La fama che Peano si è acquistato come ‘maestro del controesempio’ si

consolida con la pubblicazione dei testi di lezioni universitarie e per

l’Accademia militare, dove è docente di Analisi dal 1886 al 1901. Nella

prestigiosa Enzyklopädie der Mathematischen Wissenschaften sono registrati

fra i più autorevoli trattati di calcolo infinitesimale sia il Genocchi-Peano, che

a cavallo del secolo è tradotto in tedesco e in russo, sia le Applicazioni

geometriche del calcolo infinitesimale, sia infine le Lezioni di analisi infinitesimale

per l’Accademia militare, stampate nel 1893.

Caratterizzate dall’estrema attenzione per i temi fondazionali le Applicazioni

geometriche si distinguono per l’approccio sintetico e per l’uso del calcolo

sui segmenti. Sotto l’influsso di G. Cantor e A. Harnack Peano introduce i

concetti di campo di punti, di misura esterna, misura interna e di insieme

misurabile. Apprezzato da G. Vivanti e G. Ascoli e criticato da altri per il

ricorso al linguaggio sintetico, il trattato riscuote in Francia i lusinghieri giudizi

di J. Tannery, C. Jordan e H. Lebesgue, che forniscono estensioni e

generalizzazioni di metodi e teoremi. Jordan, ad esempio, riprende nel

1892 le definizioni di lunghezza, di area e di volume di un campo,

elaborando la teoria della misura, oggi detta di ‘Peano-Jordan’. I contributi

sulle funzioni distributive, qui introdotti da Peano e più volte ripresi fino al

1915, sono apprezzati da S. Pincherle e costituiscono un’anticipazione dei

risultati di H. Lebesgue.

Nuovi paragrafi dedicati al calcolo delle variazioni, a temi di analisi numerica

come le formule di quadratura e i relativi resti, e all’analisi reale in Rn

arricchiscono invece le Lezioni del 1893, dove si sfrutta per la prima volta

in modo sistematico il simbolismo logico.

A conferire a Peano una posizione di prestigio nella comunità internazionale

e a fargli raggiungere il culmine della carriera, con la vincita nel 1890 del

concorso a cattedra di Calcolo infinitesimale, e la conferma a professore

ordinario nel 1895, sono alcuni fondamentali risultati, apparsi fra il 1885 e

il 1897 all’Accademia delle Scienze di Torino e sulla rivista tedesca

Mathematische Annalen, cui Peano ha accesso per l’esplicito invito di Felix

Klein. Si tratta del gruppo di note sulle equazioni differenziali ordinarie, i

cui risultati e metodi saranno ritrovati in modo indipendente da E. Picard,

C. Arzelà, O. Nicoletti e O. Perron.

Fra i contributi di maggior rilievo spiccano la dimostrazione del cosiddetto

‘teorema di Cauchy-Peano’ sull’esistenza delle soluzioni di una data

equazione differenziale ordinaria, la ricerca delle risolventi dei sistemi di

equazioni differenziali ordinarie con il metodo delle approssimazioni o

integrazioni successive e gli studi di analisi funzionale con la teoria dei

complessi a n unità.

Riprendendo alcuni spunti di ricerca dal Genocchi-Peano, sono editi nel

1889 e 1890 articoli sui determinanti funzionali Jacobiani e Wronskiani, una

nota sulla formula di Taylor, con l’espressione del resto, oggi noto come il

‘resto di Peano’ e la dimostrazione di un teorema sulle derivate parziali di

una funzione di due variabili.

Peano si va in questo periodo convincendo dell’importanza della logica

matematica, che occuperà gran parte dei suoi interessi, ed egli coglie ogni

occasione per ribadirne il valore e l’utilità anche nello studio delle questioni

delicate e difficili dell’analisi. Il fatto però di essersi servito del suo simbolismo

farà ritardare l’apprezzamento della sua celebre nota Démonstration de

l’intégrabilité des équations différentielles ordinaires che, solo in seguito alla

sua riesposizione da parte di G. Mie nel 1893, con linguaggio e simboli

comuni, sarà accolta con favore e estesa da W. F. Osgood, C. de la Vallée-

Poussin e C. Arzelà.

Peano’s fame as the ‘master of the counterexample’ was consolidated with the publication of the texts of the

lectures for the University and for the Military Academy, where he taught from 1886 to 1901. The Enzyklopädie

der Mathematischen Wissenschaften reported among the most authoritative books of analysis his Genocchi-

Peano, his 1887 Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale, and his 1893 two-volume Lezioni di analisi

infinitesimale for the Military Academy. With extreme attention given to fundamental themes, the Applicazioni

geometriche is distinguished by its synthetic approach and its use of calculus on segments. Under the influence

of G. Cantor and A. Harnack, Peano introduces the concepts of a point field, external measure, internal measure

and measurable sets. Welcomed by G. Vivanti and G. Ascoli but criticised by others for its use of synthetic

language, in France the treatise earned the praise of J. Tannery, C. Jordan and H. Lebesgue, who provided

extensions and generalisations of the methods and theorems. For example, in 1892 Jordan took up the

definitions of the length, area and volume of a field, working out a theory of measure, today known as the

‘Peano-Jordan theory’. The contributions on distributive functions, introduced here by Peano and re-examined

several times up to 1915, were admired by Pincherle and anticipate the results of Lebesgue. The 1893 Lezioni,

where for the first time the logical symbolism is used systematically, were enriched by new sections devoted

to the calculus of variations, topics in mathematical analysis such as formulas for quadrature and their

remainders, and the real analysis in Rn.

Conferring on Peano a prestigious position in the international community and allowing him to reach the

peak of his career, winning in 1890 the competition for a chair in infinitesimal calculus and attaining full

professorship in 1895, are some fundamental results that appeared between 1895 and 1897 in the Academy

of Sciences of Torino and in the German journal Mathematische Annalen, in which Peano published at the

express invitation of Klein. This is a group of notes on ordinary differential equations, whose results and methods

were discovered independently years later by É. Picard, C. Arzelà, O. Nicoletti and O. Perron. Among the

most outstanding are the proof of the ‘Cauchy-Peano theorem’ of the existence of the solutions of a given

ordinary differential equation; the studies of differential systems with the method of ‘successive approximations’

or ‘successive integrations’; and the research on functional analysis, using the theory of complex numbers.

Taking Genocchi-Peano as a point of departure for new research, in 1889 and 1890 Peano published articles

on the Jacobian and Wronskian determinants, a note on the the expression of the remainder in Taylor’s formula,

today universally known as ‘Peano’s remainder’, and the proof of a theorem on partial derivatives of a

function with two variables.

In these years Peano became increasingly convinced of the importance of mathematical logic, which would

end up occupying a great part of his future attention, and he never missed an occasion to reaffirm its value

and utility in subtle and difficult questions of analysis. However, the fact he used his symbolism and logical

ideography in his paper Démonstration de l’intégrabilité des équations différentielles ordinaires delayed the

appreciation of the work by the international community. Only later, after the re-exposition by G. Mie in 1893,

with the common language and symbols, would the results be favourable received and extended by W. F.

Osgood, C. J. de la Vallée-Poussin and C. Arzelà.

Accademia militare, Torino

Torino 1890, via PoTorino 1880, piazza Carlo Alberto

I trattati e i successi di Analisi

Paul Tannery, 1843-1904Axel Harnack, 1851-1888

Georg Cantor, 1845-1918Felix Klein, 1849-1925Giuseppe Peano, 1890

S. Pincherle, 1853-1936