Die Netzgeometrie bei Messinstrumenten ohne...

Kolloquium an der FH Anhalt in Dessau07.07.2016

Die Netzgeometrie bei Messinstrumenten

ohne gegenseitige Beobachtung

P1 P3

P2

S1

S3

S2

Dipl.-Ing. Torsten Miertsch

GSI Helmholtzzentrum für Schwerionenforschung Darmstadt

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Agenda

• Die Geodäsie und die Erfassung der Erde• Das Dreieck als Grundfigur• Vollständige und bipartite Graphen• Bipartite Fachwerke• Quadriken im Rn

• Der Laser Tracker• Bipartite geodätische Netze• Bipartite Richtungsnetze im Rn

• Regelmäßige bipartite Strukturen• Das Möbius-Band und die Projektive Ebene P2

• Zusammenfassung



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Die geodätische Erfassung der Erde

• Geodäsie eine der ältesten Wissenschaften der Erde

• Erfassung der Erdoberfläche, lokal der R2 � die Kugel/Sphäre S2 (Planimetrie)

• Durch das Vordringen in den Kosmos geometrische Belange im R3 �

Satellitengeodäsie (Stereometrie)

• Beobachtungstypen sind Distanzen, Richtungen und Höhen (Höhenunterschiede, welche Distanzen im eindimensionalen Raum darstellen)

• Wichtiger Punkt im Vermessungswesen ist Orientierung



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Das Dreiecksnetz der Erde

• Im klassischen Vermessungswesen dienen n-Simplexe als Basis

• n-Simplexe: � Punkt – Gerade – Dreieck – Tetraeder – Pentachoron – 5-Simplex – usw.

• Dreieck einfachste Figur im RRRR2, bei bekannten Seitenlängen eindeutige Berechnung lokaler Koordinaten

• Unterteilung der Erdoberfläche in Dreiecksnetze � wie ein Netz aus der Graphentheorie

• Aus topologischer Sicht Triangulierung der Sphäre S2 in kombinatorische Flächen � kleinstmögliche Anzahl der Dreiecke ist dabei vier, was eine Äquivalenz vom Tetraeder zur Kugel aufzeigt



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0-Simplex1-Simplex 2-Simplex 3-Simplex

Bildquelle: https://cfd.gmu.edu/~jcebral/gallery/grd03/index.html

Tetraeder, Oktaeder und das Pentachoron



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Tetraeder Oktaeder

Das Pentachoron ist das Analog zum Dreieck und des Tetraeder im R4

Die Animation zeigt die Rotation des Pentachoronum eine Ebene im R4

Pentachoron(Projektion im R3)

Bildquellen:https://en.wikipedia.org/wiki/5-cellhttps://de.wikipedia.org/wiki/Tetraederhttps://de.wikipedia.org/wiki/Oktaeder

Die Triangulation und Trilateration im Vermessungswesen



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Einfaches trianguläres geodätisches Netz, bei dem die Kanten Distanzen, Richtungen oder auch Höhen darstellen können. Die Eckpunkte sind dabei Teilmenge der Vektorräume R1, R2 und R3

Auf Dreiecken basierende Punktbestimmungen in der Geodäsie



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• Folgende Auswahl klassischer Verfahren im R2 � dienen der Bestimmung von Punkten im Vermessungswesen

• Bogenschnitt, Vorwärts- und Rückwärtsschnitt, Doppelpunkteinschaltung

Bogenschnitt über 2 Distanzen si

(nicht eindeutig, da auch

Spiegelung möglich � fehlende Orientierung)

Vorwärtsschnitt über zwei bekannte Punkte Pi zur Bestimmung eines Neupunktes N

Rückwärtsschnitt über 3

Festpunkte Pi � gefährlicher Ort der gefährliche Kreis

N

N

N

N (gespiegelte Lösung)

N1

N2

P2 P1

P3P2

P1

P1P2

P2

P1

Doppelpunkteinschaltung über 2 unbekannte Standpunkte Ni zu 2 Festpunkten Pi

s1

s2s1

s2

Der koordinative Rahmen von Punkten im Rn



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• Im triangulären Fall kann man Punkten im Rn über Geraden, Dreiecken, Tetraedern (und auch Oktaedern, Ikosaedern), Pentachora und den n-Simplexen Koordinaten X1, …, Xn zuordnen

• Gibt es weitere Möglichkeiten, wie man Punkten im R2, R3 oder generell im Rn einen koordinativen Bezug geben kann?

