Die Absterbeordnung als Mischungsergebnis Versuch eines Beitrages

zur Theorie der Lebensversicherung erh/Shter Risiken.

Von Wolfgang Sachs (Diisseldorf)

I.

Die Beredmung der Pr~imien f~ir Invalidit~its- und Pensionsversicherungen beruht darauf, dab die Absterbeordnung aller Versicherten in die Aus- scheideordnung der Aktiven und die Absterbeordnung der Invaliden zer- legt wird. Zur Aufstellung dieser drei Ausscheideordnungen bedient man sich vierer Grundgr/SBen: der Gesamtsterblichkeit, der Sterblichkeit der Aktiven, der H~iufigkeit des Eintretens der Invalidit~it und der Sterblichkeit der Invaliden. Wenn sich keine Widerspriiche ergeben sollen, die in den Rechnungsergebnissen stiSrend zu Tage treten wiirden, miissen diese Grund- gr6t~en als voneinander gegenseitig abh~ingig betrachtet werden, derart, daB drei yon ihnen die vierte bestimmen. Die sich hieraus ergebenden Folgerun- gen haben bereits den Gegenstand ausfiihrlicher Untersuchungen gebildet.1) Zu ~ihniiohen Betrachtungen gibt die Versicherung erh/Shter Risiken AnlaB. Wir besitzen einerseits Sterbetafeln, die den Verlauf der Sterblichkeit in groBen Bereichen ohne Riicksicht auf den Gesundheitszustand der beobach- teten Individuen wiedergeben (nennen wir sie Sterbetafeln hiSheren Ranges), andererseits solche, die sich auf den Sterblichkeitsverlauf in kleinen Berei- chen, n~imlich den yon Individuen mit ganz bestimmten gesundheitlichen Vorziigen oder M~ingeln, beschr~inken (Sterbetafeln niedrigen Ranges). Die Versicherung erhiShter Risiken, wie sie heute betrieben wird, beruht an sich auf einer sehr groBen Zahl verschiedener Sterbetafeln niedrigen Ranges, die aus dem Material einer Sterbetafel h~Sheren Ranges abgeleitet werden, wobei natiirlich nicht n~Stig ist, daB diese auch tats~ichlich aufgestellt worden ist; man kann geradezu sagen, dab sie durch Atomisierung einer Sterbetafel hiSheren Ranges entstehen. Das Gesetz der groBen Zahlen ist zwar in aller Regel in der Sterbetafel h/Sheren Ranges praktisch ann~ihernd verwirklicht, in den erw~ihnten Sterbetafeln niedrigen Ranges aber nicht mehr. Vertret- bar wird das Verfahren erst dadurch, dab die auf Grund der Sterbetafeln niedrigen Ranges eingesch~itzten Risiken wieder zusammengefaBt werden.

l) Vgl. z. B. Parthier ,Besonderes zur Tedmik der Pensionsversicherung ~ in Bl~it- ter fiir Vcrsicherungsmathem~ttik, Oktober 1938; dort weitere Literaturangaben.

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Dies geschieht, indem man sie in irgend einer Weise in eine nicht zu gro~e Anzahl voneinander getrennter Bereiche - - ,Risikoklassen" - - einordnet (bei der numerischen Bewertung erh/Shter Risiken wird nach der erwarteten Mehrsterblichkeit gegeniiber normalen Risiken geordnet, undes gibt etwa 10--15 Risikoklassen). Diese Bereiche brauchen keine eindimensionale Folge zu bilden, obwohl die Praxis dies stillsd~weigend voraussetzt und sie des- halb auch laufend zu numerieren pflegt. S~imtliche Sterbetafeln niedrigen Ranges jeden Bereiches bilden so, wenn auch unter Umst~inden nur gedank- lich, je eine Sterbetafel, die wir folgerecht Sterbetafel mittleren Ranges nennen werden. In den Sterbetafeln mittleren Ranges kommt im Gegensatz zu den Sterbetafeln niedrigen Ranges das Gesetz der grolgen Zahlen wieder ann~ihernd zur Geitung. Ebenso wie in der Invalidit~its- und Pensions- versicherung haben wit also auch hier eine Ausscheideordnung h6heren Ranges, die aus Ausscheideordnungen minder hohen Ranges zusammen- gesetzt ist.

