CCCC–1

CCCC Anhang C: Fast Fourier Transform (FFT)Anhang C: Fast Fourier Transform (FFT)Anhang C: Fast Fourier Transform (FFT)Anhang C: Fast Fourier Transform (FFT)

Wann und wie wendet man FFT an?Wann und wie wendet man FFT an?Wann und wie wendet man FFT an?Wann und wie wendet man FFT an?

Das Spektralanalyse-Paket WP02 enthüllt Signaleigenschaf-ten, die im Zeitbereich nicht sichtbar sind. Mit der FFT (FastFourier Transform)-Option kann das Oszilloskop Frequenz-bereichanalysen durchführen. FFT wandelt einen Zeitbe-reichsignalzug in Frequenzbereichspektren ähnlich deneneines Spektralanalysators um, wobei FFT jedoch wichtigeUnterschiede und Vorteile bietet.

Warum FFT anwenden?Warum FFT anwenden?Warum FFT anwenden?Warum FFT anwenden? In eine große Gruppe von Signalen kann durch Betrachtung derSpektralrepräsentation bessere Einsicht gewonnen werden alsdurch Zeitbeschreibung. Signale, wie sie in der Frequenzantwortvon Verstärkern, im Oszillatorphasenrauschen und in der me-chanischen Vibrationsanalyse anzutreffen sind — um nur einpaar Anwendungen zu nennen — sind im Frequenzbereich ein-facher zu betrachten

Wenn die Abtastung mit einer Rate erfolgt, die schnell genug ist,um den ursprünglichen Signalzug getreu zu approximieren (übli-cherweise das Fünfache der höchsten Frequenzkomponente imSignal), dann beschreibt die resultierende diskrete Datenserienur das Analogsignal.

Dies ist besonders nützlich bei der Betrachtung transienter Sig-nale, da konventionelle Datensatznahme-Spektralanalysatoren,im Gegensatz zu FFT, diese Signale nicht analysieren können.

Theorie der FFTTheorie der FFTTheorie der FFTTheorie der FFT In der Spektralanalysetheorie wird angenommen, daß das um-zuwandelnde Signal von unendlicher Dauer ist. Da kein physi-sches Signal diese Bedingung erfüllen kann, nimmt man, umTheorie und Praxis in Einklang zu bringen, an, daß das Signalaus einer unendlichen Serie von Repliken seiner selbst besteht.Diese Repliken werden durch ein Rechteckfenster (Anzeigegit-ter) multipliziert, das außerhalb des Beobachtungsgitters null ist.

Erläuterungen zu FFT-Begriffen: siehe das Glossarauf Seite C–19

FFT-Funktionen anwenden: siehe Seite C–10

FFT-Algorithmen: Seite C–15

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Anhang CAnhang CAnhang CAnhang C

Die Abbildung C–1 zeigt Spektren eines abgetasteten dreiecki-gen Signalzugs. Diskontinuitäten an den Signalzugrändern er-zeugen Verluste, deren Effekt am mittels Rechteckfenster be-rechneten Signalzug A deutlich sichtbar, im Von-Hann-Fenster(Signalzug B) jedoch weniger ausgeprägt ist (Erläuterungen bzgl.Verlust und Fensterart siehe unten). Histogramming (Sig-nalzugC) verdeutlicht die Spanne der ersten Harmonischen.

Abbildung C–1

Zerlegung des Signalzugs in der oben beschriebenen Weise istgleichbedeutend mit Auflösung der Spektralenergie in eine un-endliche Anzahl von Nebenkomponenten, die Vielfachen derFrequenzauflösung ∆f (Abb. C–2) entsprechen. Das Beobach-tungsfenster oder die Erfassungszeit T bestimmen die Fre-quenzauflösung der FFT (∆f=1/T), während die Abtastperiodeund die Aufzeichnungslänge die maximal zu erlangende Fre-quenzspanne definieren (fNyq=∆f*N/2).

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Anwendung von FFTAnwendung von FFTAnwendung von FFTAnwendung von FFT

Abbildung C–2

Eine FFT-Analyse an einem N-Punkte-Zeitbereichsignal ist des-halb mit dem Durchgang des Signals durch ein Kammfilter ver-gleichbar, das aus einer Reihe von N/2-Filtern besteht, die alledieselbe Form und Breite haben und über N/2 diskrete Frequenzenzentriert sind. Jedes Filter sammelt die in die unmittelbare Nachbar-schaft seiner Mittenfrequenz fallende Signalenergie, so daß mansagen kann, daß N/2 "Frequenzkanäle" vorhanden sind. Die Ent-fernung zwischen den Mittenfrequenzen zweier benachbarter Kanäle(in Hz) ist stets: ∆f.

Leistungs(dichte)spektrumLeistungs(dichte)spektrumLeistungs(dichte)spektrumLeistungs(dichte)spektrumDie für die Amplitudendarstellung benutzte Linearskala bewirkthäufig, daß niedrigere Amplitudenkomponenten durch größereKomponenten verdeckt werden. Neben den Funktionen zurAmplituden- und Phasendarstellung bietet die FFT-OptionLeistungsdichte- (Power Dens) und Leistungsspektrumdichte-(Power Spect)-Funktionen, die aus dem in den Abbildungen ge-

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Anhang CAnhang CAnhang CAnhang C

zeigten “FFT result”-Menü wählbar sind. Letztere Funktioneneignen sich noch besser zur Spektren-Charakterisierung.Das Leistungsspektrum (V2) ist das Quadrat des Amplituden-spektrums (0 dB m entspricht der Spannung, die gleichwertig istmit 1 mW in 50 Ω.) Diese Darstellung ist gut geeignet für Sig-nale, die isolierte Spitzen enthalten — z.B. periodische Signale.

