Elektrizität und Magnetismus Das Gebiet Elektrizität und Magnetismus hat eine gewisse Sonderstellung, d.h. wir haben keinSinnesorgan für elektrische Größen im Vergleich zur Mechanik, Thermodynamik und Optik.

Wir unterscheiden Elektrostatik: Elektrodynamik:ruhende Ladungen, bewegte Ladungen, zeitabhängige Felder,Kraftwirkungen, stationäre Ströme. Induktion, elektromagnetische Wellen.

1. Elektrostatik1.1 Eigenschaften der elektrischen Ladung

1

Reibungselektrizität → Ladungstrennung→ Kraftwirkungen

Beispiele:(a) PVC (-) / Seide (+)(b) Glas (+) / Wolle (-)

Elektrische Ladungen üben Kräfte aufeinander aus. Es gibt zwei prinzipiell unterscheidbareLadungen, die durch ihr Vorzeichen definiert sind, d.h. positive und negative Ladungen. Gleichartige Ladungen stoßen sich ab, ungleichartige Ladungen ziehen sich an.

Ladungsnachweis:Ladungen lassen sich mit einem Elektrometer nachweisen, wobei man die Kraftwirkung von Ladungen ausnutzt:

Blättchenelektrometer: Braunsche Elektrometer:

Abstoßung zweierAl- oder Au-Blättchen.

Drehmoment aufbeweglichen Zeiger.

(+), (-) (+), (-)

2

[ ] AIdtdQI 1Ampere1 ===

Ladungen sind teilbar, sie Verhalten sich wie eine Substanz.

Ladungsausgleich:Beim Ladungsausgleich bewegen sich Ladungsträger, d.h. in der Zeiteinheit dtwird die Ladungsmenge dQ transportiert → es fließt ein elektrischer Strom I.

[ ] CsAQdttIQdtIdQ 11Coulomb1 )( ==⋅=⋅=→⋅= ∫

geLadungsmen : bzw. qQ

Die Ladungsmenge Q ist „quantisiert“!Die kleinste frei messbare Ladungsmenge ist die Elementarladung e.

Ase 1910 60219,1 −⋅=Ladung eines Elektrons: -eLadung eines Protons: +e

... ,3, 2 ,1 =⋅±= NeNQ

Ladungserhaltung:In einem abgeschlossenen System bleibt die Summe aller positiven und negativenLadungen konstant.

3

1.2 Das Coulomb‘sche Gesetz

Wir verwenden das Modell einer Punktladung, d.h. die gesamte Ladungsmenge Q ist in einemmathematischen Punkt vereinigt. (Analogie zur Punktmasse!)

Frage:Welche Kraftwirkung üben zwei Punktladungen aufeinander aus?

Die Kraft zwischen zwei Punktladungen ist dem Produkt der elektrischen Ladungendirekt und dem Quadrat ihrer Entfernung indirekt proportional.

30

21

221

0

221

4

41

~

rrqqF

rr

rqqF

rqqF

C

C

C

⋅⋅⋅

=

⋅⋅

⋅⋅

=

⋅

επ

επ

ε0 : elektrische Feldkonstante(Influenzkonstante)

ε0 = 8,85418782 ...∙10-12 As/Vm

Ladungen mit gleichem Vorzeichenstoßen sich ab, Ladungen mit unterschied-lichem Vorzeichen ziehen sich an.

Vergleich mit dem Newton‘schen Gravitationsgesetz:

rr

rmmF

rr

rqqF GC

⋅

⋅⋅−=↔⋅

⋅⋅⋅

= 221

20

21 4

γεπ

Anziehende und abstoßende Kräfte Nur anziehende Kräfte!entsprechend dem Vorzeichen der Ladungen.

GC F,F

⋅⋅≈ 391032Kraftwirkung Proton – Elektron

Im atomaren Bereich spielt dieGravitation keine Rolle!

1q

2q

r

x

y

z

CF

GleichesVorzeichender Ladungen.

