BIath. R'achr. 130 (1987) 251-265

Ein einfacher Existenzbeweis fur das nichtlineare bIOLODENSKY-PrOblem

Yon ?/IATTIIIAS G:CNTHER in Leipzig

(Eingegnngen am 5.9.1985)

1. Einleitung

Wir behandeln in der vorliegenden Arbeit ein freies Randmertproblem der physikalischen Geodasie, auch f i~oLoDE~sKY-~rob~em genannt. Es besteht grob gesprochen darin, die Gestalt eines Korpers (insbesondere der Erde) aus Messungen cles GravitationspotentiaIs und der Gravitationskraft a n seiner Oberfliiehe zu be- stimmen. Genauer: 1st S c R J die Einheitssphiire unci sind ll?, 0 = (Gl, G1, G:) auf 5' gegebene Funktionen, ttann ist ciiie Einbettung rp : 8-I1 gesucht, so darJ

gilt: dabei ist zu das Gravitations1,otential des gesuchten Korpers. Fiir die Ercle kann 70 in cler Forni

(!) 2 za(x)=v(z)+_7 ( i i f d ) , z=(x, , Z?, X,!)

d

dargestellt werden. wobei v eine harmonische Funlrtion aufierhalb von q(S) ist und c o die Winkelgeschwincligkeit der Rotation um die z,-Achse ist.

Alle bekannten Existenzaussagen fur dieses Problem sincl lokaler Natur, d. h. man bleibt in der Nahe einer bekannten Ausgangsfigur q,,(S) mit bekannten Wer- ten IF,,, Go. Dabei mussen rp,,, IVO, Go naturlich gewissen Voraussetzungen genugen, und die Aufgabenstellung ist etwas zu modifizieren, da das linearisierte Problem Eigenlbsungen besitzt (vgl. Abschnitt 3). Mathematisch exakt wurde das Problem erstmals von L. HORMANDER [3] behsndelt. E r zeigt u. a. die Existenz einer Lo- sung fur l l W - W0//2+sr //G-G0//2+a hinreichend klein; dazu wird in [3] als wesent- liches Hilfsmittel ein verallgemeinerter Satz iiber inverse Funktionen (Satz vom MOSER-NASH Typ) bewiesen. l l * / l m + A mit r n ~ N und 0 4 A - c 1 bezeichnet dabei eine Norm im Raum C" + A der m-ma1 stetig differenzierbaren Funktionen, deren m-te Ableitungen einer Holderbedingung mit dem Exponenten A genugen.

Ein anderer Zugang findet sich bei F. SANSO [9]; dort werden Ergebnisse von D. KINDERLEHRER und L. NJRENBERG [5] benutzt. &lit Hilfe einer LEGENDRE Transformation kann das Problem auf die Losung eines Randwertproblems fur eine nichtlineare, elliptische Gleichung in einem bekannten Gebiet zuriickgefiihrt

252 Nath. Nachr. 130 (1987)

werden. Auf cliese Weise wurde von K. ~$'XTSCH [Il l die Eindeutigkeit gezeigt, falls TI7 - Wo, G -Go in der C1-Norm hinreichend klein sind.

Bei unserem Zugang machen wir fur v den naheliegenden Ansatz in Form eines NEwTONSChen Volumenpotentials. Naturlich wird dabei die Dichte durch die Vor- gaben nicht eindeutig bestimmt, aber das ist auch nicht notig. Durch Verwendung dieses Ansatzes konnen wir die Existenz einer Losung des modifizierten Problems zeigen, falls :I W- T.V,,llL+, [lG-G,,lll+8 hinreichend klein sind und kommen dabei m i t Clem klassischen Satz iiber inverse Funktionen aus. Die Hauptarbeit liegt in cler Abschatzung gewisser Potentiale bei Gebietsanderungen. Die Techniken zur Her- leitung solcher Abschatzungen gehen auf L. LICHTENSTEIX zuriick.

Abschnitt 2 enthalt einige vorbereitencle Lemmata ; in Abschnitt 3 formulieren wir unser Hauptresultat und beweisen es. Im Abschnitt 4 finden sich die benotjg- ten potentialtheoretischen Abschatzungen.

Bei Abschatzungen werden wir an den Stellen, wo lreine MiRverstandnisse zu befurchten sind, vorhommende Konstanten einheitlich mit C bezeichnen.

