Elektrodynamik || Magnetischer Dipol

15 Magnetischer Dipol

Wir betrachten eine lokalisierte Stromverteilung:

j (r) ={beliebig (r < R0)

0 (r > R0)(15.1)

Wie in Abbildung 12.1 soll das Feld außerhalb der Verteilung bestimmt werden. Im

Bereich r > R0 kann das Vektorpotenzial A nach Potenzen von R0/r entwickelt

werden; dies ist die aus Kapitel 12 bekannte Multipolentwicklung.Wir beschränken

uns hier auf den niedrigsten Term dieser Entwicklung, den magnetischen Dipol.

Wir setzen

1

|r − r ′|(r ′<r)= 1

r−

3∑i=1

x ′i∂

∂xi

1

r+ . . . = 1

r+ r · r ′

r3+ . . . (15.2)

in (14.3) ein:

A(r) = 1

c

∫d3r ′

j (r ′)|r − r ′ | =

1

c r

∫d3r ′ j (r ′) + 1

c r3

∫d3r ′ (r · r ′) j (r ′)+ . . .

(15.3)

In einer begrenzten Stromverteilung gibt es in jeder Richtung gleichviel positive

wie negative Beiträge. Daher gilt ∫d3r j (r) = 0 (15.4)

Damit entfällt der erste Term auf der rechten Seite von (15.3). Für den zweiten Term

benötigen wir eine kleine Zwischenrechnung.Wegen divj = 0 ist ∑n ∂n(xi jn) =ji . Daher gilt∫

d3r xk ji(r) =3∑

n=1

∫d3r xk ∂n

(xi jn(r)

) p.I.= −∫d3r xi jk(r) (15.5)

Wir multiplizieren beide Seiten mit x ′k, summieren über k, gehen zur Vektorschreib-weise über und vertauschen r ′ ↔ r :∫

d3r ′ (r · r ′) j(r ′) = −∫d3r ′ r ′

[r · j (r ′)] (15.6)

135

T. Fließbach, Elektrodynamik, DOI 10.1007/978-3-8274-3036-6_16© Springer-Verlag Berlin Heidelbcrg 2012

136 Teil III Magnetostatik

Damit formen wir den letzten Term in (15.3) um:∫d3r ′ (r · r ′) j(r ′) = 1

2

∫d3r ′

((r · r ′) j (r ′)− r ′

[r · j(r ′)] ) (15.7)

= − 12

∫d3r ′ r × (r ′ × j(r ′)

) = − r

2×∫d3r ′ r ′ × j (r ′)

Die Größe

μ = 1

2c

∫d3r r × j(r)

MagnetischesDipolmoment

(15.8)

bezeichnen wir als das magnetische Dipolmoment der Stromverteilung. Wir setzen(15.7) mit (15.8) in (15.3) ein:

A(r) = μ× r

r3+ . . . (r > R0) (15.9)

Die nächsten Terme ergeben sich aus der Fortführung der Entwicklung (15.2). Sie

sind jeweils um einen Faktor O(R0/r) kleiner. Diese Terme werden im Folgenden

nicht berücksichtigt. Das zu (15.9) gehörige Magnetfeld

B(r) = rotA = 3 r (r · μ)− μ r2

r5(r > R0) (15.10)

hat dieselbe Struktur wie das elektrische Dipolfeld (12.25).

Beispiele für Systeme mit magnetischem Dipolmoment sind: Erde, stromdurch-

flossene Drahtschleife oder Spule, Kompassnadel, elementare Teilchen wie Elektro-

nen, Protonen oder Neutronen. Einige dieser Systeme werden im Folgenden noch

näher betrachtet.

Das Magnetfeld einer Spule (Abbildung 14.2 rechts) ist für Abstände, die groß

gegenüber den Spulenabmessungen sind, ein Dipolfeld. Im Grenzfall verschwin-

dender Längenabmessungen wird die stromdurchflossene Spule zu einem magneti-

schen Punktdipol.

Ströme im Erdinneren führen dazu, dass die Erde ein magnetisches Feld hat. Der

dominierende Anteil dieses Felds ist ein Dipolfeld, also von der Form (15.10). Die

Richtung der Magnetachse (Richtung von μ) weicht wenige Grad von der Drehach-

se ab (Deklination). Das Erdmagnetfeld polt sich etwa alle 200 000 Jahre um. Die

einfachste und bekannteste Messung des Erdfelds erfolgt mit einem Kompass; hier-

zu sei auf die untenstehenden Abschnitte „Dauermagnet“ und „Energie im äußeren

Feld“ verwiesen.

