Ein Lasersystem zur Seitenbandspektroskopie von gemischten ... · Im Rahmen dieser Arbeit wird auch...

Abschlussarbeit

zur Erlangung des akademischen Grades

„Master of Science“ (M.Sc.)

Ein Lasersystem zur Seitenbandspektroskopievon gemischten In+/Yb+-Kristallen

david-marcel meier

@

Technische Universität Braunschweig

Physikalisch-Technische Bundesanstalt

Exzellenzcluster QUEST

5. September 2012

David-Marcel Meier: Ein Lasersystem zur Seitenbandspektroskopievon gemischten In+/Yb+-Kristallen, , © 5. September 2012

gutachter/in:Prof. Dr. F. J. LitterstProf. Dr. S. SüllowDr. T. E. MehlstäublerBraunschweig, 5. September 2012

Texttsatz: LATEX

Ohana means family.Family means nobody gets left behind, or forgotten.

— Lilo & Stitch

Gewidmet meinen Großmüttern Monika Weiss und Erika Meier.

I N H A LT S V E R Z E I C H N I S

1 einleitung 1

i injektionsstabilisierung und frequenzverdoppelung 5

2 lasersysteme 7

2.1 Spektroskopielasersystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Injektionsstabilisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 frequenzverdoppelung 17

3.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.1 Polarisation und Suszeptibilität zweiter Ordnung . . . . 17

3.1.2 Wellenausbreitung im nichtlinearen Medium . . . . . . . 20

3.1.3 Schwache Konversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.4 Phasenanpassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1.5 Boyd-Kleinman-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.6 Wahl des nichtlinearen Kristalls . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Der Ringresonator (Bow-Tie-Resonator) . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.1 Stabilitätsbedingungen des Ringresonators . . . . . . . . 31

3.2.2 Impedanzanpassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.3 Finesse des Ringresonators . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.4 Hänsch-Couillaud-Stabilisierungssystem . . . . . . . . . 41

3.3 Experimentelle Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4 Spektroskopie der atomaren Resonanz . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.5 Farbzentren in KTP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

ii ionenmoden und kristalldefekte 61

4 ionenmoden 63

4.1 Die lineare Paulfalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2 Axiale Ionenmoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3 Radiale Ionenmoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.4 Phasenübergänge und Kristalldefekte (Kinks) . . . . . . . . . . 74

5 zusammenfassung und ausblick 79

iii anhang : datenblätter und quelltexte 81

a anhang 83

literaturverzeichnis 123

v

1E I N L E I T U N G

Hochgenaue und stabile Frequenznormale wie die Cäsium-Atomuhr undihre Weiterentwicklung, die Cäsium-Fontäne, bis hin zum Wasserstoff-Ma-ser ermöglichen seit einigen Jahrzehnten genaueste Frequenz- und Zeitmes-sungen. Viele Kommunikations-, Positionsbestimungs- und Zeitverteilungs-anwendungen wären ohne diese Frequenznormale undenkbar.

Vor einigen Jahren begann mit der Entwicklung des Frequenzkamms1 dieNutzung von sehr schmalbandigen optischen Übergängen von Atomen undIonen als Frequenzreferenz. Die höheren Frequenzen der optischen Übergän-ge gegenüber den Hyperfeinstrukturübergängen im Mikrowellenbereich er-möglichen Frequenznormale mit um Größenordnungen besseren Frequenz-unsicherheiten. Mit einzelnen gespeicherten Ionen konnten bereits relativeFrequenzunsicherheiten im Bereich von 10−17 realisiert werden [1].

In der Arbeitsgruppe „Quantensensoren mit lasergekühlten Ionen“ wer-den neuartige Ionenfallen zur Speicherung von gemischten Coulombkristal-len aus 172Yb+- und 115In+-Ionen entwickelt, mit dem Ziel ein optisches Fre-quenznormal mit verbesserter Stabilität zu entwickeln. Hierbei wird 115In+

als Uhrenion genutzt. Um die Mittelungszeit von Tagen bis Wochen zu redu-zieren und eine relative Frequenzunsicherheit von ∆ν

ν = 10−18 zu erreichen,werden mehrere 115In+-Ionen in Coulomb-Kristallen zusammen spektrosko-piert. Des Weiteren werden 172Yb+-Ionen zum sympathetischen Kühlen der115In+-Ionen dem Coulomb-Kristall hinzugefügt, welche auch zur Charakteri-sierung der linearen Ionenfalle genutzt werden können.

Die folgende Arbeit befasst sich mit dem Aufbau und der Charakterisie-rung eines Lasersystems zur Spektroskopie des schmalbandigen Übergangs2S1/2 - 2D5/2 von 172Yb+ bei der Wellenlänge 411 nm mit einer Linienbrei-te von 22,7 Hz [2], welcher in Abb. 1.1 dargestellt ist. Zu diesem Zweckwurde ein injektionsstabilisiertes Verstärkungssystem [3] mit anschließenderFrequenzverdoppelung eines schmalbandigen 822 nm-Lasers aufgebaut undcharakterisiert. Dieses Lasersystem ermöglicht das Auflösen von mikrobewe-gungsinduzierten Seitenbändern zur Charakterisierung der Ionenfalle, einegenaue Messung der Temperatur und damit auch die Bestimmung von Heiz-raten der Ionenfalle.

Neben der Bestimmung dieser Eigenschaften eröffnet dieses Lasersystemauch die Möglichkeit des Seitenbandkühlens [4], das das Kühlen von Ionenbis in den quantenmechanischen Grundzustand ermöglicht.

Abbildung 1.2 zeigt das Schema des Seitenbandkühlens. Der Grundzu-stand |g〉 und angeregte Zustand |e〉 von gefangenen Ionen in einem harmoni-schen Potenzial zeigt eine quantisierte Energieaufspaltung mit ∆ν der Fallen-Säkularfrequenz. Das Treiben des Übergangs auf dem roten Seitenband mitder Frequenz νr = ν0 −∆νsec führt zu einem Abstieg auf den Energiesstufen

1 Frequenzteiler für optische Frequenzen

1

2 einleitung

Abbildung 1.1: Termschema von 172Yb+. (Bild: Jonas Keller)

Abbildung 1.2: Schema des Seitenbandkühlens.

einleitung 3

des harmonischen Oszillators und somit zu einer Reduzierung von Phono-nen im System. Der quantenmechanische Grundzustand ist erreicht, sobaldder Übergang auf dem roten Seitenband nicht mehr getrieben werden kann.Durch Vergleich der Intensitäten des roten und blauen Seitenbandes könnenRückschlüsse auf die Grundzustandspopulation der Ionen gezogen werden.Um diese Energiestufen auflösen zu können, bedarf es des Lasersystems bei411 nm.

Darüber hinaus befasst sich diese Arbeit mit der Berechnung von Bewe-gungsmoden der Ionen im gemischten Coulombkristall, bestehend aus 115In+-und 172Yb+-Ionen, welche hinsichtlich des effizienten sympathetischen Küh-lens des Coulombkristalls von Interesse sind. Für die Seitenbandspektrosko-pie und das Seitenbandkühlen liefern diese Berechnungen die Frequenzender einzelnen Seitenbänder der axialen und radialen Schwingungsmoden.

Im Rahmen dieser Arbeit wird auch ein Detektionsprogramm für Defektein Coulombkristallen, die bei einem Phasenübergang zweiter Ordnung auf-treten können, vorgestellt. Die statistische Auswertung dieser Defekte zieltauf die experimentelle Verifikation des inhomogenen Kibble-Zurek-Mecha-nismus [5] ab, welcher diese Defektbildung beschreibt.

Teil I

I N J E K T I O N S S TA B I L I S I E R U N G U N DF R E Q U E N Z V E R D O P P E L U N G

2L A S E R S Y S T E M E

2.1 spektroskopielasersystem

Den Ausgangspunkt für das gesamte Lasersystem bildet ein 822 nm ECDLLaser1. Die Emissionsfrequenz der Laserdiode beträgt im stabilisierten Zu-stand 364,738 629 3 THz (821,937 776 6 nm) bei 15 mW Laserleistung. DieserLaser ist aktiv auf einen ultrastabilen Resonator aus ULE®2 mit hoher Fines-se frequenzstabilisiert [6] und erreicht die geringste relative Frequenzinsta-bilität mit 4 · 10

−16 nach 10 s. Die relative Allan-Standardabweichung [7] desFrequenzrauschens dieses Lasers ist in Abb. 2.1 abgebildet. Die geringe Li-nienbreite dieses Lasers eignet sich, um den sehr schmalen Übergang 2S1/2 -2D5/2 mit einer Linienbreite von 22,7 Hz zu spektroskopieren und zu kühlen.

0 , 0 1 0 , 1 1 1 0 1 0 01 E - 1 6

1 E - 1 5

1 E - 1 4

relati

ve Fr

eque

nz AD

EV

τ [ s ]

Abbildung 2.1: Allan-Standardabweichung des relativen Frequenzrauschens deshochstabilen 822 nm Primärlasers aufgetragen über der Mittelungszeit τ. Hierbeiwurde bereits eine lineare Drift von 81 mHz s−1 abgezogen. Die rote Gerade stelltzum Vergleich die relative Frequenzinstabilität eines idealen Lasers mit weißem Fre-quenzrauschen und 1 Hz Linienbreite dar.

Die relativ geringe Ausgangsleistung der Primärlaserdiode von etwa 15 mWist zur effizienten Frequenzverdoppelung zu gering, denn dieses erfordertleistungsstarke Laserquellen, um die gewünschten nichtlinearen Effekte im

1 External Cavity Diode Laser DL100, Toptica2 ULE®: ultra low expansion Glaskeramik aus mit Ti+ dotiertem SiO

2der Firma Corning

7

8 lasersysteme

Abbildung 2.2: Bild des Versuchsaufbaus mit eingezeichnetem Strahlengang. DerPrimärlaserstrahl (PL) wird über den Faraday-Isolator (FI) in die Hochleistungslaser-diode (HLD) injiziert. Der Hochleistungslaserstrahl wird zur Frequenzverdoppelungweitergeleitet. Am Einkoppelspiegel wird der reflektierte Laserstrahl zu den Photo-dioden (PDs) für das Hänsch-Couillaud-Stabilisierungssystem abgelenkt.

nichtlinearen optischen Medium hervorzurufen. Aus diesem Grund wird eineHochleistungslaserdiode3 benutzt, welcher die spektralen Eigenschaften desPrimärlasers aufgeprägt werden. Dabei wird das Injektionsstabilisierungsver-fahren [3, 8] verwendet, bei dem der Laserstrahl des Primärlasers in die Hoch-leistungslaserdiode modenangepasst eingekoppelt wird. Dieses führt zur sti-mulierten Laseremission bei der Wellenlänge der Lasermode des Primärla-sers. Dieser Laserstrahl mit hoher Leistung kann nun für die Frequenzver-doppelung in einem Ringresonator verwendet werden. Der Versuchsaufbauist in Abbildung 2.2 dargestellt.

Bei dem Hochleistungslaser, der für das Injektionsstabilisierungsverfahrenverwendet wird, handelt es sich um eine nicht entspiegelte Laserdiode miteiner maximalen Ausgangsleistung von 150 mW bei 822 nm, welche in einselbstgebautes Gehäuse mit Kollimationslinse und Temperaturstabilisierungeingebaut ist. Die Temperaturstabilisierung erfolgt mit Hilfe eines Peltier-Elements, welches durch einen Temperaturregler4 kontrolliert wird. Die Be-reitstellung des Laserdiodenstroms erfolgt durch eine stabilisierte und rausch-arme Stromquelle5.

Die Bereitstellung eines stabilisierten und rauscharmen Gleichstroms undeiner Temperaturstabilisierung ist sehr wichtig, da die Emissionswellenlän-ge der Laserdiode vom Diodenstrom und der Temperatur (ca. 0,25 nm K−1)abhängt. Die Stabilität der verwendeten Temperaturstabilisierung ist laut Da-tenblatt besser als ±0,002 C und die der Stromquelle besser als 3 µA pro Tag.

Die Hochleistungslaserdiode wurde hinsichtlich der Laserleistungs- undTreiberstrom-Kennlinie und des Strahlprofils charakterisiert.Die Kennlinie der Laserdiode in Abb. 2.3 zeigt die Laserleistung in Abhängig-keit des Betriebsstroms der Laserdiode. Die Laserschwelle der verwendeten

3 Toptica LD-0830-0150-44 Thorlabs TED200C5 Thorlabs LDC202C

2.1 spektroskopielasersystem 9

0 20 40 60 80 100 120 140

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

Lase

rleis

tung

P [m

W]

Laserdiodenstrom I [mA]

Abbildung 2.3: Kennlinie der Hochleistungslaserdiode: Laserleistung bei 822 nmüber Laserdiodenstrom. Die Laserschwelle befindet sich bei einem Diodenstrom von28 mA. Für höhere Diodenströme steigt die Laserleistung mit 1,05 mW mA−1. AlsMessfehler für den verwendeten Laserleistungsmesskopf (Ophir PD300-UV) wurdeder vom Hersteller spezifizierte Wert von 5% im relevanten Wellenlängenbereich an-genommen.

9,80 9,85 9,90 9,95 10,00 10,05 10,1024,5

24,6

24,7

24,8

24,9

25,0

25,1

25,2

25,3

25,4

25,5

Tem

pera

tur T

[°C

]

Widerstand NTC [kOhm]

Abbildung 2.4: Temperatur der Laserdiode über Widerstand des NTC. Die Fehler-balken resultieren aus dem Ablesungsfehler des verwendeten Thermometers. DieÄnderung der Temperatur beträgt −2,0 C kΩ−1.

10 lasersysteme

Laserdiode beträgt ca. 28 mA. Um eine Ausgangsleistung von 100 mW direkthinter der Kollimationslinse der Laserdiode zu erhalten, wird ein Betriebs-strom von 127 mA benötigt.

Abbildung 2.4 zeigt die Kalibrierkurve des Temperatursensors des Regel-kreises für die Temperaturstabilisierung der Laserdiode. Die tatsächliche Tem-peratur der Laserdiode in Grad Celsius wurde mit Hilfe eines NiCr-Ni Tempe-ratursensors an der Laserdiodenhalterung gemessen, da der Temperaturreg-ler ausschließlich den aktuellen Widerstand des NTC6 angibt und auf diesenregelt. Die Kenntnis der absoluten Temperatur ist dahingehend hilfreich, alsdass nicht versehentlich der Taupunkt (ca. 15

C) unterschritten wird und sichKondenswasser an der Laserdiode bildet. Dies könnte die Laserdiode irrepa-rabel beschädigen.

Die Bestimmung der genauen Betriebstemperatur der Laserdiode erfolgtdurch eine Anpassung der Emissionswellenlänge des Hochleistungslasersdurch Änderung des Laserdiodenstroms und der Temperatur auf die Wel-lenlänge des Primärlasers. Die Auswahl der verwendeten Hochleistungslaser-diode erfolgte aufgrund der Spezifikation, dass ihr Verstärkungsprofil durchTemperaturänderung leicht in den gewünschten Bereich, der Wellenlänge desPrimärlasers, verschoben werden kann. Dies kann praktisch durch den Ver-gleich der Emissionswellenlängen beider Laser mit Hilfe eines Wellenlängen-messgerätes7 geschehen. Das Wellenlängenmessgerät zeigt nicht nur die Wel-lenlänge beider Laser an, sondern zusätzlich auch die Interferenzmuster desinternen Fabry-Perot-Interferometers, woraus auf Mono-Modenbetrieb oderMulti-Modenbetrieb des Lasers geschlossen werden kann.

Die gewählte Betriebstemperatur, bei der die oben genannte Bedingung derWellenlängenanpassung erfüllt wird und hinreichend weit vom Taupunkt ent-fernt ist, liegt bei 19,8 C, welches einem Widerstand des NTC von 12,850 kΩentspricht. Die relativ ungenaue Temperaturangabe von 19,8 C verglichenmit dem Widerstandswert des NTC, der auf bis zu drei Nachkommastellenbekannt ist, rührt von der Ablesungsungenauigkeit des Thermometers her.Für die Regelung ist jedoch nur der Widerstandswert des NTC entscheidend.

2.2 injektionsstabilisierung

Zur Realisierung der Injektionsstabilisierung [3, 8] der Hochleistungslaserdi-ode auf den Primärlaser sind gewisse Randbedingungen zu erfüllen. Wie er-wähnt wurde, fand bereits eine grobe Einstellung der Laserdiodentemperaturund des Laserdiodenstroms statt, sodass die Differenz der Emissionswellen-längen beider Laserdioden möglichst minimal ist, damit die Verstärkungs-profile beider Laserdioden überlappen. Um effizient der Hochleistungsdiodeeine longitudinale Mode mit Hilfe des Laserstrahls des Primärlasers aufzu-prägen und somit eine induzierte Emission von Laserstrahlung im aktivenMedium der Hochleistungslaserdiode hervorzurufen, welches die spektra-len Eigenschaften des Primärlasers auf die des Hochleistungslasers überträgt,muss eine Modenanpassung beider Laserstrahlen aneinander erfolgen. Hier-

6 Negative Temperature Coefficient Thermistor (Heißleiter)7 Toptica HighFinesse WS-7

2.2 injektionsstabilisierung 11

−z 0 +z 0z

r

w0

w(z)zR

2·w0 δ0

Abbildung 2.5: Schematische Abbildung eines Gaußstrahls (rot).

zu sollen zuerst die Eigenschaften des Gaußstrahls, welcher schematisch inAbb. 2.5 dargestellt ist, betrachtet werden.

Die Gleichung zur Beschreibung der Leistungsverteilung eines Gaußstrahlslautet

I(r) = I0e− 2r2

w(z)2 =2P

πw(z)2e− 2r2

w(z)2 , (2.1)

mit der Intensität I(r) im radialen Abstand r zur z-Achse und der Gesamtleis-tung P im Gaußstrahl. Hier ist

w(z) = w0 ·

√1+

(z

z0

)2(2.2)

die Strahltaille w im Abstand z und

z0 =π ·w20λ

(2.3)

die Rayleigh-Länge in Abhängigkeit der minimalen Strahltaillew0. Dies zeigt,dass ein Gaußstrahl durch die Größe w0 der minimalen Strahltaille unddessen Position z0 vollständig beschrieben werden kann. Zur Modenanpas-sung zweier Laserstrahlen sollten dementsprechend beide Parameter mög-lichst identisch sein. Dies hat sowohl für die horizontale Strahlebene zu gel-ten, wie auch für die vertikale.

Die Überlagerung beider Laserstrahlen erfolgt über einen Faraday-Isolator,welcher nicht nur die Hochleistungslaserdiode von zurückreflektiertem Lichtaus optischen Elementen schützt, sondern auch durch Polarisation beider La-serstrahlen die Einkopplung des Primärlaserstrahls, in Gegenrichtung zumHochleistungslaserstrahl, ermöglicht.

Im Vorfeld zur Modenanpassung wurde der Primärlaserstrahl durch denFaraday-Isolator geleitet und anschließend mit einer CCD-Strahlkamera auf-genommen und vermessen. Dies wurde auch für den Hochleistungslaser

12 lasersysteme

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

1300

Stra

hlra

dius

[µm

]

Abstand zur Facette der Hochleistungs-LD [m]

horizontal (Primär-LD) vertikal (Primär-LD) horizontal (Hochleistungs-LD) vertikal (Hochleistungs-LD)

Abbildung 2.6: Strahlradien von Primär-LD und Hochleistungs-LD über Abstandzur Facette der Hochleistungslaserdiode. Das Strahlprofil des Primärlasers weist einrelativ symmetrisches Strahlprofil mit einer minimalen Strahltaille von 530 µm in derHorizontalebene und 565 µm in der Vertikalebene auf, wohingegen das Strahlprofildes Hochleistungslasers aufgrund von Beugungseffekten stark deformiert ist. Fürden Hochleistungslaser ergeben sich minimale Strahlradien von 490 µm in der Hori-zontalebene und 331 µm in der Vertikalebene. Zudem liegen die Orte der minimalenStrahltaillen (hor. und ver.) der Hochleistungs-LD etwa 1,3 m voneinander entfernt.

durchgeführt und die Messergebnisse sind zusammen in Abb. 2.6 und 2.7dargestellt. Die Entfernungsangabe ist relativ zur Facette der Hochleistungs-laserdiode angegeben, wodurch die Strahlprofile einfach verglichen werdenkönnen.

Alle Strahlprofile zeigen, mit Ausnahme des vertikalen Strahlprofils derHochleistungslaserdiode (grüne Kurve), bereits minimale Strahltaillen, die lo-kal nahe zusammenliegen und ähnliche Größen aufweisen. Dies stellt güns-tige Bedingungen für einen guten Modenüberlapp dar. Das vertikale Strahl-profil der Hochleistungslaserdiode zeigt kein Gaußprofil, welches sich nurdurch Interferenzen an der Austrittsfacette des aktiven Lasermediums in derLaserdiode erklären lässt. Die Laserstrahlen wurden in dieser Form überla-gert. Durch geringe Variation des Laserstroms und der Temperatur konntenun mit Hilfe des Wellenlängenmessgerätes in verschiedenen Betriebsstrom-und Temperaturregimen die Stabilisierung des Hochleistungslasers im Mono-Modenbetrieb beobachtet werden. In Abb. 2.8 sind die Parameter Laserdi-odenstrom gegen Messwiderstand des NTC aufgetragen, für die die Injekti-onsstabilisierung erfolgreich ist.

Die minimale Leistung des injizierten Primärlaserstrahls beträgt nach derOptimierung der Einkopplung in die Hochleistungslaserdiode 45 µW, wobei


Abbildung 2.7: Schnittbild des Laserstrahls des Hochleistungslasers in 39 cm Entfer-nung von der Laserdiodenfacette. Das Strahlprofil zeigt ein ausgeprägtes elliptischesProfil.

im Normalbetrieb eine Leistung von ca. 100 µW injeziert wird, um ausreich-end Sicherheitsspielraum zu gewährleisten.

Zur weiteren Charakterisierung des Frequenzspektrums der Hochleistungs-laserdiode mit und ohne Injektionsstabilisierung wurden Frequenzspektrender Hochleistungslaserdiode mit Hilfe eines optischen Spektrumanalysatorsdurchgeführt.Abbildung 2.9 zeigt das Spektrum der freilaufenden Hochleistungslaserdiodeohne eingestrahlten Primärlaser. Das Verstärkungsprofil des Lasers zwischen820 nm und 825,7 nm ist eindeutig erkennbar. Die Hauptlasermode befindetsich bei 823,77 nm mit vier kleineren, wesentlich schwächeren Nebenmoden.Das Auftauchen der Nebenmoden wird wahrscheinlich durch die nicht vor-handene Entspiegelung der Laserdiode und den damit verbundenen Etalonef-fekt begünstigt. Bei eingestrahltem Referenzlaser zeigt sich in Abb. 2.10, dassdie Emission des Lasers nicht mehr vom Grundrauschen des Spektrumanaly-sators zu unterscheiden ist. Die Hauptlasermode liegt nun bei 822,05 nm, derWellenlänge des Referenzlasers.

Anhand der Daten des Wellenlängenmessgerätes ist ersichtlich, dass wäh-rend der Injektionsstabilisierung sowohl der Primärlaser als auch der Hoch-leistungslaser im Mono-Modenbetrieb bei der gleichen Wellenlänge arbeiten,siehe Abb. 2.11 und 2.12.

14 lasersysteme

12,4 12,5 12,6 12,7 12,8 12,9 13,0 13,1 13,2 13,3100

110

120

130

140

150

160

LD-Strom

LD-S

trom

[mA

]

Widerstand des NTC [kOhm]

60

65

70

75

80

85

90

95

100

105

110

Laserleistung

Lase

rleis

tung

[mW

]

19,6 19,4 19,2 19,0 18,8 18,6 18,4

Temperatur Laserdiode [°C]

Abbildung 2.8: Parameter für eine erfolgreiche Injektionsstabilisierung des Hochleis-tungslasers (LD-Strom/Laserleistung über Messwiderstand/LD-Temperatur). DieFehlerbalken der Laserleistung ergeben sich aus den Spezifikationen des verwen-deten Messgerätes und die des Laserdiodenstroms aus der Anzeigegenauigkeit.

810 815 820 825 830 835

-50

-40

-30

-20

-10

0

Lase

rleis

tung

[dB

m]

Wellenlänge [nm]

Abbildung 2.9: Spektrum der freilaufenden Hochleistungs-LD ohne eingestrahltenReferenzlaser bei 19,8 C.


810 815 820 825 830 835

-50

-40

-30

-20

-10

0La

serle

istu

ng [d

Bm

]

Wellenlänge [nm]

Abbildung 2.10: Spektrum der Hochleistungs-LD mit Injektionsstabilisierung (Ein-gangsleistung 50 µW) bei 19,8 C.

Abbildung 2.11: Fabry-Perot-Spektrum und Wellenlänge des Primärlasers, darge-stellt vom Wellenlängenmessgerät.

16 lasersysteme

Abbildung 2.12: Fabry-Perot-Spektrum und Wellenlänge des Hochleistungslasers,dargestellt vom Wellenlängenmessgerät während der Injektionsstabilisierung. DasFabry-Perot-Spektrum zeigt den Mono-Modenbetrieb. Die Wellenlänge ist identischzur Wellenlänge des Primärlasers.

3F R E Q U E N Z V E R D O P P E L U N G

3.1 theorie

Das vorliegende Experiment zielt auf die Spektroskopie des schmalbandigenÜbergangs 2S1/2 - 2D5/2 bei 411 nm von 172Yb+ ab. Zur Erzeugung von La-serlicht der Wellenlänge 411 nm ist es nötig, auf die Technik der optischenFrequenzverdoppelung, einer speziellen Form der Frequenzmischung, zu-rückzugreifen. Frequenzverdoppelung kann im quantenmechanischen Bildals ein Zwei-Photonen-Prozess aufgefasst werden. Hierbei werden zwei Pho-tonen mit jeweils der Energie hω zu einem Photon der doppelten Energie2 hω konvertiert, wie in Abb. 3.1 schematisch angedeutet ist.