4

System von Punktladungen:Es gilt das Superpositionsprinzip!

q6

q5

q4q3

q2

q1

q

?=qF

∑=

=N

iqqq i

FF1

1.3 Das elektrostatische Feld im VakuumAllgemeiner Feldbegriff in der Physik (skalare und vektorielle Felder):Jedem Punkt des Raumes wird eine physikalische Größe zugeordnet!Beispiele: Druckfeld, Temperaturfeld, Geschwindigkeitsfeld, Kraftfeld, …

1.3.1 Das elektrostatische Feld, die elektrische Feldstärke

Eine Ladung q2 verändert ihren umgebenden Raum so, dass diese Veränderung am Ort der Ladung q1 in Wechselwirkung mit dieser eine Kraft ergibt. Diese Veränderung, die eine Eigenschaft des Raumes darstellt , nennen wir elektrisches Feld.

12 )(1

qqEFq ⋅=

Eigenschaftdes Raumes

Eigenschaftdes Objektes

E

EqF

⋅=elektrische Feldkraft

5

Definition der elektrischen Feldstärke:Die elektrische Feldstärke wird über dieKraft auf eine Probeladung q definiert.

: Probeladung (Punktladung): elektrische Feldstärke

qFE

=

E

q

[ ] [ ][ ] m

VAsmVAs

AsmNm

AsN

qFE

rEE

1111

Vektorfeld )(

=====

=

→ elektrische Feld einer Punktladung

Coulomb‘sche Gesetz: 1220

21 )(41

qqErr

rqqFq ⋅=⋅

⋅⋅⋅

=

επ

)(2

rEq

rr

rqrE

⋅⋅⋅

= 204

)(επ

Elektrische Feld der Punktladung q

Das elektrische Feld einer Punktladung ist ein kugelsymmetrisches Feld (Zentralfeld)!Bemerkungen:(1) Die elektrische Feldstärke hat die Richtung der wirkenden Kraft auf eine positive Ladung.(2) Die Feldlinien verlaufen von (+) nach (-), bzw. an positiven Ladungen beginnen Feldlinien (Quelle)

und an negativen Ladungen enden Feldlinien (Senke).(3) Richtung der Feldstärke → Tangente an den Feldlinien.(4) Betrag der Feldstärke → proportional zur Feldliniendichte.

6

1.3.2 Dipol im elektrischen FeldElektrischer Dipol und Dipolmoment:Ein elektrischer Dipol besteht aus einer positiven und negativen Ladung mit jeweils gleicher Ladungsmenge, die sich im Abstand l befinden.

Def.: Dipolmoment

l

+q−qq- , q+: Punktladungen

l

: Abstand der Punktladungenbzw. der Ladungsschwerpunkte.qqqqq ==→=+ −+−+ 0

lqp

⋅= Elektrische Dipolmomente spielen eine wichtigeRolle, wenn wir Nichtleiter in ein elektrisches Feld bringen.

Beispiel: Ein Wassermolekül besitzt durch die räumliche Anordnung der Atome zwei getrennte Ladungs-schwerpunkte und damit ein permanenteselektrisches Dipolmoment.

Asm 102,6 302

−⋅≈OHp

p

Das elektrische Dipolfeld ist die Superpositionder elektrischen Felder einer negativen und positiven Punktladung bzw. der Ladungsschwerpunkteeiner Ladungsverteilung, die den Abstand l haben.

_ ++

Abstand l

HHO104° 0,101 nm

+ +

- -

p

7

(a) Dipol im homogenen elektrischen Feld

.constE =

a

q+q_

l

EqF

⋅=

Kräftepaar → es wirkt ein Drehmoment auf den Dipol!

ααα sinsinsin ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅= EplEqlFaFM

+F

−F

EpM

×=Das Drehmoment richtet das Dipolmoment in Richtungder elektrischen Feldstärke aus. Danach wirkt keineresultierende Kraft auf des Dipolmoment.

l

+q−q

rotationssymmetrisch

Superposition derelektrischen Felderder beiden Punktladungen

elektrisches Dipolfeld

lqp

⋅=

8

(b) Dipol im inhomogenen elektrischen Feld

(1) Zunächst wirkt ein Drehmoment wie im Falldes homogenen elektrischen Feldes, welchesdas Dipolmoment im lokalen Feld ausrichtet.

