Fall1 Fall2

k = 0,01 m/s

k = 0,001 m/s

k = 0,001 m/s

k

= 0

,01

m/s

f 2

k

= 0

,00 1

m/s

1fk

= 0

,001

m/s

1f

f

1f

2

1f

a) Ermitteln Sie die stationäre Druckhöhenverteilung, die Filtergeschwindigkei-

ten und den Durchfluss für beide Fälle. b) Welche Durchlässigkeitsbeiwerte müßten homogene Sandfüllungen aufwei-

sen, damit sich jeweils die gleichen Durchflüsse ergeben würden? Aufgabe 11.2.4: In der Mitte eines in Ost-West Richtung verlaufenden 1000 × 600 m² großen Grundwasserleiters befinde sich ein 350 × 200 m² großer Bereich anderer Durchlässigkeit. Während die Nord- und die Südbegrenzung des Aqui-fers undurchlässig sind, befinden sich an den anderen beiden Rändern feste Potenziale, die sich um Δh = 10 m unterscheiden. Die Mächtigkeit des Aquifers beträgt m = 10 m. Die Transmissivität wurde zu T = 0,01 m²/s bestimmt. Geben Sie den das hydrodynamische Netz für den Fall an, in dem a) der Innenbereich zehnmal durchlässiger ist bzw. b) die Transmissivität zehnmal kleiner als im übrigen Grundwasserleiter ist.


Aufgabe 11.2.5: Im abgebildeten Teil einer Flussniederung befindet sich an der bezeichneten Stelle ein Brunnen mit einer Entnahme von Q = -50 l/s. Der gespannte, m = 30 m mächtige Aquifer mit ei-ner effektiven Porosität von ne = 0,1 wird in Talmitte von einem Fluss mit dem festen Potenzial h = 115 m ü.NN und am hangseitigen Talrand von einem durchlässigen Rand mit einem Zufluss von Qzu = 9 l/s be-grenzt. Die Grundwasserneubildung beträgt GWN = 5 l/s.km². Für die Transmissivität wird T = 0,02 m²/s angegeben. a) Wie groß ist der Anteil des

Flusswassers an der Brunnenför-dermenge Q?

b) Welche Zeit wird mindestens vergehen, bis ein Schadstoff aus dem hydraulisch vollständig angeschlosse-nen Fluss den Brunnen erreicht.

c) Welche Schadstoffkonzentration wird im Brunnenwasser feststellbar sein, wenn der Fluss mit einem unlöslichen, auf dem Sickerweg nicht abbaubaren Stoff mit der Konzentration c = 1 mg/l verunreinigt wird. Die Dispersivität beträgt längs und quer zur Ausbreitungsrichtung αL = 50 m bzw. αT = 10 m.

4 0 0 0m

3 0 00 m

50l/s

GWN =

3 0 0 m

Q = 9 l / s

5 l / skm

ges

2

Fluss

12 Hydrodynamik der Gewässer 12.0 Grundlagen Beispiel für Eigenschaften von Flüssigkeitsstrahlen:

außerhalb d. Kernzone

x B x> ⋅ =5 2 0 0, x D x> ⋅ =6 2 0 0, x B x> ⋅ =10 4 20 0, /

x

Bo vo

xo

y vmaxDo vx

x r

vmax

x

Bo2

eben kreisrund eben, einseitig anliegend vvmax

0

2 28

0

1 2,

/xB

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

6 2

0

,x

D

2 41

20

3 8,

/

/xB

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

vv

x

0 2 28

0

1 2

42 452

,/

,

xB

eyx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅− ⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ 6 2

0

76 882

, ,

xD

erx⋅

− ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 41

20

3 8

1702

,

/

/xB

eyx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅− ⋅⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

QQ

x

0 0 62

0

1 2,

/⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

xB

0 32

0, ⋅

xD

0 59

20

3 8,

/

/⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

xB

Densimetrische Froudezahl:

Frv

g hΔ Δρ=

⋅ ⋅ρ

Beginn der Dichteströmung:

