Graph-Algorithmen

Minimum Spanning Tree: MST

Gegeben eine Menge von Spezies V (Knoten) und evolutionäre Distanzen w(v,u) (Kantengewichte) für jedes Paar v, u von Spezies.

1.51.0

0.75

0.752.0

2.5

Eine Kante e zwischen zwei Spezies u,v erhält als Gewicht

e.weight = w(v,u)

Man bestimme den „minimalen aufspannenden Baum“ des Graphen.

Graph-Algorithmen

Definition [15]:

Gegeben eine Menge von Spezies V (Knoten) und evolutionäre Distanzen w(v,u) (Kantengewichte) für jedes Paar v, u von Spezies. Eine Kante e zwischen zwei

Spezies u,v erhält als Gewicht e.weight = w(v,u)

Man bestimme den „minimalen aufspannenden Baum“ des Graphen.

Sei G = (V,E) ein (ungerichteter) Graph, wobei jede Kante (u,v) von Eein Gewicht w(u,v) zugeordnet wird.

Eine azyklischer Teilgraph T von G, der alle Knoten V von G verbindet, heißt ein aufspannender Baum.

Ein aufspannender Baum T von G mit minimalem Gewichtheißt ein minimaler aufspannender Baum von G(Minimum Spanning Tree).

Das Gewicht von T ist die Summe der Kantengewichte.

Tvu

vuwTw),(

),()(

1.51.0

0.75

0.752.0

2.5

Graph-Algorithmen

Die Greedy-Strategie wählt die Kante, die in diesem Moment die (scheinbar) beste Wahl darstellt.

In jedem Schritt des Algorithmus hat man die Wahl zwischen mehreren Kanten.

Die Algorithmen zur Berechnung eines MST verwenden die sogenannte Greedy-Strategie (Greedy Approach) (greedy = gierig, gefräßig, habgierig).

In vielen Anwendungen liefern Greedy-Strategien nur suboptimale Resultateund nicht die (globale) optimale Lösung.

Es existieren jedoch Greedy-Algorithmen, die die optimale Lösung des MST-Problem berechnen.

MST-Problem:

Gegeben ein ungerichteter Graph G = (V,E) und eine Gewichtsfunktion w

Ew :

Man berechne einen minimalen aufspannenden Baum (MST) von G.

Wir werden zunächst einen generischen Algorithmus diskutieren, der diefolgende Iterations-Invariante aufrechterhält:Wir berechnen eine Kantenmenge A für die gilt: Vor und nach jeder Iteration ist A eine Teilmenge der Kanten eines MST.

Graph-Algorithmen

Wir nennen eine solche Kante eine sichere Kante.

In jedem Schritt fügen wir eine Kante (u,v) zu A hinzu, so dass A {(u,v)} auch diese Invariante erfüllt, d.h., eine Teilmenge der Kanten eines MSTs ist.

Generic-MST(G,w):

Initialisierung: Für die leere Menge ist die Invariante erfüllt.

Solange-Schleife (while): Es werden nur sichere Kanten hinzugefügt.

Programmende: Alle Kanten gehören zu einem MST und alle Kanten zusammen bilden einen aufspannenden Baum => MST berechnet!

Wie findet man sichere Kanten?

(1) A = (2) Solange die Kanten in A keinen aufspannenden Baum bilden:(3) Suche eine sichere Kante (u,v) für A.(4) A = A {(u,v)} .(5) Gib A aus (return A;).

Graph-Algorithmen

Definition [16]:

Ein Cut (S, V-S) eines ungerichteten Graphen G=(V,E) ist eine Partition von Vin zwei disjunkte Teilmengen S und V-S.

Eine Kante (u,v) kreuzt den Cut (S,V-S), wenn ein Endpunkt in S und der andere in V-S ist.

Ein Cut (S, V-S) respektiert eine Kantenmenge A, wenn keine Kante aus Aden Cut kreuzt.

