Mathematisches Proseminar:

Implementierung von Algorithmen

Die Kreiszahl π

von Svenja Kapitzke

19. Januar 2014

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 21.1 Geometrische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Tau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Geometrische Annaherung nach Archimedes 32.1 Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Umfang eines Sechsecks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.2 Umfang eines Zwolfecks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.3 Umfang eines Polyeders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Implementierung mit Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Historische Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Monte-Carlo-Methode 103.1 Grundidee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Implementierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Ist π eine Zufallszahl? 154.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Implementierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.3 Random Walk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5 Moderne Algorithmen 225.1 Borwein-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.1.1 Implementierung des Borwein-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2 BBP-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6 Fazit 256.1 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.2 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1

1 Einleitung

Die Kreiszahl Pi hat die Menschen schon viele Jahre vor Christus beschaftigt und ihre Berechnung wirdbis heute weitergefuhrt. Im Laufe der Jahre war die Berechnung der Nachkommastellen das Lebenswerkvieler Menschen. Es gibt einen Verein namens ”Freunde der Zahl Pi”, eigens fur Menschen, die faszi-niert von dieser Zahl sind. Außerdem gibt es einen Pi-Tag, der 14.03. (amerikanische Schreibweise: 03/14,π = 3.14...).Ich mochte mich in dieser Ausarbeitung besonders auf die verschiedene Methoden konzentrieren, die esgibt, um Pi zu berechnen und die im Laufe der Zeit entwickelt wurden. Hierfur mochte ich verschiedeneMethoden selber implementieren und sie auf Eigenschaften wie zum Beispiel der Konvergenzgeschwin-digkeit untersuchen. Diese Ausarbeitung soll einen Einblick in die Geschichte der Berechnung der ZahlPi geben.

1.1 Geometrische Grundlagen

Zunachst mochte ich einige einfache Formeln zur Berechnung von Flachen, Volumen und Umfang wieder-holen, die π enthalten. Durch den Wunsch, den Flacheninhalt und den Umfang eines Kreises berechnenzu konnen, ist π entstanden. Man hat festgestellt, dass das Verhaltnis vom Radius zum Umfang immergleich ist, namlich 2 ∗ π. Auch in den Formeln fur den Flacheninhalt eines Kreises und der Oberflacheund des Volumens einer Kugel kommt diese universelle Naturkonstante vor:

• Umfang Kreis:U = 2 ∗ π ∗ r (1)

• Flacheninhalt Kreis:A = π ∗ r2 (2)

• Oberflache Kugel:O = 4π ∗ r2 (3)

• Volumen Kugel:

V =4

3π ∗ r3 (4)

1.2 Tau

Spatestens seit Michael Hartl 2010 sein “Tau Manifesto”veroffentlichte, wird tau als Alternative fur πdiskutiert. Es geht darum, dass es naturlicher scheint, eine Konstante fur 2 ∗ π zu haben statt fur π, dain vielen Formeln das doppelte von π vorkommt. Also wahlte er τ = 2∗π = 6, 2831853071. Fur Beispiele,in denen τ naturlicher erscheint als π, siehe Tabelle 1. [30]

Formel mit τ Formel mit π

Umfang eines Kreises U = τ ∗ r U = 2 ∗ π ∗ r

Fourier-Transformation f(x) =∫∞−∞ F (k) eτikx dk f(x) =

∫∞−∞ F (k) e2πikx dk

F (k) =∫∞−∞ f(x) e−τikx dx F (k) =

∫∞−∞ f(x) e−2πikx dx

Eulerische Formel eiτ = 1 eiπ = −1

Die n-te Einheitswurzel zn = 1⇒ z = eτi/n zn = 1⇒ z = e2πi/n

Radiant: Teile eines Kreises: 18 , 1

4 , 12 , 1 τ

8 , τ4 , τ

2 , τ π4 , π

2 , π, 2 ∗ π

Tabelle 1: Formeln mit π und τ im Vergleich[30]

2

Abbildung 1: Archimedes von Syrakus[18]

2 Geometrische Annaherung nach Archimedes

Eine der ersten Annaherungen an π war eine geometrische. Entwickelt hat sie Archimedes von Syra-kus(287 v. Chr. bis 212 v. Chr.).[19] Die Grundidee dieser Methode ist, dass der Flacheninhalt oder derUmfang eines Polygons bestimmt wird, welches naherungsweise den gleichen Flacheninhalt bzw. den glei-chen Umfang wie ein Kreis hat. Dass man den Kreis durch Polygone annahern darf liegt daran, dass derKreis rektifizierbar ist. Hat man den Radius oder den Flacheninhalt eines Kreises angenahert, so folgtdaraus mit F = π ∗ r2 und U = 2 ∗ π ∗ r ein Wert fur π.

