manuscripta math. 39, 39- 47 (1982) manuscripta mathema ti ca �9 Springer-Verlag 1982

DEFORMATIONEN VON KEIMEN

EIGENTLICHER, HOLOMORPHER ABBILDUNGEN

Georg Schumacher

Let f:X --> Z be a proper holomorphic mapping of complex spaces and zA6Z a distinguished point. We denote by (X/Z)

I the germ of X along the subspace f- (z) over the germ Zo of Z at z . A necessary condition for u the existence of a versal ~eformation of (X/Z)_ is the finiteness of the dimension of the first tangen~e cohomology i.e. the space of infinitesimal deformations. Examples of this type are germs of modifications and germs of proper flat mappings. We show the existence of a versal deformation in the latter case under the above assuption.

Es sei f:X > Z eine eigentliche, holomorphe Abbildung

komplexer R~ume und Zo6Z ein ausgezeichneter Punkt. Mit

(X/Z)zo bezeichnen wir den Keim yon X l~ngs f-1(Zo) aufge-

faBt als Raum(keim) Hber dem Keim von Z in z . Wit wollen O

Deformationen von (X/Z) betrachten. Dies ist sinnvoll unter Z

der notwendigen Vorausse~zung, dab die Isomorphieklassen

infinitesimaler Deformationen einen endlich dimensionalen

~-Vektorraum bilden. Falls alle infinitesimalen Deformatio-

nen trivial sind, folgt allgemein die Starrheit yon (X/Z) Z

Wichtige Beispiele sind Deformationen eigentlicher Modifi -~

kationen und Deformationen von Keimen eigentlicher, flacher

holomorpher Abbildungen. In dieser Note soll fHr den letzteren

Fall die Existenz einer versellen Deformation gezeigt werden.

(I) Es sei f:X --> Z eine eigentliche, holomorphe Abbildungt

Zo6Z ein Punkt. Eine Deformation yon (X/Z) z ~ber einem

analytischen Raumkeim S besteht aus einem o kartesischen

Diagramm

OO25-2611/82/OO39/O039/$O1.80

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2 SCHUMACHER

X > X'

I Z ~ ZxS

wo die vertikalen Pfeile als Keime eigentlicher holomorpher

Abbildungen l~ngs der ausgezeichneten Fasern zu lesen sind

und die Komposition der Abbildung f' mit der kanonischen

Projektion ZxS --~ S flach ist. Ein Morphismus zwischen zwei

Deformationen besteht aus einem kommutativen Diagramm,

dessen Quadrate kartesisch sind:

ZxS > ZxR

S > R

Dabei seien ZxS --~ S und ZxR --> R die kanonischen Projekti-

onen.

(2) Bemerkun@: Die Isomorphieklassen von Deformationen yon

(X/Z) z Hber dem Doppelpunkt entsprechen den Elementen des

Halms o T1rel(X/Z)z (Zur Definition der relativen Tangen-

tialkbhomologie vgl~ [3]). Dies ist genau dann ein endlich

dimensionaler ~-Vektorraum, wenn z ~ isoliert im Tr~ger von

T I (X/Z) liegt. Ist f zus~tzlich flach, so ist der Halm in rel

einem Punkte z genau dann null, wenn fHr die zugeh~rige Fa-

ser X z von f gilt TI(Xz)=O.

Die letzte Behauptung folgt direkt aus [3,(3.1),Kor.1 fHr

Komplexe] . Es ist also bei flachen Abbildungen T I (X/Z) rel z

genau dann endlich dimensional, wenn in einer Umgebung yon ~

z ~ alle vonder ausgezeichneten Faser verschiedenen Fasern

starr sind.

(3) Satz: Es sei f:X --~ Z eine eigentliche, holomorphe Ab-

b i l d u n g u n d z 6 Z . E s i s t ( X / Z g e n a u d a n n s t a r r , w e n n o z

T I (X/Z) =0 gilt. o rel z

o

Der Beweis verl~uft etwa wie zm Fall kompakter komplexer

R~ume ([12]). Man benutzt wie in Abschnitt 9 dann den Satz

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SCHUMACHER 3

yon Schuster Hber die Vollst~ndigkeit formal vollst~ndiger

Deformationen ([13, Satz (4.2)]) in der Form in welcher die

relative Version des entsprechenden Satzes von M. Artin [I,

1.3 zusammen mit 1.5(ii)] benutzt wird (vgl. [4]).

Wir kommen zum Hauptergebnis.