Es gibt verschiedene Gründe, die Frequenzverdoppelungstechnik zu nut-zen. Im Falle dieses Experiments bestand der Grund darin, dass Laserdiodender Wellenlänge 411 nm zur Zeit nicht mehr auf dem Markt erhältlich sind,wohingegen Laserdioden im Infrarotbereich des elektromagnetischen Spek-trums bei vielen Wellenlängen, so auch bei 822 nm, weiterhin verfügbar sind.Diese zeichnen sich zudem dadurch aus, dass sie im Betrieb wesentlich einfa-cher zu handhaben sind als blaue Laserdioden. Daher wird in diesem Expe-riment das Laserlicht einer Hochleistungslaserdiode bei 822 nm mit Hilfe derFrequenzverdoppelung in Laserlicht der Wellenlänge 411 nm umgewandelt.

Im folgenden Kapitel werden die theoretischen Grundlagen der Frequenz-verdoppelung in nichtlinearen optischen Medien erörtert und der Entwurfund die Charakterisierung einer Frequenzverdoppelung für das vorliegendeExperiment vorgestellt. Für detailliertere Ausführungen zur Frequenzverdop-pelung sei auf die Literatur, wie z.B. [9], verwiesen.

ħω

ħω

2ħω

Abbildung 3.1: Prinzip der Frequenzverdoppelung im Bild der Quantenmechanik:Zwei Photonen der Energie hω werden in einem Zwei-Photonen-Prozess zu einemPhoton der Energie 2 hω konvertiert.

3.1.1 Polarisation und Suszeptibilität zweiter Ordnung

Zur Erklärung der Frequenzverdoppelung im nichtlinearen optischen Medi-um ist es zunächst erforderlich, die mikroskopische Wechselwirkung der Ato-me im Festkörper mit elektromagnetischen Wellen zu betrachten. Wie bereitsaus den Grundlagen der Elektrodynamik bekannt ist, übt ein elektrischesFeld auf Ladungsträger eine Kraft aus. Diese Kraft führt zu einer Ladungs-

17

18 frequenzverdoppelung

trägerverschiebung im Medium. In einem Festkörper werden die Elektronengegenüber den Atomkernen verschoben, was sich in einem induzierten elek-trischen Dipolmoment äußert.

Betrachtet man N Atome in einem Volumen V eines Mediums, so führt daszeitabhängige elektrische Feld ~E einer elektromagnetischen Welle zu einerPolarisation ~pi eines jeden Atoms und somit zu einer Gesamtpolarisation imVolumen V von

~P =1

V

N∑i=1

~pi (3.1)

Die Polarisation ist direkt verknüpft mit dem elektrischen Feld über eine ma-terialabhängige Größe, der Suszeptibilität χ:

~P(1) = ε0χ(1)~E (3.2)

Diese Relation, welche nur einen linearen Zusammenhang zwischen Polarisa-tion und elektrischem Feld der einfallenden elektromagnetischen Welle zeigt,enthält als Proportionalitätskonstante die Suszeptibilität erster Ordnung undgilt nur für optisch isotrope Medien. Durch Erweiterung dieser Relation aufoptisch anisotrope Medien, folgt eine von der Ausbreitungsrichtung der elek-tromagnetischen Welle im Medium abhängige Suszeptibilität, die als Suszep-tibilitätstensor geschrieben werden kann:

P(1)x

P(1)y

P(1)z

= ε0

χ(1)xx χ

(1)xy χ

(1)xz

χ(1)yx χ

(1)yy χ

(1)yz

χ(1)zx χ

(1)zy χ

(1)zz

ExEyEz

(3.3)

Für kleine elektrische Feldstärken ist diese Möglichkeit der Beschreibung vonelektromagnetischen Wellen (EM-Wellen) völlig ausreichend. Für hohe elek-trische Feldstärken jedoch tragen auch Polarisationseffekte bei, die nichtlinearvom elektrischen Feld der EM-Welle abhängen. Dies ist zum Beispiel bei ho-hen Intensitäten zu beobachten, wie sie von einem Laser erzeugt werden.

Um dieser Tatsache Rechnung zu tragen, muss die Suszeptibilität ersterOrdnung χ(1) geringfügig modifiziert werden. Durch Reihenentwicklung deselektrischen Feldes nach der Polarisation erhält man

~P = ε0(χ(1) ⊗ ~E+ χ(2) ⊗ ~E~E+ χ(3) ⊗ ~E~E~E+ ...) (3.4)

Hinweis: ⊗ stellt das Tensorprodukt dar!In Komponentenschreibweise ergibt sich nun für die i-te Komponente der

dielektrischen Polarisation:

Pi(ω) = P(1)i + P

(2)i + ...

= ε0∑j

χ(1)ij (ω)Ej(ω)

+ ε0∑jk

∑ω1,ω2

χ(2)ijk(ω = ω1 +ω2)Ej(ω1)Ek(ω2) + ... (3.5)

3.1 theorie 19

In der letzten Gleichung erfolgt die Summation über alle Frequenzkompo-nenten ω1 und ω2 für die ω = ω1 +ω2 gilt. Wie man nun leicht erkennenkann, werden im nichtlinearen Medium auch dielektrische Polarisationen mitder Frequenz 2ω angeregt, welches dazu führt, dass die Dipole auch elektro-magnetische Strahlung der Frequenz 2ω abstrahlen. Dieser Effekt wird Fre-quenzverdoppelung1 genannt.

Aufgrund der intrinsischen Permutationssymmetrie des Suszeptibilitätsten-sors zweiter Ordnung kann dieser vereinfacht dargestellt werden, indem zweider drei Indizes zu einem Index vereint werden (Voigt’sche Notation [9]):

dil =1

2χ(2)ijk (3.6)

mit i : x→ 1,y→ 2, z→ 3 und der Konvention:

jk: xx yy zz yz,zy zx,xz yx,xy

l: 1 2 3 4 5 6

Tabelle 3.1: Indexpermutationen der Voigt’schen Notation für Gleichung 3.6

Dies verringert die Anzahl der Einträge für χ(2)ijk von 27 auf 18. Im Folgen-den wird davon ausgegangen, dass alle Frequenzen hinreichend klein gegen-über jeglichen Resonanzfrequenzen des Mediums sind, sodass dχ

dω = 0 gilt.Somit weist die Suszeptibilität keine Frequenzabhängigkeit auf. Diesen Fallnennt man Kleinman-Symmetrie [9], welcher uns dazu berechtigt, die Indizesi, j und k zu permutieren. Dies ermöglicht eine weitere Vereinfachung, sodassstatt 18 nur noch maximal 10 unabhängige Matrixeinträge vorliegen:

Px(2ω)

Py(2ω)

Pz(2ω)

=

d11 d12 d13 d14 d15 d16

d16 d22 d23 d24 d14 d12

d15 d24 d33 d23 d13 d14

E2x(ω)

E2y(ω)

E2z(ω)

2Ey(ω)Ez(ω)

2Ez(ω)Ex(ω)

2Ex(ω)Ey(ω)

(3.7)

Durch Berücksichtigung von Kristallsymmetrien, kann die Anzahl der Ein-träge in der d-Matrix je nach Kristalltyp noch weiter verringert werden. Eineweitere Vereinfachung kann vorgenommen werden, indem eine feste Geome-trie, im Sinne einer festen Ausbreitungsrichtung relativ zu den Kristallachsen,und eine feste Polarisation des elektrischen Feldes angenommen wird, was zueiner skalaren Relation mit deff, dem effektiven nichtlinearen Koeffizienten,führt:

P(2ω) = 2ε0deffE2(ω) (3.8)

1 Second Harmonic Generation (SHG)


3.1.2 Wellenausbreitung im nichtlinearen Medium

In diesem Unterkapitel soll ein Ausdruck für die Phasenfehlanpassung her-geleitet werden. Die Phasenanpassungsbedingung ist das Äquivalent zur Im-pulserhaltung und kann somit als notwendige Bedingung zur Frequenzver-doppelung betrachtet werden.

Ausgehend von der Wellengleichung in einem unmagnetischen, nichtlei-tenden Medium, soll nun ein Ausdruck für die Phasenfehlanpassung aus derWellengleichung

∆~E =1

c2∂2

∂t2~E+ µ0

∂2

∂t2~P (3.9)

mit P = P(1) + P(NL) abgeleitet werden. Durch Separation des linearen undnichtlinearen Anteils der Polarisation kann diese Gleichung in eine Formüberführt werden, die nur von der nichtlinearen Polarisation P(NL) bestimmtwird. Für die weitere Herleitung, vgl. [9], werden folgende Annahmen ge-macht:

• ~E(z, t): Linear polarisierte, ebene Welle mit Propagationsrichtung z.

• ∂2Ei∂z2

∂Ei∂z ki: Nur kleine Änderungen der Feldamplitude des elektri-

schen Feldes über eine Wellenlänge.

• E(z, t) =∑nEn(ωn,z)

2 e−i(ωnt−knz) + c.c.: E-Feld ist die Fouriersummeebener Wellen.

• P(n)(z, t) =∑kP(n)k (ωk,z)2 e−iωkt + c.c.: P ist die Fouriersumme ebener

Wellen.

• α = 0: Vernachlässigbare Absorption des Kristalls.

Dies führt schließlich auf die gekoppelten Amplitudengleichungen, welcheeinen Zusammenhang zwischen den Amplituden von Fundamentalwelle E1und zweiter harmonischer Welle E2 herstellen:

∂

∂zE1(ω1, z) = i

ω1n1c

deffE2E∗1ei∆kz (3.10)

∂

∂zE2(ω2, z) = i

ω2n2c

deffE21e

−i∆kz (3.11)

In diesen Gleichungen taucht nun der Ausdruck für die Phasenfehlanpassung∆k auf, welcher von den frequenzabhängigen Brechungsindizes (Dispersion)nω bzw. n2ω abhängt:

∆k = k2ω − 2kω =2ω

c(n2ω −nω) (3.12)

3.1 theorie 21

3.1.3 Schwache Konversion

Im Folgenden soll nun der Grenzfall der schwachen Konversion betrachtetwerden. Hierbei wird angenommen, dass die Grundwelle, welche in einennichtlinearen Kristall der Länge Lc eintritt, nur geringfügig abgeschwächtwird. Aus den gekoppelten Amplitudengleichungen 3.10 und 3.11 kann nundie Amplitude des elektrischen Feldes der zweiten Harmonischen in Abhän-gigkeit von der Kristalllänge Lc angegeben werden:

E2(Lc) =iωdeffLcE

21(0)

cn2

sin(∆kLc/2)

∆kLc/2exp

(−i∆kLc

2

)(3.13)

Das Betrachten der Intensität, welche proportional zum Betragsquadrat derAmplitude des elektrischen Feldes ist, liefert den Zusammenhang

I2 ∝ L2csinc2(∆kLc

2

), (3.14)

mit der Sinus-Kardinalis-Funktion

sinc(x) =sin(x)x

. (3.15)

Zur Veranschaulichung von Gleichung 3.14 ist in Abb. 3.2 das Quadrat derSinus-Kardinalis-Funktion abgebildet.

- 1 0 - 5 0 5 1 0

0 , 0

0 , 2

0 , 4

0 , 6

0 , 8

1 , 0

sinc(x

)2

x

Abbildung 3.2: sinc2(x)-Funktion


0 2 4 6 8 1 00 , 00 , 10 , 20 , 30 , 40 , 50 , 60 , 70 , 80 , 91 , 0

I 2ω/I ge

s

K r i s t a l l l ä n g e L c [ a . u . ]

∆k = 0 ∆k = π/ 2 ∆k = π ∆k = 2 π

Abbildung 3.3: Relative Intensität I2ω der zweiten Harmonischen in Abhängigkeitvon der Kristalllänge Lc und der Phasenfehlanpassung ∆k

Der Vergleich der Gleichungen 3.12 und 3.14 ergibt, dass die maximaleIntensität der zweiten Harmonischen für ∆k = 0 erreicht wird. Ist ∆k 6= 0

treten Intensitätsoszillationen mit der Periode der Kohärenzlänge lc, die als

lc =π

∆k=

λ

4(n2ω −nω)(3.16)

angegeben werden kann, auf. Hierbei pendelt die Strahlungsleistung zwi-schen der Fundamentalwelle und der zweiten Harmonischen hin und her,denn es gilt Iges = Iω+ I2ω. Dieses ist in Abb. 3.3 für verschiedene Parameter∆k dargestellt.

Die Kohärenzlänge liegt in Kristallen mit normaler Dispersion in der Grö-ßenordnung von wenigen Mikrometern, da |nω −n2ω| ≈ 10−2.

3.1.4 Phasenanpassung

Wird die Bedingung

n2ω = nω (3.17)

erfüllt, so ist die Konversionseffizienz maximal. Dies wird Indexanpassunggenannt. Die Verwendung von doppelbrechenden Kristallen ermöglicht dieseArt der Phasenanpassung durch das Vorhandensein von ordentlichem undaußerordentlichem Brechungsindex (no bzw. ne). Wie in Abb. 3.4 zu sehen ist,wird für einen Einstrahlwinkel θm des Laserstrahls gegenüber der optischenAchse Indexanpassung erreicht. In diesem Fall ist no(ω) = ne(2ω).

3.1 theorie 23

z optische Achse

Qm

r

kw, k2w, Sw

no(2w)

S2w

ne(w)

ne(2w)

no(w)

Abbildung 3.4: Indexellipsoid

Der Phasenanpassungswinkel beträgt:

sin2(θm) =no(ω)−2 −no(2ω)−2

ne(2ω)−2 −no(2ω)−2(3.18)

mit ne = ne(θ = 90°). Die Winkelanpassung birgt jedoch ein Problem: InAbb. 3.4 ist dargestellt, dass die Poynting-Vektoren, die immer senkrecht aufden Indexellipsoiden stehen, nicht mehr parallel sind. Somit entsteht zwi-schen den Poynting-Vektoren ein Winkel, der als „walk-off“ bezeichnet wird.Je größer der „walk-off“ ist, desto geringer ist die Konversionseffizienz, daes als „Auffächern“ des Laserstrahls innerhalb des Kristalls aufgefasst wer-den kann, welches zu einer immer schlechteren Phasenanpassung führt. Der„walk-off“-Winkel berechnet sich zu:

ρ = arctan(n2o(ω)

2

(1

n2e(2ω)−

1

n2o(2ω)

)sin(2θm)

)(3.19)

Bei einer Phasenanpassung unter einem Winkel θm 6= 0, der kritischen Pha-senanpassung, tritt immer ein „walk-off“ auf.

Durch unkritische Phasenanpassung, bei der die Anpassung der Brechungs-indizes durch Einstellen der Kristalltemperatur erfolgt, kann der „walk-off“für bestimmte Wellenlängen vermieden werden. Hierbei besteht jedoch dieProblematik, dass der effektive nichtlineare Koeffizient bei der unkritischenPhasenanpassung sehr klein ist, da die Kristallachse nicht frei gewählt wer-den kann.

Abhilfe schafft die Quasiphasenanpassung, bei der die Kristallachse mitdem höchsten nichtlinearen Koeffizienten genutzt werden kann.

Bei der Quasiphasenanpassung werden dem Kristall bei der HerstellungDomänen2 eingeprägt, welche Suszeptibilitäten mit unterschiedlichen Vorzei-

2 Periodically Poled Crystals, z.B. PPKTP, PPLN, usw. Eine periodische Polung ist nur bei ferro-elektrischen Kristallen möglich. [10]


chen aufweisen, sodass di+1 = −di gilt. Dies führt dazu, dass die fortschrei-tende Dephasierung des Laserstrahls durch die alternierende Struktur derDomänen aufgehoben wird. Der große Vorteil von periodisch gepolten Kris-tallen und der Quasiphasenanpassung ist, dass freie Auswahl hinsichtlich derzu benutzenden Kristallachse besteht.

Dies ermöglicht hohe Konversionseffizienzen, obwohl der effektive nicht-lineare Koeffizient deff, aufgrund der vorhandenen Domänenstruktur, etwasverkleinert wird:

dQ =2

πdeff (3.20)

Bei Verwendung eines nichtlinearen optischen Kristalls mit dem nichtlinea-ren optischen Koeffizienten deff, welcher jedoch in periodisch gepolter Formvorliegt, muss der Parameter deff durch dQ in den Rechnungen ausgetauschtwerden [9].

Da die Konversionseffizienz auch abhängig von der Länge der Domänen ist,kommt bei der Quasiphasenanpassung noch die Schwierigkeit hinzu, dieseLänge optimal einzustellen. Dies ist jedoch herstellungstechnisch leider nichtmöglich und erfordert andere Maßnahmen. Eine gängige Lösung für diesesProblem ist die Anpassung der Domänenlänge durch Temperaturstabilisationdes Kristalls, welches zu einer Längenausdehnung der einzelnen Domänenführt.

3.1.5 Boyd-Kleinman-Funktion

Bisher wurden die theoretischen Grundlagen zur Frequenzverdoppelung nurfür ebene elektromagnetische Wellen diskutiert. Im nächsten Abschnitt sol-len konkret Gaußstrahlen betrachtet werden, welche bereits in Kapitel 2.2beschrieben wurden.

Sei nun ~E1 das elektrische Feld der Grundwelle des Gaußstrahls, welchesgegeben ist durch:

~E1(r, z) = E0w0w(z)

exp

(−r2

w2(z)− ikωz− ikω

r2

2R(z)+ iζ(z)

)(3.21)

mit

r: Radialabstand von der Strahlachse

z: Axialabstand von der minimalen Strahltaille

kω = 2πnλ : Wellenzahl bei Brechungsindex n

E0 = |E(0, 0)|: Amplitude des elektrischen Feldes bei z = 0 und r = 0

ζ(z) = arctan(zzR

): Gouy-Phasenverschiebung im Abstand z

R(z): Krümmungsradius der Wellenfronten des Gaußstrahls

3.1 theorie 25

Durch Einsetzen von Gl. 3.21 in Gl. 3.11 und anschließender Integration inAusbreitungsrichtung der zweiten Harmonischen, kann nun das elektrischeFeld der zweiten Harmonischen E2 außerhalb des Kristalls bestimmt wer-den. Daraus ergibt sich unmittelbar durch Integration über eine Ebene mitz = const. die Ausgangsleistung der zweiten Harmonischen

P2 =16π2d2effZ0LcP

20

λ31n2n1e−α

′l+µαl · h(σ,β, ξ,µ, κ) , (3.22)

welche proportional zum Quadrat der Eingangsleistung und direkt propor-tional zur Länge des Kristalls Lc ist. Des Weiteren ist die Ausgangsleistungproportional zum Faktor h, dem Boyd-Kleinman-Faktor [11], welcher von denStrahlparametern des Gaußstrahls (minimale Strahltaille σ, Ort des Fokus µ),der Phasenanpassung ζ, dem „walk-off“ B und den Konversionsverlusten κabhängt und sich durch eine Lösung der Boyd-Kleinman-Funktion, Gl. 3.23,bestimmen lässt.

h(σ,β, ξ,µ, κ) = eµαl1

4ξ·[∫ξ(1+µ)

−ξ(1−µ)

∫ξ(1+µ)−ξ(1−µ)

drdr ′e−κ(r

′+r)+iσ(r ′−r)−β2(r ′−r)2

(1+ ir)(1− ir ′)

](3.23)

Diese Funktion kann nicht analytisch gelöst werden und muss dementspre-chend mit einem numerischen Verfahren berechnet werden. Zur Berechnungder Boyd-Kleinman-Funktion wurde ein Programm3 entwickelt, welches dienumerische Optimierung von h in Abhängigkeit der Parameter

ξ = Lc/b

β = B/√ξ: „walk-off“-Parameter

κ = αb/2: Verlustparameter

σ = ∆kb/2: Phasenanpassungsparameter

µ = (Lc − 2f)/Lc: Fokusparameter

b = (2πω20)/(λω): konfokaler Parameter

durchführt. Der „walk-off“-Parameter B ist bei der in diesem Experiment ver-wendeten Quasiphasenanpassung irrelevant, da in diesem Fall B = 0 gilt.Der Verlustparameter α setzt sich aus den Absorptionsverlusten des Kristalls,der Fundamentalwelle und der zweiten Harmonischen zusammen, sodassα = αω − 1/2α2ω gilt. Im Folgenden soll jedoch nur der Fall betrachtet wer-den, in welchem die Absorptionsverluste vernachlässigbar sind (α = 0⇒ κ =

0). Zudem wird immer davon ausgegangen, dass der Fokus des Laserstrahlsin der Mitte des Kristalls liegt (µ = 0).

Unter Beachtung dieser Randbedingungen kann nun die numerische Opti-mierung der Boyd-Kleinman-Funktion durchgeführt werden. Dies liefert die

3 Quelltext im Anhang


optimalen experimentellen Parameter für eine möglichst hohe Konversionsef-fizienz.

Der mit Abstand wichtigste zu optimierende Parameter ist die Größe desFokus im Kristall. Ist dieser zu groß, ist die Intensität der Fundamentalwellenicht ausreichend eine leistungsstarke zweite Harmonische hervorzubringen,wohingegen ein zu kleiner Fokus die Konversionseffizienz, aufgrund der zugroßen Divergenz des Laserstrahls, vermindert.

Für den in diesem Experiment verwendeten PPKTP-Kristall, liefert die nu-merische Optimierung einen optimalen Strahlradius von w0 = 19µm.

In Abb. 3.5 ist die Boyd-Kleinman-Funktion in Abhängigkeit der minimalenStrahltaille w0 dargestellt.

0 20 40 60 80 100

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

h

0 [µm]

Abbildung 3.5: Boyd-Kleinman-Funktion

Links vom Maximum fällt die Boyd-Kleinman-Funktion wesentlich stärkerab als rechts vom Maximum. Dies ist wichtig, da die optimale Strahltaille nurauf wenige Mikrometer genau eingestellt werden kann. Liegt die Größe derStrahltaille ungewollt links vom Maximum, so müssen große Verluste bei derKonversionseffizienz hingenommen werden. Um dies zu vermeiden, bietetes sich an die Größe der Strahltaille von Beginn an etwas größer zu wäh-len, als dieses berechnet wurde, da die Boyd-Kleinman-Funktion rechts vomMaximum weniger steil abfällt. Dies macht die Anpassung der Strahltailleweniger kritisch. Die genaue Vorgehensweise zur Anpassung der Strahltaillefolgt in Kapitel 3.2.

Die für die numerische Optimierung verwendeten Parameter des PPKTP-Kristalls und dessen physikalische Eigenschaften werden im folgenden Ab-schnitt diskutiert.

3.1 theorie 27

3.1.6 Wahl des nichtlinearen Kristalls

Tabelle 3.2 zeigt verschiedene nichtlineare Materialien und deren Eigenschaf-ten, welche es für die Kristallauswahl zu beachten gilt.

Beginnend mit dem Wellenlängenbereich, in dem eine Frequenzverdoppe-lung aufgebaut werden soll, stellt sich die Forderung nach einem Kristall, derfür Fundamentalwelle und zweite Harmonische transparent ist. Nicht jederKristalltyp ist für jeden Wellenlängenbereich geeignet. Außerdem liegt es na-he einen Kristalltyp zu wählen, der einen möglichst hohen nichtlinearen Ko-effizienten aufweist, um die Konversionseffizienz zu erhöhen. Diese Auswahlkann beispielsweise mit dem Programm SNLO4 erfolgen.

Es müssen jedoch auch andere Effekte, die der Konversionseffizienz ne-gativ entgegenstehen, berücksichtigt werden. Da der Laserstrahl im Kristallteilweise auf unter 30 µm fokussiert wird, spielen thermische Linsen [12] ei-ne entscheidende Rolle. Die Energiedichte bei einem derart kleinen Fokusim Kristall wird sehr groß und kann zu einer lokalen Erhitzung und somitzur Veränderung des Brechungsindex führen. Auch wenn diese hohe Ener-giedichte nicht direkt zur thermischen Zerstörung des Kristalls führt, könnenzum Beispiel Farbzentren auftreten, welche die Konversionseffizienz konti-nuierlich mindern, siehe Kapitel 3.5. Außerdem können zu hohe Leistungendes Laserstrahls die Entspiegelungsbeschichtung der Kristallfacetten zerstö-ren, deren Zerstörschwelle typischerweise unterhalb der Zerstörschwelle desKristalls liegt.

Auch Effekte, wie der BLIRA-Effekt5 [13], sollten bei der Auswahl des Kris-talltyps berücksichtigt werden. Einige Kristallmaterialien zeigen auch hygro-skopische Eigenschaften, was eine Lagerung unter Schutzatmosphäre erfor-derlich macht.

Kristall-Typ KNbO3 LBO BBO PPKTP PPLN

Transp.-Bereich [nm] 400-4500 160-2600 189-1750 350-4500 420-5200

NC deff [pm/V] 18 6 1 6 1 7-9 17-18

Tabelle 3.2: Nichtlineare Kristalle

Nicht nur die Auswahl des Materials des nichtlinearen Kristalls spielt ei-ne wichtige Rolle. Je nach Art und Weise wie die Kristalle verarbeitet wer-den, unterscheiden sich ihre Eigenschaften und deren Handhabung im Ex-periment. Einige Kristalle werden zur Erhöhung der Konversionseffizienz alsperiodisch gepolte Kristalle (PP) angeboten. Darüber hinaus besteht die Mög-lichkeit die Kristalle mit einer Entspiegelung auf den Facetten zu versehen,um unerwünschte Reflexionsverluste zu vermeiden. Gleiches lässt sich auchmit einem Brewster-Anschnitt6 der Kristallfacetten erreichen, was jedoch imexperimentellen Aufbau den Einbau des Kristalls unter dem Brewster-Winkelerfordert und die Justage verkompliziert.

4 http://www.as-photonics.com/snlo5 Blue Induced InfraRed Absorption6 b-cut crystals


3.1.6.1 Der PPKTP-Kristall

Für dieses Experiment wurde ein periodisch gepolter KTP (PPKTP) Kristallals nichtlineares optisches Medium gewählt. Bei KTP handelt es sich um Kali-umtitanylphosphat, einem orthorhombischen, doppelbrechenden Kristall derKristallklasse mm2, dessen Transparenzbereich sich von 350 nm bis 4 µm er-streckt [14].

Aufgrund der Kristallsymmetrien ergibt sich für PPKTP die folgende Ab-hängigkeit zwischen nichtlinearer Polarisation und E-Feld:

P(2)x,ω

P(2)y,ω

P(2)x,ω

= ε0 ·

0 0 0 0 d15 0

0 0 0 d24 0 0

d31 d32 d33 0 0 0

·

E2x,ω

E2y,ω

E2z,ω

2Ey,ωEx,ω

2Ex,ωEz,ω

2Ez,ωEy,ω

(3.24)

Der nichtlineare Koeffiziententensor von KTP ist

d =

0 0 0 0 6, 1 0

0 0 0 7, 6 0 0

6, 5 5, 0 13, 7 0 0 0

pm/V. (3.25)

Dieser besitzt für d33 = 13,7pm/V den höchsten nichtlinearen Koeffizien-ten. Dieses bedeutet, dass die Konversion entlang der dritten Hauptachse imKristall am effizientesten ist. Der Kristall wurde derart hergestellt, sodass dieKristallachse längs des Kristalls der dritten Hauptachse entspricht. Da es sichbei dem verwendeten Kristall jedoch um einen periodisch gepolten Kristallhandelt, muss der nichtlineare Koeffizient noch mit dem Faktor 2/π multipli-ziert werden (vgl. Kapitel 3.1, Gl. 3.20):

dq = 2/π · 13,7pm/V ≈ 8,7pm/V (3.26)

Aus herstellungstechnischen Gründen variieren die nichtlinearen Koeffizi-enten leicht von Kristall zu Kristall. Der Absorptionskoeffizient für 411 nmwurde zu 15 m−1 und für 822 nm zu 0,4 m−1 abgeschätzt, wobei die Datenaus [15] zugrundegelegt wurden.

Neben dem nichtlinearen Koeffizienten ist die Kenntnis des Brechungs-index von entscheidender Bedeutung. Da es sich um einen doppelbrechen-den Kristall handelt, weisen die unterschiedlichen Achsen des Kristalls auchunterschiedliche Brechungsindizes auf. Die Brechungsindizes sind wellenlän-genabhängig, was als Dispersion bezeichnet wird. Zur Bestimmung der Bre-chungsindizes bei unterschiedlichen Wellenlängen, wurden die empirisch be-stimmten Sellmeier-Gleichungen für KTP herangezogen [14]:

n2x = 2, 16747+0, 83733

1− 0, 04611 · λ−2− 0, 01713 · λ2 (3.27)

3.1 theorie 29

n2y = 2, 19229+0, 83547

1− 0, 04970 · λ−2− 0, 01621 · λ2 (3.28)

n2z = 2, 25411+1, 06543

1− 0, 05486 · λ−2− 0, 02140 · λ2 (3.29)

Für die dritte Hauptachse, welche für die Frequenzverdoppelung verwendetwerden soll, ist der Brechungsindex nz entscheidend. Für die Wellenlängennimmt dieser die Werte

nz(822nm) = 1, 8437 (3.30)

nz(411nm) = 1, 9566 (3.31)

an. Der im Experiment verwendete PPKTP-Kristall weist eine Länge vonLc = 15mm auf und die für 822 nm entspiegelten Facetten haben die Ab-maße 1 mm x 2 mm.

Wie bereits in Kapitel 3.1.5 zur Boyd-Kleinman-Funktion diskutiert wurde,fließen diese Kristallparameter in die numerische Optimierung der Funktionmit ein.

Die numerische Optimierung der Boyd-Kleinman-Funktion (Gl. 3.23) lie-fert die folgenden Ergebnisse für eine Fundamentalwellenleistung von 60 mWund den oben genannten Parametern:

hmax = 1, 07: Maximum der Boyd-Kleinman-Funktion

∆k = 217: Optimalwert der Phasenfehlanpassung

w0 = 19µm: Optimale Strahltaille im Kristall

P2 = 225µW: Leistung der zweiten Harmonischen bei einfacher Kristallpas-sage

η = 0,225mW60mW = 3, 8 · 10−3 = 0, 38%: Verdoppelungseffizienz

Γ = 0,225mW60mW2 = 6,25 · 10−5mW−1: Konversionseffizienz

Zur Quasiphasenanpassung mittels Temperaturanpassung wurde eine Kri-stallhalterung7 aus Kupfer entworfen, welche in einem Teflonkästchen miteinem Heizwiderstand und einem Temperatursensor untergebracht ist. DieFixierung der Kristallhalterung erfolgt auf einem Verschiebetisch, der die ge-naue Positionierung des Kristalls in verschiedenen Achsen ermöglicht.

7 Konstruktionszeichnung im Anhang


3.2 der ringresonator (bow-tie-resonator)

Zur Verbesserung der Verdoppelungseffizienz, welche nach einem einzelnenDurchlauf des Kristalls nur einige Promille beträgt, kann der Hochleistungs-laserstrahl mehrmals durch den Kristall geführt werden. Dies kann mit Hilfeeines optischen Resonators erreicht werden, in welchem der Kristall einge-baut ist. Als Resonatordesign wird in diesem Fall ein Ringresonator (Bow-Tie-Resonator) gewählt, in welchem die Fundamentalwelle den Kristall nurin einer Richtung durchläuft, sodass auch die Auskopplung der zweiten Har-monischen in einer definierten Richtung möglich ist und Stehwellen im Reso-nator vermieden werden.

In Abb. 3.6 ist exemplarisch der schematische Aufbau eines Ringresonatorsmit eingebautem Kristall abgebildet.

M1M2

PZT

M4 PPKTP

l1

l2

d

M3

Abbildung 3.6: Aufbau und Strahlengang eines Bow-Tie-Resonators mit Kristall(PPKTP): M1 Einkoppelspiegel, M2 Planspiegel, M3 Hohlspiegel, M4 Auskoppelspie-gel/Nulllinse, PZT Piezoaktuator

Der Bow-Tie-Resonator ist ein gefalteter Ringresonator, welcher aus vierSpiegeln (M1-M4) besteht. Die Einkopplung des Hochleistungslaserstrahlserfolgt über den Spiegel M1. Das Strahlprofil des Hochleistungslasers wirddahingehend angepasst, dass mittig zwischen den Spiegeln M1 und M2 derkleinste Strahlradius (w01 zwischen den Planspiegeln und w02 im Kristall)erzeugt wird, welcher dann mit Hilfe des Hohlspiegels M3 mit Krümmungs-radius r in den Kristall abgebildet wird. Spiegel M4, eine Nulllinse, reflektiertden Hochleistungslaserstrahl auf den Einkoppelspiegel M1 zurück und kop-pelt die zweite Harmonische aus dem Resonator aus. Das Besondere an ei-ner Nulllinse ist die Eigenschaft, das Strahlprofil des Laserstrahls nicht mehrdurch Brechung zu verändern. Zur Stabilisierung ist Spiegel M2 mit einemPiezoaktuator8 (kurz Piezo, im Bild: PZT) versehen, der durch Anlegen einerSpannung den Spiegel M2 bewegt und somit die optische Länge des Reso-nators ändert. Die Abmaße dieses Spiegels wurden möglichst klein gewählt,sodass die Masse des Spiegels möglichst gering ist. Dies ermöglicht eine hö-here Regelbandbreite des Stabilisierungssystems, da der Piezo eine kleinereMasse aufgrund der Trägheit schneller bewegen kann als eine Große.

8 Thorlabs AE0203D04F

3.2 der ringresonator (bow-tie-resonator) 31

3.2.1 Stabilitätsbedingungen des Ringresonators

Das Design des Ringresonators, hinsichtlich der Anordnung und der opti-schen Eigenschaften der verwendeten Spiegel, wie z.B. dem Reflexions- undTransmissionsgrad und dem Krümmungsradius r der Hohlspiegel, soll hiergesondert behandelt werden. Damit der Ringresonator stabil ist, also jedeGauß’sche Resonatormode wieder nach einem Umlauf im Resonator in sichselbst übergeht, müssen die Abmessungen des Resonators und die Krüm-mungsradien der Spiegel aufeinander abgestimmt werden.

ABCD-Matrixformalismus

Diese Betrachtung lässt sich kompfortabel mit Hilfe des ABCD-Matrixformal-ismus [9, 16] durchführen, in welchem jedem optischen Element des Auf-baus eine charakteristische Matrix (Transfermatrix) zugeordnet wird. Wirdeine Transfermatrix auf den Strahlvektor angewandt, so beschreibt der resul-tierende Strahlvektor den Gaußstrahl nach Passieren des optischen Elements.Die Transfermatrix T hat die Form:

T =

(A B

C D

)(3.32)

Betrachtet werden soll ein Gaußstrahl, siehe Gl. 3.21, welcher sich entlang derz-Richtung ausbreitet und durch den Strahlparameter q in Abhängigkeit desKrümmungsradius rS, des Strahlradius w und der Wellenlänge λ beschriebenwird:

1

q=1

rS−

iλ

πw2(3.33)

Wird eine Transfermatrix T auf einen Gaußstrahl mit Strahlparameter q0 an-gewandt, erhält man einen Gaußstrahl mit Strahlparameter q1:

q1(z) =Aq0 +B

Cq0 +D(3.34)

Diese allgemeinen Betrachtungen sollen nun auf den Ringresonator übertra-gen werden. Als Ausgangspunkt eines Resonatorumlaufs wird der Kristall-mittelpunkt festgelegt, wobei theoretisch auch jeder andere Punkt im Resona-tor herangezogen werden könnte.

Der Gaußstrahl durchquert die nacheinander folgenden optischen Elemen-te, welche in Tabelle 3.3 aufgelistet sind, bis dieser wieder am Ausgangspunktangelangt ist.Die Multiplikation dieser Matrizen ergibt die Gesamttransfermatrix T desResonators:

T = T9 × T8 × T7 × T6 × T5 × T4 × T3 × T2 × T1 (3.35)


Durchlauf der halben Kristalllänge Lc/2: Brechung an der Kristallaustrittsfacette:

T1 =

(1 Lc

2

0 1

)T2 =

(1 0

0 nω

)Propagation Kristallfacette – Spiegel M4: Reflexion an Spiegel M4:

T3 =

(1 l2−Lc

2

0 1

)T4 =

(1 0

−2r 1

)Propagation zu Spiegel M3 (über M1 und M2): Reflexion an Spiegel M3:

T5 =

1 l1 + 2

√(l1+l22

)2+ d2

0 1

T6 =

(1 0

−2r 1

)

Propagation Spiegel M3 – Kristallfacette: Brechung an der Kristalleintrittsfacette:

T7 =

(1 l2−Lc

2

0 1

)T8 =

(1 0

0 1nω

)Durchlauf der halben Kristalllänge Lc/2:

T9 =

(1 Lc

2

0 1

)

Tabelle 3.3: ABCD-Matrizen des Resonatordurchlaufs.

Wie bereits erwähnt wurde, muss nach einem Resonatorumlauf der Gauß-strahl wieder in sich selbst übergehen. Dies bedeutet mathematisch, dassq := q1 = q0 gelten muss. Somit lässt sich die Lösung von

q =Aq+B

Cq+D⇒ Cq2 + q(D−A) −B = 0 (3.36)

angeben als

q = −D−A

2C±√D−A

4C2+B

C(3.37)

Da im Ausgangspunkt dieser Betrachtungen, der Kristallmitte, ein Fokus desStrahls ist, ist der Krümmungsradius rS des Strahls unendlich groß. Somitmuss q nach Gl. 3.33 rein imaginär sein. Entsprechend muss

D−A = 0 (3.38)

und

q2 =B

C(3.39)

gelten. Somit ergeben sich die Matrixelemente A und C der Transfermatrix Tzu

A =nω(2l2(s− r) + r(r− 2s)) − 2Lc(nω − 1)(s− r)

nωr2(3.40)

und

C =4(s− r)

nωr2. (3.41)


Hierbei ist s die optische Weglänge des Resonators

s = l1 + 2

√(l1 + l22

)2+ d2 . (3.42)

In Kapitel 3.1.5 wurde festgestellt, dass der Boyd-Kleinman-Faktor, ein Maßfür die Konversionseffizienz der Frequenzverdoppelung, auch von der Größeder Strahltaille (Strahlradius) w abhängig ist. Somit ist es sinnvoll den Resona-tor auf eine optimale Strahltaille hin zu optimieren. Die Strahltaille berechnetsich mit Hilfe der Gleichungen 3.33 und 3.37 zu

w2 =λ√1−A2

πC, (3.43)

wobei zu beachten ist, dass nur die reelle Lösung dieser Gleichung physika-lisch sinnvoll ist. Es empfiehlt sich diese Rechnungen aufgrund ihrer Kom-plexität zeitsparend mit Hilfe eines Programms9 durchzuführen.

Damit ist es nun möglich die optimale Resonatorgeometrie zu berechnen.In Kapitel 3.1.5 wurde die optimale Strahltaille im verwendeten PPKTP Kris-tall zu 19 µm berechnet.

Es gelte A = 0, welches die Stabilitätsbedingung des Resonators erfüllt.Somit folgt aus Gleichung 3.43

C(s, r) =λ√1−A2

πw2. (3.44)

Resonatorgeometrie und Strahlastigmatismus

Mit den Gleichungen 3.41 und 3.40 und den Parametern n=1,842779, Lc =

0,015m, r = 0,05m ergibt sich die Länge l2 zwischen den gekrümmten Spie-geln zu

l2 = 0,058m . (3.45)

Nun können unter Ausnutzung von Gl. 3.42 die voneinander abhängigenLängen d und l1 bestimmt werden. Hierbei ist zu beachten, dass die Länge dmöglichst klein gewählt werden sollte, damit der Faltungswinkel des Resona-tors nicht zu groß wird. Ein zu großer Faltungswinkel führt zu einem starkenStrahlastigmatismus. Dies würde zu einer verminderten Konversionseffizienzführen, da die Foki beider Strahlachsen nicht mehr zusammenfallen würden.Somit sollte l1 möglichst groß gewählt werden um den Faltungswinkel kleinzu halten.

Um dies zu veranschaulichen, sind in den Abbildungen 3.8 und 3.7 derStrahlradius über der Länge des kurzen Armes l2 und des langen Arms l1des Resonators aufgetragen. Aufgrund des Einfallwinkels α = 7,5° haben dieHohlspiegel unterschiedliche Brennweiten, und zwar fs = f/ cos(α) in der

9 Quelltext im Anhang


Sagittalebene und fm = f · cosα in der Meridionalebene. Die Meridionalebeneist die Ebene, welche durch den Objektpunkt und die optische Achse definiertwird. Die Sagittalebene liegt senkrecht zu Meridionalebene.

In der Planung des Ringresonatoraufbaus wurde ermittelt, dass eine Längevon d = 3,5 cm zu realisieren ist. Aufgrund dessen wurde bei den fest vor-gegebenen Größen d = 3,5 cm und l2 = 6 cm die Länge l1 derart modelliert,dass die Resonatorstabilität gewährleistet bleibt und der Strahlradius nicht ineinen Bereich fällt, in dem die Konversionseffizienz zu niedrig wäre.

Es stellt sich heraus, dass die Bedingungen für l1 = 20 cm noch in einemoptimalen Bereich liegen. Der minimale Strahlradius im Kristall vergrößertsich auf w ≈ 26µm, wobei die Konversionseffizienz um 10% abnimmt, waszu vertreten ist (s. Abb. 3.5).

Dieses Vorgehen, den Strahlradius geringfügig größer zu wählen als denoptimal Berechneten, ist jedoch auch sicherer, da die h-Funktion für größereStrahlradien weniger steil abfällt als für kleinere Strahlradien.

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

0

10

20

30

40

50

60

w01

[µm

]

l1 [m]

sagittal meridional

Abbildung 3.7: Horizontaler und vertikaler Strahlradius in Abhängigkeit der Längel1 des langen Arms des Ringresonators mit d = 3,5 cm und l2 = 6 cm.

Die Abbildungen 3.7 und 3.8 zeigen den Stabilitätsbereich des Resonators.Ziel ist es einen Bereich zu finden, in dem horizontaler und vertikaler Strahl-radius möglichst die gleiche Größe haben und die Steigung des jeweiligenGraphen möglichst gering ist. Letzteres ist wichtig, weil eine kleine Ände-rung der Länge eines Armes zu einer großen Änderung im Strahlradius führtund möglicherweise den Resonator instabil werden lässt. Abbildung 3.8 zeigt,dass horizontaler und vertikaler Strahlradius bei l2 = 5,95 cm gleich groß sind(Schnittpunkt beider Kurven), welches einem Strahlradius von w0 = 26,5µmentspricht.


0,056 0,057 0,058 0,059 0,060 0,061 0,062 0,063 0,0645

10

15

20

25

30

w02

[µm

]

l2 [m]

meridional sagittal

Abbildung 3.8: Horizontaler und vertikaler Strahlradius in Abhängigkeit der Längedes kurzen Arms l2 des Ringresonators mit d = 3,5 cm und l1 = 20 cm.

3.2.2 Impedanzanpassung

Wir betrachten nun die Überhöhung Ξ in einem Resonator, die sich aus derAiry-Formel zu

Ξ =Pc

Pin=

1− R1

(1−√R1Rm)2 + 4

√R1Rm sin2 (φ/2)

(3.46)

ergibt. Diese hängt ab von den Parametern

Pc: Zirkulierende Leistung im Resonator

Pin: Eingangsleistung in den Resonator

R1: Reflektivität des Einkoppelspiegels

φ = 2πLλ : Phase der EM-Welle, L: optische Weglänge

und

Rm = (1− ε)(1− VNL)R2R3R4 , (3.47)

welche die restlichen Verluste im Resonator enthält, die sich aus den Reflekti-vitäten (R1, R2, R3) der drei verbleibenden Spiegel, den Konversionsverlustenim Kristall (VNL) und allen übrigen Verlusten (ε) im Resonator (Absorptionim Kristall, Reflexionsverluste an der Kristallfacette, etc.) zusammensetzen.

Durch nähere Betrachtung der Airy-Gleichung (Gl. 3.46) ist direkt ersicht-lich, dass Pc für φ = 2πn (n ∈N) maximal wird. Dies führt zur allgemeinen


Resonanzbedingung eines jeden Resonators, welche aussagt, dass die opti-sche Weglänge im Resonator einem ganzzahligen Vielfachen der Wellenlängeentsprechen muss, also

L = n · λ (3.48)

gilt. Diese Resonanzbedingung ist stets zu erfüllen. Dies macht eine aktiveLängenstabilisierung des Resonators erforderlich, auf die in Kapitel 3.2.4 nä-her eingegangen werden soll. Gleichung 3.46 kann mit R2 = R3 = R4 ≈ 1

vereinfacht werden zu

Ξ =Pc

Pin=

1− R1

(1−√R1(1− ε)(1− VNL))2

. (3.49)

Diese Formel wurde durch T1 = 1− R1, die Transmission des Einkoppelspie-gels in Abhängigkeit von der Reflektivität, und VNL = ΓPc, die nichtlinearenVerluste im Kristall, weiter vereinfacht. Nun lässt sich aus der durch den Re-sonator ausgehenden Überhöhung die Verdopplungseffizienz berechnen. Sieist das Verhältnis der Leistung der zweiten Harmonischen P2ω zu der Ein-gangsleistung Pin

η =P2ω

Pin=ΓP2cPin

(3.50)

mit der Konversionseffizienz Γ

Γ =P2ω

P2c. (3.51)

Dies kann umgeformt werden zu:

√η ·(2−

√1− T1 · (2− ε−

√ηΓPin)

)2− 4T1

√ηΓin = 0 (3.52)

Anschließend kann diese Gleichung numerisch gelöst werden, welches

(1− Topt1 ) = (1− ε)(1− ΓPc)

⇒ Topt1 ' ε+ ΓPc

= ε+ ΓPin

Topt1

=ε

2+

√ε2

4+ ΓPin (3.53)

liefert.Die Bestimmung der optimalen Transmission des Einkoppelspiegels erfolgt

durch Betrachtung der verschiedenen Verluste im Resonator:

ε = 1− R1R2R3R2c(1− 2Lα1) = 1− 0, 98 = 0, 02 (3.54)

mit


R1 = R2 = R3 = 0, 999: Reflektivität der Spiegel, laut Datenblatt 99,9% bei822 nm

Rc = 0, 999: Verluste durch Reflexion an den Facetten des Kristalls. Da keinDatenblatt dazu vorhanden ist, aber bekannt ist, dass eine Entspiege-lung vorliegt, wird davon ausgegangen, dass die Verluste ähnlich hochsind, wie bei den Spiegeln, sodass man auch von einer Transmissionvon 99,9% ausgehen kann.

Lc = 0,015m: Länge des Kristalls

α1 = 0,4m−1: Absorptionskoeffizient des Kristalls für 822 nm

Die Berechnung der nichtlinearen Verluste liefert Γ = 0, 06. Somit kann mitGleichung 3.53 die optimale Transmission des Einkoppelspiegels in Abhän-gigkeit zur Eingangsleistung bestimmt werden. Das Ergebnis ist in Abb. 3.9dargestellt.

0 , 0 0 0 , 0 2 0 , 0 4 0 , 0 6 0 , 0 8 0 , 1 09 0

9 1

9 2

9 3

9 4

9 5

9 6

9 7

9 8

Trans

missi

on T op

t [%]

P i n [ m W ]

Abbildung 3.9: Optimale Transmission des Einkoppelspiegels in Abhängigkeit derEingangsleistung.

Bei einer Leistung von 60 mW bei 822 nm liegt die optimale Transmissi-on des Einkoppelspiegels bei ca. 93%. Da die Verlusten im Resonator jedochnur abgeschätzt werden können, sind die Ergebnisse nur als Näherung zubetrachten. Es bietet sich daher an Einkoppelspiegel mit verschiedenen Trans-missionen zu testen.In Abb. 3.10 ist das Modenspektrum des Ringresonators (Reflexion) darge-stellt, welches zur Bestimmung der Einkoppeleffizienz herangezogen wur-de. Für den verwendeten Einkoppelspiegel mit 5% Transmission wurde ei-ne Einkoppeleffizienz von ca. 73% gemessen. Dies wurde auch für die übri-gen vorhandenen Einkoppelspiegel mit Transmissionen von 4%, 6% und 7%


- 0 , 0 0 0 6 - 0 , 0 0 0 4 - 0 , 0 0 0 2 0 , 0 0 0 0 0 , 0 0 0 2 0 , 0 0 0 4 0 , 0 0 0 6- 0 , 3 0

- 0 , 2 5

- 0 , 2 0

- 0 , 1 5

- 0 , 1 0

- 0 , 0 5

Leistu

ng [V

]

Z e i t [ s ]

∆ = 1 9 3 m V

Abbildung 3.10: Modenspektrum des Ringresonators mit einem Einkoppelspiegelmit 5% Transmission. Das Reflexions-Minimum ist ein Maß für die Einkoppeleffizi-enz in den Resonator.

durchgeführt. Bis auf den Einkoppelspiegel mit 4% Transmission, welchereine Einkoppeleffizienz von ca. 64% ermöglichte, zeigten die anderen Einkop-pelspiegel hinsichtlich der Einkoppeleffizienz nur Unterschide im 1%-Bereichbei Betrachtung der Reflexionsspektren. Die absoluten Einkoppeleffizienzenkönnten aufgrund der unvermeidbaren, leicht unterschiedlichen Justage beijeder Messung um wenige Prozentpunkte schwanken.

Durch Betrachten der tatsächlichen Ausgangsleistung der Frequenzverdop-pelung, ergibt sich die maximale Ausgangsleistung bei dem Einkoppelspiegelmit 5% Transmission, s. Abb. 3.11, welcher somit am geeignetsten ist.

3.2.3 Finesse des Ringresonators

Die Linienbreite des Resonators sollte größer sein, als die des Lasers, um eineoptimale Leistungseinkopplung zu gewährleisten.

Zur Berechnung der Linienbreite muss die Finesse bestimmt werden. DieFinesse ist das Verhältnis aus freiem Spektralbereich δν, dem Abstand zwi-schen zwei benachbarten longitudinalen Resonatormoden, und Halbwerts-breite ∆ν einer Resonatormode.

F =δν

∆ν=π√R

1− R(3.55)

mit

R =√R1R2R3R4(1− ε)(1− VNL) (3.56)


4 5 6 7

3 , 0

3 , 5

4 , 0La

serle

istung

bei 4

11 nm

[a.u.

]

T r a n s m i s s i o n d e s E i n k o p p e l s p i e g e l s [ % ]

Abbildung 3.11: Ausgangsleistung der Frequenzverdoppelung als Funktion derTransmission des Einkoppelspiegels. Bei 5%iger Transmission liegt die höchste Aus-gangsleistung vor.

Die Vermessung der Finesse des Ringresonators wurde in zwei verschiede-nen Betriebszuständen des Resonators durchgeführt. Im ersten Fall wurdeder Kristall ohne Phasenanpassung im Resonator belassen, sodass keine Kon-version stattfindet. Somit entfallen alle Konversionsverluste VNL, was theo-retisch zu einer höheren Finesse führen sollte. Zum Vergleich wurde eineweitere Messung mit phasenangepasstem Kristall durchgeführt. In den Ab-bildungen 3.12 und 3.13 sind beide Messungen dargestellt. Wie erwartet istdie Finesse ohne Konversion der Grundwelle höher, als wenn Konversion imKristall stattfindet.

