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Daten und Zufall
Elke Warmuth
Humboldt-Universitat Berlin
WS 2008/09
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ZieleBerliner Rahmenlehrplan
Unterrichtsbeispiele
1 Ziele
2 Berliner RahmenlehrplanGrundschuleSek. ISek. II
3 UnterrichtsbeispieleGrundschuleSekundarstufe ISekundarstufe II
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ZieleBerliner Rahmenlehrplan
Unterrichtsbeispiele
Ziel: Daten sammeln, bearbeiten, darstellen, interpretieren, kritischreflektieren
Daten in unserer Umwelt
Zeitung, Zeitschriften
Fernsehen, Internet
eigene Beobachtungen
Spiele
Simulationen
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ZieleBerliner Rahmenlehrplan
Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSek. ISek. II
Klasse 1/2
Anforderungen Inhalte
Daten erfassen, aufbereiten unddarstellen
Tabelle, Strichliste
aus Bildern, Schaubildern undDiagrammen Informationenentnehmen und Aussagen dazutreffen
Streifendiagramme(Rechenkastchen ausmalen)
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSek. ISek. II
Klasse 3/4
Anforderungen Inhalte
Methoden zur Datenerfassungauswahlen
Befragungen in der Schule,Beobachtungen, Recherchen inverschiedensten Medien
Daten erfassen, aufbereiten unddarstellen
Schaubilder, Strecken- undStreifendiagramme
verschiedene Darstellungen,auch des gleichen Inhalts,miteinander vergleichen
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSek. ISek. II
Klasse 5/6
Anforderungen Inhalte
einschatzen, welche Daten zurProblembearbeitung notwendigsind
Erhebung von Daten
Methoden der Datenerfassungund Formen der Datendarstel-lung auswahlen, verwenden undkritisch reflektieren
Formen zur Datenaufbereitung
Daten aufbereiten, darstellen,sachgerecht interpretieren undadressatengerecht prasentieren
arithmetisches Mittel
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSek. ISek. II
Klasse 7/8
Kompetenzen
Planen und Durchfuhren statistischer Datenerhebungen
Erfassen, Darstellen und Bewerten von Daten
Interpretieren von Daten mittels geeigneter Mittelwerte
Darstellen von Daten durch geeignete positive rationale Zahlen
Standards fur Fahigkeiten und Fertigkeiten
X einfacher Standard (Hauptschule und Gesamtschule G/A-Kurse)XX mittlerer Standard (Realschule und Gesamtschule E-Kurse)XXX erweiterter Standard (Gymnasium und Gesamtschule F-Kurse)
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSek. ISek. II
Tatigkeiten
X
stellen selbsterhobene Daten in Urlisten, Strichlisten undHaufigkeitstabellen zusammen und stellen sie mittels Kreis-,Linien- und Balkendiagrammen dar,
bestimmen das Maximum, das Minimum und berechnen dasarithmetische Mittel eines Datensatzes,
bestimmen absolute und relative Haufigkeiten,
interpretieren Ergebnisse von Datenerhebungen, vergleichendiese mit ihren Erwartungen und beurteilen sie,
beschreiben die wiederholte Durchfuhrung einfacherZufallsexperimente mit absoluter und relativer Haufigkeit.
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSek. ISek. II
Tatigkeiten
XX
klassifizieren Daten in Messdaten, mit denen Rechnungendurchgefuhrt werden konnen, in Daten mit qualitativenMerkmalen und in Daten mit speziellen Rangmerkmalen,
bestimmen den Median einer Haufigkeitsverteilung,
ermitteln und beurteilen in Sachsituationen statistischeErgebnisse und begrunden ihre Entscheidungen undKonsequenzen.
XXX
planen statistische Erhebungen und erfassen die Daten,
stellen Daten dar (Balken- und Kreisdiagramme) undbewerten Darstellungen kritisch.
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSek. ISek. II
Ubersicht
X XX XXXDaten erheben Datentypen Erhebungen planen
Urliste, Strichliste, Haufigkeits-tabelle
Kreis-, Linien-, Balkendia-gramm
Darstellung kritischwerten
min,max, x Median
abs./rel. Haufigkeiten
interpretieren entscheiden
abs./rel. H. bei Zufallsexp.
