Elementare Geometrie Vorlesung 19

Markus Rost

17.6.2019

Satz des Pythagoras I

a2 + b2 = c2

Quelle Graphik: Wikimedia

Satz des Pythagoras II

Satz (Satz des Pythagoras)

In einem rechtwinklingen Dreieck mit den Katheten a, b und derHypotenuse c gilt

a2 + b2 = c2

oderc =√a2 + b2

Der Satz des Pythagoras ist ein klassischer Bestandteil derGeometrie, vielleicht sogar der prominenteste.

Eine bekannte Anwendung ist die Abstandsmessung zweier Punktein der euklidischen Ebene:

P = (x, y)Q = (u, v)

∣PQ∣ =√(u − x)2 + (v − y)2

Satz des Pythagoras III

e =√(u − x)2 + (v − y)2

Satz des Pythagoras - Exkurs I

Die Formel verallgemeinert sich auf Abstande in hoherenDimensionen:

Fur einen Quader mit den Kantenlangen a, b, c gilt fur die Lange dder Raumdiagonalen:

d2 = a2 + b2 + c2

oderd =√a2 + b2 + c2

Vgl. externen Link “Quader”.

Satz des Pythagoras - Exkurs II

Eine klassische Frage ist nach rechtwinkligen Dreiecken mitganzzahligen Seitenlangen a, b, c.

Dies ist ein rein algebraisches Problem. Gesucht sind naturlicheZahlen a, b, c mit

a2 + b2 = c2

Ein solches Tripel (a, b, c) heißt pythagoreisches Tripel.

Beispiele:

32 + 42 = 52 9 + 16 = 2552 + 122 = 132 25 + 144 = 169

Satz des Pythagoras - Exkurs IIa

Eine allgemeine Formel zur Erzeugung pythagoreischer Tripel ist

a = u2 − v2b = 2uvc = u2 + v2

Tatsachlich gilt

(u2 − v2)2 + (2uv)2 = (u4 − 2u2v2 + v4) + (4u2v2)= u4 + 2u2v2 + v4= (u2 + v2)2

Satz des Pythagoras IV

Es gibt sehr viele Beweise des Satzes des Pythagoras. Im externenLink findet man z.B. den “Beweis durch Erganzung” (meinFavorit) und auch einen Beweis mit Scherungen.

Den folgenden Beweis habe ich dem Buch [Coxeter, Introductionto geometry] entnommen.

Er beruht darauf, daß die Hohe im rechtwinkligen Dreieck dreiahnliche Dreiecke erzeugt.

(Im rechtwinkligen Dreieck sind die Katheten auch Hohen, gemeintist naturlich immer die dritte Hohe auf die Hypotenuse.)

Satz des Pythagoras V

Die Dreiecke ABC, CBF , ACF haben alle die Winkel α,β und90○ = α + β, sind also ahnlich.

Fur die Flachen gilt: ∣ABC ∣ = ∣CBF ∣ + ∣ACF ∣

Satz des Pythagoras VI

Die Flachensumme ∣ABC ∣ = ∣CBF ∣+ ∣ACF ∣ ist schon der Satz desPythagoras, wenn es richtig liest. Man benuzt hier:

“Flachen gehen mit dem Quadrat der Langen.”

Lemma

Sind zwei Dreiecke ABC, A′B′C ′ ahnlich, mit gleichen Winkelnjeweils in A, A′, in B, B′ und in C, C ′, so gilt fur das Verhaltnisder Flachen ∣ABC ∣, ∣A′B′C ′∣:

∣ABC ∣∣A′B′C ′∣ =

∣AB∣2∣A′B′∣2 =

∣BC ∣2∣B′C ′∣2 =

∣CA∣2∣C ′A′∣2

oder, in anderer Notation,

F (ABC)F (A′B′C ′) =

c2

c′2= a

2

a′2= b

2

b′2

Satz des Pythagoras VII

Beweis mit 2. Strahlensatz: a ∶ a′ = ha ∶ ha′

Satz des Pythagoras VIII

Nach dem 2. Strahlensatz (vgl. Skizze) gilt

haha′= aa′

Fur die Flachen

F = aha2, F ′ = a

′ha′

2

folgtF

F ′= ahaa′ha′

= aa′⋅ haha′= aa′⋅ aa′= a

2

a′2

Q.E.D.

