Exponentialfunktionen

Zunahme & Zerfall

Referat vonSara Fuchs und Pamina Ernst

Definition

Von Exponentiellem Wachstum bzw. Zerfall sprechen wir, wenn sich eine Menge während einer bestimmten Zeiteinheit immer um den gleichen Faktor vergrößert bzw. verkleinert. Dieses Verhalten kann mit der folgenden Funktion

beschrieben werden: f (t) = c x a ^ t ^ t - c Startmenge (zur Zeit 0) - f (t) Menge zur Zeit t - t Zeit - a Wachstumsfaktor für eine Zeiteinheit t (a > 1 bedeutet Wachstum, a < 1 bedeutet Zerfall)

Potenzgesetze

Beispiel für exponentielles Wachstum Bakterien vermehren sich mit Bakterien vermehren sich mit

dem Faktor 2 pro Stunde.dem Faktor 2 pro Stunde.Zu Beginn um 0 Uhr sind es 1000.Zu Beginn um 0 Uhr sind es 1000.Wie viel ist es um 1 Uhr, um 5 Wie viel ist es um 1 Uhr, um 5 Uhr, um 0.30 Uhr?Uhr, um 0.30 Uhr?

2 bekannte Werte einsetzen Ansatz f(t)= c x a ^ t Also:

Zu Beginn ist:

1000 = f(0) = c x a ^ t

Also folgt c=1000. Nach 1 Stunde:

2000 = f(1) = 1000 x a ^ t

Das ergibt a = 2. Also lautet unsere Exponentialgleichung:f(t)= 1000 x 2 ^ t

Beispiel für exponentielles Wachstum Wie viel ist es um 0.30h?Wie viel ist es um 0.30h? f(1/2)= 1000 x 2 ^ ½ = 1414, 21 = 1414 A.: Um 0.30 sind es ungefähr 1414

Bakterien. f(5) = 1000 x 2 ^ 5 = 32000 A.: Um 5 Uhr sind es 32000 Bakterien. Der Wachstumsfaktor a ist = 2, die

Zeitvariable ist t.

Zerfallsfunktion Arbeitslosenzahl zu Beginn :

4,8Mio. Soll innerhalb von 5 Jahren halbiert

werden: f(0)=4,8 ; f(5)=4,8xa^5

a^5=0,5 a

=0,5^1/5 a

=0.8706

f(x)=4,8x0,8706^t

Weiteres Beispiel: Wachstum S.182 A1) Funktion: f(x) = a^ t f(t) = 2 ^ t f(1)= 2 ^ 1 = 2 f(2)= 2 ^ 2 = 4 f(3)= 2^ 3 = 8 f(4) =2 ^ 4= 16 A.: Nach 4 Tagen kennen 16 Personen das

Gerücht.

Beispiel für Zerfall Die Halbwertszeit von radioaktivem Jod

beträgt 8 Tage. Gib die Zerfallsfunktion an! N0/2 = N0·q8q = 8√(1/2) = 0,917N(t) = N0·0,917 t

Wie viel Prozent der vorhandenen Menge zerfallen pro Tag?

q = 0,917 = 91,7% die Abnahme beträgt 8,3%.Wann ist nur mehr 1% der ursprünglichen Menge vorhanden?