Mathematik macht Freu(n)de AB – Quadratische Funktionen

Eine Funktion f mit Funktionsgleichung der Form

f(x) = a · x2 + b · x + c mit a 6= 0

nennt man quadratische Funktion.

Quadratische Funktionen

Gegeben ist die quadratische Funktion f mit

f(x) = x2 − 2 · x− 3.

Ergänze die fehlenden Einträge in der Wertetabelle.

x −2 −1 0 1 2 3 4

f(x) 5 0 −3 −4 −3 0 5

Skizziere rechts den Funktionsgraphen.Der Funktionsgraph ist eine Parabel.Der Extrempunkt (1 | −4) ist der Scheitelpunkt der Parabel.

Scheitelpunkt

Gegeben ist die Funktion f mit

f(x) = (x− 1)2 − 4.

An welcher Stelle x ist der Funktionswert f(x) am kleinsten?Wie groß ist dieser kleinste mögliche Funktionswert?

Es gilt (x− 1)2 ≥ 0 und (x− 1)2 = 0, falls x = 1 ist.

An der Stelle x = 1 ist also der kleinste Funktionswert f(1) = 0− 4 = −4.

Minus mal minus

Jede quadratische Funktion kann auch in der sogenannten Scheitelpunktform

f(x) = a · (x− xS)2 + yS

dargestellt werden. Erkläre, warum der Funktionsgraph den Scheitelpunkt S = (xS | yS) hat.Es gilt (x− xS)2 ≥ 0 und (x− xS)2 = 0, falls x = xS ist.

f(xS) = a · 02 + yS = yS

Streiche jeweils die falsche Aussage durch:

1) Wenn a > 0 ist, dann ist yS der kleinste/größte Funktionswert von f .Die Parabel ist dann nach oben/unten geöffnet.

2) Wenn a < 0 ist, dann ist yS der kleinste/größte Funktionswert von f .Die Parabel ist dann nach oben/unten geöffnet.

3) Je größer |a | ist, desto steiler/flacher ist die Parabel.

Scheitelpunktform

Datum: 21. März 2020

Mathematik macht Freu(n)de AB – Quadratische Funktionen

Ordne den Funktionsgleichungen den entsprechenden Funktionsgraphen zu.

f1(x) = x2 − 4 B

f2(x) = 0,3 · (x− 2)2 + 2 F

f3(x) = 2 · (x− 3)2 − 2 A

f4(x) = −2 · (x− 3)2 + 1 E

f5(x) = −0,5 · (x + 1)2 + 2 C

f6(x) = −x2 + 4 D

A B C

D E F

Funktionsgleichung → Funktionsgraph

Erinnere dich an die Binomischen Formeln Mehr dazu findest du auf dem Arbeitsblatt – Pascalsches Dreieck I.

(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2 und (a− b)2 = a2 − 2 · a · b + b2.

Binomische Formeln

Wandle die quadratische Funktion f mit Scheitelpunktform

f(x) = (x− 1)2 − 4

in die Polynomform f(x) = a · x2 + b · x + c um.

f(x) = x2 − 2 · x + 1− 4 = x2 − 2 · x− 3

Scheitelpunktform → Polynomform

Beim quadratischen Ergänzen verwenden wir die Binomischen Formeln „rückwärts“:

x2 + 6 · x = x2 + 2 · x · 3 = x2 + 2 · x · 3 + 32 − 32 = (x + 3)2 − 9

Ergänze quadratisch:

x2 − 12 · x = x2 − 2 · x · 6 = x2 − 2 · x + 62 − 62 = (x− 6)2 − 36

Quadratisches Ergänzen

2

Mathematik macht Freu(n)de AB – Quadratische Funktionen

Die Polynomform f(x) = a · x2 + b · x + c einer quadratischen Funktion f kannst duimmer mit den gleichen Schritten in die Scheitelpunktform f(x) = a · (x− xS)2 + yS umwandeln.Führe die folgenden Schritte für die Funktion f mit f(x) = 5 · x2 − 30 · x + 3 durch.

1) Beim Term a · x2 + b · x den Koeffizienten a herausheben:

f(x) = 5 · [x2 − 6 · x] + 3

2) Den Term x2 + ba · x in der Klammer quadratisch ergänzen:

f(x) = 5 ·[x2 − 2 · x · 3 + 32 − 32

]+ 3 = 5 ·

[(x− 3)2 − 9

]+ 3

3) Die äußere Klammer ausmultiplizieren und vereinfachen:

f(x) = 5 · (x− 3)2 − 45 + 3 = 5 · (x− 3)2 − 42

Polynomform → Scheitelpunktform

Die Flugbahn eines Tennisballs kann näherungsweise durch den Graphen einer quadratischen Funktion hbeschrieben werden:

h(x) = −0,01 · x2 + b · x + c

x . . . horizontal zurückgelegte Wegstrecke in mh(x) . . . Höhe über dem Boden an der Stelle x in m

1) Der Tennisball wird 40 cm über dem Boden abgeschlagen und landet in 20 m horizontaler Entfernungam Boden. Ermittle die Koeffizienten b und c.

2) Berechne den höchsten Punkt der Flugkurve.

1) h(0) = 0,4 =⇒ c = 0,4

h(20) = 0 =⇒ −0,01 · 202 + b · 20 + 0,4 = 0 =⇒ b = 0,18

2) h(x) = −0,01 · x2 + 0,18 · x + 0,4 = −0,01 · [x2 − 18 · x] + 0,4 == −0,01 · [(x− 9)2 − 81] + 0,4 = −0,01 · (x− 9)2 + 1,21

Der höchste Punkt der Flugkurve ist der Scheitelpunkt (9 m | 1,21 m).

Wurfparabel

Der Scheitelpunkt S und der Punkt P rechts am Graphender quadratischen Funktion f haben ganzzahlige Koordinaten.Ermittle die Funktionsgleichung von f in Scheitelpunktform.

f(x) = a · (x− xS)2 + yS

S = (−2 | −4) =⇒ f(x) = a · (x + 2)2 − 4

P = (0 | −2) =⇒ f(0) = −2 =⇒ a · 22 − 4 = −2 =⇒ a = 0,5

=⇒ f(x) = 0,5 · (x + 2)2 − 4

Funktionsgraph → Scheitelpunktform

3

Mathematik macht Freu(n)de AB – Quadratische Funktionen

Die Graphen der quadratischen Funktionen f und g mit

f(x) = 0,25 · x2 bzw. g(x) = 0,25 · x2 + 3

sind rechts dargestellt. Es gilt: g(x) = f(x) + 3.

Der Graph von g entsteht durch Verschiebung des Graphen von f

um 3 Einheiten nach oben.

Markiere Punkte auf den beiden Graphen, die einander unterdieser Verschiebung entsprechen.

Vertikale Verschiebung

x f(x)

−3 9

−2 4

−1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

x g(x)

−5 9

−4 4

−3 1

−2 0

−1 1

0 4

1 9

Die Graphen der quadratischenFunktionen f und g mit

f(x) = x2 bzw. g(x) = (x+2)2

sind rechts dargestellt.

Vervollständige die Wertetabellen.Was fällt dir auf?

Es gilt: g(x) = f(x + 2).

Der Graph von g entsteht durch Verschiebung des Graphen von f um 2 E. nach links.

Horizontale Verschiebung

x 7→ f(x) + d mit d > 0 verschiebt den Graphen von f um d Einheiten nach oben.

x 7→ f(x)− d mit d > 0 verschiebt den Graphen von f um d Einheiten nach unten.

x 7→ f(x + c) mit c > 0 verschiebt den Graphen von f um c Einheiten nach links.

x 7→ f(x− c) mit c > 0 verschiebt den Graphen von f um c Einheiten nach rechts.Diese Aussagen stimmen für alle Funktionen f : R → R. Mehr dazu findest du auf dem Arbeitsblatt – Funktionsgraphen.

Links, rechts, oben oder unten?

Der Scheitelpunkt der quadratischen Funktion g mit g(x) = a · x2 ist (0 | 0).

Wir verschieben den Graphen von g um xS Einheiten nach rechtsund um yS Einheiten nach oben:

g(x− xS) + yS = a · (x− xS)2 + yS

Die quadratische Funktion f mit

f(x) = a · (x− xS)2 + yS

hat ihren Scheitel also im Punkt S = (xS | yS).

Scheitelpunktform grafisch

Dieses Werk von Mathematik macht Freu(n)de unterliegt einer CC BY-NC-ND 4.0 Lizenz.http://mmf.univie.ac.at