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KAPITEL 9

Doppelintegrale

9.1 Doppelintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3059.2 Berechnung des Doppelintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3099.3 Transformation von Doppelintegralen . . . . . . . . . . . . . . . . 3219.4 Zusammenfassung Doppelintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3279.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3299.6 Anwendung: Integralsatz von Green . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

Lernziele 9• Normalbereiche bzgl. der x- bzw. y-Achse

• Berechnung iterierter Integrale über Normalbereichen

• Transformation von Integralen

304

KAPITEL 9. DOPPELINTEGRALE 305

9.1 Doppelintegrale

Wir beginnen zunächst mit einer Berechnung des Flächeninhalts ebenerBereiche über Riemannsche Summen. Dies ist notwendig zum Verständnisder Berechnung des Doppelintegrals.

Flächeninhalt ebener BereicheDer Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen ∆x und ∆y beträgt∆x · ∆y. Überdeckt man x − y-Ebene mit einem achsenparallelen Gitter mitden Koordinatenlinien x = n ·2−k , y = n ·2−k , so wird die Ebene in Quadratemit dem Flächeninhalt 2−2k zerlegt.

sk

Sk

M

sk

Sk

M

Abbildung 9.1: Definition des Riemann-Integrals

Sei M ⊆R2 eine beliebige beschränkte Punktmenge der x-y-Ebene,

• sk (M) der Flächeninhalt aller Quadrate, die einschließlich ihres Randesganz in M liegen (= Anzahl ·2−2k , dunkles Pink im Bild).

• Sk (M) der Flächeninhalt der (abgeschlossenen) Quadrate, die min-destens einen Punkt von M enthalten (helles und dunkles Pink imBild).


Offenbar gilt dann

sk (M) ≤ sk+1(M) ≤ Sk+1(M) ≤ Sk (M),

insbesondere ist (sk (M))k∈N eine monoton wachsende und nach obenbeschränkte Folge sowie (Sk (M))k∈N eine monoton fallende und nachunten beschränkte Folge, folglich existieren die Grenzwerte

Fi (M) := limk→∞

sk (M) „der innere Inhalt“,

Fa (M) := limk→∞

Sk (M) „der äußere Inhalt“.

Definition 9.1Man nennt die Menge M Riemann-messbar, wenn Fa (M) = Fi (M) ist,in diesem Fall heißt F (M) := Fa (M) = Fi (M) der Flächeninhalt von M .

Beispiel 9.2Alle beschränkten Gebiete (offene und zusammenhängende Mengen) des R2

mit stückweise regulären (einmal stetig differenzierbar)Rand sind Riemann-messbar.Beispiel 9.3Allerdings können Mengen des R2 auch ziemlich kompliziert sein, so ist dieMenge

M := {(x, y) ∈R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 und x, y ∈Q}

offensichtlich nicht Riemann-messbar, da Fi (M) = 0 und Fa (M) = 1 für allemöglichen Zerlegungen ist.

„Unwesentliche“ Mengen sind die Mengen N vom Maße Null, d.h. N istRiemann-messbar und F (N ) = 0.

Beispiel 9.4Beispiele für Mengen vom Maße Null im R2 sind einzelne Punkte bzw.reguläre Kurven.


.

Wie man leicht sieht geht der äußere Inhalt gegen Null. Beim Punkt deshalb,weil die Seitenlängen beide gegen Null gehen. Bei der Kurve sieht man dasnicht so leicht.

Insbesondere verändern Mengen vom Maße Null nicht den Flächeninhalt, d.h.für jede Riemann-messbare Menge M zusammen mit einer Menge N , dienur aus endlich vielen Punkten und endlich vielen regulären Kurvenstückenbesteht gilt

F (M) = F (M ∪N ) = F (M\N ).

Das bedeutet zum Beispiel, dass der Flächeninhalt des abgeschlossenenRechtecks Ra := {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} ist gleich dem Flächen-inhalt des offenen Rechtecks Ra := {(x, y) ∈ R2 : a < x < b, c < y < d}. Wirwollen uns deshalb als Integrationsbereich für ebene integrale auf einfach zucharakterisierende Mengen beschränken:

Definition 9.5Regulärer Bereich. Eine beschränkte Teilmenge B ∈R2 heißt regulärerBereich, wenn

a) B abgeschlossen ist, d.h. der Rand ∂B gehört zu Menge B .b) das Innere von B , also B\∂B ein Gebiet (offene und zusammenhän-

gende Menge) ist, undc) der Rand von B aus endlich vielen regulären Kurven besteht.


Es wird manchmal erforderlich sein, einzelne Punkte oder Kurvenstücke –als Ausnahmemengen – herauszunehmen. Deshalb lassen wir als Integrati-onsbereiche auch B\N zu.Nachdem wir den Flächeninhalt definiert haben, wollen wir nun das Riemann-sche Flächenintegral bzw. das ebene Integral oder auch das Doppelintegralsinnvoll definieren.

Definition und Eigenschaften des DoppelintegralsEs sei f : B → R eine beschränkte und stetige Funktion (ggf. nur auf B\Nstetig), B ein regulärer Bereich.Durch ein Netz regulärer Kurven wird B in n Teilbereiche B = B1∪B2∪. . .∪Bnzerlegt. Jeder Bereich Bi hat einen Durchmesser δ(Bi ) := supx,y∈Bi

|x − y |und einen Flächeninhalt ∆Fi . Der Durchmesser δ(B) = maxi=1,2, ...,n δ(Bi ).Wir wählen nun für jedes i = 1, 2, . . . , n einen beliebigen Punkt (x∗

i , y∗i ) ∈ Biund bilden die Riemannsche Zwischensumme

Zn ( f ) :=n∑

i=1f (x∗

i , y∗i )∆Fi .

