DIE CROSS-METHODEUND IHRE PRAKTISCHE ANWENDUNG

VON

DR. ING. HABIL. RICHARD GULDANO. PROFESSOR AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE HANNOVER

MIT 800 TEXTABBILDUNGEN, 75 TAFELN

UND 46 ZAHLENBEISPIELEN

WIENSPRINGER -VERLAG

1955

ISBN-13: 978-3-7091-8020-4 e-ISBN-13: 978-3-7091-8019-8 001: 10.1007/978-3-7091-8019-8

ALLE RECHTE, INSBESONDERE DAS DER "OBERSETZUNG IN FREMDE SPRACHEN, VORBEHALTEN

OHNE AUSDR"OCKLICHE GENEHMIGUNG DES VERLAGES 1ST ES AUCH NICHT GESTATTET, DIESES BUCH ODER TEILE DARAUS

AUF PHOTOMECHANISCHEM WEGE (PHOTOKOPIE, MIKROKOPIE) ZU VERVIELFALTIGEN

COPYRIGHT 1955 BY SPRINGER-VERLAG IN VIENNA

Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1955

Vorwort.Es unterliegt wohl keinem Zweifel, daB fUr die Berechnung von Rahmentrag­

werken gegenwartig neben dem "Drehwinkelverfahren" die CRoss-Methode in derPraxis die weiteste Verbreitung gefunden hat. Eine Fiille von Aufsatzen und Ab­handlungen in verschiedenen Fachzeitschriften des In- und Auslandes und auchviele Spezialbiicher der Baustatik befassen sich mit diesem Berechnungsverfahren.Dennoch fehlte es aber bisher an einem umfassenden Werk, das neben griindlichenDarlegungen der maBgebenden statischen Zusammenhange und der Besonderheitendieser Methode auch alle fiir eine rationelle praktische Anwendung erforderlichenHilfsmittel in Form von bequem benutzbaren, systematisch angelegten Zahlen­und Kurventafeln aufweist und gleichzeitig eine moglichst groBe Anzahl sorgfaltigausgewahlter und vollstandig durchgerechneter Musterbeispiele der verschiedenstenTragwerksarten enthalt. Diese berechtigten Wiinsche der an der CRoss-Methodeund den verwandten Momentenverteilungsverfahren besonders interessierten Fach­kreise soll nun das vorliegende Buch erfUllen.

Fiir den Gesamtaufbau und die Gliederung des neuen Werkes waren die gleichenPrinzipien maBgebend, die sich bereits bei dem bisher in fUnf Auflagen erschienenenBuch "Rahmentragwerke und Durchlauftrager"l bestens bewahrt haben. Die engeVerwandtschaft des darin erschopfend behandelten Drehwinkelverfahrens mit densog. Momentenverteilungsverfahren und damit vor allem mit der CRoss-Methode,gestattet die unmittelbare·Verwendung fast des gesamten Tafelmaterials aus demBuch "Rahmentragwerke". Es konnten daher die meisten Zahlen- und Kurventafelnvon dort auch in das neue Buch vollig unverandert iibernommen werden. Sie er­moglichen mit den neu hinzugetretenen Hilfstafeln weitgehende Vereinfachungenbei der zahlenmaBigen Berechnung von Rahmentragwerken sowohl nach der CROSS­Methode als auch nach den verschiedenen Momenten- und Drehwinkelausgleichs­verfahren, die im Laufe der letzten Jahre bekannt geworden sind. Das gesamte Werkist wiederum in drei Teile gegliedert, urn eine gute Vbersicht zu gewahrleisten undseinen praktischen Gebrauch zu erleichtern.

1m Ersten Teil des Buches ist in fUnf Abschnitten alles enthalten, was fUr das Ver­standnis der CRoss-Methode und ihre erfolgreiche Anwendung in der Praxis erfor­derlich ist. Bereits im ersten Abschnitt werden die allgemeinen Rechnungsgrund­lagen ausfiihrlich dargelegt und die wichtigsten Grundbegriffe der Rahmenstatikin einpragsamer und anschaulicher Weise vermittelt. 1m AnschluB daran wird dasWesen der unverschieblichen und verscbieblichen Tragwerke eingehend erlautertund an Hand zahlreicher Beispiele eine systematische Gliederung und Gruppierungder im Hochbau und Briickenbau vorkommenden geradstabigen Rahmensystemevorgenommen. Damit kann sich auch der Anfanger, dem erfahrungsgemaB alle mitder Verschieblichkeit von Rahmentragwerken zusammenhangenden Fragen meisterhebliche Schwierigkeiten bereiten, rasch einen Vberblick iiber die Verformungs-

1 Guldan, R., "Rahmentragwerke und Durchlauftrager", 5. Aufl., Wien: Springer­Verlag, 1952.

IV Yorwort.

