Einsteins Erklärung des Photoelektrischen Effekts ...hp0117/teaching/qmnano/script.pdf · 1905...

1900 Plancksches StrahlungsgesetzPlanck postulierte 1900 die Existenz einer Naturkonstanten h mit der Einheit einer Wirkungh: Planckes Wirkungsquantum [h]=Js

Zur Regularisierung der Energiedichte der Hohlraumstrahlung. Sei L3 ein Hohlraum mit Temperatur T. Die Elektromagnetische Wellen im Hohlraum haben also die mittlere Energie kBT. Es können sich im Hohlraum stehende elektromagnetische Wellen bilden.

F k ,x ∝sin x k x , sin y k y , sin z k z Mit k=L n1

n2

n3;n i∈ℕ

Die Energie ist gegeben durch das Integral über den Hohlraum:

∑k∫0

L

dx∫0

L

dy∫0

L

dz E2k ,x=∑k

k BT

sin2 xL

n1=12−1

2sin x n1

und die Summation über die erlaubten Wellenzahlen

∑k

... L3

23∫ d k ...

GesamtenergieEV=k BT22∫ d k =

Kugelkoordinaten k BT23

∫0

∞

k 2dk

mit der relativistischen Beziehung für elektromagnetische Wellen k=c; c≈3⋅108 m

s ????

EV= 2

Polarisationsrichtungen

⋅k BT

22c3∫0

∞

2d =∞

wenn wir E als Integral über eine Energiedichte e(ω) definieren so ist also e(ω) gegeben durch

e =k BT2

2 c3 Raleigh-Jeansches Gesetz

man findet experimentell dieses Verhalten für niedrige Frequenzen und hohe Temperaturen

Das das Raleigh Jeansches Gesetz nicht für alle Frequenzen gültig sein kann erkennt man daran, dass das Integral über e(ω), also die Gesamtenergie des schwarzen Strahlers, divergiert. Dies nennt man Ultraviolettdivergenz oder Ultraviolettkatastrophe.

für hohe Frequenzen und kleine Temperaturen fand Wien

e ∝w3 exp[− gk BT ]; g : Konstante Wiensches Verschiebungsgesetz

Planck interpolierte zwischen beiden Formeln und fand das Plancksche Strahlungsgesetz:

e = ℏ2 c3⋅

3

exp[ ℏk BT ]−1 mit ℏ= h≈2,05⋅10−34 J s

Quantentheorie Kohler 1 von 50 WS1011

1905 Einsteins WunderjahrEinsteins Erklärung des Photoelektrischen Effekts (Brownsche Bewegung, spezielle Relativitätstheorie)

E e=mve

2

2=ℏ−W

Licht besteht aus Photonen der Energie E=ℏPhotonengeschwindigkeit ist immer cAus der speziellen Relativitätstheorie ist bekannt: E= p2 c2m0

2 c4 mit m0 RuhemassePhotonen haben keine Ruhemasse, daher: E= pc

Da für elektromagnetische Wellen außerdem =c k mit Wellenzahl k= 1 gilt, folgt die Beziehung

zwischen Impuls und Wellenvektorp=ℏk ∧ p=hk

Konvention Sei x ein 3D Vektor, dann x=∣x∣=∣x1∣2∣x2∣

2∣x3∣2

1911 Rutherfordsches Atommodell

Hat die Inkonstenz, dass das Elektron beschleunigt ist und eine beschleunigte Ladung strahlt nach den Maxwellschen Gleichungen elektromagnetische Wellen ab. Das System wird also ständig Energie verlieren und das Elektron irgendwann im Kern einschlagen.


1913 Bohrsches AtommodellStationäre Bahnen sind Bahnen mit quadratischer Wirkung

I=∫0

T

p t q t dt=! 2 ℏn ,n∈ℕ ,[ I ]=Js

1913-1930: Formulierung der Quantenmechanik: Heisenberg, Bohr, Dirac, Sommerfeld, Fermi...1924: Heisenbergsche Unschärfe-Relation1935: Einsteins Arbeit zum EPR-Paradoxon ("Der Herrgott würfelt nicht")

1970: Quantenoptik ("nicht klassisches Licht") beschäftigt sich mit Eigenschaften des Lichts die nur durch dessen Teilchencharakter erklärbar sind.

1.2 ExperimenteSeit 1850 Spektroskopie1910 Millikan-Versuch: Quantisierung der elektrischen Ladung1913 Franck-Hertz Versuch1922 Stern Gerlach Versuch zur Quantisierung des Drehimpulses, Existenz des Spins1922 Compton Effekt. Streuung von Röntgenstrahlen an Graphit1927 Davisson, Germer: Elektronenbeugung am Kristall1961 Doppelspaltversuch an Elektronen1982 Aspect Experiment, welches die Verletzung der Bellschen Ungleichungen bei verschränkten

Photonen beweist2002 Beugung von Fullerenen C70 PRL, 88, 100404 (2002)

1.3 DoppelspaltversuchDer Doppelspaltversuch ist von entscheidener Bedeutung für die Entwicklung der Quantenmechanik. 2002 wurde der Versuch von den Lesern der Physikzeitschrift "Physics world" zum schönsten Experiment aller Zeiten gewählt.


sin '= sB

, tan= xR

für kleine Winkel gilt sin '≈tan⇒ x= s RB

wenn s=n⇒ konstruktive Interferenz, Maxima

d.h. Maxima bei n RB

Minima bei 2n−1

2 RB

Entscheidend ist, dass das Interferenzmuster verschwindet sowie ein Spalt geschlossen wird. Das gleiche Interferenzmuster würde man auch für ein einzelnes Elektron erhalten. Das Elektron befindet sich in einer Überlagerung (Superposition) der beiden Wege durch den Spalt 1 und 2.

2. Formalismus der Quantenmechanik2.1. Klassisches MechanikIm folgenden wollen wir die klassische Mechanik eines Punktteilchens betrachten, welches sich in einem äußeren Potential bewegt. Unter diesem Punktteilchen können wir uns zB ein Elektron vorstellen.

Die Bewegung der Punktladung wird durch Newtons Gesetz beschriebenKraft F x t = me

träge Masse

⋅ a t Beschleunigung

a t = d 2

dt 2 x t =x t

Klassische Bewegungsgleichung (*) m x t −F x t =0Die klassische Bewegungsgleichung eines Punktteilchens ist eine bzw 3 gewöhnliche Differentialgleichung 2ter Ordung


Satz: Die Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung 2ter Ordung ist durch die Anfangswerte x 0 ,x 0 eindeutig bestimmt.

Physikalisch bedeutet dies: Kennen wir den Ort und die Geschwindigkeit eines Punktteilchens zu einem bestimmten Zeitpunkt, so können wir, sofern wir in der Lage sind die Bewegungsgleichung zu lösen, das Verhalten dieses Teilchens für alle Zeiten voraussagen.

Nebenbemerkung: Da diese Aussage nicht nur für ein Punktteilchen sondern auch für mehrere Punktteilchen, ja sogar für alle Punktteilchen gilt, kann man sagen: Wenn jemand zu einem bestimmten Zeitpunkt Ort und Geschwindigkeit aller Teilchen dieser Welt kennt und dazu in der Lage ist die Bewegungsgleichungen zu lösen, kann er das Weltgeschehen für alle Zeiten vorhersagen. Dieser jemand heißt Laplacescher Dämon und war wichtig für den klassichen Determinismus, eine philosophische Richtung des ausgehenden 18. Jahrhunderts.

Zum Lösen der klassischen Bewegungsgleichung ist oft folgende Umformulierung nützlich.∇t =x t

Impuls: p t =mv t Einsetzen in (*) liefertm v t −F x t =0

bzw pt =F x t

x t= p tm

Hamiltonsche Bewegungsgleichung

Durch diesen Trick haben wir drei Dgls zweiter Ordnung in 6 Dgls erster Ordnung umgewandelt. Dies ist prinzipiell immer möglich, auch wenn die Lösung nicht unbedingt einfacher wird. Bevor wir diese für einen einfachen Fall lösen betrachten wir eine andere wichtige Größe.Energie E = Ekin + Epot

kinetische Energie E kin=m2v2t

potentielle Energie E pot=V x t

F x =− ∇V x=−∂∂ x

V x

∂∂ y V x

∂∂ z

V x Ein Kraftfeld, das sich als Gradient einer Funktion V x schreiben lässt, heißt konservativ. Die Funktion V x heißt Potential

Die Energie ist prinzipiell eine Funktion von Ort (durch das Potential) und Impuls (durch die kinetische Energie)


H x t ,p t HamiltonfunktionEs hat sich eingebürgert, diese Funktion Hamiltonfunktion zu nennen.

Es gilt aber der:

Satz der Energieerhaltung: Die Energie ist eine Konstante der Bewegung ddt

H x t ,pt =0

Achtung: Dies gilt nur für isolierte SystemeGegenbeispiel: gekicktes Pendel

Beweis:

H t =E kinE pot=p2t 2m

V x t

ddt

H= 1m p t⋅p t ∇V⋅x t =v t ⋅ p t =m x t

∇ V x t =−F x t =0

wegen der klassischen Bewegungsgleichung

Das heißt die Energieerhaltung ist eine direkte Konsequenz der klassischen Bewegungsgleichungen.Die Frage ist: Läßt sich dieses Argument nicht umdrehen und die Bewegungsgleichung aus einer Energie/Hamiltonfunktion konstruieren?Die Antwort ist ja.Die Bewegungsgleichungen lassen sich aus der Hamiltonfunktion H x ,p wie folgt gewinnen.

xi=∂H∂ pi

,i=1,2,3

pi=−∂H∂ x i

, i=1,2 ,3Hamiltonsche Bewegungsgleichungen.

Diese sind identisch mit den klassischen Bewegungsgleichungen a la Newton.

Wir beachten, dass die Hamiltonfunktion zwar konstant bleibt entlang einer Lösung der klassischen Bewegungsgleichung aber natürlich bei beliebigen Veränderungen von x ,p sich ändern kann.

Die Gleichung H x ,p=Emuss also so gelesen werden, dass sich das Teilchen nur auf Bahnen bewegen kann auf denen H=E.

Definition: xi und pi heißen kanonisch konjugierte Koordinaten.Definition: Der durch x und p aufgespannte Raum heißt Phasenraum.

Wie schon erwähnt haben wir bei Kenntnis von x und p vollkommene Kenntnis von dem Punktteilchen. Eine beliebige Eigenschaft des Teilchens können wir also durch eine Funktion von x und p ausdrücken.f x ,p Eine solche Funktion heißt Phasenraumobservable


Beispiel: Harmonischer Oszillator in einer Dimension

V x=12m2 x2

Energie: H x , p= p2

2m

12m2 x2

Newtonsche Bewegungsgleichung m xm2 x=0⇒ x2 x=0Hamiltonsche Bewegungsgleichungen:

x=∂ H∂ p= pm⇒ x= p

m

p=−∂H∂ x=−m2 x⇒ x=−2 x

Lösung der Bewegungsgleichungd 2

dt 2 cos t =−2 cos t

d 2

dt 2 sin t=−2sin t

allgemeine Lösung:

x t=x 0cos t x 0

sin t

x 0=2 Em−2 x20

für x 0= 2Em2⇒ x 0=0 maximale Auslenkung

Man kann sich auch noch für andere Größen interessieren zB die "Varianz" über eine Periode.

VarT=∫0

T

dt x2t =∫0

T {x20cos2 t v 0 2

sin t 2 x 0 v 0

cos t sin t }mit t '= t∧T=2

VarT=2 ∫0

2

dt '{x20 v202 }= x20 v 20

= 2m m2 v20m

22 x20

VarT=2m

EBeweis siehe Übung


2. Beispiel: Teilchen im Coulombpotential

H x ,p= 12m

p2− e2

r, r= x2 y2z 2

Newton m x− e2

r3 x=0 , er=xr

Hamilton: x= pm⇒x= p

m

pi=−∂H∂ x i

= e2

r3 x i⇒x=e2

mr3 x

Wir sehen, dass auch hier die Newton'sche Mechanik und die Hamilton'sche Mechanik identisch sind.Insgesamt kann man sagen, dass in der Newton'schen Mechanik aus den Bewegungsgleichungen die Energieerhaltung folgt.

Newton: Bewegungsgleichung --> EnergieerhaltungIn der Hamilton'schen Mechanik ist es umgekehrt: Energieerhaltung --> BewegungsgleichungFür die Quantenmechanik ist die Hamiltons'che Sichtweise nützlicher.

