DA Banisch

Bauhaus-Universitat WeimarFakultat BauingenieurwesenProfessur Werkstoffmechanik

Diplomarbeit

Numerische Analyse von bewehrtem und unbewehr-

tem Beton mit kontinuumsmechanischen Materialmo-

dellen im Rahmen der FEM

eingereicht von Anett Banischgeb. am 01.02.1978 in SangerhausenSeminargruppe B/97/F

Reg.-Nr. B/2003/27

Erstprufer: Prof. Dr.-Ing. M. VormwaldZweitprufer: Dipl.-Ing. E. Herz

Ausgabedatum: 03.04.2003Abgabedatum: 03.07.2003

Prof. Dr.-Ing. RautenstrauchVorsitzender des Prufungsausschusses

Inhaltsverzeichnis

I Einfuhrung und Theorie 7

1 Zielstellung 8

2 Kontinuumsmechanik 9

3 Materialgesetze in ABAQUS 14

3.1 Elastisch-Plastisches Materialgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Betonmodell in ABAQUS/Standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 Rissmodell in ABAQUS/Explicit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Materialgesetze in ATENA 27

4.1 SBETA-Materialgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2 Nichtlineares Materialgesetz fur Beton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3 Weitere Materialgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.4 Verifizierung der Implementierung an einem Element . . . . . . . . . . . . 38

4.4.1 Eingabeparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.4.2 Einachsige Zugbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.4.3 Zweiachsige Zugbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.4.4 Einachsige Druckbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.4.5 Zweiachsige Druckbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.4.6 Druck-Zug-Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.4.7 Schubbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5 Kombination von Plastizitat und Schadigung 45

5.1 Theoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2 Eingangsparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.3 Verifizierung der Implementierung an einem Element . . . . . . . . . . . . 51

5.3.1 Einfluss der Elementart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.3.2 Einachsige Zugbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3.3 Zweiachsige Zugbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.3.4 Einachsige Druckbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.3.5 Zweiachsige Druckbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.3.6 Druck-Zug-Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.3.7 Zyklische Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6 Explizite/Implizite FEM 60

3

4 INHALTSVERZEICHNIS

II Unbewehrter Beton am Beispiel eines Modellbetons 65

7 Experiment 667.1 Beton unter Druckbelastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.2 Experimente an der Universitat Darmstadt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8 ABAQUS 698.1 Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8.1.1 Kleines Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698.1.2 Streifenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708.1.3 Viertelmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708.1.4 Materialparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.2 Elastisch-Plastisches Materialgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718.3 Explizite Berechnung mit dem Rissmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728.4 Berechnungen mit dem am ISM implementierten Materialgesetz . . . . . . 74

9 ATENA 759.1 Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759.2 Eingabeparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769.3 Globales Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779.4 Rissbilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799.5 Verschiebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819.6 Spannungsverlaufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

10 Vergleiche 8810.1 Vergleich zwischen ABAQUS und SBETA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8810.2 Vergleich mit dem Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

III Bewehrter Beton am Beispiel eines Einfeldtragers 91

11 Versuchsanordnung und Geometrie des Tragers 92

12 Zusammenfassung bisheriger Ergebnisse 9412.1 Berechnungen mit ANSYS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9412.2 Implizite Berechnungen mit ABAQUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

12.2.1 Balkenelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9512.2.2 Kontinuumselemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

13 Berechnung mit ABAQUS/Explicit 97

14 Benutzung des Materialmodells des ISM 9814.1 Materialparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9814.2 Berechnung mit 3D-Kontinuumselementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9814.3 Berechnung mit einachsigen Balkenelementen . . . . . . . . . . . . . . . . 99

14.3.1 Betrachtungen zum Elementtyp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9914.3.2 Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10014.3.3 Berechnungen mit elastisch-plastischem Druckbereich . . . . . . . . 100

INHALTSVERZEICHNIS 5

14.3.4 Berechnungen mit nichtlinearem Druckbereich . . . . . . . . . . . . 102

IV Zusammenfassung und Ausblick 109

Literaturverzeichnis 111

Abbildungsverzeichnis 113

A Erganzungen zu den Verifizierungsrechnungen 119A.1 SBETA-Materialmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

A.1.1 Schubbeanspruchung nach Rissbildung durch Zugbeanspruchung . . 119A.1.2 Druck-Schub-Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

A.2 Nutzersubroutine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

B Anlagen zum Modellbeton mit SBETA 127B.1 Globales Verhalten bei einzelnen variierten Parametern . . . . . . . . . . . 127B.2 Rissbilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129B.3 Verschiebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130B.4 Spannungsverlaufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

C Diagramme zum Balken mit der Umat-Routine 139C.1 Elastisch-Plastischer Druckbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139C.2 Nichtlinearer Druckbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

D Inputfiles 145D.1 Inputfiles zu den Elementtest mit der Umat-Routine . . . . . . . . . . . . 145D.2 Inputfiles zum Modellbeton in ABAQUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149D.3 Inputfiles zum Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6 INHALTSVERZEICHNIS

Teil I

Einfuhrung und Theorie

7

Kapitel 1

Zielstellung

Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, das Verhalten von Beton mit Hilfe von Finite-Elemente-Rechnungen praxisnah nachzuempfinden. Zu diesem Zweck werden zum einen Rechnun-gen mit den FE-Programmen ABAQUS und ATENA durchgefuhrt und diese zum ande-ren durch ein Materialgesetz nach Polling [19] in Form einer Nutzersubroutine erganzt.Schwierigkeiten bestehen dabei einerseits in numerischen Problemen und andererseits inder Formulierung der FE-Netze, da es aufgrund des quasi-sproden Verhaltens von Be-ton zu Lokalisierung der Schadigung kommen kann, was nicht selten zu netzabhangigenLosungen fuhrt.Im ersten Teil der Arbeit wird ein Uberblick uber die den Beton betreffenden Grundlagender Kontinuumsmechanik gegeben. Weiterhin werden die theoretischen Hintergrunde derverwendeten Materialmodelle erlautert. Außerdem werden zum besseren Verstandnis undzur Uberprufung der grundsatzlichen Tauglichkeit der einzelnen Ansatze fur die im zwei-ten und dritten Teil der Arbeit behandelten Beispiele Verfizierungsrechnungen an einemElement durchgefuhrt. Im weiteren wird versucht mit Hilfe dieser Modelle experimentelleDaten nachzurechnen.Ein unbewehrter ebener Modellbeton [17] dient als Grundlage des zweiten Teils der Ar-beit. Hier geht es in erster Linie darum, den Versagens- und Rissmechanismus von Betonunter einachsiger Druckbeanspruchung nachzubilden. Es soll gezeigt werden, dass die Ris-se in der Zone zwischen Zuschlagskornern und Matrix beginnen und im weiteren zwischenden Zuschlagskornern zusammenwachsen.Als weiteres Beispiel steht im dritten Teil der Arbeit ein Vier-Punkt-Biegeversuch aneinem schwach bewehrten Balken [9] zur Verfugung. Hier besteht das Hauptziel im Er-reichen der Bruchlast und in Abbildung eines praxisnahen Verformungsverhaltens. Dazuwerden neben Kontinuumselementen auch Balkenelemente benutzt.Abschließend wird ein vergleichender Uberblick uber die Leistungsfahigkeit der bestehen-den Materialmodelle gegeben und das am Institut fur Strukturmechanik implementierteMaterialmodell auf seine bisherige Funktionstuchtigkeit bewertet, so dass notige Verbes-serungen bzw. Vervollstandigungen zu Tage treten.

8

Kapitel 2

Kontinuumsmechanik

Die einfachste Form von Kontinuumsgleichungen ist die lineare. Dabei werden folgendeAnnahmen getroffen:

• Die konstitutive Gleichung ist linear, d. h. das Hooke’sche Gesetz gilt.

• Der geometrische Ansatz ist linear, d. h. die quadratischen Anteile werden igno-riert. Das bedeutet, dass Form- und Positionsanderungen des Modells wahrend derAnalyse vernachlassigt werden.

• Die Lagerbedingungen und die Lasten sind konservativ, d. h. sie sind unabhangig vonder Zeit und von strukturellen Deformationen konstant wahrend der Berechnung.

Fur eine große Anzahl von Strukturen sind die linearen Vereinfachungen zulassig, fur einigemuss jedoch nichtlineares Verhalten berucksichtigt werden. Dann werden die Gleichungenwesentlich komplizierter und sie haben meist keine geschlossene Losung mehr, so dassnichtlineare Iterationsverfahren benutzt werden mussen. In vielen Fallen, wie auch fur diemeisten Stahlbetonstrukturen, reicht es jedoch aus, nichtlineares Materialverhalten zuberucksichtigen, da die Verschiebungen relativ gering sind. Die geringe Zugfestigkeit desBetons bzw. die daraus resultierenden Risse mussen ebenfalls durch nichtlineare Ansatzeberucksichtigt werden. Dies geschieht entweder wiederum uber die Materialdefinition oderdurch Anderung der Geometrie.

Bruchhypothesen und Energiebetrachtung

Da Beton je nach Beanspruchungsart und Bewehrung in der Regel auch nach dem Reissennoch einen Großteil seiner Tragfahigkeit behalt, stellt sich die Frage nach einem globalenVersagenskriterium. Aufgrund des sehr unterschiedlichen Verhaltens von Beton im Zug-und Druckbereich erweisen sich viele der herkommlichen im folgenden nach [20] darge-stellten Bruchhypothesen als nicht geeignet oder ungenugend fur Beton.

Normalspannungshypothese: Bruch tritt ein beim Uberschreiten eines vom Materialabhangigen Grenzwertes, der einachsigen Festigkeit, durch eine der Hauptspannun-gen, unabhangig davon, welchen Wert die anderen beiden Hauptspannungen anneh-men. Bei der erweiterten Normalspannungshypothese wird der Einfluss der anderenHauptspannungen berucksichtigt. Dies ist ein Ansatz fur sprode Materialien und furBeton nur im Zugbereich geeignet.

9

10 KAPITEL 2. KONTINUUMSMECHANIK

Dehnungshypothese: Versagen tritt durch Uberschreiten einer Grenze fur die Zugdeh-nung oder Druckstauchung ein. Bei Druckbeanspruchung kommt es zum Versagendurch Uberschreiten der Druckstauchung, oder der Zugdehnung aus Querdehnung.

Verformungsenergiehypothese: Ein Grenzwert fur die Formanderungsarbeit wird ein-gefuhrt. Die Bruchbedingung entspricht einem Zylinder, dessen Radius von der Ver-gleichsspannung abhangt. Fur Beton ist dieser Ansatz ungeeignet.

Schubspannungshypothese: Dieses Modell ist fur Beton ungeeignet, da es fur Mate-rialien mit gleicher Zug- und Druckfestigkeit entwickelt wurde. Fur das Eintretendes Bruches ist die maximale Schubspannung entscheidend.

Mohr’sche Spannungskreise: Fur einachsige Beanspruchung ist dieses Kriterium be-dingt geeignet, da Gleitbruch als Versagensmechanismus vorausgesetzt wird, beiBeton jedoch vermutlich Spaltbruch auftritt. ⇒ Ein Spannungskreis, der nichtli-neares Anwachsen der Schubspannung abhangig vom Material abbildet, wurde furBeton noch nicht gefunden. Da die mittlere Hauptspannung unberucksichtigt bleibt,kann mehrachsige Belastung hiermit nicht abgebildet werden.

Berucksichtigung der mittleren Hauptspannung mit Oktaederdarstellung: Einbeliebiger Spannungszustand wird in seinen hydrostatischen und deviatorischen An-teil (Oktaederschubspannung) zerlegt. Der Grenzwert der Schubspannung hangt vonHohe der Normalspannung und der Belastungscharakteristik ab. Es entstehen somitraumliche Bruchflachen, die von Rotationsflachen abweichen.

Neben diesen herkommlichen Ansatzen werden haufig auch Energiebetrachtungen beimRissfortschritt herangezogen. Die Energiebilanz besagt, dass jeder Korper uber seineOberflache in Wechselwirkung mit seiner Umgebung steht und mit dieser Energie tauscht.Die Volumen- und Oberflachenkrafte leisten bei einer Bewegung Arbeit und die zeitlicheAnderung der inneren Energie entspricht der kinetischen Energie der Leistung der auf denKorper wirkenden Krafte und der von außen zugefuhrten Energie nicht-mechanischer Art[16].Die Gesamtenergie eines Korpers oder Kontinuums setzt sich aus der inneren Energie desSystems, der potentiellen Energie eventuell vorhandener Volumenkrafte und der Umge-bungsenergie, mit der das System in Wechselwirkung steht (z.B. Belastung), zusammen.Ist in dem Kontinuum ein Defekt vorhanden (z.B. ein Riss) hangt die Energie von derPosition dieses Defektes ab, d.h. dass die Verlagerung eines Defekts Energieanderung zurFolge hat. Nach [16] ergeben sich aus den Erhaltungssatzen fur Translation, Rotation undAhnlichkeit (Translationsinvarianz, Rotationsinvarianz) das J-Integral als Energiefreiset-zungsrate, das L-Integral als Energiefreisetzungsrate bei der Drehung eines Defekts unddas M-Integral als die Energiefreisetzungsrate einer selbstahnlichen Vergroßerung des Lo-ches bzw. Risses. Das J-Integral beschreibt den Anteil der Energie, der dem System beider Bewegung des Defektes relativ zum Material entzogen wird:

∂Π

∂δi

= −Ji

wobei Π die Gesamtenergie bzw. das Potential eines Korpers ist. In der nichtlinearenBruchmechanik ubernimmt das J-Integral die Rolle des steuernden Parameters fur die

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Rissinitiierung und teilweise auch fur das Risswachstum, indem sie einem materialspe-zifischen Wert gegenubergestellt wird. Schnelles Risswachstum und Bruch in sprodemMaterial treten dann auf, wenn die Energiefreisetzungsrate J infolge Rissverlangerunggroßer ist, als die Energierate, die durch Bildung freier neuer Oberflachen gewonnen wird(Bruchflachenenergie).

Beschreibung der Rissausbreitung

Die Rissausbreitung in Betonkorpern kann mit Modellen der nichtlinearen Bruchmecha-nik beschrieben werden. Im Unterschied zur linear-elastischen Bruchmechanik wird beiModellen der nichtlinearen Bruchmechanik nicht vorausgesetzt, dass beim Bruch einesKorpers eine vollstandige Umsetzung der von außen zugefuhrten Energie in die Ober-flachenenergie der Bruchflachen erfolgt. Damit wird berucksichtigt, dass es in sogenanntenBruchzonen zur Bildung von Mikrorissen und damit zu einer Energiedissipation im dieendgultige Rissflache umgebenden Material kommt. Die in der Bruchprozesszone statt-findenden strukturellen Anderungen sind mit Anderung der lokalen mechanischen Eigen-schaften verbunden. Mit zunehmender Schadigung werden die Steifigkeit und die maximalertragbare Zugspannung kleiner [21].Um den Prozeß der lokalen Schadigung im Beton zu beschreiben werden eine kritische Be-anspruchungsgroße fur den Beginn der lokalen Schadigung, meist die einachsige Zugfestig-keit, und die Energie pro Flacheneinheit, welche lokal bis zur vollstandigen Durchtrennungdes Materials aufgewendet werden muss, die sogenannte materialspezifische Bruchenergie,als Materialparameter benotigt. Des weiteren muss eine Funktion bestimmt werden, wel-che den Verlauf der Anderung der lokalen mechanischen Eigenschaften im Prozeß derSchadigung beschreibt (z.B exponentielles oder lineares Entfestigungsverhalten).Bei der Modellbildung fur das mechanische Verhalten nach Beginn der Schadigung un-terscheidet man das lokale und das nicht lokale Konzept. Bei dem lokalen Konzept wirdvorausgesetzt, dass die Beziehung zwischen Spannung und Verformung an einem Punktunabhangig vom Verformungszustand in der Umgebung dieses Punktes ist. Das lokaleKonzept kann nach [21] mit obengenannten Parametern vollstandig beschrieben werdenund wird in den meisten Anwendungen benutzt. Beim nicht lokalen Konzepten ist dieSpannung in einem Punkt nicht nur von der Verformung an diesem Punkt, sondern auchvom Verformungsumfeld in der Umgebung dieses Punktes abhangig. Das nicht lokale Kon-zept kommt dem realen Materialverhalten naher, erweist sich jedoch als komplizierter beider Modellbildung und Implementierung in numerische Methoden.

Abbildung von Rissen in der FEM

In der FEM werden drei Abbildungsmoglichkeiten von Rissen nach der Art der Schadenslo-kalisierung unterschieden. Bei diskreten Rissmodellen wird jeweils nach dem Uberschreitender Zugfestigkeit ein verandertes FE-Netz gebildet. Nach jedem Riss wird das gerisseneElement getrennt und das FE-Netz, mittlerweile automatisiert, neu formuliert. Der Ver-lauf der Risse ist dabei praktisch durch die Elementeinteilung schon vorgegeben. An einenRiss angrenzende Elemente konnen sich unabhangig voneinander verformen, wodurch dieUbertragung von Schubspannungen uber den Riss nur durch Federn oder Kontaktelemen-te moglich wird. Das Verhalten eines einzelnen Risses ist exakt beschreibbar. Es wirdangenommen, dass die Umsetzung der gesamten Bruchenergie nur in der Rissflache er-folgt. Das Entfestigungsverhalten wird daher als Spannungs-Rissoffnungskurve formuliert,

12 KAPITEL 2. KONTINUUMSMECHANIK

wobei diese Rissoffnung die Summe der Offnungen aller in der Bruchprozesszone vorhande-nen Risse reprasentiert. Die Flache unter dieser Spannungs-Rissoffnungskurve entsprichtder spezifischen Bruchenergie. Ein fur Beton entwickeltes Modell diskreter Risse ist dasModell des fiktiven Risses nach Hillerborg. Die Bezeichnung

”fiktiver“ Riss steht fur den

Zustand des bereits entfestigten, jedoch noch spannungsubertragenden Materials. FiktiveRisse in einem Festkorper bedeuten eine Diskontinuitat im Dehnungsfeld bei Kontinuitatim Spannungsfeld.Rissbandmodelle beruhen auf der Annahme, dass die Energieumwandlung in einem Be-reich bestimmter Breite, der Rissbandbreite, erfolgt. Das Entfestigungsverhalten wird alsSpannungs-Dehnungskurve formuliert, wobei die Flache unter dieser Kurve multipliziertmit der Bandbreite die spezifische Bruchenergie ergibt. Ein Rissbandmodell ist das Modellder verschmierten Risse nach Bazant. Beim verschmierten Rissmodell bleibt das FE-Netzerhalten. Risse stellen sich in Abhangigkeit des Spannungszustandes in den Integrati-onspunkten der finiten Elemente ein. Es treten keine individuellen Makrorisse auf, d.hdie Berechnung findet an jedem Integrationspunkt unabhangig statt und das Vorhan-densein der Risse wird durch Veranderung der Spannungs- und Steifigkeitsverhaltnisseam Integrationspunkt berucksichtigt. So wird nach der Rissbildung meist ein anisotropesWerkstoffgesetz verwendet. Das Konzept der verschmierten Risse ist besonders gunstig furStrukturen, bei denen nur globales Verhalten von Interesse ist. Gegenuber dem Modellder diskreten Risse ist hier die Definition der Bandbreite als zusatzlicher Parameter notig.Dieser sollte der Breite der Bruchprozesszone entsprechen, wenn ein moglichst wirklich-keitsnahes Modell angestrebt wird. Aus praktischen Grunden wird in FEM-Rechnungendie Bandbreite im allgemeinen der Elementbreite gleichgesetzt. Fur den Fall, dass dieElementbreite großer ist, als die Breite der Bruchprozesszone, ist das globale Tragverhal-ten netzunabhangig. Feinere Netze fuhren jedoch zu schmaleren Rissbandern, was eineNetzabhangigkeit der Losung zur Folge hat. Oftmals werden deshalb Lokalisierungskon-trollen, z. B. in Form einer charakteristischen Lange, eingefuhrt, um die verschmiertenKontinuumsrissmodelle zu regularisieren und die Netzabhangigkeit zu vermindern.Seltener werden kontinuumsmechanische Schadigungsmodelle angewendet, bei denen einFestkorper auch im Versagensprozess als homogenes und isotropes Kontinuum mit sichstetig andernden lokalen Materialeigenschaften angenommen wird.

Rissrichtungen

Zur Rissrichtungsannahme von verschmierten Rissmodellen existieren drei Grundmodelle:

feste, orthogonale Risse Die Richtung des ersten Risses ist normal zur Richtung dergroßten Hauptspannung zur Zeit der Rissinitiierung und wird fur den Rest derBerechnung gespeichert. Weitere Risse konnen nur in Richtungen senkrecht zumersten Riss entstehen. Bei traditioneller Schubsteifigkeitsabminderung reagiert diesesModell oft zu steif, durch Reduzierung der Schubsteifigkeit zu Null in Abhangigkeitvon der Rissoffnung kann dieser Einfluss jedoch minimiert werden. Als weitererNachteil ist die Orthogonalitatsbegrenzung zu nennen.

Modell rotierender Risse Es kann nur ein einzelner Riss an jedem Punkt entstehen,der sich nach der maximalen Hauptzugspannung ausrichtet und mit dieser rotiert,d.h. die Rissrichtung wird nicht gespeichert. Das Konzept von Risschliessen undWiederoffnen ist hier nicht klar definiert, da die Richtung des Risses kontinuierlich

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variieren kann und somit die Zuordnung der Hauptspannungen mitunter uneindeutigist.

feste multidirektionale (nicht orthogonale) Risse An einem Punkt konnen unend-lich viele Risse entstehen, wenn die Richtungen der Hauptspannungen sich andern.In der Praxis wird die Anzahl der Risse an einem Punkt meist uber einen Winkelbegrenzt. Damit soll verhindert werden, dass neue Risse in einem kleineren Winkelals diesem zu den vorhergehenden Rissen gebildet werden und erst nach Erreichendieses Winkels (mind. 10◦) ein zweites Rissfeld definiert wird. Alle Rissrichtungenwerden gespeichert, d.h. bleiben bestehen. Dieses Modell wird am wenigsten benutzt,da die Begrenzung der Anzahl der Risse schwierig umzusetzen ist.

Schububertragung in gerissenem Beton

Nach [18] treten nach der Rissbildung verschiedene Mechanismen in Kraft, die zur Uber-tragung von Schubspannungen uber den Riss fuhren: Schubabtragung uber ungerisseneBetonbereiche, Normalkrafte in schrag zur Rissebene verlaufenden Bewehrungsstaben,Verzahnungswirkung der beiden Rissufer (

”Aggregate Interlock“) und Verdubelungswir-

kung der Bewehrung. Die Bedeutung der einzelnen Anteile ist abhangig vom System, vonder Belastung, vom Rissbild und den Rissweiten sowie der Bewehrungsanordnung.Beim Reissen bilden sich zwei rauhe Oberflachen, die einen Widerstand gegen Schubver-formung entgegenbringen und sich dabei tangentiell gegeneinander verschieben. Uber dieBeruhrungsflachen werden Druckspannungen ubertragen und infolge der Reibung auchSchubspannungen. Mit steigender Schubbeanspruchung steigt die Rissweite, wenn diesnicht durch Bewehrung oder außere Normalspannungen behindert wird. In Experimentenerfolgt das Versagen oft durch sekundare Biegerisse und nicht durch Schub. In bewehrtemBeton verursacht die durch gegenseitige Parallelverschiebung der Rissufer bedingte Ver-großerung der Rissweite Zugspannungen in der Bewehrung, welche aus Gleichgewichts-grunden wieder Druckspannungen auf die Kontaktflachen der beiden Rissufer zur Fol-ge haben. Die durch diese Druckspannungen geweckten Reibungskrafte bestimmen denScherwiderstand.In der Regel wird gerissener Beton nicht nur durch Schubspannungen sondern gleichzeitigauch noch durch Normalspannungen beansprucht [18]. Nach dem Uberschreiten der Beton-zugfestigkeit entsteht zunachst ein Rissfeld innerhalb des betrachteten Elements, wobei dieRissrichtung senkrecht zur Richtung der großten Betonhauptzugspannung verlauft. Erstim Laufe der weiteren Berechnung kann es durch Krafteumlagerung oder zusatzliche Be-lastung des Systems zu einer Beanspruchung der Risse durch Schubspannungen kommen.Bei gleichzeitig wirkenden Schub- und Normalzugspannungen wird die Schubsteifigkeit imgerissenen Zustand gegenuber der bei Belastung durch einen reinen Schubspannungszu-stand kleiner.Dem wird in Materialmodellen fur FE-Rechnungen in unterschiedlichem Maße Rechnunggetragen: In einigen bleibt der Schubmodul erhalten, in anderen wird er bei Uberschreitender Grenzschubspannung auf Null gesetzt oder mit einem konstanten Faktor abgemindert.Teilweise wird die Grenzschubspannung mit wachsender Rissweite linear oder hyperbolischreduziert. Diese von der mittleren Dehnung senkrecht zum Riss abhangige Abminderungder Schubfestigkeit beschreibt das Verhalten besser als ein konstante Reduzierung undwirkt sich außerdem stabilisierend auf das numerische Verhalten eines Systems aus.

Kapitel 3

Materialgesetze in ABAQUS

3.1 Elastisch-Plastisches Materialgesetz

Die plastischen Materialmodelle in ABAQUS benotigen außer dem eigentlichen Plasti-zitatsgesetz auch eine Elastizitatsdefinition, um mit dem reversiblen Teil der Dehnungumzugehen. Das linear elastische Materialgesetz ist fur kleine elastische Dehnungen gultig.Die totale Spannung ist definiert als:

σ = Delεel

wobei σ die totale bzw.”wahre“ Spannung, Del den Elastizitatstensor 4. Ordnung und

εel die totale elastische Dehnung darstellen. Linear elastische Materialien mussen die Be-dingungen der Materialstabilitat bzw. der Druckerstabilitat erfullen. Das bedeutet, dassder Elastizitatstensor positiv definiert sein muss, d.h. E > 0, G > 0 und −1 ≤ ν ≤ 0.5.Querdehnzahlen nahe 0.5 beschreiben inkompressibles Materialverhalten und erforderndie Benutzung von Hybridelementen. Fur isotropes Material ist im elastischen Fall fol-gende Spannungs-Dehnungsbeziehung allgemein gultig:

ε11

ε22

ε33

γ12

γ13

γ23

=

1/E −ν/E −ν/E 0 0 0−ν/E 1/E −ν/E 0 0 0−ν/E −ν/E 1/E 0 0 0

0 0 0 1/G 0 00 0 0 0 1/G 00 0 0 0 0 1/G

σ11

σ22

σ33

σ12

σ13

σ23

Die elastischen Materialeigenschaften sind durch den E-Modul und die Querdehnzahl kom-plett definiert. Der Schubmodul G kann durch G = E/ [2(1 + ν)] ausgedruckt werden.Mit Hilfe von Plastizitatstheorien wird das Materialverhalten nach dem Erreichen derFließlast, d.h. beim Auftreten von plastischen (irreversiblen) Verformungen, beschrieben.Die meisten der Plastizitatsmodelle in ABAQUS sind inkrementelle Theorien, in denendie Dehnungsrate in einen elastischen und einen plastischen (inelastischen) Anteil zer-legt wird. Diese inkrementellen Plastizitatsmodelle sind bestimmt durch eine Fliessflache,innerhalb welcher sich das Material elastisch verhalt, ein Fliessgesetz, welches die pla-stischen Dehnungen definiert und eine Verfestigungsbedingung, welche die Anderung derFliessflache beim Fortschreiten des Fliessens beschreibt. Es wird fur den isotropen Fall die

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3.2. BETONMODELL IN ABAQUS/STANDARD 15

Mises-Fließflache benutzt. Sie ist definiert durch die Eingabe der einachsialen Fliessspan-nung als Funktion der einachsialen aquivalenten plastischen Dehnung. Die Spannung istdabei die

”wahre“ Spannung und die Dehnung die logarithmische Dehnung. (Umrechnung

von Nominalwerten siehe [13])Im Beispiel wurde perfekte bzw. ideale Plastizitat verwendet, d.h. die Fliessflache ver-schiebt sich beim Auftreten plastischer Dehnungen nicht, da kein Verfestigungsgesetzimplementiert wurde. Es wird ein assoziatives Fliessgesetz verwendet, d.h. die plastischenDehnungen treten senkrecht zur Fliessflache auf.

3.2 Betonmodell in ABAQUS/Standard

Grundlagen

Das Betonmodell besteht aus einer isotropen Fliessbedingung mit Verfestigungsgesetz,welche aktiv ist, wenn Druckspannungen dominieren, und einer unabhangigen risswahr-nehmenden Flache, die feststellt, ob in einem Punkt Rissversagen eintritt. Es wird einorientiertes elastisches Schadigungskonzept angewandt, um die reversible Reaktion desMaterials auf Rissversagen zu beschreiben.Das Modell wird mit der Euler-Ruckwarts-Integration unter Benutzung des Plastizitats-modells in ABAQUS integriert. Die Dehnungsrate wird in elastische und inelastische Deh-nungsraten zerlegt:

dε = dεel + dεplc

wobei dε die totale mechanische Dehnungsrate darstellt, dεel die elastische Dehnungsrateist, die aber auch die Rissoffnungsdehnung enthalt und dεpl

c die plastische Dehnung ab-bildet, welche mit der Druckfliessflache assoziiert wird. Beim Auftreten von Rissen wirddie elastische Dehnungsrate nochmals zerlegt in:

dεel = dεeld + dεpl

t

wobei dεeld die elastische Dehnungsrate und dεpl

t die plastische Dehnungsrate, die dem Risszugeordnet wird, darstellen.

Anwendungsbereich

Mit dem Betonmodell in ABAQUS wird nach [13] ein Gesetz fur alle Strukturen bereitge-stellt. Es kann sowohl bewehrter, als auch unbewehrter Beton berechnet werden, jedochwurde das Modell hauptsachlich fur bewehrten Beton entwickelt. Dabei ist an Anwendun-gen gedacht, in denen hauptsachlich gleichformige Dehnungen und begrenzte Spannungen(max. 4-5fache einachsige Druckfestigkeit) auftreten. Plastische Dehnungen unter Druckwerden durch eine Druckfließflache kontrolliert. Rissbildung ist der wichtigste Aspekt desMaterialverhaltens und die Reprasentation des Riss- und Nachrissverhaltens dominiertdas Modell. Mit dem CONCRETE-Modell werden Betoneigenschaften definiert, die uberdas elastische Verhalten hinausgehen. Der Erfolg bei der Berechnung von Problemen mitbewehrtem und unbewehrtem Beton hangt dabei entscheidend von der Wahl der Materi-alparameter und der Definition der Bewehrung ab.

16 KAPITEL 3. MATERIALGESETZE IN ABAQUS

Eingabeparameter

• absoluter Wert der Druckfestigkeit

• eine Kurve fur die absolute plastische Dehnung, wobei der erste eingegebene Span-nungs-Dehnungspunkt den anfanglichen Fliesspunkt angibt, d.h. es muss die Span-nung eingegeben werden, bei welcher die plastische Dehnung gerade nach Null ist.

In dem Modell muss auch ein Zugentfestigungsgesetz definiert werden. Des Weiteren kanneine Schubfestigkeitsabminderung eingegeben werden. Die Form der Versagensflache kanndurch folgende Parameter naher bestimmt werden:

• Verhaltnis von maximaler Druckspannung unter zweiachsiger Belastung zu maxi-maler Druckspannung unter einachsiger Belastung (Standardwert: 1,16)

• Betrag des Verhaltnisses zwischen einachsiger Zugspannung und einachsiger Druck-spannung (Standardwert: 0,09)

• Verhaltnis der Maximalwerte der plastischen Hauptdehnungen unter zweiachsigerund einachsiger Druckbeanspruchung (Standardwert: 1,28)

• Verhaltnis der Hauptzugspannung beim Reissen im ebenen Spannungszustand, wenndie andere Hauptspannung den Wert der maximalen Druckspannung annimmt, zuder Zugfestigkeit unter einachsiger Zugbeanspruchung (Standardwert: 1/3)

Neben dem Betonmodell muss ein elastisches Materialgesetz definiert werden, um denlinearen Bereich des Materialverhaltens zu definieren.

Bewehrung

Bewehrung wird in ABAQUS genauso wie eindimensionale Stabelemente behandelt. Siekann einzeln oder eingebettet in orientierte Flachen implementiert werden. Fur die Be-wehrung wird meist ein elastisch-plastisches Materialgesetz fur Metalle verwendet. DasVerhalten der Bewehrung wird mit dem des Betons uberlagert, d.h. das Betonverhaltenwird unabhangig von der Bewehrung betrachtet. Effekte an der Schnittflache zwischenBewehrung und Beton, wie Verbundreibung und Verdubelungswirkung, werden durch dasZugentfestigungsgesetz im Betonmodell berucksichtigt, um Lastubertragung entlang derRisse durch die Bewehrung zu gewahrleisten. Ungenaue Modellierung der Bewehrung kannzu unerwartetem Versagen des Modells fuhren.

