Боднарчук Ю.В., Олiйник Б.В.bogd/Lin_Algebra/PosibnykAlg.pdf ·...
150
НАЦIОНАЛЬНИЙ УНIВЕРСИТЕТ “КИЄВО–МОГИЛЯНСЬКА АКАДЕМIЯ” Боднарчук Ю.В., Олiйник Б.В. ЛIНIЙНА АЛГЕБРА ТА АНАЛIТИЧНА ГЕОМЕТРIЯ (для студентiв-iнформатикiв) Київ — 2009
Transcript of Боднарчук Ю.В., Олiйник Б.В.bogd/Lin_Algebra/PosibnykAlg.pdf ·...
НАЦIОНАЛЬНИЙ УНIВЕРСИТЕТ“КИЄВО–МОГИЛЯНСЬКА АКАДЕМIЯ”
Боднарчук Ю.В., Олiйник Б.В.
ЛIНIЙНА АЛГЕБРА ТА АНАЛIТИЧНА ГЕОМЕТРIЯ
(для студентiв-iнформатикiв)
Київ — 2009
Змiст
Передмова 4
Вступ 6
1 Основнi алгебраїчнi структури. 9
1.1 Множини з двома бiнарними операцiями . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Задачi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Афiннi многовиди 18
2.1 Геометричнi властивостi кривих другого порядку . . . . . . . . . 21
2.2 Поверхнi другого порядку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Параметризацiя афiнних многовидiв. . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Параметризацiя лiнiйних афiнних многовидiв . . . . . . . . . . . . 34
2.5 Задачi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Алгебра матриць 48
3.1 Оборотнi матрицi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2 Системи лiнiйних рiвнянь у матричнiй формi . . . . . . . . . . . . 55
3.3 Задачi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4 Векторний простiр над полем 58
4.1 Лiнiйна залежнiсть векторiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2 Координати вектора в базисi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3 Застосування до долiджень лiнiйних многовидiв . . . . . . . . . . 72
4.4 Задачi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5 Визначники матриць. 83
5.1 Орiєнтовнi площi та об’єми. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2 Полiлiнiйнi кососиметричнi функцiонали. . . . . . . . . . . . . . . 88
2
5.3 Використання визначникiв для обертання матриць та знаходже-ння розв’язкiв систем лiнiйних рiвнянь. . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.4 Задачi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6 Бiлiнiйнi симетричнi та квадратичнi форми 97
6.1 Матрицi бiлiнiйних форм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2 Зведення бiлiнiйних симетричних форм до дiагонального вигляду 99
6.3 Закон iнерцiї квадратичних форм . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.4 Задачi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7 Евклiдовi та унiтарнi векторнi простори 103
7.1 Нерiвнiсть Кошi-Буняковського . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2 Ортогональнi системи векторiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.3 Задачi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8 Лiнiйнi вiдображення та оператори 113
8.1 Операцiї над лiнiйними вiдображеннями. . . . . . . . . . . . . . . 115
8.2 Iнварiантнi пiдпростори лiнiйних операторiв. . . . . . . . . . . . . 116
8.3 Матрицi лiнiйних вiдображень. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.4 Жорданова нормальна форма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.5 Лiнiйнi оператори в унiтарних та евклiдових просторах. . . . . . 135
8.6 Зведення квадратичної форми до головних осей . . . . . . . . . . 141
8.7 Зведення квадрик до канонiчного вигляду. . . . . . . . . . . . . . 143
8.8 Задачi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Рекомендована лiтература 150
3
Передмова
Лiнiйна алгебра та аналiтична геометрiя вiдiграють фундаментальну роль в ма-тематичнiй освiтi. Адже поняття абстрактного векторного простору, вектора, якйого елемента, базису та координат вектора в базисi, лiнiйних та полiлiнiйнихвiдображень використовують всi галузi математики, та комп’ютерних наук. Ду-же важливо, на наш погляд, привчити студента до того, що важливiшими за су-тнiсть об’єктiв (направленi вiдрiзки, масиви, послiдовностi, функцiї, множини,оператори) є операцiї, заданi на об’єктах, i властивостi цих операцiй. Особливi-стю цього посiбника є те, що поняття лiнiйної алгебри зразу розглядаються наддовiльним полем, зокрема скiнченним, яке в певних ситуацiях можна замiнитикiльцем, наприклад кiльцем лишкiв. Такий пiдхiд дозволяє швидко переходитидо задач надлишкового кодування (лiнiйнi коди), а також криптографiї (афiннiшифри), якi базуються на лiнiйнiй алгебрi над скiнченними полями та кiльця-ми.
При викладеннi матерiалу широко використовуються поняття та факти дис-кретної математики, особливо вiдношення еквiвалентностi, та математичногоаналiзу, якi були прослуханi ранiше.
Всi теореми наведенi з повним доведенням, оскiльки саме вони i дають справ-жню глибину розумiння матерiалу. Пiдбiр задач, наведений пiсля кожного роз-дiлу, також має сприяти цьому розумiнню. Аналiтична геометрiя по сутi є впле-теною в лiнiйну алгебру, як пропедевтика iдей останньої в малих розмiрностях.
Пiсля курсу "Лiнiйна алгебра та аналiтична геометрiя"студент має прослуха-ти наступнi математичнi курси — алгебра i теорiя чисел, математичний аналiз,аналiз функцiй багатьох змiнних, теорiя алгоритмiв та математична логiка, те-орiя ймовiрностей та математична статистика, а також курси з iнформатики —основи комп’ютерних алгоритмiв, принципи роботи комп’ютерних систем, осно-ви програмування та алгоритмiчнi мови, органiзацiя баз даних i знань, системикодування iнформацiї, символьнi обчислення та комп’ютерна алгебра, функцiо-нальне програмування, логiчне програмування, якi весь час звертаються до по-нять та методiв лiнiйної алгебри.
Саме тому передбачається, що цей посiбник стане настiльним довiдникомстудента факультету iнформатики, як спецiальностi програмна iнженерiя такi прикладна математика, протягом усього його навчання i в бакалавратi, i в
4
магiстерiумi.
Частина задач, наведених у посiбнику, є авторськими, а частину взято ав-торами з рiзноманiтних джерел. Зокрема, багато задач запозичено з [5], [8], [6]тощо.
5
Вступ
Оскiльки лiнiйна алгебра будується над такими структурами як кiльця та поля,то перший роздiл посiбника i присвячений цим поняттям. Численнi приклади,як скiнченнi так i нескiнченнi, повиннi принести розумiння того, що операцiїдодавання та множення можна розумно здiйснювати не тiльки над звичайнимичислами, чому вчать в школi, але i над об’єктами значно бiльш складної приро-ди. Найбiльш важливими є кiльця лишкiв, полiномiв, а також поле комплекснихчисел та скiнченнi поля в їх полiномiальнiй реалiзацiї.
Другий роздiл оперує з поняттями алгебраїчної множини та афiнного мно-говиду, якi ще нещодавно були термiнами алгебраїчної геометрiї. Зауважимо,що алгебраїчна геометрiя над скiнченними полями знайшла широке застосува-ння в новiтнiй теорiї надлишкового кодування та криптографiї. В цьому роздiлiрозглядаються лише лiнiйнi та квадратичнi многовиди (квадрики), наводятьсяїх геометричнi властивостi. Важливою є задача параметризацiї многовидiв, осо-бливо для комп’ютерної графiки. Побудова загального розв’язку системи лiнiй-них рiвнянь методом Гауса, або однiєю з його модифiкацiй, є по сутi параме-тризацiєю лiнiйного афiнного многовиду.
Третiй роздiл присвячений алгебрi матриць, в якому центральне мiсце за-ймає питання їх оборотностi та зв’язок з елементарними перетвореннями надрядками матриць. Матричне зображення систем лiнiйних рiвнянь дає короткiдоведення теорем, наприклад, теореми про структуру розв’язку системи лiнiй-них рiвнянь.
Четвертий роздiл є центральним, оскiльки саме в ньому дається означен-ня абстрактного векторного простору над полем, а також поняття iзоморфiзмувекторних просторiв. При його вивченнi слiд зрозумiти, що координати у векто-ра не iснують самi по собi, а з’являються лише пiсля обрання певного базисупростору. Розгляд пiдпросторiв, породжених рядками та стовпчиками матри-цi, дозволяє сформулювати критерiй Кронекера-Капеллi сумiсностi системи лi-нiйних рiвнянь. Операцiї над пiдпросторами дають можливiсть будувати новiпростори, при цьому слiд розрiзняти внутрiшнi конструкцiї вiд зовнiшнiх.
Визначник матрицi вводяться спочатку геометрично, як функцiя, яка отри-мавши на вхiд набiр векторiв, повертає число, яке за модулем дорiвнює об’ємупаралелепiпеда, що побудований на цих векторах. При цьому властивостi по-
6
лiлiнiйностi та кососиметричностi виникають природним чином. Важливо, щоцi властивостi визначають вказану функцiю однозначно з точнiстю до сталогомножника. Такий пiдхiд дозволяє досить легко отримати теорему про те щовизначник добутку матриць дорiвнює добутку їх визначникiв. Завершуєтьсяроздiл виведенням явних формул для оберненої матрицi i розв’язку системилiнiйних рiвнянь (формули Крамера).
Бiлiнiйний функцiонал повнiстю визначається своїми значеннями на парахбазисних елементiв i при фiксованому базисi йому вiдповiдає бiлiнiйна фор-ма. Шостий роздiл посiбника присвячено бiлiнiйним симетричним формам таїх зв’язку з квадратичними формами. Розглянуто метод Лагранжа побудовибазису в якому бiлiнiйна симетрична форма та вiдповiдна квадратична фор-ма набувають дiагонального виду, а також метод Якобi, який дозволяє зразувизначити еквiвалентну дiагональну форму. Закон iнерцiї квадратичних формнад полем дiйсних чисел, який разом з методом Якобi дає критерiй додатноївизначеностi квадратичної форми, наведено з доведенням.
Метризацiї векторних просторiв присвячено наступний роздiл. Виникаютьпоняття вiдстаней та кутiв мiж афiнними многовидами. Поняття ортонормо-ваного базису та розкладу по ньому є центральним i має багато застосувань,зокрема ряди Фур’є виникають, як розклади функцiй по вiдповiдним системамортогональним системам полiномiв або тригонометричних функцiй.
Лiнiйним вiдображенням та операторам присвячено сьомий роздiл посiбни-ка. Питання про побудову базису в якому матриця оператора має найпростiшийвигляд вiдiграє особливо важливу роль як для операторiв в звичайному про-сторi так i в евклiдових та унiтарних просторах. В цьому контекстi вводитьсяЖорданова нормальна форма, як канонiчна форма матрицi лiнiйного операто-ра над полем комплексних чисел. Для операторiв над в евклiдових та унiтарнихпросторах важливим є поняття спряженого оператора. Самоспряженi та орто-гональнi (унiтарнi) оператори займають тут центральнi оператори. Доведено,що над полем комплексних чисел такi оператори завжди дiагоналiзуються при-чому в ортонормованому базисi. Це дає можливiсть дати класифiкацiю всiх ор-тогональних операторiв, що дiють на векторних просторах над полем дiйснихчисел.
В якостi застосування розглянуто зведення квадратичної форми до головнихосей. Це базується на тому, що якщо вiдповiдна бiлiнiйна симетрична форма ви-значають бiлiнiйний функцiонал в ортонормованому базисi, то при переходi доiншого ортонормованого базису матриця форми (яка є симетричною) буде змi-нюватися так само як i матриця самоспряженого оператора. Це дає можливiстьзвести квадратичну форму до дiагонального виду не просто в якому-небудьбазисi (як ми це робили в роздiлi 6), а зробити це в ортонормованому бази-сi. Елементи цього базису i називають головними вiсями. Для звичайного ве-
7
кторного простору (без евклiдової структури) це дає можливiсть сформулюватидостатню умову того, що пара бiлiнiйних симетричних форм дiагоналiзуєтьсяодночасно.
Важливим геометричним застосуванням викладеної теорiї є метод зведеннярiвнянь квадратичних многовидiв (квадрик) до канонiчного вигляду, а такожїх повна класифiкацiя в розмiрностях 2 та 3.
Останнiй розгляд посiбника присвячено бiлiнiйним та квадратичним фор-мам, та їх зведенню до канонiчного виду рiзними типами перетворень. Зокрема,зведення квадратичної форми до головних осей з додатковим перенесенням по-чатку координат дає повну класифiкацiю кривих та поверхонь другого порядку.
8
Роздiл 1
Основнi алгебраїчнi структури.
Означення 1.0.1. Бiнарною операцiєю визначеною на множинi D називає-
ться довiльна функцiя f = f(x, y) вiд двох змiнних, яка визначена на D iприймає значення в D, тобто
f : D × D → D.
Прикладами бiнарних операцiй є операцiї додавання або множення на мно-жинах N, Z, Q, R натуральних, цiлих, рацiональних, дiйсних чисел вiдповiдно,при цьому
f(x, y) = x + y, f(x, y) = x · y.
