Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - L 9 / V 9 - WS 2006 / 2007 1 Numerical Methods of Electromagnetic...

Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - L 9 / V 9 - WS 2006 / 2007 1

Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I)

Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) /

9th Lecture / 9. Vorlesung

Universität KasselFachbereich Elektrotechnik /

Informatik (FB 16)

Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115

D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René [email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

University of KasselDept. Electrical Engineering /

Computer Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71

Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel

mailto:[email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de/

http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein


FDTD and FIT / FDTD und FITFDTD : Finite Difference Time Domain / Finite Differenzen im ZeitbereichFIT : Finite Integration Technique / Finite Integrationstechnik

m

e

e

m

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , )

t t tt

t t tt

t t

t t

B R ×E R J R

D R ×H R J R

D R R

B R R

m

e

e

m

d( , ) ( , ) ( , )

d

d( , ) ( , ) ( , )

d

( , ) ( , )

( , ) ( , )

S C S S

S C S S

S V V

S V V

t t tt

t t tt

t t dV

t t dV

B R dS E R dR J R dS

D R dS H R dR J R dS

D R dS R

B R dS R

FDTDMaxwell’s equations in differential form /

Maxwellsche Gleichungen in Differentialform

FITMaxwell’s equations in integral form /

Maxwellsche Gleichungen in Integralform

0

0 0, ,2 2

( , )z z

z zf z t f z t

f z tz z

0

00( , ) d ,

2

z z

z z

zf z t z f z t z

FD approximation of spatial and temporal derivatives /

FD-Approximation von räumlichen und zeitlichen Ableitungen

FIT approximation of spatial and temporal integrals /

FIT-Approximation von räumlichen und zeitlichen Integralen

Central difference approximation / Zentrale Differenzen Approximation

Mid point rule approximation of a 1-D integral / Mittelpunktsregel-Approximation eines 1D-Integrals


Definition of Material Cells / Definition der Materialzellen

1x x3z x2y x 1x x

3z x

2y x

1xn x xn N 1yn

y yn N

z zn N

1zn

( )nmMaterial cell / Materialzelle

( )

1

Nn

n

M m

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

n n N

n n N

m n

m n

ε R ε

ν R ν

1 1 1 1

1, 2, ,

1

x x y y z z

x y z

x

y x

z x y

n M n M n M n

n N N N N

M

M N

M N N


3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen

d d

dxS S

R

dS n e

dR s

( )dyE

( )bzE( )m

xB

( )fzE

( )uyE

( )dyE

( )bzE

( )mxB

( )fzE

( )uyE

md

( , ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt


3 3( )

3 3( )

( , ) ( , ) d

( , ) d

( ) d

( )

xS S

xS

mx S

y z

mx

t dS t S

B t S

B t S y z y z

B t y z y z y z

n B R e B R

R

1x x3z x2y x

1x x3z x

2y x

integration cell / -Integrationszelle( )mxB

I ( )mxB

I

3 3( )

3 3( )

( , ) d ( ) d d

( )

mS S

y z

m

f t S f t y z y z y z

f t y z y z y z

R

x

z

Field component in the middle / Feldkomponente in der Mitte

Approximation error / Approximationsfehler

z

y

y



d d d

d d

d d

x

y y

z z

S y z

R y

R z

dS n e

dR s e

dR s e

( )dyE

( )bzE

( )mxB

( )fzE

( )uyE

md

( , ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt


1x x3z x

2y x


I ( )mxB

I

y

z

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , ) d ( , ) d

( , ) d ( , ) d

( , )d ( , )d

( , )d ( , )d

u f

d b

u f

d b

u f

d

C S C C

C C

y zC C

y zC C

y zC C

y zC

t t t

t t

t y t z

t y t z

E t y E t z

E t y E t

E R dR E R dR E R dR

E R dR E R dR

E R e E R e

E R e E R e

R R

R R

( )bCz

( )uC

( )fC( )dC

( )bC

( , ) ?C S

t

E R dR



( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( , ) d ( , ) d ( , ) d ( , ) du f d by z y zC S C C C Ct E t y E t z E t y E t z

E R dR R R R R

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

3( )

3( )

3( )

3( )

3( )

( )

( , ) d ( ) d

( )

( , ) d ( ) d

( )

