Elementare Geometrie Vorlesung 22

Markus Rost

1.7.20191

1[1.7.2019 16:20: Korrektur “kongruent” → “ahnlich”]

Strahlensatze A-I

Strahlensatze?

Betrachten wir zunachst eine Streckung um den Faktor r vomUrsprungspunkt Z = (0,0) aus gesehen.

Es handelt sich also um die Abbildung

f ∶E→ E

f(x, y) = (r ⋅ x, r ⋅ y)

Die Strahlensatze beruhen darauf, daß dabei alle Langen mit demFaktor r multipliziert werden.

∣f(A)f(B)∣ = r ⋅ ∣AB∣

Strahlensatze A-IIa

Multiplikation mit r = 2:

Strahlensatze A-IIb

Multiplikation mit r = 3/2 = 1,5:

Strahlensatze A-IIc

Strahlensatze A-III

Der Punkt Z bleibt fest. Alle anderen Punkte werden von Z ausgesehen mit dem Faktor r gestreckt.

Die roten Punkte A,B,C werden auf die grunen Punkte A′,B′,C ′

abgebildet:

A↦ A′

B ↦ B′

C ↦ C ′

Entsprechend fur die Strecken:

ZA↦ ZA′ AB ↦ A′B′

ZB ↦ ZB′ AC ↦ A′C ′

ZC ↦ ZC ′ CB ↦ C ′B′

Strahlensatze A-III

Dabei werden alle Langen werden mit dem Faktor r multipliziert.

∣ZA′∣ = r ⋅ ∣ZA∣ ∣A′B′∣ = r ⋅ ∣AB∣

∣ZB′∣ = r ⋅ ∣ZB∣ ∣A′C ′∣ = r ⋅ ∣AC ∣

∣ZC ′∣ = r ⋅ ∣ZC ∣ ∣C ′B′∣ = r ⋅ ∣CB∣

Durch Eliminieren von r bekommt man die Strahlensatze:

r =∣ZA′∣

∣ZA∣=∣ZB′∣

∣ZB∣=∣ZC′∣

∣ZC ∣=∣A′B′∣

∣AB∣=∣A′C ′∣

∣AC ∣=∣C ′B′∣

∣CB∣

Die Gleichungen links nennt man den 1. Strahlensatz, dieGleichungen rechts den 3. Strahlensatz. Auch der 2. Strahlensatzsteht hier:

∣ZA′∣

∣ZA∣=∣A′B′∣

∣AB∣

Strahlensatze A-IV

Bei den normalen Formulierungen der Strahlensatze spricht manallerdings gar nicht von einer Streckung (Multiplikation mit r).

Der Faktor r ist aber immer implizit da.

Strahlensatze B-I

Nochmal von vorne.

Bei dem 1. und 2. Strahlensatz geht man normalerweise aus voneinem Punkt Z (dem Scheitel oder das Zentrum), zwei Geradendurch Z und zwei paralellen Geraden.

Strahlensatze B-II

Hier beginne ich mit Z, den zwei Geraden durch Z und wahlezunachst nur einen Punkt A′ auf der Geraden ZA.

Damit ich habe schon mein Verhaltnis r = ∣ZA′∣ ∶ ∣ZA∣.

Strahlensatze B-III

Jetzt zeichne ich die Parallele zu AB durch A′:

Strahlensatze B-IV

Das ist schon das bekannte Bild zum 1. und 2. Strahlensatz.

Bei den ublichen Formulierungen der Strahlensatze beginnt manaber nicht mit den Punkten Z,A,B,A′, sondern mit

Zwei Geraden, die sich im Punkt Z schneiden.

Zwei weiteren parallelen Geraden.

Beim 3. Strahlensatz braucht man noch eine weitere Geradedurch Z.

Die beiden parallelen Geraden konnen auf verschiedenen Seitenvon Z liegen. (Der Faktor r ist dann negativ.)

Falls die beiden parallelen Geraden auf der gleichen Seite liegen,braucht man statt den Geraden durch Z nur die Strahlen.

Strahlensatze B-V

Strahlensatze B-Va

Strahlensatze B-Vx

Kleine Abschweifung:

Den Faktor r (mit Vorzeichen) bekommt man aus dem(vorzeichenbehafteten) Teilverhaltnis:

r =

ÐÐ→ZA′

Ð→ZA

= −T (A′AZ)

Im Folgenden kummern wir uns nicht weiter um das Vorzeichenvon r.

