Grundwissen

Rechnen mit Wurzeln (Aufgaben 1 und 2)

9 000000 a · 9 0000 b = 9 000000000 a · b (a, b º 0) 9 0000 3 · 9 0000000 12 = 9 0000000 36 = 6

9 0000 a _ b = 9 0000 a _ 9 0000 b

(a º 0, b > 0) 9 000000 4 _ 25 = 9 0000 4 _

9 0000000 25 = 2 _ 5

Teilweises Wurzelziehen:

9 0000000 12 = 9 00000000000 4 · 3 = 9 0000 4 · 9 0000 3 = 2 · 9 0000 3

Potenzen (Aufgaben 3 bis 5) a n = a · a · … · a (n = 1, 2 …) n­mal a – n = 1 _ a n (n = 1, 2 …) a 0 = 1

a 1 _ n =

n 9 0000 a , a

m _ n =

n 9 00000000 a m (m, n = 2, 3 …; a º 0)

Rechnen mit Potenzen (Aufgaben 6 bis 9) Multiplikation bei gleicher Basis: a p · a q = a p + q 2 3 · 2 5 = 2 3 + 5 = 2 8 Division bei gleicher Basis (ungleich 0): a p : a q = a p – q 2 7 : 2 4 = 2 7 – 4 = 2 3 Multiplikation bei gleichem Exponenten: a p · b p = (a · b) p 2 3 · 4 3 = (2 · 4) 3 = 8 3 Division bei gleichem Exponenten (Basis ungleich 0): a p : b p = (a : b) p 4 5 : 2 5 = (4 : 2) 5 = 2 5 Potenzieren bei gleicher Basis:( a p )q = a p · q ( 2 3 ) 4 = 2 3 · 4 = 2 12

Potenzgleichungen (Aufgabe 10)Bei der Lösung der Potenzgleichung x n = a (mit  a ≠ 0)  gibt es vier Fälle.1. n gerade und a > 0:

Lösungen sind x 1 = n 9 0000 a und x 2 = –

n 9 0000 a .

x 6 = 5 hat die Lösungen x 1 = 6 9 0000 5 und x 2 = –

6 9 0000 5 .

2. n gerade und a < 0: Keine Lösung. x 4 = – 9 hat keine Lösung.

3. n ungerade und a > 0: Lösung ist x 1 =

n 9 0000 a .

x 5 = 20 hat die Lösung x 1 = 5 9 0000000 20 .

4. n ungerade und a < 0: Lösung ist x 1 = –

n 9 00000000 |a| .

x 3 = – 12 hat die Lösung x 1 = – 3 9 0000000 12 .

Wurzeln und Potenzen (zu den Grundwissenaufgaben in Kapitel VII)

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Grundwissen Test Lösungen | Seite 403

Vereinfachen Sie wenn möglich.

a) 9 0000 8 · 9 0000 2 b) 9 0000000 27 · 9 0000 3 c) 9 0000 4 + 9 0000000 16 d) 9 0000000 75 _ 9 0000 3

Ziehen Sie teilweise die Wurzel.a) 9 0000000 18 b) 9 0000000 20 c) 9 0000000 50 d) 9 0000000 48

Berechnen Sie im Kopf.

a) 2 4 b) ( 3 _ 5 ) 2 c) 1 0 5 d) (– 3 ) 3

e) (– 2 ) 6 f) ( 2 _ 3 ) 3 g) 4 – 2 h) 1 7 – 1

Schreiben Sie als Potenz.

a) 9 0000 5 b) 3 9 0000000 10 c)

4 9 0000000 2 3 d)

7 9 000000 x 5

e) 9 000000000000 ( 1 _ 5 ) 3 f) 1 _

9 0000000 4 9 g) 1 _

3 9 000000 11

h) ( 5 9 0000 7 _ 9 )

3

Schreiben Sie als Wurzel.

a) 7 1 _ 2 b) 2

1 _ 3 c) 5 4 _ 3 d) a

5 _ 2

Schreiben Sie als eine Potenz.a) 4 5 · 4 3 b) 3 – 4 · 3 2 c) x 6 · x – 4

d) a 2 _ a 5 e) u – 2 _ u – 5 f) ( 4 _ 3 ) – 2

· ( 4 _ 3 ) 8

g) ( a _ 2 ) – 5

· ( a _ 2 ) 5 h) x 2p · x 1 – p i)

y a + 2 _ y a – 3

Schreiben Sie als eine Potenz und berechnen Sie im Kopf.a) 2 3 · 5 3 b) 20 5 _ 10 5 c) (– 3 ) 2 · (– 5 ) 2

d) ( 1 _ 4 ) 5 · 8 5 e) ( 5 _ 9 )

3 · ( 3 _ 5 )

3 f) ( 1 _ 8 )

3 · 32 3

Vereinfachen Sie.a) ( (– 5) 4 ) – 2 b) ( a – 3 ) – 7 c) ( (– x) 3 ) – 1 _ 3

Vereinfachen Sie.

a) ( 1 _ a ) – 3

· a – 2 b) ( x _ 4 ) 5 · 8 5 c) a 2 b – 3 c __ c 2 a b 3

d) x y – 1 z 4

__ y – 2 x – 3 z 2 e) 3 x – 1 _ 3 2 x f) 3 a 2 + x _ 6 a 2

Lösen Sie die Potenzgleichung.a) x 3 = 125 b) x 4 = 14 c) x 8 = – 6561d) x 5 = – 243 e) (x – 5 ) 3 = 64 f) x 4 + 5 = 28g) x 16 = – 5 h) 3 – x 7 = 10 i) 5 + x 12 = 7

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

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