Einachsiger Spannungszustand

Wenn Beton unter Druckbelastung steht, verhalt er sich zunachst elastisch. In ABAQUSgilt dies bis zu Spannungen in Hohe eines Drittels der Druckfestigkeit. Beim Ansteigender Spannung tritt zunehmend inelastische Dehnung auf, wodurch das Materialverhaltenweicher wird. Nach dem Erreichen einer Maximalspannung verliert der Beton seine Festig-keit, bis keine Spannung mehr ubertragen werden kann. Wird von einem Punkt entlastet,wo bereits plastische Dehnungen aufgetreten sind, ist die Entlastungskurve weicher, d.h.abweichend vom elastischen Verhalten tritt Schadigung auf. Dieser Effekt wird im Modellnicht berucksichtigt, da monotone Belastung mit hochstens kleinen Entlastungen voraus-gesetzt wird.


Abbildung 3.1: einachsiales Verhalten von unbewehrtem Beton [11], [13]

Unter einachsialer Zugbeanspruchung verhalt sich Beton elastisch bis zu einer Spannung,bei der Risse auftreten. Diese Spannung liegt bei 7-10% der Druckfestigkeit. Im Modellwird angenommen, dass die Risse eine Schadigung verursachen, welche bei offenen Rissendurch Abnahme der Steifigkeit abgebildet werden kann. Außerdem wird angenommen,dass das Offnen eines Risses keine inelastischen Dehnungen beinhaltet, so dass die Rissekomplett schließen konnen, wenn die Spannungen entlang des Risses wieder Druckspan-nungen werden.

Mehrachsige Spannungszustande

Abbildung 3.2: Fliess- und Versagensflachen in der p-q-Ebene [11], [13]

Bei mehrachsigen Spannungszustanden werden diese Beobachtungen durch Fliessflachen


und Fliessgesetze im Spannungsraum generalisiert. Wenn die Hauptspannungskomponen-ten hauptsachlich Druckspannungen sind, wird die Reaktion des Betons durch elastisch-plastisches Verhalten abgebildet. Benutzt wird dabei eine einfache Fliessflache, die durchdie aquivalente Druckspannung p und die aquivalente Mises-Deviator-Spannung q darge-stellt wird:

fc = q −√

3a0p−√

3τc = 0

a0 ist eine Konstante, welche das Verhaltnis der Druckfestigkeiten unter einachsiger undzweiachsiger Beanspruchung bestimmt. Eingegeben wird der Wert rσ

bc = σubc/σ

uc , wobei

sich a0 aus

a0 =√

31− rσ

bc

1− 2rσbc

ergibt.τc(λc) ist ein Entfestigungsparameter, wobei τc die Große der Fliessflache auf der q-Achsebei p=0 angibt, d.h. bei reiner Schubbeanspruchung. Ein assoziatives Fliessgesetz undisotrope Entfestigung, die durch den Parameter λc gesteuert wird, werden benutzt.Dieses Modell vereinfacht das eigentliche Verhalten signifikant. Die Annahme eines asso-

Abbildung 3.3: Fliess- und Versagensflachen im ebenen Spannungszustand [11], [13]

ziativen Fliessgesetzes uberschatzt die inelastische Volumendehnung. Dieser Einfluss istjedoch nicht sehr groß, wenn der Anstieg der Spannungen gering bleibt. Die Fliessflachebildet das Verhalten bei dreiachsiger Belastung nicht genau ab, da die Abhangigkeit derdritten Spannungsinvarianten weggelassen wird. Wenn der Beton uber den maximalenSpannungspunkt hinaus gedehnt wird, ist die Annahme, dass die elastische Reaktion von


der inelastischen Verformung unabhangig ist, nicht realistisch. Außerdem weist Betonunter sehr hohen hydrostatischen Druckspannungen inelastisches Verhalten auf, welchesnicht im Modell berucksichtigt wird.Im Zugbereich ist die Risswahrnehmungsflache die Coulomb-Linie

ft = q −(

3− b0σt

σut

)p−

(2− b0

3

σt

σut

)σt = 0

wobei σut die einachsige Zugfestigkeit ist und b0 eine Konstante, die definiert ist durch

die Zugfestigkeit σI unter zweiachsiger Beanspruchung, wenn die andere HauptspannungσII den Wert der einachsigen Druckfestigkeit σu

c annimmt. σt(λt) ist der Entfestigungs-parameter. Die Spannungen p und q sind genauso definiert wie p und q, nur dass sie dieSpannungskomponenten, die mit einem offenen Riss assoziiert werden, nicht enthalten.

Rissbildung

Das Modell arbeitet mit verschmierten Rissen. Die Anisotropie, die durch die Rissbildungentsteht, wird als wichtig angesehen und deshalb berucksichtigt. Sobald die Risswahrneh-mungsflache (ft) aktiviert wurde, wird angenommen das Risse auftreten. Die Rissrichtungnα ist die Richtung des Teils der maximalen plastischen Hauptdehnung ∆εpl

t , die senkrechtzu den Richtungen der bestehenden Risse an einem Punkt auftreten.Wenn ein Riss aufgetreten ist, wird seine Richtung fur weitere Berechnungen gespei-chert. Die Komponenten aller Vektor- und Tensoreigenschaften werden gedreht, so dasssie in den Richtungen des lokalen rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystems, wel-ches durch die Rissrichtungsvektoren (Normalen zur Rissflache) angegeben wird, liegen.Dadurch wird die Berechnung der geschadigten Elastizitat zur Ermittlung der Kompo-nenten, die in Bezug zu dem Riss stehen, vereinfacht. Spatere Rissbildung im gleichenPunkt muss senkrecht zum vorherigen Riss erfolgen, da Spannungskomponenten, die aneinem offenen Riss auftreten, nicht mit in Versagensbedingung fur weitere Rissbildungeingehen.Risse sind nicht reversibel, sie bestehen fur den Rest der Rechnung, aber sie konnen sichoffnen und schliessen. In einem Punkt konnen nicht mehr als drei Risse auftreten (zweibei ebenen Spannungszustand, einer bei einachsialer Spannung). Nachdem Risse aufge-treten sind, wird die gesamte Rechnung beeinflusst, da das elastische Schadigungskonzeptangewandt wird.Numerisch wird das Plastizitatsmodell zur Risswahrnehmung fur das Inkrement benutzt,in dem der Riss auftritt, im weiteren Verlauf wird geschadigte Elastizitat benutzt, umdas Nachrissverhalten abzubilden. Dadurch tritt zumindest in einem Inkrement plasti-sche Dehnung auf, diese wird umgewandelt in elastische Dehnung in Rissrichtung undplastische Dehnung in die anderen Richtungen. Das heisst, dass die Spannungen ebensowie die Dehnungskomponenten erhalten bleiben.

Nachrissverhalten

Das Nachrissverhalten fur direkte Dehnung entlang des Risses wird mit einem Entfesti-gungsgesetz modelliert, mit welchem nach [13] außerdem die Interaktion zwischen Beweh-rung und Beton gut simuliert werden kann. Der Entfestigungseffekt hangt von der Dichteder Bewehrung, der Qualitat des Verbundes, dem Beton, dem Verhaltniss von Beweh-rungsdurchmesser zu Aggregatgroße sowie dem Netz ab. Eingegeben wird entweder eine


Spannungs-Dehnungs-Beziehung fur das Nachrissverhalten oder ein Risskriterium mit Hil-fe der Bruchenergie.Fur bewehrten Beton ist die Spannungs-Dehnungsbeziehung geeignet, da durch die Beweh-rung eine gleichmaßige Rissverteilung gewahrleistet ist und Netzabhangigkeit der Losungaufgrund von Risslokalisierung weniger ein Problem darstellt. Als sinnvolle Annahme gilt

Abbildung 3.4: Rissverhalten basierend auf einer Spannungs-Dehnungsbeziehung [11], [13]

eine lineare Spannungsabnahme bis zu einer zehnfachen Dehnung der Dehnung beim Auf-treten des Risses.Bei unbewehrtem Beton oder wenig Bewehrung wird die Losung mit diesem Ansatznetzabhangig. Es treten eventuell Konvergenzprobleme bei feinen Netzen auf, da dieRissbander schmaler sind, d.h. es bilden sich im Modell diskrete Risse, wo in der Pra-xis fein verteilte Risse entstehen. Deswegen wurde die Bruchenergie als Risskriteriumeingefuhrt. Sie gilt bei Sprodbruchmodellen als Materialparameter: Es wird die Energiedefiniert, die notig ist, um einen Einheitsriss zu offnen. Die Bruchenergie kann uber die

Abbildung 3.5: Rissverhalten basierend auf dem Bruchenergiemodell [11]


Zugspannung als Funktion der Rissoffnung berechnet werden:

Gf =

∫σtdu

Typische Werte schwanken zwischen 40 und 120N/m. Das Nachrissverhalten ist also durcheine Spannungs-Verschiebungs-Beziehung definiert, wodurch die Netzabhangigkeit redu-ziert wird. Um die relative Verschiebung eines Integrationspunktes zu ermitteln, wird inABAQUS die Dehnung mit der charakteristischen Lange, die dem Integrationspunkt zu-geordnet ist, multipliziert.Die Wahl der Entfestigungsparameter beeinflußt die Losung, da viel Entfestigungsener-gie leichter zu numerischen Losungen fuhrt, wahrend zu wenig Lokalisierung von Rissenhervorruft, was zu instabilen Reaktionen des Modells fuhrt.

Charakteristische Lange

Die Implementierung des Spannungs-Verschiebungskonzepts in ein Finite-Elemente-Mo-dell erfordert die Definition einer charakteristischen Lange, welche mit einem Integrati-onspunkt gekoppelt ist. Die charakteristische Risslange hangt von der Elementgeometrieab. Fur SOLID-Elemente wird die dritte Wurzel des Integrationspunktvolumens benutzt,da die Richtung, in welcher der Riss auftreten wird, nicht vorher bekannt ist. Elementemit unterschiedliche Seitenlangen verhalten sich deshalb unterschiedlich, je nachdem inwelcher Richtung der Riss auftritt. Deshalb sollten die Elemente moglichst quadratischbzw. wurfelformig sein.Um dynamische Effekte im Versagensprozess zu vermeiden, werden die Elementabmessun-gen zusatzlich durch eine kritische Lange nach oben begrenzt. Die Versagensspannung σu

t

unter Zug tritt bei der Versagensdehnung εut ein, aber die Spannung geht bei einer element-

großenunabhangigen Maximalverschiebung u0 auf Null zuruck. Um nach dem Versagenein statisches Gleichgewicht zu erreichen, muss das Element kurz genug sein, damit dieDehnung beim Eintreten des Versagens geringer ist als die von der Maximalverschiebungabhangige Maximaldehnung:

εut < u0/L

Die Maximalverschiebung, u0, kann mit Hilfe der Bruchenergie Gf abgeschatzt werden:

u0 = 2Gf/σut

Fur Normalbeton sind Werte um 0.05 mm typisch. Ein typischer Wert fur εut ist 10−4, so

dass gilt L < 500mm. Ist die Elementlange großer, tritt ein sogenanntes Snap-Back auf,d.h. trotz wachsender Rissoffnung verringern sich die Verschiebungen. Bei verschiebungs-gesteuerter Belastung wird so mehr Dehnungsenergie gespeichert, als fur den Rissprozessbenotigt wird und es kommt zu einem sprunghaften Abfall der Kraft, was zu instabilemRissfortschritt fuhrt.Die kritische Lange wird in ABAQUS durch den Losungsprozessor fur jedes Element,welches dieses Betongesetz verwendet, gepruft.

Schubverhalten

Wenn Beton reisst, wird seine Schubsteifigkeit verringert. Dieser Effekt kann durch Reduk-tion des Schubmoduls als Funktion der Dehnung entlang des Risses beschrieben werden.


Außerdem kann ein reduzierter Schubmodul fur geschlossene Risse eingegeben werden,dann hat die Rissbildung auch einen Einfluss, wenn die Spannungen im Riss reine Druck-spannungen sind.

Abbildung 3.6: Abminderung der Schubsteifigkeit [11]

Der Schubmodul fur Risse ist definiert als ρ ·G, wobei ρ der Reduktionsfaktor ist. Es wirddavon ausgegangen, dass die Schubsteifigkeit eines offenen Risses linear auf Null abnimmt,wenn die Rissoffnung wachst:ρ = 1− ε/εmax fur ε < εmax

ρ = 0 fur ε ≥ εmax

Fur den Druckbereich, d.h. ε < 0 gilt ρ = ρclose. Durch Eingabe der Werte εmax undρclose kann das Schubverhalten gesteuert werden. Da in vielen Fallen das Gesamtverhal-ten kaum durch die Schubsteifigkeit beeinflusst wird, ist standardmaßig keine Reduzierungdes Schubmoduls eingestellt.

3.3 Rissmodell in ABAQUS/Explicit

Grundlagen

Es ist allgemein akzeptiert, dass Beton zwei hauptsachliche Verhaltensformen zeigt: spro-des Verhalten, bei welchem sich aus Mikrorissen diskrete Makrorisse bilden, welche Berei-che stark lokalisierter Verformung reprasentieren; und duktiles Verhalten, welches dadurchgekennzeichnet ist, dass sich die Mikrorisse mehr oder weniger gleichmaßig uber das ge-samte Material verteilt bilden, so dass keine Lokalisierungen auftreten. Das sprode Verhal-ten tritt auf bei Spaltung, Schub und Mixed-Mode-Versagen, wie es unter Zug- oder mehr-achsiger Zug-Druck-Beanspruchung auftritt. Es beinhaltet fast immer eine Entfestigungdes Materials. Das duktile Verhalten wird mit einem verteilten Mikrorissmechanismus ver-bunden, der hauptsachlich unter Druckspannungszustanden beobachtet werden kann. Esbeinhaltet fast immer eine Verfestigung, auch wenn folgende Entfestigung bei niedrigenhydrostatischen Spannungen moglich ist. Das vorhandene Rissmodell beschreibt nur densproden Aspekt des Materialverhaltens, da dieser in vielen Anwendungsfallen maßgebendwird.Ebenso wie in ABAQUS/Standard wird das Prinzip der Dehnungsratenaufteilung verfolgt:

dε = dεel + dεck

3.3. RISSMODELL IN ABAQUS/EXPLICIT 23

wobei dε die absolute Dehnungsrate, dεel die elastische Dehnungsrate, welche den un-gerissenen Beton bzw. das Kontinuum zwischen den Rissen reprasentiert und dεck dieRissdehnung, die mit dem jeweiligen Riss assoziiert ist. Der Hauptvorteil der Dehnungs-aufteilung liegt darin, dass auch andere Effekte wie Plastizitat oder Kriechen hinzugefugtwerden konnten. Außerdem reprasentiert die separate Identifikation der Rissdehnung denStatus des Risses. Das ist ein Unterschied zu klassischen verschmierten Risskonzepten, wonur ein Dehnungswert den Status des gerissenen Stoffes in einer homogenisierten Formreprasentiert, was zu einer modifizierten (geschadigten) Elastizitatsformulierung fuhrt.Hier wird das intakte Kontinuum zwischen den Rissen durch linear-isotrope Elastizitatmodelliert. Das orthotrope Verhalten von gerissenem Material wird durch das Rissmodellberucksichtigt.

Anwendungsbereich

Das Rissbildungsmodell in ABAQUS/Explicit ist nach [12] fur alle Arten von Betonstruk-turen geeignet. Es wurde fur Anwendungen entwickelt, in denen das Verhalten durch Zug-risse dominiert wird. Es wird angenommen, dass das Verhalten im Druckbereich immerlinear-elastisch ist. Das elastische Materialverhalten wird auch fur den Bereich vor demEintreten von Rissen benutzt. Es kann sowohl fur bewehrten, als auch fur unbewehrtenBeton angewendet werden, auch wenn es in erster Linie fur bewehrten Beton entwickeltwurde. Mit Hilfe der *BRITTLE FAILURE Option konnen im Verlauf der BerechnungElemente entfernt werden. Die Bewehrung wird ebenso wie in ABAQUS/Standard behan-delt.

Rissbildung

ABAQUS/Explicit benutzt ein verschmiertes Rissmodell, um das diskontinuierliche sprodeVerhalten von Beton zu reprasentieren. Ebenso wie in ABAQUS/Standard werden feste

Abbildung 3.7: Globales und lokales Risskoordinatensystem [11]

zueinander orthogonale irreversible Risse angenommen und ein lokales Koordinatensy-stem in Abhangigkeit der Rissbildung eingefuhrt. Als Ausgabedaten konnen Spannungen


und Dehnungen sowohl im globalen Koordinatensystem, als auch im lokalen Risskoordi-natensystem angezeigt werden.Ein einfaches Rankine-Kriterium wird benutzt, um die Rissinitiierung festzustellen. Die-ses Kriterium besagt, dass der Riss gebildet wird, wenn die maximale Hauptzugspannungdie Zugfestigkeit des Materials ubersteigt.

Abbildung 3.8: Rankine-Kriterium in der Deviator-Ebene (links) und im ebenen Span-nungszustand (rechts) [11]

Obwohl die Rissfeststellung vollig auf Mode I-Bruchbetrachtungen basiert, beinhaltet dassich ergebende Rissverhalten sowohl Mode I-Verhalten (Zugentfestigung) als auch Mo-de II-Verhalten (Schubfestigkeitsabminderung). Sobald das Rankine-Kriterium fur dieRissbildung erreicht wurde, wird angenommen, das der erste Riss entstanden ist. Entlangder Rissflachennormalen in Richtung der maximalen Hauptzugspannung kann Schliessendes Risses bzw. wieder Offnen auftreten. Das Modell vernachlassigt dauerhafte Dehnungam Riss, d.h. unter Druckbeanspruchung wird der Riss komplett geschlossen.Analog zur Fliessbedingung bei der klassischen Plastizitatstheorie wird eine Konsistenz-bedingung fur Rissbildung in Richtung des Risskoordinatensystems eingefuhrt:

C = C(t, σI,II) = 0

wobei C = [CnnCttCssCntCnsCts]T .

Durch σI,II wird im Falle von Normalspannungskomponenten (Mode I) Zugentfestigungabgebildet und im Fall von Schubspannungen (Mode II) Schubsteifigkeitsabminderung.Die Matrizen ∂C/∂t und ∂C/∂σI,II sind Diagonalmatrizen, d.h. es wird angenommen,dass keine Kopplung zwischen den Rissen besteht.Jede Rissbedingung ist komplexer als die klassische Fliessbedingung, da zwei Risszustandemoglich sind, entweder ein sich aktiv offnender Riss oder ein sich schliessender bzw. wie-deroffnender Riss. Der Zustand hangt vom Zeitverlauf der maximalen Rissdehnung ab.

Nachrissverhalten

Fur bewehrten Beton wird das Nachrissverhalten durch eine Spannungsfunktion in Ab-hangigkeit von der Dehnung entlang des Risses angegeben (vgl. Abb. 3.4). In praktischen

3.3. RISSMODELL IN ABAQUS/EXPLICIT 25

Berechnungen fur bewehrten Beton wird davon ausgegangen, dass das Netz so ist, dass injedem Element Bewehrung liegt. Durch die Interaktion zwischen Bewehrung und Betonwird so der Effekt der Netzabhangigkeit gemildert, solange mit der *Tension StiffeningOption eine sinnvolle Kurve eingegeben wurde, um diese Interaktion abzubilden.Fur unbewehrten Beton werden, um die Netzabhangigkeit zu reduzieren, Zugentfesti-gungsmodelle zur Verfugung gestellt, die wie in ABAQUS/Standard auf der Bruchenergieberuhen, wobei die Bruchenergie als Materialparameter fur Rissbildung nach Modus Iangesehen wird. (siehe Abb. 3.5)

GIf =

∫σI

t dun

Neben der Eingabe einer multilinearen Spannungs-Verschiebungs-Kurve kann in ABA-QUS/Explicit die Modus I Bruchenergie Gf

I auch direkt als Materialparameter eingegebenwerden. Es wird damit eine lineare Abnahme der Spannung angenommen.

Abbildung 3.9: Direkte Eingabe der Bruchenergie [12]

Versagen ganzer Elemente

Die Option des Versagens ganzer Elemente kann in Verbindung mit dem Rissmodell im-plementiert werden werden. Wenn ein, zwei oder alle drei lokalen Rissdehnungs- (furNachriss-Spannungs-Dehnungsbeziehung) oder Rissverschiebungskomponenten (fur Bru-chenergiekonzept) an einem Materialpunkt eine definierte Versagensdehnung erreichen,versagt der Materialpunkt und alle Spannungskomponenten werden zu Null gesetzt. Da-bei kann eingegeben werden, bei wie vielen Rissen ein Materialpunkt als versagt gilt,wobei der Standardwert 1 ist, aber auch bis zu drei Risse sinnvoll sein konnen, z.B. wennSchubversagen dominiert. Wenn alle Materialpunkte in einem Element versagen, wird dasElement entfernt. Uber die Statusangabe kann uberpruft werden, welche Elemente ent-fernt wurden. Der Status ist 1.0, wenn das Element aktiv ist, Null, wenn es entfernt wurde.Dieses Kriterium sollte mit Bedacht benutzt werden, da es relativ grob ist. Ein Haupt-grund fur seine Benutzung kann das Auftreten großer Verzerrungen in Elementen sein,die nicht langer Spannungen aufnehmen konnen, was zu vorzeitigem Abbrechen der Rech-nung fuhren kann. So ist es z.B. sinnvoll in monoton belasteten Strukturen, in denen ein


Makroriss durch Zugversagen erwartet wird. Andererseits kann ein Element, auch wenn eskeine Zugspannungen mehr ubertragt, noch Druckspannungen aufnehmen. Deshalb ist dieOption nicht sinnvoll, wenn das Element nach dem Zugversagen moglicherweise Druck-spannungen bekommt, z.B. bei zyklischer Belastung.Auch fur bewehrten Beton kann die Option sinnvoll sein. Dabei wird die Spannungs-ubertragungsfahigkeit des Stahls nicht beeinflusst. Nur wenn in der Bewehrungsmaterial-definition zusatzlich eine Schubversagensoption beinhaltet ist, wird auch die Bewehrungweggenommen. So kann man z.B. progressives Versagen von unterbewehrten Betonstruk-turen modellieren, wobei zuerst der Beton versagt und dann der Stahl duktil versagt.

Schubverhalten

Das Modus II Schubverhalten basiert auf der allgemeinen Beobachtung, dass das Schub-verhalten von der Grosse der Rissoffnung abhangt, d.h. der Schubmodul nimmt mitwachsender Rissoffnung ab. Die Schubsteifigkeit nach dem Reissen wird als Funktion derOffnungsdehnung entlang des Risses definiert. Vollstandiges Erhaltenbleiben der Schub-steifigkeit sollte nicht verwendet werden. Der Schubmodul nach dem Reissen, Gc, wird alsBruchteil des ursprunglichen Schubmoduls angegeben:

Gc = ρ(eck

nn

)G

wobei ρ(eck

nn

)der Schubreduktionsfaktor ist, welcher von der Rissoffnungsdehnung eck

nn

abhangt. Diese Abhangigkeit kann stuckweise linear eingegeben werden.

Abbildung 3.10: POWER-Law fur Schubsteifigkeitsabminderung [12]

Alternativ kann die Schubabminderung durch ein Power-Law eingegeben werden:

ρ(eck

nn

)=

(1− eck

nn

eckmax

)p

mit eckmax und p als Materialparameter. Dabei liegt ρ zwischen 0 (kompletter Verlust der

Schubsteifigkeit) und 1 (Status vor der Rissinitiierung).

Kapitel 4

Materialgesetze in ATENA

4.1 SBETA-Materialgesetz

Grundlagen

Das Materialmodell beinhaltet folgende Effekte des Betonverhaltens [7]:

• nichtlineares Verhalten des Betons unter Druckbeanspruchung unter Berucksichti-gung von Ver- und Entfestigung

• Versagen von Beton unter Zugbeanspruchung basierend auf Konzepten der nichtli-nearen Bruchmechanik

• zweiachsiges Versagenskriterium

• Abminderung der Druckfestigkeit nach dem Reissen

• Effekt des tension stiffenings

• Abminderung der Schubsteifigkeit nach dem Reissen (variabel)

• zwei Rissmodelle: Modell der festen Risse und rotierende Risse

Das Modell kann durch 20 Materialparameter an das jeweilige Problem angepasst werden.Die Formulierung der Beziehungsgleichungen basiert auf dem ebenen Spannungszustand.Risse werden verschmiert dargestellt. Das bedeutet, dass die fur einen Punkt definiertenMaterialeigenschaften fur ein bestimmtes Materialvolumen (z.B. ein Element) gultig sind.Bewehrung kann diskret oder verschmiert modelliert werden.Das Modell basiert auf der Steifigkeit und wird durch die Gleichgewichtsbedingung ineinem Materialpunkt beschrieben:

s = De

wobei s der Spannungsvektor, D die Materialsteifigkeitsmatrix und e der Dehnungsvek-tor ist. Die Spannungen und die Steifigkeiten konnen in ihre Anteile aus Beton und Be-wehrung zerlegt werden, wobei sich die Betonspannung auf die gesamte Flache bezieht,d.h. die Flache, die die Bewehrung einnimmt, wird nicht abgezogen. Die Matrix D hatdie Form des Hooke’schen Gesetzes entweder fur den isotropen Fall oder orthotropenFall (bei Bewehrung oder Rissen). Im Falle von isotropem Material (ungerissen) sind dieHauptrichtungen von Spannungen und Dehnungen identisch, im Falle von nicht isotropem

27

28 KAPITEL 4. MATERIALGESETZE IN ATENA

Verhalten (gerissen) konnen sie unterschiedlich sein.Materialsteifigkeitsmatrix fur ungerissenen (isotropen) Fall im globalen Koordinatensy-stem x-y:

Dc =E

1− ν2

1 ν 0ν 1 00 0 1−ν

2

Materialsteifigkeitsmatrix fur gerissenen Beton (orthotroper Fall) im lokalen Koordina-tensystem m1 −m2 in Ubereinstimmung mit den Rissrichtungen (1 ⊥ zur Rissrichtung,2 ‖ zur Rissrichtung):

DLc = H

ξ νξ 0νξ 1 00 0 G

mit ξ = E1

E2und H = E1 (1− ξν2)

Die Materialsteifigkeitsmatrix wird mit Hilfe der nichtlinear-elastischen Methode herge-leitet, wobei sich die Elastizitatskonstanten aus der aquivalenten einachsigen Spannungs-Dehnungslinie ergeben. Im Unterschied zum nichtlinearen hyperelastischen Modell werdenjedoch andere Gesetze fur Belastung und Entlastung benutzt, welche die Energiedissipati-on durch Schadigung des Materials berucksichtigen (nach Chen 1982). Dieses Modell kannauch als ein isotropes Schadigungsmodell betrachtet werden, in dem der Entlastungsmo-dul den Schadigungsmodul darstellt. Entlastung wird durch eine lineare Funktion zum

Abbildung 4.1: einachsiales Spannungs-Dehnungsgesetz fur Beton [7]

Ursprung abgebildet, d.h. die Spannungs-Dehnungsbeziehung ist nicht einheitlich undhangt von der Belastungsgeschichte ab. Der Wechsel vom Belasten zum Entlasten trittauf, wenn das Dehnungsinkrement das Vorzeichen wechselt. Beim erneuten Belasten wirdder lineare Entlastungspfad solange verfolgt, bis der vorherige Belastungspunkt erneuterreicht wird. Dann wird die Belastungskurve weiter verfolgt.

Zugbereich

Das Verhalten von ungerissenem Beton unter Zugbeanspruchung wird linear-elastisch an-genommen. Fur das Verhalten nach dem Reissen stehen zwei Modelle zur Verfugung:Normalerweise wird ein fiktives Rissmodell benutzt, welches auf einem Rissoffnungsgesetz

4.1. SBETA-MATERIALGESETZ 29

und der Bruchenergie basiert. Diese Formulierung ist fur das Modellieren von Rissaus-breitung geeignet und wird in Verbindung mit einem Rissband benutzt.

Abbildung 4.2: Exponentielles Rissoffnungsgesetz [7]

Abbildung 4.3: Lineares Rissoffnungsgesetz [7]

Abbildung 4.4: Lineare Entfestigung in Abhangigkeit der Dehnung [7]

Fur spezielle Anwendungen, in denen z.B. nicht von ausgebreiteter Rissbildung ausge-gangen wird, kann eine Spannungs-Dehnungs-Beziehung in einem Materialpunkt definiert


werden. Der abfallende Ast wird dabei durch die Dehnung C3 bestimmt, bei welcher keineSpannungen mehr ubertragen werden.Insgesamt stehen im SBETA-Materialmodell funf verschiedene Entfestigungsansatze zurVerfugung. Neben den in Abb. 4.2, Abb. 4.3 und Abb. 4.4 dargestellten, gibt es außerdemzwei Ansatze fur faserbewehrten Beton.

Druckbereich

Fur den ansteigenden Ast des Spannungs-Dehnungs-Gesetzes unter Druckbeanspruchungwird die vom CEB-FIP Model Code 90 empfohlene Formel modelliert:

σefc = f

′efc

kx− x2

1 + (k − 2) x

mit x = εεc

und k = E0

Ec, wobei E0 der Anfangselastizitatsmodul und Ec der Sekanten-

elastizitatsmodul bei der maximalen Spannung ist. Mit dieser Annahme wird bereits vordem Erreichen der Maximalspannung verteilte Schadigung berucksichtigt. Im Unterschieddazu tritt nach dem Versagen lokalisierte Schadigung auf.

Abbildung 4.5: Spannungs-Dehnungs-Diagramm im Druckbereich [7]

Das Entfestigungsgesetz im Druckbereich ist linear abnehmend. Es stehen zwei Entfe-stigungsmodelle im Druckbereich zur Verfugung, wobei das eine auf dissipierter Energiebasiert. Dieses

”fiktive Druckebene-Modell“ geht von der Annahme aus, dass das Druck-

versagen in einer Ebene senkrecht zur Druckhauptspannung auftritt. Alle Nachrissdruck-verschiebungen und Energiedissipationen sind in dieser Ebene lokalisiert. Dabei ist dieGroße der Verschiebungen unabhangig von der Modellgroße (nach Experimenten von VanMIER 1986). Bei dieser Theorie sind analog dem Zugbereich Bruchenergie und Formder Rissoffnungsfunktion Materialparameter. Im Druckbereich wird die Bruchenergie je-doch indirekt uber eine plastische Verschiebung wd, bei welcher keine Spannung mehraufgenommen wird, definiert. Fur Normalbeton wird wd = 0, 5mm empfohlen. Das Ent-festigungsgesetz wird mit Hilfe der Bandgroße L

′

d (siehe Abb. 4.9) in eine Spannungs-


Dehnungsbeziehung auf ein entsprechendes Volumen des Kontinuumsmaterials umgewan-delt:

εd = εc +wd

L′d

Der Vorteil dieser Formulierung liegt in geringerer Abhangigkeit vom Netz [7].

Abbildung 4.6: Entfestigungs-Verschiebungsgesetz unter Druck [7]

Das zweite Entfestigungsgesetz basiert auf lokalen Dehnungen, wobei die Neigung desabfallenden Astes durch den Entfestigungsmodul Ed angegeben wird. Dieser Ansatz istjedoch von der Große des finiten Elementnetzes abhangig.

Zweiachsige Belastung

Abbildung 4.7: Zweiachsiges Versagenskriterium [7]


Das nichtlineare Verhalten des Betons im zweiachsigen Spannungszustand wird durch dieeffektive Spannung σef

c , die in den meisten Fallen einer Hauptspannung entspricht, unddie aquivalente einachsiale Dehnung εeq beschrieben:

εeq =σci

Eci

Die aquivalente einachsiale Dehnung wird eingefuhrt, um den Poisson-Effekt im ebenenSpannungszustand zu eliminieren. Sie kann als die Dehnung angesehen werden, die untereinachsiger Belastung und einem E-Modul Eci bezogen auf die Richtung i durch die Span-nung σci entstehen wurde. Mit dieser Annahme wird die Nichtlinearitat, die die Schadigungreprasentiert, nur durch die bestimmende Spannung σci verursacht (nach CHEN 1982).Das zweiachsige Versagenskriterium geht im Druckbereich auf Kupfer et al. (1969) zuruck.Unter zweiachsiger Zugbeanspruchung bleibt die Zugfestigkeit konstant und ist gleich dereinachsigen Zugfestigkeit. Fur Druck-Zug-Beanspruchung wird die Druckfestigkeit vomPunkt σc1 = 0, σc2 = f

′c linear um einen Faktor 1, 0 ≥ rec ≥ 0, 9 abgemindert. Die

Zugfestigkeit kann entweder linear oder in hyperbolischer Form abgemindert werden.