Kapitel 15 Magnetischer Dipol 137

Punktdipol

Wir berechnen die Stromdichte j = −(c/4π)�A, die zum Vektorpotenzial (15.9)

gehört, wobei wir von der Einschränkung r > R0 absehen:

j(r) = − c

4π�

μ× r

r3= c

4π�(μ×∇

) 1r= −c (μ×∇

)δ(r) (15.11)

Eingesetzt in (14.3) ergibt diese Stromdichte das Dipolfeld A = μ× r/r3. Außer-

dem verschwindet j für r �= 0. Aus diesen beiden Punkten folgt, dass (15.11) die

Stromdichte eines magnetischen Punktdipols ist.

Drahtschleife

Wir berechnen das Dipolmoment eines vom Strom I durchflossenen Drahtkreises

mit dem RadiusR. Wir verwenden Zylinderkoordinaten und legen die Drahtschleife

so, dass

j = I δ(ρ − R) δ(z) eϕ (15.12)

Wir setzen dies in (15.8) ein:

μ = 1

2c

∫ ∞

0

ρ dρ

∫ 2π

0

dϕ

∫ ∞

−∞dz(ρ eρ + z ez

)× eϕ I δ(ρ − R) δ(z) = πR2I

cez

(15.13)

Für große Abstände (r � R) ist das Magnetfeld der Drahtschleife durch (15.10) ge-

geben. Im Bereich r <∼ R weicht das tatsächliche Feld (Abbildung 15.1) wesentlich

vom Dipolfeld ab.

Gyromagnetisches Verhältnis

Wir betrachten einen starren Körper mit der Ladungsdichte �(r). Der Körper ro-

tiere mit der Winkelgeschwindigkeit ω um eine feste Achse, Abbildung 15.2. Die

Rotation erzeugt das Geschwindigkeitsfeld

v(r) = ω × r (starre Rotation) (15.14)

Die resultierende Stromdichte j = � v ergibt das Dipolmoment

μ = 1

2c

∫d3r �(r)

(r × v(r)

)(15.15)

Der Körper habe zugleich eineMassendichte �m(r), die mitrotiert und dadurch zum

Drehimpuls L führt. Zur Berechnung des Drehimpulses denken wir uns die Mas-

sendichte in einzelne Massenpunktemν zerlegt:

L =∑ν

mν rν × vν =∫d3r �m(r)

(r × v(r)

)(15.16)

In (15.15) und (15.16) betrachten wir dasselbe Geschwindigkeitsfeld (15.14).


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B

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Abbildung 15.1 Schematische Darstellung des Magnetfelds einer stromdurchflossenen

Drahtschleife. In großer Entfernung wird das Feld zum Dipolfeld (15.10).

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r

v

ω

Abbildung 15.2 Die Rotation eines starren

Körpers impliziert das Geschwindigkeitsfeld

v(r) = ω×r; dabei zeigt der Vektor r von der

Drehachse zum betrachteten Punkt. Wenn der

Körper massiv und geladen ist, dann führt die

Rotation zu einem Drehimpuls L und zu ei-

nem magnetischen Moment μ. Die Vektoren

L und μ sind dann parallel zueinander; der

Quotient μ/L heißt gyromagnetisches Ver-

hältnis.


Wir führen jetzt die Annahme ein, dass die Masse m und die Ladungen q inner-halb des Körpers gleich verteilt sind:

�(r)

q= �m(r)

m= f (r) (15.17)

Dies gilt zum Beispiel dann, wenn der starre Körper aus Einzelteilen besteht, die

alle den gleichen Wert Δq/Δm haben. Aus (15.15) – (15.17) erhalten wir

μ = q

2mcL (15.18)

Das Verhältnis μ/L von magnetischem Moment zu Drehimpuls wird gyromagneti-sches Verhältnis genannt. Abweichungen von der Annahme (15.17) oder relativisti-sche oder quantenmechanische Effekte führen dazu, dass das gyromagnetische Ver-

hältnis mehr oder weniger stark von q/2mc abweicht. Diese Abweichungen werden

in dem sogenannten g-Faktor zusammengefasst:

μ = gq

2mcL (15.19)

Wir wenden das in Abbildung 15.2 skizzierte Bild auf den Eigendrehimpuls, den

Spin, eines Elektrons an. Die Projektion sz des quantenmechanischen Spins kann die

Werte ±h̄/2 annehmen. Für sz = h̄/2 hat das magnetische Moment des Elektrons

(mit q = −e) in z-Richtung dann den Wert

μe = −g

2μB , μB =

eh̄

2me c(15.20)

