Das pascalsche Dreieck

Laura Heß

09.01.2014

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 21.1 Bildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Entdeckung der Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Folgen und Muster 42.1 Diagonalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Fibonacci-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Zeilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Muster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Implementierung 83.1 Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Summenbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Summenbildung optimieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.4 Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Anwendungen 164.1 Binomischer Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3 Abzahlbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.4 Anzahl von Elementen von Polytopen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Erweiterungen 175.1 Trinomial Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.2 Pascalsche Pyramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.3 Trinomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.4 Multinomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.5 Matrixexponential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.6 negative Erweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6 Fazit 21

1

1 Einleitung

Eine der fruhesten Aufzeichnungen des Pascalschen Dreiecks stammt aus dem 10. Jahrhundert aus Indien.Ebenfalls gibt es Dokumente aus China, Italien und dem Iran. Damals war es allgemein unter anderenNamen bekannt, denn den Namen bekam es erst im 18. Jahrhundert von Pierre Raymond de Morntmortund Abraham de Moivre verliehen. Er geht auf Blaise Pascal zuruck, der 1655 sein Buch

”Traite du triangle

arithmetique“ (Abhandlungen uber das arithmetische Dreieck) veroffentlichte, welches hauptsachlich vonWahrscheinlichkeitstheorie handelte. Im Folgenden werde ich das Pascalsche Dreieck naher beschreibenund auf Anwendungen und Erweiterungen eingehen.

Abbildung 1: Blaise Pascal, 19.06.1623 - 19.08.1662[1]

1.1 Bildung

Die Eintrage im Pascalschen Dreieck entstehen durch Bildung der Summe der zwei daruber liegendenEintrage.

Abbildung 2: Pascalsches Dreieck[2]

Des Weiteren ist es eine grafische Darstellung der Binomialkoeffzienten.Die Formel (

n + 1

k + 1

)=

(n

k

)+

(n

k + 1

)veranschaulicht die Summenbildung und den Zusammenhang mit den Binomialkoeffizienten. (n stehthierbei fur die n-te Zeile und k fur das k-te Element1) Somit folgt aus der Formel, dass das k-te Elementder nachsten((n+ 1)-ten) Zeile aus der Summe des k-ten Elements der n-ten Zeile sowie dessen Nachbar,dem (k+1)-ten Element besteht. Auf den Zusammenhang mit den Binomialkoeffizienten werde ich spatergenauer eingehen.

1man beginnt immer bei k=0

2

Abbildung 3: Pascalsches Dreieck[3]

Mithilfe dieses einfachen Aufbauschemas kann man das Anzeigen des Pascalschen Dreiecks sehr einfachProgrammieren. Da der Binomialkoeffizient wie folgt aufgebaut ist,

(nk

)= n!

(n−k)!·k! , benotigt man als

erste Funktion die Fakultat.

1 long double f a ku l t a e t ( long double n , i n t ∗2 zaeh l e r )3 {4 i f (n==0)5 {(∗ zaeh l e r ) ++;6 return 1 ;}7 e l s e i f (n==1)8 {(∗ zaeh l e r )++;9 return 1 ; }

10 e l s e11 {(∗ zaeh l e r )++;12 return n∗ f a ku l t a e t (n−1 , z a eh l e r ) ; }13 }

Die Funktion fakultaet ist rekursiv, das bedeutet, dass sie sich selbst aufruft. Um die Haufitgkeit derAufrufe zu zahlen, ist die zaehler-Variable als Zeiger vorhanden. Der Programmcode fur die Anzeige desDreiecks ist nicht aufwandiger.

1 f o r ( i n t i =0; i<=n ; i++)2 {3 f o r ( i n t j =0; j<=i ; j++)4 { b inko e f f=f a ku l t a e t ( i , z e i g e r z a h l )/5 ( f a ku l t a e t ( i−j , z e i g e r z a h l )∗6 f a ku l t a e t ( j , z e i g e r z a h l ) ) ;7 cout<<b inkoe f f<<” ” ;8 }9 cout<<endl ;

10 cout<<endl ; }

Man hat zwei for-Schleifen. Die erste erzeugt die Zeilen (1 bis n), die zweite erzeugt dann den Inhalt derjeweiligen Zeile durch Berechnung des Binomialkoeffizienten.Die Ausgabe sieht dann wie folgt aus:

3

Abbildung 4: Anzeige

Die Abbildungen 2 und 3 zeigen das symmetrische Dreieck. Der oben abgebildete Programmcode erzeugtdas Dreieck in asymmetrischer Form.

1.2 Entdeckung der Binomialkoeffizienten

Die Vorgehensweise ist die folgende: Man betrachte eine beliebige Zeile und uberlegt sich mit welcherZahl man eine Zahl dieser Zeile multiplizieren muss, um die rechts danebenstehende zu erhalten.Ein Beispiel: Betrachtet man die 6. Zeile: 1 6 15 20 15 1Um die linke 6 zu erhalten muss man die 1 mit 6

1 multiplizieren. Um die linke 15 zu erhalten, muss mandie 6 mit 5

2 multiplizieren. Wenn man jetzt also direkt die 15 erhalten will, gilt folgendes:61 ∗

52 = 15 =

(62

)= 6!

4!∗2! = 6∗52∗1

Dies gilt fur jede Zahl in jeder Zeile.

2 Folgen und Muster

In dem Pacsalschen Dreiecks konnen viele Folgen und Muster entdeckt werden.

2.1 Diagonalen

Wenn im Folgenden von Diagonalen die Rede ist, ist immer die Betrachtungsweise von rechts-oben nachlinks-unter gemeint. Dies kann man im Allgemeinen so betrachten, da die Diagonalen von links-oben nachrechts-unten analog zu denen sind, die von rechts-oben nach links-unten verlaufen.Wie man sehr einfach erkennen kann, stehen in der ersten Diagonalen nur Einsen. Es entspricht

(n0

), was

,unabhangig von n, immer 1 betragt.

In der zweiten Diagonalen kann man die naturlichen Zahlen entdecken, welche gleichbedeutend zu(n1

)sind.Die dritte Diagonale enthalt die Dreieckszahlen.

