Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb. 17, 48-52 (197I) �9 by Springer-Verlag 1971

Eine Diskrepanz ftir Magfolgen auf lokalkompakten Gruppen

KLAUS SCHMIDT

w 1. Grundbegriffe und Bezeichnungen

X sei eine lokalkompakte abelsche Gruppe, die das zweite Abziihlbarkeits- axiom erfiillt, und Y= 2 die Gruppe der Charaktere in der iiblichen Topologie. Ftir x e X und ye Y schreiben wit (x, y) anstelle von y(x). Mit R bzw. Z bezeichnen wir die additive Gruppe der reellen bzw. ganzen Zahlen, und mit T die Torus- gruppe R/Z. C(X) sei die Menge der stetigen, komplexwertigen Funktionen aufX, versehen mit der Maximumsnorm, und M(X) die Menge der positiven, normierten RadonmaBe auf X in der schwachen Topologie. X ist hom6omorph'zur Menge aller degenerierten Mage px in M(X). M(X) ist genau dann kompakt, wenn X kompakt ist (s. [12], II, 6). Ist #eM(X), so bezeichnen wir mit/~ das durch/~(f) = ~f ( -x ) d#(x) definierte MaB und mit/~(.) die Fouriertransformierte yon #. Ftir die Faltung zweier MaBe # und v schreiben wir #. v. Das Haarsche MaB auf X bzw. Y bezeichnen wir mit 2 bzw. 2'. Ist r eine fest gew~ihlte reeUwertige, stetige

Funktion auf Y mit r (0) = 1, 1 < r (y) < o% und lim ~ = 0, so wird durch , - , ~ r (y)

Definition 1. I~ (Y)-/)2 (Y)]

dr(#1 , ]A2) = sup r r(y)

eine Metrik in M(X) definiert. Es gilt

Salz 1. d, induziert die schwache Topologie in M (X). (M(X), dr) ist ein voll- stiindiger, separabler, metrischer Raum. d rist invariant gegeniiber der Translation p--. p. p~,x~X.

w 2. Gleichverteilung und Diskrepanz n

(~k) sei eine Folge in M(X). Mit v~ bezeichnen wir --1 ~. Pk- Gilt lim v,= / 4 k = 1 n

I~M(X), so nennen wit #das VerteilungsmaB von (/~k). Ist/~ nur H~iufungspunkt der Folge (v,), so heigt # H~iufungsmaB. Ist X kompakt und besitzt eine Folge (#k) 2 als Verteilungsmag, so nennt man (Pk) in Verallgemeinerung der klassischen Definition von Weyl gleichverteilt. Beschr~inkt man sich auf Mage der Form Px, so erh~ilt man die gleichverteilten Punktfolgen als Spezialfiille der gleichverteilten MaBfolgen. Umgekehrt ist auch die Menge der gleichverteilten MaBfolgen bereits charakterisiert durch die Menge der gleichverteilten Punktfolgen (s. [13]). Ftir die grundlegenden Definitionen und S~itze der Theorie der Gleichverteilung sei im iibrigen verwiesen auf [2], [4], [6] und [7].

Eine Diskrepanz fiir Mal3folgen auf lokalkompakten Gruppen 49

Bezfiglich der Existenz von H~iufungsmagen gilt folgender Satz:

Satz 2. Ist der Abschlufi der Folge (Pk) kompakt, so besitzt (#k) Hiiufungsmafie.

Beweis. Da #k) relativ kompakt ist, ist die Folge gleichm~igig straff. Also sind auch die (v,) gleichm~il3ig straff, und ihr AbschluB ist kompakt.

Ist insbesondere X kompakt, so besitzt (Pa) stets H~iufungsmage.

F fir gleichverteilte Punktfolgen auf X = T m gibt die Diskrepanz D N AufschluB fiber die Gfite der Gleichverteilung einer Folge (xkl, . . . , xkm):

Definition 2. 1 f i DN= sup A(cq,..., c%; N ) - c~ i .

