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Prof.Dr.Birkenhake19. Januar 2018

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Elementare Geometrie

Prof. Dr. Christina Birkenhake

email: [email protected]://www.thuisbrunn65.de/

19. Januar 2018


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Euklidische GeometrieElemente des EuklidHilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrieℝ𝑛 als Modell des Euklidischen Raumes

Geometrische Grundbegriffe

Abbildungen der EbeneAffine AbbildungenTeilverhältnisÄhnlichkeitsabbildungen

(Parallel-)Verschiebung, Translation

Zentrische StreckungenStrahlensätzeTeilung, außen, innen, harmonisch

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HinweiseArgumentieren und Beweisen:

▶ Nur für die Argumentation relevante Eigenschaften anführen.▶ Argumente gegebenenfalls (in der Geometrie meistens) durch

eine Zeichnung veranschaulichen.▶ Gleiche Bezeichnungen in Text und Zeichnung.▶ Endergebnisse sprachlich (oder mathematisch) formulieren,

eine Skizze allein reicht in der Regel nicht.Zeichnungen bzw. Skizzen:

▶ Zeichnungen nicht zu klein, kein Papier sparen!▶ Bezeichnungen nicht vergessen.▶ Bezeichnungen lesbar (nicht zu klein, nicht zu krakelig)▶ Bezeichnungen nicht auf den Kopf stellen, müssen lesbar sein,

ohne das Papier zu drehen.▶ Keine Spezialfälle zeichnen


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Was ist Geometrie ?Freudenthal, Mathematik als pädagogische Aufgabe, Band 2, x 16 Der FallGeometrie:

Die Erfassung des Raumes!Genauer: die Erfassung des Raumes, in dem das Kind lebt, atmet,sich bewegt, den es kennen lernen muß, den es erforschen underleben muß, um besser in ihm zu leben, atmen und sich bewegenzu können...

▶ Warum entstehen beim Papierfalten Geraden?▶ Warum ist eine Papierrolle starr?▶ Wie entstehen Schatten?▶ Wie sieht der Durchschnitt einer Ebene und einer Kugel, wie

der zweier Kugeln aus?▶ Was für eine Kurve ist der Terminator des Mondes?▶ Warum zeigt ein Papierbandknoten ein regelmäßiges Fünfeck?▶ Warum kann der Halbmesser sechsmal längs des

Kreisumfanges abgetragen werden?▶ Wie kommt es, daß dabei so ein schöner Stern entsteht?


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▶ Warum ist die Gerade die kürzeste Verbindung zwischen zweiPunkten?

▶ Warum läßt sich die Ebene mit kongruenten Dreieckenpflastern, und warum geht es mit kongruenten Fünfecken imallgemeinen nicht?

▶ Wie mißt man große Abstände auf der Erde, denErddurchmesser, Abstände von Himmelskörpern?

▶ Wie erscheint ein Würfel, wenn man ihn längs einerRaumdiagonale betrachtet?

▶ Was ist größer, die Fläche einer Kugelkappe oder die einesZylinders rund herum?

▶ Was ist der kürzeste Weg eines Lichtstrahls zwischen zweiPunkten, der einen Spiegel berühren soll?

▶ Wie funktioniert ein Kaleidoskop?▶ Was ist die größte Kugel in einem Tetraeder?▶ Welche geschlossenen Kurven sind in allen Richtungen

genauso breit?


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▶ Wie verändert sich das Niveau einer Flüssigkeit in einemGefäß, wenn eine gewisse Menge der Flüssigkeit hinzugefügtwird?

▶ Wenn ein Würfel in sechs quadratische Pyramiden mit denSpitzen im Mittelpunkt des Würfels zerlegt ist und diePyramiden dann von außen auf die entsprechenden Seiten desWürfels gesetzt werden, warum ergibt sich dann einRhombendodekaeder?

▶ Wie kann man die Neigung einer Geraden und einer Ebene,wie die zweier Ebenen messen?

▶ Gibt es in jeder Ebene eine horizontale (eine vertikale) Gerade?▶ Welche Automorphismen gestattet ein quadratisches Gitter in

der Ebene?▶ Wieviele Punkte kann ein ebenes Gitter, das im Einheitskreis

nur den Nullpunkt besitzt, auf dem Rand des Einheitskreisesbesitzen?


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▶ Welcher Unterschied besteht zwischen einer rechten und einerlinken Schraube?

▶ Was ist auf der Kugelfläche starre Bewegung?▶ Warum ist eine konvexes Polyeder starr?▶ Warum kann ein Tisch mit vier Beinen wackeln, und wie

unterscheidet er sich in dieser Hinsicht von einem mit dreiBeinen?

▶ Warum hängt man eine Tür in zwei Scharniere, und wiemüßte man ein drittes anbringen?

▶ Und schließlich die alte Frage:Warum vertauscht der Spiegel rechts und links und nicht obenund unten? Und wie ist das, wenn man vor dem Spiegel nichtsteht, sondern liegt?


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Ziele des Geometrieunterrichts

▶ Kenntnisse über Figuren, Körper, geometrische Operationen …▶ handwerkliche Techniken: Zeichnen, Basteln, Konstruieren,

Messen …▶ (elementares) mathematisches Handwerk: Konstruieren,

Messen, Lösen von Berechnungsaufgaben …▶ Befähigung zur Anwendung dieses Wissens/Könnens▶ Förderung bzw. Vermittlung von Problemlösetechniken▶ Sprachschulung: Konstruktionsbeschreibungen,

Argumentieren, Fachvokabular▶ Förderung kreativen Verhaltens


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Kapitel I. Euklidische Geometrie


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Elemente des Euklid

Erste Druckausgabe, Venedig 1482 Deutsche Ausgabe: 1618


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Euklid

▶ ca. 300 v. Chr.▶ Studierte bei Platon (ca. 429-348 v. Chr.) in Athen▶ Lebte später in Alexandria▶ Schrieb unter anderem: Die Elemente. Dieses galt bis zum

Ende des 19. Jhd. als Muster und Vorbild eines Lehrbuches.▶ Die Elemente sind nach der Bibel das am meisten

vervielfältigte Buch


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Albrecht Dürer: Unterweisung der Messung

Der allerscharfsinnigsteEuklides/hat den Grund derGeometria zusammenge-setzt. Wer denselben wohlversteht/ der bedarf dieserhernach geschrieben Dinggar nicht/denn sie sind al-lein den Jungen und denen,so sonst niemand haben,der sie treulich unterweist,geschrieben.

Aus Faksimile-Neudruck der Ausgabe Nürnberg 1525, Verlag Dr. Alfons Uhl


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Euklids Elemente - Definitionen

1. Ein Punkt ist, was keine Teile hat.2. Eine Linie ist eine breitenlose Länge.3. Eine Gerade ist eine Linie, die bezüglich der Punkte auf ihr

stets gleich liegt.⋮

36. Parallel sind gerade Linien, die in derselben Ebene liegen unddabei, wenn man sie nach beiden Seiten ins Unendlicheverlängert, auf keiner Seite einander treffen.


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Euklids Elemente - Postulate

Gefordert soll sein,1. daß man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke

ziehen könne,2. daß man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend

gerade verlängern könne,3. daß man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis

zeichnen könne,4. daß alle rechten Winkel einander gleich seien,5. daß, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden

Linien bewirke, dass innen auf derselben Seite entstehendeWinkel zusammen kleiner als zwei Rechte würden, dann diezwei geraden Linien bei Verlängerung ins Unendliche sichtreffen würden auf der Seite, auf der die Winkel lägen, diezusammen kleiner als zwei rechte seien.


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Euklids Elemente - Axiome

1. Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.2. Wenn Gleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen

gleich.3. Wenn von Gleichem Gleiches weggenommen wird, sind die

Reste gleich.4. Wenn Ungleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen

ungleich.5. Die Doppelten von demselben sind einander gleich.6. Die Halben von demselben sind einander gleich.7. Was einander deckt, ist einander gleich8. Das Ganze ist größer als der Teil.9. Zwei Strecken umfassen keinen Flächenraum.

Dann gehts los: Über einer gegebenen Strecke ein gleichseitigesDreieck zu errichten. …


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Euklids Axiome (Postulate) in moderner Sprache

1. Je zwei verschiedene Punkte sind durch eine Geradeverbindbar.

2. Jede Gerade ist unbegrenzt.3. Man kann Abstände antragen.4. Alle rechten Winkel sind gleich.5. Zwei ebene nicht parallele Geraden schneiden sich.


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Parallelenpostulat

Gefordert soll sein, daß, wenn eine gerade Linie (g) beim Schnitt mit zwei geraden Linien

(h und l) bewirke, daß innen auf derselben Seite entstehende Winkel (α und β) zusammen

kleiner als zwei Rechte würden, dann die zwei geraden Linien (h und l) bei Verlän-

gerung ins Unendliche sich treffen würden (bei S) auf der Seite,

auf der die Winkel lägen, die zusammen klei-

ner als zwei rechte seien.

S

g h

l

α

β


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Moderne Formulierung des Parallelenpostulats

Parallelenaxiom:In einer Ebene gibt es zu jeder Geraden h und jedem Punkt Paußerhalb von h genau eine Gerade, die zu h parallel ist und durchden Punkt P geht.

Parallelenpostulat und Parallelenaxiom sind (unter Benutzung deranderen Axiome) aquivalent!


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Kontroverse

Zu allen Zeiten haben Gelehrte versucht, das EuklidscheParallelenpostulat aus den anderen Axiomen abzuleiten. Erst durchGauß, Lobatschefskij und Bolyai wurde klar, daß es Geometriengibt, in denen durch jeden Punkt zwei Parallelen möglich sind.