(4) Satz: Es sei f:X --~ Z eine flache, eigentliche, holo-

morphe A b b i l d u n g , Zo6Z und d i m ~ T ~ e l ( X / Z ) z < c o . Dann b e s i t z t o

(X/Z) eine verselle Deformation. z o

Im Beweis des Satzes kommt es darauf an, den Keim von Z in

z durch eine genHgend "groBe" infinitesimale Umgebung zu o

ersetzen. Zun~chst k~nnen wir ohne Einschr~nkung annehmen,

dab Z Steinsch und supp(T 1 (X/Z)) = {Zo] ist tel

(5) Proposition: In der Situation von (4) gibt es eine in-

finitesimale Umgebung Z a von z ~ in Z, so dab mit Xa=X• a

der kanonische Homomorphismus

TI(x/z) --~ T] (Xa/Za)

ein Isomorphismus ist. (Dies gilt dann entsprechend fur

alle komplexen Unterr~ume von Z, die Z a umfassen.

Beweis: Es ist TI(x/z) = Ext10x(f;L~/z,Ox) zo, wenn i~/Z

den Kotangentenkomplex von X/Z nach Flenner([6]) bezeichnet.

Da der Halm der relativen Ext-Garbe artinsch ist, gibt es

eine Zahl k6~ , so dab dieser ein .... k+1 )-Modul ist. ~Uz/mZ,zo Nach dem Satz Hber Basiswechsel bei relativen Ext-Garben

([3]) ist dann EXt~x(f;Ix/z'Ox) zo = EXt~x(iX/Z ~0x0Xa'0Xa)

= T1(Xa/Za ) .

(6) Die Deformationen von (X/Z) z tragen eine Obstruktions-

theorie, die wir hier nur fHr o artinsche Basisr~ume an-

geben~ (vgi.[6,11]). Sei a eine Deformation von (X/Z) ~ber z

dem artinschen Raum S, ferner M ein endlicher ~-Vekto~raum

aufgefaBt als 0s-MOdul. Dann gibt es einen Morphismus

ca(M): ExI(S'M) > T2rel(X/Z)z | o

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4 SCHUMACHER

funktoriell in M, derart dab das Bild der ~quivalenzklasse

einer (kleinen) Erweiterung S' von S durch M genau dann

gleich null ist, wenn sich die Deformation ~ auf S' fort-

setzen l~Bt.

(7) Proposition: In der Situation yon (3) gibt eseine in-

finitesimale Umgebung Z b von z O in Z, so dab mit Xb=XXzZ b

sich jede Deformation von Xb/Z b Hber einem artinschen Raum

bis auf Isomorphie eindeutig zu einer Deformation von (X/Z) z

fortsetzen l~Bt. o

Wir fHhren den Beweis durch Induktion Hber dim(Z).

(8) Lemma: Es gibt einen Unterraum(keim) ~cZ mit dim(g)=

dim(Z)-1, so dab jede Deformation von (~/~) Hber einem z

artinschen Raum bis auf Isomorphie eindeutig~ e• Defor-

mation yon (X/Z) z fortgesetzt werden kann, wobei ~=XXz~. o

Beweis: Wir wenden das Glattheitskriterium fur Morphismen

gefaserter, homogener Gruppoide aus [2] an auf die Zuordnung

~, die einer Deformation von (X/Z) z die induzierte Defor-

mation von (~/~)z zuordnet. Die o Abbildung ~ ist mit

den Obstruktionst~eorien vertr~glich: Ist

: T 2 (X/Z) -~ T2 (~/~)z = T~el(X/Z)zo | 0~, z rel z ~ tel o Z , z o o

die kanonische Abbildung und ~(M)= ~e~idM, so kommutiert

folgendes Diagramm:

c (M) Ex I (S ,M) a >

c (~)(M)~~ ~rel (X/Z) z |

o

~ (M)

T2rel (~/~) z | . o

Die Abbiidung c (M) wird gegeben durch einen Morphismus mit

Werten in T2rel(X/Z) (U)| , w| U eine gegeignete Steinsche

Umgebung von z ist. Wegen der Starrheit der Nachbarfasern o

ist stets die induzierte Abbildung ExI(s,M) --~ T~eI(M/Z)z|

-=T 2 (X/Z)z der gr~Bte Unter- fur z~z ~ gleich null. Sei FcG. rel

} . Wir kSnnen d~e Obstruktionstheorie modul mit supp(F)={mZ~Zo

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SCHUMACHER 5

der Deformationen von (X/Z) durch eine solche mit Werten z

in F| e r s e t z e n und ~(M) d u t c h s e i n e E i n s c h r N n k u n g d a r a u f .