Frv

g hgr

T

T

Δ Δρ=

⋅ ⋅

<

ρ 2

0 866

,

,

126 12 Hydrodynamik der Gewässer

12.1 Flüssigkeitsstrahlen Aufgabe 12.1.1: In einen Fluss mit der näherungsweise gleich verteilten Fließgeschwindigkeit va = 1,2 m/s wird die Wassermenge Q = 0,7 m³/s durch ein Rohr NW 300 rechtwinklig zur Fließrichtung eingeleitet. Ermitteln Sie den Ausbreitungsbereich und die Geschwindigkeitsverteilung im Strahl sowie die Länge der Kernzone, wenn zumindest im Nahfeld von einer unbehinderten Strahlausbreitung ausgegangen werden kann.

12.2 Mischungsvorgänge, Dichteströmungen Aufgabe 12.2.1: Im Zufluss zu einer Talsperre tritt infolge einer Havarie ein Feststoffgehalt von c = 2000 mg/l Eisen-(III)-Oxid bei einer Temperatur von Tz = 12°C auf. Der Durchfluss beträgt Qz = 1,1 m³/s, die Flussbreite b = 4 m. Das Flussbett sei mit kSt = 15 m1/3/s sehr rauh. Das Sohlgefälle Io = 0,67% setzt sich wie auch die Flussbreite an der Talsperrensohle fort. Die Temperatur in der Talsperre beträgt T = 4°C. Bildet sich eine Grenzschicht aus? Wenn ja, wie ist deren Lage? Kommt es zu einem Fließwechsel im Wasserkörper? Welche Schlussfolgerungen ergeben sich für die Wassergüte?

Aufgabe 12.2.2: Aus einem Fluss mit q = 1,29 m²/s und TF = 20°C wird Kühlwasser entnommen und mit einer um 10° höheren Temperatur unterhalb wieder eingeleitet. Des Weiteren sind die folgenden Größen bekannt: Rauheit des Flussbettes kSt = 27,2 m1/3/s; Sohlgefälle Io = 0,0002; Gesamttiefe an der Einleitungsstelle h = 2,07 m; Restabfluss zwischen Entnahme und Einleitung q2 = 0,025 m²/s. Wie weit müssen Einleitung und Entnahme mindestens auseinander liegen, damit kein rückströmendes, erwärmtes Wasser in die Kühlung gelangt?

Aufgabe 12.2.3: Aus einem geschichteten See mit einer Temperatur des Epilimnions (Oberflächenschicht) von 20°C und einer Temperatur des Hypolimnions (Tiefenschicht) von 5°C soll über eine Leitung NW 400 der mittlere Abfluss Q = 0,2 m³/s aus dem Hypolimnion entnommen werden. Welche Tiefenlage unter der 20 m unter der Wasseroberfläche liegenden Sprungschicht (Metalimnion) muss die Entnahmeöffnung mindestens haben, damit kein epilimnisches Wasser mit abgezogen wird?

Lösungen

zur Aufgabensammlung


Stand vom April 2006

Hinweis: In Abhängigkeit von erforderlichen Zusatzannahmen, Schätzungen von Beiwerten, zulässigen Vereinfachungen und Rundungen können abweichende Ergebnisse erhalten werden. Die Lösungswege der mit gekennzeichneten Aufgaben sind ausführlich beschrieben in Martin, H.; Pohl, R.; Elze, R.: Technische Hydromechanik.- Band 3, Aufgabensammlung, Berlin: Verlag f. Bauwesen, 2. Auflage 2000, ISBN 3-345-00728-2. Literaturempfehlung: Bollrich, G.: Technische Hydromechanik.- Band 1, Berlin: Verlag f. Bauwesen, 5. Auflage 2000. ISBN 3-345-00744-4 Bollrich, G. u.a.: Technische Hydromechanik.- Band 2, Berlin: Verlag f. Bauwesen, 1989 Martin, H.; Pohl, R. u.a.: Technische Hydromechanik.- Band 4, Berlin: Verlag f. Bauwesen, 2000. ISBN 3-345-00682-0 Kinzelbach, W.; Rausch, R.: Grundwassermodellierung - Eine Einführung mit Übungen.- Berlin, Stuttgart: Gebr. Borntraeger 1995 Giles, R.V., Evett, J.B., Liu, C.: Fluid Mechanics and Hydraulics.- 3. Aufl., Schaum´s