▶ elliptische (ℙ(ℝ)𝑛) und sphärische Geometrie 𝜅 > 0▶ hyperbolische Geometrie 𝜅 < 0


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Sphärische Geometrie - Krümmung positiv

Modell:Oberfäche einer KugelGeraden = Großkreise

Sphärisches Dreieck:Winkelsumme > 180∘


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Hyperbolische Geometrie - Krümmung negativ

Poincarémodell: Einheitskreis(endliches Modell einer unendlich ausgedehnten Fläche)

Geraden = Kreisbögen mit 90∘-Winkelz.B. Geraden durch MittelpunktHyperbolisches Dreieck:Winkelsumme < 180∘


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Poincarémodell - auch künstlerisch

Alle Dreiecke sind flächengleich!


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§I.2. Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie


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Hilbert: Grundlagen der Geometrie(1899)Einleitung

Die Geometrie bedarf - ebenso wie die Arithmetik - zu ihremfolgerichtigen Aufbau nur weniger und einfacher Grundsätze. DieGrundsätze heißen Axiome der Geometrie. Die Aufstellung derAxiome der Geometrie und die Erforschung ihres Zusammenhangesist eine Aufgabe, die seit Euklid in zahlreichen vortrefflichenAbhandlungen der mathematischen Literatur sich erörtert findet.Die bezeichnete Aufgabe läuft auf die logische Analyse unsererräumlichen Anschauung hinaus.Die vorliegende Untersuchung ist ein neuer Versuch, für dieGeometrie ein vollständiges und möglichst einfaches Systems vonAxiomen aufzustellen und aus denselben die wichtigstengeometrischen Sätze in der Weise abzuleiten, daß dabei dieBedeutung der verschiedenen Axiomengruppen und die Tragweiteder aus den einzelnen Axiomen zu ziehenden Folgerungen klarzutage tritt.


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Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie

1. Axiome der Verknüpfung (bzw. Inzidenz)2. Axiome der Anordnung3. Axiome der Kongruenz4. Axiom der Parallelen5. Axiome der Stetigkeit

Das begründet die Affine Geometrie.Die Axiome formulieren wir hier (teilweise) für die affine Ebene.Dazu gehen wir von einer Menge von Punkten {𝑃 , 𝑄, 𝐴, 𝐵, …}und einer Menge von Geraden {𝑔, ℎ, 𝑙, …} aus.


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Axiome der Verknüpfung (bzw. Inzidenz)

Diese Axiome erklären die Beziehungen ( Inzidenz ) von Geradenund Punkten. Wann immer eine Gerade 𝑔 mit einem Punkt 𝑃 inZusammenhang steht, sagt man: 𝑔 inzidiert 𝑃 (oder auchumgekehrt).1. Auf jeder Geraden liegen mindestens zwei Punkte.2. Zu zwei verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die

diese enthält.3. Es gibt drei Punkte in allgemeiner Lage .


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Axiome der AnordnungHier geht es um den Begriff zwischen ! Wird bei drei Punkten derBegriff zwischen verwendet, so ist 1) gemeint, daß die Punkteverschieden sind und 2), daß sie auf einer Geraden liegen.1. Wenn 𝐵 zwischen 𝐴 und 𝐶 liegt, so liegt 𝐵 auch zwischen 𝐶

und 𝐴.2. Zu zwei Punkten 𝐴 und 𝐶 gibt es stets einen Punkt 𝐵

dazwischen, und einen weiteren Punkt 𝐷, so daß 𝐶 zwischen𝐴 und 𝐷 liegt.

3. Unter drei Punkten auf einer Geraden gibt es genau einen, derzwischen den anderen liegt.

4. Seien 𝐴, 𝐵, 𝐶 Punkte in allgemeiner Lage und 𝑔 eine Gerade,die durch keinen dieser Punkte geht. Wenn 𝑔 die Strecke [𝐴𝐵]trifft, so enthält sie entweder auch einen Punkt der Strecke[𝐴𝐶] oder [𝐵𝐶].

Folgerung: Definition einer Strecke nun möglich: Die Strecke[𝐴𝐵] ist die Menge aller Punkte zwischen zwischen 𝐴 und 𝐵.


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Axiome der der Kongruenz - Strecken

Diese Axiome definieren den Begriff Kongruenz .

1. Seien 𝐴 und 𝐵 Punkte auf einer Geraden 𝑔 und 𝐴′ ein Punktauf 𝑔 oder einer anderen Geraden 𝑔′, so kann man auf einergegebenen Seite der Geraden 𝑔′ von 𝐴′ stets einen Punkt 𝐵′

finden, so dass die Strecke [𝐴𝐵] der Strecke [𝐴′𝐵′] kongruent(oder gleich) ist, in Zeichen: [𝐴𝐵] ≡ [𝐴′𝐵′]. Reflexivität

2. Ist eine Strecke zu zwei anderen Strecken kongruent, so sinddiese untereinander auch kongruent. Transitivität

3. ⋯


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Axiome der der Kongruenz - Winkel und Dreiecke

Winkel ∢(𝑔, ℎ) sind ein ungeordnetes Paar von Halbgeraden 𝑔, ℎ(also ∢(𝑔, ℎ) = ∢(ℎ, 𝑔)), ausgehend von einem gemeinsamenPunkt 𝑆 und nicht auf einer Geraden liegend.1. Aus ∢(ℎ, 𝑔) = ∢(ℎ′, 𝑔′) und ∢(ℎ, 𝑔) = ∢(ℎ″, 𝑔″) folgt

∢(ℎ′, 𝑔′) = ∢(ℎ″, 𝑔″)2. Wenn für zwei Dreiecke 𝐴𝐵𝐶 und 𝐴′𝐵′𝐶′ die Kongruenzen

[𝐴𝐵] ≡ [𝐴′𝐵′], [𝐴𝐶] ≡ [𝐴′𝐶′], ∢(𝐵𝐴𝐶) ≡ ∢(𝐵′𝐴′𝐶′)

gelten, so auch

∢(𝐴𝐵𝐶) ≡ ∢(𝐴′𝐵′𝐶′) und ∢(𝐴𝐶𝐵) ≡ ∢(𝐴′𝐶′𝐵′)

3. ⋯


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Axiom der Parallelen

(Parallelen-Axiom auch Euklidsches Axiom) Ist 𝑔 eine Gerade und𝑃 ein Punkt außerhalb 𝑔, dann gibt es höchstens eine Gerade ℎdurch 𝑃 , die 𝑔 nicht schneidet.


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Axiome der Stetigkeit

1. Axiom des Messens: Sind [𝐴𝐵] und [𝐶𝐷] Strecken, so gibtes ein Anzahl 𝑛 derart, daß das n-malige Hintereinanderlegender Strecke [𝐶𝐷] von 𝐴 aus auf den durch 𝐵 gehendenHalbstrahl über den Punkt 𝐵 hinausgeht. * (vgl.Archimedisches Axiom!)

2. Axiom der (linearen) Vollständigkeit: Zu den Punkteneiner Geraden können, bei Erhalt ihrer Anordnungs- undKongruenzbeziehungen, keine weiteren Punkte hinzugefügtwerden, ohne daß die unter den vorherigen Elementenbestehenden Beziehungen, die aus den vorherigen Axiomenherrühren, verletzt werden.


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Archimedisches Axiom:Zu je zwei Größen 0 < 𝑥 < 𝑦 existiert eine natürliche Zahl 𝑛 ∈ ℕmit 𝑛𝑥 > 𝑦.So hat sich das Archimedes (287-212 v. Chr.) vermutlich nichtausgedacht!Geometrische Darstellung des Archimedischen Axioms:Zwei Strecken mit Längen 0 < 𝑥 < 𝑦:

y

x

Dann gibt es ein 𝑛 ∈ ℕ, so daß das 𝑛-fache der Strecke 𝑥 längerist als die Strecke 𝑦:

y

x x x x x

nx

Zahlentheorie: Teilen (von 𝑦 durch 𝑥) mit Rest𝑦 = 𝑞

↑𝑛 − 1

⋅ 𝑥 + 𝑟


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§I.3. ℝ𝑛 als Modell des Euklidischen Raumes


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ℝ𝑛 als Modell des Euklidischen Raumes

Dimension: 𝑛, für die Schule sind nur 𝑛 = 2 und 3 relevant.

Der Vektorraum ℝ𝑛 zusammen mit dem Skalarprodukt:

⟨ , ⟩ ∶ ℝ𝑛 ×ℝ𝑛 → ℝ, ⟨(𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛

) , (𝑦1𝑦2⋮𝑦𝑛

)⟩ = 𝑥1𝑦1 +𝑥2𝑦2 +⋯+𝑥𝑛𝑦𝑛

erfüllt ℝ𝑛 die Euklidischen Axiome, ist also ein Modell desn-dimensionalen Euklidischen Raumes.

Das sehen wir auf den nächsten Seiten!

Der Einfachheit halber ab jetzt: Dimension 𝑛 = 2.


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Euklids Axiome (Postulate) in moderner Sprache

1. Je zwei verschiedene Punkte sind durch eine Geradeverbindbar.

2. Jede Gerade ist unbegrenzt.3. Man kann Abstände antragen.4. Alle rechten Winkel sind gleich.5. Zwei ebene nicht parallele Geraden schneiden sich.


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Je zwei verschiedene Punkte sind durch eine Geradeverbindbar.