0_-<~i<1 i = 1 l <i<_m

Dabei bedeutet A(cq, ..., c~,,; N) die Anzahl der Punkte (Xkl, ..., Xkm) mit k < N , die im Quader Q ........ = [0, ~a] x.-- x [0, e,,] liegen.

Eine Folge (XkI . . . . ,Xkm) ist genau dann gleichverteilt, wenn l i m D u = 0 ist u (vgl. [4]). In [11] wird die Diskrepanz Du auf Punktfolgen in kompakten, kom- mutativen metrischen Gruppen fibertragen. Jedoch ist in diesem Fall die Gleich- verteilung einer Folge im allgemeinen nicht hinreichend daftir, dab ihre Dis- krepanz gegen 0 geht. Mit Hilfe der Metrik d r soll nun eine Diskrepanz definiert werden, die einen weiteren Anwendungsbereich besitzt, und die insbesondere ffir die Gleichverteilung bezfiglich beliebiger VerteilungsmaBe verwendet werden kann.

X sei lokalkompakt, (#k) eine Folge in M(X), und p e M ( X ) sei beliebig gew~ihlt.

Definition 3. Unter der Diskrepanz dr(N, #) der Folge (#k) in bezug auf # versteht man 1 N

d r ( N , g ) = d r ( V N , # ) ( V N = N - L # k ) �9

Ist X kompakt und #=2 , so werden wir statt dr(N, 2) auch dr(N) schreiben.

w Einige Eigenschaften von d~(N, !0

Satz 3. 1st (#k) eine Folge in M(X), so ist lira dr(N , #) = 0 genau dann, wenn # das VerteilungsmaJ3 yon (#k) ist. n

Das folgt unmittelbar aus Satz 1.

Es sei nun X = Tm. Um die beiden GrSBen dr(N) und DN zu vergleichen, w~ihlen wir r folgendermaBen: Ffir y = (k 1 . . . . , km)eZ m sei r(kl, ... , kin)= k]... k~, mit k~=max(1, Jki[ ).

Ffir dieses spezielle r erh~lt man 1

Satz 4. dr(N) <_cl DN < c2(dr(N)) z +~, wobei cl und c 2 yon der Folge und yon N unabhi~ngige positive Konstante sin&

Beweis. Ffir jedes (ka, ... km)EZ mist nach dem yon Hlawka verallgemeinerten Satz von Koksma (s. [9])

1 N =< ,, ~le2~,r +.-. +k . . . . ) (2~) m [ I k'i" DN.

N - s i= 1 4 z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb., Bd. 17

50 K . S c h m i d t :

Daraus folgt

1 N1 --lm ~ C l sup m s 2e2ni(ktxsl+'''+k~xs~) DN" (kl . . . . . km)#(O . . . . . 0) liV[ k i'

i = 1

Nach einer Verallgemeinerung des Satzes von Erd6s-Turan durch Koksma ist andererseits fiir jedes natiirliche n (vgl. [10])

1 + N ) �9 ~ 1 1 ~ e2 ~i(k, x~ +... +k . . . . . )

f i N s=l / DN_--<c ~ - ,~k~=<. k' i

(k~ . . . . . kin) * ( 0 . . . . . 0) i= 1

"~ k~ <=, i = 1

1) <-c' l + c " d , ( N ) ~ U. - - /~ k = l

(kt . . . . . k.,) # ( 0 . . . . . O)

Die letzte Ungleichung ergibt sich folgendermaBen: Ist d(k) die Anzahl der Teller von k, so gibt es h6chstens d(k) m M6glichkeiten, k als Produkt yon m positiven Zahlen kl ...kin zu schreiben. Nun ist d(k) fiir jedes e > 0 ein o(U), und daraus folgt der letzte Schritt. Es ist also

1 , ) ) , DN<=ci nl+ <=c2(dr(N

n

und daraus folgt die Behauptung.

