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Hans Walser

Das DIN-Format

Forum für Begabtenförderung

21. bis 23. März 2013, Universität Würzburg

Zusammenfassung Das DIN-Format ist mehr als ein Stück Papier und die Quadratwurzel aus Zwei. Wir treffen auf Spiralen, Grenzpunkte, Fragen der Abzählbarkeit, das Delische Prob-lem, die gleichtemperierte 12-Ton-Stimmung, fraktalen Blumenkohl, Jakobs Himmels-leiter, das Silberne Rechteck, Faltprobleme und Legespiele nach Fröbel. Inhalt 1 Ausschöpfen des A0-Rechteckes ................................................................................ 2

1.1 Die klassische Art ................................................................................................ 2 1.2 Spiralförmige Anordnung .................................................................................... 2 1.3 Andere Grenzpunkte ............................................................................................ 3 1.4 Mächtigkeiten ...................................................................................................... 5

2 Andere Figuren ........................................................................................................... 5 2.1 Das rechtwinklig-gleichschenklige Dreieck ........................................................ 6 2.2 DIN-Quader ......................................................................................................... 6

2.2.1 DIN-Hyperquader ......................................................................................... 8 2.2.2 Gleichtemperierte 12-Ton-Stimmung ........................................................... 8

2.3 Fraktale ................................................................................................................ 8 2.4 Die Jakobsleiter .................................................................................................... 9

3 Das Silberne Rechteck .............................................................................................. 10 3.1 Ansetzen oder Abschneiden ............................................................................... 10 3.2 Eigenschaften des Silbernes Rechteck ............................................................... 11 3.3 Diagonalenschnittwinkel im Silbernen Rechteck .............................................. 13

4 Das regelmäßige Achteck ......................................................................................... 13

Hans Walser: Das DIN-Format 2 / 15

1 Ausschöpfen des A0-Rechteckes 1.1 Die klassische Art Wir können mit einem Set von DIN-Rechtecken A1, A2, A3, ... ein A0-Rechteck aus-schöpfen (Abb. 1). Die Rechtecke sind im Wechsel im Quer- und Hochformat.

Abb. 1: Ausschöpfung des A0-Rechteckes

Wenn wir die Mitten aufeinanderfolgender Rechtecke verbinden, ergibt sich eine Zick-zack-Linie, welche in den Grenzpunkt rechts oben mündet.

1.2 Spiralförmige Anordnung Wir können das Set von Rechtecken A1, A2, A3, ... aber auch spiralförmig anordnen (Abb. 2).

Abb. 2: Spiralförmige Anordnung

Der Grenzpunkt ergibt sich durch Einzeichnen geeigneter Halbdiagonalen. Der Grenzpunkt hat „Drittelkoordinaten“ (Abb. 3).

A1A2 A3

A4A5

A6A7


Abb. 3: Drittel bei den Koordinaten

Das kann wie folgt eingesehen werden: Wenn auf der Höhe des Grenzpunktes von links her einfahren, treffen wir nur Hochformat-Rechtecke, und zwar der Reihe nach A4, A8, A12, A16, ... . Diese haben im angegebenen Koordinatensystem die Breiten 14 , 116 , 164 , 1256 , ... . Für die x-Koordinate des Grenzpunktes ergibt sich daher die geometrische Reihe:

14 +

116 +

164 +

1256 +=

141− 14

= 13

Ein violettes Rechteck der Abbildung 3 hat das Seitenverhältnis des DIN-Formates. Es bedeckt einen Neuntel des A0-Rechteks. Welchen DIN-Code hat es? Dazu vergleichen wir mit den Flächenanteilen im DIN-System.

