Diffusive Beschleunigung der kosmischen Strahlung an Schockwellen Hauptseminar Einführung in die...

Diffusive Beschleunigung der kosmischen Strahlung an

Schockwellen

Hauptseminar „Einführung in die Weltraumphysik“

WS04/05Ulrike Dohle

Diffusive Beschleunigung der kosmischen Strahlung an

Schockwellen

1

121 1 2

2

U33R 3UUUR 1 U U1U

Fermi-Beschleunigung 1. Art (Testteilchenrechnung) => (Drury, 1983)Potenzgesetzspektrum mit dem Exponenten

und der Beschleunigungszeit

1 2acc

1 2 1 2

3T

U U U U

1

2

UR

U

(ohne Fluchtgrenzen!)

Kompressions-verhältnis

Ui: Geschwindigkeit des umgeben-den Mediums bzgl. des Schocks

i : Räuml. Diffusionskoeffizient

Einführung

Diffusive Regionen begrenzt => Einführung von Fluchtgrenzen

Annahmen: und sind konstant.iiU

Schockbeschleunigung mit Fluchtgrenzen

Diffusionsgleichung:2

i i 2ff f

U Qt x x

ff t,x,p

Quellfunktion: 0 0Q Q t,x,p Q x (p p )H(t)

Grenzbedingungen: 1 2f(t, L ,p) f(t,L ,p) 0

x 0: 1 2ff f 0 (Stetigkeit)

0 0f U f

p Q (p p )H(t)x 3 p

und (Stetigkeit)*)


zu *):2

i i 2ff f

U Qt x x

222

f 1 f p V fQ (p A )

t p p 3 x pp

21

2

(p vA )1(V U )

p4p

Stetigkeit:

2

20 0

ff p U flim (U )dx lim dx Qdx

x 3 x px

0 0

0 0ff p

Uff 0 U U Q p p H t 0x x 3 p

fx x

0

0 0Q t,x,p Q x (p p ( ))t( )H

(Kontinuität des Massenflusses)


0 0f U f

p Q p p H tx 3 p

0 0f U f

p Q p p H tx 3 p

0 0

0 0ff p

f 0 U U Q p p H t 0x x 3 p

0 0

0 0ff p

Uff 0 U U Q p p H t 0x x 3 p

( )

0


DGL:

Laplace-Transformation von f bzgl. der Zeit t: st

0f g s,x,p e f t,x,p dt

L

2

i i 2g g

sg U 0x x

für p>p0

denn: fs f 0,x,p sg

t

fL L

0

=>

2

i i 2ff f

U Qt x x


DGL:

Laplace-Transformation von f bzgl. der Zeit t: st

0f g s,x,p e f t,x,p dt

L

2

i i 2g g

sg U 0x x

für p>p0

denn: fs f 0,x,p sg

t

fL L

0

=>

Lösungsansatz: i, i,g s,x,p C exp x C exp x =>

=>2

i ii, 2

i ii

U U1 1 s2 4

2

i i 2ff f

U Qt x x

2i i i iU s 0


i, i,g s,x,p C exp x C exp( x

ii 2

i

4

U

=> i, i

i i

21 1 s

U

2i i

i, 2i ii

U U1 12 4

)s

Grenzbedingungen: 1 2g s, L ,p g s,L ,p 0 =>

1, 1 1, 1 1, 1 1, 1C

C exp L C exp L C exp L exp L 0C

1, 1 1, 1 1, 1, 1C C

exp L exp L 0 exp LC C

11, 1, 1 1

1 1 1 1

4 1 s21 1 s 1 1 s

U U

(betrachte –L1)


11 1 1, 1 1,

1 1

4 1 sg s,x,p C s,p exp x exp L exp x

U

22 2 2, 2 2,

2 2

4 1 sg s,x,p C s,p exp x exp L exp x

U

C

C 2bL

1aL

1, 1 1, 1 1, 1 1, 1C

C exp L C exp L C exp L exp L 0C

(

1, 1 1, 1 1, 1, 1C C

exp L exp L 0 exp LC C

11, 1, 1 1

1 1 1 1

4 1 s21 1 s 1 1 s

U)

U


Transformation der Randbedingungen: st

0g e f dt 0

0 st

0 00

g U gp e Q p p H t dt

x 3 p

st0 0 0 0

0

1 1Q p p e Q p p

s s

1.