( , ) d ( ) d

(

u u

f f

d d

uy yC C

y

uy

fz zC C

z

fz

dy yC C

y

dy

E t y E t y y

E t y y

E t z E t z z

E t z z

E t y E t y y

E t

R

R

R

( ) ( )

3

3( )

3( )

)

( , ) d ( ) d

( )

b bb

z zC C

z

bz

y y

E t z E t z z

E t z z

R

( ) ( )3( )

3( )

( , ) d ( ) d

( )

u um

C C

y

m

f t R f t y y

f t y y

R

Field component in the middle / Feldkomponente in der Mitte

Approximation error / Approximationsfehler

( )mf

1x x3z x

2y x

y

( )uC

y



( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

3 3

( , ) ( , ) d ( , ) d ( , ) d ( , ) d

( ) d ( ) d ( ) d ( ) d

u f d b

u f d b

y z y zC S C C C C

u f d by z y zC C C C

y z y z

t E t y E t z E t y E t z

E t y E t z E t y E t z

y z

E R dR R R R R

3 3( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) u f d by z y zC S

t E t y E t z E t y E t z y z

E R dR

( )dyE

( )bzE

( )mxB

( )fzE

( )uyE

1x x3z x

2y xintegration cell / -Integrationszelle( )mxB

I ( )mxB

I

y

z

( )uC

( )fC( )dC

( )bC



md

( , ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt


m m

m

3 3( )m

3 3( )m

( , ) ( , ) d

( , ) d

( ) d

( )

xS S

xS

mx S

y z

mx

t dS t S

J t S

J t S y z y z

J t y z y z y z

n J R e J R

R

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m

d( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

dm u f d b mx y z y z xB t y z E t y E t z E t y E t z J t y z

t


I ( )mxB

I

( ) ( ) ( ) ( )

3 3

( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

u f d by z y zC S

t E t y E t z E t y E t z

y z

E R dR


I ( )mxB

I


I ( )mxB

I



( )rzE

( )dxE

( )rzE

( )myB

( )lzE

( )uxE

1x x3z x2y x

1x x

3z x2y x

integration cell / -Integrationszelle( )myB

I ( )myB

I

x

z

( )myB( )l

zE

( )dxE

( )uxE

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )m

d( )

d

( ) ( ) ( ) ( )

( )

my

u l d rx z x z

my

B t x zt

E t x E t z E t x E t z

J t y z

md

( , ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt


integration cell / -Integrationszelle( )myB

I ( )myB

I



1x x3z x2y x

1x x

3z x2y x

integration cell / -Integrationszelle( )mzB

I ( )mzB

I

y

( )fxE

( )mzB

( )bxE

( )ryE

( )lyE

( )fxE

( )mzB

( )bxE

( )ryE

( )lyE

x

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )m

d( )

d

( ) ( ) ( ) ( )

( )

mz

b r f lx y x y

mz

B t x yt

E t x E t y E t x E t y

J t x y

md

( , ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt


integration cell / -Integrationszelle( )mzB

I ( )mzB

I



md

( , ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m

( ) ( ) ( ) (

d( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

d

d( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

d

d( ) ( ) ( )

d

m u f d b mx y z y z x

m u l d r my x z x z y

m b r fz x y x

B t y z E t y E t z E t y E t z J t y zt

B t x z E t x E t z E t x E t z J t x zt

B t x y E t x E t y Et

) ( ) ( )m( ) ( ) ( )l m

y zt x E t y J t x y


Dual-Orthogonal Grid System in Space /Dual-orthogonales Gittersystem im Raum

1x x3z x2y x

3-D / 3D

( )

( )

n

n

g G

m M

( )ng G

G GPrimary grid / Secondary (dual) grid

Primäres Gitter Sekundäres (duales) Gitter

Gn n

Gn

( )nxE

( )nyE

( )nzB

( )nyB

( )yn MzE

( )zn MyE

( )zn MxE

( )xn MzE

( )xn MyE

( )y

n MxE

1 1 1 1

1, 2, ,

1

x x y y z z

x y z

x

y x

z x y

n M n M n M n

n N N N N

M

M N

M N N

G MPrimary grid / Material grid

Primäres Gitter Materialgitter

Global node numbering / Globale Gitternummerierung

( )nzE

( )nxB



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m

( ) ( ) ( ) (

d( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

d

d( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

d

d( ) ( ) ( )