2. Yorbetreehtungeii

Es sei Q c R3 ein bescliranktes, einfach zusammenhangendes Gebiet, desseri Rancl S:=FQ von der Klasse Clfe, O < E < 1 ist. Ferner sei U die 3Ienge aller g~ = (ql, p, 9:)) E C'+' (a , R:1) init

(1) I I ~ - ~ g l e I j ? + e < Q , X > O ;

dahei ist qe(z) =(xl, x2, z:d> Vz=(xI, x2, xC,)Ea. I d e m wir Q hinreichencl klein wahlen, lronnen wir annehnien :

a ) Fur jedes ~ J C U vermittelt die Abbildung N H g J ( X ) , zE.52

eineii Hoinoomorphismus der Klasse auf ein Gebiet Qp; b) Fur alle g~ E U gilt :

1 3 1 /?

( 2 ) i= I

2 9 Dabei sei det

f r p€ Co(a,, R") durch

clefiniert. Fur plE U, yEC1f"(0), o€Ce(.Q) betrachten wir nun folgende Integrale

die Funlrtionaldeterminante. 1st i C Co(.D, R"), d a m werde ein dx

f J Y ) : = (f09-9 ( Y I P YEQ,

Giinther, Ein einfacher Existenzbeweis 253

i C ( 1 , 2 , 3)

i , j€{l , 2 . 3)

fiir X E S . E ist also ein NEwToNsches T'olumenpotential und F eine seiner ersten Ableitungen.

Lemma 1. Sind @, cplEU, y ~ C " + ' ( ( s ) und ~eC( ( s ) , dann sind E(cp'), P(&)), G(ql )~C1+"(S) , 1 = 0 , 1 und es gilt niit einer von u und Q ctbhangiyen Iionstanfen C:

R I i~(Y") l l~+, . llJYY1)ll?+8 ZC' ll4L 9

liG(plz)ll:+s sc ll,oll: IlYllf+h 7

liE(a9 -E(q%li+s.

I~wP')) - - G ( ~ J [ ) I I ~ + ~ sc IieIt'IIyIIi?+:cI~cpo - r y ~ t i l + ~ .

IS R IQ lli%J") -Q?411:+s~c /k?ll8 IIP" - Y 1 l l l + a 7

n

Bew eis. Mittels einer Transformation des Inte~ratiotisgebietes kijnnen mir P, G durch Integrale iiber R darstellen :

Dabei ist die Matrix ( a ( q ~ ) ~ ~ ) die Inverse der Funktionalmatris. Es gilt also: IQ

Il~(d)hkll:"c7 Ila(y~)nk-a(P~),,ll: sc / I P O - r F ' l I l + e 3

Damit haben wir _F and G als Sunime von Integralen dargestellt, auf die Lemma 5 und Folserung 1 aus Abschnitt 4 anwendbar sind, und es ergeben sich die ge- wunschten Abschatzungen (die Voraussetzungen (17) , (18) sind wegen (l), (2) erfiillt). Die Abschatzungen fiir E sind trivial.

Lemma 2. Bei festem ecC(i7) sind die Abbilclunyen E , F : V-C"'(S) stetig FRECHET-ctifferenzierbar, und es giit:

254 Xath. Nschr. 130 (1987)

Beweis . Wir zeigen die Behauptung nur fur den komplizierteren Fall der Abbilclung P. Dazu definieren 'wir fur t c [0, 11 :

1st ypE U , yEC'+&(Q, RJ) und lly/f+& hinrejchend klein, dann ist auch q + y ~ U und clurch die Bbbilclung

x w x + y J x ) , xEn,

wircl offenbar ein Homoomorphismus von Q, auf Q,,+,p geliefert. Daher konnen wir schreiben

( 5 ) F, (Y + Y) (4

Fur t=-0 treten nun im Integranclen von (5) keine Singularitaten auf uncl tvir konnen sofort schlieBen, daB Ft a h Abbildung von 17 nach C"'(S) FRh2I-IET-dif-

ferenzierbar ist, uncl zwar gilt fur alle YE C'+e((n, R:!) :

Bezeichnet nun DF(q) zunachst rein formal den Ausdruck auf der rechten Seite von (A) , so gilt

und zwar gleichmaI3ig fur alle YE U . (Nan beachte, daI3 in F , BP nur schwach sin- gulare Integranden auftreten.) Aus einkn bekannten Satz (z. B. [l], 5.6.3) folgt also, claI3 F : U -CO(S) stetig FRECHET-differenzierbar ist, wobei sich die Stetigkeit aus Lemma 1 ergibt. Also kGnnen wir schreiben

Gunther, Ein einfacher Esistenzbeweis 255

Dabei ist die Integrierbarkeit von f zunachst im Raum Co gesichert. Xus Lemma 1 erhalteiiwir aber, da13 f : [0, 1]-+C1+8(~S) stetig ist, uncl es gilt

Also ist l l / ( d l l ? + e sc IlYll?+..