Eine leichte Kante eines Cuts ist eine Kante, die den Cut kreuzt und minimalesGewicht besitzt.

a

b c d

i e

h g f

4

8

11

8 79

10

14

21

7 6

24a

b d

e

Graph-Algorithmen

Satz [11]:

Der folgende Satz liefert eine Regel zur Identifizierung von sicheren Kanten.

Sei G=(V,E) ein zusammenhängender, ungerichteter Graph G=(V,E) mit Gewichts-funktion w: E->R. Sei A eine Kantenmenge, die Teilmenge eines minimalen auf-spannenden Baumes von G ist. Sei (S, V-S) ein Cut der A respektiert und sei (u,v)eine leichte Kante, die (S,V-S) kreuzt. Dann ist (u,v) eine sichere Kante für A.

Beweis: Sei T ein MST, der A enthält. Wir nehmen an, dass T nicht (u,v) enthält.Wir zeigen nun, dass es einen MST T‘ gibt, der sowohl A als auch (u,v) enthält.

u x

yv

Wir betrachten den Pfad von u nach v im MST T.

Auf diesem Pfad muss es mindestens eine Kante (x,y)geben, die den Cut (S, V-S) kreuzt.

Die Kante ist nicht in A, da A den Cut respektiert.

Entfernt man (x,y) aus dem MST T, so zerfällt dieserin zwei Teilbäume.

Addiert man die Kante (u,v), so erhält man einen neuen aufspannenden Baum T‘:

)},{()},{(' vuyxTT

Graph-Algorithmen

Wir zeigen nun, dass T‘ ein MST ist:

Da (u,v) eine leichte Kante des Cuts (S,V-S) ist und (x,y) auch den Cut kreuzt, gilt:

w((u,v)) w((x,y))

Hieraus folgt:

w(T‘) = w(T) – w((x,y)) + w((u,v))

w(T‘) w(T)

Da T ein MST ist, muss folglich auch T‘ ein MST sein.

Es bleibt zu zeigen, dass (u,v) eine sichere Kante für A ist.

Da A T, ist A T‘. Also ist auch A {(u,v)} T‘.

Da T‘ ein MST von G ist, ist folglich (u,v) eine sichere Kante für A.

Graph-Algorithmen

Kruskals Algorithmus zur Berechnung eines MST:

Der Algorithmus verwaltet eine Menge von Bäumen, die durch Hinzunahme weiterer sicherer Kanten solange ausgebaut werden, bis ein einziger minimaleraufspannender Baum berechnet wurde. Die Knoten eines jeden Teilbaums bilden

eine Menge.

Werden zwei Teilbäume durch Hinzufügen einer (sicheren) Kante miteinander ver-bunden, so werden die entsprechenden Mengen miteinander zu einer neuen Menge(einem neuen Baum) verschmolzen und die Kante wird in A aufgenommen.

Die Kantenmenge wird vor Ausführung der eigentlichen Iteration nach aufsteigen-dem Kantengewicht sortiert. Die Kanten werden in dieser Reihenfolge abgearbeitet, beginnend mit der Kante mit kleinstem Gewicht.

Verbindet die aktuelle Kante zwei Knoten des gleichen Teilbaums (der gleichenMenge), so wird die Kante nicht zu A hinzugefügt.

Zu Beginn des Algorithmus ist jeder Knoten ein Baum (eine Menge).

a

b c d

i e

h g f

4

8

11

8 79

10

14

21

7 6

24

a

c

h h

h

hh

h

h

h

h

Graph-Algorithmen

MST-KRUSKAL(G,w):

(1) A = (2) Für jeden Knoten vV:

(5) Falls Menge(u) Menge(v):

(3) Sortiere alle Kanten von E in aufsteigender Reihenfolge bezüglich der Gewichte.

(4) Für jede Kante (u,v) E (in aufsteigender Reihenfolge):

(6) A = A {(u,v)}

Bilde_Menge(v)

a

b c d

i e

h g f

4

8

11

8 79

10

14

21

7 6

24

a

c

h h

h

hh

h

h

h

h

(7) Vereinige Menge(u) mit Menge(v)

(8) Gib A zurück.

