Der Graphikrechner Casio CFX

Möglichkeiten zur Unterrichtsgestaltung

Basis ist eine fast zweijährige Erfahrung in einem LK Mathematik

(Die folgenden Beiträge erheben keinen Anspruch auf Vollständigkeit, sondern bilden erste Eindrücke!)

Dargestellt von Inge Ahlers und Alois Kretschmann

Um Missverständnisse zu vermeiden: Die Fähigkeiten des CFX 9850G sind gegenüber einem Medium, das mit einem Computer-Algebra-System arbeitet, begrenzt. Er ist allerdings ein Werkzeug, das - im Gegensatz zum Computer - im Unterricht, zu Hause und in Klausuren eingesetzt werden kann. Gegenüber CAS-fähigen Taschenrechnern hat er den Vorteil, dass man vom Preis her die private Anschaffung gerade noch rechtfertigen kann.Auf die Möglichkeiten einer sinnvollen Ergänzung durch ein CAS wird unten eingegangen.

Der GR bringt Beiträge zu folgenden didaktischen Feldern

• Einbeziehung neuer Gebiete wegen hoher Rechenfähigkeit

• Neue Gesichtspunkte und Verstärkung bisher vernachlässigter

• Veranschaulichung einer Problemstellung

• Förderung des Denkens in mathematischen Strukturen

• Förderung der Kreativität

• Konkretisierung von sonst abstrakten Zussammenhängen

Neue GebieteI. Übergangsmatrizen

Aufgabe: In einem Fast-Food Restaurant werden angeboten: Mac Beef, Mac Pork und Mac Chicken.

Der Geschäftsführer stellt fest, dass von den Gästen, die an einem bestimmten Stichtag einen MB essen,

70 % dem MB die Treue halten, 20% am nächsten Tag den MP nehmen und 10% zu MC wechseln.

Von den Gästen, die an dem betreffenden Tag einen MP essen, halten diesem 60% die Treue, 10%

wechseln am nächsten Tag zu MB und 30% zu MC. Bei MC halten diesem 80% die Treue, 15%

wechseln am nächsten Tag zu MB und 5% zu MP.

a) Stelle eine Übergangsmatrix auf, mit der man den täglichen Wechsel berechnen kann.

b) Stelle eine Matrix auf, mit der man den zweitägigen Wechsel bestimmen kann.

c) Angenommen, am Eröffnungstag essen 200 Personen einen MB, 140 Personen einen MP und 280

Personen einen MC. Wie sieht die Verteilung 3 Tage später aus?

d) Untersuche, ob sich die Verteilung irgendwann stabilisiert ? Wie sähe dann die Verteilung der 620

Besucher auf die 3 Speisen aus ?

e) Welche Annahme liegt den Berechnungen in den Aufgabenteilen b) bis d) zugrunde?

f) Wie sieht die Stabilitätsverteilung aus, wenn das Verhalten der MC-Esser so aussähe: 75% treu, 20%

zu MB und 5% zu MP.

0.7 0.1 0.15 b) wird gelöst durch A² , c) durch A³ und d) annäherndDie Übergangsmatrix A lautet: 0.2 0.6 0.05 durch A30

0.1 0.3 0.8

II. Berechnung von Bogenlängen

Bogenlängen werden durch Integrale berechnet. Eine elementare Berechnung über Stammfunktionen ist selten möglich. Es bietet sich an, die Integralberechnung des GR über den Run-Modus zu benutzen.Bei Berechnungsschwierigkeiten bei zu „steilen“ Kurvenstücken müssen diese geeignet transformiert werden. Da die Eingabetechnik zur Berechnung der Bogenlänge relativ kompliziert ist und hierbei Fehler auftreten können, ist eine Überschlagsrechnung sehr sinnvoll.

Neue Gebiete

zurück

Neue Gesichtspunkte

I. Simulation

Die Planetenbahnen können mit dem Menü "Conics" simuliert werden. In einem Astronomiebuch steht z. B. die numerische Exzentrizität des Merkur. Daraus kann man bei Annahme einer für den GR geeigneten großen Halbachse die kleine Halbachse berechnen und in "Conics" die Bahn darstellen lassen. Das Koordinatensystem kann so eingerichtet werden, dass die Kegelschnitte verzerrungsfrei erscheinen. Diese Simulation kann im Rahmen der Behandlung von Kegelschnitten durchgeführt werden.

Neue Gesichtspunkte

II. Berechenbarkeit durch Näherung

Beispielaufgabe: Welcher Anteil der vom Graphen der Funktion f(x) = sin x + 0,6 und der x-Achse eingeschlossenen Fläche im Bereich 0 bis 2 liegt unterhalb der x-Achse ?

Benutzt wird die Möglichkeit der graphischen Integration durch den GR.