Errechnen wir nun zunachst den Umfang eines Sechsecks:

2.1 Herleitung

2.1.1 Umfang eines Sechsecks

Das großtmogliche Sechseck innerhalb eines Kreises mit Radius r ist ein Sechseck mit Durchmesser r.Dieses Sechseck lasst sich in 6 gleichseitige Dreiecke unterteilen (siehe Abbildung 2). Die Seitenlangejedes dieser Dreiecke ist r. Demnach betragt der Umfang des Sechsecks USechseck = 6 ∗ r. Dies nahertden Umfang des Kreises an, wir setzen beides also gleich: UKreis ≈ USechseck ⇒ 2πr ≈ 6r. Daraus folgtmittels Kurzen: r = 3. Um diese Approximation zu verbessern verdoppeln wir die Anzahl der Seiten undbetrachten ein Zwolfeck:

2.1.2 Umfang eines Zwolfecks

Wir brauchen zunachst wieder die Lange des Umfangs des Zwolfecks. Um zu erklaren, wie man diesebestimmt, beziehe ich mich auf Abbildung 3.Zunachst bestimmen wir die Strecke s, ein Zwolftel des Umfangs des Zwolfecks. Um diese zu erhalten,wenden wir den Satz des Pythagoras an:

s2 =(r

2

)2+ x2 (5)

3

Abbildung 2: Annaherung des Kreisumfangs durch den Umfang eines Sechsecks[3]

Abbildung 3: Annaherung des Kreisumfangs durch den Umfang eines Zwolfecks[3]

4

Der Radius r ist durch den Kreis gegeben, x bekommen wir, indem wir die in Abbildung 3 gestrichelteLinie vom Radius abziehen. Die gestrichelte Linie wiederum erhalten wir durch eine zweite Anwendungdes Satz von Pythagoras:

x = r −√r2 −

(r2

)2(6)

Nun setzen wir Gleichung (6) fur x in Gleichung (7) ein:

s =

√√√√(r2

)2+

(r −

√r2 − r2

4

)2

(7)

Am Schluss mussen wir s noch mit 12 multiplizieren, weil wir den gesamten Umfang bestimmen mochten.

UKreis ≈ UZwolfeck ⇒ 2πr ≈ 12s

Man erhalt: π = 3.106 (eine richtige Nachkommastelle)

2.1.3 Umfang eines Polyeders

Nun mochte ich die oben angewandte Formel fur Polyeder verallgemeinern, wobei die Anzahl der Seitenausgehend von 6 beliebig oft verdoppelt werden kann:

sn+1 =

√√√√s2n4

+

(r −

√r2 − s2n

4

)2

(8)

O.B.d.A. konnen wir r = 1 setzen, da die gesuchte Konstante π nur das Verhaltnis zwischen Flachen,Umfangen und dem Radius ist.Damit folgt:

sn+1 =

√√√√s2n4

+

(1−

√12 − s2n

4

)2

(9)

Ein Polygon mit der Kantenlange sn hat bei dieser Formel 6 ∗ 2n Ecken(n = 0 entspricht Sechseck, n = 1 entspricht Zwolfeck...).Um nun den gesamten Umfang zu bekommen, mussen wir die Anzahl der Kanten des Polygons (6 ∗ 2n)mit der Lange einer Kante (sn) multiplizieren:

UKreis = UV ieleck

⇔ 2π = 6 · 2n ·

√√√√√s2n−14

+

1−

√1−

s2n−14

2

⇔ π = 3 · 2n ·

√√√√√s2n−14

+

1−

√1−

s2n−14

2

(10)

2.2 Implementierung mit Matlab

Ich habe Formel (10) nun mit Matlab sowohl rekursiv als auch iterativ implementiert.Zunachst der rekursive Programmcode:

function e r g ebn i s = S e i t e n l a e n g e (n)i f n == 0

ergebn i s = 1 ;endi f n>0

a l t = S e i t e n l a e n g e (n−1) ;e r g ebn i s = sqrt ( ( ( a l t ˆ2) / 4 . 0 ) + . . .

5

(1−sqrt (1−( a l t ˆ2/4 .0 ) ) ) ˆ2) ;end

Die Funktion Seitenlange berechnet zu einem 6 ∗ 2n-Eck die Seitenlange einer der 6 ∗ 2n Kanten desPolygons. Solange die Kantenlange großer als 1 ist, soll mit der oben genannten Formel (Formel (9)) dieSeitenlange rekursiv aus der Seitenlange des Polygons mit halb so vielen Seiten berechnet werden. DerZielwert ist eins bei n = 0, weil n = 0 einem Sechseck entspricht (siehe oben), ein Sechseck die Seitenlanger hat und wir r als eins festgesetzt haben.Und nun iterativ mit einer while-Schleife:

function e r g ebn i s=S e i t e n l a e n g e (n)e r g ebn i s =1;

while (n > 0)e r g ebn i s = sqrt ( ( ( e r g ebn i s ˆ2) / 4 . 0 ) + . . .

(1−sqrt (1−( e r g ebn i s ˆ2/4 .0 ) ) ) ˆ2) ;n = n−1;

end

Auch hier berechnet die Funktion Seitenlange zu einem 6 ∗ 2n-Eck die Seitenlange einer der 6 ∗ 2n

Kanten des Polygons. Diesmal wird die Formel (9) 6 ∗ 2n-mal mittels einer while-Schleife angewendet.Der Startwert ist 1, weil n = 0 einem Sechseck mit Seitenlange 1 entspricht (siehe oben).Am Schluss soll die mit einer der oben gegebenen Funktion berechneten Seitenlange noch mit der Anzahlder Seiten multipliziert und durch zwei geteilt werden (siehe Formel (10)), um einen Wert fur π zuerhalten.

PI = 3 ∗ 2ˆn ∗ S e i t e n l a e n g e (n)

In Abbildung 4 sehen wir das Ergebnis der Implementierung, alle falschen Nachkommastellen habeich rot gekennzeichnet.

