Die Fourier–Transformation und ihre Anwendungen in der...

A FT I Anwendungen der Fourier-Transformation

Die Fourier–Transformation

und ihre Anwendungen in der Nachrichtentechnik

Die Fourier–Transformation und damit der Zusammenhang zwischen Zeit– und Frequenzbereich ist der In-

halt dieses Kapitels, das sich in 6 Teile gliedert. Es werden darin nicht nur die Formeln der F–Transforma-

tion besprochen, sondern anhand von Beispielen und Anwendungen deren Umsetzung in praktische Pro-

blemstellungen der Signal– und Systemtheorie gezeigt und geubt. Dabei werden die Grundlagen fur viele

technische Anwendungen herausgearbeitet. Neben der Darstellung der Grundlagen werden Querverbindun-

gen zwischen und Gemeinsamkeiten der Anwendungen aufgezeigt.

Insgesamt gesehen stellt das gesamte Kapitel uber die F–Transformation und ihre Anwendungen das

Handwerkszeug bereit, das ein Ingenieur in der Praxis (mindestens) benotigt um anschließend die Spezial-

gebiete der technischen Anwendungen richtig verstehen und beherrschen zu konnen.

Die Darstellung beschrankt sich nicht auf Formeln und Gleichungen, wenngleich man nicht ohne diese

auskommt. Die Formeln werden auch interpretiert und bewertet. Die”graphische Methode“, die zur Interpre-

tation der Gleichungen dient, stellt eine Moglichkeit dar, mit einem Minimum an Formeln ein Maximum an

korrekten Ergebnissen zu erzielen. Gleichzeitig ist diese Methode sehr geignet um Zusammenhange durch-

schaubar zu machen. Sie dient zusatzlich der Kontrolle der mittels Simulationsprogrammen auf dem PC

gewonnenen Ergebnisse.

Teil 1

• F-Transformation als Grenzubergang aus der F-Reihe

• Graphische Interpretation

• Der δ(t) Impuls

• Physikalische Interpretation: Spekrtum-Analyzer

Teil 2

• Satze der F-Transformation

• Linearitat

• Symmetrien von Zeitfunktion und Spektraldichte

• Vertauschung

• Zeit–Bandbreiten–Gesetz

• Pulsverrundung und Roll-Off

• Zeitverschiebung

• Kamm-Filter und Transversales Filter

Teil 3

• Frequenzverschiebung

• Modulation

• Differentiation

• Integration

• Aquivalente Tiefpaß–Signale

c© Prof. Dr.–Ing. Dietmar Rudolph 30. Oktober 2008

A FT II Anwendungen der Fourier-Transformation

Teil 4

• Faltung im Zeitbereich

• Faltung mit der δ–Funktion

• Die vereinfachte Faltung

• Faltung im Frequenzbereich

• Komplexe Faltung

• Parseval’sches Theorem

• Asymptotisches Verhalten

• Gauß–Impuls

Teil 5

• Energie– und Leistungs–Signale

• Harmonische Funktionen

• Eingeschaltete Cos– und Sin–Schwingung

• Periodische Funktionen

• δ–Kamm

• Abgetastete Zeitfunktion

• Dimensionierung von FIR–Filtern

• FFT

Teil 6

• Zufalls–Signale

• Verteilungen und Dichten

• Gauß–Verteilung

• Rayleigh–Verteilung

• Korrelations–Koeffizient

• Korrelations–Funktion

• Charakteristische Funktion

• Spektrale Leistungsdichte

• Spektren Digitaler Signale

• Impulsantwort und Kreuzkorrelation


A FT III Anwendungen der Fourier-Transformation

Inhaltsverzeichnis

1 Grenzubergang, δ–Impuls, Zentralordinate

Physikalische und Graphische Interpretation 1

1.1 Die Definitionsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Herleitung der F–Transformation aus der komplexen F–Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Spektraldichte und ihre Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2 Messung der Spektraldichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Beispiel zur Veranschaulichung des Grenzuberganges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Einzelner Rechteckimpuls der Breite 2T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4.1 Berechnung der Spektraldichte mit dem Fourier–Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Das graphische Verfahren zur Gewinnung einer Transformierten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6 Der δ–Impuls und seine Spektralverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6.1 Anwendung des Graphischen Verfahrens auf den δ–Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6.2 Anwendung des graphischen Verfahrens zur Gewinnung der Spektralverteilung des δ–Impulses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6.3 Einheit des δ–Impulses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6.4 Der δ–Impuls technisch gesehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6.5 Multiplikation mit einem Dirac–Impuls δ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6.6 Die Ausblend–Eigenschaft der δ–Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6.7 Bestimmung der Spektraldichte der δ–Funktion mit der Ausblend–Eigenschaft . . . . . . 8

1.7 Physikalische Interpretation der F–Transformation: Spektrumanalyzer . . . . . . . . . . . . . . 8

1.7.1 Tiefpasse als Integratoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7.2 Die Schwachen dieses Analysator–Konzeptes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.8 Blockschaltung fur eine technische Realisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.8.1 Mehrfachumsetzung bei technischen Analyzern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.8.2 Anzeige negativer Frequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.8.3 Wahl der Ablenkgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.9 Graphische Interpretation der Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.9.1 Ungerader Integrand bei symmetrischen Grenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.9.2 Graphische Interpretation der F–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.9.3 Zentralordinaten–Satz der F–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Linearitat, Symmetrie, Vertauschung, Ahnlichkeit,

Zeitverschiebung, Kammfilter, FIR Filter 15

2.1 Satze der Fourier–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Linearitatssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1 Ubungsbeispiele zum Linearitats–Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.2 Linearitat bei Ubertragungssystemen,”Black Box“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.3 Naherungsweise Linearitat in der Praxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Symmetrien von Zeitfunktion und Spektraldichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.1 Komplexe Zeitfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.2 Symmetrien zur Kontrolle von Ergebnissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.3 Konjugiert komplexe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.4 Reelle Zeitfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.5 Imaginare Zeitfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.6 Komplexe Zeitfunktionen bei Basisband–Signalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.7 Die Spektraldichte in polarer Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.8 Symmetrien von Betrag und Phase der Spektraldichten reeller Zeitfunktionen . . . . . . 20

2.3.9 Spektraldichte und Ubertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Vertauschung von Zeitfunktion und Spektraldichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.1 Vertauschungssatz fur gerade Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.2 Vertauschung mit Graphischem Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.3 Technische Interpretation: Idealer Tiefpaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4.4 Vertauschungssatz fur ungerade Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4.5 Technische Interpretation 1: BIPHASE–Codierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.6 Technische Interpretation 2: Hilbertfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25


A FT IV Anwendungen der Fourier-Transformation

2.5 Ahnlichkeit und Zeit–Bandbreiten–Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5.1 Ahnlichkeit mit graphischer Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5.2 Das Zeit–Bandbreiten–Gesetz der Nachrichtentechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5.3 Anwendung auf verrundete Datenimpulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5.4 Das Bandbreiten–Dilemma bei praktischen Ubertragungsproblemen . . . . . . . . . . . . 29

2.6 Zeitverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6.1 Zeitverschiebung bewirkt eine lineare Phasendrehung im Spektrum . . . . . . . . . . . . 30

2.6.2 Signal–Laufzeit auf einer Leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6.3 Signal–Laufzeit bei Systemen mit nichtlinearer Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.6.4 Lineare und nichtlineare Signalverzerrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.6.5 Zur Darstellung der Spektralverteilung zeitverschobener Signale . . . . . . . . . . . . . . 32

2.6.6 Realanteil bzw. Imaginaranteil als Betrag und Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.6.7 Addition beider Phasen–Anteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6.8 Ubungsbeispiel zur Zeitverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6.9 Technische Anwendung: Kammfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.6.10 Anwendung von Kammfiltern beim Farbfernsehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.6.11 Kammfilter als Prototyp des terrestrischen Funkkanals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.6.12 Transversales Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Frequenzverschiebung, Modulation, Differentiation,

Integration, Aquivalentes Tiefpaßsignal 41

3.1 Frequenzverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1.1 Analytisches Signal: Nur positive Frequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 Modulationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.1 Doppelseitenband–Modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2.2 Amplituden–Modulation (AM) der Rundfunksender auf LW, MW, KW . . . . . . . . . . . 43

3.2.3 Digitale I/Q Modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.4 Beispiel 1: Schaltmodulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.5 Beispiel 2: Burst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.6 Beispiel 3: cos–Kuppe im Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2.7 Beispiel 4: cos2–Kuppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2.8 Beispiel 5: Hilbert–Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3 Differentiation und Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3.1 Differentiation im Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3.2 Zusammenhang mit der komplexen Wechselstromrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3.3 Differentialgleichung aus komplexer Rechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3.4 Herleitung von Korrespondenzen mit Hilfe des Zeitdifferentiationssatzes . . . . . . . . . 51

Ableitung eines Rechteckimpulses ⊓T (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Zweifache Ableitung des Dreieck–Impulses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4 Integration im Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.4.1 Die Sprungfunktion σ(t) als Integral uber die δ(t)–Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.4.2 Die Signum–Funktion sgn(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4.3 Zum Auftreten des δ(ω) in der Spektraldichte der integrierten Zeitfunktion . . . . . . . . 56

3.5 Differentiation im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.5.1 Elementarsignal eines Quantisierungsgerausches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.6 Bandpaß–Signale und aquivalente Tiefpaß–Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.6.1 Gewinnung der Aquivalenten Tiefpaß–Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.6.2 Erzeugung des Bandpaß–Signals aus dem Aquivalenten Tiefpaß–Signal . . . . . . . . . . 60

3.6.3 Die Gewinnung des Aquivalenten TP Signals mit Hilfe eines Hilbert–Filters . . . . . . . 60

3.6.4 Das Hilbert–Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4 Multiplikation, Faltung, Vereinfachte Faltung, Parseval,

asymptotisches Verhalten, Gaußimpuls 63

4.1 Faltung und Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2 Faltung im Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2.1 Lineares Zeit–invariantes Ubertragungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Linearitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64


A FT V Anwendungen der Fourier-Transformation

Zeitinvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2.2 LTI–System im Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2.3 Ein– und Ausgangs–Spannung als gewichtete Summe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2.4 Zur Messung der Impulsantwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.3 Eigenschaften der Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.4 Graphische Interpretation der Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.4.1 Impulsantwort des RC–Tiefpasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.4.2 Entladekurve eines Kondensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.4.3 Kettenschaltung zweier RC-Tiefpasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.4.4 Technische Interpretation: Transversales Ubertragungssystem . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.4.5 Glattungseffekt der Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.5 Faltung mit der δ–Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.5.1 Physikalische Interpretation der Faltung mit einem δ–Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.5.2 Verzerrungsfreies System und Zeitverschiebungs–Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.6 Die vereinfachte Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.6.1 Spektraldichten des Pulses ⊓ und des Sprungs σ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.6.2 Verallgemeinerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.6.3 Herleitung der vereinfachten Faltung im Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.6.4 Ubungsbeispiel: Faltung zweier Rechteckimpulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.6.5 Die Einheiten und Dimensionen bei der Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.6.6 In einer der Funktionen sind bereits δ–Funktionen vorhanden . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.6.7 Faltung mit der Sprungfunktion σ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.6.8 Faltung einer approximierten Funktion (Treppen–Kurve) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.6.9 Sprungantwort eines Ubertragungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.6.10 Sprungantwort des idealen TP und das Gibbs’sche Phanomen . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.6.11 Rampenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.6.12 Gewinnung weiterer Korrespondenzen mit Hilfe der Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.6.13 Ubungsaufgabe: Biphase–Signal & Hilbert–Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.6.14 Formung eines Rechteckimpulses durch einen RC–Tiefpaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.7 Faltung im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.7.1 Formung von Daten–Symbolen: Roll–Off . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.8 Komplexe Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.9 Energie–Satz, Parseval’sches Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.10 Asymptotisches Verhalten von Zeitfunktionen und Spektraldichten . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.10.1 Asymptotisches Verhalten von Impulsen endlicher Dauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.10.2 Asymptote fur den Verlauf der Große der Nebenmaxima eines Daten–Symbols . . . . . . 83

4.10.3 Dispersive Ubertragungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.10.4 Beispiele fur Fensterfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.10.5 Das Bode–Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.10.6 Datenubertragung bei endlicher Bandbreite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.10.7 Der Gauß–Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.10.8 Zentraler Grenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.10.9 Gauß’sche Fehlerfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.10.10Digitale Ubertragung mit Storung durch Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5 Periodische Signale, δ–Kamm, Abtasten, FIR–Filter 90

5.1 Leistungs–Signale und Delta–Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.1.1 Energie– und Leistungs–Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.2 Konstantgroßen und δ–Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.2.1 Zentralordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.2.2 Einheiten der δ–Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.2.3 Symmetrie und Skalierungsfaktor der δ–Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.3 Verschobene δ–Impulse und harmonische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.3.1 Synchrone Demodulation und Phasendrehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.4 Eingeschaltete Cos– bzw. Sin–Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.4.1 Einschaltstrom eines Trafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.4.2 Unterschied zur Laplace–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96


A FT VI Anwendungen der Fourier-Transformation

5.5 Periodische Funktionen und der Zusammenhang mit der Fourier–Reihe . . . . . . . . . . . . . . 96

5.5.1 Der Betrag 2π|Cn| der Linien ergibt die Flache der δ–Funktionen in der Spektraldichte . 97

5.5.2 Ersetzen der Fourierkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.5.3 Verallgemeinerung der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.6 Parseval’sches Theorem fur periodische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.7 Der δ–Kamm ⊥⊥⊥”Shah“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.7.1 Endlich viele δ–Linien im Frequenz–Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.7.2 Endlich viele δ–Linien im Zeit–Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.7.3 Faltung und Multiplikation mit dem δ–Kamm ⊥⊥⊥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.7.4 Ubungsbeispiel: Endlich langer Rechteck–Impuls–Zug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.7.5 Verschobener δ–Kamm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.7.6 Verschobener δ–Kamm mittels des Linearitatssatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.7.7 Verschiebung des δ–Kamms um ∆t 6= T/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.8 Abgetastete Zeitfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.8.1 Ideale Abtastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.8.2 Das Abtast–Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.8.3 Spektrums–Begrenzung der abzutastenden Funktion: Anti Aliasing Filter . . . . . . . . 105

5.8.4 Grenzfrequenz ωc fur realisierbare Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.8.5 Ruckgewinnung der ursprunglichen Zeitfunktion: Rekonstruktions–Filter . . . . . . . . . 105

5.9 Reales Abtasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.9.1 Der Einfluß der six –Funktion im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.9.2 Spektrum des D/A gewandelten Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.10 Anwendung der Abtastung: Dimensionierung von FIR Filtern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.10.1 Kausalitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.10.2 Rechteck–Fensterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.10.3 Bestimmung der Fenster–Breite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.10.4 Fenster–Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.10.5 Wahl der Abtastfrequenz und Zahl der Filterkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.10.6 Ausblick: Diskrete Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6 Zufalls–Signale, Wahrscheinlichkeit, Ergodizitat,

Korrelation, Spektrale Leistungsdichte 116

6.1 Zufalls–Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.2 Messen von Verteilungen und Dichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.2.1 Wahrscheinlichkeits–Verteilungs–Funktion der Amplituden . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.2.2 Wahrscheinlichkeits–Dichte–Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.2.3 Amplituden–Dichte–Verteilung (ADV) von Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.2.4 Crest–Faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.2.5 Die Rayleigh–Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.2.6 Amplituden–Dichte–Verteilung deterministischer Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.3 Korrelationsfunktion der Random Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.3.1 Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.3.2 Charakteristische Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.3.3 Berucksichtigung des zeitlichen Verlaufs der Random–Funktion . . . . . . . . . . . . . . 124

6.3.4 Stationaritat und Ergodizitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.4 Korrelation und Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.4.1 Korrelation fur Energiesignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.4.2 Der Korrelations–Koeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.4.3 Korrelations–Funktionen fur Energiesignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.4.4 Physikalische Interpretation der Korrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.4.5 Eigenschaften von Korrelation und Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.4.6 Eigenschaften der Korrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.4.7 Beispiele fur Korrelation von Energie–Signalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.5 Korrelation und Spektrale Leistungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.5.1 Eigenschaften der Spektralen Leistungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.5.2 Physikalische Interpretation der Spektralen Leistungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.5.3 Messung der Spektralen Leistungsdichte mit dem Spektrum–Analyser . . . . . . . . . . 132


A FT VII Anwendungen der Fourier-Transformation

6.5.4 Korrelationsfunktion und Spektrale Leistungs–Dichte von Leistungssignalen . . . . . . . 132

6.5.5 Eigenschaften der AKF von Leistungssignalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.5.6 Kreuz–Korrelation von Leistungssignalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.5.7 Beispiele fur Korrelationen von Leistungs–Signalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.5.8 Korrelationsfunktion von Signal mit Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.5.9 Ubertragung eines Leistungssignals uber ein LTI System . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.5.10 Spektren Digitaler Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.5.11 Daten mit statistischer Unabhangigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.5.12 Weisses Gauß’sches Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.5.13 Bestimmung der Impulsantwort eines Systems mit Hilfe der Korrelation . . . . . . . . . 138

6.5.14 Korrelations–Dauer und eff. Bandbreite der Spektralen Leistungsdichte . . . . . . . . . . 139


A FT VIII Anwendungen der Fourier-Transformation

Abbildungsverzeichnis

1.1 Filterbank (aus LC–Schwingkreisen mit Dampfung→ 0) zur Veranschaulichung der Frequenz . 2

1.2 Zur Veranschaulichung der Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Grenzubergang F–Reihe → F–Transformation am Beispiel des Rechteckpulses und dessen

Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Rechteckimpuls A · ⊓T (t) und seine Spektraldichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Zur Herleitung des Dirac–Impulses δ(t) und seiner Spektraldichte Fδ(ω) . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6 Jeder gerade Impuls der Flache A = 1 geht im Grenzwert gegen einen δ(t)–Impuls. . . . . . . . 7

1.7 Ideale Abtastung durch einen δ(t)–Impuls. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.8 Blockschaltbild eines Spektrumanalyzers, das direkt aus der Formel fur die Fouriertransfor-

mation folgt.”Imaginar“ bedeutet technisch eine Phasendrehung von 900. . . . . . . . . . . . . . 9

1.9 Zur Form der gemessenen Spektrallinien (Cos-Zweig) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.10 Form der Linie im Sin-Zweig: Doppel-Linie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.11 Blockschaltbild eines Spektrumanalyzers (vereinfacht) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.12 Darstellung der Spektrallinien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.13 Gemessene Spektralverteilung eines Rechteckpulses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.14 Ersatzschaltbild eines nicht idealen Mischers mit Oszillator Durchspeisung. . . . . . . . . . . . 12

1.15 Beispiele der Anzeige eines Spektrumanalyzers bei korrekter Ablenkzeit TSW = 20 sec und bei

zu kurzen Ablenkzeiten TSW = 0, 5 sec; 0, 2 sec. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.16 Graphische Deutung der Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.17 Die Zentralordinate der Spektraldichte ist gleich der Flache unter der Zeitfunktion . . . . . . . 14

2.1 Addition der Zeitfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Spektren der Addition der Zeitfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Subtraktion der Zeitfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Spektren der Subtraktion der Zeitfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 Symmetrien von Zeitfunktion und Spektraldichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.6 I/Q Ubertragung digitaler Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.7 Zur Koordinatentransformation der komplexen Funktion F (ω). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.8 Ubertragung uber ein lineares zeitinvariantes System (LTI–System) . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.9 Symmetrien von BetragA(ω) und Phase φ(ω) = −Θ(ω) der Ubertragungsfunktion eines Tiefpaß–

Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.10 Betrag A(ω) und Phase φ(ω) = −Θ(ω) der Ubertragungsfunktion eines RC–Tiefpasses . . . . . . 21

2.11 Vertauschung bei geraden Funktionen am Beispiel ⊓T (t) −−−• 2T sin(ωT )ωT . . . . . . . . . . . . 23

2.12 Vertauschung bei ungeraden Funktionen (Zeitfunktion jeweils reell) . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.13 Beispiel fur den Ahnlichkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.14 Beispiele fur mittlere Impulsdauer und Breite des Hauptmaximums der Spektralverteilung . . 27

2.15 Beispiel fur einen verrundeten Datenimpuls mit endlicher Bandbreite; Verrundung im Spek-

trum gemaß cos2. Die Zeitfunktion kann als Uberlagerung von dreisin(x)x Kurven dargestellt

werden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.16 Das Verrundungs–Filter mit Cos–Roll–Off ( = [0, 0.2, 0.5, 1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.17 Die verrundeten Datensymbole mit Cos–Roll–Off = [0, 0.2, 0.5, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.18 Zur Bandbreite der spektralen Leistungsdichte von rechteckformigen Daten–Symbolen . . . . . 29

2.19 Die Phasenverschiebung ist proportional zur Frequenz ω, wenn die Signallaufzeit konstant ist.

(Beispiel: verlustlose Leitung mit Anpassung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.20 Eine nichtlineare Phase bewirkt frequenzabhangige Laufzeiten und diese fuhren zu (linea-

ren) Signalverzerrungen. Unterschiedliche Laufzeiten bzw. Phasenverschiebungen der Ober-

schwingung angenommen: 0 (blau), π/2 (magenta, gestrichelt), π (schwarz, gepunktet) . . . . . . 31

2.21 Ein δ–Impuls als Eingangssignal eines verzerrungsfreien Systems. Ausgangssignal und Spek-

tralverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.22 Beispiel fur die polare Darstellung einer reell geraden Spektralfunktion . . . . . . . . . . . . . . 33

2.23 Auswirkung einer Zeitverschiebung auf die Spektraldichte: dreidimensionale und polare Dar-

stellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.24 Auswirkung einer Zeitverschiebung auf die Spektraldichte am Beispiel der Rechteck–Impulse

⊓T (t− T ) und ⊓T (t+ T ): Betrag jeweils gleich, Phase ϕ1(ω) = φ(ω) + ψ(ω) fur Rechtsverschie-

bung, ϕ2(ω) = −ϕ1(ω) fur Linksverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34


A FT IX Anwendungen der Fourier-Transformation

2.25 Die Zeitfunktion des Bildes 2.3 (Seite 17) als zwei zeitverschobene ⊓T/4(t) . . . . . . . . . . . . . 35

2.26 Spektraldichte F (ω) (links); Betrag |F (ω)| und Phase φ(ω) der Spektraldichte (rechts) fur die

Zeitfunktion f(t) in Bild 2.25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.27 Kammfilter aus der Parallelschaltung zweier verzerrungsfreier Ubertragungssysteme . . . . . . 36

2.28 Amplituden- und Phasengang eines Kammfilters nach Bild 2.27. Bei der Summierstelle gilt

das + Zeichen: Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.29 Amplitudengang des Kammfilters Bild 2.27, wenn die Ausgangssignale subtrahiert werden.

(— Zeichen in Bild 2.27) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.30 Spektrum des PAL TV und Verschachtelung von Helligkeits– und Farb–Spektrum . . . . . . . . 38

2.31 Zweiwege–Modell des Funk–Kanals und die Kanal–Impulsantwort c(t) . . . . . . . . . . . . . . 38

2.32 Transversale Filterstruktur, FIR Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.33 Beispiel fur die Impulsantwort eines Transversalfilters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.34 Beispiel fur die gefensterte Impulsantwort eines Transversalfilters . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1 Beispiel ωc

π ·sin(ωct)ωct

−−−• ⊓ωc(ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 Aufspaltung des Spekrums eines Analytischen Signals in seinen geraden und ungeraden Anteil 42

3.3 Analytisches Signal (komplex) im Zeitbereich: Modulierter Trager f(t) (reell gerade) und die

Quadratur–Funktion (imaginar ungerade) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4 Blockschaltbild eines Doppelseitenband-Modulators (Multiplizierer) und symbolische Spekt-

raldichten fur die Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.5 Zeitverlaufe von DSB und (gewohnlicher) AM mit m = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.6 Detektor–Schaltung fur AM–Empfang und Hullkurven–Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.7 Blockschaltbild eines Amplituden-Modulators (Multiplizierer & Summierstelle) und Spektral-

dichten fur Cos–formiges Nachrichten–Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.8 Blockschaltbild eines Digitalen I/Q–Modulators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.9 Umpolfunktion und deren Spektraldichte; Tragerfrequenz: ΩC = ω0 . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.10 Modulierter Rechteckimpuls; Frequenz des Tragers ist hoch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.11 Die Cos–Kuppe und ihre Spektralverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.12 Zur Berechnung der Flache der Cos–Kuppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.13 Die cos2–Kuppe und ihre Spektraldichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.14 Hilbert–Tiefpaß HHi-TP(ω) = F (ω) und seine Impulsantwort hHi-TP(t) = f(t) . . . . . . . . . . . . 49

3.15 Differentiation im Zeitbereich ergibt Multiplikation mit jω im Frequenzbereich . . . . . . . . . . 50

3.16 RC–Tiefpaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.17 Die Ableitung des ⊓T (t) fuhrt auf 2 Delta–Impulse↑↓. Die Spektraldichte der δ–Impulse ist

sin–formig. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.18 Erste und zweite Ableitung des Dreiecksimpulses A ·∧T (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.19 Sprungfunktion σ(t) als Integral uber die Deltafunktion δ(t) oder δ(t) als Ableitung von σ(t) . . 54

3.20 Zerlegung der Sprungfunktion σ(t) in eine Signum–Funktion sgn(t) und einen Gleichanteil . . 55

3.21 Die Signum–Funktion sgn(t) und ihre Spektraldichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.22 Sprungfunktion σ(t) und ihre Spektraldichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.23 Zusammensetzung der Sprungfunktion σ(t) aus Konstant–Funktion und Signum–Funktion

sgn(t) und ihre Spektraldichten in drei–dimensionaler Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.24 Die Kennlinie eines ADC zeigt die Stufungen, die zum Quantisierungs–Gerausch fuhren . . . . 57

3.25 Quantisierungsgerausch (Elementarsignal) mit Spektralverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.26 Bildung des Aquivalenten Tiefpaß–Signals im Spektrum (UBP (ω) = UBPe(ω)) . . . . . . . . . . . 59

3.27 Blockschaltbild zur Bildung des Aquivalenten Tiefpaß–Signals aus dem Bandpaß–Signal . . . . 59

3.28 Blockschaltbild zur Gewinnung des Bandpaß–Signals aus dem Aquivalenten Tiefpaß–Signal . . 60

3.29 Blockschaltbild zur Gewinnung des Aquivalenten Tiefpaß–Signals aus dem TP–Signal . . . . . 61

3.30 Ideales Hilbert–Filter und seine Impulsantwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.31 Hilbert–Tiefpaß–Filter (idealisiert) und seine Impulsantwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.1 Beispiel fur die Reaktion eines LTI–Systems: linear & zeitinvariant . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2 Ubertragung uber ein lineares zeitinvariantes System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.3 Faltung als gewichtete Summe der Impulsantworten eines Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.4 Graphische Interpretation der Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.5 Veranschaulichung des Durchschiebens der umgeklappten Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.6 RC Tiefpaß mit δ(t) oder σ(t) als Eingangsgroße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.7 Impulsantwort des RC Tiefpasses und Entladekurve eines Kondensators . . . . . . . . . . . . . 68


A FT X Anwendungen der Fourier-Transformation

4.8 Entkoppelte Kettenschaltung von 2 RC Tiefpassen mit δ(t) als Eingangsgroße . . . . . . . . . . 68

4.9 Faltung zweier e–Funktionen am Beispiel der Kettenschaltung zweier RC–Tiefpasse (T2 = T1/2) 68

4.10 Zeit– und Potential–Verlauf der Eingangsspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69


4.12 Glattungseffekt der Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.13 Faltung mit einer δ–Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.14 Ein δ–Impuls als Eingangssignal eines verzerrungsfreien Systems. Ausgangssignal ua(t) →hvf (t) Impulsantwort ; Ua(ω)→ Hvf (ω) Ubertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.15 Die verlustlose Leitung mit Anpassung als Beispiel eines verzerrungsfreien Systems . . . . . . 71

4.16 Sprungfunktion σ(t) als Integral uber δ(t) oder δ(t) als Ableitung von σ(t) . . . . . . . . . . . . . 72

4.17 Zusammensetzung eines Rechtecks ⊓T (t) aus zwei Sprungfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.18 Approximation eines Funktions–Verlaufes f(t) durch eine Treppen–Kurve, gebildet aus Sprung-

funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.19 Beispiel zur Durchfuhrung der vereinfachten Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.20 Faltung mit der Sprungfunktion am Beispiel der Cos–Kuppe als Beispiel fur eine Integration

mit laufender oberer Grenze t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.21 Der ideale Tiefpaß H(ω) = ⊓ωc(ω) (mit Phase 0) und seine Impulsantwort h(t) = ωc/π

sin(ωct)ωct

. . 76

4.22 Der Integral–Sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.23 Sprungantwort des idealen Tiefpaß–Systems (mit Phase 00) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.24 Sprung– und Rampen–Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.25 Dreiecksfunktion∧

mit Transformierter six 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.26 Formung eines Rechtecks durch einen RC-Tiefpaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.27 Gewinnung der Ubertragungs–Funktion eines Symbol–Verrundungs–Filters Hv(ω) mit Hilfe

der vereinfachten Faltung im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.28 Struktur fur eine komplexe Faltung im Basisband–Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.29 Beispiel zur Berechnung der Energie; Die schraffierten Flachen sind gleich. . . . . . . . . . . . . 82

4.30 Asymptotisches Verhalten der Spektraldichte verschiedener Impulsformen: Die Anzahl der Ab-

leitungen bis δ–Impulse auftreten bestimmt die Ordnung n mit der die Nebenmaxima der

Transformierten abnehmen. Gestrichelt gezeichnet: Asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.31 Zur Ableitung einer cos2–Kuppe (in der Spektraldichte): die 3. Ableitung enthalt δ–Impulse,

also nehmen die Nebenmaxima der zugehorigen Symbolform proportional zu |t|−3 ab, bezogen

auf den Zeitpunkt des Maximums des Symbols. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.32 Beispiele fur Impulse gleicher Breite und gleicher Flache und deren Spektralverteilung im

Bode–Diagramm; Hanning: cos2–Form, Hamming: (⊓+ cos2)–Form . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.33 Beispiel fur einen verrundeten Datenimpuls mit endlicher Bandbreite; Verrundung im Spek-

trum gemaß cos2, d.h. Roll–Off–Faktor ρ = 1. Datentakt: T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.34 Die Gauß–Funktion in normierter Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.35 Die Gauß–Funktion und ihre Transformierte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.36 Zentraler Grenzwert–Satz: Mehrfache Faltung fuhrt auf Verlaufe, die im Grenzfall zu Gauß–

Glocken werden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.37 Gauß–Glocke (σt = 1), Error Function erf(x), Komplementare Error Function erfc(x), Q–Funk-

tion und gespiegelte Q–Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.38 Gauß–Glocke (σt = 1), Q–Funktion und gespiegelte Q–Funktion dazu flachengleiches Rechteck

und Tangenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.39 Die Q–Funktion in logarithmischer Darstellung und ihre Grenzkurven . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.40 Bit–Fehler–Wahrscheinlichkeiten fur bipolare und unipolare digitale Ubertragung im Basis-

band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.1 Konstante Funktionen haben δ–formige Transformierte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.2 Zwei Impulse (symmetrische) im Zeitbereich −−−• Harmonische Schwingung im Frequenz-

bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.3 Harmonische Zeitfunktion −−−• 2 δ–Impulse im Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.4 Auswirkung der Zeitverschiebung bei einer harmonischen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.5 Eingeschalteter Cosinus bzw. Sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.6 Beispiel fur die Spektraldichte einer periodischen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.7 Der δ–Kamm ⊥⊥⊥T (t)und seine Transformierte Ω ·⊥⊥⊥Ω(ω); Ω = 2π/T . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.8 Funf δ–Linien •−−− Uberlagerung von Gleichanteil und 2 Cos-Schwingungen . . . . . . . . . 100


A FT XI Anwendungen der Fourier-Transformation

5.9 Der δ–Kamm ⊥⊥⊥T (t)als Grenzwert der Uberlagerung von Cos–Schwingungen mit ganzzahli-

gen Vielfachen der Grundfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.10 Die Multiplikation eines δ–Kamms ⊥⊥⊥ mit einem Rechteckimpuls ⊓ ergibt eine endliche An-

zahl N von Linien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.11 Spektralverteilung von N aquidistanten δ–Linien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.12 Endlich viele Rechteckimpulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.13 Der um eine halbe Periode verschobene δ–Kamm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.14 Eine ideal abgetastete Funktion fi(t) hat eine periodische Spektraldichte Fi(ω) . . . . . . . . . . 104

5.15 Alias Bildung durch Unter–Abtastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.16 Zur Ruckgewinnung (Interpolation) der ursprunglichen Funktion f(t). . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.17 Real abgetastete Zeitfunktion (Flat–Top–Sampling) mit τ < TA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.18 Ausgleich des si–Verlaufes durch ein Filter mit inversem Amplitudengang bei Flat–Top–Samp-

ling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.19 Zeitfunktion und Spektrum eines D/A ruckgewandelten Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108


5.21 Idealer TP und seine six Impulsantwort (Ausschnitt). Abgetastete Impulsantwort und periodi-

sche Ubertragungs–Funktion. (h(t) zeitlich symmetriert: nicht kausal) . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.22 Betrag der Ubertragungsfunktion |Hi(ω)| des FIR–Filters fur 21 Koeffizienten in linearer und

logarithmischer Darstellung (Rechteck–Fensterung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.23 Kausaler Idealer TP und seine six Impulsantwort. Der Ausschnitt aus h(t) wird durch eine

rechteckformige Fensterfunktion w⊓ der Breite LW = 2t0 erzeugt. h(t) und hi(t) sind symme-

trisch bezuglich t = t0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.24 Die ⊓–Fensterung (mit der Fensterfunktion ⊓t0(t)) der Impulsantwort h(t) hat eine Faltung

der Ubertragungsfunktion H(ω) mit W (ω) zur Folge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.25 Die ublichen Fenster–Funktionen in analoger Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.26 Die gefensterte Impulsantwort eines Transversalfilters (Chebwin–Fenster) . . . . . . . . . . . . 113

5.27 Amplitudengang eines Transversalfilters mit Rechteck–Fensterung und mit Chebwin–Fenste-

rung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.28 Zur Herleitung der diskreten Fourier–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.1 Zur Messung der Amplituden–Verteilung einer Rausch–Spannung. . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.2 Zur Bestimmung der Amplituden–Dichte–Verteilung (PDF) einer Stochastischen Funktion . . . 117

6.3 Typischer Verlauf einer Wahrscheinlichkeits–Verteilungs–Funktion (CPD) P (X) und einer Wahr-

scheinlichkeits–Dichte–Funktion (PDF) p(X) am Beispiel von Normal–Verteilung und komple-

mentare Q Funktion; Links: σ = 1, Rechts: σ = 0.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.4 Rauschen und Gauß–formige ADV (Amplituden–Dichte–Verteilung) . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.5 Der Crest–Faktor von Rauschen mit Gauß–formiger ADV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.6 Rayleigh–Verteilungs–Dichte und Rayleigh–Verteilungs–Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.7 Amplituden–Dichte–Verteilung einer cos– oder sin– Schwingung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.8 Ein Ensemble von Random–Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.9 Zur Messung von Erwartungswerten von Random–Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.10 Histogramm einer Sichproben–Verteilung und Verteilungs–Dichte–Funktion (PDF) . . . . . . . 121

6.11 Die Wahrscheinlichkeits–Dichte–Funktion einer Summe von statistisch unabhangigen random

Sagezahn–Schwingungen nahert sich der Form einer Gauß–Glocke. . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.12 Zwei Ensembles mit unterschiedlicher Zeitdehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.13 Unterteilung einer Random Funktion in Abschnitte gleicher Lange L . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.14 Die Abschnitte gleicher Lange L bilden ein Ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.15 Blockschaltbild eines Korrelators fur AKF ff (τ) KKF gf (τ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.16 Zusammenhang zwischen Faltung und Korrellation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.17 AKF eines Rechteckimpulses ⊓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.18 Kreuzkorrelation zweier orthogonaler Signale. Die KKF gf (τ) ist zeitgespiegelt zur KKF fg(τ).130

6.19 Zur Messung der Spektralen Leistungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6.20 Blockschaltbild eines modernen Spektum Analyzers: die”Display Logic“ ist ein PC . . . . . . . . 132

6.21 AKF der verschobenen Cos–Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.22 AKF eines Signals, das von Rauschen uberlagert ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.23 Modell der Sender–Seite einer binaren Datenubertragung im Basisband . . . . . . . . . . . . . . 136


A FT XII Anwendungen der Fourier-Transformation

6.24 Die Spektrale Leistungs–Dichte von rechteckformigen Daten–Symbolen, die statistisch von

einander unabhangig sind. (lineare und logarithmische Darstellung) . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.25 AKF und Spektrale Leistungs–Dichte von Weißem Rauschen (WGN) . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.26 Anordnung zur Messung der Impulsantwort eines LTI–Systems mit Hilfe der Korrelation. Die

Messung kann als”unterlagerter“ Vorgang ablaufen, wenn die Amplitude des WGN Signals

genugend klein gewahlt wird. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6.27 Effektive Bandbreite der spektralen Leistungsdichte eines Tiefpaß–Signals . . . . . . . . . . . . 139


A FT 1 Anwendungen der Fourier-Transformation

Die Fourier–Transformation

und ihre Anwendungen in der Nachrichtentechnik

1 Grenzubergang, δ–Impuls, Zentralordinate

Physikalische und Graphische Interpretation

Im Kapitel Spektren periodischer Zeitfunktionen hat es sich gezeigt, daß sich die Fourieranalyse einer

periodischen Funktion besonders dann ubersichtlich ausfuhren laßt, wenn die Kurvenform im Grundinter-

vall T getrennt analysiert und dann die Eigenschaft der Periodizitat im Anschluß daran betrachtet wird. Die

Analyse der Kurvenform im Grundintervall fuhrt direkt auf die Fouriertransformation, indem noch formal

ein Grenzubergang T →∞ durchgefuhrt wird.

Nach den vorausgegangenen physikalischen Uberlegungen zu den Begriffen Frequenz und Spektrum,

an welche hier wiederum angeknupft werden soll, werden nun zunachst die Definitionsgleichungen fur die

F–Transformation angegeben. Im Anschluß daran wird gezeigt, wie sich diese aus den Gleichungen der

F–Analyse gewinnen und wie sich diese Definitionsgleichungen schließlich physikalisch interpretieren und

technisch anwenden lassen.

Dieser Weg ist anschaulicher als ein formaler Beweis der F–Transformation. Im weiteren Verlauf werden

dann die Gesetzmaßigkeiten der F–Transformation behandelt und mit Hilfe von Beispielen fur typische

Anwendungen in der Technik vertieft. Auf diese Weise gewinnt man schließlich quasi einen”Baukasten“ fur

die Fourier–Transformation, der sich bequem und anschaulich handhaben laßt.

1.1 Die Definitionsgleichungen

Die Fourier-Transformation dient zunachst zur spektralen Zerlegung von nichtperiodischen (Zeit–)Funktio-

nen. Die formale Erweiterung auf periodische Zeitfunktionen wird spater gezeigt (Kapitel 5).

Die Definitions–Gleichungen fur die Fourier–Transformation lauten:

F (ω) =

∞∫

−∞

f(t) · e−jωtdt Fourier–Transformation: Spektraldichte1 von f(t) (1.1)

f(t) =1

2π

∞∫

−∞

F (ω) · ejωtdω Fourier–Integral: Zeitfunktion aus Spektraldichte (1.2)

• Der Zusammenhang zwischen Zeitfunktion und Spektralverteilung ist eineindeutig, d.h. zu jedem Zeit-

verlauf gibt es genau eine Spektralverteilung und zu jeder Spektralverteilung genau einen Zeitverlauf.

Eine solche Korrespondenz wird durch ein eigenes Symbol −−−• gekennzeichnet:

f(t) −−−• F (ω) bzw. F (ω) •−−− f(t) (1.3)

Bei diesem Symbol soll die Zeitfunktion stets durch den Kreis, die Spektralverteilung stets durch den Punkt

gekennzeichnet sein:

Zeitfunktion −−−• Spektralverteilung

Da die Fouriertransformation als Grenzubergang aus der Fourierreihe ableitbar ist, kann sie ebenfalls

mit Hilfe der Filterbank veranschaulicht werden, Bild 1.1.

Die Fouriertransformation liefert eine Spektralzerlegung — in diesem Fall eine Spektraldichte — auch

fur den Fall einer einmaligen d.h. nichtperiodischen Zeitfunktion, Bild 1.2.

1Der Begriff der Spektraldichte, der bei der F–Transformation an Stelle des Spektrums der F–Reihe vorkommt, wird anlaßlich des

Grenzubergangs von der Reihe zum Integral erklart.



s(t) s(t)

Fourier-AnalyseF-Zerlegung

Fourier-Synthese

“Filterbank”

ω Frequenzachse

ωg

Bild 1.1: Filterbank (aus LC–Schwingkreisen mit Dampfung→ 0) zur Veranschaulichung der Frequenz

Bild 1.2: Zur Veranschaulichung der Fouriertransformation

1.2 Herleitung der F–Transformation aus der komplexen F–Reihe

Die Definitionsgleichungen der Fourier–Transformation lassen sich aus den Formeln fur die komplexe Fourier–

Reihe wie folgt herleiten.

Fur eine periodische Funktion gilt mit der komplexen Fourier–Reihe:

Cn =1

T

T/2∫

−T/2

f(t) · e−jnω0tdt Fourierkoeffizienten: Spektrum von f(t) (1.4)

f(t)l.i.m.= f(t) =

∞∑

n=−∞Cne

jnω0t Synthese der Zeitfunktion2 (1.5)

Man gelangt von einem periodischen Vorgang zu einem einmaligen Vorgang, wenn man die Periodendau-

er T im Grenzfall gegen ∞ (T → ∞) gehen laßt. Dazu wird der Kurvenverlauf im ursprunglichen Intervall

unverandert beibehalten und außerhalb alles zu Null gesetzt.

In diesem Fall werden jedoch die F–Koeffizienten Cn in Gl. (1.4) zu 0:

Cn =1

T

T/2∫

−T/2

f(t) · e−jnω0tdt→ 0 fur T →∞ (1.6)

Fur einen einmaligen Vorgang kann somit kein Spektrum angegeben werden. Mathematisch hilft

man sich so, daß in Gl. (1.4) beide Seiten mit T multipliziert werden. Dann nimmt zwar der Ausdruck T ·Cndie Form 0 ·∞ an, jedoch ergibt sich trotzdem ein definierter Wert, wie man aus der Gleichung (1.8) erkennt.

2Die synthetisierte Zeitfunktion f(t) ist nur im quadratischen Mittel gleich der ursprunglichen Zeitfunktion f(t).



T · Cn =

T/2∫

−T/2

f(t)e−jnω0tdt (1.7)

fur T →∞ wird daraus gemaß Gleichung (1.1):

F (nω0) =

∞∫

−∞

f(t)e−jnω0tdt (1.8)

Dieser Grenzubergang fuhrt auf folgende Konsequenzen:

• Indem die Periodendauer T →∞ geht, ergibt sich fur den Linienabstand ω0 → 0:

ω0 = 2π/T → 0 d.h. Linienabstand → 0 (1.9)

• Da ω0 infinitesimal klein wird, andert man zweckmaßigerweise die Symbole und schreibt statt des-

sen:

ω0 → dω (1.10)

n · ω0 → ω (1.11)

F (nω0) → F (ω) (1.12)

• Wird nun Gl. (1.5) mit dem Ausdruck ω0 = 2π/T erweitert,3

f(t) =1

2π

∞∑

n=−∞T · Cnejnω0t · ω0 , (1.13)

so fuhrt der Grenzubergang T →∞ zum Fourierintegral Gl. (1.2):

f(t) =1

2π

∞∫

−∞

F (ω) · ejωtdω (1.14)

1.2.1 Spektraldichte und ihre Dimension

Wie sofort aus Gl. (1.4) hervorgeht, hat Cn die gleiche Einheit wie f(t), also z.B Volt. Dann erhalt aber der

Ausdruck T · Cn z.B. die Einheit Volt mal Sekunde V · s. Dies kann man auch als V1/s schreiben.

Da 1/s die Dimension Frequenz hat, erhalt man als Dimension Spannung/Frequenz, also z.B. V /Hz, wenn

die naturliche Frequenz f statt der Kreisfrequenz ω = 2πf verwendet wird.

Damit erhalt der Ausdruck T ·Cn die Dimension einer Spektraldichte. Somit hat auch F (ω) die Dimen-

sion Spektraldichte.

• Fur einen einmaligen Vorgang kann also kein Spektrum, sondern nur noch eine Spektral-

dichte angegeben werden.

1.2.2 Messung der Spektraldichte

Die Spektraldichte kann naherungsweise mit einem Spektrumanalyzer gemessen werden. Im Unterschied

zur Fouriertransformation, welche (wie die Fourieranalyse) eine Filterbank mit∞ vielen infinitesimal schma-

len LC–Filtern unterstellt, hat ein realisierbarer Spektrumanalyzer Filter endlicher Bandbreite. Damit

wird mathematisch gesehen F (ω) uber diese Bandbreite integriert. Der Spektrumanalyzer stellt also nicht

F (ω), sondern∫F (ω)dω, integriert uber die Bandbreite seines Filters, dar4.

Dieses Integral hat damit wieder die gleiche Einheit wie f(t). Damit mißt der Spektrumanalyzer ein

Spektrum, das in seiner Form naherungsweise (dem Betrag) der Spektraldichte von f(t) entspricht. Die

Naherung wird umso besser, je schmaler das Filter des Analyzers eingestellt wird.

3Zur Vereinfachung wird ab hier nicht mehr f(t) geschrieben, sondern nur noch f(t). Siehe jedoch Bilder 1.1 und 1.2.4Genaueres zum Spektrumanalyzer in den folgenden Abschnitten.



1.3 Beispiel zur Veranschaulichung des Grenzuberganges

Es wird der periodische Rechteckpuls betrachtet, dessen Spektrum mit der komplexen Fourierreihe berech-

net wurde, Bild 1.3.

t

t

t

t

T

T

T

τ

A

f (t)1

f (t)2

f (t)3

f(t)f(t): Einzelimpuls T

−10 −5 0 5 10

0

0.5

1

x →

Cn →

Cn

−10 −5 0 5 10

0

0.5

1

x →

T⋅ C

n →

T⋅ Cn

−10 −5 0 5 10

0

0.5

1

x →

Cn →

−10 −5 0 5 10

0

0.5

1

x →

T⋅ C

n →

−10 −5 0 5 10

0

0.5

1

x →

Cn →

−10 −5 0 5 10

0

0.5

1

x →

T⋅ C

n →

−10 −5 0 5 10

0

0.5

1

x →y

= 0

* s

i(x)

−10 −5 0 5 10

0

0.5

1

x →

y =

si(x

)

Aτ/T

Grenzübergang T → ∞

Bild 1.3: Grenzubergang F–Reihe → F–Transformation am Beispiel des Rechteckpulses und dessen Spek-

trum

Durch den Grenzubergang T →∞ ergibt sich, wie man sofort aus Bild 1.3 sieht:

• Der Linienabstand ω0 → 0. Die Linien rucken also∞ dicht zusammen.

• Die Nullstellen der Hullkurve andern sich nicht: ωN = 2 · π/τ .

Da sich die Impulsbreite τ nicht andert (die Breite des Einzelimpulses bleibt gleich), andern sich auch

die Nullstellen der Hullkurve des Spektrums nicht.

• Die Zentralordinate, das ist Amplitude der Linie bei ω = 0, wird zu A · τ/T → 0.

Damit werden alle Linien verschwindend klein, ein Spektrum ist nicht mehr darstellbar, sondern nur

noch eine Spektraldichte, die sich aus dem Grenzubergang mit T · Cn ergibt, Bild 1.3 rechts.

1.4 Einzelner Rechteckimpuls der Breite 2T

Ein einzelner Rechteck–Impuls ⊓T (t) hat gemaß dem Grenzubergang eine six = sin(x)x formige Spektraldich-

te, Bild 1.4.5

• Die Breite 2T des ⊓ erscheint mit ihrem halben Wert T als Index in der Formel f⊓(t) = A · ⊓T (t). In der

Transformierten, demsin(x)x , erscheint dieser Wert wieder: F⊓(ω) = 2AT sin(ωT )

ωT .

Zusammen mit dem Satz uber die Zentralordinate (2AT = Flache unter der Zeitfunktion), siehe Kapitel 1.9.3,

laßt sich aus der Graphik unmittelbar die Formel bestimmen.

Der mit ⇓ gekennzeichnete Index T in der Zeitfunktion des Rechecks A · ⊓ ⇓T (t) erscheint entsprechend

in der Spektraldichte als Faktor wieder,

f⊓(t) = A · ⊓⇓T (t) −−−• F⊓(ω) = 2A

⇓T︸︷︷︸

Flache

sin(ω⇓T )

ω⇓T

(1.15)

Da durch den Grenzubergang der Linienabstand =⇒ 0 geht, mußte man eigentlich die si–Kurve schwarz

ausfullen, was aber ublicherweise nicht gemacht wird. Man zeichnet vielmehr nur die Berandungskurve.

5Achtung: in Bild 1.4 werden andere Symbole verwendet als in Bild 1.3. Wie groß ist jetzt die Impulsbreite? Hier zeigt es sich

wieder, daß es vorteilhaft ist, in Begriffen zu denken und nicht in Symbolen!



Bild 1.4: Rechteckimpuls A · ⊓T (t) und seine Spektraldichte

1.4.1 Berechnung der Spektraldichte mit dem Fourier–Integral

Durch Einsetzen in die Definitionsgleichung (1.2) erhalt man F⊓(ω) wie folgt:

f⊓(t) = A · ⊓T (t) = A; −T < t < T (1.16)

F⊓(ω) =

∞∫

−∞

f(t)e−jωtdt =

T∫

−T

A · e−jωtdt = A

T∫

−T

e−jωtdt (1.17)

= Ae−jωT − e+jωT

−jω = A · 2T e+jωT − e−jωT

j2Tω(1.18)

Mit Hilfe der Euler’schen Formel wird daraus:

F⊓(ω) = 2ATsin(ωT )

ωT(1.19)

• Dies ist einer der wenigen Falle, wo eine Spektraldichte explizit berechnet werden muß. Mit Hilfe der

Gesetzmaßigkeiten der F–Transformation gelingt es ohne große Muhe, sehr viele Anwendungsbeispiele

auf diese eine Korrespondenz ⊓ −−−• sin(x)

xzuruckzufuhren.

1.5 Das graphische Verfahren zur Gewinnung einer Transformierten

Der Rechteckimpuls ⊓T (t) spielt in der Technik eine sehr wichtige Rolle. Im weiteren Verlauf wird sich

zeigen, daß sehr viele Funktionsverlaufe auf einen Rechteckimpuls zuruckfuhrbar sind. Auf dieser Tatsache

beruht das graphische Verfahren zur Bestimmung der Transformierten.