Der trianguläre Fall im R2 über den 2-Simplex, dem Dreieck

?? Gibt es eine weitere Möglichkeit, diesen drei Punkten mithilfe von Längen (Distanzen) Koordinaten zuzuordnen ??

P1

P2P3

P1

P2P3

Der koordinative Rahmen von Punkten im Rn � der Weg zum bipartiten Fachwerk



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• Im triangulären Fall kann man Punkten im Rn über Geraden, Dreiecken, Tetraedern (und auch Oktaedern, Ikosaedern), Pentachora und den n-Simplexen Koordinaten X1, …, Xn zuordnen

• Gibt es weitere Möglichkeiten, wie man Punkten im R2, R3 oder generell im Rn einen koordinativen Bezug geben kann?

Der trianguläre Fall im R2 über den 2-Simplex, dem Dreieck

P1

P2P3

P1

P2P3

Der bipartite Fall im R2 über das bipartiteÄquivalent zum 2-Simplex

Q2

Q1

Q3

• Netze im Vermessungswesen � in abstrakter Weise Graphen

• Wichtige Graphen vollständige und bipartite Graphen (Kn und Km,n)

• Beim vollständigen Graphen kleinster geschlossener Kreis (Kantenzug) aus genau 3 Kanten! – 3 ist auch genau die Anzahl an Kanten beim Dreieck– Analogie zu den n-Simplizes– Begriffe Trilateration und Triangulation

• Beim vollständig bipartiten Graphen kleinster geschlossener Kreis (Kantenzug) aus genau 4 Kanten! – welches geometrische Objekt ist dazu äquivalent?– gibt es eine dem n-Simplex analoge Struktur?


Geodätische Netze als vollständige und vollständig bipartite Graphen



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Vollständiger Graph mit 5 Ecken

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S2

M1

M2

M3Vollständig bipartiter Graph mit 2 und 3 Ecken, die zueinander disjunkt sind

P1 P2

P3

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P5

• Einteilung in zwei disjunkte Teilmengen (S und M), bei denen es nur Relationen von S zu M oder M zu S gibt; niemals innerhalb der Teilmenge S oder Teilmenge M

• Bipartite Graphen finden Anwendungen in Netzwerken der Informatik, im Maschinenbau und in der Wirtschaft (Petri-Netze)

• Topologische Analysen beziehen sich auf das Einbetten von bipartiten Graphen in geschlossene Flächen wie der Sphäre S2, dem Torus T2 und der projektiven Ebene P2


Der bipartite Graph aus der Graphentheorie



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Der sogenannte „Utility Graph“, der bipartite Graph K3,3, der nicht plättbar ist.Er ist auf der Sphäre S2 nicht ohne Kreuzungen zeichenbar, sondern kreuzungsfrei erst auf dem Torus T2

• ein Fachwerk im Allgemeinen ist eine Konstruktion, das aus mehreren Stäben besteht, die jeweils an den Enden miteinander verbunden sind � Stabdreieck

• durch dieses Prinzip entstehen in dem Gebilde nur Zug- und Druckkräfte

• eingesetzt werden solche Fachwerke sehr häufig für Dächer und Brücken

Fachwerke



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Bildquelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Fachwerk

• Neben dem klassisch triangulären Fall existieren seit dem 19. Jahrhundert in der Statik Untersuchungen zu Fachwerken, deren Knoten in 2 disjunkte Mengen S und M zerfallen