(2) Danach wirkt eine resultierende Kraft auf das Dipolmoment.

lΔEΔlΔq EΔqF

EqEΔEqEqEΔEqF

res

res

⋅⋅−=⋅−=

⋅++⋅−=⋅++⋅= +− )()(

lΔEΔpFres

⋅−=

Die resultierende Kraft ist umso größer, je inhomogener des elektrische Feld ist.Der elektrische Dipol wird in das Gebiet des stärkeren elektrischen Feldes gezogen.

)(rEE =

q_

q+

−F

+F

lΔ

EΔE

+

E

lΔqp

⋅=

9

1.3.3 Metalle im elektrischen Feld – Influenz

Metalle: Metalle sind elektrische Leiter, d.h. im Metall befinden sich quasifreie Elektronen, die das Metall nicht verlassen können. Man spricht deshalb von einem „Elektronengas“ (DRUDE-Modell).

Bringen wir ein ungeladenes Metall in ein elektrisches Feld, dann werden die quasifreien Elektronendurch die elektrische Feldkraft solange verschoben, bis das Innere des Metalles feldfrei wird (E=0 ). Das sich aufbauende elektrische Feld durch die Ladungstrennung im Metall kompensiert das äußere elektrische Feld vollständig. Diesen Vorgang nennt man Influenz.

_____

+++++

0=E

Je größer die äußere elektrischeFeldstärke ist, umso größer ist dieinfluenzierte Ladungsdichtean der Oberfläche.

dAdQ

≡σDefinition: Oberflächenladungsdichte σ :

Bei Feldstärke E=0 im Metallexistiert keine Tangential-komponente der elektrischenFeldstärke an der Oberfläche, d.h. die äußere Feldstärke stehtimmer senkrecht zur Oberfläche!

+++++

_____

Metallkugel im elektrischen Feld:

äußere E-FeldE-Feld durch Ladungs-trennung im Metall

Homogenes E-Feld ohne Metallkugel. → Inhomogenes E-Feld in der Nähe der Kugeloberfläche!

10

Wird ein Metall aufgeladen, d.h. es werden gleichnamige Ladungen aufgebracht,so stoßen sich die Ladungen ab.

(1) Die Ladungen befinden sich in der Oberfläche , die sie nicht verlassen können.Die Ladungen verteilen sich so, dass

(2) die elektrische Feldstärke senkrecht (normal) zur Oberfläche gerichtet ist, d.h. .Es existiert keine Tangentialkomponente.

(3) Das innere eines Metalls (Leiters) ist feldfrei (E=0) → Faraday-Käfig

0=× EAd

Punktladung vor einer Metalloberfläche:

+_

VakuumMetall

PunktladungSpiegelladung

)(rE

Es wird eine Spiegelladung im Metall influenziert.

aa

11

1.3.4 Das elektrostatische Feld und Potential VE

Eigenschaften des elektrostatischen Feldes:Ursache elektrostatischer Felder sind Ladungen. An positiven Ladungen beginnenFeldlinien (Quellen) und an negativen Ladungen enden Feldlinien (Senken).

Ein mathematischer Zusammenhang zwischen elektrostatischer Feldstärke und Ladung bestehtüber den elektrischen Fluss :

gesQ

Ad

VOA

E

0εgesQ

AdEΨ =⋅= ∫∫

ψ

Integration über eine geschlossene Fläche,die die gesamte Ladungsmenge einschließt!

Der integrale Zusammenhang zwischen elektrischer Feldstärke und der eingeschlossenen Ladungist eine skalare Beziehung (Skalarprodukt im Integral), d.h. es kann nur der Betrag der Feldstärkeberechnet werden!

Demzufolge muss die Richtung der Feldstärke bereits bekannt sein, wie es beispielsweise bei einemhomogenen Feld oder einer räumlich symmetrischen Feldverteilung (Kugel- oder Zylindersymmetrie) der Fall ist!

Wir betrachten ein Volumen V,das von der Oberfläche AOeingeschlossen wird. In dem Volumen befindet sichdie Ladungsmenge Qges.

12

Beispiele: Berechnung des elektrostatischen Feldes für(a) Punktladung bzw. Kugelsymmetrie,(b) Zylindersymmetrie, und(c) homogenes Feld (idealer Plattenkondensator). 0ε

gesQAdE =⋅∫∫

(a) Punktladung / kugelsymmetrisches E-Feld

Punktladung bzw.Ladungsschwerpunkt einer kugel-symmetrischen Ladungsverteilungmit dem Radius R.