Маючи на увазi цi приклади, надалi, замiсть запису f(x, y) будемо вживатизапис
x ◦ y = f(x, y).
Множина з заданою бiнарною операцiєю буде зображуватися як пара (D, ◦).Означення 1.0.2. Множина з бiнарною операцiєю (D, ◦) називається напiв-групою, якщо операцiя ◦ є асоцiативною, тобто
∀x∀y∀z (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z). (1.0.1)
Означення 1.0.3. Напiвгрупа (D, ◦) називається моноїдом, якщо iснує ней-тральний елемент вiдносно операцiї ◦, тобто
∃e ∀x e ◦ x = x ◦ e = x. (1.0.2)
Означення 1.0.4. Напiвгрупа (D, ◦) називається комутативною, якщо
∀x∀y x ◦ y = y ◦ x. (1.0.3)
Означення 1.0.5. Моноїд (D, ◦) називається групою, якщо будь-який її еле-мент має обернений, тобто
∀x∃x∗ x ◦ x∗ = x∗ ◦ x = e. (1.0.4)
Комутативна група називається абелевою.9
Приклад 1.0.1. Множина натуральних чисел з операцiєю додавання (N, +)є комутативною напiвгрупою, але не є моноiдом, бо нейтральний елемент 0не належить цiй множинi; пiдмножини Mk = {n ∈ N|n ≥ k} є замкненими
вiдносно додавання i вони є прикладами напiвгруп, але не є моноiдами.
Приклад 1.0.2. Множини натуральних чисел з операцiєю множення (N, ·)та рацiональних чисел з операцiєю множення (Q, ·) є приклади комутативнихмоноiдiв, нейтральний елементом для множення є 1 ∈ N.
Приклад 1.0.3. Множина натуральних чисел з нулем N = N∪{0} операцiєюдодавання (N, +) є комутативним моноiдом, нейтральний елементом є 0.
Приклад 1.0.4. Для довiльної множини M розглянемо множину D = MM
— всiх функцiй з множини M в себе, тобто D = {f |f : M → M}. В якостi
бiнарної операцiї вiзьмемо композицiю функцiй:
∀x ∈ M (f ◦ g)(x) = f(g(x)).
Самостiйно перевiрте, що ця операцiя є асоцiативною, тобто має мiсце (1.0.1).Бiльш того,
(MM , ◦
)є моноїдом, адже функцiя Id : ∀x Id(x) = x є очевидно
нейтральним елементом вiдносно операцiї композицiї функцiй.
Звернемо уваги на те, що розглянутий вище моноiд, при |M | > 1, не є ко-мутатвним. Дiйсно, нехай M = {a, b} i розглянемо функцiї f, g, якi заданотаблицею
x a b
f(x) b a
g(x) a a
Складiть таблицi для функцiй f ◦ g та g ◦ f i переконайтесь, що вони рiзнi.
Легко бачити, що всi вищенаведенi приклади напiвгруп та моноiдiв не є гру-пами.
Приклад 1.0.5. Множина цiлих чисел з операцiєю додавання (Z, +) є абеле-вою групою.
Множина рацiональних чисел з операцiєю додавання (Q, +) є абелевою гру-
пою.
Якщо замiнити операцiю додавання на операцiю множення, то цi напiвгрупине будуть групами. Для (Z, ·) це очевидно, а для (Q, ·) зауважимо, що 0 не маєоберненого елемента вiдносно множення, причому (1.0.4) не виконується тiлькидля x = 0.
Приклад 1.0.6. Якщо видалити 0 i розглянути множину Q∗ = Q \ {0},маємо абелеву групу (Q∗, ·)
10
Ще простiшими прикладами груп є
Приклад 1.0.7. ({0, 1},⊕), де ⊕ — побiтове додавання (XOR) та
({1,−1}, ·), де · − звичайне множення.
Приклад 1.0.8. Нехай S(M) ⊂ MM пiдмножина функцiй, що є бiєкцiями
множини M на себе. Оскiльки для кожної бiєкцiї визначена обернена функцiя,то (S(M), ◦) є групою вiдносно вищезгаданої операцiї композицiї функцiй. Ця
група називається симетричною групою на множинi M.
Якщо M — скiнченна множина i мiстить n елементiв, то замiсть запису S(M)вживають Sn.
Вправа 1.0.1. Скiльки елементiв мiстить група Sn?
Зауважимо, що група S3 є мiнiмальним (по кiлькостi елементiв) прикладомнеабелевої групи.
Надалi, якщо ми маємо справу з комутативною напiвгрупою, будемо замiсть◦ вживати + для позначення бiнарної операцiї.
1.1 Множини з двома бiнарними операцiями
Означення 1.1.1. Множина D з двома бiнарними операцiями (D, +, ◦) нази-
вається кiльцем якщо
i) (D, +) — абелева група;
ii) (D, ◦) — напiвгрупа;
iii) мають мiсце закони дистрибутивностi:
∀x ∀y ∀z x ◦ (y + z) = (x ◦ y) + (x ◦ z); (1.1.5)
∀x ∀y ∀z (y + z) ◦ x = (y ◦ x) + (z ◦ x). (1.1.6)
Якщо (D, ◦) — комутативна напiвгрупа, то кiльце називається кому-тативним, а якщо (D, ◦) — моноiд, то говорять, що (D, +, ◦) є кiльцем з
одиницею.
Лема 1.1.1. Множина D∗ оборотних елементiв d ∈ D кiльця з одиницею,тобто тих, якi мають оберененi вiдносно операцiї ◦, для яких
∃ d∗ : d ◦ d∗ = d∗ ◦ d = e
утворюють групу.11
Доведення. Доведення випливає з того, що множина D∗ оборотних елементiвє замкненою вiдносно операцiї ◦. Дiйсно, якщо a∗, b∗ — оберненi елементи дляелементiв a, b ∈ D, то для елемента a ◦ b оберненим буде b∗ ◦ a∗.
Ця група називається мультиплiкативною групою кiльця D i позначає-ться D∗.
Означення 1.1.2. Кiльце (D, +, ◦) називається полем, якщо (D \ {0}, ◦) єабелевою групою (тут 0 - нейтральний елемент вiдносно +).
Приклад 1.1.1. Кiльце цiлих чисел iз звичайними операцiями додавання тамноження є прикладом комутативного кiльця з одиницею - (Z, +, ·).
Приклад 1.1.2. Нагадаємо приклад вiдношення еквiвалентностi на множи-нi цiлих чисел, який зустрiчався в курсi дискретної математики. Нехай n ∈N, n > 1, — фiксоване натуральне число. Визначимо бiнарне вiдношення Rn :(z1, z2) ∈ Rn ⇔ остачi вiд дiлення z1 та z2 на n збiгаються ⇔ z1−z2 дiлиться на n.
Розглянемо пiдмножину 0 ⊂ Z чисел якi еквiвалентнi числу 0, за означенням,вона складається з чисел якi дiляться на n. Елементами пiдмножини 1 ⊂ Z
є числа якi при дiленнi на n дають в остачi 1, В такий спосiб ми отримуємоопис фактор-множини:
Zn = Z/ ∼= {0, 1, 2, 3, . . . , n − 1},
де k− є множиною цiлих чисел, якi при дiленнi на n дають в остачi k. Для
описаного вiдношення прийнято вживати позначення:
x ≡ y mod n ⇔ (x, y) ∈ Rn.
Виявляється, що ця множина, як i Z також має структуру комутатив-ного кiльця з одиницею. Вiдповiднi бiнарнi операцiї вводяться через представ-
никiв класiв еквiвалентностi, а саме за означенням:
∀x ∀y x + y = x + y
∀x ∀y x · y = x · y.
Доведiть, що так введенi операцiї +, · на множинi Zn не залежить вiд
вибору представникiв класiв x ∈ x, y ∈ y.
Приклад 1.1.3. Найменшим нетривiальним прикладом кiльця є Z2, а оскiль-
ки воно є полем (покажiть це), то його часто позначають як F2 (F = field).
Приклад 1.1.4. Виявляється, що Zn є полем тодi i тiльки тодi, коли n-
просте число. Наприклад, Z3 буде полем, а Z4 нi (Чому?).
12
Приклад 1.1.5. Прикладами полiв є (Q, +, ·), , (R, +, ·) − множини рацiо-
нальних та дiйсних чисел вiдносно звичайних операцiй додавання та множе-ння.
Приклад 1.1.6. Нехай (F, +, ◦) — поле (наприклад одне з вищезгаданих), роз-глянемо множину полiномiв вiд змiнної x :
F[x] = {f(x) = cmxm + . . . + c1x + c0|ci ∈ F, i = 0, 1, 2, . . . , m, m = 0, 1, 2, . . .}.
Операцiї додавання та множення полiномiв вводяться звичайним чином i
отримуємо ще один приклад комутативного кiльця з одиницею - (F [x], +, ·).Який полiном тут буде одиницею?
Нагадаємо, що крiм додавання та множення над полiномами можна викону-вати операцiю дiлення з остачею. Це дає можливiсть по аналогiї з прикладом1.1.2 будувати новi приклади кiлець та полiв.
Приклад 1.1.7. Нехай F2 — згадане вище поле з двох елементiв i розглянемокiльце полiномiв F2[x]. Зафiксуємо полiном φ(x) = x2 +x+1 ∈ F2[x] i побудує-
мо вiдношення еквiвалентностi на множинi F2[x] наступним чином: полiно-ми u(x) та v(x) еквiвалентнi, якщо вони мають однаковi остачi при дiленнi
на φ(x). Оскiльки, степiнь остачi менша за степiнь дiльника, то елемента-ми фактор-множини будуть 0, 1, x, x + 1. Операцiї додавання та множення
можна ввести через предстаникiв класiв: позначимо s = x, тодi отримануфактор-множину (позначимо її через F4) можна ототожнити з множиною
полiномiв вiд змiнної s степiнь яких не перевищує 1, тобто
F4 = {as + b|a, b ∈ F2}.
Операцiя додавання є звичайним додаванням полiномiв, а множення слiд ви-конувати в два етапи: спочатку виконати звичайне множення полiномiв, а
потiм взяти остачу вiд дiлення отриманого результату на полiном φ(s).Виявляється, що F4 з так введеними операцiями додавання та множення є
полем. Довести це.
Приклад 1.1.8. Якщо в попередньому прикладi замiнити полiном другого
степеня на полiном третього степеня φ(x) = x3 + x + 1, то описана вищеконструкцiя приведе нас до поля F8 :
F8 = {as2 + bs + c|a, b, c ∈ F2},
елементи якого можна ототожнити з трiйками бiтiв -as2+bs+c ↔ (a, b, c).Доведiть, що F8 з вiдповiдними операцiями додавання та множення є полем.
13
Приклад 1.1.9. Розглянемо кiльце полiномiв R[x] з дiйсними коефiцiєнта-
ми i покладемо φ(x) = x2 + 1. По аналогiї з прикладом введемо вiдношенняеквiвалентностi i розглянемо вiдповiдну фактор-множину, яку можна ото-
тожнити з множиною остач: {a + bx|a, b ∈ R}. Замiсть s введемо змiннуi = x, тодi елементи фактор-множини можна ототожнити з полiномами
вiдносно змiнної i, степiнь яких не перевищує 1, а операцiї додавання i мно-
ження вводяться в той же спосiб, що i з попереднiх прикладах, тобто
(a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i,
(a1 + b1i) · (a2 + b2i) = a1a2 + (a1b2 + b1a2)i + b1b2i2 = a1a2 − b1b2 + (a1b2 + b1a2)i,
тут ми врахували, що остача вiд дiлення i2 на i2 + 1 дорiвнює −1. Так отри-
мана множинаC = {a + bi|a, b ∈ R}
є полем (довести це), яке називається полем комплексних чисел.
Приклад 1.1.10. Нехай F — довiльне поле i F[x] — кiльце полiномiв над ним.
Розглянемо дроби виду f(x)g(x) , f ∈ F[x], g ∈ F[x] \ {0(x)} (0(x)- полiном всi
коефiцiєнти якого дорiвнюють 0 ∈ F ). На множинi таких дробiв введемовiдношення еквiвалентностi:
f1(x)
g1(x)∼ f2(x)
g2(x)⇔ f1(x) · g2(x) = f2(x) · g1(x).
Покажiть, що це дiйсно вiдношення еквiвалентностi. Вiдповiдну фактор мно-жину можна ототожнити з множиною нескоротних дробiв
F(x) =
{f(x)
g(x)| f ∈ F [x], g ∈ F [x] \ {0(x)}
}.
Додавання та множення вводяться на природним чином i виявляється, щовiдносно цих операцiй F(x) є полем, яке називається полем рацiональнихфункцiй вiд однiєї змiнної над F. Доведiть, що F(x) дiйсно є полем.
1.2 Задачi
1. Чи утворюють групи такi множини, з заданими на них бiнарними опера-цiями:1) (N ∪ {0}, +);2) ({2n| n ∈ N}, ∗);3) ({2n| n ∈ Z}, ∗);4) (Z, ∗).