Outline Series, McGraw-Hill Inc. 1993


Nr. THM 3 Ergebnisse

2.1 V20 =139 cm³ 2.2 n = 4,46 2.3 D = 6 mm 2.4 δ = 3,58 % 2.5 a) VW = 50,5 l; b) ∆p = 164 bar 2.6 ∆p = 5,05 Mpa, V500 = 0,9686 m³ 2.7 η = 0,23 Pa.s 2.8 h = -3,94 mm 2.9 a) ∆VW = 1m³; b) ∆VW = 1000 m³

3.1.1 a) ∆p = 93,2 kPa; b) ∆p = 4,39 kPa; c) H = 9,5 m, H = 0,448 m 3.1.2 a) pB = 137340 Pa, p = 166770 Pa; b) F1 = 6,54 kN; F2 = 32,7 kN; F3 = 3,27 kN; 3.1.3 a) z = 0,102x; b) z = -0,204 m 3.1.4 a x g z C⋅ = ⋅ + ; f = -z = 0,031 m; b = 0,177° 3.1.5

zg

r c= ⋅ +ω ²

²2

3.1.6 p = 74,68 kPa 3.1.7 a) h1 = 2 m; b) h2 = 0,819 m c) p = 18,9 kPa 3.1.8 A = 0,02 m² 3.2.1 a1 = 1,33 m; a2 = 2,44 m; a3 = 3,16 m; a4 = 3,74m; 3.2.2 a) FR = 103 kN b) FR = 145,7 kN 3.2.3 a) ∆p = 100,062 kPa , b) FA = 5,88 MN 3.2.4 FR = 2,192 MN; β = 57,7° 3.2.5 F1 = 122,6 kN; F2 = 52 kN; F3 = 157 kN; F4 = 157 kN; F5 = 4,9 kN; F6 = 16,7 kN 3.2.6 F = 406 kN; b = 14,4°; r = 4 m; x = 1,028 m 3.2.7 F = 842 N 3.2.8 a) b = 26,6° ⇔ 1 : m = 1 : 2 ; b) FL= 5,2 kN/m 3.2.9 d2 = 0,143 m; s2 = 0,82 m

3.2.10 a) ηGleit = 1,34; b) ηKipp = 3,42; c) p = 173,4 ......73,4 kPa 3.3.1 s h= ⋅

149

3.3.2 r1 =0,76 m 3.3.3 a) G = 23,8 kN; b) L2 - L1 = 0,227 m 3.3.4 G = 378 kN 3.4.1 a) VCu = 2,35 ⋅ 10-4 m³; VZn = 1,65 ⋅ 10-4 m³; b) Massenverhältnis Cu : Zn = 64,2 : 35,8;

c) ρMessing = 8175 kg/m³ 3.4.2 hM = 0,475 m > 0 3.4.3 a) F = 206 kN; b) F = 137,3 kN; c) F = 431,2 kN 3.4.4 a) F = 2268,6 N, b) x = 1,5 m 4.1.1 d1 = 0,25 m

Lösungen Technische Hydromechanik 129

100AufLös

4.1.2

4.2.1 b) Q =95,7 l/s 4.2.2 a) v = 5,77 m/s; b) p1 = 5118 Pa; p2 = 63520 Pa; c) y = 6,47 m 4.2.3 a) p1 = 202,9 kPa; p2 = 205,6 kPa; p3 = 157,5 kPa; p4 = ? kPa; p5 = ? kPa; v1 = 2,46 m/s; v2 =

0,76 m/s; v3 = 9,84 m/s; v4 = ? m/s; v5 = 15,38 m/s; b) Skizze; c) D3, min = 18,1 mm 4.2.4 v1 = 1,88 m/s; v2 = 0,85 m/s; hE1 = hE2 = 1,507 m; h1 = 1,33 m 4.2.5 D1= 0,201 m; D2= 0,203 m; D3= 0,291 m; 4.2.6 Bei der Darstellung von Druck- und Energielinie wird der Umgebungsluftdruck pamb = 0 gesetzt.

Es wird folgende Signatur verwendet:

a)

b)


4.2.6

c)

d)

e) f)/g)


100AufLös

4.2.6 h)

4.3.1 a) p0 = 0 kPa; p50 = 154 kPa; p500 = 247 kPa; b) FR = 156 N 4.3.2 F = 1,1 kN 4.3.3 FR = 4479 N; Richtung 4.3.4 FK = 6372 N; β = 15,76° 4.3.5 x = 0,57 m 4.3.6 a) FS = 19,1 kN; b) P = 334 kW 4.3.7 C = 13,7 kN/m 4.3.8 F = 618000 N; α = 1,48° 4.3.9 ß = 11,76°; Gelenkkraft F = 593,4 N; Kraftrichtung α = 82,74°

4.3.10

31

cos1cos1

QQ

2

1 =β+β−

=

5.1.1 Q1 = 0,295 m³/s; Q2 = 0,127 m³/s 5.1.2 hV = 9,55 ⋅ 10-7 m 5.1.3 k = 0,3 mm 5.1.4 a) hV = 0,47 m; b) hv = 0,97 m (... 1,33 m); c) λ = 0,0122 5.1.5 L1 = 170 m


5.1.6 a) ideal

b) Q = 1,25 m³/s; pB = 137,3.10³Pa

a) real

b) Q = 0,19 m³/s; c) hV Einlauf = 0,18 m;

hV Krümmer = 0,09 m; hVR = 15,25 m; d) k = 0,73 mm

5.1.7 τ0 = 90 N/m²; IE = 0,00612 5.1.8 a) IE = 0,00575 ;b) hVE = 1,03 m; c) τ0 = 84,4 Pa 5.1.9 b) ae = 0,722 m; c) Q = 32,67 m³/s; d) QH/QÜ = 4,95

5.1.10 k = 5,6 mm 5.1.11 a) kf = 0,001 m/s; b) Mittelsand; c) hV = 9,4 . 10-7 m 5.2.1 Q = 0,6 m³/s 5.2.2 s/D ≈ 0,5 5.2.3 Q = 31,7 m³/s 5.2.4 a) Q = 132 l/s; b) hV = 0,05 m 5.2.5 ξE 0,5 0,4 0,562 1,0 2,17 <0,13 0,09 0,3 0,62

hS[m] 0,372 0,298 0,419 0,744 1,6 <0,096 0,067 0,22 0,46 5.3.1 P = 85 kW 5.3.2 Q ≈ 0,16 m³/s; HR ≈ 12,3 m 5.3.3 hgeo, S = 3,31 m 5.3.4 a) Skizze; b) H = 21,94 m

c) RKL Q [m³/s] 0 20 40 60 72 80 HRohr [m] 15 15,54 17,14 19,82 21,94 23,57 Pumpe C; d) P = 5380 W; e) Saugrohrdurchmesser Saughöhe

5.3.5 d > 1,16 m 5.3.6 a) H = 93 m; b) Skizze c) e = 2,4 m 5.3.7 Q = 0,00746 m³/s; H = 17,66 m; P = 1290 W; Skizze 5.3.8 a) Arbeitspunkt Q = 0,7 m³/s; H = 25 m; b) P = 235 kW


100AufLös

5.3.9 D > 0,592 m; gewählt 0,6 m; v = ? m/s 5.3.10 D > 1,060 m; gewählt 1,10 m; η = 0,956 5.3.11 a) DW = 0,85 m; P = 1,36 MW; b) DW = 0,768 m 5.3.12 Arbeitspunkt Q = 0,107 m³/s; H = 21,25 m; P = 22,3 kW 5.3.13 ( )M Q v r v r P M= ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ρ α α ω1 1 1 2 2 2c o s c o s ; 5.3.14 a) P = 154 kW ; b) n = 131 min-1 5.3.15 n = 420 min-1 ; P = 618 kW 5.4.1 Annahme v = 1,5 m/s; DN1= DN2= 400; DN3= DN4= 700; DN5= DN6= DN7= 800;

Σh m mk = <29 67 30, 5.4.2 e = 0,66 m 5.4.3 Q = 9,57 m³/s 5.4.4 a) hV1/hV2 = 3;

b)

c) hV1 = 20,81 m

5.4.5 Masche Strang Durchmesser bei

v = 1,5 m/s [m] Durchmesser gewählt

[m] Q

[m³/s] 1 1 0,316 0,25 0,099 9 0,165 0,15 0,015 12 0,240 0,25 -0,087 8 0,322 0,30 -0,141 2 2 0,154 0,15 0,027 3 0,041 0,10 -0,003 10 0,149 0,20 -0,031 9 0,165 0,15 -0,015 3 10 0,149 0,20 0,031 4 0,029 0,10 0,003 5 0,117 0,10 -0,012 11 0,182 0,15 -0,035 4 12 0,240 0,25 0,087 11 0,182 0,15 0,035 6 0,041 0,10 -0,002 7 0,177 0,20 -0,037

5.4.6 Knoten 7 6 5 4 3 2 1

hKE [m ü.NN] 74,7 74,71 75 76,05 79,2 82,35 102,21 5.4.7 Q = 0,41 m³/s; H = 29,45 m 5.4.8 Masche 1 Strang 2 4 5 7

0,419 -0,281 0,143 -0,181 Masche 2 Strang 3 5 6 8

0,276 -0,143 0,276 -0,224


5.4.9 nach dem zweiten Berechnungszyklus: Strange und Durchflüsse [m³/s]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -149,61 111,36 103,28 87,54 38,25 26,25 19,33 25,07 8,08 5,74 4,93 77,61

5.4.10 a) Q1= 51 l/s; Q2= 20 l/s; Q3= 71 l/s b) s/D =0,1 für Schieber DN 300 c) Q = 48,3 l/s

5.4.11 a) ζ = 4,95 b) d0 = 40 mm c) hV = 0,51 m

6.1.1 a) nein Q = 75,24 m³/s; b) ja 6.1.2 H [m] Q [m³/s] 0,00 1,00 4,848 2,00 14,815 3,00 27,607 4,00 42,271 5,00 58,273 6,00 75,279 7,00 93,065

6.1.3 a) Q = 7,38 m³/s; b) τ0 = 1,69 Pa; c) h ≈ 1,75 m 6.1.4 I = 0,0287 % 6.1.5 a) Q = 63,1 m³/s; b) vM = 1,2 m/s 6.1.6 I = 0,01 %; Q = 8,677 m³/s 6.1.7 Q = 2,56 m³/s 6.1.8

a) b) Q = 398 m³/s

6.1.9 a) h1= 2,2 m Strömen; I1= 0,0784%; h2= 0,9 m Schießen; I1= 1,14%; b) hkrit= hgr= 1,40 m; Ikrit= Igr= 0,322%

6.1.10 a) I = 0,35%; b) Q = 31,3 m³/s 6.1.11 a) h = 2,50 m; b/2 = 12,50 m; H = h+fb = 3 m; b) dm > 2 cm;

c) größer, wegen Hangabtriebskomponente; d) d2 ≥ 40 cm 6.1.12 a) nein, τvorh = 5,45 N/m² < τcrit= 9 N/m²;

b) mG = 0 für h ≤ 1,5 m, mG(2 m)=0,035 kg/ms, mG(2,5 m)=0,1 kg/ms¸ mG(4,5 m)=0,473 kg/ms c) VG = 2,4 m³ Rinne 48 cm tiefer

6.2.1 a) b = 4,385 m; bw = 8,755; h = 3,800 m; b) I = 0,0402 % 6.2.2 a) h = 1,73 m; b = 3,46 m; b) FS = 14,68 kN/m; M = 8,466 kNm/m; c) schießend d) ja 6.2.3 a) b = 13,25 m; b) nein


100AufLös

6.2.4 a) Durchfluss nicht abführbar; b) h = 1,11 ... 1,29 m ; Q = 6,66....7,74 m³/s; c) h = 1,5 m 6.2.5 a) Q = 0,048 m³/s, v = 0,846 m/s, Strömen im flachen Kanal b) hsteil = 0,0825 m Schießen c)

GemischA / WasserA = 1,057 6.3.1 a) Q = 0,256 (m3/2/s) . hE

3/2; b) Q = 33 l/s 6.3.2 hu = 3,529 m; hs = 0,021 m 6.3.3 a) bG = 2,44 m; b) h'E min = 2,06 m < hEu = 2,11 m; c) hV = 0,18 m 6.3.4 z = 0,086 m 6.3.5 hR = 3,49 cm ... 6,09 cm 6.4.1 a) vorh h2 = 0,8 m > erf h2 = 0,75 m; b) mit Deckwalze 6.4.2 δopt = 0,55 m 6.4.3 a) h1= 0,373 m anliegender Wechselsprung (Gleichgewicht der Stützkräfte);

b) h1< 0,373 m Wechselsprung wandert nach Unterwasser; h1> 0,373 m überdeckter Wechselsprung; c) hV = 4,04 m; d) LT = 18,4 m (USBR); e) v0 = 0,6 m/s

6.5.1 Wassertiefe am Stollenende = 2,74 m 6.5.2 h1 = 2,37 m 6.5.2

6.5.4 Station x (m)

Wasserspiegel hgeo (m ü.NN)

Wassertiefe h (m)

0 123,750 3,75 -440 123,826 3,65 -913 123,915 3,55 -1428 124,021 3,45 -1995 124,148 3,35 -2632 124,303 3,25 -3393 124,507 3,15 -4360 124,794 3,05 -5732 125,243 2,95 -8348 126,189 2,85 -9956 126,812 2,83

6.5.5 Station x (m)

Wasserspiegel hgeo (m ü.NN)

Wassertiefe h (m)

a) I = 0,025%;

0 382,000 3,100 b) -1225 382,102 2,896 c) lStau = 6800 m -2450 382,233 2,721 -3675 382,397 2,579 -4900 382,595 2,471 -6125 382,823 2,393 -7350 383,076 2,340 -8575 383,348 2,306 -9800 383,633 2,284 -11025 383,926 2,271


6.5.6 a) Q = 15 m³/s; b) l1 = 1493 m; l2 = 23 m 6.5.7

Wasserspiegellagenberechnung

99

100

101

102

103

104

105

106

107

108

050100150200250300350

Station [m]

Höh

e [m

]

geodätische SohlhöheWasserspiegelEnergiehöheGrenztiefe

Station geodätische

Sohlhöhe Wasserspiegel Energiehöhe Grenztiefe

m m m m m 300,00 106,00 106,56 106,72 106,47 200,00 105,00 105,47 105,70 105,47 160,00 104,00 104,42 104,71 104,47 140,00 102,10 102,38 103,05 102,57 135,00 102,05 102,46 102,76 102,52 120,00 101,10 101,41 101,94 101,57 110,00 101,00 101,69 101,80 101,47 100,00 101,00 101,56 101,72 101,47 0,00 100,00 100,80 100,88 100,47

7.1.1 a) Qmax = 3,14 m³/s; b) Q1 = 1,956 m³/s; c) Δpmax = 0,264 Mpa; d) s = 14,66 mm 7.1.2 a) ha min = 87,4 mWS; b) hb min = 80,7 mWS 7.1.3 a) Q = 1,36 m³/s; b) ts = 154 s; tö = 139 s


Aufgabensammlung Hydromechanik 2004 - Ergebnisse

7.1.4

0 ,1

0

0 ,2

0 ,3

0 ,4

0 ,5

0 ,6

0 ,7

0 ,8

0 ,9

1

0 2 4 6 8

H ö h e R o h ra c h se in R o h rm itte (b )1

1 2 01 4 0

−

H ö h e R o h ra c h se a m R o h re n d e

W a sse rsp ie g e lh ö h e im B e h ä lte r

D ru c k v e rla u f a m R e g e lo rg a n (a )

D ru c k v e rla u f in R o h rm itte (b )

*5 s t

h

Am Regelorgan Druckabfall bis auf ca. 1,5 m.

7.1.5 Größte Absenkung der absoluten Druckhöhe nach 5,5 s: hP = 48,56 m WS Größter Anstieg der absoluten Druckhöhe nach 14,5 s: hP = 169,89 m WS

7.2.1 hw = 7,80 m 7.2.2 a) h0 = 3,831 m; b) Qmin = 48,468 m³/s; Qmax = 182,77 m³/s 7.2.3 zmax = 1,229 m 7.2.4 z = 1,63 m 7.2.5 a) z = 5.92, h3 = 7,92 m; b) v3 = 10,38 m/ s; c) wu = 50 km/h 8.1.1 µ = 0,77 8.1.2 a = 1,0 m 8.2.1 a) µ = 0,62; b) tE1 = 1092 s; c) tE2 = 144,55 s; d) tE3 = 299,83 s; e) h = -3,059 mWS 8.2.2 t = 122,28 s für z = 3,597 m 8.2.3 tE ≈ 203 h 8.2.4 z r d m= ⋅ ⋅ ⋅− −4 4 42 265 10, ; z1 = 0,15 m; z = 1415,6 m-3.r4 8.2.5 Qmax = 1,121 m³/s; tQmax = 20 s, weil volle Öffnung erreicht (rechnerisch tQmax = 25 s) 8.2.6 vS = 1 cm/s


8.2.7

a) 0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

1 8

2 0

2 2

2 4

2 6

2 8

3 0

3 2

0 4 8 1 2 1 6 2 0 2 4 t [h ]

Q [m 3/s ]

Q A

Q Z

b) A a b m m m= ⋅ = ⋅ =0 8 13 1 04, , , ² c) H m≈13

8.2.8 Verlängerung um ca. 17,2% der Zeit 8.3.1 α = 28,7° 8.3.2

8.3.3 a) Q = 25,85 m³/s; b) F = 1149 kN 8.3.4

( ) ( )p

gh y

sh s

h sh s yρ ⋅

= − ++

−⋅

+ ⋅00

02

0

² ²²

mit h0 = 5 m und s = 0,05 m

9.1.1 Q = 0,45 m³/s 9.1.2 h = 0,84 m 9.1.3 h1standard = 0,70 m; h1scharfk. = 0,80 m; h2standard = 0,74 m; h2scharfk. = 0,94 m 9.1.4 Q = 23,8 m³/s 9.1.5 ( ) ( )Q g b h h h h hGes = ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ + − −⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

μ β α β243

8150

3 2 5 20

5 2/ / /tan (tan tan )

9.1.6 Q = 0,02 m³/s 9.1.7 z ≤ 86,48 m ü.NN


100AufLös

9.2.1 w = 0,55 m; h = 0,32 m; s ≈ 1,3 m 9.2.2 b = 10,64 m; hB = 0,52 m; w = 0,96 m 9.2.3 b = 20 m , falls h0 = 1 m = Entwurfsüberfallhöhe = Bemessungsüberfallhöhe 9.2.4 s. Bollrich, G.: Technische Hydromechanik I, Abschnitt Schachtüberfälle 9.2.5 a) Q = 23 m³/s; b) Q = 25,5 m³/s; c) Q = 27,25 m³/s; d) pmin = -2 kPa (zulässig) 9.2.6 a) QÜ = 102 m³/s; b) ja

10.1.1 a) QM,Reynolds = 75 l/s; QM,Froude = 12,3 l/s;

b) glatt: Reynolds; rauh: Froude; Grenze rauh/Übergangsbereich: Re=⋅⋅

200 Dkλ

(s. THM I)

10.1.2 Naturgröße Übertragungsfaktor Modellgröße

Abflussscheitel Q 200 m³/s ML5/2 = 55,9 3,58 m³/s

Staufläche A 10000 m² ML2 = 25 400 m²

Dauer t der Hochwasserwelle

3 h ML0,5= 2,236 1,342 h

maximale Überfallhöhe h 1 m ML = 5 0,2 m

Sohlgefälle I 1 % ML0 = 1 1%

Länge L des Abschlußbauwerkes

200 m ML = 5 40 m

Druckkraft F auf die Schütztafel

1 MN ML3 = 125 8 kN

Fließgeschwindigkeit v 5 m/s ML0,5= 2,236 2,236 m/s

Stauraum V 100000m³ ML3 = 125 800 m³

10.1.3 a) QM = 12,6 l/s; b) λM = 0,0342; c) l = 0,0319 < 0,0342 10.1.4 DM = 0,159 m

10.1.5 Naturgröße Übertragungsfaktor Modellgröße Länge des Hafens 10 km ML = 200 50 m Breite des Hafens 3 km ML = 200 15 m Tiefe des Hafenbeckens 16 m MH = 11,7 1,37 m Durchfluss 2000 m³/s ML

. MH1,5 = 8004 0,25 m³/s

Länge der Mole 600 m ML = 200 3 m Tiefe des Jachthafens 5 m MH = 11,7 0,43 m 10.1.6 kSt, Modell = 74,1 m1/3/s 10.1.7 dM = 27,5 mm; h/hM = 2,73; Q/QM = 12,31 10.2.1 P C g Q H= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ρ 10.2.2 s k G g t= ⋅ ⋅ ⋅0 ² 10.2.3

[ ]F K Av

o d e r F c Avb

D= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅−22 2

R e² ²

ρ ρ

10.3.1 v = 4,21 m/s 10.3.2 ΔR/R ≤ 0,0587 11.1.1 b) p = 58,4 Pa; c) Q = 54 l/h 11.1.2

Potenzialströmung ; ϕ ψ( , ) ; ( , ) ( ² ²)x yU x y

Lx y

UL

y x=⋅ ⋅

=⋅

⋅ −2

2 ; Eckenströmung

11.1.5 ∂ ϕ∂

∂ϕ∂

∂ ϕ∂

²²

²²r r r z

+ ⋅ + =1

0


11.1.7 a) erfüllt

b) zr² = const = 0,25 m³ d) r 0,5 0,4 0,2 0 z 0,664 0,638 0,583 0,561 - e) r 0,5 0,1 0,01 0,005 0,0025 z 0,0709 0,158 0,5 0,707 1,0

11.1.8 a) ( )ϕ ϕ ψ

ψ= ⋅ − ⇔ =± − = ⇔ =a x y y x a axy y

ax² ² ² / 2

2; b) ebene Staupunktströmung

11.1.9 a) ϕ α ψ α= ⋅ = ⋅r n r nn ncos( ) ; sin( ) ; b) ebene Eckenströmung in Polarkoordinaten

11.2.2 nein, weil das Wasser trotz Brunnenentnahme zum Fluss fließt: h1 = h4 = 10 m, h2 = 10,24 m, h3 = 10,43 m, h5 = 10,32 m, h6 = 10,41 m

11.2.3

Q1 = 0,37 l/s Q2 ≈ 0,13 ... 0,16 l/s

11.2.5 a) ≈ 20%; b) ≈ 260 d; c) c ≈ 0,22 mg/l 12.1.1 m 10 20 30 40 v vomax / 0,8 0,57 0,45 0,38 vmax (m/s) 7,9 5,64 4,45 3,76

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

vmax(x=3m)=7,9 m/s

vmax(x=6m)=5,64 m/s

vmax(x=9m)=4,45 m/s

vmax(x=12m)=3,76 m/s


100AufLös

12.2.1

12.2.2 h2 kr = 0,28 m; qGesamt = 1,29 m²/s; q2 = 0,025 m²/s; h2 = 1,15 m

12.2.3 hE = 0,98 m

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