Satz 9.6Konvergenz der Folge der Riemannschen Zwischensummen. Ist f :B → R beschränkt und in B (mit möglicher Ausnahme einer Mengevom Maß Null) stetig, so konvergiert die Folge der RiemannschenZwischensummen (Zk ( f ))k∈N für jede Folge von Zerlegungen BK mitδ(BK ) → 0 für k →∞.Der Grenzwert I ist unabhängig von der speziellen Wahl der Folge derZerlegungen und von der Wahl der Zwischenpunkte.


Definition 9.7Riemannsches Flächenintegral. Unter den Voraussetzungen des Satzes9.6 nennt man den Grenzwert I das Riemannsche Flächenintegral derFunktion f über den Bereich B , man schreibt∫

Bf dF =

∫ ∫B

f dF =∫ ∫

Bf (x, y)dF =

∫ ∫B

f (x, y)d x d y := I .

Bemerkung 9.8Es gelten die vom eindimensionalen Riemann-Integral bekannten Rechenre-geln:

• Linearität:∫ ∫B

(a f +bg )dF = a∫ ∫

Bf dF +b

∫ ∫B

g dF, a, b ∈R.

• Monotonie:

f (x, y) ≤ g (x, y) für alle (x, y) ∈ B ⇒∫ ∫

Bf dF ≤

∫ ∫B

g dF

• Additivität: Wird B durch eine stückweise reguläre Kurve in zweiTeilbereiche B1 und B2 zerlegt, so gilt∫ ∫

Bf dF =

∫ ∫B1

f dF +∫ ∫

B2

f dF.

9.2 Berechnung des Doppelintegrals

Für die praktische Berechnung des Doppelintegrals ist eine Rückführung aufgetrennte Integration nach x bzw. y von Vorteil. Die einfachsten Gebiete,wo das möglich ist, sind die sogenannten Normalbereiche. Der einfachsteFall ist der, dass das Gebiet ein Rechteck ist.


Satz 9.9 (Rechteckgebiete, Satz von Fubini.)Wenn B = [a, b]×[c, d ] ein Rechteck und f : B →R eine stetige Funktionist, so gilt∫ ∫

Bf db =

∫ b

a

(∫ d

cf (x, y)d y

)d x =

∫ d

c

(∫ b

af (x, y)d x

)d y.

Bemerkung 9.10Die Integrale auf der rechten Seite nennt man auch iterierte Integrale.

Wir wollen die Idee der Berechnung über Normalbereiche am folgendenBeispiel erläutern. Es soll der Grau dargestellte (vorzeichenbehaftetete) Flä-cheninhalt berechnet werden.

0 1 2 3 4

-1

1

⇡

4

5⇡

4

cos(x)

sin(x)�x

Abbildung 9.2: Flächeninhalt zwischen 2 Kurven

Dies kann man sofort mit dem Integral∫ 5π

4

π4

sin(x)−cos(x)d x


Nun können wir aber mit Verwendung eines Parameterintegrals schreibensin(x)−cos(x) = ∫ sin(x)

cos(x) 1d y und erhalten

∫ 5π4

π4

sin(x)−cos(x)d x =∫ 5π

4

π4

∫ sin(x)

cos(x)1d y d x

Das kann man sich so vorstellen, dass zunächst die Längen

sin(x)−cos(x)

mit Hilfe des Parameterintegrals berechnet werden und anschliessend die-se Längen aufsummiert = integriert werden. Insbesondere kann man denIntegrationsbereichbereich beschreiben als

B = {(x, y) : cos(x) ≤ y ≤ sin(x) und π

4≤ x ≤ 5π

4}.

Damit ist B ein Normalbereich vom Typ 1.

Definition 9.11 (Normalbereich vom Typ 1)Ein Bereich B ⊆R2 heißt Normalbereich vom Typ 1 bzw. bzgl. derx-Achse, wenn es ein abgeschlossenes Intervall [a, b] und zwei stetigdifferenzierbare Funktionen g , h : [a, b] →R gibt mit g (x) ≤ h(x) füralle x ∈ [a, b] und

B = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, g (x) ≤ y ≤ h(x)}.

Bemerkung 9.12Man beachte, dass die Werte von y von unten nach oben wachsen und damitdie Grenzen von y bestimmt werden.


Beispiel 9.13Der Bereich B werde von der Geraden y = x, dem Kreis y2 + x2 = 4und der senkrechten Geraden x = 0 berandet und liege im 1.Quadranten der x-y-Ebene.

Abbildung 9.3: Normalbereich vom Typ 1

Um den Bereich als Normalbereich vom Typ 1 darstellen zu könnenbestimmen wir zunächst die begrenzenden Funktionen und die Gren-zen. Die festen Grenzen für x ergeben sich aus den Schnittpunktender senkrechten Geraden x = 1 mit der x-Achse und dem Schnittpunktdes Kreises mit der Geraden im 1. Quadranten:

y2 = 4−x2 = x2 ⇐⇒ 4 = 2x2 ⇐⇒ 2 = x2 ⇐⇒ x =p2

Die veränderlichen Grenzen für y ergeben sich aus der unteren Grenzey = x und als oberer Grenze mit y ≥ 0 zu y =+

√4−x2. Deshalb gilt

B = {(x, y) ∈R2 : 0 ≤ x ≤p2, x ≤ y ≤

√4−x2}.