Abbildung 4: Ergebnis der Matlab-Implementierung nach der Archimedes-Methode

6

Was sieht man nun? Die erste Spalte steht fur das vom Anwender eingegebene n, in der nachsten Spaltesteht die dem entsprechende Anzahl an Ecken. Danach folgen jeweils die Ergebnisse der iterativen undrekursiven Implementierung. Man sieht, dass bei beiden der gleiche Wert herauskommt, was zu erwartenwar, da die gleiche Formel benutzt wurde. Man kann erkennen, dass eine lineare Konvergenz vorliegt, alleein bis zwei Iterationen bzw. Rekursionen erhalt man eine neue Nachkommastelle.Bei der Betrachtung der Rechendauer sieht man einen klaren Unterschied zwischen den beiden Program-miermethoden, die rekursive Berechnung dauert wesentlich langer.Die Rechendauer der beiden Seitenlangen-Funktionen wird in Abbildung 5 mittels einer Graphik veran-schaulicht.

Abbildung 5: Darstellung der Rechendauer der Seitenlangen-Funktionen in LibreOffice Calc

Der erste hohe Peek des iterativen Graphen lasst sich vermutlich mit dem Start und Kompilieren desProgrammes erklaren. Der zweite kleinere Peek bei 17 ist computertechnisch bedingt und hat nichtsmit dem Algorithmus zu tun. So extrem kleine Schwankungen kommen vor und sind mathematischunbedeutend. Ansonsten sieht man deutlich, dass die Rechendauer bei der iterativen Berechnung sehrleicht linear steigt, bei der rekursiven Berechnung jedoch exponentiell wachst.

2.3 Historische Ergebnisse

Die Methode von Archimedes war eine der ersten Methoden, die benutzt wurden, um π anzunahern.Durch ein den Kreis umschließendes Polygon und ein Polygon innerhalb des Kreises kann eine obere sowieeine untere Grenze fur π bestimmt werden.Indem man die Kantenanzahl erhoht kann man π durch die Annaherung des Polygonumfangs an denKreisumfang oder des Polygonflacheninhalts an den Kreisflacheninhalt bestimmen.Schon in der Bibel findet man einen Hinweis, dass Konig Salomo ca. 800 v. Chr. mit pi = 3 gerechnet

7

hat, als er ein ”Meer“ in Auftrag gegeben hat:

1. Buch der Konige, Kapitel 7, 23:”Und er machte das Meer, Und er machte ein Meer, gegossen von einem Rand zum andern zehn Ellenweit, rundumher, und funf Ellen hoch, und eine Schnur dreißig Ellen lang war das Maß ringsum.“ [16]

Der Durchmesser des Meeres betragt 10 Ellen und der Umfang 30 Ellen, also

π =U

2 ∗ r=

30

10= 3

Abbildung 6: Konig Salomo[20]

Archimedes (siehe Abbildung 1) bestimmte ca. 250 v. Chr., dass π zwischen 3,1071 und 3,17 liegen mussund wusste somit eine Nachkommastelle von π.

1600 n. Chr. hat Ludolf van Ceulen(siehe Abbildung 2.3) mit der Methode des Archimedes 36 Stellen vonπ richtig berechnet. Er tat dies mit Hilfe der Archimedischen Formel und einem 262-Eck, einem Polygonmit ca. 4 Trillionen Seiten. Damit wurde er so bekannt, dass π eine Zeit lang die “Ludolphsche Zahl”genannt wurde. Da diese Berechnung sein Lebenswerk war, er hatte 30 Jahre daran gearbeitet, ließ ersich die 35 Nachkommastellen auf seinen Grabstein eingravieren. [22]

8

Abbildung 7: Ludolf van Ceulen, 1540-1610[21]

9

Abbildung 8: Zufallstreffer innerhalb und außerhalb des Kreises[23]

3 Monte-Carlo-Methode

3.1 Grundidee

Eine weitere Moglichkeit, π zu berechnen, ist die Monte-Carlo-Methode, welche auf Wahrscheinlichkeitenberuht. Sie funktioniert so: Innerhalb eines Quadrats werden Zufallspunkte generiert. Mittels der Kreis-formel x2 + y2 = r2 wird die Anzahl der Punkte ermittelt, die innerhalb eines Kreises “gelandet”sind.Der Radius des Kreises entspricht dabei einer Seite des Quadrats. (siehe Abbildung 8)Nach dem Gesetz der großen Zahlen ist das Verhaltnis der Kreisflache zur Flache des Quadrats das gleichewie das Verhaltnis der Anzahl der zufalligen Punkte, die im Kreis gelandet sind zu denen, die insgesamtgeneriert wurden. Aus dieser Gleichheit lasst sich π errechnen.

Punkte in Viertelkreis

generierte Punkte im Quadrat=

Viertelkreisflache

Quadratflache=

14 ∗ π ∗ r

2

r2=π

4(11)

[4]

3.2 Implementierung

Auch die Monte-Carlo-Methode habe ich als Programm implementiert. Also Zufallszahlen habe ich dieNachkommastellen von π selbst benutzt. Es mag etwas absurd klingen, π mit den Nachkommastellen vonπ errechnen zu wollen. Jedoch ist wohl jedem klar, dass ich nicht die erste bin, die π errechnet und mirsomit die Nachkommastellen bereits zur Verfugung stehen. Das Vorgehen ist als akademisches Beispielzu betrachten und man konnte auch jede andere Folge von zufalligen Zahlen benutzen. Ob die Nachkom-mastellen von pi wirklich als Zufallszahlen benutzt werden sollten, werde ich in Kapitel 4 klaren. Umaus den Nachkommastellen von π Zufallszahlen zu erzeugen habe ich die Nachkommastellen in Packcheneingeteilt: Je nach Packchengroße ergibt sich daraus eine großtmogliche Zahl. Die Zahlen habe ich ab-wechselnd als x- und y-Koordinate benutzt.