R

Wahl der Integrationsfläche: Kugeloberfläche mit Radius r. Eine Punktladung (bzw. eine kugelsymmetrische Ladungsverteilung ,

Radius R ) mit der Gesamtladung Qges=+Q ist von der gewählten Kugeloberfläche eingeschlossen → Kugelsymmetrie des elektrischen Feldes.

+Q r)(rE

Ad

0

)()(εQdArEAdrE =⋅=⋅ ∫∫∫∫

Für den gewählten Abstand r (=Radius der Kugel) von der Punktladung (bzw. von dem Ladungsschwerpunkt einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung mit r≥ R) gilt:

rr

rQrE

rQrE

⋅⋅

=

⋅=

20

20

4)(

4)(

πε

πε

r

∫∫ =⋅⋅=⋅0

24)()(ε

π QrrEdArE

Kugeloberfläche

rrdAAd

rrrErE

⋅=⋅= zu parallel )()(

constrE lächeKugeloberf auf .)( =

13

Elektrisches Feld eines Systems von Punktladungen → Superpositionsprinzip

∑ ∑−

−⋅==

i i i

iii

rrrrQrErE 3

04)()(

πε

(b) Zylindersymmetrisches E-Feld

Wir betrachten einen geladenen, unendlich langen Zylinder mit dem Radius R

radiales E-Feld:

rrdAAd

rrrErE

⋅=⋅= zu parallel )()(

0

)()(εQdArEAdrE

Mantel

=⋅=⋅ ∫∫∫∫

constrE eantelfläch Zylindermauf .)( =

0

2)()(ε

π QlrrEdArEMantel

=⋅⋅⋅=⋅ ∫∫

Nur Mantelfläche des Zylinders liefert einen Beitrag!

rr

rlQrE

rlQrE

⋅⋅

=

⋅=

0

0

2)(

2)(

πε

πε

Q/l eingeschlossene Ladung pro Längeneinheit.

l

+Q

r Ad

rE )(

Ad

r

R

Wahl der Integrationsfläche:Zylinderoberfläche, Radius r, Länge l

2q

r

x

y

z1q

3q

)(rE

1r 2r

3r

3rr −

2rr −

1rr −

14

(c) Homogenes E-Feld (E-Feld im idealen Plattenkondensator)

.)( consteErE x =⋅=

+Q -Q

d

A

x0

0εgesQ

AdE =⋅∫∫

Wahl der geschlossenen Oberfläche:quaderförmiger Kasten um eine Kondensatorplatte!

Werden beide Kondensatorplatten eingeschlossen,

dann gilt wegen Qges=+Q –Q = 0: 0=⋅∫∫ AdE

0εQedAeEAdEAdE x

Ax

A

+=⋅⋅⋅=⋅=⋅ ∫∫∫∫∫∫

Nur die Plattenfläche A liefert einen Beitrag!

0εQAEdAE

A

=⋅=⋅ ∫∫

xeA

QE

AQE

⋅

⋅=

⋅=

0

0

ε

ε+Q

A

x

Ad

Ad

Ad

15

Eigenschaften des elektrostatischen Feldes:Das elektrostatische Feld ist wirbelfrei, d.h. das Linienintegral auf über einen geschlossenen Weg ergibt immer Null!

0=⋅∫ rdE

Einen ähnlichen Ausdruck hatten wir bereits in der Mechanik für konservative Kräfte im Zusammenhangmit der Arbeit auf einem geschlossenen Weg und dem Energiesatz der Mechanik gefunden:

→=⋅∫ 0rdF F ist eine konservative Kraft!

∫∫ =⋅⋅=⋅ ? 0rdEqrdF )( 21 qEqF

⋅=Elektrische Feldkraft

Beispiel: E-Feld einer Punktladung E(q2)

∫∫ =⋅⋅

=⋅ 04 3

0

21 rdrrqqrdF

πεDas Linienintegral über einen geschlossenen Weg ist der gleichemathematische Ausdruck wie er beim Gravitationsfeld gefundenwurde und ergibt den Wert 0.