Satz 9.14 (Integration über Normalbereiche vom Typ 1)Für jede stetige Funktion f : B →R auf einem Normalbereich B vomTyp 1 gilt Ï

Bf (x, y)db =

∫ b

a

(∫ h(x)

g (x)f (x, y)d y

)d x.

Beispiel 9.15Man berechne das Integral

ÎB f (x, y)db über den Bereich B des

vorigen Beispiels mit f (x, y) = x y. Es gilt

ÏB

f (x, y)db =∫ p

2

0

(∫ p4−x2

xx y d y

)d x =

∫ p2

0x

y2

2

∣∣∣∣∣y=

p4−x2

y=x

d x

=∫ p

2

0

x

2(4−x2)− x

2x2d x =

∫ p2

0−x3 +2x d x = −x4

4+x2

∣∣∣∣∣p

2

0

= 1.

Definition 9.16 (Normalbereich vom Typ 2)Ein Bereich B ⊆R2 heißt Normalbereich vom Typ 2 bzw. bzgl. dery-Achse, wenn es ein abgeschlossenes Intervall [c, d ] und zwei stetigdifferenzierbare Funktionen l , r : [c, d] → R gibt mit l (y) ≤ r (y) für


alle y ∈ [c, d ] und

B = {(x, y) ∈R2 : l (y) ≤ x ≤ r (y), c ≤ y ≤ d}.

Bemerkung 9.17Da x von rechts nach links wächst, sind die unteren Grenzen für x, die dierechts liegen und die oberen Grenzen, die die links liegen.

Beispiel 9.18Der Bereich B werde wie vorher von der Geraden y = x, dem Kreisy2 +x2 = 4 und der senkrechten Geraden x = 0 berandet und liege im1. Quadranten der x-y-Ebene.


Der Bereich B lässt sich nicht als ein Bereich vom Typ 2 darstellen,es klappt aber mit 2 Bereichen, wenn wir als Trennlinie die Gerade


y =p2 nehmen. Die Grenzen für y sind leicht zu finden.

Weiterhin müssen die begrenzenden Kurven bzw. Funktionen nach xumgestellt werden. Bei der Geraden y = x ist das kein Problem.Der Kreis x2 + y2 = 4 ergibt nach x aufgelöst (im 1. Quadraten, alsox ≥ 0) x =

√4− y2. Damit ergibt sich B = B1 ∪B2 und

B1 = {(x, y) ∈R2 : 0 ≤ y ≤p2, 0 ≤ x ≤ y} und

B2 = {(x, y) ∈R2 :p

2 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤√

4− y2}.

Satz 9.19 (Integration über Normalbereiche vom Typ 2)Für jede stetige Funktion f : B2 → R auf einem Normalbereich B2vom Typ 2 gilt∫ ∫

B2

f (x, y)d x d y =∫ d

c

(∫ r (y)

l (y)f (x, y)d x

)d y.

Beispiel 9.20Man berechne das Integral

ÎB f (x, y)db über den Bereich B darge-

stellt mittels Normalbereichen vom Typ 2 des vorigen Beispiels und


f (x, y) = x y. Es giltÏB

f (x, y)db =Ï

B1

x y db +Ï

B2

x y db

=∫ p

2

0

∫ y

0x yd x d y +

∫ 2p

2

∫ √4−y2

0x y d y d x

und

∫ p2

0

∫ y

0x yd x d y =

∫ p2

0

y

2x2

∣∣∣x=y

x=0d y =

∫ p2

0

y3

2d y = y4

8

∣∣∣∣∣p

2

0

= 1

2.

∫ 2p

2

∫ √4−y2

0x y d y d x =

∫ 2p

2

y

2x2

∣∣∣x=√

4−y2

x=0d y =

∫ 2p

2

y

2(4− y2)d y

=∫ 2p

22y − y3

2d y = y2 − y4

8

∣∣∣∣∣2

p2

= 4−2−2+ 1

2.

Damit ist wiederumÏ

Bf (x, y)db =

ÏB1

x y db +Ï

B2

x y db = 1.

Bemerkung 9.21 (Berechnung des ebenen Integrals)• Man fertige eine Skizze des Bereichs B an. Dazu kann man

die Schnittpunkte der Kurven, die B berandeten, verwenden,sowie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Darausergeben sich die festen Grenzen.


• Aus der Skizze wird ersichtlich wie man den Bereich B inNormalbereiche zerlegen kann. Eine Ursache für die Zerlegungkann sein, dass es mehrere Kurvenstücken/Formeln für dieGrenze gibt.

• Das innere Integral hat immer die veränderlichen Grenzen, dasäußere Integral hat immer die festen Grenzen.

Bemerkung 9.22Es ist immer möglich einen regulären Bereich B , d.h.

• B ist abgeschlossen (der Rand ∂B von B gehört mit zur Menge B),• das Innere von B = B\∂B ist offen und zusammenhängend (muss nicht

einfach zusammenhängend sein),• der Rand ∂B besteht aus endlich vielen regulären Kurven,

in Normalbereiche vom Typ 1 und Typ 2 zerlegt werden.

Bemerkung 9.23 (Berechnung des Doppelintegrals)Sei I = ∫∫

B f (x, y)d x d y.

1. Man zerlege B durch achsenparallele Schnitte in Normalberei-che vom Typ I bzw. II:

B = B1 ∪B2 ∪ . . .∪Bn .

2. Ist Bk vom Typ I, so berechnet man zuerst das Parameterinte-gral

F (x) :=∫ h(x)

g (x)f (x, y)d y


und damit Ik := ∫ ba F (x)d x; d.h.

∫ ∫Bk

f (x, y)d x d y =∫ b

a

(∫ h(x)

g (x)f (x, y)d y

)d x =

∫ b

aF (x)d x.