Das tatsächliche magnetische Moment ist etwa doppelt so groß (g ≈ 2), wie man

es in dem naiven Modell einer rotierenden, starren Ladungs- und Massendichte er-

warten würde. Es ist damit ungefähr gleich dem Bohrschen Magneton μB. Die Ab-weichung von μB kann sehr genau gemessen und berechnet werden:

g

2={1.001 159 652 181 11± 0.000 000 000 000 74 (Experiment1)

1.001 159 652 140± 0.000 000 000 028 (Theorie2)

(15.21)

Aus der Diracgleichung folgt der Wert g = 2. In der Quantenelektrodynamik wer-

den Korrekturen hierzu berechnet. Im Rahmen der Unsicherheit – in (15.21) ist

jeweils eine Standardabweichung angegeben – stimmt der berechnete Wert mit dem

gemessenen überein. Das magnetische Moment des Elektrons gehört zu den Grö-

ßen, die experimentell und theoretisch besonders genau bestimmt werden können.

Protonen und Neutronen sind ebenfalls Spin-1/2 Teilchen. Wir setzen für ihre

magnetischen Momente μp,n = (g/2)(eh̄/2mc) an; dabei ist m die Masse des

Nukleons, qp = e und qn,fiktiv = e. Damit erhält man

gp

2≈ 2.79 , gn

2≈ −1.91 (15.22)

12006 CODATA, http://physics.nist.gov/cuu/Constants/2T. Kinoshita and W. B. Lindquist, Phys. Rev. D 42 (1990) 636


Alle betrachteten g-Faktoren sind von der Größenordnung 1. Dies bedeutet, dass

die klassische Vorstellung einer rotierenden, starren Massen- und Ladungsdichte

zumindest die Größenordnung der magnetischen Momente erklärt. Dieses Modell

impliziert μ ∝ 1/m und erklärt somit, dass das magnetische Moment des Protons

etwa 103-mal kleiner als das des Elektrons ist. Natürlich ist das Modell der rotie-

renden, starren Massen- und Ladungsdichte in anderer Hinsicht unrealistisch.

Die Ladung des Neutrons ist null; der Wert gn ≈ −1.91 gilt für den fiktivenWert qn,fiktiv = e. Für das Neutron könnte man in einem klassischen Bild eine

Ladungsdichte annehmen, die für kleine Radien positiv, für große aber negativ ist.

Für diese Ladungsdichte muss qn =∫d3r � = 0 gelten. Im Integral (15.15) werden

die größeren Abstände stärker gewichtet, so dass ein negativer g-Faktor möglich ist.

Dauermagnet

Ströme im atomaren Bereich bedingen die magnetischen Eigenschaften verschie-

dener Materialien (Dia-, Para- und Ferromagnetismus, Kapitel 32). In einem ferro-

magnetischen Material wie Eisen stellen sich bei nicht zu hohen Temperaturen die

Spins von ungepaarten Elektronen parallel ein. Damit sind auch die magnetischen

Momente dieser Elektronen ausgerichtet und ergeben ein großes resultierendes Di-

polmoment. Die Ausrichtung der Spins ist für nicht zu hohe Temperaturen stabil.

Damit liegt ein permanent magnetisches Material vor, also ein Dauer- oder Per-

manentmagnet. Da die magnetischen Eigenschaften letztlich von Strömen herrüh-

ren, gelten die hier aufgestellten Gesetze der Magnetostatik auch für das Magnet-

feld eines solchen Dauermagneten. Für den Dauermagneten werden allerdings die

Quellen dieses Felds (atomare Kreisströme und ihre Analoga in Elementarteilchen)

meist nicht explizit behandelt. In Abbildung 15.3 ist das Magnetfeld eines Stab-

magneten skizziert. Der Stab besteht aus ferromagnetischem Material, in dem alle

Spins in Richtung der Stabachse ausgerichtet sind. Bei geeigneter Lagerung kann

ein Stabmagnet als Kompassnadel dienen. Das nach Norden zeigende Ende wird

als Nordpol, das andere als Südpol bezeichnet. Das gezeigte Feld ist ähnlich dem

der endlichen Spule. Es entsteht aus den magnetischen Momenten ungepaarter und

ausgerichteter Elektronen.

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BN

S Abbildung 15.3 Skizze des Felds eines Stab-

magneten (Dauermagneten). Das Magnetfeld be-

ruht auf permanenten Kreisströmen im mikro-

skopischen Bereich.