• Es existieren nur Streben von der Menge S zur Menge M, niemals innerhalb der jeweiligen Gruppe

• Dabei traten zwei Fälle auf, die vermehrt Anwendung fanden und bei denen gewisse Besonderheiten erschienen

Das bipartite Fachwerk im Rn



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S1M1

S3

S2

M3 M2

k11

k23

k12

k21

k31

k13

k33 k32

k22

Fall 1 Bipartites Fachwerk M3,3 im R2

• In beiden Fällen liegen alle Punkte auf jeweils zwei Geraden:

• Im Fall 1 zwei Punkte von M und ein Punkt von S sowie ein Punkt von M und zwei Punkte von S

• Im Fall 2 liegen alle Punkte von S und von M jeweils auf einer Geraden

• In beiden Fällen stellte man fest, dass das Fachwerk wackelig und instabil wurde

• Man vermutete, dass diese Instabilität mit den sogenannten Quadriken zu tun hatte

Das bipartite Fachwerk im Rn



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S1S2

M2

S3

M1 M3

k11 k23

k12

k21k31k13

k33

k32

k22

Fall 2 Bipartites Fachwerk M3,3 im R2

• Bipartite Fachwerke (nur aus Distanzen) im Rn entarten, wenn sich alle Punkte auf einer

Quadrik befinden

• eine Quadrik ist im allgemeinen die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung mehrerer Unbekannter im Rn

− dabei ist diese Lösungsmenge in der Ebene i.A. eine Kurve, die einem Kegelschnitt entspricht (Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel, 2 Geraden)

− im Raum R3 ist diese Lösung eine Fläche zweiter Ordnung, die sowohl geschlossen als auch offen sein kann (Kugel, Ellipsoid, Kegel, Zylinder, Hyperboloid, Paraboloid, 2 Ebenen)

Das bipartite Fachwerk im Rn und die Quadriken



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Quadriken im R2 und R3



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Bildquelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Quadrik

EllipseParabel

Hyperbel Zwei sich schneidende Geraden

Ellipsoid Hyperbolischer Zylinder

Hyperbolisches Paraboloid

Zwei sich schneidende Ebenen

Gefährliche Lagen auf Quadriken im R2 und R3



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Gefährliche Lage auf einer Ellipse RRRR2Gefährliche Lage auf zwei Ebenen im RRRR3

Ebene der 4 Standpunkte

Ebene der 7 Zielpunkte

Interessanter Hinweis:

Liegen nur die 4 Standpunkte auf einer Ebene, die Zielpunkte dagegen sind völlig losgelöst von der Ebenheit, so erzeugt das dennoch einen Rangabfall von 2, und das obwohl alle Punkte nicht auf einer Quadrikliegen, sondern nur tlw. auf einer Ebene

• Erste Untersuchungen im Vermessungswesen gab es in den 60-70er Jahren durch das Aufkommen elektro-optischer Distanzmesser und in der Satellitengeodäsie

• In der Satellitengeodäsie waren vor allem die Positionen der Bodenstationen und Satelliten selber von großer Bedeutung, da diese Konstellationen ebenfalls bipartitenFachwerken entsprachen und quadrike Anordnungen sehr häufig vorkamen � vor allem die Ebenheit der Bodenstationen spielte eine große Rolle

Untersuchungen zu bipartiten Fachwerken im Rn



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Bildquelle: „Investigations of critical Configurations for fundamental Range Networks, Columbus, Ohio 1971, Seite 46

• Jedes Messinstrument, welches elektronisch, interferometrisch, per Laser, per Schall usw. fähig ist, eine Distanz zu messen, kann ein bipartites Streckennetz etablieren

• Dazu gehören im R3 Tachymeter, Laser Tracker (beide erfassen zusätzlich auch bipartiteRichtungsnetze) und der Laser Tracer, dem dabei eine besondere Bedeutung zukommt, da er reine Streckennetze ohne Richtungen misst, um daraus Kalibrationen für Messmaschinen abzuleiten

• Und selbst jedes Nivellier ist prinzipiell ein Instrument, das bipartite Strukturen aufbaut; hier aber im R1

• Bildverbände in der Photogrammetrie erfüllen ebenso die Definition eines bipartiten Netzes, in der alle Kamera-Standpunkte eine Gruppe bilden, die andere Gruppe durch die Targets und Objektpunkte entsteht � der funktionale Zusammenhang entsteht hier über die Bild-Koordinaten und die Koordinaten der Kameras

Messinstrumente zum Erfassen bipartiter geodätischer Netze



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Messinstrumente zum Erfassen bipartiter geodätischer Netze



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Leica TDRA6000

http://www.leica-geosystems.deFARO LT Vantage

http://www.faro.comLaserTRACER-NG

http://www.etalon-ag.com

Tachymeter Laser Tracker Laser Tracer

Leica LT AT402

http://www.hexagonmetrology.de

• Der Laser Tracker dient der geometrischen Erfassung von Objekten im R3 über Distanzen und Richtungen

• Wichtigstes Unterscheidungskriterium zu klassischen geodätischen Instrumenten ist die Loslösung vom Horizont � eine Horizontierung des Gerätes ist nicht erforderlich!

• Laser Tracker gleich welchen Typs werden vorrangig im Maschinenbau eingesetzt:– Analyse geometrischer Formen

– Ausrichtung von Maschinen

– Justage von Komponenten im Automobil-, Flugzeug- und wissenschaftlichen Maschinenbau

– Messung und Kalibrierung von Robotern

– U.v.m.

• Das bipartite Netz eines Laser Trackers entspricht einem kombinierten Netz (aus Distanzen und Richtungen), wobei als zusätzliche Unbekannte pro Standpunkt jeweils 3 Orientierungsunbekannte in Erscheinung treten

Der Laser Tracker als Messinstrument im Maschinenbau



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• Netzstrukturen beim Laser Tracker bei Objekten im Maschinenbau

– große Vorrichtungen im Automobil- und Flugzeugbau

– Geräte- und Instrumentenprüfungen usw.

– Netzmessungen bei Teilchenbeschleunigern

– strahlführende Magnete bei Teilchenbeschleunigern

Bipartite Netze mit dem Laser Tracker� Erfassung eines maschinenbautechnischen Objektes



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Bild von Magnet

Geometrische Erfassung eines Quadrupols für die FAIR-Maschine Cryring bei der GSI

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M1

M2

M3

M4

M5M6

M7

Der Laser Tracker als Instrument für Netzmessungen bei Teilchenbeschleunigern



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Aufbau im Transferkanal, einem Bereich der GSI-Maschine UNILAC(UNIversal Linear ACcelerator)

Laser-Tracker-Standpunkt auf einem Dipol im GSI-Bereich SIS18, einem nahezu kreisförmigen Schwerionensynchrotron

Laser-Tracker-Standpunkt auf einer Mess-Säule in der Hochenergiestrahlführung in der

GSI � der Bereich ist äußerst schmal und verlangt sorgfältige Planung und Logistik zur Durchführung der Netzmessung

• Aufgrund hoher Justiergenauigkeiten ( < 0.1 mm ) für strahlführende Magnete eines Teilchenbeschleunigers � Netzmessung der Maschine mit dem Laser Tracker

• Die Form des Netzes spiegelt die Geometrie der Maschine wieder � ringförmiges Netz bei einem kreisförmigen Synchrotron; als Beispiel der Schwerionensynchrotron SIS18 der GSI

• Messgenauigkeit eines Laser Trackers (am Beispiel des FARO Vantage):− Distanz: 16 µm + 0.8 µm/m

− Richtungen: 20 µm + 5 µm/m

Bipartite Netze mit dem Laser Tracker� Erfassung des Maschinenbereiches eines Teilchenbeschleunigers



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Bipartite Netze mit dem Laser Tracker� Erfassung des Maschinenbereiches eines Teilchenbeschleunigers



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• Der Laser Tracer der Firma ETALON ist ein Messinstrument, das über reine Distanzmessungen ein bipartites Streckennetz aufbaut � es korrespondiert zu 100% mit den bipartiten Fachwerken

• Durch einen Vergleich der Netzkoordinaten mit Soll-Positionen der Maschine können Kalibrierwerte für diese Maschine abgeleitet werden

• Aufgrund des Aufspannens der Netzpunkte als bipartites Streckennetz (bipartites Fachwerk) sind diese dem Einfluss der Quadriken unterlegen, sodass Analysen und Optimierungen fern der Quadrikenlage von großer Bedeutung sind

Bipartites Streckennetz mit dem Laser Tracer � Kalibrierung einer Messmaschine



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Kalib1

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Kalib4

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Kalib7

• Zusätzlich zu den Beobachtungen des Laser Trackers (Distanzen und Richtungen) werden Höhenunterschiede gemessen, um somit das Netz an die Erdkrümmung anpassen zu können

• Als Höhendatum fungiert dabei die lokale Anpassung an eine Kugel

• Höhen werden dabei häufig von einem Standpunkt erfasst und durch weitere netzartig verbunden

• Das Netz wird dabei nach Art eines bipartiten Netzes erfasst, bei dem die Höhen der Standpunkte ebenso als Unbekannte in die Ausgleichung eingehen können

Bipartites Höhennetz mit einem Nivellier� Begleitendes Nivellement bei Netzmessungen an Teilchenbeschleunigern



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Einfaches bipartites Höhennetz mit 4 Standpunkten und 5 Höhenpunkten

H1

H5

H4

H3 H2

S1

S4

S3

S2

• Ein bipartites Richtungsnetz entspricht der Definition eines bipartiten Graphen als gerichteter Graph von der Menge S (Standpunkte) zur Menge M (Mess- bzw. Zielpunkte)

• Pro Richtungsverband eines Standpunktes Si zu den Messpunkten Mj erscheinen innere Orientierungen als zusätzliche Unbekannte �

− Z.B. im R2 pro Standpunkt eine, im R3 drei und im R4 sechs Orientierungsunbekannte

• In den verschiedenen Dimensionen des Rn gibt es unterschiedliche Minimal- bzw. Basisfiguren, die bei Annahme vollständiger Bipartitheit statisch eindeutig aber auch überbestimmt sein können

Bipartite Richtungsnetze im Rn



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S1

S2

S3

S4

M1

M5

M4

M3

M2

Einfaches Beispiel eines bipartiten Richtungsnetz im Rn

mit 4 Standpunkten und 5 Zielpunkten

• Erste geometrische Analysen zeigen, dass bipartite Richtungsnetze im R2 ebenso entarten, wenn sich alle

Punkte auf einer Quadrik befinden � Kreise, Ellipsen, Parabeln, Hyperbeln, zwei Geraden

• die größte Anzahl der inneren Bewegungen zeigen sich beim Kreis, was direkt mit Peripheriewinkelbeziehungen erklärt werden kann

Bipartite Richtungsnetze im R2 und der Einfluss der Quadriken



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Gefährliche Lage eines bipartiten Richtungsnetzes im R2 auf einer Ellipse

• Im R3, R4 und einer Basisfigur im R5 zeigt sich jedoch im Gegensatz zu den Richtungsnetzen im R2 eine geometrische Resistenz gegenüber den Quadriken; eine Entartung war nicht aufgetreten!