2.


Transformation der Randbedingungen: st

0g e f dt 0

0 st

0 00

g U gp e Q p p H t dt

x 3 p

st0 0 0 0

0

1 1Q p p e Q p p

s s

i i i, i i,g s,x,p C s,p exp x exp a/ bL exp x( )

1 2g 0 g s,0 ,p g s,0 ,p

1 1 2 2C 1 exp aL C 1 exp bL

21 2

1

1 exp bLC C

1 exp aL

1.

2.


Aus der zweiten Randbedingung 00

Qg U gp p p

x 3 p s

folgt: 1 1 1 2 2 21 2

x 0 x 0

g U g g U gp p

x 3 p x 3 p

1 11 1 1, 1, 1 1

U CC exp aL p 1 exp aL

3 p

i i i, i i,g s,x,p C s,p exp x exp a/bL exp x )

(Zur Erinnerung:

2 22 2 2, 2, 2 2

U CC exp bL p 1 exp bL

3 p


12 1

2

1 exp aLC C

1 exp bL( )

1 11 1 1, 1, 1 1

U CC exp aL 1 exp aL

3 lnp

1 12 12 1 2, 2, 2 2

2 2

1 exp aL 1 exp aLU CC exp bL 1 exp bL

1 exp bL 3 1 exp bL lnp

11 2 11 1 1, 2 ,1 2

2

1 exp aLU U C1 exp aL C

3 lnp 1 exp bL

11 1, 1 2 21 , 2

2

1 exp aLC exp aL exp bL

1 exp bL

0

0Q

p ps

lnp(p p )

p lnp p lnp


12 1

2

1 exp aLC C

1 exp bL( )

1 11 1 1, 1, 1 1

U CC exp aL 1 exp aL

3 lnp

1 12 12 1 2, 2, 2 2

2 2

1 exp aL 1 exp aLU CC exp bL 1 exp bL

1 exp bL 3 1 exp bL lnp

11 2 11 1 1, 2 ,1 2

2

1 exp aLU U C1 exp aL C

3 lnp 1 exp bL

11 1, 1 2 21 , 2

2

1 exp aLC exp aL exp bL

1 exp bL

0

0Q

p ps

1, 1, 1 2, 2, 2 001 2 11

2 11 2

1

exp aL exp bL p pQU U CC

3 lnp 1 exp aL 1 exp bL s 1 exp aL

lnp(p p )

p lnp p lnp


DGL: 1 2 11

U U Cp f C g p

3 p

1C p S p H p

Ansatz für die homogene Lösung: 1dHH p w p p pw p wp

dp

1 2 1 2U U U Uwp f wp 0 f 0

3 3

1 2

3f

U U


DGL: 1 2 11

U U Cp f C g p

3 p

1C p S p H p

Ansatz für die homogene Lösung: 1dHH p w p p pw p wp

dp

1 2 1 2U U U Uwp f wp 0 f 0

3 3

1 2

3f

U U

Variation der Konstanten: S p w p p

11 2U U dwp p wp f wp g p

3 dp

1 2 1 2

0

U U U Uwp f w wp

3( p )f

3

1C p S p


00

1 2 1

p p3Q pdw dp

U U s 1 exp aL

00 0

1 2 1

H p p3Q pw p

U U s 1 exp aL

00 0

11 2 1

H p p3Q pC s,p S s,p w p p

U U s p 1 exp aL

C2

analog


00

1 2 1

p p3Q pdw dp

U U s 1 exp aL

00 0

1 2 1

H p p3Q pw p

U U s 1 exp aL

i, i i,i 0

i

exp x exp a/bL exp xg s,x,p g s,p

1 exp a/bL

s

0 00 0

1 2

3Q pg s,p H p p

U U s p

00 0

11 2 1

H p p3Q pC s,p S s,p w p p

U U s p 1 exp aL

C2

analog


2, 2, 21 2

1 2 1 2 1 2

1, 1, 1 exp b s L3 3s f s

U U U U 1 exp a s L

exp a

1 exp( )

b L

s

s

L

Umschreiben: i, ii i

21 1 s

U( )

