Die Ausbreitung einer Welle kann durch Reflexion an Flächen, Brechung in Medien und Beugung an Hindernissen verändert werden.Diese Veränderungen lassen sich mit Hilfe des Huygensschen Prinzips verstehen.

Beugung, Reflexion und Brechung von Wellen

Huygenssches Prinzip:Jeder Punkt einer Phasenfläche ist Ausgangspunkt einer neuen Kugelwelle.

Gaub 1WS 2014/15

Phasenebene einer ebenen Welle in z-RichtungElementarwellen von N Quellpunkten im Abstand δ

Beispiel:

€

z = z0

Beugung, Reflexion und Brechung von Wellen

€

Q1, Q2, ... QN

In Richtung α gegen die Wellennormale k ist die Wegdifferenz benachbarter Elementarwellen:

€

Δs = δ sinα

Þ

€

Δϕ =2π

λΔs = k δ sinα

Gaub 2WS 2014/15

Überlagerung aller Elementarwellen (Amplitude a) der N Quellen vom Punkt P im Abstand r >> d = N δ.

Beugung, Reflexion und Brechung von Wellen

Die Gesamtamplitude im Winkelbereich α ± Δα ist dann:

€

ξ α( ) = a ei ωt − krn( )

n=1

N

∑

€

rn = r +N

2− n

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ δ sinαmit

€

ξ α( ) = a e−i

N2

Δϕ

a ei n Δϕ

n=1

N

∑ ei ωt − kr( )

€

= A ei kr − ωt( )

€

ei n Δϕ

n=1

N

∑ = ei Δϕ e−i N Δϕ −1

e−i Δϕ −1

€

=ei

N −1

2Δϕ e

iN2

Δϕ− e

−iN2

Δϕ

ei

Δϕ2 − e

−iΔϕ2

€

=r +N

2− n

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟Δϕ

k

€

=>A(α ) = aei Δϕsin(

N2

Δϕ )

sin(12

Δϕ )

4

Beugung, Reflexion und Brechung von Wellen

Intensität:Þ

€

I α( ) ∝ A α( )2

€

I α( ) ∝ a2

sin2 N

2Δϕ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

sin2 1

2Δϕ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

= a2

sin2 N2

k δ sinα ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

sin2 12

k δ sinα ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Gaub

WS 2014/15 5

Falls λ < δ treten p Maxima für alle Winkel auf, für die gilt:

Beugung, Reflexion und Brechung von Wellen

€

αn

€

sin α n( ) = nλ

δ

€

n = 0, 1, 2, ... p <δ

λ

Gaub

Reflexion und Brechung von Wellen

Snelliussches Brechungsgesetz

Þ

€

sin α( )sin β( )

=v1

v2

Brechung und Reflexion lassen sich auf ein Minimalprinzip zurückführen, das Fermatsche Prinzip:

Eine Welle nimmt von einem Punkt zu einem anderen immer den Weg der kürzesten Laufzeit.

€

T =s1

v1

+s2

v2

€

=1

v1

x − x1( )2

+ y12 +

1

v2

x2 − x( )2

+ y22

€

0=! dT

dx

€

=x − x1( )

v1 x − x1( )2

+ y12

−x2 − x( )

v2 x2 − x( )2

+ y22

€

sin α( ) =x − x1( )

s1

sin β( ) =x2 − x( )

s2

€

sin α( )v1

=sin β( )

v2

Gaub 6WS 2014/15

Nach Fourier lässt sich eine beliebige Störung ξ, die sich in z-Richtung ausbreitet, darstellen als Superposition unendlich vieler harmonischer Wellen:

Dispersion, Phasen- und Gruppengeschwindigkeit

€

A ω( ) =1

2πξ t,z( ) e

−i ωt − kz( )dt−∞

∞

∫

Die Amplituden A(ω) ergeben sich durch inverse Fourier-Transformation:€

ξ t,z( ) = A ω( ) ei ωt − kz( )dω

−∞

∞

∫

Variiert die Phasengeschwindigkeit einer Welle mit der Wellenlänge, kommt es zur Dispersion: das Wellenpaket zerfliesst.

€

vPh =ω

k=

ω

k0n ω( )

Wasser-Oberflächenwellen

7

Bsp.: Überlagerung zweier Wellen gleicher Amplitude

€

ξ1 = A cos ω1t − k1z( )

ξ 2 = A cos ω2t − k2z( )

€

ωm =ω1 + ω2

2

km =k1 + k2

2

ξ heißt Schwebungswelle, dargestellt durch eine Welle mit der Mittenfrequenz und der mittleren Wellenzahl, deren Einhüllende durch die Frequenz Δω und die Wellenzahl Δk beschrieben wird (zeitlich variable Amplitude).

Þ

€

ξ = ξ1 + ξ 2 = 2A cosΔω

2t −

Δk

2z

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ cos ωmt − kmz( )

€

Δω2

=ω1 −ω2

2

Δk

2=

k1 − k2

2

Dispersion, Phasen- und Gruppengeschwindigkeit

€

vPh =ωm

km

Die Einhüllende bewegt sich mit der Gruppengeschwindigkeit

€

vG =Δω

Δk≈

dω

dk

Gaub 8WS 2014/15

9

Dispersion, Phasen- und Gruppengeschwindigkeit

1/vph 1/vGGaub

WS 2014/15 10

Zusammenhang zwischen Phasen- und Gruppengeschwindigkeit:

€

k =2π

λ⇔ λ =

2π

k€

vG =dω

dk

€

=d

dkvPh k( )

€

= vPh + kdvPh

dk

Þ €

dλ

dk= −

2π

k 2

€

vG = vPh + kdvPh

dλ

dλ

dk

€

= vPh −dvPh

dλ

2π

k

€

= vPh − λdvPh

dλ

Dispersion, Phasen- und Gruppengeschwindigkeit

Gaub