10

Beispiel:Packchengroße 2, Koordinaten eines Punktes: (05 | 78), großtmogliche Koordinate: 99

3, 14︸︷︷︸x-Koordinate

15︸︷︷︸y-Koordinate

92︸︷︷︸x

65︸︷︷︸y

...

⇒ P1(15|14), P2(92|65),...Das Programm erfullt zwei Funktionen: Die Punkte zahlen und graphisch darstellen. Um die Anzahl derPunkte zu wissen, die im Kreis landen, habe ich einen Zahler zaehler in kreis benutzt:

z a e h l e r i n k r e i s = 0 ;i f ( x∗x+y∗y <= rad iu s ∗ rad iu s ){

z a e h l e r i n k r e i s ++;}else{

z a e h l e r n i c h t i n k r e i s ++;}

Auf die selbe Art und Weise kann man auch eine graphische Darstellung programmieren:

i f ( x∗x+y∗y <= rad iu s ∗ rad iu s ){

cout<<”x”<<endl ;}else{

cout<<” . ”<<endl ;}Das optische Ergebnis sieht wie folgt aus: (zweiteilige Abbildung 9). Man kann einen Viertelkreis erkennen,gebildet von den Kreuzen. Am Rand sieht man das Koordinatensystem.Das Ergebnis der rechnerischen Losung ist in Abbildung 10 zu sehen.Man kann erkennen, dass mit wachsender Packchengrosse keine sinnvollen Werte mehr herauskommen,obwohl diese genauer werden mussten. Dies liegt wohl am erreichen eines Hardware Limits. Bei einerBetrachtung der Dauer der Rechenschritte habe ich herausgefunden, dass das verwandeln des stringsder Nachkommastellen in einen Vektor sehr viel Zeit beansprucht. Daher habe ich die gleiche Funktionnochmals ausgefuhrt, nur dass ich diesmal die in Matlab zur Verfugung stehende Funktion randi benutzthabe, die ganzzahlige Zufallsziffern generiert.Damit sieht das Programm so aus:

rad iu s = 10000z a e h l e r i n k r e i s = 0 ;z a e h l e r = 0 ;

Z u f a l l s z a h l e n = randi ( radius , 1 , anzahl punkte ) ;

for ( i = 1 : anzahl punkte −1)x = Z u f a l l s z a h l e n ( i ) ;y = Z u f a l l s z a h l e n ( i +1);

i f ( ( x∗x+y∗y ) <= rad iu s ∗ rad iu s )z a e h l e r i n k r e i s = z a e h l e r i n k r e i s +1;

endz a e h l e r = z a e h l e r +1;i = i +2;

endPi = z a e h l e r i n k r e i s / z a e h l e r ∗4 ;

Nun habe ich sinnvolle Werte herausbekommen (Abbildung 11). Falsche Ziffern sind rot gefarbt. Man kannerkennen, dass das Verfahren sehr langsam konvergiert. 100 Millionen generierte Punkte war die großteAnzahl, die die randi-Funktion generieren konnte. Das Monte-Carlo-Verfahren ist keine effiziente Methodezur Bestimmung der Nachkommastellen von π. Dazu kommt, dass die Methode nicht deterministisch ist.Man konnte bei einem Versuch keine oder 10 richtige Nachkommstellen bekommen.

11

Abbildung 9: Optisches Ergebnis der Monte-Carlo-Methode

12

Abbildung 10: Rechnerische Losung Monte-Carlo-Verfahren mit Nachkommastellen von π

13

Abbildung 11: Rechnerisches Ergebnis mit Zufallszahlen

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4 Ist π eine Zufallszahl?

4.1 Begriffe

Kommen wir nun zu einem eher theoretischen Thema, welches sich mit einer Eigenschaft von π beschaftigt:Sind die Nachkommastellen von π zufallig? Zunachst klare ich dazu einige Begriffe.

Definition 1 (Zahlenuniversum)

In einer unendlichen Folge zufallig ausgewahlter Ziffern kommt jede beliebige endliche Folge vor, wennjede Ziffer mit einer von Null verschiedenen Wahrscheinlichkeit gezogen werden kann. Diese Folgennennt man Folgenuniversum.

Die reellen Zahlen, deren Dezimalenfolge ein Folgenuniversum ist, heißen Zahlenuniversum zurBasis 10 (auf jede Basis anwendbar). [5, S.216]

Ein Beispiel fur ein solches Zahlenuniversum ist die Champernownesche Zahl:

Beispiel 1 (Zahlenuniversum)

Champernownesche Zahl: 0,123456789101112131415161718192021...

Satz 1 (Champernownesche Zahl)

Die Champernownesche Zahl ist ein Zahlenuniversum zur Basis 10.

Beweis 1 (Champernownesche Zahl)

Die Champernownesche Zahl hat als Nachkommastellen alle naturlichen Zahlen in geordneterReihenfolge. Daher enthalten die Nachkommastellen jede endliche Folge s, die nicht mit 0 anfangt,weil diese als naturliche Zahl aufgefasst werden kann. Jede Folge s, die mit 0 anfangt, kommt vor,weil ’1s’ eine naturliche Zahl ist. Die Folge 0999 beispielsweise kommt vor, wenn 10999 “an derReihe” ist.