Die Berechnung der Finesse ohne Konversion nach Gl. 3.55 mit VNL = 0

ergibt eine Finesse von F ≈ 71. Für den den Fall mit Konversion ergibt sichF ≈ 46. Die Finesse im Fall ohne Konversion befindet sich in guter Überein-stimmung mit der Messung, siehe Abb. 3.13. Für den Fall mit Konversionergibt sich jedoch in den Berechnungen eine niedrigere Finesse als gemessenwurde, wobei diese Werte für eine Ausgangsleistung von 28 mW bei 411 nmgelten. Da jedoch die Ausgangsleistung der Frequenzverdoppelung im Ex-periment zwischen 16 mW und maximal 24 mW liegt, sind dementsprechenddie Konversionsverluste geringer, was in diesem Fall zu einer höheren gemes-senen Finesse führt.

Die Linienbreite des Resonators berechnet sich zu

∆ν =δν

F=

c

F · s, (3.57)


-0,0006 -0,0004 -0,0002 0,0000 0,0002 0,0004 0,0006

-2,0

-1,8

-1,6

-1,4

-1,2

-1,0

-0,8

= 5,78 µs

Leis

tung

refl.

[a.u

.]

Zeit [s]

= 411 µs

F = ( )/( ) = 71,1

Abbildung 3.12: Reflexionsspektrum des Ringresonators ohne Phasenanpassung desKristalls (ohne Konversion).

-0,0006 -0,0004 -0,0002 0,0000 0,0002 0,0004 0,0006-2,2

-2,0

-1,8

-1,6

-1,4

-1,2

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

Leis

tung

refl.

[a.u

.]

Zeit [s]

= 6,9 µs

= 411 µs

F = ( )/( ) = 59,6

Abbildung 3.13: Reflexionsspektrum des Ringresonators mit Phasenanpassung desKristalls (mit Konversion).


wobei c die Lichtgeschwindigkeit und s = 0,53m die optische Weglängedes Resonators ist. Daraus ergibt sich für den aufgebauten Ringresonatoreine Linienbreite von ∆ν = 8MHz für den Zustand ohne Konversion und∆ν = 9,5MHz mit Konversion. Sind die Linienbreite des Lasers und die desResonators vergleichbar groß, könnte eventuell nicht die gesamte Leistungdes Lasers in den Resonator eingekoppelt werden. Die Linienbreite des La-sers ist jedoch um den Faktor 107 kleiner als die des Resonators, sodass dieskeinen limitierenden Faktor für die Einkoppelung darstellt.

3.2.4 Hänsch-Couillaud-Stabilisierungssystem

Durch Umwelteinflüsse, wie beispielsweise Temperaturänderungen und Vi-brationen, wird die optische Weglänge im Resonator kontinuierlich beein-flusst. Dies bedeutet, dass der Resonator ohne Stabilisierung der optischenWeglänge nur kurzzeitig stabil und somit eine störungsfreie Frequenzverdop-pelung unmöglich wäre.

Aus diesem Grund wurde eine Längenstabilisierung nach Hänsch undCouilliaud [17] aufgebaut, welches die Resonanz des Resonators detektiertund die optische Weglänge mit Hilfe eines Piezoaktuators, welcher an einemSpiegel des Resonators angebracht ist, entsprechend den Störungen nachre-gelt.

Diese von Hänsch und Couillaud im Jahr 1980 entwickelte Stabilisierungs-technik beruht auf der Polarisationsspektroskopie des reflektierten Strahlsam Resonator. Hierbei werden die unterschiedlichen Leistungen des Strahlsin den verschiedenen Polarisationen getrennt voneinander detektiert und dar-aus ein Fehlersignal abgeleitet.

Die Funktionsweise des Hänsch-Couillaud-Stabilisierungssystems (HC) sollnachfolgend beschrieben werden. Abbildung 3.14 zeigt eine schematischeDarstellung dieses Systems.

Funktionsweise

Das anfangs horizontal linear polarisierte Laserlicht des 822 nm Hochleis-tungslasers wird durch eine λ/2-Verzögerungsplatte in vertikale Polarisati-on überführt und in den Resonator eingestrahlt. Der Einkoppelspiegel (M1),auf den dieser Laserstrahl unter einem Winkel auftrifft, reflektiert einen Teildieses Laserstrahls unter Beibehaltung der Polarisation. Der Anteil des La-serstrahls, welcher in den Resonator eingekoppelt wird, weist weiterhin ver-tikale Polarisation auf und passiert den PPKTP-Kristall. Betrachtet man daselektrische Feld E des eingestrahlten Laserstrahls, so kann man dieses in zweiKomponenten zerlegen:

E(i)p = E(i) cos (θ) und E

(i)s = E(i) sin (θ) (3.58)

E(i)p : Parallele Komponente des elektrischen Feldes des eingestrahlten Laser-

strahls

E(i)s : Senkrechte Komponente des elektrischen Feldes des eingestrahlten La-

serstrahls


PDs

PBS

λ/4

λ/2

411 nm

822 nm

M1M2

M3M4 PPKTP

Piezo

IntegratorPiezo - T.

-

Abbildung 3.14: Schematische Darstellung des Hänsch-Couillaud-Stabilisierungs-systems der Frequenzverdoppelung. Der am Resonator reflektierte elliptisch polari-sierte Strahl wird durch eine λ/4-Wellenplatte in lineare Polarisation überführt undanschließend durch einen polarisierenden Strahlteiler (PBS) in die linear polarisiertenKomponenten aufgeteilt. Diese werden von zwei Photodioden detektiert und derenDifferenzsignal wird in einem Verstärker vergrößert. Dieses Fehlersignal wird voneinem Integrator in ein Regelsignal umgesetzt, durch einen Piezo-Treiber verstärktund dem Piezo zugeführt.

θ: Winkel zwischen Konversionsachse des PPKTP-Kristalls und des elektri-schen Felds

Der PPKTP-Kristall konvertiert nur die Komponente des elektrischen Feldes,welche mit der Konversionsachse übereinstimmt. Die andere Komponenteverlässt den Kristall unkonvertiert. Bedingt durch die Konversion nur einerPolarisationskomponente der elektromagnetischen Welle, weist diese Kom-ponente gegenüber der anderen erhöhte Verluste auf. Dies führt zu einerfrequenzabhängigen Phasenverschiebung der EM-Welle gegenüber dem Refe-renzstrahl, der vom Einkoppelspiegel (M1) reflektiert wird. Somit entsteht inder Überlagerung beider EM-Wellen eine Welle mit elliptischer Polarisation.

Betrachtet werden sollen nun die Komponenten des elektrischen Feldes derreflektierten EM-Welle E(r)p :

E(r)p = E

(i)p

(√R1 −

T1√R1

Reiδ

1− Reiδ

)(3.59)

= E(i)p

(√R1 −

RT1√R1

cos (δ) − R+ i sin (δ)

(1− R)2 + 4R sin2 (δ/2)

)(3.60)

R1, T1: Reflektivität bzw. Transmission des Einkoppelspiegels (M1)

R < 1: Amplitudenverhältnis des elektrischen Feldes zwischen sukzessivenUmläufen im Resonator, wobei alle Verluste (Spiegel, Kristall, etc.) mitberücksichtigt sind.


Die Amplitude der senkrechten Komponente des elektrischen Feldes der re-flektierten elektromagnetischen Welle lässt sich in erster Näherung mit fol-gendem Ausdruck beschreiben:

E(r)s = E

(i)s

√R1 (3.61)

Ist die Resonanzbedingung des Resonators erfüllt, also δ = 2πm, sind dieKomponenten des Reflektivitäts- und Transmissionskoeffizienten reell unddie Komponenten der reflektierten EM-Welle phasengleich, wobei der reflek-tierte Strahl linear polarisiert verbleibt. Abseits der Resonanz, wenn δ 6= 2πmgilt, erfährt die Parallelkomponente relativ zur senkrechten Komponente derEM-Welle eine frequenzabhängige Phasenverschiebung infolge des Imaginär-teils von E(r)p .

Der nun elliptisch polarisierte, reflektierte Strahl wird durch eine λ/4-Wel-lenplatte in lineare Polarisation überführt und durch einen polarisierendenStrahlteilerwürfel in die einzelnen Komponenten, relativ zur optischen Ach-se der Wellenplatte, aufgeteilt. Diese Strahlen werden nun einzeln auf jeweilseine Photodiode gelenkt mit denen die Intensitäten der einzelnen Polarisati-onskomponenten gemessen werden. Diese Photodioden sind mit einem Ver-stärker verbunden, welcher das Differenzsignal beider Photodioden vergrö-ßert. Dieses ist das Fehlersignal, welches zur Regelung verwendet wird (vgl.Abb. 3.15).

Das Fehlersignal wird einem elektronischen Integrator10 zugeführt, welcherein derartiges Regelsignal erzeugt, dass das Fehlersignal identisch Null ist,sodass der Resonator in diesem Zustand resonant ist. Dieses Regelsignal wirddurch einen Piezotreiber11 verstärkt und dem Piezoaktuator zugeführt.

Das Fehlersignal kann wie in [17] zu

Ia − Ib = I(i)2 cos (θ) sin (θ)T1R sin (δ)

(1− R)24R sin2 (δ/2)(3.62)

berechnet werden. Eine nähere Betrachtung dieser Fehlerfunktion zeigt, dassdas Signal für θ = 45° maximal wird. Abbildung 3.15 zeigt theoretisch Be-rechnete HC-Fehlersignal und den physikalischen Verlauf an dessen Polstelle.Diese Abbildung zeigt des Weiteren, dass beim Nulldurchgang (Resonanzma-ximum des Resonators) des Fehlersignals eine große Steigung vorliegt, welchesich hervorragend für diesen Stabilisierungszweck eignet.

Der große Vorteil des Hänsch-Couillaud-Stabilisierungssystems liegt dar-in, dass es sich relativ leicht und kostengünstig etablieren lässt und es beigrößeren Frequenzexkursionen einen weiten Einfangbereich aufweist.

Experimentelle Realisierung des HC-Stabilisierungssystems

Die im Versuchsaufbau zur Polarisationsspektroskopie verwendeten Photodi-oden wurden hinsichtlich ihrer Funktionsfähigkeit überprüft. Es wurde ein

10 Schaltplan des Integrators im Anhang11 Thorlabs MDT694A


zirkular polarisierter Laserstrahl präpariert, indem der vertikal polarisierteLaserstrahl durch einen polarisierenden Strahlteiler von Fehlpolarisationengereinigt und anschließend durch eine λ/4-Wellenplatte in zirkulare Polari-sation überführt wurde. Anschließend wurde dieser Laserstrahl durch einenpolarisierenden Strahlteiler auf die Photodioden gelenkt. Das Leistungsver-hältnis beider Laserstrahlen wurde im Rahmen der Messgenauigkeit des La-serleistungsmessgerätes zu 397 µW/395 µW bestimmt. Das daraus resultie-rende Differenzsignal (Fehlersignal) der Photodioden entsprach (0± 1) mV.Dies zeigt das ordnungsgemäße Funktionieren der Photodioden und der Dif-ferenzbildung der Signale an.

π

Abbildung 3.15: Abbildung der mathematischen Funktion des HC-Fehlersignals(blau) aus Gl. 3.62. Die rote Linie wurde hinzugefügt, um den tatsächlichen phy-sikalischen Verlauf des Fehlersignals im Bereich der Polstelle anzudeuten.

Abbildung 3.16 zeigt das experimentell aufgenommene HC-Fehlersignal(rote Kurve). Die Messung wurde durchgeführt, indem die Länge des Reso-nators mit dem Piezo durchgescannt wurde. Zu diesem Zweck wurde mitHilfe eines Frequenzgenerators ein Rechtecksignal mit einer Frequenz von600 Hz erzeugt und dem Piezo zugeführt. Diese Rampe ist in der Abbildungals grüne Kurve dargestellt. Zusätzlich dazu wurde auch das transmittierteSignal des Ringresonators bei 411 nm in der blauen Kurve12 dargestellt. Esist gut zu erkennen, dass das Fehlersignal bei der Resonanz das Ringresona-tors, welches am Minimum der blauen Kurve erkannt werden kann, einenNulldurchgang besitzt. Im Bereich um den Nulldurchgang ist die Flanke mithoher Steigung zu sehen, auf deren Nulldurchgang geregelt wird, die jedoch

12 Die blaue Kurve ist aus technischen Gründen invertiert. Das Minimum in der Darstellungentspricht dementsprechend einem Maximum in der Intensität.


- 0 , 0 0 1 2 - 0 , 0 0 0 8 - 0 , 0 0 0 4 0 , 0 0 0 0 0 , 0 0 0 4- 2 , 0

- 1 , 5

- 1 , 0

- 0 , 5

0 , 0

0 , 5

1 , 0 H C - S i g n a l L e i s t u n g 4 1 1 n m

Leistu

ng (b

lau) [V

], Spa

nnun

g (rot

, grün

) [V]

Z e i t [ s ]

- 1

0

1

2

3

4

5

6 R a m p e

Span

nung

Piez

o Sign

al (gr

ün) [V

]

Abbildung 3.16: Experimentell aufgezeichnetes HC-Fehlersignal (rot) und das vomRingresonator transmittierte Licht bei 411 nm, welches mit Hilfe einer Photodiodeaufgenommen wurde (blau, invertiert). Das zum Durchstimmen des Piezos angelegteSignal ist in grün dargestellt.

nicht direkt mit der Emission der zweiten Harmonischen koinzidiert. Dies istvermutlich auf thermische Effekte zurückzuführen (vgl. Abschnitt 3.2.4.1).

Abseits der Flankenregion sind in der roten Kurve Abweichungen vomtheoretisch berechneten Fehlersignal aus Abb. 3.15 erkennbar. Diese Abwei-chungen treten durch Nebenmoden im Ringresonator auf, welche durch ei-ne Verbesserung der Einkoppelung in den Ringresonator nicht weiter unter-drückt werden konnten. Diese Störungen könnten die Funktion des Stabili-sierungssystems beeinträchtigen, da möglicherweise auf einen falschen Null-durchgang geregelt werden könnte, bei welchem der Ringresonator nicht re-sonant ist.

3.2.4.1 Effekt von thermischen Linsen

Bei genaurer Betrachtung des Nulldurchgangs des HC-Fehlersignals und desTransmissionsmaximums des Ringresonators zeigen sich Abweichungen vomtheoretisch erwarteten Fehlersignal. Die Abbildungen 3.17 und 3.18 zeigenvergrößerte Ausschnitte (gelber Rahmen) der Nulldurchgänge des HC-Feh-lersignals aus Abb. 3.16 für eine aufsteigende und absteigende Rampe (grüneKurve) des Piezos.

Es zeigt sich, dass die Nulldurchgänge des HC-Signals bei einer Rampen-richtung neben dem Transmissionsbereich des Ringresonators und bei deranderen Rampenrichtung im Transmissionsbereich liegen. Gerade der ersteFall wäre laut Theorie nicht zu erwarten. Ursächlich für dieses Verhalten ist,dass im Resonanzfall eine hohe Lichtleistung innerhalb des Ringresonators


- 0 , 0 0 0 9 - 0 , 0 0 0 8 - 0 , 0 0 0 7 - 0 , 0 0 0 6

- 1 , 5

- 1 , 0

- 0 , 5

0 , 0


Leistu

ng (b

lau) [V

], Spa

nnun

g (rot

) [V]

Z e i t [ s ]

0

1

2

3 R a m p e

Span

nung

Piez

o Sign

al (gr

ün) [V

]

Abbildung 3.17: Der Nulldurchgang des HC-Fehlersignals (rote Kurve) stimmt nichtmit der Position des Transmissionsmaximums (blaue Kurve, invertiert) des Ringre-sonators bei absteigender Flanke (grün) überein.

- 0 , 0 0 0 2 0 - 0 , 0 0 0 1 5 - 0 , 0 0 0 1 0 - 0 , 0 0 0 0 5

- 1 , 5

- 1 , 0

- 0 , 5

0 , 0


Leistu

ng (b

lau) [V

], Spa

nnun

g (rot

) [V]

Z e i t [ s ]

0

1

2

3

4 R a m p e

Span

nung

Piez

o Sign

al (gr

ün) [V

]

Abbildung 3.18: Der Nulldurchgang des HC-Fehlersignals (rote Kurve) liegt inner-halb des Transmissionsbereichs (blaue Kurve, invertiert) des Ringresonators bei auf-steigender Flanke (grün).


vorhanden ist. Diese hohe Leistung führt zu einer Änderung der optischenWeglänge innerhalb des Resonators durch thermische Ausdehnungseffektedes Kristalls.

Bei ansteigender Rampe, wenn sich der Piezo ausdehnt, wirkt der Effektder thermischen Längenausdehnung in die gleiche Richtung wie die Längen-änderung des Piezos; bei absteigender Rampe dem jedoch entgegen. Diesbedeutet, dass bei ansteigender Flanke die Resonanz des Resonators beschleu-nigt eintreten und bei absteigender Flanke weniger schnell abklingen müsste.Dafür spricht die asymmetrische Form des HC-Fehlersignals. In den betref-fenden Abbildungen sind diese Bereiche durch einen gelben Rahmen mar-kiert. In Abb. 3.17 zeigt sich ein nahezu linear abfallendes HC-Fehlersignal,obwohl es in diesem Bereich wesentlich stärker und nichtlinear abfallen soll-te. Dies spricht für eine anhaltende Resonanz innerhalb des Ringresonatorsmit Frequenzkonversion. Auch die ansteigende Flanke in Abb. 3.18 bestätigtdiese Annahme.

3.2.4.2 Stabilität des HC-Stabilisierungssystems

Der experimentelle Einsatz des frequenzverdoppelten Laserlichts erfordert ei-ne stabile Ausgangsleistung des Frequenzverdoppelungsresonators auf kur-zen, wie auch auf langen Zeitskalen. Die Stabilität der Ausgangsleistungauf kleinen Zeitskalen bis ca. 0,1 s hängt primär von der Qualität des HC-Stabilisierungssystems und dem Intensitätsrauschen des Primärlasers ab.

Das Laserlicht, welches den Ringresonator verlässt, wurde mit Hilfe einerLinse auf eine Photodiode fokussiert. Die Photodiode besitzt eine Bandbrei-te von 2,5 MHz und einen eingebauten Verstärker, damit die Photodioden-spannung proportional zur eingestrahlten Intensität ist. Die Aufnahme derMessdaten erfolgte zeitaufgelöst durch verschiedene Messgeräte.

Zur besseren Beurteilung der Intensitätsstabilität wurde die Allan-Stan-dardabweichung (ADEV) [7], welche als Maß für die Intensitätsstabilität her-angezogen werden kann, für die verschiedenen Messreihen berechnet.

Für die verschiedenen Messreihen sind die Allan-Standardabweichungenin Abb. 3.19 dargestellt. Der Zeitbereich unterhalb von etwa 1 · 10

−6 s soll nichtweiter diskutiert werden, da in diesem Zeitbereich die Bandbreite der Photo-diode bereits überschritten wird und diese nur noch als Tiefpass wirkt. Ober-halb von 1 · 10

−6 s zeigt die ADEV des Intensitätsrauschens des 822 nm La-sers bereits die untere Grenze des relativen Intensitätsrauschens mit 8 · 10

−5 in9 · 10

−3 s.Kurve FFT zeigt bei 0,01 s ein relatives Intensitätsrauschen von 8 · 10

−5 , wo-bei danach eine Intensitätsdrift auftritt. Es sei angemerkt, dass dies die ein-zige Messung ist, welche aus einer spektralen Leistungsverteilung gewonnenwurde. Hierbei wurde das Photodiodensignal in verschiedenen Frequenzbe-reichen von 10 Hz bis 10 kHz und 10 kHz bis 1 MHz mit zwei Spektrumanaly-satoren aufgenommen und verschmolzen. Diese Messreihen wurden anschlie-ßend in eine ADEV umgerechnet. Die Nutzung der zwei verschiedenen Spek-trumanalysatoren in den verschiedenen Frequenzbereichen ist möglicherwei-se für den Sprung in der Kurve bei 7 · 10

−4 s verantwortlich, da in diesemZeitbereich ein Wechsel der Messgeräte erfolgte. Da die Vergleichsmessungen


1 E - 9 1 E - 8 1 E - 7 1 E - 6 1 E - 5 1 E - 4 1 E - 3 0 , 0 1 0 , 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0

1 E - 4

1 E - 3

0 , 0 1

ADEV

∆I/I

t [ s ]

A g i l e n t A g i l e n t A g i l e n t A g i l e n t A g i l e n t A g i l e n t 8 2 2 n m F F T U S B

Abbildung 3.19: Allan-Standardabweichungen des relativen Intensitätsrauschens inAbhängigkeit verschiedener Mittelungszeiten. Die Messreihen mit der Bezeichnung„Agilent“ und die des 822 nm-Lasers wurden mit Hilfe eines Agilent-Speicheroszil-loskopes aufgenommen. Die Messreihe USB wurde mit Hilfe eines A/D-Wandlersam Computer aufgenommen, wohingegen die Messreihe FFT aus Messungen mitSpektrumanalysatoren in verschiedenen Frequenzbereichen gewonnen wurde.


mit dem Speicheroszilloskop (Agilent) eine gute Übereinstimmung mit dieserKurve zeigen, können diese Messungen als konsistent betrachtet werden.

Die Kurve USB zeigt die Messung des Langzeitintensitätsrauschens. DurchExtrapolation der Drift, welche durch die FFT-Kurve dargestellt wird, kannnahezu in den Driftbereich der USB-Kurve übergegangen werden. Dies istjedoch mit Vorsicht zu betrachten, da die USB-Kurve bei einer signifikant hö-heren Leistung des 411 nm Laserstrahls aufgenommen wurde als die übrigenKurven. Dieser Zeitbereich sollte in Zukunft noch weiter untersucht werden.

Aus der Analyse der Messungen lässt sich zusammenfassen, dass das rela-tive Intensitätsrauschen, welches im Millisekundenbereich weit unter einemPromill liegt, für die folgenden Experimente ausreichend ist.

Intensitätsfluktuationen durch Vibrationen

Besondere Beachtung hinsichtlich der Intensitätsstabilität des frequenzver-doppelten Lasers bedarf das Schalten von elektromechanischen Strahlver-schlüssen (Shutter), welche während des Schaltvorgangs Vibrationen auf demoptischen Tisch erzeugen, die den Resonator kurzzeitig instabil machen. InAbb. 3.20 und 3.21 sind beispielhaft zwei dieser Störungsimpulse dargestellt,wobei einer beim Schließen und der andere beim Öffnen des Shutters ent-steht. Die Störungen sind sowohl im HC-Fehlersignal (rote Kurve) als auchim Regelsignal (grüne Kurve) gut zu erkennen. Auch die Leistung des 411 nmLaserstrahls weist sehr starke Leistungsfluktuationen auf. Es kann auch fest-gestellt werden, dass das Öffnen und das Schließen des Shutters unterschied-lich starke und lange Störungen hervorruft.

0 , 1 5 0 , 2 0 0 , 2 5 0 , 3 0 0 , 3 5 0 , 4 0

- 2- 1012345678

H C - F e h l e r s i g n a l R e g e l s i g n a l L e i s t u n g 4 1 1 n m

Leistu

ng (b

lau) [V

], Spa

nnun

g (rot

, grün

) [V]

Z e i t [ s ]

Abbildung 3.20: Störung durch einen schaltenden elektromechanischen Strahlblo-ckierer.


- 0 , 2 0 - 0 , 1 5 - 0 , 1 0 - 0 , 0 5 0 , 0 0

- 2- 1012345678

H C - F e h l e r s i g n a l R e g e l s i g n a l L e i s t u n g 4 1 1 n m

Leistu

ng (b

lau) [V

], Spa

nnun

g (rot

, grün

) [V]

Z e i t [ s ]

Abbildung 3.21: Störung durch einen schaltenden elektromechanischen Strahlblo-ckierer.

Diese Intensitätsfluktuationen sind während des experimentellen Betriebszu vermeiden. Zur Dämpfung dieser Störungen wurde der Strahlblockiererauf einer Sorbotanmatte13 befestigt. Die anschließende Messung, welche inAbb. 3.22 dargestellt ist, konnte bestätigen, dass diese Art der Dämpfungvöllig ausreichend ist, um Intensitätsfluktuationen stark zu unterdrücken. Le-diglich das HC-Fehlersignal zeigt geringe Störeinflüsse durch den Strahlblo-ckierer. Das Regelsignal und die Intensität des 411 nm Laserstrahls zeigen imRahmen der Auflösung des Messgerätes keine Auffälligkeiten.

Zusammenfassend konnte gezeigt werden, dass das HC-Stabilisierungssys-tem dazu geeignet ist, im experimentellen Betrieb eine sichere Stabilisierungdes Ringresonators zu gewährleisten. Sowohl auf kurzen, wie auch auf langenZeitskalen sind die Intensitätsfluktuationen des 411 nm Laserstrahls in einemunkritischen Bereich.

3.3 experimentelle ergebnisse

Die erreichbare maximale Verdoppelungseffizienz ist das Ergebnis der An-passung einer Vielzahl an Parametern und nicht zuletzt einer guten Justagedes Ringresonators. Ziel der Anstrengungen ist es ausreichend Laserleistungin der zweiten Harmonischen zu erhalten, die den experimentellen Bedürf-nissen genügt.