d

m u f d b mx y z y z x

m u l d r my x z x z y

m b r fz x y x

B t y z E t y E t z E t y E t z J t y zt

B t x z E t x E t z E t x E t z J t x zt

B t x y E t x E t y Et

) ( ) ( )m( ) ( ) ( )l m

y zt x E t y J t x y

( )( )( ) ( ) ( ) ( )m

( )( )( ) ( ) ( ) ( )m

( )( )

d( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

d

d( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

d

d( ) ( )

d

yz

xz

y

n Mn Mn n n nx y y z z x

n Mn Mn n n ny x x z z y

n Mnz x

B t y z E t E t y E t E t z J t y zt

B t x z E t E t x E t E t z J t x zt

B t x y E t Et

( )( ) ( ) ( )m( ) ( ) ( ) ( )xn Mn n n

x y y zt x E t E t y J t x y

Local grid equations in local notation / Lokale Gittergleichungen in lokaler Notation

Local grid equations in global grid node notation / Lokale Gittergleichungen in globaler Gitterknotennotation



( )( )

( ) ( )0

0

( ) ( )

ii

n MnM

n n

n n

S f f

S f f

S I

I f f

Local spatial shift operators / Lokale räumliche Schiebeoperatoren

( )( )( ) ( ) ( ) ( )m

( )( )( ) ( ) ( ) ( )m

( )( )

d( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

d

d( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

d

d( ) ( )

d

yz

xz

y

n Mn Mn n n nx y y z z x

n Mn Mn n n ny x x z z y

n Mnz x

B t y z E t E t y E t E t z J t y zt

B t x z E t E t x E t E t z J t x zt

B t x y E t Et

( )( ) ( ) ( )m( ) ( ) ( ) ( )xn Mn n n

x y y zt x E t E t y J t x y

( ) ( ) ( ) ( )m

( ) ( ) ( ) ( )m

( ) ( ) ( )

d( ) ( ) ( ) ( )

d

d( ) ( ) ( ) ( )

d

d( ) ( ) ( )

d

z y

z x

y x

n n n nx M y M z x

n n n ny M x M z y

n n nz M x M y

B t y z S I E t y I S E t z J t y zt

B t x z I S E t x S I E t z J t x zt

B t x y S I E t x I S E tt

( )m ( )nzy J t x y

Local grid equations in global grid node notation / Lokale Gittergleichungen in globaler Gitterknotennotation

Local grid equations with local spatial shift operators in global grid node notation / Lokale Gittergleichungen mit lokalen räumlichen Schiebeoperatoren in globaler Gitterknotennotation


3-D FIT – Local Spatial Shift Operators / 3D-FIT – Lokale räumliche Schiebeoperatoren

( )( ) ii

n MnMS f f

1. Simple spatial shift operation / Einfache räumliche Schiebeoperation

( ) ( )n nI f f

2. Identity operation / Identitätsoperation

3. Multiple shift operations / Zusammengesetzte Schiebeoperationen

( )( ) ( ) i j

i j j i

n M Mn nM M M MS S f S S f f

Special case for / Speziell folgt für

i iM MS S I

j iM M j iM M

4. Local difference operator / Lokaler Differenzoperator

i iM MP I S

5. Local averaging operator / Lokaler Mittelungsoperator

1

2i iM MA I S



… in local matrix form / … in lokaler Matrixform

( ) ( ) ( ) ( )m

( ) ( ) ( ) ( )m

( ) ( ) ( )

d( ) ( ) ( ) ( )

d

d( ) ( ) ( ) ( )

d

d( ) ( ) ( )

d

z y

z x

y x

n n n nx M y M z x

n n n ny M x M z y

n n nz M x M y

B t y z S I E t y I S E t z J t y zt

B t x z I S E t x S I E t z J t x zt

B t x y S I E t x I S E tt

( )m ( )nzy J t x y

( )

( )( ) ( )

( )

( )

( ) curl

0( ) ( )d

( ) 0d

( ) 0

z y

z x

y x

n

nn nM Mx x

ny M M

nz M M

S RB t

S I I SB t E ty z x

x z B t I S S I y Et

x y zB t S I I S

( )

( )m

( )

( )

( )

( )

( )( )m

( )m

( )m

( )

( )

( )

( )

( )

( )

n

n

n

ny

nz

E t

nnx

ny

nz

SJ t

t

E t

J ty z

x z J t

x y J t

Local grid equations with local spatial shift operators in global grid node notation / Lokale Gittergleichungen mit lokalen räumlichen Schiebeoperatoren in globaler Gitterknotennotation


3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Local Matrix Form / 3D-FIT – ... diskreten Gittergleichungen in lokaler Matrixform

( )

( )( ) ( )

( )

( )

( ) curl

0( ) ( )d

( ) 0d

( ) 0

z y

z x

y x

n

nn nM Mx x

ny M M

nz M M

S RB t

S I I SB t E ty z x

x z B t I S S I y Et

x y zB t S I I S

( )

( )m

( )

( )

( )

( )

( )( )m

( )m

( )m

( )

( )

( )

( )

( )

( )

n

n

n

ny

nz

E t

nnx

nx

nx

SJ t

t

E t

J ty z

x z J t

x y J t

0 0

0 0 curl

0 0

z y z y

z x z x

y x y x

M M M M

M M M M

M M M M

S I I S P P

I S S I P P

S I I S P P



( ) ( ) ( )m

d( ) curl ( ) ( )

dn n n

S B t R E t S J tt

3 3

( ) 3

Diagonal matrix of elementary surfaces on the grid /

Diagonalmatrix der Elementarflächen auf dem Gitter

Algebraic magnetic flux density vector /( )

Algebraischer magnetischer Flussdichten

GS

G

B t

3 3

3 3

vektor

Topological curl operator in matrix form on the grid /curl

Topologischer Rotationsoperator in Matrixform auf dem Gitter

Diagonal matrix of elementary lines on the grid /

Diagonalm

G

G

GR

( ) 3

( ) 3m

atrix der Elementarstrecken auf dem Gitter

Algebraic electric field strength vector /( )

Algebraischer elektrische Feldstärkevektor

Algebraic magnetic current density vector /( )

Algebrai

n

n

G

E t

J t

scher magnetischer Stromdichtevektor

( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) (

( ) curl

0( ) ( )d

( ) 0 ( )d

( ) 0

z y

z x

y x

n

nn nM Mx x

n ny M M y

nz zM M

S RB t

P PB t E ty z x

x z B t P P y E tt

x y zB t EP P

( ) ( )

m

( ) ( )( )m

( )m

( ))m

( ) ( )

( )

( )

( )( )

n n

n nnx

nx

nnx

SE t J t

J ty z

x z J t

x y J tt

Faraday’s induction law in local matrix form / Faradaysches Induktionsgesetz in lokaler Matrixform



1x x3z x2y x

( )nxE

( )nzB

( )nyB

( )yn MzB

( )zn MyB

( )nzB

( )yn MzB

1x x3z x

2y x

integration cell / -Integrationszelle( )mxE

I ( )mxE

I

z

y

( )zn MyB

( )nxE

( )nyB

( )nm( )yn Mm

( )y zn M Mm

( )zn Mm

( )

( )

y

y

n M

n M

ε

ν

( )

( )

n

n

ε

ν

( )

( )

y z

y z

n M M

n M M

ε

ν

( )

( )

z

z

n M

n M

ε

ν

( )nm

( )yn Mm

( )y zn M Mm

( )zn Mm

ed

( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt

ε R E R dS ν R B R dR J R dS



( )

3 3

( ) ( , ) ( ) ( , ) d

( ) ( , ) d

( ) ( ) d

xS S

xx xS

nx xxS

t t S

E t S

E t S

y z y z

ε R E R dS e ε R E R

R R

R

( )

( ) ( )( )( )

( )

( ) d

1

4y y zz

nxx

xxS

n M n M Mn Mnxx xx xx xx

nxx

S

y z

y z

R

( ) 3 3( )

( ) ( , )

( )

S

nnxxx

t

E t y z y z y z

ε R E R dS

e

3 3( )e

( , )

( )

S

nx

t

J t y z y z y z

J R dS

ed

( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt


( )nzB

( )yn MzB

1x x3z x

2y xintegration cell / -Integrationszelle( )mxE

I ( )mxE

I

z

y

( )zn MyB

( )nxE

( )nyB

( )nm( )yn Mm

( )y zn M Mm

3( )n Mm

( )

( )

y

y

n M

n M

ε

ν

( )

( )

n

n

ε

ν

( )

( )

y z

y z

n M M

n M M

ε

ν

( )