Zwei Punkte: 𝑃 = (𝑥1, 𝑦1) und 𝑄 = (𝑥2, 𝑦2).(Schulversion 𝑃(𝑥1|𝑦1), als Vektor: 𝑃 = (𝑥1𝑦1) )

Die Gerade: 𝑃𝑄

analyt. Geometrie: 𝑃𝑄 = 𝑃 + ℝ(𝑄 − 𝑃) = (𝑥1𝑦1) + ℝ (𝑥2−𝑥1𝑦2−𝑦1)Parameterform 𝑃𝑄 = {(𝑥1+𝑡(𝑥2−𝑥1)

𝑦1+𝑡(𝑦2−𝑦1)) |𝑡 ∈ ℝ}Geradengl.: (𝑦1 − 𝑦2)𝑥 − (𝑥1 − 𝑥2)𝑦 = 𝑥2𝑦1 − 𝑥1𝑦2

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐elem. geometrisch: 𝑃𝑄 plus Zeichnung


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Jede Gerade ist unbegrenzt

An der Darstellung

𝑃𝑄 = 𝑃 + ℝ(𝑄 − 𝑃)

sieht man, das die Gerade unendlich viele Punkte enthält!

Jede Gerade ist eine Kopie des unbegrenzten Zahlenstrahls ℝ.


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Man kann Abstände antragen

Ja, dazu haben wir das Skalarprodukt:

Abstand von 𝑃 = (𝑥1, 𝑦1) und 𝑄 = (𝑥2, 𝑦2) ist

𝑃𝑄⏟𝑆𝑐ℎ𝑢𝑙𝑠𝑐ℎ𝑟𝑒𝑖𝑏𝑤𝑒𝑖𝑠𝑒

=∶ |𝑃𝑄| = |𝑃−𝑄| = √(𝑥1 − 𝑥2)2 + (𝑦1 − 𝑦2)2

mit der Betragsabbildung:

|(𝑥, 𝑦)| = √⟨(𝑥, 𝑦), (𝑥, 𝑦)⟩ = √𝑥2 + 𝑦2


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Alle rechten Winkel sind gleich.

Klar, oder!!


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Zwei Ebene nicht parallele Geraden schneiden sich.

Kann man z.B. bei zwei Geraden mit Geradengleichungen direktausrechnen.


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Kapitel II. Geometrische Grundbegriffe


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Geometrische Grundbegriffe

Elementargeometrische Figuren sind Punktmengen:1. Geraden, Strecken2. Dreiecke3. Kreise4. Flächen und Körper

Wir arbeiten in einer Ebene E oder in einem dreidimensionalenRaum R.In den nächsten Kapiteln koordinatenfreie (affine) Geometrie!!Wenn (später) mit Koordinaten: E = ℝ2 und R = ℝ3


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Idealisierung und Komplettierung

▶ Idealisierung▶ Ein Punkt hat keine Ausdehnung.▶ Eine Strecke, eine Gerade etc. ist ∞-dünn.

▶ Komplettierung▶ Eine Gerade ist ∞-ausgedehnt.▶ Eine Ebene ist ∞-ausgedehnt.


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Parallelität

Bezüglich der Lage von zwei Geraden 𝑔 und ℎ gibt es drei Fälle:1. 𝑔 und ℎ fallen zusammen ⇒ 𝑔 = ℎ.2. 𝑔 und ℎ haben keinen Punkt gemeinsam ⇒ 𝑔 ∩ ℎ = ∅.3. 𝑔 und ℎ schneiden sich in genau einem Punkt ⇒ 𝑔 ∩ ℎ = {𝑃}.

1. und 2. ⇒Begriff der Parallelität:▶ Zwei Geraden sind genau dann zueinander parallel, wenn sie

entweder zusammenfallen oder keinen Punkt gemeinsamhaben. In Zeichen:

𝑔 ∥ ℎParallelität ist auf der Menge der Geraden eine Äquivalenzrelation:reflexiv, symmetrisch und transitiv.Andere Geometrien: Sphärisch: 2 Geraden: gleich oder 2 Schnittpunkte;Projektiv: 2 Geraden gleich oder 1 Schnittpunkt; hyperbolisch: eine Gerade undein Punkt 𝑃 ausserhalb ⇒ ∞-viele Parallelen durch 𝑃 .


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Geradenbüschel und Geradenscharen

B Geradenbüschel durch 𝐵

Schar paralleler Geraden

g

Schar, orthogonal zur Gerade 𝑔


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Geraden und Punkte▶ Die Menge der Geraden durch einen Punkt: Geradenbüschel.▶ Durch zwei Punkte 𝐴 und 𝐵 geht genau eine Gerade 𝐴𝐵.

▶ Drei Punkte: ▶ 1 Gerade ⇒ falls Punkte kollinear▶ 3 Geraden ⇒ falls Punkte in allgemeiner Lage

▶ Vier Punkte in allgemeiner Lage ⇒ 1 + 2 + 3 = 6 Geraden.vollständiges Viereck

▶ wie gehts weiter?▶ Zwei verschiedene Geraden haben höchstens einen

Schnittpunkt.▶ Drei verschiedene Geraden haben höchstens drei

Schnittpunkte.▶ Vier verschiedene Geraden haben höchstens 6 Schnittpunkte.▶ und weiter?

Eine Menge von ≥ 2 Geraden ist in allgemeiner Lage, wenn keinezwei Geraden zusammenfallen oder parallel sind und keine dreiGeraden zu einem Büschel gehören, also durch einen Punkt gehen.


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Halbgeraden, Strecken und Halbebenen - Bezeichnungen

▶ Ein Punkt 𝑃 auf einer Geraden 𝑔 zerlegt diese Gerade in zweiTeile: Halbgeraden oder Strahl.

▶ [𝑆𝐴 bezeichnet die Halbgerade mit Anfangspunkt 𝑆 durch 𝐴.▶ Zwei verschiedene Punkte 𝐴 und 𝐵 bestimmen eine Strecke

[𝐴𝐵]. [𝐴𝐵] sind die Punkte auf der Geraden 𝐴𝐵 zwischen 𝐴und 𝐵.

▶ Sind 𝐴, 𝐵 und 𝐶 kollineare Punkte, so liegt 𝐶 entwederzwischen 𝐴 und 𝐵 (also auf der Strecke [𝐴𝐵]), oderaußerhalb 𝐴 und 𝐵.

▶ |𝐴𝐵| = 𝐴𝐵 (oder �(𝐴𝐵)) ist die Länge der Strecke [𝐴𝐵].▶ Eine Gerade 𝑔 in der Ebene E zerlegt diese in zwei

Halbebenen, das sind die Zusammenhangskomponenten vonE\𝑔 = E − 𝑔.


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WinkelHalbgeraden 𝑎 und 𝑏 ⇒Zwei Winkel1. orientierte Winkel

� = ∢(𝑎, 𝑏) = Winkel von 𝑎 nach 𝑏2. Einschränkung: 0∘ ≤ 𝛼 ≤ 180∘

3. Winkelfeld

αβ a

b

𝛼 = ∢(𝑎, 𝑏) = der Winkel mit konvexem Winkelfeld

bzw.𝛼 = ∢(𝑎, 𝑏) = der Winkel mit 𝑤(𝛼) ≤ 180∘

Problem: Winkel bzw. Wert des Winkels!!𝛼 = ∢(𝑎, 𝑏) und ∡(𝑎, 𝑏) = 30∘


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Winkel an sich schneidenden Geraden - Wiederholung!

Zwei Geraden:Scheitelwinkel: 𝛼 = 𝛾Nebenwinkel: 𝛽 = 180∘ − 𝛼Drei Geraden:Stufenwinkel: 𝛼, 𝜀 oder 𝛽, 𝜂Wechselwinkel: 𝛾, 𝜀

Parallele Geraden ⇒Scheitelwinkel: 𝛼 = 𝛾, etc.Nebenwinkel: 𝛽 = 180∘ − 𝛼Stufenwinkel: 𝛼 = 𝜀Wechselwinkel: 𝛾 = 𝜀


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Winkelbezeichnungen

spitzer Winkel: 0 < 𝛼 < 90∘

rechter Winkel: 90∘

stumpfer Winkel: 90∘ < 𝛽 < 180∘

gestreckter Winkel: 180∘

überstumpfer Winkel:180∘ < 𝛾 < 360∘

Vollwinkel: 360∘


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Vielecke▶ Endlich viele Punkte 𝐴, 𝐵, 𝐶, … , 𝑀, 𝑁 definieren einen

Streckenzug von 𝐴 nach 𝑁 :

[𝐴𝐵], [𝐵𝐶], [𝐶𝐷], … , [𝑀𝑁]

▶ Die Strecken [𝐴𝐵], [𝐵𝐶], [𝐶𝐷], … , [𝑀𝑁] heißen auchKanten, die Punkte 𝐴, 𝐵, 𝐶, … , 𝑀, 𝑁 sind die Ecken. 𝐴 und𝑁 sind Anfangs- bzw. Endpunkt.

▶ Wenn 𝐴 = 𝑁 , dann ist der Streckenzug geschlossen und manspricht von einem Vieleck.

▶ Begriffe: konkav, einspringende Ecken, überlappend!▶ Einfache Vielecke: wenn nicht überlappend!▶ Orientierung von einfachen Vielecken▶ Inneres und Äußeres eines Vielecks (bzw. einer geschlossenen

Kurve)???


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-1

1 1

11

2

?


