Horst Steibl

1

Das Rautendodekaeder (RD)Raute: Diagonalen e,f stehen lotrecht, halbieren einander

Wie viele Flächen stoßen an einer Ecke zusammen? Welche Winkel haben die Rautenecken? Winkelsumme(n) an den Ecken?

Stülpt man die Mittelpunktspyramiden eines Würfels nach außen, so hat man dem Würfel 6 vierseitige Pyramiden aufgesetzt.

Warum liegen die Dreiecke, die auf einer Würfelkante zusammentreffen in einer Ebene?

Welche Maße ergeben sich im Einheitswürfel für e, f , k (Kante des RD), dr (Raumdiagonale des RD)?

Horst Steibl

2

6,461 cm

12,923 cm

Die diagonalen Schnittflächen bestimmen die Mittelpunktspyramiden. Welche Maße haben sie im Einheitswürfel? Was ergibt sich daraus für die Diagonalen der Rauten? Und die Kantenlänge?

d1 = 1; d2 = 2, k = ½ * 3

Die Winkel der Raute ergeben sich mit tan = 1/ 2 als = 35,26°

somit zu etwa 72° und 108°.

Die RD-Ecken sind an den Würfelecken dreiwertig (~324°) bzw. über den Flächenmitten vierwertig (~288°)

Horst Steibl

3

Zwei Klassen von Ecken

6,461 cm

12,923 cm

Sie sehen Ecken, an denen drei Flächen zusammenstoßen.

Wir sagen : Die Ecke ist dreiwertigWie viele dreiwertige und wie viele vierwertige Ecken hat das Rautendodekaeder?

Da wir auf jede Würfelfläche eine vierseitige Pyramide gesetzt haben, gibt es so viele vierwertige Ecken wie der Würfel Flächen hat; also 6 vierwertiger Ecken

Die Ecken an den ehemaligen Würfelecken sind dreiwertig. Es gibt 8 dreiwertige Ecken

Greife mit beiden Händen die 8 dreiwertigen Ecken ab und versuche den Würfel zu sehen

Greife mit je 3 Finger jeder Hand die 6 vierwertigen Ecken. Welchen Körper kannst du so in das Rautendodekaeder hineinsehen. Was für Pyramiden muss man diesem Körper aufsetzen?

Horst Steibl

4

Das Rautendodekaeder aus dem Oktaeder

Das Oktaeder hat wie der Würfel 12 Kanten.

Auf jede Kante setzten wir eine Raute mit der langen Diagonale

Auf jede Fläche kommt so eine dreiseitige Pyramide

Wie lang sind Diagonalen und Seitenlänge der Raute in Bezug auf die Kante des Oktaeders?

Beim Würfel hat die Pyramide über der Fläche die Höhe ½ k. Wie groß ist h bei diesen dreiseitigen Pyramiden?

Zeichne das Schrägbild des Oktaeders und ergänze zum Rautendodekaeder! Hilfe: Die waagerechte Flächendiagonale der Raute lässt sich aus der Raumdiagonalen des Oktaeders berechnen. Die übrigen Punkte bekommst du durch Punktspiegelung an den Kantenmitten.

d(P1;P2)/ T2

5,285

T3 *sqrt(2)

7,475

Horst Steibl

5

Das Laschen-Taschen-ModulE

B

F

D

Q

R

A

CS

T U

V

M

N

10.01 cm

14.15 cm

Arbeitsanweisung:

DIN-A-5-Blatt kurze Kanten zur Mitte (Tür schließen) zum DIN-A-6-Blatt falten

Mitten B und D bestimmen. Diagonalen der beiden DIN-A-7-Blätter falten (DR) (EB) (QB)(DF).

DQ und RB als Bergfalten nachknicken und das Viereck QFST und UVRE mit diesen Bergfalten nach innen falten.

Blatt öffnen, Ecken innen lassen. EU und SF nachfalten

Das DIN-A-8-Viereck ABCD ist die eigentliche Raute des RD. Stecken Sie 12 solcher Rauten aus drei verschiedenen Farben zusammen

Horst Steibl

6

3,545 cm

3,07 cm

71 °

nach O.Weule 1993

Das Dodekaeder-Männchen (nach O.Weule 1993)

Klebefalze nicht vergessen. Der Kopf muss an eines der vier mit Strich gekennzeich-neten Rauten.

Horst Steibl

7

Das RautenhexaederMan nehme ein bewegliches Kantenmodell eines Würfels und ziehe an zwei Gegenecken. Es entsteht ein Gebilde aus 6 Rauten: ein Rautenhexaeder.

7.09 cm

Ein besonderes Rautenhexaeder kann man auch aus einem Oktaeder erzeugen, dem man auf zwei Gegenflächen je ein Tetraeder aufsetzt. Baue es aus den Laschen-Taschen-Modulen!

Wie lang sind die Kantenlängen des RH im Einheitswürfel? Wie groß sind die Winkel?

Wie lang sind die Diagonalen?