Es gen~gt ~ so zu w~hlen, da~

(a) die Aussage von (5) erfHllt istr d.h. ZDZ a (b) ~IF:F ---~ G| 0~ injektiv ist.

u_ ~tz Lrz o

Wir konstruieren ~ m i t H i l f e d e s a ~ t i v e n Lemmas a u s [9] a l s

= (V(h),0z/h-0z), wo h 6 Ak(0Z,Zo )= 0Z,Zo p6IsoI(0z, z )

o ein aktives Element ist. (Da dim(Z)~1 , ist das maximale

Ideal von 0 z nicht isoliert~ Nach Wahl von Fist ~z O

Ass(G/F) = Ass(G)~ [mZ,Zo } . Wir nehmen ein

~s m z " ([ J p U [, J q ) 'Zo ps z ) q6Ass(G/F)

o

Dann ist dim(~)=dim(Z)-1 und die Translationsabbbildung

s --~ G/F ist injektiv. Um (a) auBerdem zu erreichenr

ersetzt man ~ durch eine Potenz h=~ r , die in 0 z gleich .a , ,

null ist (0 z wie in (5)) und den Modul F glelchzeltlg

annulliert, a Dann ist ~IF:F > G/h.G injektiv.

(9) Beweis von (4): Ohne Einschr~nkung k~nnen wir annehmen,

dab die Situation von (7) vorliegt. Da X b und Z b kompakt

sind, gibt es nach [6] eine verselle Deformation von Xb/Zb,

etwa

Xb > Yb

Z b > ZbXS.

Sei weiter nach ([5,7,8,10]) eine verselle Deformation der

ausgezeichneten Faser gegeben:

X >W o

O yR.

AIsD gibt es ein kartesisches Diagramm

Xo----~X b I ~ X ~ W

O > Z b > Z ---~ R

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6 SCHUMACHER

Nach [5,V/]I , Prop.l] gibt es einen Morphismus hb:ZbXS --> R,

der eine Vervollst~ndigung des Diagramms gestattet:

Y

z : ~ R . D

Nach (7) gibt es eine bis auf Isomorphie eindeutig bestimm-

te Ausdehnung der formalen Deformation

Z b > ZbXS

von Xb/Z b zu einer formalen Deformation von X/Z. Durch ite-

rierte Anwendung von [5] gewinnt man einen Morphismus

h:ZxS-~ R und ein kartesisches Diagramm

X ) Yf

W

4, Z b > ZbXS ~ ZbXS ~ R

Der Morphismus h werde nach [1, I .3, 1.5(ii)] von mindestens

erster Ordnung durch einen Morphismus h 1:zxS -~ R angen~hert

d.h. ist S I die erste infinitesimale Umgebung von s o in S,

so ist h I IZxS I = hWZxS I. Durch h I wird eine Deformation

x ~

Z > ZxS

von X/Z induziert(nach Verkleinerung von Z), da insbesondere

h I IZxO = hlZxO ist. Wir betrachten die Einschrankung auf

ZbXS: N

ZbXS ~ ZxS.

Wegen der Versalit~t von Yb --> ZbXS gibt es ein kartesisches

Diagramm

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SCHUMACHER 7

ZbXS idx~> Zb• ~ R

S ~ > S

Andererseits hat man das kartesische Diagramm:

W

I Izbxs $ Z b xs > R

Es folgt hl IZbXS1 = hlZbXS I = hblZb• . Damit ist die Ab-

leitung von ~ im Punkte s o gleich der Identit~t. Man ver-

kleinert S und betrachtet das kartesische Diagramm:

X--~ Y ~ ~-- >W

Z --> ZxS - ZxS ~ R

Durch Einschr~nkung auf den Unterraum ZbxS erh~it man daraus

~b --~ ~b u ~ ~ W

idx~ 0-I ~b hl 'ZbxS Zb--> ZbxS ZbxS > R

d.h. es setzt

X > Y

Z ~ ZxS

die verselle Deformation

b Z b ~ Zb•

fort. Es ist ~ wegen der Effektivit~t yon [b und der Isomor-

phie von TI(x/z) und TI(Xb/Z b) effektiv. Wir zeigen die Voll-

st~ndigkeit: Es sei durch

X ---~ V

Z > ZxQ

eine Deformation von (X/Z) z gegeben; die Einschr~nkung auf

ZbXQ wird durch ~b induzier~, d.h. man hat ein kartesisches

Diagramm:

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8 SCHUMACHER

X >V

Xb ~, - b > b

i,z0 �9 1 ~

> Zb•

Q >

Der Morphismus Q > S induziert eine Deformation

x ~

I I Z ~ ZxQ

yon (X/Z) . Auf grund von (7) sind V und ~ Hber Q formal z

isomorph. ~us [13,(4.2)] zusammen mit [1,1.3 und 1.5(ii)]

folgt die Existenz eines konvergenten Isomorphismus.

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Georg Schumacher Mathematisches Institut der Universit~t Einsteinstr.64 D44OO M~nster

(Eingegangen am 20. April 1982)

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