eigenschaften del' mannigfaltigsten Tragwerkstypen verschaffen, soweit sie fUr dierechnerische Behandlung von Wichtigkeit sind. Del' zweite Abschnitt, del' den"Tragwerken ohne Vouten" gewidmet ist, befal3t sich in ausfUhrlichen Darlegungenmit den Prinzipien del' CRoss-Methode und ihrer praktischen Anwendung auf dieeinzelnen Typen del' unverschieblichen und verschicblichen Tragwerke. Die stetsim AnschluB an die theoretischen Erorterungen in einer kurzen Zusammenfassunggegebene Beschreibung des gesamten Rechnungsganges mit Hinweisen auf die dabeizu benutzenden Formeln und Hilfstafeln sowie die in allen Einzelheiten vollstandigdurchgerechneten EinfUhrungsbeispiele dienen als sichere Wegweiser fiir die zweck­maBigste Durchfiihrung del' einzelnen Rechnungsoperationen. Nach den gleichenGesichtspunkten werden im dritten Abschnitt "Tragwerke mit Vouten" behandelt.Hier gewinnt die zahlenmal3ige Ermittlung del' verschiedenen Stabfestwerte undVolleinspannmomente mit Hilfe del' im Dritten Teil des Buches zusammengestelltenHilfstafeln besondere Bedeutung. 1m vierten Abschnitt wird die Ermittlung del'EinfluBlinien bei Rahmentragwerken und Durchlauftragern nach zwei verschiedenenBerechnungsverfahren gezeigt, die unter gleichzeitiger Verwendung del' beigegebenenHilfstafeln auch fUr die CRoss-Methode besonders gut geeignet sind. 1m funftenAbschnitt des Ersten Teiles werden die Wirkung von Temperaturanderungen sowieverschiedene Nebeneinfliisse wie Schwinden, Auflagerverschiebungen und Formande­rungen durch die Stablangskrafte behandelt und ihre rechnungsmal3ige Beriicksich­tigung unter den iiblichen vereinfachenden Voraussetzungen erlautert.

Del' Zweite Teil des Buches ist ausschliel3lich del' praktischen Anwendullg del'CRoss-Methode vorbehaltell. Es wird dort an weiteren 34 aus den Gebieten desallgemeinen Hochbaues, des Hallen- und Briickenbaues sorgfaltig ausgewahltenZahlenbeispielen gezeigt, wie die Berechnung mit allen Einzelheiten systematischund iibersichtlich unter Anwendung weitgehender Mechanisierung in leicht priif­barer Form vorgenommen werden kann. Es kommen dabei die verschiedenstenTragwerksformen symmetrischer und unsymmetrischer Ausbildung zur Behand­lung, u. zw. teils mit unverschieblichen, teils mit verschieblichen Knotenpunkten.Die meisten diesel' Tragwerke werden sowohl ohne alsauch mit Voutell durchge­rechnet; auf diese Weise ergeben sich nicht nur eine grol3e Anzahl anschaulicherMusterbeispiele fUr diese beiden Tragwerkstypen, sondern auch wertvolle Vergleichs­moglichkeiten fUr den Einflul3 und die giinstige Wirkung del' Vouten bei Rahmen­tragwerken und Durchlauftragern.

Del' Dritte Teil des Buches enthalt insgesamt 75 Hilfstafeln, u. zw. teils Zahlen­und teils Kurventafeln. Anordnung und Ausstattung del' einzelnen Tafeln sind sogetroffen, daB ein GroBtmaB an Ubersicht und eine moglichst bequeme Benutzbar­keit erreicht wird. Die statische Bedeutung del' zu entnehmenden Werte ist stetsaus den schematischen Abbildungen in den Tabellenkopfen mit einem Blick erfaB­bar, so daB Verwechslungen und andere Fehlerquellen weitgehend ausgeschaltetsind.

So moge denn auch das neue Werk, das wiederum in gleicher Weise fUr eineinfUhrendes, griindliches Studium und fUr die vielseitigen Erfordernisse del' Praxisbestimmt ist, eine freundliche Aufnahme in del' Fachwelt finden und dazu beitragen,die Berechnung von Rahmentragwerken und Durchlauftragern weiter zu verein­fachen und zu erleichtern.

Mein Dank gilt allen, die durch ihre wertvolle Hilfe die Vollendung des umfang­reichen Werkes unterstiitzten, insbesondere meinen Assistenten und Mitarbeitern.Herr Dipl.-lng. RIEMANN iibernahm das Durchrechnen del' Zahlenbeispiele, Herrcando arch. WADEWITZ fUhrte gewissenhaft die ihm anvertrauten Arbeiten zurAufstellung verschiedener neuer Hilfstafeln durch und Herr cando arch. GROSSE-

Vorwort. v

BOES beteiligte sich beim Ausarbeiten del' Abbildungen; Herr Dipl.-Ing. BUDDEN­HAGEN unterstiitzte mich durch Kontrollrechnungen und Herr cando arch. GOPFERTdurch die vorziigliche AusfUhrung del' zahlreichen Textzeichnungen. BesonderenDank schulde ich Herrn Dipl.-Ing. REIMANN fUr seine langjahrige und vielfaltigeMitarbeit; durch unermiidliche Hingabe und gro13te Zuverlassigkeit hat er sich beimLesen del' Korrekturen und allen damit verbundenen Kontrollrechnungen immerwieder bewahrt.

Hohe Anerkennung gebiihrt dem Verlag, del' mil' auch bei del' Herausgabedieses Werkes in gro13ziigiger 'Veise entgegenkam und viele Sonderwiinsche erfiillthat.

Hannover, im Juni 1955. R. GULDAN.

Inhaltsverzeichnis. Seite

Zusammenstellung der wichtigsten Bezeichnungen mit Hinweisen auf jeneGleichungen, Abbildungen und Tafeln, die naheren Aufschlu13 tiber die statischeBedeutung und Berechnung der einzelnen Gro13en geben XVII

Erster Teil.Erster Abschnitt.