Satz des Pythagoras IX

Beweis des Satzes des Pythagoras: Nach dem Lemma gilt fur dieFlachenverhaltnisse der kleinen Dreiecke zum großen Dreieck:

∣CBF ∣∣ABC ∣ =

∣CB∣2∣AB∣2 =

a2

c2

∣ACF ∣∣ABC ∣ =

∣AC ∣2∣AB∣2 =

b2

c2

Nun folgt der Satz des Pythagoras aus der Flachensumme

∣ABC ∣ = ∣CBF ∣ + ∣ACF ∣so:

1 = ∣ABC ∣∣ABC ∣ =∣CBF ∣ + ∣ACF ∣∣ABC ∣

= ∣CBF ∣∣ABC ∣ +∣ACF ∣∣ABC ∣ =

a2

c2+ b

2

c2= a

2 + b2c2

Pause I

Kurze (gedankliche) Pause. . .

Gleich werden wir alle Seitenverhaltnisse in den drei Dreieckenbetrachten.

Satz des Pythagoras X

Ankathete ∶ Hypotenuse ∶ Gegenkathete (in den drei Dreiecken)

b ∶ c ∶ a = q ∶ b ∶ h = h ∶ a ∶ p

p + q = c

Satz des Pythagoras XI

Die Verhaltnisse entsprechender Seiten in den drei kongruentenDreiecken sind

b ∶ c ∶ a = q ∶ b ∶ h = h ∶ a ∶ p (1)

Satz (Hohensatz des Euklid)

Es gilth2 = p ⋅ q

Beweis: Spezialfalle der zweiten Gleichung in (1) sind

q

b= ha,

p

a= hb

Multiplikation der beiden Gleichungen und Kurzen von 1/ab ergibtdie Behauptung. Q.E.D.

Satz des Pythagoras XII

Satz (Kathetensatz des Euklid)

Es gelten

a2 = p ⋅ cb2 = q ⋅ c

Beweis: Dies sind c ∶ a = a ∶ p bzw. b ∶ c = q ∶ b von (1). Q.E.D.

Korollar (Satz des Pythagoras)

Es gilta2 + b2 = c2

Beweis:a2 + b2 = p ⋅ c + q ⋅ c = (p + q) ⋅ c = c ⋅ c = c2

Q.E.D.

Satz des Pythagoras XIII

Bemerkung:

Aus b ∶ c = h ∶ a oder aus c ∶ a = b ∶ h (1) ergibt sich noch die Formel

h = abc, oder hc = ab

Diese ist aber weniger uberraschend. Sie ergibt sich aus zweiMoglichkeiten, die Flache des Rechtecks mit den Seiten a, banzugeben.

Wenn man in der Formel fur die Flache

F = Grundseite ⋅Hohe

2

jeweils a, b bzw. c als Grundseite wahlt, so sind entsprechendenHohen sind b, a bzw. h. Es folgt

2 ⋅ F = a ⋅ b = b ⋅ a = c ⋅ h

Satz des Pythagoras XIV

Den Hohensatz des Euklid kann man auch in der Form

h =√pq

schreiben. Die Hohe h ist also das geometrische Mittel derAbschnitte p, q.

Nebenbemerkung: Das geometrische Mittel ist die multiplikativeVersion des arithmetischen Mittel (= Mittelwert):

arithmetisches Mittel = a1 + a2 + . . . + ann

geometrisches Mittel = n√a1 ⋅ a2 ⋅ . . . ⋅ an

Sehnensatz - Erinnerung

Erinnerung - Sehnensatz:

∣AS∣ ⋅ ∣CS∣ = ∣BS∣ ⋅ ∣DS∣

Satz des Pythagoras XV

Der Hohensatz des Euklid ist ein Spezialfall des Sehnensatzes.

Wenn namlich beim Sehnensatz eine Sehne ein Durchmesser ist, soergibt sich gerade der Hohensatz.

In diesem Fall halbiert die Sehne den Kreis.

Der Kreis ist der Thaleskreis uber der Sehne.

Man erhalt zwei (spiegelbildliche) rechtwinklige Dreiecke (mit demKreis als Umkreis).

Satz des Pythagoras XVI

h ⋅ h = p ⋅ q

Quelle Graphik: Wikimedia