Auch die Zahl 0,248163264128 (die Potenzen von 2 zur Basis 10 aneinandergefugt) ist ein Zahlenuni-versum zur Basis 10. [5, S.216]

Zur Person von Champernowne:David Gawen Champernowne, geboren am 9. Juli 1912 und gestorben am 19. August 2000, war ein engli-scher Okonom und Mathematiker. Er schrieb die Arbeit uber die Champernownesche Zahl schon wahrendseines Bachelor-Studiums. Außerdem entwickelte er einen der ersten Schachcomputer mit.[14]

Ist eine Zahl ein Zahlenuniversum, so bedeutet das, dass jede beliebige Folge darin vorkommt. Man denkezum Beispiel an das Drama ”Hamlet”von William Shakespeare in Zahlen codiert oder die digitalisierteForm unserer Lebensgeschichte in allen moglichen Varianten. Um diese zu finden musste man sehr vielmehr Ziffern der Nachkommastellen kennen, denn je langer die gesuchte Zahlenfolge ist, desto großerist der Bereich, in dem sie mit hoher Wahrscheinlichkeit zu finden ist. Es existieren viele Verfahren zurKonstruktion von Zahlenuniversen und es gibt uberabzahlbar viele davon. Es ist noch nicht bekannt, obπ ein Zahlenuniversum ist.

Definition 2 (Gleichverteilte Folge)

Zieht man zufallige Ziffern zur Basis b mit gleicher Wahrscheinlichkeit, dann ist die Haufigkeit jederZiffer nach dem Gesetz der großen Zahlen 1/b. Eine solche Folge heißt gleichverteilt. [5, S.218]

Definition 3 (Normal zur Basis b)

Eine reelle Zahl heißt normal zur Basis b, wenn gilt: Die Haufigkeit von Ziffernfolgen beliebigerLange ist gleichverteilt. Eine zur Basis b normale Zahl ist gleichverteilt zur Basis bn fur jedes beliebigen. [5, S.219]

Beispiel 2 (Normal zur Basis 10)

Bei einer zur Basis 10 normalen Zahl geht die Haufigkeit von”23“ unter den Dezimalstellen gegen

1/100, von”345“ gegen 1/1000, etc.

Satz 2 (Gleichverteilt impliziert nicht normal)

Eine zur Basis b gleichverteilte Zahl ist nicht zwingend zu dieser Basis normal.Eine gleichverteilte Zahl kann rational sein, eine normale Zahl ist zwingend irrational. Ware sie ra-

15

Abbildung 12: David Gawen Champernowne, 1912-2000[15]

16

tional, hatte sie eine Periode mit der Lange p und Folgen der Lange p waren nicht gleichverteilt. [5,S.219]

Beispiel 3 (Gleichverteilt impliziert nicht normal)

1/3 = 0, 01010101... ist gleichverteilt zur Basis 2 und rational, aber nicht normal zur Basis 2. [5, S.219]

Definition 4 (Normalitat)

Eine Zahl heißt normal, wenn sie normal zu allen Basen ist. [5, S.219]

Beispiel 4 (Normalitat)

Die Champernownesche Zahl ist normal zur Basis 10. Es ist noch nicht bewiesen, dass sie normalzu allen Basen ist. Die Champernownesche Zahl zeigt uns außerdem, dass eine Zahl normal zu einerBasis sein kann, auch wenn sie geordnet ist. Daraus folgt, dass eine normale Zahl nicht zwingend eineZufallszahl sein muss. [5, S.219]

Was wissen wir nun uber π? Die Nachkommastellen von π scheinen zu allen Basen gleichverteilt zu sein.Die Mehrheit der Mathematiker glaubt, π sei normal, weil alle bisher berechneten Nachkommastellen zujeder Basis normal zu sein scheinen. Bewiesen ist nicht einmal, dass π gleichverteilt zur Basis 10 ist. Daes effiziente Techniken zur Identifikation der Dezimalen von pi gibt, sollte π in der Kryptographie nichtals Zufallsgenerator verwendet werden.[5, S.221]

4.2 Implementierung

Auch ich wollte mir durch ein eigenes Programm ein Bild dazu machen, ob π normal zu sein scheint.Dazu habe ich Folgen verschiedener Lange in den ersten Millionen Nachkommastellen von π gezahlt. Sosieht der C++-Programmcode aus:

int count ( s t r i n g s , s t r i n g gesucht ){int z a e h l e r = 0 ;int pos = 0 ;

while ( s . f i n d ( gesucht , pos ) != −1){

z a e h l e r++;pos = s . f i n d ( gesucht , pos )+1;