Durch Vergleich zwischen F⊓(ω) aus den Gleichungen (1.15), (1.15) und F (ω) aus Bild 1.4 erkennt man,

daß nicht nur das Bild eindeutig durch die Formel beschrieben wird, sondern daß man genau so ein-

deutig aus dem Bild die Formel gewinnen kann. Diese Idee liegt dem graphischen Verfahren zugrunde.

Im Falle des Rechteckimpulses findet man folgende Zusammenhange:

• Rechteck im Zeitbereich −−−• six im Frequenzbereich

• Impulsbreite 2T −−−• 1. Nullstelle des six bei ωN = 2π/2T = π/T

• Flache des Rechtecks A ⊓T (t) : 2AT −−−• Zentralordinate des six : 2AT

• Index T bei A · ⊓ ⇓T (t) −−−• Wert T in der Formel 2A

⇓T

sin(ω⇓T )

ω⇓T

Damit ist die Spektraldichte F⊓(ω) des Rechteckimpulses f⊓(t) auch formelmaßig einfach anzugeben.

Das graphische Verfahren, bei dem die Begriffe zusatzlich zu den Formeln graphisch interpretiert werden,

wird durch weitere Beispiele und durch die Gesetzmaßigkeiten der Fouriertransformation erweitert und

ausgebaut.



1.6 Der δ–Impuls und seine Spektralverteilung

1.6.1 Anwendung des Graphischen Verfahrens auf den δ–Impuls

Der δ–Impuls oder Dirac–Impuls6 δ(t) ist die (mathematische) Idealisierung eines technisch realisierbaren

sehr kurzen und sehr hohen Impulses7, der anschaulich als Nadel–Impuls bezeichnet wird.

Zur Herleitung des δ–Impulses und seiner Spektralverteilung kann man von jedem geraden Impuls aus-

gehen. Als Beispiel soll der Rechteckimpuls (1/2T ) · ⊓T (t) verwendet werden. Dieser hat eine Flache der

Große A⊓ = 1, Bild 1.5.

δ(t)

tt

f(t)=(1/2T) (t)ΠT

Fläche = 1

T-T

ω πN= /T

1 1F ( )Π ω F ( )δ ω

ω ω

T

ωN

0Fläche = 1

Bild 1.5: Zur Herleitung des Dirac–Impulses δ(t) und seiner Spektraldichte Fδ(ω)

Wird die Breite 2T des Rechteckimpulses (1/2T )·⊓T (t) bis auf 0 verkleinert, wobei aber seine Flache A⊓ =1 konstant bleiben soll, muß die Hohe 1/2T schließlich→∞ gehen. Man erhalt durch diesen Grenzubergang

den Dirac–Impuls δ(t).δ(t) wird graphisch durch einen Pfeil ↑ dargestellt. Dieser Pfeil symbolisiert die ∞ große Hohe des δ–

Impulses. Gleichzeitig wahlt man die Lange des Pfeils proportional zur Flache des Dirac–Impulses

(Aδ = 1 in Bild 1.5).

1.6.2 Anwendung des graphischen Verfahrens zur Gewinnung der Spektralverteilung des δ–Impulses

Das Graphische Verfahren geht hier von einem Rechteckimpuls (1/2T ) · ⊓T (t) aus und verfolgt, wie sich die

Anderung eines Parameters, hier die Impulsbreite 2 ·T bei konstanter Flache A⊓ = 1, im Zeit– und damit im

Frequenzbereich, also in der Transformierten, auswirkt (Bild 1.5).

• In der Spektraldichte F⊓(ω) des Rechteckimpulses geht die 1. Nullstelle (und damit auch alle anderen)

gegen∞, wenn seine Breite 2T gegen Null geht, d.h. ωN = π/T →∞.

• Da die Flache unter der Zeitfunktion konstant bleibt (in diesem Fall ist A⊓ = Aδ = 1), bleibt auch die

Zentralordinate der Transformierten konstant.

• Also wird Fδ(0) = 1. Somit ergibt sich die Korrespondenz:

δ(t) −−−• Fδ(ω) = 1 (1.20)

• Die Spektraldichte Fδ(ω) eines Dirac–Impulses δ(t) ist demnach konstant fur alle Frequenzen, oder

technisch ausgedruckt:

In der Spektraldichte von δ(t) sind alle Frequenz–Komponenten gleich stark enthalten.

6P. A. M. Dirac hat diese Impulsform als erster im Rahmen der Quantenmechanik benutzt.7Der Dirac-Impuls δ(t) ist streng mathematisch keine Funktion, sondern eine Distribution. Von den Eigenschaften dieser Distri-

bution werden in der Ubertragungstechnik nur wenige verwendet, die zudem unmittelbar einsichtig sind.



1.6.3 Einheit des δ–Impulses

Der Grenzubergang gibt auch Auskunft uber die Einheit des δ–Impulses, da sich durch diesen Grenzuber-

gang an der Einheit nichts andert8.

1

2T⊓T (t) Einheit :

1

sec(1.21)

δ(t) Einheit :1

sec(1.22)

Der δ–Impuls hat also die Einheit

[1

sec

], was einer Frequenz entspricht.

1.6.4 Der δ–Impuls technisch gesehen

Aufgrund des Grenzubergangs wird erkennbar, daß nicht nur ein Rechteckimpuls, sondern jeder gerade

(even) Impuls mit ansonsten beliebiger Form, dessen Flache AImpuls = 1 ist, in der Grenze auf einen Dirac–

Impuls δ(t) fuhrt [16], Bild 1.6.

Bild 1.6: Jeder gerade Impuls der Flache A = 1 geht im Grenzwert gegen einen δ(t)–Impuls.

Dies ist der Grund dafur, daß technisch gesehen kurze Impulse durch δ–Impulse dargestellt werden

konnen, was zu einer Vereinfachung in der Berechnung fuhren wird.

Technisch gibt es weder einen Nadelimpuls, der infintesimal schmal und∞ hoch ist, noch eine Spektral-

funktion die bis zur Frequenz ω → ∞ konstant ist. Diese Feststellung kann andererseits zur Entscheidung

herangezogen werden, ab wann ein Nadelimpuls als δ–Impuls dargestellt werden kann. Hierfur betrachtet

man das Ubertragungssystem, auf das dieser Nadelimpuls wirkt:

• Ist die Spektralverteilung des Nadelimpulses innerhalb des Durchlaßbereiches dieses Systemes

konstant, so kann der Nadelimpuls als δ-Impuls dargestellt werden, ohne daß durch diese Idealisie-

rung ein Fehler entsteht.

1.6.5 Multiplikation mit einem Dirac–Impuls δ(t)

Da der δ–Impuls an der Stelle t = 0 ist (und nur da 6= 0 ist !), wird δ(t) = 0 fur t 6= 0. Damit gilt fur das

Produkt von einer beliebigen Zeitfunktion mit einer δ–Distribution:

8Die Flache A⊓ = Aδ wird fur diese Betrachtung zu 1 angesetzt.



f(t) · δ(t) = f(0) · δ(t) (1.23)

Durch die Multiplikation mit einer δ–Funktion wird ein einzelner Wert aus einer Funktion f(t) ausge-

blendet. Die δ–Funktion erhalt damit die Flache f(0).

1.6.6 Die Ausblend–Eigenschaft der δ–Funktion

Soll der Funktionswert f(0) gewonnen werden, also ein Abtastwert aus einer Funktion, muß folgendes Inte-

gral gebildet werden;

∞∫

−∞

f(t) · δ(t)dt =

∞∫

−∞

f(0) · δ(t)dt = f(0)

∞∫

−∞

δ(t)dt

︸︷︷︸=1(per Definition)

= f(0) · 1 = f(0) (1.24)

• Von dem Integranden interessiert nur der Wert, wo sich δ(t) befindet, hier also die Stelle t = 0 bzw. bei

δ(t− t0) die Stelle t = t0, weil uberall sonst das Produkt im Integranden den Wert 0 hat, Bild 1.7.

t t

f(t)

f(t ) (t-t )0 0δf(t )0

t0 t0

Bild 1.7: Ideale Abtastung durch einen δ(t)–Impuls.

Eine der angenehmen Eigenschaften der δ–Funktion ist, daß sich ein Integral, bei dem δ im Integranden

steht, offensichtlich ganz einfach berechnen laßt.

1.6.7 Bestimmung der Spektraldichte der δ–Funktion mit der Ausblend–Eigenschaft

Auf die Fourier–Transformation der δ(t) Funktion angewendet, ergibt sich, da in e−jωt im Integral wegen

der δ(t) Funktion fur t = 0 eingesetzt werden kann:

Fδ(ω) =

∞∫

−∞

δ(t) · e−jωtdt =

∞∫

−∞

δ(t) · e0dt =

∞∫

−∞

δ(t)dt = 1 (1.25)

Damit ist das mit der Graphischen Methode erzielte Ergebnis bestatigt.

Technische Anwendung der Ausblend–Eigenschaft

Die Ausblend–Eigenschaft der δ–Funktion spielt beim Abtasten von Zeitfunktionen eine wichtige Rolle,

Bild 1.7. Abgetastete Zeitfunktionen kommen z.B. bei den Pulsmodulationsverfahren oder in der Digitalen

Signalverarbeitung vor.

1.7 Physikalische Interpretation der F–Transformation: Spektrumanalyzer

Es soll hier gezeigt werden, daß die Funktionsweise eines Spektrumanalysators unmittelbar aus den For-

meln fur die Fourier–Transformation interpretiert werden kann.

Hierfur wird zunachst mittels der Eulerschen Formeln die Fourier–Transformation geschrieben als:



F (ω) =

∞∫

−∞

f(t) · e−jωtdt =

∞∫

−∞

f(t) · cos(ωt)dt− j∞∫

−∞

f(t) · sin(ωt)dt (1.26)

Diese Gleichung kann nun direkt in ein vorlaufiges Blockschaltbild fur einen Spektrumanalyzer9 umge-

setzt werden, Bild 1.8.

Bild 1.8: Blockschaltbild eines Spektrumanalyzers, das direkt aus der Formel fur die Fouriertransformation

folgt.”Imaginar“ bedeutet technisch eine Phasendrehung von 900.

Die zu analysierende Zeitfunktion f(t) wird sowohl mit einer cos– als auch mit einer sin–Schwingung mul-

tipliziert. Anschließend werden die Produkte mit Tiefpassen gefiltert, was naherungsweise einer Integration

entspricht.

Die Frequenz ω ist bei dieser Messung ein Parameter, man erhalt die Spektraldichte punktweise. In

der Praxis wird die Frequenz des Oszillators gewobbelt, also periodisch langsam hin und her verandert. Die

Frequenz ω des Umsetzoszillators darf (theoretisch) erst dann geandert werden, nachdem die Integrations–

Filter (hier Tiefpasse) eingeschwungen sind, also der stationare Endwert erreicht wurde. Entsprechend

niedrig ist die Wobbelgeschwindigkeit zu wahlen. Hatten die Tiefpasse eine Grenzfrequenz ωg → 0 (wie es

die theoretische Uberlegung mit der Filterbank fordert), ware ihre Einschwingzeit tein →∞. Ein Spektrum-

analyzer kann daher das Spektrum prinzipiell nicht beliebig fein auflosen.

1.7.1 Tiefpasse als Integratoren

Es soll mit Hilfe einer physikalischen Uberlegung gezeigt werden, daß die Tiefpasse als Integratoren wirken.

Fur diese Uberlegung werde f(t) als periodisch und gerade (even) angenommen. Dies ist eine Vereinfa-

chung, die aber die Allgemeingultigkeit nicht einschrankt.

Mittels der F–Analyse kann man dann schreiben:

f(t) =a0

2+

∞∑

n=0

an cos(nω0t) (1.27)

Nun soll immer genau dann ein Ausgangssignal des Analyzers zustande kommen, wenn der variable

Umsetz–Oszillator auf einer Frequenz ω = k ·ω0 schwingt, die in f(t) vorhanden ist. Die Produkte f(t) cos(ωt)und f(t) sin(ωt) liefern dann in einem solchen Fall u.a. einen Term, fur den mit ω = k · ω0 gilt:

ak · cos2(kω0t) =ak2 1︸︷︷︸

Gleichanteil

+cos(2kω0t) Cos–Zweig (In–Phase) (1.28)

ak · cos(kω0t) · sin(kω0t) =ak20 + sin(2kω0t) Sin–Zweig (Quadratur–Phase) (1.29)

9Diese Struktur findet sich wieder beim”I/Q–Demodulator“ fur Digitale Modulationen. Der obere (reelle) Zweig wird dann als

”I–

Zweig“ bezeichnet und der untere (imaginare) Zweig als”Q–Zweig“.



Die Tiefpasse lassen (nur) den Gleichanteil durch und sperren die Schwingung auf der Frequenz 2kω0,

sowie auf allen anderen Summen– und Differenz–Frequenzen. Damit besorgen die Tiefpasse die geforderte

Integration10.

Wie man erkennt, liefert nur der Cos–Zweig einen Beitrag, namlich ak/2. Dies ist in Ubereinstimmung

mit der Annahme einer geraden Zeitfunktion.

1.7.2 Die Schwachen dieses Analysator–Konzeptes

Ein Analyzer nach Bild 1.8 hat zwei entscheidende Schwachen:

1. Die Tiefpasse lassen auch noch tief–frequente Wechselspannugen durch.

2. Die Phasenbeziehungen zwischen f(t) bzw. seinen Fourier–Komponenten und der Ausgangsspan-

nung des variablen Oszillators sind unbestimmt und zufallig.

Die erste Schwache laßt sich mildern, indem den Tiefpassen zusatzlich noch Gleichrichter nachgeschaltet

werden. Man bekommt dann zwar immer noch keine scharfen Spektrallinien, sondern (verbreiterte) Linien

in der Form der Durchlaßkurven der Tiefpasse, s. Bild 1.9 fur den Cos–Zweig und Bild 1.10 fur den Sin–Zweig

(fur das gewahlte Beispiel).

Bild 1.9: Zur Form der gemessenen Spektrallinien

(Cos-Zweig)

Bild 1.10: Form der Li-

nie im Sin-Zweig: Dop-

pel-Linie

Die Doppellinie im Sin–Zweig ergibt sich dadurch, daß zwar bei kω0 im Beispiel nichts entsteht, jedoch

Differenzfrequenzen fur ω 6= kω0 auftreten, die fur kleine Werte von ∆ω = |ω − kω0| von den Tiefpassen

durchgelassen werden.

Die willkurliche Phasenbeziehung zwischen f(t) und der Cos–formigen Schwingung des variablen

Oszillators hat zur Folge, daß bei einer gegebenen Eingangsfunktion f(t) jede denkbare Zwischenform der

Linien entstehen kann. Dies ist ein so entscheidender Schwachpunkt, daß das Konzept der direkten Umset-

zung in den Tiefpaßbereich fur Spektrumanalysatoren nicht angewendet wird.

1.8 Blockschaltung fur eine technische Realisierung

Die technische Ausfuhrung eines Spektrumanalyzers vermeidet die obigen Schwierigkeiten dadurch, daß

nicht in den Tiefpaßbereich, sondern in einen Zwischenfrequenzbereich (IF intermediate frequency) ωIFumgesetzt wird11, Bild 1.11.

Durch die Umsetzung in die Zwischenfrequenz ωIF steht immer eine Schwingung zur Verfugung, die

gleichgerichtet werden kann. Eine Einsattelung (Doppel–Linie) wie in Bild 1.10 kann dadurch nicht mehr

auftreten.

• Wegen des notwendigen Gleichrichters werden aber die Phasenbeziehungen nicht erfaßt, so daß

nur die Betrags–Werte von F (ω), also |F (ω)|, dargestellt werden konnen.

10Die Frequenz 2kω0 muß dafur bereits außerhalb des Durchlaßbereichs der Tiefpasse liegen.11Bei einem Spektrumanalyzer wird eine hochliegende Zwischenfrequenz (intermediate frequency, IF) verwendet. Eine hochliegende

IF wird immer dann gewahlt, wenn der Empfangsbereich sehr breit und das Verhaltnis von oberer zu unterer Empfangsfrequenz sehr

groß ist.



Bild 1.11: Blockschaltbild eines Spektrumanalyzers (vereinfacht)

1.8.1 Mehrfachumsetzung bei technischen Analyzern

Ein technisch realisierbarer Spektrumanalyzer setzt in mehreren Stufen von einer hohen in eine niedere

Zwischenfrequenz (IF) um (Mehrfach–Super). Auf der niedrigsten IF stehen verschiedene Filter mit unter-

schiedlicher Bandbreite BIF zur Verfugung, Bild 1.12.

Bild 1.12: Darstellung der Spektrallinien.

Die”Linien“ haben die Form der Durchlaßkurve des Analyse–Filters. Daher sind hierfur

”spitze“

Filter geeignet. Die Breite des Analyse–Filters ist umschaltbar, z.B.: BIF = 10 KHz, 3 KHz, 1 KHz.Da die Rauschleistung proportional zur Bandbreite BIF des IF Filters ist, steigt diese bei großerer

Bandbreite, was sich als erhohter Rauschsockel in der Spektraldarstellung zeigt.

1.8.2 Anzeige negativer Frequenzen

Nach den Additionstheoremen ergibt sich eine (betragsmaßig gleiche) Differenzfrequenz (Zwischenfrequenz

ωIF ) sowohl dann, wenn der Umsetzoszillator (local oscillator LO) um ωIF oberhalb (ωIF = ωLO − ωe) als

auch dann, wenn er unterhalb (ωIF = ωe − ωLO) der gemessenen Frequenz schwingt. Daraus ergibt sich

eine zweiseitige spektrale Darstellung, Bild 1.13, wenn die Frequenz ωLO uber die Zwischenfrequenz ωIFhinwegbewegt wird12.

Die Linie bei ω = 0

Das Spektrum bei ω = 0 kann aus technischen Grunden nicht gemessen werden (Kondensatorkopplung

des Eingangs). Die sichtbare und viel zu große Linie bei Null entsteht durch direktes Durchspeisen der

12Bei modernen, prozessorgesteuerten Spektrumanalysatoren wird dies i.a. vermieden, so daß nur eine Darstellung der positiven

Frequenzen erfolgt.



Bild 1.13: Gemessene Spektralverteilung eines

Rechteckpulses

u (t)e

u (t)LOu (t)IF

Σ

KC

Mischer

Bild 1.14: Ersatzschaltbild eines

nicht idealen Mischers mit Oszillator

Durchspeisung.

Oszillatorspannung innerhalb des Mischers, Bild 1.14. (Fur ωe = 0 schwingt der Oszillator auf ωLO = ωIF .)

1.8.3 Wahl der Ablenkgeschwindigkeit

Hatte das IF–Filter eine Bandbreite BIF → 0, so mußte man∞ lange warten, bis es eingeschwungen ist. Also

durfte der Umsetzoszillator nur infinitesimal langsam seine Frequenz andern (Ablenkgeschwindigkeit→ 0).

Die Ablenkgeschwindigkeit darf jedoch gemaß dem Zeit–Bandbreiten–Gesetz entsprechend zur Bandbreite

des IF–Filters steigen.

Bei fester Bandbreite des IF–Filters und steigender Ablenkgeschwindigkeit bzw. kurzerer Ablenkzeit

TSW (sweep time) erhalt man eine Anzeige gemaß Bild 1.15.

Bild 1.15: Beispiele der Anzeige eines Spektrumanalyzers bei korrekter Ablenkzeit TSW = 20 sec und bei zu

kurzen Ablenkzeiten TSW = 0, 5 sec; 0, 2 sec.

• Nur bei richtig gewahlter Ablenkgeschwindigkeit darf die Zeitachse des Oszilloskops mit

der Frequenzachse gleichgesetzt werden! Ansonsten erhalt man zwar auch eine”Linie“, die aber

zu klein und zu breit ist und nicht bei der richtigen Frequenz abgebildet wird.

Die minimal zulassige Ablenkzeit TSWmin(entsprechend zur maximalen Ablenkgeschwindigkeit) laßt sich

wie folgt abschatzen. Zunachst gilt gemaß dem Zeit–Bandbreiten–Gesetz:

TSWmin∼ 1

BIF(1.30)

Dies gilt so nur dann, wenn genau die IF Bandbreite BIF auf dem Schirm abgebildet werden soll. Norma-

lerweise ist der”Span“, d. h. der dargestellte Frequenzbereich FSpan großer als BIF . Damit beim Wobbeln das

IF Filter trotz des großeren Spans wieder einschwingen kann, muß die Ablenkzeit im Verhaltnis FSpan/BIFvergroßert werden.



Damit wird schließlich

TSWmin= K

FSpan

(BIF )2;K ≫ 1 (1.31)

wobei K ein Faktor ist, der die Filtergute und den Formfaktor des Filters beschreibt (mit K ≫ 1).

1.9 Graphische Interpretation der Fouriertransformation

Es soll hierfur eine gerade Zeitfunktion als Beispiel betrachtet werden, speziell der Rechteckimpuls ⊓T (t).Fur eine gerade (even) Zeitfunktion f(t) vereinfacht sich das Fourierintegral (mit Hilfe der Eulerschen Be-

ziehungen) zu:

F⊓(ω) =

∞∫

−∞

f(t) · cos(ωt)dt =

∞∫

−∞

⊓T (t) cos(ωt)dt =

T∫

−T

1 · cos(ωt)dt (1.32)

Im Integral der Gleichung (1.32) ist t die Variable und ω ein Parameter. Nachdem die F–Transformation

durchgefuhrt ist, verschwindet t, weil die Integralgrenzen eingesetzt werden und es bleibt anschließend ωubrig, das nunmehr zur Variablen in der Transformierten wird.

1.9.1 Ungerader Integrand bei symmetrischen Grenzen

Da die Integralgrenzen symmetrisch sind, limT →∞, wird das Integral uber einen ungeraden Integranden

zu Null13:

j

∞∫

−∞

⊓T (t) sin(ωt)dt = 0 allgemein:

∞∫

−∞

fe(t)︸︷︷︸even

· sin(ωt)︸︷︷︸odd

dt = 0 (1.33)

1.9.2 Graphische Interpretation der F–Transformation

Eine graphische Bestimmuung von F (ω) z.B. mit Papier und Bleistift14 muß Parameterwerte ω vorgeben

und jeweils das Integral berechnen (graphisch: Flache unter der Kurve). Die so berechneten Stutzwerte fur

F (ω) werden in einem neuen Achsenkreuz aufgetragen, Bild 1.16.

Bild 1.16: Graphische Deutung der Fouriertransformation

13Eine Symmetriebetrachtung kann hier eine Berechnung ersetzen.14Die heute ubliche Berechnung mittels PC verwendet die Fast Fourier Transformation FFT. Die so erhaltenen Ergebnisse entspre-

chen denen aus der F–Transformation nur dann, wenn einige Randbedingungen berucksichtigt werden. Die FFT wird in einem spateren

Kapitel angesprochen.



1.9.3 Zentralordinaten–Satz der F–Transformation

Fur beliebige Zeitfunktionen und Spektraldichten folgt aus der Verallgemeinerung der graphischen Deutung

der Satz uber die Zentralordinate. Hierfur wird in der Fouriertransformation der Parameter–Wert ω = 0eingesetzt.

F (0)︸︷︷︸Zentralordinate : Gleichanteil

=

∞∫

−∞

f(t)e0dt =

∞∫

−∞

f(t)dt

︸︷︷︸Flache unter f(t) : Mittelwert

(1.34)

Die Linie im Spektrum bei der Frequenz 0, F (0), ist physikalisch der Gleichanteil. Aus der Zeitfunktion

f(t) erhalt man den Gleichanteil durch die Bildung des Mittelwertes, technisch durch Tiefpaß–Filterung,

welche als Approximation an eine Integration betrachtet werden kann.

Entsprechend folgt aus dem Fourierintegral fur t = 0:

f(0)︸︷︷︸Zentralordinate

=1

2π

∞∫

−∞

F (ω)e0dω =1

2π

∞∫

−∞

F (ω)dω

︸︷︷︸Flache unter F (ω)

(1.35)

Der Faktor 1/2π vor dem Intergral:

Bei der Integration uber ω = 2πf wird (im Unterschied zu einer Integration uber die naturliche Frequenz

f ) uber einen Faktor 2π zuviel integriert (dω = 2πdf), weshalb dann durch 2π dividiert werden

muß.

Dies trifft fur alle Integrale uber ω zu.

Bild 1.17 zeigt diesen Zusammenhang fur die Zentralordinate im Spektrum.

Bild 1.17: Die Zentralordinate der Spektraldichte ist gleich der Flache unter der Zeitfunktion

Wie man mit Hilfe der graphischen Darstellung sofort erkennt, ist die Zentralordinate der F–Transfor-

mierten einer ungeraden Funktion Null.

Die Satze uber die Zentralordinate sind ein wichtiger Bestandteil der graphischen Methode. Sie dienen

daruber hinaus speziell zur Kontrolle von Ergebnissen, die uber mehrere Zwischenschritte ermittelt wurden.



2 Linearitat, Symmetrie, Vertauschung, Ahnlichkeit,

Zeitverschiebung, Kammfilter, FIR Filter

2.1 Satze der Fourier–Transformation

Fur den Zusammenhang zwischen Zeitfunktionen und Spektraldichten oder Frequenzfunktionen gelten die

folgenden Gesetzmaßigkeiten, welche zunachst als Ubersicht aufgelistet werden. In den weiteren Kapiteln

werden diese Beziehungen genauer dargestellt und jeweils typische und wichtige Anwendungen gezeigt.

Diese Gesetzmaßigkeiten zeigen Wege, wie man ausgehend von bekannten Korrespondenzen der Fourier–

Transformation zu neuen Zusammenhangen kommt, oder umgekehrt, wie man gesuchte Korrespondenzen

aus bekannten Korrespondenzen entwickeln kann. Diese Vorgehensweise ist ingenieurmaßig von besonde-

rem Interesse, da hiermit erkennbar wird, wie z. B. eine Veranderung im Zeitbereich sich auf die Eigenschaf-

ten in der Spektraldichte abbildet. Die Vorgehensweise wird an Hand von Beispielen erlautert.

Satz Zeitbereich Frequenzbereich Kapitel

f(t) −−−• F (ω)

Zentralordinate f(0) =1

2π

∞∫

−∞

F (ω)dω 1.9.3

∞∫−∞

f(t)dt = F (0) 1.9.3

Linearitat a · f(t) + b · g(t) −−−• a · F (ω) + b ·G(ω) 2.2

Symmetrie fe(t) −−−• Fe(ω)fo(t) −−−• j · Fo(ω) 2.3

Komplexe Zeitfunktionen f(t) = fR(t) + jfI(t) −−−• F (ω) = FR(ω) + jFI(ω) 2.3.1

f∗(t) −−−• F ∗(−ω) 2.3.3

Vertauschung g(t) = F (t) −−−• G(ω) = 2π · f(−ω) 2.4

Ahnlichkeit f(at) −−−• 1|a|F (ω/a) 2.5

Zeitverschiebung f(t− t0) −−−• e−jωt0 · F (ω) 2.6

Frequenzverschiebung e+jΩ0t · f(t) −−−• F (ω − Ω0) 3.1

Modulation f(t) · cos(ΩCt) −−−• F (ω − ΩC) + F (ω + ΩC)

23.2

Differentiation ddtf(t) −−−• jω · F (ω) 3.3

t · f(t) −−−• j ddωF (ω) 3.5

Integrationt∫

−∞f(τ)dτ −−−• 1

jωF (ω) + πF (0)δ(ω) 3.4

Hilbert–Transformation f(t) ∗ (2/jω) −−−• F (ω) · sgn(ω) 3.6.3

Faltung f(t) ∗ g(t) −−−• F (ω) ·G(ω) 4.2

Multiplikation f(t) · g(t) −−−• 1

2πF (ω) ∗G(ω) 4.7

Energiesatz∞∫

−∞f(t)2dt −−−• 1

2π

∞∫

−∞

|F (ω)|2dω 4.9

Abgetastete Zeitfunktion f(t) ·⊥⊥⊥T (t) −−−• F (ω) 1

2π∗ [Ω ·⊥⊥⊥Ω(ω)]; Ω = 2πT 5.8

Korrelation f(t) ⋆ f(t) −−−• |F (ω)|2 6.4

Korrelation & Faltung f(t) ⋆ g(t) = f(−t) ∗ g(t) −−−• F ∗(ω) ·G(ω) 6.4

Es folgen nun die Satze im einzelnen mit kurzem Beweis und die Anwendungen dieser Satze in der

Ubertragungstechnik. Hierbei ist jeweils vorausgesetzt, daß eine oder mehrere folgender Korrespondenzen

bekannt sein sollen:

f(t) −−−• F (ω), g(t) −−−• G(ω), h(t) −−−• H(ω) (2.1)



2.2 Linearitatssatz

Der Linearitatssatz oder Uberlagerungssatz hat bei der Beschreibung von Systemen eine große Bedeu-

tung, denn er gestattet es, großere Problemstellungen in kleinere uberschaubare Teile zu zerlegen. Es sind

a und b Konstanten und f(t), g(t) sind Zeitfunktionen, deren Spektralverteilungen F (ω), G(ω) bekannt sein

sollen. Dann gilt:

a · f(t) + b · g(t) −−−• a · F (ω) + b ·G(ω) (2.2)

Die einzelnen Teile durfen also getrennt transformiert werden.

Beweis:

∞∫

−∞

a · f(t) + b · g(t)e−jωtdt = a

∞∫

−∞

f(t)e−jωtdt+ b

∞∫

−∞

g(t)e−jωtdt = a · F (ω) + b ·G(ω)

Wie man unmittelbar erkennt, gilt die Formel Gl. (2.2) in entsprechender Weise auch fur eine Zerlegung

in mehr als nur zwei Teile.

2.2.1 Ubungsbeispiele zum Linearitats–Satz

Zwei Beispiele sollen die Vorgehensweise erlautern. Die Bilder 2.1 und 2.2 zeigen zwei Rechteck–Impulse

f1(t) und f2(t) mit der jeweiligen Hohe A und den Breiten 2T bzw. T . Diese haben die Flachen 2AT bzw. AT ,

die sich in den Spektren als Zentralordinaten wieder finden. Addiert man die beiden Rechteckfunktionen,

ergibt sich eine Art Treppenkurve fΣ(t). Deren Spektralverteilung FΣ(ω) ist die Summe der Spektralvertei-

lungen F1(ω) und F2(ω).

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Zeit

Am

plitu

de

Summenkurve Zeitbereich

t

f(t)

T/2 T

A

2A

Summen−kurve

f1(t) f

2(t)

fΣ(t)

Bild 2.1: Addition der Zeitfunktionen

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ω

F(ω

)

Spektrum Summenkurve

Summenkurve

3AT

2AT

AT

2π/T 4π/T 6π/T

FΣ(ω)

F(ω)

(Kreis−) Frequenz

F1(ω)

F2(ω)

Bild 2.2: Spektren der Addition der Zeitfunktio-

nen

Die (ersten) Nullstellen ωN im Spektrum einessin(x)

xliegen im Abstand 2π/Pulsbreite des

Rechteck–Impulses. Damit folgt fur die beiden Spektren:

ωN1= 2π/2T = π/T fur Spektraldichte F1(ω) (2.3)

ωN2= 2π/T fur Spektraldichte F2(ω) (2.4)

Die Addition der beiden Spektraldichten erfolgte mit MATLAB, da Freihandskizzen in diesem Beispiel zu

ungenau werden, insbesondere was die genaue Lage der Nullstellen in der Spektraldichte der Summenkurve

betrifft.



Wird nun die Zeitfunktion f2(t) von f1(t) subtrahiert, bleiben in diesem Beispiel 2 zeitverschobene

Rechtecke ubrig, die f∆(t) bilden. Die entsprechenden Spektren sind in gleicher Art zu subtrahieren. Da-

mit wird:

F∆(ω) = F1(ω)− F2(ω) (2.5)

Die graphische Vorgehensweise zeigen die Bilder 2.3 und 2.4. Auch hier wird die Spektralverteilung der

Differenzkurve mit MATLAB gerechnet und gezeichnet1.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Zeit

Am

plitu

de

Differenzkurve Zeitbereich

t

f(t)

T/2 T

−A

A

Differenz−kurve

f1(t)

f2(t)

f∆(t)

Bild 2.3: Subtraktion der Zeitfunktionen

−6 −4 −2 0 2 4 6

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

(Kreis−) Frequenz

F(ω

)

Spektrum Differenzkurve

Differenzkurve

2AT

AT

2π/T 4π/T 6π/T

F∆(ω)

F(ω)

F1(ω)

F2(ω)

−AT ω

Bild 2.4: Spektren der Subtraktion der Zeitfunk-

tionen

2.2.2 Linearitat bei Ubertragungssystemen,”Black Box“

Durch die Fourierzerlegung der Eingangsgroße eines linearen Systems erhalt man Cos– und Sin–formige

(bzw. in komplexer Darstellung ejωt–formige) Komponenten. Fur jede dieser Komponenten kann man mit

komplexer Rechnung die zugehorige Ausgangsgroße bestimmen. Die gesamte Ausgangsfunktion ist dann

die Summe oder Uberlagerung samtlicher einzelnen Ausgangsgroßen. Dies ist die Aussage des Linearitats–

oder Uberlagerungssatzes.

Auf diese Art und Weise wird mit Hilfe der komplexen Wechselstromrechnung die Ausgangsgroße

von elektrischen Netzwerken berechnet. Bei diesem analytischen Ansatz muß das Netzwerk im Einzelnen

bekannt sein, also seine Elemente und seine Struktur.

Im Unterschied dazu wird im Zusammenhang mit der F–Transformation ein systemtheoretischer An-

satz gewahlt. Ein Ubertragungssystem wird dabei definiert als”Black Box“, die fur eine vorgegebene Ein-

gangsgroße eine gewunschte Ausgangsgroße liefert. Hierbei wird zunachst keine Rucksicht auf eine etwaige

Realisierbarkeit dieser”Black Box“ genommen. Die Ergebnisse lassen sich dadurch einfacher bestimmen,

stellen praktisch gesehen aber nur Naherungslosungen dar. Viele Daumenregeln in der Praxis werden ge-

nau auf diese Weise gewonnen.

2.2.3 Naherungsweise Linearitat in der Praxis

Praktische Systeme verhalten sich meist nur naherungsweise (und nur innerhalb eines gewissen Arbeitsbe-

reiches) linear. Die Abweichungen von der Linearitat werden dann mit Hilfe von Klirrfaktoren oder Verzer-

rungsfaktoren ausgedruckt.2 Wird der Aussteuerungsbereich uberschritten, treten i.a. Sattigungs–Verzer-

rungen auf.

1Mit Hilfe des Zeitverschiebungs–Satzes (Kap. 2.6) und des Faltungs–Satzes (Kap. 4.5) ergeben sich alternative Berechnungsmog-

lichkeiten fur die Spektraldichte in diesem Beispiel, die bequem auch freihandig ausfuhrbar sind.2Siehe hierzu auch das Skript

”Lineare Zeitinvariante Systeme“ (LTI), Kap. 5.



2.3 Symmetrien von Zeitfunktion und Spektraldichte

Zeitfunktionen und Spektraldichten lassen sich nach dem Linearitatssatz zerlegen in:

• reelle und imaginare Anteile

• gerade und ungerade Anteile

2.3.1 Komplexe Zeitfunktionen

Im allgemeinen Fall der komplexen Zeitfunktion ergeben sich dadurch folgende Teile, wobei gezeigt ist, wel-

cher Teil der Zeitfunktion in welchen Teil des Spektrums transformiert wird. (ℜ steht fur”Realanteil von“

und ℑ steht fur”Imaginaranteil von“; alternativ wird der Index R und I verwendet.)

f(t) = fe(t) + fo(t) = ℜfe(t) + jℑfe(t) + ℜfo(t) + jℑfo(t)f(t) = fR(t) + jfI(t) = fRe

(t) + jfIe(t) + fRo

(t) + jfIo(t)

|• |• |• |• |•F (ω) = Fe(ω) + Fo(ω) = ℜFe(ω) + jℑFe(ω) + jℑFo(ω) + ℜFo(ω)F (ω) = FR(ω) + jFI(ω) = FRe

(ω) + jFIe(ω) + jFIo

(ω) + FRo(ω)

(2.6)

Beweis:

Fe(ω) =

∞Z

−∞

fe(t)e−jωtdt =

∞Z

−∞

fe(t) cos(ωt)dt| z

gerade, even

−j

∞Z

−∞

fe(t) sin(ωt)dt| z

ungerade, odd

=

∞Z

−∞

fe(t) cos(ωt)dt

Fo(ω) =

∞Z

−∞

fo(t)e−jωtdt = · · · = −j

∞Z

−∞

fo(t) sin(ωt)dt

Das Integral uber einen ungeraden (odd) Integranden ist jeweils Null. Fur die Aufspaltung in ℜ und ℑ gilt der

Linearitatssatz.

Die Symmetriebeziehungen nach Gleichung (2.6) werden in Bild 2.5 veranschaulicht.

s

f (x)

Real

Imaginary

Real even

Imag even

Real odd

Img odd

Imag odd

Real odd

Zeitfunktionen Spektralverteilung

reell & gerade

imaginär & gerade

s

F(s)

Real

Imaginary

Real even

Imag even

reell & gerade

imaginär & gerade

reell & ungerade

imaginär & ungerade

imaginär & ungerade

reell & ungerade

Bild 2.5: Symmetrien von Zeitfunktion und Spektraldichte



2.3.2 Symmetrien zur Kontrolle von Ergebnissen

Die Symmetrien von Zeitfunktionen und deren Spektralverteilungen dienen der Kontrolle bei der graphi-

schen Methode. Ein Ergebnis, das z.B. uber verschiedene Zwischenschritte hergeleitet wurde, kann so mit

einer Symmetrieuberlegung auf Fehler uberpruft werden.

2.3.3 Konjugiert komplexe Funktionen

Aus Gleichung (2.6) ergibt sich direkt:

f∗(t) −−−• F ∗(−ω) f∗(−t) −−−• F ∗(ω) (2.7)

2.3.4 Reelle Zeitfunktionen

Vereinfachend gegenuber Gleichung (2.6) gilt fur reelle Zeitfunktionen:

fR(t) = fRe(t) + fRo

(t)

|• |• |•FRa(ω) = FRe

(ω) + jFIo(ω) = 1

2F (ω) + F ∗(−ω)(2.8)

Die Ausdrucke F (ω) und F ∗(−ω) sind in den Gleichungen (2.6) und (2.7) definiert. Der Index Ra in FRa(ω)bezieht sich auf den Real–Anteil von f(t).

2.3.5 Imaginare Zeitfunktionen

jfI(t) = jfIe(t) + jfIo

(t)

|• |• |•jFIa(ω) = jFIe

(ω) + FRo(ω) =

1

2F (ω)− F ∗(−ω)

; FIa(ω) = FIe(ω) − jFRo

(ω) =1

2jF (ω)− F ∗(−ω)

(2.9)

Der Index Ia in FIa(ω) bezieht sich auf den Imaginar–Anteil von f(t).

Imaginare Spektralverteilung bedeutet 900 Phasendrehung.

• Ist eine Spektralverteilung imaginar, heißt dies, daß sie sich aus Sin–Komponenten zusammensetzt.

Damit bedeutet imaginar im Spektrum: 900 Phasendrehung.

2.3.6 Komplexe Zeitfunktionen bei Basisband–Signalen

Komplexe Zeitfunktionen treten in einer speziellen (jedoch sehr wichtigen) Anwendung auf, namlich beim

Ersatz eines Bandpaß–Systems durch ein aquivalentes Tiefpaß–System, Bild 2.6.

Transmitter’s Side Receiver’s Side

I I

Q Q

TX RXCHSE SD

2 Transmission Paths: I & Q

AnalogSignal

Data Data AnalogSignal

SourceEncoder

SourceDecoder

Splitter ModulatorTransmitter

Channel

CombinerReceiverDemodulator

Bild 2.6: I/Q Ubertragung digitaler Signale



Dies ist speziell fur die Digitale Signalverarbeitung von Interesse, da dort wegen der erreichbaren

Taktgeschwindigkeit nicht im Bandpaßbereich, sondern nur im Tiefpaßbereich (Basisband) gearbeitet wer-

den kann. Auch die Modulationen werden dabei komplex im Basisband berechnet. Praktisch bedeutet dies,

daß zwei parallele (im Prinzip gleiche) Kanale I und Q verwendet werden.

2.3.7 Die Spektraldichte in polarer Darstellung

Ganz allgemein kann eine komplexe Große in kartesischer Darstellung als z = x + jy oder in polarer

Darstellung als z = r · ejϕ angegeben werden. Hierbei gilt:

r =√x2 + y2 = |z| Betrag

ϕ = arctan(y

x) = ∠z Phasenwinkel

(2.10)

Diese Koordinatentransformation wird auf die Spektraldichte F (ω) angewendet. In der komplexen Ebene

dargestellt ergibt F (ω) eine Ortskurve. Die Frequenz ist hierbei als Parameter aufzufassen, Bild 2.7. :

ϕ ω( )

ReF( )ω

ImF( )ωOrtskurve

F( )ωω

re

im

Bild 2.7: Zur Koordinatentransformation der komplexen Funktion F (ω).

F (ω) = ℜF (ω)+ jℑF (ω) kartesische Darstellung (Reell und Imaginar)

F (ω) = |F (ω)| · ejϕ(ω) = A(ω) · ejϕ(ω) polare Darstellung (Betrag und Phase)

A(ω) =√ℜF (ω)2 + ℑF (ω)2 Betrag als Funktion von ω

ϕ(ω) = arctan(ℑF (ω)/ℜF (ω)) Phase als Funktion von ω

(2.11)

In der Gleichung (2.11) wird somit die Spektraldichte F (ω) nach Betrag A(ω) = |F (ω)| und Phase ϕ(ω),d.h. in polarer Darstellung angegeben3.

2.3.8 Symmetrien von Betrag und Phase der Spektraldichten reeller Zeitfunktionen

Mit Gl. (2.8) gilt fur reelle Zeitfunktionen:

fR(t) −−−• FRa(ω) = FRe(ω) + jFIo

(ω) (2.12)

Fur den Betrag A(ω) folgt daraus:

A(ω) =√FRe

(ω)2 + FIo(ω)2 : gerade in ω (2.13)

Der Betrag A(ω) ist also gerade in ω. Fur die Phase ϕ(ω) folgt entsprechend:

ϕ(ω) = arctanFIo

(ω)

FRe(ω)

: ungerade in ω (2.14)

3Meßtechnisch lassen sich Betrag und Phase einer Spektralfunktion einfacher ermitteln als Real– und Imaginarteil. In der Praxis

wird daher die polare Darstellung bevorzugt, weil eine Messung von Real– und Imaginarteil eine phasenstarre Kopplung zwischen

Meßobjekt und Meßgerat erfordern wurde, was haufig nicht moglich ist, wie z.B. beim Spektrumanalyzer.



Die Phase ϕ(ω) in der Spektraldichte einer reellen Zeitfunktion ist damit ungerade in ω. Sie ist i.a.

nicht unbedingt linear4, sondern nur punktsymmetrisch zum Punkt 0/0. Bei der graphischen Methode

konnen diese Symmetrien zur Kontrolle fur das Endergebnis dienen.

2.3.9 Spektraldichte und Ubertragungsfunktion

Wird bei einem LTI–System (LTI: linear time invariant) die Spektraldichte eines Ausgangssignals Ua(ω) auf

die Spektraldichte Ue(ω) eines Eingangssignals bezogen, erhalt man eine Ubertragungsfunktion H(ω), Bild

2.85.

u (t)e u (t)=a u (t) h(t)eh(t) : Impulsantwort

U ( )e ω H( ) : Übertragungs-funktion

ω U ( )=a ω U ( ) H( )e ω ω

LTI - System

Bild 2.8: Ubertragung uber ein lineares zeitinvariantes System (LTI–System)

H(ω) =Ua(ω)

Ue(ω)= A(ω)ejϕ(ω) = A(ω)ejφ(ω) (2.15)

Wird die Spektraldichte des Eingangssignals betragsmaßig |Ue(ω)| = K = konstant gewahlt, ist die

Form der Ubertragungsfunktion identisch mit der Form der Spektraldichte des Ausgangssignals. Daher

sind technisch Ubertragungsfunktion und Spektraldichte des Ausgangssignals gleichwertig, obgleich ihre

Einheiten unterschiedlich sind.

Bild 2.9 zeigt einen typischen Verlauf von Betrags– (A(ω)) und Phasenkurven (φ(ω) = −Θ(ω)), deren

Fourier–Transformierte eine reelle Zeitfunktion ist. Das Beispiel zeigt den Amplituden– und Phasengang

A(ω), Θ(ω) = −φ(ω) eines (allgemeinen) Tiefpaß–Systems H(ω) (mit reeller Impulsantwort h(t)) und Bild

2.10 Betrag und Phase der Ubertragungsfunktion eines RC–Tiefpasses.

Betrag und Phase TP−System

A(ω)

φ(ω)

Θ(ω) = −φ(ω)

A(ω) :Spiegel−Symmetrie

Θ(ω) = −φ(ω) :Punkt−Symmetrie

ω →

Betrag A(ω)

Phase φ(ω)

Bild 2.9: Symmetrien von Betrag A(ω) und Pha-

se φ(ω) = −Θ(ω) der Ubertragungsfunktion eines

Tiefpaß–Systems

−4 −2 −1 0 1 2 4−1

−0.5

0

0.5

0.707

1

RC−TP: ÜTF Betrag & Phase

Kreis−Frequenz

Bet

rag

Pha

se/(

π/2)

A(ω)

Φ(ω) = − Θ(ω)

ωC

= 1/T

Bild 2.10: Betrag A(ω) und Phase φ(ω) = −Θ(ω)der Ubertragungsfunktion eines RC–Tiefpasses

4Hingegen ist die Phasendrehung infoge der Zeitverschiebung linear, Gl. (2.28). Ein Ubertragungssystem wie z.B eine verlustfreie

Leitung, die nur eine Zeitverzogerung (Laufzeit) bewirkt, hat demzufolge auch eine lineare Phase.5Der Ausdruck ua(t) = ue(t) ∗ h(t) stellt ein Faltungsintegral dar, siehe Kapitel 4.1 (Seite 63)



2.4 Vertauschung von Zeitfunktion und Spektraldichte

Durch die Ahnlichkeit (i.w. bis auf ein Vorzeichen und den Faktor 2π), welche das Fourierintegral Gl. (1.2)

und die Fouriertransformation Gl. (1.1) besitzen, wird es moglich, bei allen Korrespondenzen den Zeit– mit

dem Frequenz–Bereich zu tauschen. Dadurch benotigt man nur die halbe Anzahl von Korrespondenzen, da

man diese sofort invers interpretieren (spiegeln) kann. Dies geschieht in folgender Weise.

Kennt man die Korrespondenz

Zeitfunktion: f(t) −−−• Spektraldichte: F (ω)

so gilt fur die Spiegel–Korrespondenz g(t) −−−• G(ω):

Zeitfunktion: g(t) = F (t) −−−• Spektraldichte: G(ω) = 2πf(−ω) (2.16)

• Die neue Zeitfunktion sieht wie die alte Spektraldichte aus; die neue Spektraldichte sieht dann wie die

alte Zeitfunktion aus.

Man kann dies auch als gespiegelte Korrespondenz bezeichnen.

Beweis:

Aus dem Fourier–Integral Gl. (1.2) folgt mit der Umbenennung t → ω bzw. ω → t:

2πf(−t) =

∞Z

−∞

F (ω)e−jωtdω =⇒ 2πf(−ω) =

∞Z

−∞

F (t)e−jωtdt

2.4.1 Vertauschungssatz fur gerade Funktionen

Bild 2.11 auf Seite 23 zeigt ein Beispiel fur den Vertauschungssatz bei geraden oder spiegelsymmetrischen

Funktionen6.

⊓T (t) −−−• 2Tsin(ωT )

ωTωcπ· sin(ωct)

ωct−−−• ⊓ωc

(ω)(2.17)

Bei geraden Funktionen wirkt sich das Minuszeichen des Vertauschungssatzes, Gleichung (2.16) nicht aus,

denn es gilt fe(−t) = fe(t).Aus den Gleichungen (2.17) und der graphischen Darstellung hierzu, Bild 2.11, folgt die einfache aber

wichtige Beziehung uber den Zusammenhang zwischen der Breite des Rechteckimpulses und der Ent-

fernung der beiden ersten Nullstellen dessin(x)

x.

Breite des Rechteck–Impulses ⊓ ←→ Nullstellenabstand =2π

Breite des Rechteck–Impulses

Diese Beziehung gilt sowohl bei der Transformation vom Zeitbereich in den Frequenzbereich als auch im

umgekehrten Fall.

2.4.2 Vertauschung mit Graphischem Verfahren

Die Vorgehensweise beim graphischen Verfahren zur Durchfuhrung der Vertauschung geschieht allgemein

genau so, wie es hier am Beispiel der Transformation vom Zeitbereich in den Frequenzbereich dargestellt

wird:

1. Gewinnung der Amplitudenwerte mit Zentralordinaten–Satz:

Zentralordinate Frequenzbereich = Flache unter der Zeitfunktion.

Zentralordinate Zeitbereich = (Flache unter der Frequenzfunktion)/ 2 π

2. Ersatz von Zeitmarken (z.B. T ) durch Frequenzmarken (z.B. Ω), also T → Ω

3. In der Transformierten ergibt sich die entsprechende Stelle dann zu 2π/T → 2π/Ω.

6Die hier gezeigten Korrespondenzen werden bei der graphische Methode zur Bestimmung der F–Transformierten verwendet.



−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Zeit

Am

plitu

de

Zeitfunktion Rechteck

T − T t/T

ΠT(t)

−−−•

−6 −4 −2 0 2 4 6

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

(Kreis−) Frequenz

Spe

ktra

ldic

hte

Spektrum Rechteck

ω/ωN

ωN=π/T −π/T

2T 2T sin(ωT)/(ωT)

2π/T

−6 −4 −2 0 2 4 6

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Zeit

Am

plitu

de

Zeitfunktion sin(x)/x

t/TN

ωc/π

=2ωc/2π

−π/ωc T

N=π/ω

c

2π/ωc

ωc/π sin(ω

ct)/(ω

ct)

−−−•

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

(Kreis−) Frequenz

Spe

ktra

ldic

hte

Spektraldichte sin(x)/x

ωc −ω

c

ω/ωc

1

Πω

c

(ω)

Bild 2.11: Vertauschung bei geraden Funktionen am Beispiel ⊓T (t) −−−• 2T sin(ωT )ωT

2.4.3 Technische Interpretation: Idealer Tiefpaß

Das Rechteck im Frequenzbereich ⊓ωc(ω) laßt sich auch als Durchlaßkurve (Betrag der Ubertragungsfunk-

tion) eines”idealen“ Tiefpaß–Filters interpretieren. Die Transformierte der Ubertragungsfunktion hat die

physikalische Bedeutung einer Impulsantwort (Antwort des Systems auf einen δ–Impuls als Eingangssig-

nal).