II.

Diese Vorstellung liit~t das Verfahren zur Aufstellung yon Versicherten- sterbetafeln in neuer Beleuchtung erscheinen. Unterscheiden wir n~imlich mit Zwinggi 2) einfache und zusammengesetzte Ausscheideordnungen, so ist in der Invaliden- und Pensionsversicherung die Ausscheideordnung der Aktiven eine zusammengesetzte, die Absterbeordnung der Invaliden eine einfache Ausscheideordnung. Analog finden wit uns nun vor der Frage, ob die Absterbeordnungen der verschiedenen Klassen erh~Shter Risiken in die- sere Sinne zusammengesetzte oder einfache Absterbeordnungen sind. Nicht selten kann bekanntlich ein bereits einmal Versicherter in einem sp~i- teren Zeitpunkt eine neue Versicherung nut in einer minder giinstigen Risikoklasse als seinerzeit erhalten. Haben wit als Z~ihleinheit fiir die Auf- stellung der Absterbeordnung die Person gew~ihlt, so muB ein solcher Ver- sicherter also (wenn nicht einzelne Personen in mehreren Risikoklassen gleich- zeitig beobachtet werden sollen), sobald erkannt wird, dag er nunmehr zu einer h~Sheren Risikoklasse geh/Srt, aus der Beobachtung innerhalb der alten Risikoklasse ausscheiden und in die innerhalb der neuen Risikoklasse iiber- tragert werden. Dann sind also unsere Absterbeordnungen mittleren Ranges s~imtlich, m/Sglicherweise mit Ausnahme der der h/Schsten Risikoklasse, zu- sammengesetzte Absterbeordnungen. Dabei spielt mathematisch betrachtet die Feststellung, daf~ die beobachtete Person nunmehr einer h~Sheren Risikoklasse angehiSrt, genau die gleiche Rolle, wie in der Invalidit~its- und Pensionsver- sicherung die Feststellung, daf~ sie invalide geworden ist; auch materiell geht iibrigens die Analogie sehr welt: Denn beide Feststellungen werden zun~ichst durch einen Antrag der beobachtetenPerson ausgel~Sst; in beiden F~illen fiihrt die Bearbeitung dieses Antrages dazu, daf~ die beobachtete Person aus dem Bereich der Ausscheideordnung ausscheidet, innerhalb dessen sie bisher beob- achtet wurde, und in den Bereich einer anderen Ausscheideordnung iibergeht;

2) Versicherungsmathematik, Basel 1949, Seite 22.

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wird aber ein solcher Antrag nicht gestellt, was auch in der Invalidit~its- und Pensionsversicherung, namentlich bei der steigenden Form der letzteren, vorkommt, so tritt dieser Elbergang nicht ein, die betreffende Person wird vielmehr alsdann weiter im Bereich der urspriinglichen Ausscheideordnung beobachtet. Hierin liegt die Ursache fiir die bekannte starke Abh~ingigkeit der beoba&teten Invalididitss~itze yon subjektiven Faktoren. Analog wird nun die Zerlegung unserer Sterbetafel h~Sheren Ranges in Sterbetafeln mitt- leren Ranges, das heiflt aber der Verlauf der Sterblichkeit in jeder unserer Sterbetafeln mittleren Ranges, stark yon der Intensi6it abh~ingen, mit der der schon vorhandene Bestand an Versicherungen vom Auf~endienst auf Nachversicherungen bearbeitet wird. Deshalb kann man die sich ergebenden Sterbetafeln mittleren Ranges nicht mehr als geeignete Unterlage ftir die Berechnung yon Pr~imien anerkennen; die Zugrundetegung der Person als Ziihleinheit fiir die Versicherung erhfhter Risiken fiihrt zu unbe]riedigenden Ergebnissen. Anders liegen die Dinge aber, wenn man als Z~ihleinheit die Vertrags- einheit, d. h. den Versicherungsvertrag oder die Einheit der dutch ihn ver- sicherten Summe, w~ihlt. Dann kommt es ja nicht mehr darauf an, auf welches Leben zwei in verschiedenen Risikoklassen abgeschlossene Versiche- rungen laufen; vielmehr werden jetzt beide auf jeden Fall bis zu ihrem Ende in der Risikoklasse beobachtet werden, in welche sie yon Anfang an gehtSren. Infolgedessen haben wi res nicht mehr mit zusammengesetzten Absterbeordnungen zu tun, sondern nur noch mit einfachen, und die oben angedeuteten Unsicherheitsfaktoren sind weggefallen: Als geeignete Grund- lage fiir die Versicherung erhShter Risiken kSnnen im Prinzip nur Beob- achtungen nach Vertragseinheiten anerkannt werden. Es sind also gegen Z~ihlungen nach Personen grunds~itzliche Einwendungen zu erheben; wenn man bei der Aufstellung von Sterbetafeln im Laufe der Zeit dazu iibergegangen ist, anstelle der Ziihlung nach Personen die Ziihlung nach Vertragseinheiten treten zu lassen, so stellt sich das nicht dar als eine Ersetzung der urspriinglich wohl fiir allein richtig gehaltenen Methode durch eine hinreichende Anniiherung - - so kann man es im Vorwort mancher Sterbeta[eln lesen --, sondern ganz im Gegenteil als Ubergang yon der [riiher iiblichen, nicht jeder Kritik standhahenden Methode au[ eine bessere.