4

Abbildung 5: Dreieckszahlen[4]

Dreieckszahlen sind die Zahlen, die der Summe von 1 bis zu einer Grenze n entsprechen. Wie man aufobiger Abbildung sehen kann, ist 1 die erste Dreieckszahl, 1 + 2 = 3 die zweite Dreieckszahl, 1 + 2 + 3 = 6die dritte Dreieckszahl, usw. Sie veranschaulichen die Bildung eines Dreiecks, da man mit ihrer Anzahl an,

zum Beispiel Steinen, ein Dreieck legen kann. n·(n−1)2 ist eine einfache Formel fur die direkte Berechnung

der Dreieckszahlen. Bei ihr gilt allerdings, dass die erste Dreieckszahl mit n=2 ausgerechnet werden kann.Somit gilt dafur allgemein n ≥ 2.In der vierten Diagonalen stehen die Tetraederzahlen. Sie werden analog zum Prinzip der Bildung derDreieckszahlen konstruiert. Hier bildet man anstatt eines Dreiecks einen Tetraeder.Dieses Prinzip wird analog in hohere Dimensionen fortgesetzt. Man nennt solche Zahlen figurierte Zahlen.Daraus folgt, dass man in der n-ten Diagonalen die n-te figurierten Zahlen enthalt.

Eine weitere Auffalligkeit an den Diagonalen ist, dass jede Diagonale die Folge der Partialsummen zuder Folge in der daruber liegenden Diagonalen enthalt. Schaut man sich die dritte Diagonale an, so er-kennt man die ersten drei Elemente als 1,3,6,10,... .Sieht man sich jetzt die zweite Diagonale (1,2,3,4,5,6,...) an und bildet die Summen der ersten Elemente,dann folgt:0 + 1 = 1 ist das erste, 1 + 2 = 3 ist das zweite, 1 + 2 + 3 = 6ist das dritte, 1 + 2 + 3 + 4 = 10ist das vierteElement der 3. Diagonalen.

5

2.2 Fibonacci-Zahlen

Auch die Fibonacci-Zahlen sind im Pascalschen Dreieck zu finden.

[5]

Abbildung 6: Fibonacci-Zahlen

Man erhalt sie, in dem man die Zahlen der flachen Diagonalen2 addiert. Dabei ist es egal, ob die flacheDiagonale ein Element auf der Kante des Dreiecks beruhrt oder nicht.

2.3 Zeilen

In den Zeilen gibt es ebenfalls interessante Folgen und Muster zu erkennen.Die Zeilensumme3 der Eintrage der n-ten Zeile ist immer aus 2n.

n∑k=0

(n

k

)= 2n

Fur die Zeilen 0-4 kann man die einzelnen Elemente direkt aneinanderreihen und man erhalt: 1,11,121,1331Dies sind alle Potenzen von 11. Ab der funften Zeile muss man ,wie im Folgenden erklart, umrechnen.Fur die funfte Zeile(1 5 10 10 5 1) gilt:1 + 5 · 10 + 10 · 100 + 10 · 1000 + 5 · 10000 + 1 · 100000 = 115

Diese beiden Eigenschaften folgen aus dem Binomischen Lehrsatz :

n∑k=0

(n

k

)· xk · yn−k = (x + y)n

Mit x = 1 und y = 1 folgt:

n∑k=0

(n

k

)· 1k · 1n−k = (1 + 1)n ⇒

n∑k=0

(n

k

)= (2)n

Mit x = 10 und y = 1 folgt:

n∑k=0

(n

k

)· 10k · 1n−k = (10 + 1)n ⇒

n∑k=0

(n

k

)· 10k = (11)n

Hieran kann man auch erkennen, warum eine Umformung ab der funften Zeile stattfinden muss. In denZeilen 0-4 sind die einzelnen Elemente einstellige Zahlen. Somit steht jedes Element bei bloßer Aneinander-reihung an der richtigen Stelle (Einer, Zehner, Hunderter,...). Ab der funften Zeile werden die Eintragezweistellig und großer. Deswegen muss eine direkte Berechnung ausgefuhrt werden. Das bedeutet, wieoben gezeigt, das erste Element mal 100, das zweite mal 101,... .Daruber hinaus ist eine weitere Auffalligkeit, dass bei alle Zeilen, bei denen das Element nach der 1 einePrimzahl ist, die einzelnen Elemente zwischen beiden Einsen durch diese Primzahl teilbar sind. Betrach-tet man sich hierfur beispielhaft die Bildung der elften Zeile uber die Binomialkoeffizienten: 11·10·9·8···

1·2·3·4···. Hierbei erkennt man nun, dass im Zahler als erstes die 11 entsteht, jedoch im Nenner erst die 11 fur

2in Abb. 6 gepunktet eingezeichnet3Zeilennummerierung beginnt mit 0

6

das letzte Element der Zeile, welches die 1 ist, hinzugefugt wird. Folglich kann man die 11 vorher nichtkurzen und sie ist in allen Elementen zwischen den Einsen vorhanden.

Eine weitere interessante Betrachtung ist das Produkt der Zeilenelemente der n-ten Zeile.

sn =

n∏k=0

(n

k

)=

n∏k=0

n!

(n− k)! ∗ k!

Nun betrachtet man sich das Zeilenverhaltnis zwischen der n-ten und der (n + 1)-ten Zeile.

sn+1

sn=

(n + 1)n

n!

Betrachtet man sich daraufhin das Verhaltnis von zwei Zeilenverhaltnissen, so entdeckt man folgendes:

sn+1

snsn

sn−1

=(sn+1) ∗ (sn−1)

(sn)2=

(n + 1

n

)n

Dieser Term geht bekanntlich fur n→∞ gegen e.n→∞ bedeutet hier, dass die Zeilen gegen unendlichgehen, also dass das Dreieck sehr groß wird.

2.4 Muster

[6]

Abbildung 7: Pascalsches Dreieck

Betrachten wir uns jetzt mal das gesamte Dreieck. Dazu markiert man, zum Beispiel durch Ausmalender Kastchen, alle Zahlen, die Vielfache von 2 sind.Bei einem genugend groß gewahltem Dreieck erkennt man folgendes Muster.

[7]

Abbildung 8: Sierpinski Dreieck

Dies ist das sogenannte Sierpinski Dreieck. Ahnliche Muster erhalt man, wenn man, anstatt Vielfachevon 2, Vielfache von anderen naturlichen Zahlen sucht und markiert.

Weitere Muster im Pascalschen Dreiecks sind die sogenannten Quadratringe.