2.4.4 Vertauschungssatz fur ungerade Funktionen

Bild 2.12 zeigt ein Beispiel fur ungerade oder punktsymmetrische Funktionen. Die hier angegebenen Korre-

spondenzen werden im weiteren Verlauf mit Hilfe der graphischen Methode auf mehrere Arten hergeleitet

werden7.

Das 1. Extremum der Funktion unter der si-Hullkurve hat den Betrag von 72.46% des Maximums der

si–Hullkurve.

− ⊓T/2 (t+T

2) + ⊓T/2(t−

T

2) −−−• −j2T (sinωT/2)

2

ωT/2(2.18)

−ωcπ

[sin(tωc/2)]2

tωc/2−−−• −j ⊓ωc/2 (ω +

ωc2

) + j ⊓ωc/2 (ω − ωc2

) (2.19)

Bei ungeraden Funktionen kommt das Minuszeichen zum tragen, denn es gilt fo(−t) = −fo(t). Fur den

Normalfall daß die Zeitfunktion reell ist, wird die graphische Gewinnung der gespiegelten Korrespondenz

trotzdem einfach, wie Bild 2.12 auf Seite 24 zeigt.

Fur eine reell ungerade Zeitfunktion gilt:

fo(t) −−−• jFo(ω)

7Die Herleitung der Korrespondenzen des Bildes 2.12 konnen z.B. auf folgende Arten erfolgen: Modulationssatz, Faltungssatz, Zeit-

verschiebungssatz. Bild 2.12 kann daher auch als Beispiel fur diese Satze dienen.



−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Zeit

Am

plitu

de

Zeitfunktion f(t): rell, ungerade

f(t): re, o

t/T T

1

−−−•

−6 −4 −2 −1 0 1 2 4 6

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

(Kreis−) Frequenz

Spe

ktra

ldic

hte

Spektrum F(ω): imaginär, ungerade

72.46 %

−0.7448π/T

ωN=2π/T

j2T F(ω): im, o

Hüllkurve: si(x)

2ω/ωN

(2/π) → 63.66 %

−π/T

−6 −4 −2 −1 0 1 2 4 6

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Zeit

Am

plitu

de

Zeitfunktion f(t): reell, ungerade

72.46 %(2/π) → 63.66 %

2ωc/2π

TN=2π/ω

c

f(t): re,o

Hüllkurve: si(x)

−0.7448π/ωc

−π/ωc 2t/T

N

−−−•

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

(Kreis−) Frequenz

Spe

ktra

ldic

hte

Spektraldichte F(ω): imaginär, ungerade

ωc

ω/ωc

F(ω): im, o

+j

−ωc

Bild 2.12: Vertauschung bei ungeraden Funktionen (Zeitfunktion jeweils reell)

Die Vertauschung ergibt:

jFo(t) −−−• 2πfo(−ω)

Damit ware die neue Zeitfunktion imaginar. Damit diese reell wird, multipliziert man die ganze Korre-

spondenz mit −j durch. Nun ergibt sich:

Fo(t) −−−• − j · 2πfo(−ω) = j2πfo(ω) (2.20)

Man darf also fur ungerade Funktionen die Vertauschung graphisch genau so einfach durchfuhren wie im

geraden Fall, vorausgesetzt, die Zeitfunktion ist reell.

Wie man am Beispiel der Korrespondenzen des Bildes 2.12 sieht, sind die Punktsymmetrien von Zeit-

funktion und Spektralverteilung zueinander spiegelbildlich, wie es die rot gezeichneten”Handeln“

in Bild 2.12 markieren.

Das Bild 2.12 zeigt noch eine weitere typische Eigenschaft:

Tritt in einem Bereich ein Rechteckimpuls ⊓ auf, so ist in der Transformierten einsin(x)x zu finden, hier z.B.

in Form einer Hullkurve.

2.4.5 Technische Interpretation 1: BIPHASE–Codierung

Die 1. Korrespondenz in Bild 2.12 stellt ein BIPHASE–Grundelement mit der zugehorigen Spektralverteilung

dar. Biphase ist ein spezieller Leitungscode zur Datenubertragung, bei dem jedes Bit entsprechend umcodiert

wird8.

Eine logische 0 wird dabei (symbolisch dargestellt) zu ⇓⇑, wahrend eine logische 1 zu ⇑⇓ wird. Der

Vorteil dieses Codes besteht darin, daß jedes nach Biphase umcodierte Bit eine Taktinformation enthalt.

8Der Biphase Code wurde anfanglich auch bei der Speicherung von Daten z.B. auf der Floppy verwendet. Er ist heute noch in

Gebrauch beim Radio–Daten–System (RDS), das im UKW Rundfunk u.a. zur Senderkennung und fur Verkehrsinformationen dient.



Grundsatzlich wird die Taktinformation empfangsseitig zur Auswertung von ubertragenen Daten benotigt,

da anderfalls keine Bit– , Symbol– oder Rahmen–Synchronisation erfolgen kann. Bei Biphasecodierung ist

die Taktruckgewinnung besonders einfach. Der Nachteil besteht allerdings darin, daß die 1. Nullstelle in

der Spektralverteilung bei 2π/T liegt und damit doppelt so weit weg wie bei der Spektralverteilung eines

Einzelbits, die bei π/T liegt. Ein mit Biphase codierter Datenstrom benotigt daher die doppelte Bandbreite

wie ein uncodierter Datenstrom9. Die BIPHASE–Codierung fuhrt auf ein Signal, das Gleichanteils–frei ist.

2.4.6 Technische Interpretation 2: Hilbertfilter

Die 2. Korrespondenz in Bild 2.12 stellt die Ubertragungsfunktion eines (idealen) HILBERT–TP–Filters und

dessen Impulsantwort dar. Ein Hilbert–Filter ist ein Filter, das ein ganzes Frequenzband um 900 in der Pha-

se dreht. Das Hilbert–Filter findet z.B. eine Anwendung bei der Erzeugung der Einseitenbandmodulation

(nach der Phasenmethode). Diese Methode, verallgemeinert als HILBERT–TRANSFORMATION, ist besonders

fur eine Basisband–Verarbeitung von Bandpaß–Signalen, in der Realisierung mit Hilfe von digitaler Si-

gnalverarbeitung geeignet.

2.5 Ahnlichkeit und Zeit–Bandbreiten–Gesetz

Fur die zu f(t) ahnliche Funktion f(at) gilt

f(at) −−−• 1

|a|F(ωa

)(2.21)

Hierbei ist a ein reeller Skalierungsfaktor fur welchen gilt:

|a| > 1 f(at) ist gegenuber f(t) gepreßt.

|a| < 1 f(at) ist gegenuber f(t) gedehnt.

Beweis: (fur a > 0)∞R

−∞

f(at)e−jωtdt = 1a

∞R

−∞

f(x)e−j(ω/a)xdx = 1aF (ω

a)

2.5.1 Ahnlichkeit mit graphischer Methode

Das Beispiel des Bildes 2.13 zeigt, daß in der Praxis die Formel Gl.(2.21) nicht in jedem Falle verwendet

werden muß, wenn man

• den Zentralordinaten–Satz anwendet und

• fur die Marken im Zeit– und Frequenzbereich die entsprechenden Werte einsetzt.

Fur den speziellen Wert a = −1 erhalt man:

f(−t) −−−• F (−ω) (2.22)

Fur den Fall, daß f(t) reell ist, folgt:

F (−ω) = F ∗(ω) ; F ∗(ω) ist konjugiert komplex zu F (ω) (2.23)

2.5.2 Das Zeit–Bandbreiten–Gesetz der Nachrichtentechnik

Der Ahnlichkeitssatz ist eine spezielle Variante des viel allgemeiner gultigen (und anwendbaren) Zeit–

Bandbreiten–Gesetzes der Nachrichtentechnik.

Bezogen auf die Markierungen ∆t und ∆ω des Bildes 2.13 (Seite 26) erkennt man unmittelbar, daß fur

ahnliche Funktionen gilt:

∆t ·∆ω = const. (2.24)

9Mittlerweile wurden andere, Bandbeite sparende Methoden, der Ubertragung von Taktinformationen entwickelt.



−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Zeit

Am

plitu

de

Zeitfunktion f1(t)=Π

T(t)

f1(t)=Π

T(t)

t/T T −T

1

∆ t

−−−•

−6 −4 −2 0 2 4 6

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

(Kreis−) Frequenz

Spe

ktra

ldic

hte

Spektrum F1(ω) von Π

T

2T F

1(ω)=

2Tsin(ωT)/ωT

ωN=π/T −π/T

∆ω ω/ωN

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Zeit

Am

plitu

de


T/2(t)

f2(t)=Π

T/2(t)

t/T

∆ t

T/2 −T/2

1

−−−•

−6 −4 −2 0 2 4 6

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

(Kreis−) Frequenz

Spe

ktra

ldic

hte

Spektrum F2(ω) von Π

T/2(t)

F2(ω)=

Tsin(ωT/2)/(ωT/2)

ωN=2π/T −2π/T

∆ω ω/ωN

T

Bild 2.13: Beispiel fur den Ahnlichkeitssatz

Der zahlenmaßige Wert der Konstanten ist abhangig von der (willkurlichen) Festlegung der Marken im

Zeit– und Frequenzbereich, vergl. auch Bild 2.18 (Seite 29).

Im Beispiel des Bildes 2.13 gilt:

∆t ·∆ω = 4π

Die Gl.(2.24) laßt sich auch schreiben als:

∆t ∼ 1/∆ω (2.25)

Man erkennt daraus, daß Zeitdauer und Spektraldichte in einem reziproken Verhaltnis zueinander

stehen. Da dies wiederum als eine spezielle Form einer Unscharfe–Relation angesehen werden kann, lassen

sich aus Gl.(2.25) weitere fur die praktische Anwendung wichtige Zusammenhange ableiten.

Zeitbereich Frequenzbereich

schnelle Vorgange (∆t→ 0) hohe Frequenzen (∆ω →∞)

scharfe Flanken breite Spektralverteilung

(sehr) schmal (sehr) breit

begrenzt (endlich) unbegrenzt (→∞)

∞ lange andauernd endliche Bandbreite

langsame Vorgange (∆t→∞) tiefe Frequenzanteile (∆ω → 0)

weiche Flanken schmale Spektralverteilung

Diese Liste laßt sich sinngemaß beliebig verlangern. Die Kenntnis dieser Zusammenhange ist fur den

Ingenieur ein wichtiges Hilfsmittel zur Losung praktischer Probleme in der Ubertragungstechnik.

2.5.3 Anwendung auf verrundete Datenimpulse

Verrundung: Datenimpulse mussen verrundet werden (weiche Flanken), wenn die benotigte Ubertra-

gungsbandbreite eingeschrankt werden soll. Dieser Fall tritt immer auf, wenn Daten ubertragen wer-



den10.

Punktsymmetrische Flanken: Betrachtet man in solchen Fallen die mittlere Impulsbreite (T in Bild

2.14, so gilt fur Impulsformen mit punktsymmetrischen Flanken, daß das Hauptmaximum im

Spektrum bis ±2π/(mittlere Impulsbreite) geht11. In der praktischen Anwendung wird die Verrun-

dung so gewahlt, daß das zu ubertragende Spektrum gerade bis ±2π/(mittlere Impulsbreite) reicht.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Zeit

Am

plitu

de

Dreieck−Impuls f1(t)

∆t=T: mittlereImpulsdauer

f1(t)=A*Λ

T(t)

T −T t/T

A

−−−•

−6 −4 −2 0 2 4 6

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

(Kreis−) FrequenzS

pekt

rald

icht

e

Spektrum F1(ω)

A*T F

1(ω)=

A*T[sin(ωT/2)/(ωT/2)]2

ωN=2π/T −2π/T

∆ω 2ω/ω

N

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Zeit/T

Am

plitu

de

Dreieck−Impuls AΛT(t): rell, gerade

f(t)=A*ΛT(t)

t T −T

flächengleichesRechteck

T/2

−−−•

−6 −4 −2 0 2 4 6

−0.25

0

0.25

0.5

1.25

1

1.25

Spektrum FΛ(ω)

(Kreis−) Frequenz

Spe

ktra

ldic

hte

FΛ(ω) = AT si( ωT/2)2

AT

ω 2π/T − 2π/T

Spektraldichte desflächengleichenRechtecks

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Zeit

Am

plitu

de

cos2 Impuls f2(t)

∆ t= T : mittlereImpulsdauer

t/T T −T

f2(t)= A*cos2(πt/2T)

für |t|<T A

−−−•

−6 −4 −2 0 2 4 6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

(Kreis−) Frequenz

Spe

ktra

ldic

hte

Spektrum F2(ω)

ωN=2π/T −2π/T

ω/ωN

F2(ω)

A*T

A*T/2

Bild 2.14: Beispiele fur mittlere Impulsdauer und Breite des Hauptmaximums der Spektralverteilung

10Deswegen sind Daten auf dem Ubertragungsweg stets analoge Signale, die im Empfanger digital interpretiert werden mussen.

Dabei konnen dann Ubertragungsfehler (Symbol– und Bitfehler) entstehen, wenn die empfangenen Symbole verzerrt oder verrauscht

sind.11Dies gilt fur die 1. Nullstelle der Spektralverteilung



Endliche Bandbreite und Nyquist–Kriterium: Wird eine endliche Bandbreite fur Datenimpulse gefor-

dert, so kann man gemaß dem Vertauschungssatz die Spektralverteilung entsprechend vorgeben.

Der Zeitverlauf des verrundeten Datenimpulses erhalt damit Nebenmaxima, s. Bild 2.15. Damit die-

se Nebenmaxima die anderen Datenimpulse nicht storend beeinflussen, ist die Datenrate so zu

wahlen, daß das Maximum des nachsten Impulses auf die Nullstelle (in Bild 2.15: T ) des vorherigen

fallt. Diese Bedingung wird 1. Nyquist–Kriterium genannt und spielt bei den digitalen Modulatio-

nen eine wichtige Rolle.

−3 −2 −1 0 1 2 3

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Zeit

Am

plitu

de

verrundeter Datenimpuls

T −T t/T

d(t)

1

1/2

−−−•

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


pekt

rald

icht

e

cos2 Spektraldichte des verrundeten Datenimpulses

ωc −ω

c ω/ω

c

2π/ωc

ωc :

mittlereBreite

D(ω)

Bild 2.15: Beispiel fur einen verrundeten Datenimpuls mit endlicher Bandbreite; Verrundung im Spektrum

gemaß cos2. Die Zeitfunktion kann als Uberlagerung von dreisin(x)x Kurven dargestellt werden.

Der Abstand (der Maxima) der verrundeten Datensymbole zu einander betragt T (Takt–Zeit), Bild

2.15. Damit ist gewahrleistet, daß die Maxima der Datensymbole von den Auslaufern aller anderen

Datensymbole nicht gestort werden.

Roll–Off: Die Verrundung der Datensymbole kann im Spektrum als Filterung interpretiert werden, ent-

sprechend zu Abschnitt 2.3.9 und Bild 2.8 (Seite 21). Danach entstehen die verrundeten Datensymbole

als Impulsantwort eines entsprechenden Filters.

−2 −1.5−1.2−1−0.8−0.5 0 0.5 0.8 1 1.2 1.5 2−0.2

0

0.2

0.4

0.5

0.6

0.8

1

1.2

(Kreis−) Frequenz ω/ωc →

Am

plitu

de

Verrundungs−Filter mit Cos Roll−Off

Hv(ω)

ρ1 = 0

ρ2 = 0.2

ρ3 = 0.5

ρ4 = 1.0

ωc(1 + ρ

3) ω

c(1 − ρ

3) ω

c −ω

c

ω →

Bild 2.16: Das Verrundungs–Filter mit

Cos–Roll–Off ( = [0, 0.2, 0.5, 1])

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Zeit t / T

Am

plitu

de: C

os R

oll−

Off

verr

unde

t

"Nyquist 1" Datensymbole [Form: Cos Roll−Off]

ρ = 0 [si(x)] ρ = 0.2

ρ = 0.5

ρ = 1

Bild 2.17: Die verrundeten Datensymbole

mit Cos–Roll–Off = [0, 0.2, 0.5, 1]

• Ist dieses Filter ein”Idealer Tiefpaß“ H(ω) = ⊓ωc

(ω), so ergeben sichsin(x)x formige Datensymbole

mit großen Nebenmaxima.



• Hat dieses Filter einen cos2 formigen Amplitudengang, so ergeben sich Datensymbole mit sehr

kleinen Nebenmaxima, entsprechend zu Bild 2.15 (links).

• Soll der Symboltakt fur beide Falle T sein, so ist die Grenzfrequenz ωc fur das cos2 Filter doppelt

so groß wie fur das”ideale“ TP Filter. (Die mittleren Grenzfrequenzen sind gleich.)

• Bandbreite kann man sparen, wenn eine Verrundung gewahlt wird, die geringer ist als bei dem

cos2 Filter. Das Maß fur die gewahlte Verrundung ist der Roll–Off–Faktor , mit 0 ≤ ≤ 1, Bilder

2.16 & 2.17. Werte in der Praxis sind 0.15 < < 0.3.

2.5.4 Das Bandbreiten–Dilemma bei praktischen Ubertragungsproblemen

Fur einen Ubertragungskanal wird gefordert, daß er nur endlich breit sein darf, d.h. die Spektralverteilung

der darin ubertragenen Signale soll außerhalb des Kanals verschwindend klein sein. Theoretisch konnte

man die Forderung aufstellen, daß die Spektralverteilung außerhalb des Ubertragungskanals identisch Null

sein soll, weil in den Nachbarkanalen absolut keine Storungen zugelassen sind. Eine derartige absolute

Forderung ist gemaß dem Zeit-Bandbreiten-Gesetz jedoch nur erfullbar, wenn die ubertragenen Signale un-

endlich lange andauern wurden. Aus diesem Grunde gibt es je nach Anforderung verschiedene Definitionen

fur die zulassige Bandbreite, wie es in Bild 2.18 veranschaulicht wird. Es handelt sich um die spektrale

Leistungsdichte rechteckformiger Daten. Fur die spektrale Leistungsdichte gilt:

P (ω) = F (ω) · F ∗(ω) = |F (ω)|2 Spektrale Leistungs–Dichte (2.26)

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

(Kreis−) Frequenz

Leis

tung

sdic

hte

Spektrum P(ω)

ωN

P(ω)

1

1/2

−ωN

2ω/ωN

⇐⇒

−6 −4 −2 0 2 4 6−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

(Kreis−) Frequenz

Leis

tung

sdic

hte

/ dB

Spektrum P(ω)

ωN −ω

N

P(ω) / dB

2ω/ωN

0 dB

B−3dB

B−35dB

Bild 2.18: Zur Bandbreite der spektralen Leistungsdichte von rechteckformigen Daten–Symbolen

Das Beispiel macht auch deutlich, daß es in der Praxis keinen eindeutigen Wert fur”die Bandbreite“ gibt.

Vielmehr muß immer noch zusatzlich spezifiziert werden, was darunter verstanden werden soll. Es lassen

sich daher verschiedene Leistungs–Bandbreiten definieren, abhangig von den praktischen Bedurfnissen,

z.B.:

• 3dB–Bandbreite (halbe Leistung bzw. 1/√

2 fache Spannung)

• Breite des flachengleichen Rechtecks

(Rechteck mit gleicher Leistung, auch aquivalente Rauschbandbreite)

• Breite zwischen den 1. Nullstellen der Spektralverteilung

• Breite innerhalb der 99% der Leistung ubertragen wird (20 dB–Breite)

• Breite außerhalb der die spektrale Leistungsdichte < −35 dB ist

• Breite außerhalb der die spektrale Leistungsdichte < −50 dB oder < −90 dB ist



Bandbreiten entsprechend der drei zu unterst aufgelisteten Beispiele spielen eine Rolle, wenn die Stor-

wirkung einer Ubertragung auf Nachbarkanale (adjacent channel interference, ACI) quantifiziert wer-

den soll. Bei (Rundfunk–, Satelliten–, usw.) Sendern z.B. gibt es das Problem der Randaussendungen. Es

sind dies die spektralen Anteile, die ein Sender außerhalb des ihm (gemaß internationaler Vereinbarung)

zugewiesenen Frequenzbandes (Ubertragungs–Kanal) noch aussenden darf. Ein weiteres Beispiel in diesem

Zusammenhang sind die Storungen, die z.B. von der Power Line Communication, PLC herruhren und die

den Rundfunkempfang auf Lang– und Mittelwelle beeintrachtigen.

Die entsprechenden Vorschriften hierzu werden von der ITU (International Telecommunications Union,

Genf) beschlossen. Uber die Einhaltung der Vorschriften hat die jeweilige nationale Fernmeldeverwaltung

zu wachen.

2.6 Zeitverschiebung

Signale erfahren bei der Ubertragung eine zeitliche Verzogerung12. Zwischen Ein– und Ausgangssignal be-

steht dann eine Zeitverschiebung, die z.B. t0 sein soll (t0: Signallaufzeit). Eine Zeitverschiebung hat in der

Spektralverteilung eine Phasendrehung zur Folge. Man stellt hierfur die Spektraldichte nach Betrag und

Phase dar.

2.6.1 Zeitverschiebung bewirkt eine lineare Phasendrehung im Spektrum

Fur die um die Zeit t0 verschobene Funktion f(t− t0) gilt: (Das Minuszeichen ist mit einem Pfeil markiert.)

f(t⇓−t0) −−−• F (ω) · e

⇓

−jωt0

A(ω) · ejϕ(ω)⇓

−ωt0

A(ω) · ejϕ(ω)⇓

−ψ(ω)

(2.27)

• f(t− t0) ist nach rechts verschoben.

• f(t+ t0) ist nach links verschoben.

In diesen Gleichungen andern sich bei Linksverschiebung die durch Pfeile ⇓ markierten Vorzeichen von

− in +.

Beweis:∞R

−∞

f(t − t0)e−jωtdt =

∞R

−∞

f(x)e−jω(t0+x)dx = e−jωt0∞R

−∞

f(x)e−jωxdx = e−jωt0 · F (ω)

Damit ist gezeigt, daß sich eine Zeitverschiebung nur auf die Pasendrehung der Spektraldichte auswirkt.

Zeitverschiebung −−−• Phasendrehung der Spektraldichte

Diese Phasendrehung ist proportional zur Frequenz, d.h. die Phase ist linear in ω:

ψ(ω) = −ω · t0 Phase; t0 : Signal–Laufzeit, Zeitverschiebung (2.28)

2.6.2 Signal–Laufzeit auf einer Leitung

Die Phase kann immer nur bezogen auf eine Referenzphase angegeben werden. Hier ist es der Unterschied

der Phase der Schwingungen am Ende der Leitung, bezogen auf die Phase am Anfang der Leitung. Daß die

Phase ψ(ω) sich gemaß Gl. (2.28) linear mit ω andert, kann man sich leicht mit Hilfe einer (verlustlosen und

angepaßten) Leitung klar machen, Bild 2.19. Diese Leitung habe die Lange l0 und das Signal benotige zum

Durchlaufen von l0 gerade die Zeit t0 (Signal–Laufzeit).

Nun betrachtet man (zur Vereinfachung) sin–formige Signale (z.B. mit den Frequenzen ω1, 2ω1, · · · ), die

jeweils zum Zeitpunkt t = 0 auf die Eingange von (entsprechend vielen genau gleichartigen) Leitungen der

Lange l0 gegeben werden. Wenn der Einschaltzustand jeweils nach der Laufzeit t0 am Ende einer Leitung

angekommen ist, wird der Potentialverlauf auf den Leitungen betrachtet.

12Erleidet das Signal nur eine Zeitverzogerung ohne daß seine Form verandert wird, wird das betreffende Ubertragungssystem als

”verzerrungsfrei“ bezeichnet. Eine Veranderung der Amplitude ist dabei zulassig, weil dadurch die Ahnlichkeit nicht verandert wird.

Haufig wird das Signal am Ausgang des Ubertragungssystems eine geringere Amplitude aufweisen.



Z

Z

Z~~ u (t)0 u (t)e u (t)a

xx = 0 x = l0

Potentialverlauf auf der Leitung

x = 0

x = l0

x

Phasenunterschiede: 4π für Grundschwingung ; 3⋅4π für Schwingung auf 3−facher Frequenz

Bild 2.19: Die Phasenverschiebung ist proportional zur Frequenz ω, wenn die Signallaufzeit konstant ist.

(Beispiel: verlustlose Leitung mit Anpassung)

Nun soll sich z.B. auf der 1. Leitung eine Periode der Schwingung mit der Frequenz ω1 befinden. Dann

sind auf der 2. Leitung zwei Perioden von 2ω1 , auf der 3. Leitung drei Perioden von 3ω1 usw.

Die Phase ψ ist also jeweils zwischen Ein– und Ausgang der Leitung (allgemein: des Ubertragungs–

Systems) zu betrachten. Damit besteht fur die Frequenz ω1 (in diesem Beispiel) eine Phasenverschiebung

von 4π, fur die Frequenz 2ω1 eine Phasenverschiebung von 2·4π usw. Die Phasenverschiebung (zwischen Ein–

und Ausgang) ist daher proportional zur Frequenz, wenn die Laufzeit konstant ist. Wie man unmittelbar

sieht, gelten diese Verhaltnisse nicht nur fur ganze Vielfache von ω1, sondern fur beliebige Frequenzen.

2.6.3 Signal–Laufzeit bei Systemen mit nichtlinearer Phase

Aus dem Vorausgehenden folgt unmittelbar, daß fur Ubertragungssysteme, die keine lineare Phase haben,

die zu den einzelnen Spektralkomponenten gehorigen Teilsignale eine unterschiedliche Laufzeit haben13.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Zeit

Am

plitu

de

Cos(x) und Cos(3x) ohne und mit Phasenverschiebung π/2 & π

Bild 2.20: Eine nichtlineare Phase bewirkt frequenzabhangige Laufzeiten und diese fuhren zu (linearen) Si-

gnalverzerrungen. Unterschiedliche Laufzeiten bzw. Phasenverschiebungen der Oberschwingung angenom-

men: 0 (blau), π/2 (magenta, gestrichelt), π (schwarz, gepunktet)

Da sich das Gesamtsignal am Ausgang eines Ubertragungssystems gemaß dem Uberlagerungssatz aus

den Teilsignalen zusammensetzt, ergibt sich bei nicht konstanten Signal–Laufzeiten eine andere Form

als das Signal am Eingang hatte, Bild 2.20. Diese”lineare Verzerrung“ wirkt sich speziell bei (Daten–) Im-

pulsen nachteilig aus (Impulsverzerrungen, Dispersion).

13Meßtechnisch wird hierbei zwischen Phasen– und Gruppen–Laufzeit unterschieden. Die Phasenlaufzeit bezieht sich auf eine ein-

zelne harmonische Schwingung, wahrend sich die Gruppenlaufzeit auf eine”Frequenzgruppe“, z.B. die Spektralanteile eines Impulses

oder eines modulierten Signals, bezieht.



2.6.4 Lineare und nichtlineare Signalverzerrungen

Signalverzerrungen infolge nichtlinearer Phasenverlaufe werden als lineare Verzerrungen bezeichnet. Im

verzerrten Ausgangssignal sind keine neuen Frequenzkomponenten enthalten. Mit Hilfe eines Lauf-

zeit–Entzerrers (Equalizer) laßt sich die ursprungliche Signalform wieder herstellen. Dies wird bei der

Digitalubertragung praktisch immer angewendet.

Signalverzerrungen infolge nichtlinearer Aussteuerungs– bzw. Verstarkungs–Kennlinien von Ubertra-

gungs–Systemen erzeugen nichtlineare Verzerrungen. Hier sind im Ausgangssignal zusatzliche Fre-

quenzkomponenten enthalten. Eine Entzerrung ist hier schwieriger. Die zusatzlich entstandenen Spek-

tralanteile lassen sich praktisch nie restlos beseitigen, sondern nur abschwachen. Unerwunschte nichtlinea-

re Verzerrungen entstehen z.B. bei Ubersteuerungen von Systemen. Eine Nutz–Anwendung des Effektes

sind die (analogen) Rauschunterdruckungs–Verfahren, wie z.B. Dolby.

2.6.5 Zur Darstellung der Spektralverteilung zeitverschobener Signale

Es ergeben sich besonders einfache Zusammenhange zwischen Zeitfunktionen und Spektraldichten, wenn

die Zeitfunktionen entweder reell & gerade (spiegelsymmetrisch) oder reell & ungerade (punktsymme-

trisch) sind, siehe Bild 2.5 auf Seite 18:

fRe(t)︸︷︷︸

reell & gerade

−−−• FRe(ω)︸︷︷︸

reell & gerade

fRo(t)︸︷︷︸

reell & ungerade

−−−• jFIo(ω)︸︷︷︸

imaginar & ungerade

(2.29)

Diese Falle werden gerne fur Beispiele verwendet, da sie sich bequem zeichnerisch darstellen lassen. Die

Spektraldichte kann dabei als reell bzw. imaginar dargestellt werden. Aufgrund einer Zeitverschiebung

ergibt sich in der Spektraldichte eine Phasendrehung. Zur graphischen Darstellung ist dann jedoch die

kartesische Schreibweise ungeeignet, da die Phase zur polaren Schreibweise gehort. Als Ausweg bieten

sich an:

• Darstellung der Spektraldichte nach Betrag und Phase

• Dreidimensionale Darstellung als”Schraubenlinie“

Bild 2.21 zeigt die Verhaltnisse im Zeit– und Frequenzbereich, wenn ein δ–Impuls auf den Eingang eines

verzerrungsfreien Systems (Verlustlose Leitung Bild 2.19) gegeben wird. Die Ausgangs–Spannung wird dann

der um die Laufzeit t0 zeitverschobene δ–Impuls δ(t − t0). Fur die Spektralverteilung des Ausgangssignals

Ua(ω) ist jetzt der Betrag |Ua| und die Phase ψ = −ωt0 darzustellen.

u (t)e

u (t)a

t

t

U ( )=|U ( )|e eω ω

ω

ω

|U ( )|a ω

ψ ω ω( ) = - t0

δ(t)

δ(t-t )0

t0

Bild 2.21: Ein δ–Impuls als Eingangssignal eines verzerrungsfreien Systems. Ausgangssignal und Spektral-

verteilungen

2.6.6 Realanteil bzw. Imaginaranteil als Betrag und Phase

Bei der Darstellung eines Realteils bzw. Imaginarteils nach Betrag und Phase ist zu beachten, daß per

Definition Betrage nur positiv sein konnen.



Beim Ubergang von der kartesischen Darstellung (real, imaginar) zur polaren Darstellung (Betrag, Pha-

se) sind

• negativ reelle Teile als (positive) Betrage zusammen mit einer Phase von π darzustellen,

• positiv imaginare Teile als (positive) Betrage zusammen mit einer Phase von π/2 darzustellen,

• negativ imaginare Teile als (positive) Betrage zusammen mit einer Phase von −π/2 darzustellen.

• Da die Phase eine ungerade (odd) Symmetrie hat, siehe Bild 2.9 (Seite 21), werden die Vorzeichen der

Phasen fur negative Frequenzen umgedreht, also π → −π, so daß die Punktsymmetrie der Phase

erkennbar wird.

In Bild 2.22 wird am Beispiel dersin(x)x Spektraldichte eines Rechteckimpulses diese Darstellung gezeigt.

Man benotigt also in der polaren Darstellung in jedem Fall zwei Graphen, namlich Betrag und Phase.

−20 0 20

0

0.5

1

F(ω) : sin(x)/x

(Kreis−) Frequenz−20 0 20

0

0.5

1

Betrag A(ω) : |sin(x)/x|

(Kreis−) Frequenz−20 0 20

−2

0

2

Phase φ (ω) : <(sin(x)/x)

(Kreis−) Frequenz

Bild 2.22: Beispiel fur die polare Darstellung einer reell geraden Spektralfunktion

Alternativ kann auch eine dreidimensionale Darstellung [8] gewahlt werden, Bild 2.23.

Bild 2.23: Auswirkung einer Zeitverschiebung auf die Spektraldichte: dreidimensionale und polare Darstel-

lung



2.6.7 Addition beider Phasen–Anteile

Als Beispiel wird ein zeitlich verschobener Rechteckimpuls ⊓T (t− t0) (mit t0 = ±T ) betrachtet, Bild 2.24. In

diesem Fall hat die Phase ϕ(ω) im Spektrum 2 Teile, einen aus der Betragsbildung (φ(ω)) und einen aus der

Verschiebung (ψ(ω)). Beide Phasen–Anteile mussen addiert werden.

• Phase des rechts–verschobenen Rechteck–Impulses: ϕ1(ω) = φ(ω) + ψ(ω)

• Phase des links–verschobenen Rechteck–Impulses: ϕ2(ω) = −(φ(ω) + ψ(ω)) = −ϕ1(ω)

−3−2−1 0 1 2 30

0.5

1

f(t)= ΠT(t−T)

t/T →−5 −101 5

0

0.5

1


ω/(π/T) →−5 0 5

−5

0

5

Phase: φ(ω) + ψ(ω)

ω/(π/T) →

−3−2−1 0 1 2 30

0.5

1

f(t)= ΠT(t+T)

t/T →−5 −101 5

0

0.5

1


ω/(π/T) →−5 0 5

−5

0

5

Phase: −φ(ω) −ψ(ω)

ω/(π/T) →

Bild 2.24: Auswirkung einer Zeitverschiebung auf die Spektraldichte am Beispiel der Rechteck–Impulse

⊓T (t − T ) und ⊓T (t + T ): Betrag jeweils gleich, Phase ϕ1(ω) = φ(ω) + ψ(ω) fur Rechtsverschiebung, ϕ2(ω) =−ϕ1(ω) fur Linksverschiebung

Physikalisch entspricht der rechtsverschobene Rechteckimpuls der Ausgangsspannung eines verzerrungs-

freien Systems mit der Laufzeit T . Die Phase ψ(ω) des Verzerrungsfreien Systems kommt somit noch zur

Phase φ(ω) im Spektrum hinzu, bezogen auf das Spektrum des zeitsymmetrischen Rechteck–Impulses, Bild

2.22.

2.6.8 Ubungsbeispiel zur Zeitverschiebung

Die Spektraldichte in Bild 2.4 (Seite 17) wurde mit dem Linearitassatz bestimmt. Nunmehr soll die Herlei-

tung der Korrespondenz der Bilder 2.3 und 2.4 mit Hilfe des Zeitverschiebungssatzes erfolgen.

Die beiden Rechteckimpulse der Zeitfunktion werden hierfur als 2 verschobene Pulse ⊓T/4(t) interpre-

tiert, wie in Bild 2.25 (Seite 35) dargestellt ist.



f(t) = A · ⊓T/4(t+ 3T/4)︸︷︷︸Linksverschiebung

+A · ⊓T/4(t− 3T/4)︸︷︷︸Rechtsverschiebung

(2.30)

AA (t)ΠT/4 f(t)

A

T/4-T/4 -3T/4 3T/4t t

Bild 2.25: Die Zeitfunktion des Bildes 2.3 (Seite 17) als zwei zeitverschobene ⊓T/4(t)

Da sich die Zeitfunktion f(t) in Gl.(2.30) aus 2 Teilen zusammensetzt, setzt sich gemaß Linearitatssatz

auch die Spektraldichte aus 2 Teilen zusammen.

Nun sind aus dem Beispiel Bild 2.24 die polaren Darstellungen der Spektralverteilungen sowohl eines

links– als auch eines rechts–verschobenen Rechteckimpulses bekannt.

Allerdings darf man keinen Fehler bei der Bildung der Summe machen. Addiert (bzw. subtrahiert) werden

durfen nur die Realanteile und die Imaginaranteile jeweils fur sich. Die korrekte Vorgehensweise ist genau

wie in der komplexen Rechnung:14

z = a1 · ejϕ1 + a2 · ejϕ2 = (x1 + jy1) + (x2 + jy2) = x+ jy = a · ejϕ (2.31)

Es mussen daher beide polaren Darstellungen zunachst in kartesische Darstellungen umgewandelt wer-

den. Dann sind die beiden Realanteile und Imaginaranteile jeweils zusammen zu fassen. Anschließend kann

dann wieder Betrag und Phase gebildet werden, Bild 2.26 rechts. Fur das Beispiel wird folgende Zwischen-

rechnung durchgefuhrt.

Fur das Rechteck gilt die Korrespondenz:

A ⊓T/4 (t) −−−• AT

2

sin(ωT/4)

ωT/4(2.32)

Daraus folgt mit dem Zeitverschiebungs–Satz Gleichung (2.27) (Seite 30) fur die Spektraldichte von f(t)gem. Gleichung (2.30):

F (ω) =AT

2

sin(ωT/4)

ωT/4· 2e

+jω3T/4 + e−jω3T/4

2(2.33)

F (ω) = AT︸︷︷︸Flache Zeitfunktion

sin(ωT/4)

ωT/4︸︷︷︸Hullkurve six

cos(ω3T/4)︸︷︷︸Cos–Schwingung

(2.34)

Bild 2.26 zeigt diese Spektraldichte (als relle Funktion) F (ω) und als Betrag |F (ω)| und Phase φ(ω).Der Betrag ist gerade und die Phase ist ungerade, wie im Abschnitt 2.3

”Symmetrien von Zeitfunktion und

Spektraldichte“ gezeigt wurde.

Dieses Beispiel zeigt auch, daß die Gewinnung von F–Transformationen auf verschiedene Arten moglich

ist, hier wahlweise mit dem Linearitats– oder dem Zeitverschiebungs–Satz15.

14Eine schludrige”Anwendung“ des graphischen Verfahrens, z.B. durch Vermischung von Kartesischer und Polarer Darstellung fuhrt

auf ein falsches Ergebnis.15Selbsverstandlich kann man immer auch die zu transformierende Funktion in die Definitionsgleichung einsetzen und dann

”darauf

los rechnen“. Die hier benutzte Methode stellt aber nur scheinbar einen Umweg dar, denn durch die Anwendung der Satze der F–

Transformation bekommt man bessere Einsichten in grundsatzliche Zusammenhange. Mit Hilfe von solchen Einsichten wird es dem

Ingenieur moglich, Problemstellungen elegant zu losen und bekannte Losungen auf neue Fragestellungen anzuwenden.



−6 −4 −2 0 2 4 6

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω −−>

F(ω

)

Spektraldichte zweier Rechteckimpulse

A*T

ωN=4π/T −ω

N=−4π/T

Hüllkurve

F(ω)

−6 −4 −2 0 2 4 6

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω →

|F(ω

)|, φ

(ω)

→

Betrag und Phase der Spektraldichte

Betrag |F(ω)|

Phase φ(ω)

−π

π A ⋅T

ωN=4π/T

ω →

π

Bild 2.26: Spektraldichte F (ω) (links); Betrag |F (ω)| und Phase φ(ω) der Spektraldichte (rechts) fur die

Zeitfunktion f(t) in Bild 2.25.

2.6.9 Technische Anwendung: Kammfilter

Das Kammfilter16 ist ein Beispiel fur die technische Anwendung des Zeitverschiebungssatzes. Es ist daruber

hinaus ein Paradebeispiel dafur, wie mittels der Digitalen Signalverarbeitung Filterfunktionen realisiert

werden konnen.

Gegeben sei eine Parallelschaltung von 2 verzerrungsfreien Systemen (z.B. 2 angepaßte verlustfreie Lei-

tungen unterschiedlicher Lange) mit den Laufzeiten17 t0 bzw. t0 + ∆t, Bild 2.27.

t0

t + t0 ∆

u (t)e u (t)a

+ ( - )

+

- t/2∆

u (t)e u (t)a+

+ ( - )t + t/20 ∆

+∆t/2

Bild 2.27: Kammfilter aus der Parallelschaltung zweier verzerrungsfreier Ubertragungssysteme

Fur die Ausgangsspannung ua(t) ergibt sich nach Bild 2.27, wenn ue(t) die Eingangsspannung sein soll.

ua(t) = ue(t− t0) + ue(t− t0 −∆t) (2.35)

Mit ue(t) −−−• Ue(ω), ua(t) −−−• Ua(ω) und dem Zeitverschiebungssatz wird daraus:

Ua(ω) = Ue(ω) · e−jωt0 + Ue(ω) · e−jω(t0+∆t) (2.36)

Ua(ω) = Ue(ω) · e−jωt0 ·(1 + e−jω∆t

)(2.37)

Ua(ω) = Ue(ω) · e−jω(t0+∆t/2) ·(ejω∆t/2 + e−jω∆t/2

); Bild 2.27 rechts (2.38)

Ua(ω) = Ue(ω) · e−jω(t0+∆t/2) · 2 cos(ω∆t/2) (2.39)

Die Ubertragungsfunktion des Kammfilters in Bild 2.27 wird damit:

16Der Name Kammfilter kommt von der Periodizitat im Amplitudengang. Bei einer allgemeineren Form des Kammfilters sind die

Sperrbereiche breiter, so daß die periodischen Durchlaßbereiche des Amplitudengangs dann wie die Zahne eines Kamms aussehen.17Bei dieser Art der Realisierung von Filtern kommt es nur auf die Laufzeiten an, nicht jedoch darauf, wie die Laufzeiten realisiert

sind. Mittels verlustloser Leitungen lassen sich ideale Laufzeitglieder realisieren, speziell fur kurze Laufzeiten.



H(ω) = Ua(ω)/Ue(ω) = 2 · cos(ω∆t/2) · e−jω(t0+∆t/2) (2.40)

Daraus folgt fur den Amplitudengang A(ω) dieses Kammfilters:

A(ω) = |H(ω)| = 2| cos(ω∆t/2)| (2.41)

Bild 2.28 zeigt diesen | cos | formigen Amplitudengang Ac(ω) und den Phasengang. Man beachte die Pha-

sensprunge infolge der Betragsbildung. (Vergleiche dazu Bild 2.22, Seite 33.)

Eine Anwendung finden Kammfilter bei der Filterung periodischer Signale, deren Frequenzkomponenten

gerade in die Durchlaßbereiche fallen. Diesen Signalen uberlagerte Storungen (wie z.B. Rauschen) konnen

damit teilweise unterdruckt werden. Eine solche Anwendung findet z.B. beim Radar statt.

Werden in Bild 2.27 die Teilsignale subtrahiert anstatt addiert, entsteht ebenfalls ein Kammfilter. Wie

aus dem Rechengang ersichtlich ist, entsteht dann jedoch j · 2 sin(ω∆t/2), und damit ein Amplitudengang

As(ω) gemaß Bild 2.29.

As(ω) = |Hs(ω)| = 2| sin(ω∆t/2)| (2.42)

|cos| Kamm Filter: Amplitude & Phase

Phasengang

Amplitudengang

ω0=4π/∆t

Ac(ω), Φ

c(ω)

ω

Φc(ω

0)=ω

0*(t

0+∆t/2)

Sprunghöhe: π

2

Bild 2.28: Amplituden- und Phasengang eines Kammfilters nach Bild 2.27. Bei der Summierstelle gilt das +

Zeichen: Addition

2.6.10 Anwendung von Kammfiltern beim Farbfernsehen

Beim PAL–Farbfernsehen18 ist die Farbinformation im Spektrum so zwischen die Helligkeitsinformation ge-

schachtelt, Bild 2.30, daß beide mit einem Satz von Kammfiltern entsprechend zu den Bildern 2.28 und 2.29

empfangsseitig wieder getrennt werden konnen. Dadurch konnen Ubersprecheffekte zwischen Helligkeit

18Das analoge PAL–Farbfernsehen wird ab 2003 durch das digitale DVB–T (Digital Video Broadcast — Terrestrial) abgelost. Die

hierbei angewendete Modulationsart ist ein Mehrtrager–Verfahren: COFDM (Coded Orthogonal Frequency Multiplex).



|sin| Kamm Filter: Amplitudengang

As(ω)

ω

ω0=4π/∆t

2

Bild 2.29: Amplitudengang des Kammfilters Bild 2.27, wenn die Ausgangssignale subtrahiert werden. (—

Zeichen in Bild 2.27)

und Farbe vermieden werden, wie z.B. bunt schillernde Farben bei einem grauen Nadelstreifenanzug. Mo-

derne analoge TV-Gerate (fur Kabel-TV) sind mit derartigen Filtern ausgestattet; konventionelle TV–Gerate

nutzen”nur“ die Orthogonalitat in den Modulationen von Helligkeit und Farbe aus.

Bild 2.30: Spektrum des PAL TV und Verschachtelung von Helligkeits– und Farb–Spektrum

2.6.11 Kammfilter als Prototyp des terrestrischen Funkkanals

Funksignale erreichen den Empfanger meist uber mehrere Reflexionen, z.B. an Gebauden im Falle des Mo-

bilfunks. Man betrachtet hierzu die Funkwellen ahnlich wie Lichtstrahlen in der Strahlenoptik. Ein fur

den Empfanger ganz besonders schwieriger Fall ist das Zwei–Wege–Modell des Funkkanals, Bild 2.31, weil

dadurch periodische Loschungen im Spektrum des Empfangssignales auftreten konnen, wenn beide Funk–

Pfade gleiche Amplituden haben.

u (t)e

1,0 1-ε

Σ

∆t

u (t)a

t0

Zwei-Wege-Modell

HauptimpulsEcho

c(t)

1 1-ε

tt + t0 ∆t0

Bild 2.31: Zweiwege–Modell des Funk–Kanals und die Kanal–Impulsantwort c(t)

In der Praxis haben Funkwege keine konstanten Parameter, so daß die”Locher“ (notches) im Empfangs-

spektrum”wandern“. Wenn die Amplituden (und auch diese sind zeitveranderlich) der beiden Pfade nicht

absolut gleich sind, ergibt sich nur eine teilweise Loschung.



2.6.12 Transversales Filter

Eine Verallgemeinerung des Bildes 2.27 fuhrt auf die Struktur eines Transversalfilters. Hierbei werden meh-

rere verzerrungsfreie Systeme bzw. Laufzeitglieder in Kette geschaltet und die Abgriffe gewichtet (bewertet)

summiert, s. Bild 2.32.

∆t ∆t ∆t ∆t ∆t ∆t

h0 h1 h2 h3 h4 hN-1 hN

u (t)e

u (t)a+ + + + + +

N StufenFIR Filter

Bild 2.32: Transversale Filterstruktur, FIR Filter

Die transversale Filterstruktur gemaß Bild 2.32 heißt FIR-Filter (FIR, finite impulse response)19. Sie be-

steht aus einer Kette von Laufzeitgliedern. Nach jedem Laufzeitglied wird das Signal abgezweigt und mit ei-

nem Koeffizienten hn gewichtet. Alle gewichteten Anteile werden aufsummiert und bilden das Ausgangssig-

nal. Soll ein FIR Filter sperren, muß die gewichtete Summe aller abgegriffenen Teilspannungen den Wert 0

ergeben, also sich wegkompensieren.

Fur die Ausgangsspannung ua(t) des Filters Bild 2.32 gilt:

ua(t) = h0ue(t) + h1ue(t−∆t) + h2ue(t− 2∆t) + · · ·+ hNue(t−N∆t) (2.43)

ua(t) =

N∑

n=0

hn · ue(t− n∆t) (2.44)

Damit erhalt man, wenn in der Transformation die Zeitfunktionen durch die Spektraldichten ersetzt

werden:

Ua(ω) =

N∑

n=0

hn · Ue(ω)e−jnω∆t (2.45)

Daraus folgt die Ubertragungsfunktion des Transversalfilters:

H(ω) =Ua(ω)

Ue(ω)=

N∑

n=0

hn · e−jnω∆t (2.46)

Gl.(2.46) ist aber eine (komplexe) Fourier–Reihe einer uber der Frequenz ω periodischen Funktion

mit der Periode ∆Ω = 2π/∆t. Damit gilt fur die Koeffizienten hn :

hn =1

∆Ω

∆Ω/2∫

−∆Ω/2

H(ω) · ejnω∆tdΩ (2.47)

Damit folgt sofort, daß die Gewichtskoeffizienten hn gemaß der Impulsantwort h(t) der gewunschten

Ubertragungsfunktion H(ω) gewahlt werden mussen (h(t) −−−• H(ω)).

19FIR Filter konnen mit exakt linearer Phase realisiert werden. Siehe”LTI–Systeme“ Kapitel 3.2.



0 10 20 30 40

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Koeffizenten: n −−>

h n −−

>Impulsantwort des FIR Filters

t0

Hüllkurve

h(t) −−> hn

t

Bild 2.33: Beispiel fur die Impulsantwort eines

Transversalfilters

0 10 20 30 40

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Impulsantwort des FIR Filters, gefenstert

Koeffizenten: n →

h n →

ChebwinFenster−Funktion(Chebyshev Window)

Bild 2.34: Beispiel fur die gefensterte Impulsant-

wort eines Transversalfilters

Der Amplitudengang eines Transversalfilters gemaß Gl.(2.46) ist — als Konsequenz aus der F–Reihe —

periodisch uber der Frequenz, d.h. es gibt nicht nur einen, sondern (theoretisch∞) viele Durchlaßbereiche.

Demzufolge besteht die Impulsantwort eines solchen Filters aus aquidistanten Linien (δ–Impulsen).

Bild 2.33 zeigt ein Beispiel fur eine Impulsantwort eines transversalen Filters gemaß Bild 2.32 (ohne Fen-

sterung).

Bild 2.34 zeigt die gefensterte Impulsantwort. Durch die Fensterung werden die Koeffizienten hn so mo-

difiziert, daß das FIR–Filter genugend Dampfung im Sperrbereich aufweist.20

Da sich Verzogerungsstrukturen digital sowohl in Hardware recht einfach mit Hilfe von Schieberegi-

stern aufbauen lassen und zudem nur noch Multiplikationen und Additionen vorkommen, und andererseits

sich bequem softwaremaßig realisieren lassen, ist das transversale Filter (FIR–Filter) der Prototyp eines

digital realisierbaren Filters. Damit erweist sich der Zeitverschiebungssatz fur die digitale Si-

gnalverarbeitung als von elementarer Wichtigkeit. Praktisch werden digitale Filter softwaremaßig

realisiert. Fur aufwendigere Anforderungen an die Filtereigenschaften werden auch Signalprozessoren oder

programmierbare Logik verwendet.

20Siehe hierzu Kapitel 5.10 zur Dimensionierung von FIR–Filtern.



3 Frequenzverschiebung, Modulation, Differentiation,

Integration, Aquivalentes Tiefpaßsignal

3.1 Frequenzverschiebung

Gemaß dem Vertauschungssatz (Kapitel 2.4) gibt es zum Zeitverschiebungssatz (Kapitel 2.6) einen

entsprechenden Frequenzverschiebungssatz. Mit Beachtung des Minuszeichens im Vertauschungssatz

folgt:

fA(t) = f(t) · e⇓

+jΩCt −−−• F (ω⇓− ΩC) = FA(ω) (3.1)

ΩC ist hierbei die Frequenz eines Hochfrequenz–Tragers (Trager–Frequenz; carrier frequency). Das Spek-

trum ist also um ΩC zu positiven Frequenzen hin verschoben.