III.

Nennen wlr die Zahlen der Lebenden der Sterbetafel hSheren Ranges L(x), die der Sterbetafeln mittleren Ranges li(x), und das Gewicht, mit dem letz- tere in die Bildung der Sterbetafel htSheren Ranges eingehen, ai (i = 1, 2, 3 . . . . n), dann l~if~t sich die Vorstellung, die wir uns von dem Zusammen- hang zwischen beiden gebildet haben, dahin formulieren, dat~ die Gleichung

--2 L(x) ai li(x) i = l

identisch in x bestehen mull

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Die uns bekannten Eigenschaften des Verlaufs der Funktion L(x) gestatten nun einige Riicksdaliisse auf den der Funktionen li(x).

A. Wir wollen zun~ichst untersuchen, wie L(x) aussehen mug, wenn die li(x) lineare Funkfionen sind. Das l~i8t rich am besten geometrisch zeigen.

A s A 4 A~ A a A!

Schneiden die sich nunmehr als gerade Linien darstellenden Kurven y = li(x) die Abszissenachse in den Punkten x = Ai, so wird die Kurve L ( x ) =

ai li(x) im Intervall (A~, A1), da hier alle li(x) aut~er 11(x) identisch verschwinden, ebenfalls eine Gerade sein. Im Intervall (A 3, Au) wird sie ebenfalls eine Gerade sein, aber steiler verlaufen als im Intervall (A2, A1), well im IntervaU (A 3, A~) noch eine zweite Gerade auf die im ersten Intervall allein vorhandene daraufgesetzt ist usw. Die Summenkurve hat also fiir x = A 2, d. h. im Punkt B~, einen Knick derart, daft sie yon dort an nach rechts weniger steil verl~uft. Das Gleiche ergibt sich fiir ihren Verlauf in den Punkten B 8, B4, B5 . . . . so daf~ L(x) also ein Bild folgender Art bietet: (Seite 65 oben.)

Mit anderen Worten, aus der Ubereinanderlagerung unserer linear, also weder konvex noch konkav verlaufenden Absterbeordnungen mittleren Ranges entsteht eine Absterbeordnung hiSheren Ranges yon stark konkavem Charakter. Nun stellt sich abet die wirkliche Absterbeordnung hiSheren Ranges in aller Regel als stark konvexe Kurve dar. Die Vermutung liegt also nahe, da£ zum mindesten die me#ten Absterbeordnungen mittleren Ranges wenigstens ~nsoweit in noch viel stiirkerem Ausma/3 konvex verlau- fen miissen, als ihre Werte li(x) noch mit einem irgendwie erheblichen Gewicht in die Bildung der Summe L(x) = ~ai li(x) eingehen.

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Y

x A s A, Aj Az A~'B~

B.