Ist Bl vom Typ II, so berechnet an zuerst das Parameterintegral

G(y) :=∫ r (y)

l (y)f (x, y)d x

und damit Il := ∫ dc G(y)d y ; d.h.

∫ ∫Bl

f (x, y)d x d y =∫ d

c

(∫ r (y)

l (y)f (x, y)d x

)d y =

∫ d

cF (x)d y.

Die Reihenfolge der Integrationen kann nicht vertauschtwerden, sie hängt vom Typ des Normalbereichs und damitdavon ab, welche Veränderliche die festen Grenzen hat undfür welche Variable die Grenzen Funktionen der anderenVeränderlichen sind.

3. I = I1 + I2 + . . .+ In .

Mit Hilfe des Doppelintegrals kann man aber nicht nur den Flächeninhaltvon ebenen Bereichen ausrechnen sondern auch das (vorzeichenbehaftete)Volumen einer Funktion zweier Veränderlicher f (x, y) über dem Bereich B.


Beispiel 9.24Man berechne das Volumen des nach unten durch die Ebene z = 1−y

und nach oben durch den Paraboloiden z = 1− x2 − y2 begrenztenKörpers.

Abbildung 9.5: Volumen

Als erstes ist der Integrationsbereich B zu bestimmen. Sein Randergibt sich offensichtlich aus den x und y für die sich die Ebene undder Paraboloid schneiden:

z = 1− y = 1−x2 − y2.

Folglich muss der durch x2+ y2− y = 0 begrenzte Bereich als Normal-


bereich dargestellt werden. Nach x aufgelöst erhält man

x =±√

y − y2

und die Wurzel ist nur für 0 ≤ y ≤ 1 definiert. Will man wissen welcheKurve diese Menge beschreibt, dann ist günstig wie folgt vorzugehen:

x2 + y2 − y = x2 + y2 − y + 1

4− 1

4= x2 +

(y − 1

2

)2=

(1

2

)2,

es ist also ein Kreis mit dem Mittelpunkt in(0, 1

2

)und dem Radius

r = 12 . Damit kann man B als Normalbereich bezüglich der x-Achse

darstellen:

B = {(x, y) : −1

2≤ x ≤ 1

2;

1

2−

√1

4−x2 ≤ y ≤ 1

2−

√1

4−x2}

sowie als Bereich bezüglich der y-Achse

B = {(x, y) : 0 ≤ y ≤ 1;−√

y − y2 ≤ x ≤√

y − y2}.

Das Volumen ergibt sich aus der Differenz der Volumen bzgl. desParaboloids und der Ebene und kann deshalb als Integral über

f (x, y) = 1−x2 − y2 − (1− y) = y − y2 −x2

berechnet werden.

V =Ï

By − y2 −x2 d(x, y) =

∫ 1

0

∫ √y−y2

−√

y−y2y − y2 −x2 d x d y

=∫ 1

0(y − y2)x − x3

3

∣∣∣∣∣√

y−y2

x=−√

y−y2

d y


=∫ 1

02√

y − y23− 2

3

√y − y2

3d y

= 4

3

∫ 1

0

√y − y2

3d y = 4

3

∫ 1

0

√y − y2 − 1

4+ 1

4

3

d y

= 4

3

∫ 1

0

√1

4−

(y − 1

2

)23

d y = 1

6

∫ 1

0

√1− (

2y −1)2

3d y

= 1

12

∫ π2

−π2

√1− sin2 θ

3cosθdθ = 1

12

∫ π2

−π2cos4 θdθ = π

32.

Alternativ könnte man natürlich auch den Bereich als Normalbereichbzgl. der x-Achse verwenden, die Rechnung ist aber nicht unbedingteinfacher.Außerdem soll bemerkt werden, dass das Doppelintegral auch alsDreifachintegral geschrieben werden könnte:

ÑB

d(x, y, z) =∫ 1

0

∫ √y−y2

−√

y−y2

∫ 1−y2−x2

1−y1d z d x d y.

9.3 Transformation von Doppelintegralen

In diesem Abschnitt geht es darum, wie sich Doppelintegrale unter Verände-rungen des Integrationsbereichs verhalten. Bereits für den Fall eindimensiona-ler Integrale ist eine entsprechende Formel, nämlich die Substitutionsformel:

∫ b

af (x)d x =

∫ t1

t0

f (g (t ))d(g (t )) =∫ g−1(b)

g−1(a)f (g (t )) g ′(t )d t .

Interpretation: Die „Verzerrung“ bewirkt, dass die „Kurvenstückchen“ ∆xdurch die „Kurvenstückchen“ g ′(t )∆t ersetzt werden müssen. Die Grenzen


müssen gemäß der Transformation ersetzt werden:

a = g (t0) ⇐⇒ t0 = g−1(a) und b = g (t1) ⇐⇒ t1 = g−1(b).

Die Funktion f (x) geht selbstverständlich über in f (g (t )).Man muss also, die Grenzen, die Funktion und das Bogenelement transformie-ren. Damit das klappt, muss die Funktion g (t ) einmal stetig differenzierbarund eineindeutig sein (ansonsten ergeben sich „Überlappungen“.)Wie sieht das Ganze nun für das ebene Integral aus? Dazu betrachten wir einBeispiel. Es ist die Masse einer Kreisscheibe K mit dem Radius r = 2 zu be-rechnen, wobei für die Kreisscheibe eine Flächendichte von ρ(x, y) = c = const.

Zunächst parametrisieren wir die Kreisscheibe mit Polarkoordinaten

x = x(r,ϕ) = r cosϕ, y = y(r, φ) = r sinϕ mit 0 ≤ r ≤ 2, und 0 ≤ϕ≤ 2π.

