Entdecken weiterer Ableitungsregeln I (Kettenregel) · Nun wird schrittweise beschrieben, wie man...
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Erarbeitung der Kettenregel Mathematik Q1 Arbeitsblatt Entdecken weiterer Ableitungsregeln I (Kettenregel) Bisher habt Ihr mit der Summen- oder der Produktregel viele Funktionen abgeleitet. Heute lernt Ihr eine weitere Ableitungsregel kennen è die „Kettenregel“. Natürlich kann auch Euer CAS helfen diese Ableitungen direkt zu berechnen. Aber zuerst sollt Ihr die Regel selbst entdecken. Gegeben sind die Funktionen 7 ) 2 1 ( ) ( : x x f f + = und 7 ) 3 1 ( ) ( : x x g g + = ; Â = = g f D D . a.) Überlegt Euch zu erst ohne Verwendung des CAS, wie die jeweilige Ableitungsfunktion lautet, überprüft anschließend Eure Vermutung mit dem CAS. Worin unterscheidet sich Eure Vermutung von der Lösung? Beschreibt diese Unterschiede! Nun wird schrittweise beschrieben, wie man eine Funktion mit Hilfe der Ketteregel ableitet. b.) Die Funktion f lässt sich als „Verkettung“ von zwei Funktionen schreiben: einer inneren linearen Funktion x x v 2 1 ) ( + = und einer äußeren Potenzfunktion 7 ) ( x x u = Mathematisch geschrieben heißt dies: 7 ) 2 1 ( ) 2 1 ( )) ( ( ) ( x x u x v u x f + = + = = Ergänzt bitte folgende Tabelle. Äußere Funktion Innere Funktion Verkettete Funktion 6 ) ( x x u = x x v - = 1 ) ( 6 ) 1 ( ) 1 ( )) ( ( ) ( x x u x v u x f - = - = = 3 ) ( x x u = 1 ) ( 2 + = x x v 3 2 2 ) 1 ( ) 1 ( )) ( ( ) ( + = + = = x x u x v u x f 1 ) ( 2 + = x x u 3 ) ( x x v = 1 ) ( ) ( 5 2 + + = x x x f 4 1 ) ( x x f + = x x v cos ) ( = x x f cos 1 ) ( = ) 5 5 sin( ) ( + = x x f
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Erarbeitung der Kettenregel Mathematik Q1
Arbeitsblatt Entdecken weiterer Ableitungsregeln I (Kettenregel) Bisher habt Ihr mit der Summen- oder der Produktregel viele Funktionen abgeleitet. Heute lernt Ihr eine weitere Ableitungsregel kennen è die „Kettenregel“. Natürlich kann auch Euer CAS helfen diese Ableitungen direkt zu berechnen. Aber zuerst sollt Ihr die Regel selbst entdecken. Gegeben sind die Funktionen 7)21()(: xxff += und 7)31()(: xxgg += ; Â== gf DD .
a.) Überlegt Euch zu erst ohne Verwendung des CAS, wie die jeweilige Ableitungsfunktion lautet, überprüft anschließend Eure Vermutung mit dem CAS. Worin unterscheidet sich Eure Vermutung von der Lösung? Beschreibt diese Unterschiede!
Nun wird schrittweise beschrieben, wie man eine Funktion mit Hilfe der Ketteregel ableitet.
b.) Die Funktion f lässt sich als „Verkettung“ von zwei Funktionen schreiben: einer inneren linearen Funktion xxv 21)( += und einer äußeren Potenzfunktion 7)( xxu = Mathematisch geschrieben heißt dies: 7)21()21())(()( xxuxvuxf +=+==
Ergänzt bitte folgende Tabelle.
Äußere Funktion Innere Funktion Verkettete Funktion 6)( xxu = xxv -= 1)( 6)1()1())(()( xxuxvuxf -=-== 3)( xxu = 1)( 2 += xxv 322 )1()1())(()( +=+== xxuxvuxf 1)( 2 += xxu 3)( xxv =
1)()( 52 ++= xxxf 41)( xxf += xxv cos)( =
xxf
cos1)( =
)55sin()( += xxf
Erarbeitung der Kettenregel Mathematik Q1
Arbeitsblatt Ergänzt die folgende Tabelle und leitet daraus eine mögliche Regel für das Ableiten verketteter Funktionen ab. Notiert diese in Eurem Heft.
Äußere Funktion u
Innere Funktion v
Verkettung ))(()( xvuxf =
Ableitungsfunktion u`
Verkettung u`(v(x))
Ableitungs- funktion v`
Ableitungsfkt. f´(x) [mittels CAS]
7)( xxu = xxv 21)( +=
7)21()( xxf +=
2*)21(*7)`(
6xxf+
=
8)( xxu = xxv 31)( +=
23)( xxu -= xxv -= 1)( 2³13)( xxxu -=
xxv -= 1)(
Aufgabe 1 Verkettung
Gegeben sind die Funktionen 2)(: 2 -= xxuu und x
xvv 15)(: -= .
a.) Bestimme ))3((vu und ))3((uv . b.) Bestimme nun die Werte von x, für die ))(( xvu = ))(( xuv gilt. c.) Bestimme die Werte von x, für die die Verkettung ))(( xvu nicht definiert ist.
Aufgabe 2 Ist die Verkettung kommutativ? a.) Zeige, dass die Verkettung zweier Funktionen im Allgemeinen nicht kommutativ ist, d.h.
))(( xvu ¹ ))(( xuv . b.) Gebe nun mehrere Beispiele von Funktionen u und v an, deren Verkettung kommutativ ist.
Merksatz:
