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Das Problem mit derOptimierung von Riemann-Stieltjes Control-Systems

(ORCS)

J. Michael

Fakultat fur Luft und RaumfahrttechnikUniversitat der Bundeswehr Munchen

[email protected]

05.03.2014

Fotos: http://de.wikipedia.org/wiki/MnchenMagnus Manske (Panorama), Luidger (Theatinerkirche), Kurmis (Chin. Turm), Arad Mojtahedi (Olympiapark), Max-k (Deutsches Museum), Oliver Raupach (Friedensengel), Andreas Praefcke (Nationaltheater)

Das Problem mit der Optimierung von Riemann-Stieltjes Control-Systems (ORCS)J. Michael

Inhalt

Problembeschreibung

Formulierung impulsiver Systeme

Riemann-Stieltjes-Control-Systems

Optimierung von Riemann-Stieltjes-Control-Systems

Numerisches Beispiel


Ausgangssituation

I Optimale Steuerung von elektro-rheologischen Fahrwerksdampfern mittelsPreview-Sensoren

I Klassisches Viertelfahrzeugmodell (Reifen-Fahrbahn mittelsFeder-Dampfer-Element modelliert)


Betrachtung singularer Ereignisse

Singulare Eregnisse sind z.B.: Schlagloch, Stufe, Bodenwelle.

Kurzfristige schnelle Anderung der Straßenanregung

Negative Kontaktkraft bei Sprung

Problem: Kontaktverlust macht klassisches Modell unbrauchbar


Komplementaritatsformulierung

Ersetzen des Feder-Dampfer-Elements durch eine Signorini-Bedingung

d(q) - Abstandsfunktion zwischen Reifen und Fahrbahnλ - Kontaktkraftε - Restitutionskoeffizient

d(q) ≥ 0, λ ≥ 0, d(q)>λ = 0

Zusatzlich Newtonsches Stoßgesetz bei Kontakt

d′(q)(q+ + εq−) = 0 wenn d(q) = 0


Impulsives Mehrkorpersystem

Betrachtet werde ein Mehrkorpersystem mit der allgemeinen Dynamik

M(q)q + b(q, q) + g(q) = Fi (q)

mitI q ∈ Rn - verallgemeinerte KoordinatenI q ∈ Rn - verallgemeinerte GeschwindigkeitenI b(q, q) ∈ Rn - KopplungskrafteI g(q) ∈ Rn - GewichtskrafteI Fi (q) - Impuls- und Kontaktkrafte

Transformation auf System erster Ordnung mit x = [q, q]> liefert

x = F (x) + Fi (x).


Allgemeine Systemgleichung

Darstellung als impulsive System mit Riemann-Stieltjes-Integralen

DefinitionSei α(x(t)) ∈ BV ([a, b],Rn), F : R2n → R2n und G : R2n → (R2n × Rn). Gesuchtwird eine Funktion x : [a, b]→ Rn, welche die Integralgleichung

x(t) = xa +

∫ t

aF (x(τ ))dτ +

∫ t

aG(x(τ ))dα(x(τ ))

xa = x(a)

fur a ≤ t ≤ b lost. Dies bezeichnen wir als impulsives System.

SatzIst G auf [a, b] stetig und α ∈ BV ([a, b],Rn), so existiert das Riemann-StieltjesIntegral.

I Im kontaktlosen Fall gilt dα(x(τ )) = 0I Bei Kontakt muss G(x(τ )) und dα(x(τ )) so bestimmt werden, dass

Sprungbedingung gilt.


Allgemeine Kontaktformulierung

Frage: Wie wird α fur allgemeine Kontakte mit Coulomb Reibung bestimmt?

Dazu seiI ξi (q) : Rn → R3, i = 1, ..., n die Abbildung der verallgemeinerten Koordinaten

in den Zustandsraum des i-ten Teilkorpers

I Ji (q) =(∂ξi (q)∂qj

)j=1,...n

die Zustands-Jacobi-Matrix

Damit giltddqξi (q) = v(q) = J(q)q

I cj (x, y, z), j = 1, ..., l die Kontaktflachen in Parameterdarstellung


Allgemeine Kontaktformulierung

Die Kontaktuberprufung erfolgt mit der Zulassigkeitsmatrix

D =(dij)

i=1,..,nj=1,..,l

mitdij = ν>i ρij = ν>j (ξi (q)− cj (ξi (q))). (1)

νj = ±[1, 1, 1]> stellt hier den zulassigen Bereich bzgl. der Flache j dar.

Existiert dij ≤ 0, so ist das System kontaktbehaftet.

Dann: Berechne Kontaktgeschwindigkeit

vcij = T>(i,j)Ji (q)q

mit T(i,j) lokales Koordinatensystem am Kontaktpunkt des Korpers i mit Flache j .

Ist vcnij < 0 findet Stoß statt (⇒ dα 6= 0), sonst Beruhrpunkt.


Update mit Reibung

Sei IA := {(i, j)|dij ≤ 0, vcnij < 0} die Indexmenge der aktiven Kontakte mit m = |IA|,

J(q) =

Ji(1)

...

Ji(m)

, T :=

T(i(1),j(1)) 0 · · · 0

.... . .

. . ....

0 · · · · · · T(i(m),j(m))

.

Dann gilt mit J = T>J

M(q(τ+)− q(τ−)) = J>p

vc+ − vc− = JM−1J>p


Update mit Reibung

Es gilt fur alle Paare (i, j) vc+ij = Eij v

c−ij mit Eij = diag(en

ij , etij , e

t′ij ),

wobei εnij ∈ [−1, 0] vorgegeben und εt

ij , εt′ij unbekannt.

Kontakt Optimierungsproblem

minek

ij , (i,j)∈IA, k∈t,t′K +(E) = q(τ+)>Mq(τ+)

s.t. q(τ+) = (I− JJ + JEJ )q(τ−)

p(E) = (JM−1J>)−1(E − I)J q(τ−)

−pni (E) ≤ 0

‖(pti (E), pt′ i (E))‖22 ≤ (µ(i, j)pni )

2 (Coulomb-Reibung)

Quadratisches Optimierungsproblem mit nichtlinearer Nebenbedingung(Coulomb-Reibung)

Voraussetzung: J(q) ist invertierbar.


Beispiel - Ball mit Wanden

Abbildung: Systemenergie eines Balls mit reibungsbehafteten Kontakten


Beispiel - Halbfahrzeug

Abbildung: Stufenuberfahrt eines Halbfahrzeugmodells


Riemann-Stieltjes-Control-Systems

DefinitionSei α(x(t)) ∈ BV ([a, b],Rn), F : ([a, b]× R2n×Unu )→ R2n undG : ([a, b]× R2n)→ (R2n × Rn). Gesucht wird eine Funktion x : [a, b]→ Rn,welche die Integralgleichung

x(u)(t) = xa +

∫ t

aF (x(u)(τ ), u)dτ +

∫ t

aG(x(u)(τ ))dα(x(u)(τ ))

xa = x(a)

fur a ≤ t ≤ b lost. Dies bezeichnen wir als impulsives System mit Steuerung.

Bemerkung:I Keine impulsive Steuerung


Differenzierbarkeit bzgl. u

Existenz von SensitivitatenGegeben sei ein impulsives System mit Steuerung auf dem Intervall [0, T ]. F und Gseien Lipschitzstetig auf [0, T ]. Weiter existiere eine Sprungstelleα(x(τ (u))), τ ∈ (0, T ), die durch die Schaltfunktion ς(x(u)(t)) definiert wird. Diesebesitze fur t = τ einen echten Nulldruchgang. Es giltτ (u) = argmin

s∈(0,T )

{ς(x(u)(τ )) = 0 | d

dt ς(x(u)(τ )) 6= 0}

.

Dann existiert ein S(u) fur das der Grenzwert

lim‖ε‖→0

‖x(u + ε)− x(u)− S(u)ε‖∞‖ε‖∞

= 0

existiert.


Beweisidee

I Transformiere die Intervalle [0, τ (u)], [τ (u), T ] auf [0, 1], [1, 2]

I Aufgrund der Eigenschaften von ς existiert dτ (u)du in einer Umgebung von u

I Nutze Zerlegungseigenschaft fur Funktionen beschrankter Variation

‖x(u + ε)− x(u)− S(u)ε‖∞= ‖xc(u + ε) + xs(u + ε)− xc(u)− xs(u)− Sc(u)ε− Ss(u)ε‖∞≤ ‖xc(u + ε)− xc(u)− Sc(u)ε‖∞,[0,1] + ‖xc(u + ε)− xc(u)− Sc(u)ε‖∞,[1,2]

+ ‖xs(u + ε)− xcs(u)− Ss(u)ε‖∞

I Summanden einzeln mit Mittelwertsatz der Integralrechnung undGronwall-Lemma abschatzen.


Diskretisierung

I Diskretisiere x und u mit Kontrollgitter GM

I Steuerung auf jedem Intervall [i, i + 1) KonstantI Integriere mit Einschrittverfahren auf feinerer Subdiskretisierung GN·M

Bsp.: Trapezregel

ηNj+1 = ηN

j + Φ(ηNj , h, F , u,G, α)

= ηNj +

h2

[F (ηN

j , u) + F (ηNj + hF (τj , η

Nj , u))

]+

hα2

[G(ηN

j ) + G(ηNj + hαG(ηN

j ))]

mithα := α(ηN

j+1)− α(ηNj )


Optimierung von RCS

I Zusatzlicher Zustand xJ fur kontinuierliche KostenI Zustandsvektor x(u) ∈ R2n+1 × RM+1 , Steuervektor u = {u1, ..., uM},I Berechnung der Sensitivitatsmatrix durch

S(u)(·,j) =xJ (u + δuj )− xJ (u)

δj = 1, ...,M

und des Gradienten∇J(x(u)) = S(u)>xJ (u)

I Update mittels projiziertem Gradientenverfahren mit Armijo-Suche.


Viertelfahrzeug - Ein Beispiel

Viertelfahrzeugmodell ohne Reifen-Boden-Elemente.

x(t) =

q1

q2

q3

q1

q2

q3

xJ

=

x-Position

y-Position Reifen

y-Position Aufbau

x-Geschwindigkeit

y-Geschiwndigkeit Reifen

y-Geschwindigkeit Aufbau

Kontinuierliche Kosten

x(t, x0, u) = x0+

t∫t0

x4(τ )

x5(τ )

x6(τ )

0

−gmw + c2(x2 − x1) + u(x4 − x3)

−gmC − c2(x2 − x1)− u(x4 − x3)

−g − c2(x2 − x1)− u(x4 − x3)

dτ+

t∫t0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0

dα(x(τ )),


Ergebnisse

Oben: Ausgangstrajektorie im Zustandsraum,Unten: Verallgemeinerte Koordinaten der Ausgangstrajektorie


Ergebnisse

Oben: Optimierte Trajektorie im Zustandsraum,Unten: Verallgemeinerte Koordinaten der optimierten Trajektorie


Ergebnisse

Oben: Optimale Steuerungsstruktur,Unten: Entwicklung der Zielfunktion fur Ausgangs- und optimierte Trajektorie


Zusammenfassung

Gezeigt wurdeI Modellierung impulsbehafteter Mehrkorpersysteme mittels

Riemann-Stieltjes-IntegralenI Energiekonsistente Berechnung der Kontaktimpule mittels verallgemeinerten

RestitutionskoeffizientenI Optimierung erster Beispiele mit Gradientenverfahren

Offene Fragen:I Was ist mit Beruhrpunkten? (bisher nur Holder-Stetigkeit bewiesen)I Wie lassen sich andere Kostenfunktionen einbinden (Sicherheitsaspekte,

Endkosten)?I Wie zuverlassig ist das ganze bei komplizierten Kontaktsituationen

(Mehrfachkontakte, Regulatitat von J)?I Vergleich der Rechnungen mit FEM-Modellen zur Parameteridentifikation


Danke

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