Allgemeine statische Rechnungsgrundlagen.I. Einleitung 1

II. Rechnungsgrundlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. Beziehungen zwischen Stabendmomenten und Stabenddrehwinkeln .. . . . . 12. Sonderfalle......................................................... 33. Zusammenhange zwischen den "absoluten" und den "relativen" Steifigkeits-

zahlen k 44. Grundaufgabe des Momentenverteilungsverfahrens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55. Beriicksichtigung gelenkiger Stabanschliisse............................ 7

A. Momentenverteilung in Rahmenknoten mit Gelenkanschliissen 7B. Momentenverteilung in Rahmenknoten mit gegeniiberliegenden Gelenken 7

III. Vorzeichenregeln fiir Knotenmomente, Stabendmomente und Stabenddreh-winkel............ 8

IV. Beziehungen zwischen Belastung, Querkraft und Biegungsmoment. . . . . . . . . 111. Zusammenhange zwischen Querkraft und Biegungsmoment . . . . . . . . . . . .. 112. Vorzeichenregel fiir die Querkraft aus der Momentenlinie. . . . . . . . . . . . . .. 123. Zusammenhange zwischen Querkraft und auLlerer Belastung . . . . . . . . . . .. 134. SchluLlbemerkungen 14

V. Das Wesen unverschieblicher und verschieblicher Tragwerke 141. Symmetrische Tragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

A. Bei jeder Belastung unverschieblich 18B. Nur bei symmetrischer Belastung unverschieblich. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21C. Bei symmetrischer Belastung nur lotrecht, bei unsymmetrischer Be­

lastung auch waagrecht verschieblich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24D. Bei symmetrischer und unsymmetrischer Belastung nur waagrecht ver-

schieblich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25E. Bei symmetrischer und unsymmetrischer Belastung lotrecht und waag-

recht verschieblich 262. Unsymmetrische Tragwerke (17) 27

A. Bei jeder Belastung unverschieblich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27B. Bei jeder Belastung nur waagrecht verschieblich. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28C. Bei jeder Belastung nur lotrecht verschieblich 29D. Bei jeder Belastung waagrecht und lotrecht verschieblich 30

Zweiter Abschnitt.

Tragwerke ohne Vouten.I. Vorbemerkung 31

II. Unverschiebliche Tragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 311. Das Prinzip der Cross-Methode...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31

VIn Inhaltsverzeichnis.

!'ieit~

A. Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31B. ~~omentenverteilungszahlenII " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32C. Uberleitungszahlen y 35D. Volleinspannmomente 931 36E. Beschreibung des Rechnungsganges. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37F. Einfiihrungsbeispiel 1: Zweifeldiger Rahmenteil 38G. Einfiihrungsbeispiel 2: DreifeJd iger RahmenteiJ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41

2. Symmetrische Tragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47A. Die Symmetrale trifft Knotenpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47B. Die Symmetrale schneidet Stabe 48C. Einfiihrungsbeispiel 3: Rahmentragwerk mit schragen Riegeln 50D. Einfi.ihrungsbeispiel 4: Fi.infschiffiger Hallenrahmen mit Kragarmen und

Fu13gelenken 53E. Antimetrische Belastung 57

a) Tragwerke mit Knoten-Symmetralen. . . . . . . . . . . . . . .. .. 57b) Tragwerke mit Stab-Symmetralen ,. 57

3. Durchlauftrager ohne Vouten . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 59A. Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59B. Berechnung unsymmetrischer Durchlauftrager . . . . . . . .. 60C. Einfi.ihrungsbeispiel 5: Durchlauftrager tiber zwei ungleichen Feldern 61D. Symmetrische Durchlauftrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63

a) Die Symmetrale trifft ein Auflager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63b) Einfiihrungsbeispiel 6: Durchlauftrager tiber vier Feldern mit Krag-

armen 64c) Die Symmetrale schneidet ein Feld. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66d) Einfiihrungsbeispiel 7: Durchlauftrager i.iber fi.inf Feldern mit ein-

gespannten Enden 66

III. Verschiebliche Tragwerke 69

1. Vorbemerkung 692. Grundaufgaben bei del' Berechnung von Verschiebungsmomenten. . . . . . .. 70

A. Allgemeine Formeln fiir Stabendmomente und Vorzeichenregeln ..... 70B. SonderfaIle...................................................... 72C. Ermittlung del' Festhaltekrafte F in unverschieblich festgehaltenen

Knotenpunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. i 3a) Bei Stockwerksrahmen....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73b) Bei l-stockigen Rahmen. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. 76c) Bei lotrecht verschieblichen Tragwerken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77

D. Ermittlung des Stockwerkschubes S bei unverdrehbar festgehaltenenKnotenpunkten , . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . .. 79

E. Ermittlung del' Volleinspannmomente iii £iiI' Ll = 1 bei unverdrehbarenStabenden , 80

F. Ermittlung del' Volleinspannmomente iii fur Ll = 1 bei Staben mit ein-seitig gelenkigem Anschlu13 81

G. Ermittlung del' durch den Stockwerkschub S hervorgerufenen Vollein-spannmomente iiio und MU 81a) Stockwerke mit gleich langen Stielen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. I'll

a) Stiele oben und unten unverdrehbar I'llP) Stiele oben gelenkig, unten unverdrehbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. H3y) Stiele unten gelenkig, oben unverdrehbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 830) Stiele gelenkig odeI' unverdrehbar in beliebiger Anordnung . . . .. 84

b) Stockwerke mit ungleich langen Stielen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85a) Stiele oben und unten unverdrehbar 85(3) Stiele oben gelenkig, unten unverdrehbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 86y) Stiele unten gelenkig, oben unverdrehbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 870) Stiele gelenkig odeI' unverdrehbar in beliebiger Anordnung 87

3. Anwendung del' Cross-Methode auf waagrecht verschiebliche Tragwerkeohne Vouten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89

A. Verfahren I (mit. Verschiebungsgleichungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 90

Inhaltsverzeichnis. IX

Seitea) Anwendung auf l-stockige Rahmen 90b) Beschreibung des Rechnungsganges fliT l-stockige Rahmen 93c) EinfUhrungsbeispiel 8: Unsymmetrisches Tragwerk mit Kragarm... 93d) Anwendung auf Stockwerkrahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97e) Beschreibung des Rechnungsganges fUr mehrstockige Rahmen .... 101f) EinfUhrungsbeispiel 9: Unsymmetrischer zweistockiger, dreistieliger

Rahmen 102B. Verfahren II (ohne Verschiebungsgleichungen) 108

a) Allgemeines 108b) Beschreibung des Rechnungsganges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 111c) Sonderverfahren mit "fingierten" Knotenlasten 112

IX) Allgemeine Erlauterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 112fJ) Anhaltspunkte fiir die Wahl der "fingierten" Knotenlasten 113

IY. Lotrecht verschiebliche Tragwerke 1151. Yorbemerkung 1152. Beschreibung des Rechnungsganges bei Verwendung von Verfahren I (mit

Verschiebungsgleichungen) ., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 115

V. Das B.U.-Verfahren bei symmetrischen Tragwerken 119

1. Tragwerke mit "Knoten-Symmetralen" 1202. Tragwerke mit "Stab-Symmetralen" 121

Dritter Abschnitt.