Graph-Algorithmen

Korrektheit: Berechnet MST-KRUSKAL wirklich einen MST von G?

(1) A = (2) Für jeden Knoten vV:

(5) Falls Menge(u) Menge(v):

(3) Sortiere alle Kanten von E in aufsteigender Reihenfolge bezüglich der Gewichte.

(4) Für jede Kante (u,v) E (in aufsteigender Reihenfolge):

(6) A = A {(u,v)}

Bilde_Menge(v)

(7) Vereinige Menge(u) mit Menge(v)

(8) Gib A zurück.

Satz [11]:

Sei G=(V,E) ein zusammenhängender, ungerichteter Graph G=(V,E) mit Gewichts-funktion w: E->R. Sei A eine Kantenmenge, die Teilmenge eines minimalen auf-spannenden Baumes von G ist. Sei (S, V-S) ein Cut der A respektiert und sei (u,v)eine leichte Kante, die (S,V-S) kreuzt. Dann ist (u,v) eine sichere Kante für A.Da der Cut (Menge(u), V - Menge(u)) A respektiert und (u,v) eine leichte Kante ist,die (Menge(u), V - Menge(u)) kreuzt (falls Menge(u) Menge(v)) , ist (u,v) eine sichere Kante für A.

Graph-Algorithmen

Laufzeit MST-KRUSKAL

(1) A = (2) Für jeden Knoten vV:

(5) Falls Menge(u) Menge(v):

(3) Sortiere alle Kanten von E ....

(4) Für jede Kante (u,v) E (in aufsteigender Reihenfolge):

(6) A = A {(u,v)}

Bilde_Menge(v)

(7) Vereinige Menge(u) mit Menge(v)

(8) Gib A zurück.

O(1)

O(n)

O(m log(m))

O(m)

O(m*Gleichheitstest)

O((n-1)*1)

O((n-1) *Vereinige)

O(1)

Als Laufzeit für einen Graphen mit n Knoten und m Kanten erhält man folglich:

O( m log(m) + m * Gleichheitstest + n * Vereinige)

Mittels effizienter Datenstrukturen für die Mengenoperationen, die wir späterkennen lernen werden, kann man die Gleichheitstests und die Vereinige-Operationen in Zeit O((n)) O(log(n)) durchführen. Hieraus folgt:

O( m log(m) + n log(n))

Graph-Algorithmen

Da log(m) log(n2) = 2 log(n) O(log(n)) ist, folgt weiter

Da der Graph nur dann einen aufspannenden Baum besitzt, wenn die Zahl derKanten m größer gleich n-1 ist, können wir die obige Laufzeit noch vereinfachen:

O( m log n + n log n)

O( m log n)

Satz [12]:

Der Algorithmus von Kruskal zur Berechnung des MSTs eines Graphen G=(V,E)mit n Knoten und m n Kanten hat Laufzeit O(m log n).

Graph-Algorithmen

Prim‘s Algorithmus zur Berechnung eines MST:

Bei Prim‘s Algorithmus bilden die Kanten in der Menge A immer einen Baum.Zu diesem Baum werden solange sichere Kanten hinzugefügt, bis man einen(minimalen) aufspannenden Baum hat.

Um die sicheren Kanten zu finden, wenden wir wiederum Satz [11] an:

Satz [11]:

Sei G=(V,E) ein zusammenhängender, ungerichteter Graph G=(V,E) mit Gewichts-funktion w: E->R. Sei A eine Kantenmenge, die Teilmenge eines minimalen auf-spannenden Baumes von G ist. Sei (S, V-S) ein Cut der A respektiert und sei (u,v)eine leichte Kante, die (S,V-S) kreuzt. Dann ist (u,v) eine sichere Kante für A.

Als Cut wählt Prim‘s Algorithmus (Q, V – Q), wobei Q die Menge der Knoten in der Kantenmenge A (im Baum A) sind.

Eine sichere Kante (u,v) ist daher eine Kante mit minimalen Gewicht, die einenKnoten u von Q mit einem Knoten v von V-Q verbindet.