Im Vorfeld der im Folgenden diskutierten Messungen wurde der PPKTP-Kristall bereits temperaturstabilisiert. Hierbei wurde iterativ die Leistung derzweiten Harmonischen im Scanbetrieb des Resonators maximiert, indem ab-

13 Gummimatte der Firma Thorlabs

3.3 experimentelle ergebnisse 51

- 0 , 2 0 - 0 , 1 9 - 0 , 1 8 - 0 , 1 7 - 0 , 1 6 - 0 , 1 5 - 0 , 1 4 - 0 , 1 3 - 0 , 1 2 - 0 , 1 1 - 0 , 1 0- 1 , 0

- 0 , 8

- 0 , 6

- 0 , 4

- 0 , 2

0 , 0

0 , 2

0 , 4

H C - F e h l e r s i g n a l R e g e l s i g n a l ( 7 , 2 5 V a b g e z o g e n ) L e i s t u n g 4 1 1 n m

Leistu

ng (b

lau) [V

], Spa

nnun

g (rot

, grün

) [V]

Z e i t [ s ]

Abbildung 3.22: Störung durch einen schaltenden elektromechanischen Strahlblo-ckierer, welcher durch eine Sorbotanmatte gedämpft wird. Von dem Regelsignal(grün) wurde ein Offset von 7,25 V abgezogen, um eine bessere Auflösung der Dar-stellung zu erreichen. Die Auflösung des Messgerätes beträgt bei der roten Kurve2 mV, bei der grünen Kurve 80 mV und bei der blauen Kurve 4 mV.

wechselnd die Temperatur des Kristalls auf das Leistungsmaximum optimiertund anschließend der Ringresonator nachjustiert wurde. Dies wurde wieder-holt, bis die Leistung der zweiten Harmonischen nicht weiter maximiert wer-den konnte. Die optimale Kristalltemperatur beträgt ca. 45

C. Da der Tempe-ratursensor des Überwachungsthermometers aufgrund von Platzmangel nurunbefriedigend im engen Teflonkasten14 mit dem Heizsystem des Kristallsbefestigt werden kann, ist die angegebene Temperatur als grober Richtwertzu verstehen. Der Temperatursensor für die Temperaturstabilisierung befin-det sich in einer Bohrung des Kupferblocks direkt am Kristall, und ist durchWärmeleitpaste mit dem Kupferblock kontaktiert, sodass eine optimale Wär-meleitung gewährleistet werden kann.

Verdoppelungseffizienz

Darüber hinaus wurden auch alle weiteren Systeme, wie die Injektionsstabili-sierung und das Hänsch-Couillaud-Stabilisierungssystem optimiert und aufFunktion getestet.

Zur möglichst genauen Messung der Laserleistung bei 411 nm wurde derLaserstrahl, welcher den Resonator verlässt, durch einen Infrarotfilter geleitet,welcher die Infrarotanteile um den Faktor 104 abschwächt, da ein unbekann-ter Anteil der Fundamentalwelle aus dem Resonator herauslecken könnte.Die Problematik bei der Verwendung des Filters besteht darin, dass auch

14 Konstruktionspläne im Anhang


0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 00

5

1 0

1 5

2 0

2 5 L e i s t u n g 4 1 1 n m

Leistu

ng 41

1nm

[mW]

Z e i t [ m i n ]

Abbildung 3.23: Zeitlicher Abfall der Laserleistung der zweiten Harmonischen. DieLeistungseinbrüche gehen darauf zurück, dass der Primärlaser zwischenzeitlichnicht stabilisiert war. Diese Messreihe wurde kontinuierlich mit Hilfe eines computer-gestützten Spannungsmessgerätes aufgenommen. Die grüne Linie zeigt die mittlereLeistung am Ende des Versuchs.

20% = (1 − 0, 8) = 0, 2 der zweiten Harmonischen absorbiert wird, welcheden Filter passiert. Es gilt P0 = Pblau + PIR und P1 = 0, 8Pblau + 10−4PIR.Daraus folgt

Pblau =P1 − 10

−4 · P00, 8− 10−4

(3.63)

mit

P0: Gesamtlaserleistung ohne das Filter

P1: Gesamtlaserleistung hinter dem Filter

Es konnte eine Laserleistung bei 411 nm von (24,0± 1,2) mW erreicht werden,bei (60,0± 4,2)mW · 0, 73 = (43,8± 3,0)mW eingekoppelter Leistung undeiner Einkoppeleffizienz von 73% des 822 nm Lasers. Dies entspricht einerVerdoppelungseffizienz von ca. 55%. Diese recht hohe Konversionseffizienzkonnte jedoch nur in Ausnahmefällen nach langer Justage erreicht werden.Im Normalfall können bis zu (16,0± 0,8) mW Laserlicht bei 411 nm gewon-nen werden, was einer Verdoppelungseffizienz von ca. 37% entspricht. ImVergleich zu den theoretischen Berechnungen ist der erste Wert sehr nah ander erwarteten Leistung von 28,5 mW.

Im Langzeitverhalten der Leistung der zweiten Harmonischen ließ sich einkontinuierlicher Abfall feststellen. Dieser Leistungsabfall wurde für verschie-dene Leistungen der zweiten Harmonischen untersucht, indem eine geringere

3.3 experimentelle ergebnisse 53

2 6 0 2 7 0 2 8 0 2 9 0 3 0 0 3 1 0 3 2 0 3 3 0 3 4 0 3 5 01 4

1 5

1 6

1 7

1 8

1 9

2 0Le

istung

411n

m [m

W]

Z e i t [ m i n ]

Abbildung 3.24: Zeitlicher Abfall der Laserleistung der zweiten Harmonischen (Ver-größerung). Der Leistungsabfall beträgt hier ∆P/∆t = −0,032mW/min.

0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0

1 2

1 4

1 6

1 8

2 0

2 2

Leistu

ng [m

W]

Z e i t [ m i n ]

R a m p e H C

Abbildung 3.25: Zeitlicher Abfall der Laserleistung der zweiten Harmonischen. Auf-grund thermischer Effekte im Kristall ist der Leistungseinbruch beim Resonatorscanmit ∆P/∆t = −0,007mW/min weniger stark als während der HC-Stabilisierung mit∆P/∆t = −0,016mW/min.


- 0 , 0 0 1 0 - 0 , 0 0 0 5 0 , 0 0 0 0 0 , 0 0 0 5 0 , 0 0 1 0 0 , 0 0 1 5 0 , 0 0 2 0- 0 , 4 0

- 0 , 3 5

- 0 , 3 0

- 0 , 2 5

- 0 , 2 0

- 0 , 1 5

- 0 , 1 0

- 0 , 0 5

0 , 0 0

0 , 0 5 R e f l e k t i o n s s p e k t r u m 2 6 . 0 3 .

Leistu

ng [V

] (sch

warz)

Z e i t [ s ]

- 0 , 4 5

- 0 , 4 0

- 0 , 3 5

- 0 , 3 0

- 0 , 2 5

- 0 , 2 0

- 0 , 1 5

- 0 , 1 0

- 0 , 0 5

0 , 0 0 R e f l e k t i o n s s p e k t r u m 2 7 . 0 3 .

Leistu

ng [V

] (rot)

Abbildung 3.26: Reflexionsspektren des Resonators an zwei verschiedenen Tagen oh-ne Veränderung der Justage. Beide Reflexionsspektren sind nahezu identisch. EineDejustage durch Temperaturänderungen oder andere Störungen kommt dementspre-chend nicht in Frage.

Leistung der Fundamentalwelle in den Resonator eingestrahlt wurde. In denAbbildungen 3.23, 3.24 und 3.25 ist dieser Leistungsabfall dargestellt.

Bei einer Ausgangsleistung der Frequenzverdoppelung von 16 mW beträgtder Leistungseinbruch ∆P/∆t = −0,032mW/min, wohingegen dieser bei ei-ner Ausgangsleistung von 6,96 mW nur ∆P/∆t = −0,0012mW/min beträgt.Es konnte außerdem festgestellt werden, dass eine mit der Zeit erfolgen-de Dejustage des Resonators, z.B. aufgrund von Temperaturschwankungen,nicht als Grund in Betracht kommt. Die Reflektionsspektren des Ringresona-tors änderten sich durch Temperaturschwankungen im Labor nicht, sodasseine Dejustage ausgeschlossen werden kann. Dies zeigt Abb. 3.26 und sprichtauch dafür, dass die INVAR15-Stahlplatte, auf der die Frequenzverdoppelungaufgebaut wurde, eine horizontale Längenausdehnung der Frequenzverdop-pelung hinreichend verhindert.

Die beobachteten Leistungseinbrüche, insbesondere bei den höheren Leis-tungen der zweiten Harmonischen, könnten im Experiment zu Problemenführen. Offenbar ist nur eine Leistungsreduktion eine praktikable Lösung,wobei hier genau überdacht werden muss, wieviel Leistung bei 411 nm min-destens für das Experiment benötigt wird.

Als Grund für den zeitlichen Leistungseinbruch wurde eine Farbzentrenbil-dung im Kristall identifiziert. Hierauf soll im Kapitel 3.5 näher eingegangenwerden.

15 FeNi36-Legierung, welche bei Raumtemperatur einen sehr niedrigen Wärmeausdehnungsko-effizienten aufweist.

3.4 spektroskopie der atomaren resonanz 55

411 nm AOM

Yb+369 nm

λ/2 λ/4

λ/2

M

GF

PBS1

PBS2

-1. Ord.

P2

P0 P1

Abbildung 3.27: Schematischer Aufbau des AOM im Doppelpass und der Überlage-rung mit dem 369 nm Kühllaser. Linsen und Umlenkspiegel sind zur besseren Über-sichtlichkeit nicht dargestellt. Der 411 nm Laserstrahl verlässt die Frequenzverdoppe-lung (SHG) und passiert einen polarisierenden Strahlteiler (PBS1) und anschließendden AOM. Die -1. Beugungsordnung wird vom Spiegel (M) auf dem gleichen Wegzurückreflektiert. Durch das zweifache Passieren der λ/4 Wellenplatte wurde diePolarisation um 90° gedreht, sodass der Strahl in PBS1 abgelenkt wird. Die Strahl-überlagerung mit dem 369 nm Laser erfolgt in PBS2. Beide Laserstrahlen werden an-schließend über eine Glasfaser (GF) zu den Ionen geleitet. Die Leistungsmesspunktesind mit P0, P1 und P2 bezeichnet.

3.4 spektroskopie der atomaren resonanz

Zur Spektroskopie der Resonanzlinie ist es erforderlich, die Laserfrequenzzu verstimmen. Dies geschieht mit Hilfe von Akusto-Optischen Modulatoren(AOMs). Diese AOMs erzeugen durch periodische Dichteschwankungen ineinem Kristall, welche durch ein Piezo erzeugt werden, ein optisches Gitter.Passiert ein Laserstrahl diesen AOM, wird je nach Beugungsordnung die Fre-quenz, mit der der AOM betrieben wird, auf die Laserfrequenz aufaddiertoder subtrahiert. Das Piezoelement wird mit einer Radiofrequenz (RF) betrie-ben.

Hierzu wurde im Experiment ein AOM mit Mittenfrequenz 200 MHz undeiner Bandbreite von 50 MHz im Doppelpasssystem aufgebaut. Dies bedeutet,dass der Laserstrahl den AOM zweimal durchquert, sodass kein frequenzab-hängiger Strahlversatz auftritt.

Damit der AOM die bestmögliche Beugungseffizienz besitzt, muss eine mi-nimale Strahltaille im AOM mit einer bestimmten Größe erzeugt und derAOM bei einer bestimmten RF-Leistung betrieben werden. Aus den Daten-blättern des AOM16 geht hervor, dass bei einem Strahldurchmesser von 80 µmim Kristall die Beugungseffizienz bei 0,4 W RF-Leistung etwa 85% beträgt.

Um dies zu erreichen, wurde der 411 nm Laserstrahl nach dem Austritt ausdem Resonator zuerst mit Hilfe einer CCD-Kamera vermessen. Diese Mes-sung ergab ein stark divergentes longitudinales Strahlprofil. Hieraus konn-te geschlussfolgert werden, dass der minimale Strahlradius innnerhalb desPPKTP-Kristalls zwischen 17 µm und 20 µm liegt. Verglichen mit dem Reso-natordesign, welches einen minimalen Strahlradius von 26 µm an dieser Stelle

16 Datenblätter im Anhang


vorgibt, ist diese sehr klein. Wahrscheinlich ist das ein weiterer Effekt, der aufthermische Linsen zurückzuführen ist.

Zur Strahlanpassung wurde ein optisches Teleskop aus zwei Linsen aufge-baut, welches die Strahltaille im Kristall auf eine Strahltaille von ca. 40 µm imKristall des AOM abbildet, was sehr nahe am Effizienzmaximum des AOMliegt.

Zur Anpassung der optimalen RF-Leistung des AOM wurde diese bei200 MHz durchgestimmt und die Beugungseffizienz gemessen. Es wurde er-mittelt, dass bei einer RF-Leistung von 0,5 W der AOM am effizientesten arbei-tet. Im Doppelpass durch den AOM beträgt die durchschnittliche Beugungs-effizienz ca. 65%. Die Messergebnisse sind in Tabelle 3.4 aufgelistet.

P0 P1 P2 P2/P0

Messung 1 7,0 mW 5,9 mW 4,6 mW



Mittelwert (7,1± 0,5) mW (6,1± 0,3) mW (4,6± 0,2) mW 0,65± 0,08

Tabelle 3.4: Effizienz des AOM im Doppelpass bei 411 nm. Hierbei wurde das Ver-hältnis aus mittlerer Eingangsleistung P0 zur mittleren Ausgangsleistung P2, nachdem Zweifachdurchgang des AOM, berechnet. P1 ist die Ausgangsleistung nach demEinfachdurchgang des AOM. Die Leistungsmesspunkte sind in Abb. 3.27 eingezeich-net. Der relative Messfehler des verwendeten Laserleistungsmesskopfes beträgt 5%bei 411 nm.

Nach Auskopplung des frequenzverstimmten Laserstrahls erfolgte eine er-neute Strahlformung, um diesen mit dem 369 nm Laserstrahls des Kühllasersfür 172Yb+ zu überlagern und in eine Monomoden-Glasfaser einzukoppeln,welche zur Vakuumkammer mit der Ionenfalle führt.

Zum Auffinden des schmalbandigen 2S1/2 - 2D5/2 Übergangs in 172Yb+ mit22,7 Hz Linienbreite muss die korrekte Verstimmungsfrequenz des AOM er-rechnet werden. Die Frequenz des 822 nm Lasers ist hierfür bereits mit einemFrequenzkamm vermessen worden.

fYb (729,476 869 1± 0,000 000 2) THz [2]

f0 364,738 629 3 THz

AOM 1 200,000 MHz

AOM 2 220,000 MHz

AOM 3 194,750 MHz

Tabelle 3.5: Um den 411 nm Laser auf die Frequenz fYb des 2S1/2 - 2D5/2 Übergangseinzustellen, muss der Primärlaser bei der Frequenz f0 stabilisiert sein, und es müs-sen die RF-Generatoren der AOMs auf die oben genannten Frequenzen eingestelltwerden.

Aus Abb. 3.28 und Tabelle 3.5 geht hervor, dass eine Verstimmung desLaserstrahls an AOM 3 um ∆ν = 2 · 194,75MHz notwendig ist, um die Fre-quenz des Übergangs zu erhalten, wenn der Primärlaser bei 364,738 629 3 THz

3.5 farbzentren in ktp 57

ULE® ResonatorFrequenzkammim Paschen-Bau

AOM 1 2x (-200 MHz)

Primär-LD

Hochl.-LD

SHG

2x (-194,75 MHz)

Yb+

AOM 2 1x (+220 MHz)

AOM 3

Wellenlängen- messgerätf0= 364,7386293 THz

Abbildung 3.28: Schematischer Frequenzplan der AOMs und des Lasers im expe-rimentellen Aufbau. Die Frequenz f0 = 364,738 629 3THz wurde aus der Laserfre-quenz am Frequenzkamm abgeleitet und dient am Wellenlängenmessgerät als Refe-renz.

stabilisiert ist. Somit muss der betreffende Doppelpass-AOM mit 194,75 MHzbetrieben und die -1. Beugungsordnung genutzt werden.

Während eines Versuchsdurchlaufs konnte dieser Übergang testweise an-geregt werden. Dies konnte dadurch verifiziert werden, dass die Ionen haupt-sächlich nach diesem Übergang in den 2F7/2 Dunkelzustand zurückgefallensind und somit nicht mehr sichtbar waren. Aufgrund des Zeeman-Effektes, istder 2S1/2 - 2D5/2 Übergang jedoch stark magnetfeldsensitiv. Da eine Kom-pensation der umliegenden Magnetfelder und des Erdmagnetfelds am Ortder Ionen nicht durchgeführt werden konnte und durch die Bewegungsmo-den der Ionen wahrscheinlich zahlreiche Seitenbänder neben dem Übergangexistierten, war der beobachtete Übergang mehrere Megahertz breit. Genaue-re Experimente sind erst nach dem Aufbau eines Spulensystems möglich, wel-che die umliegenden Magnetfelder kompensieren.

3.5 farbzentren in ktp

In Kapitel 3.1.6 wurden bereits die konversionseffizienzmindernde Effekte,wie die Farbzentrenbildung, erwähnt. Diese wurde auch in diesem Experi-ment festgestellt, welches an den Abbildungen 3.23, 3.24 und 3.25 erkanntwerden kann.

Bei der Farbzentrenbildung (Gray-tracking) handelt es sich um Kristallde-fekte, die durch intensive Laserstrahlung hervorgerufen werden. Diese Defek-te führen zu veränderten Absorptionseigenschaften des Kristalls entlang desLaserstrahls, der diesen durchläuft. Daher der Ausdruck „Gray-tracking“. Eswurde bereits relativ früh beobachtet, dass die Absorption von Laserstrah-lung abhängig davon ist, zu welcher Achse des Kristalls der Laser parallel


polarisiert ist. Es konnte außerdem beobachtet werden, dass die Farbzentren-bildung auch stattfindet, wenn der Kristall einem äußeren elektrischen Feldausgesetzt wird. Sowohl die Farbzentrenbildung durch äußere elektrische Fel-der, als auch durch Laserstrahlung könnten ursächlich sein. Durch parama-gnetische Elektronenresonanztomographie wurden Ti3+-Ionen, die ein Elek-tron einfangen, als Bildner der Farbzentren ermittelt [18]. Des Weiteren konn-te durch Röntgenuntersuchungen festgestellt werden, dass Farbzentren me-chanische Verspannungen im Kristallgitter erzeugen. Gerade das Kalium-Ionkann unter Einfluss eines elektrischen Feldes entlang der z-Achse diffundie-ren [19].

Es konnte darüber hinaus festgestellt werden, dass nicht die Fundamen-talwelle für die Farbzentrenbildung verantwortlich ist, sondern die zweiteHarmonische [20].

Hinsichtlich der Ursachen der Farbzentrenbildung und dessen Vermeidungwird zu Zeit noch aktiv Forschung betrieben. Es werden Herstellungsverfah-ren entwickelt, die KTP-Kristalle weniger anfällig für die Farbzentrenbildungmachen. Es wurden daher in der Vergangenheit sehr viele Experimente durch-geführt um die Schwellintensität eines Laserstrahls zu ermitteln, ab welcherdiese Farbzentrenbildung auftritt. Die meisten Messungen wurden allerdingsmit Pulslasern durchgeführt und nicht mit Dauerstrichlasern. Pulslaser wei-sen eine kurzzeitig sehr hohe Spitzenintensität von mehr als 100 MW cm−2

auf. Dauerstrichlaser hingegen zeigen um Größenordnungen niedrigere Leis-tungsdichten. Es wird vermutet, dass nicht die Spitzenintensität für die Farb-zentrenbildung verantwortlich ist, sondern die mittlere Leistungsdichte. Hier-bei wird eine Schwelle von ca. 16 kW cm−2 [21] bzw. 26 kW cm−2 [22] angege-ben.

Im Folgenden soll nun die Leistungsdichte der zweiten Harmonischen imPunkt des minimalen Strahlradius im Inneren des Kristalls für das vorlie-gende Experiment für verschiedene Fälle abgeschätzt werden. Wie bereits inKapitel 3.2 berechnet wurde, beträgt der minimale Strahlradius im Kristallw0 = 26µm. Es wird dabei angenommen, dass der Strahl keinen Astigma-tismus aufweist, also kreisrund ist, was für eine grobe Leistungsdichteab-schätzung gerechtfertigt ist. Die Leistungsdichteabschätzung soll für zweiFälle durchgeführt werden: für eine Laserleistung bei 411 nm von 24 mW und16 mW:

L1 =24mW

2π · (26µm)2= 0,565 kW/cm2 (3.64)

L2 =16mW

2π · (26µm)2= 0,377 kW/cm2 (3.65)

Beide Leistungsdichten liegen bei Weitem unter der von [21] angegebenenSchwell-Leistungsdichte von 16 kW cm−2. Es zeigt sich in diesem Experimentselbst bei diesen geringen Leistungsdichten Farbzentrenbildung.

In Zukunft könnte auch ein Vergleich der Geschwindigkeiten der zeitlichenLeistungsabnahme der zweiten Harmonischen mit den Werten aus den vor-liegenden Arbeiten durchgeführt werden. Des Weiteren könnte untersucht

3.5 farbzentren in ktp 59

werden, ob die Laserleistung der zweiten Harmonischen, wie in [23] beschrie-ben wurde, asymptotisch einer Sättigungsleistung entgegenstrebt. In den ei-genen Experimenten konnte dies bisher nicht beobachtet werden. Dazu wer-den möglicherweise längere Messzeiten benötigt.

Damit im Laufe der Zeit die Farbzentrenbildung den Kristall nicht zu sehrschädigt, sodass dieser noch möglichst lange dem Experiment zur Verfügungsteht, wurde die Laserleistung der zweiten Harmonischen auf unter 15 mWbegrenzt.

Eine weitere Möglichkeit wäre eine Regeneration des Kristalls anzustreben,wie es in [23] untersucht wurde. Hierbei wurde der Kristall auf ca. 100

C bis150

C erhitzt. Die Farbzentren ließen sich dadurch vollständig ausheilen. Fürden in diesem Experiment verwendeten Kristall müsste geprüft werden, obeine derartige Technik durchgeführt werden könnte. Diese Prozedur würdesich zu dem Zeitpunkt anbieten, an dem der Kristall soweit durch Farbzen-tren geschädigt ist, dass ein Verschieben des Kristalls keine Leistungsverbes-serung mehr ergibt.

Teil II

I O N E N M O D E N U N D K R I S TA L L D E F E K T E

4I O N E N M O D E N

Im zweiten Teil dieser Arbeit sollen nun näher Schwingungsmoden, Phasen-übergänge und Defekte („Kinks“) von Coulombkristallen untersucht werden.Im Temperaturbereich von wenigen mK, in der der Coulombkristall im aus-kristallisierten Zustand vorliegt und kBT hωz (Quantenlimit) [24] gilt, bil-den sich, durch die gegenseitige Kopplung über die Coulombkraft, Schwin-gungsmoden der Ionen im Kristall aus. Darüber hinaus können auch äuße-re elektrische Felder und Gradienten diese Moden anregen. Die Anzahl derSchwingungsmoden ist 3N bei der Ionenzahl N. In einer linearen Paulfalle,welche im folgenden Unterkapitel 4.1 näher beschrieben wird, können dieseModen in axiale und radiale Eigenmoden separiert werden.

Die Kenntnis des Frequenzspektrums der Ionenmoden eines Coulombkris-talls ist eine Notwendigkeit für die hochauflösende Spektroskopie der ein-zelnen Seitenbänder auf dem 2S1/2 - 2D5/2 Übergang, welche durch dieseSchwingungen entstehen. Dies ist ein Schritt auf dem Weg zur Seitenband-kühlung des Coulombkristalls, welche nur innerhalb des Lamb-Dicke Regi-mes erfolgen kann.

Nicht nur für das Seitenbandkühlen, sondern auch für den sympatheti-schen Kühlprozess, kann die Betrachtung der Modenspektren nützlich sein.Da dieser auf der Coulomb-Kopplung der Ionen untereinander beruht, kön-nen die unterschiedlichen Kopplungsstärken im Coulombkristall berechnetund das sympathetische Kühlen damit optimiert werden.

Darüber hinaus sind diese Informationen hilfreich zur Massebestimmungvon Molekülionen, die in der Ionenfalle spontan entstehen können. In diesemFall fungiert die Ionenfalle als Massenspektrometer und über die gemessenenSchwingungsfrequenzen lassen sich Rückschlüsse auf die Masse der beteilig-ten Partikel schließen.

4.1 die lineare paulfalle

Die Paulfalle ist eine Apparatur zur Speicherung von geladenen Partikeln mit-tels eines elektrischen Wechselfeldes. In diesem Zusammenhang soll auf einelineare Paulfalle, wie diese in Abb. 4.1 dargestellt ist, näher eingegangen wer-den. Die lineare Paulfalle besteht aus sechs Elektroden. Zwei RF-Elektroden,zwei DC-Elektroden und zwei Masse-Elektroden. Innerhalb dieser Elektro-denanordnung werden die geladenen Partikel gefangen. Die Funktionsweiseder linearen Paulfalle soll nun überblicksartig dargestellt werden. Für detail-liertere Informationen sei auf die Fachliteratur, wie z.B [25], verwiesen.Geladene Teichen erfahren in einer Paulfalle das Potenzial

Φ(~r, t) =x2 − y2

2r20Urf︸︷︷︸

Φrf

cos(Ωrft) +κUdc

r20

(z2 −

1

2(x2 + y2)

)︸︷︷︸

Φdc

, (4.1)

63

64 ionenmoden

z

x

y

Abbildung 4.1: Schematische Abbildung einer linearen Paulfalle bestehend aus denRF-Elektroden (rot), den Masse-Elektroden (schwarz) und den DC-Elektroden (blau).Die gefangenen Partikel (grün) befinden sich innerhalb dieser Elektrodenanordnung.

mit

r0: Abstand gegenüberliegender Elektroden

Ωrf: radiale Fallenfrequenz

κ: Geometriefaktor

Urf: RF-Spannung

Udc: DC-Spannung

Φrf: RF-Potenzial

Φdc: DC-Potenzial

welches eine Superposition aus RF-Potenzial und DC-Potenzial ist. Hierauslässt sich das effektive Potenzial

Φeff ≈ q~∇Φrf · ~∇Φrf4mΩ2rf

=qU2rf

4mΩ2rfr40

(x2 + y2) (4.2)

durch zeitliche Integration des Wechselfeldes über eine Periode mit der Teil-chenmasse m und der Teilchenladung q angeben. Dies wird auch das pon-deromotive Potenzial genannt. Das axiale und radiale Potenzial können alsharmonisches Potenzial der Form

Φ(z) =1

2mω2zz

2 (4.3)

bzw.