Strahlensatze B-VI

Satz (1. Strahlensatz)

Es verhalten sich je zwei Abschnitte auf einer Geraden durch Z sozueinander wie die ihnen entsprechenden Abschnitte auf eineranderen Geraden durch Z:

∣ZA′∣

∣ZA∣=∣ZB′∣

∣ZB∣=∣ZC′∣

∣ZC ∣(= r)

Durch Umstellen bekommt man

Korollar

∣ZB′∣

∣ZA′∣=∣ZB∣

∣ZA∣,

∣ZC ′∣

∣ZA′∣=∣ZC ∣

∣ZA∣,

∣ZC ′∣

∣ZB′∣=∣ZC ∣

∣ZB∣

Strahlensatze B-VII

Die letzten Beziehungen kann man auch so sehen:

Die Dreiecke B′ZA′ und BZA sind ahnlich. Denn sie haben dengleichen Winkel in Z, und auch sonst (Stufenwinkel an parallelenGeraden).

Also haben sie die gleichen Seitenverhaltnisse.

Genauso sind C ′ZA′ und CZA ahnlich, und auch C ′ZB′

und CZB.

Zur Formulierung des 1. und 2. Strahlensatzes braucht man dieGerade CC′ gar nicht. Aber weil sie nun schon da ist, habe icheinige Verhaltnisse dazu mitformuliert.

Strahlensatze B-VIII

Satz (2. Strahlensatz)

Es verhalten sich die Abschnitte auf den Parallelen so zueinanderwie die ihnen entsprechenden Abschnitte (von Z aus genommen)auf einer der Geraden durch Z:

∣A′B′∣

∣AB∣=∣ZA′∣

∣ZA∣=∣ZB′∣

∣ZB∣=∣ZC ′∣

∣ZC ∣(= r)

Man konnte auch hier umstellen. Dann bekommt man wieder diebekannten Verhaltnisrelationen in ahnlichen Dreiecken (nur jetztbei anderen Seitenpaaren), z. B.

∣A′B′∣ ∶ ∣ZA′∣ = ∣AB∣ ∶ ∣ZA∣

Strahlensatze B-IX

Satz (3. Strahlensatz)

Es verhalten sich die Abschnitte auf einer Parallelen so zueinanderwie die ihnen entsprechenden Abschnitte auf einer anderenParallelen:

∣A′C ′∣

∣C ′B′∣=∣AC ∣

∣CB∣

Umstellen liefert hier:

∣A′C ′∣

∣AC ∣=∣C ′B′∣

∣CB∣(= r)

Das bekommt auch aus dem 2. Strahlensatz.

Strahlensatze B-X

Umkehrung der Strahlensatze?

Satz (Umkehrung des Strahlensatzes)

Gegeben seien die Punkte Z,A,A′,B,B′. Dabei liegen Z,A,A′

und Z,B,B′ jeweils auf einer Gerade. Ferner liegt Z außerhalb vonAA′ und BB′ oder beidesmal innerhalb.

Gilt die Beziehung (1. Strahlensatz)

∣ZA′∣

∣ZA∣=∣ZB′∣

∣ZB∣

so sind die Geraden AB und A′B′ parallel:

A′B′ ∥ AB

Beweise: S∶W ∶S-Ahnlichkeitssatz. Oder Teilverhaltnis (mitVorzeichen).

Strahlensatze B-XI

Den 2. Strahlensatz kann man nicht umkehren:

Gegeben seien die Punkte Z,A,A′,B, Dabei liegen Z,A,A′ undZ,B jeweils auf einer Geraden. Fur einen Punkt B′ auf derGeraden ZB gelte der 2. Strahlensatz, also

∣A′B′∣ = ∣AB∣ ⋅∣ZA′∣

∣ZA∣

Der Kreis um A′ mit diesem Radius hat aber zwei Schnittpunktemit der Geraden ZB:

Einer ist B′ auf der Parallelen, aber es gibt noch einen zweitenSchnittpunkt B′′.

Strahlensatze B-XII

Strahlensatze — Zusammenfassung I

Strahlensatz I+II:

∣ZB∣ ∶ ∣ZB′∣ = ∣ZA∣ ∶ ∣ZA′∣, ∣AB∣ ∶ ∣A′B′∣ = ∣ZA∣ ∶ ∣ZA′∣

Strahlensatze — Zusammenfassung II

Strahlensatz III:

∣CA∣ ∶ ∣CB∣ = ∣C ′A′∣ ∶ ∣C ′B′∣

Strahlensatze — Zusammenfassung III

Oder eben (siehe Seite “Strahlensatze A-III” oben):

r =∣ZA′∣

∣ZA∣=∣ZB′∣

∣ZB∣=∣ZC′∣

∣ZC ∣=∣A′B′∣

∣AB∣=∣A′C ′∣

∣AC ∣=∣C ′B′∣

∣CB∣