14
2. Перевiрити, що множення комплексних чисел є асоцiативним, тобто((a + ib) · (c + id)) · (u + iv) = (a + ib) · ((c + id) · (u + iv))
3. Перевiрити, що множення комплексних чисел є дистрибутивним вiдноснододавання, тобто:(a + ib)((c + id) + (u + iv)) = (a + ib)(c + id) + (a + ib)(u + iv) -
4. Перевiрити, чи утворюють поле такi множини з заданими на них бiнарнимиоперацiями:1) (N ∪ {0}, +, ∗);2) ({2n| n ∈ Z}, +, ∗);3) ({(a + b 3
√2 + c 3
√4)| a, b, c ∈ R}, +, ∗).
5. Довести, що якщо P — пiдполе поля рацiональних чисел Q, то або P = Q,або поле P складається тiльки з одного елемента.
6. Знайти дiйснi x i y, якщо вiдомо що
(1 + 2i)x + (3 − 5i)y = 1 − 3i.
7. Знайти комплексне число z, що є розв’язком рiвняння:1)(2+3i)z + 5+6i= 7+8i,2)(1+3i)z + 4+6i= 2+8i.
8. Знайти всi комлекснi числа z, для яких виконується рiвнiсть
z = z2.
9. Обчислити:
1)(1 − i)5 − 1
(1 + i)5 + 1; 2)
(1 + i)9
(1 − i)73)
(1 + 2i)2 − (1 − i)3
(3 + 2i)3 − (2 + i)2.
10. Представити в тригонометричнiй формi такi комплекснi числаa)1; b)−1; c)i; d)− i; e)1+ i; f)1− i; g)−1+ i;h)1 +
√3i; i)1 −
√3i; j) − 3π; k) − 1 −
√3i.
11. Знайти коренi 4-го степеня з числа z = −16 та зобразити їх на комплекснiйплощинi.
12. Знайти коренi 3-го степеня з числа z = −i та зобразити їх на комплекснiйплощинi.
13. Зобразити множину точок, що задовольняють нерiвностям:а) 1 ≤ |z| < 2;б) |z − 1 − i| < 1, π
6 < arg z < 3π4
15
14. Зобразити множину точок, що задовольняють нерiвностi 0 < arg z < 5π6 ,
|z| < 1.
15. Довести тотожнiсть
|x + y|2 + |x − y|2 = 2(|x|2 + |y|2).
Пояснити, який геометричний змiст має ця тотожнiсть.
16. Обчислити(
1 −√
3 − i
2
)24
,
(7 − 6i
6 + 7i
)28
,(−1 − i
√3)15
(1 + i)20.
17. Обчислити(−1 − i
√3)15
(√
3 − i)20,
(2√
3 − 2i)30
(1 +√
3i)20.
18. Обчислити in, для деякого n ∈ N.
19. Знайти z, якщоa)z2 = 8 + 6i, b)z3 = i, c)z4 = −1, d)z5 = −1 +
√3i, e)z6 = 1−i√
3+i.
20. Знайти всi розв’язки рiвняння в полi F4:1) (s + 1)x + s = s + 1;2) sx + s = s + 1;3) sx + s = 1.
21. Довести, що коренi n-го степеня з 1 утворюють групу вiдносно множення (тобто, добуток двох коренiв n-го степеня з 1 знову є коренем n-го степеняз 1, i виконуються вiдповiднi аксiоми).
22. Виписати всi коренi з 1 степеняa)2; b)3; c)4; d)6; e)8.Вказати, якi з цих коренiв будуть первiсними.
23. Виписати всi первiснi коренi з 1 12-го степеня.
24. Знайти суму коренiв 6-го степеня з 1.
25. Знайти суму коренiв n-го степеня з 1.
26. Обчислити 1 + a cos ϕ + a2 cos 2ϕ + ... + ak cos kϕ.
27. Довести, що sin x + sin 2x + ... + sin nx =sin n+1
2x·sin nx
2
sin x2
.
28. Довести cos π11 + cos 3π
11 + cos 5π11 + cos 7π
11 + cos 9π11 = 1
2 .16
29. Виразити через cos x i sin x:a)cos 3x, b)cos 5x, c)sin 4x, d)sin 6x.
30. Представити у виглядi многочлена першого ступеня вiд тригонометричнихфункцiй кутiв, кратних x:a)cos4 x, b)cos6 x, c)sin3 x, d)sin5 x.
17
Роздiл 2
Афiннi многовиди
Нехай (F, +, ·) — поле.
Означення 2.0.1. 1. Сукупнiсть рiвнянь виду
a11x1+ a12x2+ a13x3+ . . . + a1nxn = b1
a21x1+ a22x2+ a23x3+ . . . + a2nxn = b2
a31x1+ a32x2+ a33x3+ . . . + a3nxn = b3
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1x1+ am2x2+ am3x3+ . . . + amnxn = bm
, (2.0.1)
де xi− невiдомi, а aij, bi ∈ F− коефiцiєнти (i = 1, 2, . . .m, j = 1, 2, . . . n)називають системою лiнiйних рiвнянь над полем F.
Якщо правi частини рiвнянь є нульовими: b1 = b2 = . . . = bm = 0, то
система називається однорiдною.
2. Набiр (x∗1, x
∗2, x
∗3, . . . , x
∗n), x∗
i ∈ F, називається розв’язком системи лiнiй-
них рiвнянь (2.0.1) якщо для всiх i = 1, 2, 3, . . . , m виконуються рiвностin∑
j=1
aijx∗j = bi.
3. Множина розв’язкiв системи лiнiйних рiвнянь називається лiнiйним афiн-ним многовидом над полем F.
Приклад 2.0.1. Порожня множина ∅ є прикладом лiнiйного афiнного мно-
говиду, оскiльки є множиною розв’язкiв системи рiвнянь, яка мiстить однерiвняння
0x1 + 0x2 + 0x3 + . . . + 0xn = 1.
Приклад 2.0.2. Множина Fn = F × F × . . . × F︸ ︷︷ ︸n
, яка складається з усiх мо-
жливих наборiв є також прикладом лiнiйного афiнного многовиду, оскiльки є
множиною розв’язкiв системи рiвнянь, яка рiвняння
0x1 + 0x2 + 0x3 + . . . + 0xn = 0.18
Означення 2.0.2. Цей лiнiйний афiнний многовид Fn = F × F × . . . × F︸ ︷︷ ︸n
нази-
вається афiнним простором над полем F i позначається An(F) або простоAn, якщо зрозумiло над яким полем вiн розглядається.
Приклад 2.0.3. Розглянемо систему лiнiйних рiвнянь виду
x1 = b1
x2 = b2
. . . . . . . . .xn = bn
.
Вона очевидно має єдиний розв’язок - точку (b1, b2, . . . , bn) ∈ An афiнногопростору. Отже, точки афiнного простору є прикладами афiнних многовидiв.
Означення 2.0.3. Лiнiйний афiнний многовид, який визначається одним рiв-нянням
a1x1 + a2x2 + a3x3 + . . . anxn = b, (2.0.2)
де не всi коефiцiєнти ai дорiвнюють нулю, називають гiперплощиною вафiнному просторi An(F).
Приклад 2.0.4. Нехай F = R− поле дiйсних чисел i n = 2, тодi гiперплощина,яка визначається рiвнянням
a1x + a2y = b
є просто прямою на площинi R2.
Приклад 2.0.5. При n = 3 гiперплощина, яка визначається рiвнянням
a1x + a2y + a3z = b
є площиною в просторi R3.
Лема 2.0.1. Перетин лiнiйних афiнних многовидiв є лiнiйним афiнним мно-говидом.
Доведiть цю лему самостiйно.
Зауважимо, що об’єднання лiнiйних афiнних многовидiв, взагалi кажучи, неє лiнiйних афiнним многовидом. Зокрема, пара точок або пара прямих , взагалiкажучи, не є лiнiйними афiнними многовидами. Насправдi, вони є прикладаминелiнiйних афiнних многовидiв.
Означення 2.0.4. Нехай
fi(x1, x2, . . . , xn) =∑
k1,k2,...kn
a(i)k1,k2,...,kn
xk1
1 xk2
2 . . . xkn
n , i = 1, 2, . . . , m−
19
сукупнiсть полiномiв вiд n змiнних з коефiцiєнтами з поля F. Множина розв’яз-
кiв системи рiвнянь
f1(x1, x2, . . . , xn) = 0f2(x1, x2, . . . , xn) = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .fm(x1, x2, . . . , xn) = 0
,
називається алгебраїчною множиною. Алгебраїчна множина Z називає-
ться афiнним многовидом, якщо вона є незвiдною, тобто її не можна по-дати у виглядi об’єднання Z = Z1∪Z2 алгебраїчних множин Zi 6= ∅, Z, i = i, 2.Отже, алгебраїчна множина є об’єднанням афiнних многовидiв.
Приклад 2.0.6. Лiнiйнi афiннi многовиди є очевидно афiнними многовидами.
Приклад 2.0.7. Рiвняння x2−y2 = 0 визначає пару прямих на площинi i вона
є прикладом алгебраїчної множини, яка є об’єднанням двох афiнних многови-дiв.
Вправа. Нехай a1, a2, b1, b2 ∈ F− фiксованi. Описати алгебраїчну множину,що визначається системою рiвнянь:
{(x − a1)(y − b2) = 0(x − a2)(y − b1) = 0
Вправа. Намалювати алгебраїчну множину точок, що визначається системоюрiвнянь {
xy = 0yz = 0
Приклад 2.0.8. Рiвняння x2+y2 = 1 є рiвнянням кола на декартовiй площинi,
тобто коло є прикладом нелiнiйного афiнного многовида. Елiпс, гiпербола тапарабола визначаються рiвняннями
x2
a2+
y2
b2= 1
x2
a2− y2
b2= 1
y2 = 2px,
є прикладами нелiнiйних алгебраїчних множин (a, b, p > 0 - параметри), якiназивають кривими другого порядку.
Вправа 2.0.1. Довести, що об’єднання i перетин алгебраїчних множин є ал-гебраїчною множиною.
20
2.1 Геометричнi властивостi кривих другого порядку
Означення 2.1.1. Афiнний многовид називається параболою, якщо iснує
декартова система координат на площинi в якiй вiн визначається рiвнянням:
y2 = p · x, де p > 0 − параметр (2.1.3)
(p/2, 0)
y = kx
y = - kx
x
y
x = - p/2
Для вiдношення координат точок параболи маємо
|y|x
=
√2p√x
→ 0, при x → +∞.
Геометрично це означає, що для будь-якого k > 0, iснує точка x0 = x0(k) на осiабсцис така, що всi точки параболи з абсцисою бiльшою за x0 лежать всерединiкута, що утворюють прямi y = ±kx.
Означення 2.1.2. Число p, називається фокальним радiусом ;
число p2, називається фокусною вiдстанню;
точка (p2 , 0), називається фокусом.
пряма x = −p2, називається директрисою .
Теорема 2.1.1. Геометричне означення параболи.
Парабола є геометричним мiсцем точок рiвновiддалених вiд деякої точки
(фокуса) i прямої (директриси).
Доведення. Умова рiвновiддаленостi має вигляд
∣∣∣x +p
2
∣∣∣ =
√(x − p
2
)2
+ y2.
21
Легко переконатися, що всi точки параболи M = M(y2/2p, y) i тiльки вонизадовольняють цiй умовi.
Означення 2.1.3. Афiнний многовид називається елiпсом, якщо iснує де-
картова система координат на площинi в якiй вiн визначається рiвнянням:
x2
a2+
y2
b2= 1, a ≥ b > 0. (2.1.4)
Зауважимо, що при a = b маємо рiвняння кола радiуса a :
x2 + y2 = a2 (2.1.5)y
xa
b
-b
-a 0 c-c
Означення 2.1.4. Точка O(0, 0) називається центром;
точки (±a, 0) та (0,±b), називають вершинами елiпса;
вiдрiзки [0, a], [0, b] назвемо бiльшою та меншою пiввiсями;
точки (±c, 0) називаються фокусами;
число p = b2
a, називають фокальным параметром ;
число 2c = 2√
a2 − b2 називають вiдстанню мiж фокусами;
число e = ca
=√
1 − b2
a2 називають ексцентриситетом,
легко бачити, що для елiпса 0 ≤ e < 1;
прямi x = ±ae, e 6= 0, називаються директрисами.
22
Для точки елiпса M(x, y) маємо два фокальних радiуса r1, r2 — вiдстанi долiвого та правого фокусiв. Для лiвого радiуса маємо:
r21 = (x + c)2 + y2 = (x + c)2 + b2(1 − x2
a2) =
= (1 − b2
a2)x2 + 2xc + c2 + b2 =
c2
a2x2 + 2xc + a2 =
= e2x2 + 2xea + a2 = (ex + a)2.
Враховуючи, що |ex| < a, звiдси отримуємо:
r1 = a + ex.