Abbildung 4.8: Versagensfunktion bei Zug-Druck-Beanspruchung [7]

Lokalisierungskontrolle und charakteristische Lange

Durch die Einfuhrung von Lokalisierungskontrollen werden die Elementgroßen- und Ele-mentorientierungsabhangigkeiten eliminiert. Es wird sowohl im Zug- als auch im Druck-bereich ein Versagensband eingefuhrt. Die Dimensionen der Versagenszonen werden inUbereinstimmung mit Experimenten als unabhangig von der Strukturgroße angenommen[7]. Die Breiten der Versagensbander werden als Projektion der Elementabmessungen indie Versagensebene definiert (Ld fur Druck, Lt fur Zug). Sie werden gegebenenfalls durcheinen Faktor vergroßert, der den Winkel zwischen den Elementseiten und der Rissrichtungberucksichtigt. Diese Definition der charakteristischen Lange bzw. der Rissbandgroße istbesser als eine auf dem Integrationspunktvolumen basierende Bestimmung der charakte-ristischen Lange, welche fur verzerrte Elemente schlecht geeignet ist.


Abbildung 4.9: Definition des Lokalisierungsbandes [7]

Rissbildung

Der Prozess der Rissbildung kann in drei Stufen unterteilt werden. Der ungerissene Statusgilt, bis die Zugfestigkeit erreicht wird. Die Rissbildung findet in der Prozesszone einespotentiellen Risses statt, wobei die Zugspannung, die uber die Rissufer ubertragen werdenkann, abnimmt. Nachdem keine Spannungen mehr ubertragen werden konnen, offnet sichder Riss weiter ohne Spannungen.

Abbildung 4.10: Stufen der Rissoffnung [7]

Die Rissweite wird aus der Rissoffnungsdehnung εcr senkrecht zur Rissrichtung berechnet:

w = εcrL′

t

Wenn die Spannung parallel zum Riss auch die Zugfestigkeit erreicht, tritt ein zweiterRiss senkrecht zum ersten auf.


Die Reduktion der Druckfestigkeit parallel zum Riss wird durch eine Gauss-Funktion ab-gebildet, welche vom Nutzer durch die Konstante c gesteuert werden kann, welche diemaximale Abminderung unter großen Querdehnungen angibt.

Abbildung 4.11: Druckfestigkeitsabminderung fur gerissenen Beton [7]

Innerhalb des Materialgesetzes sind 2 Rissmodelle vorhanden, beide beruhen auf demKonzept der verschmierten Risse. Es wird angenommen, dass die Risse gleichmaßig ver-teilt uber das zum gerissenen Materialpunkt gehorende Volumen verteilt sind. Durch dieEinfuhrung von Orthotropie werden die Risse im Materialverhalten berucksichtigt.

Abbildung 4.12: Spannungs- und Dehnungszustand im festen Rissmodell (links) und imrotierenden Rissmodell (rechts) [7]

Feste Risse Beim festen Rissmodell wird die Richtung des Risses durch die Richtungder Hauptzugspannung im Moment der Rissinititierung definiert. Im weiteren Verlauf derRechnung bleibt diese Richtung konstant und reprasentiert die Materialachse der Ortho-tropie. Die schwache Materialachse m1 ist senkrecht zur Rissrichtung und die starke Achsem2 ist parallel zu den Rissen. Im allgemeinen Fall konnen die Hauptdehnungsachsen ε1 undε2 rotieren und mussen nicht mit den Achsen der Orthotropie ubereinstimmen. Dadurchkonnen Schubspannungen entlang der Rissflache auftreten. Die Spannungskomponentenσc1 und σc2 sind senkrecht und parallel zum Riss, d.h. sie sind nicht die Hauptspannun-gen. Der Schubmodul wird nach dem von Kolmar [18] abgeleiteten Gesetz mit wachsenderRissoffnungsdehnung abgemindert.

G = rgGc

4.2. NICHTLINEARES MATERIALGESETZ FUR BETON 35

In ATENA wird aber der Bewehrungsgrad nicht berucksichtigt und ρ = 0 angenommen.

Abbildung 4.13: Schubreduktionsfaktor [7]

Desweiteren wird die Schubspannung in der Rissflache durch die Zugfestigkeit begrenzt.

τuv = Gγ ≤ f′

t

Rotierende Risse Im Modell der rotierenden Risse stimmt die Richtung der Haupt-spannungen und Hauptdehnungen uberein, d.h. es treten keine Schubspannungen entlangder Rissflache auf. Wenn die Hauptspannungen wahrend dem Weiterbelasten rotieren,dreht sich auch die Richtung des Risses. Um die Ubereinstimmung der Hauptdehnungs-achsen mit den Materialachsen zu gewahrleisten, wird der Tangentenschubmodul nachCrisfield 1989 wie folgt berechnet:

Gt =σc1 − σc2

2 (ε1 − ε2)

4.2 Nichtlineares Materialgesetz fur Beton

Neben dem Materialgesetz, welches von dem Vorgangerprogramm SBETA ubernommenwurde, gibt es ein plastisches Versagensgesetz, welches ein Modell mit Rissbildung imZugbereich mit einem Modell fur plastisches Verhalten im Druckbereich kombiniert, wobeizwischen verschiedenen Plastizitatsmodellen gewahlt werden kann.

Grundmodelle

Das Rissmodell basiert auf einer klassischen senkrechte Verschmierte-Risse-Formulierungund dem Rissbandmodell. Es wird das Rankine-Versagenskriterium und ein exponen-tielles Entfestigungsgesetz (vgl. Abb. 4.2) benutzt und es kann sowohl als Modell mitfesten Rissen, als auch mit rotierenden Rissen benutzt werden. Dazu wird ein Verhaltnisder vorhandenen Zugspannung zur Zugfestigkeit angegeben, ab welchem die Risse nichtmehr rotieren, sondern fest bleiben. (1 ⇒ feste Risse im gesamten Rechnungsablauf, 0 ⇒rotierende Risse im gesamten Rechnungsablauf unabhangig von der verbleibenden Zugfe-stigkeit)Das Ver- und Entfestigungsplastizitatsmodell basiert auf der MENETREY-Willam- oder


der Drucker-Prager-Fliessflache.Beide Modelle benutzen einen return mapping Algorithmus (WILKINS 1964) fur die Inte-gration. Dieses Verfahren garantiert eine Losung fur alle Großen des Dehnungsinkrements.Dann wird das Problem so transformiert, dass ein optimaler Ruckkehrpunkt zur Versa-gensflache gefunden werden muss.

Kombination von Versagens- und Plastizitatsmodell

Spezielle Beachtung findet der Algorithmus zur Kombination der beiden Modelle. Erbeinhaltet Dehnungsaufteilung in Dehnungskomponenten des Versagensmodells und desPlastizitatsmodells. Er basiert auf rekursiver Substitution und erlaubt, dass beide Modelleseparat entwickelt und formuliert werden konnen. Das rekursive Iterationsschema wirddurch die Moglichkeit der Relaxation erweitert, um die Stabilitat der Konvergenz in Fallenvon Entfestigung zu gewahrleisten. Der Algorithmus kann mit Fallen, in welchen dieVersagensflachen beider Modelle beruhrt werden ebenso umgehen, wie mit physikalischenVeranderungen wie Rissschließen [7]. Mit dem Modell konnen Reissen, Druckbruch undRissschließen aufgrund von Druckbruch in anderen Materialrichtungen simuliert werden.

Unterschiede zum SBETA-Materialmodell

Unterschiede zum SBETA-Materialgesetz bestehen im Druckbereich. Der ansteigende Astder einachsigen Kurve verlauft bis zu einem Wert zwischen 2/3 und 100% der Druckfe-stigkeit (Standardwert 2/3) linear, wobei er im SBETA-Gesetz von Anfang an nichtlinearist. In ABAQUS und in der Umat-Routine wird vom Beginn der Nichtlinearitat bei einemDrittel der Druckfestigkeit ausgegangen. Dies lasst sich also mit diesem Materialgesetznicht abbilden.

Abbildung 4.14: charakteristische Lange im Druckbereich und Ver- und Entfestigung nachvan MIER [7]

Des weiteren kann die Scharfheit der Kanten der Versagensflache des Plastizitatsgesetzesmodifiziert werden. Sie kann sich außerdem in Abhangigkeit der Ver- bzw. Entfestigungs-parameter verschieben. Weitere Unterschiede sind der Verlauf der Versagensflache imDruck-Zug-Bereich und beim Verlauf der Schubspannung. Das Materialgesetz beruht nichtauf dem ebenen Spannungszustand, ist also auch fur dreidimensionale Anwendungen ge-eignet.

4.3. WEITERE MATERIALGESETZE 37

4.3 Weitere Materialgesetze

Fur die Zuschlagkorner wurde ein elastisch isotropes Materialgesetz fur den ebenen Span-nungszustand, welches durch Eingabe des E-Moduls definiert wird, verwendet.Das Materialverhalten von Bewehrungsstahl kann durch ein bilineares elastisch-idealpla-stisches Gesetz durch Eingabe des E-Moduls Es sowie des Verfestigungsmoduls Esh undeiner die Duktilitat begrenzenden Dehnung εL definiert werden.

Abbildung 4.15: Bilineare Spannungs-Dehnungs-Beziehung fur Bewehrung [7]

Um alle vier Phasen des Materialverhaltens von Stahl abzubilden, kann auch ein multili-neares Gesetz benutzt werden, welches den elastischen Teil, das Fliessplateau, die Verfe-stigung und das Versagen abbildet.

Abbildung 4.16: multilineare Spannungs-Dehnungs-Beziehung fur Bewehrung [7]

Beide Gesetze konnen sowohl fur verschmierte, als auch fur diskrete Bewehrung benutztwerden.Des weiteren stehen in ATENA Materialgesetze zur Verfugung, mit welchen Kontakt-bedingungen, wie z.B. der Verbund zwischen Stahl und Beton, gesondert berucksichtigtwerden konnen.


4.4 Verifizierung der Implementierung an einem Ele-

ment

Da die Beanspruchungsart im Anwendungsbeispiel dem ebenen Spannungszustand ent-spricht und sich somit das SBETA-Materialmodell anbietet, wurde hier auch hauptsachlichdieses getestet. Im Druckbereich wurde zusatzlich eine Vergleichsrechnung mit dem nicht-linearen Betongesetz durchgefuhrt. Um auch den Nachriss- bzw. Nachbruchbereich abbil-den zu konnen, wurden alle Tests verschiebungssgesteuert durchgefuhrt.Die Tests wurden an einem Element mit den Abmessungen 10cm x 10cm durchgefuhrt.Um die Vergleichbarkeit zu gewahrleisten, wurden als Materialparameter soweit moglichdie Werte gewahlt, die auch den Verifizierungstests des Materialgesetzes in Kapitel 5zugrunde liegen.

4.4.1 Eingabeparameter

Elastizitatsmodul: E=30000 MPaQuerdehnzahl: ν=0,18Zugfestigkeit: ft=2,25 MPaDruckfestigkeit: fc=25 MPaDichte: ρ = 2, 6 · 10−2MN/m3

Thermischer Ausdehnungskoeffizient: α = 1, 2 · 10−5KFur die Entfestigung im Zugbereich wurde die exponentielle Kurve mit einer Bruchenergievon Gf = 8 · 10−5MN/m verwendet, das heißt die Rissoffnung, bei der keine Zugspan-nungen mehr ubertragen werden, betragt nach Abb. 4.2:

wc = 5, 14Gf

Rt

= 0, 000183m

Es wurden sowohl Versuche mit dem festen, als auch mit dem rotierenden Rissmodelldurchgefuhrt.Die Dehnung im Druckbereich, bei welcher die Bruchspannung erreicht wird, betragtεc=0,002.Es wird keine Abminderung der Druckfestigkeit infolge von Rissen berucksichtigt ⇒c=0,99.Als Druckentfestigungsmodell wurde das Modell des Rissbandes mit einer kritischen Ver-schiebung von wd=-0,0005m eingestellt.Der Schubreduktionsfaktor ist variabel durch die Kurve in Abb. 4.13 definiert.Die Zug-Druck-Interaktion wird durch eine lineare Beziehung entsprechend der Abb. 4.8abgebildet.

4.4.2 Einachsige Zugbeanspruchung

Bis zum Erreichen der Zugfestigkeit stimmen die Kurven uberein. Der Nachrissverlaufist mit SBETA-Materialgesetz etwas anders als der der analytischen Kurve nach [19],welche ebenfalls mit einer Bruchenergie von 80N/m berechnet wurde. Die Flachen unterden Kurven sind demzufolge gleich, die Kurve von SBETA verlauft jedoch anfangs steiler,schneidet dann die analytische Kurve und verlauft flacher. Dies ist in den unterschiedlichenFunktionsansatzen fur die Nachrisskurve zu begrunden (siehe Abb. 4.2 und Abb. 5.8).

4.4. VERIFIZIERUNG DER IMPLEMENTIERUNG AN EINEM ELEMENT 39

Abbildung 4.17: Verhalten unter einachsiger Zugbeanspruchung im Vergleich mit der ana-lytischen Losung nach [19]

4.4.3 Zweiachsige Zugbeanspruchung

Die Kurve ist auf dem ansteigenden Ast etwas steiler, als die Kurve unter einachsigerZugbeanspruchung. Die Zugfestigkeit wird bei einer Dehnung von 6, 15 · 10−5 anstelle

nn

Abbildung 4.18: Verhalten unter zweiachsiger Zugbeanspruchung im Vergleich mit ein-achsiger Beanspruchung

von 7, 5 · 10−5 erreicht. Das entspricht einer Dehnung, die 18% niedriger ist, was mit derQuerdehnzahl von 0,18 ubereinstimmt. Ebenfalls auf den Einfluss der Querdehnung istzuruckzufuhren, dass die Entfestigung schneller verlauft bzw. dass bei gleichen Dehnungen


nur noch weniger Spannungen ubertragen werden, als dies unter einachsiger Beanspru-chung der Fall ist.Wird die Rechnung mit einer Querdehnzahl von Null durchgefuhrt, stimmen die Kur-ven mit der unter einachsiger Zugbelastung uberein, da keine Querdehneinflusse mehrvorhanden sind.

4.4.4 Einachsige Druckbeanspruchung

Die Spannungs-Dehnungskurven im Druckbereich verlaufen nahezu identisch bis zum Er-reichen der Druckfestigkeit. Der geringe Unterschied kommt dadurch zustande, dass dasSBETA-Materialgesetz von Anfang an nichtlinear ist, wahrend bei der analytischen Kurvenach [19] von Nichtlinearitat erst bei einem Drittel der Druckfestigkeit ausgegangen wird.Bei Verwendung des nichtlinearen Betongesetzes kommt es zu großeren Abweichungenauch schon im ansteigenden Ast, da dass nichtlineare Verhalten des Betons hier fruhestensbei 2/3 der Druckfestigkeit beginnt. Außerdem wird die Rechnung im Nachbruchbereichinstabil.

Abbildung 4.19: Verhalten unter einachsiger Druckbeanspruchung

Nach dem Versagen hat die analytische Kurve einen nichtlinearen Verlauf, welcher miteiner Zerstauchungsenergie von 20000N/m bestimmt wurde. Im SBETA-Materialgesetzwird uber die Eingabe der maximalen Verschiebung nach dem Versagen ein linearer Ver-lauf implementiert. Mit dem empfohlenen Wert von -0,5mm verlauft die Abnahme derDruckspannung deutlich steiler als in analytischer Kurve.Um die Bruchenergie von 20000N/m zu erreichen, ware bei linearer Abnahme und derDruckfestigkeit von 25N/mm2 ein Wert von 1, 6mm notig. Im spateren Modellbeton tretenjedoch unterschiedliche Materialien auf, so dass es sinnvoller erscheint, anstelle der Zer-stauchungsenergie Gcl den Verschiebungswert wd konstant zu halten. Aufgrund der unter-schiedlichen Druckfestigkeiten von Ubergangszone (22, 5N/mm2) und Matrix (45N/mm2)sind dann auch die Zerstauchungsenergien unterschiedlich, was logischer erscheint, als diegleiche fur verschiedene Materialien.


Abbildung 4.20: Entlastungsverhalten unter einachsiger Druckbeanspruchung

Da das Materialgesetz auf der Kontinuumsschadigungstheorie basiert, verlauft die Kur-ve bei vollstandiger Entlastung durch den Ursprung, d.h. es bleiben keine plastischenDeformationen zuruck.

4.4.5 Zweiachsige Druckbeanspruchung

Bei gleicher Beanspruchung in beide Richtungen erreichen die Spannungswerte etwa 116%der einachsigen Druckfestigkeit. Dies stimmt mit experimentellen Beobachtungen ubereinund ist auf die stutzende Wirkung der zweiten Druckspannung zuruckzufuhren. Aufgrund

Abbildung 4.21: Verhalten unter zweiachsiger Druckbeanspruchung


des Querdehneinflusses verlauft die Kurve steiler und die Bruchdehnung ist geringer alsbei einachsiger Beanspruchung. Nach dem Versagen nehmen die Druckspannungen unterzweiachsiger Beanspruchung schneller ab, als unter einachsiger Beanspruchung.

4.4.6 Druck-Zug-Beanspruchung

Der Verlauf der Spannungen und die Art des Versagens hangt hier vom Verhaltnis derZugspannung zur Druckspannung ab.

Abbildung 4.22: maximale Hauptspannungen bei Druck-Zug-Beanspruchung

Bei verhaltnismaßig großen Zugspannungen tritt zuerst Zugversagen auf, wobei die effek-tive Zugfestigkeit von der Hohe der gleichzeitig erzeugten Druckspannung abhangt (sieheAbb. 4.8). Dadurch ist zu erklaren, warum bei einem Verhaltnis von 0,5/-1,0 aufgebrach-ter Zugdehnung zu aufgebrachter Druckdehnung die maximale Zugspannung geringer ist,als bei einem Verhaltnis von 1,0/-1,0: Zum Zeitpunkt des Reissens ist die Druckspannungim ersten Fall schon doppelt so groß wie im zweiten.Je niedriger die erreichte Zugspannung ist, desto langsamer nehmen die Spannungen nachder Rissbildung ab, dadurch sind die Flachen unter den Nachrisskurven gleich groß, d.h.die Bruchenergie andert sich nicht.Im weiteren Verlauf tritt in beiden Fallen auch noch Druckbruch in der anderen Richtungauf, wobei die Spannungs-Dehnungs-Kurven im Druckbereich mit denen unter einachsigerDruckbelastung ubereinstimmen.Bei verhaltnismaßig kleinen Zugspannungen tritt Druckversagen auf. Bei einem Verhaltnisvon 0,1/-1,0 der aufgebrachten Zugdehnung zur aufgebrachten Druckdehnung treten auchin Richtung der Zugdehnung Druckspannungen auf (Die Querdehnungen sind infolge derDruckspannung schon großer als die aufgebrachte Dehnung, so dass Druckspannungennotig sind, um die Dehnung auf diesen Wert zu begrenzen, die Querdehnung betragt18%, die erzeugte Druckspannung etwa 10%). Dadurch ist die erreichte Spannung beimVersagen hoher als als die einachsige Druckfestigkeit, da in Wirklichkeit ein zweiachsigerDruckbeanspruchungszustand herrscht.


Abbildung 4.23: minimale Hauptspannungen bei Druck-Zug-Beanspruchung

Betragt die aufgebrachte Zugdehnung 20% der aufgebrachten Druckdehnung, treten indieser Richtung geringe Zugspannungen auf, die dazu fuhren, dass die erreichte Spannungbeim Druckbruch geringer ist, als die einachsige Druckfestigkeit (siehe Abb. 4.7).

4.4.7 Schubbeanspruchung

Bei reiner Schubbelastung gibt es keinen Unterschied zwischen festen und rotierendenRissen. In x- und y-Richtung entwickeln sich gleich große Druckspannungen, die vom

Abbildung 4.24: Hauptdruckspannungen bei Schubbelastung im Vergleich zu einachsigerDruckbelastung


Betrag her in Großenordnung der Schubspannung liegen (Schubspannungen siehe Abb.A.4 im Anhang). Es kommt zur Rissbildung unter einem Winkel von 45◦, wobei die ma-ximale Hauptspannung einen geringeren Wert als die Zugfestigkeit erreicht (siehe Abb.A.5 im Anhang), da die zweite Hauptspannung eine Druckspannung ist und somit dieZugfestigkeit abgemindert wird. Die Schub- und Druckspannungen wachsen weiter an,bis die minimale Hauptspannung die Druckfestigkeit erreicht und Druckversagen eintritt.Die Entfestigung im Druckbereich verlauft dabei schneller als bei Druckbeanspruchung.Dies ist einerseits darauf zuruckzufuhren, dass der Beton in der anderen Richtung schongerissen ist und andererseits darauf, das der Riss unter einem Winkel von 45◦ verlauft,wodurch die Lange, auf welche die Rissverschiebung bezogen wird, großer ist, was zu klei-neren Dehnungen fuhrt.

Weitere Tests zur Schubbeanspruchung von gerissenem Beton durch vorherige Zugbela-stung und zu kombinierter Druck-Schubbeanspruchung wurden durchgefuhrt. Hier zeigtensich zum Teil große Unterschiede zwischen dem Modellen der festen und der rotierendenRisse (siehe Anhang A.1).

Kapitel 5

Kombination von Plastizitat undSchadigung

5.1 Theoretische Grundlagen

Allgemeines

Die Kombination der Plastizitatstheorie und der Kontinuumsschadigungstheorie wurdeerstmals von Bazant verwendet. Das hier betrachtete Materialgesetz basiert auf Polling[19]. Es wird am Institut fur Strukturmechanik umgesetzt, um eventuelle Erweiterungs-moglichkeiten zu erforschen.

Abbildung 5.1: Charakteristik des plastischen Materialverhaltens

Bei Materialgesetzen auf Grundlage der Plastizitatstheorie bleiben die plastischen Verfor-mungen nach der Entlastung komplett erhalten und die Steifigkeit des Materials bleibtdurch plastische Deformation unbeeinflusst.Die Kontinuumsschadigungstheorie entspricht weitestgehend der Mikrorisstheorie, d.h.der Einfluss von Mikrodefekten wird durch die Abnahme der Steifigkeit berucksichtigt.Der Werkstoff wird aber trotz Diskontinuitaten weiter als Kontinuum betrachtet. Um dieSchadigung zu berucksichtigen, wird eine Variable eingefuhrt, die den Schadigungsgradangibt [19]. Die Entlastung erfolgt linear-elastisch und eine vollstandige Entlastung fuhrtzu einem spannungs- und verzerrungsfreiem Zustand, d.h. es bleiben keine plastischenDeformationen erhalten.

45

46 KAPITEL 5. KOMBINATION VON PLASTIZITAT UND SCHADIGUNG

Abbildung 5.2: Charakteristik des schadigenden Materialverhaltens

Um das Verhalten von Beton praxisnah abzubilden, erscheint die Kombination beiderTheorien sinnvoll, d.h. das nichtlineare Verhalten des Betons wird sowohl auf plastischeVerformungen, als auch auf Schadigung zuruckgefuhrt. Bei Entlastung bleibt so eine Teilder Deformationen erhalten und die Schadigung wird durch eine abgeminderte Steifigkeitberucksichtigt.

Abbildung 5.3: Charakteristik des Materialverhaltens bei Kombination von Plastizitatund Schadigung

In der kombinierten elasto-plastischen Kontinuumsschadigungstheorie gilt:

ε = D : σ + εpl

hier allerdings genauer:

ε =(D0 + Dda

): σ + εpl

Dabei ist D0 der Nachgiebigkeitstensor des ungeschadigten Materials und Dda dient zurBerucksichtigung des Einflusses der Materialschadigung auf die Nachgiebigkeit. Es wirdals interne Variable fur die Schadigungsnachgiebigkeit benutzt und setzt sich aus demNachgiebigkeitszuwachs aus isotropischer Schadigung und dem Nachgiebigkeitszuwachsaus geoffneten Zugrissen zusammen. Im Verlauf der Berechnung geht die Steifigkeit somitasymptotisch gegen Null.

5.1. THEORETISCHE GRUNDLAGEN 47

Abbildung 5.4: Zerlegung der Dehnung zur Kombination von Schadigung und Plastizitatnach [19]

Um Schadigung und Plastizitat zu koppeln, wird die inelastische Dehnung εin in die pla-stische Dehnung εpl und der Schadigung zugeordnete Dehnung εda zerlegt.Als Integrationsverfahren sind sowohl das Eulersche Polygonzugverfahren, als auch dasRunge-Kutta-Verfahren moglich. Beides sind Einschrittverfahren, da sie bei der Berech-nung von yi+1 auf das Ergebnis yi des vorangegangenen Schrittes zuruckgreifen. BeimEuler-Verfahren liegt der Fehler in Großenordnung von h2 mit h als Schrittweite. Mit demklassichen Runge-Kutta-Verfahren liegt eine Weiterentwicklung des Euler-Verfahrens vor.Der Fehler liegt hier nach [6] nur in Großenordnung von h5, zudem ist eine Schrittweiten-steuerung moglich, was zu besserer numerischer Stabilitat fuhrt.

Druckbereich

Der Druckbereich ist in drei Bereiche aufgeteilt. Zunachst ist das Materialverhalten linear-

Abbildung 5.5: Verhalten unter einachsiger Druckbeanspruchung [19]


elastisch. Es wird angenommen, dass bis zum Erreichen einer Anfangsfliessspannung fcy

weder plastisches Fliessen noch Materialschadigung auftreten. Die Anfangsfliessspannungwird auf ein Drittel der Bruchspannung geschatzt. Es gilt:

fcy =1

3fc

Dieser Bereich ist durch die Parameter νc und Ec bestimmt und die Spannung bei ein-achsiger Belastung ergibt sich aus:

σ (ε) = Ec · ε

Nach Uberschreiten der Anfangsfliessspannung beginnt der sogenannte Vorbruchbereich,in welchem die Spannung bis zum Erreichen der Bruchspannung ansteigt. Die tangentialeSteifigkeit geht von der Ursprungssteifigkeit bis auf Null im Punkt des Erreichens derBruchlast zuruck. Es gilt:

σ (ε) =Eci

εfc

+(

εεc

)2

1−(Eci

εc

fc− 2

) (εεc

)fc

Im Nachbruchbereich kommt es zu Lokalisierung der Schadigung. Es wird nur ein Teildes Gesamtkontinuums entfestigt, wahrend der ubrige Teil lediglich entlastet wird. DieSpannungs-Dehnungslinie wird dadurch geometrieabhangig.

Abbildung 5.6: Lokalisierung der Schadigung bei Beton unter Druckbeanspruchung [19],links: Spannungsdehnungslinie innerhalb der lokalisierten Zone, rechts: Spannungsdeh-nungslinie außerhalb der lokalisierten Zone

Die Spannungsfunktion ist hier:

σ (ε) = − 12+γcfcεc

2fc+ γcε + γc

2εcε2

mit γc > 0, da sonst die Zerstauchungsenergie negativ ware. Die Ver- und Entfestigung istisotrop und wird mit Hilfe der Zerstauchungsenergie gesteuert. Sie wird in der Spannungs-funktion durch den Parameter γc berucksichtigt, der dazu dient, die Form der Spannungs-Dehnungslinie an experimentelle Kurven anzupassen. Die Zerstauchungsenergie zerglie-dert sich in einen globalen (Gcu) und einen lokalen Anteil (Gcl), welcher nach gangiger

5.1. THEORETISCHE GRUNDLAGEN 49

Lehrmeinung ein Materialparameter ist. Diesen bezieht man auf die Breite der lokalisier-ten Zone, um netzabhangige Losungen zu vermeiden. In FEM-Rechnungen dient dazuoftmals die aquivalente Elementlange:

g∗cl =Gcl

leq

g∗cl gibt die in der lokalisierten Zone dissipierte volumenspezifische Energie an. Sie ist

Abbildung 5.7: Entfestigung im Druckbereich [19]

definiert durch die Flache unter der Spannungs-Dehnungslinie, wobei der Anteil, der durchPlastizitat dissipiert wird, abgezogen wird, da dieser der globalen uber die gesamte Probeverteilten dissipizierten Energie gcu entspricht.Fur die Schadigungs- und Plastizitatsentwicklung wird ein gemeinsames Fließpotentialangewendet. Es wird eine Drucker-Prager-Fliessbedingung implementiert:

Φc =1

1√3− µ

(µ · I1 +

√J2

)− αc (qc) = 0

I1 = σ11 + σ22 + σ33 und J2 = 13(σ2

11 + σ222 + σ2

33) + σ212 + σ2

23 + σ231 stellen dabei die erste

und zweite Invariante des Spannungstensors dar. qc ist eine interne Variable, durch diedie Schadigung aufgrund der Belastungsgeschichte berucksichtigt wird. Zweiachsige Span-nungszustande lassen sich mit diesem Kriterium zufriedenstellend abbilden, bei hoherenhydrostatischen Drucken wird das Materialverhalten nicht genugend wiedergegeben.

Zugbereich

Im Zugbereich gibt es keinen nichtlinearen Vorbruchbereich, außerdem werden plastischeVerformungen nicht berucksichtigt, d.h. dass die Entlastung stets durch den Ursprungverlauft.Als Fliessflache dient ein Rankine-Kriterium:

Φt(i) = ξ(i) − ft = 0 mit 1 < i < 3

mitξ(i) i− ter Eigenwert von ξ


Abbildung 5.8: Verhalten im Zugbereich [19]

ξ = σ −αt

αt ist ein Ruckspannungstensor, welcher negativ ist. Das heißt je großer die Ruckstell-spannung wird, desto kleiner muss σ werden, damit in der Summe beide zusammen fct

nicht uberschreiten.Im Nachrissbereich tritt kinematische Entfestigung auf, unter einachsiger Beanspruchungfolgt die Spannungs-Dehnungslinie einem exponentiellen Verlauf:

σt2 (ε) = fct · e1γt

(εt−ε)

Die Flache unter der Kurve gibt die auf die aquivalente Elementlange bezogene Bruch-energie an, welche wiederum ein Materialparameter ist.

g∗t =Gf

leq=

1

2

f 2ct

Ec

+ γtfct

Je großer die Bruchenergie ist, desto sanfter nimmt die Spannung in den Rissen ab. Durchγt wird wiederum die Kurvenform gesteuert.

Rissbildung

Die Rissinitiierung erfolgt in den Hauptspannungsrichtungen nach Mode I. Es handeltsich um ein rotierendes Rissmodell, d.h. die Rissorientierung wird nicht gespeichert. Essind bis zu drei orthogonale Risse moglich. Das Mode II- Verhalten wird nicht modelliert.Ein Vorzeichenwechsel der Hauptspannung gilt als Rissschliessbedingung. Mit Hilfe derRuckstellspannung konnen Risse identifiziert werden, sobald diese verschieden von Nullist, ist ein Riss aufgetreten.Ein Riss gilt als geoffnet, wenn die zugehorige Hauptspannung einen positiven Wert hat.Bei geschlossenen Rissen soll das Material die Ausgangssteifigkeit zuruckerlangen. Zurexakten Bestimmung des Zeitpunktes des Rissoffnens bzw. - schließens ist die Berechnungvon bis zu drei Durchstoßpunkten erforderlich.Bei der Umsetzung am ISM ist bisher noch nicht berucksichtigt worden, dass auch zweioder drei Risse gleichzeitig entstehen konnen, d.h. es ist keine spezielle Behandlung der

5.2. EINGANGSPARAMETER 51

Schnittkanten vorgesehen. Es wird davon ausgegangen, dass diese Kanten nie genau ge-troffen werden. Auch beispielsweise bei zweiachsigem Zug ist immer eine der Richtungenminimal starker beansprucht. Damit ist keine gesonderte Behandlung dieser Schnittkan-ten, zwingend erforderlich. Das fuhrt allerdings dazu, dass die Konvergenzrate in der Naheder Schnittkanten drastisch abnimmt. Durch Ausrundung der Schnittkanten konnte diesbehoben werden.

5.2 Eingangsparameter

Das Materialgesetz kann durch die Eingabe von 10 Konstanten naher bestimmt werden.Die Klammerwerte geben die fur die Verifizierungstests in Abschnitt 5.3 verwendetenEingangsparameter an (siehe auch Anhang D.1).

