PotenzfunktionenNullstellenberechnungen

Lineare Funktion

Was ist eine lineare Funktion?

Eine lineare Funktion ist eine

Gerade

Sie kann fallend, steigend oder parallel zur y-/

oder x-Achse sein

Was ist eine Nullstelle?

Die Nullstelle ist ein Schnittpunkt der Funktionmit der x-Achse, das heißt der y-Wert ist 0.

Es gibt keine Nullstelle, wenn die Geradeoberhalb oder unterhalb der x-Achse ist, dasheißt, die Gerade verläuft parallel zur x-Achse.

f(x)=k*x + d

k=Steigung pro Einheit x=Variable

d=Abstand vom Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse

bis zu (0/0) = Ordinatenabstand

Allgemeine Formel

f(x)= Funktionswert

fallend, steigend oder parallel?Ist k > 0 spricht man von einer steigenden Geraden

Ist k = 0 spricht man von einer zur x- Achse parallelen Geraden

Ist k < 0 spricht man von einer fallenden Geraden

Beispiel: Lineare Funktion

Zeichne: f(x)=7*x+8

Schritt 1 - Wertetabelle in Excel anlegen

X f(x)-2 -6-1 10 81 152 22

Schritt 2 - zeichnen

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-10

-5

0

5

10

15

20

25

f(x)=7*x+8

x-Achse

y-Ac

hse

N(-1,14/0)

händische Berechnung der Nullstelle

berechne: f(x)=7*x+8

0=7*x+8 /-8-8=7*x /:7-1,142.. = x

N(-1,14/0)

Funktion 2ten Grades

Und was ist eine Funktion 2ten Grades?

Eine Funktion 2ten Grades ist

keine lineare Funktion!!

Man nennt sie quadratische Funktion oder

Parabel.

f(x)=ax²+bx+c

Allgemeine Formel

Beispiel: Funktion 2ten Grades

zeichne: f(x)=x²-5x+1

1. Schritt – Wertetabelle in Excel anlegen

x f(x)-2 15-1 70 11 -32 -53 -54 -35 16 77 15

2. Schritt - Zeichnen

N(0,21/0) N(4,79/0)

-4 -2 0 2 4 6 8

-10

-5

0

5

10

15

20

f(x)=x²-5x+1

x-Achse

y-Ac

hse

händische Berechnung der Nullstelle

berechne: f(x)=x²-5x+1

Nullstelle: 0= 1 x² - 5 x + 10= a x² + b x + c

a=1 b= -5 c=1

Schritt 1

Schritt 2- Einfügen der Variablen in die Formel

Allgemeine Formel zur Nullstellenberechnung:

1x2 =(-b±√b^2-4ac)/2a

Füge die Variablen in die Formel ein:

1x2=(+5 ± √5^2-4*1*1)/2*1

Schritt 3- Ausrechnen

1x2=(+5 ± √5^2-4*1*1)/2*1

x1=(5 +4,58)/2= 4,79

x2=(5 -4,58)/2=0,21

ErgebnisN1(4,79/0)N2(0,21/0)

Nicht vergessen 1. Klammer ausrechnen

Funktion 3ten Grades

Und was ist eine Funktion 3ten Grades?

Diese nennt man kubische Funktion.

Sie haben mindestens 1

und höchstens 3 Nullstellen.

f(x)= ax³ + bx² +cx + d

Allgemeine Formel

Beispiel: Funktion 3ten Grades

zeichne: f(x)=-2x³+5x²-3x

Schritt 1 – Wertetabelle in Excel anlegen

y f(x)-3 108-2 42-1 100 01 02 -23 -184 -60

Schritt 2 - Zeichne

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

f(x)=-2x³+5x²-3x

x-Achse

y-Ac

hse

händische Berechnung der Nullstelle

berechne: f(x)=-2x³+5x²-3x

Nullstelle: 0=-2x³+5x²-3xHerausheben: 0= x . (-2x²+5x-3)

-2x²+5x-3=0

Schritt 1

x1=0

Nullstelle: 0= -2 x² + 5 x² - 3 x0= a x² + b x + c x

a=-2 b= +5 c=-3

Schritt 2

Schritt 3

Allgemeine Formel zur Nullstellenberechnung:

1x2 =(-b±√b^2-4ac)/2a

Füge die Variablen in die Formel ein:

1x2=(-5 ± √5^2-4*(-2)*(-3))/(2*(-2))

1x2=(-5 ± √5^2-4*(-2)*(-3))/(2*(-2))

x2=(-5 +1)/(-4)= 1

x3=(-5 -1)/(-4)=1,5

ErgebnisN1(0/0)N2(1/0)N3(1,5/0)

Nicht vergessen 1. Klammer ausrechnen

Beispiel: Funktion 3ten Grades

zeichne: f(x)=-2x³+5x²-3x+4

Schritt 1 – Wertetabelle in Excel anlegen

y f(x)-3 122-2 46-1 140 41 42 23 -144 -56

Schritt 2 - Zeichnen

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-100

-50

0

50

100

150

f(x)=-2x³+5x²-3x+4

x-Achse

y-Ac

hse

händische Berechnung der Nullstelle

berechne: f(x)=-2x³+5x²-3x+4

Schritt 1

0=-2x³+5x²-3x+4

Man kann nicht herausheben. Es gibt keineFormel für eine Gleichung 3ten Grades, daherkann die obige Gleichung nur mit Hilfe einesNäherungsverfahrens (Newton) oder mit Hilfe des Solver in Excel gelöst werden.

Alles klar !!