Tragwerke mit Vouten.

I. Allgemeines 122

II. Die Rechnungsgrundlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 123

1. Beziehungen zwischen Stabendmomenten und Stabenddrehwinkeln 1232. Formeln fiir die Stabendmomente 1263. Statische Deutung der Stabfestwerte a, b, c 1284. Zusammenhange zwischen den "absoluten" und "relativen" Stabfest-

werten a, b, c 1295. Zahlenmal3ige Ermittlung der Stabfestwerte a, b, c 129

A. Bei Staben mit beliebig veranderlichen Querschnitten 129B. Bei Staben mit geraden oder parabolischen Vouten 129C. Bei Staben mit ungleichen Vouten 131

6. Stabfestwerte in Sonderfallen 132A. Stabfestwerte aO von Staben mit einseitigem Gelenkanschlul3 132B. Stabfestwerte a' von "Symmetriestaben" bei symmetrischer Belastung 134C. Stabfestwerte aU von "Symmetriestaben" bei antimetrischer Belastung 134

i. Volleinspannmomente m bei Rahmenstaben _. . . . . . . . . . . . .. 135A. Bei Stiiben mit beliebig veriinderlichen Querschnitten und beliebiger Be-

lastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 135B. Bei Stiiben mit geraden oder parabolischen Vouten 136C. Bei Staben mit ungleichen Vouten 137D. Volleinspannmomente mo bei Stiiben mit einseitigem Gelenkanschlul3. 138

8. Momentenverteilungszahlen fl 139A. Fiir beidseitig fest angeschlossene Stabe , 139B. Fiir einseitig gelenkig angeschlossene Stfibe . . . . . . . . . . . . . .. 140

9. Uberleitungszahlen y 141

III. Unverschiebliche Tragwerke mit Youten 142

1. Vorbemerkung 1422. Beschreibung des Rechnungsganges 1423. Einfiihrungsbeispiel 10: Unsymmetrischer dreistieliger, zweigeschossiger

Rahmenteil mit Kragarm 1444. Der Durchlauftrager mit Vouten ,. 147

x Inhaltsverzeichnis.

Seite

A. Vorbemerkung 147B. Beschreibung des Rechnungsganges. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 148C. EinfUhrungsbeispiel 11: Durchlauftrager iiber 4 Feldern mit Vouten 149

IV. Waagrecht verschiebliche Tragwerke mit Vouten 152

I. Grundaufgaben bei der Berechnung von Verschiebungsmomenten. . . . . . .. 152A. Allgemeine Formeln fiir die Stabendmomente . . . . . . . . . .. 152B. Sonderfalle...................................................... 154C. Ermittlung der Verschiebungsmomente ]if fiir L1 = I bei unverdrehbaren

Stabenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 155D. Ermittlung der Verschiebungsmomente j;j fiir Ll = I bei Staben mit

einseitigem GelenkanschluJ3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 155Eo Ermittlung der durch den Stockwerkschub S hervorgerufenen Vollein·

spannmomente j;jo und M U....••..•....•.•.••....••..•.••......• 156

a) Stockwerke mit gleich langen Stielen 156«) Stiele oben und unten unverdrehbar 156fJ) Stiele oben gelenkig, unten unverdrehbar 157y) Stiele unten gelenkig, oben unverdrehbar 1580) Stiele gelenkig oder unverdrehbar in beliebiger Anordnung . . . .. 158

b) Stockwerke mit ungleich langen Stielen 159«) Samtliche Stiele oben und unten unverdrehbar. . . . . . . . . . . . . . .. 160fJ) Samtliche Stiele oben gelenkig, unten unverdrehbar . . . . . . . . . .. 160y) Samtliche Stiele unten gelenkig, oben unverdrehbar . . . . . . . . . .. 160(5) Stiele gelenkig oder unverdrehbar in beliebiger Anordnung . . . .. 161

2. Anwendung del' Cross·Methode auf waagrecht vcrschiebliche Tragwerkemit Vouten 162A. Verfahren I (mit Verschiebungsgleichungen) 162

a) Beschreibung des Rechnungsganges fUr 1-st6ckige Rahmen mitVouten 162

b) Beschreibung des Rechnungsganges fiir mehrstockige Rahmen mitVouten 162

B. Verfahren II (ohne Verschiebungsgleichungen) 164a) Vorbemerkung 164b) Beschreibung des Rechnungsganges fUr Tragwerke mit Vouten 164

V. Lotrecht verschiebliche Tragwerke mit Vouten 165

I. Beschreibung des Rechnungsganges bei Verwendung von Verfahren I (mitVerschiebungsgleichungen) It);)

Viertel' Abschnitt.

EinfluBlinien fUr statisch unbestimmte Tra~werke.