Das Leistungsdichtespektrum (V2/Hz) ist das Leistungsspektrum,geteilt durch die äquivalente Bandbreite des Rauschens des ver-wendeten Filters in Hz mit FFT-Berechnung. Es ist bestgeeignetfür die Charakterisierung von Breitbandsignalen wie Rauschen.

Speicher für FFTSpeicher für FFTSpeicher für FFTSpeicher für FFT Das verfügbare Erfassungsspeichervolumen bestimmt denmaximalen Bereich (Nyquist-Frequenz), über den Signalkompo-nenten beobachtbar sind. Betrachten wir das Problem der Fest-legung der Länge des Beobachtungsfensters und der Größe desErfassungspufferspeichers, wenn eine Nyquistrate von 500 MHzund eine Auflösung von 10 kHz erforderlich sind. Um eine Auf-lösung von 10 kHz zu erzielen, wird eine Erfassungszeit benötigtvon mindestens:

T = 1/∆f = 1/10 kHz = 100 µs.

Bei einem Digitaloszilloskop mit einem Speicher von 100 k ist diehöchste analysierbare Frequenz:

∆f × N/2 = 10 kHz × 100 k/2 = 500 MHz.

Bei FFT zu vermeidendeBei FFT zu vermeidendeBei FFT zu vermeidendeBei FFT zu vermeidende Achten Sie auf korrekte Signalerfassung: Ungeeignete Signal-FehlerFehlerFehlerFehler zugpositionierung im Beobachtungsfenster erzeugt ein verzerr-

tes Spektrum. Die meisten Verzerrungen sind auf unzureichen-de Abtastung, Randdiskontinuitäten, auf ungeeignete Fenster-wahl oder auf den “Lattenzauneffekt” zurückzuführen.

Da FFT wie eine Reihe von über Vielfachen der Frequenzauf-lösung zentrierten Bandpaßfiltern wirkt, fallen Komponenten, diekeine exakten Vielfachen jener Frequenz sind, in zwei aufeinan-derfolgende Filter. Dies führt zu einer Dämpfung der eigent-lichen Amplitude dieser Komponenten.

Lattenzauneffekt undLattenzauneffekt undLattenzauneffekt undLattenzauneffekt und Der höchste Punkt im Leistungsspektrum kann um 3,92 dB niedri-AusschnittsverlustAusschnittsverlustAusschnittsverlustAusschnittsverlust ger sein, wenn die Eingangsfrequenz genau in der Mitte zwischen

zwei diskreten Unterteilungsfrequenzen liegt. Die Variation der Höhe

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Anwendung von FFTAnwendung von FFTAnwendung von FFTAnwendung von FFT

im Spektrum wird als "Lattenzauneffekt" bezeichnet. Der dadurchverursachte Verlust wird Ausschnittsverlust ("scallop loss") genannt.LeCroy-Oszilloskope korrigieren den Scallop-Effekt automatischund stellen sicher, daß die Amplitude der Spektren- linien ihrentatsächlichen Werten im Zeitbereich entspricht.

Enthält ein Signal eine Frequenzkomponente, die höher ist alsdie Nyquist-Frequenz, wird das Spektrum unterabgetastet(aliased), was bedeutet, daß die Frequenzen rückgefaltet undverfälscht werden. Es ist oft schwierig, unterabgetastete Fre-quenzen festzustellen, da die verfälschten Signale auf realenHarmonischen reiten können. Ein einfaches Prüfverfahren be-steht darin, die Abtastrate zu ändern und zu überprüfen, ob dieFrequenzverteilung sich ändert.

Verlust (Leakage)Verlust (Leakage)Verlust (Leakage)Verlust (Leakage) Bei FFT wird angenommen, daß das im Zeitgitter enthalteneSignal außerhalb des Beobachtungsfensters endlos wiederholtwird. Enthält deshalb das Signal an seinen Rändern Diskontinui-täten, erscheinen Pseudofrequenzen im Spektralbereich, die dasreale Spektrum verzerren. Differieren Start- und Endphase desSignals, fällt die Signalfrequenz in zwei Frequenzzellen undverbreitert das Spektrum.

Dieser Effekt wird in Abbildung C–1 illustriert. Da das Displaykeine ganzzahlige Anzahl von Perioden enthält, zeigt das inSignalzug B dargestellte Spektrum keine scharfen Frequenz-komponenten. Dazwischenliegende Komponenten haben eineniedrigere und breitere Spitze. Die Verbreiterung der Basis, die inzahlreiche benachbarte Kanäle hineinreicht, wird als Verlustbezeichnet. Diesem kann abgeholfen werden, indem man si-cherstellt, daß eine ganzzahlige Anzahl von Perioden im Anzei-gegitter enthalten ist oder daß keine Diskontinuitäten an denRändern erscheinen. Eine weitere Abhilfemöglichkeit bietet dieBenutzung einer Fensterfunktion zum Glätten der Signalränder.

Wahl des FenstersWahl des FenstersWahl des FenstersWahl des Fensters Die Wahl des Spektralfensters wird von den Signaleigenschaf-ten diktiert. Bewertungsfunktionen steuern die Filterantwortformund beeinflussen sowohl die Bandbreite des Rauschens als auchdie Pegel der Nebenkomponenten. Idealerweise sollte dieHauptkomponente möglichst eng und flach sein, um alle Spek-tralkomponenten wirksam zu unterscheiden, wobei alle Neben-komponenten unendlich gedämpft werden sollten.

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Anhang CAnhang CAnhang CAnhang C

Die aus dem “with window”-Menü gewählte Fensterart definiertdie Bandbreite und die Form des entsprechenden in der FFT-Verarbeitung zu benutzenden Filters.

Ebenso wie bei der Wahl einer speziellen Kameralinse zurRealisierung einer Photographie muß auch bei der Suche nachdem geeignetsten Fenster generell etwas experimentiert wer-den. Die folgenden allgemeinen Richtlinien sollten jedoch hilf-reich sein (siehe Seite C–12 bzgl. der Fensterarten).