7

[6]

Abbildung 9: Quadratringe

Quadratringe haben folgende Eigenschaften. Das Produkt aller Zahlen- der schwarz und der orangemarkierten- ergibt eine Quadratzahl. Dies ist jedoch nicht die Quadratzahl der in der Mitte stehendenZahl.Des Weiteren ist das Produkt der schwarzen Quadrate gleich dem der orangenen Quadrate.Die Quadratringe konnen an jeder Stelle des Pascalschen Dreiecks stehen, mussen jedoch immer wie aufder obigen Abbildung aufgebaut werden.Die Eigenschaften lassen sich wie folgt zeigen. Man legt das linke obere Element fest. Dieses ist

(nk

). Dann

folgen die anderen beiden orangenen Elemente mit(n+1k+2

)sowie

(n+2k+1

). Die schwarzen Quadrate sind somit

die folgenden:(

nk+1

),(n+1k

)und

(n+2k+2

).

Betrachtet man nun das Produkt der schwarzen beziehungsweise der orangenen Quadrate.

orange =

(n

k

)·(n + 1

k + 2

)·(n + 2

k + 1

)=

n! · (n + 1)! · (n + 2)!

(n− k)! · k! · (n− k − 1)! · (k + 2)! · (n− k + 1)! · (k + 1)!

schwarz =

(n

k + 1

)·(n + 1

k

)·(n + 2

k + 2

)=

n! · (n + 1)! · (n + 2)!

(n− k − 1)! · (k + 1)! · (n− k + 1)! · k! · (n− k)! · (k + 2)!

Vergleicht man jetzt die Werte von orange und schwarz so erkennt man das beide die gleiche Zahl ergeben.Somit ist gezeigt, dass das Produkt der orangenen Quadrate gleich dem der schwarzen ist. Daraus folgtsofort, dass das Produkt von orange und schwarz eine Quadratzahl ist.

3 Implementierung

In den vorherigen Abschnitten wurden verschiedene Merkmale des Pascalschen Dreiecks benannt. DesWeiteren wurde gezeigt, wie man sich das Pascalsche Dreieck in C++ anzeigen lassen kann. Dies wurdemit der Berechnung der Binomialkoeffizeinten durchgefuhrt. Es gibt jedoch auch weitere Moglichkeitenzur Berechnung der Werte des Pascalschen Dreiecks. Im Folgenden werde ich drei Moglichkeit zu dessenBerechnung angeben und diese miteinander vergleichen. Hierbei wurden alles mit Matlab ausgefuhrt.

3.1 Binomialkoeffizienten

Zuerst greife ich die Moglichkeit mit den Binomialkoeffizienten noch einmal auf. Dies war einer derGrunde fur den Wechsel zu Matlab. Das in Kapitel 1.1 vorgestellte Programm habe ich zuerst miteiner Integerdeklaration geschrieben und somit erreichte es sehr schnell seine Grenzen, denn schon bei15! = 1, 30 · 1012 lieferte es falsche Werte. Die Losung dieses Problems ist den Datentyp in long doublezu andern. Dies zeigt nun Werte bis

(17085

)an, was 9, 14484 · 1049 entspricht.

In Matlab haben ich dafur nun zuerst eine rekursive Funktion fur die Fakultat geschrieben, die ebenfallswieder die Funktionsaufrufe zahlt. Matlab liefert den großten Wert der Fakultatsfunktion fur 170!. Diesist 7, 2574 · 10306.Dann fehlt nur noch eine Funktion fur die Berechnung des Binomialkoeffizienten.

1 f unc t i on [ binomk , au f ru f e ]= func t i onb i nom i a l k o e f f (n , k , au f ru f e )2 x=zero s ( 1 , 2 ) ;3 y=zero s ( 1 , 2 ) ;4 z=zero s ( 1 , 2 ) ;

8

5 [ nfak , naufr ]= f a ku l t a e t (n , 0 ) ;6 [ nkfak , nkaufr ]= f a ku l t a e t (n−k , 0 ) ;7 [ kfak , kaufr ]= f a ku l t a e t (k , 0 ) ;8 x=[nfak , naufr ] ;9 y=[nkfak , nkaufr ] ;

10 z=[kfak , kaufr ] ;11 binomk=x (1 )/ ( y (1)∗ z ( 1 ) ) ;12 au f ru f e=x(2)+y(2)+z ( 2 ) ;13 end

Diese Funktion speichert die Ruckgabewerte der Funktion der Fakultat in Vektoren. Durch den erstenWert der jeweiligen Vektoren wird zum Schluss der Binomialkoeffizient berechnet und durch den zweitenWert die Anzahl aller Fakultatsaufrufe. Zum Schluss gibt die Funktion diese beiden Werte zuruck. Dengroßten Wert den die Funktion berechnen kann, ist

(17075

).

Jetzt fehlt nur noch ein Programm zur Anzeige des Dreiecks. Dies sieht wie folgt aus:

1 i =1;2 j =1;3 max=10;4 binomkoeff=zero s (max ,max ) ;5 x=zero s ( 1 , 2 ) ;6 au f ru f e=zero s (max ,max ) ;7

8 f o r n=0:max9 j =1;

10 f o r k=0:n11 [ sum , au f r ]= func t i onb i nom i a l k o e f f (n , k , 0 ) ;12 x=[sum , au f r ] ;13 binomkoef f ( i , j )=x ( 1 ) ;14 au f ru f e ( i , j )=x ( 2 ) ;15 k=k+1;16 j=j +1;17 end18 n=n+1;19 i=i +1;20 end21

22 binomkoeff23 au f ru f e

Dieses Programm besteht hauptsachlich aus zwei ineinander steckenden for-Schleifen. Darin werden, inden zuvor erstellten und mit Nullen gefullten Matrizen, Zahlen eingelesen. Die erste Matrix zeigt dasPascalsche Dreieck an und die zweite die Anzahl der Funktionsaufrufe. Wobei hier dies die Haufigkeitaller Aufrufe der Funktion der Fakultat beschreibt. Fur max= 10 erhalt man folgendes.

Abbildung 10: Ausgabe des Pascalschen Dreiecks uber die Matrix

9

Abbildung 11: Ausgabe der Aufrufe der Fakultat als Matrix

In der Matrix der Funktionsaufrufe stehen die Eintrage fur die Anzahl der Funktionsaufrufe fur dasjeweilige Element. Man erkennt, dass allein fur die oberste Eins die Funktion Fakultat 3 mal aufgerufenwerden muss. Fur die Eins in der elften Zeile hingegen schon 21 Aufrufe. Dies zeigt, dass die Berechnungauf diese Weise nicht sehr effizient ist.

