Eine Fields-Medaille für Stas SmirnovDaniel Meyer und Dierk Schleicher

Stanislav Smirnov, meist „Stas“ genannt, erhielt seine Fields-Medaille „für den Beweis der konformen Invarianz von Perko-lation und dem ebenen Ising-Modell in der Statistischen Phy-sik“ auf dem International Congress of Mathematicians (ICM)2010 in Hyderabad. In diesem Beitrag wollen wir einen Ein-druck davon vermitteln, was seine Ergebnisse bedeuten undwarum sie wichtig sind.

Stas wurde am 3. September 1970 in Sankt Petersburg(Russland) geboren (so dass er seine Fields-Medaille 16Tage vor seinem 40. Geburtstag überreicht bekam1). Staswar bereits zu Schulzeiten höchst erfolgreich: Bei denInternationalen Mathematik-Olympiaden 1986 und 1987gewann er jeweils Gold, beide Male mit voller Punktzahl.

Stas studierte zunächst in Sankt Petersburg; sein Betreu-er in Mathematischer Analysis war Viktor Havin. Im Jahre1996 promovierte er am California Institute of Technolo-gy bei Nikolai Makarov mit einer Arbeit aus dem Gebietder holomorphen Dynamik über die Spektralanalysis vonJulia-Mengen. In der holomorphen Dynamik arbeitete erauch in den folgenden Jahren; seine bekanntesten Arbei-ten sind beide in den Inventiones erschienen [7, 11]. Stashatte befristete Stellen in Yale, am Max-Planck-Institut inBonn und am Institute for Advanced Studies in Princeton,bevor er 1998 nach Stockholm an die Königliche Techni-sche Universität und die Königliche Akademie der Wis-senschaften ging. Seit 2003 ist er Professor für Mathe-matik in Genf. Gegenwärtig ist er Gastprofessor in SanktPetersburg. Zu seinen weiteren Auszeichnungen gehörender Salem-Preis (2001, mit Oded Schramm), ein Clay-Forschungspreis (2001) und der Preis der EuropäischenMathematischen Gesellschaft (2004).

Das Fields-Medaillen-Komitee stellt Stas’ bahnbrechendeArbeiten in der Statistischen Physik in zwei Dimensionenheraus (vgl. [9]). Dies ist eine sehr aktive Forschungs-richtung in Physik wie auch in Mathematik. Eines derzentralen Themen in Statistischer Physik sind „Phasen-übergänge“, und in dem betrachteten Kontext sind sie ambesten zu verstehen. Physiker haben viele bemerkenswer-te Ergebnisse in dieser Richtung erzielt; die verwendetenMethoden sind aus mathematischer Sicht aber nicht im-mer rigoros. Von den untersuchten Modellen wurdeangenommen, dass sie einen Skalierungsgrenzwert habenund dass dieser Grenzwert bestimmte nützliche Eigen-schaften hat. Stas hat gezeigt, dass zwei besonders wich-tige Modelle die angenommenen Eigenschaften wirklichhaben und hat dadurch viele Ergebnisse der Physiker aufeine stabile Grundlage gestellt. Wir möchten betonen,dass sich die von Stas und seinen Kollegen verwendeten

Abbildung 1. Stas Smirnov in Bremen bei der Feier zum 50.Jubiläum 2009 der Internationalen Mathematik-Olympiade

Methoden nicht nur grundlegend von denen in der Phy-sik benutzten unterscheiden, sondern zudem auch nocheinfacher sind. Stas’ Arbeit besteht also nicht nur darin,Ergebnisse neu zu beweisen, die Physiker ohnehin „wuss-ten“, sondern sie liefert starke neue Techniken und Ein-sichten.

Eine wichtige Frage in der Statistischen Festkörperphy-sik besteht darin, makroskopische Eigenschaften von Ma-terialien zu verstehen, die aus einer großen Zahl kleinerTeilchen, etwa Atomen, bestehen, die in einem Gitter an-geordnet sind – siehe Abbildung 2. Jedes Atom kann sichin einem von endlich vielen Zuständen befinden, und dieFrage ist, wie die makroskopischen Materialeigenschaftenvon den Zuständen der Atome und ihren Wechselwir-kungen abhängen.