Cassels [1] versch~irfte einen Satz von van der Corput und Pisot, der ursprting- lich auf Vinogradov zur(ickgeht, und der einen Zusammenhang zwischen der Diskrepanz einer Punktfolge und ihrer Differenzenfolge aufzeigt: Sei X = T. xl, ..., xN seien N Zahle~n in T, DN ihre Diskrepanz, und ~ d i e Diskrepanz der N 2 Differenzen xm- x,, m, n = 1... N. Dann gilt: DN < c. 1/EN2. (1 + l log EN2 ]). Dieser Satz l~igt sich folgendermaBen tibertragen: X sei lokalkompakt. #, #1, ..., #~ seien Mage in M(X). dr(N, #) bzw. G(N 2, #. ~) seien die dr-Diskrepanzen der N Mal3e #1, ..., #N bez. # bzw. der N 2 MaBe #m"/~,, m, n = 1... N, bez. #. ~. Dann ist

Satz 5. G(N z, #. ~)<4d~(N, #). 1st, J~r kompaktes X, # = 2 , so gilt umgekehrt ed N 2, it) > (d,(N)) 2.

N 1 N Beweis. �9 ~ ~k(y).fim(y)--l~(y)[ 2 < 4 ~-29~(y)-~(y). Im Falle

~" k m = l [ k = l J

1 ^ w - r , - 1 ^ . . # = 2 ist mr y . O ~ - 2 #k(Y)" #m(Y) = --U- 2 #k(Y) . Dam~t 1st (dr(N))2=

�9 ' k , m = l L a~ I k = l J

e ~ E ( N 2, ~ , ) ~ e r ( N 2, 2).

Cassels [1] bewies noch eine weitere wichtige Absch~itzung der Diskrepanz einer Folge mit Hilfe der Diskrepanzen gewisser Differenzenfolgen: Sei wieder X = T und x~,. . . , x N eine Folge in T. DN sei ihre Diskrepanz, und "~n-hn(h) die Dis- krepanz der Folge Xh+I--Xl, ...,XN--XN_ h f'tir jedes h = l . . . N - 1 . Dann ist fiir jedes H mit 1 <-H<N,

(N+H)(H+I) ~ l + 2 � 9 DN<c.V~( l+[logoD, mit 09 NH2 �9 h = l '

Eine Diskrepanz ftir Magfolgen auf tokalkompakten Gruppen 51

Wir w~ihlen X kompakt und #~ . . . . . #N in M(X). dr(N) sei ihre Diskrepanz, und d~ )_ h(2) die d~-Diskrepanz der F olg e #h + l"/~1, ..., #N"/~U- h" Dann erhalten wir

H + N - 1 �89 1 2 . }-~ d~)_h(2)| fiir jedes H mit 1<_ Satz6. dr(N)< HN " H - + H H<N.

Beweis. Nach der Fundamentalungleichung yon van der Corput (s. z.B. [-4]) gilt folgendes (s. auch Satz 5):

dr(N)<( H + N - 1)~" ( 1 - t - - " H N

Daraus folgt Satz 6.

2 H-1 )~ HN ~' d(~)-h(2)(H-h)(N-h) "

h = l

Satz 6 stellt eine quantitative Fassung des Hauptsatzes der Gleichverteilung in folgender Form dar: Sei X kompakt. (#k) sei eine Folge in M(X). Besitzt ftir jedes h = 1, 2 . . . . die Folge (#k+h" Pk) das VerteilungsmaB 2, so ist auch (#k) gleich- verteilt (s. [3], [5] und [8]). Um das zu sehen ist nur notwendig, H lest zu w~ihlen und den limes ftir wachsendes N zu betrachten. Fiir jedes H erhiilt man dann

liNm dr(N)<~- , und daraus folgt die Behauptung. 4

Satz 7. X sei kompakt, und (#k) sei eine gleichverteilte Folge in M(X). Fiir jedes #~M(X) ist dann auch die FoIge (#. #k) gleichverteilt. Ist dr(N) die Diskrepanz yon (#k) und d'~(N) die Diskrepanz der Folge (#. #k) SO gilt

d'~(N)<d~(N).