Rechteckfenster bieten die höchste Frequenzauflösung und wer-den deshalb normalerweise verwendet, um den Typ der im Sig-nal vorhandenen Harmonischen abzuschätzen. Da das Recht-eckfenster als sinx/x-Funktion im Spektralbereich abfällt, wirdeine leichte Dämpfung bewirkt. Alternative Funktionen mitgeringerer Dämpfung — Flattop- und Blackman-Harris-Fenster— bieten maximale Amplitude zu Lasten der Frequenzauflö-sung. Wobei Hamming- und Von-Hann-Fenster für übliche Ver-wendung mit kontinuierlichen Signalzügen gut geeignet sind.

Dynamikbereich verbessernDynamikbereich verbessernDynamikbereich verbessernDynamikbereich verbessern Enhanced Resolution (siehe Anhang B) nutzt eine Tief-paßfiltertechnik, die potentiell drei zusätzliche Bits (18 dBs) lie-fern kann, wenn das Signalrauschen gleichmäßig verteilt ist(weißes Rauschen). Tiefpaßfilterung sollte in Betracht gezogenwerden, wenn hochfrequente Komponenten irrelevant sind. Einbedeutender Vorteil dieser Technik besteht darin, daß sie sowohlfür periodische als auch für transiente Signale geeignet ist. DerAnstieg des Rauschabstands ist durch die Grenzfre-quenz desERES-Tiefpaßfilters und die Rauschform bedingt(Frequenzverteilung).

LeCroy-Digitaloszilloskope benutzen FIR-Digitalfilter, sodaß einekonstante Phasenverschiebung beibehalten wird. Die Phasenin-formation wird deshalb durch den Filtervorgang nicht verzerrt.

SpektralleistungsmittelungSpektralleistungsmittelungSpektralleistungsmittelungSpektralleistungsmittelung Eine noch bedeutendere Dynamikbereichverbesserung wird anperiodischen Signalen erzielt. Außerdem kann der Be-reichvergrößert werden, ohne Frequenzantwortverluste hinneh-menzu müssen. Der vorliegende LeCroy-Oszilloskop ist mit 32-Bit-Akkumulationspuffern ausgerüstet, um Überläufe zu verhin-dern.

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Anwendung von FFTAnwendung von FFTAnwendung von FFTAnwendung von FFT

Spektralleistungsmittelung ist dienlich, wenn das Signal zeitlichvariiert und die mittlere Leistung des Signals geschätzt werdenmuß. Zu den typischen Anwendungen gehören Rauschen undpseudostatistisches Rauschen. Während bei ZeitmittelungPhaseninformation ignoriert wird, werden bei Spektralmittelungsowohl Amplituden- als auch Phaseninformation aufgezeichnet.Spektralmittelung ist somit die überlegene Schätzfunktion. Unddie Verbesserung ist typischerweise proportional zur Quadrat-wurzel der Anzahl der Mittelungen. Bei der Mittelung von weißemRauschen über 10 Datennahmen im Meßbereich wird z.B. einetypische Verbesserung von 20 dBs erzielt.Spektralleistungsmittelung ist die ideale Technik, wenn die Fre-quenzantwort passiver Netzwerke wie z.B. Filter bestimmt wer-den soll. Die Abbildungen 3 und 4 zeigen die Transferfunktioneneines Tiefpaßfilters mit einer 3 dB-Grenze, 11 MHz erzielt durchErregung des Filters mittels einer Quelle weißen Rauschens(Abb. C–3) und eines Sinussignalerzeugers (Abb. C–4). BeideTechniken ergeben im wesentlichen die gleichen Ergebnisse. DieWahl des Verfahrens wird durch die Verfügbarkeit einergeeigneten Erzeugerquelle bestimmt. Bei Berechnung und An-zeige von Einzelzeitbereichsignalzugspektren sind Leistungs-mittelungen über 50 000 Spektren durchführbar.

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Anhang CAnhang CAnhang CAnhang C

Abbildung C–3

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Anwendung von FFTAnwendung von FFTAnwendung von FFTAnwendung von FFT

Abbildung C–4

FazitFazitFazitFazit Aufgrund ihrer Vielseitigkeit ist die FFT-Analyse zu einem ge-bräuchlichen Analysewerkzeug geworden. Bei ihrer Anwendungmuß man jedoch sorgfältig vorgehen. In den meisten Fällenverändert unkorrektes Positionieren des Signals innerhalb desAnzeigegitters das Spektrum beträchtlich. Effekte wie Leakageund Unterabtastung, die das Spektrum verzerren, müssen be-rücksichtigt werden, wenn die FFT-Analyse zu sinnvollenSchlußfolgerungen führen soll.

Ein wirksamer Weg, diese Effekte zu reduzieren, besteht in derMaximierung der Erfassungsaufzeichnungslänge. Die Aufzeich-nungslänge bedingt direkt die effektive Abtastrate des Oszillo-skops und bestimmt folglich die Frequenzauflösung und Span-ne, bei der Spektralanalyse durchführbar ist.

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Anhang CAnhang CAnhang CAnhang C

FFT-Funktion anwendenFFT-Funktion anwendenFFT-Funktion anwendenFFT-Funktion anwenden

Wählen Sie “FFT” aus dem “Math Type”-Menü (vollständigeBeschreibung der Math- und Signalzugverarbeitungsmenüssiehe Kapitel 10). Die Spektrenanzeige erfolgt auf einer li-nearen Frequenzachse, die von der Frequenz 0 bis zur Ny-quist-Frequenz am rechten Rand des Signalzugs reicht. DieFrequenzskalenwerte (Hz/Teilung) haben die Folge 1–2–5.Die Verarbeitungsgleichung wird zusammen mit den drei dasFFT-Spektrum charakterisierenden Parametern am unterenBildschirmrand angezeigt. Die Parameter sind folgende:

1. Transformationsgröße N (Anzahl der Datenpunkte)

2. Nyquist-Frequenz (= ½ Abtastrate) und

3. Frequenzinkrement, ∆f, zwischen zwei aufeinanderfolgen-den Punkten des Spektrums.

Für diese Parameter gilt folgende Beziehung:

Nyquist-Frequenz = ∆f ∗ N/2.

