DIE HÜLLKURVE

• Beispiel aus dem Alltag:• Beim Transportieren von Möbeln muss man zunächst

überprüfen, ob sich die Einrichtungsgegenstände auch um die Ecke bewegen lassen.

Berechnung einer Hüllkurveam Beispiel der Kurvenschar ga(x) = 1/a ∙ e – ½ x² + ax

I. Ordinatenbestimmung

• Zur Ordinatenbestimmung stellen wir uns an eine Stelle x der x-Achse

• An dieser Stelle betrachten wir alle Punkte Pa der Scharkurve, die direkt über oder unter uns liegen.

Pa (x ; 1/a · e – ½ x² + ax )

• Der Bereich in dem die Ordinaten liegen = Wertemenge der Funktion

hx(a) = 1/a ∙ e – ½ x² + ax

Für x > 0

hx(a) = 1/a ∙ e – ½ x² + ax

z.B.h2(a) = 1/a ∙ e -2 + 2a

ga(x) = 1/a ∙ e – ½ x² + ax

z.B.

g2(x) = 1/2 ∙ e – ½ x² + 2x

h2(a) = 1/a ∙ e -2 + 2a = ga(2) = 1/a ∙ e -2 + 2a

• Wir suchen nun den Wert für a für den die Funktion hx(a) Extrempunkte besitzt:

II. Wertemenge der Hüllkurve

hx(a) = 1/a · e – ½ x² + ax

hx ‘(a) = - 1/a² · e – ½ x² + ax + 1/a · x · e – ½ x² + ax

hx ‘(a) = (- 1/a² + x/a) · e – ½ x² + ax

• Extremwertbestimmung: Wir suchen den Wert für a für den hx‘(a) = 0

0 = (- 1/a² + x/a) · e – ½ x² + ax

da die e-Funktion keine NS hat:

0 = (-1/a² + x/a)a = 1/x

• Ordinaten der Extrempunkte:

hx(1/x) = x ∙ e – ½ x² + 1

Die Extrempunkte der Funktion hx(a) besitzen alle die Koordinaten Ex(1/x ; x · e – ½ x² +1)

Für x > 0

Vorzeichenwechsel von -1 nach +1

Minima

E0,2 (5 ; 0,53)

E0,5 (2 ; 1,2 )

E1 (1 ; 1,65)

Für x < 0

Vorzeichenwechsel von +1 nach -1

Maxima

z.B.

E -2 (-0,5 ; - 0,75)

E-1 (-1; - 1,7)

Zusammenfassung:

• Für a = 1/x besitzt die Wertemenge der Funktion Extrempunkte

• Alle Extrempunkte besitzen die Koordinaten: Ex(1/x ; x · e – ½ x² +1)

Alle Punkte der Hüllkurve liegen auf dem Graf der Funktion y = x · e – ½ x² +1

Hüllkurve von hx(a)

ga(x) = 1/a ∙ e – ½ x² + ax

ga ‘(x) =(-x/a + 1) · e – ½ x² +1

0 = (-x/a + 1) · e – ½ x² +1

x = a

ga(a) = 1/a ∙ e ½ a²

• Die Ortslinie waagrechter Tangenten von ga(x) stellt die Hüllkurve der Funktion hx(a) dar.

• Um nun die Wertemenge der Funktion hx(a) zu bestimmen müssen wir einige Grenzwerte berechnen

• Fallunterscheidung:x > 0

Minima im Bereich a > 0lim 1/a e – ½ x² +ax = +∞a0+

Erster Teil der Wertemenge: [x e – ½ x²+1 ; +∞[

a < 0 hx‘(a) < 0

lim hx(a) = lim 1/a e – ½ x² +ax = 0-

a-∞ a-∞

Zweiter Teil der Wertemenge: ]- ∞ ; 0[

Whx = ] -∞ ; 0[ U [x e - ½ x²+1; +∞[

Für x > 0

Wertemenge für positive Parameter x:

x < 0

Maxima im Bereich a < 0

lim 1/a e – ½ x² +ax = - ∞a0-

Erster Teil der Wertemenge: ]-∞ ; x e – ½ x² +1]

a > 0lim 1/a e – ½ x² +ax = +∞

a0+ lim 1/a e – ½ x² +ax = 0a+∞

Zweiter Teil der Wertemenge: ]0; + ∞[

Für x < 0

Whx = ]-∞ ; x e – ½ x² +1] U ]0; + ∞[

Wertemenge für negative Parameter x:

• Die Hüllkurve besteht aus der x-Achse und der Kurve y = x ∙ e – ½ x²+1

• Aufgabe:

Bestimme von folgender Schar die Hüllkurve:

ga(x) = (x + a) ∙ e (a-11x)/12x