Stellt man die umgekehrte Frage, wie die Summe L(x) in einzelne Glieder li(x) zerlegt werden kiSnnte, so finder man das best~itigt. Man denke z. B. an eine Zerlegung in parallele Streifen:

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Wie dann die einzelnen Absterbeordnungen mittleren Ranges aussehen, ist schon aus dieser Skizze unmittelbar abzulesen. Aber man kiSnnte natiirlich zur Aufteilung auch statt der Parallelen, die sich im Unendlichen mit der Abszissenachse schneiden, Strahlen w~ihlen, die durch einen endlichen Punkt S a u f der Abszissenachse gehen; dieser miiBte mindestens soweit ent- fernt liegen, dab der vom htSchsten Punkt C der Kurve y = L(x) ausge- hende Strahl CS entweder die Tangente dieser Kurve im Punkte C ist oder dort weniger steil verl~iuft als diese Tangente. Auch die Wahl yon Kurven ist nicht ausgeschlossen, doch bleibt immer zu bedenken, dat~ alle Funktio- nen y = li(x) monoton abnehmen miissen. Die Wahl der m6glichen Zerle- gungen ist dadurcb ungemein stark eingescbrlinkt.

C. Die Kurven L(x) und li(x) lassen sich nicht ohne weiteres geschlossen in analytisdaer Form darstellen. Immerhin verfiigen wir in der Makeham'schen und ihrem Spezialfall, der Gompertz'schen Formel, iiber ziemlich brauch- bare Approximationen. Man wird sich fragen, wie sich die Zerlegung einer Absterbeordnung hSheren Ranges in deren mehrere mittleren Ranges dar- stellt, wenn man sie s~imtlida durch die Makeham'sche Formel wiedergibt.

Dann mug man also (I) L(x) = K x G lt~

und (2) li(x) = k ix g[i' ~

setzen, d. h. es mug die Gleidaung gelten

(3) K x GR~ = ~-]ai k x rr igi ' I

oder x rI' x-~ ki gi __

(4) 2.aai Kx GR x = 1 fiir alle x > 0;

hierbei gilt fiir die Konstanten 0 < ai < 1, mit der Maf~gabe, dat~

(4a) i~ai = 1 ist; auch alle ki und gi sowie K und G sind echte Briiche, dagegen sind alle ri und R ~ 1. Betrachtet man

k ~ q ~. i gi (5) um - - - - , x ~ ~ K x G Rx

dann kann man Zahleri ei urtd E derart angeben, dab

(5a) k~=g~iX und K x = G Ex

ist; infolgedessen kann man (5) auch schreiben

(6) lim GI~x÷E x •

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Der Grenzwert dieses Ausdruckes h~ingt davon ab, wie rich ri und R zu- einander verhalten. Ist ri > R, dann konvergiert der Ausdru&, da gi und G beides echte Briiche sind, gegen Null, ist ri < R, dann strebt er gegen Unendlich. Weiter zu untersuchen ist nur der Fall, dag r i = R ist. Dann geht (6) tiber in

K x + ~3i x

gl (7) lira Gl~X + Ex '

x ----~ oo

und hier h~.ngt es nun von gi und Gab , wie sich dieser Ausdruck verh~ilt; ist gi < G, dann konvergiert er gegen Null, ist gi > G, dann strebt er gegen Unendlich. Weiter zu untersuchen ist nur der Fall, dag auch gi = Gis t . Dann haben wires mit dem

k. ~ 1

(8) lim K~ x ---~ oo

zu tun; wenn ki < K ist, konvergiert dieser gegen Null, wenn ki ~ K ist, strebt er gegen Unendlich. Nur wenn auch k1 = K is't, ist er gleich Eins.

Es ergibt sich also, dag der in (5) angefiihrte Grenzwert entweder gegen Null oder gegen Unendlich strebt, auger wenn ki = K, gi = G, ri = R ist, d. h. auger in dem trivialen Fall, in welchem li(x) bis auf einen konstanten Faktor mit L(x) identisch ist.