Wobei ∆f = 1/T gilt und T die Dauer der Eingangssignalzugauf-zeichnung ist (10 ∗ Zeit/Teilung). Die Anzahl der Ausgangs-punkte entspricht N/2.

Hinweis zur maximalen Punktzahl:Hinweis zur maximalen Punktzahl:Hinweis zur maximalen Punktzahl:Hinweis zur maximalen Punktzahl: FFT-Spektrenwerden über dem gesamten Quellzeitbereichssignalzugberechnet. Dadurch wird die Anzahl der zur FFT-Verar-beitung benutzten Punkte begrenzt. Enthält der Ein-gangssignalzug mehr Punkte als das (in “for Math usemax points”) gewählte Maximum, wird die Punkteanzahlvor der FFT-Verarbeitung reduziert. Enthält der Signal-zug jedoch weniger Punkte, werden alle verarbeitet.

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Anwendung von FFTAnwendung von FFTAnwendung von FFTAnwendung von FFT

Das “FFT result”-Menü bietet folgende Wahlmöglichkeiten:

PhasePhasePhasePhase

Gemessen, bezogen auf einen Kosinus, dessen Maximum amlinken Bildschirmrand liegt und an diesem Punkt 0 ° beträgt. Einpositiver Sinus, der am linken Bildschirmrand beginnt, hat einePhase von –90 ° (Anzeige in Grad).

Power DensityPower DensityPower DensityPower Density (Leistungsdichte)(Leistungsdichte)(Leistungsdichte)(Leistungsdichte)

Die auf die Bandbreite normierte Signalleistung des äquivalentenFilters, das mit der FFT-Berechnung verbunden ist. Die Leistungs-dichte eignet sich zur Charakterisierung von Breitbandrauschen. (Siewird auf einer in dBm kalibrierten logarithmischen vertika- lenSkala angezeigt.)

Power Spectrum (Leistungsspektrum)Power Spectrum (Leistungsspektrum)Power Spectrum (Leistungsspektrum)Power Spectrum (Leistungsspektrum)

Die Signalleistung (oder Amplitude), die auf einer logarithmischenvertikalen Skala dargestellt wird. Null dBm entspricht einer Span-nung (Sinus 0,316 V Spitze), die 1mW in 50 Ω äquivalent ist. DasLeistungsspektrum ist geeignet zur Charakterisierung von Spektren,die einzelne Spitzen enthalten. (dBm.)

Magnitude (Amplitude)Magnitude (Amplitude)Magnitude (Amplitude)Magnitude (Amplitude)

Die Signalamplitude, dargestellt auf einer linearen Skala (gleicheEinheit wie das Eingangssignal).

Real, Real + Imaginary, ImaginaryReal, Real + Imaginary, ImaginaryReal, Real + Imaginary, ImaginaryReal, Real + Imaginary, Imaginary

Stellen das komplexe Ergebnis der FFT- Verarbeitung dar (gleicheEinheiten wie das Eingangssignal).

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Anhang CAnhang CAnhang CAnhang C

WindowsWindowsWindowsWindows Die mittels des “with window”-Menüs wählbare Fensterart definiertdie Bandbreite und Form des in der FFT-Verarbeitung zu benutzen-den Filters (Parameter des Filters siehe Tabelle auf Seite C–19).Wird “AC” aus demselben Menü gewählt, wird die DC-Kompo-nente des Eingangssignals vor der FFT-Verarbeitung auf Nullgesetzt. Dies verbessert die Amplitudenauflösung, insbesonderewenn das Eingangssignal eine breite DC-Komponente hat.

Fensterart Anwendungen und Grenzen

Rechteckfenster

Normalerweise angewendet, wenn das Signal transient ist — und imZeitbereichsfenster vollständig enthalten ist — oder bekannter-maßen eine Grundfrequenzkomponente hat, die ein ganzzahligesVielfaches der Grundfrequenz des Fensters ist. Signale, die nicht zudieser Klasse gehören, zeigen unterschiedliche Ausschnitts- undspektrale Verluste, die durch Verwendung eines der anderenFenster korrigiert werden können.

Hanning (Von Hann) Reduziert den spektralen Verlust und verbessert die Amplituden-genauigkeit. Die Frequenzauflösung wird allerdings vermindert.

Hamming Reduziert den spektralen Verlust und verbessert die Amplituden-genauigkeit. Die Frequenzauflösung wird allerdings vermindert.

Flat Top Liefert eine hervorragende Amplitudengenauigkeit mit mäßigerspektraler Verlustreduzierung auf Kosten der Frequenzauflösung.

Blackman–Harris Reduziert den spektralen Verlust auf ein Minimum, jedoch mitAbstrichen bei der Frequenzauflösung.

FFT Power AverageFFT Power AverageFFT Power AverageFFT Power Average Eine Funktion kann als dieLeistungsmittelung der durch eine andereFunktion berechneten FFT-Spektrendefiniert werden. Wählen Sie “FFTAVG”aus dem “Math Type”-Menü und“Power Spect” aus dem “FFT Result”-Menü.

Anwendung von FFTAnwendung von FFTAnwendung von FFTAnwendung von FFT

Verarbeit.-FunktionenVerarbeit.-FunktionenVerarbeit.-FunktionenVerarbeit.-Funktionen Andere Signalzugverarbeitungsfunktionen wie z.B. Mittelung undArithmetik können auf Signalzüge vor einer FFT-Verarbeitungangewendet werden. Steht ein stabiler Trigger zur Verfügung, sokann eine Zeitbereichsmittelung vor der FFT durchgeführt werden.Dadurch wird weißes Rauschen im Signal reduziert.