3.2 Summenbildung

Eine weitere Moglichkeit zur Berechnung ist die Summenbildung. Die Idee dahinter ist, dass man jedesElement berechnet, in dem man die Summe der beiden daruber liegenden Eintragen bildet. Dazu habeich eine rekursive Funktion functionssumme geschrieben. Die Merkmale von ihr sind den jeweiligen Wertim Pascalschen Dreieck zu berechnen, die Anzahl der Aufrufe von sich sowie die Anzahl der Additionenzu zahlen. Dies sind ihre Ruckgabewerte.

1 f unc t i on [ sum , au f ru fe , add]=functionsumme (n , k , au f ru fe , add )2

3 i f ( ( k==0) | |( k==n ) )4 au f ru f e=au f ru f e +1;5 add=add ;6 sum=1;7 e l s e i f ( k==n)8 au f ru f e=au f ru f e +1;9 add=add ;

10 sum=1;11 e l s e i f (k>n)12 au f ru f e=au f ru f e +1;13 add=add ;14 sum=0;15 e l s e i f (k<0)16 au f ru f e=au f ru f e +1;17 add=add ;18 sum=0;19 e l s e20 summe1=0;21 aufr1=0;22 addi1=0;23 [ summe1 , aufr1 , addi1 ]=functionsumme (n−1 ,k−1 , au f ru fe , add ) ;24 summe2=0;25 aufr2=0;26 addi2=0;27 [ summe2 , aufr2 , addi2 ]=functionsumme (n−1 ,k , au f ru fe , add ) ;28 x=zero s ( 1 , 3 ) ;29 y=zero s ( 1 , 3 ) ;30 x=[summe1 , aufr1 , addi1 ] ;

10

31 y=[summe2 , aufr2 , addi2 ] ;32 sum=x(1)+y ( 1 ) ;33 au f ru f e=x(2)+y (2)+1;34 add=x(3)+y (3)+1;35

36 end37 end

Fur die Ausgabe kann man das Grundprinzip aus Kapitel 3.1 nehmen, jedoch abgeandert mit 3 Matritzen.So erhalt man in der ersten Matrix die Ausgabe des Pascalschen Dreiecks, in der zweiten Matrix dieFunktionsaufrufe und in der dritten die Anzahl der Additionen.

Abbildung 12: Ausgabe der Aufrufe der Summenbildung als Matrix

Man erkennt, dass die Anzahl der Funktionsaufrufe der Randelemente relativ klein ist. Wenn man sichjedoch die Werte der 11. Zeile betrachtet, erkennt man, dass die Funktionsaufrufe sehr schnell steigen.Dies geschieht, da zum Beispiel das mittlerste Element der elften Zeile berechnet wird durch Addition derbeiden daruberstehenden. Diese mussen jedoch auch rekursiv berechnet werden. Dies fuhrt letztendlichdazu, dass die vorherigen Werte immer wieder neu berechnet werden.

Abbildung 13: Ausgabe der Anzahl der Additionen als Matrix

Das zu Abbildung 12 beschriebene kann man hier ebenfalls beobachten. Die Additionen am Rand sindzwar null. Betrachtet man jedoch die Mitte, so erkennt man, dass die Werte der Anzahl der Additionen

11

sehr stark ansteigt.Deshalb stellt sich nun die Frage, wie man dies optimieren konnte und dies fuhrt zu dem dritten Pro-gramm.

3.3 Summenbildung optimieren

Jetzt habe ich mir uberlegt wie man die Summenbildung optimieren kann. Dazu habe ich mir die Ei-genschaften des Pascalschen Dreiecks noch einmal angesehen. Wie in Abschnitt 2.1 erklart, enthalt dasPascalsche Dreieck figurierte Zahlen. Da man die Dreieckszahlen mit der oben genannten Formel direktberechnen kann, kann man diese Eigenschaften zur Optimierung nutzen. Zur Optimierung andert mandas in Kapitel 3.2 gezeigte Programm wie folgt ab.

1 f unc t i on [ sum , au f ru fe , add]= f u n c t i o n f i g u r i e r t (n , k , au f ru fe , add )2

3 i f ( k==0)4 add=add ;5 au f ru f e=au f ru f e +1;6 sum=1;7 e l s e i f (n==k)8 add=add ;9 au f ru f e=au f ru f e +1;

10 sum=1;11 e l s e i f ( k==1)12 add=add ;13 au f ru f e=au f ru f e +1;14 sum=n ;15 e l s e i f ( k==(n−1))16 add=add ;17 au f ru f e=au f ru f e +1;18 sum=n ;19 e l s e i f ( ( n>=2)&&(k==2))20 add=add ;21 au f ru f e=au f ru f e +1;22 sum=(n∗(n−1)/2) ;23 e l s e i f ( ( n>=2)&&(k==(n−2)))24 add=add ;25 au f ru f e=au f ru f e +1;26 sum=(n∗(n−1)/2) ;27 e l s e28 summe1=0;29 aufr1=0;30 addi1=0;31 [ summe1 , aufr1 , addi1 ]= f u n c t i o n f i g u r i e r t (n−1 ,k−1 , au f ru fe , add ) ;32 summe2=0;33 aufr2=0;34 addi2=0;35 [ summe2 , aufr2 , addi2 ]= f u n c t i o n f i g u r i e r t (n−1 ,k , au f ru fe , add ) ;36 x=zero s ( 1 , 3 ) ;37 y=zero s ( 1 , 3 ) ;38 x=[summe1 , aufr1 , addi1 ] ;39 y=[summe2 , aufr2 , addi2 ] ;40 sum=x(1)+y ( 1 ) ;41 au f ru f e=x(2)+y (2)+1;42 add=x(3)+y (3)+1;43

44 end45 end

Man erweitert die If-Bedingungen. Hierbei legt man nun fest, dass in den außeren Diagonalen, also(n0

)sowie

(nn

)immer Einsen stehen. In den zweiten Diagonalen,

(n1

)sowie

(n

n−1), stehen die naturlichen Zah-

len. Das bedeutet, dass man die Summe, die die Funktion als Wert zuruck gibt, direkt mit n festgelegtwird. In der dritten Diagonalen stehen dann die Dreieckszahlen und auch hier wird der Ruckgabewertdirekt uber die Formel zur Berechnung der Dreieckszahlen festgelegt. So spart man sich dauerhaft einigeAdditionen.