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Bemerkung zu Vierecken

Aufgabe: Konstruiere ein allgemeines ViereckErste Schüler-Konstruktion: ⇒ konvexes Viereck, Rechteck!

sich überschlagendkonvex nicht konvex

Einsatz DGS ⇒ nicht konvexe und sich überschlagende Vierecke


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Einige Vierecke


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Winkel an Vielecken

´

´´ α2

α3

α1α2

α1

α3

α4´´α4

Innenwinkel:𝛼1, 𝛼2, 𝛼3, …Außenwinkel:𝛼′

1, 𝛼′2, …

Pfeil gibt positiveOrientierung an

Bei der einspringenden Ecke spricht man nicht von Außenwinkel!Bekannt: Innen- und Außenwinkelsätze konvexer Vielecke ⇒Übung(Hinweis: beschreibe die Richtungsänderung bei einem Umlauf)


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Kapitel III. Abbildungen der Ebene


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Begriff der AbbildungAbbildung: Zuordnung 𝐴, die jedem Element 𝑃 einer Menge 𝑀eindeutig ein Element 𝑃 ′ einer Menge 𝑁 zuordnet.

𝐴 ∶ 𝑀 → 𝑁, 𝐴(𝑃) = 𝑃 ′

GU: Abbildungen (fast immer) bijektive Abbildungen der Ebene E.

▶ Inverse Abbildung: Bezeichnung: 𝐴−1

▶ Verknüpfung: Verkettung von Abbildungen. 𝐵 ∘ 𝐴 bedeuteterst 𝐴 anwenden, dann 𝐵.

▶ Leichter: 𝐵 ∘ 𝐴(𝑃) = 𝐵(𝐴(𝑃))▶ Assoziativgesetz: 𝐶 ∘ (𝐵 ∘ 𝐴) = (𝐶 ∘ 𝐵) ∘ 𝐴▶ Neutrales Element: Begriff der identischen Abbildung id = 1

▶ 𝐴−1 ∘ 𝐴 = id▶ Im Allgemeinen gilt das Kommutativgesetz nicht!


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Hierarchie der wichtigsten Abbildungen - Schule

Affine Abb.jjjj

jjTTTT

TTT

Ähnlichkeitsabb.kkkk

kkkAchsenaff.

kkkkkkk RRRR

RRR

KongruenzYYYYYY

YYYYYYYYYYYZentr.Str.

====

====

====

====

==Scherung orth.Achsenaff.

9999

9999

9999

9999

9 Schrägsp.

BewegungSSSS

SSUmwendung

SSSSSS

SSSSSS

SSSSSS

SS

DrehungTTTT

TTGleitsp.

eeeeeeeeeeee

eeeeeee

YYYYYYYYYYYY

YYYYYY

Translation Punktsp. Achsensp.

(vgl. Holland)


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Abbildungsgruppen

Einige Beispiele für Abbildungsgruppen und ihre zugehörigeÄquivalenzrelation:

−−−−−

→Untergruppe

Abbildungsgruppe ÄquivalenzrelationAffine AbbildungenÄhnlichkeitsabbildungen ist ähnlich zuKongruenzabbildungen ist kongruent zuBewegungen ist gleichsinnig kongruent zuTranslationen


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Wiederholung der Matrizengruppen

𝑀2(ℝ) = 𝑀(2 × 2, ℝ) = { 2 × 2 Matrizen über ℝ }𝐺𝑙2(ℝ) = {𝑀 ∈ 𝑀2(ℝ) | ��𝑀 ≠ 0} = allgemeine lineare Gruppe𝑂2(ℝ) = {𝑀 ∈ 𝐺𝑙2(ℝ) |𝑡𝑀𝑀 = id2} = orthogonale Gruppe

𝑆𝑂2(ℝ) = {𝑀 ∈ 𝑂2(ℝ) | ��𝑀 = 1} = spezielle orthogonale Gruppe


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Abbildungsgruppen analytisch (ℝ2 → ℝ2)

Name AbbildungsgruppeAffine Gruppe:

𝐴2(ℝ) = {𝛼𝑀,𝑡 ∶ {ℝ2 → ℝ2

𝑣 ↦ 𝑀𝑣 + 𝑡 ∣𝑀 ∈ 𝐺𝑙2(ℝ), 𝑡 ∈ ℝ2}

Ähnlichkeitsabbildungen = konforme Transformationen:{𝛼𝑀,𝑡 |𝑀 = 𝑘 ⋅ 𝑈, 𝑘 ∈ ℝ∗, 𝑈 ∈ 𝑂2(ℝ), 𝑡 ∈ ℝ2}

Kongruenzabbildungen = Bewegungsgruppe:{𝛼𝑀,𝑡 |𝑀 ∈ 𝑂2(ℝ), 𝑡 ∈ ℝ2}

Spezielle Kongruenzabbildungen (Bewegungsgruppe á la Holland){𝛼𝑀,𝑡 | 𝑀 ∈ 𝑆𝑂2(ℝ), 𝑡 ∈ ℝ2}

Translationen {𝛼12,𝑡 | 𝑡 ∈ ℝ2}


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§III.1. Affine Abbildungen


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Affine Abbildungen

Affine Abb.kkkk

kkSSSS

SS

Ähnlichkeitsabb.kkkk

kkkAchsenaff.

kkkkkkk RRRR

RRR

KongruenzYYYYYY


====

====

====

====

==Scherung orth.Achsenaff.

9999

9999

9999

9999

9 Schrägsp.

BewegungSSSS

SSUmwendung

SSSSSS

SSSSSS

SSSSSS

SS

DrehungTTTT

TTGleitsp.

eeeeeeeeeeee

eeeeeee

YYYYYYYYYYYY

YYYYYY



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Affine AbbildungAffine Abbildung - Oberbegriff für alle Abbildungen imGeometrieunterrichtEine bijektive Abbildung 𝛼 heißt affin, falls sie Geraden aufGeraden abbildet.(analytisch: 𝛼 ∶ ℝ2 → ℝ2, 𝛼(𝑥) = 𝑀𝑥 + 𝑡, 𝑀 ∈ 𝐺𝑙2(ℝ), 𝑡 ∈ ℝ2)

▶ Zu zwei Dreiecken 𝐴𝐵𝐶 und𝐴′𝐵′𝐶′ gibt es genau eine affineAbbildung, die 𝐴 auf 𝐴′, 𝐵 auf 𝐵′

und 𝐶 auf 𝐶′ abbildet.▶ parallele Geraden 𝛼−→ parallele

Geraden▶ 𝐴,𝐷,𝐵 kollinear ⇒ |𝐴𝐷|

|𝐷𝐵| = |𝐴′𝐷′||𝐷′𝐵′|

A

B

CC´

A´

B´

α

DD´

Def: Eine affine Abbildung ist eine bijektive, parallelentreue undteilverhältnistreue Abbildung zwischen affinen Ebenen.


71 / 126

§III.2. Teilverhältnis


72 / 126

Das Teilverhältnis I, analytischSeien 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ2 und 𝐶 ∈ 𝐴𝐵. Dann

𝐶 = 𝐴 + 𝜆(𝐵 − 𝐴) = (1 − 𝜆)𝐴 + 𝜆𝐵

A C Bλ1<λ<0 λ0< <1

Das Teilverhältnis von 𝐶 bezüglich 𝐴 und 𝐵 ist definiert durch

𝑇 𝑉 (𝐶 ; 𝐴, 𝐵) ∶= 𝜆𝜆 − 1 (vgl. Barth)

Für 𝜆 = 1 (⇔ 𝐶 = 𝐵), definiert man 𝑇 𝑉 (𝐵 ; 𝐴, 𝐵) ∶= ∞.Das Teilverhältnis ist eine affine Invariante (noch zu zeigen).In Geogebra gilt: Teilverhältnis(𝐴, 𝐵, 𝐶) = 𝜆!

Das Teilverhältnis definiert eine Bijektion:

𝐴𝐵\{𝐵} → ℝ\{1}, 𝐶 ↦ 𝑇 𝑉 (𝐶 ; 𝐴, 𝐵)


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Das Teilverhältnis II, elementargeometrisch!A C B D

λ1<λ<0 λ0< <1TV>0TV>0 TV<0

𝑇 𝑉 (𝐶 ; 𝐴, 𝐵) = −|𝐶𝐴||𝐶𝐵| innere Teilung (immer negativ!)

𝑇 𝑉 (𝐷 ; 𝐴, 𝐵) = |𝐷𝐴||𝐷𝐵| äußere Teilung

Satz 3.1 Beide Definitionen stimmen überein.Beachte: Innere Teilung in mancher Literatur ohne Minuszeichen!Hier immer mit Minuszeichen!