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSek. ISek. II
Klasse 9/10
Kompetenzen
Planen von Erhebungen und Nutzen unterschiedlicherDarstellungsmoglichkeiten von Daten
Kritisches Analysieren graphischer statistischer Darstellungen
Interpretieren von Daten mit geeigneten Streuungsparametern
Situationsangemessenes Darstellen von Zahlen
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSek. ISek. II
Tatigkeiten
X
bilden Klassen von Daten und stellen diese inSaulendiagrammen dar,
ermitteln den Modalwert, den Median und das arithmetischeMittel,
ermitteln die Spannweite,
beurteilen die Aussagekraft der Mittelwerte und derSpannweite.
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSek. ISek. II
Tatigkeiten
XX
berechnen die mittlere lineare Abweichung,
interpretieren zwei Datensatze mit gleichem arithmetischenMittel und unterschiedlicher mittlerer linearer Abweichung,
identifizieren und beurteilen typische Fehler (uberzogeneGenauigkeit, unterschiedliche Bezugsbasis, falschesFestschreiben von Trends, Arbeiten mit vorsortiertenStichproben, falsche Verwendung des Prozentbegriffs) undManipulationen bei Grafiken.
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSek. ISek. II
Tatigkeiten
XXX
bilden kumulierte Haufigkeitsverteilungen und stellen diese inSaulendiagrammen und Polygonzugen dar,
begrunden die Wahl des Mittelwerts,
berechnen Boxplots und nutzen sie zur Interpretation derDatenerhebung.
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSek. ISek. II
Ubersicht
X XX XXXKlassenbildung
kumulierteHaufigkeitsverteilung
Saulendiagramm Polygonzug
Modalwert, Median, x Wahl des Mittel-werts begrunden
Spannweite mittlere lin. Abweichung Boxplot
Kenngroßen beurteilen interpretieren
Fehler und Manipulatio-nen identifizieren undbeurteilen
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSek. ISek. II
Einfuhrungsphase
Im 1. Halbjahr des Fundamentalbereichs Stochastik mit denInhalten Beschreibende Statistik, Laplace-Wahrscheinlichkeit,Baumdiagramme und Pfadregeln.Außerdem im 1. Halbjahr Koordinatengeometrie und Funktionen.
Eingangsvoraussetzungen (BS) zur Qualifikationsphase
planen statistische Erhebungen, nutzen Methoden zurErfassung und Darstellung von Daten (Saulen- undKreisdiagramme) und bewerten Darstellungen kritisch,
bestimmen relative Haufigkeiten, Mittelwerte (arithmetischesMittel, Median, Modalwert) sowie Streumaße (z.B.Spannweite) und interpretieren diese,
nutzen Haufigkeiten zum Schatzen von Wahrscheinlichkeiten.
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSek. ISek. II
Merkmale der Leitidee”Daten und Zufall“
spiraliger Aufbau, in der Grundschule beginnend
starker Bezug zur Lebenswirklichkeit angestrebt,Daten entstammen nicht nur Zufallsexperimenten/Spielen
kritische Auseinandersetzung angestrebt
Verbindung Statistik mit Wahrscheinlichkeitsrechnung leidernur in Ansatzen:
relative Haufigkeit/Wahrscheinlichkeit,Wahrscheinlichkeiten durch Simulation gewinnen
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSekundarstufe ISekundarstufe II
Quelle: Das Zahlenbuch 1, Wittmann/Muller, Klett Verlag, 2004
Muster erkennen, systematisch vorgehen, geduldig sein, sauber arbeiten18 / 53
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSekundarstufe ISekundarstufe II
Quelle: Das Zahlenbuch 1, Wittmann/Muller, Klett Verlag, 2004
Umwelt erschließen, Muster erkennen (Quadranten), Daten erheben und
darstellen19 / 53
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSekundarstufe ISekundarstufe II
Quelle: Das Zahlenbuch 2, Wittmann/Muller, Klett Verlag, 2004
Darstellungen lesen, mit Daten rechnen, zufallige Schwankungen
erkennen; zuordnen, schatzen20 / 53
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSekundarstufe ISekundarstufe II
Quelle: Das Zahlenbuch 4, Wittmann/Muller, Klett Verlag, 2004
Darstellungen lesen, mit Daten rechnen, zufallige Schwankungen
erkennen, Mittelwert verstehen21 / 53
ZieleBerliner Rahmenlehrplan
Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSekundarstufe ISekundarstufe II
Quelle: Das Zahlenbuch 4, Wittmann/Muller, Klett Verlag, 2004
Zufallsexperimente auswerten, mit Daten rechnen, Schwankungen des
Mittelwertes erleben, Abnehmen der Schwankungen mit wachsender
Versuchsanzahl erleben
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSekundarstufe ISekundarstufe II
Wie groß und wie schwer?