Format A0 A1 A2 A3 A4 A5 An

Flächenanteil 1 12

14

18

116

132 1

2( )n

Wir sehen, dass unser violettes Rechteck zwischen A3 und A4 liegt, gefühlsmäßig nä-her an A3. Rechnerisch erhalten wir:

12( )n = 19n = log1

2

19( ) ≈ 3.169925

1.3 Andere Grenzpunkte Jeder Punkt im Innern oder auf dem Rand des A0-Rechteckes kann Grenzpunkt werden. Dazu verwenden wir folgenden Algorithmus: Wir füllen das A0-Rechteck mit einem Set von DIN-Rechtecken A1, A2, A3, ... so auf, dass der anvisierte Grenzpunkt nie ins

y

x13

23 1

13 2

23 2

2


Innere eines Set-Rechteckes gelangt. Die Abbildung 4 zeigt die ersten fünf Schritte und die Grenzfigur.

Abb. 4: Beliebiger Grenzpunkt

Natürlich wird der Algorithmus ambivalent, wenn der anvisierte Grenzpunkt auf den Rand eines Set-Rechteckes zu liegen kommt. Dies ist genau dann der Fall, wenn die x-


Koordinate und/oder die y-Koordinate modulo 2 eine abbrechende Dualbruchent-wicklung haben. In diesem Fall entscheiden wir uns für „unten“ beziehungsweise „links“. Dieser Ent-scheid ist von derselben Qualität wie der Entscheid, ein Halbes im Dezimalsystem durch 0.5 und nicht durch 0.4999... darzustellen. Die Abbildung 5 zeigt die Situation mit dem Grenzpunkt in der Mitte des A0-Rechtecks.

Abb. 5: Grenzpunkt in der Mitte

Die Figur ist asymmetrisch, muss es sein, da bei einer Symmetrie im A0-Rechteck jedes Teil doppelt oder vierfach erscheinen müsste.

1.4 Mächtigkeiten Ein Set von DIN-Rechtecken A1, A2, A3, ... ist abzählbar (es ist ja bereits nummeriert). Es hat die Mächtigkeit ℵ0 . Da jeder Punkt eines Din A0-Rechteckes Grenzpunkt sein kann, haben wir für diese Punkte nach unserem Algorithmus die Mächtigkeit 2ℵ0 , da es für jedes Set-Rechteck zwei Positionsmöglichkeiten gibt.

2 Andere Figuren Gibt es andere Figuren, die in zwei kongruente, zur Ausgangsfigur ähnliche Teilfiguren zerlegbar sind? Die Frage ist allgemein gehalten, es ist nicht von Halbieren die Rede, sondern nur von Zerlegen.


2.1 Das rechtwinklig-gleichschenklige Dreieck Das naheliegende Beispiel ist das rechtwinklig-gleichschenklige Dreieck (Abb. 6).

Abb. 6: Das rechtwinklig-gleichschenklige Dreieck

Es gibt im rechtwinklig-gleichschenkligen Dreieck ebenfalls eine spiralförmige Anord-nung (Abb. 7). Der Grenzpunkt führt zu Fünfteln.

Abb. 7: Spiralförmige Anordnung

2.2 DIN-Quader Wird ein Quader mit dem Kantenverhältnis 2 : 43 : 23 halbiert, ergeben sich zwei Quader mit dem Kantenverhältnis 43 : 23 :1. Diese sind ähnlich zum ursprünglichen Quader. Die Abbildung 8 zeigt einen DIN-Quader mit dem Kantenverhältnis 43 : 23 :1 im Vergleich zum Einheitswürfel.

Abb. 8: DIN-Quader und Einheitswürfel

Die Abbildung 9 zeigt einige Flechtmodelle von DIN-Quadern.

25

15 10

1

23 �1.26 43 �1.59


Abb. 9: DIN-Quader, Flechtmodelle

Die Abbildung 10 zeigt eine Anordnung eines DIN-Quader-Sets analog zur klassischen Anordnung eines Sets von DIN-Rechtecken.