Wenn (r,ϕ) den Bereich [0,2]×[0,2π] durchläuft, durchläuft die Transformierte~T (r,ϕ) =

(r cosϕ

r sinϕ

)die Kreisscheibe. Graphisch sieht das wie folgt aus:

Abbildung 9.6: Parameterbereich Abbildung 9.7: KreisscheibeDabei entsprechen Koordinatenlinien von (r,ϕ0), ϕ0 = const, Strahlen in der


Kreisscheibe und die Koordinatenlinien von (r0,ϕ), r0 = const, entsprechenkonzentrischen Kreisen in der Kreisscheibe.Man muss sich nun klarmachen, dass durch die Einführung von Polarkoordi-naten die Flächenstückschen ihre „Form“ ändern, d.h. die Kreisscheibe wirdnicht von Rechtecken überdeckt.Wir wollen deshalb zunächst die Fläche eines Flächenstückchens berechnen.Für kleine Flächenstückchen ist der Flächeninhalt des Stückchens gleichdem Flächeninhalt des von den Tangentialvektoren aufgespannten Parallelo-gramms.

Abbildung 9.8: Flächenstückchen Abbildung 9.9: FlächeninhaltDies geschieht wie folgt. Wie man leicht überprüft, werden die Randkurven

des Parallelogramms mit ~T (r,ϕ) =(

r cosϕ

r sinϕ

)(Kreise mit dem Radius r ) gerade

durch

~T (r0,ϕ), ϕ0 ≤ϕ≤ϕ+∆ϕ,

~T (r0 +∆r,ϕ), ϕ0 ≤ϕ≤ϕ+∆ϕ,

~T (r,ϕ0), r0 ≤ r ≤ r +∆r,

~T (r,ϕ0 +∆ϕ), r0 ≤ r ≤ r +∆r,

parametrisiert. Wir erinnern uns zunächst daran, dass der Flächeninhalt einesvon den Vektoren ~a und ~b aufgespannten Parallelogramms gerade |~a ×~b|


war. Nun nähern wir den Flächeninhalt zunächst durch∣∣(~T (r0 +∆r,ϕ0)−~T (r0,ϕ0))× (

~T (r0,ϕ0 +∆ϕ)−~T (r0,φ0))∣∣

an und die näherungsweise Berechnung mit Hilfe der 1. Ableitung

~T (r0 +∆r,ϕ0)−~T (r0,ϕ0) ≈ ~Tr (r0,ϕ0)∆r,

~T (r0,ϕ0 +∆ϕ)−~T (r0,ϕ0) ≈ ~Tϕ(r0, φ0)∆ϕ,

ergibt für den Flächeninhalt näherungsweise

≈ ∣∣~Tr (r0,ϕ0)×~Tϕ(r0, φ0)∣∣∆r ∆ϕ.

Für ∆r → 0 und ∆ϕ→ 0 geht dieser Ausdruck über in∣∣~Tr (r0,ϕ0)×~Tϕ(r0,ϕ0)∣∣ dr dϕ.

D.h. der Flächeninhalt des Flächenstückchens ∆S ist näherungsweise gege-ben durch den Flächeninhalt des von den Tangentialvektoren ~Tr und ~Tφaufgespannten Parallelogramms.Es verbleibt das Vektorprodukt auszurechnen, dazu berechnen wir zunächstdie partiellen Ableitungen:

~Tr (r,ϕ) =(

xr (r,ϕ)

yr (r,ϕ)

)=

(cosϕ

sinϕ

),

~Tϕ(r,ϕ) =(

xϕ(r,ϕ)

yϕ(r,ϕ)

)=

(−r sinϕ

r cosϕ

).

und der Betrag des Vektorprodukt ist dann:

∣∣~Tr (r,ϕ)×~Tϕ(r,ϕ)∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣det

~e1 ~e2 ~e3

cosϕ sinϕ 0

−r sinϕ r cosϕ 0

∣∣∣∣∣∣∣


=∣∣∣∣∣det

(cosϕ sinϕ

−r sinϕ r cosϕ

)~e3

∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣det

(cosϕ −r sinϕ

sinϕ r cosϕ

)~e3

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣det

(cosϕ −r sinϕ

sinϕ r cosϕ

)∣∣∣∣∣= ∣∣det(~Tr ~Tϕ

)∣∣= |r | = r,

da r ≥ 0 ist. Damit können wir nun über die Flächenstückchen aufintegrierenund erhalten Ï

Kρ(x, y)d x d y =

∫ 2

0

∫ 2π

0c r dϕdr = 4πc.

Was gilt allgemein?

Definition 9.25Eine Parameterdarstellung ~T : D → S, x = x(u, v), y = y(u, v), einesebenen regulären Bereichs S heißt auch Koordinatentransformation;wenn

1. x = x(u, v), y = y(u, v) sind einmal stetig differenzierbare Funktio-nen,

2. aus x(u, v) = x(u′, v ′) und y(u, v) = y(u′, v ′) folgt (u, v) = (u′, v ′)(die Abbildung ist eineindeutig),

3.∣∣~Tu ×~Tv

∣∣ = ∣∣∣ ∂(x, y)∂(u, v)

∣∣∣ = ∣∣xu (u, v) xv (u, v)− yu (u, v) yv (u, v)∣∣ 6= 0 für

alle (u, v) ∈ D.

(Der Tangentialvektoren sind überall voneinander linear unab-hängig und spannen eine Fläche auf, „die Fläche fällt nirgendwozusammen“).