IlB (9 + Y ) - m y ) -DP(V) Y/ l l+e s c llYll;+8

uncl damit ist Lemma 2 bewiesen.

Es sei jetzt Q von der Klasse C"'. Dann gih

Lemma 3. Es existiert ein linearer, beschrunkter Operntor L : CZfE(S) -CE(D) ,

so rZr$

D

fiir cdZe QEC')+'(S) tinil SCS gil t .

probleme fur den Lsrr,AcEoperator : Bew eis. Fur eiri gegebenes , o ~ C'+'(S) Idsen wir zmnachst folgende DIRICHLET-

i l z r , = O in 0, 211 Is=? ;

dz6,=O i n RJ\ST, ZL? Is=?. I Z L ( X ) / -0 fur /.uI -03 . Es sei 11 die aunere Normale an 8. Nach beliannten ,Ils.schatzungen ist dann

ul, ZL? konnen daher auch als Losungen eines NErsJrasxschen Problems fur den LAPLAcEoperator aufgefal3t werden und sind somit als Potential cler einfachen Schicht mit einer Dichte p~ CLfB(S) ciarstellbar :

S

Bus cler Sprungrelation fur die Normalableitung des Potentials cler einfachen Schicht folgt

Wir wahlen nun einen beliebigen linearen, beschrankten Operator

mit den Eigenschaften T : C?+'(S) X Clf8(S) +C2fe(Q)

a an

T(u, V) (x)=u(s), - T(u, V ) ( z )=v(x) , Y x € ~ ,

v U E c2 +"As), v 2) E c' + "(8)

256 Math. Xachr. 130 (1987)

und setzen

L ist dann ein linearer, beschrankter Operator von C'+'(S) nach C"(Q). Am den Greenschen Formeln folgt weiter :

sowie

Beachten wir ( 6 ) , dann folgt also

a u n d daher

Bemerkungen. 1. Man kann den linearen Operator T z. B. dadurch realisieren. i d e m wir folgendes DrrtICHLETproblem fur die Bipotentialgleichung losen

und T(u, v): =wEC"'(S) setzen. Lp ist dann harmonisch in Q. 2. Die in Lemma 3 behandelte Fragestellung besitzt enge T'erbindungen zum

sogenannten inversen Problem der Potentialtheorie; siehe z. B. [ 101, Kapitel 111, 5.

3. Das nichtlineare ~~oLoDmsKY-Prob1em

Es sei Q E B c R 3 wieder ein beschranktes, eiiifach zusammenhiingendes Gebiet,

(i) Es existiert eine harmonische Funktion so€ C2+'(R3\\n) mit dessen Rand S : = 8.Q von der Klasse C"' ist. Wir fordern nun :

(7 ) vo(z) = c / l x l + O( 1 ~ 1 - 3 ) fur 1x1 -a, c =!= 0 .

Giinther, Ein einfacher Existenzbeweis 2 57

ZV ,)

cxi Die Ableitungen 7, i = 1, 2, 3 seien ebenfalls aus C'fC(RS\f2).

(ii) Setzen wir

8ZU,, 32wo axi 2xiaxi

g&): =y (x), gij(.):=- (x), i , j=l , 2 , 3 ,

x = (XI, 21, x.;) E R3\R , so sei die >L4RussI-Bedingung erfiillt

det (g&))+O, VXES

(iii) 1st h(x) =(h,(x) , h.,(x), h3(x)) mit

h , ( x ) :=- C g " ( x ) gj(x), (g"(.)):=(gZj(x))-', VXES 7

j = l

so sei dsLs Vektorfeld h in keinem Punkt X E S tangential zu S.

( 8 ) du=O in RS\O (9) u + (V U , h ) = f auf S (10) u(J;)=E/[xl +O(/xI-':) fur 1x1 -=

moge fur alle Funktionen f aus einem abgeschloesenen Unterraum a l d e r Codimen- sion 3 von C'+'(S) eine eindeutig bestimmte Losung u c C'+'(RJ\Q) besitzen.

