Die Außere Ableitung¨ - Numerik - FR Mathematik ... Felix Retter 25.06.2008 Felix ......

Differentialformen Außere Ableitung Abbildungen Konverse Poincare Lemma

Die Außere Ableitung

Felix Retter

25.06.2008

Felix Retter



Inhaltsangabe

Differentialformen

Außere Ableitung

Abbildungen

Konverse Poincare Lemma

Felix Retter



Die p-Form

Sei P ein Punkt in En. Der n-dimensionale lineare Raum L = Lp

wird dann gebildet von

n∑i=1

aidx i , ai Konstant.

Die p-Formen ω sind Elemente

ω =∑

aHdxh1 · · · dxhp =∑

aHdxH ∈p∧

L.

Felix Retter



Die p-Form (2)

I Sei U ⊂ En offen. Eine p-Form ω auf U hat die Form

ω =∑

aH

(x1, . . . , xn

)dxH .

F p(U) bezeichnet die Menge der p-Formen auf U. Auf dieserwird die außere Algebra angewendet.

I Beispiel 1: 0-Form: alle glatten Funktionen auf U

I Beispiel 2: 2-Form: α = Adydz + Bdzdx + Cdxdy

Felix Retter



Außere Algebra

Sei U ⊂ En offen und

ω =∑

aHdxH ∈p∧

L, ν =∑

bKdxK ∈q∧

L

zwei Differentialformen auf U. Es gilt:

I ω = 0, falls dx i = dx j fur i 6= j ,

I ω ∧ ν =∑

aHbKdxHdxK ,

I ω ∧ ν = (−1)pq ν ∧ ω.

Felix Retter



Außere Ableitung - Definition

Definition (Außere Ableitung)

Sei ω =∑

aHdxH ∈ F p(U), U ⊂ En. Die Außere Ableitung von ωist eine Abbildung d : F p (U) −→ FP+1 (U)

dω =n∑

i=1

∂aH

∂x idx idxH . (1)

Eigenschaften:

i d (ω + ν) = dω + dν,

ii d(ω ∧ ν) = dω ∧ ν + (−1)deg ωω ∧ dν,

iii Fur jedes ω, d(dω) = 0 (Poincare Lemma).

Felix Retter



Außere Ableitung - Eigenschaften (1)

Zu ii: Sei ω = adxH , ν = bdxK .

d (ω ∧ ν) = d(abdxHdxK

)=

∑ ∂(ab)

∂x idx idxHdxK

=∑ (

∂a

∂x i

)bdx idxHdxK +

∑a

(∂b

∂x i

)dx idxHdxK

=∑ (

∂a

∂x i

)dx idxH ∧ bdxK+

+ (−1)(deg ω)∑

(adxH) ∧(

∂b

∂x i

)dx idxK

= dω ∧ ν + (−1)deg ωω ∧ dν

Felix Retter



Außere Ableitung - Eigenschaften (2)

Zu iii: Sei ω = adxH .

d(dω) = d

(∑ ∂a

∂x idx idxH

)=

∑ (∂2a

∂x i∂x j

)dx jdx idxH

=1

2

∑ (∂2a

∂x i∂x j− ∂2a

∂x i∂x j

)dx jdx idxH

= 0

Felix Retter



Anwendung der außeren Ableitung

Betrachte eins-Form α = Pdx + Qdy + Rdz :

dα =∂P

∂ydydx +

∂P

∂zdzdx +

∂Q

∂xdxdy +

∂Q

∂zdzdy+

+∂R

∂xdxdz +

∂R

∂ydydz

=

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy +

(∂R

∂x− ∂P

∂z

)dxdz +

(∂R

∂y− ∂Q

∂y

)dydz

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Abbildungen

Sei U ⊂ Em,V ⊂ En, Φ eine Abbildung von U nach V und g einereellwertige Funktion auf V . Die Koordinaten von Em und En sindx1, . . . , xm und y1, . . . , yn. Definiere

Φ∗g = g ◦ Φ

und somit

Φ∗ : F 0(V ) → F 0(U). (2)

Fur eine Eins-Form ω =∑

ai (y)dy i setzen wir

Φ∗ : F 1(V ) −→ F 1(U)

Φ∗ω =∑

ai (Φ(x))∂y i

∂x jdx j .

Felix Retter



Eigenschaften von Φ∗ (1)

Eigenschaften von Φ∗:

i Φ∗(ω + ν) = Φ∗ω + Φ∗ν,

ii Φ∗(ω ∧ ν) = Φ∗(ω) ∧ Φ∗(ν),

iii d(Φ∗ω) = Φ∗(dω),

iv Wenn Φ : U −→ V und Ψ : V → W , dann (Ψ ◦Φ)∗ = Φ∗ ◦Ψ∗.

FOLGERUNG: Die außere Ableitung ist unabhangig von demKoordinatensystem, in dem sie berechnet wird!