Konstante 1: E-Modul (30000 N/mm2)

Konstante 2: Querdehnzahl (0,18)

Konstante 3: Dichte in Slang (in Abaqus nicht relevant: 1)

Konstante 4: Druckfestigkeit (25 N/mm2 )

Konstante 5: Stauchung bei Erreichen der Druckfestigkeit (0,002)

Konstante 6: Zugfestigkeit(2,25 N/mm2)

Konstante 7: µ: Parameter fur die Zweiachsigkeit (0,05)

Konstante 8: b steuert die Hohe des Einflusses der Schadigung im Verhaltnis zur Pla-stizitat; bei b = 0 wird nur Schadigung berucksichtigt, bei b = 1 tritt der Sonderfallder reinen Plastizitat auf. Je großer b wird, desto stabiler lauft die Rechnung imDruckbereich. (0,5)

Konstante 9: Zerstauchungsenergie im Druckbereich (20000N/m)

Konstante 10: Bruchenergie im Zugbereich (80N/m)

Fur die Umsetzung in ABAQUS ist es notwendig eine weitere Konstante, die dem Ele-menttyp entspricht, einzufuhren:Konstante 11: Elementtyp: 1 - C3D8, 2 - C3D8R, 3 - C3D20, 4 - C3D20R; fur deneinachsigen Sonderfall (siehe Kapitel 14.3): 5 - B21, 6 - B22, 7 - B 23

5.3 Verifizierung der Implementierung an einem Ele-

ment

Die Test wurden soweit nicht anders erwahnt an einem Element mit den Abmessungen10cm x 10cm durchgefuhrt. Dabei wurden verschiedene Elementtypen verwendet.


5.3.1 Einfluss der Elementart

Fur die Durchfuhrung der Verifizierungsrechnungen wurde das Programm ABAQUS/Standard verwendet. In diesem stehen fur das vorliegende Problem vier 3D-Solid-Element-typen zur Verfugung (siehe Abb. 5.9): Elemente erster sowie zweiter Ordnung, vollinte-griert oder reduziertintegriert. C3D bedeutet dreidimensionales Kontinuumselement, das

Abbildung 5.9: Nummerierung der Integrationspunkte in der ersten Ebene bei dreidimen-sionalen Kontinuumselementen

R steht fur reduzierte Integration und die 8 bzw. die 20 gibt die Anzahl der Knoten an, wo-bei die 8-Knotenelemente Elemente erster Ordnung mit einem linearen Geometrieansatzund die 20-Knotenelemente Elemente zweiter Ordnung mit einem quadratischen Geome-trieansatz darstellen. Die Entscheidung, welcher der Elementtypen am geeignetsten ist,hangt von der Art, der Geometrie und der Große des Problems ab.Bei ausgeglichenen Problemen, in denen keine komplexen Kontaktbedingungen, Stosseoder verzerrten Elemente auftreten, sorgen Elemente zweiter Ordnung fur hohere Ge-nauigkeit, da sie Spannungsspitzen besser ausgleichen. Zudem konnen sie manche geo-metrischen Figuren besser abbilden, so sind z.B. fur gebogene Flachen weniger Elementenotig, weshalb sie sehr effektiv fur Biegeprobleme sind. Elemente erster Ordnung sind un-ter Umstanden zu steif und erfordern besonders bei der Benutzung von dreieckigen odertetrahedralen Elementen ein sehr feines Netz, um zufriedenstellend genaue Losungen zuerzielen.Die Verwendung reduziertintegrierter Elemente wirkt sich positiv auf die Rechenzeit aus,da eine Integration niederer Ordnung benutzt wird, um die Steifigkeitsmatrix zu bilden.Fur die Massenmatrix und die Lasten wird volle Integration verwendet. Reduziertinte-grierte Elemente haben weniger Integrationspunkte als vollintegrierte, was neben der Re-chenzeit auch die benotigten Speicherressourcen vermindert. Bei den Elementen zweiter


Ordnung hat das Element C3D20R nur 8 Integrationspunkte im Vergleich zu C3D20 mit27 Integrationspunkten. Elemente zweiter Ordnung mit reduzierter Integration fuhrenin der Regel zu genaueren Ergebnissen als voll integrierte und werden fur gleichmaßigeProbleme auf jeden Fall empfohlen. Bei Elementen 1. Ordnung hangt das Verhaltnis derGenauigkeit von der Art des Problems ab. Reduziertintegrierte Elemente erster Ordnungwerden empfohlen, wenn große Dehnungen oder sehr große Dehnungsgradienten erwartetwerden [11].Fur reduziert integrierte Elemente erster Ordnung wie C3D8R kann allerdings Hourglas-sing ein Problem in Spannungs- oder Verschiebungsanalysen sein. Da die Elemente nureinen Integrationspunkt haben, ist es moglich, dass sie sich so verzerren, dass alle Dehnun-gen, die am Integrationspunkt berechnet werden, gleich Null sind, was zu einer unkontrol-lierten Verzerrung des gesamten Netzes fuhrt. Um Probleme mit singularen Moden, dieHourglassing verursachen, wenn zu wenig dynamische Lagerbedingungen definiert sind, zuvermeiden, kann in ABAQUS eine Hourglass Steifigkeit, d.h. eine Art Schubsteifigkeit desElements, eingefuhrt werden. In der elastischen Materialdefinition ist sie standardmaßigals 0, 005 ·G enthalten. In Verbindung mit benutzerdefinierten Materialgesetzen muss siejedoch extra definiert werden. Das Problem kann außerdem minimiert werden, wenn dieLagerbedingungen und aufgebrachten Lasten uber eine Reihe von benachbarten Knotenverteilt werden.Vollintegrierte Elemente sind nicht von Hourglassing betroffen, sie konnen jedoch blockie-rendes Verhalten aufweisen:Schub-Locking tritt bei vollintegrierten Elementen 1. Ordnung auf, die biegebeanspruchtsind. Die numerische Formulierung der Elemente fuhrt zum Anstieg der Schubdehnung,der nicht wirklich existiert (parasitische Dehnung). Diese Elemente sind zu biegesteif, ins-besondere, wenn die großte Elementabmessung in Großenordnung der Bauteildicke liegt,wodurch ein feines Netz notig wird.Volumen-Locking tritt bei vollintegrierten Elementen auf, wenn das Materialverhaltenfast inkompressibel ist, z.B bei elastisch-plastischen Materialien fur welche die plastischenDehnungen inkompressibel sind. Scheinbare Druckspannungen entwickeln sich an den In-tegrationspunkten, was dazu fuhrt, dass das Element zu steif auf Verformungen reagiert,die keine Volumenanderung verursachen sollten.Bei vollintegrierten Elementen 2. Ordnung tritt Volumen-Locking auf, wenn die plasti-schen Dehnungen sich im Bereich der elastischen Dehnungen befinden bzw. wenn signifi-kantes Dehnen auftritt. Dann ist das Verhalten ahnlich wie beim Hourglassing. Schach-brettformige Spannungsverteilung oder signifikante Spannungsunterschiede von einem In-tegrationspunkt zum nachsten deuten darauf hin. Durch Netzverfeinerung in Bereichengroßer plastischen Dehnungen kann dieser Effekt vermieden werden.Die vollintegrierten Elemente erster Ordnung benutzen hingegen selektive reduzierte In-tegration fur die volumenbetreffenden Werte, wodurch eine uber das Element konstanteVolumendehnung ausgegeben wird und Volumen-Locking kein Problem darstellt.Bei den C3D20-Elementen treten zudem bei der Umsetzung des Materialgesetzes Proble-me mit der Definition der charakteristischen Lange auf, da diese in ABAQUS abhangigvon der Lage des Integrationspunktes im Element ist, d.h. Fur Eckintegrationspunkte wirdeine andere charakteristische Lange verwendet, als fur innenliegende oder Randpunkte.


5.3.2 Einachsige Zugbeanspruchung

Unter einachsiger Zugbeanspruchung wird grundsatzlich eine gute Ubereinstimmung mitder analytischen Kurve nach [19] erreicht, welche fur eine aquivalente Elementlange von5cm erstellt wurde. Bei den Elementttypen C3D8 und C3D20R treten bei großen Rissoff-nungen Abweichungen auf. Probleme gibt es derzeit noch beim Elementtyp C3D20, beiwelchem die Rechnung noch weit vor dem Erreichen der Zugfestigkeit abbricht.

Abbildung 5.10: Verhalten der einzelnen Elementtypen unter einachsiger Zugbeanspru-chung im Vergleich mit der analytischen Kurve

Um Ubereinstimmung zwischen den Elementtypen zu erreichen, wurde der Test mit demElementtyp C3D8R an einem Element mit den Abmessungen 5cm x 5cm durchgefuhrt,da hier die aquivalente Elementlange der Elementlange entspricht.

Abbildung 5.11: Entlastungsverhalten im Zugbereich (C3D8R)


Die Entlastung verlauft im Zugbereich durch den Nullpunkt. Dies kann mit 8-Knoten-elementen gut nachgebildet werden, allerdings treten beim Elementtyp C3D8 numerischeInstabilitaten im Risschliessalgorithmus auf, wenn zu einem Zeitpunkt entlastet wird, beidem die Zugfestigkeit nur noch einen Bruchteil der Ausgangsfestigkeit betragt.

5.3.3 Zweiachsige Zugbeanspruchung

Wie erwartet verhalt sich das Element hier aufgrund des Querdehneinflusses steifer, alsunter einachsiger Zugbeanspruchung. Bei Vergleichsrechnungen mit einer Querdehnzahlvon Null wird dieser Einfluss ausgeschaltet und die Kurve stimmt mit der einachsigenuberein. Dies gilt jedoch nur fur den Bereich vor dem Reißen. Im Nachrissbereich fallt dieKurve mit Benutzung einer Querdehnzahl zwar steiler ab, als die mit einer Querdehnzahlvon Null, allerdings stimmt diese nicht mehr mit der einachsigen Kurve uberein, sondernfallt wesentlich flacher ab. Dieses Verhalten tritt bei allen Elementtypen auf, wobei einGrund hierfur noch nicht gefunden werden konnte (siehe auch Abb. A.9 und Abb. A.10im Anhang).

Abbildung 5.12: Spannungs-Dehnungskurve bei zweiachsiger Beanspruchung, Vergleichzwischen den Elementtypen

Beim Elementtyp C3D20R reissen nur jeweils die Halfte der Integrationspunkte, wobeies in der anderen Halfte zu elastischen Entlastungen kommt (siehe Abb. A.11 im An-hang). Dieses Verhalten ware auch beim Element C3D8 richtig, da sich sonst durch dieDefinition des Nachrissverhaltens mit Hilfe der auf die aquivalente Elementlange bezo-genen Bruchenergie Netzabhangigkeit ergibt. Auf die Spannungs-Dehnungskurve in deneinzelnen Integrationspunkten hat dies keinen Einfluss, jedoch ist die Bruchenergie dop-pelt so groß, wenn alle Integrationspunkte reissen. Deswegen werden fur die Berechnungvon den komplexen Modellen in den Anwendungsbeispielen die Elementtypen C3D8R undC3D20R empfohlen.


5.3.4 Einachsige Druckbeanspruchung

Das nichtlineare Verhalten von Beton im Druckbereich abzubilden und dabei ausreichen-de Stabilitat und Genauigkeit sowie ertragliche Rechenzeiten zu gewahrleisten, ist einesder zu losenden Probleme bei der Implementierung des Materialgesetzes.

Abbildung 5.13: Verhalten unter einachsiger Druckbeanspruchung im Vergleich mit deranalytischen Losung in Abhangigkeit der aquivalenten Elementlange

Bei diesem Beispiel wurden fur die Elementtypen C3D8R und C3D8 die gleichen Abmes-sungen benutzt, so dass der Einfluss der aquivalenten Elementlange sichtbar wird. Dieanalytische Kurve wurde ebenfalls auf aquivalenten Elementlangen von 5cm (C3D8) und10cm (C3D8R) bezogen berechnet. Die errechneten Kurven stimmen mit den analytischen

Abbildung 5.14: Entlastungsverhalten im Druckbereich in Abhangigkeit des Verhaltnissesvon Schadigung zu Plastizitat

uberein, allerdings bricht die Rechnung im Nachbruchbereich zur Zeit noch relativ fruh


ab. Außerdem steigt die Zahl der Iterationsschritte beim Ubergang vom elastischen zumnichtlinearen Bereich erheblich an.Beim Test des Entlastungsverhaltens wird der Einfluss des Parameters b deutlich. Zumeinen wurde b = 0, 5 gesetzt, d.h. Plastizitat und Schadigung werden zu gleichen Teilenberucksichtigt, zum anderen war b = 0, 01, d.h. es wird nur die Schadigung berucksichtigtund die Entlastung geht durch den Nullpunkt.

5.3.5 Zweiachsige Druckbeanspruchung

Unter zweiachsiger Druckbeanspruchung wird unabhangig vom Elementtyp eine Last von27, 9N/mm2 erreicht. Die Bruchstauchung liegt unter der bei einachsiger Belastung. Dies

Abbildung 5.15: Verhalten unter zweiachsiger Druckbeanspruchung im Vergleich mit ein-achsiger Beanspruchung

ist auf den stutzenden Einfluss der Druckspannung in der zweiten Richtung zuruckzu-fuhren und stimmt mit experimentellen Ergebnissen uberein. Allerdings ist der allgemeinerwartete Wert vom 1,16fachen der einachsigen Druckfestigkeit mit 29N/mm2 noch hoherals der hier berechnete. Die Spannungsverlaufe stimmen in beiden belasteten Richtungenuberein. Zur besseren Vergleichbarkeit wurde der Test mit dem Element C3D8R wiederummit Elementlangen von 5cm durchgefuhrt.

5.3.6 Druck-Zug-Beanspruchung

Die Rechnung verlauft stabil, wenn aufgebrachte Druck- und Zugdehnung gleich groß sind(1,0 / -1,0). In diesem Fall wird die Zugfestigkeit erreicht, wenn die Druckbeanspruchungin der anderen Richtung noch linear ist. Ist die aufgebrachte Druckdehnung großer als dieZugdehnung konvergiert die Rechnung schlecht (0,5 / -1,0). Dies liegt vermutlich daran,dass es Probleme gibt, im Zugbereich zu entlasten, wahrend auch der Druckbereich bereitsnichtlinear wird. Die Rechnung bricht ab, bevor in der zweiten Richtung die Druckfestig-keit erreicht wurde. Dies war auch bei Tests zu beobachten, in denen das Verhaltnis vonDruckdehnung zu Zugdehnung noch großer war. Hier brach die Rechnung bei Beginn der


Nichtlinearitat im Druckbereich und noch vor Erreichen der Zugfestigkeit ab.

Abbildung 5.16: Hauptdruckspannungen unter Druck-Zug-Beanspruchung (C3D8R)

Die Spannungs-Dehnungslinien verlaufen flacher als die unter einachsiger Beanspruchung.Dies ist auf die zusatzliche Querdehnung aus der Beanspruchung in der anderen Richtungzuruckzufuhren. Je großer die Zugbeanspruchung im Verhaltnis zur Druckbeanspruchungist, desto flacher verlaufen die Druckspannungskurven und je großer die Druckbeanspru-chung im Verhaltnis zur Zugbeanspruchung ist, desto flacher ist der Verlauf der Zug-spannungskurven. Eine Abminderung der Zugfestigkeit infolge der Druckbeanspruchung

Abbildung 5.17: Hauptzugspannungen unter Druck-Zug-Beanspruchung (C3D8R)

in der anderen Richtung, wie dies beim SBETA-Materialgesetz der Fall war, ist hier nichtzu beobachten.


5.3.7 Zyklische Beanspruchung

Unter zyklischer Beanspruchung verlauft die Rechnung sehr stabil. Im Druckbereich sind,wenn der Beton gerissen ist, kaum Unterschiede zur reinen Druckbelastung zu bemerken.Im Zugbereich wird, nachdem der Beton gerissen ist und die Risse wieder uberdrucktwurden, im nachsten Zyklus nur noch die Zugfestigkeit erreicht, bei welcher im vorherigenSchritt entlastet wurde. Zudem gibt es im Zugbereich große Unterschiede im Verhalten,

Abbildung 5.18: Verhalten unter zyklischer Beanspruchung (C3D8R)

je nachdem ob der vorherige Belastungszyklus im Druckbereich schon nichtlinear waroder nicht (siehe Abb. A.12 und Abb. A.13 im Anhang). Infolge des noch ungenauenRissschließalgorithmuses kommt es wiederum zu geringen Abweichungen.

Kapitel 6

Explizite/Implizite FEM

ABAQUS/Standard ist eine implizite auf Steifigkeitsberechnungen beruhende Methode.Die Berechnungen des Verhaltens werden an jedem Integrationspunkt unabhangig aus-gegeben. Die Losung ist zu Beginn eines Zeitinkrements bekannt. Die konstitutiven Be-rechnungen mussen am Ende des Zeitschrittes Spannungswerte und Materialsteifigkeitenbereitstellen, die auf der aktuellen Schatzung der kinematischen Losung, die die logarith-mische Dehnung angibt, beruhen.Bei expliziten Methoden werden die Krafte von Inkrement zu Inkrement zwischen denKnoten uber die Elemente weitergeleitet, so dass nicht das gesamte Modell von Anfangan durch die Belastung beeinflusst wird.Der Zustand am Ende eines Zeitschrittes basiert nur auf den Verschiebungen, Geschwin-digkeiten und Beschleunigungen am Anfang des Inkrements. Konstante Beschleunigungenwerden dabei exakt berechnet. Deswegen mussen fur genaue Ergebnisse die Zeitschritteso klein gewahlt werden, dass die Beschleunigung innerhalb eines Zeitschrittes moglichstkonstant ist. Die Große des Zeitschrittes hangt allein von der hochsten naturlichen Eigen-frequenz des Modells ab und ist unabhangig von Typ und Dauer der Last. Die Anzahlder Zeitschritte liegt in der Regel zwischen 10000 und 1000000, aber der Rechenaufwandpro Zeitschritt ist relativ gering.Implizite Rechnungen benotigen in der Regel betrachtlich weniger Zeitschritte als expliziteMethoden, jedoch ist der Rechenaufwand pro Zeitschritt viel großer. Implizite Methodenbeinhalten keine generelle Begrenzung der Zeitschrittgroße, sie wird durch Genauigkeits-und Konvergenzbetrachtungen festgelegt.

Algorithmus

Der unterschiedliche Rechenaufwand je Zeitschritt ist durch den unterschiedlichen Be-rechnungsablauf zu erklaren. In ABAQUS/Explicit [14] werden die kinematischen Bedin-gungen eines Inkrements fur die Berechnung des nachsten Inkrements benutzt.

1. Knotenberechnung

Dynamisches Gleichgewicht: Zu Beginn des Inkrements wird die Gleichung furdas dynamische Gleichgewicht aufgestellt:

Mu = P− I

wobei M die Massenmatrix, P die von außen aufgebrachten Lasten und I dieinternen Elementkrafte darstellen.

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61

Die Beschleunigungen u zu Beginn eines Inkrements (Zeit=t) werden wie folgtberechnet:

u|(t) = (M)−1 · (P− I) |(t)Da bei der expliziten Methode immer diagonale Massenmatrizen benutzt wer-den, ist die Berechnung der Beschleunigungen trivial, es treten keine gekoppel-ten Gleichungen auf. Die Beschleunigung eines Knotens wird komplett durchseine Masse und die Kraft, die auf ihn wirkt, bestimmt.

Explizite Zeitintegration: Um die Bewegungsgleichungen explizit uber die Zeitzu integrieren, wird eine zentrale Differenzenregel benutzt. Mit dieser wird dieGeschwindigkeitsanderung berechnet, wobei angenommen wird, dass die Be-schleunigung zumindest innerhalb eines Inkrements konstant ist. Die Anderungder Geschwindigkeit wird zur Geschwindigkeit in der Mitte des vorherigen Ele-ments hinzugerechnet, um die Geschwindigkeit in der Mitte des aktuellen In-krements zu erhalten:

u(t+∆t2 ) = u(t−∆t

2 ) +

(∆t(t+∆t) + ∆t(t)

)2

ut

Die Geschwindigkeiten werden uber die Zeit integriert und zu den Verschiebun-gen am Anfang des Inkrements hinzugerechnet, woraus sich die Verschiebungenam Ende des Inkrements ergeben:

u|(t+∆t) = u|(t+∆t)u|(t+∆t2 )

2. Elementberechnung

• Berechnen der Elementdehnungsinkremente, dε, aus der Dehnungsrate, ε

• Berechnen der Spannungen, σ, aus den konstitutiven Gleichungen.

σ (t + ∆t) = f(σ(t), dε

)• Zusammensetzen der internen Knotenkrafte, I(t+∆t)

3. Setzen von t + ∆t = t und erneutes Ausfuhren des Algorithmus

Bei impliziten Methoden gilt dieselbe Gleichgewichtsbedingung und es werden die glei-chen Elementberechungen durchgefuhrt, um die inneren Krafte zu ermitteln. Die Kno-tenlosungen werden jedoch mit einem Satz linearer Gleichungen berechnet, welche durchdirekte Losungsmethoden, z.B. mit Hilfe der vollstandigen NEWTON-Iterationsmethode,berechnet werden. Dazu muss fur jeden Iterationsschritt die Gesamtsteifigkeitsmatrix desSystems berechnet werden, was einen großen Teil des Rechenaufwands ausmacht.

Anwendung

Aus den vorangegangene Betrachtungen folgt, dass explizite Methoden sinnvoll sind bei

• stark dynamischen Ereignissen, da die schnelle Lastaufbringung zu sich schnellandernden Reaktionen der Struktur fuhrt.

62 KAPITEL 6. EXPLIZITE/IMPLIZITE FEM

• komplexen Kontaktproblemen, z.B. bei Stoßen oder Aufprall mit sich schnell andern-den Kontaktbedingungen, da unabhangige Reaktionen miteinander kontaktierterKorper abgebildet werden mussen.

• Beulproblemen, da die Steifigkeit der Struktur sich plotzlich andert

• stark nichtlinearen quasi-statischen Problemen

• Materialien, die Versagen beinhalten, da es mit impliziten Methoden zu Konvergenz-problemen kommt, weil z.B. beim Reissen von Beton die Materialsteifigkeit negativwird.

Auf die in dieser Arbeit behandelten Beispiele treffen die letzten beiden Punkte zu. Auf-grund des nichtlinearen Materialverhaltens von Beton werden mit impliziten Methoden,um die Konvergenzkriterien bzw. Toleranzen einzuhalten, umso mehr Iterationsschrittebenotigt, je mehr die Nichtlinearitat zunimmt. Da bei jedem Iterationsschritt die Gesamt-steifigkeitstangentenmatrix berechnet werden muss, steigt der Rechenaufwand insbeson-dere beim Modellbeton sehr stark an. Treten zudem noch diskontinuierliche Prozesse, wiedas Versagen einzelner Elemente und lokale Entlastungen, auf, wird unter UmstandenZuruckschneiden, d.h. automatische Verkleinerung des Lastschrittes, notig, womit sichdie Zahl der Iterationen nochmals stark erhoht. In vielen Fallen kommt es dazu, dass dasSystem uberhaupt nicht mehr konvergiert. Bei expliziten Methoden sind hingegen keineIterationen und Toleranzen notig. Da auch keine Steifigkeitsmatrizen berechnet werdenmussen, ist speziell bei großen Modellen der Rechenaufwand fur Probleme gleicher Großegeringer als mit impliziten Methoden. Da jedoch bei expliziten Methoden kein statischesGleichgewicht uberpruft wird, sollten die Losungen kritisch betrachtet werden.

Zeitschrittgroße und Belastungsrate fur die Losung quasistatischer Problememit expliziten Methoden

Mit Hilfe der Belastungsrate, aus welcher sich die Gesamtzeit eines Prozesses ergibt, undder Zeitschrittgroesse wird die Anzahl der Zeitinkremente festgelegt. Damit wird auch derRechenaufwand entscheidend beeinflusst.

Belastungsrate Um Ressourcen zu sparen kann die naturliche Zeitskala beschleunigtwerden. Die Geschwindigkeit der Analyse kann damit oft vergroßert werden, ohne dieQualitat der Losung zu beeintrachtigen. Das Endergebnis eines langsamen Falls und ei-nes etwas beschleunigten Falls ist fast dasselbe. Wird die Geschwindigkeit jedoch bis zueinem Punkt erhoht, wo die inneren Effekte dominant werden, tendiert die Losung zumLokalisieren und weicht von der quasi-statischen Losung ab. Bei zyklischer Belastung istes ressourcensparend, die Entlastungsschritte mit impliziten Methoden zu berechnen.In naturlichen statischen Prozessen geht die Beschleunigung gegen Null. Deshalb solltedie Laststeigerung durch ausgeglichene Amplitudenkurven abgebildet werden, um die Be-schleunigungsanderung von einem Inkrement zum nachsten moglichst gering zu halten.Wenn die erste Eigenform der Struktur dem Verformungsverhalten entspricht, kann mitderen Hilfe eine sinnvolle Zeit festgelegt werden: Durch Teilung der Verformung bzw. derKraft durch die Eigenperiode ergibt sich die Belastungsrate in m/s oder N/s. Ist die ersteEigenform nicht maßgebend, sollte die Geschwindigkeit auf kleiner 1 Prozent der Wellen-geschwindigkeit des Materials begrenzt werden.

63

Mit Hilfe von Energiebetrachtungen kann uberpruft werden, ob die Losung noch einemquasi-statischen Prozess entspricht oder ob signifikante dynamische Effekte die Losung be-einflussen. Dabei sollte die kinetische Energie nicht mehr als 5 bis 10 Prozent der gesamteninneren Energie betragen.

Zeitschrittgroße Die Zeitschrittgroße wird durch das Stabilitatslimit begrenzt, bei des-sen Uberschreiten es zu numerischen Instabilitaten kommen kann. Es kann nicht exaktbestimmt werden. Aufgrund des großen Einflusses auf die Genauigkeit einer Rechnung,wird es konservativ geschatzt. Die Definition basiert auf der hochsten Eigenfrequenz desSystems. Da es jedoch sehr aufwendig ist, diese zu berechnen, wird in ABAQUS/Explicit,auf der sicheren Seite liegend, die hochste Eigenfrequenz der einzelnen Elemente benutzt.Damit ergibt sich das Stabilitatslimit aus der Elementlange, Le, und der Wellengeschwin-digkeit des Materials, cd [14]:

∆tstable =Le

cd

Je kleiner die Elementlange, desto kleiner ist das Stabilitatslimit. Deswegen sollte einmoglichst gleichmaßiges Netz angestrebt werden, damit die Rechenzeit nicht aufgrundeiniger weniger kleiner Elemente unnotig erhoht wird. Des Weiteren sollten verzerrte Ele-mente moglichst vermieden werden, da bei diesen die Bestimmung der Elementlange un-klar ist.Durch eine Massen- bzw. Dichtenskalierung kann das Stabilitatslimit erhoht werden, dadieWellengeschwindigkeit von der Dichte abhangt. Fur linear-elastische Materialien miteiner Querdehnzahl von Null gilt:

cd =

√E

ρ

Durch eine Erhohung der Dichte, verringert sich die Wellengeschwindigkeit, was in einemgroßeren Stabilitatslimit resultiert. Eine Massenskalierung des Faktors 100 entspricht da-bei einer Zeitskalierung des Faktors 10 und die Losung sollte ebenfalls durch Energiebe-trachtungen verifiziert werden.

64 KAPITEL 6. EXPLIZITE/IMPLIZITE FEM

Teil II

Unbewehrter Beton am Beispieleines Modellbetons

65

Kapitel 7

Experiment

7.1 Beton unter Druckbelastung

Bei der Beanspruchung von Beton durch außere Lasten verlaufen die Druckspannun-gen wegen des hoheren E-Moduls im wesentlichen von Zuschlagkorn zu Zuschlagkornund beanspruchen die dazwischenliegenden Mortelschichten uberwiegend rechtwinklig zurSchichtebene. Die unterschiedlichen Verformungseigenschaften von Zementstein und Zu-schlag sowie die Tendenz des Zementsteins, bei Wasserverlust zu schwinden, konnen schonim unbelasteten Zustand zu Mikrorissen fuhren, die hauptsachlich in den Kontaktzonenzwischen Zementstein und Zuschlag auftreten. Bei Druckbelastung beginnen diese Mikro-risse, sich zunachst entlang den Kontaktzonen zu erweitern. Bei Steigerung der Spannungpflanzen sich diese Risse spater im Zementstein weiter fort. Durch Laststeigerung wei-tergelaufene Risse sind uberwiegend parallel zur Belastungsrichtung orientiert. Die fort-schreitende Entwicklung von Mikrorissen, ihre Aufgabelung und Ablenkung an den Zu-schlagkornern und ihre gegenseitige Beeinflussung fuhren dazu, dass sie sich zu großerenRissen zusammenschliessen und eine durchgehende Bruchflache bilden. Unmittelbar bevordie Ausdehnung der Bruchflache einen kritischen Zustand erreicht, der dadurch charak-terisiert ist, dass sich der Riss bei gegebener Spannung spontan fortzupflanzen beginnt,ist die Druckfestigkeit des Betons erreicht. Neben der außeren Spannung hangt dieser Zu-stand von der Lange und Orientierung des Risses und von seiner Entfernung von einembenachbartem Riss ab. [5]

Rolle der Zuschlage

Zuschlage sind in der Zementsteinmatrix eingebettet und durch das in der Beruhrungs-flache vorhandene Adhasionsvermogen mit dem Zementstein verbunden. Die Haftung desZementsteins an den Zuschlaggesteinen ist Folge einer mechanischen Verzahnung und be-ruht daneben auf der Wechselwirkung zwischen Feststoffen infolge zwischenmolekularerund elektrostatischer Krafte. [5]In der Matrix verteilte Zuschlage bremsen Risse ab und lenken sie von ihrer ursprunglichenRichtung ab. Anstatt durch das Korn weiterzulaufen, dessen Bruchzahigkeit hoher ist,lauft der Riss in der Grenzflache zwischen Zuschlag und Zementstein weiter. Selbst kleineZuschlagkorner fuhren zur Verzweigung von Rissen. Da zur Bildung von Rissen Energieerforderlich ist, wird der Gesamtenergiebedarf zur Rissfortsetzung umso großer, je ver-zweigter der Riss ist. Beton hat gegenuber reinem Zement eine flachere Nachrisskurve,

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7.2. EXPERIMENTE AN DER UNIVERSITAT DARMSTADT 67

d.h. der Zuschlag hat entscheidenden Einfluss auf die Duktilitat des Betons.Wie die Spannungstrajektorien unter einachsiger Druckbeanspruchung verlaufen, hangtvom Verhaltnis der E-Moduli von Aggregat und Matrix ab. Bei Normalbeton wird dieDruckbelastung von Korn zu Korn ubertragen. Querzug tritt in der Zone zwischen Ma-trix und Aggregaten radial zum Korn auf. Die großten auftretenden Spannungen hangendabei von der Große und der Form der Korner ab.

7.2 Experimente an der Universitat Darmstadt

An der Universitat in Darmstadt wurden Experimente durchgefuhrt, um das Verformungs-verhalten von Beton unter kurzzeitiger einachsiger Druckbelastung zu untersuchen. In [17]wird davon ausgegangen, dass man die Eigenschaften der einzelnen Betonkomponentenund ihre Interaktion berucksichtigen muss, um das Verformungsverhalten von Beton rea-listisch beschreiben zu konnen. Deshalb wurde das Verhalten von Beton auf Makroebeneals eine Summe aus verschiedenen Prozessen auf Mesoebene beschrieben. Im Bereich derMesoebene wurden die Eigenschaften zweier fester Phasen (Aggregate und Zementma-trix) berucksichtigt und bei der Auswertung von dem Vorhandensein einer schwacherenVerbundschicht zwischen beiden ausgegangen.

Abbildung 7.1: Probekorperabmessungen [17]

Im weiteren soll ein spezieller Modellbeton betrachtet werden, an welchem in [17] mitHilfe der Digital-Image-Correlation-Technik die inneren Verschiebungen infolge mechani-scher Belastung visualisiert wurden. Dazu wurden zylinderformige Zuschlagskorner wiein Abb. 7.1 ersichtlich in der Matrix angeordnet und der Probekorper druckbelastet. In

68 KAPITEL 7. EXPERIMENT

den Experimenten in [17] wurden die Probekorper mit verschiedenen Betonen hergestellt,wobei in der vorliegenden Arbeit jedoch nur Normalbeton von Interesse ist. EinachsigeSpannungsverhaltnisse wurden mit Hilfe von reibungsreduzierenden Materialien zwischendem Testkorper und den Lastplatten erzeugt.Zum Beginn der Tests wurde eine Vorbelastung von etwa 5% der Maximallast aufgebracht,um ein Referenzimage zu erzeugen. Danach wurde der Probekorper einer alternierendenBelastungs- und Entlastungsprozedur unterzogen. Ein Lastzyklus bestand dabei aus demBelasten bis auf eine bestimmte Laststufe, dem Entlasten bis zur Halfte der Last und demvollstandigen Entlasten bis auf die Vorbelastung. Die Laststufen waren bei etwa 20, 40, 60,80 und 100% der geschatzten Bruchlast und danach bei 80 und 60% im Nachrissbereich.Die Lasten wurden weggesteuert mit einer Geschwindigkeit von 0,1mm/s aufgebracht. [17]Fur Normalbeton wurde nach [23] eine Bruchlast von 48,2N/mm2 erreicht.Fur jede Laststufe wurde Kontourendrucke fur die Langs- und Querverschiebungen er-stellt. Die Linien verbinden dabei Punkte mit gleichen Verschiebungen, wahrend Zonen

Abbildung 7.2: Darstellung der Rissentwicklung anhand der Querverschiebungen [17]

mit hohen Verschiebungsgradienten Risse anzeigen. Jede Linie reprasentiert dabei die Ver-schiebung von 1 µm. Bei ca. 40% der Bruchlast wird deutlich, dass sowohl die Langs- alsauch die Querverschiebungen um die Aggregatkorner konzentriert sind. In den Aggregatenund der Matrix sind die Linien gleichmaßig verteilt. Das heißt, dass nur in der Kontaktzo-ne Verschiebungskonzentrationen auftreten. Beim Entlasten bleiben die Verschiebungenin der Zone nahezu erhalten, wahrend sie in Matrix und Aggregaten zuruckgehen. Rela-tive Verschiebungen wurden berechnet, um Dehnungskonzentrationen aufzudecken. [17]Die Schubverformungen wurden ebenfalls abgebildet. Es zeigt sich, dass sie in der Zone umdie Korner das Vorzeichen wechseln. Die Maximalwerte der Schubverformungen konnenbei Winkel von ±45◦ und ±135◦ zur Lastrichtung beobachtet werden. Beim Entlastenandert sich das Vorzeichen der Schubverformungen, d.h. dass die Schubverformungen inder Zone nicht nur zuruckgehen, sondern zusatzliche Schubverformungen durch das Ent-lasten entstehen.