Beweis:∞R

−∞

f(t) · e+jΩCte−jωtdt =∞R

−∞

f(t) · e−j(ω−ΩC)tdt = F (ω − ΩC)

Ist die Zeitfunktion f(t) reell, wird f(t) · e+jΩCt komplexwertig. Mit Hilfe der Euler’schen Formeln wird

daraus:

fA(t) = f(t) · e+jΩCt = f(t) · cos ΩCt+ jf(t) · sin ΩCt analytisches Signal (3.2)

3.1.1 Analytisches Signal: Nur positive Frequenzen

Das komplexwertige Signal fA(t), Gleichung (3.2), das Spektralanteile nur bei positiven Frequenzen hat,

wird”Analytisches Signal“ genannt.

Das folgende Beispiel soll die Problemstellung veranschaulichen. Die Zeitfunktion f(t), Bild 3.1, sei

gemaß Bild 2.11 (Seite 23) gewahlt:

f(t) =ωcπ· sin(ωct)

ωct−−−• ⊓ωc

(ω) = F (ω) (3.3)

−6 −4 −2 0 2 4 6

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Zeit

Am

plitu

de


t/TN

ωc/π

=2ωc/2π

−π/ωc T

N=π/ω

c

2π/ωc

ωc/π sin(ω

ct)/(ω

ct)

−−−•

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

(Kreis−) Frequenz

Spe

ktra

ldic

hte


ωc −ω

c

ω/ωc

1

Πω

c

(ω)

Bild 3.1: Beispiel ωc

π ·sin(ωct)ωct

−−−• ⊓ωc(ω)

Zu dem Analytischen Signal fA(t) gehort nach Gleichung (3.1) ein um ΩC nach rechts verschobenes

Spektrum FA(ω). Wie man sofort erkennt, hat FA(ω) keine Symmetrie mehr bezuglich der ω–Achse. FA(ω)kann daher in einen geraden Anteil FAe

(ω) und einen ungeraden Anteil FAo(ω) aufgespalten werden, Bild

3.2 (Seite 42).

FA(ω) = FAe(ω) + FAo

(ω) Zerlegen in even und odd (3.4)

Zu einem reell geraden Spektrum FAe(ω) gehort eine reell gerade Zeitfunktion und zu einem re-

ell ungeraden Spektrum FAo(ω) gehort eine imaginar ungerade Zeitfunktion. Gemaß Gleichung (3.2)



ω ωωΩC ΩC ΩC-ΩC

-ΩC

F ( )A ω

F ( )Ao ωF ( )Ae ω1

½ ½

Bild 3.2: Aufspaltung des Spekrums eines Analytischen Signals in seinen geraden und ungeraden Anteil

ist das zum ersten dersin(x)x , multipliziert mit cos(ΩCt), was eine reell gerade Zeitfunktion ergibt und zum

zweiten dersin(x)x , multipliziert mit j sin(ΩCt), was eine imaginar ungerade Zeitfunktion ergibt. Da das ana-

lytische Zeit–Signal komplexwertig ist, kann es z.B. dreidimensional dargestellt werden [8], Bild 3.3.

Bild 3.3: Analytisches Signal (komplex) im Zeitbereich: Modulierter Trager f(t) (reell gerade) und die

Quadratur–Funktion (imaginar ungerade)

Das Analytische Signal wird in Kapitel 3.6 weiter betrachtet, nachdem zunachst der Modulationssatz

behandelt wurde.

3.2 Modulationssatz

Verschiebt man die Spektraldichte F (ω) sowohl um ΩC nach rechts als auch nach links, kann man in der

Zeitfunktion die Exponentialterme (nach Euler) zusammenfassen und erhalt so den technisch wichtigen

Modulationssatz, bei dem die Zeitfunktionen immer reell sind.

f(t) · cos(ΩCt) −−−• F (ω − ΩC) + F (ω + ΩC)

2= FAe

(ω)

f(t) · sin(ΩCt) −−−• F (ω − ΩC)− F (ω + ΩC)

2j= −jFAo

(ω)(3.5)

Hierbei ist FAe(ω) der gerade Anteil des Spektrums des analytischen Signals fA(t) (Gleichung

(3.2)) und −jFAo(ω) ist der mit j multiplizierte (d.h. um 900 in der Phase gedrehte) ungerade Anteil des

Spektrums des analytischen Signals fA(t).Aus den Formeln im Zeitbereich sieht man, daß es sich um eine Amplitudenmodulation des (Cos– bzw.

Sin–formigen) Tragers (mit der Frequenz ΩC) handelt, denn dessen Amplitude wird durch f(t) bestimmt.



3.2.1 Doppelseitenband–Modulation

Die gemaß dem Modulationssatz entstehende Modulation wird Doppelseitenband–Modulation (DSB) ge-

nannt. Das Blockschaltbild eines solchen Modulators zeigt Bild 3.4 zusammen mit den Spektraldichten der

Signale.

Das Nachrichtensignal ist f(t) = uN (t) und das Tragersignal uC(t) = 1 · cos(ΩCt).

uDSB(t) = uN (t) · cos(ΩCt) −−−• UDSB(ω) = 12UN (ω − ΩC) + UN (ω + ΩC) DSB (3.6)

u (t)N

NF

u (t)=cos( t)

C

CΩHFTräger

u (t)=u (t)cos( t)

DSB

N CΩU ( )C ω

DSBU ( )DSB ω

ω

ω

ω

USBLSB−ΩC

ΩC−ΩC

ΩC

1

½

1/2 π

ππ

U ( )N ω

Bild 3.4: Blockschaltbild eines Doppelseitenband-Modulators (Multiplizierer) und symbolische Spektraldich-

ten fur die Signale

Fur die Spektraldichte der NF uN (t) wurde in Bild 3.4 eine symbolische Form gewahlt. Diese kann

praktisch als Platzhalter fur tatsachlich auftretende Spektraldichten interpretiert werden. Diese (Schmetter-

lings–) Form ist deswegen gunstig, weil man sofort sieht, welche NF–Frequenz an welcher Stelle in der Fre-

quenz der Modulation erscheint. Wie man in Bild 3.4 erkennt, hat die Spektraldichte der DSB ein oberes

Seitenband (in Regellage: USB, Upper Side Band) und ein unteres Seitenband (in Kehrlage: LSB, Lower

Side Band), jedoch keine Trager–Linie.1 2 Die Bandbreite eines DSB-modulierten Signals ist daher doppelt

so groß wie die NF–Bandbreite.

Bild 3.5 zeigt typische Zeitverlaufe von DSB und von Amplituden–Modulation (AM) mit Modulations-

grad m = 1 fur Cos–formiges Nachrichtensignal. Fur Digitale Funkubertragung wird DSB (bzw. QDSB:

Quadratur DSB, Bild 3.8) verwendet und dafur dann als PSK (phase shift keying) oder als QAM (quadratur

amplitude modulation) bezeichnet. Dadurch hat die DSB (bzw. QDSB) in der Praxis eine große Bedeutung.

Im Spektrum verwendet man die Schmetterlings–Form, damit typische Eigenschaften erkennbar sind.

Aus dem gleichen Grund wird im Zeitbereich ein Cos–formiges Nachrichtensignal angenommen.

3.2.2 Amplituden–Modulation (AM) der Rundfunksender auf LW, MW, KW

Auf Lang– Mittel– und Kurzwelle benutzen die Rundfunksender eine (gewohnliche) Amplitudenmodulation

(AM). Der Grund hierfur ist historisch bedingt und in der einfacheren Demodulationsmoglichkeit mittels

eines Gleichrichters oder Detektors zu finden, Bild 3.6.

Mittels eines Detektors laßt sich die Hullkurve der AM modulierten Schwingung abtasten und so die

Nachrichtenschwingung zuruckgewinnen3.

1In der angelsachsischen Literatur ist DSB–SC gebrauchlich. Mit SC (suppressed carrier) wird hervorgehoben, daß im Spektrum

des DSB–modulierten Signals keine Tragerlinie (carrier) vorhanden ist. Die DSB kann als Sonderfall einer I/Q–Modulation angesehen

werden, bei der der Q–Anteil Null ist.

2Der Stern ∗ bzw. die Kombination mit dem Faktor 1/(2π), als Symbol 1

2π ∗ geschrieben, in Bild 3.4 zeigt eine Alternative zur

Gewinnung der Spektraldichte eines modulierten Signals mit Hilfe einer Faltung, Kapitel 4.7.3Der Detektor-Apparat reicht zuruck in die Anfange des Unterhaltungsrundfunks (1923). Aus Grunden der Kompatibilitat zu

fruheren Empfangern wird immer noch in den”AM–Bandern“ diese Modulationsart verwendet, obwohl man technisch gesehen heute

gunstigere Modulationsarten zur Verfugung hat. Eine Umstellung auf digitale Modulation in diesen Frequenzbereichen ist geplant.

Siehe hierzu: http://www.drm.org. Digitale Modulation ist nicht mehr kompatibel zu AM, weshalb dann neue Empfanger benotigt

werden.



0 1 2 3 4 5 6 7 8−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Zeit

Am

plitu

deDSB Zeitfunktion

obere Hüllkurve

untere Hüllkurve

Phasensprünge π

0 1 2 3 4 5 6 7 8−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Zeit

Am

plitu

de

AM Zeitfunktion

obere Hüllkurve

untere Hüllkurve

Träger Amplitude

Bild 3.5: Zeitverlaufe von DSB und (gewohnlicher) AM mit m = 1

Bild 3.6: Detektor–Schaltung fur AM–Empfang und Hullkurven–Signal

Diese als gewohnliche AM bezeichnete Modulation unterscheidet sich von der DSB nur dadurch, daß

der HF–Trager zur modulierten Schwingung addiert wird und damit im Spektrum der modulierten Schwin-

gung als Linie an den Stellen ±ΩC vorhanden ist, Bild 3.74.

NF

HFTräger

DSB

ω

ω

ω

−ΩC

ΩC−ΩC

ΩC

1

½

1/2 π

ππ

AM

u (t)N

u (t)=cos( t)

C

CΩ

u (t)=[U +k u (t)]cos( t)

AM

C AM N CΩ

U ( )N ω

U ( )C ω

U ( )AM ω

Bild 3.7: Blockschaltbild eines Amplituden-Modulators (Multiplizierer & Summierstelle) und Spektraldich-

ten fur Cos–formiges Nachrichten–Signal

Die modulierte Schwingung erhalt dadurch die Form:

uAM (t) = UC1 +m · f(t) · cos(ΩCt); m · |f(t)| ≤ 1 AM (3.7)

Die Große m bezeichnet den Modulationsgrad5. Die einfache Demodulationsmoglichkeit erfordert die Be-

4In der angelsachsischen Literatur wird AM auch als DSB–LC (DSB large carrier) bezeichnet. Weitere Detais im Kapitel

”Amplituden–Modulationen“.

5Fur AM gilt dabei die Nebenbedingung |f(t)|max ≤ UC .



schrankung auf m < 1. Fur m > 1 wurden Uberschneidungen von oberer und unterer Hullkurve des modu-

lierten Signals erfolgen, wodurch Verzerrungen des demodulierten Signals entstehen.

3.2.3 Digitale I/Q Modulation

Zunachst wird als Tragerschwingung eine phasenverschobene Cos–Schwingung angesetzt.

f(t) · cos(ΩCt+ ϕ) −−−• F (ω − ΩC) · e+jϕ + F (ω + ΩC) · e−jϕ2

I/Q Modulation (3.8)

Die Tragerschwingung uC(t) = UC · cos(ΩCt+ϕ), entsprechend zu Gleichung (3.8), ergibt aufgespalten in

ihre I und Q Anteile:

uC(t) = UC · cos(ΩCt+ ϕ)

= UC cosϕ︸︷︷︸UCI

· cos(ΩCt)−UC sinϕ︸︷︷︸UCQ

· sin(ΩCt) = uI(t) + uQ(t) I/Q Zerlegung

uI(t) = UCIcos(ΩCt) In–Phasen–Komponente des Tragers

uQ(t) = UCQsin(ΩCt) Quadratur–Phasen–Komponente des Tragers

UC =√U2CI

+ U2CQ

Amplitude des Tragers

∠UC = arctan

UCQ

UCI

Phasenwinkel des Tragers

(3.9)

Bei digitaler Modulation wird ein Cos–Trager (I–Trager) und ein Sin–Trager (Q–Trager) mit gleicher Ampli-

tude verwendet. Wird UC =√

2 und ϕ = 450 gewahlt, ergibt sich ein Blockschaltbild fur das I/Q modulierte

Signal gemaß Bild 3.8

Die I/Q Darstellung ist bei den Digitalen Modulationen allgemein ublich, wobei dann jedoch das I–Signal

und das Q–Signal durch das digitale Signal m(t) multiplikativ beeinflußt (DSB–moduliert) wird und diese

damit zeitabhangig werden.

UCI= UCI

(t) = UCIm(t) UCQ

= UCQ(t) = UCQ

m(t) Einwirken der Nachricht (3.10)

uI/Q(t) = I(t) · cos(ΩCt)−Q(t) · sin(ΩCt) Ausgangs–Signal des I/Q Modulators (3.11)

cos( t)ΩC

−900

00

sin( t)ΩC

Message

m(t)

I(t)

Q(t)

CarrierOscillator

BasebandSignal

Processing

+

-Σ

I(t) cos( t)ΩC

- Q(t) sin( t)ΩC

Bild 3.8: Blockschaltbild eines Digitalen I/Q–Modulators

Digitale Modulatoren bestehen grundsatzlich aus 2 Teilen:

1. digitale Signalverarbeitung im Basisband (baseband signal digital processing)

2. analoger I/Q–Modulator: I(t) & Q(t) sind analoge Zeitsignale mit vorgegebener (endlicher) Grenzfre-

quenz, entsprechend zur verfugbaren Kanal–Bandbreite des modulierten Signals.

Gemaß Gleichnung (3.9) werden bei einer I/Q–Modulation sowohl die Amplitude als auch die Phase des

Tragers durch das digitale Signal moduliert. Dies entspricht der polaren Darstellung des modulierten Si-

gnals entsprechend zu Kapitel 2.3.7”Spektraldichte in polarer Darstellung“.



Beispiele zum Modulationssatz

3.2.4 Beispiel 1: Schaltmodulator

Technisch verwendet man zur Erzeugung von DSB keinen Multiplizierer, sondern einen Umpoler (Schalt–

Betrieb). Als Ausgangsspannung erhalt man das selbe, wie wenn man einen Multiplizierer mit einer Umpol-

funktion (anstatt einer Cos–Schwingung) betreiben wurde.

Umpolfunktion

t

1

−1

T

fu(t)

−−−•

Spektraldichte der Umpolfunktion

ω

Fu(ω)

Hüllkurve

ω0

3ω0

Linien−Abstand:ω

0 = 2π/T

Nullstellen der Hüllkurve:n*ω

N = 2*n*ω

0

ωN

T

T*2/π

Bild 3.9: Umpolfunktion und deren Spektraldichte; Tragerfrequenz: ΩC = ω0

Die Umpolfunktion ist eine bipolare Rechteckschwingung mit dem Tastverhaltnis 1:1 (Tast–Grad θ =

0.5). Aufgrund dieses Tastverhaltnisses fallt jede geradzahlige Oberschwingung auf eine Nullstelle dersin(x)x

Hullkurve und verschwindet damit, s. Bild 3.9.

Die Umpolfunktion kann spektral in Cos–Schwingungen der Frequenzen ΩC , 3ΩC , 5ΩC usw. mit ΩC =ω0 = 2π/T zerlegt werden. Nach dem Linearitatssatz kann fur jede dieser Schwingungen der Modulations-

satz getrennt angewendet werden, so daß dann Teilspektren bei den entsprechenden Frequenzen entstehen.

Da man in der technischen Anwendung i.a. nur am Teilspektrum bei ΩC interessiert ist, werden samtliche

anderen durch Filterung beseitigt. Der Vorteil dieses Verfahrens besteht vor allem darin, daß die nicht-

linearen Verzerrungen eines (analogen) Multiplizierers vermieden werden. Zusatzlich hat ein geschalteter

Umpoler einen viel besseren Wirkungsgrad als ein Multiplizierer.6

3.2.5 Beispiel 2: Burst

Bild 3.10 zeigt einen (DSB–) modulierten Rechteckimpuls (Burst) f(t) = ⊓T (t) cos(ω0t), wobei die Frequenz

ΩC = ω0 der Cos–Schwingung relativ hoch ist, so daß sich die Auslaufer der six –Funktionen in der Spek-

traldichte gegenseitig nicht mehr stark beeinflussen.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1

−0.5

0

0.5

1

Zeit

Am

plitu

de

modulierter Rechteck−Impuls

f(t)=Π*cos(ω0t)

−−−•

−30 −20 −10 0 10 20 30−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6Spektraldichte des modulierten Rechteck−Impulses

Kreis−Frequenz

Spe

ktra

ldic

hte

F(ω)

ω0 −ω

0

1/2

Bild 3.10: Modulierter Rechteckimpuls; Frequenz des Tragers ist hoch

6Die Bestimmung der Spektraldichte kann auch mit dem Faltungssatz (Kapitel 4.2) erfolgen.



Wenn dagegen die Frequenz ΩC = ω0 des Tragers nicht hoch genug ist, ergeben sich merkliche Uber-

lappungen der links– und rechtsseitigen Teilspektren.

3.2.6 Beispiel 3: cos–Kuppe im Zeitbereich

Ist die Frequenz ΩC = ω0 sehr klein bzw. die Periode T0 = 2π/ω0 groß z.B. im Verhaltnis zur Breite 2Teines Rechtecks ⊓T (t), erhalt man fur (den speziellen Fall) T0 = 4T fur die modulierte Schwingung f(t) =A · ⊓T (t) · cos(ω0t) eine einzelne Cos–Kuppe, Bild 3.11.

Die Spektralverteilung des Rechteckimpulses A ⊓T (t) ist die ATsin(ωT )

ωTFunktion, welche gemaß Modu-

lationssatz an die Stellen +ω0 = π/2T und −ω0 = −π/2T geschoben werden muß (gepunktet bzw. gestrichelt

in Bild 3.11). Da die Uberlappung hier stark ist, muß die Summenkurve gebildet werden, um zu einem aus-

sagerichtigen Ergebnis zu kommen. Im Spektrum dieses Beispiels kompensieren sich die Nebenmaxima der

beiden six zu einem großen Teil.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Zeit

Am

plitu

de

Cos−Kuppe

A

T −T

ω0=2π/4T

−−−•

−15 −10 −5 0 5 10 15

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Kreis−Frequenz

Spe

ktra

ldic

hte

Spektraldichte der Cos−Kuppe

4AT/π

AT

3π/2T

π/2T=ω0

si − Kurve

Bild 3.11: Die Cos–Kuppe und ihre Spektralverteilung

Berechnung der Flache unter der Cos-Kuppe

Zur Gewinnung (bzw. Kontrolle) der Zentralordinate der Spektraldichte der cos–Kuppe ist die Flache

unter der Cos-Kuppe zu berechnen.

Es wird die normierte Form f(x) = cos(x) fur eine Cos–Kuppe angesetzt, die damit von x = −π/2 bis

x = π/2 geht, Bild 3.12.

Somit wird die Flache Acos unter der Cos–Kuppe:

Acos =

∫ π/2

−π/2cos(x)dx = sin(x)|π/2−π/2 = 2 (3.12)

Die Flache A⊓ des umbeschriebenen Rechtecks ist:

A⊓ = π (3.13)

Daraus folgt fur die Flache unter der Cos–Kuppe, bezogen auf die Flache des umbeschriebenen Rechtecks:

Acos =2

π·A⊓ (3.14)

Das gefundene Verhaltnis2

π·A⊓ gilt immer in dieser Art, also auch bei Achsenbeschriftung in t bzw. in ω!



x

f(x)=cos(x)

- /2π π/2

1A =Π πA = 2cos

A =

Acos

Π ∗(2/π)

Bild 3.12: Zur Berechnung der Flache der Cos–Kuppe

Cos–Kuppe im Spektrum (Beispiel fur Datenverrundung)

Interpretiert man in Bild 3.11 gemaß Vertauschungssatz die Cos–Kuppe als Spektralverteilung, so erhalt

man die Form fur den Zeitverlauf einer speziellen Art von verrundeten Daten, die mit partial response

bezeichnet werden. Mit Partial–Response–Verfahren kann man bei gegebener Ubertragungsbandbreite die

Ubertragungsgeschwindigkeit erhohen. Dies muß man aber damit bezahlen, daß dadurch keine binaren

Signale mehr entstehen, sondern solche mit mehr als 2 Zustanden (hier 3 Zustande).

3.2.7 Beispiel 4: cos2–Kuppe

Die cos2–Kuppe laßt sich (gemaß dem Linearitatssatz) in ein Rechteck ⊓ und in ein moduliertes Rechteck

⊓ cos(2x) aufspalten, Bild 3.13.

⊓ · cos2 x = ⊓ · 1 + cos(2x)

2= ⊓/2 + ⊓/2 · cos(2x) (3.15)

Damit setzt sich die Spektraldichte der cos2–Kuppe aus insgesamt 3 six –Funktionen zusammen, Bild

3.13. (Siehe auch Bilder 2.14 und 2.15 (Seite 28)).

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−0.2

0

0.2

0.4

0.5

0.6

0.8

1

1.2

Zeit t →

Am

plitu

de

cos2 Kuppe f(t)

↑ ↑ T −T

−−−•

−6 −4 −2 −1 0 1 2 4 6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.40.50.6

0.8

1

1.2

(Kreis−) Frequenz ω →

Spe

ktra

ldic

hte

Spektraldichte cos2 Kuppe F(ω)

T →

T/2 →

↑ ↑ ω

N=2π/T −2π/T

Bild 3.13: Die cos2–Kuppe und ihre Spektraldichte



3.2.8 Beispiel 5: Hilbert–Filter

Die Impulsantwort des Hilbert–Filters in Bild 2.12 (Seite 24) und Bild 3.14 laßt sich mit Hilfe der vertausch-

ten Korrespondenz in Bild 2.11 und dem Modulationssatz wie folgt herleiten:

1. Breite des six verdoppeln, da ⊓ (in Bild 3.14) nur die halbe Breite hat (bezogen auf ⊓ in Bild 2.11).

2. Multiplikation des six mit − sin(ΩCt) , ΩC bestimmen: ΩC = ωc/2 (Modulations–Satz).

3. Spektraldichte entsprechend zum Modulationssatz verschieben.

4. Beide Seiten mit −j durchmultiplizieren.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

(Kreis−) Frequenz

Spe

ktra

ldic

hte

Spektraldichte F(ω): imaginär, ungerade

ωc

ω/ωc

F(ω): im, o

+j

−ωc

•−−−

−6 −4 −2 −1 0 1 2 4 6

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Zeit

Am

plitu

de

Zeitfunktion f(t): reell, ungerade

72.46 %(2/π) → 63.66 %

2ωc/2π

TN=2π/ω

c

f(t): re,o

Hüllkurve: si(x)

−0.7448π/ωc

−π/ωc 2t/T

N

Bild 3.14: Hilbert–Tiefpaß HHi-TP(ω) = F (ω) und seine Impulsantwort hHi-TP(t) = f(t)

Diese Beispiele sind als Ubungsaufgaben sehr gut geeignet.

3.3 Differentiation und Integration

3.3.1 Differentiation im Zeitbereich

Die Differentiation einer Zeitfunktion fuhrt in der Spektraldichte zu einer Multiplikation mit jω. Damit gilt:

g(t) =d

dtf(t) −−−• jω · F (ω) = G(ω) Zeit–Differentiation (3.16)

Entsprechend folgt bei n–facher Ableitung der Zeitfunktion:

dnf(t)

dtn−−−• (jω)n · F (ω); n = 1, 2, 3, · · · (3.17)

Beweis: Mit dem Definitionsintegral f(t) = 12π

∞R

−∞

F (ω)ejωtdω folgt bei Differentiation beider Seiten:

d

dtf(t)

| z

g(t)

=1

2π

∞Z

−∞

jωF (ω)| z

G(ω)

ejωtdω

Die Auswirkung der Differentiation im Zeitbereich auf die Spektraldichte zeigt Bild 3.15 am Beispiel

eines Dreieck–Impulses [16]. Sehr anschaulich ist die Aufspaltung der Multiplikation mit jω = j · ω im

Frequenzbereich in 2 Teilschritte.



Bild 3.15: Differentiation im Zeitbereich ergibt Multiplikation mit jω im Frequenzbereich

3.3.2 Zusammenhang mit der komplexen Wechselstromrechnung

Zwischen der komplexen Wechselstrom–Rechnung und der Beschreibung eines Systems mit Hilfe der Diffe-

rentialgleichungen gibt es einen unmittelbaren Zusammenhang.

Fur das Beispiel einer Spule mit der Induktivitat L gilt nach dem Induktionsgesetz fur die induzierte

Spannung bei einer beliebigen Anderung des Stromes:

uL(t) = Ldi(t)

dt(3.18)

Mit dem Zeitdifferentiationssatz wird daraus:

UL(ω) = L · jω · I(ω) = jωL · I(ω) (3.19)

Diese Gleichung gilt fur beliebige Kurvenformen der Zeitfunktion, also auch speziell fur Cos–formige

Zeitfunktionen, die ja der komplexen Wechselstromrechnung zugrunde liegen7.

Aus Gleichung (3.19) folgt durch einfache Umformung das aus der komplexen Wechselstromrechnung

bekannte Ergebnis:

jω · L = UL(ω)/I(ω) (3.20)

• Das j in der komplexen Wechselstromrechnung hat ebenfalls die Bedeutung einer 900 Pha-

sendrehung.

3.3.3 Differentialgleichung aus komplexer Rechnung

Am Beispiel eines RC–Tiefpasses (regelungtechnisch: PT1–Glied), Bild 3.16, soll gezeigt werden, wie man

die Differentialgleichung dieses Netzwerkes mit Hilfe der komplexen Rechnung gewinnen kann.

Die Ubertragungsfunktion des RC–Tiefpasses berechnet sich mit komplexer Rechnung (Spannungsteiler–

Formel) zu:

H(ω) =Ua(ω)

Ue(ω)=

1/jωC

R+ 1/jωC=

1

1 + jωRC=

1

1 + jωT1; T1 = RC (3.21)

T1 = RC ist die Zeitkonstante des RC–Tiefpasses. Multipliziert man den 2. und den letzten Ausdruck

in Gleichung (3.21) uber Kreuz aus, erhalt man die Gleichung (3.22), aus der man mit Hilfe des Zeit–

Differentiationssatzes sofort die Differentialgleichung gewinnt.

7In der komplexen Wechselstromrechnung verwendet man Bezeichnungen wie U(ω), I(ω), um auf die spezielle Form der Zeitfunktion

hinzuweisen.



u (t)e u (t)a

Bild 3.16: RC–Tiefpaß

Ua(ω) + jωT1Ua(ω) = Ue(ω)

|• |• |•ua(t) + T1 · ua(t) = ue(t) ⇐ Differentialgleichung

(3.22)

Die Methode zur Gewinnung einer Differentialgleichung ist in gleicher Art auch fur kompliziertere Netz-

werke anwendbar8.

3.3.4 Herleitung von Korrespondenzen mit Hilfe des Zeitdifferentiationssatzes

Beispiel 1: Ableitung eines Rechteckimpulses ⊓T (t)

Die Ableitung eines Rechteckimpulses ⊓T (t) fuhrt auf 2 δ–Impulse, s. Bild 3.17. Die Ableitung fuhrt in diesem

Beispiel zu 2 antiparallelen δ–Impulsen ↑↓, da die Flankensteilheit des ⊓ unendlich ist.

• Um die Ableitung zu erzeugen, geht man die Zeitachse der Funktion von −∞→ +∞ entlang.

Damit erkennt man, daß der linke δ–Impuls nach oben ↑ geht und der rechte nach unten ↓. Damit ergibt

sich die folgende neue Korrespondenz:

⊓T (t)d/dt−→ δ(t+ T )− δ(t− T )

|• |• |•2T sin(ωT )

ωT

(jω)·−→ jω · 2T sin(ωT )ωT = j · 2 sin(ωT )

(3.23)

Symmetrien

Ist die Zeitfunktion reell & gerade (im Beispiel ⊓T (t)), wird die Ableitung reell & ungerade (im Beispiel

↑↓). Die Ableitung einer ungeraden Zeitfunktion wird dagegen gerade.

Zeitfunktion reell gerade re e

Ableitung reell ungerade re o

Zeitfunktion reell ungerade re o

Ableitung reell gerade re e

Symmetrien der Zeitfunktionen fuhren auf Symmetrien der Spektraldichten, siehe Kapitel 2.3. Die Sym-

metriebetrachtung kann wieder der Kontrolle dienen.

8Bei der Anwendung elektrischer Analogien z.B. fur mechanische, akustische, hydraulische etc. Probleme konnen die betreffenden

Differentialgleichungen auch in solchen Fallen bequem bestimmt werden (solange es sich um gewohnliche Differentialgleichungen

mit konstanten Koeffizienten handelt). Ein weiteres Beispiel siehe Kapitel”Laplace–Transformation“. Hier werden dann auch die

Anfangsbedingungen berucksichtigt.



−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Zeit/T

Am

plitu

de


T(t)

T −T

−−−•

−6 −4 −2 0 2 4 6

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

(Kreis−) Frequenz

Spe

ktra

ldic

hte

Spektraldichte F1(ω) von Π

T

2T

π/T

Re

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1

−0.5

0

0.5

1

Zeit/T

Am

plitu

de

Zeitfunktion f2(t) = δ(t−T) − δ(t+T)

−T

T

δ(t + T)

−δ(t − T)

f2(t): Re, o

−−−•

−6 −4 −2 0 2 4 6−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Spektraldichte F2(ω) von f

2(t)

(Kreis−) Frequenz

Spe

ktra

ldic

hte

F2(ω): Im, o

Bild 3.17: Die Ableitung des ⊓T (t) fuhrt auf 2 Delta–Impulse↑↓. Die Spektraldichte der δ–Impulse ist sin–

formig.

Periode der Sin–Schwingung

Aus Gleichung (3.23) und aus Bild 3.17 geht hervor, daß die Periode ωp der Sin–Schwingung gleich

Periode der Schwingung =2π

Entfernung eines δ vom Ursprung

ist, hier also:

ωp = 2π/T gilt fur Sin– & Cos–Schwingungen ! (3.24)

Ubungsaufgabe

Die Spektralverteilung zweier zeitverschobener δ–Impulse laßt sich alternativ auch mit Hilfe des Zeitver-

schiebungssatzes (aus δ(t) −−−• 1) gewinnen.

Beispiel 2: Zweifache Ableitung des Dreieck–Impulses

Ein Dreieck-Impuls A · ∧T (t), s. Bild 3.18, fuhrt nach der Ableitung auf zwei (antisymmetrische) ⊓T/2(t)–Impulse, diese wiederum abgeleitet auf 3 δ–Impulse ↑↓↑:

1. Ableitung:

A · ∧T (t)d/dt−→ A

T

⊓T/2(t+ T/2)− ⊓T/2(t− T/2)

|• |• |•AT

sin(ωT/2)

ωT/2

2(jω)·−→ jω ·AT

sin(ωT/2)

ωT/2

2

= j2A · sin(ωT/2)︸︷︷︸Schwingung

· sin(ωT/2)

ωT/2︸︷︷︸Hullkurve

(3.25)



Die Korrespondenz, die sich hier ergeben hat, ist (bis auf das Vorzeichen) identisch mit dem BIPHASE–Impuls

aus Bild 2.12 (Seite 24), vergl. Bild 3.18 (mittlere Korrespondenz).

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Zeit/T

Am

plitu

de

Dreieck−Impuls AΛT(t): rell, gerade

f(t)=A*ΛT(t)

t T −T


T/2

−−−•

−6 −4 −2 0 2 4 6

−0.25

0

0.25

0.5

1.25

1

1.25

Spektrum FΛ(ω)

(Kreis−) Frequenz

Spe

ktra

ldic

hte

FΛ(ω) = AT si( ωT/2)2

AT

ω 2π/T − 2π/T

Spektraldichte desflächengleichenRechtecks

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Zeit/T

Am

plitu

de

1. Ableitung von ΛT(t): rell, ungerade

A/T

f1(t)

−T

T

t −−−•

−6 −4 −2 0 2 4 6

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

(Kreis−) Frequenz

Spe

ktra

ldic

hte

Spektraldichte F1(ω): imaginär, ungerade

2π/T − 2π/T

F1(ω)

ω

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

Zeit/T

Am

plitu

de

2. Ableitung von ΛT(t): rell, gerade

f2(t)

A/T δ(t+T) A/T δ(t−T)

− 2A/T δ(t)

t

−−−•

−6 −4 −2 0 2 4 6−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

(Kreis−) Frequenz

Spe

ktra

ldic

hte

Spektraldichte F2(ω): rell, gerade

F2(ω)

Bild 3.18: Erste und zweite Ableitung des Dreiecksimpulses A ·∧T (t)



2. Ableitung:

AT

⊓T/2(t+ T/2)− ⊓T/2(t− T/2)

d/dt−→ AT δ(t+ T )− 2δ(t) + δ(t− T )

|• |• |•j2A · sin(ωT/2) · sin(ωT/2)

ωT/2

(jω)·−→ − 4AT sin(ωT/2)2 = − 2A

T · [1− cos(ωT )]

(3.26)

Die 2. Ableitung fuhrt auf 3 δ–Impuse, Bild 3.18. Diese transformieren in eine − sin2 Funktion bzw.

in einen Konstantanteil und eine Cos–Funktion (mit trigonometrischer Umformung oder mit dem Linea-

ritatssatz). Die Periode des Cos bestimmt sich auch hier entsprechend zu Gleichung (3.24).

3.4 Integration im Zeitbereich

Gehort zur Ableitung im Zeitbereich eine Multiplikation mit jω im Frequenzbereich, so gehort zur Integra-

tion als der Umkehrung der Differentiation eine Division durch jω im Frequenzbereich (als Umkehrung zur

Multiplikation mit jω). Das ist aber noch nicht komplett, denn exakt geschrieben gilt:

t∫

−∞

f(τ)dτ −−−• 1

jω· F (ω) + πδ(ω) · F (0)︸︷︷︸

Spektral–Linie

Zeit–Integration (3.27)

In Gleichung (3.27) erscheint also noch ein zweiter Term mit einer δ–Funktion, welcher eine Spektrallinie

bei der Frequenz Null darstellt und der sich mit Hilfe der folgenden Beispiele erklaren laßt.

3.4.1 Die Sprungfunktion σ(t) als Integral uber die δ(t)–Funktion

Das Integral uber die δ(t)–Funktion ergibt:

t∫

−∞

δ(τ)dτ =

0 fur t < 01 fur t > 0

= σ(t) (3.28)

Also gilt symbolisch dargestellt:

δ(t)

integriert =⇒⇐= differenziert

σ(t) (3.29)

Dieses Ergebnis ist unmittelbar einsichtig, wenn von t = −∞ beginnend mit laufender oberer Grenze t uber

die Deltafunktion δ(t) integriert wird, siehe auch Bild 3.19, denn es gilt:

• fur −∞ < τ < 0− ist δ(t) = 0; Es wurde noch uber keine Flache integriert.

• fur 0− < τ < 0+ ist δ(t) =∞; Dabei wird uber die Flache 1 des δ(t) integriert.

• fur 0+ < τ <∞ ist δ(t) = 0; Keine neue Flache kommt dazu, keine geht weg.

δ(t) σ(t)

t t

∫ ...dτ

d/dt

-

t

Bild 3.19: Sprungfunktion σ(t) als Integral uber die Deltafunktion δ(t) oder δ(t) als Ableitung von σ(t)



Fur die Spektraldichten folgt nun mit Gleichung (3.27):

δ(t) −−−• 1

σ(t) −−−• 1

jω· 1 + πδ(ω) · 1 =

1

jω︸︷︷︸im, odd

+ πδ(ω)︸︷︷︸re, even

Sprungfunktion (3.30)

Die Spektraldichte der Sprungfunktion hat damit einen rell geraden und einen imaginar ungeraden An-

teil. Gemaß dem Uberlagerungssatz kann jeder dieser Teile getrennt in den Zeitbereich zurucktransformiert

werden. Damit hat die Sprungfunktion σ(t) in einen reell geraden und in einen reell ungeraden Anteil,

Bild 3.20.

σ(t) 0.5*sgn(t)½

t tt

= +

Bild 3.20: Zerlegung der Sprungfunktion σ(t) in eine Signum–Funktion sgn(t) und einen Gleichanteil

Der gerade Anteil in der Spektraldichte der Sprungfunktion ist πδ(ω). In der Rucktransformierten ergibt

sich damit eine Konstante der Große 12 uber der Zeit t. Dies erkennt man sofort, wenn man den umgekehrten

Weg betrachtet: Die F–Transformierte einer Konstanten A im Zeitbereich ist A · 2π · δ(ω). Diese Delta–

Funktion hat also die Flache9 A · 2π. Zu dem Anteil δ(ω) in der Spektraldichte von σ(t) gehort demnach ein

Gleichanteil der Große A = 12 im Integral uber die Zeitfunktion δ(t).

3.4.2 Die Signum–Funktion sgn(t)

Betrachtet man nun den ungeraden Anteil der Sprungfunktion σ(t), kommt man zur Signum–Funktion10

sgn(t), Bild 3.21.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1

−0.5

0

0.5

1

Zeit

Am

plitu

de

Signum−Funktion sgn(t)

−−−•

−6 −4 −2 0 2 4 6−6

−4

−2

0

2

4

6

(Kreis−) Frequenz

Spe

ktra

ldic

hte

Spektralverteilung der Signum−Funktion

Bild 3.21: Die Signum–Funktion sgn(t) und ihre Spektraldichte

Die Signum–Funktion ist definiert als:

sgn(t) =

−1 fur t < 0+1 fur t > 0

−−−• 2

jω= −j 2

ω(3.31)

9Siehe den Satz uber die Zentralordinate (Kapitel 1.35)10Signum, das Vorzeichen. Mit dieser Funktion laßt sich z.B. auch die Gleichrichterwirkung mathematisch beschreiben.



Werden nun beide Teile zusammengefaßt, erhalt man die Sprungfunktion als:

σ(t) =1

21 + sgn(t) −−−• 1

jω+ πδ(ω) (3.32)

Damit kann die Sprungfunktion und ihre Spektraldichte dargestellt werden, Bild 3.22.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Zeit

Am

plitu

de

Sprung−Funktion σ(t)

−−−•

−6 −4 −2 0 2 4 6−6

−4

−2

0

2

4

6

Spektralverteilung der Sprung−Funktion


pekt

rald

icht

e π δ(ω)

Bild 3.22: Sprungfunktion σ(t) und ihre Spektraldichte

Zur Verdeutlichung wird in Bild 3.23 die Spektraldichte der Sprungfunktion drei–dimensional [16] dar-

gestellt.

;

Bild 3.23: Zusammensetzung der Sprungfunktion σ(t) aus Konstant–Funktion und Signum–Funktion sgn(t)und ihre Spektraldichten in drei–dimensionaler Darstellung

3.4.3 Zum Auftreten des δ(ω) in der Spektraldichte der integrierten Zeitfunktion

Offensichtlich ist der Term F (0)πδ(ω) in Gleichung (3.27) nur dann von Null verschieden, wenn F (0) 6= 0 ist.

Nach dem Zentralordinatensatz gilt fur eine ungerade Zeitfunktion f(t):

F (0) =

∞∫

−∞

f(t)dt.= 0 fur ungeraden Integranden (3.33)

Das Integral gemaß Gleichung (3.27) uber eine ungerade Zeitfunktion hat demnach nie einen δ–Term

in seiner Spektraldichte. Die Integralgrenzen sind dabei als symmetrisch→∞ gehend anzunehmen.



Hingegen liefert das Integral uber eine gerade Zeitfunktion i.a. einen δ–Term in seiner Spektraldichte,

wie sich am Beispiel der Sprungfunktion gezeigt hat.

Es gibt aber Ausnahmen von dieser Regel, wie z.B. bei einer Cos–Schwingung. Hier ist das Integral uber

die Zeitfunktion gemaß Gleichung (3.33) ebenfalls Null. In einem solchen Fall tritt der δ–Term nicht auf, wie

von der komplexen Wechselstromrechnung her bekannt ist. Beispielsweise gilt fur die Spannung an einem

Kondensator bei sinusformigem Strom:

uc(t) =1

C

t∫

−∞

ic(τ)dτ =⇒ Uc(ω) =1

C

1

jωIc(ω) =

1

jωCIc(ω) (3.34)

Es tritt also keine Gleichspannungskomponente auf. Betrachtet man nun das Spektrum des Cos, so er-

kennt man, daß dies zwar gerade ist, jedoch nur aus 2 δ–Linien besteht, die bei ± der Frequenz des Cos

sind. Damit ist auch in diesem Fall F (0) = 0, siehe hierzu auch Bild 3.18 und Teil 5 des Skriptes zur F–

Transformation.

• Allgemeiner kann man daher sagen, daß der δ–Term immer dann nicht auftritt, wenn die gerade Zeit-

funktion ein Bandpaß–Signal und damit F (0) = 0 ist.

3.5 Differentiation im Frequenzbereich

Nach dem Vertauschungssatz ergibt sich (unter Berucksichtigung des Minuszeichens) aus der Differentiati-

on im Zeitbereich sofort die Differentiation im Frequenzbereich:

t · f(t) −−−• jdF (ω)

dω; tn · f(t) −−−• jn

dnF (ω)

dωnFrequenz–Differentiation (3.35)

3.5.1 Elementarsignal eines Quantisierungsgerausches

Bei der Digital–Analog–Wandlung entstehen treppenformige Zeitfunktionen. Diese konnen als glatte Zeit-

funktionen mit uberlagertem sagezahnformigem Quantisierungsgerausch interpretiert werden. Bild

3.24 zeigt am Beispiel der Kennlinie eines Analog–Digital–Wandlers (ADC: analog digital converter) die

Quantisierungs–Stufen [23], die Ursache fur das Quantisierungs–Gerausch sind.

Bild 3.24: Die Kennlinie eines ADC zeigt die Stufungen, die zum Quantisierungs–Gerausch fuhren

Die Spektralverteilung dieses Quantisierungsgerausches kann aus der Analyse eines einzelnen Sage-

zahns (Elementarsignal fq(t)) gewonnen werden. Diesen Sagezahn fq(t) kann man aus einem ⊓ gewinnen,

indem dieser mit einer Ursprungsgeraden multipliziert wird, Bild 3.25.

fq(t) = At

T; fur − T < t < +T Elementarsignal Quantisierungs–Gerausch (3.36)

fq(t) = A ⊓T (t)t

T=A

T· t · ⊓T (t) (3.37)

Gemaß Gleichung (3.35) ergibt sich damit fur die Spektralverteilung Fq(ω):



Fq(ω) =A

T· j ddω

2T

sin(ωT )

ωT

= j2AT

ωT cos(ωT )− sin(ωT )

(ωT )2(3.38)

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2Zeitfunktion Quantisierungs−Geräusch

Zeit/T

Am

plitu

de

fq(t)

A

T t

−−−•

−6 −4 −2 0 2 4 6

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

(Kreis−) Frequenz ω →

Spe

ktra

ldic

hte

Spektraldichte Quantisierungs−Geräusch

0.8724 AT(43.62 %)

−0.6621π/T

2AT

π/T

ω

Fq(ω)

(100 %)

Bild 3.25: Quantisierungsgerausch (Elementarsignal) mit Spektralverteilung

Das Quantisierungsgerausch hat sehr kleine spektrale Komponenten bei tiefen Frequenzen (ω → 0).

Aufgrund dieses spektralen Verlaufes wird es moglich, mit Hilfe von Uberabtastung (wie z.B. beim CD-

Spieler) die D/A–Ruckwandlung mit einer Auflosung von nur 1 Bit auszufuhren. Der Vorteil hierbei ist in

der großeren Linearitat der 1–Bit–Wandler zu sehen. Diese Methode erfordert eine Abtastratenerhohung um

den Faktor 2N/2, wenn die digitalen Stutzwerte mit N Bit aufgelost sind. Bei der CD ist das Audio–Signal

mit N = 16 Bit codiert. Damit wird eine Abtastratenerhohung von 28 = 256 erforderlich, die mit 256–fach

Oversampling bezeichnet wird.

3.6 Bandpaß–Signale und aquivalente Tiefpaß–Signale

Bandpaß–Signale entstehen durch Modulation aus Tiefpaß–Signalen. Hierbei werden die Spektren ent-

sprechend verschoben. Im Kapitel 3.2 Modulationssatz wurde gezeigt, daß dafur eine Multiplikation des

Tiefpaß–Signals mit einer Cos– und/oder Sin–formigen Tragerschwingung notwendig ist, I/Q–Modulator

Bild 3.8.

Fur eine Software–Realisierung von modulierten Signalen ist es vorteilhaft, die Modulation mit Hil-

fe aquivalenter Tiefpaß–Signale durchzufuhren und den Modulationsvorgang nicht mit Sin– oder Cos–

Signalen sondern komplex mit ejΩCt auszufuhren. Die Bearbeitung im Tiefpaß–Bereich gestattet es, eine

geringere Abtastfrequenz zu verwenden, als es fur Bandpaß–Signale erforderlich ware. Allerdings verlangt

diese Behandlung die Verwendung komplexwertiger Zeitsignale im Basisband.

Aus diesem Grunde werden

• Bandpaß–Signale als Tiefpaß–Signale verarbeitet (; geringere Abtastrate) und

• Modulationsvorgange durch Multiplikation mit ejΩCt ausgefuhrt (; schnellere Berechnung) anstatt

mit Cos– oder Sin–Schwingungen.

Dafur ist es erforderlich, mit komplexen Signalen zu rechnen.

3.6.1 Gewinnung der Aquivalenten Tiefpaß–Signale

Ein Bandpaß–Signal ist ein reellwertiges Zeitsignal, das i.a. in seiner Amplitude und seiner Phase modu-

liert ist, wie z.B. bei einer Digitalen Modulation.



uBP (t) = A(t) cos(ΩCt+ ϕ(t)) (3.39)

Reelle Zeitsignale haben komplexwertige Spektralverteilungen mit geradem Real–Teil UBPe(ω) und

ungeradem Imaginar–Teil UBPo(ω), siehe Gleichung (2.6) (Seite 18). Damit gilt:

UBP (ω) = UBPe(ω) + jUBPo

(ω) (3.40)

Die Gewinnung des aquivalenten Tiefpaß–Signals soll graphisch anhand des Realanteils UBPe(ω) der

Spektraldichte gezeigt werden, Bild 3.26. In der Skizze ist UBP (ω) = UBPe(ω) angenommen.

ω

ω

ΩC

ΩC

-ΩC

UBP( )ω1

-ΩC

ωΩC

HUBP( )ω1

-ΩC

ωΩC

1

-ΩC

11

2

ωΩC

-ΩC

1

2

jHUBP( )ω

UBP+( )ω UTP( )ω

Im

Bild 3.26: Bildung des Aquivalenten Tiefpaß–Signals im Spektrum (UBP (ω) = UBPe(ω))

In diesem Bild ist nur der Realanteil ℜ(UBP (ω)) = UBPe(ω) dargestellt um das Bild nicht zu uberfrach-

ten. Die einzelnen Umformungsschritte gelten fur den Imaginaranteil in analoger Weise. Fur das Spektrum

ist eine symbolische Form gewahlt. Es ist gerade in Bezug auf die Achse bei ω = 0, auch wenn es bezuglich

ΩC nicht gerade ist.

Die einzelnen Schritte zur Bildung des Aquivalenten Tiefpaß–Signals sind:

1. Bildung des Hilbert–gefilterten Spektrums HUBP (ω). Ein Hilbert–Filter dreht alle positiven Spek-

tralkomonenten in der Phase um π/2 und alle negativen um−π/2. Formal entspricht dieses Filter einer

mit j multiplizierten Signum–Funktion jsgn(ω).

2. Drehung des Hilbert–gefilterten Spektrums als Ganzes um −π/2 in mathematisch positiver Richtung.

Dies ist eine Multiplikation mit ejπ/2. Dadurch ergibt sich ein Spektrum, das fur positive Frequenzen

mit dem Spektrum von UBP (ω) ubereinstimmt.

3. Die Addition des Bandpaß–Spektrums UBP (ω) mit dem Hilbert–gefilterten und Phase–gedrehten Spek-

trum loscht sich fur negative Frequenzen und verdoppelt sich fur positive Frequenzen zu U+BP (ω).

4. Eine Multiplikation mit ejΩCt ergibt eine Verschiebung in den Tiefpaß–Bereich. Das Spektrum UTP (ω)ist komplexwertig, weil ja das ursprungliche Spektrum UBP (ω) ebenfalls komplexwertig war.

u (t)BP

u (t)BP+

j e-j tΩC

u (t)TP

Hilbert-Filter

komplexeMultiplikation

ωj

Bild 3.27: Blockschaltbild zur Bildung des Aquivalenten Tiefpaß–Signals aus dem Bandpaß–Signal



Die Schritte zur Bildung des Aquivalenten Tiefpaß–Signals gemaß Bild 3.26 lassen sich in einem Block-

schaltbild zusammenfassen, Bild 3.27.

Komplexwertige Basisband–Signale werden digital als 2 parallele Datenstrome verarbeitet.

Bei Multiplikationen (I/Q–Modulator mit Quadratur–Modulation als Software–Losung) ist daher komplex

zu rechnen, was als teilweise Vermischung mit anschließender Trennung der Datenstrome aufgefaßt werden

kann:

(x1 + jy1) · (x2 + jy2) = (x1 · x2 − y1 · y2) + j(x1 · y2 + y1 · x2) (3.41)

3.6.2 Erzeugung des Bandpaß–Signals aus dem Aquivalenten Tiefpaß–Signal

Die Gewinnung des Bandpaß–Signals aus dem (komplexen) Aquivalenten Tiefpaß–Signal entspricht der

Umkehrung des Vorgangs gemaß Bild 3.27. Man kommt damit zu einer Stuktur, wie sie Bild 3.28 zeigt. Dies

ist die effektivste Struktur zur Erzeugung einer Digitalen Modulation mit Hilfe einer Software–Losung.

ej tΩC

u (t)TP

komplexeMultiplikation

u (t)BP+

u (t)BP+

u (t)BP

Realteil

Bild 3.28: Blockschaltbild zur Gewinnung des Bandpaß–Signals aus dem Aquivalenten Tiefpaß–Signal

Fur eine Hardware–Realisierung des I/Q–Modulators ist die Struktur Bild 3.8 (Seite 45) anzuwenden.

Das komplexe Signal u+BP (t) das durch komplexe Multiplikation mit ejωCtaus uTP (t) entstanden ist, hat

nur Spektralanteile bei positiven Frequenzen. Es ist also ein analytisches Signal, siehe Bild 3.2 (Seite 42).

Um zu einem reellwertigen BP Signal uBP (t) zu kommen, muß man also nur den Realanteil ℜu+BP (t)

bilden11. Dies zeigt auch Bild 3.3 fur ein Beispiel im Zeitbereich.