12

Die Ausgabe erfolgt analog wie in 3.1 und 3.2. Man erhalt folgende Matrizen fur die Anzahl der Funkti-onsaufrufe sowie der Additionen.

Abbildung 14: Ausgabe der Anzahl der Funktionsaufrufe als Matrix

Man erkennt, dass die Anzahl der Funktionsaufrufe in den außeren drei Diagonalen immer Eins ist. Auchdie mittleren Werte, zum Beispiel in der elften Zeile, sind nicht extrem groß.

Abbildung 15: Ausgabe der Anzahl der Additionen als Matrix

Ebenfalls ist die Anzahl der Additionen in den außeren drei Diagonalen auffallig, denn dort sind die Addi-tionen null. Betrachter man die mittleren Werte der untersten Zeile, so erkennt man, dass die Additionenalles in allem relativ gering bleiben.

3.4 Vergleich

Im Folgenden werde ich die drei Programme miteinander vergleichen. Fur den Vergleich habe ich dasmittlerste Element jeder Zeile berechnen lassen und die Funktionsaufrufe sowie die Anzahl der Additio-nen gespeichert.

13

Abbildung 16: Vergleich der Funktionsaufrufe der 3 Programme

Auf der Grafik ist auf der x-Achse die jeweilige Zeile und auf der y-Achse die Anzahl der Funktionsaufrufefur das mittlerste Element aufgetragen.Die blaue Kurve beschreibt das Verhalten der Summenbildung, die grune Kurve das Verhalten der Summemit den Dreieckszahlen und die rote Kurve die Fakultat(Berechnung mit Binomialkoeffizienten). Manerkennt, dass die blaue Kurve sehr stark ansteigt. Sie ist ab der funften Zeile die steilste Kurve undbraucht fur das mittlerste Element der achten Zeile schon knapp 70 Aufrufe.Die rote Kure, die Funktion der Fakultat-also Berechnung uber den Binomialkoeffizienten, ist bei denersten vier Zeilen am steilsten. Hierbei muss man jedoch beachten, dass es sich nur um 3 Funktionsaufrufehandelt und dies im Vergleich zu den beiden Summenfunktionen, die beide einen Funktionswert von einshaben, kein großer Unterschied ist. Des Weiteren erkennt man, dass die rote Kurve in der achten Zeilewesentlich weniger Funktionsaufrufe als die Summenbildung hat.Die grune Kurve, die Funktion der mit den Dreieckszahlen optimierten Summe, ist die flachste Kurve.Sie ist bis zur sechsten Zeile konstant eins. Dann beginnt sie zu steigen, liegt in der achten Zeile aberimmer noch unter 10 Funktionsaufrufen. Jedoch sind acht Zeilen nicht sehr aussagekraftig.

Abbildung 17: Vergleich der Funktionsaufrufe der 3 Programme

Dies ist aus dem oben genannten Grund eine Grafik, die die Funktionen bis Zeile 26 zeigt. Man beachte,dass die Skalierung der y-Achse bei 106 liegt.Es ist deutlich zu erkennen, dass die blaue Kurve von allen am steilsten steigt. In Zeile 25 braucht sie ca.5, 5 · 106 Aufrufe. Fur den Wert in Zeile 26 dann sogar 10 · 106 Aufrufe.

14

Die grune Kurve fangt auch starker an zu steigen, jedoch lange nicht so stark wie die blaue. Die roteKurve besitzt langfristig gesehen deutlich weniger Funktionsaufrufe als die anderen beiden.Dies bedeutet letztendlich, dass die alleinige Summenbildung die mit Abstand meisten Funktionsaufrufebesitzt. Die optimierte Summenbildung besitzt fur großer werdende n mehr Funktionsaufrufe als die Bil-dung uber die Binomialkoeffizienten mit der Fakultat.

Des Weiteren habe ich zwischen den beiden Summenfunktionen die Anzahl der Additionen gezahlt undgrafisch dargestellt.

Abbildung 18: Vergleich der Additionen der Summenfunktionen

Abbildung 18 zeigt anhand der blauen Kurve, dass die alleinige Summenbildung mehr Additionen verwen-det als die optimierte Summenbildung. Fur großer werdende n ist ein deutlicher Unterschied erkennbar.Dies zeigt auch die nachfolgende Abbildung. Hier wird der extreme Unterschied der beiden Funktionendeutlich. Wahrend die optimierte Summe in Zeile 25 erst bei ca. 0, 2 · 106 Additionen ist, ist die alleinigeSummenbildung schon bei ca. 2, 7 · 106 Additionen.

Abbildung 19: Vergleich der Additionen der Summenfunktionen

15

Abschließend kann man zusammenfassend sagen, dass die Fakultat die gunstigste Funktion ist. Die Sum-menbildung hat die meisten Funktionsaufrufe und auch die meisten Additionen. Im Vergleich zu dieserist die Optimierung mithilfe der Dreieckszahlen eine gute Moglichkeit die Summenbildung zu verbessern.Trotzdem muss auch erwahnt werden, dass die Erzeugung der Abbildung 19 mehrere Sekunden gedauerthat. Dies verdeutlicht noch einmal, dass die Summenbildung recht aufwandig ist. Somit folgt naturlich,dass die Berechnung durch den Binomialkoeffizienten mithilfe der Fakultat die schnellste Moglichkeit ist.

4 Anwendungen

Es gibt mehrere Anwendungen des Pascalschen Dreiecks auf die ich kurz eingehen mochte.

