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Die 4 Dimensionen Die 4 Dimensionen – – Quaternionen in der Quaternionen in der Kinematik Kinematik 1. Workshop Robotik Hochschule Mittweida (FH) Institut für Automatisierungstechnik 2004 Dipl.-Ing. (FH) Falko Neubert
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Die 4 Dimensionen Die 4 Dimensionen ––Quaternionen in der Quaternionen in der
KinematikKinematik
1. Workshop RobotikHochschule Mittweida (FH)
Institut für Automatisierungstechnik
2004
Dipl.-Ing. (FH) Falko Neubert
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Die 4 Dimensionen Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
Inhalt
1. Historie
2. Mathematische Grundlagen
3. Koordinatentransformation
3.1. Ausgangssituation
3.2. Vortransformation
3.3. Rücktransformation
4. Praktische Bedeutung
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Die 4 Dimensionen Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
Lagebestimmung eines Körpers im Raum durch Beziehungenzwischen Koordinatensystemen (KS) ⇒ Framekonzept
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Die 4 Dimensionen Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
Welt- und Werkzeug-KS an einem 6-achsigen Knickarm-IR
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Die 4 Dimensionen Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
1. Historie
- Entdeckung der Verwendbarkeit der Ausdrückein der Ebene → Versuche für komplexe Zahlen im Raum
- Ab 1833 W. R. HAMILTON → Rechnungen mit Raumvektoren und Darstellung durch komplexe Zahlen
- 1843 HAMILTON‘s Theorie der goniometrischen Quaternionen mit Nichtkommutativität in der Multiplikation
- Ansatz über die Verknüpfung von
- Definition des Quaternion H mit jQiQhQQq 4321 +++=
1222 −==== hijjih
1−+ yx
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Die 4 Dimensionen Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
2. Mathematische Grundlagen
- Vierdimensionale Divisionsalgebra über dem Körper von Rmit nicht kommutativer Multiplikation
- Erweiterung von C→ hyperkomplexe Zahlen (nur bedingt)
- Schiefkörper durch Übertragung von Addition und Multiplikation aus R und C auf H
- Ursprungsdefinition→ Q1, Q2, Q3, Q4 reelle und h, i, j imaginäre Zahlen
- h, i, j drei unterschiedliche Arten von Imaginärzahlen (Richtungen) → Nichtkommutativität
jQiQhQQq 4321 +++=
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Die 4 Dimensionen Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
2. Mathematische Grundlagen
- Nichtkommutativität in der Multiplikation laut Tabelle
- Substitution zur Vereinfachung
4321 qqqqq +++=
44332211 qjQqiQqhQqQ ==== ;;;
jQiQhQQq 4321 +++=
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Die 4 Dimensionen Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
2. Mathematische Grundlagen
- Für jedes Quaternion existiert ein konjugiertes Quaternion
- Bildung des Betrages von q
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21 qqqq
qqq
+++=
⋅= ∗
4321 qqqqq −−−=∗
4321 qqqqq −−−=∗
4321 qqqqq −−−=∗
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Die 4 Dimensionen Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
2. Mathematische Grundlagen
- Definition des Inversen von q
- Betrag von q gleich 1 → Einheitsquaternion
Orientierungsbeschreibung i.d.R. mit Einheitsquaternion!