Beispiel:A C B D

{{{ {{

1/3 LE

1 LE 1 LE

2/3 LE

𝑇 𝑉 (𝐶;𝐴, 𝐵) = −2313

= −2 = also Minus 2 zu 1 ( -2:1)𝑇 𝑉 (𝐷;𝐴, 𝐵) = 2

1 = 2 = also 2 zu 1 (2:1)


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Satz 3.2 : Eigenschaften des Teilverhältnisses

Für paarweise verschiedene kollineare Punkte 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 gilt:a)

𝑇 𝑉 (𝐵 ; 𝐴, 𝐶) = 1 − 𝑇 𝑉 (𝐶 ; 𝐴, 𝐵) , 𝑇 𝑉 (𝐶 ; 𝐵, 𝐴) = 1𝑇 𝑉 (𝐶 ; 𝐴, 𝐵)

𝑇 𝑉 (𝐴 ; 𝐵, 𝐶) = 1 − 1𝑇 𝑉 (𝐶 ; 𝐴, 𝐵) , 𝑇 𝑉 (𝐴 ; 𝐶, 𝐵) = 𝑇 𝑉 (𝐶 ; 𝐴, 𝐵)

𝑇 𝑉 (𝐶 ; 𝐴, 𝐵) − 1

b) 𝑇 𝑉 (𝐶 ; 𝐴, 𝐵) ⋅ 𝑇 𝑉 (𝐴 ; 𝐵, 𝐶) ⋅ 𝑇 𝑉 (𝐵 ; 𝐶, 𝐴) = −1c) 𝑇 𝑉 (𝐷 ; 𝐴, 𝐵) ⋅ 𝑇 𝑉 (𝐷 ; 𝐵, 𝐶) ⋅ 𝑇 𝑉 (𝐷 ; 𝐶, 𝐴) = 1


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Das Doppelverhältnis

Funktionentheorie:Sind 𝑥, 𝑦, 𝐴, 𝐵 komplexe Zahlen, so ist ihr Doppelverhältnis:

𝐷𝑉 (𝑥, 𝑦, 𝐴, 𝐵) ∶= (𝑥−𝐴)(𝑥−𝐵) ÷ (𝑦−𝐴)

(𝑦−𝐵) = (𝑥−𝐴)(𝑦−𝐵)(𝑥−𝐵)(𝑦−𝐴) .

Dann gilt: 𝐷𝑉 (𝑥,𝑦,𝐴,𝐵) = 𝑇𝑉 (𝑥;𝐴,𝐵)𝑇𝑉 (𝑦;𝐴,𝐵) .


77 / 126

§III.3. Ähnlichkeitsabbildungen

Affine Abb.kkkk

kkRRRR

RRRR

Ähnlichkeitsabb.llll

lllAchsenaff.

llllll

llQQQ

QQQQ

KongruenzYYYYYYY

YYYYYYYYYYY Zentr.Str.

>>>>

>>>>

>>>>

>>>>

>>Scherung orth.Achsenaff.

9999

9999

9999

9999

9 Schrägsp.

BewegungTTTT

TTUmwendung

SSSSSS

SSSSSS

SSSSSS

SS

DrehungTTTT

TTTGleitsp.

eeeeeeeeeeeeee

eeeeee

YYYYYYYYYYYY

YYYYYY



78 / 126

Ähnlichkeitsabbildungen

Ähnlichkeitsabbildungen = konforme (winkeltreue) Transformationen(konforme affine Abbildung):

Als Automorphismus von ℝ2:

𝛼𝑀,𝑡(𝑣) = 𝑀𝑣+𝑡 mit 𝑡 ∈ ℝ2 und 𝑀 = 𝑘⋅𝑈, 𝑘 ∈ ℝ∗, 𝑈 ∈ 𝑂2(ℝ)

⇒Verknüpfung aus:

einer Bewegung (orthogonalen Abbildung, Drehung+Spiegelung) 𝑈

einer zentrischen Streckung 𝑘12 undeiner Translation 𝑡.


79 / 126

Kapitel IV. (Parallel-)Verschiebung, Translation


80 / 126


Affine Abb.jjjj

jjTTTT

TTT

Ähnlichkeitsabb.jjjj

jjjAchsenaff.

kkkkkkk RRRR

RRR

KongruenzYYYYYYY

YYYYYYYYYYY Zentr.Str.

<<<<

<<<<

<<<<

<<<<

<<Scherung orth.Achsenaff.

9999

9999

9999

9999

9 Schrägsp.

BewegungTTTT

TTUmwendung

RRRRRR

RRRRRR

RRRRRR

RR

DrehungSSSS

SSSGleitsp.

eeeeeeeeeeee

eeeeeee

XXXXXXXXXXXX

XXXXXX



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A

A'

v = AA'

Definitionsmöglichkeiten:𝑇𝑣 ∶ E → E, die Parallelverschiebung durchden Vektor 𝑣.𝑇𝐴,𝐴′ ∶ E → E, die Verschiebung, die 𝐴 auf𝐴′ abbildet.

Das ist elementargeometrisch!!


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Satz 4.1 : Eigenschaften von Translationen:

1. Jedes Paar von Punkten 𝐴, 𝐴′ (jeder Vektor 𝑣) definiertgenau eine Verschiebung 𝑇𝐴,𝐴′ (𝑇𝑣).

2. Wenn 𝑣 = ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗𝐴𝐴′, dann 𝑇𝑣 = 𝑇𝐴,𝐴′ ,𝑇𝐴,𝐴 = id, 𝑇 ⃗⃗⃗ ⃗⃗0 = id, 𝑇 −1

𝐴,𝐴′ = 𝑇𝐴′,𝐴.3. Verschiebungen sind geradentreu, halbgeradentreu, winkeltreu,

orientierungstreu, parallelentreu, streckentreu, längentreu.4. Eine nichttriviale Verschiebung ist fixpunktfrei.5. Die zu 𝑣 = ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗𝐴𝐴′ parallelen Geraden sind Fixgeraden.6. Eine Translation ist durch das Bild (und Urbild) eines Punktes

eindeutig bestimmt.7. Urbild- und Bildgerade einer Translation sind parallel.

Folgt alles aus der Konstruktion einer Translation!!


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Translation - Konstruktion auf Papier

▶ Auf Papier die abzubildende Figur (z.B ein Punkt 𝑃 ), diePunkte 𝐴, 𝐴′ (bzw. den Vektor 𝑣 = ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗𝐴𝐴′) zeichnen.

▶ Durch jeden abzubildenden Punkt (𝑃 ) eine Parallele zu 𝐴𝐴′

zeichnen.▶ Z.B. mit Zirkel auf der Parallelen den Endpunkt des Vektors

übertragen (Länge/Richtung), das ist der Bildpunkt 𝑃 ′.


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Satz 4.2 : Kleiner Satz von Desargues (Desargues(1591-1661))

Für paarweise verschiedene, parallele Geraden 𝑎, 𝑏, 𝑐 und sechsPunkte 𝐴, 𝐴′ ∈ 𝑎, 𝐵, 𝐵′ ∈ 𝑏 und 𝐶, 𝐶′ ∈ 𝑐 gilt:

𝐴𝐵 ∥ 𝐴′𝐵′ und 𝐴𝐶 ∥ 𝐴′𝐶′ ⇒ 𝐵𝐶 ∥ 𝐵′𝐶′

a

bcA

A´

B

B´

C

C´

𝑎, 𝑏, 𝑐 parallel heißt, sie schneiden sich im Unendlichen!


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Beweis:Wenn 𝐴 = 𝐴′, dann 𝐵 = 𝐵′ und 𝐶 = 𝐶′ ⇒ trivialer Fall!! OE𝐴 ≠ 𝐴′.Sei 𝑇 = 𝑇𝐴,𝐴′ , die Translation, die 𝐴 auf 𝐴′ abbildet.Wir zeigen zuerst: 𝑇 (𝐵) = 𝐵′ und 𝑇 (𝐶) = 𝐶′.Da 𝐴𝐴′ = 𝑎 und 𝑎, 𝑏, 𝑐 alle parallel ⇒ 𝑎, 𝑏, 𝑐 sind Fixgeraden von 𝑇 .

⇒ 𝑇 (𝐵) ∈ 𝑏Die Bildgerade 𝑇 (𝐴𝐵) = 𝐴′𝑇 (𝐵) ist parallel zur Gerade 𝐴𝐵 undenthält 𝐴′.Nach Vorraussetzung ist 𝐴′𝐵′ auch zu 𝐴𝐵 parallele Gerade durch 𝐴′

⇒ 𝐴′𝐵′ = 𝑇 (𝐴𝐵) ⇒{𝐵′} = 𝐴′𝐵′∩𝑏 = 𝑇 (𝐴𝐵)∩𝑏 = 𝐴′𝑇 (𝐵)⏟

∈𝑏∩𝑏 = {𝑇 (𝐵)} ⇒ 𝑇 (𝐵) = 𝐵′

Analog folgt: 𝑇 (𝐶) = 𝐶′

Wegen Eigenschaft 7 folgt:𝐵′𝐶′ = 𝑇 (𝐵)𝑇 (𝐶) = 𝑇 (𝐵𝐶) ∥ 𝐵𝐶


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Exkurs: Schnittsätze von DesarguesWenn sich 𝑎, 𝑏, 𝑐 im Endlichen schneiden:

Satz 4.3 : (Kleiner) Satz von Desargues IISeien 𝑎, 𝑏 und 𝑐 paarweise verschiedene Geraden, die sich in einemPunkt schneiden. Auf jeder Geraden seinen zwei weitere, vomSchnittpunkt verschiedene Punkte:

𝐴, 𝐴′ ∈ 𝑎, 𝐵, 𝐵′ ∈ 𝑏, 𝐶, 𝐶′ ∈ 𝑐

gewählt, so daß:

𝐴𝐵 ∥ 𝐴′𝐵′ und 𝐴𝐶 ∥ 𝐴′𝐶′,

Dann gilt auch𝐵𝐶 ∥ 𝐵′𝐶′

Parallele Dreiecke (Lemma 5.22)


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Satz 4.4 : Satz von DesarguesSeien 𝑎, 𝑏 und 𝑐 paarweise verschiedene Geraden, die sich in einemPunkt schneiden. Auf jeder Gerade seinen zwei weitere, vomSchnittpunkt verschiedene Punkte beliebig gewählt:

𝐴, 𝐴′ ∈ 𝑎, 𝐵, 𝐵′ ∈ 𝑏, 𝐶, 𝐶′ ∈ 𝑐

Dann sind entweder die drei Schnittpunkte:

{𝑆𝑎𝑏} = 𝐴𝐵∩𝐴′𝐵′, {𝑆𝑏𝑐} = 𝐵𝐶∩𝐵′𝐶′, {𝑆𝑎𝑐} = 𝐴𝐶∩𝐴′𝐶′

kollinear, oder zwei Geraden sind parallel:

𝐴𝐵 ∥ 𝐴′𝐵′, oder 𝐵𝐶 ∥ 𝐵′𝐶′, oder 𝐴𝐶 ∥ 𝐴′𝐶′

Unterschied zu den Kleinen Desargues (Satz 4.3): dort sind 𝑆𝑎𝑏, 𝑆𝑏𝑐 und 𝑆𝑎𝑐auf der unendlichfernen Geraden


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Kapitel V. Zentrische Streckungen


89 / 126

Zentrische Streckungen

Affine Abb.jjjj

jjTTTT

TTT

Ähnlichkeitsabb.llll

llllAchsenaff.

llllllll QQQ

QQQQ

KongruenzYYYYYY


<<<<

<<<<

<<<<

<<<<

<Scherung orth.Achsenaff.