4.1 Binomischer Lehrsatz

Einer der bekanntesten Anwendungen ist der Binomischer Lehrsatz.

n∑k=0

(n

k

)· xk · yn−k = (x + y)n

Mit seiner Hilfe kann man gut beliebige Potenzen von Binomen ausmultiplizieren. Hierbei gibt das Pascal-sche Dreieck die Koeffizienten an. Zum Beispiel gilt fur (a+b)3: Man schaut zuerst in die dritte Zeile 4 desPascalschen Dreiecks und erhalt die Koeffizienten 1,3,3,1. Dann gilt (a+b)3 = 1·a3+3·a2 ·b+3·a·b2+1·b3.Man kann auch Binome der Art von (a− b)n ausmultiplizieren. Hierfur schaut man in die n-te Zeile desPascalschen Dreiecks um die Koeffizienten zu erhalten. Das Minuszeichen ist immer bei ungeraden Poten-zen von b vorhanden. Jedoch ist diese Vorgehensweise fur sehr große n unbrauchbar. Denn man brauchtedie n-te Zeile des Pascalschen Dreiecks, was wie oben gezeigt ein großer Rechenaufwand ist. Dies gilt imBesonderen, wenn es von Hand berechnet werden soll.

4.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Eine weitere Anwendung ist die Verwendung des Pascalschen Dreiecks in der Kombinatorik. Hierfur istvermutlich das bekannteste Beispiel das Ziehen der Lottozahlen. Man hat 49 durchnummerierte Kugelnaus denen 6 Stuck ohne Zurucklegen gezogen werden. Nun stellt sich die Frage, wie viele Kombinati-onsmoglichkeiten es gibt diese 6 Kugeln zu erhalten. Man berechnet dies mit dem Binomialkoeffizienten,also

(496

). Dies ergibt 13983816 Moglichkeiten.

Eine Weitere Anwendung ist das Galtonbrett.

[8]

Abbildung 20: Galtonbrett

Es funktioniert wie folgt: Man”wirft“ zum Beispiel eine Kugel in den obigen Trichter. Stellt man sich

jetzt vor, dass die roten Punkte Nagel seien, so hat die Kugel immer die Moglichkeit links oder rechtsdaran vorbeizugehen. Man geht davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit fur beide Ereignisse je 1

2 betragt.Legt man daruber jetzt das Pascalsche Dreieck in der Darstellung mit den Binomialkoeffizienten, so erhalt

4Nummerierung beginnt bei 0

16

jeder Punkt eine eindeutige Kennzeichnung. Der oberste rote Punkt ware somit(00

), der linke in der Reihe

darunter folglich(10

). Die Binomialkoeffizienten, die den Punkten zugeordnet wurden, geben ebenfalls die

Anzahl der Moglichkeiten, die es gibt um zu diesem Punkt zu gelangen, an. Daraus folgt sofort, dass deroberste rote Punkt nur auf einem Weg zu erreichen ist. Zu dem mittlersten Punkt in der dritten Reihe,wenn der oberste Punkt die erste Reihe bildet, gelangt man auf zwei Wegen. Die erste Moglichkeit ist,dass die Kugel in der ersten Reihe rechts herunterfallt und dann in der zweiten Reihe links. So trifft sieauf den mittlersten in der dritten Reihe. Die zweite Moglichkeit ist, dass die Kugel in der obersten Reihenach links fallt und in der zweitel Reihe nach rechts. So gelangt man wieder an den mittlersten Punkt derdritten Reihe. Es gibt also genau 2 Moglichkeiten dahin zu gelangen. Dies entspricht

(21

). Jedoch ist zu

beachten, dass die Wege immer nur von oben nach unten gehen. Man darf somit nicht Ruckwartsgehen.

4.3 Abzahlbarkeit

Mithilfe des Pascalschen Dreiecks kann man auch die Abzahlbarkeit der rationalen Zahlen zeigen. Be-trachtet man zu Beginn die erste Doppelreihe (1. und 2. Diagonale), so sieht man folgende Elemente: 1- 1, 1 - 2, 1 - 3,1 - 4,... Man schaut mit welcher Zahl die linke multipliziert werden muss, um die rechtezu erhalten. Bei der ersten Doppelreihe sind es somit alle naturlichen Zahlen. Betrachtet man sich jetztdie zweite Doppelreihe, also die 2. und 3. Diagonale, dann sieht man folgende Elemente: 2 - 1, 3 - 3, 4 -6, 5 - 10, ... Uberlegt man auch hier wieder, mit welcher Zahl man die linke multiplizieren muss um dierechte zu erhalten, so erhalt man: 1

2 ,22 ,

32 ,

42 ,...

Die dritte Doppelreihe, also die 3. und 4. Diagonale, zeigte folgende Werte: 3 - 1, 6 - 4, 10 - 10, 15 - 20,21 - 35,... Jetzt uberlegt man wieder, mit welcher Zahl die linke multipliziert werden muss, um die rechtezu erhalten. Man kommt auf folgendes : 1

3 ,23 ,

33 ,

43 ,

53 , ...

Dieses Muster lasst sich nach unten fortstetzen und man erhalt alle 4tel, 5tel,... .Daraus folgt es sind alle Bruchzahlen im Pascalschen Dreieck indirekt vorhanden und damit lasst sich dieAbzahlbarkeit veranschaulichen.

4.4 Anzahl von Elementen von Polytopen

Betrachten wir uns ein Dreieck. Dies hat eine zweidimensionale Flache-sich selbst. Es hat drei eindimen-sionale Elemente- seine Kanten- sowie drei nulldimensionale Elemente-seine Ecken. Man erhalt folgendeZahlenfolge: 1,3,3.Fugt man am Ende eine 1 hinzu, so erhalt man die dritte Zeile des Pascalschen Dreiecks.Diese letzte hinzuzufugende Eins steht fur einen Eckpunkt, der hinzugefugt werden muss, um ein dreidi-mensionales Objekt zu erhalten. Verbindet man namlich alle vorhandenen Ecken mit dem neuen Punkt soerhalt man einen Tetraeder. Dieser wird dann durch die vierte Zeile widergespiegelt. Das Dreieck hat keindreidimensionales Element, der Tetraeder hat eins. Somit ergibt sich fur die vierte Zeile 0 + 1 = 1. DasDreieck hat ein zweidimensionales Element und bei dem Tetraeder kommen 3 neue Flachen hinzu. Darausfolgt 1 + 3 = 4 fur die nachste Zahl der viertel Zeile. Das Dreieck hat drei eindimensionale Elemente.Fur den Tetraeder entstehen 3 neue Kanten, das bedeutet insgesamt gilt 3 + 3 = 6. NulldimensionaleElemente besitzt das Dreieck wie oben genannt 3 Stuck. Um den Tetraeder zu bilden wird ein neuerEckpunkt hinzugefugt, das bedeutet 3 + 1 = 4. Somit ergibt sich die vierte Zeile als 1,4,6,4,1. Die letzteEins wird wieder fur den nachsten Eckpunkt hinzugefugt.Man kann auch aus den Zeilen des Dreiecks die Anzahl der Elemente eines Polytopes herausfinden. Hierfurbetrachtet man sich die Zeilen und kommt somit auf die Anzahl der Elemente.

5 Erweiterungen

Es gibt die verschiedensten Arten von Erweiterungen uber die ich im folgenden einen kleinen Uberblickverschaffen mochte.

5.1 Trinomial Triangle

Das Trinomial Tiangle ist eine Abwandlung des Pascalschen Dreiecks. Anstatt wie bei dem PascalschenDreieck die Summe aus 2 Eintragen zu bilden, wird hier die Summe aus den drei daruberstehendenEintragen gebildet.

17

[10]

Abbildung 21: Trinomial Triangle

Dieses Dreieck hat jedoch kaum mathematische Relevanz.

5.2 Pascalsche Pyramide

Die Pascalsche Pyramide ist eine dreidimensionale Verallgemeinerung des Pascalschen Dreiecks. Die Ei-genschaften des Pascalschen Dreiecks lassen sich hier sinngemaß ubertragen.Die Spitze der Pyramide ist eine eins. Die Bildung der einzelnen Ebenen lasst sich wie folgt beschreiben.Stellt man sich einen Tetraeder vor und schneidet ihn horizontal, so sind die Schnittflachen Dreiecke. Ge-nau dies sind somit auch die einzelnen Ebenen der Pyramide. Die Außenkanten des n-ten Dreiecks, alsoder n-ten Ebene, entsprechen der n-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks. Die Fullung des Innenraums desn-ten Dreiecks funktioniert folgender Maßen. Will man die m-te Zeile des Dreiecks fullen, so multipliziertman den jeweiligen Eintrag der m-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks mit der an der Außenkante bereitseingetragen Zahl. Nun bilden wir die Pascalsche Pyramide Ebene fur Ebene nach. In der nullten Ebenesteht eine einzige Eins. In der ersten Ebene folgt das erste Dreieck.

11 1

Hierbei hat man nur Außenkanten die aus Einsen bestehen, was der ersten Zeile des Pascalschen Drei-ecks entspricht. Auch hier gilt wieder, dass die Nummerierung bei Null beginnt.Die zweite Ebene ergibtebenfalls ein Dreieck ohne Innenraum.

12 2

1 2 1Die Außenkanten werden gebildet durch die zweite Zeile des Pascalschen Dreiecks. Bei der dritten Ebenentritt zum ersten Mal ein zu berechnender Innenraum auf. Dies funktioniert wie folgt.

13 3

3 6 31 3 3 1

Die Außenkanten werden analog gebildet. Der Innenraum ist in diesem Fall nur die 6. Sie wird gebildet,indem man sich die Stelle, an der sie steht, anschaut. Auf diesem Platz steht im Pascalschen Dreieck die2. Nun wird die 2 mit dem Wert der Außenkante multipliziert 2 · 3 = 6. Die Bildung der weiteren Ebenengeht analog.

5.3 Trinomialkoeffizienten

Die Trinomialkoeffizienten sind in der Pascalschen Pyramide vorhanden und sind eine Erweiterung derBinomialkoeffizienten. Sie werden berechnet durch

(i + j + k)!

i!j!k!

mit i + j + k = n. Die Bildung der Pyramide lasst sich auch darauf zuruckfuhren.

(i + j + k)!

i!j!k!=

(i + j + k)!

(i + j)! ∗ k!∗ (i + j)!

i!j!

Man erkennt, dass der Eintrag aus der m-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks mit dem an der Seiteeingetragenen Faktor multipliziert werden muss. Eine Ahnlichkeit mit den Binomialkoeffizienten erkenntman vor allem, wenn man diesen Therm i + j + k = n nach i auflost und dies dann in die obige Formeleinsetzt.

18

5.4 Multinomialkoeffizienten

Die Multinomialkoeffizienten sind eine Verallgemeinerung der Binomialkoeffizienten. Sie werden wir folgtgebildet. (

n

k1, ..., kr

)=

n!

k1! ∗ ... ∗ kr!

Sie werden auch in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet. Es wird die Anzahl der Moglichkeitenberechnet n Objekte in r Schachteln zu legen. Hierfur ein Beispiel:Wie viele Moglichkeiten gibt es, die 32Karten eines Skartspiels zu je 10 Karten auf 3 Spieler und 2 Restkarten zu verteilen?Zuerst uberlegt man, wie viel Objekte man hat. Hier entspricht dies n = 32. In 3 Schachteln sind je 10Karten und in der vierten sind 2. Deswegen muss man folgendes berechnen:(

32

10, 10, 10, 2

)=

32!

10! · 10! · 10! · 2!

5.5 Matrixexponential

Das Pascalsche Dreieck kann man als Matrix mithilfe dem Matrixexponential darstellen. Hierfur hatman eine quadratische Matrix A, die Eintrage ungleich null unter der Hauptdiagonalen stehen hat. DieseEintage sind die naturlichen Zahlen.

[11]

Abbildung 22: Matrixexponential

Fur die Berechnung des Matrixexponentials nutzt man die Reihendarstellung von e.

ex =

∞∑k=0

xk · 1

k!

Fur das x wir die Matrix A eingesetzt. Man schaut, ob die Matrix A nilpotent ist, das heißt, ob An dieNullmatrix ergibt. Trifft dies zu, so hat man nur eine endliche Summe zu berechnen. Als Beispiel siehtdie Matrix A wie folgt aus:

0 0 0 01 0 0 00 2 0 00 0 3 0

Jetzt folgt die Untersuchung, ob sie nilpotent ist. A2 = A ·A

0 0 0 00 0 0 02 0 0 00 6 0 0

A3 = A2 ·A ergibt:

0 0 0 00 0 0 00 0 0 06 0 0 0

A4 = A3 ·A ergibt:

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

19

Man sieht, dass A4 die Nullmatrix ist. Somit wird jetzt folgendes berechnet.

ex =

∞∑k=0

xk · 1

k!= A0 + A1 +

1

2·A2 +

1

6·A3

Dies ergibt dann das Pascalsche Dreieck. 1 0 0 01 1 0 01 2 1 01 3 3 1

5.6 negative Erweiterung

Matrixexponential

Man kann das Pascalsche Dreieck auch ins negative erweitern. Hierfur ist eine Moglichkeit, in dem mandas Matrixexponential benutzt, jedoch nicht nur mit den naturlichen Zahlen, sonder mit den ganzenZahlen. Dies funktioniert jedoch genauso wie in Kapitel 5.5 beschrieben.