Φ(r) =1

2mω2rr

2 (4.4)

mit ωz der axialen bzw. ωr der radialen Fallenfrequenz und r2 = x2 + y2

angegeben werden. Aus Gl. 4.1, 4.2 und 4.3 folgt durch Koeffizientenvergleich

ωz ∝1√m

und (4.5)

ωr ∝1

m. (4.6)

4.2 axiale ionenmoden 65

4.2 axiale ionenmoden

Die Wechselwirkung der Ionen untereinander sollen im Folgenden anhand ei-ner linearen Ionenkette, bestehend aus N Ionen mit unterschiedlichen MassenM und m, untersucht werden. Hierbei soll zunächst auf die axialen Ionenmo-den eingegangen werden. Eine detaillierte Herleitung ist in [26] zu finden.Das axiale Potenzial ist hierbei

Φ(z) =1

2mω2zz

2 =1

2qa0z

2 , (4.7)

welches im Folgenden in dieser leicht modifizierten Form nach [26] benutztwird. Hierbei sei a0 eine Konstante.

In der eindimensionalen Betrachtung ergibt sich die potentielle Energieder Ionenkette aus zwei zu addierenden Beiträgen, dem Beitrag des DC-Potenzials entlang der z-Achse und der Coulomb-Wechselwirkung der Ionenuntereinander:

V(z1, ..., zn) = VDC + VC =1

2qa0

N∑i=1

z2i +q2

8πε0

N∑i,j=1i 6=j

1∣∣zi − zj∣∣ (4.8)

Dabei geben die zi die Koordinaten der einzelnen Ionen in der Ionenkette an,so wie es in Abb. 4.2 dargestellt ist.

nM1 N

Abbildung 4.2: Eine lineare Kette aus Ionen der Masse m aufgereiht auf der Fallen-achse z. Die Ionen sind von 1 bis N durchnummeriert. nM gibt dabei die Nummereines Ions mit der Masse M an.

Durch Minimierung der potenziellen Energie, s. Gl. 4.8, können nun dieGleichgewichtspositionen der Ionen berechnet werden. Um allgemein unddimensionslos zu rechnen wird die Längenskala l mit

l3 =q

4πε0a0(4.9)

eingeführt, um die normalisierte Ionenposition

ui =zil

(4.10)

66 ionenmoden

zu erhalten. Damit ergibt sich das folgende Gleichungssystem für die norma-lisierten Ionenkoordinaten ui:

ui −

i−1∑j=1

1

(ui − uj)2+

N∑j=i+1

1

(ui − uj)2= 0 mit i = 1, ...,N (4.11)

Dieses Gleichungssystem ist nur bis N = 3 analytisch lösbar, sodass die Be-rechnung der Ionenpositionen numerisch erfolgen muss. Wie leicht an denGleichungen 4.8 und 4.11 erkannt werden kann, liegt keine Masseabhängig-keit der potentiellen Energie und somit der Gleichgewichtspositionen der Io-nen vor. Lediglich die Ladung der beteiligten Ionen hat Auswirkung auf dieGleichgewichtspositionen.

Durch die intrinsische Temperatur der Ionen, führen diese Nullpunktsbe-wegungen um ihre Gleichgewichtspositionen aus. Dies kann man durch zeit-abhängige Koordinaten der Ionenpositionen beschreiben:

zi(t) = lui + qi(t) . (4.12)

qi(t) beschreibt dabei eine geringe Auslenkung aus der Gleichgewichtsposi-tion, sodass die störenden Kräfte linearisiert werden können. Der Lagrange-Operator für diese kleinen Oszillationen ist [26]

L =m

2

N∑i=1i 6=nM

q2i +M

2q2nM −

1

2

N∑i,j=1

∂2V

∂zi∂zj

∣∣∣∣qi=0

qiqj (4.13)

=m

2

N∑i=1i 6=nM

q2i +M

2q2nM −

1

2qa0

N∑i,j=1

Aijqiqj (4.14)

mit der Konvention, dass nM den Index eines schwereren Ions angibt, sowie

Aij =

1+ 2

∑Nk=1,k6=i

1

|ui−uk|3 i = j

−2 1

|ui−uj|3 i 6= j

(4.15)

Sei nun T = ωzt die normalisierte Zeit mit ωz =√qa0/m, der axialen Ionen-

fallenfrequenz. Das Massenverhältnis beider Ionenspezies sei µ =M/m unddie normalisierte Amplitude der Ionenschwingungen qi(t) sei Qi = qi

√qa0

für i 6= nM und QnM = qnM√qa0µ für i = nM. Somit lässt sich der

Lagrange-Operator (Gl. 4.13) vereinfachen zu

L =1

2

N∑i=1

(dQidT

)2−1

2

N∑i,j=1

A ′ijQiQj (4.16)

4.2 axiale ionenmoden 67

mit

A ′ij =

Aij i, j 6= nMAij√µ i oder j = nM, i 6= j

Aijµ i = j = nM

(4.17)

Das Lösen der Eigenwertgleichung

A ′ ·~v(k) = ζ2k ·~v(k) ,k = 1, ...,N (4.18)

ergibt die Eigenwerte ζk, die auf ωz normalisierten Frequenzen der axialenOszillationen mit ωk = ζkωz und die orthonormale Eigenvektoren ~v(k), wel-che die normalisierten Amplituden der axialen Oszillationen Qi(t) sind.

Die axialen Schwingungsmoden zeigen verschiedene Muster. In Abb. 4.3sind beispielhaft die ersten drei bzw. fünf Schwingungsmoden für die Io-nenzahl N = 3 und N = 5 aufgezeigt, wobei die Frequenzen der jeweiligenSchwingungsmoden von unten nach oben ansteigen. Das bedeutet, dass bei-spielsweise die 2. Mode immer eine höhere Frequenz hat als die 1. Mode, die3. eine höhere als die 2., usw.

← ← ← ← ←

←← → →

→→ ← ← ←

← ←→ →

→ → →← ←

← ← ←

←

← ←

→

→

N=3

N=5

k=1

k=2

k=3

k=4

k=5 ω

Abbildung 4.3: Axiale Ionenmoden für N = 3 Ionen und N = 5 Ionen, angeordnetvon unten nach oben mit aufsteigender Frequenz.

Abbildung 4.4 zeigt die axialen Modenfrequenzen für jedes einzelne 172Yb+

Ion bei einer axialen Fallenfrequenz von ωz = 2π · 170 kHz. Dabei wird demCoulombkristall sukzessive jeweils ein weiteres Yb-Ion hinzugefügt, sodassdie Änderungen der Eigenmodenfrequenzen verglichen werden können. Fürden Coulombkristall, der ausschließlich aus sieben Yb-Ionen besteht, ergibtsich ein relativ homogenes axiales Frequenzspektrum. Mit zunehmender An-zahl Ionen steigt die Frequenz der hinzukommenden Schwingungsmoden an.

68 ionenmoden

Generell folgt aus der Berechnung der Eigenwerte für die axialen Modenfre-quenzen

ωk=1 =√1 ·ωz

ωk=2 =√3 ·ωz

ωk=3 =√5, 8 ·ωz

ωk=4 =√9, 4 ·ωz

ωk=5 =√13, 6 ·ωz

ωk=6 =√18, 3 ·ωz

ωk=7 =√23, 7 ·ωz

......

Im hier betrachteten Fall, s. Abb. 4.4, können die einzelnen Modenfrequen-zen klar voneinander abgegrenzt werden und weisen einen Abstand von min-destens 100 kHz zueinander auf.

Im nächsten Fall sollen nun zwei Yb-Ionen durch In-Ionen ersetzt werden.Abbildung 4.5 zeigt diesen Fall für verschiedene Positionen der In-Ionen, wel-che entlang der Abszisse des Diagramms aufgezeigt sind.

Es zeigt sich, dass sich die Schwingungsfrequenzen der Eigenmoden gutvoneinander abgrenzen. Selbst sehr eng benachbarten Moden liegen mehr als50 kHz auseinander, sodass diese mit dem Spektroskopielaser ohne Weiteresaddressiert und aufgelöst werden können. Somit kann davon ausgegangenwerden, dass die axialen Ionenmoden für die Spektroskopie handhabbar sind.

4.3 radiale ionenmoden

Da die gefangenen Ionen nicht nur Bewegungen in der Fallenachse ausführen,sondern auch senkrecht zu dieser, können sich auch radiale Schwingungs-moden ausbilden. Im folgenden Unterkapitel soll nun eine Betrachtung derradialen Ionenmoden analog zu [27] erfolgen.

Sei ε = ωr0/ωz, sodass ωx = ωz√ε2 − 1/2 gilt. Hierbei ist

ωr0 ∝ q/(√2Ωrfm) (4.19)

die „reine“ radiale Fallenfrequenz, für ein vernachlässigbares axiales Potenzi-al. Dabei wird von dem Lagrange-Operator

L =1

2

N∑i=1

(dXidT

)2−1

2

N∑i,j=1

B ′ijXiXj (4.20)

ausgegangen. Hierbei sind Xi = xi√qa0 für i 6= nM und XnM = xi

√qa0µ

die normalisierten Schwingungsamplituden der Ionen entlang der x-Achse.

4.3 radiale ionenmoden 69

1 2 3 4 5 6 71 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

5 0 0

6 0 0

7 0 0

8 0 0

9 0 0

1 7 0 1 7 0 1 7 0 1 7 0 1 7 0 1 7 0 1 7 0

2 9 4 , 4 4 9 2 9 4 , 4 5 3 2 9 4 , 4 4 9 2 9 4 , 4 4 9 2 9 4 , 4 4 7 2 9 4 , 4 5 4

4 0 9 , 4 2 2 4 0 9 , 7 6 6 4 1 0 , 0 4 4 1 0 , 2 4 4 4 1 0 , 4 5 9

5 1 8 , 6 6 3 5 1 9 , 3 2 7 5 1 9 , 8 5 5 5 2 0 , 3 5 9

6 2 4 , 0 3 9 6 2 4 , 9 4 8 6 2 5 , 7 3 6

7 2 6 , 5 6 6 7 2 7 , 6 6

8 2 6 , 8 4 4Fre

quen

z [kH

z]

A n z a h l I o n e n

Abbildung 4.4: Frequenzen der axialen Ionenmoden von bis zu sieben Yb-Ionen,die sukzessive dem Coulombkristall hinzugefügt werden. Hierbei wurde eine axialeFallenfrequenz von ωz = 2π · 170 kHz angenommen.

Y b - Y b - Y b - Y b - Y b - I n - I n

Y b - Y b - Y b - I n - Y b - Y b - I n

I n - Y b - Y b - Y b - Y b - Y b - I n

Y b - I n - Y b - Y b - Y b - I n - Y b

Y b - Y b - I n - I n - Y b - Y b - Y b

Y b - Y b - Y b - I n - I n - Y b - Y b - Y b

2 0 0

4 0 0

6 0 0

8 0 0

1 0 0 0

1 2 0 0

8 4 1 , 2 5

9 2 7 , 6 1 7

8 2 7 , 0 8 7 8 4 6 , 7 3 3

9 7 6 , 4 1 6

8 8 1 , 3 2 7

7 7 5 , 2 2 47 2 9 , 4 2 7 3 1 , 0 1 5

7 9 7 , 7 2 2 7 7 8 , 6 7 37 4 4 , 8 2 2

6 6 8 , 9 1 4 6 5 5 , 9 1 6 4 3 , 5 5 3

7 1 1 , 5 4 76 5 4 , 0 2 1 6 5 9 , 5 6 4

5 4 9 , 4 3 9 5 4 6 , 1 5 3 5 6 3 , 6 8 2 5 5 6 , 7 7 5 3 3 , 2 6 8 5 2 4 , 7 9 4

4 4 0 , 0 0 6 4 4 8 , 1 2 6 4 6 5 , 4 3 14 1 0 , 5 8 3 4 3 0 , 1 2 3 4 2 9 , 7 1 7

3 2 0 , 9 8 1 3 1 0 , 9 2 3 3 3 0 , 9 0 4 3 0 6 , 9 9 8 2 9 5 , 9 5 6 2 9 4 , 9 2 3

1 7 7 , 8 4 1 7 8 , 2 6 1 7 8 , 2 2 1 1 7 8 , 4 8 3 1 7 8 , 3 4 7 1 7 7 , 2 7

1 0 9 6 , 6 9

Frequ

enz [

kHz]

I o n e n k o n f i g u r a t i o nAbbildung 4.5: Frequenzen der axialen Ionenmoden für einen gemischten Coulomb-kristall aus fünf Yb- und zwei In-Ionen. Hierbei wurde ωz = 2π · 170 kHz angenom-men. Ein erweiterter Graph mit weiteren Ionenkonfigurationen befindet sich im An-hang. Die letzte angegebene Konfiguration zeigt zum Vergleich eine symmetrischeKonfiguration des Coulombkristalls aus sechs Yb-Ionen und zwei In-Ionen.

70 ionenmoden

Damit ergeben sich die folgenden Matrizen, deren Lösung analog zu denender axialen Ionenmoden in Abschnitt 4.2 erfolgt:

B ′ij =

Bij i, j 6= nMBij√µ i oder j = nM, i 6= j

Bijµ i = j = nM

(4.21)

Bij =

ε2 − 1

2 −∑Nk=1,k6=i

1

|ui−uk|3 i = j, j 6= nM

ε2

µ −∑Nk=1,k6=i

1

|ui−uk|3 i = j = nM

1

|ui−uj|3 i 6= j

(4.22)

Auch für die radialen Moden gibt es unterschiedliche Schwingungsformen.Diese sind in Abb. 4.6 dargestellt.

↑ ↑ ↑↓ ↓

↓ ↓↑ ↑

↑ ↑ ↑↓ ↓

↓ ↓↑↑

↑ ↑ ↑ ↑ ↑

N=3

N=5k=5

k=4

k=3

k=2

k=1↑ ↑↓

↓↑

↑ ↑ ↑

ω

Abbildung 4.6: Radiale Ionenmoden für Ionenzahl N = 3 und N = 5.

Beispielhaft seien in den Abbildungen 4.7, 4.8 und 4.9 auch experimentellaufgenommene Bilder der radialen Schwingungsmoden von drei Yb-Ionenabgebildet1, bei denen sich die Schwingungsamplituden mit den dazugehöri-gen Eigenvektoren vergleichen lassen.

Die Radialmodenfrequenzen eines nur aus Yb-Ionen bestehenden Coulomb-kristalls zeigen, wie die axialen Modenfrequenzen, ein ziemlich homogenesModenspektrum, welches in Abb. 4.10 abgebildet ist. Mit jedem weiteren Ionkommt eine weitere Ionenmode hinzu, deren Frequenz jedoch niedriger liegtals die vorherige (vgl. axiale Ionenmoden). Die jeweils höchsten Modenfre-quenzen besitzen zueinander stets den geringsten Abstand. Bei einem Cou-lombkristall mit sieben Yb-Ionen und den angegebenen Parametern beträgt

1 Messung: Karsten Pyka, 16. Februar 2012


Abbildung 4.7: „Common-Mode“: Alle Ionen schwingen phasengleich mit identi-scher Amplitude. Amplituden-Eigenvektor: (1,1,1).

Abbildung 4.8: „Stretch-Mode“: Während das mittlere Ion stillsteht, schwingen dieanderen zwei Ionen gegenphasig mit gleicher Amplitude. Amplituden-Eigenvektor:(1,0,-1)

dieser Abstand etwa 20 kHz und ist somit, so wie die Axialmodenfrequenzen,für die Spektroskopie in einem unkritischen Bereich.

Die Betrachtung der Radialmodenfrequenzen für einen Coulombkristallaus fünf Yb- und zwei In-Ionen zeigt ein qualitativ sehr inhomogenes Mo-denspektrum. Je weiter das eine In-Ion in der Mitte platziert wird, destogeringer wird der Frequenzabstand einiger Radialmoden. Befindet sich einIn-Ion direkt in der Mitte des Coulombkristalls und eines ganz außen, so be-finden sich die zwei am nächsten zueinander liegenden Radialmoden geradein einem Abstand von ca. 6 kHz.

Sehr kritisch ist offenbar die Konfiguration, wenn beide In-Ionen sich je-weils an einem Ende des Coulombkristalls befinden. Hierbei verringert sichder Modenabstand auf 570 Hz.

Wird nun zusätzlich das zweite In-Ion umpositioniert und die Ionenan-ordnung im Kristall so gewählt, dass die In-Ionen immer symmetrisch zurKristallmitte angeordnet sind, zeigt sich sogar eine enge Überlagerung vonmehreren Moden in verschiedenen Frequenzbereichen mit einem Modenab-stand von nur wenigen 100 Hz.

Die geringen Frequenzdifferenzen erschweren die Unterscheidung dieserModen und könnten Probleme beim Auflösen der einzelnen Moden hervor-rufen.

Darüber hinaus besteht die Gefahr, das Lamb-Dicke-Regime zu verlassen,sodass die Kopplung durch ein äußeres elektrisches Feld der internen elektri-

Abbildung 4.9: „Egyptian-Mode“: Das mittlere Ionen schwingt gegenphasig zu denäußeren Ionen mit der doppelten Amplitude. Amplituden-Eigenvektor: (1,-2,1)

72 ionenmoden

Mode νk experimentell νk theoretisch

k=1 (181± 1) kHz 182,0 kHz

k=2 (193,6± 0,3) kHz 193,3 kHz

k=3 (200,7± 0,3) kHz 201,0 kHz

Tabelle 4.1: Messung der radialen Modenfrequenzen an drei Yb-Ionen bei νr =

(201± 1) kHz und νz = (55± 5) kHz. Den berechneten Frequenzen liegt νr =

201 kHz und νz = 55 kHz zugrunde.

schen Zustände und der Bewegungszustände des Ions bzw. der Ionen nichtmehr hinreichend klein ist [28, 29].

Das Lamb-Dicke-Regime zeichnet sich dadurch aus, dass die spontane Emis-sion eines Photons, welches durch den elektronischen Übergang des Ionserfolgt, nicht dessen Bewegungszustand durch Impulsübertrag ändert. DasQuadrat des Lamb-Dicke-Parameters η2 kann im Grundzustand, für die Be-wegungsquantenzahl n = 0, als Verhältnis von der Rückstoßfrequenz ωrec,welche als Maß für die Impulsänderung bei Emission eines Photons aufge-fasst werden kann, zur quantisierten Energiedifferenz des harmonischen Os-zillators, welches in diesem Fall durch die Frequenz ωr ausgedrückt wird,beschrieben werden. Es gilt

η2 · (2n+ 1) = ωrec/ωr 1. (4.23)

Die Ionenkonfiguration, die hinsichtlich ihres Modenspektrums am wenigs-ten Probleme bereiten sollte, ist die Erste in Abb. 4.11, in welcher beide In-Ionen an einer Außenposition an der selben Seite des Coulombkristalls posi-tioniert sind.

Hier zeigt sich, dass im Falle der Radialmodenstruktur ein besonderesAugenmerk auf die Konfiguration des Coulombkristalls zu richten ist, dadie Mehrheit der Ionenkonfigurationen zu einer ungünstigen Modenstrukturführt.

Um dieser Problematik zu begegnen, würde es sich anbieten Prozeduren zuentwickeln, mit denen eine gewünschte Ionenkonfiguration gezielt präpariertund stabilisiert werden kann.

4.3.0.3 Säkularfrequenzmessungen

Die korrekte Funktionsweise des Berechnungsprogramms für das Moden-spektrum konnte, durch den Vergleich mit experimentell ermittelten Frequen-zen2 der radialen Schwingungsmoden, verifiziert werden. Tabelle 4.1 zeigtdie experiementell bestimmten und berechten Modenfrequenzen für drei Yb-Ionen. Es zeigt sich, dass diese im Rahmen der Fehlergrenzen übereinstim-men.

Es sei an dieser Stelle angemerkt, dass darüber hinaus weitere Messun-gen mit Coulombkristallen aus einem Molekülion und mehreren Yb-Ionen

2 Messungen: Karsten Pyka, Februar 2012.


1 2 3 4 5 6 75 5 0

6 0 0

6 5 0

7 0 0

7 5 0

8 0 0 8 0 0 8 0 0 8 0 0 8 0 0 8 0 0 8 0 0 8 0 0

7 8 1 , 7 2 9 7 8 1 , 7 2 8 7 8 1 , 7 2 9 7 8 1 , 7 2 9 7 8 1 , 7 2 9 7 8 1 , 7 2 8

7 5 5 , 4 0 5 7 5 5 , 3 1 2 7 5 5 , 2 3 8 7 5 5 , 1 8 2 7 5 5 , 1 2 4

7 2 1 , 0 7 2 7 2 0 , 8 3 3 7 2 0 , 6 4 2 7 2 0 , 4 6 1

6 7 8 , 0 4 6 7 7 , 6 2 1 6 7 7 , 2 5 7

6 2 4 , 9 0 1 6 2 4 , 2 6 4

5 5 9 , 1 2

Frequ

enz [

kHz]

A n z a h l I o n e n

Abbildung 4.10: Frequenzen der radialen Ionenmoden von bis zu sieben Yb-Ionen,die sukzessive dem Coulombkristall hinzugefügt werden. Hierbei wurde eine radialeFallenfrequenz von ωr = 2π · 800 kHz und eine axiale Fallenfrequenz von ωz =

2π · 170 kHz angenommen.

Y b - Y b - Y b - Y b - Y b - I n - I n

Y b - Y b - Y b - I n - Y b - Y b - I n

I n - Y b - Y b - Y b - Y b - Y b - I n

Y b - I n - Y b - Y b - Y b - I n - Y b

Y b - Y b - I n - I n - Y b - Y b - Y b

Y b - Y b - Y b - I n - I n - Y b - Y b - Y b5 5 06 0 06 5 07 0 07 5 08 0 08 5 09 0 09 5 0

1 0 0 01 0 5 01 1 0 01 1 5 01 2 0 0

1 1 7 8 , 6 1 1 1 6 4 , 6 5 1 1 6 4 , 8 5

1 1 2 0 , 1 11 1 4 0 , 1 6

1 0 2 3 , 0 9

1 0 9 9 , 2 31 0 8 2 , 8 7

1 1 6 4 , 2 8

1 1 1 6 , 7 7

1 0 1 5 , 1

9 6 1 , 8 8 7

7 9 1 , 8 4 5 7 8 2 , 0 9 7 8 5 , 1 5 87 5 7 , 9 8 2

7 8 2 , 1 4 2 7 7 9 , 4 27 5 4 , 4 3 4

7 3 7 , 4 0 2 7 3 8 , 2 1 37 5 7 , 5 9 1

7 7 3 , 7 5 8 7 7 7 , 5 6 5

7 0 1 , 6 2 87 1 9 , 2 0 1

6 8 4 , 0 4 4

7 5 2 , 4 7 47 1 9 , 1 6 9 7 0 6 , 8 7 5

6 3 6 , 5 5 2 6 2 5 , 0 8 2 6 2 5 , 7 6 56 5 6 , 8 6

6 8 4 , 2 9 67 0 4 , 2 7 7

5 6 2 , 1 3 1

6 1 8 , 6 0 1

5 5 9 , 2 6 1 5 6 5 , 7 6 9

6 2 1 , 1 2 95 8 7 , 3 0 55 8 4 , 4 3 4

Frequ

enz [

kHz]

I o n e n k o n f i g u r a t i o nAbbildung 4.11: Frequenzen der radialen Ionenmoden für einen gemischten Cou-lombkristall. Hierbei wurde ωr = 2π · 800 kHz und ωz = 2π · 170 kHz angenommen.Ein erweiterter Graph mit weiteren Ionenkonfigurationen befindet sich im Anhang.Die letzte angegebene Konfiguration zeigt zum Vergleich eine symmetrische Konfi-guration des Coulombkristalls aus sechs Yb-Ionen und zwei In-Ionen.

74 ionenmoden

durchgeführt wurden. Ziel ist die Identifikation des unbekannten Molekül-ions. Hierbei ist nur bekannt, dass es sich um ein Reaktionsprodukt mit Ybhandeln muss, wobei als Reaktionspartner nur Restgase (Wasserstoff, Sauer-stoff) oder Wasser aus der Vakuumkammer in Frage kommen. Hierbei wur-den wiederum die experimentell gemessenen Frequenzen mit berechnetenFrequenzen für verschiedene Massen des Molekülions verglichen. Es konntegezeigt werden, dass es sich bei den Molekülionen um YbO+ oder YbOH+

handeln muss. Eine genauere Unterscheidung der zwei Molekülionen konnteaufgrund der Fehlergrenzen nicht erfolgen.

Dies zeigt, dass das Programm zur Berechnung der Ionenmodenfrequen-zen auch für andere Anwendungen von Nutzen sein kann.

4.4 phasenübergänge und kristalldefekte (kinks)

Anhand des Modenspektrums kann der Punkt des Phasenübergangs des Cou-lombkristalls von der linearen in die zigzag-Konfiguration beobachtet werden.Der Coulombkristall liegt in der linearen Konfiguration vor, wenn die nume-risch bestimmte Bedingung

ωr

ωz> 0, 73 ·N0,86. (4.24)

erfüllt ist [24]. Der Phasenübergang zur zigzag-Konfiguration findet statt,wenn das Verhältnis von ωr zu ωz so gering wird, dass diese Ungleichungnicht mehr erfüllt ist.

Am Phasenübergang selbst konvergieren Modenfrequenzen gegen Null.Um dies zu verdeutlichen, wurden in Abb. 4.12 für fünf Yb-Ionen die Ra-dialmodenfrequenzen in Abhängigkeit der radialen Fallenfrequenz νr auf-getragen. Es lässt sich leicht erkennen, dass bei einer Frequenz von νr =

424 kHz eine Radialmodenfrequenz gegen Null konvergiert. Hier findet derPhasenübergang statt.

Wird der Phasenübergang eines Coulombkristalls von der linearen in diezigzag-Konfiguration (s. Abb. 4.14), dessen kritischer Bereich durch Gl. 4.24

und [24] beschrieben wird, nicht adiabatisch durchgeführt, so können Defekteim Coulombkristall auftreten.

Es wird vermutet, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftretens dieser Defek-te während des Phasenübergangs zweiter Ordnung durch den inhomogenenKibble-Zurek-Mechanismus beschrieben wird. Dieser besagt, dass bei einemnicht adiabatischen Phasenübergang die Entstehungswahrscheinlichkeit vonDefekten eine potenzfunktionelle Abhängigkeit von der Geschwindigkeit derÜberschreitung des Phasenübergangs aufweist [5].

Die in diesem Experiment auftretenden Defekte können in zwei verschie-dene Kategorien eingeteilt werden, dem „Odd Kink“ und dem „ExtendedKink“. Beide Defekte sind in Abb. 4.15 und 4.16 dargestellt3.

Abbildung 4.13 zeigt die lineare Ionenkonfiguration vor dem Phasenüber-gang in die Zigzag-Konfiguration, welche in 4.14 abgebildet ist. Die expe-rimentellen Aufnahmen der hierbei auftretenden Defekte sind in Abb. 4.15

und 4.16 dargestellt.

3 Darstellung erfolgte mittels des Simulationsprogramms von Ramil Nigmatullin.

4.4 phasenübergänge und kristalldefekte (kinks) 75

4 0 0 4 5 0 5 0 0 5 5 0 6 0 0 6 5 0 7 0 0 7 5 0 8 0 0 8 5 0

0

2 0 0

4 0 0

6 0 0

8 0 0Ra

dialm

oden

frequ

enze

n [kH

z]

ν r [ k H z ]

k = 5 k = 4 k = 3 k = 2 k = 1

Abbildung 4.12: Radialmodenfrequenzen eines aus fünf Yb-Ionen bestehenden Cou-lombkristalls bei variabler radialer Fallenfrequenz νr. Bei νr = 424 kHz strebt eineRadialmodenfrequenz gegen Null.

Da die Defektbildung in Ionenkristallen im vorliegenden Experiment beob-achtet werden kann und die experimentelle Überprüfung des Mechanismusaktuell von großem Forschungsinteresse ist, werden zur Zeit experimentelleUntersuchungen sowie Simulationen4 durchgeführt.

Zur statistischen Auswertung der Ionenkonfiguration bedarf es eines Pro-grammes, welches die Ionenkonfigurationen während und unmittelbar nachdem Phasenübergang detektiert und gegebenenfalls Defekte im Kristall er-kennt.

Zu diesem Zweck wurde ein Programm geschrieben, welches diese Anfor-derungen erfüllt5. Die Funktion dieses Programms soll im Folgenden kurzerläutert werden.

Das Programm erhält die Ionenpositionen vom Detektionssystem des Expe-riments beziehungsweise vom Simulationsprogramm und verbindet benach-barte Ionenpositionen durch eine Gerade. Die Steigung dieser Geraden wirdvon dem Programm bestimmt und diskretisiert in positive (+), negative (-)oder keine Steigung (0). Mit Hilfe dieser Steigungen ist es möglich die An-ordnung der Ionen im Kristall zu untersuchen und Defekte zu detektieren.

In den Abbildungen 4.17 und 4.18 sind beide Defektarten dargestellt. Beieinem „extended kink“ tritt am Ort des Kristalldefekts im Zigzag-Muster ein-malig die Geradensteigung 0 auf, während bei einem „odd kink“ zweimalhintereinander die gleiche Steigung, welche von Null verschieden ist, auftritt.

4 Simulationsprogramm von Ramil Nigmatullin, 2012

5 KinkDetectorV5, Quelltext im Anhang

76 ionenmoden

Da es sich in diesem Programm um einen relativ einfachen Detektionsalgo-rithmus handelt, ist es möglich, diesen zeitsparend auf jedes aufgenommeneBild des Coulombkristalls anzuwenden um somit auch eine zeitaufgelösteDetektion der Defekte zu erhalten, da diese aus dem Kristall hinaus diffun-dieren können. Dieses Detektionssystem kann auch im Echtzeitbetrieb im Ex-periment eingesetzt werden.

Insgesamt können mit diesem Programm zeitaufgelöste Defektstatistikenvon Coulombkristallen im Experiment und in der Simulation erstellt werden.Durch Vergleich beider Datensätze können die Vorhersagen des inhomogenenKibbel-Zurek-Mechanismus getestet werden [30].

Abbildung 4.13: Lineare Konfiguration der Ionen vor dem Phasenübergang. (Bild:Karsten Pyka)

Abbildung 4.14: Zigzag-Konfiguration der Ionen nach dem Phasenübergang. (Bild:Karsten Pyka)

Abbildung 4.15: „Odd Kink“. (Bild: Karsten Pyka)

4.4 phasenübergänge und kristalldefekte (kinks) 77

Abbildung 4.16: „Extended Kink“. (Bild: Karsten Pyka)

Abbildung 4.17: „Odd Kink“ – Die Steigungen der Geraden sind „+“ für eine posi-tive Steigung und „-“ für eine negative Steigung. Bei einem „Odd Kink“ tritt zweiMal hintereinander die gleiche Steigung auf, in diesem Fall zwei Mal eine negativeSteigung.

Abbildung 4.18: „Extended Kink“ – Die Steigungen der Geraden sind „+“ für einepositive Steigung, „-“ für eine negative Steigung und „0“ für keine Steigung. Tritt ineinem Coulombkristall einmal die Steigung „0“ auf und die benachbarten Steigun-gen sind positiv und negativ, so liegt ein „Extended Kink“ vor.

5Z U S A M M E N FA S S U N G U N D A U S B L I C K

In dieser Arbeit wurde gezeigt, dass ein 822 nm Hochleistungslaser von ei-nem schmalbandigen 822 nm Primärlaser frequenzstabilisiert werden kannund der Hochleistungslaser die spektralen Eigenschaften des Primärlasersvollständig übernimmt. Dieser Hochleistungslaser dient als Ausgangspunktfür die theoretisch entworfene und experimentell realisierte Frequenzverdop-pelung von 822 nm auf 411 nm.

In diesem Frequenzverdoppelungssystem kommt ein PPKTP-Kristall alsnichtlineares optisches Medium zum Einsatz, welcher in einem Ringresona-tor zur Effizienzerhöhung eingebaut ist. Dieser Ringresonator zeichnet sichdurch eine Finesse von ca. 60 aus und ermöglicht Verdoppelungseffizienzenvon ca. 35%. Die aktive Längenstabilisierung des Resonators erfolgt nach demDesign von Hänsch und Coulliaud. Die Frequenzverdoppelung zeichnet sichdes Weiteren durch eine hohe Kurzzeitstabilität von 8 · 10

−5 in 0,01 s aus.Der frequenzverdoppelte Laserstrahl wurde anschließend zur Frequenz-

modulation im Doppelpass durch einen AOM gelenkt, um die notwendigeFrequenzdurchstimmbarkeit für die Spektroskopie zu ermöglichen. Bei einerkurzen Versuchsreihe konnte gezeigt werden, dass der 2S1/2 - 2D5/2 Über-gang getrieben werden konnte, welcher noch aufgrund von residuellen Ma-gnetfeldern und Seitenbändern der Ionenschwingungen eine starke Verbreite-rung aufwies. Somit steht dieses System zur kohärenten Seitenbandspektro-skopie der mikrobewegungs- und säkularfrequenzinduzierten Seitenbänderund zum Seitenbandkühlen zur Verfügung, und kann wirkungsvoll einge-setzt werden, sobald eine Kompensation der Magnetfelder am Ort der Ionenvorgenommen wird. Dies erfordert den Aufbau eines Spulenkäfigs um dieVakuumkammer, welcher in naher Zukunft erfolgen wird.

Im zweiten Teil dieser Arbeit wurde die Modenstruktur von axialen undradialen Ionenmoden untersucht. Ionen, die in einer Ionenfalle gefangen undzudem wenige Millikelvin kalt sind, bilden aufgrund der Coulombkraft, einSystem aus gekoppelten schwingenden Massen. Die Kenntnis der sich dabeiausprägenden Schwingungsmoden ist für die Seitenbandspektroskopie unddas später folgende Seitenbandkühlen entscheidend. Es konnte gezeigt wer-den, dass die axiale Modenstruktur des Coulombkristalls unkritisch hinsicht-lich der Belange einer einfachen Spektroskopie ist. Die Abstände der einzelenSchwingungsmodenfrequenzen ist relativ groß und sollte in der Spektrosko-pie eine leichte Adressierung und Auflösung der einzelnen Schwingungsmo-den ermöglichen. Im Fall der Radialmodenstruktur zeigte sich jedoch einewesentliche Problematik in gemischten Coulombkristallen. Je nach Positionder unterschiedlichen Ionen im Kristall können einzelne Schwingungsmodenwenige Hertz beieinander liegen, sodass diese bei der Spektroskopie even-tuell nur schwer zu unterscheiden und einzeln anzuregen sind. Außerdembesteht die Gefahr, das Lamb-Dicke-Regime zu verlassen.

79

80 zusammenfassung und ausblick

Aufgrund von Hintergrundgasstößen oder anderen Störungen, können dieIonen in der Ionenfalle zufällig ihre Plätze tauschen. Wie bereits erwähntwurde, ist die Modenstruktur der Ionen im Coulombkristall abhängig vonder Ionenposition. Aufgrund der vorliegenden Ergebnisse, gibt es zu bevor-zugende Ionenkonfigurationen, um eine einfache Spektroskopie durchführenzu können. Da diese Hintergrundgasstöße und damit ein Platzwechsel derIonen nie ganz vermieden werden können, bietet es sich an, selektiv bestimm-te auftretende Ionenmoden mit dem Spektroskopielaser anzuregen bzw. zuheizen, um diese Konfigurationen gezielt zu destabilisieren, sodass sich dieIonen mit höherer Wahrscheinlichkeit in einer gewünschten Konfiguration an-ordnen. Dies wurde bereits von K. Hayasaka [31] am NICT (Japan) kürzlicherfolgreich durchgeführt und würde den nächsten Schritt in diesem Experi-ment auf dem Weg zur Seitenbandkühlung darstellen.

Der dritte Teil dieser Arbeit widmet sich den Kristalldefekten, die in einemCoulombkristall durch einen nicht adiabatisch durchgeführten Phasenüber-gang zweiter Ordnung entstehen können. Dabei bietet sich die Gelegenheit,den inhomogenen Kibble-Zurek-Mechanismus zu überprüfen, welcher dieEntstehungswahrscheinlichkeit dieser Defekte vorhersagt. Hierzu wurde einDetektionsprogramm entwickelt, welche die Kristalldefekte sowohl in realenCoulombkristallen im Experiment als auch in Simulationen detektieren undstatistisch erfassen kann. Mit Hilfe dieser Statistiken aus Experiment und Si-mulation wird der inhomogene Kibble-Zurek-Mechanismus zur Zeit intensiverforscht.

Teil III

A N H A N G : D AT E N B L ÄT T E R U N D Q U E L LT E X T E

AA N H A N G

83

84 anhang

Abbildung A.1: Datenblatt der Hochleistungslaserdiode.

anhang 85


86 anhang


anhang 87


88 anhang


anhang 89

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Abbildung A.6: Konstruktionszeichnung des Kristallhalters.

90 anhang

! !

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anhang 91

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. ./.0

1!.2

$.3

4


92 anhang

Abbildung A.9: Datenblatt des AOMs.

anhang 93

Abbildung A.10: Datenblatt des AOMs.

94 anhang

Inpu

t

Offs

etP

1

1k1k

OP

27

100k

100k

100k

100k1M1M1M1M1M

1k1k

1k

100

330

1k3k3

10k

33k

100k

330k1M3M3

OP

741

10k

220k

1k

gelb

gelb

100

10k

10k

10k

10k

TLE

2227

TLE

2227

OP

27

15V

EIN

-AU

S-E

IN1*

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21

12

S1

S2 1*12

1*10

326

326

231

6 57

326

C1

10µF

C11

1µF

C12

10n

C13 10

nC

1410

µF

BN

C1

A

BN

C2

B

C2

330p

C3

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C15

3n3

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C5

33n

C6

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C7

330n

C8

1µF

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22p

C16

100p

C17

330p

BN

C3

Out

put

78L0

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1

C18

68p

231S

3

231S

4

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12345678910

Wid

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und

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ator

en

*10

700

kHz

BW:

*1

1,9

MH

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00nS

1k

4nV/

Hz

*100

0 7k

Hz

Stro

mau

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+20

mA -17m

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LED

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Rau

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n: O

P27

3nV/

Hz

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1.20

01 1

4:32

:04

Bea

rbei

tet a

m:

Zeic

hnun

g:

PTB

4.3

3

Abbildung A.11: Schaltplan des Integrators für das HC-Stabilisierungssystem.

anhang 95

Abbildung A.12: Datenblatt der Resonatorspiegel.

96 anhang


anhang 97


98 anhang

822 nm PPKTP frequency doubling

Optimum Waist

Crystal properties

c 299 792 458; 0 8.85 10^12;

P1 0.060; fundamental power

1 822 10^9; fundamental wavelength

2 1 2; SHG wavelength

n1 1; refractive index for 1 in air

n2 1.8437; refractive index for 1 in crystal;

KTP_F, theta90°, hi

n22 1.9566; refractive index for 2 in crystal;

KTP_F, theta90°, hi

deff 8.7 10^12; nonlinearity in mV corrected for PP

0 10^3; walkoff in rad

1 0.4; 1 absorption in 1m

2 15; 2 absorption in 1m

L 0.015; length of crystal in m

16 Pi^2 deff^2 0 c n1 n2 1^3; shorthand

1 n22 2 2 n2 1;

Print"Grating Period", 10^6, "m"

MT_SHG_822nm_Berechnungen_neu2.nb 1

Abbildung A.15: Berechnungen zum Entwurf der Frequenzverdoppelung.

anhang 99

Boyd Kleinman

k1 2 Pi n2 1; kvector pump ClearAll, , b; b:w0^2k1; focus waist 12b k; Phase matching Lb; focus strength B SqrtL k1 2; walk off BoydKleinman factor h_, B_, _ :

1

4 NIntegrateExpI s

B2 s 2

1 I s 1 I ,

, , , s, , ;

find optimum and IfB 0, 2.84;

FM FindMinimumAbsh1, B, , 1, 0.1, 1,FM FindMinimumAbsh1, B, 1, 1, 0.1, 1, 1, 1, 5;

optimum: 2.84,hmax1.07, confocal focussing: 1,

hmax0.78 hmax FM1; FM2, 1, 2;IfB 0, FM2, 2, 2;b L ;

w0 Sqrtb k1; k 2 b; efficiency 0 L hmax;

Re0 Exp1 2 2 L; single pass 2nd harmonic P2 P1^2;

Print"hmax", hmaxPrint" k", kPrint"w0m", w0 10^6Print"0", Print"P2mW", P2 10^3



100 anhang

SHG Output

estimate SHG output based on pump light enhancement in the cavity

t: total transmission, including crystal

0: single pass conversion coefficient

ClearAll,,P1;

RM 0.999; single cavity mirror reflectivity

RC 0.999; crystal faces loss

t RM^3 RC^2 1 2 L 1;

round trip transmission wo conversion,

note: 1 is for electric field

0 ;

T 0.985 0.96 0.95;

transmission of UV: 0.96: reflection at exit face,

0.95: transmission of output coupler,

0.95: transmission of filter after output coupler

optimum input coupler

ICo 1 1 t 2 Sqrt1 t^2 4 0 P1;

Print"ICopt", ICo

ICe 0.73; input coupling efficiency typically 0.851

figure of merit for SHG

XFOM Sqrt1 t^2 4 0 P1 ICe;

total available generated SHG

P2 T P1 ICe XFOM SqrtXFOM^2 1^2;

Print"P2", P2 1000, " mW"

Rrt RM^3 RC^2 ICo 1 2 L 1;

Print"Empty Cavity Finesse", 1 SqrtRrt



anhang 101

Some cavity parameters

ClearPc; round trip effective reflectivity Rrt RM^3 RC^2 ICo 1 2 L 1 1 0 Pc; circulating Power tmp SolvePc ICe 1 ICo P1 1 SqrtRrt^2, Pc;Pc tmp3, 1, 2; for good impedance & mode matching: PciICeP11ICo Print"Pc", Pc, " W" buildup in cavity b Pc P1 ICe;Print"buildup", b Finesse F Pi SqrtSqrtRrt 1 SqrtRrt;Print"F", F buildup in cavity wo conversionbe 1 IC 1 SqrtIC t^2; circulating pump power wo conversion Pce be ICe P1;

Finesse Fe 2 Pi be;

Stabilitätsdiagramme und h-Funktion

Berechnung Stabilitätsdiagramm, kleiner Waist

ClearAll"Global`"rSp : 0.05 Krümmungsradius der Spiegel in m : 7.5 180 Faltungswinkel Cavity in Grad n2h : 1.842779

Brechungsindex PPKTPKristall für Grundwelle : 822 10^9 Wellenlänge Grundwelle in m Lc : 0.015 Länge des Kristalls in m L2 : 0.06 Länge zwischen gekrümmten Spiegeln d : 0.035 Breite der BowTieCavity rs : rSp Cos; Krümmungsradiusänderung wegen Astigmatismus s. J. Friebe rm : rSp Cos; Krümmungsradiusänderung wegen Astigmatismus s. J. Friebe M1 Lc2n2

0 1.1 L2Lc2

0 1.

1 0

2r 1.1 Sqrtd^2L1L2^2L1

0 1.



102 anhang

1 0

2r 1.1 L2Lc2

0 1.1 Lc2n2

0 1

Siehe Diplomarbeit von Daniel Nigg M1 Lc2

0 1.1 0

0 1n2.1 L2Lc20 1

.

1 0

2r 1.1 2Sqrtd^2L1L22^2L1

0 1.

1 0

2r 1.1 L2Lc2

0 1.1 0

0 n2.1 Lc2

0 1

Siehe Diplomarbeit von Jannes M : 1 Lc 2

0 1. 1 0

0 1 n2 . 1 L2 Lc 20 1

.

1 0

2 r 1. 1 2 Sqrtd^2 L1 L2 2^2 L1

0 1.

1 0

2 r 1. 1 L2 Lc 2

0 1. 1 0

0 n2. 1 Lc 2

0 1

Mc11L1_, n2_, r_ : 1

2 L2Lc

2

Lc

2 n2

r

2L2Lc

2

Lc

2 n2 L1 2 d2

1

4L1 L22 1

2 L2Lc

2

Lc

2 n2

r

r

Mc12L1_, n2_, r_ :

n2L2 Lc

2

Lc

2 n2 L1 2 d2

1

4L1 L22 1

2 L2Lc

2

Lc

2 n2

r

1

2L2 Lc 1

2 L2Lc

2

Lc

2 n2

r

2L2Lc

2

Lc

2 n2 L1 2 d2

1

4L1 L22 1

2 L2Lc

2

Lc

2 n2

r

r

1

2Lc 1

2 L2Lc

2

Lc

2 n2

r



anhang 103

2L2Lc

2

Lc

2 n2 L1 2 d2

1

4L1 L22 1

2 L2Lc

2

Lc

2 n2

r

r

Mc21L1_, n2_, r_ : 2

n2 r

21

n2

2 L12 d21

4L1L22

n2 r

r

Mc22L1_, n2_, r_ :

n21

n21

2L2 Lc

2

n2 r

21

n2

2 L12 d21

4L1L22

n2 r

r

2 L1 2 d2 1

4L1 L22

n2 r

1

2Lc

2

n2 r

21

n2

2 L12 d21

4L1L22

n2 r

r

w0L1_, n2_, r_ : Sqrt Sqrt1 Mc11L1, n2, r^2 Mc21L1, n2, r

Plotw0L1, n2h, rs 10^6, w0L1, n2h, rm 10^6,L1, 0.0, 0.5, AxesLabel "L1m", "w0m", PlotRange 0, 35

Berechnung Stabilitätsdiagramm, großer Waist



104 anhang

ClearAll"Global`"rSp : 0.05 Krümmungsradius der Spiegel in m : 7.5 180 Faltungswinkel Cavity in Grad n2h : 1.842779

Brechungsindex PPKTPKristall für Grundwelle : 822 10^9 Wellenlänge Grundwelle in m Lc : 0.015 Länge des Kristalls in m L1 : 0.20 Länge zwischen planaren Spiegeln d : 0.035 Breite der BowTieCavity rs : rSp Cos; Krümmungsradiusänderung wegen Astigmatismus s. J. Friebe rm : rSp Cos; Krümmungsradiusänderung wegen Astigmatismus s. J. Friebe M1 Lc2n2

0 1.1 L2Lc2

0 1.

1 0

2r 1.1 Sqrtd^2L1L2^2L1

0 1.

1 0

2r 1.1 L2Lc2

0 1.1 Lc2n2

0 1

Siehe Diplomarbeit von Daniel Nigg M1 Lc2

0 1.1 0

0 1n2.1 L2Lc20 1

.

1 0

2r 1.1 2Sqrtd^2L1L22^2L1

0 1.

1 0

2r 1.1 L2Lc2

0 1.1 0

0 n2.1 Lc2

0 1

Siehe Diplomarbeit von Jannes M : 1 Lc 2

0 1. 1 0

0 1 n2 . 1 L2 Lc 20 1

.

1 0

2 r 1. 1 2 Sqrtd^2 L1 L2 2^2 L1

0 1.

1 0

2 r 1. 1 L2 Lc 2

0 1. 1 0

0 n2. 1 Lc 2

0 1

Mc11L2_, n2_, r_ : 1

2 L2Lc

2

Lc

2 n2

r

2L2Lc

2

Lc

2 n2 L1 2 d2

1

4L1 L22 1

2 L2Lc

2

Lc

2 n2

r

r

Mc12L2_, n2_, r_ :

n2L2 Lc

2

Lc

2 n2 L1 2 d2

1

4L1 L22 1

2 L2Lc

2

Lc

2 n2

r



anhang 105

1

2L2 Lc 1

2 L2Lc

2

Lc

2 n2

r

2L2Lc

2

Lc

2 n2 L1 2 d2

1

4L1 L22 1

2 L2Lc

2

Lc

2 n2

r

r

1

2Lc 1

2 L2Lc

2

Lc

2 n2

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2L2Lc

2

Lc

2 n2 L1 2 d2

1

4L1 L22 1

2 L2Lc

2

Lc

2 n2

r

r

Mc21L2_, n2_, r_ : 2

n2 r

21

n2

2 L12 d21

4L1L22

n2 r

r

Mc22L2_, n2_, r_ :

n21

n21

2L2 Lc

2

n2 r

21

n2

2 L12 d21

4L1L22

n2 r

r



106 anhang

2 L1 2 d2 1

4L1 L22

n2 r

1

2Lc

2

n2 r

21

n2

2 L12 d21

4L1L22

n2 r

r

w0L2_, n2_, r_ : Sqrt

Sqrt1 Mc11L2, n2, r^2 Mc21L2, n2, r

Plotw0L2, n2h, rs 10^6, w0L2, n2h, rm 10^6,

L2, 0.054, 0.066, AxesLabel "L2m", "w0m",

PlotRange 0, 35



anhang 107

Radial & Axial Modes

Parameters

Definitions

ClearAll"Global`"

c 299 792 458; 0 8.85 10^12;

hbar 1.055 10^34;

0 8.8542 10^12;

e 1.602 10^19; e charge

mp 1.6726 10^27; proton mass

1 798 10^9; fundamental wavelength

k1 2 Pi n2 1; kvector

1 2 Pi c 1;

z 0.170 10^6; trap frequency zaxis in Hz

r 0.80 10^6; trap frequency radial in Hz

Sqrtr z^2 1 2;

nn 5; number of ions

mnew 115;mass of new ion species, e.g. Indium115

mref 172; mass of reference ion on position 1,

e.g. Ytterbium172

m1 mref;

m2 172; mass of ion on position 2, etc...

m3 115;

m4 115;

m5 115;

m6 172;

m7 172;

m8 172;

m9 172;

m10 172;

mh mnew;

ml mref;

mh ml;

ion positions calculated numerically by ionpositions.nb

ionmodes_15_FINAL_GX.nb 1

Abbildung A.24: Programm zur Bestimmung der Ionenmodenfrequenzen.