Wir benötigen daher eine effiziente Datenstruktur zur Bestimmung des KnotensvV-Q, der den minimalen Abstand (Kante mit minimalem Gewicht) zu einem Knoten u Q besitzt.

Graph-Algorithmen

Prim‘s Algorithmus zur Berechnung eines MST:

Für jeden Knoten v = V[i], der noch nicht zu dem Baum A gehört, speichert dieVariable

V[i].weight

das Gewicht der Kante, die v mit dem aktuellen Baum A verbindet und minimales Gewicht besitzt.

Ist noch keine solche Kante bekannt, so setzt man V[i].weight = INFINITY;

Ist (u,v) die Kante mit minimalem Gewicht und ist u der j-te Knoten V[j] undv der i-te Knoten V[i], so merkt man sich die minimale Kante zu v wie folgt:

V[i].parent = j;

Ist noch keine Kante bekannt, so setzt man V[i].parent = -1.

Der Algorithmus MST_PRIM hat neben dem Graphen und der Gewichts-funktion als dritten Parameter die Nummer r eines Knoten. Von diesem Knoten aus soll der MST aufgebaut werden.

Graph-Algorithmen

MST_PRIM(G,w,r):

(1) Für jeden Knoten v V: V[i].weight = INFINITY und V[i].parent = -1

(2) V[r].weight = 0 und V[r].parent = -1

(3) Füge alle Knoten v V in eine Liste L (Min-Heap) ein

(4) Solange L nicht leer ist:

(5) Bestimme den Knoten i mit minimalem V[i].weight und entferne ihn aus L

(8) Falls (j L) und (w(V[i],V[j]) < V[j].weight),

(9) setze V[j].parent = i und V[j].weight = w(V[i],V[j])

(6) Falls V[i].parent -1 , addiere (V[i].parent, V[i]) zur Kantenmenge A

(7) Für jeden Nachbarknoten j von i:

|-1

|-1 |-1 |-1

|-1 |-1

|-1 |-1 |-1

4

8

11

8 79

10

14

21

7 6

24

1

2 3 4

5

678

9

0|-1

4|1

8|1

4|1 8|2

8|1

7|8

1|81|8

7|3

2|3 9|4

2|7

4|6

Graph-Algorithmen

MST_PRIM(G,w,r):

(1) Für jeden Knoten v V: V[i].weight = INFINITY und V[i].parent = -1

(2) V[r].weight = 0 und V[r].parent = -1

(3) Füge alle Knoten v V in eine Liste L (Min Heap) ein

(4) Solange L nicht leer ist:

(5) Bestimme den Knoten i mit minimalem V[i].weight ...

(8) Falls (j L) und (w(V[i],V[j]) < V[j].weight),

(9) setze V[j].parent = i und V[j].weight = w(V[i],V[j])

(6) Falls V[i].parent -1 , addiere (V[i].parent, V[i]) zur Kantenmenge A

(7) Für jeden Nachbarknoten j von i:

O(n)

O(1)

O(n * Einfügen)

O(n)O(n * Minimum)

O(n*1)O(m)

O(m * Element?)

O(m * 1)

Als Gesamtlaufzeit erhält man also:

O(n * Zeit_für_Einfügen + n * Zeit_für_Minimumsbestimmung + + m * Zeit_für _Elementtest)

Verwendet man als Datenstruktur einen Min-Heap, so erhält man als Laufzeit:

O(n log(n) + m log(n)) = O( m log(n))

Graph-Algorithmen

Satz [12]:

Der Algorithmus MST_PRIM berechnet den MST eines Graphen G=(V,E) mitn Knoten und m Kanten (falls man einen Min-Heap) verwendet in Zeit O(m log(n)). Verwendet man als Datenstruktur einen sogenannten Fibonacci-Heap, so istdie amortisierte Laufzeit O(m + n log(n)).

Bemerkung: Fibonacci-Heaps erlauben die Minimumsberechnung in einer n-elementigen Menge in amortisierter Zeit O(log(n)). Die anderen Operationenim Algorithmus MST_PRIM können in amortisierter Zeit O(1) durchgeführtwerden.