Quelle: H. Winter: Erfahrungen zur Stochastik in der Grundschule. In: DdM 1976, Heft 1, S. 22-37
Urliste
Kind Gewicht Große Kind Gewicht Große Kind Gewicht Große
Nr. kg cm Nr. kg cm Nr. kg cm
1 36 145 11 29 138 21 41 151
2 28 140 12 30 143 22 35 143
3 40 146 13 24 131 23 30 139
4 25 134 14 28 137 24 36 144
5 30 138 15 36 147 25 32 139
6 31 146 16 27 130 26 31 140
7 31 133 17 40 139 27 29 139
8 40 144 18 33 147 28 29 144
9 37 152 19 35 147 29 25 141
10 25 128 20 29 135 30 25 133
Fragen stellen!
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSekundarstufe ISekundarstufe II
Z. B. Welches ist das leichteste, schwerste, kleinste, großte Kind?Welches ist das haufigste Gewicht, die haufigste Große?Spannweite, Mittelwerte
Stengel-und-Blatt-Diagramm fur die Große
12 813 4 8 3 8 1 7 0 9 5 9 9 9 314 5 0 6 6 4 3 7 7 7 3 4 0 4 115 2 1
Tendenz zur Mitte, Extreme sind selten
arithmetisches Mittel x = 140, 4 cm ≈ 140 cmDeutung?
Kritik: Musste man nicht zwischen Jungen und Madchenunterscheiden?Das haben wir bei der Datenerhebung nicht beachtet.
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSekundarstufe ISekundarstufe II
Median: leicht aus geordnetem Stengel-und-Blatt-Diagrammablesbar
12 813 0 1 3 3 4 5 7 8 8 9 9 9 914 0 0 1 3 3 4 4 4 5 6 6 7 7 715 2 1
n = 30 : Median x =x(15) + x(16)
2= 140 cm
Deutung: Mindestens die Halfte der Kinder ist kleiner odergleich 140 cm und mindestens die Halfte der Kinder ist großeroder gleich 140 cm.
”mindestens“ kann man nicht weglassen
unteres Quartil = Median der unteren 15 Werte= x(8) = 137 cm
oberes Quartil = Median der oberen 15 Werte= x(23) = 145 cm
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSekundarstufe ISekundarstufe II
Median x = 140 cmunteres Quartil = 137 cmoberes Quartil = 145 cmminimaler Wert = 128 cmmaximaler Wert = 152 cm
mindestens 50% der Werte liegen in der Box
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSekundarstufe ISekundarstufe II
Klasseneinteilung
Information verdichten, Ubersicht gewinnen
Problem Klassenanzahl: nicht zu viele und nicht zu wenigeFaustregeln: 5 lg n, 6 bis 20,
√n und zwischen 5 und 25
eindeutige und vernunftige Klassengrenzen
Klasseneinteilung bietet auch Manipulationsmoglichkeiten
Saulendiagramm mit absoluten oder relativen Haufigkeiten alsSaulenhohenrelative Haufigkeiten zwingend beim Vergleich zweierVerteilungen
spater Histogramme mit relativen Haufigkeiten alsSaulenflachen
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSekundarstufe ISekundarstufe II
Beispiel: n = 30, Spannweite 152− 128 = 24, 25 Werte
Klasse Haufigkeit128 cm bis 132 cm 3133 cm bis 137 cm 5138 cm bis 142 cm 9143 cm bis 147 cm 11148 cm bis 152 cm 2
Klasse Haufigkeit128 cm bis 134cm 6135 cm bis 141 cm 11142 cm bis 148 cm 11149 cm bis 152 cm 2
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSekundarstufe ISekundarstufe II
Graphische Darstellungen
Quelle: Produktive Aufgaben fur den Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I,
Herget/Jahnke/Kroll, Cornelsen, 2000
Darstellungen lesen, kritisch bewerten, herstellen
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSekundarstufe ISekundarstufe II
Quelle: Produktive Aufgaben fur den Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I,
Herget/Jahnke/Kroll, Cornelsen, 2000
Darstellungen lesen, kritisch bewerten, herstellen
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSekundarstufe ISekundarstufe II
Aufgabenbeispiel aus PISA 2000/03
Ein Fernsehreporter zeigte
folgende Graphik und sagte:
”Dieser Graph zeigt, dass
die Zahl der Raububerfalle
von 1998 bis 1999 stark zu-
genommen hat.“ Haltst du
die Aussage des Reporters
fur eine vernunftige Inter-
pretation des Diagramms?