Самостiйно отримайте формулу для правого фокального радiуса:
r2 = a − ex. (2.1.6)
Додаванням цих формул отримуємо:
r1 + r2 = 2a.
Припустимо тепер, що M(x, y) — довiльна точка площини, сума вiдстанейякої до фокусiв дорiвнює 2a, тобто має мiсце
√(x + c)2 + y2 +
√(x − c)2 + y2 = 2a.
Самостiйно виведiть з цього, що координати (x, y) задовольняють рiвнянню(2.1.4), а отже точка M належить елiпсу. Таким чином ми прийшли до геоме-тричного означення елiпса:
Теорема 2.1.2. Елiпс це геометричне мiсце точок, сума вiдстаней яких до
двох даних точок (фокусiв) є постiйне число, що дорiвнює бiльшiй вiсi елiпса.
Для вiдстаней точки елiпса M(x, y) до лiвої та правої директрис x = ±ae
маємо формули: ∣∣∣x +a
e
∣∣∣ =|ex + a|
e=
r1
e.
∣∣∣x − a
e
∣∣∣ =|ex − a|
e=
r2
e.
Навпаки, якщо √(x ± c)2 + y2 = e
∣∣∣x ± a
e
∣∣∣ ,
то(x ± c)2 + y2 = (ex ± a)2,
звiдки,(1 − e2)x2 + y2 = a2 − c2.
23
Останнє рiвняння очевидно рiвносильне рiвнянню, (2.1.4), а отже (x, y) є ко-ординатами точки, що належить вiдповiдному елiпсу. Тим самим ми отрималище одне геометричне означення елiпса.
Теорема 2.1.3. Елiпс є геометричне мiсце точок, вiдношення вiдстаней яких
до даної точки (лiвого або правого фокуса) i до даної прямої (лiвої або правоїдиректриси) є стала, рiвна ексцентриситету.
Означення 2.1.5. Афiнний многовид називається гiперболою, якщо iснує
декартова система координат на площинi в якiй вiн визначається рiвнянням:
x2
a2− y2
b2= 1, a > 0, b > 0. (2.1.7)
y
xa
b
-b
-a 0 c-c
Гiпербола у якої a = b називається рiвнобiчною. Рiвняння такої гiперболиx2 − y2 = a2 замiною системи координат (поворот на кут 450) :
u =√
22 (x − y), v =
√2
2 (x + y) набуде вигляд
u · v = 2a2
Для гiперболи (2.2.8) введемо аналогiчнi термiни
Означення 2.1.6. Точка O(0, 0) назвемо центром, а точки (±a, 0) вершинами
гiперболи;24
вiдрiзки [0, a], [0, b] назвемо дiйсною та уявною пiввiсями;
число 2c = 2√
a2 + b2 називають вiдстанню мiж фокусами;
точки (±c, 0) називається фокусами;
число p = b2
a, називають фокальным параметром ;
число e = ca
=√
1 + b2
a2 , називають ексцентриситетом,
легко бачити, що для гiперболи e > 1;
прямi x = ±ae, e 6= 0, називаються директрисами.
число p = b2
a, називається фокальным параметром
Поняття лiвого та правого фокального радiусiв точки M(x, y) гiперболи вво-дяться як i для елiпса, i маємо iдентичнi формули:
r21 = (ex + a)2, r2
2 = (ex − a)2
|ex| > |x| ≥ a
Враховуючи останнi нерiвностi, вилучаємо коренi з квадратiв лiвих та правихчастин i отримуємо:
r1 =
{a + ex при x > 0−a − ex при x < 0
r2 =
{−a + ex при x > 0a − ex при x < 0
Звiдки,
r1 − r2 =
{2a при x > 0−2a при x < 0
,
отже, для всiх x маємо|r1 − r2| = 2a.
Навпаки, самостiйно переконайтесь, що якщо точка площини M(x, y), така, щорiзниця вiдстаней до фокусiв по модулю дорiвнює 2a, тобто має мiсце рiвнiсть
∣∣∣√
(x − c)2 + y2 −√
(x + c)2 + y2∣∣∣ = 2a,
то координати (x, y) задовольняють рiвнянню (2.2.8), а отже ця точка лежитьна гiперболi. Цим доведено наступну теорему.
Теорема 2.1.4. Гiпербола це геометричне мiсце точок, рiзниця вiдстаней
яких до двох даних точок (фокусiв) за модулем є стала, що дорiвнює довжинiдiйсної вiсi 2a.
Як i для елiпса iснує iнше геометричне означення гiперболи.25
Теорема 2.1.5. Гiпербола є геометричне мiсце точок, вiдношення вiдстаней
яких до даної точки (лiвого або правого фокуса) i до даної прямої (лiвої абоправої директриси) є стала, рiвна ексцентриситету.
Доведення. Слiд скористатися вищенаведеними формулами для r1, r2, та до-слiвно повторити доведення проведене для елiпса.
26
2.2 Поверхнi другого порядку
Означення 2.2.1. Афiнний многовид називається конусом, якщо iснує де-
картова система координат тривимiрного простору, в якiй вiн визначаєтьсярiвнянням:
x2
a2+
y2
b2− z2
c2= 0, a ≥ b > 0, c > 0 (2.2.8)
Чудовою властивiстю конуса є те, що i елiпс, i гiпербола, i парабола можутьбути отриманi як перерiзи конуса площиною. Це можна легко отримати аналi-тично, але ми наведемо геометричнi мiркування.
P
P
B
2
1
F
F2
1
Розглянемо випадок, коли площина перерiзає обидва пiвконуса (на малюнкувона заштрихована). Впишемо двi кулi, якi дотикаються до пiвконусiв та пло-щини. Точки дотику куль до конуса дають нам два кола. Нехай B — довiльнаточка перерiзу. З’єднаємо її з вершиною конуса, i позначимо точки перетину звищезгаданими колами P1, P2. Як вiдомо, вiдрiзки дотичних до кулi проведенiз однiєї точки мають однакову довжину, отже маємо рiвностi довжин вiдрiзкiв
BF1 = BP1, BF2 = BP2,
27
звiдки|BF2 − BF1| = |BP2 − BP1| = |P1P2|.
Зауважимо, що довжина вiдрiзка P1P2 залежить лише вiд конуса та площиниi не залежить вiд обраної точки перерiзу B. За теоремою 2.1.4, маємо що нашперерiз є гiперболою.
Вправа 2.2.1. Розглянути випадок, коли площина перерiзає лише один пiвко-
нус i, провiвши аналогiчнi мiркування, довести, що перерiзом буде елiпс, якщо
площина перерiзу не є паралельною до твiрної конуса i параболою в протиле-жному випадку.
Означення 2.2.2. Нехай маємо площину в тривимiрному просторi, можнавважати, що F2 ⊂ F3, i F2 ⊃ Z — алгебраїчна множина, що є множиною
нулiв деякої системи полiномiальних рiвнянь. Множина нулiв цiєї ж системив F3 називається цилiндричною поверхнею над Z.
На цьому шляху отримуємо елiптичний цилiндр,z
y
x
O
а також параболiчний та гiперболiчний цилiндри. Два останнiх пропонуємонамалювати самостiйно.
Означення 2.2.3. Афiнний многовид називається елiпсоїдом, якщо iснує
28
декартова система координат в тривимiрному просторi в якiй вiн визначає-
ться рiвнянням:
x2
a2+
y2
b2+
z2
c2= 1, a > 0, b > 0, c > 0. (2.2.9)
Означення 2.2.4. Афiнний многовид називається однопорожнинним гi-перболоїдом, якщо iснує декартова система координат в тривимiрному про-сторi в якiй вiн визначається рiвнянням:
x2
a2+
y2
b2− z2
c2= 1, a > 0, b > 0, c > 0. (2.2.10)
29
O
ya
i двопорожнинним гiперболоїдом, якщо iснує декартова система коор-динат в тривимiрному просторi в якiй вiн визначається рiвнянням:
x2
a2− y2
b2− z2
c2= 1, a > 0, b > 0, c > 0. (2.2.11)
O y
x
z
30
Означення 2.2.5. Афiнний многовид називається елiптичним параболої-дом, якщо iснує декартова система координат в тривимiрному просторi вякiй вiн визначається рiвнянням:
x2
a2+
y2
b2= 2z, a > 0, b > 0. (2.2.12)z
O
x y
Означення 2.2.6. Афiнний многовид називається гiперболiчним парабо-лоїдом, якщо iснує декартова система координат в тривимiрному просторi
в якiй вiн визначається рiвнянням:
x2
a2− y2
b2= 2z, a > 0, b > 0. (2.2.13)
31
C
Ox
y
z
2
3
4
2C
CC
1C
2.3 Параметризацiя афiнних многовидiв.
Означення 2.3.1. Параметризацiєю афiнного многовиду V називається сю-
рєкцiя p : Fm → V.
Якщо V ⊂ Fn, то p = (p1, p1, . . . , pn), pj : Fm → F, при цьому рiвняння
{xi = pi(t1, t2, . . . , tm), i = 1, 2, . . . , n (2.3.14)
називаються параметричними рiвняннями многовиду.
Приклад 2.3.1. Пряму на площинi, що задана рiвнянням y = kx + b, можнапараметризувати таким чином: t → (t, kt + b), а для прямої, що проходить
через точку з координатами (x0, y0) i паралельну вектору (a1, a2) параметри-зацiя має вигляд t → (x0+a1t, y0+a2t). Для прямої в тривимiрному просторi,
що проходить через точку (x0, y0, z0) i паралельну вектору (a1, a2, a3) будемомати t → (x0 + a1t, y0 + a2t, z0 + a3t).
Приклад 2.3.2. Зi школи вiдомо, що коло x2 + y2 = 1 можна параметризу-вати за допомогою тригонометричних функцiй: R 3 t → (cos t, sin t).
Приклад 2.3.3. Площина Π в тривимiрному просторi однозначно визначає-ться парою паралельних їй векторiв −→u = (u1, u2, u3),
−→v = (v1, v2, v3) та однi-
єю з її точок M0 = (x0, y0, z0) ∈ Pi. Дiйсно, точка M = (x, y, z) належить Π
тодi i тiльки тодi, коли вектор−−−→MM0 можна подiти як лiнiйну комбiнацiю
векторiв u, v :−−−→MM0 = λ−→u + µ−→v . Отже, маємо двовимiрну параметризацiю
p : (λ, µ) → (x0 + λu1 + µv1, y0 + λu2 + µv2, z0 + λu3 + µv3)32
Приклад 2.3.4. Вiдображення
(φ, θ) → (cos φ sin θ, sin φ sin θ, cos θ)
є параметризацiєю сфери.
Параметризацiя абсолютно необхiдна для задач комп’ютерної графiки, аджевона дає координати точок афiнного многовиду (поверхнi) в явному виглядi.Надаючи достатно велику кiлькiсть значень параметрам, можна засвiтити наекранi комп’ютера так багато пiкселей, що вони зiллються в суцiльне зображе-ння поверхнi. При цьому часом використовують неповну параметризацiю, колидеяким точкам многовиду не вiдповiдає жодного набору значень параметрiв.Зрозумiло, що вiдсутнiсть окремих пiкселей не впливає на вигляд зображенняна екранi. Прикладом такої параметризацiї є стереографiчна проекцiя, яка єрацiональною параметризацiєю кола з виколотою точкою.
Приклад 2.3.5. Згiдно малюнка, кожному значенню параметра t ∈ R одно-значно вiдповiдає точка на колi. Очевидно, що iснує точно одна точка кола,
якiй не вiдповiдає жодне значення параметра t.
t
Пропонуємо самостiйно вивести формули для координат точок колаx = x(t), y = y(t) при стереографiчнiй проекцiї.
33
2.4 Параметризацiя лiнiйних афiнних многовидiв
Повернемося до лiнiйних афiнних многовидiв Для систем лiнiйних рiвнянь виду(2.0.1) ми часто будемо вживати бiльш короткий запис:
∑nj=1 a1jxj = b1∑nj=1 a2jxj = b2∑nj=1 a3jxj = b3
. . . . . . . . .∑nj=1 amjxj = bm,
(2.4.15)
або ще коротше {n∑
j=1
aijxj = bi; i = 1, 2, . . . , m. (2.4.16)
Зараз нашею задачею буде побудова алгоритмiв параметризацiї многовидiв,що задаються даною системою лiнiйних рiвнянь. При цьому, вектор
(p1(t1, t2, . . . , tm), p2(t1, t2, . . . , tm), . . . , pn(t1, t2, . . . , tm)),
з означення 2.3.1, називається загальним роз’язком системи лiнiйних рiв-нянь. Значення цього вектора при конкретних значеннях параметрiв є коорди-натами точки лiнiйного многовиду, його часом називають частковим роз’яз-ком системи лiнiйних рiвнянь.
Означення 2.4.1. Двi системи лiнiйних рiвнянь вiд n змiнних називаютьсяеквiвалентними, якщо вони визначають один i той же многовид, тобто мно-
жини їх розв’язкiв рiвнi.