11, 1 11 1,1 1

21 1 sexp a s 1 1 s exp a s L

UL

1 1 11 1

21 exp a s L 1 s 1 exp a s L

U

1 1

1 1 11 1

1 1

1 1exp a s L exp a s L

2 2 21 exp a s L 1 s 1 exp a s L1 1U exp a s L exp a s L2 2


1 1 1 1

1 1

1 1 1 3exp a s L exp a s L exp aL exp aL

2 2 2 21 1

exp a s L exp a s L2 2

1 1

1 1 11 1

1 1



( )

1

1 1

1 1 11 1

1 1

1coth a s L

2




1 11 1

1

1

, 1, 1 2 11 1 scoth a s L

U 21 exp a s L

exp a s L

2, 2, 21 2

1 2 1 2 1 2

1, 1, 1 exp b s L3 3s f s

U U U U 1 exp a s L

exp a

1 exp( )

b L

s

s

L

1 21 1 2 2

1 2 1 1 2 2

2 23 1 1s 1 1 scoth aL 1 1 scoth bL

U U U 2 U 2

1U2

1U2R

ii 2

i

4

U(

1

2R )

UU

1 1 2 2

1 21 1 2 2

2L 1 s 2L 1 s3R 1s 1 1 scoth 1 scoth 1

2 R 1 U R U


Die Verteilung f(t,x,p) kann man folgendermaßen berechnen:

Erhaltung wichtiger Informationen auch ohne Ausführung der Integration:

t : Verteilung an der „am weitesten rechts“ liegenden Singularität des Integranden (hier nur s=0, einfacher Pol in gj) =>

1 2

1 1 2 2

2L 2L3R 10 1 coth coth 1

2 R 1 U R U

1 1

1

U L1

2 => Vereinfachung:

0f ,0,p f p mit dem Spektralindex 0 :

ii 2

i

)4

(U

i

stj j

i

1f t,x,p e g s,x,p ds

2 i

j 1,2


Die Verteilung f(t,x,p) kann man folgendermaßen berechnen:

i

stj j

i


2 i

j 1,2

Erhaltung wichtiger Informationen auch ohne Ausführung der Integration:

t : Verteilung an der „am weitesten rechts“ liegenden Singularität des Integranden (hier nur s=0, einfacher Pol in gj) =>

1 2

1 1 2 2

2L 2L3R 10 1 coth coth 1

2 R 1 U R U

1 1

1

U L1

2 => Vereinfachung:

0f ,0,p f p mit dem Spektralindex

ii 2

i

)4

(U

1 1 2 2

1 21 1 2 2

2L 1 s 2L 1 s3R 1s 1 1 scoth 1 scoth 1

2 R 1 U R U( )

0 :


x x 2x

2x 2x 4xx x 2x

e e 1 ecothx 1 e 1 e e

e e 1 e(

x(x 1 e 1)

2x 2x 2x1 e 1 )2e e

1 1 2 2

1 2

U L U L1 2exp 1

3R 10 1 1

2 R 12exp

R


x x 2x

2x 2x 4xx x 2x

e e 1 ecothx 1 e 1 e e

e e 1 e(

x(x 1 e 1)