Kapitel 8

ABAQUS

8.1 Modellbildung

Der Modellbeton aus [17] wird auf Meso-Ebene abgebildet, d.h. dass die Matrix, dieZuschlagskorner und die Kontaktzone zwischen beiden (ITZ) diskret abgebildet werden.Aufgrund dessen ist die Elementgroße relativ gering, da die Dicke der Ubergangszone mit0,25 mm festgelegt wurde, was der Große eines Elements entspricht. Da der Rechenauf-wand und die benotigte Speicherkapazitat sehr groß sind, wird nicht die gesamte Probeabgebildet, sondern unter Ausnutzung von Symmetriebedingungen nur ein Teil. Aus Stabi-litatsgrunden wird ein Knoten in z-Richtung gehalten (siehe auch Anhang D.2). Die Lastenwerden verschiebungskontrolliert aufgebracht, um große bzw. ungleichmaßige Dehnungs-inkremente zu vermeiden, wie sie bei lastkontrollierter Steuerung aufgrund der Nichtli-nearitat auftreten wurden. Außerdem ware es mit lastkontrollierter Steuerung unmoglich,Ergebnisse fur den Nachbruchbereich zu erhalten.Nach [21] sollte in FEM-Simulationen durch statistische Verteilung der Elementeigen-schaften der probabilistische Charakter von Bruchprozessen berucksichtigt werden. Be-sonders bei gleichem Dehnungszustand in großen Bereichen der Struktur, kann mit gleichverteilten Elementeigenschaften eine Risslokalisierung, wie sie in der Realitat zu beobach-ten ist, nicht simuliert werden. Risslokalisierung bedeutet, dass es in einem gleichmaßigbeanspruchten Bereich nicht zu einer gleichmaßigen Entfestigung, sondern zur Bildungvon diskreten Rissen und zur Entlastung des angrenzenden Materials kommt. Je großerdas hochstbeanspruchte Volumen in einem Korper ist, desto großer ist die Bedeutungder raumlichen Verteilung der Elementeigenschaften fur die Nachbildung des Prozessesder Rissentwicklung. Im vorliegenden Beispiel wird dies durch die Mesostruktur teilweiseberucksichtigt. In der Matrix befinden sich jedoch eventuell noch zu große gleiche Zonen.In einer Rechnung wurden die Eigenschaften der Matrix in zwei Sets variiert, dies fuhrtejedoch nicht zu besseren Ergebnissen und wurde deshalb nicht weiter verfolgt.

8.1.1 Kleines Modell

Das Modell ist unten unverschieblich in y-Richtung, rechts mit Symmetrie um die y-Achseund links mit einem Equation-Constraint gelagert. Nachteil dieses Modells ist es, dass diegrossere Matrixzone an den Randern nicht abgebildet wird, wodurch es etwas zu steifreagiert. Als Belastung wird oben eine Verschiebung aufgebracht.

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70 KAPITEL 8. ABAQUS

Abbildung 8.1: links: Kleines Modell, rechts: Streifenmodell

8.1.2 Streifenmodell

Dieses Modell ist eine Zwischenlosung, um die Rechnerressourcen einzuschranken, gleich-zeitig jedoch den Bezug zur Realitat mit Abbildung der oberen Matrixzone zu erhohen.Es ist unten unverschieblich in y-Richtung gehalten, rechts mit Symmetrie um die y-Achse und links mit einem Equation-Constraint. Nachteil ist, dass die Verschiebung inx-Richtung ebenso wie beim kleinen Modell zu stark behindert ist.Die Last wird ebenfalls oben verschiebungsgesteuert aufgebracht, wobei die aufgebrach-te Verschiebung etwa doppelt so groß wie beim kleinen Modell sein muss, um gleicheDehnungen zu erhalten.

8.1.3 Viertelmodell

Dieses Modell bildet den Probekorper des Experiments genau nach. Es ist unten und rechtssymmetrisch gelagert. Ein Vorteil ist insbesondere, dass die Matrixbereiche links und obenrealitatsnah abgebildet werden. Dies geht jedoch mit einem erhohten Rechenaufwand undSpeicherbedarf einher. Auf die oberen Knoten wird wiederum eine Verschiebung aufge-bracht, welche in derselben Großenordnung, wie die beim Streifenmodell aufgebrachteliegt, da beide Modelle die gleiche Hohe haben.

8.2. ELASTISCH-PLASTISCHES MATERIALGESETZ 71

Abbildung 8.2: Viertelmodell

8.1.4 Materialparameter

Als Materialparameter wurden die in [17] vorgeschlagenen verwendet, wobei fur alle Ma-terialien eine Dichte von ρ = 2, 6 · 10−6kg/mm3 eingegeben wurde. In allen Fallen wurdenE-Modul und Querdehnzahl definiert, bei der elastisch-plastischen Rechnung zusatzlichdie Druckfestigkeit fur die Kontaktzone und die Matrix. Bei der expliziten Berechnungkann keine Begrenzung der Druckspannung eingegeben werden, dafur aber die Zugfestig-keit und die Bruchenergie.

E [N/mm2] ν ft [N/mm2] fc [N/mm2] Gf [N/mm]Matrix 25000 0,2 3,0 45,0 0,086Kontaktzone 12500 0,2 1,5 22,5 0,053Zuschlag 60000 0,22

8.2 Elastisch-Plastisches Materialgesetz

Dieses Materialgesetz dient als Vergleichsrechnung fur die spatere Berechnung mit derNutzersubroutine. Es soll damit die Tauglichkeit der einzelnen Modelle auch unter Be-rucksichtigung des Rechenaufwand untersucht werden. Alle Modelle wurden mit dem Ele-menttyp C3D8 berechnet.Das kleine Modell reagiert steifer, als das Streifenmodell, welches wiederum steifer als dasViertelmodell reagiert. Dies ist auf die praxisgetreuere Modellierung der Matrixbereicheam oberen und seitlichen Rand zuruckzufuhren. Beim Ubergang vom elastischen zum pla-


stischen Bereich verhalt sich das kleine Modell nichtlinearer, als das Streifenmodell unddas Viertelmodell. Sowohl das kleine, als auch das Streifenmodell erreichen außerdem eineetwas niedrigere Bruchlast. Dies ist damit zu erklaren, dass der prozentuale Anteil der

Abbildung 8.3: Vergleich der Modelle

Kontaktzone umso großer ist, je kleiner das Modell ist, d.h. auch ihre Schwache großerenEinfluss hat. Ebenso ist die steifere Reaktion, je kleiner das Modell ist, mit der Erhohungdes prozentualen Anteils der Aggregatskorner zu erklaren.

8.3 Explizite Berechnung mit dem Rissmodell

Fur Berechnungen mit ABAQUS/Explicit steht fur Kontinuumselemente nur der Ele-menttyp C3D8R zur Verfugung. Es stellte sich jedoch heraus, dass die Rechnung bei

Abbildung 8.4: Vergleich der expliziten Berechnung mit der elastisch-plastischen

8.3. EXPLIZITE BERECHNUNG MIT DEM RISSMODELL 73

Verwendung von Kontinuumselementen schon in sehr fruhem Stadium absturzt.Deswegen wurde hier das Viertelmodell mit 2D-Elementen (CPS4R) fur den ebenen Span-nungszustand berechnet. Trotzdem war der Rechenaufwand aufgrund der sehr kleinenElementgroßen noch erheblich. Zudem musste aufgrund der großen Anzahl von Zeitin-krementen mit doppelter Prazision gerechnet werden. Beim Vergleich mit der elastisch-plastischen Rechnung stellt sich zunachst der gleiche E-Modul von etwa 28400 N/mm2

ein. Bei einer von außen aufgebrachten Spannung, die etwa der Hohe der Druckfestigkeitder Kontaktzone entspricht, weichen die Kurven voneinander ab, da in ABAQUS/Explicitkeine Begrenzung der Druckspannung implementiert ist.

Abbildung 8.5: Querverschiebungen bei 40% der Bruchlast (links) und bei Erreichen derBruchlast (rechts)

Bei den Querverschiebungen zeigt sich zunachst eine Konzentration in den Kontaktzonen,dann treten Dehnungskonzentrationen in der Matrix zwischen den Zuschlagskornern auf.Bei einer globalen Spannung von 49,3 N/mm2 bricht die Rechnung ab. Moglicherweise

Abbildung 8.6: Hauptspannungen [N/mm2] bei Erreichen der Bruchlast, links: σmin,rechts: σmax

ist das Erreichen der Zugfestigkeit in einem relativ großen Bereich der Matrix der Grunddafur. Da in ABAQUS keine Rissbilder ausgegeben werden konnen, ist nicht klar, ob dieMatrix teilweise schon gerissen ist und instabiles Risswachstum oder das Starten zu vielerRisse auf einmal der Grund fur den Abbruch der Rechnung ist.


8.4 Berechnungen mit dem am ISM implementierten

Materialgesetz

Zur Umsetzung des am ISM programmierten Materialgesetzes soll das FEM-ProgrammABAQUS/Standard benutzt werden. Die Diskretisierung der Modelle erfolgt wie beider Verwendung der ABAQUS internen Materialgesetze. Der Modellbeton konnte je-doch bisher noch nicht nachgerechnet werden. Bei einigen Proberechnungen mit elastisch-plastischem Druckbereich zeigte sich, dass die Rechnung noch sehr instabil verlauft undfruhzeitig abbricht. Außerdem ist der Rechenaufwand mit dreidimensionalen Elementenerheblich. Durch Programmierung des Sonderfalls des ebenen Spannungszustandes undder darausfolgenden Verwendung von 2D-Elementen konnte dieser entscheidend redu-ziert werden. Zudem konnten so die Storeinflusse aus der dritten Richtung, die teilweiserecht groß waren, vermieden werden. Außerdem stellt sich die Frage, ob das ProgrammABAQUS/Standard oder ABAQUS/Explicit besser fur das Problem geeignet ist. Auf-grund der hohen Anzahl von Iterationsschritten in ABAQUS/Standard infolge der starkenNichtlinearitat des Problems erscheint explizites Rechnen sinnvoll. Zur Zeit wird jedochnoch an der Umsetzung der Umat-Routine fur den expliziten Fall gearbeitet.Fur eventuelle weitere Berechungen empfiehlt sich aufgrund der elastisch-plastischen Ver-gleichsrechnung das Streifenmodell, da der Unterschied zwischen dem Viertelmodell unddem Streifenmodell im Verhaltnis zur Reduzierung des Rechenaufwands gering ist. Zudemkann im Streifenmodell ebenfalls Rissbildung in der Matrixzone uber den Kornern sichtbarwerden, was im kleinen Modell nicht moglich ist. In diesem ist es außerdem fraglich, obdie gleichmaßige Aufbringung der Verschiebung am oberen Rand praxisgerecht ist, da hierdie Verschiebung teilweise direkt auf das Zuschlagskorn aufgebracht wird, wahrend in denanderen Modellen und im Experiment die Verschiebung gleichmaßig auf die Zementmatrixaufgebracht wird. Aus diesen Grunden wird das kleine Modell nicht empfohlen.

Kapitel 9

ATENA

9.1 Modellierung

Der Modellbeton wurde mit dem SBETA-Materialgesetz fur den ebenen Spannungszu-stand modelliert. Die Untergliederung des Modells in Aggregate, Kontaktzone und Ma-trix erfolgte ebenso wie im Kapitel 8. Die Partitionierung wurde ebenfalls ahnlich vorge-nommen. Auf die Vernetzung kann man außer einer pauschalen Elementgroßeneingabe jePartition in ATENA sehr wenig Einfluss nehmen. Dies hat zur Folge, dass die Kontakt-

Abbildung 9.1: Geometrie des IsoQuad-Elements [7] (Die Knoten 5-9 konnen optionaldefiniert werden.)

zone nicht wie in ABAQUS mit einem Element uber die Dicke abgebildet wurde, sondernmit mehreren relativ verzerrten Elementen. Fur die Aggregate und die Matrix konntejedoch die Elementgroße gegenuber ABAQUS erheblich erhoht werden, was zu einem we-sentlich geringeren Rechenaufwand fuhrt. Es wurden zweidimensionale isoparametrischevierseitige Elemente (IsoQuad) verwendet, was eine weitere Verringerung der Rechnerres-sourcen gegenuber der dreidimensionalen Modellierung in ABAQUS zur Folge hat. AlsIterationsverfahren wird das vollstandige Newton-Raphson-Verfahren in Verbindung mitder Line-Search-Methode verwendet. Gibt es damit allerdings Konvergenzprobleme ver-wendet ATENA automatisch das Bogenlangen-Verfahren. Die maximale Anzahl der Ite-rationsschritte wird auf 300 begrenzt.Das Modell ist unten in y-Richtung und rechts in x-Richtung gehalten. Die Last wird obenverschiebungsgesteuert in Lastschritten von 0,002 mm aufgebracht.

75

76 KAPITEL 9. ATENA

Abbildung 9.2: Modell

9.2 Eingabeparameter

In das SBETA-Materialmodell gingen folgende Parameter ein:

Matrix ITZ 1 ITZ 3 ITZ 5E [MPa] 25000 22200 16600 12500ν 0,2 0,2 0,2 0,2ft [MPa] 3,0 2,7 2,0 1,5fc [MPa] 45,0 39,9 29,8 22,5Gf [MN/m] 8, 6 · 10−5 7, 9 · 10−5 6, 4 · 10−5 5, 3 · 10−5

⇒ wc = 5, 14Gf

Rt[m] 0,000147 0,00015 0,000164 0,000182

Tabelle 9.1: Eigenschaften von Kontaktzone und Matrix nach [17]

Fur alle oben aufgefuhrten Materialien gilt:

• Dichte: ρ = 2, 6 · 10−2MN/m3

• Thermischer Ausdehnungskoeffizient: α = 1, 2 · 10−5K

• Die Dehnung im Druckbereich, bei welcher die Bruchspannung erreicht wird, betragtεc=0,002.

9.3. GLOBALES VERHALTEN 77

• Es wird keine Abminderung der Druckfestigkeit infolge von Rissen berucksichtigt⇒ c=0,99.

• Als Druckentfestigungsmodell wurde das Modell des Rissbandes mit einer kritischenVerschiebung von wd=-0,0005m eingestellt.

• Der Schubreduktionsfaktor ist variabel durch die Kurve in Abb. 4.13 definiert.

• Die Zug-Druck-Interaktion wird durch eine lineare Beziehung entsprechend der Abb.4.8 abgebildet.

Fur die Zuschlage wurde ein linear-elastisches Materialgesetz fur den ebenen Spannungs-zustand gewahlt. Ein Elastizitatsmodul von 60000MPa und eine Querdehnzahl von 0,22wurden eingegeben.

9.3 Globales Verhalten

Zunachst wurde der Modellbeton sowohl mit dem Modell der festen Risse, als auch mitdem der rotierenden Risse berechnet. Es zeigten sich jedoch im globalen Kurvenverlaufkaum Unterschiede, außer dass die Rechnung bei den festen Rissen eher instabil wurde.Die weiteren variierten Rechnungen wurden deswegen nur mit rotierenden Rissen durch-gefuhrt. In [17] wurden die Eigenschaften der Kontaktzone uber die Dicke verteilt, so dassdie Zone direkt am Aggregat am schwachsten ist und zur Matrix hin sich den Eigenschaf-ten dieser immer mehr annahert. Dies stellt sich jedoch zum einen als sehr aufwendigdar und erfordert zum anderen sehr kleine Elementgroßen, was aufgrund der Verzerrungdieser Elemente negativen Einfluss auf die Genauigkeit der Rechnung ausubt. Hier wurdedie Zone mit einheitlichen Eigenschaften uber die Dicke zunachst mit den schwachstenEigenschaften (ITZ 5, Variante 1) modelliert. Als Bruchlast wurden 30, 9N/mm2 bei ei-

Abbildung 9.3: globaler Spannungs-Dehnungs-Verlauf

78 KAPITEL 9. ATENA

ner Dehnung von 0,165% erreicht. Dies sind etwa zwei Drittel der Last, die nach [23]imExperiment erreicht wurde.Um den Einfluss der Kontaktzone herauszufinden und eventuell besser ubereinstimmendeErgebnisse zu erhalten, wurden ihre Eigenschaften variiert. Zum einem wurden Eigen-schaften benutzt, die nur wenig schwacher als die der Matrix waren (ITZ 1, Variante 3)und zum anderen wurden mittlere Werte (ITZ 3, Variante 2) eingegeben (siehe Tabelle9.1). Es ist zu erkennen, dass die Reaktion des Gesamtsystems immer dann starker nicht-linear wird, wenn Spannungswerte nahe der Druckfestigkeit der Kontaktzone erreicht wer-den. Wahrend die Bruchstauchung nur sehr wenig auf maximal 0,187% ansteigt, zeigte essich, dass die Bruchlast mit zunehmender Festigkeit der Kontaktzone bis auf 42, 2N/mm2

ansteigt (siehe Abb. 9.3).Anhand weiterer Rechnungen zeigte sich, dass dieser Einfluss von der Zugfestigkeit derKontaktzone weitestgehend unabhangig ist. Es wurde hierbei nur die Druckfestigkeit (ITZ1) variiert, wahrend alle ubrigen Parameter dem Satz ITZ 5 entsprachen (Variante 3.1,siehe Abb. B.1 im Anhang). Dabei ergab sich eine Kurve, die etwas weicher ist, aber sonstkaum von der der Variante 3 abweicht. Da jedoch mit Veranderung der Druckfestigkeitund gleichbleibender maximaler Rissoffnung indirekt auch die Zerstauchungsenergie imDruckbereich verandert wird, wurden weitere Rechnungen durchgefuhrt, um zu klaren,ob die Erhohung der Bruchlast hauptsachlich auf den Einfluss der Druckfestigkeit oderder Zerstauchungsenergie zuruckzufuhren ist. Dazu wurden zunachst wieder alle Wertegleichgelassen (ITZ 5) und die Druckfestigkeit erhoht (ITZ 1). Um auch die Zerstau-chungsenergie niedrig zu halten wurde wd = 22,5

39,9· 0, 5mm = 0, 282mm gesetzt (Variante

3.2). Der Verlauf der Kurven 3.1 und 3.2 ist zunachst deckungsgleich. In Variante 3.2wird der Verlauf dann weicher und die erreichte Last betragt nur 39, 9N/mm2 anstellevon 42, 2N/mm2 (siehe Abb. B.1 im Anhang).

Abbildung 9.4: globaler Spannungs-Dehnungs-Verlauf und Entlastungsverhalten

Weiterhin wurde in Variante 1.1 nur die Zerstauchungsenergie erhoht. Dabei wurde mitwd = 0, 89mm sowohl fur die Matrix, als auch fur die Kontaktzone eine maximale Rissver-schiebung gewahlt, die fur die Matrix der Zerstauchungsenergie nach [17] von 20000N/mentspricht. Hier wird eine leichte Steigerung der Bruchlast gegenuber Variante 1 erreicht,

9.4. RISSBILDER 79

jedoch steht dies in keinem Verhaltnis zur Steigerung durch Variante 3 (siehe Abb. B.2im Anhang). Das heißt, dass der großte Einfluss auf die Bruchlast von der Druckfestigkeitder Kontaktzone ausgeht. Mit steigender Zerstauchungsenergie konnte jedoch wie erwar-tet die Stabilitat der Rechnung im Nachbruchbereich gesteigert werden.Abschließend wurde mit den Grundparametern eine Berechnung mit zwischenzeitlicherEntlastung durchgefuhrt (Variante 1 mit Entlastung, siehe Abb. 9.4). Da das Mate-rialgesetz auf der Schadigungstheorie beruht, gehen bei Entlastung die Verformungenvollstandig zuruck. Bei erneuter Belastung wird nach linearem Ansteigen die ursprunglicheKurve wieder erreicht.

9.4 Rissbilder

Es ist festzustellen, dass sich auch die Rissbilder je nach Eigenschaften der Kontaktzoneunterscheiden. In allen Fallen beginnt die Rissbildung in der Kontaktzone, jedoch ge-schieht dies bei unterschiedlich hohen Lasten (siehe Anhang B.2).

Cracks: in int. points, openning: <0.000E+00;8.455E-08>[m], Sigma_n: <0.000E+00;1.335E+00>[MPa], Sigma_T�: <0.000E+00;0.000E+00>[MPa]

X

Y

ATENA - Atena 2D Modellbeton Viertelausschnitt Results 1 Analysis step 4

ATENA, Atena 2D - version 2.0.2.0; (MEMOHASP/74-2); Copyright Cervenka Consulting Ltd., Prague, Czech Republic; tel.: +420 2 20610018; fax: +420 2 35366458; e-mail: [email protected]; http://www.cervenka.cz


X

Y




X

Y



Abbildung 9.5: Erste Rissbildung (v.l.n.r.: Variante 1, 2, 3)


X

Y




X

Y




X

Y



Abbildung 9.6: Fortschreitende Rissbildung auch in der Matrix bei ca. 60% der jeweiligenBruchlast (v.l.n.r.: Variante 1, 2, 3)

Wahrend sich bei besseren Eigenschaften der Kontaktzone dann Risse in der Matrix zwi-schen den Aggregatkornern bilden, setzt sich der Rissprozess bei schwacher Kontaktzoneuber und unter den Kornern in der Matrix fort. In allen Fallen verlaufen die Risse paral-lel zur Belastungsrichtung. Direkt uber und unter Kornern reisst die Kontaktzone selbstnicht, da hier beide Hauptspannungen Druckspannungen sind. Aus diesem Grund werden

80 KAPITEL 9. ATENA

Cracks: in int. points, openning: <-2.947E-06;1.506E-05>[m], Sigma_n: <-7.416E+00;2.315E+01>[MPa], Sigma_T�: <0.000E+00;0.000E+00>[MPa]

X

Y




X

Y




X

Y



Abbildung 9.7: Ausgedehnte Rissbildung bei ca. 80% der jeweiligen Bruchlast (v.l.n.r.:Variante 1, 2, 3)

hier auch Druckspannungen uber der Druckfestigkeit der Zone erreicht.Die Rissbildung uber und unter den Kornern erfolgt auch bei starkerer Kontaktzone, je-doch erst spater. Diese Risse wachsen dann jedoch schneller als die zwischen den Kornern,die teilweise sogar wieder uberdruckt werden (unkritische Risse), so dass sich die Rissbil-der bei Bruchlast ahneln. Dies erkennt man am deutlichsten, wenn man nur die Risseanzeigt, die mindestens 1µm Rissweite haben.


X

Y




X

Y




X

Y



Abbildung 9.8: Rissbild bei Erreichen der jeweiligen Bruchlast (v.l.n.r.: Variante 1, 2, 3)

Cracks: in int. points, <1.000E-06; ...), openning: <-5.736E-06;2.545E-04>[m], Sigma_n: <-1.006E+01;3.080E+01>[MPa], Sigma_T�: <0.000E+00;0.000E+00>[MPa]

X

Y




X

Y




X

Y



Abbildung 9.9: Risse mit mindestens 1µm Rissweite bei Erreichen der jeweiligen Bruchlast(v.l.n.r.: Variante 1, 2, 3)

9.5. VERSCHIEBUNGEN 81

9.5 Verschiebungen

Anhand der Querverschiebungen sieht man, wo große Gradienten auftreten, d.h. wo sichdie Risse mit den großten Rissoffnungen befinden. In der Kontaktzone treten die großtenGradienten auf, d.h. hier sind die Rissoffnungen am großten.

Scalars:isolines, Basic material, in nodes, Displacements, x(1), <-1.870E-06;0.000E+00>[m]

X

Y

-1.800E-06

-1.700E-06

-1.600E-06

-1.500E-06

-1.400E-06

-1.300E-06

-1.200E-06

-1.100E-06

-1.000E-06

-9.000E-07

-8.000E-07

-7.000E-07

-6.000E-07

-5.000E-07

-4.000E-07

-3.000E-07

-2.000E-07

-1.000E-07

0.000E+00




X

Y

-2.300E-06

-2.200E-06

-2.100E-06

-2.000E-06

-1.900E-06

-1.800E-06

-1.700E-06

-1.600E-06

-1.500E-06

-1.400E-06

-1.300E-06

-1.200E-06

-1.100E-06

-1.000E-06

-9.000E-07

-8.000E-07

-7.000E-07

-6.000E-07

-5.000E-07

-4.000E-07

-3.000E-07

-2.000E-07

-1.000E-07

0.000E+00




X

Y

-3.300E-06

-3.200E-06

-3.100E-06

-3.000E-06

-2.900E-06

-2.800E-06

-2.700E-06

-2.600E-06

-2.500E-06

-2.400E-06

-2.300E-06

-2.200E-06

-2.100E-06

-2.000E-06

-1.900E-06

-1.800E-06

-1.700E-06

-1.600E-06

-1.500E-06

-1.400E-06

-1.300E-06

-1.200E-06

-1.100E-06

-1.000E-06

-9.000E-07

-8.000E-07

-7.000E-07

-6.000E-07

-5.000E-07

-4.000E-07

-3.000E-07

-2.000E-07

-1.000E-07

0.000E+00



Abbildung 9.10: Querverschiebungen bei ca. 20% der jeweiligen Bruchlast (v.l.n.r.: Vari-ante 1, 2, 3), 0,1 µm/Linie


X

Y

-5.600E-06

-5.400E-06

-5.200E-06

-5.000E-06

-4.800E-06

-4.600E-06

-4.400E-06

-4.200E-06

-4.000E-06

-3.800E-06

-3.600E-06

-3.400E-06

-3.200E-06

-3.000E-06

-2.800E-06

-2.600E-06

-2.400E-06

-2.200E-06

-2.000E-06

-1.800E-06

-1.600E-06

-1.400E-06

-1.200E-06

-1.000E-06

-8.000E-07

-6.000E-07

-4.000E-07

-2.000E-07

0.000E+00




X

Y

-6.600E-06

-6.400E-06

-6.200E-06

-6.000E-06

-5.800E-06

-5.600E-06

-5.400E-06

-5.200E-06

-5.000E-06

-4.800E-06

-4.600E-06

-4.400E-06

-4.200E-06

-4.000E-06

-3.800E-06

-3.600E-06

-3.400E-06

-3.200E-06

-3.000E-06

-2.800E-06

-2.600E-06

-2.400E-06

-2.200E-06

-2.000E-06

-1.800E-06

-1.600E-06

-1.400E-06

-1.200E-06

-1.000E-06

-8.000E-07

-6.000E-07

-4.000E-07

-2.000E-07

0.000E+00




X

Y

-8.200E-06

-8.000E-06

-7.800E-06

-7.600E-06

-7.400E-06

-7.200E-06

-7.000E-06

-6.800E-06

-6.600E-06

-6.400E-06

-6.200E-06

-6.000E-06

-5.800E-06

-5.600E-06

-5.400E-06

-5.200E-06

-5.000E-06

-4.800E-06

-4.600E-06

-4.400E-06

-4.200E-06

-4.000E-06

-3.800E-06

-3.600E-06

-3.400E-06

-3.200E-06

-3.000E-06

-2.800E-06

-2.600E-06

-2.400E-06

-2.200E-06

-2.000E-06

-1.800E-06

-1.600E-06

-1.400E-06

-1.200E-06

-1.000E-06

-8.000E-07

-6.000E-07

-4.000E-07

-2.000E-07

0.000E+00



Abbildung 9.11: Querverschiebungen bei ca. 60% der jeweiligen Bruchlast (v.l.n.r.: Vari-ante 1, 2, 3), 0,2 µm/Linie


X

Y

-8.400E-06

-8.100E-06

-7.800E-06

-7.500E-06

-7.200E-06

-6.900E-06

-6.600E-06

-6.300E-06

-6.000E-06

-5.700E-06

-5.400E-06

-5.100E-06

-4.800E-06

-4.500E-06

-4.200E-06

-3.900E-06

-3.600E-06

-3.300E-06

-3.000E-06

-2.700E-06

-2.400E-06

-2.100E-06

-1.800E-06

-1.500E-06

-1.200E-06

-9.000E-07

-6.000E-07

-3.000E-07

0.000E+00




X

Y

-9.200E-06

-8.800E-06

-8.400E-06

-8.000E-06

-7.600E-06

-7.200E-06

-6.800E-06

-6.400E-06

-6.000E-06

-5.600E-06

-5.200E-06

-4.800E-06

-4.400E-06

-4.000E-06

-3.600E-06

-3.200E-06

-2.800E-06

-2.400E-06

-2.000E-06

-1.600E-06

-1.200E-06

-8.000E-07

-4.000E-07

0.000E+00




X

Y

-1.080E-05

-1.050E-05

-1.020E-05

-9.900E-06

-9.600E-06

-9.300E-06

-9.000E-06

-8.700E-06

-8.400E-06

-8.100E-06

-7.800E-06

-7.500E-06

-7.200E-06

-6.900E-06

-6.600E-06

-6.300E-06

-6.000E-06

-5.700E-06

-5.400E-06

-5.100E-06

-4.800E-06

-4.500E-06

-4.200E-06

-3.900E-06

-3.600E-06

-3.300E-06

-3.000E-06

-2.700E-06

-2.400E-06

-2.100E-06

-1.800E-06

-1.500E-06

-1.200E-06

-9.000E-07

-6.000E-07

-3.000E-07

0.000E+00



Abbildung 9.12: Querverschiebungen ca. 80% der jeweiligen Bruchlast (v.l.n.r.: Variante1, 2, 3), 0,3 µm/Linie

82 KAPITEL 9. ATENA

Zunachst weiten sich die Verformungslinien uber und unter den Zuschlagskornern aufund fuhren unter seitlicher Verdichtung um diese herum (siehe Abb. 9.10 und Abb. 9.11).Die Verformungsbehinderung, welche ebenso in Langsrichtung zu beobachten ist, bewirktEntlastung der Matrix und Aktivierung der Zuschlage. Solange dies uber die Kontaktzonehinweg moglich ist, verhalten sich die Zuschlagskorner wie starre Einschlusse nach [3]. InVariante 3 ist dies bis zu hohen Lasten der Fall, deswegen zeigen sich hier auch zwischenden Kornern starke Konzentrationen, da die Verformung hier von zwei Seiten behindertist.

Scalars:isolines, Basic material, in nodes, Displacements, x(1), <-2.941E-05;8.599E-07>[m]

X

Y

-2.700E-05

-2.600E-05

-2.500E-05

-2.400E-05

-2.300E-05

-2.200E-05

-2.100E-05

-2.000E-05

-1.900E-05

-1.800E-05

-1.700E-05

-1.600E-05

-1.500E-05

-1.400E-05

-1.300E-05

-1.200E-05

-1.100E-05

-1.000E-05

-9.000E-06

-8.000E-06

-7.000E-06

-6.000E-06

-5.000E-06

-4.000E-06

-3.000E-06

-2.000E-06

-1.000E-06

0.000E+00




X

Y

-3.100E-05

-3.000E-05

-2.900E-05

-2.800E-05

-2.700E-05

-2.600E-05

-2.500E-05

-2.400E-05

-2.300E-05

-2.200E-05

-2.100E-05

-2.000E-05

-1.900E-05

-1.800E-05

-1.700E-05

-1.600E-05

-1.500E-05

-1.400E-05

-1.300E-05

-1.200E-05

-1.100E-05

-1.000E-05

-9.000E-06

-8.000E-06

-7.000E-06

-6.000E-06

-5.000E-06

-4.000E-06

-3.000E-06

-2.000E-06

-1.000E-06

0.000E+00




X

Y

-2.000E-05

-1.900E-05

-1.800E-05

-1.700E-05

-1.600E-05

-1.500E-05

-1.400E-05

-1.300E-05

-1.200E-05

-1.100E-05

-1.000E-05

-9.000E-06

-8.000E-06

-7.000E-06

-6.000E-06

-5.000E-06

-4.000E-06

-3.000E-06

-2.000E-06

-1.000E-06

0.000E+00



Abbildung 9.13: Querverschiebungen bei Erreichen der Bruchlast (v.l.n.r.: Variante 1, 2,3), 1 µm/Linie

Bei ca. 80% der Bruchlast (Variante 1) bzw. kurz vor Erreichen der Bruchlast (Vari-ante 2 und 3) kommt zu einer Verdichtung der Verformungslinien uber und unter denZuschlagskornern, wahrend die Lastabtragung nun hauptsachlich uber die Matrix erfolgt,da die Zuschlagskorner nicht mehr aktiviert werden, sondern sich zusammen mit der starkgeschadigten Kontaktzone wie weiche Einschlusse verhalten. Auch die Langsverschiebu-


X

Y

-6.000E-05

-5.750E-05

-5.500E-05

-5.250E-05

-5.000E-05

-4.750E-05

-4.500E-05

-4.250E-05

-4.000E-05

-3.750E-05

-3.500E-05

-3.250E-05

-3.000E-05

-2.750E-05

-2.500E-05

-2.250E-05

-2.000E-05

-1.750E-05

-1.500E-05

-1.250E-05

-1.000E-05

-7.500E-06

-5.000E-06

-2.500E-06

0.000E+00




X

Y

-6.650E-05

-6.300E-05

-5.950E-05

-5.600E-05

-5.250E-05

-4.900E-05

-4.550E-05

-4.200E-05

-3.850E-05

-3.500E-05

-3.150E-05

-2.800E-05

-2.450E-05

-2.100E-05

-1.750E-05

-1.400E-05

-1.050E-05

-7.000E-06

-3.500E-06

0.000E+00




X

Y

-7.000E-05

-6.750E-05

-6.500E-05

-6.250E-05

-6.000E-05

-5.750E-05

-5.500E-05

-5.250E-05

-5.000E-05

-4.750E-05

-4.500E-05

-4.250E-05

-4.000E-05

-3.750E-05

-3.500E-05

-3.250E-05

-3.000E-05

-2.750E-05

-2.500E-05

-2.250E-05

-2.000E-05

-1.750E-05

-1.500E-05

-1.250E-05

-1.000E-05

-7.500E-06

-5.000E-06

-2.500E-06

0.000E+00



Abbildung 9.14: Langsverschiebungen bei Erreichen der Bruchlast (v.l.n.r.: Variante 1, 2,3), 1 µm/Linie

ngen zeigen dann die Charakteristik der Verformungssituation eines weichen Einschlussesnach [3]. Zwischen den Kornern bilden sich schrage Verformungs-Isolinien. Dies ist beischwachen Eigenschaften der Kontaktzone (Variante 1) besonders deutlich, wahrend esbei besserer Kontaktzone (Variante 3) kaum noch sichtbar ist, da hier die Unterschiedezwischen den Steifigkeiten von Matrix und Kontaktzone gering sind.

9.6. SPANNUNGSVERLAUFE 83

9.6 Spannungsverlaufe

Da der Versagensmechanimus in Variante 1 am besten zum Ausdruck kommt, soll hiernur diese naher erlautert werden. Die Spannungsverlaufe fur Variante 2 und 3 konnenAnhang B.4 entnommen werden.An den Hauptdruckspannungen ist zu erkennen, dass sich schrag zwischen den Aggre-gatkornern Drucktrajektorien ausbilden, wahrend die Matrix zwischen den Kornern senk-recht zur Belastungsrichtung weniger stark druckbeansprucht ist. Allerdings treten hierdurch die behinderte Querdehnung Zugspannungen auf, welche in der Kontaktzone zuRissen fuhren. Außerdem bilden sich dadurch schrag zwischen den Zuschlagen schubbe-anspruchte Bereiche. Uber und unter den Kornern sind auch die Kontaktzone und dieMatrix stark druckbeansprucht. Wahrend hier jedoch in der Kontaktzone zweiachsigeDruckbeanspruchung herrscht, ist die maximale Hauptspannung in der Matrix eine Zug-spannung (siehe Abb. 9.15).Diese fuhrt bei einer Belastung um 23 N/mm2 zum Reißen der Matrix uber und unter denKornern. Dies hat zur Folge, dass die Spannungen in den Zuschlagskornern nicht mehranwachsen. In großen Teilen der Matrix treten jetzt gleich große Druckspannungen auf(siehe Abb. 9.16).Es kommt zu einer Reihe von Spannungsumlagerungen. Da jetzt auch Risse in der Ma-trix schrag zwischen den Kornern auftreten, gehen die Schubspannungen dort zuruck. DieDruckspannungen werden jetzt hauptsachlich uber die Matrix ubertragen, wodurch derVerlauf der Druckspannungstrajektorien und Schubspannungsbereiche jetzt eher seitlichan den Zuschlagen verlauft (siehe Abb. 9.17). Die Lastabtragung in den Bereichen schragzwischen den Zuschlagen erfolgt jetzt senkrecht zu den Rissen.Seitlich an den Kornern am Ansatzpunkt der Drucktrajektorien bilden sich in der MatrixSpannungsspitzen, in denen die Spannung deutlich uber der Druckfestigkeit liegt. Wennin einem großeren Bereich der Matrix die Druckfestigkeit erreicht oder uberschritten ist,kommt es zum Versagen bzw. zum Abfall der aufnehmbaren Last (siehe Abb. 9.18).Dabei werden sowohl in der Kontaktzone, als auch in der Matrix teilweise Spannungen er-reicht, die uber der jeweiligen Druckfestigkeit liegen, außerdem sind die erreichten lokalenSpannungen wesentlich hoher als die erreichte globale Festigkeit.

84 KAPITEL 9. ATENA

Abbildung 9.15: Haupt- und Schubspannungen[N/mm2] bei einer Last von 7,5 N/mm2

(links) und 15,0 N/mm2 (rechts) fur Variante 1 (oben: σmin, mitte: σmax unten: τxy)

86 KAPITEL 9. ATENA





(links) und der Bruchlast 30,9 N/mm2 (rechts) fur Variante 1 (oben: σmin, mitte: σmax

unten: τxy)

Kapitel 10

Vergleiche

10.1 Vergleich zwischen ABAQUS und SBETA

Der Anfangselastizitatsmodul der einzelnen Rechnungen unterscheidet sich kaum. Wenndie Kontaktzone plastifiziert, weichen die Kurven voneinander ab. Mit dem SBETA-Materialmodell beginnt die Abweichung schon etwas eher, da der Druckbereich hier vonAnfang nichtlinear ist, wahrend die Kurve mit ABAQUS/Explizit gar keine Krummungaufweist, da hier der Druckbereich elastisch ist. Die Zugfestigkeit der Kontaktzone hat

Abbildung 10.1: Vergleich des globalen Verhaltens bei der Verwendung verschiedener Ma-terialmodelle

kaum Einfluss auf das Verhalten. Dies zeigt sich auch daran, dass die Rechnungen inABAQUS/Explizit und SBETA nicht weicher sind als die elastisch-plastische Vergleichs-rechnung, obwohl hier Zugspannungen bis in Hohe der Druckfestigkeit moglich sind.Den großten Einfluss auf das Verhalten hat, wie schon in Abschnitt 9.3 gezeigt, die Druck-festigkeit der Kontaktzone. Wahrend sich der Verlauf der Querverschiebungen mit demSBETA-Materialmodell und bei elastisch-plastischer Rechnung in ABAQUS/Standardquantitativ sehr ahneln, ist er in ABAQUS/Explicit anders. In ABAQUS/Explicit tre-ten keine Spannungsumlagerungen auf, wie sie mit dem SBETA-Materialmodell zu be-

88

10.2. VERGLEICH MIT DEM EXPERIMENT 89


X

Y

-2.700E-05

-2.600E-05

-2.500E-05

-2.400E-05

-2.300E-05

-2.200E-05

-2.100E-05

-2.000E-05

-1.900E-05

-1.800E-05

-1.700E-05

-1.600E-05

-1.500E-05

-1.400E-05

-1.300E-05

-1.200E-05

-1.100E-05

-1.000E-05

-9.000E-06

-8.000E-06

-7.000E-06

-6.000E-06

-5.000E-06

-4.000E-06

-3.000E-06

-2.000E-06

-1.000E-06

0.000E+00



Abbildung 10.2: Querverschiebungen bei Erreichen der Bruchlast (v.l.n.r.: elastisch-plastisch, Explizit, SBETA (Variante 1))

obachten sind. Dies ist damit zu begrunden, dass hier die Kontaktzone nicht auf Druckversagt und der Verlauf der Drucktrajektorien sich somit nicht andert, sondern bis zumSchluss durch die Zuschlagskornern verlauft (siehe Abb. 8.6). Es ist jedoch eine gewisseAhnlichkeit mit der Rechnung in ATENA mit besseren Eigenschaften, d.h. mit erhohterDruckfestigkeit der Kontaktzone (Variante 3) festzustellen. Dies ist damit zu erklaren,dass dort die Kontaktzone erst kurz vor Erreichen der Bruchlast auf Druck versagte.

10.2 Vergleich mit dem Experiment

Obwohl das Materialverhalten an einzelnen Elementen den Erfahrungen entsprechendnachgebildet werden kann, konnen die Ergebnisse des Experiments nur teilweise erreichtwerden. Dies ist unter anderem darauf zuruckzufuhren, dass das Zusammenwirken zwi-schen den Komponenten des Betons nur unzureichend einbezogen werden kann. Das Mo-dellieren auf Mesoebene wurde unter anderem dadurch notwendig, dass die Zuschlaggroßeim Verhaltnis zu den Probekorperabmessungen im Vergleich zu normalem Beton sehr großist. Es ist zudem zu prufen, ob die hier gewonnenen Erkenntnisse uber den Versagens-mechanismus vollstandig auf normalen Beton ubertragen werden konnen. Zum Beispielist die Packungsdichte der Zuschlagskorner normalerweise, unter anderem aufgrund derAbstufung der Korngroßen, wesentlich hoher, so dass sich ein regelrechtes Korngitter aus-bildet. Im Modellbeton dagegen steht der Zuschlagsgroße von 13mm eine Großtkorn inder Zementmatrix von 1mm gegenuber. Außerdem wurden die Zuschlage extra ausgesagt,wodurch ihre Oberflache vermutlich glatter als ublich war, was zu einem schlechten Ver-bund zwischen Zuschlag und Matrix gefuhrt haben konnte. Dadurch wurde die Bildungeiner schwachen Kontaktzone, deren Vorhandensein auch in normalem Beton bewiesenist, zusatzlich begunstigt werden.In den Berechnungen mit dem SBETA-Materialmodell hat die Druckfestigkeit der Kon-taktzone einen großen Einfluss auf die erreichte Bruchlast. Wahrend die erreichte Bruch-last bei Verwendung der Parameter fur die schwache Kontaktzone (Variante 1) gegenuberdem Experiment am geringsten ist, kann der Versagensmechanismus und das Rissbild hierjedoch am besten nachgebildet werden. Die geringere Bruchlast ist darauf zuruckzufuhren,dass ab einer bestimmten Last die Druckspannungen in den Zuschlagskornern nicht mehranwachsen, da die Grenze der uber die Kontaktzone ubertragbaren Spannungen erreicht

90 KAPITEL 10. VERGLEICHE


X

Y

-2.700E-05

-2.600E-05

-2.500E-05

-2.400E-05

-2.300E-05

-2.200E-05

-2.100E-05

-2.000E-05

-1.900E-05

-1.800E-05

-1.700E-05

-1.600E-05

-1.500E-05

-1.400E-05

-1.300E-05

-1.200E-05

-1.100E-05

-1.000E-05

-9.000E-06

-8.000E-06

-7.000E-06

-6.000E-06

-5.000E-06

-4.000E-06

-3.000E-06

-2.000E-06

-1.000E-06

0.000E+00




X

Y



Abbildung 10.3: links: Querverschiebungen im Experiment bei 89% der Bruchlast,1µm/Linie [17], mitte: Querverschiebungen bei Erreichen der Bruchlast mit dem SBETA-Materialmodell (Variante 1), 1µm/Linie, rechts: Rissbild bei Erreichen der Bruchlast mitdem SBETA-Materialmodell (Variante 1) mit minimaler Rissweite von 1µm

ist. In der Praxis tragen die Zuschlagskorner auch bei zerstorter Kontaktzone zur Last-steigerung bei, da wenn die Kontaktzone vollig zerdruckt ist, die Zementmatrix mit denZuschlagen in Verbindung tritt. Dies ließe sich in der FEM jedoch nur uber komplizier-te Kontaktbedingungen abbilden, was zu einer weiteren Steigerung des Rechenaufwandsfuhren wurde. Des Weiteren wird infolge der Experimente in [17] von einer Dicke derKontaktzone von 50 bis 100 µm in Abhangigkeit von der Zuschlaggroße ausgegangen. Inden Rechnungen wird die Zone mit 250 µm abgebildet, um die Elementgroßen nicht nochkleiner zu machen, da dadurch die Stabilitat der Rechnung negativ beeinflusst wurde.Dass die Dicke der Kontaktzone Einfluss auf die Ergebnisse, insbesondere auf die Bruch-last, hat, ist jedoch nicht auszuschliessen.Obwohl die elastisch-plastische Rechnung, die eigentlich nur als Vergleichsrechnung dienensollte, Ahnlichkeiten bei den Querverschiebungen und eine relativ realistische Hochstlastaufweist, kann sie nicht zur Beurteilung des Versagensmechanismus herangezogen werden.Querverschiebungskonzentrationen zeigen hier namlich keine Risse an, da die Zugfestig-keit erst bei Hohe der Druckfestigkeit begrenzt wird. So werden fur Beton unrealistischeZugspannungen von uber 15 N/mm2 erreicht.Das Materialgesetz in ABAQUS/Explicit erweist sich zur Nachbildung des Versagensme-chanismus ebenfalls nicht als geeignet, da der Druckbereich hier elastisch verlauft undkeine Druckfestigkeiten berucksichtigt werden konnen.

Teil III

Bewehrter Beton am Beispiel einesEinfeldtragers

91

Kapitel 11

Versuchsanordnung und Geometriedes Tragers

Im Experiment aus [9] wurde ein statisch bestimmt gelagerter Balken bis zum Versagenbelastet. Die Last wurde je zur Halfte in den Viertelspunkten aufgebracht. Der Versuchwurde kraftgesteuert durchgefuhrt. Dabei wurde die Last jedoch nicht kontinuierlich ge-steigert, sondern bei jeder Laststufe eine Minute gehalten und dreimal entlastet und wiederin Hohe der gleichen Laststufe belastet, bevor auf die nachste Laststufe erhoht wurde. AlsMesswerte wurden die Mittendurchbiegung, die Durchbiegungen in den Viertelspunkten,die Dehnung an der Oberseite in Balkenmitte, sowie die Verdrehungen an den Auflagernund in den Viertelspunkten aufgenommen.

Lastfalle im Experiment Gesamtlast in kN0 01 1,52 2,03 2,54 3,05 4,06 5,07 6,08 7,59 9,010 11,011 13,012 15,013 17,014 19,0

Tabelle 11.1: Laststufen

92

93

Abbildung 11.1: links: Ansicht des Tragers, rechts: Querschnitt des Tragers und Lage derBewehrung [4]

Abbildung 11.2: Versuchsaufbau und Anordnung der Aufnehmer und Sensoren [9]

Kapitel 12

Zusammenfassung bisherigerErgebnisse

12.1 Berechnungen mit ANSYS

In ANSYS kann Stahlbeton nur mit Volumenelementen modelliert werden. Es steht dafurein spezielles Betonelement zur Verfugung, in welchem bis zu drei unabhangige Beweh-rungsmaterialien abgebildet werden konnen. Bewehrung wird in ANSYS verschmiert dar-gestellt. Das Betonmodell in ANSYS benutzt die Willam-Warnke-Fliessflache. Es konnensowohl Festigkeiten fur einachsige, als auch fur mehrachsige Beanspruchung eingegebenwerden. Die Spannungs-Dehnungsbeziehung fur Beton kann als multilineare Beziehungeingegeben werden, allerdings darf der Anstieg nirgends kleiner als Null sein, d.h. dieAbbildung des Nachriss- und Nachbruchverhaltens ist nicht moglich.

Abbildung 12.1: Kraft-Durchbiegungsverlauf im Vergleich mit dem Experiment aus [9]

Ist ein Element in einem Integrationspunkt gerissen, konnen weiterhin Druckspannungen

94

12.2. IMPLIZITE BERECHNUNGEN MIT ABAQUS 95

und bis zu einem eingestellten Prozentsatz auch Schubspannungen ubertragen werden,jedoch keine Zugspannungen. Dies ist ein Nachteil der Modellierung in ANSYS, da in derRealitat durch die Rissverzahnung und durch den Verbund zwischen Stahl und Beton sehrwohl bis zu einer bestimmten Rissweite noch Zugspannungen ubertragen werden konnen.Aus diesem Grund ist auch die berechnete Bruchlast von 13,6 kN wesentlich geringer alsim Experiment mit 19,5 kN.Durch die Moglichkeit der Ausgabe des Elementstatus, d.h. des Rissbilds, lasst sich dasVerhalten des Modells gut nachvollziehen. Erste Zugrisse treten bei etwa 3 kN auf. ANSYSbenutzt verschmierte Rissbildung mit dem Modell der festen Risse, es konnen bis zu dreizueinander senkrechte Risse auftreten. Das Schliessen von Rissen ist ebenfalls moglich.In [4] wurde der Balken mit verschieden feinen Netzen modelliert, wobei sich das Modell2 mit einer Einteilung von 4x4x22 Elementen am geeignetsten erwies. Die Ergebnisse sindvon der Elementgroße abhangig, jedoch ist das Verhalten weitestgehend identisch. Beikleinerer Elementgroße wird das Modell eher instabil und bricht deshalb eher ab. Konver-genzprobleme treten trotz des nichtlinearen Materialverhaltens in der Regel nicht auf.Bei der Wahl unterschiedlicher Materialgesetze, die jedoch fur Beton geeignet sein mussen,kommt man trotzdem zu nahezu den gleichen Ergebnissen, was zu einer Bestatigung dererzielten Ergebnisse fuhrt.

12.2 Implizite Berechnungen mit ABAQUS

12.2.1 Balkenelemente

In [10] wurde der Trager mit Balkenelementen zweiter Ordnung modelliert. Das Netz be-stand aus 22 Elementen von 9,5cm Lange.Im Unterschied zu ANSYS ist in ABAQUS die Steuerung des Nachrissverhaltens moglich.

Abbildung 12.2: Kraft-Durchbiegungsverlauf in Abhangigkeit der maximalen Rissweite

96 KAPITEL 12. ZUSAMMENFASSUNG BISHERIGER ERGEBNISSE

Rissbildung tritt bei etwa gleicher Last wie in ANSYS auf. Durch eine erhohte Bruchener-gie wurde die Interaktion zwischen Beton und Stahl berucksichtigt. Es wurde eine lineareSpannungs-Dehnungsbeziehung fur den Nachrissbereich benutzt.Es zeigte sich, dass die erzielten Ergebnisse dabei stark von der maximalen Dehnungεmax bzw. der Rissweite, bei welcher die Spannungen zu Null werden, abhangen. Bei einerRissweite von 50 µm wird mit 13,8 kN ein mit ANSYS vergleichbarer Wert erreicht. BeiErhohung der Rissweite bis auf 2,85 mm wird die Bruchlast des Experiments erreicht.Wird die Bruchenergie noch weiter erhoht, nahert sich die Losung den unter Zugbean-spruchung elastisch-idealplastischen Verhaltens entsprechenden Ergebnissen an.

12.2.2 Kontinuumselemente

Bei der Benutzung von Kontinuumselementen traten starke Stabilitatsprobleme auf. Schonbeim Auftreten der ersten Risse konvergiert das Modell nicht mehr. Zudem ist die Ver-wendung unbewehrter Elemente ganzlich unmoglich.

Kapitel 13

Berechnung mit ABAQUS/Explicit

Der Balken wurde mit C3D8R-Kontinuumselementen modelliert, wobei 4x4x22 Elementeangeordnet wurden (siehe Anhang D.3). Die Last wurde verschiebungsgesteuert aufge-bracht. Das Rissmodell von ABAQUS/Explizit wurde unter Einbeziehung des Versagenseinzelner Elemente verwendet. Als Bruchenergie wurden zunachst 3200N/m angenommen,was mit der Rissweitenannahmen von 2,85mm in ABAQUS/Standard ubereinstimmt. Die-se Bruchenergie sollte jedoch nur fur den bewehrten Teil des Balkens, d.h. fur die Elementein der unteren Halfte, gelten. Bei Eingabe einer geringeren Bruchenergie fur die oberen Ele-mente bricht die Rechnung jedoch beim Auftreten erster Risse plotzlich ab. Dies geschiehtselbst bei geringem Unterschied (GMix). Deswegen wurde fur alle Elemente die gleicheBruchenergie eingegeben, was dazu fuhrt, dass die Reaktion im Vergleich zum Experimentnach dem Auftreten von Rissen zu steif ist. Aus diesem Grund wurde die Bruchenergie des

Abbildung 13.1: Kraft-Durchbiegungskurven im Vergleich mit dem Experiment aus [9]

gesamten Modells in einer weiteren Rechnung auf 3000N/m vermindert. Beim Erreicheneiner Bruchlast in Hohe des Experiments jedoch bei deutlich geringeren Verschiebungenbricht die Rechnung auch hier ab, wobei sich am Verlauf der Kraft-Durchbiegungskurvebis dahin nichts andert. Das deutet darauf hin, dass die zu große Steifigkeit auf die An-nahme des linear-elastischen Verhaltens im Druckbereich (siehe Kapitel 3.3) und nichtausschließlich auf die zu hohe Bruchenergie im Zugbereich zuruckzufuhren ist.

97

Kapitel 14

Benutzung des Materialmodells desISM

14.1 Materialparameter

Fur den Beton wurden folgende Werte eingegeben:

1. E = 30000N/mm2

2. ν = 0, 2

3. ρ = 1 (wird nicht benutzt)

4. fc = 25N/mm2

5. εc = 0, 002

6. ft = 2, 25N/mm2

7. µ = 0, 05

8. b = 0, 5

9. Gcl = 20000N/m

10. Gt = 3200N/m

Als Materialgesetz fur den Stahl wurde ein elastisch-plastisches Gesetz mit Verfestigungeingegeben. Der E-Modul betragt 200000N/mm2, die Querdehnzahl 0,3 und die Fließspan-nung 500N/mm2. Die Verfestigung endet bei einer Dehnung von 0,2 und einer Spannungvon 505N/mm2.

14.2 Berechnung mit 3D-Kontinuumselementen

Der Balken wurde mit 4x4x22 Elementen modelliert. Es zeigte sich jedoch, dass ebensowie bei Verwendung des ABAQUS/Standard internen Betonmaterialmodells starke Stabi-litatsprobleme auftreten und die Rechnung bei Erreichen der Risslast abbricht. Eventuellkonnte eine explizite Variante der Umat-Routine hier Fortschritte bringen.

98

14.3. BERECHNUNG MIT EINACHSIGEN BALKENELEMENTEN 99

14.3 Berechnung mit einachsigen Balkenelementen

14.3.1 Betrachtungen zum Elementtyp

In ABAQUS/Standard stehen fur den einachsigen Fall 3 Balkenelemente zur Verfugung.Sie haben 3 Freiheitsgrade: Verschiebung in x, ux, Verschiebung in y, uy und Rotation umz, φz.

Abbildung 14.1: Knotennummerierung und Integrationspunkte der Balkenelemente [13]

Die Balkenelemente in ABAQUS, die kubische Interpolationsfunktionen benutzen, sindauf Grundlage der klassischen Balkentheorie nach Euler-Bernoulli formuliert. In diesenElementen wird angenommen, dass die interne virtuelle Arbeitsrate nur axialen Dehnun-gen und Torsionsschub zugeordnet wird. Weiter wird angenommen, dass der Querschnitteben und unverzerrt bleibt und die Querschnittsebene senkrecht zur Balkenachse ver-bleibt. Euler-Bernoulli Balkenelemente (z.B. B23) erlauben keine Querschubverformung,sie sollten deshalb nur zur Modellierung schlanker Balken benutzt werden, d.h. die Quer-schnittsabmessungen sollten im Vergleich zur maßgebenden Lange (Lange zwischen Auf-lagern oder Wellenlange der hochsten Eigenform) klein sein. Fur Balken aus einheitlichemMaterial sollten die Querschnittsabmessungen kleiner 1/15 der maßgebenden Lange betra-gen (im Beispiel etwa 1/16). Die kubischen Balkenelemente wurden fur kleine Dehnungenund große Rotationen entwickelt. Sie sind ungeeignet fur Torsionsstabilitatsprobleme undkonnen fur sehr große Rotationen (180◦) nicht benutzt werden. Dann sollten besser Ele-mente 1. oder 2. Ordnung benutzt werden.Die Balkenelemente in ABAQUS, die quadratische (z.B. B22) oder lineare (z.B. B21) In-terpolation benutzen, basieren ebenfalls auf einer Euler-Bernoulli-Formulierung mit demZusatz, dass diese Elemente auch Querschubdehnungen erlauben, d.h. der Querschnittmuss nicht notwendigerweise normal zur Achse bleiben. Diese Erweiterung fuhrt zur Bal-kentheorie von Timoshenko (1956) und ist besonders nutzlich fur dicke Balken, bei denendie Schubflexibilitat von Bedeutung sein mag.In ABAQUS sind diese Elemente so formuliert, dass sie sowohl fur dicke als auch fur dunneBalken, bei denen die Euler-Bernoulli-Theorie exakt ist, effizient sind. Fur Balken mit ein-heitlichem Material werden bei Querschnittsabmessungen bis zu 1/8 der Lange brauchbareErgebnisse erreicht. Bei großeren Werten fuhrt die Annahme, dass das Verhalten nur alsFunktion der axialen Position beschrieben wird, nicht mehr zu erwunschten Genauigkei-ten. Die Formulierung dieser Elementen erlaubt große Dehnungen in axialer Richtung,

100 KAPITEL 14. BENUTZUNG DES MATERIALMODELLS DES ISM

aber es werden nur maßig große Torsionsdehnungen korrekt modelliert. ABAQUS nimmtan, dass das Querschubverhalten der Timoshenko-Balken linear-elastisch mit einem festenE-Modul ist, d.h. unabhangig von der Reaktion des Balkens unter Normalkraftbelastungoder Biegung. Normalerweise basiert die Definition der Querschubsteifigkeit fur Schalen-oder Balkenelemente auf der Elastizitatsformulierung des Materials, genauer auf einemAnfangsschubmodul. Die Standardwerte konnen jedoch uberschrieben werden. In man-chen Fallen ist die Schubsteifigkeit nicht in der Materialdefinition enthalten. Dies giltz.B fur Benutzerroutinen, so dass hier die *TRANSVERSE SHEAR STIFFNESS Optionbenutzt werden muss, um das Querschubverhalten zu definieren. Die effektive Querschub-steifigkeit ist in ABAQUS definiert als:

Kα3 = fαp Kα3

wobei Kα3 die Querschnittsschubsteifigkeit in Richtung α und fαp ein dimensionsloser

Faktor ist, der verhindert, dass die Schubsteifigkeit fur schlanke Balken zu groß wird. Erwird bei der Schubsteifigkeitsberechnung immer benutzt und ist defniert als:

fαp = 1/

(1 + ξ · l2A

12Iαα

)Dabei ist l die Elementlange, A die Querschnittsflache, Iαα das Tragheitsmoment in Rich-tung α und ξ = 0, 25 fur Elemente erster Ordnung bzw. 0, 25 · 10−4 fur Elemente zweiterOrdnung. Kα3 ist die aktuelle Schubsteifigkeit und wird als Kraft mit der *TRANSVER-SE SHEAR STIFFNESS Option eingegeben. α = 1, 2 sind die lokalen Richtungen desQuerschnitts. Als Standard gilt

Kα3 = k ·G · A

Hierbei ist der Schubfaktor k nach Cowper (1966) in Abhangigkeit der Querschnittsformdefiniert. Fur einen Rechteckquerschnitt gilt k = 0, 85. Damit ergibt sich fur den Balkenim Beispiel:

Kα3 = k · E

2 · (1 + ν)· A = 0, 85 · 3 · 1010N/m2

2 · (1 + 0, 2)· 0, 12m · 0, 12m = 1, 53 · 108N

14.3.2 Modellierung

Der Balken wurde fur alle drei Elementtypen modelliert. Dabei wurde die Lange in 22Elemente unterteilt. Die Knoten befinden sich auf der Balkenachse in x-Richtung, demBalken wurde ein Querschnitt von 12x12cm zugeordnet. Jeweils ein Element vom Randentfernt (links: Knoten 3, rechts: Knoten 43) wurde ein Knoten in y-Richtung gehalten,der linke außerdem auch in x-Richtung. Im ersten Lastschritt wurde das Eigengewichtberucksichtigt. Im weiteren Verlauf wurde die Punktlast in den Viertelspunkten (Knoten13 und Knoten 33) kraftgesteuert aufgebracht. Die Bewehrung wurde als einzelne Stabeimplementiert. (siehe Anhang D.3)

14.3.3 Berechnungen mit elastisch-plastischem Druckbereich

Zunachst wurde der Balken fur den Sonderfall des elastisch-plastischen Druckbereichs be-rechnet. Bei kraftgesteuerter Lastaufbringung wurden mit allen drei Elementen Werte in


Abbildung 14.2: Kraft-Durchbiegungskurve im Vergleich mit dem Experiment aus [9]

Nahe der Bruchlast erreicht (18,0-18,5kN). Mit verschiebungsgesteuerter Lastaufbringungkonnte im Fall des B21-Elements auch der Nachbruchbereich abgebildet werden, wahrendbei B22- oder B23-Elementen die Rechnung an derselben Stelle abbricht wie bei Kraft-steuerung.

Abbildung 14.3: Spannungs-Dehnungslinie in Balkenmitte unten

Im Unterschied zum Experiment fallt die Kraft ab und kann nicht gehalten oder leichtgesteigert werden, d.h. das duktile Verhalten des Stahlbetons kann nicht abgebildet wer-den. Dies war jedoch auch nicht bei allen getesteten Balken der Fall, da die Bewehrungso gewahlt war, dass auch bei einigen Druckversagen auftrat.Im Verhalten der einzelnen Elementtypen gibt es leichte Unterschiede in der Steifigkeit


und somit auch in der erreichten Last. Diese sind durch das unterschiedliche Verhal-ten im Nachrissbereich, welches auf die unterschiedlichen aquivalenten Elementlangenzuruckzufuhren ist, begrundet.

Abbildung 14.4: Spannungs-Dehnungslinie in Balkenmitte oben

Im Druckbereich wird bei allen drei Elementen der plastische Bereich erreicht. Im Nach-rissbereich beim Element B21 lokalisiert sich die Schadigung in den beiden mittlerenElementen, wahrend in den angrenzenden Elementen Entlastungen auftreten (siehe Abb.C.1 und Abb. C.2 im Anhang). Die Lokalisierung ist moglicherweise ein Grund fur dasAbfallen der Kurve.

14.3.4 Berechnungen mit nichtlinearem Druckbereich

Bei der Berechnung mit nichtlinearem Druckbereich konnte mit allen drei Elementtypenbei verschiebungsgesteuerter Belastung auch der Nachbruchbereich abgebildet werden.Wie schon im vorhergehenden Abschnitt kam es auch hier zu einem Abfall und das Hal-ten der Last konnte nicht praxisgerecht abgebildet werden.Bei der Durchbiegung an den Belastungspunkten ist dieser Abfall noch deutlicher zuerkennen. Außerdem bleibt die Reaktion des Modells trotz Lokalisierung der Schadigungsymmetrisch, d.h die Kraft-Durchbiegungskurven der linken und rechten Belastungspunk-te sind identisch (siehe Abb. C.3 im Anhang).Im Vergleich mit den anderen Rechnungen (siehe Abb. 14.6) zeigt sich, dass sich die Be-rechnung mit dem implementierten Materialmodell besser an die Experimentdaten als mitABAQUS/Explizit anpasst und etwa die gleichen Ergebnisse wie mit ABAQUS/Standarderreicht werden. Jedoch kann in ABAQUS/Standard die Verfestigung bzw. das Haltender Last abgebildet werden. Bei diesen Rechnungen kamen allerdings dreidimensionaleBalkenelemente zur Anwendung.Im Vergleich zur Rechnung mit elastisch-plastischem Druckbereich ist die Kurve gleich-maßiger und wird schon eher weicher, wahrend bei elastisch-plastischem Druckbereichdeutlich der Knick beim Beginn des plastischen Verhaltens zu erkennen ist (siehe auchAbb. C.4 im Anhang).


Abbildung 14.5: Kraft-Durchbiegungskurve mit nichtlinearem Druckbereich

Abbildung 14.6: Kraft-Durchbiegungskurven aller Berechnungen im Vergleich

An den Spannungsdehnungslinien ist wiederum deutlich die Lokalisierung zu erkennen(siehe Abb. 14.7 und Abb. 14.8). Beim Element B21 tritt innerhalb eines Elements keineLokalisierung auf, da nur ein Integrationspunkt vorhanden ist. Sie tritt jedoch zwischenden beiden mittleren Elementen (11,12) und den jeweils angrenzenden Elementen ebensowie bei der Rechnung mit elastisch-plastischem Druckbereich auf. Da das Element B21nur einen Integrationspunkt hat, verteilt sich die Lokalisierungszone auf einen großerenBereich als bei den beiden anderen Elementtypen. Da die Elementtypen aufgrund der un-terschiedlichen Integrationspunktanzahl unterschiedliche charakteristische Langen haben,sind die Spannungs-Dehnungslinien im Nachrissbereich unterschiedlich. Diese hangen hiervon der Bruchenergie ab, welche uber eine Spannungs-Verschiebungskurve implementiert


wird.

Abbildung 14.7: Spannungs-Dehnungslinie in Balkenmitte unten

Abbildung 14.8: Spannungs-Dehnungslinie in Balkenmitte oben

Die Lokalisierung ist noch deutlicher an der Ausgabe der statusabhangigen Variablen ab-zulesen. Die Variable SDV 3 stellt dabei die aquivalente Nachgiebigkeit dar und beziehtsich auf die Schadigung im Druckbereich und die Variable SDV 6 ist die Ruckstellspannungim Zugbereich. So zeigt sich, dass die Lokalisierung noch nicht beim Reissen eintritt (sieheauch Abb. C.5 bis Abb. C.9 im Anhang).In der Lokalisierungszone steigt die Schadigung plotzlich starker an, wahrend die Ris-se außerhalb elastisch entlastet werden. Das ist daran zu erkennen, dass die aquivalenteNachgiebigkeit und die Ruckstellspannung hier konstant bleiben. Bei dem Element B23verteilt sich die Lokalisierung auf zwei Integrationspunkte, wenn auch unterschiedlichstark, wahrend sich der dritte von der Balkenmitte am weitesten entfernte Integrations-punkt ebenso entlastet wie bei den anderen Elementtypen (siehe Abb. 14.9 und Abb.


Abbildung 14.9: Lokalisierung der Schadigung im Druckbereich (B23)

Abbildung 14.10: Lokalisierung im Zugbereich (B23)

14.10). Dadurch ist der Sprung zwischen zwei angrenzenden Integrationspunkten nicht sogroß, was eine Erklarung dafur liefert, dass der Abfall der Kraft-Durchbiegungskurve hierflacher vor sich geht.Auch am Spannungsverlauf des Stahls ist zu erkennen, dass der Stahl beim Element B23in zwei Integrationspunkten fließt. In den angrenzenden Elementen zwischen den Last-aufbringungspunkten (Elemente 7 bis 10 und 13 bis 16) ist der Unterschied zwischen denStahlspannungen bis kurz vor dem Fließen nur unwesentlich geringer, sobald der Stahlin den beiden Mittelelementen anfangt zu fließen, treten jedoch auch hier Entlastungenauf. In den Elementen außerhalb der Lastaufbringungspunkte (z.B. Element 6) ist die


Abbildung 14.11: zeitlicher Verlauf der Stahlspannungen (B23)

Stahlspannung geringer, aber auch hier steigt sie nach Erreichen der Fließspannung inden Mittelelementen nicht weiter an, sondern fallt leicht ab. Dies geschieht bei allen dreiElementtypen kurz vor Auftreten der Lokalisierung, fur die das Erreichen der Fließgrenzedes Stahls der Grund ist (siehe auch Abb. C.7 und Abb.C.10 im Anhang).

Abbildung 14.12: zeitlicher Verlauf von bezogener Stahlspannung, Betondruckspannungund aquivalenter Nachgiebigkeit (SDV3)

Skaliert man Stahlspannung, Betondruckspannung und modellinterne Variable fur dieaquivalente Nachgiebigkeit (SDV 3) und bildet ihren zeitlichen Verlauf in einem Dia-gramm ab, ist deutlich zu erkennen, dass zuerst die Fließspannung des Stahls erreichtwird und demzufolge die Lokalisierung auftritt und wenig spater im mittleren Elementdie Druckfestigkeit erreicht wird (siehe Abb. 14.12). Dieses Verhalten stimmt bei allendrei Elementtypen uberein.


Um die experimentelle Kurve auch im Bereich der Bruchlast besser nachzubilden wurdeversucht durch Erhohung der Zerstauchungsenergie eine Annaherung zu erreichen. Dabeiist die Kurve bis zum Erreichen der Hochstlast gleich, dann fallt sie flacher ab und gleichtsich an die plastische Kurve an. Dieser Effekt ist bei allen drei Elementtypen zu beobach-ten, jedoch bei B23 nicht so ausgepragt (siehe Abb. C.11 im Anhang).

Abbildung 14.13: Kraft-Durchbiegungskurve in Abhangigkeit der Zerstauchungsenergieim Vergleich mit elastisch-plastischem Druckbereich (B21)

Das Entlastungsverhalten laßt sich zur Zeit noch nicht nachrechnen, da die Rechnungdabei unabhangig von Elementtyp und Große des Entlastungsschritts abbricht.

Teil IV

Zusammenfassung und Ausblick

109

110

Die Abbildung des Betonverhaltens mit Hilfe von Finite-Elemente-Methoden birgt auf-grund der Nichtlinearitat und aufgrund von Spannungsumlagerungen infolge von Rissbil-dung einige Schwierigkeiten. In dieser Arbeit wurden die Materialgesetze der Programm-gruppe ABAQUS und des Programms ATENA sowie ein auf Polling [19] basierendesMaterialmodell, welches zur Zeit am ISM umgesetzt wird, untersucht. Als Anwendungs-beispiel fur unbewehrten Beton diente dabei ein ebener Modellbeton unter einachsigerDruckbeanspruchung [17]. Als Grundlage fur die Nachrechnung von bewehrtem Betonwurden die Vier-Punkt-Biegeversuche an schwach bewehrten Balken aus [9] verwendet.

Alle in dieser Arbeit behandelten Materialmodelle fur Beton weisen im Zugbereich zufrie-denstellende Ergebnisse auf. Dabei kann auch das Verhalten nach dem Reißen praxisge-recht und relativ stabil nachgebildet werden. Zur Definition der Entfestigungskurven sindsowohl Spannungs-Dehnungsbeziehungen, als auch Bruchenergiekonzepte moglich. Dabeisind Bruchenergiekonzepte bzw. Spannungs-Rissoffnungsbeziehungen im Nachrissbereichzu bevorzugen, da hier mit Hilfe von Lokalisierungskontrollen die Netzabhangigkeit derLosung eingeschrankt wird. In ATENA gelingt dies durch Definition eines Rissbandes gut.Bei Benutzung der Umat-Routine, in der dafur die aquivalente Elementlange verwendetwird, verbleibt eine geringe Netzabhangigkeit, wie am Beispiel des Balkens zu erkennenist.

Die Unterschiede zwischen den Materialgesetzen bestehen hauptsachlich im Druckbe-reich. Hierbei differieren sowohl der Grad der Nichtlinearitat im ansteigenden Ast derMaterialkennlinie, als auch das Entlastungsverhalten und die Definition des Verhaltensim Nachbruchbereich. Wahrend sich das SBETA-Materialmodell und die Umat-Routineam Beginn des nichtlinearen Verhaltens im Vorbruchbereich nur wenig unterscheiden,wird in ABAQUS/Standard eine multilineare Beziehung definiert, und bei Benutzungdes Rissmodells in ABAQUS/Explicit ist der Druckbereich einfach linear-elastisch. EinenNachbruchbereich gibt es auch in ABAQUS/Standard nicht, da hier ideal-plastisches Ver-halten angenommen wird. In der Umat-Routine wird mit Hilfe der Zerstauchungsenergieeine nichtlineare Entfestigungskurve definiert. Das Druckentfestigungsverhalten von Be-ton kann damit an einzelnen Elementen nachgebildet werden, jedoch ist schon hier derNachbruchbereich noch sehr instabil. In komplexen Modellen wie beim Beispiel des Mo-dellbetons kommt es auch schon vor Erreichen der Bruchlast zum Versagen bzw. Entfesti-gen einzelner Elemente. Damit dies nicht zum fruhzeitigen Abbruch der Rechnung fuhrt,ist zu uberlegen, den Nachbruchbereich nicht durch komplizierte nichtlineare Ansatzeabzubilden, sondern durch eine einfache lineare Entfestigung, wie dies z.B. im SBETA-Materialmodell durch Definition einer maximalen Verschiebung der Fall ist. Zudem bedarfes bei der Bestimmung der Zerstauchungsenergie, die als Materialparameter angesehenwird, noch weiterer Untersuchungen.Beim Entlastungsverhalten unterscheiden sich die Materialmodelle durch die ihnen zu-grunde liegenden Theorien. Wahrend ABAQUS die Plastizitatstheorie benutzt, basiert dasSBETA-Materialmodell auf der Kontinuumsschadigungstheorie und in der Umat-Routinekommt eine Kombination beider zur Anwendung.

Die Eignung der einzelnen Materialmodelle hangt von Art und Anforderung des Problemsund zum Teil auch von der Dimension ab. So ist bei dreidimensionalen Elementen der Ein-fluss numerischer Ungenauigkeiten großer. Bei der Verwendung von Kontinuumselementen

ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK 111

gibt es in ABAQUS/Standard sowohl beim Beispiel des Balkens als auch beim Modellbe-ton große Probleme durch Programmabsturze, die sich bisher auch durch Anwendung derUmat-Routine nicht losen lassen. In den beiden betrachteten Beispielen bestanden sehrgroße Unterschiede in der Geometrie und den Beanspruchungssituationen.

Dabei konnte das eigentlich eindimensionale Beispiel des Balkens unter Verwendung vonBalkenelementen sowohl mit dem Betonmodell in ABAQUS/Standard, als auch mit derUmat-Routine gut nachgerechnet werden. Zwischen den Lastaufbringungspunkten versag-ten die Elemente im Zugbereich gleichmaßig und die Bewehrung wurde aktiviert. Nachdemdie Bewehrung zu fliessen beginnt und auch der Druckbereich versagt, kommt es zu Lo-kalisierung der Schadigung. Auch mit ABAQUS/Explicit konnte die Bruchlast in einemModell mit Kontinuumselementen erreicht werden, allerdings ist die Reaktion etwas zusteif, da es Probleme damit gibt, fur die bewehrten und die unbewehrten Elemente desBalkens unterschiedliche Bruchenergien einzugeben.

Das ebene Beispiel des Modellbetons konnte bisher mit zweidimensionalen Modellen furden ebenen Spannungszustand mit ABAQUS/Explicit und ATENA berechnet werden. InABAQUS/Explicit laßt sich das nichtlineare Verhalten dabei nicht korrekt nachbilden, dader Druckbereich linear-elastisch angenommen wird. Aus diesem Grund ist auch der Versa-gensmechanismus ein anderer als im Experiment, da der Einfluss, den die Druckfestigkeitder Kontaktzone zwischen Zuschlagskorner und Zementmatrix hat, nicht berucksichtigtwird. Diesem Einfluss wird in [17] jedoch große Bedeutung beigemessen, was durch dieRechnungen mit dem SBETA-Materialmodell bestatigt werden konnte. Hier zeigt sich eineAbhangigkeit der Bruchlast und des Rissbildes von den Eigenschaften der Kontaktzone.Die Bruchlast des Experiments konnte zwar nicht erreicht werden, aber das Rissbild wirdgut nachgebildet. Die Rechnung verlief dabei im allgemeinen sehr stabil, nur nach Er-reichen der Hochstlast steigt die Zahl der benotigten Iterationsschritte erheblich. Zudemist zu erwahnen, dass die Ausgabe von Rissen in ATENA sehr gut gelost ist, sogar einRissweitenfilter moglich ist, wahrend die Rissausgabe in ABAQUS zumindest graphischkaum moglich ist.

Generell laßt sich also Beton mit den untersuchten Modellen zufriedenstellend nachrech-nen, dennoch sind in Bezug auf die Umat-Routine noch Verbesserungsmoglichkeiten vor-handen. So bildet die Kombination von Plastizitats- und Schadigungstheorie insbesonde-re, wenn lokale Entlastungen auftreten, das Verhalten besser ab. Um bei Benutzung derNutzersubroutine zufriedenstellende Ergebnisse zu erzielen, mussen jedoch die Integrati-onsalgorithmen noch stabilisiert werden.Des Weiteren ware fur Probleme wie das des Modellbetons die Programmierung des ebe-nen Spannungszustand wunschenswert, ebenso wie die Implementierung anderer Span-nungsunterraume, so dass z.B. fur den Balken auch Elemente, die Schub berucksichtigen,benutzt werden konnten.Zudem sollte die Umat-Routine auch fur ABAQUS/Explicit umgesetzt werden, da auf-grund der Nichtlinearitat des Problems mit impliziten Methoden die Zahl der Iterations-schritte sehr groß ist bzw. in der Nahe von Versagenszustanden die Konvergenzrate rapideabnimmt.

Literaturverzeichnis

[1] R. Alex. Zeitabhangiges Plastizitats- und Schadigungsmodell von Beton zur statischenund dynamischen Berechung von Stahlbetonkanstruktionen. PhD thesis, TechnischeUniversitat Berlin, 2000.

[2] J. Ameler. Betonverhalten bei hohen Temperaturen und triaxialer Beanspruchung- FE-Modell auf der Basis der Betonstruktur. PhD thesis, Technische UniversitatBraunschweig, 1997.

[3] H. Amstutz. Ellipsenformige Einschlusse in elastischer und elastisch-plastischer Ma-trix mit ebenem Spannungszustand. PhD thesis, Technische Universitat Darmstadt,1983.

[4] A. Banisch. Numerische Untersuchungen eines Stahlbetonbalkens mit dem FEM-Programm ANSYS im Vergleich mit experimentellen Ergebnissen. Bauhaus-Universitat Weimar, 2002. Studienarbeit.

[5] B.Hillemeier. Bruchmechanische Untersuchungen des Rissfortschritts in zementge-bundenen Werkstoffen. PhD thesis, Techn. Hochschule Karlsruhe, 1976.

[6] Bronstein, Semendjajew, Musiol, and Muhlig. Taschenbuch der Mathematik. HarriDeutsch, Frankfurt am Main, 1997.

[7] Cervenka Consulting, Prague. ATENA Program Documentation, 2002.

[8] M. Ducke. Nichtlineare statische Analyse mit dreidimensionalen finiten Elementen.PhD thesis, Bauhaus-Universitat Weimar, 1993.

[9] M. Ebert. Sfe-modellierung dynamischer und statischer eigenschaften von stahlbe-tonbalken bei fortschreitender schadigung. In Bericht 1/00 des Instituts fur Struk-turmechanik, pages 67–78. Bauhaus-Universitat Weimar, 2000.

[10] E. Herz and M. Vormwald. Finite element simulation of concrete structures inclu-ding geometry changes due to structural modifications. In Proceedings of the 7thInternational Conference on Modern Building Materials, Structures and Techniques,Vilnius, 2001.

[11] Hibbitt, Karlsson & Sorensen, Inc. ABAQUS - Theory Manual, Version 6.2, 2001.

[12] Hibbitt, Karlsson & Sorensen, Inc. ABAQUS/Explicit User’s Manual, Version 6.2,2001.

112

LITERATURVERZEICHNIS 113

[13] Hibbitt, Karlsson & Sorensen, Inc. ABAQUS/Standard User’s Manual, Version 6.2,2001.

[14] Hibbitt, Karlsson & Sorensen, Inc. Getting started with ABAQUS/Explicit, Version6.2, 2001.

[15] W. Keuser. Bruchmechanisches Verhalten von Beton unter Mixed-Mode Beanspru-chung. PhD thesis, Technische Universitat Darmstadt, 1989.

[16] Reinhold Kienzler. Konzepte der Bruchmechanik: integrale Bruchkriterien. Vieweg,Braunschweig/Wiesbaden, 1993.

[17] K. Klemt. The bearing and deformation behaviour of concrete subjected to uniaxialcompressive short-term loading. PhD thesis, Technische Universitat Darmstadt, 2002.

[18] W. Kolmar. Beschreibung der Kraftubertragung uber Risse in nichtlinearen Finite-Elemente-Berechnungen von Stahlbetontragwerken. PhD thesis, Technische Univer-sitat Darmstadt, 1985.

[19] Rainer Polling. Eine praxisnahe schadigungsorientierte Materialbeschreibung vonStahlbeton fur Strukturanalysen. Dissertation a, Ruhr-Universitat, Bochum, 2000.

[20] U. Scholz. Verhalten von Beton unter mehrachsiger Beanspruchung bei Kurzzeitbe-lastung. PhD thesis, Technische Universitat Munchen, 1989.

[21] V. Slowik. Beitrage zur experimentellen Bestimmung bruchmechanischer Material-parameter von Beton. AEDIFICATIO Verlag, Freiburg i.Br., 1995.

[22] M. Weber. Dreidimensionale Analyse von unbewehrtem Beton mit nichtlinear-elastischem Materialgesetz. Bundesanstalt fur Materialprufung, Berlin, 1983.

[23] T. Wilhelm. Personliche Mitteilung aus E-Mail vom 12.06. Technische UniversitatDarmstadt, 2003.

Abbildungsverzeichnis

3.1 einachsiales Verhalten von unbewehrtem Beton [11], [13] . . . . . . . . . . 173.2 Fliess- und Versagensflachen in der p-q-Ebene [11], [13] . . . . . . . . . . . 173.3 Fliess- und Versagensflachen im ebenen Spannungszustand [11], [13] . . . . 183.4 Rissverhalten basierend auf einer Spannungs-Dehnungsbeziehung [11], [13] 203.5 Rissverhalten basierend auf dem Bruchenergiemodell [11] . . . . . . . . . . 203.6 Abminderung der Schubsteifigkeit [11] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.7 Globales und lokales Risskoordinatensystem [11] . . . . . . . . . . . . . . . 233.8 Rankine-Kriterium in der Deviator-Ebene (links) und im ebenen Span-

nungszustand (rechts) [11] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.9 Direkte Eingabe der Bruchenergie [12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.10 POWER-Law fur Schubsteifigkeitsabminderung [12] . . . . . . . . . . . . . 26

4.1 einachsiales Spannungs-Dehnungsgesetz fur Beton [7] . . . . . . . . . . . . 284.2 Exponentielles Rissoffnungsgesetz [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3 Lineares Rissoffnungsgesetz [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.4 Lineare Entfestigung in Abhangigkeit der Dehnung [7] . . . . . . . . . . . . 294.5 Spannungs-Dehnungs-Diagramm im Druckbereich [7] . . . . . . . . . . . . 304.6 Entfestigungs-Verschiebungsgesetz unter Druck [7] . . . . . . . . . . . . . . 314.7 Zweiachsiges Versagenskriterium [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.8 Versagensfunktion bei Zug-Druck-Beanspruchung [7] . . . . . . . . . . . . . 324.9 Definition des Lokalisierungsbandes [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.10 Stufen der Rissoffnung [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.11 Druckfestigkeitsabminderung fur gerissenen Beton [7] . . . . . . . . . . . . 344.12 Spannungs- und Dehnungszustand im festen Rissmodell (links) und im ro-

tierenden Rissmodell (rechts) [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.13 Schubreduktionsfaktor [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.14 charakteristische Lange im Druckbereich und Ver- und Entfestigung nach

van MIER [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.15 Bilineare Spannungs-Dehnungs-Beziehung fur Bewehrung [7] . . . . . . . . 374.16 multilineare Spannungs-Dehnungs-Beziehung fur Bewehrung [7] . . . . . . 374.17 Verhalten unter einachsiger Zugbeanspruchung im Vergleich mit der ana-

lytischen Losung nach [19] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.18 Verhalten unter zweiachsiger Zugbeanspruchung im Vergleich mit einach-

siger Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.19 Verhalten unter einachsiger Druckbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . 404.20 Entlastungsverhalten unter einachsiger Druckbeanspruchung . . . . . . . . 414.21 Verhalten unter zweiachsiger Druckbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . 41

114

ABBILDUNGSVERZEICHNIS 115

4.22 maximale Hauptspannungen bei Druck-Zug-Beanspruchung . . . . . . . . . 42

4.23 minimale Hauptspannungen bei Druck-Zug-Beanspruchung . . . . . . . . . 43

4.24 Hauptdruckspannungen bei Schubbelastung im Vergleich zu einachsigerDruckbelastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.1 Charakteristik des plastischen Materialverhaltens . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2 Charakteristik des schadigenden Materialverhaltens . . . . . . . . . . . . . 46

5.3 Charakteristik des Materialverhaltens bei Kombination von Plastizitat undSchadigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.4 Zerlegung der Dehnung zur Kombination von Schadigung und Plastizitatnach [19] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.5 Verhalten unter einachsiger Druckbeanspruchung [19] . . . . . . . . . . . . 47

5.6 Lokalisierung der Schadigung bei Beton unter Druckbeanspruchung [19] . . 48

5.7 Entfestigung im Druckbereich [19] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.8 Verhalten im Zugbereich [19] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.9 Nummerierung der Integrationspunkte in der ersten Ebene bei dreidimen-sionalen Kontinuumselementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.10 Verhalten der einzelnen Elementtypen unter einachsiger Zugbeanspruchungim Vergleich mit der analytischen Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.11 Entlastungsverhalten im Zugbereich (C3D8R) . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.12 Spannungs-Dehnungskurve bei zweiachsiger Beanspruchung, Vergleich zwi-schen den Elementtypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.13 Verhalten unter einachsiger Druckbeanspruchung im Vergleich mit der ana-lytischen Losung in Abhangigkeit der aquivalenten Elementlange . . . . . . 56

5.14 Entlastungsverhalten im Druckbereich in Abhangigkeit des Verhaltnissesvon Schadigung zu Plastizitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.15 Verhalten unter zweiachsiger Druckbeanspruchung im Vergleich mit ein-achsiger Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.16 Hauptdruckspannungen unter Druck-Zug-Beanspruchung (C3D8R) . . . . . 58

5.17 Hauptzugspannungen unter Druck-Zug-Beanspruchung (C3D8R) . . . . . . 58

5.18 Verhalten unter zyklischer Beanspruchung (C3D8R) . . . . . . . . . . . . . 59

7.1 Probekorperabmessungen [17] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7.2 Darstellung der Rissentwicklung anhand der Querverschiebungen [17] . . . 68

8.1 links: Kleines Modell, rechts: Streifenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8.2 Viertelmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.3 Vergleich der Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

8.4 Vergleich der expliziten Berechnung mit der elastisch-plastischen . . . . . . 72

8.5 Querverschiebungen bei 40% der Bruchlast und bei Erreichen der Bruchlast 73

8.6 Hauptspannungen bei Erreichen der Bruchlast . . . . . . . . . . . . . . . . 73

9.1 Geometrie des IsoQuad-Elements [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

9.2 Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

9.3 globaler Spannungs-Dehnungs-Verlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

9.4 globaler Spannungs-Dehnungs-Verlauf und Entlastungsverhalten . . . . . . 78

9.5 Erste Rissbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

116 ABBILDUNGSVERZEICHNIS

9.6 Fortschreitende Rissbildung auch in der Matrix bei ca. 60% der jeweiligenBruchlast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

9.7 Ausgedehnte Rissbildung bei ca. 80% der jeweiligen Bruchlast . . . . . . . 809.8 Rissbild bei Erreichen der jeweiligen Bruchlast . . . . . . . . . . . . . . . . 809.9 Risse mit mindestens 1µm Rissweite bei Erreichen der jeweiligen Bruchlast 809.10 Querverschiebungen bei ca. 20% der jeweiligen Bruchlast . . . . . . . . . . 819.11 Querverschiebungen bei ca. 60% der jeweiligen Bruchlast . . . . . . . . . . 819.12 Querverschiebungen ca. 80% der jeweiligen Bruchlast . . . . . . . . . . . . 819.13 Querverschiebungen bei Erreichen der Bruchlast . . . . . . . . . . . . . . . 829.14 Langsverschiebungen bei Erreichen der Bruchlast . . . . . . . . . . . . . . 829.15 Haupt- und Schubspannungen bei einer Last von 7,5 N/mm2 (links) und

15,0 N/mm2 (rechts) fur Variante 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 849.16 Haupt- und Schubspannungen bei einer Last von 21,8 N/mm2 (links) und



der Bruchlast 30,9 N/mm2 (rechts) fur Variante 1 . . . . . . . . . . . . . . 87

10.1 Vergleich des globalen Verhaltens bei der Verwendung verschiedener Mate-rialmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

10.2 Querverschiebungen bei Erreichen der Bruchlast (v.l.n.r.: elastisch-plastisch,Explizit, SBETA (Variante 1)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

10.3 links: Querverschiebungen im Experiment bei 89% der Bruchlast, 1µm/Linie[17], mitte: Querverschiebungen bei Erreichen der Bruchlast mit dem SBETA-Materialmodell (Variante 1), 1µm/Linie, rechts: Rissbild bei Erreichen derBruchlast mit dem SBETA-Materialmodell (Variante 1) mit minimalerRissweite von 1µm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

11.1 links: Ansicht des Tragers, rechts: Querschnitt des Tragers und Lage derBewehrung [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

11.2 Versuchsaufbau und Anordnung der Aufnehmer und Sensoren [9] . . . . . . 93

12.1 Kraft-Durchbiegungsverlauf im Vergleich mit dem Experiment aus [9] . . . 9412.2 Kraft-Durchbiegungsverlauf in Abhangigkeit der maximalen Rissweite . . . 95

13.1 Kraft-Durchbiegungskurven im Vergleich mit dem Experiment aus [9] . . . 97

14.1 Knotennummerierung und Integrationspunkte der Balkenelemente [13] . . . 9914.2 Kraft-Durchbiegungskurve im Vergleich mit dem Experiment aus [9] . . . . 10114.3 Spannungs-Dehnungslinie in Balkenmitte unten . . . . . . . . . . . . . . . 10114.4 Spannungs-Dehnungslinie in Balkenmitte oben . . . . . . . . . . . . . . . . 10214.5 Kraft-Durchbiegungskurve mit nichtlinearem Druckbereich . . . . . . . . . 10314.6 Kraft-Durchbiegungskurven aller Berechnungen im Vergleich . . . . . . . . 10314.7 Spannungs-Dehnungslinie in Balkenmitte unten . . . . . . . . . . . . . . . 10414.8 Spannungs-Dehnungslinie in Balkenmitte oben . . . . . . . . . . . . . . . . 10414.9 Lokalisierung der Schadigung im Druckbereich (B23) . . . . . . . . . . . . 10514.10Lokalisierung im Zugbereich (B23) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

ABBILDUNGSVERZEICHNIS 117

14.11zeitlicher Verlauf der Stahlspannungen (B23) . . . . . . . . . . . . . . . . . 10614.12zeitlicher Verlauf von bezogener Stahlspannung, Betondruckspannung und

aquivalenter Nachgiebigkeit (SDV3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10614.13Kraft-Durchbiegungskurve in Abhangigkeit der Zerstauchungsenergie im

Vergleich mit elastisch-plastischem Druckbereich (B21) . . . . . . . . . . . 107

A.1 Hauptspannungen bei Schubbelastung nach vorheriger Zugbelastung . . . . 120A.2 Schubspannungen bei Schubbelastung nach vorheriger Zugbelastung . . . . 120A.3 Spannungen in y-Richtung bei Schubbelastung nach vorheriger Zugbelastung121A.4 Schubspannungen bei Schubbelastung nach vorheriger Zugbelastung . . . . 121A.5 Hauptzugspannungen bei Schubbelastung nach vorheriger Zugbelastung . . 122A.6 Schubspannungen bei kombinierter Druck- und Schubbeanspruchung . . . . 123A.7 Spannungen in x- und y-Richtung bei kombinierter Druck- und Schubbe-

anspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123A.8 maximale Hauptspannungen bei kombinierter Druck- und Schubbeanspru-

chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124A.9 Spannungs-Dehnungskurve bei zweiachsiger Zugbeanspruchung unter Be-

rucksichtigung der Querdehnzahl im Vergleich mit einachsiger Beanspru-chung (C3D8R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

A.10 Spannungs-Dehnungskurve bei zweiachsiger Zugbeanspruchung unter Be-rucksichtigung der Querdehnzahl im Vergleich mit einachsiger Beanspru-chung (C3D8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

A.11 Spannungs-Dehnungskurve bei zweiachsiger Zugbeanspruchung unter Be-rucksichtigung der Querdehnzahl im Vergleich mit einachsiger Beanspru-chung (C3D20R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

A.12 Verhalten unter zyklischer Beanspruchung, Zugbereich, nachdem der Druck-bereich bereits nichtlinear war (C3D8R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

A.13 Verhalten unter zyklischer Beanspruchung, im Druckbereich Begrenzungder Belastung auf den linearen Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

B.1 globaler Spannungs-Dehnungs-Verlauf bei erhohter Druckfestigkeit der Kon-taktzone und einzelnen variierten Materialparametern (Variante 3, 3.1, 3.2siehe Abschnitt 9.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

B.2 globaler Spannungs-Dehnungs-Verlauf bei erhohter Zerstauchungsenergievon Kontaktzone und Matrix (Variante 1, 1.1 siehe Abschnitt 9.3) . . . . . 128

B.3 Risse bei einer Last von 10 N/mm2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129B.4 Risse bei einer Last von 20 N/mm2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129B.5 Risse bei einer Last von 30 N/mm2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129B.6 Querverschiebungen bei einer Last von 10 N/mm2 . . . . . . . . . . . . . . 130B.7 Querverschiebungen bei einer Last von 20 N/mm2 . . . . . . . . . . . . . . 130B.8 Querverschiebungen bei einer Last von 30 N/mm2 . . . . . . . . . . . . . . 130B.9 Haupt- und Schubspannungen bei einer Last von 7,6 N/mm2 (links) und

15,2 N/mm2 (rechts) fur Variante 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131B.10 Haupt- und Schubspannungen bei einer Last von 22,7 N/mm2 (links) und

29,0 N/mm2 (rechts) fur Variante 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132B.11 Haupt- und Schubspannungen bei einer Last von 30,5 N/mm2 (links) und

31,7 N/mm2 (rechts) fur Variante 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

118 ABBILDUNGSVERZEICHNIS

B.12 Haupt- und Schubspannungen bei einer Last von 35,1 N/mm2 (links) undder Bruchlast 35,8 N/mm2 (rechts) fur Variante 2 . . . . . . . . . . . . . . 134

B.13 Haupt- und Schubspannungen bei einer Last von 7,7 N/mm2 (links) und15,3 N/mm2 (rechts) fur Variante 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135



B.16 Haupt- und Schubspannungen bei der Bruchlast von 42,2 N/mm2 (links)und nach Erreichen der Bruchlast 41,3 N/mm2 (rechts) fur Variante 3 . . . 138

C.1 Spannungs-Dehnungslinien unten mit elastisch-plastischem Druckbereich(B21) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

C.2 Spannungs-Dehnungslinien oben mit elastisch-plastischem Druckbereich (B21)140C.3 Kraft-Durchbiegungskurven an den Lastaufbringungspunkten im Vergleich

mit der Balkenmitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140C.4 Vergleich der Kraft-Durchbiegungskurven mit elastisch-plastischem und nicht-

linearem Druckbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141C.5 Lokalisierung der Schadigung im Druckbereich (B21) . . . . . . . . . . . . 141C.6 Lokalisierung im Zugbereich (B21) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142C.7 zeitlicher Verlauf der Stahlspannungen (B21) . . . . . . . . . . . . . . . . . 142C.8 Lokalisierung der Schadigung im Druckbereich (B22) . . . . . . . . . . . . 143C.9 Lokalisierung im Zugbereich (B22) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143C.10 zeitlicher Verlauf der Stahlspannungen (B22) . . . . . . . . . . . . . . . . . 144C.11 Kraft-Durchbiegungskurve in Abhangigkeit der Zerstauchungsenergie (Ver-

gleich B21 und B23) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Anhang A

Erganzungen zu denVerifizierungsrechnungen

A.1 SBETA-Materialmodell

A.1.1 Schubbeanspruchung nach Rissbildung durch Zugbean-spruchung

Der Zeitpunkt des Aufbringens der Schubbelastung wurde variiert:

• nach dem ersten gerissenen Lastschritt

• nachdem nur noch Zugpannungen in Hohe von ca. 50% der Zugfestigkeit ubertragenwerden

• nachdem nur noch Zugspannungen in Hohe von ca. 20% der Zugfestigkeit ubertragenwerden

• nachdem nur noch Zugspannungen in Hohe von ca. 10% der Zugfestigkeit ubertragenwerden

• nachdem kaum noch Zugspannungen ubertragen werden

Die Versuche wurden sowohl mit dem Modell der festen Risse, als auch mit dem derrotierenden Risse durchgefuhrt.