Покажiть, що введене бiнарне вiдношення на множинi систем лiнiйних рiв-нянь вiд n невiдомих над полем F дiйсно є вiдношенням еквiвалентностi.
Приклад 2.4.1. Якщо в системi рiвнянь (2.0.1) зробити довiльну переста-новку рiвнянь, то ми очевидно отримаємо систему еквiвалентну початковiй.
Приклад 2.4.2. Якщо в системi рiвнянь (2.0.1) помножити обидвi частинидеякого i-го рiвняння на довiльне λ ∈ F∗, а решту рiвнянь залишити незмiн-
ними, то отримана система буде також еквiвалентна початковiй.
Приклад 2.4.3. Якщо в системi рiвнянь (2.0.1) до j-го рiвняння додати i-те
помножене на λ ∈ F, а решту рiвнянь (включаючи i-те ) залишити незмiн-ними, то отримана система буде еквiвалентна початковiй.
Доведiть останнє твердження самостiйно.
34
Приклад 2.4.4. Якщо в системi рiвнянь (2.0.1) зробити замiну невiдомих i
покласти: xi = yj, xj = yi, а для k 6= i, j покласти xk = yk, то ми отримаємосистему рiвнянь, яка взагалi кажучи не є еквiвалентною початковiй.
Наведiть конкретний приклад такої системи.
Означення 2.4.2. Таблиця елементiв поля розмiру m × n виду
a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n
a31 a32 a33 . . . a3n
. . . . . . . . . . . . . . .
am1 am2 am3 . . . amn
(2.4.17)
називається матрицею системи лiнiйних рiвнянь, а таблиця виду
a11 a12 a13 . . . a1n b1
a21 a22 a23 . . . a2n b2
a31 a32 a33 . . . a3n b3
. . . . . . . . . . . . . . .
am1 am2 am3 . . . amn bm
(2.4.18)
називається розширеною матрицею системи лiнiйних рiвнянь.
Очевидно, що розширена матриця (2.4.18) однозначно визначає систему (2.0.1)i навпаки. При цьому перетворенням систем, наведеним в прикладах 2.4.1, 2.4.2,2.4.3, 2.4.4 будуть вiдповiдати такi перетворення матриць — перестановка ряд-кiв, множення рядка на число, додавання до j-го рядка i-го помноженого наλ ∈ F, перестановка стовпчикiв матрицi.
Елементарнi перетворення матриць.
1. Mr(i, λ), Mc(i, λ) — множення рядка, стовпчика на число λ 6= 0;
2. Swr(i, j), Swc(i, j) — перестановка вiдповiдних рядкiв, стовпчикiв;
3. Adr(i, λ, j), Adc(i, λ, j) — додавання i-го рядка, стовпчика, помноженого наλ ∈ F до j-го рядка, стовпчика; всi рядки, стовпчики вiдмiннi вiд j-гозалишаються незмiнними.
Елементарнi перетворення над рядками розширеної матрицi системи лiнiй-них рiвнянь приводять до матрицi системи рiвнянь, яка еквiвалентна данiй.При виконаннi елементарних перетворень над стовпчиками основної матрицi,слiд зробити вiдповiдну замiну змiнних:
1. Mc(i, λ) − xi = λyi, xk = yk, k 6= i;35
2. Swc(i, j) − xi = yj, xj = yi, xk = yk, k 6= i, j;
3. Adc(i, λ, j) − xi = yi + λyj, xk = yk, k 6= i.
Алгоритми побудови загального розв’язку системи лiнiйних рiвнянь.Метод Гауса.
1. (1-й крок). Використовуючи процедуру Swr(1, j) приходимо до матрицi виду(2.4.18), у якої в верхньому лiвому кутi (елемент a11) є ненульовим;
2. для кожного j = 2, 3, . . . , m виконуємо процедуру Adr(1,−ai,1
a11, j); в резуль-
татi чого приходимо до матрицi у якої всi елементи першого стовпчикакрiм першого є нульовими;
3. (2-й крок) якщо в отриманiй матрицi для всiх i, j : 1 < i ≤ n, 1 ≤ i ≤n ai,j = 0, то зупиняємося, в протилежному випадку, виконуємо процедуруSwr(2, j) або Swc(2, j) для деякого j > 2, таким чином, щоб отриматиматрицю у якої a22 6= 0 ; якщо при цьому переставлялися стовпчики, торобимо вiдповiдну замiну змiнних;
4. для кожного j = 3, 4, . . ., m, а також j = 1 виконуємо процедуруAdr(2,−aj,2
a22, j), в результатi чого приходимо до матрицi у якої всi елементи
другого стовпчика крiм другого є нульовими;
5. на s-му кроцi алгоритму перевiряємо, чи є в рядках з номерами ≥ s отри-маної матрицi елементи aij, i ≥ s, вiдмiннi вiд нуля; якщо таких немає,то зупиняємося, якщо є, то виконуємо процедуру Swr(s, j) або Swc(s, j)для деякого j > s, таким чином, щоб отримати матрицю у якої ass 6= 0 ;якщо при цьому переставлялися стовпчики, то робимо вiдповiдну замiнузмiнних;
6. для кожного j = s + 1, s + 2, . . . , m, а також j = 1, 2, . . . , s − 1 виконуємопроцедуру Adr(s,−aj,s
ass, j); в результатi чого приходимо до матрицi у якої
всi елементи s-стовпчика крiм s-го є нульовими;
7. зупиняємося якщо в отриманiй основнiй матрицi для всiх i > s ai,j = 0 абоякщо рядки матрицi вичерпано; якщо отримано нульовий рядок основноїматрицi, а вiдповiдний елемент останнього стовпчика не є нульовим, тоотримана система несумiсна.
36
Застосувавши вказаний алгоритм ми прийдемо до матрицi виду:
a11 0 0 . . . 0 a1s+1 a1s+2 . . . a1n b1
0 a22 0 . . . 0 a2s+1 a2s+2 . . . a2n b2
0 0 a33 . . . 0 a3s+1 a3s+2 . . . a3n b3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . as,s ass+1 ass+2 . . . asn bs
0 0 0 . . . 0 0 0 0 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 0 0 0 0 0 0
, (2.4.19)
де пiдкресленi елементи a11, a22, . . . , ass вiдмiннi вiд нуля. Розв’язуємо рiвнян-ня вiдносно нових змiнних з номерами 1, 2, . . . , s, i переходимо до початковихзмiнних xi1, xi2, . . . , xis, якi назвемо головними, решту змiнних назвемо пара-метрами i позначимо t1, t2, . . . , tn−s.
Загальний розв’язок системи отримуємо у виглядi:(x∗
i1(t1, t2, . . . , tn−s), x
∗i2(t1, t2, . . . , tn−s), . . . , x
∗is(t1, t2, . . . , tn−s), t1, t2, . . . , tn−s
).
Метод Жордана-Гауса.
В цьому методi ми вiдмовляємося вiд перестановок стовпчикiв, тодi вказаними впопередньому алгоритмi процедурами можна привести матрицю до схiдчастоговигляду:
a11 a12 . . . a1 n10 a1 n1+2 . . . a1n2
. . . 0 . . . a1 n b1
0 0 . . . 0 a2 n1+1 a2 n1+2 . . . a2 n2. . . 0 . . . a2 n b2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 . . . ak nk+1 . . . ak n bk
0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 . . . 0 . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 . . . 0 . . . 0 0
.
(2.4.20)
При цьому числа n1, n2−n1, . . . , n−nk — довжини сходинок можуть прийматизначення вiд 1 до n. Якщо довжини всiх сходинок дорiвнюють 1, то отримуємоосновну матрицю дiагонального виду, якщо ж такими є всi сходинки крiм остан-ньої, то отримуємо матрицю виду (2.4.19). Протилежна ситуацiя, коли маємоодну сходинку довжини n, це означає, що лiнiйний афiнний многовид розв’язкiвсистеми рiвнянь є гiперплощина. Приймаємо змiннi x1, xn1+1, . . . , xnk+1 за голов-нi, а решту за параметри i по матрицi (2.4.20) виписуємо загальний розв’язок
37
системи:
(x∗
1(t1, t2, . . . tn−k), t1, . . . , tn1−1, x∗n1+1(t1, t2, . . . tn−k), tn1
, . . . ,
. . . , tnk−k+1, x∗k(t1, t2, . . . tn−k), tnk−k+2, . . . , tn−k) (2.4.21)
Модифiкований метод Жордана-Гауса (freestyle)
В цьому методi ми вiдмовляємось не тiльки вiд перестановки стовпчикiв матри-цi (2.4.18), а i вiд перестановки її рядкiв.
1. Обираємо зручний матричний елемент aij, в тому сенсi, що всi елемен-ти його стовпчика легко дiляться на цей елемент, зокрема дуже зручно колиai,j = ±1; виконуються процедури Adr(i, λj, j), j = 1, 2, . . . , i − 1, i + 1, . . . , mде λj пiдбираються таким чином щоб в отриманiй матрицi усi елементи j− гостовпчика окрiм i− го були нульовими, при цьому змiнна xj приймається заголовну, а i− й рядок вiдмiчається як оброблений.
2. Обирається зручний матричний елемент iз рядкiв що не оброблялися iзнову виконується процедура Adr, при цьому нулi отриманi на попереднiх ета-пах не будуть порушенi, бо обробленi ранiше рядки вже додаватись до iншихне будуть.
3. Алгоритм завершує роботу коли отримана основна матриця у якої коженненульовий рядок був ранiше оброблений, тобто в ньому видiлена головна змiн-на, або коли в процесi виконання отримано нульовий рядок основної матрицi,якому вiдповiдає ненульовий вiльний член (система несумiсна).
Отримана матриця має так званий мономiальний вид — в кожному не-нульовому рядку є такий елемент (можливо не один), шо в його стовпчику всiелементи вiдмiннi вiд нього є нульовими.
Пiсля цього залишається розв’язати вiдповiднi рiвняння вiдносно головнихзмiнних, а решту прийняти за параметри i виписати загальний розв’язок систе-ми лiнiйних рiвнянь.
Наведемо приклад мономiальної матрицi, яка може бути отримана в резуль-татi роботи цього алгоритму.
0 1 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1 10 0 0 1 1 1 1
.
Для цiєї матрицi у першому рядку таким елементом є другий, вiдповiднаголовна змiнна x2, у другому рядку перший, вiдповiдна головна змiнна x1, а втретьому рядку таким є четвертий, вiдповiдна головна змiнна x4.
38
2.5 Задачi
2.5.1 Кривi другого порядку
1. Довести такi властивостi кривих другого порядку:
a)промiнь свiтла, який виходить з фокуса F1 елiпса, пiсля дзеркальноговiдбиття вiд лiнiї елiпса проходить через фокус F2 елiпса;
b)промiнь свiтла, який виходить з фокуса F1 гiперболи, пiсля дзеркальноговiдбиття вiд лiнiї гiперболи проходить через фокус F2 гiперболи;
c)промiнь свiтла, який виходить з фокуса параболи, пiсля дзеркальноговiдбиття вiд лiнiї параболи поширюється паралельно осi параболи.
2. Скласти рiвняння елiпса, фокуси якого знаходяться на осi абсцис, симе-трично вiдносно початку координат, якщо
a) його мала вiсь i вiдстань мiж фокусами дорiвнюють 10 i 6 вiдповiдно;
b) його мала вiсь i ексцентриситет дорiвнюють 10 i 1213 вiдповiдно;
c) вiдстанi мiж його директрисами та вiдстань мiж фокусами дорiвнюють5 i 4 вiдповiдно;
d) його велика вiсь i вiдстань мiж директрисами дорiвнюють 8 i 16 вiдпо-вiдно;
e) вiдстань мiж його директрисами та ексцентриситет дорiвнюють 32 i 12
вiдповiдно.
3. Ексцентриситет елiпса дорiвнює 12 , його центр збiгається з початком коор-
динат, а одна з директрис задана рiвнянням x = 16. Обчислити вiдстаньвiд точки M елiпса з абсцисою -4 до одностороннього з даною директрисоюфокуса.
4. Ексцентриситет елiпса дорiвнює 13 його центр збiгається з початком коор-
динат, а один з фокусiв — з точкою (−2, 0). Обчислити вiдстань вiд точкиM елiпса з абсцисою 2 до односторонньої з даним фокусом директриси.
5. Визначити точки елiпса x2
100 + y2
36 = 1, вiдстань вiд яких до правого фокусадорiвнює 14.
6. Визначити точки елiпса x2
16 + y2
7 = 1, вiдстань вiд яких до правого фокусадорiвнює 5
2 .
7. Скласти рiвняння елiпса, фокуси якого знаходяться на осi абсцис, симе-трично вiдносно початку координат, якщо дано
39
a) точку (−2√
5, 2) елiпса i його малу пiввiсь 3;
b) точку (−2, 2) елiпса i його велику пiввiсь 4;
c) точки (4,−√
3) i (2√
2, 3) елiпса;
d) точку (2, 3) елiпса i його ексцентриситет 13 ;
e) точку (−√
5, 2) елiпса i вiдстань мiж його директрисами 10.
