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Ubersicht

Eine neue Informatik fur Quantenrechner?

Roland Rudiger

Fachbereich Informatik – FH Braunschweig/Wolfenbuttel

6. Dezember 2005Beitrag zur FH-Vortragsreihe Wissenschaft trifft Wirtschaft

sowie zur Vortragsreihe der

Regionalgruppe Braunschweig der Gesellschaft fur Informatik (GI)

Roland Rudiger Eine neue Informatik fur Quantenrechner?

Ubersicht

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1 Einfuhrung

2 QuantensystemeGrundpostulate der TheorieKonsequenz der Linearitat: No-CloningKonsequenz der Linearitat: Verschrankung

3 QuantenalgorithmikBerechnungsmodelleEin Quantenalgorithmus

4 QuantenprogrammiersprachenZiele und DesignBeispiel: zwei imperative Sprachen

5 Ausblick und Resumee


EinfuhrungQuantensysteme

QuantenalgorithmikQuantenprogrammiersprachen

Ausblick und Resumee

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1 Einfuhrung









”klassische“ Informatik 1/27

Klassenhöhere Programmiersprachen

ModuleADTsfunktionale SprachenProzessalgebren...

höhere Strukturen

klassische Hardware

0, 1 + Instruktionssatz eines Prozessors





”Quanten-Informatik“ – ein neues Gebiet? 2/27

Quantenprogrammiersprachen

höhere Strukturen???

???

...

Quantenhardware

|0>, |1> + unitäre Transformationen





Grundpostulate der TheorieKonsequenz der Linearitat: No-CloningKonsequenz der Linearitat: Verschrankung

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1 Einfuhrung










Zustandsraume klassisch 3/27

. Zustandsraum in klassischem System:z. B.: in Algorithmus oder Automat

. typisch: von der Realisierung (Implementierung) vonZustanden und Zustandsubergangen wird abstrahiert

. Gemeinsamkeiten von Quanten- und klassischen Systemen:

Innerhalb eines Alg. befindet sich das System jederzeit ineinem Zustand, reprasentiert durch lokale Variablen des Alg.Das System wird prapariert durch einen Aufruf, eineAktivierung des AlgorithmusDer Zustand unterliegt einer Dynamik, z. B. Berechnung vonAusdrucken, Zuweisungenam Ende: Ergebnis wird mit return ausgelesen (

”Messung“)






Zustandsraume quantenmechanisch 4/27

. analog: Bestandteile der Beschreibung von Quantensystemen:1 Zustandspraparation2 zeitliche Entwicklung des Zustands3 abschließende Messung

. tiefliegende Unterschiede von Quanten- zu klass. Systemen:

Zustande sind interferenzfahig, insbesondere auch inzusammengesetzten SystemenNur statistische Aussagen sind moglich.Dynamik in abgeschlossenen Systemen ist reversibel(”U-Entwicklung“, Roger Penrose in [Pen94])

Die abschließende Messung (”Vergroberung auf die klassische

Ebene“) vernichtet irreversibel einen Teil der vorhandenenInformation (

”R-Entwicklung“, Penrose in [Pen94]).






Formale Postulate (1) 5/27

. Postulat 1: Zu jedem isolierten physikalischen System gehortein komplexer Vektorraum mit Skalarprodukt (Hilbert-Raum),der Zustandsraum. Traditionelle Notation fur Vektoren: |ψ〉

. Postulat 2: Die zeitliche Entwicklung eines abgeschlossenenQuantensystems wird beschrieben durch eine unitareTransformation (in diesem Kontext: eine Drehung):

|ψ′〉 = U|ψ〉(|ψ′〉 = statet=t2 , |ψ〉 = statet=t1

)






Formale Postulate (2) 6/27

. Postulat 3: Eine Messung bedeutet eine”Zustandsreduktion“.