Felix Retter




Beweis von iii mittels vollstandiger Induktion uber den Grad derDifferentialform. Induktionsanfang: Sei g eine 0-Form aus V.

dg =∑ ∂g(y)

∂y jdy j ,

Φ∗(dg) =∑ ∂g(Φ(x))

∂y j

∂y j

∂x idx i

=∑ ∂(Φ∗g)

∂x idx i = d(Φ∗g).

Felix Retter




Beweis von iv mittels vollstandiger Induktion uber den Grad derDifferentialform.Induktionsanfang: Sei h eine 0-Form auf W.

[(Ψ ◦ Φ)∗h](x) = h[(Ψ ◦ Φ)(x)] = h{Ψ[Φ(x)]}= [Ψ∗h][Φ(x)] = {Φ∗[Ψ∗h]}(x)

= [(Φ∗ ◦Ψ∗)h](x)

Felix Retter



Zylinderkonstruktion

Sei U ⊂ En und I = [0, 1]. Wir betrachten folgende Abbildungenvon x ∈ U nach (t, x) ∈ I × U,

j1 : j1(x) = (1, x) ,

j0 : j0(x) = (0, x) .

Und den entsprechenden ∗ − Operator

j∗i : F p (I × U) −→ F p(U), (i = 0, 1) .

Felix Retter



K-operator

Definiere Operator

K : F p+1 (I × U) −→ F p(U);

K(a (t, x) dxH

)= 0,

K(a (t, x) dtdxH

)=

(∫ 1

0a(t, x)dt

)dxH

Es gilt:

K (dω) + d (Kω) = j∗1 (ω)− j∗0 (ω)

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Beweis(1)

Sei ω = a(t, x)dxH .Dann gilt

j∗1ω − j∗0ω = [a(1, x)− a(0, x)]dxH ,

d(Kω) = 0 = Kω,

K (dω) = K

(∂a

∂tdtdxH + . . .

)=

(∫ 1

0

∂a

∂tdt

)dxH

= [a(1, x)− a(0, x)]dxH .

Felix Retter



Beweis(2)

Sei ω = a(t, x)dtdxH .

j∗1ω = j∗0ω = 0,

Kdω = K

[−

∑ ∂a

∂x idtdx idxH

]= −

∑ (∫ 1

0

∂a

∂x idt

)dx idxH ,

dKω = d

[(∫ 1

0a(t, x)dt

)dxH

]=

∑ (∫ 1

0

∂a

∂x idt

)dx idxH .

Felix Retter



Definition (P-homotop)

Ein Gebiet U ist zu einem Punkt P zusammenziehbar (P-homotop)wenn es eine stetige Abbildung Φ : I × U −→ U, I = [0, 1] gibt,mit

Φ(1, x) = x ,

Φ(0, x) = P

Lemma (konverse Poincare Lemma)

Sei U ein Gebiet in En das zu einem Punkt P zusammengezogenwerden kann. Sei ω ein (p + 1)-Form auf U mit dω = 0. Dannexistiert eine p-Form α auf U mit

ω = dα

Felix Retter



Beweis

I Φ ◦ j1 = id , Φ ◦ j0 = P (U P-homotop).

I =⇒ j∗1 (Φ∗ω) = ω, j∗0 (Φ∗ω) = 0.

I Nach Voraussetzung gilt d(Φ∗ω) = Φ∗(dω) = 0.

I

K (d(Φ∗ω)) + d (K (Φ∗ω)) = j∗1 (Φ∗ω)− j∗0 (Φ∗ω) = ω

⇐⇒ d (K (Φ∗ω)) = ω

Wir haben dα = ω fur α := K (Φ∗ω)

Felix Retter



Eindeutigkeit

Seien β und γ zwei Losungen von ω = dα. Es gilt

dβ = ω = dγ

⇐⇒ d(β − γ) = 0

Wenn p ≥ 1 so existiert also eine (p-1)-From λ mit β − γ = dλ.=⇒ Die allgemeine Losung ist somit β − dλ.

Felix Retter



Beispiel

Betrachte R3 und die 2-Form ω = Adydz + Bdzdx + Cdxdy mit∂A∂x + ∂B

∂y + ∂C∂z = 0. Es gilt dω = 0. Mit Φ(t, x , y , z) = (tx , ty , tz)

ist R3 ferner nullhomotop.

Φ∗ω = A(tx , ty , tz)d(ty)d(tz) + . . . = A(tx , ty , tz)(ytdtdz − ztdtdy)

+ . . . + (Terme ohne dt)

α := K (Φ∗ω) =

(∫ 1

0A(tx , ty , tz)tdt

)(ydz − zdy)

+

(∫ 1

0B(tx , ty , tz)tdt

)(zdx − xdz)

+

(∫ 1

0C (tx , ty , tz)tdt

)(xdy − ydx)

Felix Retter



Danke

Ich bedanke mich bei allen aufmerksamenZuhorern

Felix Retter


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