Memory StatusMemory StatusMemory StatusMemory Status Wird FFT angewendet, zeigt das Feld unter dem Gitter Parame-ter des Signalzugdeskriptors an (Anzahl der Punkte, horizontale

Cursorverwend. bei Cursorverwend. bei Cursorverwend. bei Cursorverwend. bei s kann Randbereich

Hinweise:Hinweise:Hinweise:Hinweise:

Zur Vergrößerung des FFT-Frequenzbereichs (Nyquist-Frequenz) muß die effektive Abtastfrequenz durch Er-höhung der maximalen Anzahl der Punkte oder durchVerwendung einer kleineren Zeitbasis erhöht werden.

Zur Erhöhung der FFT-Frequenzauflösung muß dieLänge des Signalzugdatensatzes im Zeitbereich mittelsVerwendung einer größeren Zeitbasis erhöht werden.

und vertikale Skalierungsfaktoren und Einheiten etc.).

FFTFFTFFTFFT Zur Ablesung der Amplitude und Frequenz eines Datenpunkteder absolute Zeitcursor durch Bewegen über den rechteneines Datensatzes im Zeitbereich hinaus in den Frequenz

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gefahren werden.Die relativen Zeitcursor können ebenso in den Frequenzbereichbewegt werden, um den Frequenzunterschied und den Amplituden-unterschied zwischen zwei Punkten auf jedem Signalzug im Fre-quenzbereich anzuzeigen.Der absolute Spannungscursor liest den absoluten Meßwert einesPunktes in einem Spektrum in den gegebenen Einheiten ab, und dierelativen Spannungscursor liefern die Differenz zwischen zweiWerten auf jedem Signalzug.

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Anhang CAnhang CAnhang CAnhang C

FehlermeldungenFehlermeldungenFehlermeldungenFehlermeldungen Nachfolgend eine Tabelle mit FFT in Zusammenhang stehenderFehlermeldungen, die am oberen Bildschirmrand erscheinen.

FehlermeldungenFehlermeldungenFehlermeldungenFehlermeldungenMeldung Bedeutung

“Incompatible input record type” Die FFT-Leistungsmittelung benötigt als Quellsignal einenDatensatz auf den die FFT bereits angewendet worden ist.

“Horizontal units don't match” Die FFT eines Signals im Frequenzbereich ist nicht durch-führbar.

“FFT source data zero filled” Treten im Quellsignal ungültige Datenpunkte auf (amAnfang oder Ende eines Datensatzes), werden sie durchNullen vor der FFT- Verarbeitung ersetzt.

“FFT source data over/underflow” Die Amplitude des Quellsignals ist entweder bei derErfassung (zu hohe Verstärkung oder ungeeigneter Offset)oder bei der voraus-gehenden Verarbeitung abgeschnittenworden. Die sich ergebende schnelle Fouriertransformierteenthält harmonische Komponenten, die im ursprünglichenSignal nicht vorhanden waren. Die die Erfassung oderVerarbeitung definierenden Einstellungen sollten geändertwerden, um die ein Über- oder Unterschreiten desMeßbereichs verursachenden Bedingungen zu beseitigen.

“Circular computation” Die Definition einer Funktion führt zum Zirkelschluß (d.h.Funktions-wert und Variable sind indirekt über eine andereFunktion oder Dehnung identisch). Eine der Definitionensollte geändert werden.

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FFT-AlgorithmenFFT-AlgorithmenFFT-AlgorithmenFFT-Algorithmen

FFT-AlgorithmenFFT-AlgorithmenFFT-AlgorithmenFFT-Algorithmen

Eine Zusammenfassung der Algorithmen, die das Oszillo-skop bei der FFT-Berechnung verwendet, wird nachfolgendin Form von sieben Schritten gegeben:1. Ist die maximale Anzahl der Punkte kleiner als die Anzahl der

Ausgangspunkte, werden die zugrundeliegenden Signaldatenvor Ausführung der FFT dezimiert. Die dezimierten Daten-punkte decken die gesamte Länge des Ausgangssignals ab.Das daraus resultierende Abtastintervall und die tatsächlicheTransformationsgröße, die ausgewählt wurde, liefern dieFrequenzskalierungsfaktoren in der Ziffernfolge 1, 2, 5.

2. Die Daten werden mit der gewählten Fensterfunktion multipli-ziert.

3. Die FFT wird mit Hilfe einer schnellen Durchführung der DFT(Diskrete Fourier Transformation) berechnet:

XN

x Wn knk

k

k N

= ×=

= −

∑1

0

1

,

wobei: xk ein komplexer Ausdruck ist, dessen Realteil das modi-fizierte Ausgangssignal im Zeitbereich ist und dessenImaginärteil Null ist; Xn der sich ergebende komplexe Signalzugim Frequenzbereich ist; W e j N= −2π / und N die Anzahl derPunkte in xk und Xn ist.

Der verallgemeinerte FFT-Algorithmus, der hier durchgeführtwird, wird auf N-Punkte angewendet, die nicht eine duale Basishaben müssen.

4. Der sich ergebende komplexe Vektor Xn wird durch diekohärente Verstärkung der Fensterfunktionen dividiert, um dendurch die Anwendung der Fensterfunktion verursachten Verlustder Signalenergie zu kompensieren. Die Kompen-sation liefertgenaue Amplitudenwerte für einzelne spektrale Spitzen.

5. Der Realteil von Xn ist symmetrisch bezüglich der Nyquist-Frequenz, d.h.:

Rn = RN-n ,

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Anhang CAnhang CAnhang CAnhang C

während der Imaginärteil asymmetrisch ist, d.h.:

In = –IN-n .