9999

9999

9999

9999

9 Schrägsp.

BewegungSSSS

SSUmwendung

SSSSSS

SSSSSS

SSSSSS

SS

DrehungTTTT

TTGleitsp.

eeeeeeeeeeee

eeeeeee

YYYYYYYYYYYY

YYYYYY



90 / 126

Zentrische Streckungen

A

BC

C´

A´

B´

Z

Zentrische Streckung: 𝑍𝑆 = 𝑍𝑆𝑍,𝑘 wird durch ein Zentrum𝑍 und einen Streckungsfaktor 𝑘 ∈ ℝ∗ festgelegt.(Im Bild: 𝑘 = 2)

Konstruktionsvorschrift:▶ 𝐴′ = 𝑍𝑆(𝐴) liegt auf der Geraden 𝑍𝐴▶ |𝑍𝐴′| = |𝑘| ⋅ |𝑍𝐴|▶ 𝐴′ liegt genau dann auf der Halbgeraden [𝑍𝐴, wenn 𝑘 > 0


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Satz 5.1 : Eigenschaften Zentrischer Streckungen

1. Eine Zentrische Streckung 𝑍𝑆 ist durch das Zentrum 𝑍 unddie Angabe eines Punktes 𝐴 zusammen mit seinem Bildpunkt𝐴′ eindeutig festgelegt. klar: |𝑘| = |𝑍𝐴′|

|𝑍𝐴|2. Punkt, Bildpunkt und Zentrum 𝑍 sind kollinear.3. Wenn 𝑘 = 1, dann 𝑍𝑆 = id. Im Folgenden sei immer 𝑘 ≠ 1.4. Wenn 𝑘 ≠ 1, dann hat 𝑍𝑆 genau einen Fixpunkt, nämlich 𝑍.5. Die Geraden durch 𝑍 sind Fixgeraden.6. Ist 𝑍𝑆 zentrische Streckung mit Zentrum 𝑍 und

Streckungsfaktor 𝑘, so ist 𝑍𝑆−1 zentrische Streckungebenfalls mit Zentrum 𝑍 und mit Streckungsfaktor 1

𝑘 .7. Zentrische Streckungen sind geradentreu.


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Satz 5.2 : Gerade und Bildgerade einer zentrischenStreckung sind parallel.

Beweis:Die Behauptung gilt für alle Geraden durch 𝑍, da diese Fixgeradensind.Sei 𝑔 eine Gerade mit 𝑍 ∉ 𝑔.⇒Auch die Bildgerade 𝑔′ = 𝑍𝑆(𝑔) erfüllt: 𝑍 ∉ 𝑔′.Annahme: 𝑔 und 𝑔′ nicht parallel ⇒Schnittpunkt 𝑔 ∩ 𝑔′ = {𝑆}Sei 𝑍𝑆(𝑆) = 𝑆′. Weil 𝑆 ∈ 𝑔, folgt 𝑆′ ∈ 𝑔′.Weil 𝑍 einziger Fixpkt. und 𝑍 ∉ 𝑔 und damit 𝑆 ≠ 𝑍 ⇒ 𝑆′ ≠ 𝑆.Da 𝑆′ = 𝑍𝑆(𝑆) sind 𝑆, 𝑆′ und 𝑍 kollinear. Aber 𝑆 und 𝑆′ liegenbeide auf 𝑔′:

𝑍𝑆′ = 𝑆𝑆′ = 𝑔′ ⇒ 𝑍 ∈ 𝑔′


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Satz 5.3 : Zentrischen Streckungen sind orientierungstreu!

Beweis: Es genügt z.Z.: der Umlaufsinn eines Dreiecks bleibterhalten.

k = 2

ZA

B

C

A'

B'

C'


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Satz 5.4 : Zentrischen Streckungen sind winkeltreu!

Beweis:

Z

S

S´

h

h´

g´g

A

B

ϕ

ϕʹ

ϕ

ϕ

Sei 𝑍𝑆 eine zentrischeStreckung mit Zentrum 𝑍und 𝑔, ℎ sich im Punkt 𝑆schneidende Geraden mitWinkel 𝜑 = ∢(𝑔, ℎ).OE 𝑆 ≠ 𝑍, sonst ist nichts zuzeigen.𝑍𝑆 bildet 𝑔, ℎ, 𝑆 und 𝜑 auf𝑔′, ℎ′, 𝑆′ und 𝜑′ ab.

Satz 5.2 ⇒ 𝑔 ∥ 𝑔′ und ℎ ∥ ℎ′

Stufenwinkelsatz: 𝜑′ = ∢( bei 𝐴) = ∢( bei 𝑆) = 𝜑.


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Satz 5.5 : Unter der zentrischen Streckung 𝑍𝑆𝑍,𝑘 wirdeine Strecke [𝐴𝐵] auf einer Geraden 𝑔 durch 𝑍 auf eineStrecke der Länge |𝑘| ⋅ |𝐴𝐵| (ebenfalls auf 𝑔) abgebildet.

Beweis: Übung!


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Satz 5.6 : Unter der zentrischen Streckung 𝑍𝑆𝑍,𝑘 wirdeine beliebige Strecke [𝐴𝐵] auf eine (parallele) Strecke[𝐴′𝐵′] abgebildet mit: |𝐴′𝐵′| = |𝑘| ⋅ |𝐴𝐵|

Beweis: Seinen 𝑍, 𝐴, 𝐵 nicht kollinear, sonst Satz 5.5.

Z A

B

A´

B´

Sei 𝑔 parallel zu 𝐴𝐵 durch 𝑍.Sei ℎ parallel 𝑍𝐴 durch 𝐵Sei 𝐶 Schnittpunkt von 𝑔 und ℎ𝐶′ = 𝑍𝑆(𝐶) ∈ 𝑍𝑆(ℎ) = ℎ′,Satz 5.2 ⇒ ℎ′ ∥ ℎ{𝐵} = ℎ ∩ 𝐴𝐵⇒ {𝐵′} = ℎ′ ∩ 𝐴′𝐵′

Zwei Parallelogramme: 𝑍𝐶𝐵𝐴und 𝑍𝐶′𝐵′𝐴′

|𝐴′𝐵′| = |𝑍𝐶′| = |𝑘| ⋅ |𝑍𝐶| = |𝑘| ⋅ |𝐴𝐵|.


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Satz 5.7

Seien 𝐴 und 𝐴′ verschiedene Punkte. Jeder von 𝐴 und 𝐴′

verschiedene Punkt 𝑍 auf der Geraden 𝐴𝐴′ definiert einezentrische Streckung, die 𝑍 als Zentrum hat und 𝐴 auf 𝐴′

abbildet.

Z AA'

Diese zentrische Streckung ist:𝑍𝑆 = 𝑍𝑆𝑍,𝑘 mit 𝑘 = 𝑇 𝑉 (𝑍; 𝐴, 𝐴′)−1

Folgerung: Die zentrische Streckung 𝑍𝑆 ist eindeutig durch diedrei Punkte definiert!


98 / 126

Beweis:Z.Z. 𝑍𝑆(𝐴) = 𝐴′

Fall I: 𝑍 außerhalb [𝐴, 𝐴′]:

𝑘 = 𝑇 𝑉 (𝑍; 𝐴, 𝐴′)−1 = 𝑇 𝑉 (𝑍; 𝐴′, 𝐴) = |𝐴′𝑍||𝐴𝑍| > 0

⇒ |𝐴′𝑍| = 𝑘 ⋅ |𝐴𝑍| = |𝑘| ⋅ |𝐴𝑍|und nach Definition ⇒ 𝑍𝑆(𝐴) = 𝐴′.Fall II: 𝑍 innerhalb [𝐴, 𝐴′]:

𝑘 = 𝑇 𝑉 (𝑍; 𝐴, 𝐴′)−1 = 𝑇 𝑉 (𝑍; 𝐴′, 𝐴) = −|𝐴′𝑍||𝐴𝑍| < 0

⇒ |𝐴′𝑍| = −𝑘⏟>0

⋅ |𝐴𝑍| = |𝑘| ⋅ |𝐴𝑍|

und nach Definition ⇒ 𝑍𝑆(𝐴) = 𝐴′.