• Der einzige Fall einer Entartung im R3 tritt dann auf, wenn sich das gesamte Netz einer Ebene und weiterhin alle Netzpunkte dem Ort eines Kegelschnittes annähern

• Richtungsnetze ab dem R3 unterliegen nicht dem Einfluss der Quadriken und besitzen eine kleinere Anzahl hinsichtlich der minimalen Punktmenge gegenüber den Streckennetzen im Rn

• Dieses Ungleichgewicht zwischen den minimalen Punkthüllen bei Strecken- und Richtungsnetzen und deren Kombinationen deutet darauf hin, dass bipartite Richtungsnetze ab dem R3 geometrisch stabilisierender wirken als die Streckennetze

Das Verhalten der Richtungsnetze ab dem R3



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Die Ebene R2

DistanzenRichtungen

RichtungenDistanzen

Der Raum R3

Das bipartite Äquivalent zum gleichseitigen Dreieck



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Die in der Abbildung gezeigten bipartiten Minimalfiguren (M3,3) im R2

F1 = S1S2S3M1M2M3

F2 = S1S2S3M4M5M6

können als äquivalent mit dem gleichseitigen Dreieck der Ebene betrachtet werden.

Die Punktgruppen S1S2S3, M1M2M3

und M4M5M6 unterliegen dabei besonderer geometrisch-algebraischer Eigenschaften

Die gepunktete Kurve (der dreiblättrige Kleeblattknoten aus der Knotentheorie) gibt den Ort bestimmter Konstellationen der Punktgruppen M1M2M3 und M4M5M6

an, die ebenfalls mit der Äquivalenz zum gleichseitigen Dreieck korrespondieren

F1

F2

Der dreiblättrige Kleeblattknoten

Das Möbius-Band und die Projektive Ebene P2



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s1

s3

s2

m1

m3

m2Das Möbius-Band

Die projektive Ebene

Bildquellen:http://www.spektrum.de/news/moebiusband-aus-verdrehtem-licht-erzeugt/1330055https://en.wikipedia.org/wiki/Manifold

• Vorstellung von geometrischen Strukturen im Euklidischen Raum Rn abseits der klassischen Betrachtungsweise � vom Dreieck zum Viereck als Grundfigur

• Einbindung und Verwendung dieser Strukturen in der mechanischen Welt� technische Mechanik – Statik – Vermessungswesen

• Herausarbeitung der Unterschiede im funktionalen Zusammenhang � Distanzen und Richtungen

• Die Quadriken als gefährlicher aber auch ungefährlicher Ort � Einfluss auf statistische Analysen und Betrachtungsweisen

• Die Beziehung dieser geometrischen Strukturen zur Topologie � mögliche Relationen zu den n-Simplizes

• Anreiz für weitere Untersuchungen � die Einbettung dieser Strukturen in gekrümmten Räumen (elliptisch und hyperbolisch)

Zusammenfassung



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• Bartsch, H.-J.: Taschenbuch Mathematischer Formeln, Fachbuchverlag Leipzig, 2001

• Beutelspacher, A; Rosenbaum, U.: Projektive Geometrie, Vieweg Verlag, 2004

• Blaha, Georges: Investigations of Critical Configurations for Fundamental Range Networks, Ohio State University, Columbus, Ohio. Department of Geodetic Science, 1971

• Bolker, E. D.; Roth, B.: When is a bipartite Graph a rigid framework?: Pacific Journal of

Mathematics, Vol. 90, No. 1, 1980

• Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik, 2008

• Diestel, R.: Graphentheorie, Springer Verlag, 2012

• Kühnel, W.: Differentialgeometrie Kurven – Flächen – Mannigfaltigkeiten, Vieweg Verlag, 2008

• Stöcker, R.; Zieschang, H.: Algebraische Topologie, B.G Teubner Stuttgart, 1994

• Whiteley, Walther John: Infinitesimal motions of a bipartite framework: Pacific Journal of

Mathematics Vol. 110, No. 1, 1984

• Wunderlich, W.: Gefährliche Annahmen der Trilateration und bewegliche Fachwerke I und II: Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, ZAMM 57, 1977

• Ziegler, G. M.: Lectures on Polytopes, Springer Verlag, 1995

Quellen und Literaturhinweise



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