Abb. 10: Anordnung

Während bei Rechtecken nur zwischen Querformat und Hochformat unterschieden wer-den kann, brauchen wir hier drei Anaordnungsformate. Dazu dient das beigefügte Ko-ordinatensystem. Der erste Quader hat seine längsten Kanten in der x-Richtung, der

x xy y

z z


zweite Quader hat seine längsten Kante in der y-Richtung und der dritte Quader in der z-Richtung. Der vierte Quader hat seine längsten Kanten wiederum in der x-Richtung. 2.2.1 DIN-Hyperquader Im vierdimensionalen Raum ergeben sich durch

2 : 84 : 44 : 44

84 : 44 : 24 :1

oder in anderer Schreibweise

244 :2

34 :2

24 :2

14

234 :2

24 :2

14 :2

04

die Kanten zweier aufeinanderfolgender 4d-DIN-Hyperquader. George Pólya (1887-1985) hätte in dieser Situation allerdings von einer Verallgemeinerung durch Verwässe-rung gesprochen. 2.2.2 Gleichtemperierte 12-Ton-Stimmung Wir verwässern weiter zum 12d-DIN-Hyperquader.

21212 :2

1112 :2

1012 :2

912 :2

812 :2

712 :2

612 :2

512 :2

412 :2

312 :2

212 :2

112

Das haben wir zwar noch nie gesehen, aber schon gehört. Es sind die Frequenzverhält-nisse der Gleichtemperierte 12-Ton-Stimmung.

2.3 Fraktale Eine Erinnerung an die achtziger Jahre: Beim Generator Der Abbildung 11

Abb. 11: Generator

wird jeweils eine Strecke durch zwei kleinere Strecken ersetzt. Der Reduktionsfaktor ist in unserem Beispiel 58 . Es entsteht das Blumenkohlfraktal der Abbildung 12. Über Fraktale vgl. [Mandelbrot 1983] und [Mandelbrot 1991].

Abb. 12: Blumenkohlfraktal


Dieses lässt sich gemäß Abbildung 13 in zwei dazu ähnliche Blumenkohlfraktale zerle-gen.

Abb. 13: Zerlegung in zwei ähnliche Blumenkohle

Für die Mandelbrot-Dimension D (fraktale Dimension) erhalten wir in unserem Bei-spiel:

D = ln 2( )ln 8

5( ) =1

log2 85( ) ≈1.474769

Im Zähler steht der Logarithmus der Zahl 2, weil wir in 2 Teilfiguren zerlegen. Im Nen-ner steht der Logarithmus des Kehrwertes des Reduktionsfaktors. Jedes Fraktal mit einem zweiteiligen Generator führt ist eine Figur, die sich in zwei da-zu ähnliche Teilfiguren zerlegen lässt.

2.4 Die Jakobsleiter Und ihm träumte; und siehe, eine Leiter stand auf der Erde,

die rührte mit der Spitze an den Himmel, und siehe, die Engel Gottes stiegen daran auf und nieder.

Gen 28, 11 Die Abbildung 14a zeigt die ersten Sprossen der Jakobsleiter.


Abb. 14: Jakobsleiter

Auf der einen Seite der Leiter steigen die Engel hinauf, auf der anderen Seite hinunter. Damit sie sich nicht gegenseitig auf den Füßen herumtreten, haben sie festgelegt, dass die aufsteigenden Engel nur die Sprossen mit ungeraden Nummern verwenden, die ab-steigenden nur die Sprossen mit geraden Nummern (Abb. 14b). Damit zerfällt die Ja-kobsleiter in zwei Teil-Jakobsleitern, die zur ursprünglichen Jakobsleiter ähnlich sind (Abb. 14c und 14d). Wir haben also das Prinzip des DIN-Formates. Der Reduktionsfaktor ist 2. Das Wort Reduktionsfaktor ist syntaktisch richtig, seman-tisch falsch, da Sprossenhöhne nicht reduziert, sondern verdoppelt wird. Unter dem As-pekt eines Fraktals ergibt sich die Mandelbrot-Dimension D (fraktale Dimension):

D = ln 2( )ln 1

2( ) =1

log2 12( ) = −1

3 Das Silberne Rechteck 3.1 Ansetzen oder Abschneiden Wir können zu einem DIN-Rechteck an der Schmalseite ein Quadrat ansetzen oder von einem DIN-Rechteck ein Quadrat abschneiden (Abb. 15).

a) b) c) d)


Abb. 15: Quadrat ansetzen oder Quadrat abschneiden

Die Abbildung 16 zeigt das Summen- und das Differenzrechteck.

Abb. 16: Summenrechteck und Differenzrechteck

Wir erhalten ein Summenrechteck mit dem Seitenverhältnis 1: 2 +1( ) beziehungswei-

se ein Differenzrechteck mit dem Seitenverhältnis 2 −1( ) :1.

Wegen 1: 2 +1( ) = 2 −1( ) :1 haben diese beiden Rechtecke dasselbe Seitenverhält-nis. Ein solches Rechteck wird mit dem leicht esoterischen Namen Silbernes Rechteck bezeichnet, da es einige Eigenschaften ähnlich denen des Goldenen Rechtecks mit dem Seitenverhältnis des Goldenen Schnittes hat. Über den Goldenen Schnitt siehe [Walser 2009].

3.2 Eigenschaften des Silbernen Rechtecks Wir können zum Beispiel vom Silbernen Rechteck zwei Quadrate abschneiden, und dann bleibt ein Silbernes Restrechteck übrig (Abb. 17).

Abb. 17: Zwei Quadrate abschneiden

Der Prozess kann iteriert werden (Abb. 18), theoretisch ad infinitum.

1 1

2 +1 2 �1

1 1

2 +1 2 �1


Abb. 18: Iteration des Abschneidens

Wir können die Quadrate mit Viertelkreisen füllen gemäß Abbildung 19. So entstehen zwei Spiralen.

Abb. 19: Spiralen

Wir können vier rechtwinklige-gleichschenklige Dreiecke so auslegen, dass ein Silber-nes Umrissrechteck und ein Silbernes Lochrechteck entstehen (Abb. 20).

Abb. 20: Silberne Rechtecke als Umriss und als Loch

Auch dies kann iteriert werden (Abb. 21).

Abb. 21: Iteration


3.3 Diagonalenschnittwinkel im Silbernen Rechteck Die Abbildung 22 zeigt einen Beweis ohne Worte für den Diagonalenschnittwinkel 45° im Silbernen Rechteck. Den Beweis verdanke ich Renato Pandi.

Abb. 22: Diagonalenschnittwinkel im Silbernen Rechteck

Der 45°-Winkel ist auch der Zentriwinkel im regelmäßigen Achteck.

4 Das regelmäßige Achteck Das Silberne Rechteck erscheint im regelmäßigen Achteck (Abb. 23).

Abb. 23: Silbernes Rechteck im regelmäßigen Achteck

Flächenmäßig macht das Silberne Rechteck genau die Hälfte des Achtecks aus. Dies kann mit einem Zerlegungsbeweis eingesehen werden (Abb. 24).

Abb. 24: Zerlegungsbeweis

90° 90° 90°

?

45° 45°

45°

45°

45°


Der Zerlegungsbeweis kann noch subtiler gemacht werden, so dass ein Stern erscheint (Abb. 25). Das erinnert an die Legespiele nach Fröbel.

Abb. 25: Zerlegungsbeweis mit Stern

Mit denselben Bauteilen können auch zwei flächenmäßig halb so große Achtecke aus-gelegt werden (Abb. 26).

Abb. 26: Zwei Achtecke

Wenn wir beim Stern zusätzlich zwei rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke ansetzen, passt die Figur in ein DIN-Rechteck (Abb. 27).

Abb. 27: Einpassen ins DIN-Rechteck


Auf Grund dieser Figur kann aus einem DIN-Rechteck ein regelmäßiges Achteck durch Falten hergestellt werden. Literatur [Mandelbrot 1983] Mandelbrot, Benoît B.: The Fractal Geometry of Nature. New

York: Freeman 1983. ISBN 0-7167-1186-9 [Mandelbrot 1991] Mandelbrot, B. B.: Die fraktale Geometrie der Natur. Basel:

Birkhäuser 1991. [Walser 2009] Walser, Hans: Der Goldene Schnitt. 5., bearbeitete und erweiterte

Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wußing über populärwis-senschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gu-tenbergplatz, Leipzig 2009. ISBN 978-3-937219-98-1

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