2.2 Wahrscheinlichkeitstheoretische GrundbegriffeDie Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein komplexer Bereich der modernen Mathematik und eine vollständige Behandlung ist an dieser Stelle nicht möglich aber auch nicht nötig.Entscheidend in der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der Begriff der Zufallsvariable. Dies ist eine Abbildung von einem Ereignisraum Ω auf die reellen ZahlenX :ℝ

In der Praxis wird eine Zufallsvariable durch ihre Verteilungsfunktion beschrieben: P :ℝ[0,1]


P X≤x ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X Werte kleiner x annimmt.P X≤x muss monoton wachsend sein.

In vielen Fällen lässt sich P X≤x als Integral schreiben

P X≤x =∫−∞

x

p x Wahrscheinlichkeitsdichte

dx

entsprechend können wir auch Erwartungswerte für Funktionen von Zufallsvariablen definieren⟨ f x ⟩=∫ f x p xdx

Besonders wichtig sind die Momente einer Verteilung.Momentemn=∫ xn p x dx heißt n-tes Moment.

Das zweite Moment in ein Maß für die Breite einer Verteilung. Dies gilt allerdings nur, wenn der Erwartungswert verschwindet. Ansonsten muß man den Erwartungswert von der Zufallsvariable abziehen um die Verteilung zu zentrieren. Dies führt auf die VarianzVar X = ⟨X−⟨X ⟩2⟩=⟨X 2⟩−⟨ X ⟩2

Beweis: ⟨ X−⟨X ⟩ 2 ⟩=⟨X 2−2X ⟨X ⟩⟨X ⟩2⟩=⟨ X 2⟩−2 ⟨X ⟩ ⟨ X ⟩⟨ X ⟩2

mit ⟨ ⟨X ⟩⟩=⟨ X ⟩ ∧ ⟨1⟩=1

Beispiel: Momente der Gaußverteilung.Wir betrachten die Gaußverteilung

p x= 12 2

exp[− 122 x−

2]⟨ X ⟩=∫

−∞

∞

x p x dx= 12∫ xexp− x2

2 dx=Höhere Momente für µ=0: ungerade Momente verschwinden

Setze a= 12 2

⟨X 2n ⟩=− ∂∂ a

n

∫−∞

∞ 12 2 exp [−a x2 ] |

a= 12 2

Gauß'sches Integral ∫−∞

∞

exp [−a x2 ] dx=a⟨X 2n ⟩= 1

2 2 − ∂∂ a

na |a= 1

22

= 12 2 a

−2n12 ∏

k=1

n 2k−12= 12 2

2 22n1∏k=1

n 2k−12= 2n

Eine Funktion ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte, wenn sie folgende beiden Eigenschaften erfüllt.

1. ∫−∞

∞

p x dx=1 Normierbarkeit

2. p x 0 positiv definit.

Beispiele:

1. Gaußverteilung: p x = 122

exp− 122 x−

22. Lorentz-Verteilung: p x = 1

x− 22

etwas breiter als die Gaußverteilung, langsamerer Abfall für große Abweichungen


3. δ-Verteilung:

Um auch diskrete Ereignisse durch Wahrscheinlichkeitsdichten beschreiben zu können, führt man die δ-Distribution ein.Diese ist definiert durch: 0=∞ ∧ x≠0=0 so dass ∫

−∞

∞

x dx=1

Außerdem gilt: ∫−∞

∞

f x x−x0dx= f x0 ∀ f

4. Gleichverteilung:

p x ={1L

für − L2x L

20 ansonsten

Den Erwartungswert einer Zufallsvariable X kennzeichnen wir durch eckige Klammern und er ist gegeben durch:

⟨X ⟩=∫−∞

∞

x p xdx

Für mehrere Zufallsvariable gelten ähnliche Sätze.Seien X1,...,Xn n Zufallsvariable, dann ist p x1 , ... , xn eine Wahrscheinlichkeitsdichte, wenn gilt:

∫−∞

∞

dx1∫−∞

∞

dx2 ..∫−∞

∞

dxn p x1 , ... , xn=1 ∧ p x1 , ... , xn≥0 ∀ x1 , ... , xn

1. Unabhängigkeit: Zwei Zufallsvariable X1, X2 heißen unabhängig, wenn für ihre Verteilungsfunktion gilt: p x1 , x2= p1x1 p2 x2

p x1 , ... , xn heißt: Verbundwahrscheinlichkeit, joint propability density function

Addition zweier unabhängiger Zufallsvariablen:Seien X1 und X2 zwei unabhängige Zufallsvariablen die gemäß p1x1 p2 x2 verteilt sind. Dann ist deren Summe, dh die Zufallsvariable X 1X 2 gemäß p y =∫ p1 y−x p2x dx(Faltungstheorem) verteilt.

2.3 Einführung in die FunktionalanalysisFunktionalanalysis könnte man definieren als lineare Algebra auf unendlich dimensionalen Vektorräumen und Funktionenräumen. Sie bildet das mathematische Grundgerüst der Quantenmechanik. De facto kann man viele Konepte aus der linearen Algebra auf endlichdimensionalen Vektorräumen eins zu eins übernehmen. Da auch endlich dimensionale Vektorräume in der QM wichtig sind, beginnen wir mit diesen.


2.3.1 Endlich dimensionale VektorräumeDefinition: Ein Vektorraum ℵ über ℂ besteht aus Elementen ∣ ⟩ für die gilt(mit w , z∈ℂ ∧ ∣ ⟩ ,∣ ⟩∈ℵ )

1. Assoziativgesetz: wz ∣ ⟩=w z∣ ⟩2. Distributivgesetz w ∣ ⟩∣ ⟩=w∣ ⟩w∣ ⟩ bzw. wz ∣ ⟩=w∣ ⟩z∣ ⟩

Wir benutzen die in der QM übliche Bezeichnung: Ket ∣ ⟩ für einen Vektor anstelle von

Ein solcher Vektor wird auch ket gennant. Ein Vektor wird wie üblich durch sine Komponenten dargestellt.

∣ ⟩= 1

2

...N ,N∈ℂ ∧ dimℵ=N

Wir definieren ein Skalarprodukut zweier Vektoren ∣ ⟩ und ∣ ⟩ wie folgt:

⟨ | ⟩=∑n=1

N

n*n ∈ℂ

Es gilt die wichtige Beziehung⟨ | ⟩=⟨ | ⟩* (1)

Definition: Ein Hibertraum ist ein Vektorraum auf dem ein Skalarprodukt definiert ist.

Der Vektor ⟨∣ ist aus dem Dualraum zu ℵ . Wir bezeichnen ihn mit ℵ* . Der Vektor ⟨∣ wird als bra bezeichnet in der QM. In der linearen Algebra ist ⟨∣ ein Zeilenvektor t

⟨∣=1* ,2

* ,... ,N*

⟨ | ⟩=1* ,2

* ,... ,N* ⋅1

2

...N =

Matrixmultiplikation

∑n=1

N

n*n

Die Komponenten eines Vektors sind nur bezüglich seiner Basis definiert.

e1=100..0, en=

0..

1 nte Stelle0..0

Wir wollen die orthogonalen Basisvektoren statt mit en einfach mit ∣n ⟩ bezeichnen.

Für das Skalarprodukt mit Einheitsvektoren findet man: ⟨n | ⟩= n (2)Die n-te Komponente des Vektors ∣ ⟩ ist gerade das Skalarprodukt mit dem n-ten Basisvektor.Das Skalarprodukt eines Basisvektors mit einem anderen ist besonders einfach:

⟨n | ⟩= nmKronecker-delta

={1 wenn n=m0 wenn n≠m Diese Beziehung wird Orthogonalitätsrelation genannt.

Mit Beziehung (1) und Beziehung (2) lässt sich das Skalarprodukt zweier Vektoren wie folgt schreiben:

⟨ | ⟩=∑n=1

N

n*n =

(1)

∑n=1

N

⟨n | ⟩* ⟨n | ⟩=∑n=1

N

⟨ | n⟩ ⟨n | ⟩=⟨ |∑n=1

N

∣n⟩ ⟨n∣ |⟩Quantentheorie Kohler 11 von 50 WS1011

Aus der Gleichheit beider Seiten folgt, dass

∑n=1

N

∣n⟩ ⟨n∣=1

gelten muss, wobei hier 1 die Einheitsmatrix ist. Diese Beziehung wird wird Vollständigkeitsrelation

genannt. Wichtig ist zu erkennen, dass diese Beziehung unabhängig von der Wahl der Basisvektoren ist.

Dies gilt ebenso für das Skalarprodukt.

Regel: Das Skalarprodukt zweier Vektoren hängt nicht von der Wahl der Basisvektoren ab.

Matrizen werden in der Quantenmechanik Operatoren genannt. Sie wirken auf Vektoren durch

Matrixmultiplikationen. Sei A ein Operator

A: H→H A ∣ψ⟩=∣φ ⟩∈H (*)

In Komponenten bedeutet dies

∑m=1

N

Anmψm=φn (**)

A=∣A11 ... ...... ... ...... ... Amn

∣Wir können dies auch eleganter in Bra-Ket-Schreibweise formulieren. Wir agieren von links auf beide

Seiten der Gleichung (*) mit einem Basisvektor ⟨n∣

⟨n∣A∣ψ⟩= ⟨n∣φ ⟩1=∑

m=1

N

∣m ⟩ ⟨m∣ (Vollständigkeit)

∑m=1

N

⟨n∣A∣m ⟩ ⟨m∣ψ⟩= ⟨n∣φ ⟩

Ein Vergleich mit (**) zeigt

Anm=⟨n∣A∣m ⟩

Die Matrixelemente von Â sind also gegeben durch die Wirkung der Matrix Â auf Basisvektoren.

Es ist wichtig, sich die unterschiedlichen Bedeutungen der Gleichungen (*) und (**) klarzumachen.

Während (*) basisunabhängig formuliert ist, nimmt (**) Bezug auf vorher definierte Basisvektoren.

Wir müssen uns auch noch überlegen, wie der Vektor ∣φ ⟩=A∣ψ⟩ im Dualraum aussieht.

Wir schreiben ⟨φ∣=⟨ψ∣At und suchen eine Beziehung zwischen A und At .

In Komponenten

⟨φ∣n ⟩=∑m=1

N

⟨ψ∣m ⟩ ⟨m∣A t∣n⟩


Andererseits gilt:

⟨φ∣n ⟩=⟨n∣φ ⟩*=(∑m=1

N

⟨n∣A∣m ⟩ ⟨m∣ψ ⟩)*

=∑m=1

N

⟨n∣A∣m ⟩*⟨m∣ψ ⟩*

=∑m=1

N

⟨ψ∣m ⟩ ⟨n∣A∣m ⟩*

⇒ ⟨m∣At∣n⟩=⟨n∣A∣m ⟩*

Amnt = Anm

*

At heißt der zu A adjungierte Operator. Oder is At t die zu A adjungierte Matrix. Man erhält

At aus A indem man A zunächst transponiert und dann alle Einträge komplex konjugiert.

Beispiel: 2x2-Matrix

A=(a cd b)⇒ At=(a* d *

c* b*)Eine besonders wichtige Klasse von Operatoren sind solche, für die gilt:

A=At

Diese Operatoren heißen Hermitesch oder selbstadjugiert.

Beispiel: 2x2-Matrix

A=(a cc* b) , a ,b∈ℝ⇒ At=(a c

c* b)Eine Hermitesche Matrix hat auf der Diagonalen reelle Einträge.

Ein Operator kann auf einen Vektor wirken, so dass er diesen bis auf ein Vielfaches reproduziert.

Also:

A∣αn ⟩=αn∣αn ⟩ α∈ℂ

Der Vektor ∣αn⟩ heißt Eigenvektor zum Operator A und αn heißt Eigenwert. Um die Eigenwerte

einer Matrix A zu bestimmen, berechnet man das charakteristische Polynom

det (A−αN1 )=0

Dies ist ein Polynom N-ten Grades in α . Entsprechend hat dieses Polynom N Nullstellen. Wir wollen

uns im folgenden auf Hermitesche Operatoren beschränken. Für diese Operatoren kann man folgende,

stärkere Aussagen treffen:


Spektralsatz: Sei A ein Hermitescher Operator A=At der Dimension N, dann existiert ein

vollständiges Orthogonalsystem von Eigenvektoren ∣αn⟩ , n=1,... , N zu diesem Operator.

D.h. Es gilt

A∣αn ⟩=αn∣αn ⟩ n=1,... , N

⟨αn∣αn⟩=δnm=∑k=1

N

⟨αn∣k ⟩ ⟨k∣αm⟩

∑n=1

N

∣αn⟩ ⟨αn∣=1

Die Eigenwerte αn können hierbei auch identisch sein. Es kann also gelten α1=α2=α3 , etc, aber

dennoch < α1 |α2 >=<α1 |α3 >=0 .