2x 2x 2x1 e 1 )2e e

1 1 2 2

1 2

U L U L1 2exp 1

3R 10 1 1

2 R 12exp

R

1 1 2 2

1 2

U L U L3R 22 2exp exp

2 R 1 R

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 1 2 2

1 1 2 2

1 2

U L U L U L U L U L1 exp exp 1 exp exp 1 exp

3R 1R 1 RU L U L

1 exp 1 exp

1


2 2 2 21 1

2 21

1 1 2 2

1 2

U L 2U L2U L exp exp1 exp3R 1

R 1 RU L U L1 exp 1 exp

2 2

20

1 1 2 2

1 2

U Lexp

3R 1 10

R 1 RU L U L1 exp 1 exp

(stationäre Lösung am Schock)


t

0 00

f t,p f p t' dt' x=0:

i

1

i

1t exp h s exp st h s ds

2 i

L

0

t dt 1

0

p1 1 2 2

p 1 2

U A U A3 dph s

2 U U p

i

i 2i

4 sA 1 1

U

h 0 0

st 1

0e t dt exp h s exp h s

L L L

ft 0 sg 0 s 0

t

Herleitung von Tacc:

(korrekte Normierung)


acc 00

dhT p,p t t dt s 0

ds

1 1 1 1 2 2 2 2acc 2 2

2 21 21 1 2 21 21 2

1 2

U L L U L L3RT coth coth

R 1 2 2U L U LU RU2U sinh 2U sinh2 2

st 1

0e t dt exp h s exp h( )s

L L L

s

0

ht texp ts dt exp h s

s


1 2acc

1 2 1 2

3T

U U U U

1,2(L )

diff,i

LL

L diff,i

iL

U

Diffusive Längeneinheit

diff,1 diff,2L L

1 2U U

1L

(Teilchenflucht downstream)

2L

(Teilchenflucht upstream) 1 2acc,L acc,LT T

1 2


1

120 1 1 2

2

U33R 3UUUR 1 U U1U

1,2(L )

1L


2L

(Teilchenflucht upstream)

2diff,i

iL

t

Schock -> Grenze

2diff,2 diff,1 2 1L RL t R t

21 22

tt t

R 2L :

Flucht um Faktor R2 größer


Zusammenfassung:

- Fluchtgrenzen führen zu einem steileren Spektrum und zu einer Verringerung der Beschleunigungszeit

- hier: relativ grobes Modell zur Erklärung von Spektren ( und L wahrscheinlich abhängig von p) -> numerische Methoden

1L


2L

(Teilchenflucht upstream)


ist

j ji


2 i

Lösung für 1 2L L :

1 1 2g s,x,p G s G s 2 3 4g s,x,p G s G s

t

1 2 10

f t,x,p duF u F t u

t

2 4 30

f t,x,p duF u F t u

1i iF t GLmit

(siehe „tables of Oberhettinger and Badii“ (1973))


i impulsabhängig: ai ip a

i ip

i 0 ig g exp x

aii i ia

i i i

U21 1 s 1 1 p s

U 2 p

00

Qg U gp p p

x 3 p s

a a01 2 1 20 1 2

gU U U Ug U gp p g 1 sp 1 1 sp 1

x 3 p 3 p 2 2

a a0 1 2a a a1 2 1 2

2a 1 1 as 1 1g 1 sp 1 1 sp 1

33p 1 sp 1 sp

Ausblick:

1 2(L L )


Homogene Lösung h(p):

01 20

gU Up f g g p

3 p

3 p pa a1 22

0 1 2a1 2 1 21 2

U U2 1 1 3 dp dpln h h ln p 1 sp 1 sp

U U 2 p 2 pU U p

p p p pa a

1 21 a 1 a a a1 2 1 2 1 2 1 2

2a 1 dp 1 dp as dp dp1 sp 1 sp

U U U Up p p 1 sp p 1 sp

aa

1 a

1 1 sp aI 2 1 sp ln

a 1 sp a

Substitution ay sp I2,3 ähnlich


3R 3

3 2a R 1 2a R 1a a1 22

0 a a1 2

1 sp 1 1 sp 1h p h p

1 sp 1 1 sp 1

a

1a a1 21 2 1 1 2

2 1 1 3R 2exp 1 sp

a R 1U U p p U U

a

2 a2 1 2

3 2exp 1 sp

a R 1 p U U

- inverse Laplace-Transformation nicht möglich

- Li endlich: nicht berechenbar

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