Energie im äußeren Feld

Wir berechnen die potenzielle Energie einer Stromverteilung in einem äußeren ma-

gnetischen Feld Bext. Die Stromdichte sei räumlich begrenzt:

j (r) = j (r0 + r ′) = j̃ (r ′) ={beliebig (r ′ < R0)

0 (r ′ > R0)(15.23)

Die Koordinaten wurden wie in Abbildung 12.3 bezeichnet. Die Stromverteilung

soll sich unter dem Einfluss des äußeren Felds nicht verändern. Im Bereich der

Stromverteilung entwickeln wir das externe Magnetfeld Bext in eine Taylorreihe:

Bext(r) = Bext(r0 + r ′) = Bext(r0)+ (r ′ ·∇0)Bext(r0)+ . . . (15.24)

Aus der Kraftdichte f = j̃ × Bext/c, (13.21), erhalten wir die Gesamtkraft F auf

die Stromverteilung

F = 1

c

∫d3r ′ j̃(r ′)× Bext(r0 + r ′)

= 1

c

∫d3r ′ j̃(r ′)× (r ′ ·∇0) Bext(r0) + . . .

= 1

c

∫d3r ′

((∇0 · r ′

)j̃(r ′)

)× Bext(r0) + . . . (15.25)

Der erste Term in der Entwicklung (15.24) fällt hier wegen (15.4) weg. Die nicht

mit angeschriebenen Terme werden im Folgenden weggelassen.

In (15.6) ist r ein beliebiger, von der Integration unabhängiger Vektor. Daher

gilt diese Beziehung auch, wenn r durch ∇0 ersetzt wird:∫d3r ′

(∇0 · r ′

)j̃ (r ′) = −

∫d3r ′ r ′

(∇0 · j̃ (r ′)

)(15.26)

Hiermit formen wir (15.25) um:

F = 1

2c

∫d3r ′

( [∇0 · r ′

]j̃(r ′)− r ′

[∇0 · j̃ (r ′)

] ) × Bext(r0)

= 1

2c

( ∫d3r ′

[r ′ × j̃(r ′)

]×∇0

)× Bext(r0)

= (μ×∇0

)× Bext(r0) = ∇0(μ · Bext

)− μ(∇0 · Bext

)= ∇0

(μ · Bext

)(15.27)

Dabei wurde zweimal die Formel (a × b) × c = b(a · c) − a (b · c) benutzt. DerOperator ∇0 wirkt nur auf Bext, da μ eine Konstante ist. Es wurde ∇0 · Bext = 0

verwendet. Mit F = −gradW(r) können wir

W = −μ · Bext(r0) = −μBext cos θ (15.28)


als die potenzielle Energie eines Dipols im äußeren Feld identifizieren. Die poten-

zielle Energie hängt neben r0 auch vom Winkel θ zwischen der Dipol- und der

Magnetfeldrichtung ab. Daher übt das Feld ein Drehmoment M mit dem Betrag

M = −∂W/∂θ aus. Das Drehmoment steht senkrecht auf μ und Bext, also

M = μ× Bext (15.29)

Wir betrachten einige Anwendungen von (15.28) und (15.29):

1. Ein frei drehbarer magnetischer Dipol stellt sich im Gleichgewicht so ein,

dass die Energie (15.28) minimal ist. Dann zeigt μ in die Richtung von B.

Dies ist das Prinzip des Kompasses.

2. In einem bekannten homogenen Feld B0 befinde sich eine frei drehbare

Kompassnadel. Nun werde ein Magnetfeld unbekannter Stärke senkrecht zu

B0 eingeschaltet. Aus der Einstellung der Nadel im kombinierten Feld kann

die unbekannte Feldstärke bestimmt werden.

3. In einem homogenen Magnetfeld B = B ez befinden sich Elektronen. Quan-

tenmechanisch sind dann die beiden Spineinstellungen sz = ± h̄/2 möglich.Die Spins können durch Absorption elektromagnetischer Strahlung umklap-

pen. Dazu muss die Frequenz der Strahlung die Bedingung h̄ω = 2μBB

erfüllen. Durch die Messung der Frequenz ω kann das magnetische Moment

oder die Stärke des Magnetfelds bestimmt werden.


Aufgaben

15.1 Lokalisierte Stromverteilung

Die Stromverteilung j (r) sei räumlich begrenzt. Leiten Sie∫d3r j (r) = 0

aus divj(r) = 0 ab. Verwenden Sie dazu j = (j ·∇) r .

