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Kontaktmechanik
D. Anders
Inhaltsbersicht
Einleitung
2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktfrmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lsung)
Krmmungsverhltnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKrper
Analytische Lsung vs.
FEM
1
Lehrstuhl frFestkrper-mechanik
Universitt Siegen
Exkurs in die Grundlagen der
Kontaktmechanik
Dr.-Ing. Denis AndersSMS Siemag
Strukturanalysen und numerische Berechnungen
Lehrauftrag im Kurs Festigkeitslehre,18./21.01.2013

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Einleitung
2D Kontakt
3D Kontakt
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
FEM
2
Universitt Siegen
Inhaltsbersicht
Einleitung Annahmen und Voraussetzungen
Hertzscher Kontakt fr ebene Probleme Punktfrmige Belastung einer elastischen
Halbebene (Flamant-Lsung) Elastische Halbebene unter beliebigen Zug- bzw.
Drucklasten Verformungszustand der Halbebene Hertzscher Kontakt zweier Scheiben
Hertzscher Kontakt fr dreidimensionale Probleme Punktfrmige Belastung des elastischen
Halbraumes (Boussinesq-Lsung) Krmmungsverhltnisse in der Kontaktzone Hertzscher Kontakt rotationssymmetrischer Krper Analytische Lsung vs. FEM

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Einleitung
2D Kontakt
3D Kontakt
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
FEM
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Universitt Siegen
Einleitung
Annahmen und Voraussetzungen (Hertzscher Kontakt)
Werden zwei elastische Krper mit gewlbter Oberflche inRichtung ihrer Berhrungsnormalen gegeneinander gedrckt,so verformen sich vorwiegend die Berhrstellen der beidenKrper.Voraussetzungen fr den Hertzschen Kontakt:
linear-elastische, homogene und isotrope Werkstoffe Reibungsfreiheit, keine Schubspannungen in der
Kontaktflche
kontinuierliche Berhrflchen ohne Oberflchenfehler Kontaktflche eben und klein gegenber den
Abmessungen der Krper

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Einleitung
2D Kontakt
3D Kontakt
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
FEM
3
Universitt Siegen
Einleitung
Kontaktbereich
= berfhrung des Kontaktproblems in denBelastungs-/Verformungszustand einer elastischenHalbebene (fr ebene Probleme) bzw. des elastischenHalbraumes (fr dreidimensionale Probleme)

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2D Kontakt
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der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
FEM
4
Universitt Siegen
Halbebene unter einer Punktlast
Die keilfrmige Scheibe unter Last
Die untersuchte keilfrmige Scheibe wird durch dieNormalkraft FL0, die Querkraft FQ0 sowie das Moment M0belastet.
x
y
M0
FQ0
FL0
r

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Universitt Siegen
Ansatz fr die Airysche Spannungsfunktion :
= C1r sin+ C2r cos+ C3+ C4 sin 2 (1)
Mit Hilfe der nachfolgenden Beziehungen fr polareKoordinaten
r =1
r
r
+ 1r2
2
2=
2C1
rcos 2C2
rsin 4C4
r2sin 2 (2)
=2
r2=0 (3)
r= r(
1
r
)=
C3
r2+
2C4
r2cos 2 (4)
erhalten wir aus den Randbedingungen
(=)=0 (durch den bisherigen Ansatz bereits erfllt)
r(=)=0 C3r2
+2C4
r2cos 2=0 C3=2C4 cos 2. (5)

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Universitt Siegen
M0
FQ0
FL0
rr
r
Die Gleichgewichtsbedingungen an diesem freigeschnittenenSegment liefern
= 0 : FL0 + d
(r sin r cos) r d = 0
= 0 : FQ0 d
(r cos+ r sin) r d = 0
M = 0 : M0 + d
r r
2 d = 0

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Universitt Siegen
Mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen folgt:
C1 =FL0
d (sin 2+ 2)
C2 =FQ0
d (sin 2 2)
C4 =M0
d (4 cos 2 2 sin 2)
C3 = 2C4 cos 2 =M0 cos 2
d (2 cos 2 sin 2)

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Der bergang zur Halbebene als ein Sonderfall derkeilfrmigen Scheibe wird durch = 2 realisiert:
y
x
M0
FQ0
FL0
= 2
= 2
r

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Fr die Halbebene lauten die Integrationskonstanten:
C1 =FL0
d, C2 =
FQ0
d, C3 =
M0
d, C4 =
M0
2d.
Ist die Halbebene nur durch eine senkrechte Punktlast FL0belastet, so erhalten wir fr die Airysche Spannungsfunktion
=FL0
dr sin
und die zugehrigen Spannungskomponenten
r =2FL0 cos
rd, = 0, r = 0.
Fr eine auf die Halbebene wirkende Druckkraft erhlt mananalog
= FL0d
r sin r = 2FL0 cos
rd, = 0, r = 0.

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