Feste Risse Unabhangig davon, wann die Schubspannung aufgebracht wurde, bleibtdie Zugspannung im Riss konstant. Die Schubspannung nimmt linear bis auf den Wertder Zugspannung zu und bleibt dann bei steigender Dehnung konstant.Vor dem Aufbringen der Schubspannung stimmten die Richtungen x und y (gleichzeitigauch Richtungen des lokalen Risskoordinatensystems) mit den Hauptspannungsrichtun-gen uberein. Wahrend des Aufbringens der Schubspannung andern sich die Hauptspan-nungsrichtungen und die Spannungen wachsen wieder an, sogar auf Werte oberhalb derZugfestigkeit, da die Schubspannung bis auf Hohe der Zugfestigkeit ansteigen kann undzusatzlich noch die Spannungen in x- und y-Richtung Komponenten in die Hauptspannungeinbringen. Wie weit die Hauptspannungen ansteigen, hangt vom Zeitpunkt der Schub-belastungsaufbringung ab, da die Spannungen in x- und y-Richtung, d.h. die Spannungen

119

120 ANHANG A. ERGANZUNGEN ZU DEN VERIFIZIERUNGSRECHNUNGEN

im Riss, unterschiedlich groß sind. Ab dem Zeitpunkt, wo die Schubspannung konstantbleibt, bleiben auch die Hauptspannungen konstant.

Abbildung A.1: Hauptspannungen bei Schubbelastung nach vorheriger Zugbelastung

Abbildung A.2: Schubspannungen bei Schubbelastung nach vorheriger Zugbelastung

Die Schubdehnung, bei welcher die maximale Schubspannung von 2,25 N/mm2 erreichtwird, ist umso großer, je spater die Schubbelastung aufgebracht wird. Das bedeutet, je

A.1. SBETA-MATERIALMODELL 121

starker das Element bereits durch die Zugbeanspruchung zerstort ist, desto kleiner ist derSchubmodul.

Rotierende Risse Die Spannungen in x- und y-Richtung werden zu Druckspannungenvon ca. der Halfte der Druckfestigkeit, wobei die maximal erreichte Druckspannung ab-nimmt, je starker das Element schon durch die Zugbelastung geschadigt ist.

Abbildung A.3: Spannungen in y-Richtung bei Schubbelastung nach vorheriger Zugbela-stung

Abbildung A.4: Schubspannungen bei Schubbelastung nach vorheriger Zugbelastung


Auch die Schubspannungen nehmen Werte bis 13 N/mm2 an, wobei die Schubsteifigkeitmit zunehmender Zerstorung abnimmt.Der Riss dreht sich in Richtung der Hauptspannung bis er diagonal liegt, d.h. die Span-nungen im Riss stimmen im Unterschied zu den festen Rissen mit den Hauptspannungenuberein. Die Hauptzugspannungen nehmen dabei schneller ab, als unter einachsiger Zug-beanspruchung.

Abbildung A.5: Hauptzugspannungen bei Schubbelastung nach vorheriger Zugbelastung

Die minimale Hauptspannung ist eine Druckspannung, welche bis zur Druckfestigkeitanwachst. Danach tritt Druckversagen ein und die Spannung nimmt auf Null ab, die Rich-tungen der Hauptspannungen andern sich dabei nicht mehr. Der Verlauf der Spannungs-Dehnungskurve im Druckbereich stimmt dabei mit der bei reiner Schubbelastung uberein.Dieses Verhalten ist prinzipiell gleich, egal an welchem Punkt der Nachrisskurve des Zug-bereichs die Schubspannungen aufgebracht werden.

A.1.2 Druck-Schub-Beanspruchung

Die gleichzeitige Beanspruchung von Elementen durch Druck- und Schubbeanspruchungtritt auch beim Beispiel des Modellbetons auf. Um den Versagensmechanismus besser zuverstehen, wird auch diese Beanspruchungsart an einem Element untersucht.Die Druckdehnung wurde in y-Richtung an den beiden oberen Knoten aufgebracht, dieSchubdehnung am rechten oberen Knoten. Dabei hatte die aufgebrachte Schubverformungeinmal die gleiche Große wie die Druckverformung (wenig Schub) und einmal war sie dop-pelt so groß (viel Schub).In beiden Fallen sind die Spannungen sowohl in x- als auch in y-Richtung Druckspan-nungen. Es zeigt sich, dass die Art des Versagens von der Hohe der Schubspannung imVerhaltnis zur Druckspannung abhangt. Es treten zwei grundsatzliche Versagensmechanis-men auf. Bei kleinen Schubspannungen dominiert die Druckbeanspruchung. Beide Haupt-

A.1. SBETA-MATERIALMODELL 123

Abbildung A.6: Schubspannungen bei kombinierter Druck- und Schubbeanspruchung

Abbildung A.7: Spannungen in x- und y-Richtung bei kombinierter Druck- und Schubbe-anspruchung

spannungen sind Druckspannungen und es tritt Druckversagen ein. Bei hoheren Schub-spannungen tritt in einer Hauptspannungsrichtung Zugspannung auf, welche zu Rissenfuhrt, bevor dann bei ansteigender Belastung in der anderen Richtung Druckversagenauftritt. Die maximal erreichte Zugspannung ist dabei deutlich geringer als die einachsi-ge Zugfestigkeit, da diese aufgrund der relativ hohen Hauptdruckspannung entscheidend


vermindert wird.

Abbildung A.8: maximale Hauptspannungen bei kombinierter Druck- und Schubbean-spruchung

A.2 Nutzersubroutine

Abbildung A.9: Spannungs-Dehnungskurve bei zweiachsiger Zugbeanspruchung unter Be-rucksichtigung der Querdehnzahl im Vergleich mit einachsiger Beanspruchung (C3D8R)

A.2. NUTZERSUBROUTINE 125

Abbildung A.10: Spannungs-Dehnungskurve bei zweiachsiger Zugbeanspruchung unterBerucksichtigung der Querdehnzahl im Vergleich mit einachsiger Beanspruchung (C3D8)

Abbildung A.11: Spannungs-Dehnungskurve bei zweiachsiger Zugbeanspruchung un-ter Berucksichtigung der Querdehnzahl im Vergleich mit einachsiger Beanspruchung(C3D20R)


Abbildung A.12: Verhalten unter zyklischer Beanspruchung, Zugbereich, nachdem derDruckbereich bereits nichtlinear war (C3D8R)

Abbildung A.13: Verhalten unter zyklischer Beanspruchung, im Druckbereich Begrenzungder Belastung auf den linearen Bereich

Anhang B

Anlagen zum Modellbeton mitSBETA

B.1 Globales Verhalten bei einzelnen variierten Pa-

rametern

Abbildung B.1: globaler Spannungs-Dehnungs-Verlauf bei erhohter Druckfestigkeit derKontaktzone und einzelnen variierten Materialparametern (Variante 3, 3.1, 3.2 siehe Ab-schnitt 9.3)

127

128 ANHANG B. ANLAGEN ZUM MODELLBETON MIT SBETA

Abbildung B.2: globaler Spannungs-Dehnungs-Verlauf bei erhohter Zerstauchungsenergievon Kontaktzone und Matrix (Variante 1, 1.1 siehe Abschnitt 9.3)

B.2. RISSBILDER 129

B.2 Rissbilder


X

Y




X

Y




X

Y



Abbildung B.3: Risse bei einer Last von 10 N/mm2 (v.l.n.r.: Variante 1, 2, 3)


X

Y




X

Y




X

Y





X

Y




X

Y




X

Y





B.3 Verschiebungen


X

Y

-3.300E-06

-3.200E-06

-3.100E-06

-3.000E-06

-2.900E-06

-2.800E-06

-2.700E-06

-2.600E-06

-2.500E-06

-2.400E-06

-2.300E-06

-2.200E-06

-2.100E-06

-2.000E-06

-1.900E-06

-1.800E-06

-1.700E-06

-1.600E-06

-1.500E-06

-1.400E-06

-1.300E-06

-1.200E-06

-1.100E-06

-1.000E-06

-9.000E-07

-8.000E-07

-7.000E-07

-6.000E-07

-5.000E-07

-4.000E-07

-3.000E-07

-2.000E-07

-1.000E-07

0.000E+00




XY

-3.300E-06

-3.200E-06

-3.100E-06

-3.000E-06

-2.900E-06

-2.800E-06

-2.700E-06

-2.600E-06

-2.500E-06

-2.400E-06

-2.300E-06

-2.200E-06

-2.100E-06

-2.000E-06

-1.900E-06

-1.800E-06

-1.700E-06

-1.600E-06

-1.500E-06

-1.400E-06

-1.300E-06

-1.200E-06

-1.100E-06

-1.000E-06

-9.000E-07

-8.000E-07

-7.000E-07

-6.000E-07

-5.000E-07

-4.000E-07

-3.000E-07

-2.000E-07

-1.000E-07

0.000E+00




X

Y

-3.300E-06

-3.200E-06

-3.100E-06

-3.000E-06

-2.900E-06

-2.800E-06

-2.700E-06

-2.600E-06

-2.500E-06

-2.400E-06

-2.300E-06

-2.200E-06

-2.100E-06

-2.000E-06

-1.900E-06

-1.800E-06

-1.700E-06

-1.600E-06

-1.500E-06

-1.400E-06

-1.300E-06

-1.200E-06

-1.100E-06

-1.000E-06

-9.000E-07

-8.000E-07

-7.000E-07

-6.000E-07

-5.000E-07

-4.000E-07

-3.000E-07

-2.000E-07

-1.000E-07

0.000E+00



Abbildung B.6: Querverschiebungen bei einer Last von 10 N/mm2 (v.l.n.r.: Variante 1, 2,3), 0,1 µm/Linie


X

Y

-6.200E-06

-6.000E-06

-5.800E-06

-5.600E-06

-5.400E-06

-5.200E-06

-5.000E-06

-4.800E-06

-4.600E-06

-4.400E-06

-4.200E-06

-4.000E-06

-3.800E-06

-3.600E-06

-3.400E-06

-3.200E-06

-3.000E-06

-2.800E-06

-2.600E-06

-2.400E-06

-2.200E-06

-2.000E-06

-1.800E-06

-1.600E-06

-1.400E-06

-1.200E-06

-1.000E-06

-8.000E-07

-6.000E-07

-4.000E-07

-2.000E-07

0.000E+00




X

Y

-6.200E-06

-6.000E-06

-5.800E-06

-5.600E-06

-5.400E-06

-5.200E-06

-5.000E-06

-4.800E-06

-4.600E-06

-4.400E-06

-4.200E-06

-4.000E-06

-3.800E-06

-3.600E-06

-3.400E-06

-3.200E-06

-3.000E-06

-2.800E-06

-2.600E-06

-2.400E-06

-2.200E-06

-2.000E-06

-1.800E-06

-1.600E-06

-1.400E-06

-1.200E-06

-1.000E-06

-8.000E-07

-6.000E-07

-4.000E-07

-2.000E-07

0.000E+00




X

Y

-6.200E-06

-6.000E-06

-5.800E-06

-5.600E-06

-5.400E-06

-5.200E-06

-5.000E-06

-4.800E-06

-4.600E-06

-4.400E-06

-4.200E-06

-4.000E-06

-3.800E-06

-3.600E-06

-3.400E-06

-3.200E-06

-3.000E-06

-2.800E-06

-2.600E-06

-2.400E-06

-2.200E-06

-2.000E-06

-1.800E-06

-1.600E-06

-1.400E-06

-1.200E-06

-1.000E-06

-8.000E-07

-6.000E-07

-4.000E-07

-2.000E-07

0.000E+00



Abbildung B.7: Querverschiebungen bei einer Last von 20 N/mm2 (v.l.n.r.: Variante 1, 2,3), 0,2 µm/Linie


X

Y

-2.200E-05

-2.100E-05

-2.000E-05

-1.900E-05

-1.800E-05

-1.700E-05

-1.600E-05

-1.500E-05

-1.400E-05

-1.300E-05

-1.200E-05

-1.100E-05

-1.000E-05

-9.000E-06

-8.000E-06

-7.000E-06

-6.000E-06

-5.000E-06

-4.000E-06

-3.000E-06

-2.000E-06

-1.000E-06

0.000E+00




X

Y

-9.500E-06

-9.000E-06

-8.500E-06

-8.000E-06

-7.500E-06

-7.000E-06

-6.500E-06

-6.000E-06

-5.500E-06

-5.000E-06

-4.500E-06

-4.000E-06

-3.500E-06

-3.000E-06

-2.500E-06

-2.000E-06

-1.500E-06

-1.000E-06

-5.000E-07

0.000E+00




X

Y

-9.500E-06

-9.000E-06

-8.500E-06

-8.000E-06

-7.500E-06

-7.000E-06

-6.500E-06

-6.000E-06

-5.500E-06

-5.000E-06

-4.500E-06

-4.000E-06

-3.500E-06

-3.000E-06

-2.500E-06

-2.000E-06

-1.500E-06

-1.000E-06

-5.000E-07

0.000E+00



Abbildung B.8: Querverschiebungen bei einer Last von 30 N/mm2 Last (v.l.n.r.: Var. 1,2, 3), 1 µm/Linie

B.4 Spannungsverlaufe

B.4. SPANNUNGSVERLAUFE 131

Abbildung B.9: Haupt- und Schubspannungen[N/mm2] bei einer Last von 7,6 N/mm2




(links) und der Bruchlast 35,8 N/mm2 (rechts) fur Variante 2 (oben: σmin, mitte: σmax

unten: τxy)


Abbildung B.16: Haupt- und Schubspannungen[N/mm2] bei der Bruchlast von 42,2

N/mm2 (links) und nach Erreichen der Bruchlast 41,3 N/mm2 (rechts) fur Variante 3(oben: σmin, mitte: σmax unten: τxy)

Anhang C

Diagramme zum Balken mit derUmat-Routine

C.1 Elastisch-Plastischer Druckbereich

Abbildung C.1: Spannungs-Dehnungslinien unten mit elastisch-plastischem Druckbereich(B21)

139

140 ANHANG C. DIAGRAMME ZUM BALKEN MIT DER UMAT-ROUTINE

Abbildung C.2: Spannungs-Dehnungslinien oben mit elastisch-plastischem Druckbereich(B21)

C.2 Nichtlinearer Druckbereich

Abbildung C.3: Kraft-Durchbiegungskurven an den Lastaufbringungspunkten im Ver-gleich mit der Balkenmitte

C.2. NICHTLINEARER DRUCKBEREICH 141

Abbildung C.4: Vergleich der Kraft-Durchbiegungskurven mit elastisch-plastischem undnichtlinearem Druckbereich

Abbildung C.5: Lokalisierung der Schadigung im Druckbereich (B21)


Abbildung C.6: Lokalisierung im Zugbereich (B21)

Abbildung C.7: zeitlicher Verlauf der Stahlspannungen (B21)

C.2. NICHTLINEARER DRUCKBEREICH 143

Abbildung C.8: Lokalisierung der Schadigung im Druckbereich (B22)

Abbildung C.9: Lokalisierung im Zugbereich (B22)


Abbildung C.10: zeitlicher Verlauf der Stahlspannungen (B22)

Abbildung C.11: Kraft-Durchbiegungskurve in Abhangigkeit der Zerstauchungsenergie(Vergleich B21 und B23)

Anhang D

Inputfiles

Die Eingabedaten werden hier nur auszugsweise und exemplarisch dargestellt. Die voll-standigen Inputdateien sind auf der CD zu finden.

D.1 Inputfiles zu den Elementtest mit der Umat-

Routine

Ein-Element-Modell fur C3D8R

*Heading*Part, name=Part-1*End Part*Assembly, name=Assembly*Instance, name=Part-1-1, part=Part-1*Node

1, .0, .05, .02, .0, .0, .03, .0, .05, .054, .0, .0, .055, .05, .05, .06, .05, .0, .07, .05, .05, .058, .05, .0, .05

*Element, type=C3D8R1, 5, 6, 8, 7, 1, 2, 4, 3** Region: (Section-1:Picked)*Elset, elset=_I1, internal1,

** Section: Section-1*Solid Section, elset=_I1, material=user1.,*Hourglass Stiffness6.25E7*End Instance*Nset, nset=_G4, internal, instance=Part-1-1, generate1, 4, 1

*Elset, elset=_G4, internal, instance=Part-1-11,

*Nset, nset=_G5, internal, instance=Part-1-12, 4

145

146 ANHANG D. INPUTFILES

*Elset, elset=_G5, internal, instance=Part-1-11,*Nset, nset=_G7, internal, instance=Part-1-1, generate5, 8, 1*Elset, elset=_G7, internal, instance=Part-1-11,*Nset, nset=_G10, internal, instance=Part-1-13, 4, 7, 8*Elset, elset=_G10, internal, instance=Part-1-11,*Nset, nset=_G11, internal, instance=Part-1-11, 2, 5, 6*Elset, elset=_G11, internal, instance=Part-1-11,*Elset, elset=Element1, instance=Part-1-11,*End Assembly

Ein-Element-Modell fur C3D8


1, .0, .1, .02, .0, .0, .03, .0, .1, .14, .0, .0, .15, .1, .1, .06, .1, .0, .07, .1, .1, .18, .1, .0, .1

*Element, type=C3D81, 5, 6, 8, 7, 1, 2, 4, 3** Region: (Section-1:Picked)*Elset, elset=_I1, internal1,** Section: Section-1*Solid Section, elset=_I1, material=user1.,*End Instance*Nset, nset=_G4, internal, instance=Part-1-1, generate1, 4, 1*Elset, elset=_G4, internal, instance=Part-1-11,*Nset, nset=_G5, internal, instance=Part-1-12, 4*Elset, elset=_G5, internal, instance=Part-1-11,*Nset, nset=_G7, internal, instance=Part-1-1, generate5, 8, 1*Elset, elset=_G7, internal, instance=Part-1-11,*Nset, nset=_G10, internal, instance=Part-1-13, 4, 7, 8

D.1. INPUTFILES ZU DEN ELEMENTTEST MIT DER UMAT-ROUTINE 147


*Nset, nset=_G11, internal, instance=Part-1-11, 2, 5, 6


*Elset, elset=Element1, instance=Part-1-11,

*End Assembly

Ein-Element-Modell fur C3D20R und C3D20


1, .0, .1, .02, .0, .0, .03, .0, .1, .14, .0, .0, .15, .1, .1, .06, .1, .0, .07, .1, .1, .18, .1, .0, .19, .1, .1, .0510, .1, .05, .111, .1, .0, .0512, .1, .05, .013, .0, .05, .014, .0, .0, .0515, .0, .05, .116, .0, .1, .0517, .05, .0, .018, .05, .1, .019, .05, .0, .120, .05, .1, .1

*Element, type=C3D20R bzw. C3D201, 5, 6, 8, 7, 1, 2, 4, 3, 12, 11, 10, 9, 13, 14, 15,

16, 18, 17, 19, 20** Region: (Section-1:Picked)*Elset, elset=_I1, internal1,

** Section: Section-1*Solid Section, elset=_I1, material=user1.,*End Instance*Nset, nset=_G4, internal, instance=Part-1-11, 2, 3, 4, 13, 14, 15, 16

*Nset, nset=_G5, internal, instance=Part-1-12, 4, 14

*Nset, nset=_G7, internal, instance=Part-1-1, generate5, 12, 1

*Nset, nset=_G10, internal, instance=Part-1-13, 4, 7, 8, 10, 15, 19, 20

*Nset, nset=_G11, internal, instance=Part-1-1


1, 2, 5, 6, 12, 13, 17, 18*Elset, elset=Element1, instance=Part-1-11,*End Assembly

Definition der Materialparameter

*Material, name=user*Depvar

47,*User Material, constants=113.0e10, .18, 1., 2.5e7, 0.002, 2.25e6, 0.05, 0.5

20000., 80., 2 (je nach Elementtyp)

Aufbringen der Last am Beispiel von zweiachsiger Zugbelastung

** BOUNDARY CONDITIONS**** Name: BC-1 Type: Displacement/Rotation*Boundary_G4, 1, 1** Name: BC-2 Type: Displacement/Rotation*Boundary_G5, 2, 2** Name: BC-3 Type: Displacement/Rotation*Boundary_G10, 3, 3** ----------------------------------------------------------------**** STEP: Step-1***Step, name=Step-1, inc=10000*Static, stabilize0.0001, 1., 1e-08, 0.01*controls, parameter=line search4,**** BOUNDARY CONDITIONS**** Name: load Type: Displacement/Rotation*Boundary_G7, 1, 1, 0.0005** Name: load2 Type: Displacement/Rotation*Boundary_G11, 3, 3, -0.0005** OUTPUT REQUESTS***Restart, write, frequency=1*Output, field, variable=PRESELECT, frequency=10*Output, history, variable=PRESELECT, frequency=10*element output, elset=Element1SDV6,SDV7,SDV8,SDV9,SDV10,SDV11*El Print, freq=999999*Node Print, freq=999999*End Step

D.2. INPUTFILES ZUM MODELLBETON IN ABAQUS 149

D.2 Inputfiles zum Modellbeton in ABAQUS

Aufgrund der Fulle der Daten werden die geometrischen Modelle hier nicht abgedruckt.Sie sind in den Inputdateien auf der CD enthalten.

Definition der Materialien

*Material, name=Aggregate*Density2.6e-06,

*Elastic60000., 0.22*Material, name=ITZ*Elastic12500, 0.2*plastic22.5, 0.22.5, 0.1*Material, name=Matrix*Elastic25000, 0.2*plastic45., 0.45., 0.1*Material, name=ITZ-Explizit*Density2.6e-06,

*Elastic12500., 0.2*Brittle Cracking, type=GFI1.5, 0.053*brittle Shear1.0, 0.0.5, 0.1*Material, name=matrix-Explizit*Density2.6e-06,

*Elastic25000., 0.2*Brittle Cracking, type=GFI3.0, 0.086*brittle Shear1.0, 0.0.5, 0.1*Material, name=ITZ_user*User material, constants=1112500., 0.2, 1., 22.5, 0.002, 1.5, 0.05, 0.520, 0.053, 1. (je nach Elementtyp)*depvar47*Material, name=Matrix_user*user material, constants=1125000., 0.2, 1., 45, 0.002, 3., 0.05, 0.9920, 0.086, 1. (je nach Elementtyp)*depvar47


D.3 Inputfiles zum Balken

Balkenmodell fur Kontinuumselemente in ABAQUS/Explizit

*Heading** Balken mit Explicit, C3D8R** 4 Elemente uber Hohe (Seitenlange 0.03m)** 84 Elemente auf Lange (Seitenlange 0.025m)** Auflager 10cm vom Rand**** Modelldefinition***NODE, NSET=CORNERS1,0.,0.,0.169,0.,0.,-2.11601,-0.12,0.,01769,-0.12,0.,-2.116001,0.,0.12,0.16169,0.,0.12,-2.117601,-0.12,0.12,017769,-0.12,0.12,-2.1*NGEN, NSET=LAENGE1,169,11601,1769,116001,16169,117601,17769,1*NGEN, NSET=TIEFE1,1601,200169,1769,20016001,17601,20016169,17769,200*NGEN, NSET=HOEHE1,16001,20001601,17601,2000169,16169,20001769,17769,2000*NGEN, NSET=FRONT2001,2169,24001,4169,16001,6169,28001,8169,110001,10169,212001,12169,114001,14169,2*NGEN, NSET=BACK3601,3769,25601,5769,17601,7769,29601,9769,111601,11769,213601,13769,115601,15769,2*NGEN, NSET=TOP16201,16369,216401,16569,116601,16769,216801,16969,1

D.3. INPUTFILES ZUM BALKEN 151

17001,17169,217201,17369,117401,17569,2*NGEN, NSET=BOTTOM201,369,2401,569,1601,769,2801,969,11001,1169,21201,1369,11401,1569,2*NGEN, NSET=LEFT2001,3601,4004001,5601,2006001,7601,4008001,9601,20010001,11601,40012001,13601,20014001,15601,400*NGEN, NSET=RIGHT2169,3769,4004169,5769,2006169,7769,4008169,9769,20010169,11769,40012169,13769,20014169,15769,400*NGEN, NSET=INTERNAL2401,2569,22801,2969,23201,3369,24201,4369,24401,4569,14601,4769,24801,4969,15001,5169,25201,5369,15401,5569,26401,6569,26801,6969,27201,7369,28201,8369,28401,8569,18601,8769,28801,8969,19001,9169,29201,9369,19401,9569,210401,10569,210801,10969,211201,11369,212201,12369,212401,12569,112601,12769,212801,12969,113001,13169,2


13201,13369,113401,13569,214401,14569,214801,14969,215201,15369,2*ELEMENT, TYPE=C3D8R1,403,3,4003,4403,401,1,4001,4401**,203,2003,4203,2403,201,2001,4201,**2401,402,2,4002,4402*ELGEN, ELSET=ALL1,4,400,100,84,2,1,4,4000,500*Solid Section, elset=ALL, material=explicit1.,*elset, elset=lu, generate301,384,1*elset, elset=lum, generate201,284,1*elset, elset=rum, generate101,184,1*elset, elset=ru, generate1,84,1*elset, elset=lo, generate801,884,1*elset, elset=lom, generate701,784,1*elset, elset=rom, generate601,684,1*elset, elset=ro, generate501,684,1** Einzelstabe:*rebar, element=continuum, material=steel, geometry=isoparametric, single, name=lulu, 1.4137e-5, 0.66667, 1., 3*rebar, element=continuum, material=steel, geometry=isoparametric, single, name=lumlum, 7.0686e-6, 1., 1., 3*rebar, element=continuum, material=steel, geometry=isoparametric, single, name=rumrum, 7.0686e-6, 0., 1., 3*rebar, element=continuum, material=steel, geometry=isoparametric, single, name=ruru, 1.4137e-5, 0.33333, 1., 3*rebar, element=continuum, material=steel, geometry=isoparametric, single, name=lolo, 1.4137e-5, 0.66667, 0., 3*rebar, element=continuum, material=steel, geometry=isoparametric, single, name=lomlom, 7.0686e-6, 1., 0., 3*rebar, element=continuum, material=steel, geometry=isoparametric, single, name=romrom, 7.0686e-6, 0., 0., 3*rebar, element=continuum, material=steel, geometry=isoparametric, single, name=roro, 1.4137e-5, 0.33333, 0., 3*NSET, NSET=AUFLAGERli, GENERATE9,1609,200*NSET, NSET=AUFLAGERre, GENERATE161,1761,200*NSET, NSET=LASTli, GENERATE16047,17647,200*NSET, NSET=LASTre, GENERATE16123,17723,200*NSET, NSET=LASTlimitte, GENERATE16247,17447,200


*NSET, NSET=LASTremitte, GENERATE16323,17523,200

*NSET, NSET=IWTli847

*NSET, NSET=IWTmi885

*NSET, NSET=IWTre923

*NSET, NSET=NEIGUNGAuflLi8809

*NSET, NSET=NEIGUNGLastLi8847

*NSET, NSET=NEIGUNGLastRe8923

*NSET, NSET=NEIGUNGAuflRe8961

*ELSET, ELSET=OUT-AUFL4,104,204,304

*ELSET, ELSET=OUT-Last23,123,223,323

*ELSET, ELSET=OUT-MITTE42,142,242,342

*ELSET, ELSET=OUT-REBAR-MITTE42,142

*ELSET, ELSET=OUT-REBAR-AUFL5,105

*ELSET, ELSET=OUT-REBAR-Last23,123

***Amplitude, name=Amp-1, smooth=0.250., 0., 10., 0.5, 20., 1.*Amplitude, name=Amp-0, smooth=0.250., 0., 0.0005, 0.5, 0.001, 1.**** MATERIALS***Material, name=explicit*Density25000,

*Elastic3e+10, 0.2*Brittle Cracking, type=GFI2.25e6, 3200.*brittle Shear1.0, 0.0.5, 0.1*brittle failure, cracks=30.1*Material, name=steel*Density78000,

*Elastic2e+11, 0.3

*Plastic5.00e+08, 0.5.05e+08, 0.2


**** BOUNDARY CONDITIONS**** Name: links Type: Displacement/Rotation*BoundaryAUFLAGERli, 1, 1AUFLAGERli, 2, 2AUFLAGERli, 3, 3** Name: rechts Type: Displacement/Rotation*BoundaryAUFLAGERre, 1, 1AUFLAGERre, 2, 2**-----------------------------------------------------------------**** STEP: Step-0***StepStep-0: deadload*Dynamic, Explicit, 0.01*Bulk Viscosity0.06, 1.2**** LOADS**** eigenlast: in N/Kubikmeter*Dload, amplitude=Amp-0all, by, -23544**** OUTPUT REQUESTS***Restart, write, number interval=1, time marks=NO*Output, field, variable=PRESELECT, number interval=2*End Step** ----------------------------------------------------------------**** STEP: Step-1***StepStep-1: first loading*Dynamic, Explicit, 20.*Bulk Viscosity0.06, 1.2**** LOADS (verschiebungsgesteuert)***boundary, amplitude=Amp-1LASTli,2,2,-0.02LASTre,2,2,-0.02**** OUTPUT REQUESTS***Restart, write, number interval=1, time marks=NO*Output, field, variable=PRESELECT, number interval=50*Output, history, frequency=1


*node output, nset=IWTliU2*node output, nset=IWTmiU2*node output, nset=IWTreU2*End Step

Balkenmodell fur Balkenelemente

*Heading** Balken mit Usermaterialmodell, einachsige Elemente B21** 22 Elemente auf Lange ( Seitenlange 0.095m )** Auflager 10cm vom Rand**** Modeldefinition***NODE, NSET=CORNERS1,0.,0.45,2.1,0.*NGEN, NSET=All1,45,2*ELEMENT, TYPE=B211,1,3*ELGEN, ELSET=ALL1,22,2,1*Beam Section, elset=ALL, material=user, Poisson = 0.2,Temperature=GRADIENTS, Section=RECT0.12,0.120.,0.,-1.*transverse shear stiffness1.53E8, 1.53E8*elset, elset=l, generate1,22,1*elset, elset=m, generate1,22,1*elset, elset=r, generate1,22,1**Einzelstabe:*rebar, element=beam, material=steel, geometry=isoparametric, single, name=ll, 2.8274e-5, -0.04,-0.03, 1*rebar, element=beam, material=steel, geometry=isoparametric, single, name=mm, 2.8274e-5, 0., -0.03, 1*rebar, element=beam, material=steel, geometry=isoparametric, single, name=rr, 2.8274e-5, 0.04, -0.03, 1*NSET, NSET=AUFLAGERli3*NSET, NSET=AUFLAGERre43*NSET, NSET=LASTli13*NSET, NSET=LASTre33*NSET, NSET=IWTli13

*NSET, NSET=IWTmi23


*NSET, NSET=IWTre23**** MATERIALS***Material, name=user*Density2600*User Material, constants=113e+10, 0.2, 1. , 2.5e7, 0.002, 2.25e6, 0.05, 0.520000., 3200., 5.*DEPVAR47,*Material, name=steel*Elastic2e+11, 0.2*Plastic5.00e+08, 0.5.05e+08, 0.2**** BOUNDARY CONDITIONS**** Name: links Type: Displacement/Rotation*BoundaryAUFLAGERli, 1, 1AUFLAGERli, 2, 2** Name: rechts Type: Displacement/Rotation*BoundaryAUFLAGERre, 2, 2** ----------------------------------------------------------------**** STEP: Step-0***Step, inc=10000Step-0: deadload*Static.0001, 1., 1e-05, .1**** LOADS**** eigenlast*Dloadall, Grav, -9.81,0.,1.**** OUTPUT REQUESTS***Restart, write, frequency=0*El Print, freq=999999*Node Print, freq=999999*End Step** ----------------------------------------------------------------**** STEP: Step-1***Step, extrapolation=parabolic, inc=10000Step-1: first loading


*Static0.1, 100., 10E-07, 0.1*CONTROLS, PARAMETERS=TIME INCREMENTATION8, 10, 9, 16, 10, 4, 12, 12 , 6, 31.5 , 0.5, 0.75, 0.85, 0.25, 0.25 , 1.5, 0.75**** LOADS**** Last 1, 10kN*CloadLASTli, 2, -10000LASTre, 2, -10000**** OUTPUT REQUESTS***Restart, write, frequency=0*Output, field, variable=PRESELECT, frequency=10*Output, history, frequency=10*node output, nset=IWTliU2*node output, nset=IWTmiU2*node output, nset=IWTreU2*el print, elset=ALL,summary=no, frequency=1SDV*End Step

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