}return z a e h l e r ;}

Das Programmstuck zahlt mittel eines Zahlers zaehler, wie oft der string gesucht im string s vorkommt.In diesem Fall ist gesucht die gesuchte Zahlenfolge und s die Nachkommastellen von π. Eine while-Schleifefangt vorne (pos = 0) mit einer string-Funktion find an zu suchen, bis sie die Folge gefunden hat. Dannwird zaehler um eins erhoht und es wird von eine Position nach der gefundenen Stelle weitergesucht, bisdie gesuchte Folge nicht mehr gefunden werden kann (s.find(gesucht,pos) != -1). Das Programmstuckgibt am Schluss zuruck, wie oft die gesuchte Folge gefunden wurde (return zaehler).Mein Programm, angewendet auf die ersten Millionen Nachkommastellen von π, erzeugt das in Abbildung13 zu sehende Ergebnis.Wie man erkennt ist die relative Abweichung bei den einstelligen Ziffern nie großer als 3 %, man kann alsovon einer Gleichverteilung der Ziffern ausgehen. Auch bei langeren Folgen wird die relative Abweichungzunachst nicht merklich großer. Bei den sechsstelligen Zahlenfolgen sieht die Situation mit einer relativenAbweichung von 0 bis 2 anders aus. Dies lasst sich sehr leicht mit der Gesamtgroße von einer Millionen deruntersuchten Nachkommastellen erklaren. Im Mittel sollte eine sechstellige Folge in einer normalverteiltenZahl einmal vorkommen. Demnach kommt es bei keinem oder zweimaligem Vorkommen sofort zu einerAbweichung von 1. Hier musste man den durchsuchten Bereich vergroßern, damit das Gesetz der großenZahlen gilt. (siehe oben 4.1, nach Beispiel 1) Alles in allem kann ich von meinen Daten davon ausgehen,dass π durchaus normal zur Basis 10 sein konnte.

17

4.3 Random Walk

Mittels eines Random Walks kann man erahnen, ob eine Struktur oder ein Muster in einer Zahlenfolgesteckt. Der Random Walk ist eine Art der Visualisierung einer Zahlenfolge. Das Prinzip ist, dass man dieZahlenfolge ins 4er-System konvertiert und dann von einem Startwert aus je nach Ziffer in eine Richtunggeht: Bei einer 0 geht man einen Schritt nach rechts, bei einer 1 einen Schritt nach oben, bei einer 2 nachlinks und einer 3 nach unten. Durch einen Farbverlauf kann man anzeigen, unter welchen Ziffern mansich befindet, die ersten 100 Ziffern sind beispielsweise rot, die nachsten 100 Ziffern, die man auswertetkonnten gelb sein etc. Bei den folgenden zwei Random Walks geht der Farbverlauf von rot uber orange,grun, blau, violett und schließlich wieder zu rot. Als Beispiel betrachten wir den Random Walk einesx-chromosom (Abbildung 4.3). Der Random Walk sieht sehr geordnet aus, man sieht eine durchgangigeschrage Richtung der Linie, die nur einmal die in die entgegengesetzte Richtung “abbiegt”. Es ist alsokeine Zufallsverteilung im Erbgut erkennbar.[6]

Nun zum Random Walk der ersten 100 Milliarden Nachkommastellen der Zahl π (Abbildung 15). Mansieht eine Punktwolke, die Verbindungslinien zwischen den Punkten folgen keiner bestimmten Richtung.Das Ende des Random Walks (violett → rot) landet wieder am Startpunkt des Random Walks (rot →orange). Dies deutet stark auf eine zufallige Verteilung der Ziffern hin. Man kann auch aufgrund desRandom Walks vermuten, dass die Kreiszahl π normal ist.

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Abbildung 13: Anzahl von Folgen in den ersten Millionen Ziffern von π

19

Abbildung 14: Random Walk eines x-Chromosom[6]

20

Abbildung 15: Random Walk 100 Milliarden Stellen von Pi[6]

21

Abbildung 16: Die Borwein Bruder[8]

5 Moderne Algorithmen

5.1 Borwein-Algorithmus

Nun mochte ich noch einen Blick auf die sehr effizienten Algorithmen der Gegenwart werfen. Zwei der Vor-reiter der Entwicklung von zahlreichen Algorithmen zur Berechnung der Nachkommastellen der Kreiszahlπ sind die Borwein Bruder (Abbildung 16).Jonathan Borwein ist der altere Bruder und wurde am 20. Mai 1951 in St. Andrews in Schottlandgeboren, wo auch sein Bruder Peter Borwein am 5. Oktober 1953 zur Welt kam. Die beiden sind zwei derberuhmtesten Vertreter der experimentellen Mathematik. [24] [25]Einer der Algorithmen, den die Borwein Bruder entwickelt haben, ist der folgende:

√−C3

π=

∞∑i=0

(6i)!

(3i)!(i!)3A+ iB

C3i(12)

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mit den Konstanten:

A = 63365028312971999585426220

+ 28337702140800842046825600 ∗ sqrt(5) + 384 ∗ sqrt(5)

∗ (10891728551171178200467436212395209160385656017

+ 4870929086578810225077338534541688721351255040 ∗ sqrt(5))(1/2);

B = 7849910453496627210289749000

+ 3510586678260932028965606400 ∗ sqrt(5)

+ 2515968 ∗ sqrt(3110)

∗ (6260208323789001636993322654444020882161

+ 2799650273060444296577206890718825190235 ∗ sqrt(5))(1/2);

C = −214772995063512240− 96049403338648032 ∗ sqrt(5)

− 1296 ∗ sqrt(5) ∗ (10985234579463550323713318473

+ 4912746253692362754607395912 ∗ sqrt(5))(1/2);

Dieser Borwein Algorithmus ist sehr effizient, jeder Summand erzeugt ca. 50 neue Stellen von π.

5.1.1 Implementierung des Borwein-Algorithmus

Diesen Borwein Algorithmus habe ich in Matlab implementiert. Hier der Programmcode:

A = 63365028312971999585426220+28337702140800842046825600∗ sqrt (5)+384∗ sqrt (5 )∗(10891728551171178200467436212395209160385656017+4870929086578810225077338534541688721351255040∗ sqrt ( 5 ) ) ˆ ( 1 / 2 ) ;

B = 7849910453496627210289749000+3510586678260932028965606400∗ sqrt (5 )+2515968∗ sqrt (3110)∗(6260208323789001636993322654444020882161+2799650273060444296577206890718825190235∗ sqrt ( 5 ) )ˆ ( 1/2 ) ;

C = −214772995063512240−96049403338648032∗ sqrt (5 )−1296∗sqrt (5)∗(10985234579463550323713318473+4912746253692362754607395912∗ sqrt ( 5 ) ) ˆ ( 1 / 2 ) ;

summe = 0 ;

for i = 0 : 1 : s c h r i t t esumme = summe + ( Fakultaet (6∗ i )/( Fakultaet (3∗ i )∗ ( Fakultaet ( i ) ) ˆ 3 ) )∗(A+i ∗B)/(Cˆ(3∗ i ) ) ;

end

e r g ebn i s = sqrt(−Cˆ3)/summe ;

vpa ( ergebn i s , 30000)

Die Variable schritte besagt, wie oft die Summe durchlaufen werden soll. Das Zwischenergebnis nachjedem Summanden wir in summe gespeichert. Das Ergebnis fur π habe ich schließlich mit vpa ausgebenlassen, damit Matlab zwischendurch nicht rundet. Ich habe bereits mit null Schritten mehr als 25000richtige Nachkommastellen von π bestimmen konnen. Mehr Stellen konnte Matlab nicht anzeigen.

5.2 BBP-Formel

Nun noch zu einem besonderen Algorithmus, der Algorithmus entwickelt nach der BBP-Formel, die vonSimon Plouffe, Peter Borwein und David Harold Bailey entwickelt wurde. Der Vorteil dieses Algorithmus

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ist, dass man jede beliebige Nachkommastelle von π berechnen kann, ohne die vorherigen Nachkommas-tellen zu kennen. Leider funktioniert der Algorithmus bisher nur im Binarsystem, Hexademzimalsystemund jedem System zur Basis 2n, n∈ N und es ist noch keine Moglichkeit gefunden worden, ihn in dasDezimalsystem zu ubertragen.[31]Dies ist die BBP-Formel:

π =

∞∑k=0

1

16k

(4

8k + 1− 2

8k + 4− 1

8k + 5− 1

8k + 6

)[31] (13)

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Abbildung 17: Yasumasa Kanada[27]

6 Fazit

6.1 Zusammenfassung

Zum Schluss mochte ich einen kurzen Uberblick uber die Geschichte der Berechnung der Zahl π geben(Tabelle 2)

Die meisten der ersten Berechnungen wurden mit der Methode von Archimedes durchgefuhrt. Archime-des selbst rechnete bis zu einem 96-Eck, Liu Hui untersuchte ein 3072-Eck und Dschamschid Mas’udal-Kaschi ein 3 ∗ 228−Eck. Ludolph van Ceulen trieb dies mit einem 228−Eck auf die Spitze, wie wirbereits wissen. 1853 fand William Shanks eine neue Methode. Er benutze eine Reihenentwicklung vonarctan 1

5 und arctan 1239 , um 707 Nachkommastellen von π per Hand zu berechnen. Erst 1945 wurde ent-

deckt, dass dieser enorme Aufwand großtenteils umsonst gewesen war, denn die letzten 180 Ziffern habensich als falsch herausgestellt. [17]

Mit dem 20. Jahrhundert fing auch das Zeitalter der Computer an. Dies ermoglichte ganz neue Moglichkeiten,viel aufwendigere Rechnungen konnten jetzt bewaltigt werden. Dies sieht man auch an der Anzahl derbekannten Nachkommastellen von π. Wahrend es vorher als Erfolg gefeiert wurde, 10, 20 oder 100 neueNachkommastellen zu kennen (die falschen Nachkommastellen von Shanks mal ausgenommen), wurdenun alle paar Jahre die zehnfache Menge an Nachkommastellen berechnet. Einer derjenigen, der mit Hilfeimmer besserer Computer des ofteren Rekordhalter in der Berechnung der meisten Nachkommastellenvon π war, ist Yasumasa Kanada. Der Japaner wurde 1949 geboren und ist Informatiker und theoretischerPhysiker. (Foto: Abbildung 17)[26]

Auch in der Gegenwart sind neue Rekorde zu verzeichnen. Fabrice Bellard berechnete 2010 mit einemherkommlichen Desktop-Computer und einem eigens geschriebenen Programm 2,7 Trillionen Nachkom-mastellen. Er benotigte 131 Tage Berechnungszeit und mehr als ein Terabyte Speicherplatz. Der aktuelleRekord (Stand Januar 2014) liegt bei 10 Trillionen, berechnet von Alexander J. Yee, ein junger Amerika-ner, der 2011 seinen Abschluss an der “University of Illinois”in Informatik und Elektrotechnik gemachthat, und Shigeru Kondo, einem japanischen Systemingenieur.[29] [28]

6.2 Ausblick

2011 wurde ein neuer Rekord gebrochen: 3 Trillionen Stellen von π sind uns nun bekannt. Wie man sieht,ist das Interesse an diese mathematische Konstante nicht tot zu kriegen. Physikalisch gesehen sind dieseneu berechneten Nachkommastellen von π nicht von Nutzen, da man diese selbst zur Berechnung des

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Umfang unseres gesamten Universums auf die kleinste physikalische Einheit genau nicht braucht. Aberwer hat dann daran Nutzen? Beispielsweise Hardware-Ingenieure, die die Berechnungen nutzen konnen,um die Leistungsfahigkeit ihrer Computer zu testen. Uns Mathematiker, weil wir uns erhoffen, neue Ei-genschaften von π damit entdecken zu konnen. Und zu guter Letzt hat der Wettstreit um die Berechnungder Nachkommastellen, der schon existiert seit es π gibt, viele Wissenschaftler in seinen Bann gerissen.Jeder Abschnitt der Geschichte der Mathematik ermoglichte neue, von der Idee her vollig unterschied-liche Methoden. Das lasst darauf schließen, dass wir auch in Zukunft mit neuen, sehr unterschiedlichenAnsatzen rechnen konnen, um weiter Nachkommastellen von π zu berechnen. Moglicherweise werden wireines Tages auch Eigenschaften wie die Normalitat von π beweisen konnen.

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Mathematiker Jahr Dezimalstellen

Konig von Salomo, Biebel 800 v. Chr. 1

Archimedes ca. 250 v. Chr. 2

Liu Hui nach 263 5

Zu Chong-Zhi ca. 480 6

Dschamschid Mas’ud al-Kaschi ca. 1424 15

Ludolph van Ceulen 1610 36

Jurij Vega 1794 126

William Shanks 1853 (527)

Levi B. Smith,John W. Wrench 1949 1.120

Daniel Shanks,John W. Wrench 1961 100.265

Yasumasa Kanada,Sayaka Yoshino,Yoshiaki Tamura 1982 16.777.206

Yasumasa Kanada,Yoshiaki Tamura,Yoshinobu Kubo 1987 134.217.700

David und GregoryChudnovsky 1989 1.011.196.691

Yasumasa Kanada,Daisuke Takahashi 1997 51.539.600.000

Yasumasa Kanada,Daisuke Takahashi 1999 206.158.430.000

Yasumasa Kanada 2002 1.241.100.000.000

Daisuke Takahashi 2009 2.576.980.370.000

Fabrice Bellard 2010 2.699.999.990.000

Shigeru Kondo,Alexander Yee 2011 10.000.000.000.000

Tabelle 2: Historischer Uberblick uber die Berechnung der Nachkommastellen der der Zahl π[17]

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Literatur

[1] http://www.mathe-lexikon.at

[2] Zwischenspiel mit Pi, Vortrag von Gerhard Aulenbacher

[3] http://logisch-gedacht.de/pi-berechnen/

[4] http://de.wikipedia.org/wiki/Monte-Carlo-Algorithmus (24.10.2013, 16:43)

[5] Titel: pi - die storyVerfasser: Jean-Paul DelahayeErschienen: Birkhauser Verlag, Postfach 133, CH-4010 Basel, Schweiz ubersetzt aus demFranzosischen von Manfred Stern.-Basel;Boston;Berlin:Birkhauser, 1999 Originaltitel: Le fas-cinant nombre π, ISBN:3-7643-6056-9

[6] http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/mathematik-ist-die-kreiszahl-pi-normal-a-895876.html

[7] http://en.wikipedia.org/wiki/Borwein%27s algorithm (04.12.2013, 15:29)

[8] http://www.sfu.ca/archive-sfunews/sfnews/1996/May23/borweins.GIF

[9] http://academickids.com/encyclopedia/index.php/Borwein’s algorithm (others)

[10] http://www.cecm.sfu.ca/personal/pborwein/PAPERS/P62.pdf

[11] http://oldweb.cecm.sfu.ca/projects/ISC/kanada1.gif

[12] http://www.shortnews.de/id/807711/nachkommastellen-rekord-von-der-zahl-pi-gebrochen

[13] Titel: Pi - Algorithmen, Computer, Arithmetik Verfasser: Jorg Arndt und Christoph HaenelErschienen: Springer Verlag Berlin Heidelberg 1998

[14] http://en.wikipedia.org/wiki/D. G. Champernowne(10.12.2013)

[15] http://ancestry.com

[16] Die Bibel, Ubersetzung: Luther 1912, 1. Buch der Konige, Kapitel 7, Vers 23 http://bibel-online.net/buch/luther 1912/1 koenige/7/#1

[17] http://de.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl

[18] http://quest.nasa.gov/aero/planetary/images/Archimedes 7.jpeg

[19] http://de.wikipedia.org/wiki/Archimedes (01.01.2014)

[20] http://www.vdkc.de/cms/index.php/service/beitraege-des-vdkc/283-ludwig-siegfried-meinardus-oratorium-qkoenig-salomoq

[21] http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/PictDisplay/Van Ceulen.html

[22] http://de.wikipedia.org/wiki/Ludolph van Ceulen, (25.11.2013)

[23] http://pi3.sites.sheffield.ac.uk/tutorials/week-7

[24] http://de.wikipedia.org/wiki/Peter Borwein, (24.11.2013)

[25] http://de.wikipedia.org/wiki/Jonathan Borwein, (24.11.2013)

[26] http://de.wikipedia.org/wiki/Yasumasa Kanada (11.11.2013)

[27] http://oldweb.cecm.sfu.ca/projects/ISC/kanada1.gif, (11.11.2013)

[28] http://www.numberworld.org/about/ayee/

[29] http://www.worldrecordacademy.com/science/most digits of pi calculated Shigeru Kondo-and Alexander Yee sets world record 101848.htm

[30] http://tauday.com/tau-manifesto

[31] http://de.wikipedia.org/wiki/Bailey-Borwein-Plouffe-Formel, (5.12.2012)

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