Begrunde deine Antwort.
Darstellungen lesen, kritisch bewerten, herstellen
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSekundarstufe ISekundarstufe II
Richtiger Mittelwert?
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSekundarstufe ISekundarstufe II
Nettovermogen der Haushalte inDeutschland 2003:
arithmetisches Mittel:133 000 Euro(Ost 60 000/West 149 000)
Median: 50 000 Euro
Die armsten 50% besitzen3,8% des Vermogens
die reichsten 10% besitzen46,8% des Vermogens
Quelle: 2. Armuts- und Reichtumsbericht der Bundes-
regierung 2005
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSekundarstufe ISekundarstufe II
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSekundarstufe ISekundarstufe II
Nettoaquivalenzeinkommen ist Haushaltsnettoeinkommengeteilt durch Summe der Bedarfsgewichte, ergibt aquivalentenBetrag eines 1-Personen-Haushaltes.
Gini-Koeffizient beschreibt in einer Skala von 0 bis 1 dieAbweichung von der Gleichverteilung.
Die unteren 50% haben 28,7% des gesamtenNettoaquivalenzeinkommens.
Die oberen 10% haben 24,9% des gesamtenNettoaquivalenzeinkommens
Die Unterschiede nehmen zu.
Quelle: 3. Armuts- und Reichtumsbericht der Bundesregierung 2008
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSekundarstufe ISekundarstufe II
Lehrbuchbeispiele aus Klasse 11, Elemente der Mathematik,Ausgabe Berlin, Schroedel, 2005
1. Kritische Analyse von Graphiken
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSekundarstufe ISekundarstufe II
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSekundarstufe ISekundarstufe II
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSekundarstufe ISekundarstufe II
2. Kritische Analyse von Sprache
Median: 1750 Euro arithmetisches Mittel: ?
Informationen suchen
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GrundschuleSekundarstufe ISekundarstufe II
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSekundarstufe ISekundarstufe II
5250 Euro als Mitte der letzten Klasse
stark unterschiedliche Klassenbreiten ⇒ Histogramm
rel. Haufigkeit = Breite * HoheKlasse Kl.mitte Kl.breite rel. H. Kl.hohe
[0; 500) 250 500 0,03 6, 0 · 10−5
[500; 900) 700 400 0,12 3 · 10−4
[900; 1500) 1200 600 0,26 4, 3 · 10−4
[1500; 2000) 1750 500 0,18 3, 6 · 10−4
[2000; 2600) 2300 600 0,16 2, 7 · 10−4
[2600; 3200) 2900 600 0,10 1, 7 · 10−4
[3200; 4500) 3850 1300 0,10 7, 7 · 10−5
[4500; 6000) 5250 1500 0,06 4, 0 · 10−5
x = 2077 Euro > Median = 1750 Euro
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSekundarstufe ISekundarstufe II
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSekundarstufe ISekundarstufe II
Kritische Analyse von Motivation
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSekundarstufe ISekundarstufe II
Beispiel Aktienrendite – Beitrag zur Aufklarung
F.A.S. 01.07.2007: 3000 Teilnehmer der Leseraktionunterschatzen das Risiko von Aktienfonds und uberschatzendie Renditen
Schlusskurse der Adidas-Aktie zwischen 01.07.2008 und27.10.2008
Daten im Excel-fahigen Format unterhttp://de.finance.yahoo.com
Tagesrendite = (Kurs heute - Kurs gestern)/Kurs gestern
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Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSekundarstufe ISekundarstufe II
85 Borsentage
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ZieleBerliner Rahmenlehrplan
Unterrichtsbeispiele
GrundschuleSekundarstufe ISekundarstufe II
Renditen nach Klasseneinteilung
85 Renditen in 9 Klassen, in Prozent x = −0, 5, s = 3, 4
k · s-Bereiche: gute Deutung von s bei annahernd glockenformigerVerteilung und vielen Beobachtungen
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Ausgewahlte Probleme
4 Ausgewahlte ProblemeLageparameter einer HaufigkeitsverteilungStreuungsparameter einer HaufigkeitsverteilungBeobachtungsebene und Modellebene
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Ausgewahlte ProblemeLageparameter einer HaufigkeitsverteilungStreuungsparameter einer HaufigkeitsverteilungBeobachtungsebene und Modellebene
Kenngroßen der Lage einer Haufigkeitsverteilung
arithmetisches Mittel, haufig auch einfach Mittelwert genannt
gleichmaßige Aufteilung der Gesamtmesssung auf dieMesspunktemarkiert Schwerpunkt der Verteilungempfindlich gegen Außreißerbei asymmetrischer Verteilung stark verschieden vom Median
Median, auch Zentralwert genannt
mindestens die Halfte der Messwerte ist kleiner oder gleichdem Median, mindestens die Halfte ist großer oder gleich demMedianmarkiert Mitte der Verteilungunempfindlich gegen Außreißerbei symmetrischer Verteilung nahe dem arithmetischen Mittel
Am besten beide Werte angeben.