Die Energie des Signals bei einer Frequenz n ist gleichmäßigzwischen der ersten und zweiten Hälfte des Spektrums aufgeteilt;die Energie bei einer Frequenz von Null ist komplett im Null-Termenthalten.

Die erste Hälfte des Spektrums (Re, Im) von 0 bis zur Nyquist-Frequenz wird zur weiteren Verarbeitung verwendet und dieAmplitude verdoppelt:

R'n = 2 ´ Rn 0 £ n < N/2

I'n = 2 ´ In 0 £ n < N/2.

6. Der Signalzug wird entsprechend der gewählten Ausgabe-formdes Spektrums berechnet.

Bei auswahl von “Real”, “Imaginary” oder “Real + Imaginary”sind keine weiteren Berechnungen erforderlich. Der entspre-chende Teil des komplexen Ergebnisses wird als Ausgabe-größe angegeben (R'n oder I'n oder R'n + jI'n, wie oben definiert).

Bei Auswahl der Amplitude ("Magnitude") wird die Amplitude deskomplexen Vektors wie folgt berechnet:

M R In n n= +' '2 2 .

Die Schritte 1 bis 6 führen zu folgendem Ergebnis:

Eine AC-Sinuskurve mit einer Amplitude von 1,0 V und einer ganz-zahligen Anzahl von Perioden Np im Zeitfenster, transformiert mitdem Rechteckfenster, ergibt eine Hauptspitze von 1,0 V Amplitudeim Spektrum bei der Frequenz Np × ∆f. Eine DC-Komponente von1,0 V jedoch, transformiert mit dem Rechteckfenster, ergibt eineSpitze von 2,0 V Amplitude bei 0 Hz.

Die Kurven für die anderen zur Verfügung stehenden spektralenGrößen werden wir folgt berechnet:

Phase: Winkel = arctan (In/Rn) Mn > Mmin

Winkel = 0 Mn ≤ Mmin .

CCCC–17

FFT-AlgorithmenFFT-AlgorithmenFFT-AlgorithmenFFT-Algorithmen

Wobei Mmin die kleinste Amplitude ist, die bei ungefähr 0,001 desMeßbereichs bei jeder beliebigen Verstärkungseinstellung fest-gelegt ist, unterhalb der der Winkel nicht exakt definiert ist.

dBm-Leistungsspektrum:

dBm PSMM

MM

n

ref

n

ref= ×

= ×

10 2010

2

2 10log log

wobei Mref = 0,316 V (d.h. 0 dBm wird definiert als eine Sinuskurvemit einer Spitze von 0,316 V oder 0,224 V RMS, entsprechend 1mWin 50 Ω).

Das "dBm Power Spectrum" ist das gleiche wie "dBm Magnitude",wie aus der o.g. Formel hervorgeht.

dBm-Leistungsdichte:

( )dBm PD dBm PS ENBW f= − × ×10 10log ∆

wobei ENBW die äquivalente Rauschbandbreite des dem ausge-wählten Fenster entsprechenden Filters und ∆ f die gegenwärtigeFrequenzauflösung ist (Kanalbreite).

7. Die FFT-Leistungsmittelung verwendet für jedes Spektrum diekomplexen Daten des Frequenzbereichs R'n und I'n, die inSchritt 5 erzeugt wurden, berechnet das Quadrat der Ampli-tude:

Mn2 = R'n2 + I'n2,

summiert Mn2 auf und zählt die akkumulierten Spektren. Das Er-

gebnis wird normiert auf die Anzahl der Spektren und in dengewählten Ergebnistyp unter Verwendung der gleichen Formelwie für die Fouriertransformation umgeformt.

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FFT-GlossarFFT-GlossarFFT-GlossarFFT-Glossar

GlossarGlossarGlossarGlossar

Dieses Glossar definiert im Zusammenhang mit derFFT-Spektralanalyse häufig verwendete Termini.

AliasingAliasingAliasingAliasing Enthält das Eingangssignal eines btastungserfassungssystems(Unterabtastung)(Unterabtastung)(Unterabtastung)(Unterabtastung) Komponenten, deren Frequenz höher ist als die Nyquist-Frequenz

(Hälfte der Abtastfrequenz), werden weniger als zwei Abtastungenpro Signalperiode vorgenommen. Dies hat zur Folge, daß derBeitrag dieser Komponenten zum abgetasteten Signalzug nicht vondem der Komponenten unterhalb der Nyquist-Frequenz unter-schieden werden kann. Diesen Vorgang nennt man Unterabtastung.Die Zeitbasis und Transformationsgröße sind so zu wählen, daß diesich daraus ergebende Nyquist-Frequenz höher ist, als die höchstebedeutsame Komponente im Datensatz des Zeitbereichs.

Coherent GainCoherent GainCoherent GainCoherent Gain Die normierte kohärente Verstärkung eines jeder Fensterfunk-(kohär. Verstärkung)(kohär. Verstärkung)(kohär. Verstärkung)(kohär. Verstärkung) tion entsprechenden Filters ist 1,0 (0 dB) für ein Rechteckfenster

und weniger als 1,0 für die anderen Fenster. Sie definiert den durchdie Multiplikation mit der Fensterfunktion verursachten Signalener-gieverlust. Im Oszilloskop wird dieser Verlust kompensiert. Die Ta-belle unten führt die Werte für die vorhandenen Fensterfunktionenauf.