1. Ermittlung del' M-EinfiuBIinien nach Verfahren A ("Gelenkmethode") 167

1. Rechnungsgrundlagen 1672. Ermittlung del' Biegelinie aus del' Momentenlinie 1683. Ermittlung des Verdrehungswinkels y del' Gelenkquerschnitte 1694. Ermittlung del' 111-EinfluJ31inienordinaten 11M 1715. Bemerkungen tiber die praktische Durchfiihrung del' Rechnung 1726. Beschreibung des Rechnungsganges bei Verwendung von Verfahren A 173

II. Ermittlung del' M·EinfluJ31inien nach Verfahren B (mit "ideeller" Belastung) 173

1. Bel'echnungsgrundlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1732. Bemerkungen iiber die praktische Durchfiihrung del' Rechnung . . . . . . . .. 1763. Beschreibung des Rechnungsganges hei Verwendung d('s Verfahrens B .. 178

III. M-EinfiuJ3linien fiir Feldquel'schnitte 179

IV. EinfluJ31inien fiil' Querkrafte......................... . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 180

Inhaltsvel'zeichnis. XI

Fiinfter Abschnitt.

18518;)186

186189189190

191

191191193

193193193194

Tragwerken und andereSette182

183183183184184

Temperaturwirkung bei statisch unbestimmtenNebeneinfliisse.

I. Allgemeines .

II. Rechnungsgl'undlagen .I. Tragwel'ke mit geometrisch bestimmbal'en LJ·Werten .

A. Symmetrische "unvel'schiebliche" Tl'agwel'ke .B. Unsymmetrische "unvel'schiebliche" Tragwel'ke .

2. Tl'agwel'ke mit geometl'isch nicht bestimmbaren 11·vVel'ten .

III. Pl'aktische Durchfiihrung del' Bel'echnung .I. Bei "unverschieblichen" Tl'agwel'ken .

A. Beschreibung des Rechnungsganges .B. Einfiihrungsbeispiel 12: ErmittIung del' Temperatul'momente fUr einen

symmetrischen 2·Feldrahmen aus Stahlbeton .2. Berechnung "verschieblicher" Tragwel'ke bei Temperaturwirkung .

A. Vorbemerkung .B. Beschreibung des Rechnungsganges .

IV. Berlicksichtigung ungleichmiil3iger Tempel'aturanderungen .

1. Allgemeines .2. Rechnungsgl'undlagen .3. Beschl'eibung des Rechnungsganges .

V. Sehwindeinftul3, Formanderungen dureh Langskrafte und Auflagervel'sehiebun.gen .I. Sehwindeinftul3 bei Stahlbetontragwerken .2. 'Virkung del' dnrch Langskl'afte hervorgerufenen Formanderungen .3. Einftul3 del' Auflagerverschiebungen .

Zweiter Teil.Zahlenbeispiele.

Vorbemerkung 195

Erster Abschnitt.

Rahmentragwerke ohne Vouten.I. Unverschiebliche Tragwerke 196

Einfiihrende Bemerkungen und Hinweise 196

Zahlenbeispiel 1: Einstieliger Rahmen mit Kl'agarm r 197

Zahlenbeispiel 2: Unsymmetrischer dl'eistieliger, zwei· H-+geschossiger Rahmenteil mit Krag. 199arm........................... "

Zahlenbeispiel 3: Symmetl'ischer Rahmen mit schra· ~ 201gen Aul3enstielen .,£',J, ! ok },.

Zahlenbeispiel 4: Unsymmetrischer dreistieligel', zwei· FA 205geschossigel' Rahmen . . .

XII

Zahlenbeispiel

Zahlenbeispiel

Inhaltsverzeichnis.

5: Symmetrischer sechsschiffiger Hal­lenrahmen mit Pendelstiitzen

6: Symmetrischer zweistieiiger, zwei­geschossiger Rahmen mit Kragar-men . -A-

Seite

208

209

Zahlenbeispiel 7: Symmetrischer dreistieliger Rah-menbinder mit Kragarmen . -1 I 1- 211

Zahlenbeispiel

Zahlenbeispiel

8: Symmetrischer zweigeschossigerRahmenbinder mit schragen Daeh-riegeln .

9: Symmetrischer Mansardendachbin-del' .

213

215

Zahlenbeispiel 10: Symmetrischer siebenschiffiger Hal­lenbindel' mit schl'agen Riegeln ...

Zahlenbeispiel 11: Symmetrischel' siebenschiffiger,zweigeschossiger Hallenbinder .....

Zahlenbeispiel 12: Unsymmetrischer dreifeldiger, drei-geschossiger Rahmenteil .

Zahlenbeispiel 13: Symmetrischer zweigeschossigerHallenrahmen .

Zahlenbeispiel 14: Symmetl'ischer dreifeldiger, zwei­geschossiger Rahmenbinder mit ans-kragenden Riegeln .

Zahlenbeispiel 15: Symmetrischer zweifeldiger, dreige­schossiger Rahmenbinder mit schrii-gen Dachriegeln .

Zahlenbeispiel 16: Symmetrischer dreifeldiger, dreige-schossigel' Rahmenbinder .

M=F1I I 1

217

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222

225

228

230

232

II. Verschiebliche Tragwerke 235

Zahlenbeispiel 17: Unsymmetrischer Zweifeldrahmen.

Zahlenbeispiel 18: Symmetrischer zweistieliger, zwei·sWckiger Rahmen . R

235

242

Inhaltsverzeichnis.

.Zahlenbeispiel 19: Symmetrischer dreigeschossiger, im ~untersten Stockwerk fiinfstieliger~Rahmenbinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

:Zahlenbeispiel 20: Unsymmetrischer dreischiffiger Hal- ~lenbinder mit schragen Riegeln. . . . r1 l!

'Zahlenbeispiel 21: Zweischiffiger Shedrahmen mit· ~Kranbahnkonsolen I I 1

XIIISeite

250

261

270

Zahlenbeispiel 22: Unsymmetrisches Vierendeel·Rah·mentragwerk . 9--L-..l....-l 280

Zweiter Abschnitt.