8. Скласти рiвняння дотичних до елiпса
x2
32+
y2
18= 1
проведених з точки A(12,−3).
9. Визначити, яке з наступних рiвнянь є рiвнянням елiпса, яке гiперболи. Зрiвнянь, що визначають елiпс або гiперболу визначити координати центра,пiвосi, ексцентриситет та рiвняння директрис вiдповiдної кривої:
a) 2x2 + 9y2 − 4x + 18y + 19 = 0;
b) 16x2 − 9y2 − 64x − 54y − 161 = 0;
c) 2x2 − 9y2 − 4x + 18y + 19 = 0;
d) −x2 − 9y2 − 4x + 18y − 9 = 0;
e) 7x2 + 4y2 + 28x − 16y + 10 = 0.
10. Скласти рiвняння гiперболи, фокуси якої лежать на осi абсцис симетричновiдносно початку координат, якщо
a) її уявна вiсь i вiдстань мiж фокусами дорiвнюють 10 i 8 вiдповiдно;
b) її уявна вiсь i ексцентриситет дорiвнюють 6 i 32 вiдповiдно;
c) вiдстанi мiж її директрисами та вiдстань мiж фокусами дорiвнюють 4i 6 вiдповiдно;
d) її ексцентриситет i вiдстань мiж директрисами дорiвнюють i 43 4 вiдпо-
вiдно;
e) асимптоти заданi рiвняннями y = ±34x, i вiдстань мiж директрисами
дорiвнює 645 .
11. Ексцентриситет гiперболи дорiвнює 32 , ї ї центр збiгається з початком коор-
динат, а одна з директрис задана рiвнянням x = −6. Обчислити вiдстаньвiд точки гiперболи з абсцисою 10 до одностороннього з даною директри-сою фокуса.
40
12. Визначити точки гiперболи x2
64−y2
36 = 1, вiдстань вiд яких до правого фокусадорiвнює 9
2 .
13. Визначити точки гiперболи x2
9 − y2
16 = 1, вiдстань вiд яких до лiвого фокусадорiвнює 7.
14. Скласти рiвняння гiперболи, фокуси якого знаходяться на осi абсцис, си-метрично вiдносно початку координат, якщо дано
a) точку (6,−1) гiперболи i її ексцентриситет√
2;
b) точку (−3, 52) гiперболи i її рiвняння директрис x = ±4
3 ;
c) рiвняння асимптот y = ±34x i рiвняння директрис x = ±16
5 гiперболи;
15. Скласти рiвняння гiперболи, асимптотами якої є прямi
y = ±2x
i яка проходить через точку A(1, 3).
16. Знайти фокус i рiвняння директриси параболи y2 = 12x.
17. Скласти рiвняння параболи, якщо задано фокус F (−7, 0) та рiвняння ди-ректриси x − 7 = 0.
18. Скласти рiвняння параболи, якщо задано фокус F (7, 2) та рiвняння дире-ктриси x − 5 = 0.
19. Скласти рiвняння параболи, якщо задано фокус F (4, 3) та рiвняння дире-ктриси y + 1 = 0.
20. Скласти рiвняння параболи, якщо задано фокус F (2,−1) та рiвняння ди-ректриси x − y − 1 = 0.
21. Через точку A(2, 1) провести таку хорду параболи y2 = 4x, яка б дiлиласьв данiй точцi навпiл.
22. Записати рiвняння параболи, елiпса та гiперболи в полярних координатах.Довести, що якщо за початок координат взяти фокус, то всi вони можутьбути заданi одним i тим же рiвнянням:
r =p
1 − e cos φ.
23. Задача дослiдити, якi кривi другого порядку можна отримати як перерiзинаведених ранiше поверхонь другого порядку.
41
24. Довести, що добуток вiдстаней вiд фокусiв елiпса до будь-якої дотичної донього дорiвнює квадрату малої пiввiсi.
25. Фокус лiнiї другого порядку знаходиться в точцi F (3, 0), директрисою, якавiдповiдає цьому фокусу, є пряма x = 12. Визначити вигляд лiнiї та скластиїї рiвняння, знаючи при цьому, що вона проходить через точку A(7, 3).
26. Знайти фокуси та директриси рiвносторонньої гiперболи xy = 8.
27. Знайти точки елiпсаx2
a2+
y2
b2= 1, a > b,
в яких нормаль до елiпса найвiддальнiша вiд його центра. Знайти цю най-бiльшу вiдстань.
28. Скласти рiвняння родини всiх елiпсiв, якi мають однi й тi самi фокусиF1(−c, 0) i F2(c, 0).
29. Скласти рiвняння дотичних до елiпса
x2
25+
y2
16= 1
якi проходять через точку (10, 4).
30. При якiй необхiднiй та достатнiй умовi пряма
Ax + By + C = 0
1)дотична до елiпсаx2
a2+
y2
b2= 1,
2)перетинає елiпс, 3)не перетинає його?
31. Довести, що дотичнi до елiпса вiдсiкають на двох дотичних до нього, про-ведених в кiнцях бiльшої осi, вiдрiзки, добуток яких дорiвнює квадратумалої пiввiсi елiпса.
32. Довести, що вiдрiзок будь-якої дотичної до елiпса, замкнений мiж доти-чними, проведеними в кiнцях бiльшої осi, видно з будь-якого фокуса пiдпрямим кутом.
33. Знайти геометричне мiсце точок, з яких елiпс
x2
a2+
y2
b2= 1,
видно пiд прямим кутом.42
34. Скласти рiвняння елiпса, фокуси якого (−3, 0) та (3, 0) та який дотикаєтьсядо прямої x + y − 5 = 0.
35. Знайти геометричне мiсце проекцiй якого-небудь фокусу елiпса на дотичнiдо нього.
36. За якої умови з точки (x0, y0) можна провести дотичнi до елiпса
x2
a2+
y2
b2= 1?
Скласти рiвняння лiнiї, яка розпадається на дотичнi, проведенi до даногоелiпса з даної точки.
37. Знайти кут мiж дотичними, проведеними з точки (x0, y0) до елiпса
x2
a2+
y2
b2= 1.
38. Довести, що сума квадратiв обернених величин до двох взаємно перпенди-кулярних радiусiв елiпса є стала.
39. Довести, що директриса гiперболи проходить через проекцiю вiдповiдногоїй фокусу на будь-яку з асимптот. Знайти також вiдстань вiд будь-якогофокусу гiперболи до будь-якої з асимптот.
40. Довести, що добуток вiдстаней вiд будь-якої точки гiперболи до її асим-птоти є сталим.
41. Скласти рiвняння дотичних до гiперболи
x2 − y2
4= 1,
якi проходять через точку M(1, 4).
42. За якої необхiдної й достатньої умови пряма Ax+By+C = 0 1)дотикаєтьсядо гiперболи
x2
a2− y2
b2= 1,
2)перетинає гiперболу, 3)не перетинає її?
43. Скласти рiвняння гiперболи, якщо вiдомо що рiвняннями її асимптот єy = ±1
2x i рiвняння 5x − 6y − 8 = 0 є рiвнянням однiєї з дотичних.
44. 1)За яких умов з точки (x0, y0) можна провести до гiперболи двi рiзнi доти-чнi? Скласти рiвняння пари цих дотичних. 2)За яких умов з точки (x0, y0)можна провести до гiперболи тiльки одну дотичну? Скласти її рiвняння.
43
45. найти кути мiж мiж дотичними до гiперболи
x2
a2− y2
b2= 1,
проведеними з точки (x0, y0).
46. Довести, що вiдрiзок дотичної до гiперболи в точцi M0, розташований мiжїї асимптотами, точкою M0 дiлиться навпiл.
47. Знайти площу паралелограма, одна з вершин якого є точкою гiперболи
x2
a2− y2
b2= 1,
а двi сторони паралелограма лежать на асимптотах.
48. Довести, що вiдрiзок довiльної дотичної до гiперболи, який розташованиймiж двома даними дотичними до цiєї гiперболи, видно з будь-якого фокусупiд прямим кутом.
49. Довести, що точки перетину дотичної до гiперболи з її асимптотами лежатьна однiй окружностi з фокусами.
50. За якої необхiдної й достатньої умови пряма Ax + By + C = 0 1)дотичнадо параболи y2 = 2px; 2)перетинає параболу y2 = 2px; 3)не перетинаєпараболу.
51. Знайти геометричне мiсце проекцiй фокусу параболи на дотичнi до неї.
52. Знайти геометричне мiсце точок, симетричних фокусу параболи вiдноснодотичних до неї.
53. Знайти геометричне мiсце точок, для кожної з яких дотичнi, проведеної знеї до параболи, взаємно перпендикулярнi.
54. Довести, що фокус параболи та точки дотику двох дотичних до параболи,проведених з будь-якої точки директриси, належать однiй прямiй.
55. Довести, що вiдрiзок довiльної дотичної до параболи, розташований мiждвома фiксованими дотичними до неї, проектуються на на директрису ввiдрiзок однiєї й тiєї самої довжини.
56. Довести, що якщо точка рухається по однiй з дотичних до параболи, токут мiж прямою, яка з’єднує цю точку з фокусом, та другою дотичною допараболи, яка проходить через ту ж точку, зберiгає сталу величину.
44
57. Нехай M — точка перетину дотичних до параболи в точках M1 та M2, а F
— фокус параболи. Доведiть, що
1)MF 2 = M1F · M2F ; 2)M1F
M2F=
(M1M
M2M
)2
.
58. Довести, що прямi, якi з’єднують основи перпендикулярiв, проведених зкожної точки однiєї сторони трикутника на двi iншi його сторони, дотичнiдо однiєї й тiєї ж параболи. Фокусом цiєї параболи слугують основи вiдпо-вiдної висоти трикутника. Директрисою є пряма, яка об’єднує основи двохiнших висот.
59. З точки A(−10, 8) проведедено дотичнi до елiпса
x2
25+
y2
16= 1
Знайти рiвняння хорди, що сполучає точку дотику.
60. Елiпс проходить через точку A(4,−1) i дотикається до прямої x + 4y −10 = 0. Записати рiвняння цього елiпса, якщо осi елiпса збiгаються з осямикоординат.
61. Пряма x− y − 5 = 0 дотикається до елiпса, фокуси якого лежать у точкахF1(−3, 0), F2(3, 0). Записати рiвняння цього елiпса.
62. Точка A(−3,−5) належить гiперболi, фокус якої F (−2,−3), а рiвняннявiдповiдної цьому фокусу директриси має вигляд x + 1 = 0. Записати рiв-няння цiєї гiперболи.
63. Показати, що кожне з даних рiвнянь визначає гiперболу, знайти для кожноїцентр, пiвосi i рiвняння асимптот:
1)xy = 18; 2)2xy − 9 = 0; 3)2xy + 25 = 0.
64. Чи iснують дотичнi до гiперболи x2
5 + y2
8 = 1, якi паралельнi бiсектрисамкоординатних кутiв?
65. Довести, що коли елiпс i гiпербола мають спiльнi фокуси, то дотичнi доних у точках їх перетину взаємно перпендикулярнi.
66. Дослiдити систему лiнiйних рiвнянь над полем дiйсних чисел.
x1 + x2 + 3x3 − 2x4 + 3x5 = 12x1 + 2x2 + 4x3 − x4 + 3x5 = 23x1 + 3x2 + 5x3 − 2x4 + 3x5 = 12x1 + 2x2 + 8x3 − 3x4 + 9x5 = 2
45
67. Дослiдити сумiснiсть, знайти загальний i деякий частковий розв’язок си-стеми, заданої над полем дiйсних чисел:
a)
3x1 + 2x2 + 5x3 − 4x4 = 26x1 + 4x2 + 4x3 − 3x4 = 39x1 + 6x2 + 3x3 − 2x4 = 4
, b)
x1 + x2 + x3 = 3x1 + 2x2 + 3x3 = 4
4x1 + 5x2 + 6x3 = 13,
c)
2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 63x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 49x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2
, d)
3x1 − 2x2 + 5x3 + 4x4 = 26x1 − 4x2 + 4x3 + 3x4 = 39x1 − 6x2 + 3x3 + 2x4 = 4
,
e)
8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 213x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 104x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 83x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15
7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18
f)
2x1 + 2x2 − x3 + x4 = 44x1 + 3x2 − x3 + 2x4 = 6
8x1 + 5x2 − 3x3 + 4x4 = 123x1 + 3x2 − 2x3 + 2x4 = 6
,
g)
6x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 54x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 44x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0
2x1 + x2 + 7x3 + 3x4 + 2x5 = 1
, i)
2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 44x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5
5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 22x1 + 5x2 + x3 + x4 = 1x1 − 7x2 − x3 + 2x4 = 7
.