Beispiel: 2x2-Matrizen

A=(a cc* b) ,

⟨1∣A∣1⟩=a⟨1∣A∣2⟩=c⟨2∣A∣2 ⟩=b

1.) Berechnung der Eigenwerte

det (A−α )=0

det(a−α cc* b−α)=0

Dies liefert ein charakteristisches Polynom zweiten Grades

α2−α(a+b)+ab−∣c∣2=0

Dieses hat zwei Lösungen

α1,2=a+b

2±√(a−b)24

+∣c∣2

Wir sehen, dass beide Eigenwerte reelle Zahlen sind. Dies ist kein Zufall. Allgemein kann man zeigen:

Satz: Alle N Eigenwerte einer Hermiteschen Matrix sind reell. Beweis: Übung

2.) Berechnung der Eigenvektoren: Wir suchen die Vektoren ∣α1 ⟩ ,∣α2 ⟩ für die gilt:

A∣αn ⟩=αn∣αn ⟩ n=1,2

in Komponenten ⟨1∣αn⟩= xn⟨2∣αn⟩= yn

finden wir die Gleichungen

(a−αn) xn+c yn=0c* xn+(b−αn) yn=0

∣αn ⟩=λn(αn−bc*

1 )← xn ← yn


Es reicht, eine Gleichung nach xn aufzulösen. Die Eigenvektoren αn sind nur bis auf eine

Konstante λn bestimmt, die komplex sein kann. In der Quantenmechanik wollen wir die Vektoren auf

Eins normieren. Dies bestimmt die λn (fast) eindeutig.

3.) Normierung:

⟨α1∣α1⟩=⟨α2∣α2⟩=0⟨α1∣α2⟩=0

⟨αn∣αn⟩=∣λn∣2((αn−b)2

∣c∣2+1)

∣λn∣2=

∣c∣2

(αn−b)2+∣c∣2

=12 (1∓1

√1+ 4∣c∣2

(a−b)2 )∣α1⟩=(∣λ2∣e

iφ

∣λ1∣ ) ∣α2⟩=(−∣λ1∣eiφ

∣λ2∣ )∣λ2∣

2= ∣c∣2

(w+ z)2+∣c∣2= ∣c∣2

(z+w)(z+w+z−w)= ∣c∣2

z+w12z

∣λ2∣2= ∣c∣2

(z−w)(z−w+z+w)= ∣c∣2

z−w12z

λ12= z−w

2z

λ22= z+w

2z

∣λ1,2∣2=1

2(1±w

z)

=12 (1±

1

√1+ ∣c∣2

w2

)

∣α1 ⟩=√ z−w2z ( z+wc*

1 ) =√ z−w

2z ( cz−w

1 )= 1√2z ( c

√z−w√z−w )

= 1√2z ( c

√ z−wz - )= 1

√2z (√ z+we iφ

√ z−w )

z−w2z (( z+w)2

z2−w2 +1)= 12z(z+w+z−w)=1

∣α1 ⟩=1√2(√1+ z

we iφ

√1− zw) ∣α2 ⟩=√ z+w

2z ( −cz+w1 )

=−√ z−we

Die Eigenvektoren u ∣α1 ⟩ und ∣α2 ⟩ bilden ebenso ein Orthogonalsystem wie die ursprünglichen

Basisvektoren ∣1⟩ , ∣2 ⟩


Man kann natürlich ebensogut die Eigenvektoren ∣α1 ⟩ und ∣α2 ⟩ als Basisvektoren benutzen wie die

ursprünglichen Basisvektoren. In dieser Basis wird der Operator A diagonal. In der ∣α ⟩ -Basis sind die

Matrixelemente von A gegeben durch

⟨αn∣A∣αm⟩=αm ⟨αn∣αm⟩ da A∣αm⟩=αm∣αm⟩=αmδnm da ∣αn ⟩orthogonal

Das heißt, es gibt für jeden hermitschen Operator eine Basis, in der dieser diagonal ist. Die neueBasis ist mit der

alten Basis durch einen Basistranformation verknüpft. Eine Basis, in der der Operator A diagonal ist, heißt die

A -Darstellung

⟨αn' ∣A∣ψ⟩=∑αn ⟨αn∣ψ⟩ (in A Darstellung)

Basistransformation:

Da die neuen Vektoren ∣αn ⟩ , n=1, ... ,N ein vollständiges Orthogonalsystem bilden, gilt die Vollständigkeit

∑n=1

N

∣αn ⟩ ⟨αn∣=1

altes Matrixelement neues Matrixelement ⟨n∣A∣m ⟩ → ∑

i , j⟨n∣α i ⟩ ⟨αi∣A∣α j⟩ ⟨α j∣m ⟩

Da A∣α j ⟩≡α j∣α j ⟩→∑i⟨n∣α i ⟩α i ⟨α i∣m ⟩

⟨n∣αi⟩ sind die neuen Basisvektoren, dargestellt in der alten Basis.

⟨αi∣m ⟩ sind die alten Basisvektoren dargestellt in der neuen Basis.

Wir können diese als Matrixelemente einer Matrix U auffassen:

⟨n∣αi ⟩=U n i

⟨αi∣m ⟩=U n i* =Ui n

t

Es gilt offenbar⟨%n∣m ⟩=δnm=∑ ⟨n∣α i ⟩ ⟨αi∣m ⟩=δnm=Un i U im

t =( U U t )nm


oder

U Ut=1Matrizen, die diese Eigenschaft erfüllen, werden unitär genannt.

Vektoren ∣ψ⟩ transformieren wie

ψn=⟨n∣ψ⟩=∑ ⟨n∣α i ⟩ ⟨α i∣ψ⟩ =Un i ψi

Wobei ψi die Komponente in der neuen Basis bezeichnet. Wichtig ist, dass sich der Vektor ∣ψ⟩ nicht ändert.

Operatoren A transformieren wie

Anm=⟨n∣A∣m ⟩=∑i , j⟨n∣αi ⟩ ⟨αi∣A∣α j ⟩ ⟨α j∣m ⟩

=U n i AijU jmt

Zusammenfassung:

• Die Komponenten eines Vektors sind Skalarprodukte des Vektors mit orthonormalen Basisvektoren

• Hermitesche Operatoren lassen sich immer diagonalisieren.

• Die Eigenwerte eines Hermiteschen Operators sind die Einträge in Diagonalform.

• Seien ψi die Komponenten des Vektors ∣ψ⟩ in der Darstellung in der A diagonal ist. Dann wirkt

A∣ψ⟩=αi ψi


2.3.2 Funktionalanalyse

Alles, was wir über Matrizen und Vektoren gelernt haben, besitzt auch für unendlich-dimensionale Vektorräume

seine Gültigkeit.

Definition: Eine Funktion ψ( x)∈ℂ heißt quadratintegrabel, wenn das Integral ∫ d x ψ( x) ψ*( x)=I

existiert und endlich ist.

Die quadratintegrablen Funktionen bilden einen Vektorraum L².

Addition: ψ( x)+φ( x) ,∈L2

Skalarprodukt: ∫ψ*( x)φ( x)d x

Wenn eine Funktion quadratintegrabel ist, lässt sie sich so normieren, dass gilt:

∫ψ*( x) ψ( x )=1

Elemente des Vektorraums L² nennen wir Wellenfunktion.

Die Dimension des Vektorraumes L² ist unendlich, d. h. Es lassen sich unendlich viele Funktionen ψ1( x)

finden, so dass gilt:

∫ d x ψ1*( x) ψn( x )=δnm n=1,.... ,∞

OrthogonalitätVergleich:

N-endlich

∑k=1

N

⟨αn*∣k ⟩ ⟨k∣αm⟩=δnm

D.h. Im Übergang von endlicher Matrixdimension zu unendlicher Matrixdimension wird die Summe zum Integral,

sonst ändert sich nichts. Aufgrund der Normierung hat die Funktion ∣ψ( x )∣2=ψ*( x)ψ( x)≥0 die

Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsdichte.

Es gilt auch die Vollständigkeit:

Sei φ( x) eine beliebige Funktion ∈L2 . Dann lässt sich φ( x) wie folgt entwickeln in Basisvektoren

ψn( x )

φ( x)=∑k=1

∞

ψk ( x )∫ψk* ( x)φ( x ')d x '

Vergleich:

φn=⟨n∣φ ⟩=∑k=1

∞

⟨n∣αk ⟩∑m⟨αk∣m ⟩ ⟨m∣φ ⟩

=∑k=1

N

U nk∑m=1

N

U kmφm


Operatoren: Sei x der Ortsraum

Beispiel:

1) Ortsoperator x : Multiplikation mit x

xψ( x)= xψ( x )=( x1ψ( x)x2ψ( x )x3ψ( x))

2) Ableitungsoperator −i∇ :

−i∇ ψ( x )=−i(

δδ x1

ψ( x )

δδ x2

ψ( x )

δδ x3

ψ( x ))Die einfache Wirkung des Ortsoperators zeigt, dass wir uns in einer Basis befinden, in der der Ortsoperator

diagonal ist. Dies ist die Ortsraumbasis.

Wellenfunktion Vektor in Ortsraumbasis ψ( x ) = ⟨ x∣ψ⟩

Die Wirkung des Ortsoperators auf einen Vektor wird in der Ortsraumbasis extrem einfach:

x∣x ⟩= x∣x ⟩daher

⟨ x∣x∣ψ⟩= x ⟨ x∣ψ⟩= x ψ( x)

Das heißt: eine Funktion ψ( x) können wir als einen Vektor ∣ψ⟩ in einer Basis, in der der Ortsoperator xdiagonal ist, interpretieren.

Die Menge der Eigenwerte eines Operators wird Spektrum genannt. Im Falle endlicher Dimension hat ein Operator

genau N Eigenwerte. Im Falle unendlicher Matrixdimensionen kann es sein, dass jede reelle Zahl Eigenwert ist.

N endlich ←→ N unendlichSpec(A)={α1, ... ,α2} Spec( x i)=ℝ

Der Ortsoperator hat offenbar ein kontinuierliches Spektrum.

Basistransformationen:Auch das Konzept der Basistransformationbehält für den Funktionenraum L² seine

Gültigkeit. Als wichtigstes Beispiel betrachten wir hierzu den Ableitungsoperator −i∇ . Eigenfunktionen von

−i∇ sind Funktionen, für die gilt:

−i∇ ψ( x)=k ψ( x)

⇒ψ( k , x)= 1√2π3

e i k x

Diese Eigenfunktionen sind vollständig und orthogonal, denn es gilt:


∫ψ*(k , x )ψ( k ' , x)d x= 1(2π)3∫e−i( k−k

') x d x

=δ(k− k ')Orthogonalität

Andererseits kann man jede Funktion aus L² in ψ(k , x ) entwickeln:

φ( x)= 1√2π3∫ d k e i k x φ(k )

wobei

φ( k )= 1√2π3∫ d x e−i k xφ( k )

Dies ist gerade die Fouriertransformation.

D. h. wir fassen die Fouriertransformation als einen Basiswechsel von der Ortsraumbasis in die Basis, in der der

Ableitungsoperator diagonal ist, auf.

∣x ⟩←→∣k ⟩⟨ x∣ψ ⟩←→ ⟨k∣ψ⟩=∫ d x ⟨k∣x ⟩ ⟨ x∣ψ⟩

⟨ k∣x ⟩= 1√2π3

e−i k x x: Eigenvektor im k-Raum

⟨ x∣k ⟩= 1√2π3

e i k x k: Eigenvektor im Ortsraum

Der k-Raum wird Impulsraum genannt. Einige Eigenschaften der Fouriertransformation sind

−i∇ φ( x)←→ k φ( k )

Δ φ( x )=∑i=1

3δ2

δ x2 φ( x)←→∑i=1

3

k i2 φ( x )

φ( x)ψ( x)←→ 1√2 π3∫ d k ' φ( x ' )ψ( k−k ' )

FaltungssatzWichtig ist hierbei zu sehen, dass auch der Ableitungsoperator basisabhängig ist. Wirkt er doch in der

Ortsdarstellung als Ableitung , aber in der Impulsdarstellung als Multiplikation. Beides sind zwei Darstellungen ein

und desselben Operators. Diesen Operator wollen wir Impulsoperator nennen.

Impulsoperator p →ℏ

i∇ im Ortsraum

→ p=ℏ k im Impulsraum

In Komponenten:

< x | p |ψ>=∫d k < x | p |k > < k |ψ> =∫d k ℏ k < x | k ><k |ψ>

= 12√2π3∫ d k ℏ k e i k x < k |ψ>

=−i ℏ ∇ < x |ψ> =−i ℏ ∇ ψ( x)


⟨k∣ p∣ψ⟩=(⟨ψ∣ p∣k ⟩ )* da phermitesch=ℏ k ⟨ψ∣k ⟩*=ℏ k ⟨k∣ψ⟩=ℏ k ψ( k )

Ortsoperator x{ → x im Ortsraum

→i ∇ k im Impulsraum

2.4 Axiome der Quantenmechanik

Wir wollen nun die Quantenmechanik durch einige wenige Grundregeln (Axiome) formulieren

1. Ein physikalischer Zustand wird durch einen normierten Vektor ∣ψ(t)⟩∈H beschrieben, der

Element eines Hilbertraumes H ist.

2. Physikalische Größen werden Observablen genannt. Observable sind Hermitesche Operatoren, die

auf den Zustand ∣ψ(t)⟩ wirken.

3. Sei {∣αn ⟩} ein vollständiges Orthonormal-System im Hilbertraum H, dann hat der Vektor

∣ψ(t)⟩ die Bedeutung einer Wahrscheinlichkeitsamplitude, d.h. ∣⟨αn∣ψ( t)⟩∣2 ist eine

Wahrscheinlichkeitsdichte. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, das durch ∣ψ(t)⟩ beschriebene

System im Zustand ∣αn ⟩ anzutreffen. Das heißt, sei {∣αn ⟩} ein vollständiges System von

Eigenvektoren des Operators A

A∣αn ⟩=αn∣αn ⟩ n=1, ... ,∞

dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Messung der Observablen A der Wert αn

gemessen wird, gegeben durch ∣⟨αn∣ψ( t)⟩∣2 . Für Operatoren mit einem diskreten Spektrum

heißt das, dass nur die Eigenwerte αn des Operators als Messwerte in Frage kommen.

4. Der Erwartungswert bei einer Messung der Observablen A im Zustand ∣ψ(t)⟩ ist gegeben

durch

⟨ψ(t)∣A∣ψ(t)⟩=∑n=1αn∣⟨αn∣ψ(t)⟩∣

2

Ortsmessung⟨ψ(t)∣x∣ψ(t )⟩=∫ d x x∣⟨ x∣ψ(t )⟩∣2

=∫ d x x∣ψ( x , t)∣2

Befindet sich ein Teilchen im Zustand ∣ψ(t)⟩ , so wird es im Mittel an der Stelle

∫ d x x∣ψ( x , t)∣2 anzutreffen sein.


5. Wenn die Messung von A den Wert αn ergeben hat, geht die Wellenfunktion in den

entsprechenden Eigenzustand ∣α1 ⟩ über.

Dies nennt man „Kollaps“ der Wellenfunktion. Die Details des quantenmechanischen

Messprozesses sind auch heute noch Gegenstand vieler Untersuchungen.

6. Die Zeitentwicklung des Zustandes ∣ψ(t)⟩ wird vom Hamiltonoperator gemäß der Schrödinger-

Gleichung bestimmt:

i ℏ δδ t∣ψ( t )⟩=H∣ψ(t )⟩

Der Hamiltonoperator ergibt sich aus der Hamiltonfunktion durch Quantisierung.

Hamiltonfunktion ←→ Hamiltonoperator

H( x , p)= p2

2m+V( x ) H= p2

2m+V( x)

In der Ortsdarstellung ergibt sich

i ℏ δδ t ⟨ x∣ψ(t)⟩=⟨ x∣H∣ψ(t )⟩

= 12m

⟨ x∣ p2∣ψ( t)⟩+⟨ x∣V( x)∣ψ(t)⟩p2=∑ ( px

2+ p y2+ pz

2)= p p

p∣x ⟩= p p∣x ⟩=(ℏi )2

∇ ∇∣x ⟩

=−ℏ2Δ∣x ⟩

Da p2 Hermitesch ist, können wir es nach hinten auf ⟨ x∣ wirken lassen.

i ℏ δδtψ( x , t)=(− ℏ2

2mΔ+V( x))ψ( x , t)

Schrödingergleichung in Ortsdarstellung

Δ= δ2

δ x2+δ2

δ y2+δ2

δ z 2 ist der Laplaceoperator.

7. Vergleich klassische Mechanik ⇔ Quantenmechanik

Klassische Mechanik QuantenmechanikZustand Punkt im Phasenraum Element eines HilbertraumesObservable Phasenraumfunktion f ( x , p) Operatoren x , p ,... ,etcZeitentwicklung Klassische Bewegungsgleichung SchrödingergleichungMessung exakt Erwartungswerte


2.5 Ehrenfest'sches TheoremNatürlich sollte das klassische Verhalten, also insbesondere die klassischen Bewegungsgleichungen,

irgendwie auch wieder in der Quantenmechanik auftauchen.

Wir betrachten den Erwartungswert des Ortsoperators

⟨ψ(t )∣x∣ψ(t)⟩=∫ d xψ*( x ,t ) x ψ( x , t )

und dessen Zeitableitung

ddt

<ψ(t ) | x |ψ(t )>=∫ d x [ψ*( x ,t ) x δδ tψ( x , t )+ψ( x , t ) x d

dtψ*( x , t )]

Da aber die Schrödingergleichung gilt

i ℏ δδ tψ( x , t) =Hψ( x , t )

−i ℏ δδ t ψ

*( x , t)=H ψ*( x , t)

folgt

ddt⟨ψ( t)∣x∣ψ(t)⟩= 1

i ℏ∫ d x [ ψ*( x , t) x Hψ( x , t )− xψ( x ,t )Hψ*( x ,t )]

H=− ℏ2

2mΔ+V ( x ) enthält unter anderem auch Ableitungsoperatoren. Diese können wir durch partielle

Integration jeweils auf den einen oder den anderen Teil des Integrals wirken lassen.

∫ dxψ(x ) δδ xφ( x)=−∫ dxφ( x) δ

δ xψ( x)

wobei die Grenzen jeweils verschwinden, da die Wellenfunktionen bei ±∞ verschwinden.

Ebenso gilt:

∫ d x ψ( x) δ2

δ x2 φ( x)=∫ dx φ(x ) δ2

δ x2 ψ(x )

Mehrdimensional:

∫ d x ψ( x)(−i ∇ )φ ( x)=∫ d xψ( x) i ∇ ψ( x )

∫ d xψ( x)Δφ( x)=∫ d x ϕ( x)Δψ( x)

Wir benutzen die letzte Regel, um den Hamiltonoperator im zweiten Term nicht auf ψ*( x , t) , sondern

auf den vorderen Teil wirken zu lassen.

ddt

<ψ(t) | x |ψ(t )>= 1i ℏ∫ d xψ*( x , t)( x H−H x) ψ( x ,t)

Die Größe, die im Integral erscheint, heißt der Kommutator von x und H in der Ortsdarstellung. Er

wird mit [ x , H ]=x H−H x bezeichnet. In obiger Ortsdarstellung ist er explizit.


(− ℏ2

2mxΔ+ xV ( x)+ ℏ

2

2mΔ x−V( x) x)

=− ℏ2

2m[ x ,Δ ]=− ℏ

2

2m ([ x ,Δ ][ y ,Δ ][ z ,Δ])=− ℏ

2

2m ([x ,δ2

δ x2 ][ y , δ2

δ y2 ][z , δ2

δ z2 ])es reduziert sich also auf den Kommutator

[x , δ2

δ x2 ]= x δ2

δ x2−δ2

δ x2 x=x δ2

δ x2−δδ x− δδ x

x δδ x

=−2 δδ x

Daraus folgt

− ℏ2

2m[ xΔ ]= ℏ

m∇

ddt⟨ψ( t )∣x∣ψ(t)⟩=− i ℏ

m∫ d xψ*( x , t) ∇ ψ( x , t)

−i ℏ∇ ist aber gerade der Impulsoperator in der Ortsdarstellung. Das heißt, wir können die rechte Seite auch

schreiben als

= ⟨ψ(t )∣ p∣ψ(t )⟩ (1)

Dies ist aber nichts anderes als die erste Hamilton'sche Bewegungsgleichung. Ähnlich erhält man auch hier den

Erwartungswert des Impulses

ddt⟨ψ( t)∣ p∣ψ(t)⟩=−⟨ψ(t)∣∇V ( x )∣ψ(t )⟩ (2)

Hieraus lässt sich nun das quantenmechanische Analogon zu Newtons Bewegungsgleichung herleiten

d 2

dt2 ⟨ψ(t )∣x∣ψ(t )⟩=−⟨ψ(t)∣∇ V( x )∣ψ(t)⟩ (3)

Die Gleichungen (1), (2) und (3) werden als Ehrenfest'sche Theoreme bezeichnet.

3. AnwendungenDie sechs Grundprinzipien reichen im Prinzip aus sämtliche QM-Probleme zu beschreiben. Jedoch sind die Konsequenzen derart tief und weitreichend, dass wir uns hier auf wenige besonders interessante Anwendungen beschränken müssen.

3.1. Einfache 1D ProblemeWir wollen die zeitabhängige Schrödingergleichung zunächst in einer Dimension betrachten.

i ℏ ∂∂ t x , t =− ℏ

2m∂2

∂ x2V x x , t Das heißt wir können den Vektorpfeil unterdrücken um modellhaft zu zeigen, wie man diese Gleichung löst, bzw wie man physikalische Größen damit ausrechnet, wählen wir den harmonischen Oszillator, der in vielerlei Hinsicht sogar noch einfacher ist, als das freie Teilchen.


3.1.1. Harmonischer Oszillator

Der Hamiltonoperator wird zu: H=− ℏ2

2m∂2

∂ x 2m22 x2

Die Schrödingergleichung ist eine partielle lineare DGL

i ℏ ∂∂ t x , t =− ℏ2

2m∂2

∂ x2m2

2 x2x ,t Gesucht ist die Lösung dieser Gleichung zu einer bestimmten Anfangswellenfunktion x ,0 .Wir wissen, dass H ein hermitischer Operator ist und daher ein vollständiges Basissystem von Eigenvektoren besitzt. Nehmen wir an, wir kennen diese Eigenfunktionen x ,≥0∈ℕ so dass

− ℏ2

2m∂2

∂ x2m2

2 x2 x=E x

gilt, wobei wir hier angenommen haben, dass das Spektrum diskret ist, was sich erst später als richtig herausstellen wird.Dann können wir die Anfangswellenfunktion nach der Zeit der entwickeln. x ,0=∑

=0

∞

c x mit c=∫* x ' x ' ,0dx 'Obige Gleichung wir stationäre Schrödingergleichung genannt:H∣ ⟩=E∣ ⟩ (allgemein)

Für diese Zustände ist die Zeitentwicklung besonders einfach. Wir setzen an:

x ,t = x exp[i E tℏ ] (Produktansatz)

dann löst x ,t offenbar die Schrödingergleichung. Ein Zustand dieser Form wird stationärer Zustand genannt, denn das Betragsquadrat hängt nicht von der Zeit ab:∣ x , t ∣2=∣ x ∣2

Die gesuchte Lösung x , t ergibt als als obige Superposition stationärer Zustande:

x , t =∑=0

∞

c xexp[−i E tℏ ]diese Wellenfunktion erfüllt per Konstruktion die Schrödingergleichung und liefert die richtige Anfangsbedingung.

Wir widmen uns nun der Bestimmung der Eigenwellenfunktionen x des Hamiltonoperators

− ℏ2

2m∂2

∂ x2m2

2 x2 x=E x

Wir skalieren zunächst die Gleichung mit einer charakteristischen Länge

x0= ℏm

∧ x= x0 y

−12ℏ ∂2

∂ y2 y2 x0 y =E x0 y

Gesucht ist also das Spektrum des Operators:

−12ℏ ∂2

∂ y2− y2 x0 y =E x0 y

Wir benutzen eine sehr elegante algebraische Methode und führen die beiden Operatoren

a= 12 y ∂

∂ y Vernichtungsoperator

at= 12 y− ∂

∂ y Erzeugungsoperator

ein. Die Bedeutung der Namen erklärt sich später. Wir können nun schreiben

− ∂2

∂ y2− y2=a a ta t a


Wir bemerken, dass die Reihenfolge der Operatoren wirchtig ist, denn die Operatoren vertauschen nicht (kommutieren nicht).Wir sehen das zB daran, dass wir â,ât auf eine beliebige Testfunktion hintereinander anwenden.

a a tx =12 y ∂

∂ y y− ' =12 y2− y ' y '− ' ' =1

2 y2− ' '

andererseits

a t a y =12 y− ∂

∂ y y ' = 1

2 y2− ' '−

dh a a t−at a y = y

Da dies aber für jede beliebige Testfunktion gilt, können wir allgemein sagen a a t−at a≡[ a , a t ]=1

Die Klammer wird "der Kommutator" genannt. Er spielt in der QM eine entscheidene Rolle, wie wir später noch sehen werden.Nun können wir den Hamiltonoperator des harmonischen Oszillators mit Hilfe des Kommutators auch schreiben als:H=ℏ at a1

2

zu beachten ist, dass ât der zu â adjungierte Operator ist und umgekehrt.⟨ | at | ⟩= ⟨ | a | ⟩*

12∫

* xx− ∂∂ xx dx=∫x x ∂

∂ x*x dx=∫*x x ∂

∂ xx

*

der Operator a t a≡n ist aber wieder hermitischmit A B t= Bt At folgt a t a t=a t aDer Operator n wird Besetzungszahloperator genannt.Es sei x0 y eine Eigenfunktionen zum Eigenwert von n :n∣ ⟩=∣ ⟩⇒ ⟨ | ⟩= ⟨ | n | ⟩=⟨ | a t a | ⟩=⟨ a t | a ⟩≥0

da letzter Ausdruck das Betragsquadrat einer quadratintegrablen Funktion ist, ist sein Wert positiv daraus folgt: ⇒≥0Der niedrigste Eigenwert von n ist also null.Für diesen Eigenwert folgt das: a∣ ⟩=

!

0Dies übersetzt sich in folgende Differentialgleichung

12 y ∂

∂ y0xo y =0

oder wieder in der ursprünglichen Ortskoordinate ausgedrückt: x0

2 xx0

2∂∂ x 0x =0

Diese gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung lässt sich mit einem Exponentialansatz lösen: 0x =exp F x

xx02F ' x 0 x=0

⇒ F ' x =−xx0

2 ⇒ F x =− x2

2x02const

⇒0x =1

x0

exp[− x2

2x02 ]


Damit haben wir die Wellenfunktion des Grundzustandes des harmonischen OszillatorsH∣0⟩=ℏ n1

2 ∣ 0 ⟩=12ℏ∣0 ⟩

Die Energie des Grundzustandes ist also nicht etwa 0 sondern ℏ2 . Dies ist typisch für die

Quantenmechanik. Das Teilchen kann sich nicht im Zustand der klassisch niedrigsten Energie aufhalten aufgrund von Quantenfluktuationen die eine natürliche Ortsunschärfe erzeugen.

Wir berechnen Var x=⟨ 0 | x2 |0⟩= ℏ2m

Wir erinnern uns: VarT x2= 1

T ∫0T

x2t dt= Em2=

ℏ2m

für E=ℏ

Des gleichen finden wir für den Impuls

Var p=⟨0 | p2 | 0⟩=−ℏ2

2m ∫0 x ∂2

∂ x2 0x dx=ℏm

2Wenn wird die Varianzen multiplizieren:

Var pVar x=ℏ2

4Man kann zeigen, dass dies der minimale Wert ist, den dieses Produkt annehmen kann. Es ist eine spezielle Eigenschaft der Gaussfunktion. Würde man die Erwartungswerte bezüglich einer beliebigen

Wellenfunktion bilden, käme ein Wert ℏ2

4 heraus.

Dies ist ein spezieller Fall der Heisenbergschen Unschärferelation: Var pVar x≥ℏ2

4

Mit Hilfe der Erzeuger und Vernichter lassen sich nun die restlichen Eigenfunktionen vom Grundzustand aus erzeugen.Wir betrachten den Besetzungszahloperator n .Sei ∣ ⟩ Eigenfunktionen von n zum Eigenwert , dann ist a t∣ ⟩ Eigenfunktion zum Eigenwert 1n at∣ ⟩=a t a a t∣ ⟩=a t a t a[ a , a t ]∣ ⟩=a t n1 ∣ ⟩=1 a t∣ ⟩=1∣1⟩ qed

desgleichen: n a∣ ⟩=−1 a∣ ⟩=−1∣−1⟩Damit haben wir ausgehend vom Grundzustand unendlich viele Eigenvektoren zu H konstruiert.∣ ⟩∝ at ∣0⟩ ,0∈ℕ

Wobei zu beachten ist, dass die so erzeugten Zustände noch nicht auf eins normiert sind.Sei nämlich ∣ ⟩ auf eins normiert: ⟨ | ⟩=1dann folgt ⟨ | at a | ⟩==⟨ a | a ⟩das heißt a∣ ⟩ hat die Norm , da wir aber wissen, dass a∣ ⟩ Eigenzustand zu n zum Eigenwert −1 ist, wissen wir, dass a∣ ⟩∝∣ −1⟩ gelten muss.


a∣ ⟩=∣ −1⟩at∣ ⟩=1∣1⟩

Das Spektrum des Hamiltonoperators ist, wegen:H∣ ⟩=ℏ n1

2∣ ⟩=ℏ12∣ ⟩

gegeben aus Spec H =ℏ12 ,≥0∈ℕ

Die Frage besteht ob wir auch alle Eigenfunktionen konstruiert haben, man kann mit Hilfe eines Widerspruchbeweises argumentieren. Wir wollen dies aber an dieser Stelle nicht tun und die Vollständig auf eine andere Art zeigen. Wir betrachten den Erzeuger in Ortsdarstellung.

x0

2

xx02−

∂∂ x

0 x= x

wirkend auf den Grundzustand mit:

xx02−

∂∂ x =exp[ x2

x02 ]− ∂

∂ x exp[− x2

x02 ]

folgt:

∝exp[ x2

2x02 ]− ∂∂ x exp[− x 2

x02 ]

Der Ausdruck

exp[ x2

2x02 ]− ∂

∂ x

exp[− x2

x02 ]=H

xx0

ist ein Polynom:H 0=1 ∧ H 1 x=2x ∧ H 2x =4x2−2

Die so erzeugten Polynome haben einen Namen. Sie heißen Hermite-Polynome. Sie gehören zur Klasse der orthogonalen Polynome. Diese sind von mathematischer Seite sehr gut studiert. Insbesondere weiß man, dass man mit Hilfe orthogonaler Polynome eine beliebige quadratintegrable Funktion entwickeln kann. Also orthogonale Polynome sind vollständig. Eine beliebige Eigenfunktion von H lässt sich also kompakt schreiben als:

x =1

! 2 x0

H xx0exp[− x2

2x02 ]

wobei der Faktor 1/ eine Normierungskonstante ist. Es gilt Orthogonalität:

∫−infinty

∞

* x x dx=

Wobei das komplex konjugierte hier eigentlich überflüssig ist, da die Wellenfunktionen reell sind.Es gilt aber ebenfalls Vollständigkeit

∑=0

∞

* x y = x− y


Wir wollen nun einige Eigenschaften der Wellenfunktion diskutieren, die allgemein sind und nicht nur für den harmonischen Oszillator gelten.

1. Diskretes Spektrum: Das Spektrum ist diskret, dh wir können nur für ganz bestimmte Energien überhaupt Lösungen der stationären Schrödingergleichung finden:H∣ ⟩=E∣ ⟩

Die ist typisch für gebundene Zustände, also Zustände, deren Wellenfunktion nur in einem begrenzten Bereich von Null verschieden ist, an den Grenzen aber sehr schnell, meistens exponentiell abfällt. Wie wir sehen werden, deutet ein kontinuierliches Spektrum auf ungebundene Zustände hin, die sich über den ganzen Raum ℝ3 bzw ℝ erstrecken können.

2. Existenz eines Grundzustandes, die ist essentiell damit ein System wohldefiniert ist.

Auf den Folien geben wir zunächst die Wellenfunktion zu den Eigenwerten

E=ℏ12 mit =0,1 ,2,3 ,5 ,10,20

es ist auch das Oszillatorpotential eingezeichnet auf genau die Art und Weise, daß an der Stelle, wo das Potential die x-Achse schneidet, das klassische Teilchen mit der entsprechenden Energie seinen Umkehrpunkt hat.

xmax= 2Em2

Wir sehen folgendes:1. Die Anzahl der Knoten, Stellen an denen die Wellenfunktion verschwindet, nimmt mit

zunehmender Energie immer mehr zu. In der Tat entspricht die Anzahl der Knoten der Quantenzahl , also dem Eigenwert des Besetzungsoperators. Dies ist immer so in eindimensionalen Modellen:Die Anzahl der Knoten entspricht dem Anregungszustand des Systems.

Ebenfalls charakteristisch ist, dass der Grundzustand keine Knoten hat. Dies gilt allgemein, nicht nur in einer Dimension, wenn es keine sonstigen topologischen Gründe gibt, die einen knotenfreien Grundzustand verbieten.

2. Bemerkenswert ist, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des QM-Teilchens auch dort nicht verschwindet, wo das klassische Teilchen mit der gleichen Energie nicht mehr hinkommt. Dies ist ein typischer QM-Effekt. Eine nicht verschwindene Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens in klassisch verbotenem Gebiet. Dieser Effekt ist Grundlage für das Rastertunnelelektronenmikroskop. Wir sehen auch, dass diese Wahrscheinlichkeit kleiner wird, je größer die Energie/Anregung ist.

Nun kommen wir zur Zeitentwicklung. Wir können eine beliebige Anfangswellenfunktion x ,0entwickeln nach Eigenfunktionen. Die Zeitentwicklung der Eigenfunktionen ist ja einfach:

x , t = x exp[−i E tℏ ]⇒x ,t =∑ c x exp[−i E tℏ ]

Eine beliebige Anfangswellenfunktion enthält also prinzipiell Komponenten von allen Oszillatoreigenfunktionen. De facto muss man sich auf eine begrenzte Anzahl von Eigenfunktionen beschränken. Wir haben gesehen, dass die Eigenfunktionen oszillierende Funktionen mit einer

Wellenlänge ≈x0

sind. Man benötigt Wellen der Wellenlänge um Strukturen x≈

aufzulösen.

In den folgenden Bildern haben wir als Anfangszustand ein Gaussches Wellenpaket gewählt, welches bei 2x0 zentriert ist.


x ,0 = 1

exp[− 122 x−2x0

2]∣ x ,0∣2= 1

exp[− 1

2 x−2x0 2]

Mit der Breite 2=0,1 x0

Es ist klar, dass je spitzer unser Anfangswellenpaket gewählt ist, desto mehr Eigenzustände muss man mitnehmen um die Anfangswellenfunktion gut zu approximieren. In der Animation haben wir einmal die wichtigsten drei, zehn bzw zwanzig Eigenzustände gewählt um x ,0 zu approximieren. Wir sehen

wie sich das Wellenpaket bewegt. Zu beachten ist die Periodizität mit der Periode T=2 . Auch wenn

das Paket zwischendurch verläuft, ist es zum Zeitpunkt T und T/2 immer wieder das alte.

3.1.2 Teilchen im Kastenpotential

H=− ℏ2

2m∂2

∂ x2

Wir betrachten zunächst den Fall, dass der Kasten unendlich tief (die Wände unendlich hoch) ist. Wir

fordern, dass die Wellenfunktion für ∣x∣ L2 verschwindet. Außerdem fordern wir Stetigkeit der

Wellenfunktion.Die stationäre Schrödingergleichung H x =E x hat dann wiederum nur für bestimmte Eigenwerte Lösungen. Die Lösungen des freien Hamiltonoperators sind Linearkombinationen von

x={sin kx cos kx

∨ x={ exp ikxexp −ikx

mit: k=2mEℏ

Wir arbeiten mit ersterem.Die Bedingung

L2=−L

2=0 liefert die Diskretisierung/Quantisierung der Impulse bzw. der Energie.

sin k L2 =0⇒ k=2L

n ,n0∈ℕ

cos k L2 =0⇒ k=L2n1 , n≥0∈ℕ


E= ℏ2

2m 2L 2{ n2 n0∈ℕ ungerade (sin)

n12

2

n≥0∈ℕ gerade (cos)

Wir sehen wir hier das für den harmonischen Oszillator gesagte wieder zutrifft.

Der Grundzustand ist 0 x=cosLx

Er hat keine Knoten. Die Grundzustandsenergie E0=ℏ22

2mL2 wächst, je kleiner wir L wählen.

Druck p=∂E0

∂ L∝− 1

L3

Beim harmonischen Oszillator galt: p=∂E0

∂ x0∝− 1

x03 mit E0=

ℏ2∧ x0

2= ℏm

Das heißt, es kostet Kraft das Teilchen weiter einzuschränken für L0 geht die benötigte Kraft sogar gegen unendlich. Dieses Phänomen heißt Quantendruck und kann experimentell beobachtet werden.Die Anzahl der Knoten wächst mit dem Grad der Anregung.

1ster angeregter Zustand: 1x =sin 2L

x

2ter angeregter Zustand: 2 x=cos 3L

x

wobei sich Sinus und Cosinus immer abwechseln.

Es ist bemerkenswert und ebenfalls typisch für eindimensionale gebundene Systeme, dass alle Wellenfunktionen reell sind. Dies ändert sich wenn wir die Wände im Kasten nicht mehr unendlich hoch machen, sondern endlich lassen.


H=− ℏ2

2m∂2

∂ x2V 0 , ∣x∣ L2

H=− ℏ2

2 m∂2

∂ x2 , ∣x∣ L2

Wir berechnen Lösungen der stationären Schrödingergleichung in beiden Fällen. In beiden Fällen lässt sich die Lösung offenbar wieder als Exponentialfunktion angeben.

x−L2

I x =A I exp [i k ' x ]B I exp [−i k ' x ] , k '=2mℏ2 E−V 0

− L2xL

2

II x =AII exp [ i k x ]B II exp [−i k x ] , k=2mℏ2 E

III x=AIII exp [i k ' x ]B III exp [−i k ' x ] , k '=2mℏ2 E−V 0

Wir fordern neben der Stetigkeit auch Stetigkeit der ersten Ableitung von x an beiden Nahtstellen

I −L2= II −

L2 ∧ II

L2= III

L2

I ' −L2= II ' −

L2 ∧ II '

L2= III '

L2

Dies sind 4 Gleichungen für 6 Unbekannte, so ein Gleichungssystem hat immer Lösungen für beliebige k, k' (bzw für beliebige Energie)- Dies deutet schon an, dass wir es hier mit einem System zu tun haben in dem das Spektrum auch einen kontinuierlichen Anteil hat.Wir müssen zwei Fälle unterscheiden:

k '= 2mℏ2 E−V 0 ist {reell für EV 0

rein imaginär für EV 0

Wir betrachten zunächst den Fall E<V0, dann ist k '=i k rein imaginär dh Terme wie ekx entstehen, die die Wellenfunktion im ∞ explodieren lassen und die Quadratintegrabilität zerstören. Dh wir müssen, um solche Terme zu verhindern A I=B III=0 setzen.Jetzt haben wir nur noch 4 Gleichungen für 4 Unbekannte.

B I exp[−ik ' L2 ]=A II exp[−ik L2 ]B II exp[ik L

2 ]−i k ' B I exp[−ik ' L2 ]=ik AII exp[−ik L

2 ]−B II exp[ik L2 ]

i k ' A III exp[ik ' L2 ]=ik AII exp[ik L2 ]−B II exp[−ik L

2 ]AIII exp[ik ' L2 ]=A II exp[ik L

2 ]B II exp[−ik L2 ]

Diese Gleichung hat im allgemeinen keine Lösung für BI, AII, BII und AIII es sein denn die Determinante der Matrix

* * * 0* * * 00 * * *0 * * *

B I

A II

B II

AIII=0 verschwindet.


Dies liefert eine Bedingung an E setzen wir A II=B II folgt:−i k 'k=tan kL

2dies lässt sich auch schreiben als:

mV 0 L2

2ℏ2 −kL2 2

kL2

=tan kL2

Es tritt also die dimensionslose Größe 2=mV 0L

2

2ℏ2 auf, die so etwas wie die Stärke des Potentials

charakterisiert. Bezeichnen wir noch a= kL2 , so finden wir eine anszendente Gleichung für a.

2−a2

a= tan a für AII=B II

2−a2

a=−cot a für AII=−B II

Wobei a=2mE2ℏ

L mit der Energie in Verbindung steht. Wann immer eine der beiden Gleichungen

für ein a erfüllt ist, haben wir

eine Eigenfunktion von H gefunden. Die Lösung lässt sich nur graphisch finden.

3.1.3. Tunneleffekt

Wir wollen das eindimensionale Streuproblem noch etwas allgemeiner betrachten. Wir betrachten eine Potentialschwelle der Form

Wir können die Wellenfunktion wieder ansetzen mit I=eikxRe−ikx

III=T eikx ; k=2mE ℏ2

für eine von links einlaufende Welle. Wenn EV max ist, wird das klassische Teilchen nicht über den Potentialberg hinüberkommen. Das heißt, klassisch ist T E =0 für EV max . Quantenmechanisch ist die Transmissionswahrscheinlichkeit ∣T∣20 für beliebig niedrige Energien.Sei V a=V b=E dann kann man die Transmissionswahrscheinlichkeit nähern durch

|T E |2≈exp −2ℏ∫a

b

2m V x −E dx


d.h. Die Fläche des Potentials über der Energie des Teilchens ist entscheidend für die Tunnelwahrscheinlichkeit. Für hohe und für breite Potentialbarrieren ist die Wahrscheinlichkeit vernachlässigbar klein. In vielen Fällen ist der „Tunneleffekt“ jedoch auch beobachtbar. Der Tunneleffekt ist ein spektakulärer QM-Effekt, den man sich im Rastertunnelektronemikroskop auf geniale Weise zunutze machen konnte.

a) Raster-Tunnel-Mikroskop

b) α-Zerfall von KernenDer Atomkern besteht aus etwa gleich vielen Protonen und Neutronen

Aus Gründen, die bis heute nicht vollständig verstanden sind, neigen sich jeweils zwei Protonen und zwei Neutronen zu α-Teilchen zusammenzuschließen

α-Teilchen

In einem effektiven Modell des Atomkerns werden die starken aber kurzreichweitigen Kernkräfte durch einen Potentialtopf der Breite ~10−18 m beschrieben. Zudem gibt es die langreichweitige Coulomb-Abstoßung zwischen den Protonen untereinander. Es ergibt sich folgendes Potential für ein α-Teilchen:


Man findet für die Tunnelwahrscheinlichkeit

|T F |2=exp− 2mk Z a e2

ℏ ZT

E− 4 Z T

ZRe

wobei Z=2 die Ladungszahl des α-Teilchens und ZT die Ladungszahl des Tochterkerns sind. Die Tunnelwahrscheinlichkeit ist dimensionslos im Gegensatz zur normierbaren Wellenfunktion, die die Einheit [ ]=m

− d2 hat.

Kerne mit α-Teilchen mit Energien E > 0 sind instabil. Man kann zeigen, dass sie einem exponentiellen Zufallsgesetz folgen

N t =e− t

wobei die Zerfallsrate proportional zu |T E |2 ist.

= 2R V

|T E |2 , wobei, V die mittlere Geschwindigkeit des α-Teilchens im Kern ist. Setzt man

realistische Werte für R und E in MeV ein, so folgt für die Halbwertszeit

N T 1 /2=12

T 1 /2= ln 28≈10

1,61 ZT

E−ZT

2/ 3−28,9

Diese phänomenologische Formel von Taagepera and Nurmia wurde experimentell von Geiger und Nutall

bestätigt. Insbesondere die Abhängigkeit lnT 1 /2∝−1E

3.2. Dreidimensionale Systeme

Wir betrachten nun Systeme in drei Raumdimensionen. Dies bedeutet für die Schrödingergleichung, dass wir die zweifache Ableitung nach x durch den Laplace-Operator ersetzen müssen

2

x2

Das Teilchen bewege sich in einem „Zentralpotential“V x=V = x2 y2z2

Beispiele:

Coulomb-Potential: V x = e2

3-dimensionaler harmonischer Oszillator: V x =0

2m2 2


3.2.1. Drehimpuls

Bei kugelsymmetrischen Systemen spielt klassisch wie quantenmechanisch der Drehimpuls, oder genauer gesagt, der Bahndrehimpuls eine große Rolle. Klassisch ist der Drehimpulst definiert als

L=x x p L=x x pklassisch QM

in der Ortsdarstellung wird dies zu

L=−ℏ i x x ∇Wir hatten in einer Übungsaufgabe gesehen, dass der klassische Drehimpuls bei der Bewegung in einem Zentralpotential eine Konstante der Bewegung ist. Dies überträgt sich in die Quantenmechanik durch folgende Aussage

Satz: Für kugelsymmetrische Potentiale vertauscht der Hamiltonoperator H mit allen drei Komponenten des Drehimpulses.

[ H , Li ]=0 i=1,2,3Beweis:

H= i2m

p2V

[ H , Li ]= 12m [ p2 ,L i ][V , Li ]Li=∑

ikijk x j pk

[ H , Li ]= 12m∑l ∑jk ijk [

p l2 , x j pk ]−∑

jkijk [ x j pk ,V ]

Der erste Term (der kinetische Anteil zur Gesamtenergie) verschwindet. Für den zweiten Term ergibt sich in Ortsdarstellung

ℏ∑jki ijk x j[ xk ,V ]=i ℏ∑jk ijk x j

V

xk =0

das heißt, die drei Operatoren L1 , L2 , L3 vertauschen mit dem Hamiltonoperator. Es gilt aber der folgende wichtige Satz:

Satz: Wenn der Kommutator zweier Operatoren verschwindet, dann gibt es eine Basis, in der beide Operatoren diagonal sind.

Beweis: Man benutzt, dass der Kommutator in jeder Basis gleich ist. [ A , B ]=0⇔ U−1 [ A , B ] U=0

Es bietet sich daher an, die Eigenfunktionen des Hamiltonoperators eines kugelsymmetrischen Systems in der Basis anzugeben, in der die Drehimpulskomponenten diagonal sind. Hier ist allerdings zu beachten, dass die Drehimpulskomponenten untereinander nicht kommutieren. Wir betrachten die Drehimpulsoperatoren etwas genauer, sie erfüllen folgende Kommutatorrelation:

[ Li , L j ]=i ℏ∑kijk Lk

d.h. Sie vertauschen nicht untereinander.

Aus demselben Grund, aus dem man also eine gemeinsame Eigenbasis von Li und H finden kann, kann man keine gemeinsame Basis für zwei Drehimpulskomponenten gleichzeitig finden. Man kann H also nur zusammen mit einer Drehimpulskomponente diagonalisieren. Man wählt per Konvention die z-Komponente. Es gibt aber noch einen weiteren Operator, der sowohl mit H als auch mit allen 3 Komponenten des Drehimpulses kommutiert. Dies ist

L2= Lx2 Ly

2 Lz2


man kann zeigen: [ L2 , L i]=0

∑k[ Lk

2 , Li]=∑k

Lk [ Lk , Li ][ Lk , Li ] Lk

=i ℏ∑kl Lk

L l kilkil LlLk

=i ℏ∑klikl − Lx

Ll− LlLk

=0Wir bezeichnen die gemeinsame Eigenbasis von L2= Lz mit ∣lm ⟩ .

Das Spektrum von L2= Lz bestimmen wir ähnlich wie im Fall des harmonischen Oszillators.L+= Lxi Ly AufsteigesoperatorL -= Lx−i Ly AbsteigeoperatorL2= L-

L+ℏ LzLz

2 L+t = L-

Sei E ∣lm ⟩ igenvektor zu L z zu EW ℏmL z ∣lm⟩=ℏm∣lm⟩

Dann folgt mit [ Lz , L± ]=±ℏ L±

L zL±∣lm⟩= L± Lz[ Lz , L± ] ∣lm ⟩

=ℏm L±±ℏ L± ∣lm ⟩ =ℏ m±1 L± ∣lm ⟩

d.h. L±∣lm ⟩ Ist ebenfalls Eigenvektor von L z zum EW ℏ m±1

Auch die weiteren Überlegungen folgen in Analogie zu dem Verfahren beim harmonischen Oszillator.⟨lm∣ L∓ L±∣lm ⟩=⟨lm∣ L2− Lz

2∓m ℏ Lz ∣lm ⟩ =⟨lm∣ L2∣lm ⟩−ℏ2m m±1 ≥0

Wir bezeichnen den Eigenwert von L2 mit ℏ2 l l1 L2∣lm ⟩=ℏ2 l l1 ∣lm ⟩

dann folgtl l1 ≥m m1 m0l l1 ≥m m−1 m0

Das heißt, m hat einen Maximalwert l und einen Minimalwert −l . Alle Werte −ln ,n∈ℕdazwischen können ebenfalls angenommen werden. Damit aber keine höheren/niedrigeren Werte angenommen werden können muss beim Anwenden des Auf-/Absteigers 2 l∈ℕ gelten.

Es gibt also zwei Fälle:

l=12, 32, 52,... halbzahliger Drehimpuls

l=0 ,1 ,2 , ... ganzzahliger Drehimpulsl ist die Drehimpuls-Quantenzahl und m ist die „magnetische Quantenzahl“. Sowohl der halbzahlige als auch der ganzzahlige Drehimpuls existieren in der Natur. Der durch L=x x p beschriebene Drehimpuls heißt „Bahndrehimpuls“ und man kann zeigen, dass dieser nur ganzzahlige Werte annehmen kann. Um die Bedeutung der Drehimpulsquantenzahl besser zu verstehen, erinnern wir uns an die klassische Bedeutung des Drehimpulses eines Teilchens, welches mit Geschwindigkeit v um ein Zentrum kreist.


Ist das Teilchen ein Elektron, dann entsteht die Kreisbewegung, ein Magnetfeld in Richtung des Drehmoments L z . In der Skizze ist L2=Lz

2 , d.h. Lx=Ly=0 .Kreisbewegungen zum selben Gesamtdrehimpuls können auch noch auf anderen Bahnen stattfinden.

Die magnetische Quantenzahl nummeriert die Anzahl der möglichen Winkel zur Z-Achse auf der der Orbit des Teilchen liegen kann. Die Drehimpulsquantenzahl quantisiert die Länge des Vektors

|L |=mr | v | . Da sie proportional zur E kin ist, ist es naheliegend, anzunehmen, dass mit steigender Energie des Teilchens auch sein Gesamtdrehimpuls größer wird.

Da sowohl L2 als auch Lz Hermitesche Operatoren sind, gilt wiederum Orthogonalität und Vollständigkeit

⟨lm∣l 'm' ⟩= l l ' m m'

∑l=0

∞

∑m=−l

l

∣lm ⟩ ⟨ lm∣=1

Eigenvektoren zu EW der Drehimpulsquantenzahl haben die Namenl=0 s−Schale m=0l=1 p−Schale p−Orbitale m=−1,0,1l=2 d−Schale d−Orbitale m=−2,−1,0, ... ,2l=3 e−Schale


3.2.2 Wasserstoffatom

Wir sind nun in der Lage, das Spektrum des H-Atoms zu verstehen. Der Hamiltonoperator des H-Atoms

ist H=p2

2m− e2

rwobei m=

M pme

M pme≈me für M p≫me , da die Masse des Protons sehr viel größer

als die des Elektrons ist. M p≈1800me .

Wir können nun den Hamiltonoperator umschreiben, indem wir den Laplace-Operator p2=−ℏ2 in Kugelkoordinaten ausdrücken. Eine einface Rechnung zeigt klassischL2=x x p 2=r 2 p2−x p 2. Quantenmechanisch muss der Kommutator beachtet werden:

L2=r2 p2− x p 2i ℏ x p

p2= 1r2 x p

2− i ℏr2 x p

pr2

1r2L2

wobei pr der radiale Impuls genannt wird. Dieser Operator ist in Cartesischen Koordinaten recht kompliziert, vereinfacht sich jedoch, wenn wir in Kugelkoordinaten gehen.

xyz rsin sinr sin cos

r cos

Dann sehen wir in einer längeren Rechnung, dass der Operator pr in Ortsdarstellung in Kugelkoordinaten sich wie folgt schreiben lässt.

pr=−i ℏ1r r r (Ortsdarstellung)

wobei r den Abstand vom Zentrum beschreibt. Es sei an dieser Stelle nochmals darauf hingewiesen, dass auch dieser Operator basisunabhängig definiert ist, allerdings nur in der Ortsdarstellung in Kugelkoordinaten eine brauchbare Form annimmt. Die entscheidende Eigenschaft von pr ist

[ pr ,L2]=0. Wir können nun den Hamiltonoperator schreiben als H= 1

2mpr

2L2

2m r 2V r .

Wir schreiben die stationäre Schrödingergleichung H ∣n lm⟩=Enlm∣nlm ⟩ wobei die neue Quantenzahl n die Zustände mit gleichem Drehimpuls und gleicher magnetischer Quantenzahl weiter klassifiziert.


Zwei Teilchen können gleichen Gesamtdrehimpuls haben und gleiche z-Komponente, sich aber dennoch auf unterschiedlichen Bahnen bewegen. Diese Bahnen unterscheiden sich in ihrem Abstand vom Mittelpunkt. Auch dieser Abstand ist quantisiert. Man nennt n die Hauptquantenzahl.In Kugelkoordinaten können wir die Eigenfunktion schreiben als

< r , , | n , l , m>= nlm r , , =Rnl r Y lm ,

wobei Y lm , die Eigenzustände von L2 , L z in der Ortsdarstellung sind. Dies sind spezielle Funktionen, die im deutschen „Kugelflächenfunktionen“ heißen und im englischen „spherical harmonics“.

Y lm ,= ⟨ ,∣lm ⟩Wir geben nur die allereinfachste an

Y ∞ ,=14

und visualisieren die Funktionen in einer polaren Grafik. Die radiale Funktion Rnl r ist Lösung der radialen Gleichung

12m

pr2 ℏ

2 l l12mr2 − e2

rV eff

Rnl r =E nl Rnl r

Der zweite Teil wird effektives Potential genannt. Der erste Teil des effektiven Potentials ist die sogenannte Zentrifugalbarriere, die dafür sorgt, dass Teilchen mit hohem Drehimpuls nicht in die Nähe des Kerns kommen. Wir finden, dass diese Differenzialgleichung nur für Energiewerte

Enl=En=−me4

2ℏ21n2 Lösungen hat, wobei n≥l1 sein muss. Wir beachten, dass Enl gar nicht von

l und qua Konstruktion auch nicht von der magnetischen Quantenzahl abhängt. Dennoch sind die Zustände |n , l ,m> mit gleichem n aber unterschiedlichen l, m orthogonal.

< n , l ,m |n , l ' ,m' >=l l ' mm'

d.h. die Zustände mit gleichem n bilden einen endlichdimensionalen Unterraum von L2 .

Definition: Hat ein Eigenwert eines Hermite'schen Operators m orthogonale Eigenvektoren, so heißt der Eigenwert m-fach entartet.n=1 l=0 m=0 E11-fach

n=2 l=0l=1

m=0m=−1,0, 1

E2 4-fach

n=3 l=0l=1l=2

m=0m=−1,0, 1m=−2,−1,0,1,2

E3 9-fach

n=4 E4 16-fach

En n2 -fachEine hohe Entartung deutet auf eine hohe Symmetrie hin. D.h. es gibt Operatoren, die mit Hvertauschen. Die Wellenfunktion Rnl r ist ebenfalls eine komplizierte spezielle Funktion, auf die wir hier nicht weiter eingehen wollen. Wir geben lediglich die Grundzustandswellenfunktion an

R∞ r =2 1a3 /2 e

−r / a

wobei a= ℏ2

me2≈0,5×10−10m der Bohr'sche Atomradius ist, und skizzieren einige höhrere Rnl r :


Die Anzahl der Knoten wächst auch hier mit der Energie (wenn man die Nullstelle bei r = 0 als Knoten hinzunimmt). Nur Wellenfunktionen zum Drehimpuls l = 0 (s-Schale) haben eine nicht verschwindende Wahrscheinlichkeit im Zentrum. Alle anderen radialen Wellenfunktionen verschwinden wie Rnl r ∝r

l

für r = 0 aufgrund der Zentrifugalbarriere. Das Spektrum hat wiederum einen diskreten und einen kontinuierlichen Anteil

Durch Wechselwirkung mit dem eingestrahlten Licht kann das Wasserstoff-Atom angeregt werden, bzw. selbst Licht emittieren mit Frequenzen, die den Differenzen der Energieniveaus entsprechen.


Endniveau OrbitalübergangLyman-Serie n=1 p s ≈100nm

Balmer-Serie n=2 s p ≈500nm

Paschen-Serie n=3 d p IF≈2000nmDa ein Photon Drehimpuls 1 hat, sind nur Übergänge zwischen unterschiedlichen Orbitalen möglich. Das Wasserstoffatom hat auch einen kontinuierlichen Teil im Spektrum.

Diese stationären Wellen der Coulomb-Streuung sind recht kompliziert und sollen nicht weiter betrachten werden. Man kann bezüglich der Eigenfunktionen nlmr , , nun auch Erwartungswerte berechnen.

⟨nlm∣r∣nlm⟩=∫ d x nlm* x r nlm x

=a232−l l1

< nn−1m |r 2 | nn−1m>=a2n2n1n12

< nn−1m |r 2 | nn−1m>=< nn−1m |r |n n−1m>2

=Var r

=a2n2

2 n12

Var r< r >

= 12n1

bezügl.∣nn−1m ⟩

d.h. für große Quantenzahlen n , l≫1 werden die Bahnen immer besser definiert. Interessant ist auch

das Unschärfeprodukt Var Lx Var Ly=ℏ4

4l l1−m2 der beiden nicht kommutierenden Operatoren

Lx und L y . Es wird maximal für m = l. Man kann sagen, dass dies die klassischsten Zustände sind. Abschließend wollen wir noch erwähnen, dass das Spektrum des H-Atoms deutlich komplexer ist als durch den einfachen Hamiltonian des Coulomb-Potentials.

Es gibt➔ Relativistische Korrekturen, relativistische QM

Auflösung der l-EntartungFeinstruktur

➔ Lamb-Shift, Darwin-Term, QFT➔ Hyperfeinstruktur, Wechselwirkung mit Kernspin


3.3 Freies Teilchen

Zuletzt wollen wir noch den „im Prinzip“ allereinfachsten Fall betrachten, nämlich das freie Teilchen.H= p2

2m=− ℏ

2

2m (in Ortsdarstellung)

Wie schon öfters erwähnt sind die Eigenfunktionen / vektoren des Hamiltonoperators ebene Wellen, charakterisiert durch einen Impuls p=ℏk .

x=⟨ x∣k ⟩=ei x k

x ,t =ei k x−i E t /ℏ Dispersionsrelation

k 2=2mEℏ2

Diese Wellenfunktionen sind nicht normierbar. Man kann dieses Problem auflösen, indem man sich mit Hilfe von ebenen Wellen eine normierbare Wellenfunktion bastelt.

∫ d k23

expik x− ℏ2m

k 2 t Wobei f k nun eine beliebige Form haben kann. Man wählt

f k allerdings zweckmäßigerweise Gauss'sch f k ∝exp−k− k 0

2

2d.h. der mittlere Impuls

bezüglich der Wellenfunktion kox ,t ∝

∫d k23

exp−k− k02

2 i k x− ℏ2m k 2 t

Gauss'sches Wellenpaket

ist

⟨ k0∣p∣ k 0⟩=ℏ k 0= p0 .

Man kann das obige Integral auch lösen. Dies ist in 3 Dimensionen allerdings recht kompliziert. Wichtig sind die beiden Lösungsskalen −1 und k0

−1 . Wenn k 0≫ dann ist das Gauss'sche Wellenpaket auf der Skala k0

−1 ungefähr eine ebene Welle, auf der Skala −1 aber eine nahezu Glatte Gausskurve. Das Gauss'sche Wellenpaket ist normierbar und ist das, was der klassischen Anschauung in der Quantenmechanik am nächsten kommt.

Für die Dispersionsrelation

k= Eℏ c

ist dies auch die geeignetste Vorstellung von einem Photon mit Wellenzahl k 0=0 c.


4. Verallgemeinerungen

Wir haben im bisherigen Verlauf der Vorlesung das Spektrum von einem Punktteilchen in einer und drei Dimensionen analysiert. Dies ist nur der allereinfachste Fall. In der Realität haben wir es oft nicht nur mit einem Elektron, sondern mit einer Vielzahl von Elektronen zu tun. Desweiteren haben die Teilchen häufig noch weitere charakteristische Eigenschaften, die klassisch durch sogenannte „innere Freiheitsgrade“ charakterisiert werden.

Wie nicht anders zu erwarten, sind auch diese inneren Freiheitsgrade quantisiert. Etwas überraschend hängen diese inneren Freiheitsgrade und die Vielteilchen-Eigenschaften eng miteinander zusammen.

4.1. Vielteilchensysteme

Klassisch ist ein Vielteilchensystem durch die N Positionen und Impulse des 6N-dimensionalen Phasenraums bestimmt

x1 , x2 ,... , xN , p1 , p2 ,... , pN Quantenmechanisch ist das System durch die N-Teilchen-Wellenfunktion x1 , ... , xN , t bestimmt, bzw. durch die N-Teilchen-Wahrscheinlichkeitsdichte p x1 ,... , xN ,t =∣ x1 ,... , x N , t ∣

2. gibt die Wahrscheinlichkeit an, ein Teilchen bei x1 , ein Teilchen bei x2 , etc. zu finden. Hier wird nun das Konzept der Ununterscheidbarkeit von Teilchen wichtig. Betrachten wir der Einfachheit halber ein System mit zwei Teilchen. Dann gibt uns ∫ d x 2 x1 , x2 die Wahrscheinlichkeit an, irgendeines der beiden Teilchen an der Stelle x1 zu finden. Da sich die beiden Teilchen durch nichts außer durch ihre Position unterscheiden. Die beiden

Wellenfunktionen x1 , x2≈ x2 , x1 beschreiben also für ununterscheidbare Teilchen das selbe physikalische System.

p x1m x2=∣ x1 , x2∣2=∣ x2 , x1∣

2

D.h. die Wahrscheinlichkeitsdichte muss symmetrisch sein in x1 und x2 . Wir definieren den Vertauschungsoperator

P12 x1 , x2= x2 , x1Offenbar gilt P12P12 x1 , x2= x1 , x2 für eine beliebige Wellenfunktion. Das heißt P12

2=1 hat den Eigenwert 1. Daraus folgt, dass P12 selbst die Eigenwerte ±1 haben kann.

P12± x1 , x2=±± x1 , x2Das heißt, es gibt zwei Arten ununterscheidbarer Teilchen, die sich durch ihr Verhalten unter Vertauschung zweier Teilchen unterscheiden.

P12 x1 , x2= x1 , x2 Bosonen (symmetrisch) P12− x1 , x2=−− x1 , x2 Fermionen (antisymmetrisch)

Auch dieses Konzept lässt sich kompakter in der Bra-Ket-Schreibweise formulieren. Sei K eine oder mehrere Quantenzahl, die einen Zustand beschreibt. Dann ist ein unsymmetrisierter Vielteilchenzustand gegeben durch ∣k1 , k 2 , k 3 , ... , k N ⟩ . Wenn die N Teilchen ansonsten ununterscheidbar sind, muss der Zustand symmetrisiert oder antisymmetrisiert werden.

S ∣k 1 ...k N ⟩=1N ! ∣k 1 ... k N ⟩∣k 2 k 1 ...k N ⟩∣k 2 k 3 k1 ...k N ⟩...

=∣k 1 ...k N ⟩B (Bosonen)

A∣k 1 ... k N ⟩=1N ! ∣k1 ...k N ⟩−∣k 2 k 1... k N ⟩∣k 2 k 3 k 1...k N ⟩...

=∣k 1...k N ⟩F (Fermionen)


Aus der Antisymmetrie einer fermionischen Wellenfunktion folgt das wichtige Pauli-Prinzip− x2 , x1=−− x1 , x2mit x1=x2=x ⇒ − x ,x =−− x ,x =0

Die fermionische Wellenfunktion verschwindet.Pauli-Prinzip: Zwei ansonsten ununterscheidbare Fermionen können sich niemals am selben Ort aufhalten.Oder:

|k 1 , k2 > F=−| k 2 , k 1 >F

|k , k > F=−| k , k >F

Zwei ununterscheidbare Fermionen können sich niemals in ein und demselben Quantenzustand befinden. Um uns klarzumachen, welche Konsequenzen dies hat, betrachten wir nochmals das unendlich hohe Kastenpotential.

Wir hatten als Eigenfunktion des Hamiltonoperators

n= 2L

cos L2n−1x n=0, ... ,∞

n=2L sinL 2nx n=1,... ,∞

Befindet sich nun ein Fermion im Grundzustand im Kasten, so sagt das Pauli-Prinzip, dass der niedrigst-mögliche Zustand für ein neues Teilchen der erste angeregte Zustand ist. So wird der Kasten mit Elektronen aufgefüllt.

Seien nun im Kasten sehr viele Elektronen vorhanden und in ihrem jeweils niedrigst-möglichen Energiezustand

N≫1 N : Anzahl der ElektronenDann ist die Energie des energiereichsten Teilchens

E F=ℏ2

2m 2L

2

N2 2

=ℏ22

2m2


wobei =NL die Teilchendichte bezeichnet. Man benötigt also mindestens die Energie Emax um ein

weiteres Elektron in den Kasten zu geben. E F Wird Fermi-Energie genannt. ℏ k F=ℏ=pF Fermi-Impuls

v F=pF

m Fermi-Geschwindigkeit

Die Teilchen, die die Energieniveaus vom Grundzustand bis zur Fermi-Energie auffüllen werden, heißen Fermi-See.

Der Fermi-See lässt sich graphisch durch obiges Bild beschreiben. Hierbei ist n(E) die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Elektron in einem Zustand mit Energie E befindet. Die harte Fermi-Kante gibt es nur bei Temperatur T=0. Bei endlicher Temperatur wird sie aufgeweicht. Im Allgemeinen ist n(E) gegeben durch die Fermi-Verteilung:

N E = 1

expE−k0T 1

wobei µ das chemische Potential ist. Das chemische Potential gibt die mittlere Energie an, die aufgebracht

werden muss, um ein Elektron hinzuzufügen. n =12

.

Für T=0 :=E F

T0 :≠E F aber ≈EF

In vielen Fällen kann man chemisches Potential und Fermi-Energie gleichsetzen.

Für Bosonen gibt es keinen Bose-See, da sich auch unendlich viele Teilchen im Grundzustand aufhalten können. Das Pendant zur Fermi-Verteilung ist die Bose-Verteilung.

n E = 1

exp E−k bT −1

Man sieht, dass diese Größe für E= divergiert. ⇒≤0. Wenn n E eine Wahrscheinlichkeit

ist, muss ∫0

∞

dE nE =N gelten. Hier sollte man den Grundzustand aber aus dem Integral aussparen:


∫E

∞

dE nE N 0=N mit N 0 Teilchen im Grundzustand

S z∣↑ ⟩=ℏ2∣↑ ⟩ ∧ S z∣↓ ⟩=−

ℏ2∣↓ ⟩ ∧ S2∣↑ ⟩3

4ℏ2∣↑ ⟩ ; S2 ∣↓ ⟩3

4ℏ2∣↓ ⟩ ;

d.h.ms=−

12,12

l=12 }für das Elektron

Der Spin ist also ein halbzahliger Drehimpuls. Dies bedeutet, ein freies Elektron ist nicht nur durch seinen Impuls, sondern auch noch durch seinen Spin gekennzeichnet.

∣k ⟩∣k , ⟩ = , Auch für gebundene Elektronen gilt:

∣nlm ⟩∣nlm ⟩ = , Der Hilbertraum eines punktförmigen Elektrons ist also nicht wie bisher angenommen L2 , sondern L2⊗ℂ2.

L2L2⊗ℂ2

Die elektronische Wellenfunktion lässt sich am günstigsten als Spinor darstellen

x x xSolange der Hamiltonoperator nicht vom Spin abhängt, ist der Haupteinfluss des Spins eine Verdopplung der Entartung der jeweiligen Eigenwerte. Für ein Teilchen im Magnetfeld in Richtung B wird der Hamiltonoperator aber explizit spinabhängig.

H= H 0B

ℏL⋅B⊗12

2B

ℏS⋅B

wobei S i die in den Übungen schon oft benutzten Spinmatrizen sind

S x=ℏ2 [∣0 1

1 0∣] , S y=ℏ2[∣0 −i

i 0 ∣] , S z=ℏ2 [∣1 0

0 −1∣]und H 0=

p2

2mV x der Hamiltonoperator ohne Magnetfeld ist. Man schreibt H günstig in

Blockform.

H=[ H 0B

ℏ L⋅Bℏ Bz ∣ B B x−iB y

B Bxi B y ∣ H 0 B

ℏ L⋅B−ℏ B z ]

H wirkt jetzt auf einen Spinor. Es gibt auch Teilchen mit höherem inneren Drehimpuls als Spin

−12

. So kann man ja die Elektronen eines Atoms als dessen innere Freiheitsgrade auffassen. Ein Atom

kann also einem beliebig hohen Spin haben, je nachdem wie seine Schalen besetzt sind. Es gilt jedoch das wichtige Spin-Statistik-Theorem:

Fermionen haben halbzahligen inneren Drehimpuls/SpinBosonen haben ganzzahligen Spin

Der Beweis dieses fundamentalen Theorems erfordert QFT Methoden

Elektronen Fermionen Spin 12

Photonen Bosonen Spin 1


4.2.2 Addition von Drehimpulsen

Wir betrachten das Helium-Atom

Es besteht aus einem -Teilchen und zwei Elektronen die im Grundzustand beide die (1s)-Schale füllen.

∣GZ ⟩= 12∣ 1

n

0l

0m

, ms ⟩∣1 0 0, ⟩−∣1 0 0, ⟩∣1 0 0, ⟩

Den zweiten Term mussten wir hinzufügen, um die Wellenfunktion antisymmetrisch zu machen. Betrachten wir nur den Spinanteil, so lässt er sich schreiben als

∣0, 0 ⟩= 12

∣ ⟩∣ ⟩−∣ ⟩∣ ⟩

Wir berechnen die Wirkung des Gesamtspins auf ∣0, 0 ⟩

S 1S2

2

=S 12 S 2

22 S12 S 2

2 = S ges2

S ges2 ∣0,0⟩ =ℏ23

2∣0,0 ⟩2 S 1

S2 ∣0,0⟩

2 S 1S2 =2∑ S 1i

2 S 2i2

2 S 1S2 ∣0,0⟩ =−3

2ℏ2∣0,0 ⟩⇒ S ges

2 ∣0,0 ⟩ =0

d.h. die beiden Spin ½-Elektronen haben sich zu einem Spin-0-Zustand gekoppelt. Zustände des Heliums mit antisymmetrischem Spinanteil heißen Parahelium.

Wenn Spinanteil symmetrisch ∣nlm ⟩∣n' l 'm' ⟩−∣n ' l 'm' ⟩∣nlm⟩∣1,mS ⟩

Orthohelium

Die drei Zustände ∣1,−1 ⟩ ,∣1,0 ⟩ ,∣1,1⟩ sind wie folgt definiert∣1, 1⟩=∣ ⟩ ∣ ⟩

∣1,0 ⟩= 12

∣ ⟩∣ ⟩∣ ⟩ ∣ ⟩ ∣1,−1⟩=∣ ⟩∣ ⟩ }Spintriplett

d.h. zwei Spin-½-Teilchen können zu einem Spin-0-Zustand oder zu einem Spin-1-Zustand koppeln

12⊗1

2 { 10Allgemein:

l 1⊗l 2{ l 1l 2

.

.

.∣l 1−l 2∣

Alle uns bekannten fundamentalen Teilchen sind entweder Fermionen oder Bosonen


Fermionen Bosonen

Elektron PhotonMyon MesonNeutrino He4

Proton PhononNeutronQuarks

Auch zusammengesetzte Teilchen können entweder Fermionen oder Bosonen sein.

4.2. Innere Freiheitsgrade / Spin

Wir haben in der Natur unterschiedliche Arten von Fermionen und auch von Bosonen. Diese sind trotz allem noch unterscheidbar untereinander. So lässt sich ein Elektron von einem Quark unterscheiden, obwohl beide Fermionen sind. Man trägt dem Rechnung, indem man den Teilchen noch innere Freiheitsgrade, bzw. innere Quantenzahlen zuteilt.BosonenquatenzahlLeptonenquantenzahlFarbe (Quarks)

Ein freies Quark ist also nicht nur durch seinen Impuls, sondern auch noch durch seine Farbe charakterisiert

∣k ,c , ...⟩ c={ rotgrünblau

Es ist typisch für diese inneren Freiheitsgrade, dass sie nur eine begrenzte Anzahl von Werten annehmen können. Auch Elektronen haben einen innteren Freiheitsgrad, den sogenannten Spin.

4.2.1. Innerer Drehimpuls (Spin)

Im Jahr 1922 schossen O. Stern und W. Gerlach Silberatome durch ein inhomogenes Magnetfeld.Im Allgemeinen trägt ein Elektron mit der magnetischen Quantenzahl m einen Strom proportional zu m. Dieser erzeugt nach dem Biot-Savart'schen Gesetz ein Magnetfeld in z-Richtung. Bringt man nun ein Elektron im Zustand ∣lm ⟩ in ein Magnetfeld in z-Richtung,

so wird der Zustand ∣ll ⟩ gegenüber dem Zustand ∣l−l ⟩ energetisch begünstigt sein.In der Tat haben wir eine Aufspaltung der Energieniveaus im Magnetfeld


Man nennt die Größe eℏ

2mc=B Bohrsches Magneton.

Ein Atom mit einem ∣lm ⟩ Elektron hat also das magnetische Moment =Bm e z . Ist eine l-Schale

voll mit Elektronen besetzt, ist das magnetische Moment =B e z∑m=−l

l

m=0 . Das Silberatom ist so ein

Fall. Alle Schalen von (1s) bis (4e) sind voll besetzt und die (5s)-Schale ist mit einem Elektron ebsetzt. Dieses hat aber auch eine magnetische Quantenzahl m=0.

Durch ein inhomogenes Magnetfeld geschickt erfährt das Atom die Kraft in z-Richtung K≈ z B Z

ez .

Da =0 für Silber, erwartet man, dass das Atom keine Ablenkung erfährt.

Elektron hat inneres magnetisches Moment, den sog. Spin, oder äquivalent: Elektron hat inneren Drehimpuls. Für diesen inneren Drehimpuls gelten die gleichen Regeln, wie für den Bahndrehimpuls, bloß hier kann die z-Komponente genau zwei Werte annehmen.


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