D.h. wenn u und v den Bereich D durchlaufen (als Parameter), so

durchläuft ~T (u, v) =(

x(u, v)

y(u, v)

)die ebene Fläche B. Insbesondere werden


Kurven u = u0 = const auf Kurven ~T (u0, v) =(

x(u0, v)

y(u0, v)

)bzw. Kurven v =

v0 = const auf die Kurven ~T (u, v0) =(

x(u, v0)

y(u, v0)

)abgebildet. Diese speziellen

Kuven nennt man auch Koordinatenlinien. Man rechnet leicht nach, dass

~Tu ×~Tv = det

~ex ~ey ~ez

xu (u, v) yu (u, v) 0

xv (u, v) yv (u, v) 0

= det

~ex xu (u, v) xv (u, v)

~ey yu (u, v) yv (u, v)

~ez 0 0

=~ez det

(xu (u, v) xv (u, v)

yu (u, v) yv (u, v)

)und damit

∣∣~Tu ×~Tv∣∣= ∣∣∣∣∣det


yu (u, v) yv (u, v)

)∣∣∣∣∣= ∣∣det(~Tu ~Tv

)∣∣ist, dabei heißt der Ausdruck

∂(x, y)

∂(u, v)= det


yu (u, v) yv (u, v)

)= xu (u, v) yv (u, v)− yu (u, v) xv (u, v)

Funktionaldeterminante oder auch Jacobi-Determinante.

Satz 9.26 (Transformationsformel)Entsteht der reguläre Bereich B ⊆R2 unter der Koordinatentransfor-mation x = x(u, v), y = y(u, v) aus D, dann gilt für jede auf B stetigeFunktion f die Transformationsformel∫ ∫

Bf (x, y)d x d y =

∫ ∫D

f (x(u, v), y(u, v))

∣∣∣∣ ∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣∣ du d v .

Man muss also genauso wie beim eindimensionalen Integral, die Grenzen


= den Integrationsbereich, die Funktion und das Bogenelement = dasFlächenelement ersetzen.

Bemerkung 9.27Transformationsformel (Integration durch Substitution)In

∫∫B f (x, y)d x d y ersetzt man

1. die Variablen x, y durch die Funktionen x(u, v), y(u, v).

2. das Flächenelement d x d y durch∣∣∣ ∂(x, y)∂(u, v)

∣∣∣ du d v ,

3. den Integrationsbereich B durch den Parameterbereich D .

9.4 Zusammenfassung Doppelintegrale

• Ein Doppelintegral steht für eine Integration einer Funktion zweierVeränderlicher f (x, y) über einen eben Bereich (Menge in der x-y-Ebene) B.

• Mögliche Schreibweisen sind∫B

f (x, y)db =Ï

Bf (x, y)db =

ÏB

f (x, y)d(x, y) =Ï

Bf (x, y)d x d y, . . .

• Mit Hilfe eines Doppelintegral kann man den Flächeninhalt einesebenen Bereichs oder auch ein Volumen berechnen.

• Für eine stetige Funktion f (x, y) kann das Dopperintegral als iteriertesIntegral (es wird nach einander bezüglich x bzs. y oder umgekehrtintegriert) berechnet werden.


• Vorgehensweise:

– Man fertige eine Skizze des Integrationsbereichs B an, hilfreichsind dabei Schnittpunkte der Randkurven. Anschliessend zerlegeman den Bereich B in Normalbereiche.

B1 = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}

oderB2 = {(x, y) : c ≤ y ≤ d , h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}

– Hinweis: Oftmals sind die Randkurven als y = g (x) gegeben. Füreinen Normalbereich vom zweiten Typ muss man diese Gleichungaber nach x auflösen, also x = h(y). Beispiel: y = x2 +2x nach xauflösen:

y = x2 +2x +1−1 = (x +1)2 −1 ⇐⇒ y +1 = (x +1)2

⇐⇒ |x +1| =√y +1 ⇐⇒ x +1 =±√

y +1

und man muss nun entscheiden welche Formel für welchen Zweigdes Graphen gilt.

– In Abhängigkeit von der Art des Normalbereichs ist das iterierteIntegral aufzustellen und zwar immer so, dass zuerst über dieVariable mit den veränderlichen Grenzen integriert wird undanschliessend über die festen Grenzen, d.h.Ï

B1

f (x, y)d(x, y) =∫ b

a

(∫ g2(x)

g1(x)f (x, y)d y

)d x,

ÏB2

f (x, y)d(x, y) =∫ d

c

(∫ h2(y)

h1(y)f (x, y)d x

)d y.

– Wurde der Bereich B in mehrere Teilbereiche zerlegt, werden amEnde die Werte der Teilintegrale aufsummiert und ergeben dasIntegral.


9.5 Aufgaben

Aufgabe 1: Man berechne das Volumen des von z = y2

x2 und dem Bereich Bin der x-y-Ebene berandeten Körpers. Dabei wird B von y = x, x y = 1 undy = 2 begrenzt.Lösung: Zu berechnen ist das IntegralÏ

Bf (x, y)db, f (x, y) = y2

x2.

Um eine Skizze vom Bereich B anzufertigen, bestimmen wir zunächst dieSchnittpunkte der Kurven:

y = x, (9.1)

x y = 1 ⇐⇒ y = 1

x, (9.2)

y = 2. (9.3)

Die Schnittpunkte von (9.1) und (9.2) sind

y = x = 1

x⇐⇒ x2 −1 = 0 ⇐⇒ x1,2 =±1, y1,2 =±1.

Der Schnittpunkt von (9.1) und (9.3) ist

y = 2 = x ⇐⇒ x = 2, y = 2.