68. Дослiдити систему та знайти загальний розв’язок в залежностi вiд значе-ння параметра λ
a)
2x1 + 5x2 + x3 + 3x4 = 24x1 + 6x2 + 3x3 + 5x4 = 44x1 + 14x2 + x3 + 7x4 = 42x1 − 3x2 + 3x3 + λx4 = 7
, b)
λx1 + x2 + x3 + x4 = 1x1 + λx2 + x3 + x4 = 1x1 + x2 + λx3 + x4 = 1x1 + x2 + x3 + λx4 = 1
.
69. Дослiдити сумiснiсть, знайти загальний i деякий частковий розв’язок си-стеми, заданої над полем F2:
a)
x1 + x2 − x3 + x4 = 1x1 + x2 + x4 = 1x2 − x3 + x4 = 0
x1 + x2 + x3 + x4 = 0
, b)
x1 + x2 + x3 + x4 = 1x1 + x3 + 2x4 = 1x2 + x3 + x4 = 1
x1 + x4 = 0
,
c)
x1 + x2 − x3 + x4 = 1x1 + x3 + x4 = 0
x2 + x4 = 0x1 + x2 + x3 = 1
.
46
70. Дослiдити сумiснiсть, знайти загальний i деякий частковий розв’язок си-стеми, заданої над полем F4:
a)
sx1 + (s + 1)x2 + sx3 + x4 = 1x1 + sx2 + (s + 1)x3 = ssx2 + x3 + (s + 1)x4 = 0
sx1 + (s + 1)x2 + x3 + x4 = s + 1
,
b)
sx1 + (s + 1)x2 + x3 + (s + 1)x4 = s + 1(s + 1)x1 + x2 + sx3 + x4 = 1(s + 1)x2 + sx3 + x4 = s + 1
x1 + sx2 + sx3 + (s + 1)x4 = s
,
c)
sx1 + x2 + x3 + (s + 1)x4 = s + 1(s + 1)x1 + x2 + x3 = 1x1 + sx2 + sx3 + x4 = s
sx1 + sx2 + sx3 + sx4 = s + 1
, d)
(s + 1)x2 + x3 = 1(s + 1)x1 + x2 + (s + 1)x3 = 1
x1 + sx2 + sx3 = s + 1.
71. Дослiдити систему лiнiйних рiвнянь над полем F2 в залежностi вiд значе-ння параметра λ.
x1 + x2 + x3 + x4 = 0x1 + λx2 + x3 + x4 = 1
x1 + x2 + x4 = 1x1 + x2 + x3 + λx4 = 1
.
72. Дослiдити систему лiнiйних рiвнянь над полем F2 в залежностi вiд значе-ння параметра λ.
sx1 + sx2 + x3 + x4 = 0x1 + x2 + sx3 + sx4 = 1
(s + 1)x1 + x2 + (s + 1)x4 = s + 1x1 + x2 + x3 + λx4 = s
.
47
Роздiл 3
Алгебра матриць
Нагадаємо, що матрицею розмiру m×n (m рядкiв, n стовпчикiв ) над полем F
називається прямокутна таблиця виду
A =
a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n
a31 a32 a33 . . . a3n
. . . . . . . . . . . . . . .
am1 am2 am3 . . . amn
, (3.0.1)
де матричнi елементи aij є елементами поля F. Зокрема при m = 1 маємовектор-рядок, а при n = 1 вектор-стовпчик.
Перехiд вiд матрицi A до матрицi
AT =
a11 a21 a31 . . . am1
a12 a22 a32 . . . am2
a13 a23 a33 . . . am3
. . . . . . . . . . . . . . .a1n a2n a3n . . . anm
, (3.0.2)
рядки якої є вiдповiдними стовпчиками матрицi A називається транспонува-нням матрицi A.
Якщо m = n, то матриця називається квадратною. Надалi ми часто будемовживати i скорочену форму запису матриць:
A = (aij)i=1,m,j=1,n
або простоA = (aij) ,
якщо зрозумiло з контексту якi розмiри матрицi.
На множинi матриць фiксованого розмiру m × n над полем F введемо опе-рацiї.
48
1. Добутком елемента λ ∈ F на матрицю A = (aij)i=1,m,j=1,n називаєтьсяматриця λ · A, (= A · λ) у якої i, j-й матричний елемент є λ · aij.
2. Сумою двох матриць A = (aij), B = (bij) розмiрiв m × n називається ма-триця того ж розмiру, матричнi елементи якої є сумами вiдповiдних матричнихелементiв матриць A та B:
A + B = (aij + bij).
Завдання. Доведiть що (A + B)T = AT + BT .
Доведiть, що матрицi фiксованого розмiру m× n утворюють абелеву (кому-тативну) групу вiдносно так введеної операцiї додавання.
Якщо має мiсце матрична рiвнiсть:
B = λ1A1 + λ2A2 + . . . + λkAk,
λi ∈ F, i = 1, 2, . . . , k, то говорять, що матриця B є лiнiйною комбiнацi-єю матриць A1, A2, . . . , Ak з коефiцiєнтами λ1, λ2, . . . , λk. Особливо часто зу-стрiчаються ситуацiї, коли матрицi B, A1, A2, . . . , Ak є векторами-рядками абовекторами-стовпчиками.
Наприклад систему лiнiйних рiвнянь (2.0.1), можна подати як одне лiнiйнерiвняння, що зв’язує вектор-стовпчики:
a11
a21
. . .am1
x1 +
a12
a22
. . .am2
x2 + . . . +
a1n
a2n
. . .amn
xn =
b1
b2
. . .bm
. (3.0.3)
Отже, задачу про розв’язання системи лiнiйних рiвнянь можна сформулю-вати, як задачу про можливiсть подання останнього стовпчика розширеної ма-трицi системи як лiнiйної комбiнацiї стовпчикiв основної матрицi i знаходженнявсiх таких лiнiйних комбiнацiй.
Введемо в розгляд матрицi спецiального виду ε(i, j), в якiй матричний (i, j)−елемент дорiвнює 1, а решта є нульовими. Легко бачити, що для довiльної ма-трицi A = (aij) має мiсце
A =∑
i,j
aijε(i, j).
3. Нехай A — матриця розмiру m × n, а B− матриця розмiру n × k, тодiдобутком матриць A та B називається матриця C = A · B, розмiру m × k, уякої на перетинi i−того рядка та j− того стовпчика стоїть елемент
ci,j =n∑
l=1
ai,l · blj (3.0.4)
49
Зокрема, якщо матриця A є вектором-рядком, тобто матрицею розмiру 1×n,
а матриця B є вектором-стовпчиком, тобто матрицею розмiру n×1, то добуткомтаких матриць буде число
c =n∑
s=1
a1sbs1.
Тепер добуток матрицi A — розмiру m × n на матрицю B− розмiру n × k
можна визначити як матрицю C розмiру m × k, у якої матричний елемент cij
є добутком i-го рядка на j-й стовпчик.
Доведiть формулу(A · B)T = BT · AT . (3.0.5)
З формули 3.0.4 легко отримати формулу для i-го рядка матрицi C :
(ci1, ci2, . . . , cik) = ai1(b11, b12, . . . , b1k)+ai2(b21, b22 . . . , b2k)+. . . +, ain(bn1, bn2, . . . , bnk).
Тобто i− й рядок добутку матриць є лiнiйною комбiнацiєю рядкiв другої матри-цi з коефiцiєнтами, якi стоять в i-му рядку першої матрицi. Аналогiчна формуламає мiсце для j-го стовпчика матрицi C :
c1j
c2j
. . .cmj
=
a11
a21
. . .am1
b1j +
a12
a22
. . .am2
b2j + . . . +
a1n
a2n
. . .amn
bnj.
Отже, j-й стовпчик добутку матриць є лiнiйною комбiнацiєю стовпчикiв пер-шої матрицi з коефiцiєнтами якi стоять в j-му стовпчику другої матрицi.
Переконайтесь, що для довiльної матрицi A, добуток ε(i, j) · A є матриця уякої i-й рядок збiгається з j-м рядком матрицi A, а решта рядкiв є нульовими;добуток A ·ε(i, j) є матриця, у якої j− й стовпчик збiгається з i− м стовпчикомматрицi A, а решта стовпчикiв є нульовими. Зокрема, маємо формулу:
ε(i, j) · ε(k, l) = δj,k · ε(i, l), (3.0.6)
де δj,k =
{1 якщо j = k
0 якщо j 6= k— символ Кронекера.
Звiдси випливає, шо оскiльки (E + λεi,j) A = A + λεi,jA = A1, то i− й рядокотриманої матрицi A1 дорiвнює сумi i− го рядка матрицi A, та j− го рядка цiєїж матрицi, помноженого на λ; решта рядкiв (включаючи i j− й) залишаєтьсябез змiн.
Отже, елементарне перетворення з рядками матрицi, можна реалiзувати мно-женням злiва на матрицi E+λεi,j. Для отримання вiдповiдного перетворення зiстовпчиками слiд очевидно помножити A на цю ж матрицю з правого боку. В
50
результатi множення матрицi A на матрицю E +λεi,i злiва ( з правого боку) миотримаємо матрицю i-ий рядок якої є добутком i-го рядка (стовпчика) матрицiA на 1 + λ.
Вправа 3.0.1. Перевiрити, що множення матрицi A на матрицю σ(i, j) =E − ε(i, i) − ε(j, j) + ε(i, j) + ε(j, i), i 6= j злiва вiдповiдає перестановцi i-го ij-го рядочкiв.
Лема 3.0.1. Нехай A — матриця розмiру m×n, а B− матриця розмiру n×k,
C− матриця розмiру k × l, тодi має мiсце тотожнiсть
A · (B · C) = (A · B) · C, (3.0.7)
тобто при узгоджених розмiрах матриць, їх множення є асоцiативною опе-рацiєю.
Доведення. j− й стовпчик матрицi B · C має вигляд
∑ks=1 b1scsj
∑ks=1 b2scsj
. . .∑ks=1 bnscsj
.
З iншого боку i− й рядок матрицi A · B дорiвнює(
n∑
s=1
aisbs1,
n∑
s=1
aisbs2, . . . ,
n∑
s=1
aisbsk
),
Тодi добуток i− го рядка матрицi A на j− й стовпчик матрицi B · C дорiвнює
n∑
t=1
ait
k∑
s=1
btscsj,
а добуток i− го рядка матрицi A · B на матрицю C дорiвнює
k∑
s=1
(n∑
t=1
aitbts
)csj.
Перестановкою порядку сум легко переконатися, що отриманi вирази для i, j−го елемента матриць A · (B · C) та (A · B) · C збiгаються, що i доводить лему.
Наслiдок 3.0.1. Квадратнi матрицi утворюють напiвгрупу вiдносно мно-
ження матриць.51
Питання. Чи буде ця напiвгрупа моноїдом, тобто чи є в нiй нейтральнийелемент?
Теорема 3.0.1. Множина квадратних матриць, вiдносно введених вище опе-
рацiй додавання та множення є кiльцем з одиницею.
Доведення. Для доведення досить довести закон дистрибутивностi 1.1.5. Про-понуємо це зробити самостiйно.
Кiльце квадратних матриць над полем F вiдносно введених операцiй дода-вання та множення будемо позначати Mn(F), а нейтральний елемент вiдносномноження будемо називати одиничною матрицею i позначати через E.
3.1 Оборотнi матрицi.
Згiдно леми 1.1.1, множина оборотних елементiв M ∗n(F) є групою, яка надалi
буде позначатися GLn(F) (general linear group), а її елементи будуть називатисяоборотними матрицями. Отже, оборотня матриця це така матриця A, що∃A∗ ∈ Mn(F) :
A∗ · A = A · A∗ = E. (3.1.8)
Звернемо увагу на те, шо матриця A∗ очевидно є також оборотною.
Приклад 3.1.1. Одинична матриця E є очевидно оборотною.
Приклад 3.1.2. Матрицi виду E + λε(i, j), i 6= j де λ ∈ F — довiльний еле-мент, є оборотними.
Для доведення слiд скористатися законами дистрибутивностi та формулою3.0.6, згiдно якої
(E − λε(i, j)) · (E + λε(i, j)) = E − λε(i, j) + λε(i, j) + λ2δi,jε(i, j).
При i 6= j, останнiй доданок в правiй частинi дорiвнює нульовiй матрицi, а отжевся права частина є матриця E. Аналогiчно перевiряється, що
(E + λε(i, j)) · (E − λε(i, j)) = E.
Приклад 3.1.3. Матрицi σ(i, j) = E − ε(i, i) − ε(i, i) + ε(i, j) + ε(j, i), i 6= j, єоборотними.
Приклад 3.1.4. Нульова матриця не є оборотною, бо її добуток на будь-якуматрицю є нульова матриця. Бiльш того, будь-яка матриця, яка мiстить
нульовий рядок або стовпчик не є оборотною. Чому?
Властивостi оборотних матриць.52
Лема 3.1.1. Якщо матриця C є оборотною i для деяких матриць A, B має
мiсце одна з матричних рiвностей або A · C = B · C або C · A = C · B, тоA = B.