Neue Gesichtspunkte

III. Effektive Kontrolle

Aufgabe: Durch 3 vorgegebene Punkte soll der Graph einer quadratischen und einer kubischen Funktion gelegt werden. Mit dem GR kann man das sich ergebende LGS entweder mit dem Equa-Modus oder dem Mat-Modus (Gauß'scher Algorithmus) lösen und anschließend die Graphen (bei dem kubischen Fall mehrere Möglichkeiten) zeichnen lassen. Dann können mit der Punkt-Plot-Funktion die vorgegebenen Punkte zum Test eingezeichnet werden.

zurück

Veranschaulichung einer Problemstellung

I. Integralrechnung

Aufgabe:a) Berechne das Integral von f(t) = t2 - 4 in den Grenzen 2 bis 4b) Berechne das Integral von f(t) = t2 - 4 in den Grenzen 1 bis 4c) Bestimme x so, dass das Integral von f(t) in den Grenzen von x bis 4 8,5 Einheiten beträgt; es soll zunächst eine Abschätzung erfolgen.Lösung der Aufgabe:1) Zur Verdeutlichung des Problems wird f(x) graphisch dargestellt.2) Die ersten Integrale werden berechnet: 10,66 E und 9 E.3) Abschätzen der Lösungen hinsichtlich Lage und Anzahl anhand der graphischen Darstellung.(Hier hilft die Fähigkeit des GR, Integrale innerhalb des Graphikmodus zu berechnen und als orientierte Fläche zu schraffieren)4) Rechnerische Bestätigung

Veranschaulichung einer Problemstellung

II. Lernsequenz zum Majorantenprinzip

Diese Lernsequenz soll soll den Beweis unterstützen, dass xne-x für x den Grenzwert Null hat.1. Phase: Zeichnen von f1(x) = xe-x , f3(x) = x3e-x, f5(x) = x5e-

x...2. Phase: Vermutung über den Grenzwert anstellen3. Phase:Zu xe-x Vergleichsfunktion g(x) = 1/x zeichnen und auf diese Weise das Majorantenprinzip erfahren4. Phase: zu x2e-x und x3e-x versuchen, Majoranten zu finden5. Phase: Funktionen gn(x) = nne-x /x vorgeben und zeigen, dass gn(x) fn(x) ist. zurück

Förderung des Denkens in mathematischen Strukturen

I.

Zur Benutzung des Menüs „Equations“ benötigt man eine bestimmte Struktur der Gleichung oder des Gleichungssystems. Da das Lösen von Gleichungen mit dem GR für Schüler aus ökonomischen Gründen reizvoll ist, „lohnt es sich“, ein Problem zunächst in die geeignete Form zu bringen, z. B. bei der Ermittlung der Schnittpunkte von Kegelschnitten.

Förderung des Denkens in mathematischen Strukturen

II.

Falls man die Gleichung ( k/2 + 2)3 + 4k = 0 näherungsweise lösen will, bietet sich die Möglichkeit an, nach Zeichnen des Graphen zu f(k) = ( k/2 + 2)3 + 4k die Methode des graphischen Lösens zu benutzen. Dabei ist es rationeller, den Ausdruck so stehen zu lassen und nicht, wie viele Schüler es machten, den kubischen Ausdruck auszurechnen.

zurück

Förderung der Kreativität

I. Halbierung eines Flächeninhaltes

Aufgabe: Die Fläche, die der Graph zu f(x) = -x2 + 2x mit der x-Achse einschließt, soll durch eine Parallele zur x-Achse halbiert werden. Bestimme experimentell mit dem GR die Gleichung dieser Geraden.

Mögliche Lösungsstrategie:a) Graphische Darstellung von f(x).b) Bestimmung der Fläche, die der Graph von f(x) mit der x-Achse einschließt.c) Wahl einer Parallele zur x-Achse (g(x) = c), die evtl.. die Fläche halbiert.d) Bestimmung der Fläche, die von den Graphen von f(x) und g(x) eingeschlossen wird „minus des unteren Rechtecks“ oder Bestimmung der Fläche, die der Graph der Differenzfunktion f(x) - g(x) mit der x-Achse einschließt.

Förderung der Kreativität

II. Bestimmung eines Hühnereivolumens

Aufgabe: a) Bestimme mit Hilfe eines Überlaufgefäßes das Volumen eines (gekochten)Hühnereisb) Bestimme eine Berandungsfunktion, die den Verlauf der Eihülle beschreibt.(Hier kann das Menü „Conics“ benutzt werden. Ferner können die Fähigkeiten des GR ausgenutzt werden, Graphen zu speichern und Graphen abschnittsweise zu zeichnen.)c) Berechne das Volumen des modellierten Eis als Volumen des Rotationskörpers mit Hilfe der ermittelten Funktion.d) Falls die Abweichung des berechneten Volumens weniger als 3% des gemessenen Volumens beträgt, kann die Aufgabe beendet bzw. das Ei gegessen werden. zurück

I.