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§V.1. Strahlensätze


100 /126

Satz 5.8 : StrahlensatzSeien 𝑔1 und 𝑔2 sich im Punkt 𝑍 schneidende Geraden. Weiterseien ℎ und ℎ′ zwei parallele Geraden und 𝐴, 𝐴′, 𝐵, 𝐵′ dieSchnittpunkte wie in der Graphik. Dann gilt :

g1g2

h

h'

ZA

B

A'

B'

|𝑍𝐴′||𝑍𝐴| = |𝑍𝐵′|

|𝑍𝐵| = |𝐴′𝐵′||𝐴𝐵|

Corollar 5.9: Mit denselben Vorraussetzungen

𝑇 𝑉 (𝑍; 𝐴, 𝐴′) = 𝑇 𝑉 (𝑍; 𝐵, 𝐵′)


102 /126

BeweisDie zentrische Streckung 𝑍𝑆 = 𝑍𝑆𝑍,𝑘 mit𝑘 = 𝑇 𝑉 (𝑍; 𝐴, 𝐴′)−1 = 𝑇 𝑉 (𝑍; 𝐴′, 𝐴) bildet nach Satz 5.7 denPunkt 𝐴 auf 𝐴′ ab.Da zentrische Streckungen Geraden auf parallele Geraden abbilden(Satz 5.2), ist 𝑍𝑆(ℎ) die Parallele zu ℎ durch 𝐴′ ⇒ 𝑍𝑆(ℎ) = ℎ′.

nach Def. ⇒ |𝑍𝐴′| = |𝑘|⋅|𝑍𝐴| ⇒ |𝑍𝐴′||𝑍𝐴| = |𝑘| = |𝑇 𝑉 (𝑍; 𝐴′, 𝐴)|

Da 𝐵 ∈ ℎ muss sein Bild 𝑍𝑆(𝐵) ∈ 𝑍𝑆(ℎ) = ℎ′, aber auch auf derGeraden 𝑍𝐵 liegen, also auf deren Schnittpunkt ℎ′ ∩ 𝑍𝐵 = {𝐵′},m.a.W.:

𝑍𝑆(𝐵) = 𝐵′ wie oben⇒ |𝑍𝐵′||𝑍𝐵| = |𝑘| = |𝑇 𝑉 (𝑍; 𝐴′, 𝐴)|

Nach Satz 5.6 gilt: |𝐴′𝐵′| = |𝑘||𝐴𝐵| ⇒|𝐴′𝐵′||𝐴𝐵| = |𝑘| = |𝑇 𝑉 (𝑍; 𝐴′, 𝐴)|

Daraus folgt die Behauptung.


103 /126

Beweis von Corollar 5.9Warum gilt nun 𝑇 𝑉 (𝑍; 𝐴, 𝐴′) = 𝑇 𝑉 (𝑍; 𝐵, 𝐵′)?Aus dem Strahlensatz folgt, daß

|𝑇 𝑉 (𝑍; 𝐵′, 𝐵)| = |𝑍𝐵′||𝑍𝐵| = |𝑍𝐴′|

|𝑍𝐴| = |𝑇 𝑉 (𝑍; 𝐴′, 𝐴)|

Wenn 𝑍 außerhalb der Strecke [𝐴, 𝐴′] liegt, dann auch außerhalbvon [𝐵, 𝐵′], und die Teilverhältnisse sind beide positiv, und damit

𝑇 𝑉 (𝑍; 𝐵′, 𝐵) = |𝑍𝐵′||𝑍𝐵| = 𝑇 𝑉 (𝑍; 𝐴′, 𝐴)

Wenn 𝑍 innerhalb liegt, dann sind beide Teilverhältnisse negativund es folgt:

𝑇 𝑉 (𝑍; 𝐵′, 𝐵) = −|𝑍𝐵′||𝑍𝐵| = 𝑇 𝑉 (𝑍; 𝐴′, 𝐴)


104 /126

Corollar 5.10Seien 𝑔1 und 𝑔2 sich im Punkt 𝑍 schneidende Geraden. Weiterseien ℎ und ℎ′ zwei parallele Geraden und 𝐴, 𝐴′, 𝐵, 𝐵′ dieSchnittpunkte wie in der Graphik. Dann gilt :

g1g2

h

h'

ZA

B

A'

B'

|𝑍𝐴||𝑍𝐵| = |𝐴𝐴′|

|𝐵𝐵′| = |𝑍𝐴′||𝑍𝐵′|

harmonische Teilung der Winkelhalbierenden


105 /126

Beweis von Corollar 5.10

Sei 𝑍𝑆 = 𝑍𝑆𝑍,𝑘 die zentrische Streckung mit 𝑍𝑆(𝐴) = 𝐴′, alsoauch 𝑍𝑆(𝐵) = 𝐵′.Falls 𝑍 ∉ [𝐴𝐴′] bzw. 𝑘 > 0:

|𝐴𝐴′||𝐵𝐵′| = ∣|𝑍𝐴′| − |𝑍𝐴|∣

∣|𝑍𝐵′| − |𝑍𝐵|∣ = ∣𝑘|𝑍𝐴| − |𝑍𝐴|∣∣𝑘|𝑍𝐵| − |𝑍𝐵|∣ = ∣𝑘 − 1∣|𝑍𝐴|

∣𝑘 − 1∣|𝑍𝐵| = |𝑍𝐴||𝑍𝐵|

Falls 𝑍 ∈ [𝐴𝐴′] bzw. 𝑘 < 0:|𝐴𝐴′||𝐵𝐵′| = ∣|𝑍𝐴′| + |𝑍𝐴|∣

∣|𝑍𝐵′| + |𝑍𝐵|∣ = ∣|𝑘||𝑍𝐴| + |𝑍𝐴|∣∣|𝑘||𝑍𝐵| + |𝑍𝐵|∣ = ∣|𝑘| + 1∣|𝑍𝐴|

∣|𝑘| + 1∣|𝑍𝐵| = |𝑍𝐴||𝑍𝐵|

Die zweite Gleichung folgt aus dem Strahlensatz, denn

|𝑍𝐴||𝑍𝐵| = |𝑍𝐴′|

|𝑍𝐵′| ⇔ |𝑍𝐴′||𝑍𝐴| = |𝑍𝐵′|

|𝑍𝐵|


106 /126

Satz 5.11 : Umkehrung des Strahlensatzes

g1g2

h

h'

ZA

B

A'

B'

Seien 𝑔1 und 𝑔2 Geraden mit Schnittpunkt𝑍 und 𝐴, 𝐴′ ∈ 𝑔1 und 𝐵, 𝐵′ ∈ 𝑔2. Wenn𝑍 die Strecke [𝐴, 𝐴′] im gleichen Verhält-nis teilt wie die Strecke [𝐵, 𝐵′], also wenn

𝑇 𝑉 (𝑍; 𝐴, 𝐴′) = 𝑇 𝑉 (𝑍; 𝐵, 𝐵′),

so sind die Geraden 𝐴𝐵 und 𝐴′𝐵′ parallel.

Äquivalente Formulierung: …. Wenn 𝐴′ die Strecke [𝑍, 𝐴] imgleichen Verhältnis teilt wie 𝐵′ die Strecke [𝑍, 𝐵], dann sind dieGeraden 𝐴𝐵 und 𝐴′𝐵′ parallel.

Beachte: Die Bedingung |𝑍𝐴||𝑍𝐴′| = |𝑍𝐵|

|𝑍𝐵′| reicht nicht!


107 /126

Beweis

Sei 𝑘 ∶= 𝑇 𝑉 (𝑍; 𝐴, 𝐴′)−1 und 𝑍𝑆 = 𝑍𝑆𝑍,𝑘 die zentrischeStreckung mit Zentrum 𝑍 und Streckungsfaktor 𝑘.Dann: 𝑍𝑆(𝐴) = 𝐴′

Wegen𝑇 𝑉 (𝑍; 𝐴, 𝐴′) = 𝑇 𝑉 (𝑍; 𝐵, 𝐵′)

bildet 𝑍𝑆 auch 𝐵 auf 𝐵′ ab. Also folgt:

𝑍𝑆(ℎ) = 𝑍𝑆(𝐴𝐵) = 𝐴′𝐵′ = ℎ′.

Wegen Satz 5.2 sind ℎ = 𝐴𝐵 und ℎ′ = 𝐴′𝐵′ parallel.


108 /126

Satz 5.12 : (eine andere Umkehrung des Strahlensatzes)

Seien 𝑍, 𝐴, 𝐴′, 𝐵, 𝐵′ paarwei-se verschiedene Punkte mit𝑍, 𝐴, 𝐴′ kollinear, 𝐴𝐵 ∥ 𝐴′𝐵′

und

|𝑍𝐴||𝑍𝐵| = |𝑍𝐴′|

|𝑍𝐵′| = |𝐴𝐴′||𝐵𝐵′| ,

dann sind auch 𝑍, 𝐵 und 𝐵′ kol-linear.

Z A

B

A′

B′


110 /126

Satz 5.13 : Zentrische Streckungen sind teilverhältnistreu!