108 anhang

u

P1, 1 P1, 2 P1, 3 P1, 4 P1, 5 P1, 6 P1, 7 P

0.62996 0.62996 P2, 3 P2, 4 P2, 5 P2, 6 P2, 7 P

1.0772 0 1.0772 P3, 4 P3, 5 P3, 6 P3, 7 P

1.4368 0.45438 0.45438 1.4368 P4, 5 P4, 6 P4, 7 P

1.7429 0.8221 0 0.8221 1.7429 P5, 6 P5, 7 P

2.0123 1.1361 0.36992 0.36992 1.1361 2.0123 P6, 7 P

2.2545 1.4129 0.68694 0 0.68694 1.4129 2.2545 P

2.4758 1.6621 0.96701 0.31802 0.31802 0.96701 1.6621 2.4758

2.6803 1.8897 1.2195 0.59958 0 0.59958 1.2195 1.8897

2.8708 2.10003 1.4504 0.85378 0.2821 0.2821 0.85378 1.4504

Forn 1, n nn 1, n,

Initialisation of Aij matrix

Fori 1, i n 1, i,

Forj 1, j n 1, j,

Ifi j,

Ai, j 1 2 SumIfk i,

1 Absun, i un, k^3, 0, k, 1, n,

Ai, j 2 Absun, i un, j^3

Initialisation of the A'ij matrix

Fori 1, i n 1, i,

Forj 1, j n 1, j,

Ifmi mj,

A'i, j Ai, j Sqrt,

Ifmi mj && mj mh,

A'i, j Ai, j,

A'i, j Ai, j

Fori 1, i n 1, i,

Forj 1, j n 1, j,

Ifmi mj,

Si, j Evaluate

EigenvectorsArrayA', n, ni, j Sqrt,

Ifmi mj && mj ml,

Si, j

EvaluateEigenvectorsArrayA', n, ni, j,

Si, j EvaluateEigenvectorsArrayA', n, ni, j

Fori 1, i n 1, i,

X1n, i Evaluate

SqrtEigenvaluesArrayA', n, ni z 10^3

Initialisation of Bij matrix



anhang 109

Fori 1, i n 1, i,

Forj 1, j n 1, j,

Ifi j && mi ml,

Bi, j ^2 1 2 SumIfk i,

1 Absun, i un, k^3, 0, k, 1, n,

Ifi j && mi mh,

Bi, j ^2 1 2 SumIfk i,

1 Absun, i un, k^3, 0, k, 1, n,

Bi, j 1 Absun, i un, j^3

Initialisation of the B'ij matrix

Fori 1, i n 1, i,

Forj 1, j n 1, j,

Ifmi mj,

B'i, j Bi, j Sqrt,

Ifmi mj && mj ml,

B'i, j Bi, j,

B'i, j Bi, j

Fori 1, i n 1, i,

Forj 1, j n 1, j,

Ifmi mj,

Ti, j Evaluate

EigenvectorsArrayB', n, ni, j Sqrt,

Ifmi mj && mj ml,

Ti, j

EvaluateEigenvectorsArrayB', n, ni, j,

Ti, j EvaluateEigenvectorsArrayB', n, ni, j

Fori 1, i n 1, i,

X2n, i Evaluate

SqrtEigenvaluesArrayB', n, ni z 10^3

Print"Axial Modes for n", n

Fori 1, i n 1, i,

Print"Mode Frequency Eigenvalue z",i," ",

EvaluateEigenvaluesArrayA',n,ni,

Print"Mode Frequency Trap Freq. z", i, " ",

EvaluateSqrtEigenvaluesArrayA', n, ni

z 10^3, " kHz",

Print"Mode Amplitudes z", i, " ", ArrayS, n, ni



110 anhang

Print

"

"

Print"Radial Modes for n", n

Fori 1, i n 1, i,

Print"Mode Frequency Eigenvalue vx",i," ",

EvaluateEigenvaluesArrayB',n,ni,

Print"Mode Frequency Trap Freq. vx", i, " ",

EvaluateSqrtEigenvaluesArrayB', n, ni

z 10^3, " kHz",

Print"Mode Amplitudes vx", i, " ", ArrayT, n, ni

Print

"XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXX"

Print"Axial Mode Frequencies in kHz:"

X11 ArrayX1, nn, nn MatrixForm

Print"Radial Mode Frequencies in kHz:"

X22 ArrayX2, nn, nn MatrixForm

DiscretePlotX111, n, n, 1, nn, 1,

ExtentSize Scaled0.75, ExtentMarkers "Filled",

ColorFunction "Rainbow", AxesOrigin 0, 0,

Ticks 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, Automatic, AxesLabel

"number of ions", "axial mode freq. kHz", PlotLabel

Style"axial modes of motion", Black, 30, Background White,

LabelStyle DirectiveBlack, FontFamily "Helvetica",

25, Background White, Background White

DiscretePlotX221, n, n, 1, nn, 1, ExtentSize Scaled0.75,

ExtentMarkers "Filled", AxesOrigin 0, 600,

Ticks 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, Automatic,

AxesLabel "number of ions", "radial mode freq. kHz",

PlotRange 600, 1250, PlotLabel

Style"radial modes of motion", Black, 30, Background White,

LabelStyle DirectiveBlack, FontFamily "Helvetica",

25, Background White, Background White



anhang 111

C:\Users\David-Marcel\Desktop\Dropbox\quest\Daten\kinkdetector\KinkDetector_v5.c Samstag, 25. August 2012 15:12

/*

Kinkdetector_v5 by David-Marcel Meier

*/

#include <stdio.h>

#include <string.h>

#include <stdlib.h>

float sl_1=0.2; //Threshold for slope = 0

float sl_2=4.0; //Threshold for slope max. Not used at the moment!

int row=19; //Row which is read out of the resultX.txt file (173

for 1ms)

int stepsize=100;

int firstframe=20;

int filestatus=0; //filestatus variable

int counter=1; //filecounter

FILE* filevar;

FILE* filevar2;

FILE* filevar3;

FILE* filevar4;

int *error=1;

char data[10000]=0;

int ionnum=0; //number of ions

int d=0; //auxiliary counting variable

int kinknum=0; //return value which determines the kink species

int oddkinktot=0; //total odd kink number

int extkinktot=0; //total ext kink number

int kinktot=0;

int kinkstatus[5000]=-1; //kinkstatus[0] is not used!

int lifetime=-1; //kink lifetime in frames!

double x[100]; //ion coordinates

double y[100]; //

double z[100]; //

//double vx[100]; //velocity vector component

//double vy[100]; //not used!

//double vz[100]; //

double unsortedvalues[1000]=0.0; //unsorted values

char filename[15]; //filename

double help[2]=0; //auxiliary variable

int main()

reinit();

filestatus=fileopen();

printf("Please enter stepsize: ");

scanf("%i",&stepsize);

printf("Please enter first frame which will be analyzed: ");

scanf("%i",&firstframe);

while(filestatus==0)

datareadout();

if(filestatus==0 && error != NULL)

dataconvert();

sortions();

kinknum=kinkdetect();

-1-

Abbildung A.28: Quelltext des C-Programms zur Detektion von Kristalldefekten der Version 5:„KinkDetectorV5“.

112 anhang


kinkstatus[row-18]=kinknum;

dataout3();

row=row+stepsize;

if(error == NULL && filestatus==0)

lifetime=framestatistics();

if(lifetime==firstframe || lifetime==firstframe+1)

printf("File=%s Kinks= %i\n", filename, kinknum);

else

printf("File=%s Kinks= %i Lifetime=%i\n", filename, kinknum, lifetime);

dataout();

lifetime=-1;

kinkcount(kinknum);

counter++;

row=19;

error=1;

reinit();

fclose(filevar);

filestatus=fileopen();

if(filestatus==1)

dataout2();

return 1;

return 0;

int framestatistics(void) //does the frame statistics

int i=0;

if(kinknum==0)

for(i=firstframe; i<row+1; i++)

if(kinkstatus[i]==0)

return i-1;

if(kinknum!=0)

for(i=firstframe; i<row+1; i++)

if(kinkstatus[i]!=0 && kinkstatus[i]!=-1)

return i;

return -2;

int kinkcount(int kinknum2) //counts the different kinks

if(kinknum2==1)

-2-


anhang 113


extkinktot=extkinktot+1;

if(kinknum2==2)

oddkinktot=oddkinktot+1;

if(kinknum2==3)

extkinktot=extkinktot+1;

oddkinktot=oddkinktot+1;

kinknum=0;

return 0;

int reinit(void) //reinit of coordinates

int d=0;

for(d=0; d<10000; d++)

data[d]=0;

for(d=0; d<5000; d++)

kinkstatus[d]=-1;

/*

for(d=0; d<99; d++)

unsortedvalues[d]=0;

x[d]=0;

y[d]=0;

z[d]=0;

//vx[d]=0;

//vy[d]=0;

//vz[d]=0;

*/

return 0;

int fileopen(void) //opens the results file

sprintf(filename,"results%i.txt", counter);

filevar = fopen(filename,"r");

if(filevar==NULL)

return 1;

return 0;

int datareadout(void) //reads out the result file

int d=0;

rewind (filevar);

while(error != NULL && d<row)

error=fgets(data,10000, filevar);

d++;

return 0;

int dataconvert(void) //converts the read out data and writes it in an array

-3-


114 anhang


char currchar[30];

size_t size;

int i=0;

int j=0;

int k=0;

size=strlen(data);

for(i=0; i<size; i++)

currchar[j]=data[i];

currchar[j+1]='\0';

j++;

if(data[i+1]==' ' || data[i+1]=='\n')

unsortedvalues[k]=atof(currchar);

j=0;

//printf("%e\n", unsortedvalues[k]);

k++;

//printf("%c\n", data[i]);

ionnum=k/6;

//printf("%d\n", ionnum);

k=0; //reset k counter variable

for(k=0; k<3*ionnum; k++)

if(k<ionnum)

x[k]=unsortedvalues[k];

if(k>ionnum-1 && k<2*ionnum)

y[k-ionnum]=unsortedvalues[k];

if(k>2*ionnum-1 && k<3*ionnum)

z[k-2*ionnum]=unsortedvalues[k];

/*


vx[k]=unsortedvalues[k];


vy[k]=unsortedvalues[k];

if(k>5*ionnum-1)

vz[k]=unsortedvalues[k];

*/

return 0;

int sortions(void) //sorts the ions in right order

int k;

int j;

for(j=0; j<ionnum+1; j++)

for(k=1; k<ionnum; k++)

if(z[k-1]>z[k])

help[0]=x[k];

help[1]=x[k-1];

-4-


anhang 115


x[k-1]=help[0];

x[k]=help[1];

help[0]=y[k];

help[1]=y[k-1];

y[k-1]=help[0];

y[k]=help[1];

help[0]=z[k];

help[1]=z[k-1];

z[k-1]=help[0];

z[k]=help[1];

help[0]=0;

help[1]=0;

return 0;

int kinkdetect(void) //kink detection algorithm

int i;

int slope[100];

double slope2[100];

double dx=0;

double dy=0;

int oddkinkfound = 0;

int extkinkfound = 0;

for(i=0;i<ionnum-1;i++)

dx=z[i+1]-z[i];

dy=x[i+1]-x[i];

if(dx==0) //Reports problem with ion positions!

return 1;

if(dy/dx>sl_1)

slope[i]=1;

slope2[i]=dy/dx;

else

if(dy/dx<-sl_1)

slope[i]=-1;

slope2[i]=dy/dx;

else

slope[i]=0;

slope2[i]=dy/dx;

-5-


116 anhang


for(i=1;i<ionnum-1;i++)

if(slope[i]==slope[i-1] && slope[i]!=0) //Odd Kink

oddkinkfound++;

/*

if((slope2[i]>sl_2 || slope2[i]<-sl_2) && slope[i-1]==0) //Extended Kink

extkinkfound++;

*/

if(i>1)

if(slope[i]==-slope[i-2] && slope[i-1]==0 && slope[i]!=0) //Extended Kink

extkinkfound++;

if(oddkinkfound!=0 && extkinkfound!=0)

return 3;

if(extkinkfound!=0 && oddkinkfound==0)

return 1;

if(oddkinkfound!=0 && extkinkfound==0)

return 2;

if(oddkinkfound==0 && extkinkfound==0)

return 0;

int dataout(void) //data output in file

char filename2[15];

sprintf(filename2, "outputV5.txt");

filevar2 = fopen(filename2, "a+");

if(lifetime==firstframe || lifetime==firstframe+1)

fprintf(filevar2, "%s %i %i\n", filename, counter, kinknum);

else

fprintf(filevar2, "%s %i %i %i\n", filename, counter, kinknum, lifetime);

fclose(filevar2);

return 0;

int dataout2(void) //data output in file

char filename3[15];

sprintf(filename3, "outputV5_stat.txt");


kinktot=extkinktot+oddkinktot;

//fprintf(filevar3, "#Kink Detector v3 by David-Marcel Meier 20120724\n");

//fprintf(filevar3, "#Detector counts odd and extended kinks\n");

-6-


anhang 117


fprintf(filevar3, "#Total / Total Kinks / Total ext / Total odd\n");

fprintf(filevar3, "%i %i %i %i\n",counter-1,kinktot,extkinktot,oddkinktot);

fprintf(filevar3, "#Total Kink Probability: %f\n", (kinktot*1.0)/(counter-1));

fprintf(filevar3, "#Extended Kink Probability: %f\n", (extkinktot*1.0)/(counter-1));

fprintf(filevar3, "#Odd Kink Probability: %f\n", (oddkinktot*1.0)/(counter-1));

fclose(filevar3);

return 0;

int dataout3(void) //data output in file

char filename4[15];

sprintf(filename4, "outputV5_rows_%i.txt", counter);


fprintf(filevar4, "%i %i\n", row-18, kinknum);

fclose(filevar4);

return 0;

-7-


118 anhang

Y b - Y b - Y b - Y b - Y b - I n - I n

Y b - Y b - Y b - I n - Y b - Y b - I n

I n - Y b - Y b - Y b - Y b - Y b - I n

Y b - I n - Y b - Y b - Y b - I n - Y b

Y b - Y b - I n - I n - Y b - Y b - Y b

Y b - Y b - Y b - I n - I n - Y b - Y b - Y b

2 0 0

4 0 0

6 0 0

8 0 0

1 0 0 0

1 2 0 0

8 4 1 , 2 5

9 2 7 , 6 1 7

8 2 7 , 0 8 7 8 4 6 , 7 3 3

9 7 6 , 4 1 6

8 8 1 , 3 2 7

7 7 5 , 2 2 47 2 9 , 4 2 7 3 1 , 0 1 5

7 9 7 , 7 2 2 7 7 8 , 6 7 37 4 4 , 8 2 2

6 6 8 , 9 1 4 6 5 5 , 9 1 6 4 3 , 5 5 3

7 1 1 , 5 4 76 5 4 , 0 2 1 6 5 9 , 5 6 4

5 4 9 , 4 3 9 5 4 6 , 1 5 3 5 6 3 , 6 8 2 5 5 6 , 7 7 5 3 3 , 2 6 8 5 2 4 , 7 9 4

4 4 0 , 0 0 6 4 4 8 , 1 2 6 4 6 5 , 4 3 14 1 0 , 5 8 3 4 3 0 , 1 2 3 4 2 9 , 7 1 7

3 2 0 , 9 8 1 3 1 0 , 9 2 3 3 3 0 , 9 0 4 3 0 6 , 9 9 8 2 9 5 , 9 5 6 2 9 4 , 9 2 3

1 7 7 , 8 4 1 7 8 , 2 6 1 7 8 , 2 2 1 1 7 8 , 4 8 3 1 7 8 , 3 4 7 1 7 7 , 2 7

1 0 9 6 , 6 9

Frequ

enz [

kHz]

I o n e n k o n f i g u r a t i o nAbbildung A.35: Frequenzen der axialen Ionenmoden für einen gemischten Coulombkristall ausfünf Yb- und zwei In-Ionen. Hierbei wurde ωz = 2π · 170 kHz angenommen.

Y b - Y b - Y b - Y b - Y b - I n - I n

Y b - Y b - Y b - I n - Y b - Y b - I n

I n - Y b - Y b - Y b - Y b - Y b - I n

Y b - I n - Y b - Y b - Y b - I n - Y b

Y b - Y b - I n - I n - Y b - Y b - Y b

Y b - Y b - Y b - I n - I n - Y b - Y b - Y b5 5 06 0 06 5 07 0 07 5 08 0 08 5 09 0 09 5 0

1 0 0 01 0 5 01 1 0 01 1 5 01 2 0 0

1 1 7 8 , 6 1 1 1 6 4 , 6 5 1 1 6 4 , 8 5

1 1 2 0 , 1 11 1 4 0 , 1 6

1 0 2 3 , 0 9

1 0 9 9 , 2 31 0 8 2 , 8 7

1 1 6 4 , 2 8

1 1 1 6 , 7 7

1 0 1 5 , 1

9 6 1 , 8 8 7

7 9 1 , 8 4 5 7 8 2 , 0 9 7 8 5 , 1 5 87 5 7 , 9 8 2

7 8 2 , 1 4 2 7 7 9 , 4 27 5 4 , 4 3 4

7 3 7 , 4 0 2 7 3 8 , 2 1 37 5 7 , 5 9 1

7 7 3 , 7 5 8 7 7 7 , 5 6 5

7 0 1 , 6 2 87 1 9 , 2 0 1

6 8 4 , 0 4 4

7 5 2 , 4 7 47 1 9 , 1 6 9 7 0 6 , 8 7 5

6 3 6 , 5 5 2 6 2 5 , 0 8 2 6 2 5 , 7 6 56 5 6 , 8 6

6 8 4 , 2 9 67 0 4 , 2 7 7

5 6 2 , 1 3 1

6 1 8 , 6 0 1

5 5 9 , 2 6 1 5 6 5 , 7 6 9

6 2 1 , 1 2 95 8 7 , 3 0 55 8 4 , 4 3 4

Frequ

enz [

kHz]

I o n e n k o n f i g u r a t i o nAbbildung A.36: Frequenzen der radialen Ionenmoden für einen gemischten Coulombkristallaus fünf Yb- und zwei In-Ionen. Hierbei wurde ωr = 2π · 800 kHz und ωz = 2π · 170 kHz ange-nommen.

A B B I L D U N G S V E R Z E I C H N I S

Abbildung 1.1 Termschema von Yb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Abbildung 1.2 Schema des Seitenbandkühlens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Abbildung 2.1 ADEV des rel. Frequenzrauschens des 822 nm Primärlasers . . . 7

Abbildung 2.2 Bild des Versuchsaufbaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Abbildung 2.3 Kennlinie der 822 nm Hochleistungs-Laserdiode . . . . . . . . . . 9

Abbildung 2.4 Temperatur der Hochl.-Laserdiode über NTC Widerstand . . . . 9

Abbildung 2.5 Schematische Abbildung eines Gaußstrahls . . . . . . . . . . . . . 11

Abbildung 2.6 Strahlprofil Primär- und Hochleistungslaserdiode . . . . . . . . . 12

Abbildung 2.7 Schnittbild des Laserstrahls der Hochl.-Laserdiode . . . . . . . . 13

Abbildung 2.8 Parameter für erfolgreiche Injektionsstabilisierung . . . . . . . . . 14

Abbildung 2.9 Spektrum der freilaufenden Hochl.-Laserdiode . . . . . . . . . . . 14

Abbildung 2.10 Spektrum der frequenzstabilisierten Hochl.-Laserdiode . . . . . . 15

Abbildung 2.11 Fabry-Perot-Spektrum Primärlaser . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Abbildung 2.12 Fabry-Perot-Spektrum Hochleistungslaser . . . . . . . . . . . . . . 16

Abbildung 3.1 Prinzip der Frequenzverdoppelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Abbildung 3.2 Sinus-Kardinalis Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Abbildung 3.3 Intensität der zweiten Harm. über Kristalllänge . . . . . . . . . . 22

Abbildung 3.4 Indexellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Abbildung 3.5 Boyd-Kleinman-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Abbildung 3.6 Aufbau und Strahlengang eines Ringresonators . . . . . . . . . . 30

Abbildung 3.7 Stabilitätsdiagramm, Ringresonator langer Arm . . . . . . . . . . 34

Abbildung 3.8 Stabilitätsdiagramm, Ringresonator kurzer Arm . . . . . . . . . . 35

Abbildung 3.9 Optimale Transmission des Einkoppelspiegels . . . . . . . . . . . 37

Abbildung 3.10 Modenspektrum des Ringresonators . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Abbildung 3.11 Ausgangsleistung SHG über Transmission d. Einkoppelspiegels . 39

Abbildung 3.12 Reflektionsspektrum des Ringresonators ohne Phasenanpassung 40

Abbildung 3.13 Reflektionsspektrum des Ringresonators mit Phasenanpassung . 40

Abbildung 3.14 Schema des HC-Stabilisierungssystems . . . . . . . . . . . . . . . 42

Abbildung 3.15 HC-Fehlersignal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Abbildung 3.16 Messung HC-Fehlersignal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Abbildung 3.17 Nulldurchgang HC-Fehlersignal 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Abbildung 3.18 Nulldurchgang HC-Fehlersignal 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Abbildung 3.19 ADEV des rel. Intensitätsrauschens des 411 nm-Lasers . . . . . . 48

Abbildung 3.20 Störung durch Shutter 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Abbildung 3.21 Störung durch Shutter 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Abbildung 3.22 Störung durch Shutter, gedämpft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Abbildung 3.23 Zeitlicher Abfall der Laserleistung bei 411 nm 1 . . . . . . . . . . 52

Abbildung 3.24 Zeitlicher Abfall der Laserleistung bei 411 nm 1 (Vergrößerung) . 53

Abbildung 3.25 Zeitlicher Abfall der Laserleistung der zweiten Harmonischen 2 . 53

Abbildung 3.26 Reflexionsspektrum des Ringresonators im Tagesvergleich . . . . 54

Abbildung 3.27 Schematischer Aufbau des AOM im Doppelpass . . . . . . . . . . 55

119

120 Abbildungsverzeichnis

Abbildung 3.28 Schematischer Frequenzplan der AOMs . . . . . . . . . . . . . . . 57

Abbildung 4.1 Schema der linearen Paulfalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Abbildung 4.2 Lineare Ionenkette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Abbildung 4.3 Schema der axialen Ionenmoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Abbildung 4.4 Frequenzen der axialen Ionenmoden für bis zu sieben Yb-Ionen . 69

Abbildung 4.5 Frequenzen der axialen Ionenmoden für gemischten Coulomb-kristall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Abbildung 4.6 Schema der radialen Ionenmoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Abbildung 4.7 Bild der Common-Mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Abbildung 4.8 Bild der Stretch-Mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Abbildung 4.9 Bild der Egyptian-Mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Abbildung 4.10 Frequenzen der radialen Ionenmoden für bis zu sieben Yb-Ionen 73

Abbildung 4.11 Frequenzen der radialen Ionenmoden für gemischten Coulomb-Kristall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Abbildung 4.12 Radialmodenfrequenzen und Phasenübergang . . . . . . . . . . . 75

Abbildung 4.13 Bild einer linearen Ionenkette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Abbildung 4.14 Bild der Zigzag-Konfiguration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Abbildung 4.15 Bild eines Odd Kink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Abbildung 4.16 Bild eines Extended Kink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Abbildung 4.17 Schema eines Odd Kink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Abbildung 4.18 Schema eines Extended Kink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Abbildung A.1 Datenblatt der Hochleistungslaserdiode 1 . . . . . . . . . . . . . . 84





Abbildung A.6 Konstruktionszeichnung des Kristallhalters 1 . . . . . . . . . . . . 89



Abbildung A.9 Datenblatt des AOMs 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Abbildung A.10 Datenblatt des AOMs 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Abbildung A.11 Schaltplan des Integrators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Abbildung A.12 Datenblatt der Resonatorspiegel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95



Abbildung A.15 Berechnungen Frequenzverdoppelung 1 . . . . . . . . . . . . . . . 98









Abbildung A.24 Berechnungsprogramm Ionenmoden 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 107




Abbildung A.28 Quelltext KinkDetectorV5 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111







Abbildung A.35 Axiale Ionenmoden, gemischter Coulombkristall . . . . . . . . . . 118

Abbildung A.36 Radiale Ionenmoden, gemischter Coulombkristall . . . . . . . . . 118

TA B E L L E N V E R Z E I C H N I S

Tabelle 3.1 Indexpermutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Tabelle 3.2 Nichtlineare Kristalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Tabelle 3.3 ABCD-Matrizen des Resonatordurchlaufs . . . . . . . . . . . . . . 32

Tabelle 3.4 Effizienz des AOM im Doppelpass . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Tabelle 3.5 Frequenzen für die AOMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Tabelle 4.1 Messung radialer Modenfrequenzen an drei Yb-Ionen . . . . . . . 72

121

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Es gibt eine Theorie die besagt, wenn jemals irgendwer herausfindet,wozu das Universum da ist und warum es da ist, dann verschwindet es

auf der Stelle und es wird durch etwas noch Bizarreres und Unbegreiflicheres ersetzt.Es gibt eine andere Theorie nach der das schon passiert ist.

— Douglas Adams

D A N K S A G U N G

Ich möchte Frau Dr. Tanja Mehlstäubler danken, dass ich erneut eine Abschlussarbeitam QUEST-Institut der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt anfertigen durfte. Ichmöchte mich herzlichst für das in mich gesetzte Vertrauen und die gute Betreuung, dienicht mit unerheblichem Zeitaufwand verbunden war, bedanken.

Des Weiteren gilt mein Dank Jonas Keller und Karsten Pyka, die mich im Labor undbei der theoretischen Arbeit unterstützt haben und von denen ich einiges lernen konnte.

Ein besonderer Dank gilt außerdem Herrn Prof. Dr. Jochen Litterst und Herrn Prof. Dr.Stefan Süllow für die Betreuung seitens der Universität und das sehr unbürokratischeVerfahren, diese Abschlussarbeit an einer externen Institution anfertigen zu können.

Des Weiteren möchte ich auch Kristijan Kuhlmann für die gute Zusammenarbeit unddie Hilfe beim LATEX-Textsatz, auch wenn es einmal bis 4 Uhr morgens dauerte, danken.Für die sprachliche und orthographische Überarbeitung danke ich herzlichst GunnarSchmidtchen.

Ich danke auch meiner Familie, meinen Freunden und meinen Kollegen bei QUEST,die diese Zeit, trotz zahlreicher frustrierender Tage, zu einer schönen Erinnerung mach-ten und mich in dieser Zeit unterstützten. Besonders gerne denke ich an die wöchentli-che Sneak Peek zurück, die für reichlich Abwechslung sorgte.

Vielen Dank!

127

E R K L Ä R U N G

Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Master-Arbeit selbstständig verfasst habe.Es wurden keine anderen, als die in der Arbeit angegebenen Quellen und Hilfsmittelbenutzt. Die wörtlich oder sinngemäß übernommenen Zitate habe ich als solche kennt-lich gemacht. Die Arbeit ist in gleicher oder ähnlicher Form noch bei keiner anderenPrüfungsbehörde eingereicht worden.

Braunschweig, 5. September 2012

David-Marcel Meier

Ein Lasersystem zur Seitenbandspektroskopie von gemischten ... · Im Rahmen dieser Arbeit wird auch...

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