[11]

Abbildung 23: Erweiterung mit negativen n

Abbildung 23 zeigt, wie das Pascalsche Dreieck aussieht, wenn man es mit dem Matrixexponential mitden ganzen Zahlen bildet. Alle stellen mit Punkten entsprechen Nullen. Unten rechts erkennt man dasPascalsche Dreieck. Man erkennt, dass die Erweiterung oben links stattfindet. Auffallig ist, dass dieErweiterung aus den gleichen Zahlen besteht und es sieht so aus, als ob es an der Diagonalen von rechtsoben nach links unten gespiegelt ist. Jedoch sind hier nicht alle Elemente positiv.

Summenformel

Eine andere Moglichkeit fur die Erweiterung ist die Berechnung mit einer Summenformel.(n

m

)=

(n− 1

m− 1

)+

(n− 1

m

)Stellt man diese folgendermaßen um, kann man damit die weiteren Elemente berechnen.(

n− 1

m

)=

(n

m

)−(n− 1

m− 1

)Jetzt geht man in drei Schritten vor. Zuerst schreibt man sich das Pascalsche Dreieck noch einmal hin.

m=0 m=1 m=2 m=3 m=4 m=5 ...n=0 1 0 0 0 0 0 ...n=1 1 1 0 0 0 0 ...n=2 1 2 1 0 0 0 ...n=3 1 3 3 1 0 0 ...n=4 1 4 6 4 1 0 ...

Im zweiten Schritt zahlt man die n negativ nach oben und schreibt in die Spalte m = 0 nur Einsen.m=0 m=1 m=2 m=3 m=4 m=5 ...

n=-4 1n=-3 1n=-2 1n=-1 1n=0 1 0 0 0 0 0 ...n=1 1 1 0 0 0 0 ...n=2 1 2 1 0 0 0 ...

20

Die noch freien Stellen fullt man mit der oben genannten Summenformel aus und dies ergibt dann: 1.n = 0,m = 1 (

−1

1

)=

(0

1

)−(−1

0

)= 0− 1 = −1

2.n = −1,m = 1 (−2

1

)=

(−1

1

)−(−2

0

)= −1− 1 = −2

3. n = 0,m = 2 (−1

2

)=

(0

2

)−(−1

1

)= 0− (−1) = 1

Fur die Berechnung der restlichen Werte geht man analog fort und man erhalt :m=0 m=1 m=2 m=3 m=4 m=5...

n=-4 1 -4 10 -20 35 -56 ...n=-3 1 -3 6 -10 15 -21 ...n=-2 1 -2 3 -4 5 -6 ...n=-1 1 -1 1 -1 1 -1 ...n=0 1 0 0 0 0 0 ...n=1 1 1 0 0 0 0 ...n=2 1 2 1 0 0 0 ...

6 Fazit

Zusammenfassend kann man sagen, dass das Pascalsche Dreieck sehr viele interessante Eigenschaften hat.Dies erstaunt umso mehr, wenn man sich die einfache Bildung vor Augen fuhrt. Es stecken viele Musterund Folgen in ihm. Obwohl es nur durch Additionen gebildet wird, kann man sogar eine irrationaleZahl, die Eulersche Zahl, darin entdecken. Ein genauso erstaunliches Merkmal ist der Nachweis derAbzahlbarkeit.Fur die Programmierung des Pascalschen Dreiecks gibt es mehrere Moglichkeiten. Ich habe gezeigt, wieman die Summenbildung mithilfe der Dreieckszahlen optimieren kann. Dies konnte man noch weiteroptimieren, indem man die Formel fur die direkte Berechnung der Tetraederzahlen ebenfalls einbaut.Damit hatte man noch 2 Diagonalen mehr die direkt berechnet werden konnen.Des Weiteren gibt es noch viel in dem Pascalschen Dreieck und seinen Erweiterungen zu entdecken.Zu Beginn habe ich den Zusammenhang zwischen dem Pascalschen Dreieck und dem Siepinski-Dreieckgezeigt. Das Pascalsche Dreieck hat als Verallgemeinerung die Pascalsche Pyramide. Das Siepinkski-Dreieck hat auch eine Verallgemeinerung als Pyramide. Auch zwischen den beiden Pyramiden gibt esahnliche Zusammenhange wie zwischen den Dreiecken.

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Literatur

[1] http://de.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal

[2] http://www.automatisierungstechnik-koeln.de/ma/pascal_dreieck.gif

[3] http://gfs.khmeyberg.de/0809/0809Kurs12Ma1e/0809UnterrichtMathematik12MA1eStochastik.

html

[4] http://de.wikipedia.org/wiki/Dreieckszahlen

[5] http://www.michael-holzapfel.de/themen/pascaldreieck/pascal9.gif

[6] http://www.serlo.org/uploads/1563.png

[7] http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sierpinski-Trigon-7.svg

[8] http://www.google.de/imgres?sa=X&rlz=1C1OPRA_enDE570DE570&espvd=210&es_sm=

93&biw=1280&bih=699&tbm=isch&tbnid=xUtvkTVrWhnEqM%3A&imgrefurl=http%3A%2F%

2Fde.wikibooks.org%2Fwiki%2FZufall&docid=NXEm7lxxljjY1M&imgurl=http%3A%2F%

2Fupload.wikimedia.org%2Fwikipedia%2Fcommons%2Fthumb%2F7%2F78%2FGalton_Box.

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1&iact=rc&dur=2726&page=1&start=0&ndsp=21&ved=0CI4BEK0DMBE

[9] Ursula Bicker, Produktives Uben und Argumentieren mit dem Pascal-Dreieckhttp://www.mathematik.tu-dortmund.de/ieem/cms/media/BzMU/BzMU2010/BzMU10_

BICKER_Ursula_Pascal-dreieck.pdf, 18.11.2013

[10] http://de.wikipedia.org/wiki/Trinomial_Triangle

[11] http://en.wikipedia.org/wiki/Pascals_Triangle

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