Der Schnittpunkt von (9.2) und (9.3) ist

y = 1

x= 2 ⇐⇒ x = 1

2, y = 2.

Damit gehören die Punkte (1;1), (2;2) und ( 12 ;2) zum Bereich B (wie man in

der Skizze erkennt, gehört der Punkt (−1;−1) nicht zu B).Nun können wir B als Normalbereich vom Typ 1 bzw. Typ 2 darstellen.


Zunächst als Normalbereich vom Typ 1

B1 = {(x, y) :1

2≤ x ≤ 1,

1

x≤ y ≤ 2} B2 = {(x, y) : 1 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ 2}.

y=1

x

y=x

y=2

x=1

2x=1 x=2

Abbildung 9.10: Bereich 1

x=1

y

x= y

y=1

y=2

Abbildung 9.11: Bereich 2Damit können wir das Integral berechnen:

V =Ï

Bf (x, y)db =

ÏB1

y2

x2db +

ÏB2

y2

x2db

=∫ 1

12

(∫ 2

1x

y2

x2d y

)d x +

∫ 2

1

(∫ 2

x

y2

x2d y

)d x

=∫ 1

12

(8

3x2− 1

3x5

)d x +

∫ 2

1

(8

3x2− x

3

)d x = 9

4.

Für den Normalbereich vom Typ 2 erhalten wir

B = {(x, y); 1 ≤ y ≤ 2,1

y≤ x ≤ y}


und das Integral wird wie folgt berechnet:

V =∫ 2

1

(∫ y

1y

y2

x2d x

)d y =

∫ 2

1− y2

x

∣∣∣∣∣x=y

x= 1y

d y =∫ 2

1(−y + y3)d y = 9

4.

Aufgabe2: Man berechne das IntegralÏB

x y db,

wobei B von der Geraden y = x−1 und der Parabel y2 = 2x+6 berandet wird.

Lösung: Es ist sehr sinnvoll zunächst eine Skizze des Bereichs B anzufertigen,daran kann man dann erkennen, welche Grenzen sinnvoller Weise als fest undwelche als Funktionen gewählt werden sollten. Um die Skizze erstellen zukönnen, ist es sinnvoll die Schnittpunkte der Kurven und die Schnittpunkteder Kurven mit den Koordinatenachsen.Schnittpunkte: Die Schnittpunkte von Gerade und Parabel ergeben sich aus

y2 = 2x +6 = (x −1)2 = x2 −2x +1 ⇐⇒ x2 −4x −5 = 0

⇐⇒ x1/2 = 2±p4+5 = 2±3

zu den x-Werten x1 = −1 und x2 = 5, die zugehörigen y-Werte sind y1 =x1 − 1 = −2 und y2 = x2 − 1 = 4. Wir erhalten also (−1;−2) und (5;4) alsSchnittpunkte der Kurven, die Schnittpunkte mit der y-Achse sind y =−1und y =±p6, wobei wie aus der Skizze hervorgeht nur y =p

6 zum BereichB gehört. Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind x =−3 und x = 1. Hiernun eine Skizze des Bereichs B :


y=− 2x6

y=−2x6

y= x−1

-3 -1 5

Abbildung 9.12: Bereich B

Nun muss man sich überlegen, ob es günstiger ist B als Normalbereich vomTyp 1 oder 2 zu betrachten. Wie aus der Skizze ersichtlich ist, kann manB entweder in 2 Bereiche vom Typ 1 aufteilen oder als Bereich vom Typ2 betrachten. Wir betrachten B deshalb zunächst als Normalbereich vomTyp 2, d.h. y variiert in den festen Grenzen und die Grenzen für x sindFunktionen von y.


x=y2

2−3

x= y1

Abbildung 9.13: Bereich vom Typ 2

Zunächst lösen wir die Gleichungen für die Randkurven nach x auf, umdie Grenzen für x zu bestimmen, es gilt:

y2 = 2x +6 ⇐⇒ x =−1

2y2 −3 und y = x −1 ⇐⇒ x = y +1.

Die Grenzen für y ergeben sich aus dem kleinstmöglichen bzw. größtmöglichenWert den y annehmen kann, wenn y zum Bereich B gehört, diese Werteergeben sich aus den Schnittpunkten der Kurve zu y =−2 bzw. y = 4. Damiterhalten wir

B = {(x, y) : −1

2y2 −3 ≤ x ≤ y +1, −2 ≤ y ≤ 4}.


Jetzt können wir das Integral berechnen, die inneren Grenzen sind dieveränderlichen, also in diesem Fall die Grenzen für x, deshalb wird zunächstüber x und dann über y integriert:

ÏB

x y db =∫ 4

−2

∫ y+1

− 12 y2−3

x y d x d y =∫ 4

−2

x2

2y

∣∣∣∣∣x=y+1

x=− 12 y2−3

d y

=∫ 4

−2

1

2(y +1)2 y − 1

2

(1

2y2 −3

)2y d y =

∫ 4

−2−1

4y5 +4y3 +2y2 −8y d y = 36.

Will man den Bereich B dagegen als Normalbereich vom Typ I darstellen, somuss er in 2 Teilbereiche aufteilen, da für die untere Grenze von y nicht nureine Funktion gibt, die diese Grenze beschreibt. Wir haben für −3 ≤ x ≤−1für y die Beziehung −p2x +6 ≤ y ≤p

2x +6, das ergibt den Bereich B1:

B1 = {(x, y) : −3 ≤ x ≤−1, −p2x +6 ≤ y ≤p2x +6}.

Im zweiten Bereich B2 variiert x zwischen −1 und 5 und wir müssen bzgl. yvon der Geraden y = x −1 bis zur positiven Wurzel

p2x +6 integrieren, d.h.