Fensterparameter im FrequenzbereichFensterparameter im FrequenzbereichFensterparameter im FrequenzbereichFensterparameter im Frequenzbereich

FensterartGrößste Neben-

komponente(dB)

Ausschnitts-verlust

(dB)

ENBW(Kanäle)

KohärenteVerstärkung

(dB)

Rechteck –13 3.92 1.0 0.0

von Hann –32 1.42 1.5 – 6.02

Hamming –43 1.78 1.37 –5.35

Flat-Top –44 0.01 2.96 –11.05

Blackman–Harris –67 1.13 1.71 –7.53

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Anhang CAnhang CAnhang CAnhang C

ENBW ENBW ENBW ENBW Für ein jedem Frequenzkanal zugeordnetes Filter ist die ENBW(Equivalent Noise BandWidth) die Bandbreite eines äquivalentenRechteckfilters (mit gleicher Verstärkung bei der Schwerpunktfre-quenz), das die gleiche Leistung von einem Signal mit weißemRauschen aufnimmt. In der folgenden Tabelle wird die äquivalenteBandbreite des Rauschens für jede vorhandene Fensterfunktionaufgeführt und in Frequenzkanälen angegeben.

FilterFilterFilterFilter Die Berechnung einer N-Punkte umfassenden FFT ist gleichbedeu-tend mit dem Durchgang eines Eingangssignals im Zeitbereichdurch N/2 Filter und dem Auftragen der Ergebnisse in Abhängigkeitder Frequenz. Der Abstand der Filter beträgt ∆f = 1/T, während dieBandbreite von der verwendeten Fensterfunktion abhängt (sieheFrequenzkanäle).

FrequenzkanäleFrequenzkanäleFrequenzkanäleFrequenzkanäle Der FFT-Algorithmus wird auf ein über N Punkte definiertes dis-kretes Eingangssignal angewendet und berechnet N komplexeFourierkoeffizienten, die als harmonische Komponenten des Ein-gangssignals interpretiert werden.Bei einem realen Eingangssignal (Imaginärteil gleich 0) gibt es nurN/2 unabhängige harmonische Komponenten.Die FFT entspricht der Analyse des Eingangssignals mit Hilfe einerReihe von N/2 Filtern, die alle dieselbe Form und Breite haben undüber N/2 diskrete Frequenzen zentriert sind. Jedes Filter sammeltdie in die unmittelbare Nachbarschaft seiner Mittenfrequenz fallendeSignalenergie, so daß man sagen kann, daß N/2 "Frequenzkanäle"vorhanden sind.Die Entfernung zwischen den Mittenfrequenzen zweier benachbar-ter Kanäle (in Hz) ist stets:

∆f = 1/T,wobei T die Dauer des Datensatzes im Zeitbereich in Sekunden ist.Die Durchlaßbreite für die Hauptkomponente der Fouriertrans-formierten des über jeden Frequenzkanal zentrierten Filters hängtvon der verwendeten Fensterfunktion ab. Beim Rechteckfensterbeträgt die nominelle Breite 1,0; das entspricht genau einemFrequenzkanal. Andere Fenster haben andere Durchlaßcharak-teristika (siehe Tabelle).

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FFT-GlossarFFT-GlossarFFT-GlossarFFT-Glossar

FrequenzbereichFrequenzbereichFrequenzbereichFrequenzbereich Der berechnete und angezeigte Frequenzbereich reicht von 0 Hz amlinken Bildschirmrand bis zur Nyquistfrequenz am rechten Rand derKurve.

FrequenzauflösungFrequenzauflösungFrequenzauflösungFrequenzauflösung Verallgemeinert betrachtet ist die Frequenzauflösung gleich derKanalbreite ∆f, d.h., falls sich die Frequenz des Eingangssignals um∆f ändert, wird die zugehörige Spektrumspitze um ∆f verschoben.Bei kleineren Frequenzänderungen ändert sich lediglich die Formder Spitze.Die effektive Frequenzauflösung (d.h. die Fähigkeit, zwei Signale mitnahe beieinanderliegenden Frequenzen aufzulösen) wird jedochdurch die Verwendung der Fensterfunktionen weiter begrenzt. Dieäquivalente Bandbreite des Rauschens (ENBW) aller Fenster, mitAusnahme des Rechteckfensters, ist größer als ∆f, d.h. größer alsdie des Kanals. In der Tabelle auf Seite C–17 die äquivalentenBandbreiten des Rauschens (ENBW) für die zur Verfügungstehenden Fenster aufgeführt.

Leakage (Verlust)Leakage (Verlust)Leakage (Verlust)Leakage (Verlust) Im Leistungsspektrum einer Sinuskurve mit einer ganzen Anzahl vonPerioden im (Rechteck)-Zeitfenster (d.h. die Ausgangsfrequenz istgleich einer der Kanalfrequenzen) enthält das Spektrum eine scharfeKomponente, deren Wert genau der Amplitude des Quellsignalzugsentspricht. Bei dazwischenliegenden Eingangsfre-quenzen hat diesespektrale Komponente eine niedrigere und verbreiterte Spitze.Die Verbreiterung der Basis der Füllhöhen, die in zahlreiche be-nachbarte Kanäle hineinreicht, wird als Verlust ("leakage") bezeich-net. Er ist zurückzuführen auf relativ hohe Nebenkomponenten desFilters, das jedem Frequenzkanal zugeordnet ist.Die Nebenkomponenten des Filters und der entsprechende Verlustkönnen durch Anwendung einer der zur Verfügung stehendenFensterfunktionen reduziert werden. Die größtmögliche Reduzie-rung wird mit dem Blackman-Harris- und dem Flat-Top-Fenstererreicht. Diese Reduzierung wird jedoch durch eine Verbreiterungder Hauptkomponente des Filters (d.h. verminderte Frequenz-auflösung) erkauft.

Number of PointsNumber of PointsNumber of PointsNumber of Points Die FFT wird über eine Anzahl von Punkten ("Transform Size")berechnet, deren obere Grenze durch die Anzahl der Ausgangs-punkte und die im Menü ausgewählte maximale Anzahl der Punkte("maximum number of points") bestimmt wird. Die FFT erzeugtSpektren mit N/2 berechneten Werten.