15.2 Zylindersymmetrische Stromverteilung

Gegeben ist eine zylindersymmetrische Stromverteilung in Kugelkoordinaten:

j = j (r, θ) eφ (15.30)

Zeigen Sie, dass das Vektorpotenzial auch von dieser Form ist, und geben Sie einen

Ausdruck für A(r, θ) an. Welche skalare Differenzialgleichung für A(r, θ) folgt aus

�A = −4πj/c?

Hinweise: Betrachten Sie die KombinationAx+ iAy . Entwickeln Sie 1/|r−r ′|in der Integralformel für das Vektorpotenzial nach Kugelfunktionen.

15.3 Stromdurchflossene Leiterschleife

In einer kreisförmigen Leiterschleife ist die Stromdichte in Zylinderkoordinaten

durch

j = I δ(ρ − R) δ(z) eϕ

gegeben. Berechnen Sie das Vektorpotenzial für die Fälle ρ � R und ρ � R.

Zeigen Sie, dass sich für große Abstände ein Dipolfeld A = (μ× r)/r3 ergibt.

Hinweise: Nach Aufgabe 15.2 impliziert die zylindersymmetrische Stromdich-

te ein Potenzial mit derselben Symmetrie, also A(r) = A(ρ, z) eϕ . Um A(ρ, z)

zu bestimmen, genügt es, die Integralformel für Ay und ϕ = 0 anzusetzen. Das

resultierende Integral soll nur für die angegebenen Grenzfälle gelöst werden.

15.4 Helmholtz-Spulen

Zwei parallele kreisförmige Leiterschleifen werden beide vom Strom I in gleicher

Richtung durchflossen. Die Kreise liegen parallel zur x-y-Ebene, sie haben beide

den Radius R und ihre Mittelpunkte liegen bei (x, y, z) = (0, 0, b) und (0, 0,−b).Bestimmen Sie das Vektorpotenzial dieser Anordnung als Superposition der Po-

tenziale der einzelnen Leiterschleifen (Aufgabe 15.3). Entwickeln Sie das Vektorpo-

tenzial in der Nähe des Koordinatenursprungs bis zur OrdnungO(ρ3, ρ z2). Welche

Beziehung muss zwischen dem Radius R und dem Abstand D = 2b der Kreise

gelten, damit das Magnetfeld in diesem Bereich möglichst homogen ist?


15.5 Rotierende, homogen geladene Kugel

Eine homogen geladene Kugel (Radius R, Ladung q) rotiert mit der Winkelge-

schwindigkeit ω um eine Achse durch ihren Mittelpunkt. Welche Stromdichte j

ergibt sich? Bestimmen Sie das Vektorpotenzial A aus der Integralformel. Geben

Sie die Komponenten des Magnetfelds in Kugelkoordinaten an.

Hinweise: Legen Sie ω in z-Richtung und berechnen Sie Ax+ iAy mit der Integral-

formel (14.3). Drücken Sie jx + ijy durch Y11 aus, und entwickeln Sie 1/|r − r ′|nach Kugelfunktionen.

15.6 Oberflächenströme der homogen magnetisierten Kugel

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Das Magnetfeld

B =

⎧⎪⎨⎪⎩B0ez (r < R)

3 r (r · μ)− μ r2

r5(r > R)

gehört zu einer homogen magnetisierten

Kugel mit dem Dipolmoment μ = μ ez.

In den Bereichen r < R und r > R gel-

ten jeweils divB = 0 und rotB = 0.

Als Quellen des Feldes kommen daher

nur Ströme auf der Oberfläche in Frage.

Wegen der Zylindersymmetrie sind die Oberflächenströme von der Form

j = I (θ)

πRδ(r − R) eφ

Bestimmen Sie den Strom I (θ) und das magnetische Moment μ. Leiten Sie dazu

aus den Feldgleichungen folgende Bedingungen ab:

Br(R + ε)− Br(R − ε) = 0 (15.31)

Bθ(R + ε)− Bθ(R − ε) = 4π

c

I (θ)

πR(15.32)

15.7 Kleiner Permanentmagnet

Ein kleiner Permanentmagnet (Dipolmoment μ) ist bei d = d ex so gelagert, dass

er sich innerhalb der x-y-Ebene frei drehen kann. Auf den Magnet wirkt ein homo-

genes Magnetfeld B0 = B0 ex .

In welche Richtung zeigt μ im Gleichgewicht? In welche Richtung zeigt μ

im Gleichgewicht, wenn es zusätzlich noch einen Draht mit der Stromdichte j =I δ(x) δ(y) ez gibt?

Elektrodynamik || Magnetischer Dipol

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