Wir können wie in der Mechanik ein skalares Potential einführen, hier ist es das elektrostatische Potential V.

∫ ⋅−=r

r

rdrErVrV

0

)()()( 0 )( )( rVgradrE −=

skalares Feld ↔ Vektorfeld

16

Äquipotentialfläche: Flächen mit konstantem elektrostatischen Potential.

Die elektrische Feldstärke steht immer senkrecht auf einer Äquipotentialflächeund zeigt vom höheren zum niedrigeren Potential.

Differenz zwischen zwei Potentialen:

∫

∫∫

≡⋅==−

⋅+−⋅−=−

2

1

2

0

1

0

)( )()(

)()()()()()(

21

0021

r

r

r

r

r

r

UrdrEΔVrVrV

rdrErVrdrErVrVrV

∫ ⋅==2

1

)( r

r

rdrEΔVU

Die Potentialdifferenz bezeichnet man als Spannung U

Spezialfall: Die Spannung U zwischen zwei Punkten im Abstand d entlang der elektrischen Feldlinien in einem homogenen elektrischen Feld (E=const.) ergibt:

dEU ⋅=

17

Beispiele: Berechnung des elektrostatischen Potentials für das(a) elektrische Feld einer Punktladung bzw. kugelsymmetrischen Ladungsverteilung (Radius R),(b) elektrische Feld einer zylindersymmetrischen Ladungsverteilung (Zylinder mit Radius R), und(c) elektrische Feld eines idealen Plattenkondensators(homogenes E-Feld, Plattenabstand d).

(a) Kugelsymmetrie (b) Zylindersymmetrie (c) homogenes E-Feld

rr

rQrE

⋅⋅

= 204

)(πε r

rr

lQrE

⋅

⋅=

02)(

πε xeA

QE ⋅

⋅=

0ε)(rE

r

2/1~ r)(rE

r

r/1~)(xE

xd

.constE =

∫ ⋅−=r

r

drrErVrV0

)()()( 0

rrd II

Wahl: 0)( 0 =∞→rV Wahl: )()( 0 RVrV =

R

Wahl: 0)0()( 0 === xVxV

∫ ⋅−=d

x

dxExVxV0

)()( 0

R

rrQrV 1~

4)(

0 ⋅=

πε

Rrr ≥> bzw. 0

RrlQRVrV ln

2)()(

0

⋅−=πε

Rr ≥

xA

QxV ⋅⋅

−=0

)(ε

dx ≤≤0

)(xV xd0

)(rV

r

r/1~

0

Coulomb-Potential)(rV

r0 R

)(RV

18

1.3.5 Der Kondensator

Zwischen zwei isoliert aufgestellten elektrischen Leitern (L1, L2), welche gleich vielejedoch entgegengesetzte Ladungen tragen, besteht eine Spannung.

UCQUQ

⋅=~

1L

Q−Q+

2L)(rE

0=−+ QQ

U

.constUQ

=Experiment:

C: Kapazität FFaradVAsC 111][ ===

Beispiel: idealer Plattenkondensator

+Q -Q

d

A

x0

Potentialverlauf: xA

QxV ⋅⋅

−=0

)(ε

Spannung U:

dA

QU

dxVxVΔVU

⋅⋅

=

=−===

0

)()0(

ε

Ud

AQ ⋅⋅

= 0ε

C

dAC ⋅= 0ε

Einfluss der Geometrie: A

dUconstQAd

C 1~ , ~ :. ~ , 1~ =

19

Schaltung von Kondensatoren

(1) Parallelschaltung

( ) gesNges

Nges

CUCCCUQQQQQ

⋅=+++⋅=

+++=

...

...

21

21N

N

CQ

CQ

CQU

constU

====

=

...

.

2

2

1

1

Nges CCCC +++= ... 21

(2) Reihenschaltung

NN UCUCUCQconstQ

⋅==⋅=⋅==

... .

2211

( ) gesN

N

CQCCCQUUUUU

//1 ... /1/1 ...

21

21

=+++⋅=+++=

Nges CCCC /1 ... /1/1/1 21 +++=

C1 C2 CN

UQ1 Q2 QN

C1 C2 CN

UU1 U2 UN

Symbol von Kondensatoren in elektrischen Schaltkreisen: