Ein Sstz uber additive Mengenfunktionen. Herrn Professor Dr. ERHARD SCHMIDT zum 76. Geburtstag gewidmet.

Von EDMUND HLAWRA in Wien.

(Eingegangen am 20.6.1950.)

Einleitung. 1 mit

Mittelpunkt im R, (m 2 2). Sein Volumen bezeichnen wir mit V ( K ) . Es sei weiter G(t ) eine fur t > 0 positive, monoton abnehmende Funktion mit limG(t) = + 00 und ,u (z) eine Punktion 2 0

Es fuhren dann Probleme t ~ u s der Geometrie der Zahlen auf Summen wie z. B.

Es sei f(x) die Distanzfunktion eines konvexen Korpers K: f ( z )

1-bO

c ages - a ) ) p ( z l )

(1) f: P ( X 0 >

wo die x6 Punkte uus K sind, welche in endlicher Anzahl vorhunden sein mogen, und a ein beliebiger Punkt des R , ist, und man hnt nun die Aufgabe, (1) durch

wenn es existiert, abzuschiitzen. Wir werden zeigen, daI3 (1) kleiner als (2) ist fiir alle a, ausgenommen ejne Menge, welche sich durch konvexe Korper Ki : f ( z - ai) _I ti so iiberdecken liiBt, daB

Z V ( K , ) s (5, + 1) F.‘(K) i

ist. Wir werden weiter zeigen, daI3 (1) auch dann durch Integrttle abgesuiiatzt werden kann, wenn (2) divergent ist, wie dies z. B. fur # ( t ) = t d k (k 2 m) der Fall ist. Beim Beweis dieser Behauptungen werden wir weitgehend einer Methode von AHLFORS~) folgen, und mar in der gleichen allsemeinen Fnssung.

8 1. Wir beweisen zuniichst folgenden Hilfssutz : Hilfssatz la). Es sei eiile endliche Menge von kmuexen Korpm f ( z - pi) I ti

tl 5. - - gegeben. Es sei stets / ( p i - p j ) 2 max(ti, 4) (i + j), d. h. mit 0 < to

1) L. AHLFORS, Ein Satz von H. Cartan und seine Anwendung auf die Theorie der ineromorphen Funktionen. Commont. phys.-math. SOC. Sci. Fennica 5 (1931), Nr. 16; vgl. auch R. NEVAXLINNA, Eindeutige analytische Funktionen. Berlin 1936, V, 5 6, S. 136ff.

2) E. HLAWXA, Ausfiillung und Uherdcckung konvexer Korpcr durch konvexe Korper. Mh. Math. Physik 53 (1948), 130.

Hlawka, Ein Satz uber additive Mengenfunktionen. 151

k i n K h p r enthalt den N i t t e lpnk t einea anderen K&pers dieser Blenge. Dann khnen h6chtens 5m - 1 K h p e r Ki (i > 0) rnit KO innere Pun& gemeinsam haben.

Beweis. Ein Ki (i >0) kann mit KO nur dann Punkte gemeinsam haben, wenn f (p i - p,,) S to + ti ist. Wir ordnen nun jedem pi den Punkt

(3) i;i = (to + ti)-i (%)"(ti - 6 ) + 2PitO)

zu. Dann ist f (Fi - p o ) 5 24, wenn Ki mit KO einen Punkt gemeinsam hat. Fur zwei solche Punkte p i , 5, (i =+= j) gilt weiter /(pi - F j ) z t o . Dies sehen wir so ein : Wir konnen ohne BeschrLnkung der Allgemeinheit i > j annehmen. Nun ist

also 2 to [/(pi - pf) - ($6 - $11 2 ~ [ti - (ti - tj)l 2 t o . 2 to

f(?i-?j) ~$i-t, to + tf -

Daraus folgt, daU die Korper K i : f ( s -p i ) 5 (i = 0, 1 . . .) nicht iiberein- 2 -

andergreifen und in K: f (s - p o ) S T t,, liegen, denn es ist fur jedes x aus KC 5

t0 5 f ( s - p o ) = f ( x - ? l i + P i - ~ p , ) ~ y + 2 t o = T t o .

t m 1st nun c die Anzahl dieser Korper Ki (i > 0), sofolgt, da V ( K ) ( $ ) das Volumen von Ki ist ( B ( K ) das Volumen von f ( s ) 5 1) ,

also c 5 €P - 1, was zu beweisen war. Aus diesem Hilfssatz konnen wir sofort schliefien :

Folgerung. Liegt eine abziihlbare Mengz von Kiirpm Ki : f(s - pi) I ti (tl 2 t, 2 - * .) vw mit f (pi - pj) 2 max ( t i , ti), ao liipt sich d k e Menge in hochetew 5m Teilmmgen Ta 80 zerlegen, dap die Ki , welch in einer eolchen Menge T k liegen, zueinander punktfrernd eind. Es kann also je&r Punkt x des Rm hochkna 5m eolchen K h p r n Ki angehoren.

Dies sehen wir so ein: Zunachst nehmen wir in die gesuchten Tk die Kk (k = 1 , . . . , P) auf. Dann konnen wir jedes weitere K, (j > 5m) in eines der Tk aufnehmen, denn sonst giibe es in jedem Tk einen Korper K i , der rnit Ki einen Punkt gemeinsam hatte, was nach Hilfssatz 1 nicht moglich ist. Voll- stiindiqe Induktion leistet dann das Gewiinschte.

Bemerkung. Unter speziellen Voraussetzungen uber f (X I l&Bt sich die Schranke 5m bedeutend Ierschiirfen, insbesondere, wenn f (r) die Gestalt . . .

(5 I rnit p k 2 (sl,. . . , zm die Koordinaten von x ) hat, und zwar unter i= I

Benutzung Yon Methoden &us der Geoinetrie der Zahlen (vgl. dtlzu die in FuB- note 2 zitierte Arbeit).

152 Hlawka, Ein Satz iiber additive Mengenfunktionen.

§ 2. Es sei nun M eine meBbare Teilmenge des R, und P ( E ) eine positive voll-

stiindig additive Mengenfunktion, deiiniert fur alle ineabaren Teilinengen E von M . 1st K ( a , t ) der Korper f ( x - a) t , dann sei P ( K ( a , t)) der Wert von P ( E ) fur die Teilnienge von M , die im Inneren von K ( a , t ) liegt. Es sei weiter h(t) eine fur t > 0 positive, stetige Funktion mit h (0) = 0 und h ( m ) > 1 , welche wir sofort als monoton wachsend vorsussetzen wollen. Dann gilt

Hilfssatz 2. Die Menge der Punke a , fur welche

(4)

iiicht fur alle t > 0 erfiillt ist, liigt sich durch eine Folge von Korpem Kd : f (x - ai) 5 t i so uberdecken, dap C h ( t i ) < 5m + 1 ist.

Fur nt = 2 und K = Kreis wurde dieser Satz, mit einer kleineren Schranke, von Ahlforsl) nufgestellt. Wir folgen seinem Beweis: Es sei t, der groBte Hau- fungsl~unkt derjenigen t , fur welche (4) nicht fur alle a erfiillt ist. Es ist t, < 00.

1st nun t , > 0, so gibt es ein ti < t , und ein a , , so daB

i

p ( K ( a , , 1 : ) ) 2 h(t3 P ( W

und h ( ( ) > h(t , ) - 4 ist. Es sei Kl der Korper f(z - a,) 5 t, und t , der groBte Hiiufungspunkt derjenigen t , fur welche (4) nicht fur alle a auBerhalb Kl gilt. Dann ist t , t , , iind es gibt wieder, wenn t , > 0 , ein ti < t , und ein a2 auBerhalb K,, so daB

und h(ti) > h(t,) - .r ist. Es sei dann K , der Korper f ( x -a , ) 5 t , . Diesen

ProzeB konnen wir fortsetzen und erhalten so Folgen ( t i } , { t i } mit t l < t i , h(t:) > h(ti) - und {ai}, { K i : f(x - a() 5 t i } , wo die a{, stets aul3erhalh

K , , . . . ~ K i - , liegen und

(5 ) P ( K ( a ; , 1: ) ) 2 h ( t i ) P ( M )

ist. 1st einmal ti = 0, so bricht der Prozel3 ab. Die Korper Ki erfullen die Vor- aussetzungen der Folgerung aus Hilfssatz 1 und konnen daher in hochstens 5'n Teilmengen Tk punktfremder K i zerlegt werden. Fiir jedes dieser Ti gilt wegen der Additivitiit von P ( E )

P ( K ( a , , ti)) 2 h ( t : ) P ( M ) 1

1

C P ( K ( n ; , ti)) 5 P ( W , 2 !I:

also iiber die ganze Folge sunimiert

C P ( K ( a i , t i ) ) 5 v P ( M ) . i

Darnus folgt nach (5 )

P ( M ) h(tl) I C P ( K ( a i , t i ) ) 5 C P ( K ( a i , t,.)) 5 5"'P(M), i k k

a Is0