3.6.3 Die Gewinnung des Aquivalenten TP Signals mit Hilfe eines Hilbert–Filters

Nun bleibt noch zu klaren, wie man von einem rellen TP Signal uT (t) zu dem (komplexwertigen) aquivalenten

TP Signal uTP (t) gelangt.

uTP (t) −−−• UTP (ω) = ℜUTP (ω)︸︷︷︸even

+j ℑUTP (ω)︸︷︷︸odd

(3.42)

Dazu wird das ebenfalls reellwertige Zeitsignal∧uTP (t) gebildet, das aus dem HILBERT–gefilterten Signal

uTP (t) entsteht.

∧uTP (t) −−−•

∧UTP (ω) = ℑUTP (ω)sgn(ω)︸︷︷︸

even

− j ℜUTP (ω)sgn(ω)︸︷︷︸odd

= ℜ∧

UTP (ω) + jℑ∧

UTP (ω)(3.43)

Hierbei ist sgn(ω) die Signum–Funktion (im Frequenzbereich). Allgemein gilt:

∧X (ω) = −jX(ω)sgn(ω) (3.44)

11Bei einer Digitalen Realisierung wird ein Algorithmus verwendet, der nur den Realanteil berechnet.



Damit ergibt sich eine Struktur gemaß Bild 3.29.

u (t)T

u (t)TP

Hilbert-Filter

ωj u (t)T

Bild 3.29: Blockschaltbild zur Gewinnung des Aquivalenten Tiefpaß–Signals aus dem TP–Signal

3.6.4 Das Hilbert–Filter

Die Signum–Funktion −j ·sgn(ω) im Frequenzbereich kann als Ubertragungsfunktion eines Filters aufgefaßt

werden, des (idealen) Hilbert–Filters HHi(ω).

HHi(ω) = −jsgn(ω) (3.45)

Das (ideale) Hilbert–Filter hat die Impulsantwort12 hHi(t), die sich gemaß dem Vertauschungssatz aus

Gleichung 3.31 (Seite 55) gewinnen laßt:

HHi(ω) = −jsgn(ω) •−−− 1

πt= hHi(t) (3.46)

Bild 3.30 zeigt die Ubertragungsfunktion des idealen Hilbert–Filters und seine Impulsantwort.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Kreis−Frequenz

Imag

inär

e A

chse

System−Funktion des idealen Hilbert−Filters: imaginär, ungerade

j

−j

HHi

(ω)

ω •−−−

−6 −4 −2 0 2 4 6−6

−4

−2

0

2

4

6

Zeit

Am

plitu

de

Impulsantwort des idealen Hilbert−Filters: reell, ungerade

hHi

(t)

t

Bild 3.30: Ideales Hilbert–Filter und seine Impulsantwort

Das so definierte Hilbert–Filter hat eine beliebig hohe Grenzfrequenz. Fur modulierte Signale genugt ein

Hilbert–Filter mit oberer Grenzfrequenz ωg, Bild 3.31.

Die Ubertragungsfunktion des (idealisierten) Hilbert–Tiefpaß–Filters ergibt sich aus den bereits im Ver-

tauschungssatz (Kapitel 2.4.4, Seite 23) angegeben Formeln, Gleichung 2.19. Gegenuber dem in Bild 3.14

(Seite 49) dargestellten Hilbert–Tiefpaß ist hier ein Vorzeichenwechsel zu beachten.

12Ubertragungsfunktion und Impulsantwort bilden ein Fourier–Paar (Korrespondenz), Kapitel 4.2



HHi TP (ω) = −j ⊓ωg/2 (ω +ωg2

) + j ⊓ωg/2 (ω − ωg2

) •−−− − ωgπ

[sin(tωg/2)]2

tωg/2= hHi TP (t) (3.47)

Bei der Realisierung des Hilbert–Tiefpaß–Filters mit Digitaler Signalverarbeitung ist zusatzlich eine

Fensterung (Verrundung) anzuwenden13.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

(Kreis−) Frequenz

Imag

inär

e A

chse

Hilbert−TP HHi_TP

(ω): imaginär, ungerade

j

−j

ω

ωg

−ωg

HHi_TP

(ω)

•−−−

−6 −4 −2 0 2 4 6

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

ZeitA

mpl

itude

Impulsantwort hHi_TP

(t): reell, ungerade

t

hHi_TP

(t) ωg/π

2π/ωg

Bild 3.31: Hilbert–Tiefpaß–Filter (idealisiert) und seine Impulsantwort

13Auf die erforderliche Fensterung des Hilbert–Filters wird im Skript zu”Einseitenband– und Restseitenband–Modulation“ einge-

gangen.



4 Multiplikation, Faltung, Vereinfachte Faltung, Parseval,

asymptotisches Verhalten, Gaußimpuls

4.1 Faltung und Multiplikation

Die Faltung erweist sich als eine der wichtigsten Beziehungen zwischen zwei Funktionen, weil die entspre-

chende Beziehung der Transformierten die Multiplikation ist. Dies kann symbolisch dargestellt werden als:

Zeitbereich Frequenzbereich

Faltung −−−• Multiplikation

Multiplikation −−−• Faltung

4.2 Faltung im Zeitbereich

Zu dem Produkt zweier Funktionen im Frequenzbereich

F2(ω) = F1(ω) ·H(ω) Multiplikation (4.1)

gehort im Zeitbereich die Faltung der zugehorigen Transformierten. Die Faltung ist eine Integralbezie-

hung und lautet:

f2(t) =

∞∫

−∞

f1(τ)h(t− τ)dτ = f1(t) ∗ h(t) Faltung (4.2)

Zur Vereinfachung der Schreibweise — und in Anlehnung an die Multiplikation der Transformierten —

wird das Integral Gleichung (4.2) symbolisch mittels eines Faltungs–Sterns ∗ ausgedruckt.Beweis: Mit der Fouriertransformation gilt

F2(ω) =

∞Z

−∞

f2(t)e−jωtdt

In dieses Integral wird Gleichung (4.2) eingesetzt:

F2(ω) =

∞Z

−∞

8

<

:

∞Z

−∞

f1(τ)h(t − τ)dτ

9

=

;e−jωtdt

Mit Vertauschung der Reihenfolge der Integration wird daraus:

F2(ω) =

∞Z

−∞

8

<

:

∞Z

−∞

h(t − τ)e−jω(t−τ)dt

9

=

;

| z

H(ω)

f1(τ)e−jωτdτ = H(ω) · F1(ω)

Mit der Substitution t−τ = ξ, dt = dξ ist das Integral in der Klammer · · · das Definitionsintegral fur H(ω). Da H(ω)

nicht von τ abhangt, kann es vor das verbleibende Integral gezogen werden, welches seinerseits das Definitionsintegral

fur F1(ω) darstellt. Damit ergibt sich insgesamt F2(ω) = H(ω) · F1(ω), qed.

4.2.1 Lineares Zeit–invariantes Ubertragungssystem

Lineare Zeitinvariante Systeme (LTI: linear time invariant) sind eine besonders wichtige Gruppe, da sie

einfach zu beschreiben sind und Systeme in der Praxis haufig mit guter Naherung damit beschrieben werden

konnen.

Bei einem Ubertragungssystem sei die Ausgangsgroße ua(t) = g(t) die (Aus–) Wirkung W einer Ein-

gangsgroße ue(t) = s(t).

ua(t) = g(t) =W ue(t) =W s(t) (4.3)



Linearitat

Ein System ist linear, wenn jede Linearkombination von Eingangsgroßen si(t), i = 1, 2, 3, · · · zu einer ent-

sprechenden Linearkombination von Ausgangssignalen gi(t) fuhrt.

W

N∑

i=1

aisi(t)

=

N∑

i=1

ai · Wsi(t) =

N∑

i=1

ai · gi(t) Linearitat (4.4)

Zeitinvarianz

Ein System heißt zeitinvariant, wenn fur jede beliebige zeitliche Verschiebung τ0 gilt:

W s(t− τ0) = g(t− τ0) Zeitinvarianz (4.5)

Also ist die Form der Ausgangsgroße g(t) von der zeitlichen Verschiebung τ0 unabhangig, denn das System

hat seine Eigenschaften zwischenzeitlich nicht geandert, es ist zeitinvariant. Bild 4.1 zeigt ein Beispiel fur

ein solches LTI–System (RC–Tiefpaß). Fur die Form der Ausgagsspannung siehe auch Bild 4.26 (Seite 79).

s(t)

0 t0

a1

a2a2

a1

s(t)=a1·s0(t)+a2·s0(t–t0) g(t)=a1·g0(t)+a2·g0(t–t0)t

g(t)

0 t0 t

s(t) g(t)R

C

Bild 4.1: Beispiel fur die Reaktion eines LTI–Systems: linear & zeitinvariant

4.2.2 LTI–System im Zeitbereich

Ein lineares zeitinvariantes (Ubertragungs–) System (LTI–System) mit der Ubertragungsfunktion (System-

funktion) H(ω) ubertrage eine Eingangsgroße ue(t) zu seinem Ausgang, wo diese als Ausgangsggroße ua(t)erscheint, Bild 4.2.

u (t)e u (t)=a u (t) h(t)eh(t) : Impulsantwort

U ( )e ω H( ) : Übertragungs-funktion

ω U ( )=a ω U ( ) H( )e ω ω

LTI - System

Bild 4.2: Ubertragung uber ein lineares zeitinvariantes System

Fur den Zusammenhang zwischen den Ein– und Ausgangsgroßen gilt im Frequenzbereich der multipli-

kative Zusammenhang1:

Ua(ω) = Ue(ω) ·H(ω) Multiplikation im Frequenzbereich (4.6)

Damit wird die entsprechende Beziehung im Zeitbereich zu einer Faltung:

ua(t) = ue(t) ∗ h(t) Faltung im Zeitbereich (4.7)

1Dies entspricht dem formal gleichen Zusammenhang, der aus der komplexen Wechselstromrechnung bekannt ist.



In Gleichung (4.7) wird h(t) als die Impulsantwort des Ubertragungssystems bezeichnet, und es gilt die

Korrespondenz:

Impulsantwort h(t) −−−• H(ω) Ubertragungsfunktion (4.8)

Dieser Zusammenhang laßt sich hier mit Hilfe der Ausblendeigenschaft der δ–Funktion (Kapitel 1.6.5)

darstellen, wobei zunachst formal per Definition gilt:

• Die Antwort eines linearen Systems auf einen Impuls δ(t) als Eingangsgroße ist seine Impuls-

antwort h(t).

4.2.3 Ein– und Ausgangs–Spannung als gewichtete Summe

Die Eingangsspannung ue(t) kann man sich entsprechend zum Linearitats– oder Uberlagerungssatz aus in-

finitesimal feinen Treppenstufen bestehend vorstellen. Dies laßt sich mit Hilfe der Ausblendeigenschaft

der δ–Funktion (Kapitel 1.6.5, Seite 7) darstellen als:

ue(t) =

∞∫

−∞

ue(τ)δ(t− τ)dτ = ue(t) ∗ δ(t) (4.9)

Da das System auf jedes δ(t) mit seiner Impulsantwort h(t) antwortet, ergibt sich, weil das System

zeitinvariant ist, die Ausgangsspannung ua(t) als infinitesimal feine Summe samtlicher (gemaß den Werten

der Eingangsspannung gewichteter und entsprechend zeitlich verschobener) Impulsantworten.

ua(t) =

∞∫

−∞

ue(τ)h(t− τ)dτ = ue(t) ∗ h(t) (4.10)

Bild 4.3 zeigt diesen Zusammenhang fur den Fall, daß die Eingangsfunktion ue(t) aus endlich breiten

Impulsen zusammengesetzt ist [7] (d.h. vor dem Grenzubergang).

Bild 4.3: Faltung als gewichtete Summe der Impulsantworten eines Systems



4.2.4 Zur Messung der Impulsantwort

Die Ubertragungseigenschaften eines Systems konnen offensichtlich vollstandig durch seine Impulsant-

wort h(t) beschrieben werden. Das heißt aber nicht, daß die Impulsantwort eines beliebigen realen Sy-

stems mit Hilfe von Nadelimpulsen mit ∞ hoher Spannung gemessen werden kann! Eine impulsformige

Eingangsspannung fuhrt i.a. zur Ubersteuerung und im schlimmsten Fall auch zur Zerstorung des Ubertra-

gungssystems. Einer Messung zuganglich ist i.a. die Sprungantwort a(t), d.h. die Antwort eines Systems

auf einen Sprung σ(t) der Eingangsgroße2. Dies wird z.B. in der Regelungstechnik aus praktischen Grunden

viel angewendet. Die Impulsantwort h(t) ergibt sich aus der Ableitung der Sprungantwort a(t), s. Kapitel

4.6.9 (Seite 76).

4.3 Eigenschaften der Faltung

Da Faltung und Multiplikation ein Transformationspaar bilden, ist sofort einsichtig, daß die Faltung Eigen-

schaften hat, wie sie von der Multiplikation her bekannt sind.

f ∗ g = g ∗ f −−−• F ·G = G · F kommutativ

f ∗ (g ∗ h) = f ∗ g ∗ h −−−• F · (G ·H) = F ·G ·H assoziativ

f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h −−−• F · (G+H) = F ·G+ F ·H distributiv

(4.11)

Bei einem gleichzeitigen Auftreten von Faltung und Multiplikation sind Klammern zu setzen, damit

ersichtlich ist, was gemeint wird, denn i.a. ist:

f ∗ (g · h) 6= (f ∗ g) · h 6= (f ∗ h) · gF · (G ∗H) 6= (F ·G) ∗H 6= (F ·H) ∗G (4.12)

4.4 Graphische Interpretation der Faltung

Die Formel fur die Faltung gibt eine direkte Vorschrift an, wie das Faltungsintegral graphisch interpretiert

werden kann. Bild 4.4.

Bild 4.4: Graphische Interpretation der Faltung

2Die Impulsantwort laßt sich auch mit Rauschsignalen uber eine Korrelationsanalyse ermitteln, siehe Kapitel 6.5.13.



Geht man im Beispiel Bild 4.4 aus von

f2(t) = f1(t) ∗ h(t) =

∞∫

−∞

f1(τ)h(t− τ)dτ (4.13)

so kann man die einzelnen Schritte wie folgt graphisch interpretieren:

1. Umbenennen der Variablen in τ : t→ τ

2. Umklappen der 2. Funktion: h(τ)→ h(−τ)3. Verschieben der 2. Funktion: (Parameter t0) h(−τ)→ h(t0 − τ)4. Produktbildung: f1(τ) · h(t0 − τ)5. Integration = Flache unter dem Produkt (schraffiert)

6. Wert der Flache ergibt den Wert der Ergebnisfunktion an der Stelle des Parameterwertes t0

7. Parameter t0 nimmt nun beliebige Werte t an und wird zur Variablen der Ergebnisfunktion.

Die Graphische Interpretation kann man sich auch so vorstellen, daß man sich die umzuklappende Funk-

tion auf ein Lineal gezeichnet vorstellt, welches gemaß dem Parameterwert τ verschoben wird [8], Bild 4.5

.

Bild 4.5: Veranschaulichung des Durchschiebens der umgeklappten Funktion

Die”Durchschiebe–Methode“ der Faltung zeigt unmittelbar, daß die Breite der Ergebnis–Kurve f ∗ g

gleich der Summe der Breiten der mit einander gefalteten Funktionen f und g ist.

4.4.1 Impulsantwort des RC–Tiefpasses

Ein RC–Tiefpaß (siehe Bild 3.16, Seite 51) habe gemaß Gl. (3.21) die Ubertragungsfunktion

H1(ω) =1

1 + jωT1; T1 = R1 · C1 (4.14)

Hierzu gehort seine Impulsantwort

h1(t) =1

T1e−t/T1 ; t ≥ 0 (4.15)

Beweis:

H1(ω) =∞R

−∞

h1(t)e−jωtdt = 1

T1

∞R

0

e−(jω+1/T1)tdt = e−(jω+1/T1)t

−T1(jω+1/T1)

˛˛˛

∞

0= 1

1+jωT1

4.4.2 Entladekurve eines Kondensators

Die abklingende e–Funktion h1(t) gemaß Gleichung (4.15), Bild 4.7, erhalt man auch als Entladekurve

x1(t) eines Kondensators C, der uber einen Widerstand R entladen wird. Damit erhalt die Impulsantwort

eines RC–Tiefpasses physikalisch eine weitere Bedeutung:

• Mit Hilfe des δ–Impulses δ(t) wird der Kondensator C in infinitesimal kurzer Zeit geladen. Da die

Quelle den Innenwiderstand R = 0Ω und nach der Zeit t = 0+ die Spannung 0V hat, entladt sich der

Kondensator sofort wieder (Schalterstellung 1). Zur praktischen Messung einer Entladekurve ist ein

langsames Aufladen eines Kondensators aus einer Gleichspannungsquelle angezeigt (Schalterstellung

2). Anschließendes Entladen in Schalterstellung 3.



12

3δ σ

R1

C1u (t)e u (t)a

Bild 4.6: RC Tiefpaß mit δ(t) oder σ(t) als

Eingangsgroße

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Impulsantwort eines RC−Tiefpasses

Zeit/T

Am

plitu

de

Impulsantwort h1(t)

Entlade−Kurve x1(t)

eines Kondensators

Anfangs−Steigungder e−Funktion

Bild 4.7: Impulsantwort des RC Tiefpasses

und Entladekurve eines Kondensators

4.4.3 Kettenschaltung zweier RC-Tiefpasse

Die Entladefunktion x1(t) eines ersten RC–Tiefpasses werde (uber einen Trennverstarker) einem 2. RC–TP

zugefuhrt. Der Trennverstarker hat einen Eingangswiderstand Re →∞ (damit er den 1. RC–TP nicht bela-

stet) und einen Ausgangswiderstand Ra → 0 (damit er fur den 2. RC–TP eine Quelle mit Innenwiderstand

0Ω darstellt), Bild 4.8.

δ

R1

C1u (t)e u (t)a

R2

C2

V = 1R =R = 0

e

a

u1 u1δ(t)

Bild 4.8: Entkoppelte Kettenschaltung von

2 RC Tiefpassen mit δ(t) als Eingangsgroße

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 50

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2Antwort eines RC−Tiefpasses auf einen e−Funktion Eingangsimpuls

Zeit/T

Ampli

tude

Bild 4.9: Faltung zweier e–Funktionen am

Beispiel der Kettenschaltung zweier RC–

Tiefpasse (T2 = T1/2)

Es soll nun bestimmt werden, wie der Zeitverlauf xa(t) am Ausgang des 2. RC–TP aussieht. Die Losung

dieser Aufgabe erfolgt analytisch mit Hilfe des Faltungsintegrals, die hier graphisch gemaß Bild 4.5 (als

Durchschieben) interpretiert werden kann, Bild 4.9.

xa(t) = x1(t) ∗ h2(t) =

t∫

0

x1(τ)h2(t− τ)dτ =

t∫

0

1

T1e−τ/T1

1

T2e(−t+τ)/T2dτ

=1

T1T2e−t/T2

t∫

0

eT1−T2T1T2

τdτ =1

T1 − T2

e−t/T1 − e−t/T2

· σ(t) (4.16)

4.4.4 Technische Interpretation: Transversales Ubertragungssystem

Das transversale Filter, Bild 2.32 in Kapitel 2.6.12 (Seite 39) und Bild 4.11, approximiert die Faltung im

Zeitbereich.



u (t)e

u (x)e

t

x

Zeitverlauf

Potentialverlauf

Bild 4.10: Zeit– und Potential–

Verlauf der Eingangsspan-

nung

∆t ∆t ∆t ∆t ∆t ∆t


u (t)e

u (t)a+ + + + + +

N Stufen


Dies laßt sich folgendermaßen erkennen:

1. Der Potentialverlauf der Eingangsspannung uber der Verzogerungsstruktur stellt den gespiegelten

(umgeklappten, gefalteten) zeitlichen Verlauf dar, Bild 4.10.

2. Die (Filter–) Koeffizienten, die Stutzwerte (Abtastwerte) hn der Impulsantwort h(t) sind, werden mit

den abgegriffenen Werten der (verzogerten) Eingangsspannung multipliziert.

3. Die Produkte werden aufsummiert (statt integriert).

Damit wird also durch eine solche transversale Struktur das Faltungsintegral

ua(t) =∞∫

−∞h(τ)ue(t− τ)dτ = h(t) ∗ ue(t) Faltungs–Integral (4.17)

approximiert als:

ua(t) =N∑n=0

hn · ue(t− n∆t) Faltungs–Summe (4.18)

Die Digitale Signalverarbeitung beschaftigt sich ausfuhrlich mit den Unterschieden zwischen der Faltung

und ihrer Approximation durch ein transversales System. Das Ziel hierbei ist es, diese Unterschiede zu

minimieren.

4.4.5 Glattungseffekt der Faltung

Werden zwei Funktionen f(t) und g(t) miteinander gefaltet, so ist das Faltungsprodukt h(t), also das Er-

gebnis (hier gestrichelt gezeichnet), i.a. glatter als die beteiligten Ausgangsfunktionen, Bild 4.12. Dies ist

Bild 4.12: Glattungseffekt der Faltung

anschaulich sofort kar, wenn man die Faltung physikalisch als Ubertragung durch ein System betrachtet.

Hat namlich die Ubertragungsfunktion des Systems eine Grenzfrequenz die kleiner ist, als es den hochsten

Frequenzkomponenten des Eingangssignales entspricht, so sind in der Ausgangsfunktion diese Frequenz-

komponenten nicht mehr (oder mindestens nicht mehr so stark) enthalten. Einer Ubertragungsfunktion mit



niedriger Grenzfrequenz entspricht auch gemaß dem Zeit–Bandbreiten–Gesetz eine lang andauernde, und

damit”glattere“ Impulsantwort. In diesem Bild ist f(t) die Eingangsgroße, g(t) die Impulsantwort und h(t)

die Ausgangsgroße.

4.5 Faltung mit der δ–Funktion

Besonders einfach berechnet sich eine Faltung, wenn eine Funktion ein δ–Impuls (mit Flache A) ist, hier an

der Stelle t = t0.

f2(t) = A · δ(t− t0) ∗ f1(t) = A ·∞∫

−∞

δ(τ − t0)f1(t− τ)dτ (4.19)

Mit der Substitution: τ − t0 = ξ, dτ = dξ wird daraus unter Verwendung der Ausblendeigenschaft der

δ–Funktion:

f2(t) =

∞∫

−∞

A · δ(ξ)f1(t− t0 − ξ)dξ = f1(t− t0)A ·∞∫

−∞

δ(ξ)dξ = A · f1(t− t0) (4.20)

f2(t) = A · δ(t− t0) ∗ f1(t) = Af1(t− t0) Faltung mit δ–Funktion (4.21)

Wegen der Ausblendeigenschaft der δ–Funktion kann im Integranden die Variable ξ = 0 in die Funktion

f1 eingesetzt werden. Anschließend bleibt nur noch das Integral uber die δ–Funktion, was deren Flache 1

ergibt. Das Ergebnis wird damit sehr einfach, Bild 4.13:

Bild 4.13: Faltung mit einer δ–Funktion

• Die Faltung mit einer δ–Funktion liefert eine Reproduktion der Funktion f1(t) an der Stelle t0, wo

zuvor die δ–Funktion war. Es muß noch mit der Flache A der δ–Funktion multipliziert und gemaß

ihrer Phase gedreht werden.

Damit ergibt sich folgende Vorgehensweise bei der Faltung mit der δ–Funktion:

– Das Achsenkreuz von f1(t) dient als Markierung.

– f1(t) ist so zu verschieben, daß die vertikale Achse genau auf die Position der δ–Linie zu liegen

kommt.

– Der vertikale Maßstab der Ergebniskurve ist mit der Flache A der δ–Funktion zu bewerten.

– Die Ergebniskurve ist gemaß der Phase der δ–Funktion zu drehen.

– Ein Glattungs–Effekt tritt hierbei nicht auf.

Da die Faltung mit einer δ–Funktion so bequem durchzufuhren ist, wird im weiteren Verlauf immer

versucht, auf eine solche Form zu kommen. Dies fuhrt dann auf das Konzept der vereinfachten Faltung.



4.5.1 Physikalische Interpretation der Faltung mit einem δ–Impuls

Ubertragt man eine Zeitfunktion f(t) uber ein verzerrungsfreies System, so erscheint sie nach einer

Laufzeit t0 als f(t−t0) am Ausgang dieses Systems. Da dies ohne Einschrankungen gelten soll (was technisch

im Ubrigen nicht realisierbar ist), gilt das auch dann, wenn die Eingangsgroße eine δ–Funktion δ(t) ist. Die

Impulsantwort hvf (t) dieses verzerrungsfreien Systems ist dann, Bild 4.14:

hvf (t) = δ(t− t0) Impulsantwort des verzerrungsfreien Systems (4.22)

u (t)e

u (t)a

t

t

U ( )=|U ( )|e eω ω

ω

ω

|U ( )|a ω

ψ ω ω( ) = - t0

δ(t)

δ(t-t )0

t0

Bild 4.14: Ein δ–Impuls als Eingangssignal eines verzerrungsfreien Systems. Ausgangssignal ua(t)→ hvf (t)Impulsantwort ; Ua(ω)→ Hvf (ω) Ubertragungsfunktion

Wird nun eine (beliebige) Zeitfunktion ue(t) auf den Eingang des verzerrungsfreien Systems gegeben,

wird dessen ausgangsseitige Zeitfunktion zu:

ua(t) = ue(t) ∗ hvf (t) = ue(t) ∗ δ(t− t0) = ue(t− t0) (4.23)

Physikalisch ist sofort einsichtig, daß die Eingangsgroße unverzerrt aber um die Laufzeit t0 verzogert,

am Ausgang wieder erscheint, Bild 4.15.

Z

Z~~ u (t)0 s(t) g(t)t

s(t) g(t)

τ0

Bild 4.15: Die verlustlose Leitung mit Anpassung als Beispiel eines verzerrungsfreien Systems

• Die Faltung mit einer δ–Funktion kann daher als Ubertragung uber ein verzerrungsfreies

System interpretiert werden.

4.5.2 Verzerrungsfreies System und Zeitverschiebungs–Satz

Laut Zeitverschiebungssatz Gl. (2.27) gilt:

ue(t) −−−• Ue(ω) =⇒ ue(t− t0) = ua(t) −−−• Ue(ω)e−jωt0 = Ua(ω) ; Hvf (ω) = e−jωt0 (4.24)

• Die System–Funktion Hvf (ω) eines verzerrungsfreien Systems bewirkt eine lineare (in ω) Phasen-

drehung.

• In der Spektralverteilung der mit einer δ–Funktion gefalteten Funktion kommt also nur eine lineare

Phasendrehung hinzu. Ein Glattungseffekt tritt in diesem Fall nicht auf.



4.6 Die vereinfachte Faltung

Im Unterschied zu einer Faltung mit beliebigen Funktionen, wo umgklappt, verschoben und integriert wer-

den muß, wird die Faltung dann ganz einfach und anschaulich, wenn eine der zu faltenden Funktionen eine

δ–Funktion ist, wie in Kapitel 4.5 gezeigt wurde.

Wenn es also gelingt, ein allgemeines Faltungs–Problem so zu modifizieren, daß aus einer der zu falten-

den Funktionen δ–Impulse entstehen, wird der Teil ganz einfach, der sich auf die Faltung bezieht. Dieser

Gedanke liegt der”vereinfachten Faltung“ zugrunde.

Der hierfur gewahlte Ansatz geht davon aus, daß die Ableitung eines Sprungs σ(t) auf eine δ–Funktion

fuhrt, d.h. es gilt mit Gleichung (3.29) (Seite 54), Bild 4.16:

d σ(t)

dt= δ(t) δ als Ableitung von σ (4.25)

Da bei der graphischen Methode meist von einer Korrespondenz ausgegangen wird, bei der ein ⊓(t) (oder

entsprechend ein ⊓(ω)) beteiligt ist, kann diese Vereinfachung der Faltung in den meisten Fallen angewendet

werden, weil man sich ein Rechteck ⊓ aus 2 Sprungen σ(t) zusammengesetzt denken kann, Bild 4.17.

⊓T (t) = σ(t+ T )− σ(t− T ) Zusammensetzung von ⊓ durch Sprungfunktionen (4.26)

δ(t) σ(t)

t t

∫ ...dτ

d/dt

-

t

Bild 4.16: Sprungfunktion σ(t) als Integral uber

δ(t) oder δ(t) als Ableitung von σ(t)

-T T t

ΠT(t)

σ(t+T)

- (t-T)σ

Bild 4.17: Zusammensetzung eines Rechtecks

⊓T (t) aus zwei Sprungfunktionen

Nach dem Linearitats–Satz setzt sich die Spektraldichte des ⊓ ganz entsprechend aus den Spektraldich-

ten der beiden Sprunge zusammen.

4.6.1 Spektraldichten des Pulses ⊓ und des Sprungs σ(t)

Nach Gleichung (3.30) gilt die Korrespondenz:

σ(t) −−−• 1

jω+ πδ(ω) Sprungfunktion (4.27)

Der Mittelwert des Sprunges (gerechnet von −∞ bis ∞) ist ein Gleichanteil der Große 1/2. Daher tritt in

dessen Spektralverteilung δ(ω) auf.

Mit dem Zeitverschiebungssatz folgt:

σ(t± T ) −−−• e±jωT

jω + πδ(ω)e±jωT zeitverschobene Sprunge (4.28)

In der Korrespondenz (4.28) sind die Anteile der δ(ω)–Funktionen nur bei ω = 0 ungleich Null. Damit wird

aus dem 2. Term:

πδ(ω)e±jωT = πδ(ω)e0 = πδ(ω) (4.29)

Zusammengefaßt ergibt sich somit:

⊓T (t) −−−• e+jωT − e−jωTjω

+πδ(ω)− πδ(ω)︸︷︷︸heben sich weg

= 2Tsin(ωT )

ωT(4.30)



An diesem Beispiel sieht man, daß sich die δ–Funktionen, welche sich in der Transformierten des Sprun-

ges σ(t) ergeben, im Ergebnis aufheben. Dies ist ein fur die Gultigkeit der vereinfachten Faltung wichtiges

Ergebnis. Entsprechendes gilt fur σ(ω).

4.6.2 Verallgemeinerung

Prinzipiell laßt sich die vereinfachte Faltung immer dadurch erreichen, daß man einen glatten Funktions-

verlauf durch eine Treppenkurve approximiert. Diese”Treppen“ kann man sich aus (entsprechend Zeit–

verschobenen) Sprungfunktionen zusammen gesetzt denken, Bild 4.18.

Bild 4.18: Approximation eines Funktions–Verlaufes f(t) durch eine Treppen–Kurve, gebildet aus Sprung-

funktionen

Fur die Approximation von f(t) ergibt sich dann

f(t) ≈N∑

i=1

ai · σ(t− ti) , (4.31)

wobei ai die Hohe der Stufe i und ti deren Beginn sind.

Eine”grobe“ Approximation mit großen Stufen eignet sich gut fur eine Durchfuhrung der vereinfachten

Faltung von Hand, siehe Abschnitt 4.6.7 (Seite 75).

Fur eine graphische Ausfuhrung der Faltung”von Hand“ ist eine

”feine“ Approximation mit kleinen Stu-

fen zu muhsam, jedoch stellt dies genau den Ubergang zur Berechnung der Faltung mit dem Rechner dar. Im

Rechner werden die zu verarbeitenden Funktionen in Form von Stutzwerten bereit gehalten. Dies ist bezo-

gen auf den Funktionsverlauf gleichbedeutend mit einer treppenformigen Approximation einer ursprunglich

glatten Kurve. Der dabei verwendete Algorithmus ist die Fast Fourier Transform FFT.

4.6.3 Herleitung der vereinfachten Faltung im Zeitbereich

Zur Faltung im Zeitbereich gehort die Multiplikation im Frequenzbereich.

f2(t) = f1(t) ∗ h(t) −−−• F2(ω) = F1(ω) ·H(ω) (4.32)

Den Ausdruck im Frequenzbereich kann man mit jω/jω auf 2 Arten erweitern. Beide Arten sind gleichwer-

tig, aber man wahlt schlußendlich diejenige aus, die im Zeitbereich am einfachsten auf δ–Funktionen

fuhrt.

F2(ω) =F1(ω)

jω· jωH(ω) = jωF1(ω) · H(ω)

jωErweiterung mit

jω

jω(4.33)

Nach dem Zeit–Differentiationssatz Gl.(3.16), bzw. dem Zeit–Integrationssatz3 Gl. (3.27) gilt:

3Im Zeit–Integrationssatz tritt noch ein Term πδ(ω)X(0) auf, hier mit · · · angedeutet, der sich aber bei der Vereinfachten Faltung

wieder weghebt. Die Vereinfachte Faltung laßt sich genauso auch bei der Laplace–Transformation anwenden, bei deren Transfor-

mierten keine δ–Funktionen auftreten.



jωX(ω) •−−− dx(t)

dtZeit–Differentiation

X(ω)

jω+ · · · •−−−

t∫

−∞

x(τ)dτ Zeit–Integration(4.34)

Das bedeutet aber, daß man anstatt einer Faltung mit den ursprunglichen Funktionen f1(t) und h(t) auch

eine Faltung mit dem gleichen Ergebnis durchfuhren kann, wenn eine davon abgeleitet und die andere

dafur integriert wird:

f2(t) = f1(t) ∗ h(t) =d f1(t)

dt∗

t∫

−∞

h(τ)dτ =

t∫

−∞

f1(τ)dτ ∗d h(t)

dt(4.35)

Symbolisch kann man fur die Ableitung einen ’ und fur die Integration einen Strich unter die betreffende

Funktion schreiben:

f2(t) = f1(t)′ ∗ h(t) = f1(t) ∗ h(t)′ (4.36)

Es gilt der Grundsatz:

• Es wird diejenige Funktion differenziert, die am einfachsten auf δ–Funktionen fuhrt.

• Ggf. Approximation einer Funktion durch eine Treppenkurve und dann ableiten.

4.6.4 Ubungsbeispiel: Faltung zweier Rechteckimpulse

Bild 4.19 zeigt ein Beispiel zur Durchfuhrung der vereinfachten Faltung. Hierbei sind auch die Einheiten

der beteiligten Großen berucksichtigt, vergl. Bild 4.2 (Seite 64).

t t

t t

t

u (t)/Ve h(t)/(1/s)A

B

A (t+T)δ

-A (t-T)δ

u (t)’/V/se h(t)2BT-T T -T/2 3T/2

-TT

-T/2 3T/2

5T/2-3T/2-T T

T/2

A2BTu (t)/Va

A / VB / (1/s)2ABT / V

-A2BT

Bild 4.19: Beispiel zur Durchfuhrung der vereinfachten Faltung



4.6.5 Die Einheiten und Dimensionen bei der Faltung

Definiert man eine Ubertragungsfunktion H(ω) als Quotient zweier Großen gleicher Dimension, wie z.B. den

Spektraldichten der Spannungen am Ein– und Ausgang eines Ubertragungssystems,

H(ω) = Ua(ω)/Ue(ω) (4.37)

so folgt daraus, daß H(ω) dimensionslos sein muß.

Da eine Spektraldichte (im Unterschied zu einer Ubertragungsfunktion) die Einheit s (bzw. 1/Hz) hat,

muß daher die Impulsantwort h(t) als Korrespondierende zu H(ω) die Einheit 1/s haben.

Dies stimmt im Ubrigen uberein mit der Dimension fur δ(t), welche ebenfalls [1 / Zeit] ist, wie man

anhand des Grenzubergangs erkennt, welcher auf δ(t) fuhrt, siehe Gl. (1.22) (Seite 7).

Eine Schreibweise in der Art, wie sie oft in der Literatur zu finden ist,

ue(t) = δ(t) (4.38)

ist also dimensionsmaßig nicht richtig! Man muß konsequenterweise z.B. folgendermaßen schreiben:

ue(t) = u · T · δ(t) oder z. B. ue(t) = 1V · 1s · δ(t) (4.39)

Aus Grunden der Bequemlichkeit wird jedoch in der Literatur haufig die dimensionsmaßig nicht korrekte

(normierte) Schreibweise angewendet.

4.6.6 In einer der Funktionen sind bereits δ–Funktionen vorhanden

• Besteht eine Funktion sowieso schon aus δ–Funktionen, darf nicht differenziert werden!

Enthalt eine Funktion u.a. bereits δ–Funktionen, zerlegt man das Faltungsproblem nach dem Distribu-

tiv–Gesetz Gl. (4.11) in solche Teile die δ–Funktionen enthalten und in andere, bei denen δ–Funktionen erst

noch durch Differentiation erzeugt werden mussen. Nach dem Linearitatssatz ergibt sich das Gesamter-

gebnis aus der Summe der einzelnen Teile.

4.6.7 Faltung mit der Sprungfunktion σ(t)

Mit Hilfe der vereinfachten Faltung und der Bezeihung zwischen σ(t) und δ(t), Gl. (3.29) und der Ausblend-

eigenschaft der δ–Funktion, folgt sofort:

f2(t) = f1(t) ∗ σ(t) = σ(t) ∗ f1(t) = δ(t) ∗t∫

−∞

f1(τ)dτ =

t∫

−∞

f1(τ)dτ Faltung mit σ(t) (4.40)

Die Faltung mit einer Sprungfunktion ist also gleichbedeutend zu einer Integration.

4.6.8 Faltung einer approximierten Funktion (Treppen–Kurve)

Es wird angenommen, daß eine Funktion f1(t) durch eine Treppenkurve approximiert wird.

f1(t) ≈N∑

i=1

ai · σ(t− ti) (4.41)

Damit ergibt sich fur das Faltungsprodukt f3(t) = f1(t) ∗ f(t):

f3(t) = f1(t) ∗ f(t) ≈N∑

i=1

ai · σ(t− ti) ∗ f(t) =N∑

i=1

ai ·t∫

−∞

f(τ − ti)dτ (4.42)

Das bedeutet, daß nur einmal der Zeitverlauf gemaß dem Integralt∫

−∞f(τ)dτ gebildet werden muß und

dann mit den Koeffizienten ai zu bewerten und an die Stelle ti zu schieben ist. Bild 4.20 zeigt diese Faltung

am Beispiel f(t) = a cos(2πt/T ), gefaltet mit σ(t). Dargestellt ist hier die”Durchschiebe–Methode“, die die

Gewinnung des Integralst∫

−∞f(τ)dτ veranschaulicht.



τ

f(t)=a.cos(2 t/4T)π

-T T

a

τ

τ

σ(t)*f(t) =2aT.(2/ )π

tT-T

aT.(2/ )π

σ τ(t - )0

t0

t0

t0

Bild 4.20: Faltung mit der Sprungfunktion am Beispiel der Cos–Kuppe als Beispiel fur eine Integration mit

laufender oberer Grenze t

4.6.9 Sprungantwort eines Ubertragungssystems

Die Antwort eines Ubertragungssystems auf einen Sprung σ(t) ist dessen Sprungantwort a(t).Der Zusammenhang, welcher zwischen σ(t) und δ(t) besteht, gilt in gleicher Art auch fur die zugehorigen

Antworten:

a(t) = σ(t) ∗ h(t) = δ(t) ∗t∫

−∞

h(τ)dτ =

t∫

−∞

h(τ)dτ ; Sprungantwort =

t∫

−∞

Impulsantwort (4.43)

4.6.10 Sprungantwort des idealen TP und das Gibbs’sche Phanomen

Ein idealer Tiefpaß hat per Definiton eine rechteckformige (⊓) Durchlaßkurve. Seine Impulsantwort h(t) hat

daher einen six formigen Verlauf, Bild 4.21.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

(Kreis−) Frequenz

Spe

ktra

ldic

hte


ωc −ω

c

ω/ωc

1

Πω

c

(ω)

•−−−

−6 −4 −2 0 2 4 6

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Zeit

Am

plitu

de


t/TN

ωc/π

=2ωc/2π

−π/ωc T

N=π/ω

c

2π/ωc

ωc/π sin(ω

ct)/(ω

ct)

Bild 4.21: Der ideale Tiefpaß H(ω) = ⊓ωc(ω) (mit Phase 0) und seine Impulsantwort h(t) = ωc/π

sin(ωct)ωct

Die Amplituden der Nebenmaxima des six sind dabei vollig unabhangig von der Grenzfrequenz ωc



des Tiefpasses, wobei die Große des 1. Nebenmaximums 22% des Hautmaximums betragt.

Nach Gleichung (4.43) ist die Sprungantwort des idealen Tiefpasses das Integral uber den six mit lau-

fender obere Grenze. Diese Funktion ist als Integralsinus Si(x) bekannt, Bild 4.22.

Si(t) = −π/2 +

t∫

−∞

sin(τ)

τdτ Integral–Sinus (4.44)

Bild 4.23 zeigt die Sprungantwort a(t) des idealen Tiefpasses.

a(t) = Si(ωct)/π + 1/2 Sprung–Antwort des idealen Tiefpasses (4.45)

Die Amplituden der Uberschwinger des Si(x) in der Sprungantwort a(t) sind ebenfalls unabhangig von

der Grenzfrequenz ωc des idealen Tiefpasses, wobei hier die Große des 1. Nebenmaximums 9 % der

Sprungamplitude betragt. Ihre Große bleibt selbst dann erhalten, wenn die Grenzfrequenz ωc →∞ geht.

−15 −10 −5 0 5 10 15−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x==>

Si (

x)

Integralsinus Si(x)

π/2

−π/2

Bild 4.22: Der Integral–Sinus

−15 −12.5664 −9.4248 −6.2832 −3.1416 0 3.1416 6.2832 9.4248 12.5664 15−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Zeit

a (t

)

Sprungantwort des idealen TP

a(∞)

a(t)

h(t)

tN

≈ 22 % ≈ 9 %

Impulsantwort h(t)

Sprungantwort a(t)

Bild 4.23: Sprungantwort des idealen Tiefpaß–

Systems (mit Phase 00)

Das ideale Tiefpaß–System laßt sich entsprechend zu den Bildern 1.1 und 1.2 (Filterbank, Seite 2) inter-

pretieren.

• Dabei ist der Sprung σ(t) als F–Analyse–Signal (Eingangs–Signal der Filter–Bank) und die Sprungant-

wort a(t) = Si(ωct)/π + 1/2 als F–Synthese–Signal (Ausgang der Filterbank) zu interpretieren.

Der ideale TP bewirkt ein hartes Abschneiden aller Fourier–Komponenten mit Frequenzen, die großer

als ωc sind. Wie Bild 4.23 zeigt, sind die Uberschwinger im F–Synthese–Signal unabhangig von der Große

der Grenzfrequenz.4 Dieser Effekt wird als das Gibbs’sche Phanomen5 bezeichnet.

Zur Vermeidung von Uberschwingern darf daher im Spektrum kein hartes Abschneiden erfolgen, viel-

mehr muß ein”sanfter Ubergang“ erfolgen. Anwendungen hierzu sind z.B. die Verrundung (Formung) von

Daten–Symbolen, aber auch (mit Vertauschungs–Satz) die Fensterung von Impulsantworten, die in

FIR–Filtern (Bilder 2.32, 2.33und 4.11, S. 39, 40 & 69) als Koeffizienten (Stutzwerte) abgelegt werden.

4.6.11 Rampenfunktion

Durch nochmalige Integration kommt man von der Sprungfunktion σ(t) zur Rampenfunktion ρ(t), Bild

4.24. Entsprechendes gilt fur die zugehorigen Antworten. Sprung– und Rampenantwort haben meßtechni-

sche Bedeutung, speziell in der Regelungstechnik.

4Vergleiche hierzu das Skript”Spektren periodischer Zeitfunktionen“ Bild 5.3

”Fourier–Synthese des Rechteck–Pulses“.

5Gibbs; Josiah, Willard: ∗1839, †1903, amerikanischer Physiker



σ(t) : Sprungfunktion

ρ(t) : Rampenfunktion

t

Bild 4.24: Sprung– und Rampen–Funktion

ρ(t) =t∫

−∞σ(τ)dτ Rampe =

t∫

−∞

Sprung

r(t) =

t∫

−∞

a(τ)dτ Rampenantwort =

t∫

−∞

Sprungantwort

(4.46)

Eine Faltung mit einer Rampenfunktion ρ(t) bedeutet damit 2–fache Integration.

4.6.12 Gewinnung weiterer Korrespondenzen mit Hilfe der Faltung

Viele Korrespondenzen lassen sich mit Hilfe der Faltung bequem gewinnen, weil es sehr oft moglich ist,

Funktionen als Ergebnis einer Faltung aufzufassen. Es sollen an dieser Stelle die Andeutungen fur zwei

Beispiele genugen.

Ein Beispiel zeigt Bild 4.25, wo die Dreiecksfunktion∧

2T (t) aus der Faltung von 2 Rechtecken ⊓T (t)entsteht.

Bild 4.25: Dreiecksfunktion∧

mit Transformierter six 2

∧2T (t) = ⊓T (t) ∗ ⊓T (t) −−−• 2T

(sin(ωT )

ωT

)2

ωcπ

(sin(ωct)

ωct

)2

−−−• ∧2ωc

(ω)

(4.47)



Da bei den Transformierten multipliziert wird, ergibt sich zwanglos, daß zu einem∧

(t) ein six 2gehort. Die

2. Korrespondenz in Bild 4.25 ergibt sich mit Hilfe des Vertauschungssatzes.

4.6.13 Ubungsaufgabe: Biphase–Signal & Hilbert–Filter

Zur Herleitung der Korrespondenzen in Bild 2.12 (Seite 24) (Biphase–Signal & Hilbert–Filter) benotigt man

offensichtlich die Faltung eines Rechtecks ⊓mit 2 antiparallelen δ–Impulsen. Mit den beiden Teil–Ergebnis-

sen aus Bild 3.17 (Seite 52) kommt man dann sofort zur Transformierten. Die 2. Korrespondenz in Bild 2.12

erhalt man mit dem Vertauschungssatz.

Es empfehlen sich immer wieder die Kontrollen mit Hilfe der Symmetrien und der Zentralordinate!

4.6.14 Formung eines Rechteckimpulses durch einen RC–Tiefpaß

Ein Rechteckimpuls ⊓T (t) wird beim Durchgang durch einen RC–Tiefpaß in seiner Form verandert6. Die

Impulsantwort des RC-TP ist gemaß Gl. (4.15):

h(t) =1

T1e−t/T1 ; t ≥ 0; T1 = R · C Impulsantwort RC–TP (4.48)

Hierbei ist T1 = R · C die Zeitkonstante des RC–TP.

Gemaß der Vorgehensweise der vereinfachten Faltung wird der Rechteckimpuls ⊓T (t) differenziert, denn

dieser Schritt fuhrt sofort auf δ–Funktionen. Dann muß aber entsprechend h(t) integriert werden, was zur

Sprungantwort a(t) fuhrt:

a(t) =

t∫

−∞

h(τ)dτ =1

T1

∫ t

0

e−τ/T1dτ = (1− e−t/T1) · σ(t) Sprungantwort RC–TP (4.49)

Die Durchfuhrung dieser Faltung eignet sich als Ubungsaufgabe. Das Ergebnis zeigt Bild 4.26.

0 1 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ausgang eines RC−Tiefpasses für Π förmiges Eingangssignal

Zeit/T

Am

plitu

de

Bild 4.26: Formung eines Rechtecks durch einen RC-Tiefpaß

4.7 Faltung im Frequenzbereich

Eine Multiplikation im Zeitbereich bedeutet eine Faltung im Frequenzbereich. Nach dem Vertauschungssatz

gelten hier die gleichen Zusammenhange wie bei der Faltung im Zeitbereich. Da das Faltungsintegral uber

der Kreisfrequenz ω = 2πf gebildet wird, muß hier vor dem betreffenden Integral 12π stehen.

6Die einzige Kurvenform, die beim Durchgang durch ein lineares Netzwerk nicht verformt wird, ist die harmonische Schwingung.

Die komplexe Wechselstromrechnung fußt auf dieser Eigenschaft.



f1(t) · h(t) −−−• 1

2π

∞∫

−∞

F1(ν)H(ω − ν)dν =1

2πF1(ω) ∗H(ω) = F1(ω)

12π∗ H(ω) (4.50)

Bei der graphischen Durchfuhrung z.B. der vereinfachten Faltung im Frequenzbereich empfiehlt es sich, falls

die Funktionen graphisch vorliegen, den Faktor 12π z.B. uber dem Faltungsstern

12π∗ zu schreiben, damit er

nicht vergessen wird. Bis auf den Faktor 12π ist die Faltung im Frequenzbereich identisch mit der Faltung im

Zeitbereich. Das gilt auch fur die vereinfachte Faltung7.

4.7.1 Formung von Daten–Symbolen: Roll–Off

Im Kapitel 2.5.3”Anwendung auf verrundete Datenimpulse“ (Seite 26) sind in Bild 2.16 die Ubertragungs-

funktion eines Formungs–Filters mit Cos–Roll–Off und in Bild 2.17 die zugehorigen verrundeten Daten–

Symbole dargestellt.

Die Gewinnung der Ubertragungsfunktion Hv(ω) eines allgemeinen Roll–Off–Filters, das der Nyquist–

Bedingung 1 genugt, mit Hilfe der Faltung im Frequenzbereich wird in Bild 4.27 gezeigt.

G( )ωH ( )i ω

ω ω

ω ω

ω

ωc

ωc

ρωc

ρωc−ρωc

PunktSymmetrie

PunktSymmetrie

ωc ω 1+ρc( )ω 1−ρc( )

H ( )v ω

geradein ω

ρ: Roll-Off

Bild 4.27: Gewinnung der Ubertragungs–Funktion eines Symbol–Verrundungs–Filters Hv(ω) mit Hilfe der

vereinfachten Faltung im Frequenzbereich

Damit die Datensymbole die Nyquist–Bedingung 1 erfullen, muß die Ubertragungsfunktion Hv(ω) des

Formungs–Filters Symmetrie–Punkte auf ihren Flanken (Nyquist–Flanken) aufweisen. Wie die Konstruk-

tion erkennen laßt, entstehen diese Symmetrie–Punkte dadurch, daß die Ubertragungsfunktion Hi(ω) eines

idealen Tiefpasses mit einer geraden Funktion G(ω) gefaltet wird. Diese Bedingung ist hinreichend.

In der Praxis wird fur die gerade Funktion G(ω) eine Cos–Kuppe genommen, weil durch diese Wahl die

Nebenmaxima der Datensymbole kleiner werden. Siehe hierzu auch Kapitel 4.10.

4.8 Komplexe Faltung

Bei der Verarbeitung von Bandpaß–Signalen im Basisband treten komplexwertige aquivalente Tiefpaß–

Signale auf, siehe Kapitel 3.6 (Seite 58). Eine Filterung der aquivalenten Tiefpaß–Signale erfordert deshalb

eine komplexe Faltung, Bild 4.28.

Da das Bandpaß–Filter fur diesen Zweck ebenfalls in den Basisband–Bereich transformiert werden muß,

ist die aquivalente Impulsantwort haeq(t) ebenfalls komplex.

7Bei vielen typischen Anwendungen wie Modulation und Abtastung ist mindestens eine periodische Zeitfunktion an dem Produkt im

Zeitbereich beteiligt. Aus diesem Grunde wird erst im Kapitel 5 uber periodische Funktionen auf diese Beispiele eingegangen.



haeq(t) = hR(t) + jhI(t) aquivalente TP–Impulsantwort (4.51)

h (t)R

h (t)R

h (t)I

h (t)I

+

-

+

+

x (t)R y (t)R

x (t)I y (t)I

Bild 4.28: Struktur fur eine komplexe Faltung im Basisband–Bereich

Das aquivalente TP–Signal x(t) = xR(t) + jxI(t) soll gefiltert werden und ergibt dann das zugehorige

Ausgangssignal y(t) = yR(t) + jyI(t). Damit ergibt sich:

y(t) = yR(t) + jyI(t) = x(t) ∗ haeq(t) = xR(t ∗ hR(t)− xI(t) ∗ hI(t)+ jxR(t) ∗ hI(t) + xI(t) ∗ hR(t) (4.52)

Diese Gleichung entspricht formal derjenigen, die auch fur eine komplexe Multiplikation erforderlich ist,

siehe Gleichung (3.41) (Seite 60). Wahrend jedoch eine komplexe Multiplikation mit vielen Programmen bzw.

Simulatoren i.a. direkt ausgefuhrt werden kann, muß die komplexe Faltung meist gemaß Gleichung (4.52)

in 4 (reelle) Faltungsoperationen aufgespalten werden.

4.9 Energie–Satz, Parseval’sches Theorem

Die Berechnung der Signalenergie kann sowohl im Zeit– als auch im Frequenzbereich erfolgen. Es ist selbst-

verstandlich, daß dabei das gleiche Ergebnis herauskommen muß.

Die sich dabei ergebende Beziehung ist unter den Namen Parseval’sches Theorem oder Rayleigh’sches

Theorem bekannt.

Parsevals Formel lautet:

∞∫

−∞

u(t)v∗(t)dt =1

2π

∞∫

−∞

U(ω)V ∗(ω)dω (4.53)

Beweis: Es gilt mit dem Faltungsintegral und der Fouriertransformation:

∞Z

−∞

f(τ)g(t − τ)dτ =1

2π

∞Z

−∞

F (ω)G(ω)ejωtdω

Mit t = 0 wird daraus:∞Z

−∞

f(τ)g(τ)dτ =1

2π

∞Z

−∞

F (ω)G(ω)dω

Mit der Substitution f(τ) → u(t), g(−τ) → v∗(t); F (ω) → U(ω), G(ω) → V ∗(ω) folgt Gleichung (4.53).

Aus Gleichung (4.53) folgt mit v(t) = u(t) sofort der Energie–Satz.

∞∫

−∞

|u(t)|2dt

︸︷︷︸Energie im Zeitbereich

=1

2π

∞∫

−∞

|U(ω)|2dω

︸︷︷︸Energie im Frequenzbereich

Parseval’sches Theorem (4.54)



Hierbei ist

|u(t)|2 = u(t) · u∗(t), und |U(ω)|2 = U(ω) · U∗(ω) (4.55)

Fur reelle Zeitfunktionen u(t) wird der Integrand in Gleichung (4.54) zu u(t)2 (ohne Betragsstriche).

Die Berechnung der Signalenergie erfolgt praktischerweise immer in dem Bereich, in dem die Rechnung

einfacher ist [8], Bild 4.29.

Bild 4.29: Beispiel zur Berechnung der Energie; Die schraffierten Flachen sind gleich.

Man beachte den Unterschied zum Zentralordinaten–Satz, der fur die nicht quadrierten Zeitfunktionen

und Spektraldichten gilt.

Das Parseval’sche Theorem fur periodische Funktionen folgt im Kapitel 5.

4.10 Asymptotisches Verhalten von Zeitfunktionen und Spektraldichten

Bei der Ubertragung von Signalen tritt immer das Problem auf, daß sich zeitlich oder frequenzmaßig be-

nachbarte Signale gegenseitig beeinflussen und damit storen konnen. Dies ist ein grundsatzliches Problem,

da nach dem Zeit–Bandbreiten–Gesetz entweder nur die Bandbreite oder nur die Dauer eines

Signals begrenzt sein kann, aber nicht beides gleichzeitig. Beides sind Grenz– oder Extremfalle, die

technisch gesehen auf keine befriedigenden Losungen fuhren.

In der Technik gilt es, Signalformen zu finden, die sowohl im Zeitbereich, als auch im Frequenzbe-

reich moglichst rasch abklingen, um gegenseitige Storungen zu minimieren. Diese Signalformen mussen

also gewissen Optimierungs–Kriterien genugen.

Eine ahnliche Problematik tritt bei der Dimensionierung von Filtern auf, wo sie sich u.a. darin außert,

daß die Dampfung im Sperrbereich nicht beliebig groß sein kann. Eine Losungsmoglichkeit im Rahmen

der Digitalen Signalverarbeitung hierzu ist, mit geeigneten Fensterfunktionen zu arbeiten, fur die die

gleichen Uberlegungen gelten, wie sie in diesem Kapitel angestellt werden.

Im Rahmen der Digitalen Signalverarbeitung ist es nach heutigem Stand der Technik allerdings ublich,

die notwendige Optimierung uber geeignete Suchalgorithmen mittels des PC’s durchzufuhren.

Das sollte uns aber nicht davon abhalten, die dahintersteckende grundsatzliche Fragestellung zu verste-

hen.

4.10.1 Asymptotisches Verhalten von Impulsen endlicher Dauer

Bei der Festlegung von Impulsformen endlicher Dauer fur eine digitale Ubertragung stellen sich folgende

Fragen, die beantwortet werden mussen:

• Wie nimmt fur Impulse endlicher Dauer die Spektraldichte uber der Frequenz ab. Was ist die Asym-

ptote an die Spektraldichte?

• Wie nehmen die Nebenmaxima eines Digitalen Symboles (Zeitverlauf) ab, wenn nur eine endliche

Bandbreite fur eine Ubertragung zur Verfugung steht?

Aus dem Zeit–Differentiationssatz Gleichung (3.17) (Seite 49) folgt unmittelbar die Aussage:



Asymptotisches Verhalten im Spektrum :

Enthalt die n–fache Ableitung einer Zeitfunktion f(t) δ–Impulse, so verhalt sich deren Spek-

traldichte F (ω) fur hohe Frequenzen betragsmaßig wie |ω|−n.

Verallgemeinerung Aufgrund des Vertauschungs–Satzes gilt:

Die Anzahl n der notwendigen Ableitungen bis δ–Impulse in einem Bereich auftreten, ist

gleich der Ordnung n mit der die zugehorige Transformierte asymptotisch abnimmt.

Beweis:

g(t) =dnf(t)

dt−−−• (jω)nF (ω) = G(ω) ; F (ω) = G(ω)/(jω)n

Da nach der n–fachen Ableitung δ–Impulse auftreten, ist g(t) = δ(t).Damit wird G(ω) = 1.

Im allgemeinen Fall konnen im Laufe der Ableitungen mehrere Terme entstehen, die additiv verknupft

sind. Der erste Term daraus soll nach n1 Ableitungen auf δ–Impulse fuhren. Andere Terme fuhren z.B. erst

nach n2 Ableitungen auf δ–Impulse (mit n2 > n1), weitere Terme eventuell gar nicht.

Da die zu den Termen korrespondierende Spektraldichte umso schneller abnimmt, je großer die Anzahl

der Ableitungen ist, ehe dabei δ–Impulse auftreten, dominieren fur das asymptotische Verhalten die

Terme, die nach der geringst moglichen Anzahl von Ableitungen auf δ–Impulse fuhren.

Beispiele hierzu sind die Bilder 3.17 (Seite 52) und 3.18 (Seite 53), sowie Bilder 4.30 und 4.31 (Seite 84).

Bild 4.30: Asymptotisches Verhalten der Spektraldichte verschiedener Impulsformen: Die Anzahl der Ab-

leitungen bis δ–Impulse auftreten bestimmt die Ordnung n mit der die Nebenmaxima der Transformierten

abnehmen. Gestrichelt gezeichnet: Asymptoten

4.10.2 Asymptote fur den Verlauf der Große der Nebenmaxima eines Daten–Symbols

Nach dem Vertauschungssatz gilt der Zusammenhang zwischen dem Auftreten von δ–Funktionen bei der

Ableitung in einem Bereich und dem asymptotischen Verlauf im anderen Bereich auch fur die Frage der

Abnahme der Nebenmaxima einer Zeitfunktion.

Die Vorgehensweise ist in jedem Fall so, daß die jeweilige Transformierte so lange abgeleitet wird, bis

δ–Impulse auftreten, wenn man wissen will, wie die Nebenmaxima abnehmen.



Die Anzahl der hierfur erforderlichen Ableitungen laßt sich meist bequem graphisch finden. Da die δ–Impulse immer (auch) am Beginn und Ende der Funktion auftreten, ist gerade dieser Ubergangsbereich

interessant.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

(Kreis−) Frequenz

Spe

ktra

ldic

hte

cos2 Spektraldichte

F(ω)

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

(Kreis−) Frequenz

Spe

ktra

ldic

hte

1. Ableitung

F’(ω)

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

(Kreis−) Frequenz

Spe

ktra

ldic

hte

2. Ableitung

F’’(ω)

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.53. Ableitung

(Kreis−) Frequenz

Spe

ktra

ldic

hte

F’’’(ω)

δ −Impuls

δ −Impuls

Bild 4.31: Zur Ableitung einer cos2–Kuppe (in der Spektraldichte): die 3. Ableitung enthalt δ–Impulse, also

nehmen die Nebenmaxima der zugehorigen Symbolform proportional zu |t|−3 ab, bezogen auf den Zeitpunkt

des Maximums des Symbols.

Bild 4.31 zeigt die erforderlichen Ableitungen am Beispiel einer cos2–Kuppe. Die 3. Ableitung (n = 3)

der Spektraldichte enthalt δ–Impulse, also erfolgt Abnahme der Nebenmaxima im Zeitbereich ∼ |t|−3 als

asymptotischer Wert, bezogen auf den Zeitpunkt des Maximum des Symbols.

Zahl n der Ableitungen der Spektraldichtedn · · ·dωn

•−−− Asymptote ∼ 1

tn= t−n (4.56)

4.10.3 Dispersive Ubertragungssysteme

Ubertragungssysteme haben stets eine endliche Bandbreite. Aus diesem einfachen Grund konnen keine

rechteckformigen Datensignale ubertragen werden, da diese gemaß six eine∞ große Bandbreite haben. Bei

einem Funkkanal z.B. leuchtet dies unmittelbar ein, da Nachbarkanalstorungen vermieden werden mussen.

Dies gilt gleichermaßen auch fur leitungsgebundene Systeme, die mehrere frequenzmaßig gestaffelte Kanale

ubertragen.

Bei leitungsgebundenen Systemen, bei denen nur ein Frequenzbereich benutzt wird (wie z.B. beim PCM–

30 System oder bei Glasfaser–Ubertragungen), konnte man vermuten, daß hier keine Bandbegrenzung er-

forderlich ist, weil ja keine Nachbarn gestort werden konnen.

Daß die Bandbegrenzung trotzdem auch hier notwendig ist, liegt daran, daß die Ubertragungsstek-

ke eine frequenzabhangige Dampfung und Laufzeit hat. Insbesondere die frequenzabhangige Laufzeit

(Gruppenlaufzeit τgr(ω), physikalisch: Dispersion) ist dafur verantwortlich, daß die Datenimpulse”zerflie-

ßen”, siehe Abschnitt 2.6.3.

Man sorgt deswegen durch geeignete Formgebung der Impulse dafur, daß solche Spektralanteile, die

am Ende einer Ubertragungsstrecke wesentlich zur Impuls–Verzerrung beitragen, von vorne herein durch

Formungsfilter weggefiltert werden.

Es ist also technisch gesehen falsch, die Bandbegrenzung durch die Ubertragungsstecke selbst vorneh-

men zu lassen. Aufgrund dieser technischen Bedingungen ist es notwendig, Impusformen zu finden, deren



Spektraldichte außerhalb eines Hauptbereiches sehr schnell abnimmt, d.h. deren Nebenmaxima mussen

rasch sehr klein werden.

4.10.4 Beispiele fur Fensterfunktionen

Bild 4.32 zeigt Beispiele fur Impulse gleicher Breite mit der zugehorigen Spektralverteilung (Betrage in

logarithmischer Darstellung) [7]. Diese finden sich wieder als Fensterfunktionen bei der Digitalen Signal-

verarbeitung.

Bild 4.32: Beispiele fur Impulse gleicher Breite und gleicher Flache und deren Spektralverteilung im Bode–

Diagramm; Hanning: cos2–Form, Hamming: (⊓+ cos2)–Form

Es zeigt sich, daß eine bessere Verrundung im Zeitbereich zwar einerseits auf eine schnellere asym-

ptotische Abnahme im Spektrum fuhrt, andererseits jedoch auch auf eine Verbreiterung des spektra-

len Hauptmaximums.

Da die bessere Verrundung einhergeht mit einer Verringerung der mittleren Impulsbreite8, ist die Ver-

breiterung des spektralen Hauptmaximums aufgrund des Zeit–Bandbreiten–Gesetzes der Nachrichtentech-

nik sofort einsichtig.

Die Energie, die man durch die Verrundung aus den Nebenmaxima herausholt, findet sich also im Haupt-

maximum wieder.

4.10.5 Das Bode–Diagramm

Das Bode–Diagramm verwendet eine doppelt–logarithmische Darstellung.9 Die Betrage der Ubertragungs-

funktionen werden in dB aufgetragen, wahrend die Frequenzachse direkt in logarithmischem Maßstab

dargestellt wird. In dieser Darstellung lassen sich speziell die Sperrbereiche von Filtern darstellen, oder,

was hier interessiert, die Bereiche, wo die Spektralverteilung der Impulse asymptotisch abnimmt.

Bild 4.32 zeigt die Spektraldichten in der doppeltlogarithmischen Darstellung des Bode–Diagramms der

zugehorigen Impulsformen.

Fur die asymptotische Abnahme der Nebenmaxima in der Spektralverteilung gilt:

Abnahme ∼ zu Steigung im Bodediagramm

1 0 dB/Dekade

1/ω - 20 dB/Dekade

1/ω2 - 40 dB/Dekade

1/ω3 - 60 dB/Dekade

8Die mittlere Impulsbreite ergibt sich aus der Breite des flachengleichen Rechtecks mit der gleichen Hohe wie der ursprungliche

Impuls.9Siehe auch Kapitel

”Die Laplace–Transformation und ihre Anwendungen“.



Die Darstellungen zeigen die aus dem Zeit–Bandbreiten–Gesetz bekannte Tatsache, daß zu einer endli-

chen Zeitdauer eine∞ breite Spektralverteilung gehort.

Wenn die Nebenmaxima im Spektrum rasch genug abnehmen, hat man praktisch nur eine endliche Band-

breite zu berucksichtigen, weil das immer vorhandene Rauschen schließlich die Nebenmaxima uberwiegt

und damit verdeckt.

4.10.6 Datenubertragung bei endlicher Bandbreite

Wird eine endliche Bandbreite (ohne Nebenmaxima) gefordert, so hat nach dem Vertauschungssatz die

Zeitfunktion Nebenmaxima.

Fur eine Datenubertragung legt man dann die Taktrate T so fest, daß das Hauptmaximum des nach-

sten Datenimpulses auf die 1. Nullstelle des vorherigen Datenimpulses fallt (1. Nyquist–Bedin-

gung). Damit werden die die eigentliche digitale Information beinhaltenden Hauptmaxima der Impulse

nicht durch die Nebenmaxima der anderen Impulse gestort. Vergleiche hierzu Bild 2.15 (Seite 28), welches

ein mogliches Beispiel hierzu darstellt (mit Roll–Off–Faktor ρ = 1), Bild 4.33.

−3 −2 −1 0 1 2 3

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Zeit

Am

plitu

de

verrundeter Datenimpuls

T −T t/T

d(t)

1

1/2

−−−•

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

(Kreis−) Frequenz

Spe

ktra

ldic

hte

cos2 Spektraldichte des verrundeten Datenimpulses

ωc −ω

c ω/ω

c

2π/ωc

ωc :

mittlereBreite

D(ω)

Bild 4.33: Beispiel fur einen verrundeten Datenimpuls mit endlicher Bandbreite; Verrundung im Spektrum

gemaß cos2, d.h. Roll–Off–Faktor ρ = 1. Datentakt: T

4.10.7 Der Gauß–Impuls

Die einzige Impulsform, die beliebig oft abgeleitet werden kann ohne daß δ–Impulse auftreten, ist der

Gauß’sche Glockenimpuls. Daraus laßt sich schließen, daß die Transformierte asymptotisch beliebig schnell

verschwindet. Bild 4.34 zeigt die Gauß–Funktion in normierter Darstellung.

Da beim Gauß–Impuls also keine Nebenmaxima auftreten, steckt die ganze Energie im Hauptmaximum,

das folglich entsprechend breiter wird.

Die Gleichung fur die normierte Gauß–Glocke lautet:

g(t) = e−12 (

tσt

)2

= exp

−1

2

(t

σt

)2

Gauß–Glocke (4.57)

In der hier verwendeten Form ergibt sich mit der Abkurzung tm =√π/2 σt, wobei 2tm bzw. 2ωm die

Breite der flachengleichen Rechtecke angeben, die Korrespondenz:

fg(t) = e−π(t/2tm)2 −−−• Fg(ω) =π

ωme−π(ω/2ωm)2 ; ωm · tm = π/2 (4.58)

Die Spektralverteilung einer Gauß-Kurve ist ebenfalls eine Gauß-Kurve, Bild 4.35.

Diese Kurvenform ist also invariant bezuglich der Fouriertransformation. Allerdings gelten selbst-

verstandlich die Satze der Fouriertransformation, wie z.B. das Zeit–Bandbreiten–Gesetz oder der Satz uber

die Zentralordinate.



Beweis:

Fg(ω) =∞R

−∞

e−π(t/2tm)2e−jωtdt; Substitution π(t/2tm)2 = t2/a2

=∞R

−∞

e−(t2/a2+jωt)dt; Erweitern: −(t2/a2 + jωt − ω2a2/4) − ω2a2/4

= e−(ωa/2)2∞R

−∞

e−(t/a+jωa/2)2dt; Substitution: t/a + jωa/2 = ξ; dt = adξ

= e−(ωa/2)2/πa∞R

−∞

e−ξ2

dξ; hierbei ist:∞R

−∞

e−ξ2

dξ =√

π

= e−(ωa/2)2 · a√π = e−π(ω/2ωm)2 · πωm

; hierbei ist: a = 2tm/√

π =√

π/ωm

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Gauß Funktion normiert auf σ

x/σ


xm

/σ=1.2533

σ: Streuung

Bild 4.34: Die Gauß–Funktion in normierter Darstellung

Fur die Normierung gilt:

tm · ωm =π

2=

√π

2σt ·

√π

2σω =

π

2σt · σω ; σt · σω = 1 (4.59)

Bild 4.35: Die Gauß–Funktion und ihre Transformierte

4.10.8 Zentraler Grenzwertsatz

Die Zeitkurven in Bild 4.30 (Seite 83) kann man sich entstanden denken aus einer mehrfachen Faltung

von δ(t) mit ⊓(t), d.h. von oben nach unten:

δ(t), δ(t) ∗ ⊓(t), δ(t) ∗ ⊓(t) ∗ ⊓(t), δ(t) ∗ ⊓(t) ∗ ⊓(t) ∗ ⊓(t)



Augenscheinlich nahert sich die sich daraus ergebende Kurvenform immer mehr einer Gaußkurve, je ofter

gefaltet wird. [9] Dann wird aber auch die Transformierte zur Gaußkurve, die in diesem Fall durch fortlau-

fende Multiplikation eines six mit sich selbst entsteht, Bild 4.36.

Bild 4.36: Zentraler Grenzwert–Satz: Mehrfache Faltung fuhrt auf Verlaufe, die im Grenzfall zu Gauß–

Glocken werden.

Daß sich das Ergebnis einer mehrfachen Faltung mit sich selbst schließlich einer Gaußkurve annahert,

ist nicht auf das obige Beispiel beschrankt und heißt Zentraler Grenzwertsatz.

Gauß’sche Glockenkurven ergeben sich auch, wenn die Eigenschaften vieler von einander unabhangiger

Ereignisse betrachtet werden, z.B. die Amplitudenverteilung einer Rauschspannung (die sich z.B. aus der

Warmebewegung von — von einander unabhangigen — Leitungselektronen ergibt). Da das in der Natur der

normale Fall ist, heißt die Gauß–Verteilung auch Normal–Verteilung.

Es gibt allerdings auch Ausnahmen zu dieser Gesetzmaßigkeit, z.B. δ– Funktionen oder six –Funktio-

nen, die mit sich selbst gefaltet werden10.

4.10.9 Gauß’sche Fehlerfunktion

Die Gauß’sche Fehlerfunktion erf(x) ist das Integral uber die Gaußfunktion, Bilder 4.37 und 4.38.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Gauss, erf, erfc, Q−Function

x →

erfc(x)

Q(x)

erf(x)

Q(−x) = 1−Q(x)

fG

(x)=(2π)−1/2 exp−x2/2

Bild 4.37: Gauß–Glocke (σt = 1), Er-

ror Function erf(x), Komplementare Error

Function erfc(x), Q–Funktion und gespie-

gelte Q–Funktion

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

0

0.2

0.4

0.5

0.6

0.8

1

Gauss, Q−Function, inv Q−Function

x →

fG

(x)=(2π)−1/2 exp−x2/2

Q(x) Q(−x)=1−Q(x)

flächengleiches Rechteck

Tangenten

xm

=1.2533 −xm

=−1.2533

Bild 4.38: Gauß–Glocke (σt = 1), Q–

Funktion und gespiegelte Q–Funktion da-

zu flachengleiches Rechteck und Tangenten

Es werden (je nach Anwendungsfall) folgende Definitionen verwendet:

10Eine weitere Ausnahme findet man bei der Analyse von Sendern nach der EER (Envelope Elimination and Restauration) Methode.

Siehe Kapitel”EER–Technik“ der Vertiefungsvorlesung

”Digitale Funk–Systeme“.



p(x) = 1√2πe−x

2/2 Fehlerverteilung (4.60)

erf(x) =2√π

∫ x

0

e−ξ2

dξ; Error Function erf(−x) = −erf(x) (4.61)

Die Funktion erf(x) laßt sich nicht analytisch berechnen, ist jedoch tabellarisch und in Naherungsformeln

bekannt. Die komplementare Fehlerfunktion dazu ist erfc(x) und diese ist eng verwandt mit der Q–Funktion

Q(x), die bei der Berechnung der Symbol–Fehler–Rate Verwendung findet.Q(−x) ist die gespiegelte Q–Funk-

tion und entsteht aus der Gauß–Glocke durch Integration mit laufender oberer Grenze.

erfc(x) =2√π

∫ ∞

x

e−ξ2

dξ = 1− erf(x) = 2Q(√

2x) (4.62)

Q(x) =erfc(x/

√2)

2=

1√2π

∫ ∞

x

e−ξ2

2 dξ; (σx = 1) (4.63)

Q(−x) = 1−Q(x) =1 + erf(x/

√2)

2(4.64)

4.10.10 Digitale Ubertragung mit Storung durch Rauschen

Bei digitalen Ubertragungen, die durch Gauß–verteiltes weißes Rauschen gestort werden, ergeben sich Feh-

lerraten, die mit Hilfe der Q–Funktion beschrieben werden konnen. Da die Fehlerraten sehr klein sind,

wird hierzu die Q–Funktion logarithmisch aufgetragen, Bild 4.39. Die sich dabei ergebenden Bit–Fehler–

Wahrscheinlickeiten zeigt Bild 4.40.11

Bild 4.39: Die Q–Funktion in logarithmi-

scher Darstellung und ihre Grenzkurven

Bild 4.40: Bit–Fehler–Wahrscheinlichkei-

ten fur bipolare und unipolare digitale

Ubertragung im Basisband

11Naheres in der Vertiefungsvorlesung”Digitale Funk–Systeme“.



5 Periodische Signale, δ–Kamm, Abtasten, FIR–Filter

Im 5. Teil werden Energie– und Leistungs–Signale behandelt. Das Schwergewicht liegt dabei auf den Lei-

stungs–Signalen. Zu diesen gehoren periodische und konstante Signale, δ–Impulse und der δ–Kamm, sowie

Zufalls–Signale, die auch als Stochastische Signale bezeichnet werden. Mit Hilfe des δ–Kamms laßt sich das

Abtast–Theorem bequem erklaren.

5.1 Leistungs–Signale und Delta–Funktionen

Die Delta–Funktion δ(t) bzw. δ(ω), die in den Kapiteln 1 und 4 verwendet wurde, soll hier unter einem

anderen Blickwinkel betrachtet werden. Es zeigt sich, daß Delta–Funktionen immer dann auftreten, wenn

es sich um Leistungs–Signale handelt.

5.1.1 Energie– und Leistungs–Signale

Energie–Signale

Unter einem Energie–Signal wird ein Signal sE(t) verstanden, das in nur einem endlichen Intervall (t1, t2)von Null verschieden ist und dort auch nur endliche Werte annimmt. Es hat somit eine endliche Energie.

E =

t2∫

t1

s2E(t)dt =

∞∫

−∞

s2E(t)dt <∞ Energie ist endlich. (5.1)

Wird diese Energie uber die Zeit (−∞,+∞) gemittelt, so ergibt sich die mittlere Leistung Null.

P = limT→∞

1

2T

T∫

−T

s2E(t)dt = 0 Mittlere Leistung ist Null. (5.2)

Beispiele solcher Signale sind Impulse endlicher Dauer. Die Fourier–Transformation befaßt sich ausfuhr-

lich mit Signalen dieser Art1.

Leistungs–Signale

Unter einem Leistungs–Signal wird ein Signal sP (t) verstanden, das entweder im gesamten Zeit–Intervall

(−∞,+∞) von Null verschieden ist, oder in einem endlichen Zeitintervall ∞ hohe Werte annimmt. Damit

hat ein solches Signal eine∞ hohe Energie2.

E =

∞∫

−∞

sP (t)2dt =⇒∞ Energie ist unendlich. (5.3)

Betrachtet man die Leistung eines solchen Signals so folgt

P = limT→∞

1

2T

T∫

−T

sP (t)2dt <∞ Leistung ist endlich. (5.4)

Beispiele von Leistungs–Signalen sind:

• periodische Signale, fur die es ausreichend ist, sie nur in einem endlichen Intervall (−T,+T ) zu

analysieren, wie es z. B. mit der Fourier–Analyse (F–Reihe) geschieht3.

1Da die mittlere Leistung dieser Signalarten Null ist, kann fur diese kein Spektrum berechnet werden, sondern statt dessen nur

eine spektrale Dichte.2Damit das Fourier–Integral hierfur angegeben werden kann, wurde die δ–Funktion eingefuhrt.3Die F–Analyse liefert das Spektrum der periodischen Funktion.



• konstante Signale (Gleichgroßen)

• δ–Impulse

• Sprungfunktion σ(t) und Signum–Funktion sgn(t)

• Zufalls–Signale (stochastische Signale z.B. Rauschen)

Der zeitliche Verlauf stochastischer Signale fS(t) ist im Einzelnen nicht voraussagbar. Es lassen sich

daher fur diese Klasse von Signalen keine Spektrale Dichten FS(ω) der Amplituden berechnen. Man

kann jedoch die Spektrale Leistungsdichte SS(ω) = |FS(ω)|2 mit Hilfe der Korrelation bestimmen,

Kapitel 6. Da Signale, die Informationen ubertragen, ahnliche Eigenschaften haben wie stochastische

Signale, spielen diese in der Nachrichtentechnik eine wichtige Rolle.

5.2 Konstantgroßen und δ–Funktionen

Zu einem δ–Impuls im Zeitbereich δ(t) gehort eine konstante Spektralverteilung.

δ(t) −−−• 1 Delta im Zeitbereich (5.5)

Zu einem δ–Impuls im Frequenzbereich δ(ω) gehort (gemaß dem Vertauschungs–Satz) eine konstante

Zeitfunktion. Bild 5.1 zeigt entsprechende Zusammenhange.

2πδ(ω) •−−− 1 Delta im Frequenzbereich (5.6)

−5 0 5−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Zeit

δ(t)

−5 0 5−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Kreis−Frequenz

Fδ(ω)

−5 0 5−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Zeit

Konstantgröße

−5 0 5−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Kreis−Frequenz

δ(ω)

δ(t)

Fδ(ω) = 1

2πδ(ω)

1

Bild 5.1: Konstante Funktionen haben δ–formige Transformierte.

Ganz allgemein haben Konstantgroßen und periodische Signalen mit der Eigenschaft Energie ist un-

endlich Transformierte mit der Eigenschaft, daß δ–Impulse auftreten. Es gilt daher der grundsatzliche

Zusammenhang:

Energie ist∞⇐⇒ δ–Impulse treten in der Transformierten auf



5.2.1 Zentralordinate

• δ(t) hat die Flache 1; demzufolge hat die zugehorige Spektraldichte Fδ(ω) die Zentralordinate den

Wert 1.

• Entsprechend gilt dann, daß 2πδ(ω) die Flache 2π hat; die Transformierte fδ(t) muß also die Zentralor-

dinate mit dem Wert 1 haben (Flache in ω dividiert durch 2π).

Diese Zusammenhange erkennt man auch aus Bild 5.1.

5.2.2 Einheiten der δ–Funktion

Bei der Fourier–Transformation hat die Spektralverteilung (ublicherweise) die Dimension einer Spektral–

Dichte (d.h.: 1/Hz bzw. sec). Ist die Zeitfunktion z.B. eine Spannung u(t), so gilt:

u(t)[V ] −−−• U(ω)[V/1/s] = U(ω)[V s] (5.7)

Ist jedoch wie im Fall von δ(t), siehe Gleichung (5.5), offensichtlich die Spektralverteilung dimensi-

onslos, so entspricht dies (bezuglich der Einheit sec) einer Multiplikation der Korrespondenz Gleichung (5.7)

mit 1/s auf beiden Seiten. (Siehe hierzu auch Kapitel 4.6.5”Einheiten und Dimensionen bei der Faltung“.)

• Daraus geht hervor, daß δ(t) dimensionsbehaftet ist: δ(t) hat die Dimension [1/Zeit] bzw. die Einheit

1/s.

• Unmittelbar aus Gleichung (5.6) erkennt man, daß δ(ω) die Einheit s = 1/ 1s haben muß. Man erkennt

dies auch aus dem Grenzubergang z.B. eines Rechtecks 1/T ⊓T/2 (t) (mit der Flache 1) zu einer δ–Funktion δ(t) siehe Kapitel 1.6

”Der δ–Impuls und seine Spektral–Verteilung“ (Seite 6).

5.2.3 Symmetrie und Skalierungsfaktor der δ–Funktion

Mit dem Satz uber die Symmetrie von Zeitfunktion und Spektraldichte, welche hier jeweils reell und gerade

sind, erkennt man, daß δ(t) und δ(ω) ebenfalls reell und gerade sind, da dies fur die jeweiligen Transformier-

ten ebenfalls gilt, siehe Kapitel 2.3 und Gleichung (2.8) (Seite 19):

δ(−t) = δ(t); δ(−ω) = δ(ω) Spiegel–Symmetrie (5.8)

Mit dem Ahnlichkeitssatz gilt:

f(at) −−−• 1

|a|F (ω/a) (5.9)

Angewendet auf δ(t) −−−• 1 folgt

δ(at) −−−• 1

|a| (5.10)

Da aber andererseits δ(t)/a −−−• 1/a gilt, kann man schließen, daß

δ(at) =1

|a|δ(t) (5.11)

ist. Mit a = −1 folgt schließlich die Aussage uber die Symmetrie der δ–Funktion.

5.3 Verschobene δ–Impulse und harmonische Funktionen

Es gilt mit dem Zeitverschiebungssatz bzw. mit dem Frequenzverschiebungssatz:

δ(t− T ) −−−• e−jωT Zeit–Verschiebung (5.12)

2πδ(ω − Ω) •−−− e+jΩt Frequenz–Verschiebung (5.13)

Aus Gleichung 5.12 gewinnt man sofort folgende wichtige Korrespondenzen, Bild 5.2 (parallele und anti–

parallele δ–Impulse):



parallele δ–Impulse δ(t+ T ) + δ(t− T )︸︷︷︸reell, gerade

−−−• 2 cos(ωT )︸︷︷︸reell, gerade

(5.14)

antiparallele δ–Impulse δ(t+ T )− δ(t− T )︸︷︷︸reell, ungerade

−−−• 2j sin(ωT )︸︷︷︸imaginar, ungerade

(5.15)

−5 0 5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

t →

2 parallele δ − Impuse

−5 0 5−3

−2

−1

0

1

2

3

ω →

Cos Spektraldichte

−5 0 5−3

−2

−1

0

1

2

3

ω →

Betrag & Phase

−5 0 5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

t →

2 antiparallele δ − Impuse

−5 0 5−3

−2

−1

0

1

2

3

ω →

Sin Spektraldichte

−5 0 5−3

−2

−1

0

1

2

3

ω →

Betrag & Phase

−T T

−T T

δ(t+T)

δ(t+T)

δ(t−T)

−δ(t−T)

2cos(ω T)

j2sin(ω T)

2π/T

2π/T

2π/T

2π/T

−π

π

π/2

−π/2

Bild 5.2: Zwei Impulse (symmetrische) im Zeitbereich −−−• Harmonische Schwingung im Frequenzbe-

reich

In genau der gleichen Weise erhalt man aus Gleichung (5.13) die Spektralverteilung einer Cos– bzw.

einer Sin–Schwingung, Bild 5.3.

Cos–Schwingung cos(Ωt)︸︷︷︸reell, gerade

−−−• π[δ(ω − Ω) + δ(ω + Ω)]︸︷︷︸reell, gerade

(5.16)

Sin–Schwingung sin(Ωt)︸︷︷︸reell, ungerade

−−−• −jπ[δ(ω − Ω)− δ(ω + Ω)]︸︷︷︸imaginar, ungerade

(5.17)

Ein Vergleich mit dem Modulations–Satz, Abschnitt 3.2 (Seite 42) und Gleichungen (3.5) und folgende,

zeigt, daß eine Multiplikation von sin(ωt) oder cos(ωt) mit f(t) auf eine Faltung der entsprechenden δ(ω) mit

F (ω) im Frequenzbereich fuhrt, was einer vereinfachten Faltung entspricht.

Die Zeitverschiebung einer Harmonischen Schwingung fuhrt auf die Phasendrehung der δ–Impulse

im Spektrum, [8] Bild 5.4.



−5 0 5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Zeit

Cos Zeitfunktion

−5 0 5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Kreis−Frequenz

2 parallele δ − Impuse

−5 0 5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Zeit

Sin Zeitfunktion

−5 0 5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Kreis−Frequenz

2 antiparallele δ − Impuse

Ω =2π/T

−Ω

Ω

−Ω

π π

−jπ

jπ

T

T

cos(Ωt)

sin(Ωt)

Bild 5.3: Harmonische Zeitfunktion −−−• 2 δ–Impulse im Spektrum

Bild 5.4: Auswirkung der Zeitverschiebung bei einer harmonischen Funktion



5.3.1 Synchrone Demodulation und Phasendrehung

Bei der synchronen Demodulation von amplitudenmodulierten Signalen, wie z.B. Doppel–Seitenband–Modu-

lation (DSB) oder digitaler Modulation, wie z.B. PSK Phase–Shift–Keying benotigt man frequenz– und

phasenrichtige Hilfstrager im Empfanger. Bild 5.4 zeigt in der 3–dimensionalen Darstellung Beispiele

fur Phasendrehungen dieser Hifstrager.

Da die synchrone Demodulation im Spektalbereich durch eine Faltung beschrieben wird, ist damit sofort

die Auswirkung der Phasendrehung auf das demodulierte Signal erkennbar4.

5.4 Eingeschaltete Cos– bzw. Sin–Schwingung

Eine zum Zeitpunkt t = 0 eingeschaltete Schwingung laßt sich mathematisch mit Hilfe der Multiplikation

mit einer Sprungfunktion σ(t) darstellen.

σ(t) cos(ω0t) eingeschaltete Cos–Schwingung

σ(t) sin(ω0t) eingeschaltete Sin–Schwingung(5.18)

Aus der Korrespondenz Gleichung (3.30) (Seite 55)

σ(t) −−−• πδ(ω) +1

jω(5.19)

folgt sofort fur die eingeschaltete Cos– bzw. Sin–Schwingung mit Hilfe des Modulationssatzes oder des

Faltungssatzes:

σ(t) cos(ω0t) −−−• 1

2

π[δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)] +

1

j(ω − ω0)+

1

j(ω + ω0)

=π

2[δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)] +

jω

ω20 − ω2

σ(t) sin(ω0t) −−−• π

2j[δ(ω − ω0)− δ(ω + ω0)] +

ω0

ω20 − ω2

(5.20)

−5 0 5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Zeit

Eingeschaltete Cos Zeitfunktion

−5 0 5−5

0

5

Kreis−Frequenz

Spektraldichte

−5 0 5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Zeit

Eingeschaltete Sin Zeitfunktion

−5 0 5−5

0

5

Kreis−Frequenz

Spektraldichte

π/2

1/ω0

−jπ/2

Bild 5.5: Eingeschalteter Cosinus bzw. Sinus

4Weitere Details in den Kapiteln uber die Modulationen.



5.4.1 Einschaltstrom eines Trafos

Wie aus Bild 5.5 erkennbar ist, fuhrt eine eingeschaltete Sin–Schwingung auf einen Gleichanteil, nicht

jedoch eine eingeschaltete Cos–Schwingung. Bei großeren Trafos kann bei einem Einschalten im Nulldurch-

gang der Spannung infolge der Sattigung des Eisens in diesem Fall ein so großer Einschaltstrom entstehen,

daß die Netzsicherung anspricht.

5.4.2 Unterschied zur Laplace–Transformation

Bei der Laplace–Transformation5 werden alle Zeitfunktionen in exponentiell abklingende (bzw. aufklin-

gende) Schwingungen zerlegt, die zum Zeitpunkt t = 0 eingeschaltet werden. Die zugehorige Variable im

Unterbereich ist s = ζ + jω und wird als komplexe Frequenz bezeichnet. Die Variable ζ der Laplace–

Transformation stellt ein Maß fur die Dampfung einer Schwingung6 dar. Die Gleichungen fur die

Laplace–Transformation lauten:

F (s) =

∞∫

0

f(t)e−stdt mit der komplexen Frequenz: s = ζ + jω (5.21)

f(t) =1

j2π

c+j∞∫

c−j∞

F (s)estds; c ist die Grenze des Konvergenzbereichs (5.22)

In der Praxis wird dieses Integral Gleichung (5.22) nicht explizit berechnet. Man verwendet vielmehr

Tabellen mit Laplace–Korrespondenzen, die mittels Gleichung (5.21) bestimmt wurden.

Die Korrespondenzen fur die eingeschaltete Cos– bzw. Sin–Schwingung lauten fur die Laplace–Transfor-

mation, wobei im Unterscheid zur F–Transformation keine δ–Funktionen auftreten:

cos(ω0t) −−−• s

ω20 + s2

Laplace: eingeschalteter Cos

sin(ω0t) −−−• ω0

ω20 + s2

Laplace: eingeschalteter Sin(5.23)

Wie aus dem Vergleich der Fourier–Transformierten, Gleichung (5.20), mit der Laplace–Transformierten,

Gleichung (5.23), erkennbar ist, stellt der Unterbereich der Laplace–Transformation nicht das (Fourier–)

Spektrum dar.7

Durch einen unrichtigen Ubergang von der Laplace– zur Fourier–Transformation, z.B. durch einfaches

Einsetzen von ζ → 0 in der komplexen Frequenz s = ζ + jω, erhalt man nur die Teile der Spektren der

eingeschalteten harmonischen Schwingungen, die den Einschwingvorgangen, aber nicht den Dauerschwin-

gung entsprechen, also keine δ–Funktionen im Spektrum. Zerlegt man die eingeschaltete Cos– bzw. Sin–

Schwingung in ihre geraden und ungeraden Anteile, sieht man jedoch sofort mit Hilfe der Symmetriebedin-

gungen, daß dieses durch den fehlerhaften Grenzubergang gewonnene Ergebnis nicht richtig sein kann.8

5.5 Periodische Funktionen und der Zusammenhang mit der Fourier–Reihe

Mit der komplexen Fourier–Reihe gilt fur eine periodische Funktion f(t) mit der Periode T , wobei Cn die

komplexen F–Koeffizienten sind:

f(t) =∞∑

n=−∞Cn · ejnω0t; ω0 = 2π/T F–Reihe (5.24)

Die Zeit t kommt nur in dem Ausdruck ejnω0t vor. Fur diesen gilt gemaß Frequenz–Verschiebungs–Satz:

5Siehe Kapitel”Die Laplace–Transformation und ihre Anwendungen“.

6In der Literatur zur Laplace–Transformation wird meist σ statt ζ verwendet. Hier wird jedoch ζ benutzt um Verwechslungen mit

der Sprungfunktion σ(t) auszuschließen.7In der alteren Literatur zur Laplace–Transformation wird der Unterbereich trotzdem oft als

”Spektral–Bereich“ bezeichnet.

8In der alteren Literatur ist dieser Fehler noch bis in die 1960-er Jahre zu finden.



ejnω0t −−−• 2πδ(ω − nω0) (5.25)

Damit laßt sich die Spektraldichte F (ω) sofort folgendermaßen schreiben:

F (ω) =

∞∑

n=−∞2π · Cn︸︷︷︸

Flache

·δ(ω − nω0) Spektraldichte (5.26)

Kennt man die Fourier–Koeffizienten Cn einer periodischen Funktion f(t), z.B. aus einer Formelsamm-

lung fur Fourier–Reihen, so kann man mit Gleichung (5.26) unmittelbar die Spektraldichte F (ω) mit Hilfe

dieser Koeffizienten Cn angeben. Die Flache der δ–Linien ist dabei 2π · Cn.

5.5.1 Der Betrag 2π|Cn| der Linien ergibt die Flache der δ–Funktionen in der Spektraldichte

Die F–Koeffizienten Cn = Cn(nω0) ergeben Spektral–Linien mit den Betragen |Cn|. Dabei ist |Cn| physika-

lisch die Amplitude der Schwingung mit der Frequenz nω0.

Die Spektral–Dichte F (ω) besteht aus δ–Linien an den Stellen nω0 mit der Hohe∞, d.h. δ–Funktionen,

aber mit der Flache 2π · Cn. Der Faktor 2π ergibt sich wegen der Darstellung uber ω = 2πf .

Hier wird auch noch einmal deutlich, daß es sich bei δ(ω) um eine Dichte handelt. Bezieht man namlich

die infinitesimal dunne Linie Cn = Cn(nω0) auf das Frequenzintervall in dem sie existiert, so ergibt sich ein

Quotient von2π|Cn|

0→∞, und damit eine δ–Linie mit der Flache 2π|Cn|.

Reelle F–Reihen

Bei reellen Fourier–Reihen mit den Koeffizeinten an bzw. bn erhalt man die Koeffizienten Cn siehe Kapitel

”Spektren periodischer Zeitfunktionen“ zu:

Cn =an − jbn

2komplexe aus reellen F–Koeffizienten (5.27)

5.5.2 Ersetzen der Fourierkoeffizienten

Kann man auf keine Formelsammlung mit Fourier–Reihen zuruckgreifen, mussen die Koeffizienten Cn er-

setzt werden. Die dafur notwendige Vorgehensweise soll am Beispiel des periodischen Rechteckpulses gezeigt

werden, Bild 5.6, wobei erneut die Vorteile des graphischen Verfahrens zur Gewinnung der Spektralvertei-

lung sichtbar werden.

Bild 5.6: Beispiel fur die Spektraldichte einer periodischen Funktion

In Bild 5.6 ist f0(t) die primitive Periode der periodischen Funktion f(t). Die Spektraldichte F0(ω) von

f0(t) berechnet sich gemaß der Definitionsgleichung der F–Transformation (1.1) (Seite 1) zu:

F0(ω) =

∞∫

−∞

f0(t)e−jωtdt (5.28)



Da f(t) im Intervall [−T/2 ≤ t ≤ T/2] identisch ist mit f0(t), kann F0 unter Berucksichtigung der Inte-

gralgrenzen auch durch f(t) ausgedruckt werden.

F0(ω) =

T/2∫

−T/2

f(t)e−jωtdt (5.29)

Diese Gleichung hat nun bereits große Ahnlichkeit mit der Gleichung fur die Koeffizienten Cn in der

Fourier–Reihe:

Cn =1

T

T/2∫

−T/2

f(t)e−jω0tdt (5.30)

Bildet man, wie beim Ubergang von der F–Reihe zur F–Transformation ublich, das Produkt T · Cn , so

wird die Ahnlichkeit noch deutlicher:

T · Cn =

T/2∫

−T/2

f(t)e−jω0tdt (5.31)

Ein Vergleich von Gleichung (5.29) mit Gleichung (5.31) ergibt den gesuchten Zusammenhang:

T · Cn = F0(nω0) ; Cn = F0(nω0)/T (5.32)

Diese Gleichung wird nun in Gleichung (5.26) eingesetzt, wodurch sich das gesuchte Ergebnis fur die

Spektraldichte einer periodischen Funktion ergibt.

F (ω) =2π

T︸︷︷︸ω0

∞∑

n=−∞F0(nω0)︸︷︷︸Hullkurve

· δ(ω − nω0)︸︷︷︸Linien

Spektral–Dichte periodischer Funktionen (5.33)

Gleichung (5.33) kann damit direkt als Anweisung fur die Konstruktion der Spektraldichte einer

periodischen Funktion nach dem graphischen Verfahren aufgefaßt werden.

• Kurvenform der primitiven Periode ; Hullkurve der Transformierten

• Periodendauer T ; Linienabstand ω0 = 2πT

• Faktor ω0 = 2πT vor der Summe

∞∑n=−∞

ist fur die Leistungsbilanz notwendig:

Bei kleiner Periodendauer, d.h. T klein, steckt viel Leistung in der Zeitfunktion. Demzufolge mussen die

δ–Linien in der Spektralverteilung eine große Flache haben, vergleiche hierzu auch das Parseval’sche

Theorem, Kapitel 4.9.

5.5.3 Verallgemeinerung der Ergebnisse

Aus der obigen Herleitung erkennt man, daß sich die folgende Verallgemeinerung gewinnen laßt, welche fur

das Verstandnis der Digitalen Signalverarbeitung von Bedeutung ist9. Mit dem Vertauschungssatz gilt auch

die Umkehrung davon.

Periodische Zeit–Funktion −−−• Spektraldichte: Aquidistante Linien

Aquidistante zeitliche Abtastwerte −−−• Periodische Spektraldichte

9Bei der in der Digitalen Signalverarbeitung ublichen Berechnung von Spektralverteilungen mittels Fast Fourier Transformation

(FFT) werden die Zeitfunktionen automatisch als periodisch und aus aquidistanten Linien bestehend behandelt. Die Ergebnisse

der FFT stimmen daher nicht exakt mit der F–Transformation uberein. Wenn allerdings geeignete Randbedingungen eingehalten

werden, konnen die Unterschiede fur praktische Belange genugend klein gemacht werden.



5.6 Parseval’sches Theorem fur periodische Funktionen

Mit dem Parsevalschen Theorem Gleichung (4.54) (Seite 81)

∞∫

−∞

|u(t)|2dt

︸︷︷︸Energie im Zeitbereich

=1

2π

∞∫

−∞

|U(ω)|2dω

︸︷︷︸Energie im Frequenzbereich

Parseval’sches Theorem (5.34)

wird fur ein periodisches Signal u(t), das mit Hilfe der Fourier–Reihe durch seine komplexen Koeffizien-

ten Cn dargestellt werden kann:

u2eff =

1

T

∫ T/2

−T/2u2(t)dt Effektivwert im Zeitbereich

=1

T

∫ T/2

−T/2u(t) ·

∞∑

n=−∞Cne

jnω0t

dt =

∞∑

n=−∞Cn ·

1

T

∫ T/2

−T/2u(t) · ejnω0tdt

︸︷︷︸C−n

u2eff =

∞∑

n=−∞|Cn|2 Effektivwert im Frequenzbereich

(5.35)

Wegen der Periodizitat wird statt der Energie die Leistung betrachtet, oder wie hier, der Effektivwert

einer Spannung.10

5.7 Der δ–Kamm ⊥⊥⊥”Shah“

Der δ–Kamm ⊥⊥⊥T (t) ist definiert als eine periodische Folge der Periode T von∞ vielen δ–Impulsen11.

⊥⊥⊥T (t) =

∞∑

n=−∞δ(t− nT ) δ–Kamm (5.36)

Die Spektralverteilung des δ–Kamms ⊥⊥⊥ erhalt man sofort entsprechend der Vorschrift gemaß Glei-

chung (5.33):

• Primitive Periode: δ(t) −−−• 1 ; Hullkurve der Spektralverteilung

• Periodendauer: T =⇒ Ω = 2π/T ; Linienabstand

Damit ergibt sich die folgende Korrespondenz:

⊥⊥⊥T (t) =∞∑

n=−∞δ(t− nT ) −−−• Ω ·

∞∑

n=−∞δ(ω − nΩ) = Ω ·⊥⊥⊥Ω(ω); Ω =

2π

Tδ–Kamm (5.37)

Die Transformierte des δ–Kamms ⊥⊥⊥T (t) ist also wieder ein δ–Kamm Ω·⊥⊥⊥Ω(ω), Bild 5.7.

In Bild 5.7 deuten die 3 Punkte jeweils an, daß es sich um periodische Funktionen handelt, die sich im

Zeit– und im Frequenz–Bereich von −∞ bis +∞ erstrecken.12

Die Eigenschaften dieser Korrespondenz konnen vereinfacht so ausgedruckt werden:

• δ–Kamm ⊥⊥⊥T (t) −−−• δ–Kamm Ω·⊥⊥⊥Ω(ω)

Neben der Gauß–Glocke ist dies die einzige Kurvenform, die invariant bezuglich der Fourier–

Transformation ist.

• periodische Zeitfunktion −−−• aquidistante Spektral–Linien

• aquidistante Abtast–Linien −−−• periodische Spektralverteilung

10Siehe hierzu auch den Abschnitt”Fast lineare Ubertragungssysteme“ im Kapitel

”Lineare Zeitinvariante Systeme“.

11Das hier verwendete Symbol ⊥⊥⊥ heißt”Shah“ und geht auf ein altagyptisches Zeichen (Papyrus am Nilufer) zuruck. Es wurde von

Bracewell als Symbol fur den Delta–Kamm eingefuhrt.12Mittels des δ–Kamms lassen sich die Eigenschaften der FFT besonders pragnant beschreiben.



T(t)

t

( )

T

1

Bild 5.7: Der δ–Kamm ⊥⊥⊥T (t)und seine Transformierte Ω ·⊥⊥⊥Ω(ω); Ω = 2π/T

5.7.1 Endlich viele δ–Linien im Frequenz–Bereich

Zunachst wird ein Beispiel fur den Linearitatssatz betrachtet. Die Spektraldichte F (ω) wird als Summe

von einer Linie bei ω = 0 (Bild 5.1 Gleichung (5.6) Seite 91) und je 2 Linien bei ω = Ω und bei ω = 2Ω (Bild

5.3 Gleichung (5.16) Seite 93) angesetzt.

Damit ergibt sich im Zeitbereich eine Gleichgroße der Große 1 plus zwei Cos–Schwingungen jeweils mit

der Amplitude 1 und den Frequenzen Ω und 2Ω. Die zugehorigen Funktionen im Zeit– bzw. Frequenzbereich

zeigt Bild 5.8.

F( )2π

=2 /Tπ

•−−−

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

Zeit/T

Cos Zeitfunktionen und Gleichanteil

f(t)

Bild 5.8: Funf δ–Linien •−−− Uberlagerung von Gleichanteil und 2 Cos-Schwingungen

Uberlagert man weitere Cos–Schwingungen mit ganzen Vielfachen der Grundfrequenz Ω, werden die

Spitzen der Zeitfunktion immer hoher. Im Grenzwert der Uberlagerung von ∞ vielen Cos–Schwingungen

entsteht sowohl im Zeit– als auch im Frequenzbereich ein δ–Kamm ⊥⊥⊥ , [16] Bild 5.9.

Bild 5.9: Der δ–Kamm ⊥⊥⊥T (t)als Grenzwert der Uberlagerung von Cos–Schwingungen mit ganzzahligen

Vielfachen der Grundfrequenz



5.7.2 Endlich viele δ–Linien im Zeit–Bereich

Ein weiteres Beispiel soll nun mit Hilfe des δ–Kamms ⊥⊥⊥ berechnet werden, Bild 5.10. Hierbei wird die

Korrespondenz Multiplikation −−−• Faltung verwendet.

T(t)

tT

1

5T/2N=5

N T/2(t)

Bild 5.10: Die Multiplikation eines δ–Kamms ⊥⊥⊥ mit einem Rechteckimpuls ⊓ ergibt eine endliche Anzahl

N von Linien.

Eine endliche Anzahl N von aquidistanten Linien laßt sich als Multilikation eines δ–Kamms ⊥⊥⊥ mit

einem Rechteckimpuls ⊓ darstellen.

Der Rechteckimpuls ⊓T1(t) mußte eigentlich nur genau so breit sein, daß gerade alle N Linien erfaßt

werden. Wahlt man jedoch T1 = N · T2 , ergeben sich aufgrund von Symmetrien speziell fur das Graphische

Verfahren besonders einfache Verhaltnisse.

f(t) = ⊥⊥⊥T (t) · ⊓T1(t); T1 = N · T

2Ausschneiden von N δ–Impulsen (5.38)

Im Frequenzbereich wird daraus die Faltung der Transformierten13:

F (ω) = Ω ·⊥⊥⊥Ω(ω) 1

2π∗NT · sin(ωNT/2)

ωNT/2

; Ω =

2π

T(5.39)

Da die Faltung mit δ–Funktionen bekanntermaßen eine Reproduktion der zu faltenden Funktion (hier

eine six –Funktion) am Ort der δ–Linien bedeutet, erhalt man direkt als Ergebnis:

F (ω) = N

∞∑

n=−∞

sin([ω − nΩ] ·NT/2)

[ω − nΩ] ·NT/2 ; Ω =2π

TSpektraldichte von N δ–Impulsen (5.40)

Bild 5.11 zeigt die Spektralverteilung von N aquidistanten δ–Linien. Aus Gleichung (5.40) erkennt man,

daß die Nulldurchgange der Spektralverteilung in Bild 5.11 aquidistante Abstande haben.

5.7.3 Faltung und Multiplikation mit dem δ–Kamm ⊥⊥⊥

Viele kompliziert erscheinenden Probleme der Signalanalyse lassen sich mit Hilfe des δ–Kamms ⊥⊥⊥ bequem

losen. Dies unterstreicht die Wichtigkeit des δ–Kamms ⊥⊥⊥ beim graphischen Verfahren.

Beispielsweise laßt sich die Spektraldichte periodischer Funktionen, Gleichung (5.33) (Seite 98),

mit Hilfe des δ-Kamms ganz einfach darstellen:

f(t) = f0(t) ∗⊥⊥⊥T (t)︸︷︷︸periodische Wiederholung

−−−• F (ω) = Ω · F0(ω)︸︷︷︸Hullkurve

· ⊥⊥⊥Ω(ω)︸︷︷︸aquidistante Linien

; Ω =2π

T(5.41)

13Die Faltung im Frequenzbereich beinhaltet die Division durch 2π. Dies wird durch das Symbol 1

2π ∗ ausgedruckt.



−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

Kreis−Frequenz

Cos Funktionen plus Konstante

N

Ω Ω/N

F(ω)

Bild 5.11: Spektralverteilung von N aquidistanten δ–Linien.

5.7.4 Ubungsbeispiel: Endlich langer Rechteck–Impuls–Zug

Begrenzt man die Rechteckimpulse im Zeitbereich auf eine endliche Anzahl M , erhalt man eine Korrespon-

denz gemaß Bild 5.12. [9]

1. Darstellung von endlich vielen Rechteckimpulsen als Produkt aus einem periodischen Ipulszug und

einem Begrenzungs–Rechteck.

2. Darstellung des periodischen Rechteckimpulszuges als Faltung eines einzelnen Rechtecks mit einem

δ–Kamm.

3. Transformation der Rechtecke und des δ–Kamms und entsprechende Verknupfung zum Eergebnis.

Bild 5.12: Endlich viele Rechteckimpulse

5.7.5 Verschobener δ–Kamm

Ein um T/2 verschobener δ–Kamm ⊥⊥⊥T (t− T/2) hat gemaß Zeitverschiebungssatz eine Spektralvertei-

lung mit einer Phasendrehung ϕ(ω).

⊥⊥⊥T (t− T/2) −−−• FD(ω) = ⊥⊥⊥Ω(ω)ejϕ(ω) = ⊥⊥⊥Ω(ω)e−jωT/2 (5.42)



Diese Phasendrehung betragt:

ϕ(ω) = −ω · T/2 (5.43)

Da jedoch nur an den Stellen ω = n·Ω = n·2π/T in der Spektralverteilung δ–Impulse stehen, interessieren

fur die Phase demzufolge auch nur die Werte nΩ der Frequenzskala:

ϕ(nΩ) = n2π

T· T

2= n · π = n · 1800 (5.44)

Beim δ–Kamm im Frequenzbereich FD(ω) sind also hier die δ–Linien fortlaufend um π weitergedreht. Bei

einer Phasendrehung von 1800 ist es gleichgultig, ob diese links oder rechts herum erfolgte.

FD(ω) = Ω ·∞∑

n=−∞δ(ω − nΩ)e−jnπ = Ω ·⊥⊥⊥Ω(ω) ·

∞∑

n=−∞e−jnπ (5.45)

Der Mittelwert von FD(ω) ist Null, wie man sofort sieht. Daher ist die Zentralordinate der Transformier-

ten ⊥⊥⊥T (t− T/2) ebenfalls Null, wie unmittelbar einzusehen ist.

Damit ergibt sich eine Korrespondenz gemaß Bild 5.13.

T(t-T/2)

t

( )

T/2

1F

D

Bild 5.13: Der um eine halbe Periode verschobene δ–Kamm

Auch hier geben die Punkte · · · in Bild 5.13 an, daß es sich um periodische Funktionen handelt.

5.7.6 Verschobener δ–Kamm mittels des Linearitatssatzes

Das Ergebnis fur die Spektraldichte FD(ω) des um T/2 verschobenen δ–Kamms kann man auch ganz einfach

uber den Linearitatssatz gewinnen:

⊥⊥⊥T (t− T/2) = ⊥⊥⊥T/2(t)−⊥⊥⊥T (t) −−−• 2Ω⊥⊥⊥2Ω(ω)− Ω⊥⊥⊥Ω(ω); Ω =2π

T(5.46)

Damit kann der Differenz zweier Delta–Kamme eine Bedeutung zugewiesen werden.

5.7.7 Verschiebung des δ–Kamms um ∆t 6= T/2

Bei einer Verschiebung ∆t 6= T/2 ergibt sich in der Spektralverteilung eine Phasendrehung ∆ϕ 6= π. In

der dreidimensionalen Darstellung ahnelt der δ–Kamm im Frequenzbereich einem Gebilde ahnlich einem

”Stacheldraht“.

5.8 Abgetastete Zeitfunktionen

Bei samtlichen analogen oder digitalen Pulsmodulationen wird die Zeitfunktion f(t) zu aquidistanten

Zeitpunkten T abgetastet, d.h. es werden Stichproben aus f(t) entnommen. Sind diese Stichproben δ–formig, wird dies mit

”idealer Abtastung“ bezeichnet. Aufgrund der Uberlegungen zu Abschnitt 5.5.2 kann

man sofort sagen, daß damit fur den Fall der idealen Abtastung folgende Korrespondenz–Eigenschaften

bestehen:

• aquidistante Linien im Zeitbereich −−−• periodische Spektraldichte

• Linienabstand: TA ; ΩA = 2π/TA: Periode im Spektrum



5.8.1 Ideale Abtastung

Ideale Abtastung soll bedeuten, daß die entnommenen Stichproben aus der Funktion f(t) Nadelimpulse

sind und damit als δ–Impulse dargestellt werden konnen. Die ideal abgetastete Zeitfunktion fi(t) wird damit

zu:

fi(t) = f(t) ·⊥⊥⊥TA(t) ideal abgetastete Zeitfunktion (5.47)

Daraus folgt unmittelbar fur die Spektralverteilung Fi(ω) der ideal abgetasteten Funktion fi(t), Bild

5.14:

Fi(ω) = F (ω) 1

2π∗ [ΩA ·⊥⊥⊥ΩA(ω)]; ΩA =

2π

TASpektrum bei idealer Abtastung (5.48)

−3 −2 −1 0 1 2 3

0

0.5

1

t →

f(t)

→

Zeitfunktion f(t)

−6 −4 −2 0 2 4 6

0

0.5

1

ω →

F(ω

) →

Spektraldichte F(ω)

−3 −2 −1 0 1 2 3

0

0.5

1

t →

f i(t)

→

Zeitfunktion fi(t)

−6 −4 −2 0 2 4 6

0

0.5

1

ω →

Fi(ω

) →

Spektraldichte Fi(ω)

ωc

ω →

ω →

t →

t →

ΩA

ωc

TN

=2π/ωc

TA

TN

A

A

B=2πA/ωc

BΩA/2π

=AΩA/ω

c

flächen−gleiches Rechteck

Bild 5.14: Eine ideal abgetastete Funktion fi(t) hat eine periodische Spektraldichte Fi(ω)

5.8.2 Das Abtast–Theorem

Aus der ideal abgetasteten Funktion fi(t), Bild 5.14, soll am Ende einer Ubertragungsstrecke die ursprung-

liche zeit–kontinuierliche Funktion f(t) wieder zuruckgewonnen werden.

Dies geschieht dadurch, daß im Spektrum aus Fi(ω) mit Hilfe eines Tiefpasses (Rekonstruktions–TP)

nur derjenige Teil ubrig gelassen wird, der der Spektralverteilung von F (ω) entspricht.

Da die Korrespondenz f(t) −−−• F (ω) eindeutig ist, gewinnt man so tatsachlich die ursprungliche

Funktion f(t) zuruck, wenn dabei die Abtast–Bedingung eingehalten wurde:



• In Fi(ω) darf keine Uberlappung der Teilspektren stattfinden, oder anders ausgedruckt,

• die Abtastfrequenz ΩA =2π

TAmuß großer sein als die zweifache Grenzfrequenz ωc von f(t).

Damit lautet das Abtast–Theorem (Shannon):

ΩA =2π

TA≥ 2ωc ; ωc ≤ ΩA/2

F (ω) = 0 fur |ω| > ωcAbtast–Bedingung (5.49)

Das Abtast–Theorem wurde von Shannon angegeben.

5.8.3 Spektrums–Begrenzung der abzutastenden Funktion: Anti Aliasing Filter

Vor dem Eingang eines Analog–Digital–Umsetzers (ADC, analog digital converter) sorgt ein Tiefpaß–Filter

mit der Grenzfrequenz ωc am Eingang des Systems fur die Einhaltung der Abtastbedingung. Dieses Filter

heißt Anti–Aliasing–Filter. Ohne ein Anti–Aliasing–Filter werden auch aus hoherfrequenten Zeitfunktio-

nen Abtastwerte entnommen, jedoch zu wenige um die originale Zeitfunktion daraus wieder gewinnen zu

konnen (Unter–Abtastung). Diese laßt sich anschließend nicht mehr rekonstruieren. Statt dessen wird der

”Alias“ gebildet, gepunktete Kurve in Bild 5.15. [23]

Bild 5.15: Alias Bildung durch Unter–Abtastung

Bei digitalen Funk–Systemen wird die Alias–Bildung jedoch gezielt dafur eingesetzt, hochfrequente Sig-

nale in den Zwischen–Frequenz–Bereich oder in den Basis–Band–Bereich umzusetzen (heruntermischen).

5.8.4 Grenzfrequenz ωc fur realisierbare Filter

Das Gleichheitszeichen ωc = ΩA/2 in der Gleichung (5.49) kann fur ein realisierbares System nicht einge-

halten werden, weil hierfur ein Filter mit ∞ großer Flankensteilheit erforderlich ware, das Tiefpaß–Filter

somit ideale ⊓–Form haben mußte. Fur praktische Falle gilt also stets:

ωc < ΩA/2; ωc < π/T ; ΩA > 2ωc Abtastbedingung (real) (5.50)

Klassische Beispiele sind das Telefon und die CD.

Telefon fc = 3, 4KHz fA = 8KHzCD fc = 20KHz fA = 44, 1KHz

5.8.5 Ruckgewinnung der ursprunglichen Zeitfunktion: Rekonstruktions–Filter

Wird die Bedingung Gleichung (5.49) identisch erfullt, so laßt sich die Spektraldichte F (ω) — und damit in

eindeutiger Weise die Zeitfunktion f(t) — mit Hilfe einer idealen Tiefpaß–Filterung zuruckgewinnen14, falls

Fi(ωc) = 0 ist, Bild 5.16.

14In dieser Herleitung ist als Ruckgewinnungsfilter oder Interpolationsfilter ein idealer TP mit ∞ steilen Flanken unterstellt. In der

Praxis ist ein solcher TP nicht realisierbar, vielmehr haben realisierbare Filter immer Flanken mit endlicher Steilheit.



F (ω) = Fi(ω) · ⊓ΩA/2(ω) · 2π

ΩA; ΩA = 2π/TA (5.51)

=

F (ω)

12π∗ [ΩA ·⊥⊥⊥ΩA

(ω)]

· ⊓ΩA/2(ω) · 2π

ΩA

=

F (ω)

12π∗ [ΩA ·

∞∑

n=−∞δ(ω − nΩA)]

· ⊓ΩA/2(ω) · 2π

ΩA

=

F (ω)

12π∗ [ΩA · δ(ω)]

· ⊓ΩA/2(ω) · 2π

ΩA; wegen TP–Filterung

=

F (ω)

ΩA2π

· ⊓ΩA/2(ω) · 2π

ΩA; mit Ausblendeigenschaft

= F (ω) (5.52)

−3 −2 −1 0 1 2 3

0

0.5

1

t →

f i(t)

→

Zeitfunktion fi(t)

−6 −4 −2 0 2 4 6

0

0.5

1

ω →

Fi(ω

) →


−3 −2 −1 0 1 2 3

0

0.5

1

t →

f(t)

→

Zeitfunktion f(t) interpoliert

−6 −4 −2 0 2 4 6

0

0.5

1

ω →

F(ω

) →

Spektraldichte F(ω) gefiltert

TA

TN

A

ΩA=

2ωc

ωc ω →

ω →ωc

t →

t →

2π/ΩA

A Interpolations−Summen−Kurve

si−Funktionenals Impulsant−worten

B=2πA/ωc

Rekonstruktions−TP

BΩ

A/2

π

ΩA=2ω

c

Bild 5.16: Zur Ruckgewinnung (Interpolation) der ursprunglichen Funktion f(t).

Nach dem Vertauschungssatz gibt es ein entsprechendes Theorem fur die Abtastung im Frequenzbereich,

das sich dann auf periodische Zeitfunktionen bezieht.

5.9 Reales Abtasten

Bei digitalen Verarbeitung analoger Signale ganz allgemein, aber auch speziell bei Puls–Modulationen, wie

z.B. bei PCM (Puls–Code–Modulation), werden die Abtastwerte digitalisiert (A/D–Wandlung). Da die A/D–



Wandlung Zeit benotigt, wird der Abtastwert entsprechend lange festgehalten (Sample & Hold bzw. Track &

Hold). Diese Art der Abtastung wird mit Flat–Top–Sampling bezeichnet, Bild 5.17.

Formal gewinnt man diese Abtastwerte, indem die idealen Abtastwerte mit einem einzelnen Rechteck–

Impuls ⊓τ/2(t) gefaltet werden, was zu einer six –Bewertung im Spektrum fuhrt. Im Falle der digitalen

Verarbeitung ist τ = TA.

fA(t) = fi(t) ∗ ⊓τ/2(t) −−−• FA(ω) = F1(ω)τsin(ωτ/2)

ωτ/2Flat–Top–Sampling (5.53)

−2 0 2

0

0.5

1

t →

f i(t)

→

Zeitfunktion fi(t)

−2 0 2

0

0.5

1

t →

Πτ/

2(t)

→Zeitfunktion Π

τ/2(t)

−2 0 2

0

0.5

1

t →

f FT(t

) →

Zeitfunktion fFT

(t)

−6 −4 −2 0 2 4 6

0

0.5

1

ω →

Fi(ω

) →


−5 0 5

0

0.5

1

ω →

FΠ

(ω)

→

Spektraldichte FΠ

(ω)

−6 −4 −2 0 2 4 6

0

0.5

1

Spektraldichte FFT

(ω)

ω →

FF

T(ω

) →

*

⋅

=

=

τ

1/τ

ωN

=

2π/τ ωN

Bild 5.17: Real abgetastete Zeitfunktion (Flat–Top–Sampling) mit τ < TA

5.9.1 Der Einfluß der six –Funktion im Frequenzbereich

Die Multiplikation mit einer six –Funktion im Frequenzbereich, Gleichung (5.53), bedeutet eine Schwachung

der Spektralanteile in der Nahe der Grenzfrequenz im ruckgewonnenen Signal.

Bild 5.18: Ausgleich des si–Verlaufes durch ein Filter mit inversem Amplitudengang bei Flat–Top–Sampling



Daher muß das Rekonstruktionsfilter im Durchlaßbereich einen 1/six –Verlauf aufweisen, damit diese

Abschwachung ausgeglichen wird, Bild 5.18.

5.9.2 Spektrum des D/A gewandelten Signals

Ein ahnlicher, treppenformiger Zeitverlauf von fA(t) entsteht auch nach jedem D/A–Ruckwandlungsprozeß.

Durch die Treppenform von fA(t) entstehen also weitere Spektralanteile bei Vielfachen der Abtastfrequenz

ΩA, die durch das Rekonstruktionsfilter ebenfalls weggenommen werden mussen. Die Anforderungen an die

Filtersteilheit konnen gering gehalten werden, wenn die Abtastfrequenz ΩA genugend hoch gewahlt wird,

Bild 5.19.

fA FA

ΩA

Bild 5.19: Zeitfunktion und Spektrum eines D/A ruckgewandelten Signals

Das Quantisierungsgerausch infolge der endlichen Amplitudenauflosung in digitalen Systemen kommt

im praktischen Fall noch hinzu. Siehe hierzu Kapitel 3.5.1.

5.10 Anwendung der Abtastung: Dimensionierung von FIR Filtern

An diesem Beispiel wird die Vorgehensweise der Dimensionierung eines FIR–Filters, siehe Bild 2.32 (Seite

39) und Bild 5.20, gezeigt.

∆t ∆t ∆t ∆t ∆t ∆t


u (t)e

u (t)a+ + + + + +

N StufenFIR Filter


Wie aus dem Blockschaltbild ersichtlich ist, mussen (fur die Dimensionierung) folgende Werte bestimmt

werden:

• Zeitverzogerung ∆t

• Filterkoeffizienten h0 bis hN

• Anzahl N der Verzogerungs–Stufen und N + 1 der Koeffizienten

Die Impuls–Antwort hFIR(t) eines FIR–Filters besteht (unabhangig von der Form seiner Ubertragungs-

funktion) aus N + 1 aquidistanten δ–Impulsen (jeweils im Abstand ∆t), wie der Blockstruktur Bild 5.20



direkt entnommen werden kann. hFIR(t) kann daher als (zeitlich) abgetastete Version einer kontinuierlichen

Impulsantwort h(t) interpretiert werden. Die Werte h0 bis hN ergeben sich aus den Flachen der Linien.

Wird als Vorgabe fur die Dimensionierung des FIR–Filters ein idealer Tiefpaß H(ω) = A⊓ωc(ω) gewahlt,

so hat dieser bekanntlich eine six formige Impulsantwort h(t), Bild 5.21.

h(t)

TA t

h (t)i

H( )ω

H ( )i ω

ω

ω

ωc

ωc ΩA−ΩA

A A /ω πc

A

Bild 5.21: Idealer TP und seine six Impulsantwort (Ausschnitt). Abgetastete Impulsantwort und periodische

Ubertragungs–Funktion. (h(t) zeitlich symmetriert: nicht kausal)

Technisch wird die Verzogerungs–Zeit ∆t als Abtast–Periode TA bezeichnet, ∆t = TA und ist in Bild 5.21

entsprechend benannt. Die Impulsantwort hFIR(t) = hi(t) besteht somit aus aquidistanten δ–Impulsen.

Da bekanntermaßen gilt:

Aquidistante δ–Linien im Zeit–Bereich −−−• Periodizitat im Frequenz–Bereich

gehort somit zu der mit einer FIR–Struktur (in erster Naherung) erzielbaren Ubertragungs–Funktion ein

periodischer Verlauf Hi(ω), Bild 5.21.

Bei genauerer Betrachtung des Bildes 5.21 stellt man fest, daß es sich verglichen mit dem periodischen

Rechteck–Impuls–Zug, Bild 5.6 (Seite 97), um dasselbe Problem handelt, nur daß der Vertauschungs–

Satz angewendet werden muß. Das bedeutet aber, daß alle dort gewonnenen Ergebnisse unmittelbar ver-

wendet werden konnen.

Der”Synthese–Kurve“ beim Rechteck–Impuls–Zug15 entspricht jetzt die mit N Koeffizienten erzielbare

Ubertragungs–Funktion des FIR–Filters, Bild 5.22.

−1 −0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

FIR−Filter: Betrag der Übertragungsfunktion |Hi(ω)|

|Hi(ω

)| →

ω/ΩA →

N=21 Koeffizienten Rechteck−Fensterung

ωc Ω

A

Gibbs’schesÜberschwingen

ungenügendeSperrdämpfung

LineareDarstellung

ReHi(ω)

|Hi(ω)|

−ωc

−1 −0.5 0 0.5 1−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

FIR−Filter: Übertragungsfunktion |Hi(ω)|/dB

|Hi(ω

)|/d

B →

ω/ΩA →

|Hi(ω)|/dB

21 Koeffizienten,Rechteck−Fensterung

logarithmischeDarstellung

ungenügende Sperrdämpfung

Bild 5.22: Betrag der Ubertragungsfunktion |Hi(ω)| des FIR–Filters fur 21 Koeffizienten in linearer und

logarithmischer Darstellung (Rechteck–Fensterung)

15Siehe”Spektren periodischer Zeit–Funktionen“: Synthese des Rechteck–Pulses



5.10.1 Kausalitat

Ein FIR–Filter gemaß Bild 5.20 kann keine Impulsantwort erzeugen, die bereits vor dem Zeitpunkt t = 0beginnt, wie sie in Bild 5.21 dargestellt ist. Vielmehr kann die Impulsantwort fruhestens zum Zeitpunkt

t = 0 beginnen. Es muß Kausalitat herrschen: die Impuls–Antwort kann nicht vor der Ursache (dem

δ(t) Impuls am Eingang) beginnen, Bild 5.23. Kausalitat ist notwendig fur eine Realisierbarkeit.

h(t)

TAt

h (t)i

|H( )|ω

|H ( )|i ω

ω

ω

ωc

ωc ΩA−ΩA

AA /ω πc

A

Θ ω( )

Θ ω( )

t0 2t0

π ω/ c

wΠ

Bild 5.23: Kausaler Idealer TP und seine six Impulsantwort. Der Ausschnitt aus h(t) wird durch eine recht-

eckformige Fensterfunktion w⊓ der Breite LW = 2t0 erzeugt. h(t) und hi(t) sind symmetrisch bezuglich t = t0.

Bezogen auf den nicht kausalen Fall ergibt sich somit eine Zeitverschiebung (Laufzeit) t0, was fur die

Ubertragungsfunktion des gesuchten Filters eine lineare Phasendrehung Θ(ω) bedeutet.

Θ(ω) = ωt0 lineare Phase (5.54)

Man kann also mit Hilfe eines FIR–Filters eine lineare Phase Θ(ω) = ωt0 realisieren. Als Bedingung fur

den linearen Verlauf der Phase genugt es, wenn die (einprogrammierten) Abtastwerte der Impulsantwort

bezuglich t = t0 symmetrisch sind.16 Als Breite LW des”Fensters“ ergibt sich damit LW = 2t0.

Da sich durch die Zeitverschiebung t0 fur die Ubertragungsfunktion nur eine lineare Phase Θ(ω) ergibt,

bleibt der Betrag |Hi(ω)| davon unverandert. Zur weiteren Analyse genugt es daher, den nicht kausalen Fall

zu betrachten. Die Phase kann dann ganz zum Schluß berucksichtigt werden.

5.10.2 Rechteck–Fensterung

Die Fensterung der Impulsantwort h(t) bewirkt, daß diese endlich lang wird, also von t = 0 bis t = 2t0(kausal), Bild 5.23, bzw. von −t0 bis +t0 (nicht kausal), Bild 5.24. Die Abtast–Werte dieser (endlich lan-

gen) Impulsantwort werden als (N + 1) Koeffizienten h0 bis hN im Koeffizienten–Register des FIR–Filters

abgelegt.

Rechteck–Fensterung bedeutet, daß innerhalb des”Fensters“ die gefensterte Funktion exakt dem Origi-

nal entspricht, außerhalb des Fensters aber identisch Null ist. Damit ergibt sich ein”hartes“ Abschneiden

des Zeitverlaufes an den Fenstergrenzen.

• Um die Einflusse der Fensterbreite LW , der Fenster–Art und der Abtast–Periode TA getrennt

erfassen zu konnen, wird folgender Ansatz gewahlt.

Wahrend zuvor in Analogie zur Synthese–Kurve einer F-Reihe verfahren wurde, werden jetzt die Korrespon-

denzen

Multiplikation −−−• Faltung bzw. Faltung −−−• Multiplikation

verwendet. Gleichzeitig wird zunachst die Abtastung nicht betrachtet und die Problemstellung zeitlich sym-

metriert (nicht kausal).

Die Rechteck–Fensterung kann damit wie in Bild 5.24 dargestellt werden.

16Zulassig sind Spiegel– und Punkt–Symmetrie. Fur den zeitlich symmetrierten (nicht kausalen) Fall ist das mit Hilfe der Symmetrie–

Bedingungen unmittelbar einsichtig. Weiteres dazu auch im Kapitel: LTI–Systeme.



ω

ω

ω

t

t

t

H( )ω

W( )ω

H ( )=H( ) W( )/21 ω ω ω π*

h(t)

w(t)

h (t)=h(t)w(t)1

ωc

ωc

t0

t0

-t0

-t0

-t0 t0

π/t0

1

A0

1/2 π*

∆ω =2π/t0

π ω/ c

A /0 cω π

t /0 π

Bild 5.24: Die ⊓–Fensterung (mit der Fensterfunktion ⊓t0(t)) der Impulsantwort h(t) hat eine Faltung der

Ubertragungsfunktion H(ω) mit W (ω) zur Folge.

Die Durchfuhrung dieser Faltung erfolgt gemaß dem”vereinfachten Verfahren“. Damit ist das Integral

vom six zu bilden, was auf den Integralsinus Si(x) fuhrt, siehe Bild 4.23 (Seite 77). Die Ubertragungsfunktion

H1(ω) ist in Ubereinstimmung mit dem Verlauf von |Hi(ω)| in Bild 5.22.

Eine (Rechteck–) Fensterung wirkt sich folgendermaßen auf die Ubertragungsfunktion eines Filters aus:

• Im Durchlaß–Bereich entsteht eine Welligkeit.

• Im Sperr–Bereich besteht eine ungenugende Sperr–Dampfung.

• Der Ubergangs–Bereich zwischen Durchlaß– und Sperrbereich ist endlich breit (∆ω) geworden.

Diese Auswirkungen konnen separiert werden.

• Die Welligkeit im Durchlaß–Bereich und die Sperr–Dampfung im Sperr–Bereich konnen durch die

Wahl einer geeigneten Form der Fensterfunktion minimiert werden.

• Die Breite des Ubergangsbereichs hangt ab von der Lange LW = 2t0 der gefensterten Impulsantwort

— und damit von der”Fenster–Breite“ LW .

5.10.3 Bestimmung der Fenster–Breite

Als Naherungswert fur den Ubergangs–Bereich ∆ω findet man einen Wert,17 der sich aus dem Abstand der

Nullstellen von W (ω) ergibt.

∆ω =2π

t0(5.55)

Daraus folgt fur die Laufzeit t0 des (kausalen) Filters:

t0 =2π

∆ω(5.56)

17Siehe hierzu Kapitel”Tiefpaß–Systeme“.



Nun wird die Fensterbreite LW = 2t0 bezogen auf den Nullstellenabstand π/ωc der Impulsantwort h(t). Fur

LW = 2t0 = NN · π/ωc ist das Fenster genau NN Nullstellen–Abstande breit.

NN = 2t0π

ωc= LW

π

ωc(5.57)

Mit Gleichung (5.56) wird daraus:

NN =2π

∆ω· 2πωc

= 4ωc∆ω

= 4fc∆f

= 4QL (5.58)

Der Faktor ωc

∆ω kann als Maß fur die”Gute“ QL des TP–Filters angesehen werden.

QL =ωc∆ω

=fc∆f

=Grenz–Frequenz

Ubergangs–Bereich(5.59)

Die Anzahl der zu berucksichtigenden Nullstellen–Abstande NNm der Impuls–Antwort steigt proportional

zur Anforderung an die Gute des Tiefpasses. Sie betragt (abzuglich der Breite des Hauptmaximums):

NNm = NN − 2 = 4QL − 2 (5.60)

5.10.4 Fenster–Formen

Eine entsprechende Rolle, wie sie die Form der Filterkrurve fur die Datenverrundung spielt, hat hier die

Form der Fensterung auf Eigenschaften des FIR–Filters.

• Endlich breites Fenster −−−• ∞ breite Transformierte

• stark verrundetes Fenster −−−• kleine Nebenmaxima im Sperrbereich

• starke Verrundung −−−• breites Hauptmaximum des Durchlaßbereiches

• breites Hauptmaximum ; breiter Ubergangs–Bereich des Filters

• trotzdem steiler Ubergangs–Bereich ; große Fenster–Breite

Die ublichen Fenster–Formen, die in diese Betrachtungen einbezogen werden, zeigt Bild 5.25.

−1 −0.5 0 0.5 10

0.5

1

Fensterfunktionen

BartlettBlackmanBoxcarChebwin (−60dB)

−1 −0.5 0 0.5 10

0.08

0.5

1

Fensterfunktionen

HammingHanningKaiser (8)Triangular

Bild 5.25: Die ublichen Fenster–Funktionen in analoger Darstellung

Alle verrundeten Fenster haben eine mittlere Breite Lm, die hochstens die halbe Breite t0 des Rechteck–

Fensters (Boxcar) ist, Bild 5.25. Die mittlere Breite ist definiert als die Breite des flachengleichen Rechtecks

mit derselben Hohe. Eingesetzt in Gleichung (5.55) bedeutet das, daß dann nur noch hochstens die halbe

Flankensteilheit des Filters erreichbar ist:

∆ωW ≤∆ω

2=

4π

t0(5.61)



• Bei Verwendung einer jeder anderen Fensterfunktion muß der Ausschnitt aus der Impulsantwort min-

destens doppelt so lang gewahlt werden wie bei Rechteckfensterung, wenn sich die Flankensteilheit

des Filters nicht verschlechtern darf.

LW ≥ 4t0 (5.62)

5.10.5 Wahl der Abtastfrequenz und Zahl der Filterkoeffizienten

Offensichtlich laßt sich — so lange das Abtast–Theorem eingehalten wird — die Abtastfrequenz ΩA frei

wahlen.

Es mussen jedoch folgende Auswirkungen gegeneinander abgewogen werden:

• Durch die Abtastung der Impulsantwort ergibt sich eine Periodizitat der zugehorigen Ubertragungs-

funktion, Bild 5.21 (Seite 109).

• Durch die Fensterung erhalten alle Teile der (periodischen) Ubertragungsfunktion”Auslaufer“ die sich

gegenseitig beeinflussen und dadurch den Sperrbereich verschlechtern Bild 5.22 (Seite 109).

• Bei digitaler Verarbeitung sind die”Abtastwerte“ nicht δ–formig, sondern rechteckig (Flat–Top). Da-

durch ergeben sich Auswirkungen wie bei Flat–Top–Sampling beschrieben.

• Alle diese Effekte treten starker in Erscheinung, wenn eine niedrige Abtastrate gewahlt wird.

• Eine hohe Abtastrate steigert die notwendige Rechenleistung quadratisch. In 1/n der Zeit muß die

n–fache Menge an Werten verarbeitet werden.

• Die Zahl N + 1 der Filterkoeffizienten ergibt sich aus der erforderlichen Fenster–Breite LW und der

gewahlten Abtast–Dauer TA.

N + 1 =LWTA

(5.63)

Die Bilder 5.26 und 5.27 zeigen die mit einem Chebwin–Fenster gefensterte Impulsantwort bzw. den Am-

plitudengang eines FIR–Filters, siehe Kap. 2.6.12 Transversales Filter (Seite 39). Die Verbesserung der

Sperrdampfung gegenuber einer Rechteck–Fensterung ist deutlich erkennbar.

0 10 20 30 40

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Impulsantwort des FIR Filters, gefenstert

Koeffizenten: n →

h n →

ChebwinFenster−Funktion(Chebyshev Window)

Bild 5.26: Die gefensterte Impulsantwort eines

Transversalfilters (Chebwin–Fenster)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

20Amplitudengang des FIR−−Filters

ω/ΩA →

|H(ω

)|/d

B

mit Rechteck−−Fenster

mit Chebwin−Fenster (60 dB)

Bild 5.27: Amplitudengang eines Transversalfil-

ters mit Rechteck–Fensterung und mit Chebwin–

Fensterung



5.10.6 Ausblick: Diskrete Fouriertransformation

Bei der digitalen Berechnug von Spektralverteilungen mussen die Zeitfunktionen zeitlich aufgerastert wer-

den. Aber auch fur die Spektralverteilung erhalt man nur einzelne Stutzwerte. Dadurch ergeben sich Unter-

schiede zum exakten mathematischen Verfahren der Fouriertransformation. Diese Unterschiede sieht man

deutlich, wenn man sich die einzelnen Schritte graphisch veranschaulicht. Das gewahlte Beispiel ist ein

Gauß–Impuls, der weder im Zeit noch im Frequenzbereich Nebenmaxima hat, Bild 5.28.

Bei einer praktischen Anwendung der diskreten Fouriertransformation ist dies dahingehend zu beachten,

daß die freien Parameter so gewahlt werden, daß ein minimaler Fehler gegenuber dem theoretischen Fall

auftritt.

Wird zusatzlich die Anzahl der Stutzwerte zu einer 2-er Potenz gewahlt, also z.B. 512, 1024, 2048 usw.,

laßt sich der Rechenaufwand im Computer erheblich reduzieren. Man kommt in einem solchen Fall zur Fast

Fourier Transformation (FFT), welche in der digitalen Signalverarbeitung eine große Bedeutung hat. Aus

Bild 5.28 erkennt man aber deutlich, daß man aus dem Dilemma des Zeit–Bandbreiten–Gesetzes theoretisch

nicht und praktisch nicht so ohne weiteres herauskommt. [7]

Fur weitere Informationen zur FFT siehe den erganzenden Umdruck”

Diskrete Fourier–Transforma-

tion & Fast Fourier–Transformation“.



Bild 5.28: Zur Herleitung der diskreten Fourier–Transformation



6 Zufalls–Signale, Wahrscheinlichkeit, Ergodizitat,

Korrelation, Spektrale Leistungsdichte

Im 6. Teil wird auf die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Amplituden und der Amplituden–Dichten fur

Zufalls–Signale (random signals) eingegangen. Anschließend werden die Korrelation und deren Verwandt-

schaft mit der Faltung betrachtet. Die F–Transformierte der Korrelation ist die spektrale Leistungs–Dichte

(Wiener–Khintchine). Die Eigenschaften der Korrelation bei LTI–Systemen wird betrachtet.

6.1 Zufalls–Signale

Die hier betrachteten Zufallssignale (Random Signals) sind per Definition nicht in allen ihren Eigen-

schaften vorhersehbar oder voraussagbar. Man kennt zwar ggf. den Zeitverlauf f(t) solcher Signale fur

t < 0 und kann mit Hilfe dieser Daten die F-Transformierte bestimmen1. Fur Zeiten t > 0 jedoch, also fur

die Zukunft, kann der weitere Verlauf nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit vorausgesagt werden.

Demzufolge laßt sich fur Zeiten t > 0 auch keine Spektralverteilung F (ω) angeben2.

Zu dieser Klasse von Random Signalen gehoren alle Storungen, die eine Nachricht auf ihrem Ubertra-

gungsweg erleidet. Aber auch die Nachricht selbst gehort zu dieser Klasse, denn ware das Nachrichtensig-

nal in allen seinen Eigenschaften vorhersehbar, wurde ja keine Information ubermittelt.

Diejenigen Eigenschaften von Random–Signalen, mit denen man rechnen kann und die gemessen wer-

den konnen (wichtig!), beziehen sich daher immer auf irgend welche Mittelwerte (und damit wieder auf die

Vergangenheit!). Dies sind :

• Amplituden

– Verteilungen (CPD: cumulative probability distribution)

– Dichte–Verteilungen (PDF: probability density function)

• Mittelwerte

– Ensemble–Mittelwerte

– Zeit–Mittelwerte

– Korrelationsfunktionen

– Spektrale Leistungsdichten

6.2 Messen von Verteilungen und Dichten

6.2.1 Wahrscheinlichkeits–Verteilungs–Funktion der Amplituden

Diese Messung kann fur deterministische und stochastische Signale gleichermaßen durchgefuhrt werden.

Man geht z.B. dabei aus vom Zeitverlauf f(t) einer Zufallsgroße, z.B. eines Rauschens, Bild 6.1.

Mit Hilfe einer Vergleichsschaltung, einem (analogen) Komparator, laßt sich messen, in wieviel % der

Zeit die Funktion f(t) unterhalb einer vorgegebenen (und als Parameterwert variierbaren) Schwelle Xbleibt. Den gesuchten Prozentsatz der Zeit erhalt man, indem ein Mittelwert der Ausgangsspannung des

analogen Komparators (uber eine geeignete Zeitspanne) gebildet wird. Diese Messungen mussen fur jeden

Schwellwert mehrfach wiederholt werden, wenn eine zuverlassige Aussage entstehen soll.

Die Wahrscheinlichkeits–Verteilungs–Funktion (CPD: cumulative probability distribution) fur die Ampli-

tuden–Werte P(X) wird wie folgt definiert:

P(X) = Pf(t) ≤ X (6.1)

Hierbei ist Pf(t) ≤ X = P(X) die Wahrscheinlichkeit dafur, daß f(t) ≤ X ist. Demzufolge kann

P(X) nur Werte zwischen 0 (nie unterhalb der Schwelle) und 1 (immer unterhalb der Schwelle) annehmen:

0 ≤ P(X) ≤ 1 1.= 100% der Zeit bezogen auf f(t) (6.2)

Bild 6.3 zeigt einen typischen Verlauf einer Amplituden–Verteilungsfunktion.

1Dies kann z.B. mit Hilfe eines Fourier–Analyzers erfolgen, dessen Meßergebnis sich stets auf bereits vergangene Zeiten bezieht.2Bei Random Signalen wird die Spektrale Leistungsdichte bestimmt.



0 2 4 6 8 10

−2

0

2

Eingang Komparator

f(t)

→

t →

0 2 4 6 8 10

0

0.5

1Ausgang Komparator

g(t)

→

t →

Schwelle X

Mittelwert: P(X)

Bild 6.1: Zur Messung der Amplituden–

Verteilung einer Rausch–Spannung.

Bild 6.2: Zur Bestimmung der Amplituden–

Dichte–Verteilung (PDF) einer Stochasti-

schen Funktion

• P(X) = 0 bedeutet: f(t) ist nie unterhalb der Schwelle X.

• P(X) = 1 bedeutet: f(t) ist immer unterhalb der Schwelle X.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

0

0.2

0.4

0.5

0.6

0.8

1

Verteilungs−Funktion P(X), Verteilungs−Dichte−Funktion p(X)

X →

P(X

) →

, p(X

) →

Verteilungs−Funktion P(X)

Verteilungs−Dichte−Funktion p(X)

Gauss:Normal−Verteilung

Q(−X)

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Verteilungs−Funktion P(X), Verteilungs−Dichte−Funktion p(X)

X →

P(X

) →

, p(X

) →

Streuung σ = 0.3

PDF:Gauss

CPD:KomplementäreQ−Funktion

Bild 6.3: Typischer Verlauf einer Wahrscheinlichkeits–Verteilungs–Funktion (CPD) P (X) und einer Wahr-

scheinlichkeits–Dichte–Funktion (PDF) p(X) am Beispiel von Normal–Verteilung und komplementare QFunktion; Links: σ = 1, Rechts: σ = 0.3

6.2.2 Wahrscheinlichkeits–Dichte–Funktion

Die Wahrscheinlichkeits–Dichte–Funktion p(X) ist die Antwort auf die Frage nach der Wahrscheinlichkeit

dafur, daß f(t) genau zwischen zwei Schwellen X1 und X2 liegt, wobei diese beiden Schwellen beliebig dicht

beieinander liegen konnen, Bild 6.2:

p(X) = lim(X2−X1)→0

P(X2) − P(X1)

X2 −X1=

dP(X)

dX(6.3)

Aus dem Grenzubergang in der Gleichung (6.3) erkennt man, daß (fur beliebige Werte x der Schwelle) die

Wahrscheinlichkeits–Dichte–Funktion p(x) die Ableitung der Wahrscheinlichkeits–Verteilungs–Funktion

P(x) ist. Bild 6.3 zeigt einen weiteren typischen Verlauf einer Wahrscheinlichkeits–Dichte–Funktion.



6.2.3 Amplituden–Dichte–Verteilung (ADV) von Rauschen

Die Amplituden–Dichte–Verteilung (ADV; dies ist eine PDF: probability density function) von Rauschen ist

eine Gauß’sche Glockenkurve. Die Form der Glockenkurve tritt immer auf, wenn (wie im Falle des Rau-

schens) viele von einander unabhangige physikalische Vorgange an einem Prozeß beteiligt sind.3 Das ist

in der Natur das Normale; daher heißt die Gauß–Verteilung auch Normalverteilung. Meßtechnisch er-

gibt sich eine Gauß–Kurve mit guter Naherung, wenn hinreichend viele Einzelmessungen gemittelt werden.

Statt dem (festen) Wert X fur die Schwelle wird dann eine Variable x verwendet.

p(x) =1√2πe−x

2/2 Normierte Darstellung (σ = 1 ; m = 0) (6.4)

p(x) =1√2πσ

e−x2

2σ2 σ : Streuung = Wechselanteil: Effektivwert, RMS (6.5)

p(x) =1√2πσ

e−(x−m)2

2σ2 m = X: Mittelwert = Gleichanteil (6.6)

Ist der Effektivwert des Rauschens kleiner, z.B. σ = 0.3 in Bild 6.3 rechts, ist die CPD steiler, weshalb die

PDF hoher und schmaler wird.

Bild 6.4 zeigt eine gemessene Rauschspannung und die zugehorige Gauß’formige (Gauß’sche Glockenkur-

ve) Verteilungs–Dichte–Funktion PDF der Amplituden, [23] (ADV: Amplituden–Dichte–Verteilung).

Bild 6.4: Rauschen und Gauß–formige ADV (Amplituden–

Dichte–Verteilung)

Bild 6.5: Der Crest–Faktor von Rau-

schen mit Gauß–formiger ADV

6.2.4 Crest–Faktor

Das Verhaltnis von Spitzenwert zum Effektiv–Wert (RMS root mean square) wird mit Crest–Faktor CF be-

zeichnet. Theoretisch ist beim weißen Gauß–verteilten Rauschen (WGN White Gaussian Noise) CF → ∞,

was jedoch mit einer Wahrscheinlichkeit q → 0 auftritt. Werte von CF > 4σ treten nur noch mit der Wahr-

scheinlichkeit 6 · 10−5 auf (siehe Bild 6.5 und Tabelle in Bild 6.4). In einer praktischen Anwendung wird eine

Amplituden–Begrenzung vorgesehen.

3Zentraler Grenzwert–Satz



6.2.5 Die Rayleigh–Verteilung

Die Rayleigh–Verteilung tritt z.B. auf bei der Amplitudenverteilung eines gleichgerichteten (gauß’schen)

Rauschsignals (nach der Demodulation) oder als Verteilung der Fadings beim Mobilfunk.

Mathematisch ergibt sich die Rayleigh–Verteilung aus 2 von einander unabhangigen Gauß–Verteilungen

p (x) und p (y). Man bildet die Verbund–Wahrscheinlichkeits–Dichte

p (x, y) = p (x)p (y) =e−x

2/2σ2

√2πσ2

· e−y2/2σ2

√2πσ2

=e−(x2+y2)/2σ2

2πσ2(6.7)

Man betrachtet nun p (x, y)dxdy und geht von der kartesischen Darstellung in x und y zur polaren Dar-

stellung in r und ϕ uber. Damit erhalt man die Wahrscheinlichkeitsverteilungen fur die Amplitude r und

den Phasenwinkel ϕ.

r2 = x2 + y2 ; dxdy = rdrdϕ (6.8)

p (x, y)dxdy ;

e−r2/2σ2

2πσ2rdrdϕ =

re−r

2/2σ2

σ2dr

dϕ

2π

= p (r)p (ϕ)drdϕ (6.9)

Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind damit fur die Amplitude r und die Phase ϕ:

p (r) =

re−r

2/2σ2

/σ2 r ≥ 00 r < 0

Rayleigh–Verteilung (6.10)

p (ϕ) =1

2π− π ≤ ϕ ≤ π Gleich–Verteilung (6.11)

Die Rayleigh–Verteilungs–Dichte und ihr Integral, die Rayleigh–Verteilungs–Funktion, zeigt Bild 6.6

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

r/σ →

p(r)

→

Rayleigh Verteilung (σ = 1)

E[r] =m=1.26

e−1/2 /σ = 0.6065

(1/σ) (π/2)−1/2 e−π/4

= 0.5714

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

r/σ →

P(r

) →

Rayleigh CPD (σ = 1)

1−e−1 = 0.6321

Bild 6.6: Rayleigh–Verteilungs–Dichte und Rayleigh–Verteilungs–Funktion

6.2.6 Amplituden–Dichte–Verteilung deterministischer Signale

Wahrscheinlichkeits–Dichte–Funktionen existieren auch fur deterministische Signale, die meßtechnisch ge-

nau gleich wie bei Zufalls–Signalen erfaßt werden konnen. Analysiert man z.B. die Wahrscheinlichkeits–

Dichte–Funktion einer sin– oder cos–Schwingung, erhalt man einen Verlauf, wie er in Bild 6.7 dargestellt

ist. Bild 6.7 zeigt als Anwendung rechts die gemessene Wahrscheinlichkeits–Dichte–Funktion am Ausgang

eines D/A–Wandlers. Die Spitzen innerhalb des Verlaufes lassen auf differentielle Nichtlinearitaten des

D/A–Wandlers schließen.

Gleichungsmaßig beschreibt man die Wahrscheinlichkeits–Dichte–Funktion einer sin– oder cos–Schwin-

gung durch

p(x) =1

π√A2 − x2

; |x| < A A : Amplitude der sin- bzw. cos- Schwingung (6.12)

Eine entsprechende Form ergibt sich beim terrestrischen Mobilfunk–Kanal fur den Doppler-Spread.



Bild 6.7: Amplituden–Dichte–Verteilung einer cos– oder sin– Schwingung.

6.3 Korrelationsfunktion der Random Signale

6.3.1 Mittelwerte

Da der zeitliche Verlauf einer Random–Große nicht im Einzelnen vorhersehbar ist, laßt sie sich (entspre-

chend unvollstandig) nur durch Mittelwerte beschreiben. Dazu unterstellt man zunachst die Existenz von

N(N → ∞) gleichartigen Random–Signalen, die als Ensemble oder als Schar bezeichnet werden, Bild

6.8. [21]

Bild 6.8: Ein Ensemble von Random–

FunktionenBild 6.9: Zur Messung von Erwar-

tungswerten von Random–Funktio-

nen

Betrachtet man z.B. einen Zeitpunkt tk, kann man mit Hilfe eines Ensembles nun die verschiedenar-

tigsten Mittelwerte bilden, wie linearer, quadratischer usw. Mittelwert. Diese Mittelwerte werden auch mit

Erwartungs–Werten E· · · bezeichnet.

Ex = x(tk) = limN→∞

1

N

N∑

i=0

xi(tk) : linearer Mittelwert (6.13)

Ex2 = x2(tk) = limN→∞

1

N

N∑

i=0

x2i (tk) : quadratischer Mittelwert (6.14)

· · · · · ·

Ef(x) = ˜f [x(tk)] = limN→∞

1

N

N∑

i=0

f [xi(tk)] : allgemeiner Mittelwert (6.15)

Bei der Bildung der Mittelwerte sind allerdings nur solche sinnvoll, die sich meßtechnisch nachvollzie-

hen lassen, weil nur dann die Moglichkeit einer technischen Anwendung besteht.



Meßtechnisch wird man z.B. die Amplitudenstufen in gleichmaßige Abschnitte ∆x einteilen, Bild 6.94.

Tragt man die meßtechnisch gewonnenen Stichproben gemaß Bild 6.10 in einem Histogramm auf [21], er-

kennt man in diesem Beispiel eine Verteilung fur die Stichproben, die in etwa einer Verteilungs–Dichte–

Funktion entspricht.

Bild 6.10: Histogramm einer Sichproben–Verteilung und Verteilungs–Dichte–Funktion (PDF)

Macht man hier nun in einem Grenzubergang

• die Große der Amplitudenstufen ∆x→ 0 und

• die Zahl der Random–Funktionen des Ensemble N →∞,

so erhalt man aus dem Histogramm schließlich eine Wahrscheinlichkeits–Dichte–Verteilung p(x)(PDF).5

Dieser Grenzubergang kann am Beispiel des linearen Mittelwerts wie folgt durchgefuhrt werden.

Fur das in Bild 6.9 gegebene Ensemble findet man dann fur die insgesamt N =∑Ki=1Ni Stichproben–

Werte, wenn die Einteilung in K Intervalle der Breite ∆x erfolgt sein soll und von −a bis b durchgezahlt

wird: (Dies entspricht einer Umsortierung der ermittelten Stichproben.)

N1 Werte im Intervall (−a,−a+ ∆x)

N2 Werte im Intervall (−a+ ∆x,−a+ 2∆x)

· · ·Ni Werte im Intervall (−a+ [i− 1]∆x,−a+ i∆x) (6.16)

· · ·NK Werte im Intervall (−a+ [K − 1]∆x, b)

Es wird zunachst unterstellt, daß alle Stichproben eines jeden Intervalls jeweils den gleichen Wert haben

sollen, also z.B. die Ni Stichproben sollen den Wert (−a+ i∆x) haben. (Amplituden–Quantisierung)

Berechnet man damit die Summe samtlicher Stichproben, so erhalt man:

(−a+ ∆x) ·N1 + (−a+ 2∆x) ·N2 + · · ·+ (−a+ i∆x) ·Ni + · · ·+ b ·NK =

K∑

i=1

(−a+ i∆x)Ni (6.17)

4Dies entspricht einer Amplituden–Quantisierung.5Bei der Herleitung Wahrscheinlichkeits–Dichte wurde gezeigt, daß der Verlauf meßtechnisch durch den Vergleich mit einer Schwelle

X erhalten werden kann. Daraus folgte die Bezeichnung p(X). Nun ist aber der Verlauf der Wahrscheinlichkeits–Dichte tatsachlich

eine Eigenschaft der Random–Funktion x(t), weshalb ab jetzt die Wahrscheinlichkeits–Dichte mit p(x) bezeichnet wird.



Bildet man den Mittelwert xmittel aus den insgesamt N Stichproben, so erhalt man:

x = xmittel =1

N

K∑

i=1

(−a+ i∆x)Ni (6.18)

Gleichung (6.18) wird nun mit ∆x/∆x erweitert.

x =

K∑

i=1

(−a+ i∆x)

NiN∆x

∆x (6.19)

Der Ausdruck (Ni/N)/∆x (relative Anzahl pro Intervall) ist ein Schatzwert fur die Wahrscheinlichkeitsdich-

te p(x), wenn das Intervall ∆x→ 0 geht, wie man sich sofort uberlegen kann.

NiN∆x

= (Ni/N)/∆x → p(x) fur ∆x→ 0 (6.20)

Bei diesem Ubergang wird weiterhin (−a + i∆x) → xi,∆x → dx und xmittel → x. Schließlich wird noch mit

dem Grenzwert lim∆x→0 aus der Summe ein Integral.

Laßt man fur die Wahrscheinlichkeits–Dichte den Bereich −∞ < p(x) <∞ zu, so erhalt man die Darstel-

lung:

x = Ex =

∞∫

−∞

xp(x)dx : linearer Mittelwert = Erwartungswert (6.21)

x2 = Ex2 =

∞∫

−∞

x2p(x)dx : quadr. Mittelwert = Moment 2. Ordnung (6.22)

f(x) = Ef(x) =

∞∫

−∞

f(x)p(x)dx : allgemeiner Mittelwert (6.23)

E(x− x)n =

∞∫

−∞

(x− x)np(x)dx : n. Zentral–Moment (6.24)

Das n. Zentral–Moment wird fur n = 1 zu Null, wahrend es fur n = 2 als Varianz Varx = σ2x der

Random–Variablen x bezeichnet wird, Gleichung (6.25).

Varx = σ2x = E(x− x)2 =

∞∫

−∞

(x− x)2p(x)dx : Varianz = Wechsel–Leistung (6.25)

Die Wurzel aus der Varianz,√

Varx = σx, ist die Standard–Abweichung oder der Effektiv–Wert der

Random–Variablen x.

Mit den Erwartungswerten laßt sich bequem rechnen, wie das folgende Beispiel zeigt.6

Varx = σ2x = E(x− x)2

= Ex2 − 2xx+ x2= Ex2 − 2xEx+ x2

Varx = σ2x = Ex2 − x2 = x2 − x2 (6.26)

Wenn also der Mittelwert x = 0 ist, sind die Varianz Varx = σ2x und der quadratische Mittelwert Ex2

identisch.

6Es wird dabei der Linearitatssatz ausgenutzt: Summe im Integranden ; Summe von Integralen.



6.3.2 Charakteristische Funktion

Die Charakteristische Funktion Ψx(v) der Wahrscheinlichkeits–Dichte p(x) lautet per Definition:

Ψx(v) = Eejvx =

∞∫

−∞

p(x) · ejvxdx (6.27)

Diese Beziehung Gleichung (6.27) entspricht (bis auf das Vorzeichen im Exponenten) der Fourier–Trans-

formation der Wahrscheinlichkeits–Dichte p(x).Die Umkehrfunktion zu Gleichung (6.27) lautet dann (in Anlehnung an die Fourier–Transformation):

p(x) =1

2π

∞∫

−∞

Ψx(v)e−jvxdv (6.28)

Man benutzt diese Beziehungen zur Berechnung von Wahrscheinlichkeits–Dichtefunktionen, wie am Bei-

spiel der Wahrscheinlichkeits–Dichte der Summe von zwei Random Variablen (Zufalls–Variablen) gezeigt

wird.

Es seien x(t) und y(t) zwei von einander (statistisch) unabhangige Zufalls–Variablen mit den Dichte–

Funktionen p(x), p(y). Dann gilt fur die Charakteristische Funktion Ψz(v) der Summe z(t) = x(t) + y(t):

Ψz(v) = Eeiv(x+y)

= E

ejvx · ejvy

(6.29)

Da x(t) und y(t) statistisch unabhangig von einander sein sollen, gilt:

Ψz(v) = Eejvx · ejvy

= E

ejvx

· E

ejvy

= Ψx(v) ·Ψy(v) (6.30)

• Die Charakteristische Funktion der Summe zweier statistisch unabhangigen Random Variablen be-

stimmt sich aus dem Produkt von deren Charakteristischen Fuktionen.

Nun gilt hier genau wie bei der Fourier–Transformation, daß das Produkt im einen Bereich auf die

Faltung im anderen Bereich fuhrt. Also gilt fur die Wahrscheinlichkeits–Dichten:

p(z) = p(x) ∗ p(y) (6.31)

Dieser Zusammenhang fuhrt schließlich bei der Summe von vielen statistisch unabhangigen Zufalls–

Variablen mit Hilfe des Zentralen Grenzwert–Satzes auf eine Gauß–Verteilung fur die Wahrscheinlich-

keits–Dichte der Summe. Bild 6.11 veranschaulicht dieses am Beispiel der Summe von random Sagezahn–

Schwingungen. [4]

Bild 6.11: Die Wahrscheinlichkeits–Dichte–Funktion einer Summe von statistisch unabhangigen random

Sagezahn–Schwingungen nahert sich der Form einer Gauß–Glocke.



6.3.3 Berucksichtigung des zeitlichen Verlaufs der Random–Funktion

Bei der obigen Bildung von Mittelwerten uber Ensembles zu einem festen Zeitpunkt tk ist der zeitliche Ver-

lauf (oder entsprechend der spektrale Verlauf) nicht berucksichtigt. So hat z.B. auch eine zeitlich gedehnte

Random–Funktion die gleichen Mittelwerte x, x2 usw. . Soll der zeitliche Verlauf berucksichtigt werden,

mussen z.B. Mittelwerte von 2 verschiedenen Stellen der Random–Große gebildet werden, Bild 6.9. Bild 6.12

zeigt hierfur zwei Beispiele. [21]

Bild 6.12: Zwei Ensembles mit unterschiedlicher Zeitdehnung

Der (technisch) wichtigste Mittelwert bezieht sich auf das Produkt von zwei Werten.

Ex(t1) · x(t2) = ˜x(t1) · x(t2) = limN→∞

1

N

N∑

i=0

xi(t1)xi(t2) (6.32)

6.3.4 Stationaritat und Ergodizitat

Die Prozesse sind stationar fur den Fall daß

• die Ergebnisse der Mittelwerte nicht vom gewahlten Zeitpunkt ti abhangen

• der Mittelwert des Produktes nur von der Zeitdifferenz τ = t2 − t1 abhangt

Die Prozesse sind ergodisch, falls man den Scharmittelwert (· · ·) bzw. den Erwartungswert E· · · durch den zeitlichen Mittelwert (· · ·) ersetzen kann. In der Praxis trifft dieser Fall (fast) immer zu. Er-

godizitat ist eine Hypothese, die nicht beweisbar ist, jedoch aufgrund physikalischer Eigenschaften der

beteiligten Prozesse (nach erfolgter Plausibilitats–Uberprufung) angenommen werden kann.

Da man haufig uberhaupt nur eine einzige Random–Funktion zur Verfugung hat, z.B. ein empfange-

nes Signal, bleibt in der Praxis meist keine Alternative zur Unterstellung der Ergodizitat. Bild 6.13 zeigt,

wie man sich in einem solchen Fall den Zusammenhang zwischen zeitlichen Mittelwerten und Ensemble–

Mittelwerten vorstellen kann: Man zerteilt die Zeitfunktion in viele Abschnitte, die dann ein Ensemble bil-

den, Bild 6.14. [21]

Damit folgt fur das Produkt

Ex(t1) · x(t2) = ˜x(t1)x(t2) = ˜x(0)x(τ) = ˜x(t)x(t+ τ) = x(t)x(t+ τ)

= limT→∞

1

2T

T∫

−T

x(t)x(t+ τ) dt = Rxx(τ) AKF(6.33)

Dies ergibt die technisch wichtige Autokorrelationsfunktion (AKF), siehe hierzu Abschnitt 6.4.



Bild 6.13: Unterteilung einer Random Funktion in Abschnitte gleicher Lange L

Bild 6.14: Die Abschnitte gleicher Lange L bilden ein Ensemble

Fur die Mittelwerte ergibt sich bei ergodischen Prozessen:

Ex(t)) = lin. Mittelwert : x(t) = x(t) = limT→∞

1

2T

T∫

−T

x(t) dt : Gleichanteil m = X (6.34)

Ex2(t) = quadr. Mittelwert : x2(t) = x2(t) = limT→∞

1

2T

T∫

−T

x2(t) dt : Gesamtleistung P (6.35)

Weitere wichtige Großen sind:

x(t) − x(t) : Wechselanteil (6.36)

Varx = x2(t)− x(t)2

= x2(t)− x(t) 2= P −m2 = σ2 : Wechselleistung = Varianz (6.37)

Hierbei ist

• P die Gesamtleistung, m2 die Gleichleistung und σ2 die Wechselleistung des Signals.

• σ ist die Standardabweichung oder der Effektivwert des Signals.

6.4 Korrelation und Faltung

Mit Hilfe der Korrelation konnen Ahnlichkeiten und Verwandtschaften von Signalen festgestellt werden.

Dies bildet eine der Grundlagen fur den Empfang und die Wiedergewinnung von gestorten und verrauschten

Datensignalen.



Von einem Empfanger fur digitale Signale verlangt man, daß er die digitale Information auch dann noch

zuruckgewinnt, wenn

• die Signale stark verrauscht sind,

• die Signale verformt bzw. verzerrt sind,

• die Signale durch Echos gestort werden,

• die Signale durch Fremdsignale gestort werden.

Eine simple Methode ware z.B. in Bit–Mitte jeweils nachzuschauen, ob eine logische”0“ oder eine

”L“

vorliegt7. Dies ist jedoch vollig ungenugend, da ja genau zu diesem Zeitpunkt eine Storung auftreten konnte,

wodurch dann ein Fehler entstunde. Bei einer digitalen Ubertragung werden nur ganz bestimmte, dem

Empfanger genau bekannte Symbole ubertragen, die dieser”wiedererkennen“ muß. Somit reduziert

sich das Problem auf die Entdeckung bekannter Symbole in einem empfangenen Signal. Entdeckt wer-

den diese Symbole dadurch, daß man das empfangene Signal auf Ahnlichkeiten mit den bekannten Symbol-

formen untersucht.

Das Maß fur diese Ahnlichkeit reicht dabei von

• 0 : absolut unahnlich

bis

• 1 : 100% ahnlich, also praktisch gleich (bis auf einen Amplitudenfaktor).

Will man bei der empfangenen Kurvenform der Symbole von den Storungen unabhangig werden, muß

man auf Mittelwerte statt auf Momentanwerte zuruckgreifen.

Der dabei beschrittene Weg geht uber die — auch physikalisch meßbaren Großen — Energie und Lei-

stung und benutzt eine Mittelung uber eine endliche Zeit. Im praktischen Fall wird (mindestens) uber

die Dauer eines Symbols gemittelt8. Aus dem sich ergebenden Symbol–Mittelwert schließt man in einem

Entscheidungs–Prozess auf das Symbol zuruck.

Zur Bildung der Korrelation verwendet man eine

• verallgemeinerte Energiebeziehung fur Energiesignale

• verallgemeinerte Leistungsbeziehung fur Leistungssignale.

Die Gewinnung dieser verallgemeinerten Beziehungen wird anhand der Energiesignale gezeigt und an-

schließend auf Leistungsignale erweitert.

6.4.1 Korrelation fur Energiesignale

Fur Energiesignale gilt mit Gleichung (5.1)

E =

∞∫

−∞

u2(t)dt <∞; P =1

∞ · E = 0 (6.38)

Es seien f1(t) und g1(t) (auf R = 1Ω bezogene) Energie–Signale. Die Differenz zwischen f1(t) und g1(t)sei:

ξ1(t) = f1(t)− g1(t) (6.39)

Die Energie Eξ1 dieses Differenzsignals ist dann:

7Historisch gesehen begann die digitale Ubertragung tatsachlich in dieser Art — mit entsprechend großen Anforderungen an den

ungestorten Verlauf des Zeitsignals.8Eine Auswertung im Frequenzbereich statt im Zeitbereich greift auch auf Mittelwerte zuruck, da infolge des Fourier–Integrals uber

die Zeit gemittelt wird. Bei einer Mittelung uber t = −∞ bis t = +∞ geht jedoch der gesamte Zeitverlauf verloren. Daher ist eine

Kurzzeit–Mittelung erforderlich, wodurch sich ein zeitabhangiges”Spektrum“ ergibt.



Eξ1 =

∞∫

−∞

ξ21(t)dt =

∞∫

−∞

[f1(t)− g1(t)]2dt

=

∞∫

−∞

f21 (t)dt+

∞∫

−∞

g21(t)dt− 2

∞∫

−∞

f1(t) · g1(t)dt

Eξ1 = Ef1 + Eg1 − 2

∞∫

−∞

f1(t) · g1(t)dt (6.40)

Da zwei ahnliche Signale sich in ihrer Amplitude — und damit in ihrer Energie — unterscheiden durfen,

normiert man die Signale auf ihre jeweilige Energie, um zu der gesuchten Maßzahl fur die Ahnlichkeit zu

kommen.

f(t) = f1(t)/√Ef1 ; g(t) = g1(t)/

√Eg1 (6.41)

6.4.2 Der Korrelations–Koeffizient

Mit den Gleichungen (6.40) und (6.41) folgt die normierte Differenz–Energie:

Eξ = 1 + 1− 2

∞∫

−∞

f(t)g(t)dt = 2− 2fg (6.42)

Die Große fg in Gleichung (6.42) ist der gesuchte Korrelations–Koeffizient, dessen Wert aufgrund der

Normierung zwischen +1 und –1 liegen kann:

fg =

∞∫

−∞

f(t)g(t)dt; −1 ≤ fg ≤ +1 (6.43)

Dabei gilt:9

=1 : maximale Ahnlichkeit ; f(t) = k · g(t)=−1: max. ahnlich, invertiert ; f(t) = −k · g(t)=0 : Signale orthogonal ; f(t) 6= g(t)

(6.44)

Die Orthogonalitat in Gleichung (6.44) bedeutet z.B. bei einem Nachrichtensignal das durch Rauschen

gestort ist, daß beide Signale nichts miteinander zu tun haben (unabhangig von einander sind), also maximal

unahnlich sind und deshalb das Integral zu 0 wird. Dies eroffnet die Moglichkeit, wie man ein digitales

Signal aus einem Rauschen extrahieren kann. Orthogonal sind z.B.10 sin(x) und cos(x) obwohl diese sehr

ahnlich zu einander sind. Daraus sieht man, daß man die Signale unbedingt auch noch gegen einander

zeitlich verschieben muß, damit man eine ja doch wie bei sin und cos vorhandene Ahnlichkeit tatsachlich

auch findet!

6.4.3 Korrelations–Funktionen fur Energiesignale

Zur Uberprufung der Ahnlichkeit zweier Signale f(t) und g(t) werden diese gegeneinander um eine Zeit-

differenz τ verschoben und dann der Korrelationskoeffizient als Funktion der Verschiebungs–Zeit τgebildet. Man gewinnt so die Korrelations–Funktionen.

fg(τ) =

∞∫

−∞

f(t)g(t+ τ)dt : Kreuz–Korrelations–Funktion (KKF) (6.45)

9Da die Signale f(t) und g(t) auf ihre Energie normiert sind, ist hier k = 1.10Dieses Beispiel wird im Abschnitt uber Leistunssignale betrachtet.



Bei der Suche nach einem bekannten Signal f(t) in einem verrauschten Empfangssignal verwendet man

die Auto–Korrelations–Funktion.

ff (τ) =

∞∫

−∞

f(t)f(t+ τ)dt : Auto–Korrelations–Funktion (AKF) (6.46)

6.4.4 Physikalische Interpretation der Korrelation

Die Gleichungen (6.45) und (6.46) konnen direkt in folgendem Blockschaltbild dargestellt werden.

.. dt

x(t), f(t)

y(t), g(t)

Auto

Kreuzτ

Delay Integrator

AKF

KKF

Mittelwert-bildung

Bild 6.15: Blockschaltbild eines Korrelators fur AKF ff (τ) KKF gf (τ)

Wie man aus dem Blockschaltbild erkennt, kann man Signale nur verzogern (delay), nicht jedoch vor-

hersagen. Zur Bildung der KKF fg(τ) muß daher f(t) gegenuber g(t) verzogert werden. Damit gilt mit

t− τ = t

∞∫

−∞

g(t)f(t− τ)dt t−τ=t=⇒

∞∫

−∞

f(t)g(t+ τ)dt = fg(τ) KKF (6.47)

Soll die zeitliche Verschiebung in die andere Richtung gehen (τ < 0), so sind beim Blockschaltbild des

Korrelators die Anschlusse fur f(t) und g(t) zu vertauschen.

6.4.5 Eigenschaften von Korrelation und Faltung

Die Korrelation laßt sich auf eine Faltung zuruckfuhren, wodurch dann die fur die Faltung bekannten Ge-

setzmaßigkeiten anwendbar werden, wie z.B. die vereinfachte Faltung, Kapitel 4.6, welche sich leicht

graphisch auswerten laßt.

Hierfur wird Gleichung (6.45) betrachtet11 und fur die Korrelation als Symbol der Stern ⋆ eingefuhrt, im

Unterscheid zum Symbol ∗ fur die Faltung.

fg(τ) =

∞∫

−∞

f(t)g(t+ τ)dt = f(τ) ⋆ g(τ) (6.48)

Mit der Substitution

t = −ζ; dt = −dζ; t→∞; ζ → −∞ (6.49)

kann die Korrelation auf eine Faltung zuruckgefuhrt werden, und es wird aus Gleichung (6.48)

fg(τ) = −∞∫

−∞

f(−ζ)g(−ζ + τ)d(−ζ) =

∞∫

−∞

f(−ζ)g(τ − ζ)dζ (6.50)

f(τ) ⋆ g(τ) = f(−τ) ∗ g(τ) Korrelation =⇒ Faltung (6.51)

11Bei Leistungs–Signalen gelten entsprechende Beziehungen. Fur die gewahlte Methode der vereinfachten Faltung fallt der Unter-

schied praktisch nicht ins Gewicht.



Auf diese Weise kann die Korrelation mit Hilfe der Faltung berechnet werden, wobei in Gleichung (6.52)

durch Pfeile auf die dabei durchzufuhrenden Anderungen hingewiesen wird.

f(↓τ)

⇓⋆ g(τ) = f(

↓−τ) ⇓∗ g(τ); Korrelation =⇒ Faltung (6.52)

Den Zusammenhang zwischen Korrelation und Faltung zeigt Bild 6.16.[21] Bei der Korrelation wird nicht

umgeklappt (um–gefaltet). Daher muß f(t) zuerst umgeklappt werden f(t) → f(−t), wenn die Korrelation

durch die Faltung ersetzt wird.

Bild 6.16: Zusammenhang zwischen Faltung und Korrellation

6.4.6 Eigenschaften der Korrelation

Die Korrelation hat andere Eigenschaften als die Faltung.

Faltung Korrelation

f ∗ g = g ∗ f : kommutativ f ⋆ g 6= g ⋆ f : nicht kommutativ

(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h) : assoziativ (f ⋆ g) ⋆ h 6= f ⋆ (g ⋆ h) : nicht assoziativ

f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h : distributiv f ⋆ (g + h) = f ⋆ g + f ⋆ h : distributiv

Daß die Kreuz–Korrelationsfunktion KKF nicht kommutativ ist, sieht man wie folgt.

fg(τ) = f(τ) ⋆ g(τ) = f(−τ) ∗ g(τ) = g(τ) ∗ f(−τ) = g(−τ) ⋆ f(−τ) = gf (−τ) (6.53)

Die KKF fg(τ) ist also zeitgespiegelt zur KKF gf (τ).12 Jedoch ist die AKF ff (τ) gerade in τ .

12Dies erkennt man auch direkt aus dem Blockschaltbild des Korrelators, Bild 6.15, aufgrund einer physikalischen Uberlegung.



6.4.7 Beispiele fur Korrelation von Energie–Signalen

Die Bilder 6.17 und 6.18 zeigen die Ausfuhrung der Korrelation uber eine Faltung. Die Zwischenschritte

eignen sich als Ubungsaufgabe.

Bild 6.17: AKF eines Rechteckimpulses ⊓

Das 2. Beispiel, Bild 6.18, zeigt die Korrelation von zwei zueinander orthogonalen Signalen. Die Ortho-

gonalitat zeigt sich fur die Verschiebung τ = 0.

Bild 6.18: Kreuzkorrelation zweier orthogonaler Signale. Die KKF gf (τ) ist zeitgespiegelt zur KKF fg(τ).

Diese beiden Bilder veranschaulichen die Methode, mit der ein (einfacher) Empfanger fur digitale Signale

entscheiden kann, welches der beiden ihm bekannten Sysmbole gesendet wurde. Er korreliert die empfan-

genen Symbole mit allen ihm bekannten Sysmbolen und pruft fur den Verschiebungszeitpunkt τ = 0 ob ein

Maximum vorliegt. In diesem Fall wurde das Symbol als richtig erkannt.

6.5 Korrelation und Spektrale Leistungsdichte

In diesem Kapitel werden Leistungsignale sP (t) = v(t) betrachtet, fur welche gilt, siehe Gl. (5.4):

P = limT→∞

1

2T

T∫

−T

v2 (t) dt < ∞ (6.54)

Wenn auch die Leistung endlich bleibt, geht jedoch die Energie des Signals E → ∞. Damit die zuvor fur

Energiesignale abgeleiteten Beziehungen trotzdem verwendet werden konnen, wird das ∞ lang dauernde

Signal zuerst auf das Intervall −T < t < T begrenzt. Statt des Signals v (t) betrachtet man daher vT (t), fur

welches gilt:

vT (t) = v (t) fur − T ≤ t ≤ T (6.55)



Dieses Signal hat eine Fouriertransformierte vT (t) −−−• VT (ω), wobei |VT (ω)| das Amplitudenspek-

trum ist.

Gleichung (6.54) wird damit zu:

P = limT→∞

1

2T

∞∫

−∞

v2T (t) dt < ∞ (6.56)

Fur die Energie von vT (t) gilt mit dem Parsevalschen Theorem, Gl. (4.53):

∞∫

−∞

v2T (t) dt =

1

2π

∞∫

−∞

|VT (ω)|2 dω (6.57)

Mit Gleichung (6.57) und Gleichung (6.56) erhalt man die Leistung im Frequenzbereich:

P = limT→∞

1

2T

1

2π

∞∫

−∞

|VT (ω)|2 dω

(6.58)

Mit dem Grenzubergang T →∞ geht nun die Energie E →∞, jedoch soll per Definition die Leistung Pendlich bleiben. Aus diesem Grund darf in Gleichung (6.58) die Reihenfolge von lim und

∫getauscht werden

und man erhalt.

P =1

2π

∞∫

−∞

limT→∞

1

2T|VT (ω)|2

︸︷︷︸SV V (ω)

dω =1

2π

∞∫

−∞

SV V (ω) dω (6.59)

Der Integrand SV V (ω) in Gleichung (6.59) ist die Spektrale Leistungsdichte, Gleichung (6.60).

SV V (ω) = limT→∞

1

2T|VT (ω)|2 Spektrale Leistungs–Dichte (6.60)

6.5.1 Eigenschaften der Spektralen Leistungsdichte

Die Spektrale Leistungsdichte hat folgende Eigenschaften:

SV V (ω) ≥ 0 positiv fur alle ωSV V (−ω) = SV V (ω) gerade in ω

Pmittel =1

2π

∞∫

−∞

SV V (ω) dω mittlere Leistung(6.61)

6.5.2 Physikalische Interpretation der Spektralen Leistungsdichte

Hierfur betrachtet man ein ideales Schmalbandsystem13 mit nachgeschaltetem Leistungsmesser, Bild 6.19 .

Die Durchlaßbreite sei schmal, so daß |H (ω)| = 1 fur den Durchlaßbereich angesetzt werden kann. Damit

wird (mit den Bezeichnungen von Gleichung (6.84) ):

SWW (ω) = SV V (ω) fur ωc −∆ω/2 ≤ |ω| ≤ ωc + ∆ω/2 (6.62)

Fur die gemessene Leistung ergibt sich damit:

P ≈ 2SWW (ω) ·∆ω/2π (6.63)

Somit laßt sich nun umgekehrt aus der gemessenen Leistung P und der verwendeten Meßbandbreite ∆ωauf die spektrale Leistungsdichte ruckschließen:

13Per Definition hat ein”ıdeales“ System einen ⊓ formigen Amplitudengang und einen linearen Phasengang.



v(t) w(t)

|H( )|ω

ω

ω

H( )ωS ( )w ω

S ( )w ω

-ωc ωc

ωc

-ωc

-ωc

1

S ( )w cω

∆ω ∆ω

∆ω ∆ωωc :variabel

Bild 6.19: Zur Messung der Spektralen Leistungsdichte

SWW (ω)|ωc≈ P · π

∆ω= P/2∆f (6.64)

6.5.3 Messung der Spektralen Leistungsdichte mit dem Spektrum–Analyser

Den gesamten Verlauf SWW (ω) uber ω erhalt man, wenn die Mittenfrequenz variiert (gewobbelt) wird. Prak-

tisch wird eine derartige Messung mittels eines Spektrum–Analyzers durchgefuhrt, dessen Einstellungen

entsprechend zur Leistungsmessung vorgenommen sind. Moderne Analyser, Bild 6.20, sind in der Lage, u.a.

die Leistung zwischen zwei Frequenz–Markern zu berechnen.

Bild 6.20: Blockschaltbild eines modernen Spektum Analyzers: die”Display Logic“ ist ein PC

6.5.4 Korrelationsfunktion und Spektrale Leistungs–Dichte von Leistungssignalen

Aus Gleichung (6.60) erhalt man mit Gleichung (4.55) (Seite 82):

SV V (ω) = limT→∞

1

2T|VT (ω)|2 = lim

T→∞

1

2TV ∗T (ω) · VT (ω) (6.65)

Mit dem Faltungssatz, Kapitel 4.2, gilt:

V ∗T (ω) · VT (ω) •−−− vT (−τ) ∗ vT (τ) (6.66)

Fur beide Seiten dieser Korrespondenz wird im Limes:

limT→∞

1

2TvT (−τ) ∗ vT (τ) −−−• lim

T→∞

1

2TV ∗T (ω) · VT (ω) = SV V (ω) (6.67)

Mit Gleichung (6.52) kann man von der Faltung ∗ auf die Korrelation ⋆ ubergehen:



limT→∞

1

2TvT (−τ) ∗ vT (τ) = lim

T→∞

1

2TvT (τ) ⋆ vT (τ)

︸︷︷︸Rvv (τ)

= limT→∞

1

2T

∞∫

−∞

vT (t)vT (t+ τ) dt = Rvv (τ) (6.68)

Die Beschneidung von v (t) zu vT (t) wird nun noch in die Integralgrenzen einbezogen, wodurch dann die

endgultige Form der Korrelationsfunktion fur Leistungssignale entsteht.

Rvv (τ) = limT→∞

1

2T

T∫

−T

v (t)v (t+ τ) dt −−−• SV V (ω) (6.69)

Da beide Funktionen v(t) im Integranden gleich sind, heißt Rvv (τ) die Autokorrelationsfunktion (AKF)

fur Leistungssignale und es gilt:

Rvv (τ) −−−• SV V (ω) : Wiener–Khintchine (AKF) (6.70)

Wiener–Khintchine :

(Auto–) Korrelationsfunktion und Spektrale Leistungsdichte bilden ein Fourier–Paar.

SV V (ω) =

∞∫

−∞

Rvv (τ)e−jωτdτ

|•

Rvv (τ) =1

2π

∞∫

−∞

SV V (ω)ejωτdω

Wiener–Khintchine (6.71)

Der Zusammenhang gemaß Wiener–Khintchine gilt entsprechend auch fur Kreuz–Korrelation und

Kreuz–Leistungsdichtespektrum.

Rfg (τ) −−−• SFG (ω) : Wiener–Khintchine (KKF) (6.72)

Damit gelten mit Wiener–Khintchine fur den Zusammenhang zwischen Korrelationsfunktionen und Lei-

stungsdichtespektren samtliche Beziehungen der Fourier-Transformation, einschließlich der Vereinfachten

Faltung.

6.5.5 Eigenschaften der AKF von Leistungssignalen

Die AKF fur Leistungs–Signale hat die Eigenschaften:

Rvv (−τ) = Rvv (τ) : gerade Funktion

Rvv (0) = Pmittel : mittlere Leistung des Signals

|Rvv (τ)| ≤ Rvv (0) : Maximum bei Verschiebung τ = 0(6.73)

6.5.6 Kreuz–Korrelation von Leistungssignalen

Wendet man die Korrelation auf zwei verschiedene Funktionen an, so kommt man zur Kreuzkorrelation.

Mit ihrer Hilfe lassen sich innere Verwandtschaften von Signalen feststellen, wie z.B. die Existenz eines

Nachrichtensignals, welches von einem Rauschen verdeckt wird.

Es seien f (t) und g (t) zwei Leistungssignale. Dann bildet man die Kreuz–Korrelation wie folgt:

Rfg (τ) = limT→∞

1

2T

T∫

−T

f (t) · g (t+ τ) dτ (6.74)



Entsprechend zu Gleichung (6.53) gilt:

Rgf (τ) = Rfg (−τ) (6.75)

Falls f(t) und g(t) zu einander orthogonal sind, gilt fur den Verschiebungszeitpunkt τ = 0:

Rfg (0) = limT→∞

1

2T

T∫

−T

f (t)g (t) dt = 0 (6.76)

Die empfangsseitige Auswahl eines Teilnehmers bei CDMA (code division multiplex access) laßt sich damit

erklaren.

Falls f(t) und g(t) nicht miteinander korreliert sind, gilt fur alle τ :

Rfg (τ) = 0 (6.77)

Dieser Fall tritt z.B. auf, wenn es sich um einerseits um Nachrichtensignale und andererseits um Rauschen

handelt.

6.5.7 Beispiele fur Korrelationen von Leistungs–Signalen

Zunachst soll die AKF einer phasenverschobenen Cos–Schwingung x(t) = A · cos(ω0t+ ϕ) bestimmt werden.

Rxx(τ) = limT→∞

1

2T

T∫

−T

A2 cos(ω0t+ ϕ) · cos(ω0[t+ τ ] + ϕ)dt (6.78)

= limT→∞

1

2T

A2

2

T∫

−T

cos(ω0[2t+ τ ] + 2ϕ)dt+

T∫

−T

cos(ω0τ)dt

=A2

2limT→∞

1

2T2T · cos(ω0τ) =

A2

2cos(ω0τ)

Es wurde ein Additionstheorem verwendet. Das erste Integral verschwindet dabei, weil uber eine ganze

Anzahl von Perioden T = 2π/ω0 integriert wird.

t τ

x(t) R ( )xx τA A²/2

T T

Bild 6.21: AKF der verschobenen Cos–Schwingung

Aus der AKF der verschobenen Cos–Schwingung, Bild 6.21, wird erkennbar, daß kein eindeutiger Ruck-

schluß auf den Verlauf der Zeitfunktion moglich ist, denn die Phasenverschiebung ϕ geht verloren.14

14Bei Zufalls–Signalen ist diese Diskrepanz noch viel ausgepragter.



6.5.8 Korrelationsfunktion von Signal mit Rauschen

Das Empfangs–Signal sei x(t) = u(t)+n(t), bestehe also aus einem Signal u(t) und einer Storung (z.B. weißes

Rauschen) n(t). Damit ergibt sich fur die Autokorrelationsfunktion Rxx(τ) des Empfangs–Signals:

Rxx(τ) = limT→∞

1

2T

T∫

−T

x(t)x(t+ τ) dt = limT→∞

1

2T

T∫

−T

u(t) + n(t)u(t+ τ) + n(t+ τ) dt

= limT→∞

1

2T

T∫

−T

u(t)u(t+ τ) + u(t)n(t+ τ) + n(t)u(t+ τ) + n(t)n(t+ τ) dt (6.79)

Rxx(τ) = Ruu(τ)︸︷︷︸AKF

+Run(τ)︸︷︷︸KKF

+Rnu(τ)︸︷︷︸KKF

+Rnn(τ)︸︷︷︸AKF

(6.80)

Fur den (nomalen) Fall, daß das Signal und die Storung unkorreliert sind, werden die KKF zu Null. Somit

besteht auch die Moglichkeit, gestorte Signale zu rekonstruieren. Ein Beispiel hierzu zeigt Bild 6.22. [21]

Bild 6.22: AKF eines Signals, das von Rauschen uberlagert ist

6.5.9 Ubertragung eines Leistungssignals uber ein LTI System

Wenn ein lineares zeitinvariantes Ubertragungssystem (LTI–System) mit der Impulsantwort h(t) ein Signal

ubertragt, so gilt gemaß Gleichung (4.7) (Seite 64), wenn v(t) die Eingangsfunktion sein soll und w(t) die

Ausgangsfunktion:

w(t) = v(t) ∗ h(t) −−−• W (ω) = V (ω) ·H(ω) (6.81)

Zunachst wird der Zusammenhang zwischen den Korrelationsfunktionen der Eingangs– bzw. Ausgangs-

großen bestimmt.

Fur die Korrelationsfunktionen von v(t), h(t) und w(t) gilt (jeweils auch als Faltung geschrieben):

Rvv(τ) = v(τ) ⋆ v(τ) = v(−τ) ∗ v(τ)Rww(τ) = w(τ) ⋆ w(τ) = w(−τ) ∗ w(τ) (6.82)

Rhh(τ) = h(τ) ⋆ h(τ) = h(−τ) ∗ h(τ)

Die AKF des Ausgangssignals w(t) gewinnt man nun mit Gleichung (6.81). Dabei wird zur Umformung

zunachst die Faltung verwendet, weil bei dieser die kommutativen und assoziativen Gesetze gelten.

Rww(τ) = [v(−τ) ∗ h(−τ)] ∗ [v(τ) ∗ h(τ)]= [v(−τ) ∗ v(τ)] ∗ [h(−τ) ∗ h(τ)]= [v(τ) ⋆ v(τ)]︸︷︷︸

Rvv(τ)

∗ [h(τ) ⋆ h(τ)]︸︷︷︸Rhh(τ)



Rww(τ) = Rvv(τ) ∗ Rhh(τ) AKF des Ausgangs–Signals (6.83)

Mit SWW (ω) fur die spektrale Leistungsdichte am Ausgang des Ubertragungssystems und SV V (ω) an

dessen Eingang wird mit Gleichung (6.81) und mit Gleichung (6.69) (Wiener–Khintchine) folgt hieraus die

bereits bekannte Beziehung:15:

SWW (ω) = SV V (ω) · |H (ω)|2 Spektrale Leistungs–Dichte des Ausgangs–Signals (6.84)

6.5.10 Spektren Digitaler Signale

Hierfur wird das Blockschaltbild 6.23 angenommen, wonach die Datensymbole c(t) nach einer Filterung der

Daten (als δ–Impulse d(t)) durch ein Symbol–Filter mit der Impulsantwort h(t) = s(t) entstehen.

Impuls-Generator

Symbol-Filter: s(t)

Daten δ-ImpulseDaten-

Symbole

t t tDatentakt: T

c(t)d(t)an

Bild 6.23: Modell der Sender–Seite einer binaren Datenubertragung im Basisband

Damit gilt:

c(t) = d(t) ∗ s(t) Symbol–Formung (6.85)

Bildet man die Auto–Korrelations–Funktionen (AKF) dieser (Leistungs–) Signale, so erhalt man:

Rcc(τ) = Rdd(τ) ∗Rss(τ) AKF der Daten–Symbole (6.86)

Die AKF Rcc(τ) der Daten–Symbole ergibt sich damit aus der Faltung der AKF Rdd(τ) der Daten mit der

AKF Rss(τ) des Symbol–Filters bzw. der Symbol–Form.

Nach dem Satz von Wiener–Khintchine ist das Leistungs–Dichte–Spektrum die Fourier–Transformierte

der AKF. Damit wird:

Scc(ω) = Sdd(ω) · Sss(ω) Spektrale Leistungs–Dichte (PSD) der Daten–Symbole (6.87)

Daraus folgt, daß sich das Leistungs–Dichte–Spektrum der Symbole Scc(ω) aus dem Produkt der

Leistungs–Dichte–Spektrum der Daten Sdd(ω) und dem Leistungs–Dichte–Spektrum der Symbol–

Form Sss(ω) ergibt.

6.5.11 Daten mit statistischer Unabhangigkeit

Sind die Daten statistisch von einander unabhangig, so ist deren AKF δ–formig.

Rdd(τ) = δ(τ) (6.88)

Deren Leistungs–Dichte–Spektrum ist daher konstant, Sdd(ω) = 1. Damit ist das Leistungs–Dichte–

Spektrum der Symbole Scc(ω) nur durch das Symbol–Filter festgelegt, wobeiHs(ω) die Ubertragungs-

funktion des Symbol–Filters ist.

15Da bei der Ruckgewinnung des gestorten Signals auf diese Leistungsbeziehung zuruckgegriffen wird, hat sie fur die digitale

Ubertragungstechnik große Bedeutung.



Scc(ω) = Sss(ω) = H∗s (ω) ·Hs(ω) = |Hs(ω)|2 PSD fur Symbole mit statistischer Unabhangigkeit

(6.89)

Fur unverrundete (⊓ formige) Datensymbole ergibt sich (bei statistisher Unabhangigkeit der Daten) so-

mit ein Leistungs–Dichte–Spektrum P (ω), Bild 6.24. (Vergleiche hierzu Bild 2.18, Seite 29)

P (ω) =

sin(ωT/2)

ωT/2

2

(6.90)

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

(Kreis−) Frequenz

Leis

tung

sdic

hte

Spektrum P(ω)

ωN

P(ω)

1

1/2

−ωN

2ω/ωN

⇐⇒

−6 −4 −2 0 2 4 6−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

(Kreis−) Frequenz

Leis

tung

sdic

hte

/ dB

Spektrum P(ω)

ωN −ω

N

P(ω) / dB

2ω/ωN

0 dB

B−3dB

B−35dB

Bild 6.24: Die Spektrale Leistungs–Dichte von rechteckformigen Daten–Symbolen, die statistisch von einan-

der unabhangig sind. (lineare und logarithmische Darstellung)

6.5.12 Weisses Gauß’sches Rauschen

Weißes (gaußverteiltes) Rauschen (WGN: white gaussian noise) hat seine Entstehungsursache in der thermi-

schen Bewegung von Ladungstragern und tritt damit bei allen elektrischen Leitungsvorgangen16 auf. Damit

ist WGN die haufigste Storquelle bei einer Ubertragung.

Thermisches Rauschen ist gleichanteilsfrei. WGN ist daher eine stochastische Funktion mit dem Mit-

telwert Ex(t) = x(t) = 0.

Die Spektrale Leistungsdichte Sxx(ω) von WGN ist konstant fur alle Frequenzen; demzufolge ist die AKF

von WGN eine δ–Funktion, Bild 6.25. Ein WGN ist also schon bei der geringsten Verschiebung τ nicht mehr

mit sich selbst ahnlich.

−−−•

Bild 6.25: AKF und Spektrale Leistungs–Dichte von Weißem Rauschen (WGN)

Fur thermisches Rauschen gilt fur die Spektrale Leistungsdichte:

Sxx(f) = N0/2 = kT/2 = konstant ; k = 1, 38 · 10−23 VAs/Kelvin ; T in Kelvin (6.91)

16Ausnahme sind Supraleiter, bei denen der Widerstand Null ist.



Die theoretische Grenzfrequenz betragt 10 bis 100 GHz (abhangig von der (absoluten) Temperatur T ).17

Praktisch ist z.B. aufgrund der Streu–Induktivitat und der Streu–Kapazitat von Widerstanden nur eine

vergleichsweise kleine Grenzfrequenz realisierbar.

Uber der naturlichen Frequenz und in einseitiger Darstellung aufgetragen gilt:

S(f) = kT W/Hz. (6.92)

Setzt man fur die Temperatur T0 = 290K = 17 0C, so erhalt man:

S0(f) = kT0 = 4 · 10−21W/Hz ; −174dBm/Hz (6.93)

Aufgrund der physikalischen Entstehung von WGN, bei der viele, von einander unabhangige, Ladungs-

trager beteiligt sind, erhalt man nach dem Zentralen Grenzwert–Satz als Amplituden–Wahrscheinlich-

keits–Dichte p(x) des WGN eine Gauß–Verteilung.18

Unter der Annahme, daß WGN bis ω →∞ geht, erhalt man als mittlere Leistung P →∞.

P =1

2π

∞∫

−∞

Sxx(ω)dω = Rxx(0) =N0

2δ(τ)→∞ (6.94)

=1

2π

∞∫

−∞

N0

2dω →∞ (6.95)

Die Varianz wird σ2 →∞, denn mit Gleichung (6.94) wird:

Rxx(τ) = Ex(t)x(t+ τ)Rxx(0) = Ex2(t) = σ2 →∞ (6.96)

Da mit der Varianz σ2 → ∞ auch die Streuung (Effektivwert) σ → ∞ geht, wird fur diesen (theoretischen)

Fall die Gauß–Glockenkurve ∞ flach und breit. Fur die Analyse von Systemen ist jedoch das WGN von

gleicher Bedeutung wie der δ–Impuls im deterministischen Fall.

6.5.13 Bestimmung der Impulsantwort eines Systems mit Hilfe der Korrelation

Die zugehorige Blockstruktur zeigt Bild 6.26. Die Eingangsgroße sei v(t) und die Ausgangsgroße des LTI–

Systems sei w(t). Ein Korrelator bildet damit die KKF Rvw(τ).

Rvw(τ) = v(τ) ⋆ w(τ)

= v(τ) ⋆ [v(τ) ∗ h(τ)] = v(−τ) ∗ [v(τ) ∗ h(τ)]= [v(−τ) ∗ v(τ)] ∗ h(τ) = [v(τ) ⋆ v(τ)]︸︷︷︸

Rvv(τ)

∗h(τ)

Rvw(τ) = Rvv(τ) ∗ h(τ) (6.97)

Man kann damit die Impulsantwort uber eine Korrelation bestimmen. Hierdurch laßt sich in jedem Fall

eine Ubersteuerung des LTI–Systems vermeiden. Fur eine praktische Messung benotigt man eine Eingangs-

große, deren AKF δ–formig ist. Ein weißes Rauschen (WGN White Gaussian Noise) hat eine derartige δ–formige AKF, denn die Spektrale Leistungsdichte des weißen Rauschens ist (per Definiton) fur alle Frequen-

zen konstant. Damit laßt sich die Impulsantwort des LTI–Systems sogar”ım laufenden Betrieb“ messen,

wenn die Betriebssignale ue(t) nicht mit dem Rauschen korreliert sind. In einem solchen Fall ergibt sich:

h(τ) = Rvw(τ) fur Rvv(τ) = δ(τ) Messung der Impuls–Antwort mit GWN und KKF (6.98)

17Zur Abhangigkeit des themischen Rauschens von der Temperatur und der Frequenz siehe:”Einfuhrung in die Signal– und Sy-

stemtheorie“, Kapitel”Nachricht und Storung“.

18Weißes Rauschen muß nicht zwangslaufig gaußverteilt sein. Ein entsprechendes Beispiel ist das Schrot–Rauschen (shot noi-

se), welches z.B. bei aktiven elektronischen Bauelementen auftritt. Die”Aufschlage“ der einzelnen Elektronen konnen als (Poisson–

verteilte) δ–Impulse aufgefaßt werden, die offensichtlich keine normalverteilten Amplituden haben. Die spektrale Leistungsdichte

des Schrot–Rauschens ist jedoch weiß und die AKF besteht aus einer δ–Linie. Entsprechende Rauschgeneratoren werden in der HF–

Meßtechnik verwendet.



v(t)

w(t)

v(t)

ΣLTI System

h(t)

KKFR ( )vw τ

u (t)a

u (t)e

WGN: R ( ) = ( )vv τ δ τ

Bild 6.26: Anordnung zur Messung der Impulsantwort eines LTI–Systems mit Hilfe der Korrelation. Die

Messung kann als”unterlagerter“ Vorgang ablaufen, wenn die Amplitude des WGN Signals genugend klein

gewahlt wird.

6.5.14 Korrelations–Dauer und eff. Bandbreite der Spektralen Leistungsdichte

Die effektive Bandbreite ωg = 2πBeff einer spektralen Leistungsdichte ist definiert als flachengleiches Recht-

eck, Bild 6.27.

Bild 6.27: Effektive Bandbreite der spektralen Leistungsdichte eines Tiefpaß–Signals

ωg = 2πBeff =

∞∫−∞

SV V (ω)dω

2SV V (0)effektive Rausch–Bandbreite (6.99)

Die effektive Bandbreite ist reziprok zur (mittleren) Korrelations–Dauer. Diese ist definiert als:

τc =

∞∫−∞

Rvv(τ)dτ

Rvv(0)mittlere Korrelations–Dauer (6.100)

Mit Hilfe der Gleichungen (6.71) und (6.5.4) folgt daraus der Zusammenhang zwischen effektiver Band-

breite und Korrelations–Dauer:

ωg = 2πBeff =π

τc; τc =

π

ωg=

1

2Beff

(6.101)



Zur Vertiefung des Stoffes werden die folgenden Bucher empfohlen.

Literatur

[1] Kammeyer, K.D.: Nachrichtenubertragung, B.G. Teubner, 3. A. 2004

[2] Kammeyer, K.D.; Kroschel, K.: Digitale Signalverarbeitung; Filterung und Spektralanalyse mit

MATLAB–Ubungen, B.G. Teubner, 5. A. 2002

[3] Kammeyer, K.D.; Kuhn, V.: MATLAB in der Nachrichtentechnik, J. Schlembach Fachverlag, 2001

[4] Ohm, J.R.; Luke, H.D.: Signalubertragung, Grundlagen der digitalen und analogen Nachrichtenuber-

tragungssysteme, Springer, 9. A. 2005

[5] Rudolph, D.: Kapitel 1 — 4 (excl. 4.3) von Bergmann, K.: Lehrbuch der Fernmeldetechnik, Fachverlag

Schiele & Schoen, 5. A. 1986

[6] Sklar, B.: Digital Communications, 2nd ed. Prentice–Hall, 2001

[7] Randall, R.B.; Tech, B.A.: Frequency Analysis, Bruel & Kjaer, 3rd ed. 1987

[8] Bracewell, R. N.: The Fourier Transform and Its Applications, McGraw Hill, 2nd ed. revised 1986

[9] Papoulis, A.: The Fourier Integral and its Applications, McGraw Hill, 1962

[10] Haykin, S. : Analog & Digital Communications, Wiley, 1989

[11] Haykin, S. : Communication Systems, Wiley, 3rd ed. 1994

[12] Haykin, S. : Communication Systems, Wiley, 4rd ed. 2001

[13] Carlson, G.E.: Signal and Linear System Analysis with MATLAB, Wiley, 2nd. ed. 1998

[14] Haykin, S.; van Veen, B.: Signals and Systems, Wiley, 2nd. ed. 2003

[15] Kamen, E.W.; Heck, B.S.: Fundamentals of Signals and Systems using MATLAB, Prentice Hall, 1997

[16] Kraniauskas, P.: Transforms in Signals and Systems, Addison-Wesley, 1992

[17] Poularkis, A. P.; Seely, S.: Signals and Systems, PWS–Kent, 1991

[18] Lathi, B.P.: Modern Digital and Analog Communication Systems, Hault-Saunders 1983

[19] Taub / Schilling: Principles of Communication Systems, McGraw-Hill, 1989

[20] Proakis, J.G.: Digital Communications, McGraw-Hill, 1989

[21] Lee, Y.W.: Statistical Theory of Communication, Wiley, 1960

[22] Peebles, P.Z.: Digital Communication Systems, Prentice-Hall, 1987

[23] Sheingold, D. H.: Analog Devices, Analog–Digital Conversion Handbook, Prentice Hall, 3rd ed. 1986

[24] Shanmugan, K.S., Breipohl, A.M.: Random Signals: Detection, Estimation, and Data Analysis, Wiley,

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[28] Lighthill, K.: Theorie der Fourier–Analysis, Hochschultaschenbucher Bd. 139, Bibliographisches Institut

Mannheim


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