Mathematik macht Freu(n)de KH – Integrieren III

KOMPETENZHEFT – INTEGRIEREN III

Inhaltsverzeichnis

1. Aufgabenstellungen 12. Rotationsvolumen 83. Bogenlänge 134. Linearer Mittelwert 17

1. Aufgabenstellungen

Aufgabe 1.1. Die Downloadgeschwindigkeit (in MBit/s) in Abhängigkeit von der Zeit (in s)kann im Zeitintervall [0; 60] näherungsweise durch eine Funktion dL beschrieben werden.

– Beschreiben Sie, was mit dem Ausdruck 160 ·

∫ 60

0dL(t) dt im gegebenen Sachzusammenhang be-

rechnet wird.

Aufgabe 1.2. Ein Megafon ist ein trichterförmiges Gerät, das die Ausbreitung von Schallbeeinflusst und die Verständlichkeit und Reichweite von Sprache verbessert.

Die nebenstehende Abbildung stellt näherungsweiseden inneren Querschnitt eines Megafons dar.

Die Begrenzungslinie der Querschnittsfläche wird imrelevanten Intervall durch die Funktion f beschrieben:

f(x) = x3

3000 + 4.

– Berechnen Sie das Innenvolumen des Megafons.

Aufgabe 1.3. Der Venturi-Effekt besagt, dass sich die Strömungsgeschwindigkeit eines Fluids(Flüssigkeit oder Gas) in einem Rohr indirekt proportional zum Flächeninhalt des Querschnittsverhält, wenn die Durchflussmenge konstant bleibt.Die abgebildete Grafik zeigt den Längsschnitt einer rotationssymmetrischen Wasserdüse mit der

Datum: 30. Juni 2018.

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Länge L.

Bei einer speziellen Düse ist der Innenradius r0 am linken Rand der Düse 5 mm. Die Austrittsöffnung(rechts) hat einen Innenradius von rL = 0,5 mm. Die Länge der Düse L ist 25 mm. Die in dernachstehenden Grafik gekennzeichnete Begrenzungslinie lässt sich durch die Funktion f beschreiben:

f(x) =√a− b · x, 0 mm ≤ x ≤ 25 mm.

– Berechnen Sie die Parameter a und b der Funktion f .– Berechnen Sie das Innenvolumen der Wasserdüse.

Aufgabe 1.4. Bei einem Therapieverfahren wird die Körpertemperatur bewusst stark erhöht(künstliches Fieber).

Die nebenstehende Grafik dokumentiert näherungswei-se den Verlauf des künstlichen Fiebers bei einer solchenBehandlung.

Die Funktion f beschreibt den Zusammenhang zwi-schen Zeit und Körpertemperatur:

f(t) = −0,18 · t3 + 0,85 · t2 + 0,6 · t+ 36,6

t . . . Zeit in Stunden (h) mit 0 ≤ t ≤ 5f(t) . . . Körpertemperatur zur Zeit t in ◦C

a) Berechnen Sie denjenigen Zeitpunkt, zu dem die Körpertemperatur 37 ◦C beträgt.b) Dokumentieren Sie, wie die maximale Körpertemperatur im angegebenen Zeitintervall mithilfe

der Differenzialrechnung berechnet werden kann.Begründen Sie, warum der Graph einer Polynomfunktion 3. Grades höchstens 2 Extrempunktehaben kann.

c) Berechnen Sie den Zeitpunkt der maximalen Temperaturzunahme.d) Berechnen Sie die mittlere Körpertemperatur f̄ im Intervall [0; 5].

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Aufgabe 1.5. Ein Schmuckstück kann als Rotationskörper beschrieben werden, der bei einerRotation des Graphen der folgenden Funktion im Intervall [0; 3] um die x-Achse erzeugt wird:

y = 4 · e−x

x, y . . . Koordinaten in Zentimetern (cm)

Damit das Schmuckstück an einer Kette befes-tigt werden kann, musste es durchbohrt werden.So entsteht ein zylindrisches Bohrloch mit einemDurchmesser d (siehe nebenstehende Abbildung).– Stellen Sie eine Formel zur Berechnung des Vo-lumens dieses Schmuckstücks auf.

