Horst Steibl

TU-Braunschweig 1

Das Bigalke - Rechteck

91,79 °

26,565 °

14,688 cm 7,344 cm

A B

CD

d(P9;P12)/d(P6;A)0,2469

arctan(1/2)26,57

Seitenverhältnis = d(P6;A)/d(C;P6)2,995

SV_innen = d(P9;P11)/d(P9;P12)1,459

Gegeben ein Rechteck ABCD. Spiegele es an der Diagonale BD. Wie muss das Ausgangsrechteck dimensioniert sein, damit das gefärbte Viereck ein Rechteck ist?

Achtung: Baustelle, Betreten auf eigene Gefahr

Horst Steibl

TU-Braunschweig 2

Vermutung Doppelquadrat

91,79 °

26,565 °

14,688 cm 7,344 cm

d(P9;P12)/d(P6;A)0,2478

arctan(1/2)26,57

Seitenverhältnis = d(P6;A)/d(C;P6)3,265

SV_innen = d(P9;P11)/d(P9;P12)1,383

7,104 cm 14,645 cm

25,876 °

91,79 °

26,565 °

14,645 cm 7,322 cm

25,876 °

25,876 °

A B

CD

d(P9;P12)/d(P6;A)0,2362

arctan(1/2)26,57

Seitenverhältnis = d(P6;A)/d(C;P6)2,062

SV_innen = d(P9;P11)/d(P9;P12)2,054

Das Doppelquadrat kann es demnach nicht sein!

Es muss jedenfalls schmaler sein

Finden Sie eine Deutung? Wie wird die lange Seite durch den Punkt G geteilt?

Horst Steibl

TU-Braunschweig 3

Das Verhältnis der Abschnitte der langen Rechteckseite

Im Trapez teilen die Diagonalen sich im Verhältnis der parallelen Seiten, anscheinend im goldenenen Schnitt

Hypothese: Die lange Rechteckseite wird anscheinend im Verhältnis des goldenen Schnittes geteilt

Der Winkel 2 = 51,8... fällt auf

Der Winkel = 25,9.. ist die Hälfte von 51,8..

89,988 °

51,819 ° 51,831 °

51,819 °

7,809 cm

4,826 cm 2,983 cm

6,138 cm 3,794 cm

4,827 cm

d(F;E)/d(D;F)0,6182

d(E;C)/d(D;G)0,6182

d(F;C)/d(G;F)0,6182

90 °

6,824 cm 14,048 cm

DiagonaleMittelsenkrechte = d(D;B)/d(G;E)2,059

3,905 cm 4,966 cm

MittenviereckTrapez = d(P25;M)/d(P24;P25)1,272

25,909 °

6,138 cm 12,636 cm

Rechteckseiten = d(A;D)/d(B;P6)2,059

51,838 °

A B

CD

G

E

M

F

H

Horst Steibl

TU-Braunschweig 4

Ein anderer ZugangKonstruiere ein rechtwinkliges Trapez (blau), dessen parallele Seiten „im goldenen Schnitt“ stehen. Die Diagonalen teilen einander dann auch stetig. Die Parallele durch C sei beweglich. Wenn der rechte Winkel bei F erscheint, ist das Rechteck das gesuchte Parallelogramm.

10 cm

6,18 cm 89,6 °

25,752 °

25,875 ° 52,027 °

51,627 °

6,153 cm 4,845 cm

7,84 cm

3,803 cm

d(D;F)/d(F;E)1,618

d(F;G)/d(C;F)1,618

A B

CD

E

F

G

d(G;D)/d(E;C)1,618

Nicht jedes goldene rechtwinklige Trapez leistet das. Erst wenn die Diagonalen sich rechtwinklig schneiden, ist der Fall gelöst

Horst Steibl

TU-Braunschweig 5

1. Lösung

M sei der Mittelpunkt von EG. Drehe das Trapez ECDG um M um 180°. (Punktspiegelung an M) Dann ist BEDG die diagonale Raute des Vierecks ABCD. Also ist BG = GD = 10 cm.

Spiegele das Trapez GECD an EG. Dann ist BK =DC. Das Rechteck BKDL ist dann das an der Diagonale BD gespiegelte Rechteck mit der Eigenschaft, dass das gesuchte Parallelogramm ein Rechteck ist

10 cm

6,18 cm 89,976 °

25,904 °

25,911 ° 51,839 °

51,815 °

6,179 cm 4,858 cm

7,86 cm

3,819 cm

d(D;F)/d(F;E)1,618

d(F;G)/d(C;F)1,618

A B

CD

E

F

G

9,998 cm

9,998 cm

M

7,858 cm

K

J´

6,178 cm

6,182 cm

L

Horst Steibl

TU-Braunschweig 6

Konstruktion

A

B

G

M1

C

D

E

M

B´__A´D´´

D´

C´

D´´´

Zeichne die Strecke AB = 10 cmTeile AB stetig in G

Halbiere AB in M1 und zeichne den Thaleskreis

Errichte die Lote in G und B

Zeichne das Dreieck ABC und verlängere die Katheten

Zeichne die Parallele zu AB durch D

Zeichne das Trapez AEDB

Punktspiegele das Trapez AEDB an M

Spiegele das Trapez an AE

Punktspiegele das Trapez AED´A´an M

Begründe, dass BB´die Spiegelachse der Figur ist

In welchem Verhältnis stehen die Rechteckseiten?