Betrachten wit nun wieder die Gleichung (4). Aus ihr wollen wir diejenigen Absterbeordnungen mittleren Ranges eliminieren, die mit L(x) identisch sind. Es bleibt dann aus der Folge der Gewichte al, a2 . . . . an als Folge der Ge- wichte nicht mit L(x) iibereinstimmender Absterbeordnungen eine neue Folge b~, b , . . . bm iibrig, wobei

(9) ~ ai-- ~,bi=6) i = l i = l

ein echter Bruch sein wird. Dann nimmt (4) die Form

rX k~ gi' =

(10) bi KxGV, X 1

an. Nun streben s~imtliche Glieder dieser Summe mit wachsendem x entweder gegen Null oder durch positive Werte gegen oo; folglich strebt auch die Summe auf der linken Seite yon (10) mit wachsendem x entweder gegen Null oder durch positive Werte gegen Unendlich. Da 1 - - @ eine endliche, positive und yon Null verschiedene Zahl ist, wird also die Gleichung bei stark wachsendem x nicht erftillt sein. Das heigt:

Eine der Makeham'schen Formel [olgende Absterbeordnung h6heren Ranges kann nicht derart in yon ihr verschiedene Absterbeordnungen mittleren Ranges zerlegt werden, daft auch diese alle einer Makeham'- schen Formel gehorchen.

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DB a) Die Risikoklassen bei der sog. numerischen Risikobewertung ergeben si& aus der Annahme versahieden hoher Obersterbliahkeitss~itze gegeniiber der Sterbliahkeit normaler Risiken. Mathematisah ausgedrii&t nimmt man also fiir die verschiedenen Risikoklassen versahieden hohe Sterbeintensit~iten an, wobei siah die Sterbeintensit~iten der verschiedenen Risikoklassen voneinan- der abet nur durah konstante Faktoren untersdaeiden. Verl~iuft also auda nut eine der zugehiSrigen Absterbeordnungen mittleren Ranges naah einer Make- ham'schen Formel, so gilt dies auch yon allen anderen. b) Werden die Risikoklassen einfach durch Alterserh6hung gebildet, so be- deutet dies, dab in der Makeham'sahen Formel fiir die Absterbeordnungen mittleren Ranges dieser Risikoklassen x + const, an die Stelle yon x zu setzen ist. Auah in diesem Fall folgen s~imtliahe Absterbeordnungen mittleren Ranges einer Makeham'sahen Formel, wenn es nur eine von ihnen rut. c) Auah wenn man in den verschiedenen Absterbeordnungen mittleren Ran- ges an die Stelle des Alters x ein anderes Alter y -- ax + b treten liifts), wenn man also eine Annahme maaht, die umfassender als das heute bei der Behandlung erhiShter Risiken l~bliche ist, gilt noah das Gleiahe.

Daraus folgt dann wegen C., dab in allen drei F~illen a) bis c) entweder die Absterbeordnung h~iheren Ranges, die aus s~imtliahen Absterbeordnungen mittleren Ranges besteht, niaht naah einer Makeham'schen Formel verl~iuft, oder dab es noch mindestens eine Absterbeordnung mittleren Ranges gibt, die ihrerseits dieser Formel nicht folgt, die siah also der beim Aufbau der versahiedenen Risikoklassen gemachten Annahme niaht fiigt.

E°

Sehr viel sahwerer ist aber natlirlich die Frage zu beantworten, wieweit solche Zerlegungen dann mSgliah sind, wenn man sich damit begniigt, dab die Absterbeordnungen nur ann~ihernd durch Makeham'sahe Formeln wieder- gegeben werden. Man wird zwar nicht behaupten diirfen, dab die Aufstellung von Sterbe- tafeln niedrigsten Ranges zur KontroUe der Grunds~itze der Versicherung erh~Shter Risiken zwecklos w~ire. Aber das in ihnen verarbeitete Material ist meist so klein, daft man in die Resultate nur geringes Vertrauen setzen kann; oft wird eine n~ihere Analyse zeigen, dab wesentliahe Verschiedenhei- ten der neuen Ergebnisse gegen fr[ihere Untersuahungen nur als Zufallsfolgen gewertet werden diJrfen. Dagegen k~nnte die Aufstellung yon Sterbetafeln mittleren Ranges noch wesentliahe neue Erkennmisse liefern.

s) Man k~rmte dann x als chronoIogisches und y als biologisches Alter bezeichnen; diese Formulierung verdanke ich Herrn Dr. Stearns in Topeka-Kansas, USA.

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