Ein wichtiges Szenario besteht darin, dass alle Atome„Elementarmagnete“ sind, die sich im einfachsten Fallin einem von zwei Zuständen befinden, also etwa nachoben oder unten zeigen. Wenn viele Elementarmagnetealle in die gleiche Richtung zeigen, dann ist das makros-kopische Material magnetisch. Benachbarte Elementar

Abbildung 2. Links: Ein zweidimensionales Gebiet ist durch einRechteck-Gitter gefüllt; Mitte: das gleiche Gebiet mit einemregulären Dreiecksgitter; rechts: das gleiche Gebiet mit einemregulären Dreiecksgitter mit viel kleinerer Gitterkonstante.

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magnete „wollen“ in die gleiche Richtung zeigen: Es gibt(letztlich wegen des Pauli-Prinzips der Quantenmecha-nik) eine feste positive Energiedifferenz zwischen „par-allelen“ und „antiparallelen“ Energiezuständen jeweilszweier benachbarter Atome. Zustände niedriger Ener-gie haben eine höhere Wahrscheinlichkeit. Daher findetman typischerweise kleinere oder größere Gebiete be-nachbarter Elementarmagnete, die in die gleiche Rich-tung zeigen. Dies hängt von einer externen Größe ab, derTemperatur, die im Wesentlichen „Energie pro Freiheits-grad“ bedeutet. Je niedriger die Temperatur, desto mehrBedeutung hat der durch Parallelität benachbarter Ele-mentarmagnete bedingte Energiegewinn im Vergleich zurDurchschnittsenergie, die von der Temperatur kommt;und umso größer sind die Gebiete gleich orientierter Ma-gnete. Es stellt sich heraus, dass es eine kritische Tempe-ratur gibt, die „Curie-Temperatur“, bei der das Verhaltensich plötzlich ändert: Unterhalb der Curie-Temperaturgibt es große makroskopische Gebiete parallel orientier-ter Elementarmagnete, während es oberhalb dieser Tem-peratur keine makroskopische Magnetisierung gibt. Phy-siker nennen eine solche plötzliche Änderung des Ver-haltens einen „Phasenübergang“, und das Verhalten derGebiete gleicher Magnetisierung ist bei Weitem am in-teressantesten bei der „kritischen Temperatur“ (ein ana-loger Phasenübergang findet beim Schmelzen von Eis zuWasser statt). Das bekannteste Modell, das diesen Ma-gnetismus beschreibt, ist als Ising-Modell bekannt.

Wovon hängt die Form der Gebiete gleicher Magneti-sierung bei der kritischen Temperatur ab? Eine grundle-gende Eigenschaft, die die Physiker seit Langem erwar-tet haben, ist die Existenz eines Skalierungsgrenzwertes:Wenn die Größe und der gegenseitige Abstand der Ele-mentarmagnete (also die Gitterkonstante) gegen null ge-hen, so dass das Gitter unendlich fein wird, dann kon-vergieren die Formen der Magnetisierungsgebiete gegeneinen Grenzwert (genauer gesagt, hat ihre Wahrschein-lichkeitsverteilung einen Grenzwert). Eine zweite Eigen-schaft ist Universalität in Bezug auf Gitter: Die Formenim Skalierungsgrenzwert hängen nicht vom verwendetenGitter ab, sie sind also z. B. für Rechteck- und Dreiecks-gitter dieselben (obwohl sich die kritische Temperaturbei unterschiedlichen Gittern unterscheidet).

Eine dritte Eigenschaft, konforme Invarianz, bedeutet Fol-gendes: Eine konforme Abbildung ist eine glatte bijek-tive Abbildung, die Winkel erhält (zumindest infinitesi-mal); der Riemannsche Abbildungssatz zeigt, dass es inder Ebene eine Vielzahl konformer Abbildungen gibt: jezwei einfach zusammenhängende Gebiete in der Ebene(außer der gesamten Ebene natürlich) haben eine Abbil-dung, die das eine Gebiet konform und bijektiv auf dasandere abbildet.

Betrachten wir also zwei konform äquivalente Gebiete.Wir approximieren jedes davon durch ein Gitter (wie inAbbildung 2). Jeder Gitterpunkt enthält einen Elementar-magneten, der nach „oben“ oder „unten“ zeigen kann.

Wir betrachten die Gebiete gleicher Magnetisierung beider Curie-Temperatur und untersuchen den Skalierungs-grenzwert, d. h. wir verwenden immer feinere Gitter, umdiese Gebiete zu approximieren. Dann bilden wir mitder konformen Abbildung die resultierenden Gebiete vondem einen Gebiet auf das andere ab. Konforme Invarianzbedeutet, dass die entstehenden Bilder des ersten Ge-biets, in das zweite Gebiet transportiert, sich von denim zweiten Gebiet entstehenden nicht unterscheiden; ge-nauer gesagt, ist ihre Wahrscheinlichkeitsdistribution diegleiche (obwohl die konforme Abbildung das erste Gitternicht auf das zweite abbildet).

Konforme Invarianz vereinfacht viele Fragestellungen er-heblich. Zum Beispiel brauchen wir uns um eine even-tuell komplizierte Form des Gebiets keine Gedanken zumachen, denn wir können einfach in einem „schönen“Gebiet wie etwa einer Kreisschreibe arbeiten.

Stas hat bewiesen, dass das Ising-Modell in der Tat einenSkalierungsgrenzwert hat, dass dieser Grenzwert univer-sell ist (in gemeinsamer Arbeit mit Dmitry Chelkak) unddass dieser konform invariant ist; siehe [16, 6]. Dies stelltdas wichtigste Modell zur Beschreibung von Magnetis-mus, das Ising-Modell, auf solide mathematische Grund-lagen.

Weitere fundamentale Arbeiten von Stas beziehen sichauf Perkolation.2 Dies ist ein sehr aktives Gebiet mit vie-len Verbindungen zwischen Mathematik und unterschied-lichen Anwendungen; vor nicht allzu langer Zeit war diesein Thema einer „Mathematischen Arbeitsgemeinschaft“in Oberwolfach [2]. Wir haben wieder ein ebenes Ge-biet, das mit gitterförmig angeordneten Atomen gefülltist. Dieses beschreiben wir durch einen großen Graphen:Die Atome bilden die Ecken, und Kanten verbinden be-nachbarte Atome. Jede Ecke kann einen von zwei Zustän-den einnehmen: „offen“ oder „geschlossen“. Wir interes-sieren uns für Gruppen offener Ecken, die durch Kanten-züge verbunden werden können, die nur entlang offenerEcken laufen: wenn beispielsweise „offen“ als „elektrischleitend“ interpretiert wird, dann interessieren wir uns fürelektrisch leitende Gebiete.3 Diese allgemeine Situationbeschreibt nicht nur elektrisch leitende makroskopischeObjekte, sondern auch poröse Medien, die Flüssigkeitendurchlassen können oder auch nicht; diese sind beispiels-weise in der Geologie und anderen Wissenschaften vonInteresse. Perkolation ist auch verwendet worden, umdie Ausbreitung von Krankheiten, Feuern oder Gerüch-ten zu modellieren, die Verdrängung von Öl durch Was-ser, oder das Verhalten elektrischer Schaltkreise [2]. Diemathematische Standardreferenz über Perkolation ist dasBuch von Grimmett [8], und es gibt einen schönen ein-führenden Text von Kesten [10].

Nehmen wir an, alle Ecken sind unabhängig voneinan-der offen oder geschlossen, so dass jede Ecke mit ei-ner bestimmten Wahrscheinlichkeit p offen ist. Hier gibtes wieder einen Phasenübergang: Es gibt eine kritischeWahrscheinlichkeit pcrit , so dass für alle p > pcrit die

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Wahrscheinlichkeit dafür, dass es ein einziges großes zu-sammenhängendes Gebiet offener Ecken gibt (und vielekleine), gegen eins geht (im Grenzfall, dass die Eckenzahlnach ∞ geht). Ist hingegen p < pcrit , dann sind die zu-sammhängenden verbundenen Gebiete klein, und es gibtviele davon.

Sei also U ⊂ R2 ein einfach zusammenhängendes Ge-

biet, das durch ein Gitter gefüllt ist (sagen wir, ein re-guläres Dreiecksgitter), und seien I und J zwei disjunk-te zusammenhängende Teilmengen des Randes von U .Wir stellen die Frage, ob I und J durch einen Weg imGitter verbunden werden können, der nur durch offe-ne Ecken läuft. Wie zuvor interessieren wir uns für denSkalierungsgrenzwert, wenn die Gitterkonstante gegennull geht. Falls p < pcrit , dann ist die Verbindungswahr-scheinlichkeit im Grenzwert gleich null, während sie fürp > pcrit gleich eins ist. Die interessante Frage ist, wasman im kritischen Fall p = pcrit aussagen kann. Wie siehtdie kritische Perkolation aus?

Die Verbindungswahrscheinlichkeit (für ein gegebenesGitter bei der kritischen Wahrscheinlichkeit pcrit ) hängtnatürlich von U , I , J und der Gitterkonstanten ab. Stashat die (völlig nicht-offensichtliche) Tatsache bewiesen,dass der Skalierungsgrenzwert existiert, und er hat ei-ne Formel für diese Grenzwahrscheinlichkeit bewiesen,die von John Cardy 1992 mit nicht-rigorosen Methodenvorhergesagt worden war [4]. Cardys Formel ist kompli-ziert:

3Γ(2/3)Γ(1/3) η1/3

2F1(1/3, 2/3, 4/3; η) ;

dies benutzt die Γ-Funktion und die hypergeometrischeFunktion 2F1, und η beschreibt die geometrische Größeder ausgezeichneten Randgebiete I und J ; siehe unten.

Eine andere fundamentale Eigenschaft, die Physiker seitLangem erwartet haben, ist konforme Invarianz. In die-sem Falle lässt sie sich quantitativ folgendermaßen aus-drücken: Seien U und U′ zwei Gebiete mit ausgezeichne-ten zusammenhängenden Rand-Teilen I , J bzw. I ′, J ′, sodass es einen konformen Isomorphismus (eine Riemann-Abbildung) von U nach U′ gibt, die die Randteile I nach I ′und J nach J ′ abbildet (in anderen Worten, (U, I, J) und(U′, I ′, J ′) sind konform äquivalent). Konforme Invarianzbesagt, dass diese beiden Gebiete die gleiche Übergangs-wahrscheinlichkeit haben (im Skalierungsgrenzfall) – ob-wohl, wie oben, die konforme Abbildung die Gitter selbstnicht aufeinander abbilden wird. Dies gibt eine einfacheInterpretation von η als konformem Modul der ausgezeich-neten Ränder: Es gibt eine (im Wesentlichen eindeutige)konforme Abbildung von U auf ein Rechteck, so dass Iund I ′ auf gegenüberliegende Seiten abgebildet werden.Dann ist η das Verhältnis der Seitenlängen von R .

Lennart Carleson hat eine leicht verständliche Interpre-tation von Cardys Formel in einem einfachen Spezialfallgefunden: Angenommen, U ist ein gleichseitiges Dreieckmit Ecken a, b und c , und sei d ein weiterer Punkt auf

Abbildung 3. Wendelin Werner und Stas Smirnov im Jahre 2009(bei der Verteidigung der Doktorarbeit von Antti Kemppainen, einesDoktoranden von Stas). Foto: O. Ajanki.

der Seite bc . Sei I die Seite (ab), und sei J das Inter-vall (cd) ⊂ (bc). Dann ist die Übergangswahrscheinlich-keit einfach |cd |/|ab|: Die oben genannte komplizierteFormel von Cardy nimmt hier also eine ganz einfacheForm an. Natürlich muss Cardys Formel in diesem Spe-zialfall auch bewiesen werden: Aber wenn konforme In-varianz bewiesen ist, dann reicht das aus, um den allge-meinen Fall zu zeigen; Stas hat beides bewiesen [15, 17](die Kompliziertheit der Formel resultiert also allein ausder Riemann-Abbildung des Dreiecks auf ein Rechteck).Dies kam völlig unerwartet: in dem gleichen Jahr 2001,in dem Stas dieses Ergebnis fand, erschien eine Arbeitvon Greg Lawler, Oded Schramm und Wendelin Wer-ner [11] mit folgendem Zitat: „Gegenwärtig scheint einBeweis dieser Vermutung [dass der Skalierungsgrenzwertexistiert und konform invariant ist] völlig außer Reich-weite . . . “ (Wendelin Werner erhielt 2006 seine Fields-Medaille.) Allerdings ist bis heute die Universalität fürPerkolation nicht bekannt: Stas’ Argumente benutzen dieStruktur des Dreiecksgitters in sehr cleverer Weise. Bisjetzt ist es noch nicht gelungen, diese Argumente etwaauf das Rechteck-Gitter zu übertragen. Eine vereinfachteDarstellung seiner Argumente findet sich in [1].

Die zusammenhängenden Gebiete offener Ecken habensehr komplizierte Ränder; im Skalierungsgrenzwert wer-den sie durch eine (probabilistische) Kurve beschrieben,die aus einem „Schramm-Loewner-Evolution mit Para-meter 6“ genannten Prozess hervorgeht. Karl Löwner(der sich später Charles Loewner nannte) hatte in den1920er Jahren einen Evolutionsprozess konformer Ab-bildungen eingeführt, um einen Spezialfall der berühm-ten Bieberbach-Vermutung über konforme Abbildungenzu zeigen. Eine stochastische Version davon ist von OdedSchramm in den 1990er Jahren eingeführt worden, um

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alle Zufallskurven zu beschreiben, die bestimmte Eigen-schaften statistischer Unabhängigkeit erfüllen [14, 13].Diese Prozesse hängen von einem reellen Geschwindig-keitsparameter κ > 0 ab. Mittlerweile ist dieser Prozessals „Schramm-Loewner-Evolution“ bekannt und wird SLE(oder genauer SLE(κ)) genannt. Durch diese Zufallskur-ven lassen sich viele Prozesse der Statistischen Physikbeschreiben. Stas hat gezeigt, dass kritische Perkolation(genauer, der Skalierungsgrenzwert der Randkurven zu-sammenhängender „offener“ Gebiete im Dreiecksgitter)sich durch SLE mit Parameter κ = 6 beschreiben lässt.

Auch seine Arbeit zum Ising-Modell hängt eng mit SLEzusammen. Hier benutzt er die Konzepte von SLE, umkonforme Invarianz zu beweisen: Er zeigt nämlich, dassdie Randkurven im Ising-Modell bei kritischer Tempera-tur gerade durch SLE(3) gegeben sind, und folgert darausdie konforme Invarianz.

Stas ist ein Mathematiker mit breitgefächterten For-schungsinteressen und vielfältigen Begabungen. Er hältexzellente Forschungsvorträge: Er ist ein Meister darin,das Umfeld, die Fragestellungen und ihre Bedeutung span-nend und verständlich klarzumachen, beschreibt dann diebekannten Teilergebnisse und schließt normalerweise mitdem Beweis des allgemeinen Falls. Er hat enorme Kreati-vität, innerhalb und außerhalb der Mathematik, und meintvon sich selbst, er habe einen „unglaublich schrägen“ Sinnfür Humor; das können wir fröhlich bestätigen, außerdas „schräg“. Seine Fähigkeit, komplexe Zusammenhän-ge eingängig zu beschreiben, findet sich zum Beispiel indem Text [19], der für mathematisch interessierte Nicht-Experten geschrieben ist.

Als er die Fields-Medaille verliehen bekommen hatte,sagte er von sich selbst: „Ich freue mich darauf, wei-tere Theoreme zu beweisen, und hoffe, dass das Ge-wicht dieser Auszeichnung mich nicht bremsen wird“ [3].Einen schönen Ausdruck findet das im Web-Blog von Ti-mothy Gowers [5], einem Mitglied des Fields-Medaillen-Komitees. Er beschreibt die Vorstellung von Stas’ Arbei-ten auf dem International Congress of Mathematicians(ICM) durch Harry Kesten:

Seine nächste Bemerkung war eine sehr angeneh-me Überraschung: seitdem das Komitee seine Ent-scheidung gefällt hatte – in der Tat, in den vergan-genen zwei Monaten –, hat Smirnov ein weiteresgroßes Theorem bewiesen. [. . . ] Das Angenehmedaran war einfach, dass man als Komiteemitglied ei-ne Bestätigung haben möchte, die richtige Wahl ge-troffen zu haben (sofern man sinnvollerweise über-haupt von einem Konzept der ,richtigen Wahl‘ spre-chen kann . . . ). Ein wichtiger Aspekt der Medailleist, vielversprechendes Potenzial auszuzeichnen, unddaher begrüße ich mit dankbarer Überraschung dieTatsache, dass Smirnov dieses Versprechen auf dieZukunft in großartiger Weise einlöst, sogar vor demICM.

Abbildung 4. Perkolation auf einem Dreiecksgitter. Offene Eckensind gelb, geschlossene Ecken blau, und Ecken sind durch Sechseckemaximaler Größe dargestellt, so dass die Sechsecke gerade dieEbene füllen. Eine dicke Linie kennzeichnet den Rand des großenoffenen (gelben) Bereichs. Im Skalierungsgrenzfall wird dies eineSLE(6)-Kurve sein. (Abbildung aus [9].)

Das Ergebnis, auf das Gowers sich bezieht, ist die präzi-se Bestimmung der Verbindungskonstante (connective con-stant) für das ebene hexagonale Gitter mit dem Wertp

2 +√

2. Wir werden dies hier nicht beschreiben – Stasselbst hat es schön erklärt in [19].

Wir schließen mit dem Bericht von einem kleinen „Un-fall“ und einer Anekdote. Um ein besseres Verständnisfür das Verhalten von Perkolation und alle seine Mög-lichkeiten zu bekommen, hatte einer der Pioniere die-ses Gebiets, Oded Schramm, ein Computerprogrammgeschrieben, das Zufallsbilder von Perkolation erzeugte.Nachdem er sich einige dieser Bilder auf dem Computerangesehen hatte, beschloss Stas, einige davon auszudru-cken und schickte das Programm vor dem Mittagessenan den Drucker. Was er nicht wusste war, dass das Pro-gramm fortlaufend neue Bilder erzeugt, so dass er beider Rückkehr vom Essen kartonweise Zufallsbilder vonPerkolation vorfand. Ob diese ihm geholfen haben, mehrErfahrung und eine bessere geometrische Intuiton zu ge-winnen?

Zum Schluss eine Anekdote vom ICM in Hyderabad,auf dem Stas unter großer medialer Aufmerksamkeit dieFields-Medaille erhielt. Er hatte versucht, sich darauf vor-zubereiten, indem er zuvor einschlägig erfahrene Freundegefragt hatte, wie viel Trubel er zu erwarten habe und wielange dieser wohl anhielte. Was er nicht erwartet hatte,waren die zwei am häufigsten gestellten Fragen der russi-schen Journalisten (die offensichtlich ihrerseits Erfahrungmit russischen Fields-Medaillisten hatten). Frage 1: „Wer-den Sie die Fields-Medaille ebenfalls ablehnen?“ Wenn erversicherte, dass er das nicht vorhabe, kam Frage 2: „Waswerden Sie mit der Million Dollar tun?“4

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Anmerkungen1. Die Regeln zur Fields-Medaille sehen vor, dass „junge“ Ma-thematiker ausgezeichnet werden sollen. Dies wird üblicherwei-se, aber inoffiziell, interpretiert als „im Alter von unter 40 Jah-ren“ – aber Stichtag ist nicht der Tag der Überreichung, sondernder 1. Januar davor.2. Das Wort to percolate bedeutet durchsickern oder auch fil-tern. Ein ,Percolator‘ ist eine Kaffeemaschine.3. Dieses Modell beschreibt „Eckenperkolation“ (site perco-lation); man kann Perkolation auch so definieren, dass nichtEcken, sondern Kanten „offen“ oder „geschlossen“ sein können:Dies ist als „Kantenperkolation“ (bond percolation) bekannt.Jedes Kantenperkolations-System lässt sich auch als Eckenper-kolation (auf einem anderen Graphen) beschreiben, aber nichtimmer umgekehrt; daher ist Eckenperkolation das allgemeinereModell.4. Dies ist natürlich ein Insiderwitz: Der vorherige russischeFields-Medaillist ist Grigori Perelman, eine sehr ungewöhnlichePersönlichkeit; er kommt wie Stas aus Sankt Petersburg undging sogar auf die gleiche Schule. Er erhielt die Fields-Medaille2006, hat sie aber abgelehnt. Der Geldpreis, der zu einer Fields-Medaille gehört, ist mit etwa 15 000 Dollar relativ gering. Ei-nes von Perelmans wichtigsten Ergebnissen ist der Beweis derPoincaré-Vermutung (sogar in einer stärkeren Form, die aufThurston zurückgeht), und dies war eines der sieben Probleme,für die die Clay-Stiftung jeweils eine Million Dollar ausgelobt hat-te. Diesen Preis hat Perelman ebenfalls abgelehnt, relativ kurzvor dem ICM (die Mitteilungen berichteten in Heft 18-3). Stas’Arbeiten haben nicht direkt mit den Clay-Problemen zu tun, da-her erhielt er nur den relativ bescheidenen Betrag von 15 000Dollar.

Literatur

[1] Vincent Beffara: Cardy’s formula on the triangular lattice, the ea-sy way. In: Ilia Binder und Dirk Kreimer (eds.): Universality andrenormalization. Fields Inst. Commun. 50, Amer. Math. Soc.,Providence, RI, 2007, pp. 39–45.

[2] Vincent Beffara, Jacob van den Berg und Federico Camia:Oberwolfach Arbeitgemeinschaft: Percolation. Abstracts from thesession held October 7–13, 2007. Oberwolfach Reports 4 4(2007), 2851–2892

[3] Alex Bellos, Mathematics ‘Nobel’ rewards boundary-bustingwork. New Scientist (online edition, 19 August 2010).http://www.newscientist.com/article/dn19337-mathematics-nobel-rewards-boundarybusting-work.html.

[4] John L. Cardy: Critical percolation in finite geometries. J. Phys. A25 4 (1992).

[5] Timothy Gowers, Gowers’ weblog. http://gowers.wordpress.com/2010/08/22/icm2010-smirnov-laudatio/.

[6] Dmitry Chelkak und Stanislav Smirnov: Universality in the 2DIsing model and conformal invariance of fermionic observables.ArXiv 0910.2045.

[7] Jacek Graczyk und Stanislav Smirnov: Non-uniform hyperbolicityin complex dynamics. Invent. Math. 175 2 (2009), 335–415.

[8] Geoffrey Grimmett: Percolation, 2nd edition. Springer-Verlag1999, 444 pp.

[9] Harry Kesten: The work of Stanislav Smirnov. Availableat: http://www.icm2010.org.in/wp-content/icmfiles/laudaions/fields3.pdf [sic!]

[10] Harry Kesten: What is . . . percolation? Notices Amer. Math.Soc. 53 5 (2006), 572–573.

[11] Greg Lawler, Oded Schramm und Wendelin Werner: Valuesof Brownian intersection exponents I, half-plane exponents. ActaMath. 187 (2001), 237–273.

[12] Feliks Przytycki, Juan Rivera-Letelier und Stanislav Smirnov:Equivalence and topological invariance of conditions for non-uniform hyperbolicity in the iteration of rational maps. Invent.Math. 151 1 (2003), 29–63.

[13] Steffen Rohde und Oded Schramm, Basic properties of SLE,Ann. of Math. (2) 161 (2005), 883–924.

[14] Oded Schramm, Scaling limits of loop-erased random walks anduniform spanning trees. Israel J. Math. 118 (2000), 221–288.

[15] Stanislav Smirnov: Critical percolation in the plane. ComptesRendus Acad. Sci. Paris, Series Math. 333 (2001), 239–244.

[16] Stanislav Smirnov: Conformal invariance in random cluster mo-dels. I. Holomorphic fermions in the Ising model. Ann. of Math.(2) 172 2 (2010), 1435–1467.

[17] Stanislav Smirnov: Critical percolation in the plane. Ar-Xiv:0909.4499.

[18] Stanislav Smirnov: Discrete Complex Analysis and Probability.Wird erscheinen in: Proceedings of the International Con-gress of Mathematicians (ICM), Hyderabad, India, 2010. Ar-Xiv: 1009.6077

[19] Stanislav Smirnov: How do Research Problems Compare withIMO Problems? – A Walk Around Games. Wird erscheinen in: Aninvitation to mathematics – from competitions to research (DierkSchleicher and Malte Lackmann, editors), Springer-Verlag.

Prof. Daniel Meyer, PhDProf. Dierk Schleicher, PhDJacobs University, Research I, Postfach 750 561, 28725 Bremendmeyermail@gmail.comdierk@jacobs-university.de

Daniel Meyer erhielt seinen Doktor 2004 an University of Washing-ton in Seattle. Danach war er Postdoc an der University of Michi-gan, Ann Arbor, an der Universität von Genf und der Universitätvon Helsinki. Seit 2011 ist er Professor an der Jacobs UniversitätBremen.

Dierk Schleicher promovierte 1994 an der Cor-nell University in New York und war danachPostdoc in Berkeley und an der TU München,dann Gastprofessor in Stony Brook und an derLMU München, bevor er 2001 als erster Profes-sor an die Jacobs University Bremen ging. Län-gere Forschungsaufenthalte führten ihn an dasIHES und später das IHP in Paris und an dasFields-Institut in Toronto. Er war einer der ver-antwortlichen Organisatoren der Internationa-len Mathematik-Olympiade 2009 in Bremen.

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