– Berechnen Sie dieses Volumen.

Aufgabe 1.6. Im Computerspiel Angry Birds muss man mithilfe einer Schleuder Schweinetreffen. Als Wurfgeschoße stehen verschiedene Vögel zur Verfügung. Einige dieser Vögel haben beson-dere Funktionen, die durch einen Mausklick ausgelöst werden können. Koordinaten bzw. Abständesind im Folgenden in Längeneinheiten (LE) angegeben.

Die Flugparabel des Vogels Red bei einem Wurf kann durch den Graphen der Funktion f beschriebenwerden:

f(x) = −0,1 · x2 + 0,9 · x+ 1 mit x ≥ 0

x . . . horizontale Entfernung vom Abschusspunkt in Längeneinheiten (LE)f(x) . . . Flughöhe des Vogels über dem horizontalen Boden an der Stelle x in LE

Red trifft kein Schwein und prallt auf den Boden auf.

– Berechnen Sie, in welcher horizontalen Entfernung vom Abschusspunkt der Vogel auf dem Bodenaufprallt.

Der Weg, den der Vogel vom Abschusspunkt bis zum Aufprall am Boden zurücklegt, entspricht derLänge der Kurve zwischen diesen Punkten.

– Berechnen Sie den vom Vogel zurückgelegten Weg vom Abschusspunkt bis zum Aufprall am Boden.

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Aufgabe 1.7. In der unten stehenden Grafik ist ein Erwärmungsvorgang dargestellt, derdurch die Funktion T beschrieben wird:

T (t) = a ·(1− e− t8

)+ 20 mit t ≥ 0

t . . . Zeit nach Beginn des Vorgangs in minT (t) . . . Temperatur zur Zeit t in ◦Ca . . . Konstante– Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung dieKonstante a.

– Interpretieren Sie die nachstehende Berechnungim gegebenen Sachzusammenhang.

1b·∫ b

0T (t) dt = 60◦C

Aufgabe 1.8. Das 16 cm hohe Modell einer künstlerischen Interpretation eines Nadelbaumssieht folgendermaßen aus. Die Form des Modells kann durch Rotation der Graphen der Funktionenf , g und h um die x-Achse beschrieben werden:

A = (4,00 | 4,53)B = (9,00 | 1,46)x . . . horizontale Koordinate in Zentimetern (cm)f(x), g(x), h(x) . . . vertikale Koordinate an der Stelle x in Zentimetern (cm)

– Stellen Sie unter Verwendung der Funktionen f , g und h eine Formel für das Volumen des Nadel-baummodells auf.

Die Funktion g ist eine Polynomfunktion 2. Grades, deren Graph durch die Punkte A und B verläuft.Die Steigung der Tangente an den Graphen von g im Punkt A beträgt −1,02.

– Stellen Sie ein Gleichungssystem auf, mit dem man die Koeffizienten der Polynomfunktion g be-rechnen kann.

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Aufgabe 1.9. Ein Händler verkauft Figuren, die auf einem Sockel aus Holz stehen. Die-ser hat die Form eines Kegelstumpfes. Der dargestellte Kegelstumpf entsteht durch Rotation desFunktionsgraphen von f im Intervall [0;h] um die horizontale Achse:

– Tragen Sie die fehlenden Beschriftungen h, r und R in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.

Es gilt: h = 1,50 cm, r = 2,00 cm und R = 3,00 cm.

– Stellen Sie mithilfe dieser Angaben die Gleichung der Funktion f auf.– Berechnen Sie das Rotationsvolumen des Kegelstumpfes mithilfe der Integralrechnung.

Aufgabe 1.10. Die Form eines Wassergefäßes kann durch Rotation des Graphen der Funk-tion mit folgender Gleichung um die y-Achse beschrieben werden:

y = 0,000 142 1 · x4 mit x ≥ 0

x, y . . . Längen in cm

Der obere Rand des Gefäßes hat einen Radius von 30 cm.Das Gefäß wird bis zum oberen Rand gefüllt.

– Berechnen Sie das Volumen in Litern.

