Die Schrödingergleichung I

Die Schrödingergleichung ist die Grundgleichung der nichtrelativistischen Quantenmechanik. Sie beschreibt als Wellengleichung die zeitliche Entwicklung des Zustandes eines unbeobachteten Quantensystems.

Schrödingergleichung

1. Der Zustand eines Quantenobjektes (z.B. eines Elementarteilchens wie das Elektron oder Photon) kann durch eine Wellenfunktion 𝜓 𝑟, 𝑡 beschrieben werden.

2. Dabei ist 𝜓 𝑟, 𝑡 2 die Wahrscheinlichkeit, daß sich das Quantenobjekt in einem bestimmten Zustand (bei einem Teilchen z.B. der Ort r) zum Zeitpunkt t befindet.

3. Normierungsbedingung: 𝑃 = 𝜓 𝑟, 𝑡 2∞

−∞ 𝑑𝑟 = 1 (irgendwo muß das Teilchen ja

sein)

Die ungestörte zeitliche Entwicklung der Zustands- oder 𝜓 – Funktion eines Quantenobjektes wird durch die Schrödingergleichung beschrieben. Sie ersetzt somit in gewisser Weise die klassische Bewegungsgleichung für Punktmassen im mikrophysikalischen Bereich.

Die Schrödingergleichung wurde postuliert und ist deshalb im strengen Sinne nicht ableitbar. Sie funktioniert so wie sie funktioniert, weil die Natur sich so verhält...

Erwin Schrödinger, 1926

Analogon zu: Gesamtenergie = kinetische Energie + potentielle Energie Gesamtenergie * 𝜓 = Krümmung der Wellenfunktion + potentielle Energie * 𝜓

Beispiel: Elektron in einem unendlich hohen Kastenpotential

Ein freies Teilchen (Elektron) bewegt sich in einem potentialfreien Raum zwischen zwei unendlich großen Potentialen („Wände“)

Ergebnis der Lösung der Schrödingergleichung

„Elektronenwellen“, für die der Wandabstand L ein Vielfaches von 𝜆/2 ist, wobei 𝜆 die de Broglie-Wellenlänge 𝜆 = ℎ/𝑝 und die Energie

𝐸𝑛 =ℎ2

8𝑚 𝐿2 𝑛2

ist (mit n=1, 2, 3 ... = Anzahl der Schwingungsbäuche).

Die Energie des Teilchens im Potentialtopf ist gequantelt und hängt nur von der ganzen Zahl n ab (die Hauptquantenzahl genannt wird)

Anwendung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung

A) klassisch B) bis F) quantenmechanisch Blau: Realteil Rot: Imaginärteil

Aufenthaltswahrscheinlichkeiten des Elektrons im unendlich hohen Potentialtopf

Folgende drei einfache Schlußfolgerungen lassen sich aus der Lösung der Schrödingergleichung für ein Teilchen im Potentialtopf ziehen: 1. Die Energie des Teilchens ist proportional dem Quadrat der Quantenzahl n

2. Je länger der Potentialkasten, desto kleiner ist die Energie des Teilchens

3. Je länger der Potentialkasten, desto geringer ist die Differenz zwischen zwei Energieniveaus n und n+1 im Potentialkasten.

In der Natur gibt es keine unendlich hohen Potentialwälle. Wie sieht die Lösung aus, wenn der Potentialtopf eine endliche Höhe hat?

Beispiel: Coulomb-Wall um einen Atomkern

Bei endlich hohen Potentialwänden existiert immer eine kleine Wahrscheinlichkeit, daß sich das Teilchen außerhalb des Potentialtopfes aufhalten kann.

Anwendung: Der Tunneleffekt

Ein Teilchen kann einen endlich hohen Potentialwall mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit „durchtunneln“, auch wenn die Energie zur Überwindung des Potentialwalls nicht ausreicht.

Kernfusion

Mathematische Ergänzung:

Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung 𝐻 𝜓 = 𝐸𝜓 für einen unendlich tiefen (oder hohen) Potentialtopf

1. Potential:

Ein freies Teilchen befindet sich in einem Kastenpotential V(x) der Form

𝑉 𝑥 = 0 für 0 < 𝑥 < 𝐿

𝑉 𝑥 = ∞ für 𝑥 < 0 oder 𝑥 > 𝐿

Im „Außenbereich“ besitzt die Schrödingergleichung nur die Lösung 𝜓 𝑥 = 0 (d.h. dort kann sich das Teilchen niemals aufhalten), was zu den Randbedingungen 𝜓 𝑥 = 0 = 0 und 𝜓 𝑥 = 𝐿 = 0 führt.

2. Schrödingergleichung im Innern des Potentialtopfes

−ℏ2

2𝑚 𝜕2𝜓 𝑥

𝜕𝑥2+ 𝑉 𝑥 𝜓 𝑥 = 𝐸𝜓(𝑥)

−ℏ2

2𝑚 𝜕2𝜓 𝑥

𝜕𝑥2= 𝐸𝜓(𝑥) 𝜕2𝜓 𝑥

𝜕𝑥2= −

2𝑚𝐸

ℏ2𝜓 𝑥 = −𝑘2𝜓 𝑥

3. Allgemeine Lösung

𝜓 𝑥 = 𝐴 sin 𝑘𝑥 + 𝐵 cos 𝑘𝑥

4. Bestimmung der Konstanten A und B aus den Randbedingungen

𝜓 𝑥 = 0 = 0 liefert sofort B=0, also 𝜓 𝑥 = 𝐴 sin 𝑘𝑥

𝜓 𝑥 = 𝐿 = 0 führt zu 𝜓 𝐿 = 𝐴 sin 𝑘𝐿 = 0

Diese Bedingung ist nur dann erfüllt, wenn k L ein ganzzahliges Vielfaches von 𝜋 ist.

Wellenzahl k

k wird somit auf die Werte 𝑘𝑛 eingeschränkt: 𝑘𝑛 = 𝑛𝜋

𝐿 für n=1, 2, 3, ....

Wird die Wellenzahl k nun durch die Wellenlänge 𝜆 ausgedrückt

𝐿 = 𝑛𝜆𝑛2

dann entspricht das quasi „stehenden Wellen“ auf einer zwischen x=0 und x=L eingespannten Saite.

Da die Wellenzahl k über 𝑘2 =2𝑚𝐸

ℏ2 mit der Energie E verknüpft ist, können die

Energieeigenwerte des im Potentialtopf gefangenen Teilchens nur die diskreten Werte

𝐸𝑛 =(ℏ 𝑘𝑛)

2

2𝑚 = 𝑛2

ℎ2

8𝑚 𝐿2

annehmen. Die kleinstmögliche Energie 𝐸1 =ℎ2

8𝑚 𝐿2 nennt man die Nullpunktsenergie.

5. Normierung der Wellenfunktion

𝜓(𝑥) 2 𝑑𝑥 = 1

∞

−∞

𝐴2 𝑠𝑖𝑛2 𝑘𝐿 𝑑𝑥 = 1

𝐿

0

→ 𝐴2 1 − cos 2𝑘𝐿

2 𝑑𝑥 = 1

𝐿

0

𝐴2 𝐿

2= 1

und damit ergibt sich für die normierte Wellenfunktion eines Teilchens im unendlich tiefen (hohen) Potentialtopf

𝜓𝑛 𝑥 =2

𝐿 sin

𝑛 𝜋

𝐿 𝑥 n=1, 2, 3, ....

Und wer Lust hat, kann ja mal die gleiche Rechnung für einen endlich hohen (tiefen) Potentialtopf ausführen... Wo liegt der Unterschied in den Lösungen?