Bemerknngen. 1. Die Forderung (iii) sichert, daB das Problem der Richtungs- ableitung (S), (9) den Index Null hat ; vgl. z. B. [4], 10.5.

2.Ist o = O , dann hat das homogene Randwertproblem (S), (9) (d. h. f=O) ohne die Forderung (10) mindestens 3 linear unabhangige Losungen, namlich avo -, i = 1, 2, 3 wegen c i: 0. Durch (10) werden diese Losungen aber gerade ausge- axi schlossen.

3.1st r;! = (zER3 [ 1x1 i R} eine Kugel im RJ, (o = 0 und v0 = const. auf S , so ist (iv) erfullt. Durch Storungsargumente gelangt man daraus zu neuen Konfigura- tionen, die ebenfalls (iv) erfullen. In [3], Chap. I sind dafur expliziteBedingungen an B und h angegeben.

U c C ' + ' ( B , R3) sei wie in Abschnitt 2 definiert. Wir setzen noch Wo(z) =wo(x), Go(x) = (gl(z), ga(q), g3(x)), V x < S . Ferner wahlen wir drei Punktionen Al, A?, A,€ EC'+'((S), so daB H (vgl. (iv)) undA,, A?, A3 den gesamten Raum ClfB(S) auf-, spannen.

Theorem. 1 s t W<C'+"(S), GEC'+'((S, R3) und / I W- W o I / ~ + I , \IG-GoI/s+c hinrei- chend kbein, dann existieren a ~ R 3 , ~ J E C'+e(S.li, RJ) und eine hnrmonische Funktion

(iv) Das Randwertproblern

17 Math. Nachr.. Bd. 130

258 Xath. Nachr. 130 (1957)

v~C'**(R3\f2~), so dug gil t : a) v(z) =Z/[zl +O( jz [ -3 ) far [zl --, EER;

b ) W(z)=(wopl) (z)+ aiAi(x), G,(z)= -09 (z), VXES, i = l , 2, 3

mit i= 1 (Ej )

0 3

2 w(.) =v(z) +T (ii +z;), VXCRS\Q~ .

Beweis . Nach Lemma 3 konnen wir zunachst ein ,oo€C'(n) bestimmeii, so daB

il

gilt. Wegen ( 7 ) liegt der Schwerpunkt des Korpers f2 init der Dichte ,oo im Null- punkt. Wir fuhren Banachraume X, Y ein :

3

X:=C'+"(Q, R:l)XC"(Q)xRZ, 11(y, 9 , a)llx:=(jyJj~+h+Ilel[~+ /a:[ ;

Y : = C1+e(S) X Cl+'(S, R:]) X R3,

i = I

Ferner sei V : = UX Ce(0) XR:). Wir betrachten nun eine nichtlineare dbbildung P : V - IT, die durch F ( y , p, a) : = (FV, G, s) mit

( e I = e 2 = 1 , e 3 = O ) ; si= j- Yi@p(Y) d h , i = 1 , 2 , 3

RP

gegeben wird. Offenbar ist P(q,, ,oo, 0) = ( W,, Go, 0). Konnen wir nun die nichtline- are Gleichung P(9, p , a) = ( W , G, 5 ) fur ( W , G, s) in der Nahe von ( Wo, Go, 0) auf- losen, dann ist unser Theorem bewiesen. Nach Lemma 2 ist die Abbildung F : F' -. - Y stetig FP&CHET-differenzierbar, und es gilt fur (q j , p , h) E X :

mit DP(pla, eo, 0 ) (@ e , = (k, G , i)

Giintlier, Ein einfacher Existenzbeiveis 259

+ co%i@i;

( 1 3 )

Wir untersuchen nun die Esistenz von Losungen ($I, 0, U ) S der Gleichungen (ii), (12), (13) bei beliebig gegebeneri (Tv, 0, B)f Y . D a m gehen wir folgendermafien vor. Zunachst gibt es eindeutig bestiiiimte 6 = ( U l , &, 6,)EftJ, SO daR gilt

&= J' (@i(Y) O d Y ) +YldY)+Y,?"(Y) div @) dV, . 12

3

a i r + ( & , ~t)-v,-(vv,, A,>- ~ U J ~ C L U init -vl(z) := Ci ,x , / /~13 . i = I & = I

Wegen (iv) esistiert dann eine eindeutig bestimmte, in RJ\Q harmonische Funk- tion v, mit (10) und

Ferner erhalten wir unter Benutzung bekannter Abschatzungen

i = l

3 c 14il +~lell;+,sc ( ~ ~ ~ ~ / / ~ + 8 + ~ i ~ ~ ~ ~ + s + =c/~(TQ, G, .i)/ly . i=l

Wegen (ii) gibt es nun eindeutig bestimmte Funktionen qi€ C'+*(S), so da13 gilt

und wir habeii die Abschatzung

l l@ i l I f+2C i l (K 0, $)il l- . Mit Hilfe eines fest gewahlten, linearen, beschrankten Fortsetzungsoperators T : C'+,e(S) +C1+e(.Q) setzen wir die zunachst auf S bestirnmten Funktionen @i zu Funktionen auf J2 fort. 1st nun

dann folgt aus (16)

260 Math. Nachr. 130 (1987)

Daher ist vlCC2fa (8) (man beachte Lemma 1) und S I/c,ll?+esC Il(K G', i)llu .

Nach Lemma 3 esistiert daher ein p€c"(a) mit

R

.Die so konstruierten (@, S, ci) erfiillen nun offensichtlich die Gleichungen (12 ) ; wegen (14) ist auch (13) erfullt. Um (11) zu erfullen, muB

W(.) = C ( z ) + c (&(.) @i(Z) + &)), vx E s i= I

gelten. Setzen wir aber die aus (16) berechneten qi ein und beachten (15), so ist die Richtigkeit sofort zu sehen.

Zusammenfassend haben wir also gezeigt, da13 es einen linearen, beschrankten Operator R : Y -X gibt, so da13

DP(p,, @I), 0 ) R( lii, 0, S ) = ( ifT, a, i) fur alle ( w , G', 8 ) E Y gilt. Aus dem Satz iiber inverse Funktionen folgt dann die Behauptung des Theorems. 1

Potentialtheoretische AbschHtzungen

Es sei Q c R 2 ein beschriinktes Gebiet, dessen Rand S:=8Q von der Klasse Ci+' ist. Ferner sei V , die Menge der pl~C'+'((n, Ro) mit folgenden Eigenschaften

fur Punkte x c S .

Gunther, Ein einfacher Existenzbeweis 26 1

Die Konstante C hangt ne6en dern Gebiet J'2 nur noch von E , m, a ab. Zum B e w e i s iiberdecken wir S mit endlich vielen Giiltigkeitsbereichen

SI, ..., S, lokaler Koordinatensysteme derart, daB es eineindeutige, regulare Ab- bildungen O J ~ C C ~ ~ ~ ( K ~ ~ , R:!),

K 2 Q : = { E = ( ( l , F , ) E R ~ I I ~ l = ( [ ~ + f ~ ) " ' < 2 p )

mit c o i ( K 2 J =Si, i = I , ..., k gibt, und

c l E - E ' l < l ~ ~ i ( E ) - w i ( E ' ) i ~ c - L I t -E ' l gilt. Ferner inogen Sl =coi(Ke,..) ebenfalls eine Oberdeckung von S bilclen. 1st nun /EC'+'(S), clan11 ist f ~ c o ~ € C ' + ~ ( ~ ~ ) , und es gilt

l l fo c o i l l k sc IlfK+' ; ist andererseits fur eiiieFunlrtionfauf Sstetsfowi€C'+'(li,,.~), dann istfEC'+"(S), unct es gilt

'262 Math. Nachr. 130 (1987)

Daher folgt aus einem bekannten Satz uber die Differentiation schmach singularer Integrale (vgl. [S], S. 249)

=e Durch (24) mird die Existenz des Integrals auf der rechten Seite von (25) als singu- lares Integral gesichert. &fit Hilfe geeigneter Zerlegiingen des Iiitegrationsgebietes und Umformungen der Integranden, wie sie im Zusammenhang mit singularen

Integralen ublich sind, kann man nun die HoLDEanorm j ; . j iE von - - &---!- in

Ker. nbschatzen. Wir verzichten auf die Einzelheiten, vgl. [GI. ['i]. >Ian erhiilt

a ( f . 0 0 .)

?:l

Aus (23), (26) folgt clann Lemma 4.

u n d esi gilt

Dnbei tuircl ~ ~ ~ q ~ ~ ~ f + 8 dzirch ( 2 2 ) mit I! cmstelle v o ? ~ 5' gegeben.

Lemma 5.Sindq1~ VD,g,EC""(Q,i= 1, ..., 2ni .rmd ,1r~C'(~i).c7nstni.stJ~C"+'(S)

I I J I I ~ + ~ zc I I P I I ~ IIIgIII?+e .

J(") - J ( x ) = p(2) J (6(z', y) -K(x , y)) t f j (y ) do, Beweis . Sind x, z'ES', dann erhalt man leicht nach partieller Integration

Y

+ J 2- (W', y) -m, yt) (,r&d - Ax)) d r y 7

n mobei q(y) der Richtungskosinus der auReren Normalen an S im Punkt y bez. der xj-Achse ist. Unter Beachtung von Lemma 4 folgt daraus, daR J als Funktion auf- X differenzierbnr ist, und es gilt

Aus Lemma 4 erhalten wir h

(27) I l J l l l S sc 11P11: l l l 9 l l l ~ + s . Weiter ist fiir t , E ' E h ' , , wenn wir zur Abkurzung x = o i ( E ) , z' = u i ( F ) schreiben

Giinther, Ein einfacher Esistenzbeweis 263

+(p(x)- ,u(x’)) / %‘ Ii(x., y) ciVY ayj&

’ D\D

erhalten wir nach Ubergang zu Polarlioordinaten fur J4 : ::p -a’\

lJ4l ~C‘IIPII: 1119111?+~ J ? - - 3 + e rz clr . U

1 Vijllig analog kann J:; abgeschiitzt werden. \\’egen ly -xi s ist

(y -x’l fiir y€Q\D .>

S‘

S’

mit S‘=S\D, 8 ” = ( y ~ R 1 (y-s’/=2 Ix-z’l). Das Integral uber 5“ kann unter wesentlicher Benutzung von (24) gegen C IllglI Is+& abgeschatzt werden. Wegen

ist das Integral iiber 8“ ebenfalls hijchstens gleich C ~ ~ ~ g ~ ~ ~ + e . Also haben wir

IJsI + IJ,I -I- IJ5I + IJ5I S C IIPII?IIISIII?+a IE-F16 und zusammen mit ( 2 7 ) folgt die Behauptung.

Folgerung 1. Sind yo, Q] 1~ V a , gic C1+’(Q), i = 1, .... 2nz uizd pE C8(D), clnnn gilt

(28 ) I! J 0 -J’h +& cli‘4lf I llglIl?+ c llYO - Y “I:+€ *

264 Nath. Nachr. 130 (1987)

Dabei seien Jo, J l Integrnle der Pornz (21), wobei die Kerne mit 9") bzui. 91 gebildet werden.

Beweis . Es sei y t = ( l -t) y"+tg,Ifur t € [ O , 11; es ist dann l/qt/f+e-=z-J. Ferner existiert eine von Q abhangige Konstante y~ w0, so dal3 fur 90, V a mit

1 I:! /IT0 - 'p Lll?+'+, <7 gilt

) a

3

rdz, Y) : = c (94%) - d ( Y ) ) ? =-F IZ-YI (%= 1

fur alle t c [ O , 11 und z, Y E Q . Wir konnen uns beim Beweis von (27) auf 90, V e mit ~ ~ q ~ ~ - q ~ ~ f + e - = q beschranken. Es seien J t die Integrale cier Form ( S l ) , deren Kerne mit vt gebilclet werden. Denn ergibt eine einfache Rechnung

3 d J t -(z)=-(2m+l) 2 clt i = l

R

CI J Xan beachte dazu, da13 in J t , - nur schwach singulare Integranden auftreten.

A T t cl t Ud

Also ist ~ eine Suinrne von Integralen der Bauart (21). Setzen wir nun dt

1 2 = 1 , 2, ...,

dann gilt also J,-JI-J1l in C')(S) fur n - r a .

Ferner liefert uns Lemma 5 die Abschatzung

IIJnlIs+b~c 11P11:1119111?+'+, II'P"-P,'llf+. 9

wobei die Konstante C von n unabhangig ist. Unter Benutzung einer 1nterpola.- tionsabschatzung fur die HoLDERnormen (oiler einfacher aus dem Satz von ARZELA-ASCOLI) erhalten wir dann auch

J,-JL-JO in Cl(S) fur n + m .

Insbesondere gilt also

und zwar gleichmaaig fur alle EEK,. Daraus folgt aber fur 6, 5'EIi,

SQ It-E'le sup l I J n / / ; + B f l = l,?, ...

und daiiiit die Behauptung.

Giinther, Ein einfacher Esistenzbeweis 265

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