( )

z

z

n M

n M

ε

ν



ed

( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt


( ) ( , ) ?C S

t ν R B R dR

( )

( )

( )

( )

( ) ( , ) ( ) ( , ) d

( ) ( , ) d

( ) ( , ) d

( ) ( , ) d

u

f

d

b

yy yC S C

zz zC

yy yC

zz zC

t B t y

B t z

B t y

B t z

ν R B R dR R R

R R

R R

R R

( )bzB

( )fzB

1x x3z x

2y xintegration cell / -Integrationszelle( )mxE

I ( )mxE

I

z

y

( )dyB

( )nxE

( )uyB

( )nm( )yn Mm

( )y zn M Mm

3( )n Mm

( )

( )

y

y

n M

n M

ε

ν

( )

( )

n

n

ε

ν

( )

( )

y z

y z

n M M

n M M

ε

ν

( )

( )

z

z

n M

n M

ε

ν

d d d

d d

d d

x

y y

z z

S y z

R y

R z

dS n e

dR s e

dR s e

( )

( )

( )

( )

( ) ( , ) ( ) ( , )

( ) ( , )

( ) ( , )

( ) ( , )

u

f

d

b

C S C

C

C

C

t t

t

t

t

ν R B R dR ν R B R dR

ν R B R dR

ν R B R dR

ν R B R dR



( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) (

3( )

3( )

3( )

( )

( ) ( , ) d ( ) ( ) d

( ) ( , ) d ( ) ( ) d

( ) ( , ) d ( ) ( ) d

( ) ( , ) d ( ) ( ) d

u u

f f

d d

b b

uyy y y yyC C

fzz z z zzC C

dyy y y yyC C

bzz z z zzC C

B t y B t y y

B t z B t z z

B t y B t y y

B t z B t z

R R R

R R R

R R R

R R R

)3

z

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( , )

( ) ( , ) d ( ) ( , ) d ( ) ( , ) d ( ) ( , ) du f d b

C S

yy y zz z yy y zz zC C C C

t

B t y B t z B t y B t z

ν R B R dR

R R R R R R R R

( )

( )

( )

( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

( )( )

1( ) d

2

1( ) d

2

1 ( ) d

2

1( ) d

2

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3 3

Diagonal matrix of permittivities on the grid /

Diagonalmatrix der Permittivitäten auf dem Gitter

Diagonal matrix of elementary surfaces on the grid /

Diagonalmatrix der Elementarflä

n G

G

GS

( ) 3

3 3

chen auf dem Gitter

Algebraic electric field strength vector /( )

Algebraischer elektrischer Feldstärkevektor

Topological curl operator in matrix form on the grid /curl

Topologischer Rota

n

G

E t

G

( ) 3 3

3 3

tionsoperator in Matrixform auf dem Gitter

Diagonal matrix of impermeabilities on the grid /

Diagonalmatrix der Impermeabilitäten auf dem Gitter

Diagonal matrix of elementary lines o

n

G

G

G

R

( ) 3

( ) 3e

n the grid /

Diagonalmatrix der Elementarstrecken auf dem Gitter

Algebraic magnetic flux density vector /( )

Algebraischer magnetischer Flussdichtevektor

Algebraic electric current d( )

n

n

G

G

B t

J t

ensity vector /

Algebraischer elektrischer Stromdichtevektor


3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Local and Global Matrix Form /

3D-FIT – ... diskreten Gittergleichungen in lokaler und globaler Matrixform

( ) ( ) ( )m

( ) ( ) ( )( ) ( )e

d( ) curl ( ) ( )

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d( ) curl ( ) ( )

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S B t R E t S J tt

S E t R B t S J tt

Discrete grid equations in local matrix form / Diskrete Gittergleichungen in lokaler Matrixform

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ε S E curl ν R B S J

Discrete grid equations in global matrix form / Diskrete Gittergleichungen in globaler Matrixform

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S C S S

S C S S

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t t tt



Maxwell’s equations in integral form / Maxwellsche Gleichungen in Integralform


End of Lecture 9 /Ende der 9. Vorlesung

Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - L 9 / V 9 - WS 2006 / 2007 1 Numerical Methods of Electromagnetic...

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Transcript of Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - L 9 / V 9 - WS 2006 / 2007 1 Numerical Methods of Electromagnetic...