In der Sprache der Mathematik heißt es häufig: „Die e-Funktion„wächst schneller“ als jede Potenz-Funktion. Was das konkret bedeutet, sollte am Beispiel P(x) = x8 gezeigt werden. Zunächst wächst P(x) durchaus stärker als ex . Es bedarf einiger Geduld, bis durch Veränderung der Einheiten auf der senkrechten Achse die Stelle gefunden wird, ab der ex größer als P(x) wird.

Konkretisierungen sonst abstrakter Zusammenhänge

Konkretisierungen sonst abstrakter Zusammenhänge

II.

Es soll im folgenden Beispiel die Funktionsweise des GR beim numerischen Integrieren untersucht werden.Man lässt den GR über den Modus "Run" einen Näherungswert für das Integral von f(x) = e-x² im Intervall [0,1]ausrechnen, und zwar mit der Unterteilungsziffer 2, so dass das Intervall [0, 1] in vier Teile eingeteilt wird (Hier wird die Simpson-Methode angewandt). Anschließend werden 2 verschiedene quadratische Polynome mit den Stützstellen 0; 0,25; 0,5 bzw. 0,5; 0,75; 1 berechnet (dabei werden die auftauchenden Gleichungssysteme mit dem GR gelöst) und dann die Integrale über diese beiden Ersatzpolynome - mit der größten Genauigkeit - berechnet; zuletzt werden diese beiden Integrale über die Speichertaktik addiert. Die Übereinstimmung der auf verschiedene Arten (maschinelle Simpson-Methode und manuelle S.-Methode) gefundenen Ergebnisse ist verblüffend.

Ergänzung des GR durch „Derive“

I. Funktionsermittlung zu vorgegebenen Daten

Die Aufgabe besteht darin, zu den Daten der Entwicklung der Weltbevölkerung eine angemessene Regressionskurve zu bekommen. Das geht mit dem GR, indem über das Menü „Stat“ über List 1 und List 2 die Daten eingegeben werden; anschließend ermittelt der GR eine exponentielle Regressionskurve.Mit Derive kann durch individuelles Experimentieren mit verschiedenen Exponentialfunktionen der gerade gewünschte Teil der Daten funktional dargestellt werden.

Ergänzung des GR durch „Derive“

II. Taylorentwicklung

Mit dem GR kann man rechnerisch und graphisch die Taylorreihe zu vorgegebener Funktion von Grad zu Grad entwickeln. “Derive“ besitzt ein Programm, um Taylorreihen mit wählbarem Grad sofort anzugeben.Nach dem Kennenlernen des Prinzips der Taylorentwicklung mit dem GR kann man mit „Derive“ ein Problembewusstsein für die Konvergenz entwickeln.

Bewertung durch die Schüler

• Der GR bedeutet eine große Hilfe bei Funktionsuntersuchungen.

• Der GR ist dem Computer bei den elementaren Problemen wegen der Zeitersparnis weit überlegen

• Der GR ist ein sinnvolles Kontrollinstrument am Ende von Berechnungen

• Weitere als die im Unterricht erlernten Arbeitstechniken wurden (in Eigeninitiative mit Hilfe des Handbuches) kaum erarbeitet.

• Die meisten Arbeitstechniken werden erst durch ständigen Gebrauch zum sicheren Repertoire

• Überschläge werden kaum gemacht, abschließende Kontrolle fast immer

• Das CAS „Derive“ wird als sinnvolle Ergänzung zum GR empfunden

Ende

Der „Viertelbogen“ von P(0,3) bis Q(5,0) ist bei (5,0) zu „steil“.Der GR kann nur bis ca (4,9; a) integrieren.

Man löst das Problem, indem man erst von 0 bis 2 integriert und dann das fehlende Stück entsprechend der transformierten Funktion berechnet

zurück

Die numerische Exzentrizität e/a beträgt beim Merkur 0,206. Sie ist bis auf Pluto die größte aller Planeten.Bei Vorgabe von a = 5 kann man b berechnen und nebenstehendes Bild zeichnen lassen.

zurück

Punktvorgabe: A(-4/3), B(1,-3), C(5,6). Das LGS zur Ermittlung der Parabel löst der GR auf Knopfdruck. Eine Gleichung der kubischen Parabel erhält man durch Matrix-Umformungen mittels des GR und anschließender Rechnung „per Hand“.

zurück

zurück

zurück

Eine Ellipse und eine Hyperbel seien gegeben durch:

E: X2/25 + y2/9 = 1H: X2/40 + y2/20 = 1 Der GR verlangt die Struktur:an x+ bny = cn

Ellipsen- und Hyperbelgleichung müssen nun an diese Struktur angepasst werden.

zurück

zurück

zurück

zurück

zurück