∗− = qq 1
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qqq∗
− =
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Die 4 Dimensionen Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
3. Koordinatentransformation
- Quaternionentransformation mittels Multiplikation
- Addition zur Verrechnung interner Komponenten
- Vor- und Rücktransformation durch Definition von Bezügen
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Die 4 Dimensionen Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
3.1. Ausgangssituation
- Allgemeine Darstellung der komplexen Ebene
- Darstellung der Orientierung des Einheitsquaternions
)sin()sin()sin()cos(
)sin()cos(
2222
22
10
10
10
10
ωωωω
ωω
ωω
ωω
ωω
ωω
σσσ
σ
σσσσ
σσσσ
⋅+⋅+⋅+=
⋅+=
⋅×
+⋅•
=
jih
q
zyx
)]sin()[cos(
)sin();cos(|
ϕϕ
ϕϕ
⋅+=
⋅=⋅=
+=
ir
ribira
biaz
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Die 4 Dimensionen Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
3.1. Ausgangssituation
- Die Rotationskoordinaten der Punkte PA, PB und PC bzgl. des zugehörigen Einheitsquaternions in der Abbildung ergeben sich dann nach folgender Bildungsvorschrift:
∗∗∗ ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅= qPqPqPqPqPqP CCBBAA 0101 ;;
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Die 4 Dimensionen Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
3.1. Ausgangssituation
- Ursprungsquaternion bzw. Startquaternion
- Neu gebildetes Quaternion bzw. Zielquaternion
)sin()sin()sin()cos(
)sin();sin();sin();cos(|
2222
24232221
4321
ωωωω
ωωωω
σσσ
σσσ
⋅+⋅+⋅+=
⋅=⋅=⋅==
+++=
jih
jqiqhqq
qqqqq
zyx
zyx
)sin()sin()sin()cos(
)sin();sin(|
);sin();cos(|
2222
2423
2221
4321
neuneuneuneu
neuneu
neuneu
jih
jqiq
hqq
qqqqq
neuzneuyneux
neuzneuneuyneu
neuxneuneu
neuneuneuneuneu
ωωωω
ωω
ωω
σσσ
σσ
σ
⋅+⋅+⋅+=
⋅=⋅=
⋅==
+++=
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Die 4 Dimensionen Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
3.1. Ausgangssituation
- Transformationsquaternion bzw. Relativquaternion
)sin()sin()sin()cos(
)sin();sin(|
);sin();cos(|
2222
2423
2221
4321
TTTT
TT
TT
jih
jqiq
hqq
qqqqq
TzTyTx
TzTTyT
TxTT
TTTTT
ωωωω
ωω
ωω
σσσ
σσ
σ
⋅+⋅+⋅+=
⋅=⋅=
⋅==
+++=
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Die 4 Dimensionen Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
3.2. Vortransformation
- Aufstellen der Transformationsgleichung
- Lösung der Gleichung (hier ohne Herleitung)
Tneu qqq ⋅=
TTTTneu
TTTTneu
TTTTneu
TTTTneu
qqqqqqqqq
qqqqqqqqq
qqqqqqqqq
qqqqqqqqq
142332414
241342313
344312212
443322111
⋅+⋅−⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅−⋅=
⋅−⋅+⋅+⋅=
⋅−⋅−⋅−⋅=
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Die 4 Dimensionen Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
Vortransformation des KS x y z nach xneu yneu zneu mit xT yT zT
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Die 4 Dimensionen Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
3.3. Rücktransformation
- Aufstellen der Transformationsgleichung
- Lösung der Gleichung (hier ohne Herleitung)
neuT qqq ⋅= −1
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21
142332144
24
23
22
211
43
22
14242
42124124
24
23
22
211
22311342
322
22
133
22
21
14333213412442122
1
44332211
qqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqq
neuneuneuneuT
TTTneuneu
neuneuTneuT
TTTneuTneuT
TTTneuT
+++⋅−⋅+⋅−⋅
=
+++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅
+
+++⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅++⋅
=
+⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅−⋅
=
⋅+⋅+⋅+=
)(
)()(
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Die 4 Dimensionen Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
Rücktransformation des KS xneu yneu zneu nach xT yT zT mit x y z
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Die 4 Dimensionen Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
4. Praktische Bedeutung / Fazit
- Eindeutige Beschreibung von Orientierungen im Raum
- Vorwiegend für interaktive Computergrafiken → Spiele
- Kaum in der Robotertechnik → Rotationsmatrizen
ABER...
- Sehr kompakte Schreibweise → geringere Redundanz
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
zyx
neuneuneu
neuneuneu
neuneuneu
neuneuneu
rotrotrotrotrotrotrotrotrot
ROT ;; ( ) 43214321 qqqqqqqqq +++== ;;;
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Die 4 Dimensionen Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
4. Praktische Bedeutung / Fazit
- Geringere Redundanz → höhere numerische Stabilität
- Weniger Rechenzeit, besonders bei vielen Orientierungen
- Keine Beachtung der Reihenfolge von Einzeltransformationen → Paralleltransformation
JEDOCH...
- Wesentlich höheres Vorstellungsvermögen („4D-Denken“) des Anwenders
Die 4 Dimensionen Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit
Die 4 Dimensionen Die 4 Dimensionen -- Quaternionen in der KinematikQuaternionen in der Kinematik
Räumliche Orientierung mit einem Quaternion