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Ausgewahlte ProblemeLageparameter einer HaufigkeitsverteilungStreuungsparameter einer HaufigkeitsverteilungBeobachtungsebene und Modellebene
Streuungsmaße beschreiben Breite der Verteilung
Absolut:
Spannweite: großter - kleinster BeobachtungswertBoxplot: mindestens mittlere 50%
Streuung um einen Lageparameter ⇒ Parchen:
Lage- Streuungs- Kriteriumparameter parameter
arithm. empirischeMittel Streuung 1
n
n∑k=1
(xk − c)2 → min
Median mittl. lineareAbweichung 1
n
n∑k=1
|xk − c | → min
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Ausgewahlte ProblemeLageparameter einer HaufigkeitsverteilungStreuungsparameter einer HaufigkeitsverteilungBeobachtungsebene und Modellebene
Division durch n − 1 oder durch n?
x1, x2, . . . xn Beobachtungswerte
Maß fur das Streuen dieser Werte?
(xi − xj)2, n2 Paare, mittlerer quadratischer Abstand:
1
n2
n∑i ,j=1
(xi − xj)2
Umformung:
n∑i ,j
(xi − xj)2 =
n∑i ,j
(xi − x + (x − xj))2
=n∑i ,j
(xi − x)2 +n∑i ,j
(xj − x)2 + 2n∑i ,j
(xi − x)(x − xj)
= 2n∑i ,j
(xi − x)2 = 2nn∑
i=1(xi − x)2
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Ausgewahlte ProblemeLageparameter einer HaufigkeitsverteilungStreuungsparameter einer HaufigkeitsverteilungBeobachtungsebene und Modellebene
Division durch n2:
1
n2
n∑i ,j
(xi − xj)2 =
2
n
n∑i=1
(xi − x)2 = 2 · s2n (∗)
Modifikation: nur”echte“ Differenzen:
n∑i ,j
(xi − xj)2 =
n∑i<j
(xi − xj)2 +
n∑i>j
(xi − xj)2
= 2n∑
i<j(xi − xj)
2 (aus Symmetriegrunden)
n∑i<j
(xi − xj)2 = 1
2
n∑i ,j
(xi − xj)2 = n2 · s2
n
1n2−n
2
n∑i<j
(xi − xj)2 = 2
n−1 · n · s2n = 2 · s2
n−1
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Ausgewahlte ProblemeLageparameter einer HaufigkeitsverteilungStreuungsparameter einer HaufigkeitsverteilungBeobachtungsebene und Modellebene
Die mittleren quadratischen Abstande fuhren auf die Großen
s2n =
1
n
n∑i=1
(xi − x)2
bzw.
s2n−1 =
1
n − 1
n∑i=1
(xi − x)2.
Das sind mittlere quadratische Abweichungen vom Mittelwert x .Bei kleinem n ist das Gewicht jedes Terms (xi − xj)
2 großer als beigroßem n. Bezieht man die Nullterme (xi − xi )
2 gleichberechtigtein, so druckt das den Durchschnitt. Die empirische Streuung s2
n
unterschatzt daher bei kleinen n die Varianz.
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Ausgewahlte ProblemeLageparameter einer HaufigkeitsverteilungStreuungsparameter einer HaufigkeitsverteilungBeobachtungsebene und Modellebene
Begriffspaare
Beobachtungsebene Modellebene
relative Haufigkeit einesErgebnisses hn(ω)
Wahrscheinlichkeit einesErgebnisses P(ω)
relative Haufigkeit einesEreignisses hn(A)
Wahrscheinlichkeit einesEreignisses P(A)
arithmetisches Mittel vonMessdaten x
Erwartungswert einer Zu-fallsgroße E (X )
empirische Streuung vonMessdaten s2
n oder s2n−1
Varianz einer Zufalls-große Var(X )
⇒ . . . liefert einen Schatzwert fur ...
⇐ . . . trifft eine Vorhersage fur ...
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