Der Beweis ist unmittelbar einzusehen.

w 4. F o l g e n von M a B e n ~t ~

# sei zun~ichst ein beliebiges Element von M(X). Wir wollen das Verhalten von 1 n

v, = - - ~ #k untersuchen. Offensichtlich gilt Hk=l Satz8. Sei Y1 = {y: / ) (y)=l} . Dann konvergiert (v,) genau dann, wenn I11 often

ist. In diesem Falle strebt (v,) gegen 2H, das normierte Haarsche Marl des Annulla- tors H yon Y1.

Aus Satz 8 und der Tatsache, dab/)( . ) konstant auf den Nebenklassen von Y1 ist, folgt, dab man sich auf kompakte Gruppen X beschr~inken kann.

Beispiele. Sei X kompakt und #eM(X) so beschaffen, dab ,!nflf~(y ) - 1[ > 0

ist. Dann ist fiir jedes r die Diskrepanz dr(N)der Folge (#k)ein O ( 1 ) . Dieses

Resultat gilt z.B. fiir alle absolut stetigen Mage auf dem Torus. Ist #=Px ftir ein xeX , so l~iuft das Problem der Bestimmung der Ordnung

1 der Diskrepanz auf die Untersuchung des Ausdrucks hinaus,

r(y). [1 - ( x , y)] und damit, im Falle des Torus, auf die diophantischen Approximationseigen- schaften von x. 4*

52 K. Schmidt: Eine Diskrepanz ftir Magfolgen auf lokalkompakten Gruppen

Bemerkung. Es lassen sich viele weitere Ergebnisse aus der quantitativen Theorie der Gleichverteilung von Punktfolgen mit Hilfe der Diskrepanz dr in iihnlicher Form ffir Folgen von MaBen formulieren. So l~iBt sich insbesondere ein dem Satz von Koksma (s. [4]) analoges Resultat zeigen, das es erlaubt, mit Hilfe der Diskrepanz dr Integrationsfehler abzusch~itzen. Jedoch soil darauf an anderer Stelle und unter allgemeineren Voraussetzungen fiber die Summierungs- verfahren eingegangen werden (s. [14]).

Literatur 1. Cassels, J. W. S.: A new inequality with application to the theory of Diophantine approximation.

Math. Ann. 126, 108 - 118 (1953). 2. Cigler, J.: Folgen normierter MaBe auf kompakten Grnppen. Z.Wahrscheinlichkeitstheorie verw.

Geb. 1, 3 - 13 (1962). 3. - The fundamental theorem of van der Corput on uniform distribution and its generalizations.

Compositio 16, 2 9 - 34 (1964). 4. -He lmberg , G.: Neuere Entwicklungen in der Theorie der Gleichverteilung. J.-ber. Deutsch.

Math. Verein 64, 1 - 5 0 (1961). 5. Corput, J. G. van der: Diophantische Ungleichungen L Acta math. 56, 373 - 4 5 6 (1931). 6. Hlawka, E.: Zur formalen Theorie der Gleichverteilung in kompakten Gruppen. Rend. Circ.

mat. Palermo II ser. 4, 3 3 - 4 7 (1955). 7. - Folgen auf kompakten R~umen. Abh. math. Sere. Univ. Hamburg 20, 223-241 (1956). 8. - Zum Hauptsatz der Theorie der Gleichverteilung. Osterreich. Akad. Wiss., math. naturw.

K1. Anzeiger 313-317 (1957). 9. - Funktionen yon beschr~nkter Variation in der Theorie der Gleichverteilung. Ann. Mat. pura

appl. IV. Set. (1961). 10. Koksma, J.F.: Some theorems on Diophantine inequalities. Math. Centrum Amsterdam (1950). 11. Niederreiter, H.: Diskrepanz auf kompakten Gruppen. Dissertation, Wien (1968). 12. Parthasarathy, K.R.: Probability measure on metric spaces. New York: Academic Press 1967. 13. Schmidt, K.: fJber einen Zusammenhang zwischen gleichverteilten Punkt- und MaBfolgen. J.

reine angew. Math. 244, 9 4 - 9 6 (1970). 14. - Uber die C-Gleichverteilung yon MaBen. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb. 17 (1971).

Dr. Klaus Schmidt Bedford College University of London Regents Park London NW 1/Great Britain

(Eingegangen am 6. Juni 1969)