Rahmentra~werkemit Vouten.Vorbemerkung 289

I. Unverschiebliche Tragwerke 289

Zahlenbeispiel 23: Unsymmetrischer dreistieliger, zwei-geschossiger Rahmen .

Zahlenbeispiel 24: Symmetrischer sechsschiffiger Hal-lenrahmen mit Pendelstiitzen .

Zahlenbeispiel 25: Symmetrischer dreistieliger Rah·menbinder mit Kragarmen .

Zahlenbeispiel 26: Symmetrischer zweigeschossigerRahmenbinder mit schragen Dach·riegeln .

Zahlenbeispiel 27: Symmetrischer dreifeldiger, zwei·geschossiger Rahmenbinder mit ans-kragenden Riegeln .

Zahlenbeispiel 28: Symmetrischer zweifeldiger, drei·geschossiger Rahmenbinder mitschragen Dachriegeln .

Zahlenbeispiel 29: Symmetrischer dreifeldiger, dreige.schossiger Rahmenbinder .

-[1 1­hfTI

289

293

296

298

302

305

308

XIV Inhaltsverzeichnis.

312

SeiteII. Verschiebliche Tragwerke 312

Zahlenbeispiel 30: Symmetrischer dreigeschossiger, im ~

:et~~~~d~~oc~~~r.~~~~~s~~e.I~~e.r.~~~.. rr--tT-l

Dritter Abschnitt.

Tragwerke mit EinfluBlinien und bei Temperaturwirkung.

Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 325

1. Tragwerke mit EinfluJ31inien 325

Zahlenbeispiel 31: Unsymmetrischer zweifeldiger Brtik·kenrahmen mit Vouten .

Zahlenbeispiel 32: Symmetrischer Durchlauftragertiber drei Feldern mit Vouten .....

....

..

r

r""f" ..

325

330

Zahlenbeispiel 33: Verschieblicher unsymmetrischerdreifeldiger Briickenrahmen mitVouten .......................•

336

II. Tl'agwerke bei Tempel'aturwil'kung 34(j

Zahlenbeispiel 34: Unsymmetrischer Zweifeldrahmen inStahlbeton .

Dritter Teil.

34H

2 356

3 357-3594 360-361

Zahlen- und Kurventafeln.

Vol'bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 352

1. Tragheitsmomente von Rechtecksquel'schnitten Tafel 1 354- 355

II. Stabe ohne Vouten:

1. Volleinspannmomente \1)/1. \1)/2' Endtangentenwinkel aOt • aO"Kreuzlinienabschnitte KO t • K02 •

A. Fiir gleichmaJ3ig verteilte Streckenlasten .B. Fill' Dl'eiecklasten, Momentenangl'iff und Temperatul'wir.

kung .C. Fill' Einzellasten .

2. Volleinspannmomente W(°1 fill' "Gelenkstabe·'.A. Fill' gleichmiWig verteilte Streckenlasten und EinzellastenB. Ftir Dreiecklasten, Momentenangriff und Temperaturwir.

kung .

III. Stabe mit Vouten:

1. Stabfestwerte at, a" b ftir beidseitig fest angeschlossene Stabe.A. Einseitig gerade Vouten ZahlentafelB. "parab. . .C. Beidseitig gerade .D. "pal'ab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "E. Einseitig gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . KurventafelF. "parab. . .G. Beidseitig gel'ade .H. pal'ab. . .

5 362-363

6 364-365

7 366-3678 368-3699 370

10 3717a 372-- 374­8a 375-3779a 378-379

lOa 380- 381

Inhaltsverzeichnis.

2. Stabfestwerte a Ol flir "Gelenksti.i.be".

A. Einseitig gerade Vouten .B. parab. . .C. gerade .D. parab. . .

3. Stabfestwerte a' ftir "Syrnmetriesti.i.be" bei sym­metrischer Belastung.

A. Beidseitig gerade Youten .B. parab. . .C. gerade .D. parab. . .

4. Volleinspannmomente ill1 l , 911. ftir beidseitig volleingespannte Sti.i.be bei durchgehender Gleichlast.

A. Einseitig gerade Vouten .B. "parab. . .C. Beidseitig gerade .D. " parab. " .E. Einseitig gerade Vouten .F. "parab. . .G. Beidseitig gerade .H. parab. . .

5. Volleinspannmomente 911°1 fUr "Gelenkstabe" beidurchgehender Gleichlast.

A. Einseitig gerade Vouten .B. parab. . .C. gerade .D. parab. . .

6. Einflul3linien ftir die Volleinspannmomente !ml, ill1•.

A. Einseitig gerade Vouten .B. "parab. . .C. Beidseitig gerade .D. "parab. . .E. Einseitig gerade .F. "parab. . .G. Beidseitig gerade .H. parab. . .

7. Einflul3linien ftir die Volleinspannmomente !mol bei"Gelenksti.i.ben".

A. Einseitig gerade Vouten .B. parab. . .C. gerade .D. parab. . .

8. Endtangentenwinkel at, a., fJ ftir M = + 1 am freiaufliegenden Trager.

A. Einseitig gerade Vouten .B. "parab. . .C. Beidseitig gerade .D. "parab. . .E. Einseitig gerade .F. "parab. . .G. Beidseitig gerade .H. parab. . .

9. Uberleitungszahlen y bei Voutensti.i.ben.

A. Einseitig gerade Vouten .B. "parab. . .C. Beidseitig gerade .D. parab. . .

XV

Seite

Zahlentafel 11 382" 12 383

Kurventafel lla 38412a 385

Zahlentafel 13 386

"14 387

Kurventafel 13a 38814a 389

Zahlentafel 15 39016 39117 392

"18 393

Kurventafel 15a 39416a 39517a 39618a 397

Zahlentafel 19 398

"20 399

Kurventafel 19a 40020a 401

Zahlentafel 21 402-40422 405-40723 408-409

"24 410-411

Kurventafel 21a 412-41422a 415-41723a 418-41924a 420-421

Zahlentafel 25 422-423

" 26 424-425Kurventafel 25a 426-428

26a 429-431

Zahlentafel 27 432-43328 434-43529 436

" 30 437Kurventafel 27a 438

28a 43929a 44030a 441

Zahlentafel 31 44232 44333 44434 445

XVI Inhaltsverzeichnis.

460-462463-465466-467468-469

Seite31a 44632a 44733a 44834a 449

"

Zahlcntafel 35 450- 45136 452-4.5337 45438 45535a 45636a 45737a 45838a 459

Zahlentafel 39404142

Eo Einseitig gerade Vouten KurventafelF. "parab. . .G. Beidseitig gerade .H. parab. . .

10. Endtangentenwinkel a U1 • a U

2 am !'rei aufliegendenTrager bei durchgehender Gleichlast.

A. Einseitig gerade Vouten .B. "parab. . .C. Beidseitig gerade .D. "parab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "E. Einseitig gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . KUl'\'entafelF. "parab. . .G. Beidseitig gerade .H. parab. . .

11. Einflu13linien fUr die Endtangentenwinkel aU" aU2

am frei aufliegenden Trager.

A. Einseitig gerade Vouten .B. "parab. . .C. Beidseitig gerade .D. parab. . .

IV. Relative Verschiebungsgro13en Ll und Ll(E) infolge waagrechterKnotenlasten P bei Rahmen mit verschiedenen Steifigkeitsver-haltnissen zwischen Riegeln und Stielen Tafel 43 470

Literaturverzeichnis .........................................•. 471

Zusammenstellung der wichtigsten Bezeichnungenmit Hinweisen auf jene Gleichungen, Abbildungen und Tafeln, die naheren AufschluJ3

tiber die statische Bedeutung und Berechnung der einzelnen GroJ3en geben.

1. Momente.

M'n,i

NI" .',n

k

k O = 0,75 kk' = 0,5 k

k" = 1,5 k

a O

"Volleinspannmomente" beidseitig voll eingcspannter Stabe: G1. (7),(35), (197) bis (203); Abb. 3,110" b, 120" b, 3160" 4470" 449; Tafel 2 bis4, 15 bis 18, 21 bis 24. •"Volleinspannmoment" von "Gelenkstaben", d. s. einseitig voll einge­spannte, auf der anderen Seite gelenkig angeschlossene Stabe: G1. (36),(207); Abb.316b, 449; Tafel 5, 6, 19, 20, 25, 26."Knotenrestmoment" im unverdrehbar festgehaltenenKnoten n: G1. (22),(220,), (209); Abb. 310 bis 312, 450a-c."Verteilungsmomente" oder "Momentenanteile" am freigelassenenKnoten n, d. s. jene Momente, die durch Verteilung des Knotenrestmo­mentes M n in den fest angeschlossenen Staben n,i entstehen: G1. (31),(212); Abb. 312, 450a-c.,;Ubergangsmomente" oder ,;iibergeleitete Momente", d. s. die durchWeiterleitung der M'n,i-Momente an den gegeniiberliegenden voll ein­gespannt gedachten Stabenden i auftretenden Momente: G1. (340,),(217); Abb. 314, 315, 4520" b; Tafel 31 bis 34."Volleinspannmomente", die an den voll eingespannt gedachten Stab­enden durch eine Verschiebung Ll bzw. durch einen "Stockwerkschub" Shervorgerufen werden: G1. (58), (87), (226), (230), (231) bzw. (96),(121), (238), (254); Abb. 364, 373, 4660,,4670, bzw. 374, 378, 468, 472."Stabendmomente" im unverschieblich festgehaltenen Tragwerk:

Abb. 3820" b.Die durch Ausgleich der Volleinspannmomente 1\1(1), 1\1(2), .•• bei Ver­fahren I erhaltenen Verschiebungsmomente: G1. (145); Abb.397b,399b.

. . . Die durch Ausgleich der Volleinspannmomente 1\1(1), M(2), • .. bei Ver­fahren II erhaltenen M-Werte: Gl. (146), (1460,); Abb.4IOb, 412b.

2. "Festwerte" von Stiiben mit konstanten Querschnitten."Steifigkeitszahl" beidseitig fest angeschlossener Stabe: G1. (5), (13),(25); Abb.7a."Steifigkeitszahl" von "Gelenkstaben": G1. (19); Abb. 9."Steifigkeitszahl" von "Symmetrie-Staben" bei symmetrischer Trag­werksbelastung: G1. (41); Abb.330."Steifigkeitszahl" von "Symmetrie-Staben" bei antimetrischer Trag­werksbelastung: G1. (46); Abb.341a.

3. "Festwerte" von Stiiben mit veriinderlichen Querschnitten(Voutenstiibe).

"Steifigkeitszahlen" von beidseitig fest angeschlossenen Staben:G1. (160), (170), (1790,), (1800,); Abb.434, 435; Tafel 7 bis 10."Steifigkeitszahl" eines "Gelenkstabes": G1. (1900" b); Abb. 4410" b;Tafel 11, 12.

XVIII

a'

n"

01' a., b

0 0

a'

/l n,i

I'm.n

Tn

'Pn

VJ

('(1' CY2 , f3

aOt , a02

it., "'., 7f

-. "0f< " 1'1 •

F

Zusammenstellung der wichtigsten Bezeichnungen.

"Steifigkeitszahl" eines "Symmetrie·Stabes" bei symmetrischer Trag.werksbelastung: Gl. (193a, b); Abb. 442; Tafel 13, 14."Steifigkeitszahl" eines "Symmetrie.Stabes" bei antimetrischer Trag.werksbelastung: Gl. (195a); Abb.443.

_1_.fache Steifigkeitszahlen von beidseitig fest angeschlossenen StabenEJcmit der Lange l = 1: Gl. (179a), (180a), (187); Tafel 7 bis 10.

_1_.fache Steifigkeitszahl eines "Gelenkstabes" mit der Lange l = 1:EJcGl. (190b); Tafel 11, 12.

1EJc·fache Steifigkeitszahl eines "Symmetrie.Stabes" mit der Lange

l = 1 bei symmetrischer Tragwerksbelastung: Gl. (193 b); Tafel 13, 14.

4. "Verteilun~szahlen"und ,;Oberleitun~szahlen".

"VeJ'teilungszahlen" im Knoten n fUr die dort zusammentreffendenfest angeschlossenen Stabe n,i: Gl. (17b), (29), (31), (41a), (212) bis(214); Abb.7b, 313, 315, 450a-c."Uberleitungszahl" bzw. "Ubergangszahl" zur Uberleitung einesMomentes M m.n vom Stabende m zum anderen, unverdrehbar gedach.ten Stabende n: Gl. (32), (33), (217) bis (221); Abb.314, 452a, b;Tafel 31 bis 34.

5. Winkelwerte.

"Endtangentenwinkel", d. i. der Winkel der Tangente an die Biege.linie am Stabende n: Gl. (1), (2), (39), (44), (52), (153); Abb. 1 bis 6,7a, 8, 9, lOb, 362, 363."Knotendrehwinkel", d. i. der Winkel, urn welchen sich ein Rahmen·knoten n infolge der Belastung verdreht: Gl. (16); Abb. 7a, 8, 9, lOb,362, 363."Stabdrehwinkel", d. i. der Winkel, urn welchen die Stabsehne gedrehtwird: Gl. (50), (51); Abb.362, 363."Endtangentenwinkel" eines frei aufliegend gedachten Stabes 1- 2infolge eines Momentes M, = 1 bzw. M. = 1: Gl. (158); Abb. 432b, c;Tafel 27 bis 30."Endtangentenwinkel" eines frei aufliegend gedachten Stabes 1- 2infolge der auJ3eren Belastung: Gl. (35), (158), (197), (204); Abb. 316a, b,432f, 444; Tafel 35 bis 42.EJc·fache Wert des "Endtangentenwinkels" eines frei aufliegend ge·dachten Stabes 1- 2 mit der Lange l = 1 infolge eines Momentes M l = 1bzw. M. = 1: GJ. (186), (187); Abb. 440; Tafel 27 bis 30.EJc·fache Wert des "Endtangentenwinkels" eines frei aufliegend ge·dachten Stabes 1- 2 mit der Lange l = 1 infolge der auJ3eren Belastung:Tafel 35 bis 38.

6. Verschiebun~s~roJ3en.

Die "gegenseitigen" Verschiebungen von Stabenden senkrecht zurStabachse: Gl. (50), (51); Abb.362 bis 365.Die "absolute" Verschiebung eines Stabendes senkrecht zw' Stab·achse: Abb. 362, 363.

7. Kriifte und Belastun~en.

"Festhaltekrafte", d. s. die in den gedachten Festhaltelagern einesverschieblichen Rahmentragwerkes auftretenden AuflagerreaktionenGJ. (65) bis (69) bzw. (66a) bis (68a), (71) bis (75) bzw. (72a) bis (74a),(77) bis (81); Abb.366, 366a, 370a-c, 371, 371a.

Zusammenstellung der wichtigsten Bezeichnungen. XIX

s

p

g

Pq=g+p

Ee

Eg

1:go

1:gu

"Stockwerkschub", d. i. die Summe aller oberhalb des betrachtetenStockwerkes in waagrechter Richtung angreifenden Krafte, einschl.der umgekehrten FesthaltekrafteF: Gl. (82), (82a), (86); Abb. 372a-d."Querkraft" eines Rahmenstabes bzw. Tragerfeldes: Gl. (284); Abb. 494."Querkraft" bezogen auf den frei aufliegenden Trager: Gl. (284)."Auflagerkraft" bzw. "Aktionskraft" eines Rahmenstabes: Gl. (64) bis(65a), (70) bis (71a), (76) bis (77a); Abb. 366a, 367, 368a, b, 37Ia, b."Auflagerkraft" bzw. "Aktionskraft" bezogen auf den frei aufliegendgedachten Stab: Gl. (65a), (66), (7Ia), (77a); Abb.368a."EinzelIast" in kg oder t.Gleichma13ig verteilte standige Belastung in kg/m oder tIm.Gleichma13ig verteilte Nutzlast in kg/m oder tIm.GleichmaBig verteilte Vollbelastung in kg/m oder tIm.

8. Verschiedenes."Querschnitts.Tragheitsmoment" bei Voutenstaben im Bereich kon­stanter Querschnitte: Gl. (179a), (I80a), (182); Abb.437, 438; (fUrRechtecksquerschnitte Tafel 1)."Querschnitts·Tragheitsmoment" des Auflager. Querschnittes beiVoutenstaben: Gl. (182); Abb. 437, 438; (fUr RechtecksquerschnitteTafel 1)."Vergleichs·Tragheitsmoment" bei Staben mit veranderlichen Quer.schnitten: Gl. (12), (177).Summe tiber aIle beidseitig voll eing/l8pannten Stabe: Gl. (104), (129),(246), (257); Abb.377, 475.Summe tiber aIle einseitig gelenkig angeschlossenen, auf der anderenSeite voll eingespannten Stabe: Gl. (107), (131); Abb.377.Sunune tiber aIle Stabe mit Gelenk oben: Gl. (104), (129), (246), (257);Abb.377, 475. .

Sunune tiber aIle Stabe mit Gelenk unten: Gl. (104), (129), (246), (257);Abb.377, 475.