Horst Steibl

TU-Braunschweig 7

2. Weg zur Konstruktion

Das Rechteck IGJH ist das drehgestreckte Abbild des Rechtecks ABCD (Vertauschen der Funktion Diagonale Mittelsenkrechte). Also sind sie ähnlich. Bei diese Spiegelung ist die diagonale Raute Fixfigur.

A B

CD

E

F

G

H

M

I

J

K

L

51,831 ° 51,826 °

51,831 ° 90,005 °

X

x´

a

b

1/2(b - x)

1/2(b - x)

1/2(b - x)

1/2(b +

x)

In der diagonalen Raute BCDH stehen D die Diagonalen lotrecht aufeinander. Es ist BG = GD = DH

x / a = a / b x = a² / b (*)Die Dreiecke mit den gelben Winkeln sind ähnlich. Winkel im Dreieck bzw. Nachbarwinkel ergänzen sich jeweils zu 90°

x : ½(b – x) = ½(b – x) : ½(b + x) Das führt zur Gleichungx²+4bx –b²= 0

x =b(5 – 2)In (*)a = b(5-2) b = a(5+2)b a*2,05817.

Danke Ulrich Guder

Horst Steibl

TU-Braunschweig 8

Uli´s LösungIn der Zeichnung ist die Bedingung, dass der Winkel bei P ein rechter Winkel ist, erfüllt.

Das Verhältnis der beiden Seiten a und b des Ausgangs- rechtecks lässt sich dabei durch Betrachtungen von zwei Klassen ähnlicher Dreiecke bestimmen

In dem rechtwinkligen Trapez EDCF sind durch die Diagonalen ähnliche Dreiecke bestimmt. Die rechtwinkligen Dreiecke PED), (PDC ) und (PCF) sind ähnlich. Ihre spitzen Winkel ergänzen sich ja zu 90° und die Nachbarwinkel bei D und C ebenfalls

Die zweite Klasse besteht aus den vier kongruenten Dreiecken der diagonalen Raute: (MED) , (FMD) , (FBM), (BEM), und den Dreiecken (ABD) , (FGE) , (FPE) . Ferner die drei Dreiecke (GEF), (FKE), (PFE). Die Drehstreckung, die Diagonale und deren Mittelsenkrechte vertauscht, erzeugt diese ähnlichen Dreiecke, die somit ähnlich dem Dreieck (ABD) sind

90 °

A B

C D

M x b

a

a

P

F

E G

( b - x ) / 2

( b + x ) / 2

x

x

( b - x ) / 2

K

Horst Steibl

TU-Braunschweig 9

90 °

A B

C D

M x b

a

a

P

F

E G

( b - x ) / 2

( b + x ) / 2

x

x

( b - x ) / 2

K

Wir erhalten damit folgende Beziehung:(*) (x : a) = (a : b)

Außerdem folgt aus diesen Ähnlichkeiten und Kongruenzen, dass DE = EF und PF = FG. Es gilt auch DE = (b + x)/2 und CF = (b – x)/2

Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke PED) und (PCF)lässt sich folgern: (**)

x : ½(b – x) = ½(b – x) : ½(b + x)

Lösen wir (*) nach x auf und setzen in (**) ein, so erhalten wir

b = a*(5 + 2) = a * 2,05817...

Berechnung der Seitenlängen

Horst Steibl

TU-Braunschweig 10

Uli´s 2. Lösung

Bei dieser Lösung gehe man vom Höhensatz aus,um Wurzel(Wurzel(5) + 2) zu bestimmen. Dazu konstruiere man die Strecke Wurzel(5) + 3 und errichte im Punkt Wurzel(5) + 2 eine Senkrechte, die man mit dem Thaleskreis um Wurzel(5) + 3 schneide. Der Abstand des Schnittpunkts zur Strecke Wurzel(5) + 3 ist dann nach dem Höhensatz gerade Wurzel(Wurzel(5) + 2), die gesuchte zweite Seite des Rechtecks: p* q = h²

(Wurzel(5) + 2) * 1 = (Wurzel(5) + 2)

Also h = Wurzel(Wurzel(5) + 2),

4,869 cm

10,021 cm

d(P25;P20)/d(P20;P22)2,058