. Postulat 4: Zustandsraum eines zusammengesetztenphysikalischen Systems (das “UND” in der Quantenphysik(Penrose [Pen94])): Tensorprodukt der Zustandsraume derKomponenten-Systeme.

formal:|ψn−1〉 ⊗ · · · ⊗ |ψ1〉 ⊗ |ψ0〉

und Superpositionen solcher Zustande






Begrundung und Anwendung 8/27

. Einfache Begrundung (im Prinzip): Die Operation Ucopy in

|ψ〉|ψ〉 = Ucopy (|b〉|ψ〉)

kann im zweiten Argument nicht linear sein (Widerspruch zurUnitaritat von Ucopy)

. Konkrete Konsequenzen:

Z. B. gibt es also kein Gerat, das den Polarisationszustandeines Photons registriert (ohne Messung), diesen auf einzweites Photon ubertragt und dann beide weiterschickt.bereits realisierte Anwendung: Quantenkryptographie






Verschrankung: Historie 9/27

. Begriff gepragt von E. Schrodinger, 1935: Verschrankung alsdie Essenz der Quantentheorie

. Arbeit von Einstein, Podolski und Rosen (EPR), 1935:Ist die Quantentheorie eine vollstandige Theorie?(Grundlagendebatte)

. EPR-Variante von D. Bohm, 1951: verschranktes Paar vonSpin-1

2 -Teilchen

. J. Bell, 1964 Bellsche Ungleichungen: Einschrankung vonKorrelationen in klassischen Systemen, konnen durchQuantensysteme verletzt werden.






Verschrankung als Ressource 10/27

. experimenteller Nachweis der Verletzung: Aspect, 1981/82[AGR81], Gruppe in Genf um N. Gisin, 1998 [TBZG98]

. inzwischen:”Verschrankung“ in popularwissenschaftlichen

Zeitschriften [Spr01] und als technisches Hilfsmittel mitBeschreibung in Computer-Zeitschriften, z. B.: [Sti04, Win04]

. quantenkryptographisches Experiment, Wien [PFU+04]

. Beim Ablauf von Quantenalgorithmen spielt Verschrankungein wesentliche Rolle.






Charakterisierende Eigenschaften 11/27

. charakt. Eigenschaften eines (maximal) verschranktenZustands in einem System aus zwei Komponenten (einembipartiten System)

Der Zustand jedes der beiden Teilsysteme ist vollstandigundefiniert.Gleichzeitig ist der Zustand des Gesamtsystems vollstandigdefiniert (im Sinne der Quantentheorie).Die Information uber das Gesamtsystem steckt (ausschließlich)in den Korrelationen.popular (und moglicherweise mißverstandlich):

”Das Ganze ist mehr als die Summe seiner Teile.“

. Eine Messung”separiert“ die beiden Teilsysteme.






Eine kleine Illustration 13/27

. Alice und Bob auf Wahlkampftour in der Galaxis

In je einem Interview haben beide jeweils genau eine von3 Fragen zu beantworten.Wahrscheinlichkeit fur gleiche / verschiedene Antwort: je 1/2(Zufallig) gleiche Fragen sind stets verschieden zu beantworten.

.1.5 10 Lj −5

Alice

AldebaranBeteigeuze

BobF1?

Ja

Nein

F ?2

Ja

Nein

F ?3

Ja

Nein

F1?Ja

Nein

F ?2

Ja

Nein

F ?3

Ja

Nein

Erde

Sonne

53 Lj270 Lj






Wie laßt sich die”Wahlkampftour“ realisieren? 14/27

. Z. B. mit einem Paar verschrankter Spin-12 -Teilchen (einem

”EPR-Paar“) und 3 Messrichtungen unter 1200-Winkeln

(entsprechend den Fragen F1,F2,F3)

. Zufallig gleich gewahlte Richtungen ergeben bei einerMessung mit Sicherheit verschiedene Spin-Einstellungen:

entweder ↑↓oder ↓↑

. Der Versuch einer klassischen”Erklarung“ fuhrt zu falschen

Wahrscheinlichkeiten.

. Fazit: Ein raumlich verteiltes Quantensystem kann i. a. nichtdurch ein raumlich verteiltes System klassischer Rechnersimuliert werden ohne zusatzliche Ressourcen.





BerechnungsmodelleEin Quantenalgorithmus

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1 Einfuhrung










Modell Quantum Random Access Machine (QRAM) 15/27

. Turing-Maschinen, Zellularautomaten, . . .

. heute popular: QRAM, Gattermodell (”Schaltkreismodell“)

device

quantum quantum

devicedriver

bytecode

measure

Classical Computer

(Master) (Slave)

Quantum Processor

. detaillierte Instruktionssatze fur beide Komponenten:SQRAM [NPW05]






Gattermodell (1) 16/27

. Beispiel: 1 qubit (H = C2):

preparation /state

|ψ〉„

. .

. .

«| {z }U(2)

measurement /observable

Zustande sind |ψ〉 = α|0〉+ β|1〉, wobei |α|2 + |β|2 = 1:

→ |α|2 = Wahrscheinlichkeit, dass eine Messung 0 ergibt→ |β|2 = Wahrscheinlichkeit, dass eine Messung 1 ergibt






Gattermodell (2) 17/27

. Beispiel: 3 qubits (H = C2 ⊗ C2 ⊗ C2):

preparation /state

|ψ0〉|ψ1〉|ψ2〉

0BBBBBBBBB@

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

1CCCCCCCCCA| {z }

U(8)

measurement /observable

Zustand ist |ψ〉 = |ψ2〉 ⊗ |ψ1〉 ⊗ |ψ0〉z. B.:

|0〉 ⊗ |1〉 ⊗ |1〉 = |011〉 = |3〉|1〉 ⊗ |0〉 ⊗ |1〉 = |101〉 = |5〉Uberlagerung: |3〉 + |5〉






Simulation auf”klassischem“ Rechner 18/27

. Auszufuhren sind die Vektorraumoperationen (elementar).

. In n qubit-System: die Große der Matrizen ist 2n × 2n.

. Fazit: Das Verhalten von Quantensystemen kann man aufklassischen Rechnern numerisch nachvollziehen, imallgemeinen aber nicht effizient.

. Frage: Gibt es Algorithmen, die ein Quantenrechner

”schneller“ abarbeitet als ein klassischer Rechner?

. Die Anwort JA widerlegt die sog. starke Church-Turing These:Jede (physikalisch realisierbare) Anordnung, die rechnen kann,kann durch eine probabilistische Turing-Maschine mithochstens polynomiellem Overhead simuliert werden. [EW04]






Faktorisierungsalgorithmus von Shor: Grundidee 19/27

. Die Faktorisierung wird zuruckgefuhrt auf die Bestimmung derPeriode einer periodischen Funktion.

. technisch: Rechnung erfolgt in den Bereichen ZN und Z∗N :

ZN = {0, 1, . . .N − 1} = additive Gruppe modulo NZ∗

N = {x | x ∈ ZN ∧ N, x teilerfremd: gcd(x ,N) = 1} =multiplikative Gruppe modulo N

. Die Entdeckung dieses Algorithmus war eine wissenschaftlicheSensation: mit einer Realisierung ließe sich u. a. dasRSA-Verfahren brechen.






Faktorisierungsalgorithmus von Shor: Details 20/27

. Zusammenfassung [NC00, Hir01, Wer02] als Pseudocode:

Factorize(N)

1 if N is even2 then return (2,N/2)3 if N = qb for prime q ≥ 3 and b ≥ 24 then return (q,N/q)5 repeat6 repeat choose a ∈ ZN , a ≥ 27 d ← gcd(a,N)8 if d > 19 then return (d ,N/d) � we luckily guessed d correctly

10 determine period r of x 7→ a x mod N � the quantum part11 until no failure indicated and r is even

12 d+ ← gcd(N, ar/2 + 1) � evaluate 2nd argument modulo N13 until d+ < N

14 d− ← gcd(N, ar/2 − 1)15 return (d+, d−) � the algorithm guarantees 1 < d+, d− < N





Ziele und DesignBeispiel: zwei imperative Sprachen

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1 Einfuhrung










Was soll erreicht werden? 21/27

. Wozu? (Großere) Quantenrechner gibt es noch nicht!

. Aber es gibt Simulatoren!

. Anwendung in der Algorithmik

bekannte Algorithmen genau formulierenneue Algorithmen finden?

. aber: keine der (vielen) Quantenprogrammiersprachen (QPLs)hat bisher zur Entdeckung eines neuen Algorithmus gefuhrt,

. auch der (Nicht-Quanten)-Programmierer sollteQuantenprogramme schreiben konnen (

”ADT-Idee“)

. tieferes Verstandnis von Informatik und Quantentheorie






QCL (1) 22/27

Erste echte Quantenprogrammiersprache von B. Omer[Om98, Om00, Om02]

. Features

QCL: eine prozedurale Sprache in der Tradition von Pascal / Cerweitert um spezifische Konstrukte fur Quantenrechner(eigentlich: Konstrukte zur Steuerung einesQuantenexperiments)Operatoren sind syntaktisch auf der Ebene von Prozedurenangesiedelt, also statische GebildeAufrufhierarchie zur Vermeidung von Nebeneffektenprocedure ⊂ operator ⊂ qufunct ⊂ functionSprachkonstrukt zur Invertierung eines Operators






QCL (2) 23/27

. Features

qubits werden zusammengefasst zu Registern, reichhaltigeSprachkonstrukte zur Manipulation von Registern (ahnlich zuArrays bzw. Strings)Register verschiedener Typenlokale Variablen, die quantenmechanisch automatisch korrektbehandelt werden (

”quantum memory management“)

didaktisch bestens geeignet

. (vielleicht) Nachteile / Schwachen

nur prozedural, nicht OOPkeine formale Semantik, daher: Analyse von Algorithmen nuruber Standardformalismus der Quantentheorieals Folge der Aufrufhierarchie: Ruckgabe von Werten nur uberglobale Variablen oder durch direkte Ausgabe






Qlanguage (1) 24/27

Sprache von S. Bettelli, L. Calarco und T. Serafini [BCS03]

. Features:

Verwendung einer Standardsprache (C++)OO-basierte Spracherweiterung mittels ADTszur implementierten Schnittstelle gehoren u. a.:

qubits / RegisterQuantenoperationenvordefinierte elementare Standardoperationen

Quantenoperationen sind dynamische Sprachkonstrukte(Objekte)daher: potenziell automatische Optimierung vonQuantennetzwerken (Gattern)didaktisch geeignet: bekannte Welt der imperativen /OO-Sprachwelt






Qlanguage (2) 25/27

. (vielleicht) Nachteile / Schwachen

keine formalisierte SemantikDer Compiler kann moglicherweise fehlerhaften Code nichterkennen (u. a. Typfehler, die Verstoße gegen Gesetze derQuantenmechanik bedeuten)Beispiel: unitarer Operator, der eine Messoperation enthaltdas Problem aus C++-Sicht: manche Methodenaufrufe sindnicht zugelassen im Kontext bestimmter anderer MethodenDiese Situation ist fur einen C++-Compiler nicht als Fehler zuentdecken.





AktuellesEine

”neue“ Informatik?

Literatur

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1 Einfuhrung









AktuellesEine


Literatur

Aktuelle Forschungsaktivitaten 26/27

. Versuch einer”Quantisierung“ von theoretischen Konzepten

der Informatik und Logik [Sel04, Sel05]

. Ziel: tiefergehendes Verstandnis diese Konzepte und derQuantentheorie

Kategorientheorie

Funktionale Sprachen

Lineare Logik

Lambda−Kalkül

Prozessalgebren

Denotationale Semantik





AktuellesEine


Literatur

Worin konnte die neue Informatik bestehen? 27/27

. pragmatischer Aspekt

Zu speziellen Probleme gibt es”schnellere“ Algorithmen, also

solche in besseren Komplexitatsklassen.U. a. ist eine schnelle Simulationen physikalischer Vorgangedurch Quantensysteme moglich (Feynman).kryptographische Anwendungen auf der Basis von No-Cloningund Verschrankung

. theoretischer Aspekt

Hoffnung fur die Zukunft: vielleicht tiefergehendes Verstandnisder Grundlagen1

1also der Informatik (so die Physiker) bzw. der Physik (so die Informatiker)





AktuellesEine


Literatur

Zum Nachlesen von Details

Literaturverzeichnis

[AGR81] A. Aspect, P. Grangier, and G. Roger. Experimental tests of realisticlocal theories via Bell’s theorem. Phys. Rev. Lett., 47:460–463, 1981.

[BCS03] S. Bettelli, T. Calarco, and L. Serafini. Toward an architecturefor quantum programming. Eur. Phys. J., D 25(2):181–200, 2003.http://arXiv.org/abs/cs.PL/0103009abs.

[EW04] J. Eisert and M. M. Wolf. Quantum computing, 2004.http://arXiv.quant-ph/0401019 v1.

[Hir01] Mika Hirvensalo. Quantum Computing. Springer-Verlag, Berlin, Hei-delberg, 2001.

[NC00] Michael A. Nielsen and Isaac L Chuang. Quantum Computationand Quantum Information. Cambridge University Press, Cambridge,2000.

[NPW05] Rajagopal Nagarajan, Nikolaos Papanikolaou, and David Wil-liams. Simulating and compiling code for the Sequential Quan-tum random Access Machine. In Peter Selinger, editor, Procee-dings of the 3rd International Workshop on Quantum Program-ming Languages, pages 91–112, Chicago, USA, June 30 - July1 2005. Electronic Notes in Theoretical Computer Science, URL:www.elsevier.nl/locate/entcs.

[Om98] B. Omer. A procedural formalism for quantum computing. Master’sthesis, TU Wien, 1998. http://tph.tuwien.ac.at/õemer/papers.html.

[Om00] B. Omer. Quantum programming in QCL. Master’s thesis, TU Wien,2000. http://tph.tuwien.ac.at/õemer/papers.html.

[Om02] B. Omer. Classical concepts in quantum programming, 2002.http://arxiv.org/abs/quant-ph/0211100arXiv: abs.

[Pen94] Roger Penrose. Shadows of the mind. Oxford University Press, 1994.

[PFU+04] A. Poppe, A. Fredrizzi, R. Ursin, R. Bohm, T. Lorunser, O. Maur-hardt, M. Peev, M. Suda, C. Kurtsiefer, H. Weinfurter, T. Jennewein,and A. Zeilinger. Practical quantum key distribution with polariza-tion entangled photons. Optics Express, 12(16), 2004.

[Sel04] Peter Selinger, editor. Proceedings of the 2nd International Work-shop on Quantum Programming Languages, volume TUCS GeneralPublication No 33, Turku, Finland, July 12-13 2004. Turku Centrefor Computer Science.

[Sel05] Peter Selinger, editor. Proceedings of the 3rd International Workshopon Quantum Programming Languages, Chicago, USA, June 30 - Ju-ly 1 2005. Electronic Notes in Theoretical Computer Science, URL:www.elsevier.nl/locate/entcs.

[Spr01] Michael Springer. Verschrankung total. Finale Widerlegung von Ein-steins Kritik an der Quantenmechanik. Spektrum der Wissenschaft,6:21, 2001.

[Sti04] Wolfgang Stieler. Bob wird geschaftsfahig. Erste Bankuberweisungmit Quantenkryptographie. c’t, 10:54, 2004.

[TBZG98] W. Tittel, J. Brendel, H. Zbinden, and N. Gisin. Violation of Bellinequalities by photons more than 10 km apart. Phys. Rev. Lett.,81:3563, 1998.

[Wer02] R.F. Werner. Quantenrechner – die neue Generation von Supercom-putern? In Jurgen Audretsch, editor, Verschrankte Welt. Faszinationder Quanten. Wiley-VCH, 2002.

[Win04] Veronika Winkler. Durchs Nadelohr. Verschrankte Photonen fur klei-ne Chipstrukturen. c’t, 12:48, 2004.

A. Aspect, P. Grangier, and G. Roger.Experimental tests of realistic local theories via Bell’s theorem.Phys. Rev. Lett., 47:460–463, 1981.

S. Bettelli, T. Calarco, and L. Serafini.Toward an architecture for quantum programming.Eur. Phys. J., D 25(2):181–200, 2003.http://arXiv.org/abs/cs.PL/0103009abs.

J. Eisert and M. M. Wolf.Quantum computing, 2004.http://arXiv.quant-ph/0401019 v1.

Mika Hirvensalo.Quantum Computing.Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2001.QA76.889.Q92 2001.

Michael A. Nielsen and Isaac L Chuang.Quantum Computation and Quantum Information.Cambridge University Press, Cambridge, 2000.

Rajagopal Nagarajan, Nikolaos Papanikolaou, and DavidWilliams.Simulating and compiling code for the Sequential Quantumrandom Access Machine.In Peter Selinger, editor, Proceedings of the 3rd InternationalWorkshop on Quantum Programming Languages, pages91–112, Chicago, USA, June 30 - July 1 2005. ElectronicNotes in Theoretical Computer Science, URL:www.elsevier.nl/locate/entcs.

B. Omer.A procedural formalism for quantum computing.Master’s thesis, TU Wien, 1998.http://tph.tuwien.ac.at/õemer/papers.html.

B. Omer.Quantum programming in QCL.Master’s thesis, TU Wien, 2000.http://tph.tuwien.ac.at/õemer/papers.html.

B. Omer.Classical concepts in quantum programming, 2002.http://arxiv.org/abs/quant-ph/0211100arXiv: abs.

Roger Penrose.Shadows of the mind.Oxford University Press, 1994.

A. Poppe, A. Fredrizzi, R. Ursin, R. Bohm, T. Lorunser,O. Maurhardt, M. Peev, M. Suda, C. Kurtsiefer,H. Weinfurter, T. Jennewein, and A. Zeilinger.Practical quantum key distribution with polarization entangledphotons.Optics Express, 12(16), 2004.quantum computer.

Peter Selinger, editor.Proceedings of the 2nd International Workshop on QuantumProgramming Languages, volume TUCS General PublicationNo 33, Turku, Finland, July 12-13 2004. Turku Centre forComputer Science.

Peter Selinger, editor.Proceedings of the 3rd International Workshop on QuantumProgramming Languages, Chicago, USA, June 30 - July 12005. Electronic Notes in Theoretical Computer Science, URL:www.elsevier.nl/locate/entcs.

Michael Springer.Verschrankung total. Finale Widerlegung von Einsteins Kritikan der Quantenmechanik.Spektrum der Wissenschaft, 6:21, 2001.quantum computer.

Wolfgang Stieler.Bob wird geschaftsfahig. Erste Bankuberweisung mitQuantenkryptographie.c’t, 10:54, 2004.quantum computer.

W. Tittel, J. Brendel, H. Zbinden, and N. Gisin.Violation of Bell inequalities by photons more than 10 kmapart.Phys. Rev. Lett., 81:3563, 1998.

R.F. Werner.Quantenrechner – die neue Generation von Supercomputern?In Jurgen Audretsch, editor, Verschrankte Welt. Faszinationder Quanten. Wiley-VCH, 2002.

Veronika Winkler.Durchs Nadelohr. Verschrankte Photonen fur kleineChipstrukturen.c’t, 12:48, 2004.quantum computer.





AktuellesEine


Literatur

ENDE– und Danke fur das Interesse –


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