Ist 𝑍𝑆 = 𝑍𝑆𝑍,𝑘 eine zentrische Streckung und 𝐴, 𝐵, 𝐶 kollinearePunkte mit Bildpunkten 𝑍𝑆(𝐴) = 𝐴′, 𝑍𝑆(𝐵) = 𝐵′ und𝑍𝑆(𝐶) = 𝐶′, dann gilt:

𝑇 𝑉 (𝐶; 𝐴, 𝐵) = 𝑇 𝑉 (𝐶′; 𝐴′, 𝐵′).

k = 2.6

A

BZ

C

A'

B'

C'


111 /126

Beweis:

Die zentrische Streckung 𝑍𝑆 bildet die Strecke [𝐴𝐵] auf dieStrecke [𝐴′𝐵′] ab.⇒ 𝐶 teilt die Strecke [𝐴𝐵] genau dann innerhalb, wenn 𝐶′ dieStrecke [𝐴′𝐵′] innerhalb teilt.und es folgt: sign(𝑇 𝑉 (𝐶; 𝐴, 𝐵)) = sign(𝑇 𝑉 (𝐶′; 𝐴′, 𝐵′)) (∗)

|𝑇 𝑉 (𝐶′; 𝐴′, 𝐵′)| = |𝐶′𝐴′||𝐶′𝐵′| = |𝑘| ⋅ |𝐶𝐴|

|𝑘| ⋅ |𝐶𝐵| = |𝐶𝐴||𝐶𝐵| = |𝑇 𝑉 (𝐶; 𝐴, 𝐵)|

Zusammen mit (*) ⇒Beh.


112 /126

Storchschnabela = 2 b = 5

a

a

b

b

ab

Z

A'

A

B

C

B'

P teilt [ZD] im Verhältnis 2:5

Eine Vorrichtung, um Figuren zentrisch zu strecken!


114 /126

§V.2. Teilung, außen, innen, harmonisch


115 /126

Teilung einer Strecke außen und innen in vorgegebenemVerhältnis

A B


117 /126

Harmonische Teilung

A C DB

Definition: Die Punkte 𝐶 und 𝐷 auf der Geraden 𝐴𝐵 teilen dieStrecke [𝐴𝐵] harmonisch, wenn

𝑇 𝑉 (𝐷; 𝐴, 𝐵) = −𝑇 𝑉 (𝐶; 𝐴, 𝐵)⇔ 𝐷𝑉 (𝐶, 𝐷; 𝐴, 𝐵) = 𝑇𝑉 (𝐶;𝐴,𝐵)

𝑇𝑉 (𝐷;𝐴,𝐵) = −1

Hier: 𝑇 𝑉 (𝐷; 𝐴, 𝐵) = |𝐷𝐴||𝐷𝐵| = 5

2 = |𝐶𝐴||𝐶𝐵| = −𝑇 𝑉 (𝐶; 𝐴, 𝐵)


119 /126

Satz 5.14Für kollineare Punkte 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 und den Mittelpunkt 𝑀 von[𝐴, 𝐵] gilt:𝐶 und 𝐷 teilen genau dann 𝐴 und 𝐵 harmonisch, wenn

|𝐴𝑀|2 = |𝐶𝑀| ⋅ |𝐷𝑀|Beweis: OE Reihenfolge 𝐴, 𝐵, 𝐷. Dann 𝐶 ∈ [𝑀, 𝐵].𝐶 und 𝐷 teilen genau dann 𝐴 und 𝐵 harmonisch, wenn

−𝑇 𝑉 (𝐶; 𝐴, 𝐵) = 𝑇 𝑉 (𝐷; 𝐴, 𝐵)

⇔ |𝐶𝐴||𝐶𝐵| = |𝐷𝐴|

|𝐷𝐵| (mit 𝑟 ∶= |𝐵𝑀| = |𝐴𝑀|)

⇔ 𝑟 + |𝐶𝑀|𝑟 − |𝐶𝑀| = 𝑟 + |𝐷𝑀|

|𝐷𝑀| − 𝑟⇔ 𝑟 |𝐷𝑀| − 𝑟2 + |𝐶𝑀| ⋅ |𝐷𝑀| − |𝐶𝑀|𝑟

= 𝑟2 + 𝑟 |𝐷𝑀| − |𝐶𝑀| 𝑟 − |𝐶𝑀| ⋅ |𝐷𝑀|⇔ 2|𝐶𝑀| ⋅ |𝐷𝑀| = 2𝑟2 ⇔ |𝐶𝑀| ⋅ |𝐷𝑀| = 𝑟2 = |𝐴𝑀|2


121 /126

Satz 5.15 (Harmonische Teilung am Dreieck)

Im Dreieck teilen die Winkelhalbierenden einer Ecke (𝐶) dieGegenseite (𝐴𝐵) harmonisch: 𝑇 𝑉 (𝑇𝑎; 𝐴, 𝐵) = −𝑇 𝑉 (𝑇𝑖; 𝐴, 𝐵).

A

C

BTiTa


122 /126

Beweis:Behauptung 1: 𝑇 𝑉 (𝑇𝑖;𝐴,𝐵) = − |𝐴𝐶|

|𝐶𝐵|

A

C

D

BTiTa

δ

δ

δ

δ

Sei 𝛿 ∶= 12𝛾.

Verlängere die Seite 𝐴𝐶Die Parallele zu 𝑇𝑖𝐶 durch 𝐵schneidet 𝐴𝐶 in 𝐷.Viele Wechselwinkel und Stufen-winkel ⇒ alle = 𝛿Δ𝐵𝐶𝐷 ist gleichschenklig.⇒ |𝐶𝐵| = |𝐶𝐷|

Corollar 5.10 aus dem Strahlensatz(mit Zentrum 𝐴 und den Parallelen 𝑇𝑖𝐶 und 𝐵𝐷) ⇒

|𝐴𝑇𝑖||𝐴𝐶| = |𝑇𝑖𝐵|

|𝐶𝐷| = |𝑇𝑖𝐵||𝐶𝐵| ⇔ |𝐴𝐶|

|𝐶𝐵| = |𝐴𝑇𝑖||𝑇𝑖𝐵| = −𝑇 𝑉 (𝑇𝑖; 𝐴, 𝐵)


123 /126

Behauptung 2: 𝑇 𝑉 (𝑇𝑎;𝐴,𝐵) = |𝐴𝐶||𝐶𝐵|

A

E

C

BTiTa

δδε

εε

Die Parallele zu 𝐶𝑇𝑎 durch 𝐵schneidet die Seite 𝐴𝐶 in 𝐸.𝐶𝑇𝑖 Winkelhalbierende⇒ Δ𝐸𝐶𝐵 ist gleichschenklig

⇒ |𝐸𝐶| = |𝐵𝐶|.(Alternativ mit Winkeln argumentieren)

Corollar 5.10 (mit Zentrum 𝐴 und Parallelen ℎ = 𝐸𝐵 undℎ′ = 𝐶𝑇𝑎)

𝑇 𝑉 (𝑇𝑎; 𝐴, 𝐵) = |𝐴𝑇𝑎||𝐵𝑇𝑎| = |𝐴𝐶|

|𝐸𝐶| = |𝐴𝐶||𝐵𝐶|

Insgesamt folgt: 𝑇 𝑉 (𝑇𝑎; 𝐴, 𝐵) = |𝐴𝐶||𝐵𝐶| = −𝑇 𝑉 (𝑇𝑖; 𝐴, 𝐵).


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Satz 5.16 : Harmonische Teilung mittels Kreis des Apollonius

A

P

BM Ti Ta

TV(Ti;A,B)=-3.10TV(Ta;A,B)=3.10

Beachte: 𝑃𝑇𝑎 ist Achsenspiegelung von 𝑃𝑇𝑖 an 𝑃𝐵

Lemma 5.17: Für kollineare Punkte 𝐴, 𝐵, 𝐶 und 𝐷 gilt: 𝐶 und 𝐷teilen die Strecke [𝐴, 𝐵] genau dann harmonisch, wenn 𝐴 und 𝐵die Strecke [𝐶, 𝐷] harmonisch teilen.


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Beweis von Lemma 5.17:

𝐶 und 𝐷 teilen die Strecke [𝐴, 𝐵] harmonisch ⇔

𝑇 𝑉 (𝐶; 𝐴, 𝐵) = −𝑇 𝑉 (𝐷; 𝐴, 𝐵) ⇔|𝐶𝐴||𝐶𝐵| = |𝐷𝐴|

|𝐷𝐵| ⇔

|𝐶𝐴||𝐷𝐴| = |𝐶𝐵|

|𝐷𝐵| ⇔

𝑇 𝑉 (𝐴; 𝐶, 𝐷) = −𝑇 𝑉 (𝐵; 𝐶, 𝐷) ⇔

𝐴 und 𝐵 teilen die Strecke [𝐶, 𝐷] harmonisch.


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Beweis von Satz 5.16 (Apollonius):

Nach Lemma 5.17 gilt:𝑇𝑖 und 𝑇𝑎 teilen [𝐴, 𝐵] genau dann harmonisch, wenn 𝐴 und 𝐵die Strecke [𝑇𝑖, 𝑇𝑎] harmonisch teilen.⇒Die Rollen von 𝐴, 𝐵 und 𝑇𝑖, 𝑇𝑎 lassen sich also paarweiseaustauschen.Da 𝑃𝑇𝑎 Achsenspiegelung von 𝑃𝑇𝑖 an 𝑃𝐵:∢(𝐵𝑃𝑇𝑎) = ∢(𝐵𝑃𝑇𝑖) ⇒ 𝑃𝐵 ist Winkelhalbierende der Ecke 𝑃 !Da ∡(𝐴𝑃𝐵) = 90∘ ⇒ 𝐴𝑃 ist äußere Winkelhalbierende!Wende Satz 5.15 über die harmonische Teilung am Dreieck mittelsder Winkelhalbierenden auf das Dreieck 𝑇𝑖, 𝑇𝑎, 𝑃 an.

Elementare Geometrie - thb65.de · Prof.Dr.Birkenhake 19. Januar 2018 15 / 126 Euklids Elemente -...

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