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Aufgabe 1.11. Pac-Man ist ein Videospiel, das 1980 veröffentlicht wurde. Die SpielfigurPac-Man muss Punkte in einem Labyrinth fressen, während sie von Gespenstern verfolgt wird.

a) In Abbildung 1 ist Pac-Man dargestellt. Der Kreisabschnitt in der oberen Hälfte des Koordina-tensystems kann mit dem Funktionsgraphen der Funktion f mit f(x) =

√1− x2 im Intervall

−1 ≤ x ≤ xP dargestellt werden.

– Veranschaulichen Sie in der Abbildung 1 den Wert cos(α).– Kennzeichnen Sie in der Abbildung 1 diejenige Fläche, die mit dem nachstehenden bestimmtenIntegral berechnet wird.

F =∫ xP

0

(√1− x2 − yP

xP· x)

dx

– Berechnen Sie den Flächeninhalt von Pac-Man mit Radius 1 cm und α = π

5 rad.b) In Abbildung 2 wird ein Gespenst durch 4 Funktionen im Intervall [0; 6π] dargestellt. Der Punkt A

hat die Koordinaten (0,5 | 16). Der Kopf wird durch einen Halbkreis dargestellt. Die Seitenlinienentsprechen 2 Geraden.

– Stellen Sie eine mögliche Winkelfunktion f für die dargestellte Wellenlinie auf.– Berechnen Sie die Länge der äußeren Umrisslinie der dargestellten Figur. Verwenden Sie zurBerechnung der Länge der Wellenlinie die nachstehende Formel für die Bogenlänge.

bf =∫ x2

x1

√1 + f ′(x)2 dx

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1.1MitdemAusdruckwirddiemittlereDownloadgeschwindigkeit(inMBit/s)imZeitintervall[0;60]berechnet.1.2Vx=4042,36...cm3

1.3a=25,b=0,99Vx=991,56...mm3

1.4a)t=0,429...hb)DazumussdasMaximumderFunktionfermitteltwerden:ManberechnetdieNullstellender1.Ableitungf′.

DannberechnetmandieFunktionswerteandiesenStellenunddenRandstellen.DiegrößtedieserZahlenistdermaximaleFunktionswert.Die1.AbleitungeinerPolynomfunktion3.GradesisteinequadratischeFunktion.EinequadratischeFunktionhathöchstens2Nullstellen.DaherkannderGraphderPolynomfunktion3.Gradesnurhöchstens2Extrempunktehaben.

c)t=1,574...hd)t=39,55...◦C

1.5V=π·∫3

0(4·e−x)2

dx−(d2)2·π·3mit

d

2=4·e−3

V=24,696...cm3

1.6Aufprallbeix=10LEZurückgelegterWeg:11,51...LE1.7a=70ImIntervall[0;b]beträgtdiemittlereTemperatur60◦C.1.8V=π·∫4

0f(x)2dx+π·∫94g(x)2dx+π·∫16

9h(x)2dxg(x)=a·x2+b·x+c

I:g(4)=4,53II:g(9)=1,46III:g′(4)=−1,02

1.9

f(x)=11,5·x+2

V=π·∫1,5

0f(x)

2dx=29,845...cm

3

1.10V=216,96...l

1.11a)A=4·π5=2,513...

b)f(x)=cos(x+π)+1oderf(x)=sin(x−π2)+1

U=82,974...

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2. Rotationsvolumen

Auf dem Arbeitsblatt – Rotationsvolumen behandeln wir die folgenden Fragen:

Welche Möglichkeiten haben wir, um das Volumen der dargestellten Vase zu bestimmen?

Wie können wir das Volumen annähern, wenn wir die Gleichung der Funktion f kennen?

Wie können wir die Annäherung verbessern?

Wie können wir mit Hilfe der Integralrechnung das exakte Volumen berechnen?

Arbeitsblatt – Rotationsvolumen

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Der Graph einer stetigen Funktion y = f(x) rotiert im Intervall [a; b] um die x-Achse.

Das Volumen Vx des dabei entstandenen Rotationskörpers ist Vx = π ·∫ b

af(x)2 dx.

„Quadriere die Funktionsgleichung (f(x)2 = . . .) und integriere nach x. Die Integrationsgrenzen a und b lies auf der x-Achse ab.“

Der Graph einer stetigen Funktion x = g(y) rotiert im Intervall [c; d] um die y-Achse.

Das Volumen Vy des dabei entstandenen Rotationskörpers ist Vy = π ·∫ d

cg(y)2 dy.

„Forme die Gleichung y = f(x) auf x2 um und integriere die andere Seite nach y. Die Grenzen c und d lies auf der y-Achse ab.“

Volumen von Rotationskörpern

Beispiel 2.1. Leite mit Hilfe der Integralrechnung eine Formel für das Volumen eines Drehkegelsmit Radius r und Höhe h her.

Lösung. Wir können den Drehkegel als Rotationskörper beschreiben, indem wir den Graphen einerlinearen Funktion um die x-Achse rotieren lassen.

Beschrifte die Skizze, und erkläre weshalb

f(x) = r

h· x

gilt.

Drehkegel als Rotationskörper

Das Volumen des Drehkegels beträgt daher

V = π ·∫ h

0f(x)2 dx = π ·

∫ h

0

r2

h2 · x2 dx = π · r

2

h2 ·x3

3

∣∣∣∣h0

= π · r2

h2 ·h3

3 = r2 · π · h3 .

�

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Beispiel 2.2. Leite mit Hilfe der Integralrechnung eine Formel für das Volumen einer Kugel mitRadius r her.

Lösung.

Beschrifte die Skizze und erkläre, warum das Kugelvolumen

V = π ·∫ r

−r

(r2 − x2

)dx

beträgt.

Kugel als Rotationskörper

Die Funktion f ist symmetrisch zur vertikalen Achse („gerade Funktion“), also ist

V = 2 · π ·∫ r

0

(r2 − x2

)dx = 2 · π ·

(r2 · x− x3

3

) ∣∣∣∣r0

= 2 · π ·(r3 − r3

3

)= 4 · r3 · π

3 .

�

Beispiel 2.3. Eine Avocado und ihr Kern können näherungsweise als Rotationskörper beschriebenwerden:

Die Schale wird durch eine Funktion s mit

s(x) =√A · x4 +B · x3 + C · x2 +D · x+ E, 0 cm ≤ x ≤ 10 cm

beschrieben. Die Funktion s hat Nullstellen bei x = 0 und x = 10.Im Punkt (4 | 3) hat die Funktion ein lokales Maximum.Der Funktionsgraph von s verläuft durch den Punkt (8 | 2,2).

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Der Kern wird durch eine Funktion k mit

k(x) =√a · x4 + b · x3 + c · x2 + d · x+ e, 1 cm ≤ x ≤ 6 cm

beschrieben. Die Funktion k hat Nullstellen bei x = 1 und x = 6.Im Punkt (3 | 1,5) hat die Funktion ein lokales Maximum.Der Funktionsgraph von s verläuft durch den Punkt (5 | 1,1).

Das grüne Fruchtfleisch der Avocado hat eine Dichte von ρ = 0,9 g/cm3.Berechne, wie viel Gramm Fruchtfleisch die Avocado hat.

Lösung. Mit Technologieeinsatz berechnen wir die Gleichungen der beiden Funktionen:

I : s(0) = 0 II : s(10) = 0 III : s′(4) = 0 IV : s(4) = 3 V : s(8) = 2,2

=⇒ A = − 216400 , B = 289

3200 , C = −451400 , D = 221

40 , E = 0

I : k(1) = 0 II : k(6) = 0 III : k′(3) = 0 IV : k(3) = 1,5 V : k(5) = 1,1

=⇒ a = − 211600 , b = 373

1600 , c = −27971600 , d = 8979

1600 , e = −3267800

Das Volumen der Avocado mit Kern beträgt

VA = π ·∫ 10

0s(x)2 dx = π ·

(A · 105

5 +B · 104

4 + C · 103

3 +D · 102

2

)= 190,29... cm3.

Das Volumen des Kerns beträgt

VK = π ·∫ 6

1k(x)2 dx = π ·

(a · x

5

5 + b · x4

4 + c · x3

3 + d · x2

2 + e · x) ∣∣∣∣6

1= 23,78... cm3.

Das Fruchtfleisch der Avocado hat also das Volumen

V = VA − VK = 166,50... cm3.

Mit der Dichte ρ = mV

können wir daraus die Masse berechnen:

m = V · ρ = 166,50... cm3 · 0,9 g/cm3 = 149,85... g.

Das Fruchtfleisch der Avocado hat also eine Masse von rund 150 Gramm. �

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Beispiel 2.4. Die Innenwand eines Trinkglases entsteht durch Rotation einer Funktion

f(x) =√x+ c

um die x-Achse:

Wir sollen ein spezielles Trinkglas mit den folgenden Eigenschaften entwerfen:

• Der untere Durchmesser der Innenwand soll 6 cm betragen.

• Als Boden wird ein 8 mm hoher Drehzylinder verwendet.

• Die 0,5 l - Markierung soll sich 1 cm unterhalb des Glasrandes befinden.

Berechne, welche Gesamthöhe das Trinkglas haben muss.

Lösung.f(0) = 3 cm =⇒

√c = 3 =⇒ c = 9

Wenn das Trinkglas bis zur Höhe b angefüllt wird, beträgt das Volumen

V (b) = π ·∫ b

0(x+ 9) dx = π ·

(12 · x

2 + 9 · x) ∣∣∣∣b

0= π ·

(12 · b

2 + 9 · b)

cm3

Um die Höhe der Markierung für 0,5 l = 500 ml = 500 cm3 zu bestimmen, lösen wir die folgendeGleichung:

V (b) = 500 =⇒ π ·(1

2 · b2 + 9 · b

)= 500 =⇒ 1

2 · b2 + 9 · b− 500

π= 0

Die beiden Lösungen der quadratischen Gleichungen sind

(b1 = −28,98... cm) und b2 = 10,98... cm.

Die Gesamthöhe des Trinkglases beträgt also

h = 10,98...+ 0,8 + 1 = 12,78... cm. �

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3. Bogenlänge

Wir wollen den Umfang eines Kreises mitRadius r näherungsweise bestimmen. Dazuschreiben wir ihm regelmäßige Vielecke ein.

Regelm. Vieleck Seitenlänge Umfang3-Eck 1,732... · r 5,196... · r6-Eck 1 · r 6 · r12-Eck 0,517... · r 6,211... · r24-Eck 0,261... · r 6,265... · r48-Eck 0,130... · r 6,278... · r96-Eck 0,065... · r 6,282... · r

Eine Formel für den Umfang des regelmäßigen n-Ecks ist

u = 2 · n · sin(π

n

)· r.

Kannst du sie erklären?

Mit jeder Verdopplung der Seitenanzahl wird der Umfang des Vielecks größer.Der Umfang bleibt jedoch stets kleiner als der Kreisumfang u = 2 · r · π = 6,283... · r.

Der Grenzwert limn→∞

2 · n · sin(πn

)· r = 2 · r · π ist der Kreisumfang.

Kreisumfang

Auf dem Arbeitsblatt – Mittelwertsatz der Differentialrechnung behandeln wir die folgendenFragen:

Was garantiert uns der Mittelwertsatz der Integral-rechnung?

Wie können wir dieBogenlänge l des Graphen einer Funk-tion f im Intervall [a; b] durch Streckenzüge annähern?

Wie können wir mit Hilfe der Integralrechnung die exakte Bogenlänge berechnen?

Arbeitsblatt – Mittelwertsatz der Differentialrechnung

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Die Bogenlänge l des Graphen einer differenzierbaren Funktion f im Intervall [a; b] ist

l =∫ b

a

√1 + f ′(x)2 dx.

Bogenlänge

Beispiel 3.1. Berechne die Bogenlänge des Graphen von f(x) = x im Intervall [0; 5].

Lösung.l =

∫ 5

0

√1 + f ′(x)2 dx =

∫ 5

0

√2 dx = x ·

√2∣∣∣∣50

= 5 ·√

2 = 7,071...

Kannst du diese „Bogenlänge“ auch ohne Integralrechnung bestimmen? �

Beispiel 3.2. Berechne die Bogenlänge des Graphen von f(x) = x ·√x im Intervall [0; 13].

Lösung. Die Ableitung von f(x) = x · x 12 berechnen wir mit der Produktregel:

f ′(x) = 1 · x 12 + x · 1

2 · x− 1

2 = x12 + 1

2 · x12 = 3

2 · x12 =⇒

√1 + f ′(x)2 =

√1 + 9

4 · x

Die Bogenlänge beträgt also∫ 13

0

(1 + 9

4 · x) 1

2dx =

(1 + 9

4 · x) 3

2· 2

3 ·49︸ ︷︷ ︸

Kettenregel / Lineare Substitution

∣∣∣∣13

0= 49,29...− 0,29... = 49.

Wir kontrollieren das Ergebnis mit Technologieeinsatz:

�

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Beispiel 3.3. Der Verlauf einer Skisprungschanze kann näherungsweise durch den Graphen einerPolynomfunktion 3. Grades beschrieben werden:

• Die Startposition befindet sich auf der Hö-he 45 m.• Bei der Startposition hat die Schanze einenNeigungswinkel von 35◦.• Der Schanzentisch befindet sich in 3 m Hö-he und 100 m horizontaler Entfernung vonder Startposition.• Beim Schanzentisch ist die Sprungschanzeweder steigend noch fallend.

a) Stelle ein lineares Gleichungssystem auf, aus dem die Koeffizienten der Polynomfunktion h be-rechnet werden können. Löse das lineare Gleichungssystem (mit Technologieeinsatz).

b) Stelle eine Formel auf, mit der die Länge der Sprungschanze berechnet werden kann.Berechne die Länge der Sprungsschanze (mit Technologieeinsatz).

c) Begründe mithilfe der Differenzialrechnung, warum der Neigungswinkel der Schanze an der Start-position maximal ist.

Lösung.

a) h(x) = a · x3 + b · x2 + c · x+ d

I : h(0) = 45

II : h′(0) = tan(−35◦)

III : h(100) = 3

IV : h′(100) = 0

Lösung mit Technologieeinsatz:a = 1,397... · 10−5

b = 1,404... · 10−3

c = −0,7002...d = 45

b) h′(x) = 3 · a · x2 + 2 · b · x+ c

l =∫ 100

0

√1 + h′(x)2 dx = 110,13...m

c) Die Funktion h hat im Intervall [0; 100] keinen Wendepunkt, da alle Lösungen von h′′(x) = 0außerhalb liegen. Der maximale Neigungswinkel muss daher am Rand (x = 0 oder x = 100)angenommen werden. Der Neigungswinkel der Schanze ist also an der Startposition maximal.

�

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Beispiel 3.4. Die Funktion f mitf(x) = ex + e−x

2heißt auch Cosinus hyperbolicus und wird mit cosh abgekürzt. Die Funktion g mit

g(x) = ex − e−x

2heißt auch Sinus hyperbolicus und wird mit sinh abgekürzt.

a) Rechne nach, dass f ′(x) = g(x) und g′(x) = f(x) gilt.b) Rechne nach, dass f(x)2 − g(x)2 = 1 gilt.c) Berechne die Bogenlänge von f im Intervall [1; 4].

Lösung.

a) f ′(x) = ex + e−x · (−1)2 = g(x) � g′(x) = ex − e−x · (−1)

2 = f(x) �

b) f(x)2 − g(x)2 = (f(x) + g(x)) · (f(x)− g(x)) =(2 · ex

2

)·(

2 · e−x2

)= ex−x = e0 = 1 �

c) Die Bogenlänge von f in [1; 4] beträgt

l =∫ 4

1

√1 + f ′(x)2 dx a)=

∫ 4

1

√1 + g(x)2 dx b)=

∫ 4

1

√f(x)2 dx a)= f(x) > 0 =⇒

√f(x)2 = f(x)

= g(x)∣∣∣∣41

= e4 − e−4

2 − e1 − e−1

2 = 26,11... �

Beispiel 3.5. Die Astroide („Sternkurve“) wird implizit durch die Gleichung

x23 + y

23 = 1 x

23 = 3√

x2 ist für alle Zahlen x ∈ R definiert.

beschrieben. Ein Punkt P = (xP | yP ) liegt genau dann auf der Kurve, wenn x23P + y

23P = 1 gilt. Zum Beispiel: (1 | 0) oder (−1 | 0).

Wir berechnen den Umfang u der Astroide.

y23 = 1− x 2

3 =⇒ y = ±(1− x 2

3) 3

2

Der obere Rand der Astroide ist also der Funktionsgraph von

f(x) =(1− x 2

3) 3

2 .

=⇒ f ′(x) = 32 ·(1− x 2

3) 1

2 ·(−2

3 · x− 1

3

)= −

(1− x 2

3) 1

2

x13

=⇒ 1 + f ′(x)2 = 1 + 1− x 23

x23

= x23

x23

+ 1− x 23

x23

= 1x

23

= x−23

=⇒ u = 2 ·∫ 1

−1

√1 + f ′(x)2 dx = 2 ·

∫ 1

−1x−

13 dx = 2 · x 2

3 · 32

∣∣∣∣1−1

= 3− (−3) = 6.

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4. Linearer Mittelwert

Auf dem Arbeitsblatt – Mittelwertsatz der Integralrechnung behandeln wir die folgenden Fragen:

Wie können wir den „durchschnittlichen Funktionswert“annähern, den eine Funktion f im Intervall [a; b] annimmt?

Wie können wir den „durchschnittlichen Funktionswert“mit Hilfe der Integralrechnung bestimmen?

Was garantiert uns der Mittelwertsatz der Integralrechnung?

Arbeitsblatt – Mittelwertsatz der Integralrechnung

Der lineare Mittelwert m einer Funktion f im Intervall [a; b] ist

m =1

b− a·∫ b

af(x) dx.

m ist der „durchschnittliche Funktionswert“ von f in [a; b].

Linearer Mittelwert einer Funktion

Beispiel 4.1. Wir berechnen den linearen Mittelwert von f(x) = sin(x) in [0;π].

m = 1π·∫ π

0sin(x) dx = 1

π· (− cos(x))

∣∣∣∣π0

= 1π· (1− (−1)) = 2

π= 0,636...

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f ist eine lineare Funktion in [a; b].

An welcher Stelle s nimmt die Funktion dendurchschnittlichen Funktionswert an?

Wir rechnen nach, dass der lineare Mittelwertvon f in [a; b] tatsächlich f

(a+b

2

)ist.

f(x) = k · x+ d.

=⇒ 1b− a

·∫ b

af(x) dx = 1

b− a·(k

2 · x2 + d · x

) ∣∣∣∣ba

=

= 1b− a

·(k

2 · b2 + d · b− k

2 · a2 − d · a

)=

= 1b− a

·(k

2 · (b2 − a2) + d · (b− a)

)= b2 − a2 = (b− a) · (b+ a)

= k ·(a+ b

2

)+ d = f

(a+ b

2

)

Linearer Mittelwert einer linearen Funktionen

f ist eine stetige Funktion in [a; b]. Wir erklären, warum es sicher eine Stelle s in [a; b] gibt, ander der Funktionswert genau der lineare Mittelwert von f in [a; b] ist:1) Die Funktion F mit Kompetenzheft – Integrieren II

F (x) =∫ x

af(t) dt

ist eine Stammfunktion von f . Es gilt also F ′(x) = f(x).2) Erkläre, warum

F (b)− F (a)b− a

= 1b− a

·∫ b

af(t) dt.

3) Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung garantiert uns eine Stelle s in [a; b] mit

F ′(s) = F (b)− F (a)b− a

=⇒ f(s) = 1b− a

·∫ b

af(t) dt

Das ist genau der Mittelwertsatz der Integralrechnung.

MWS Differentialrechnung =⇒ MWS Integralrechnung

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Mathematik macht Freu(n)de KH – Integrieren III

Beschreibe in eigenen Worten, wie wir mit Hilfe der Integralrechnung . . .

. . . Streckenzüge zur Annäherung von Bogenlängen verwenden können.

. . . Rechtecke zur Annäherung von Flächeninhalten verwenden können.

. . . Drehzylinder zur Annäherung des Volumens von Rotationskörpern verwenden können.

Integration

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