B2 = {(x, y) : −1 ≤ x ≤ 5, x −1 ≤ y ≤p2x +6}.

Somit erhalten wir

B = B1 ∪B2 = {(x, y) : −3 ≤ x ≤−1, −p2x +6 ≤ y ≤p2x +6}

∪ {(x, y) : −1 ≤ x ≤ 5, x −1 ≤ y ≤p2x +6}.

Damit haben wir B als Normalbereich(e) vom Typ I dargestellt und die festenGrenzen sind bzgl. x, dagegen sind die Grenzen bzgl y veränderlich und manmuss im Integral zunächst nach y und dann nach x integrieren. Das Integral


y=2x6

y=2x6

y=−2x6

y= x−1

-3 -1 5

Abbildung 9.14: 2 Bereiche vom Typ 1

berechnet sich wie folgt:∫B

x y db =∫

B1∪B2

x y db =∫

B1

x y db +∫

B2

x y db

=∫ −1

−3

∫ p2x+6

−p2x+6x y d y d x +

∫ 5

−1

∫ p2x+6

x−1x y d y d x

=∫ −1

−3x

y2

2

∣∣∣∣∣y=p2x+6

y=−p2x+6

d x +∫ 5

−1x

y2

2

∣∣∣∣∣y=p2x+6

y=x−1

d x

=∫ −1

−3x(x +3)−x(x +3)d x +

∫ 5

−1x(x +3)−x

(x −1)2

2d x

= −1

8x4 + 2

3x3 + 5

4x2

∣∣∣∣5

−1= 36


Aufgabe 3: Man berechne das Integral∫

S f (x, y)d x d y, wobei der BereichS von den Geraden x −2y = 0, x −2y =−4, x + y = 4 und x + y = 1 berandetwird.

Lösung: Wir setzen u = x + y und v = x −2y, dann ergibt sich als Lösung desGleichungssystems

x = 1

3(2u + v) und y = 1

3(u − v).

Abbildung 9.15: Transformation

Daraus ergibt sich die Funktionaldeterminante∣∣∣∣ ∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣∣=∣∣∣∣∣det

(xu yu

xv yv

)∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣det

(23

13

13 − 1

3

)∣∣∣∣∣= ∣∣∣− 29 − 1

9

∣∣∣= 13 .

Die 4 Grenzen von S gehen in die folgenden Grenzen von D über:


Grenze in der x y-Ebene Grenze in der uv-Ebenex + y = 1 ⇒ u = 1

x + y = 4 ⇒ u = 4

x −2y = 0 ⇒ v = 0

x −2y = 1 ⇒ v =−4

und

∫S

f (x, y)d x d y =∫ 0

−4

∫ 4

1

13 du d v = 4.

9.6 Anwendung: Integralsatz von Green

Einen Zusammenhang zwischen einem Kurvenintegral 2. Art und einemebenen Integral stellt der Satz von Green dar. Aus strömungsmechanischerSicht ist der Satz von Green die „ebene Variante“ des Satzes von Stokes.

Satz 9.28Es sei B ein regulärer Bereich, der von den Kurven(stücken)~γ1,~γ2, . . . ,~γk , die positiv orientiert sind (wenn die Kurve durchlaufenwird, liegt der Bereich B immer links), berandet wird. die FunktionenP (x, y) und Q(x, y) seien stetig partiell differenzierbar in der offenenMenge D, die den regulären Bereich B enthält. Dann gilt∫

∂BP (x, y)d x +Q(x, y)d y =

ÏB

∂Q

∂x− ∂P

d ydb.

Beweis: Wir wollen den Satz nur für ein einfach zusammenhängendesGebiet B , das sowohl als Normalbereich vom Typ 1 als auch als Normalbereichvom Typ 2 dargestellt werden kann. Stellen wir B zunächst als Normalbereichvom Typ 1 dar:


.

.

y=g(x)

y=h(x)

Bereich B als Normalbereich vom Typ I

Integration von unten nach oben

x=a

x=b

Die Pfeile geben die positive Orientierung der Randkurve an.


so lässt sich der Bereich darstellen als

B = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, g (x) ≤ y ≤ h(x)}.

Dann giltÏ∂P

∂ydb =

∫ b

a

∫ h(x)

g (x)

∂P

∂yd y d x =−

∫ b

aP (x,h(x))−P (x, g (x))d x

=−∫~γ

P (x, y)d x.

Dabei ergibt sich das Minus vor dem 3. und 4. Integral dadurch, dass dieParametrisierung für die Randkurve ~γ gerade(

t

g (t )

)∪

(t

h(t )

)∗, a ≤ t ≤ b,

ist, d.h. die zweite Kurve wird gerade entgegengesetzt durchlaufen. Wir


erhalten damit als Teilresultat:∫~γ

P (x, y)d x =−Ï

∂P

∂ydb.

Stellt man nun B als Normalbereich vom Typ 2 dar:

.

.

x=l(y)

x=r(y)Bereich B als Normalbereich vom Typ II

Integration von links nach rechts

y=d

y=c

Die Pfeile geben die positive Orientierung der Randkurve an.


so lässt sich der Bereich darstellen als

B = {(x, y) : l (y) ≤ x ≤ r (y), c ≤ y ≤ d},

dann ergibt sichÏ∂Q

∂xdb =

∫ d

c

∫ r (y)

l (y)

∂Q

∂xd x d y =

∫ d

cQ(r (y), y)−Q(l (y), y)d y =

∫~γ

Q(x, y)d y.

Addiert am nun beide Beziehungen so ergibt sich die Behauptung.

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