CCCC–22

Anhang CAnhang CAnhang CAnhang C

Nyquist-FrequenzNyquist-FrequenzNyquist-FrequenzNyquist-Frequenz Die Nyquist–Frequenz ist die effektive Abtastfrequenz geteilt durch 2(nach der Dezimierung), d.h ∆f × N/2.

Picket Fence EffectPicket Fence EffectPicket Fence EffectPicket Fence Effect Verfügt ein sinusförmiges Signal über eine ganze Anzahl von(Lattenzauneffekt)(Lattenzauneffekt)(Lattenzauneffekt)(Lattenzauneffekt) Perioden innerhalb des Datensatzes im Zeitbereich, hat das sich

unter Verwendung eines Rechteckfensters ergebende Leistungs-spektrum eine scharfe Spitze, die genau der Frequenz undAmplitude des sinusförmigen Signals entspricht. Andernfalls ist diesich unter Verwendung eines Rechteckfensters ergebende Spek-trumspitze niedriger und breiter.Der höchste Punkt im Leistungsspektrum kann um 3,92 dB (1,57mal) niedriger sein, wenn die Eingangsfrequenz genau in der Mittezwischen zwei diskreten Unterteilungsfrequenzen liegt. Die Variationder Höhe im Spektrum wird als "Lattenzauneffekt" bezeichnet. Derdadurch verursachte Verlust wird Ausschnittsverlust ("scallop loss")genannt.Dieser Verlust wird durch alle Fensterfunktionen zu einem gewissenGrade ausgeglichen; die beste Korrektur wird mit dem Flat-Top-Fenster erreicht.

Power SpectrumPower SpectrumPower SpectrumPower Spectrum Das Leistungsspektrum (V2) ist das Quadrat des Amplituden-spektrums.Das Leistungsspektrum wird auf der dBm-Skala angezeigt, wobei für0 dBm die Gleichung:

Vref2 = (0.316 Vpeak)2

gilt, wobei Vref der Spitzenwert einer Sinusspannung ist, diegleichwertig ist mit 1 mW in 50 Ω.

Power Dens. SpectrumPower Dens. SpectrumPower Dens. SpectrumPower Dens. Spectrum Das Leistungsdichtespektrum (V2/Hz) ist das Leistungsspektrumgeteilt durch die äquivalente Bandbreite des Rauschens des ver-wendeten Filters in Hz. Das Leistungsdichtespektrum wird auf derdBm-Skala angezeigt, wobei 0 dBm (Vref

2 /Hz) entspricht.

Sampling FrequencySampling FrequencySampling FrequencySampling Frequency Die Datensätze im Zeitbereich werden mit Abtastfrequenzen er-(Abtastfrequenz)(Abtastfrequenz)(Abtastfrequenz)(Abtastfrequenz) faßt, die von der gewählten Zeitbasis abhängig sind. Vor

Berechnung der FFT können die Datensätze im Zeitbereichdezimiert werden. Unterschreitet die gewählte maximale Anzahl derPunkte die Anzahl der zugrundeliegenden Punkte, wird die effektiveAbtastfrequenz reduziert. Die effektive Abtastfrequenz ist gleich demDoppelten der Nyquist- Frequenz.

CCCC–23

FFT-GlossarFFT-GlossarFFT-GlossarFFT-Glossar

Scallop LossScallop LossScallop LossScallop Loss Dabei handelt es sich um einen mit dem Lattenzauneffekt zu-sammenhängenden Verlust.

Window FunctionsWindow FunctionsWindow FunctionsWindow Functions Alle zur Verfügung stehenden Fensterfunktionen gehören zur(Fensterfunktionen)(Fensterfunktionen)(Fensterfunktionen)(Fensterfunktionen) Familie der Kosinussummen mit einem bis drei Kosinustermen

ungleich Null:

W a kN

m k Nk mm

m M

=

≤ <

=

= −

∑0

1 2 0cos p

Hierbei sind: M = 3 die maximale Anzahl der Terme, am dieKoeffizienten der Terme, N die Anzahl der Punkte des dezimiertenAusgangssignals und k der Zeitindex.

In der folgenden Tabelle werden die Koeffizienten am aufge-führt.Die im Zeitbereich dargestellten Fensterfunktionen sind sym-metrisch zum Punkt k = N/2.

Koeffizienten der FensterfunktionenKoeffizienten der FensterfunktionenKoeffizienten der FensterfunktionenKoeffizienten der Fensterfunktionen

Fensterart a0 a1 a2

Rechteck 1.0 0.0 0.0

von Hann 0.5 –0.5 0.0

Hamming 0.54 –0.46 0.0

Flat-Top 0.281 –0.521 0.198

Blackman-Harris 0.423 –0.497 0.079

CCCC–24

Anhang CAnhang CAnhang CAnhang C

LiteraturhinweiseLiteraturhinweiseLiteraturhinweiseLiteraturhinweise Bergland, G.D., A Guided Tour of the Fast Fourier Transform,IEEE Spectrum, Juli 1969, S. 41–52.Eine allgemeine Einführung in Theorie und Anwendung derschnellen Fourier-Transformation.

Brigham, E.O., The Fast Fourier Transform, Prentice Hall, Inc.,Englewood Cliffs, N.J., 1974.Theorie, Anwendungen und Implementierung der schnellen Fourier-Transformation. Beinhaltet eine Besprechung von FFT-Algorithmenin Fällen, in denen N keine Zweierpotenz ist.

Harris, F.J., On the Use of Windows for Harmonic Analysis withthe Discrete Fourier Transform, Proceedings of the IEEE, Band66, Nr. 1, Januar 1978, S. 51–83.Klassische Abhandlung über Fensterfunktionen und ihre Güteziffernmit vielen Fenster-Beispielen.

Ramirez, R.W., The FFT Fundamentals and Concepts, PrenticeHall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1985.Praxisorientiert, viele Anwendungsbeispiele.