Доведення. Для доведення досить помножити матричнi рiвностi на C∗ з пра-вого та лiвого боку вiдповiдно.
Лема 3.1.2. Якщо матриця A є оборотною, то iснує єдина матриця A∗, дляякої має мiсце (3.1.8).
Доведення. Дiйсно, нехай для деякої матрицi A також має мiсце A ·A = A · A =E. Помножимо обидвi частини рiвностi A · A = E з правого боку на A∗, тодiотримаємо
(A · A
)· A∗ = E · A∗. Скориставшись асоцiативнiстю множення, та
формулою (3.1.8) маємо A = A∗.
Означення 3.1.1. Для оборотних матриць A ця єдиним чином визначена
матриця A∗ називається оберненою до матрицi A i надалi буде познача-тись A−1.
Лема 3.1.3. Якщо для деякої матрицi A i оборотної матрицi C має мiсцеабо C · A = E або A · C = E, то матриця A є оборотною i C = A−1.
Доведення. Якщо C · A = E, то, враховуючи оборотнiсть C
A = C−1 · E = E · C−1.
Домножимо рiвнiсть злiва C:
A · C = E · C−1 · C = E.
Лема 3.1.4. Якщо матриця B не є оборотною, а матриця A є оборотною,то матрицi A · B та B · A не є оборотними.
Доведення. Доведення проведемо методом вiд супротивного. Припустимо, щоматриця A·B = C є оборотною, тодi, враховуючи оборотнiсть матрицi A будемомати B = A−1 · C i B є оборотною, як добуток оборотних матриць. Отриманасуперечнiсть доводить лему.
Теорема 3.1.1. Квадратна матриця є оборотною тодi i тiльки тодi, коли
елементарними перетвореннями рядкiв її можна привести до одиничної ма-трицi.
53
Доведення. ⇐ . Припустимо, що матрицю A елементарними перетвореннямирядкiв приводиться до матрицi E. Оскiльки, як ми бачили, елементарнi пере-творення над рядками можна реалiзувати множенням злiва на певнi оборотнiматрицi, що можна записати наступним чином:
Ck · Ck−1 · . . . · C1 · A = E.
Матриця C = Ck ·Ck−1 · . . . ·C1 є оборотною, як добуток оборотних матриць, атодi, за лемою 3.1.4, є оборотною матриця A i A−1 = C.
⇒ . Застосуємо алгоритм Жордана-Гауса до оборотної матрицi A i приведемоїї елементарними перетвореннями рядкiв до вигляду (2.4.20). Якщо в отрима-нiй схiдчастiй матрицi є принаймнi одна сходинка довжини бiльшої за одиницю,то оскiльки матриця квадратна, обов’язково має бути нульовий рядок. Як вка-зувалося ранiше, така матриця не є а оборотною, а оскiльки вона є добуткомCl ·Cl−1 ·. . .·C1 ·A = C ·A, то за лемою 3.1.4 i матриця A не є оборотною. Отрима-на суперечнiсть з припущенням, веде до висновку, що в отриманiй квадратнiйматрицi (2.4.20) всi сходинки мають довжину 1, а отже нульовi рядки вiдсутнi.Дiленням рядкiв на вiдповiднi дiагональнi елементи та послiдовним додаван-ням їх вгору з вiдповiдними коефiцiєнтами ми отримаємо одиничну матрицюE.
Тепер ми можемо узагальнити лему 3.1.3.
Лема 3.1.5. Якщо для квадратних матриць A, B має мiсце A · B = E, то
вони обидвi є оборотними i A = B−1, B = A−1.
Доведення. Нехай елементарними перетвореннями рядкiв, якi реалiзуються мно-женням на оборотню матрицю C, ми привели матрицю A до вигляду (2.4.20).Як уже зазначалося, якщо в отриманiй матрицi A1 = C · A є принаймнi однасходинка довжини бiльшої вiд одиницi, то є i нульовий рядок. З iншого боку,маємо
A · B = E ⇒ (C · A) · B = C ⇒ A1 · B = C.
Якщо в матрицi A1 є нульовий рядок, то i в матрицi A1 · B є нульовий рядок,що суперечить оборотностi матрицi C. Таким чином, всi сходинки матрицi A1
мають одиничну довжину i вона не мiстить нульових рядкiв. Тодi, як уже зазна-чалося, матриця A1, а отже i A зводиться до одиничної елементарними перетво-реннями рядкiв. За теоремою 3.1.1, матриця A є оборотною. Тепер твердженнявипливає з леми 3.1.3.
54
3.2 Системи лiнiйних рiвнянь у матричнiй формi
Крiм форми (3.0.3) Систему лiнiйних рiвнянь можна записати одним матри-чним рiвнянням:
a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n
a31 a32 a33 . . . a3n
. . . . . . . . . . . . . . .
am1 am2 am3 . . . amn
·
x1
x2
x3
. . .
xn
=
b1
b2
b3
. . .
. . .bm
(3.2.9)
Якщо основну матрицю системи позначити через A, а вектор-стовпчики не-вiдомих та правих частин системи через x та b вiдповiдно, то отримаємо такуформу:
A · x = b. (3.2.10)
Вiдповiдна їй однорiдна система набуде такого вигляду:
A · x = 0,
де 0 — нульовий вектор-стовпчик.
Вправа. Використовуючи наведену матричну форму, доведiть, що довiль-на лiнiйна комбiнацiя розв’язкiв однорiдної системи лiнiйних рiвнянь такожє розв’язком цiєї системи. Якщо матриця A є оборотною, то вектор-стовпчикA−1 · b очевидно є розв’язком системи.
Використовуючи матричну форму системи лiнiйних рiвнянь, легко довестинаступну теорему.
Теорема 3.2.1. (Про структуру розв’язку системи лiнiйних рiвнянь.)
Нехай x0 — довiльний фiксований частковий розв’язок системи 3.2.10, тодiзагальний розв’язок цiєї системи є сумою x0 та загального розв’язку вiдпо-
вiдної однорiдної системи.
Доведення. Дiйсно, нехай x∗ — довiльний частковий розв’язок нашої системи.Тодi маємо:
A · (x∗ − x0) = A · x∗ − A · x0 = b − b = 0.
Отже, вектор-стовпчик z = x∗−x0 є розв’язком вiдповiдної однорiдної системи,а частковий розв’язок x∗ можна подати у виглядi: x∗ = x0 + z.
З iншого боку, якщо y — довiльний розв’язок однорiдної системи, то маємо
A ·(x0 + y
)= A · x0 + A · y = b + 0 = b.
Отже, x0 + y є розв’язком системи 3.2.10, що i завершує доведення.55
3.3 Задачi
1. Виконати дiї:
a)
3 1 12 1 21 2 3
·
1 1 −12 −1 11 0 1
; b)
1 2 32 4 63 6 9
·
−1 −2 −4−1 −2 −41 2 4
;
c)
(2 11 3
)3
; d)
(1 10 1
)n
; e)
(cos ϕ − sin ϕ
sin ϕ cos ϕ
)n
.
2. Знайти всi матрицi, що комутують з матрицею A:
a)A =
(1 2−1 −1
); b)A =
(1 10 1
).
3. Знайти f(A):
a)f(x) = x2 − 5x + 3, A =
(2 −1−3 3
);
b)f(x) = x2 − x − 1, A =
2 1 13 1 21 −1 0
.
4. Знайти обернену матрицю до матрицi A:
a)A =
(1 22 5
); b)A =
(a bc d
); c)A =
1 1 1 11 1 −1 −11 −1 1 −11 −1 −1 1
;
d)A =
2 2 31 −1 0−1 2 1
; e)A =
2 1 0 03 2 0 01 1 3 42 −1 2 3
; f)A =
0 1 1 . . . 11 0 1 . . . 11 1 0 . . . 1. . . . . . .1 1 1 . . . 0
.
5. Знайти невiдому матрицю X з рiвнянь:
a)
(2 51 3
)· X =
(4 −62 1
); b) X ·
1 1 −12 1 01 −1 1
=
1 −1 34 3 21 −2 5
;
56
c)
(2 13 2
)· X ·
(−3 25 −3
)=
(−2 43 −1
);
d)
(2 12 1
)· X =
(2 12 1
); e)X ·
(2 12 1
)=
(3 43 1
).
6. Знайти невiдому матрицю X з рiвняння:
1 1 1 . . . 10 1 1 . . . 10 0 1 . . . 1. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1
· X =
1 2 3 . . . n0 1 2 . . . n − 10 0 1 . . . n − 2. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1
.
57
Роздiл 4
Векторний простiр над полем
Означення 4.0.1. Множина V з заданою на нiй операцiєю додавання + на-
зивається векторним простором над полем F, якщо
1. (V,+) абелева (комутативна) група;
2. Задано вiдображення: F × V 7→ V : F × V 3 (λ, v) 7→ v1 = λv ∈ V, яке
визначає правило множення векторiв на скалярнi величини (елементиполя F); при цьому операцiї додавання "+"в абелевiй групi V i операцiї
додавання "+"i множення "·"в полi мають бути узгодженi наступним
чином:
2.1 ∀λ ∈ F ∀v1 ∈ V ∀v2 ∈ V λ(v1 + v2) = λv1 + λv2;
2.2 ∀λ ∈ F ∀µ ∈ F ∀v ∈ V (λ + µ)v = λv + µv;
2.3 ∀λ ∈ F ∀µ ∈ F ∀v ∈ V (λ · µ)v = λ (µv) ;
2.4 якщо 1 ∈ F — одиниця поля (нейтральний елемент вiдносно множе-
ння), то ∀v ∈ V 1v = v.
Означення 4.0.2. Пiдмножина W ⊂ V векторного простору V = V (F) на-зивається пiдпростором , якщо
∀w1, w2 ∈ W w1 + w2 ∈ W, ∀λ ∈ F ∀w ∈ W λw ∈ W.
Приклад 4.0.1. Тривiальним прикладом векторного простору є абелева гру-
па, яка мiстить єдиний елемент 0, для якого має мiсце ∀λ ∈ F λ0 = 0.Такий векторний простiр будемо називати нульовимi позначати (0). Легко
переконатися, що довiльний простiр V (F) мiстить (0) в якостi пiдпростору.
Дiйсно, якщо 0 ∈ V — нейтральний елемент по додаванню абелевої групи V,то
∀λ ∈ F λ0 = λ(v − v) = λv − λv = 0.
Приклад 4.0.2. Саме поле F є прикладом векторного простору над собою.
Якщо маємо розширення полiв F ⊂ F, наприклад Q ⊂ R ⊂ C — поле дiйсних58
чисел є розширенням поля рацiональних чисел, а поле комплексних чисел є
розширенням поля дiйсних чисел, або скiнченнi поля F4, F8 є розширеннямиполя F2, то буває корисним розглядати F як векторний простiр над F.
Приклад 4.0.3. Узагальненням попереднього прикладу є декартова степiнь
поля Fn = F × F × . . . × F. Додавання i множення на скаляр iз поля F на-борiв (α1, α2, . . . , αn) ∈ Fn, αi ∈ F здiйснюється покоординатно. Простiр Fn
з так введеними операцiями додавання i множення на скаляр називається
арифметичним векторним простором.
Приклад 4.0.4. Як випливає з вправи перед теоремою 3.2.1, множина розв’яз-кiв системи лiнiйних однорiдних рiвнянь є пiдпростором арифметичного ве-
кторного простору.
Приклад 4.0.5. Нехай Mm,n(F) — множина матриць розмiру m×n над полемF. Очевидно, що Mm,n(F) з введеними ранiше операцiями додавання матриць
та множення на елемент з F є векторним простором.
Приклад 4.0.6. Розглянемо булеан 2N множини натуральних чисел. В курсiдискретної математики було показано, що його можна ототожнити з мно-
жиною нескiнченних послiдовностей нулiв та одиниць. Будемо розглядатиїх, як послiдовностi елементiв поля F2. Побiтове додавання послiдовностей
⊕ (XOR) та очевидне множення на скаляри 0, 1 ∈ F2 задають структурувекторного простору на 2N. Якщо не переходити до послiдовностей - хара-
ктеристичних функцiй, то додавання пiдмножин M, L ⊆ N визначається яксиметрична рiзниця M ⊕L ⊆ N, i множення на скаляр визначається таким
чином: 0M = ∅, 1M = M.
Приклад 4.0.7. Аналогiчним чином (покоординатно) вводиться структуравекторного простору на множинi FN нескiнчених послiдовностей елементiв
поля F.
Приклад 4.0.8. Кiльце полiномiв F[x] над полем F з природними операцiями
додавання полiномiв та множення на скаляр з F є також прикладом вектор-ного простору.
Приклад 4.0.9. Як вiдомо з курсу математичного аналiзу, сума неперервних
на промiжку [a, b] ⊂ R функцiй є неперервною функцiєю, а добуток неперерв-ної функцiї на дiйсне число є також неперервною функцiєю. Отже, неперерв-
нi на промiжку [a, b] ⊂ R функцiї утворюють векторний простiр, який будепозначатись C[a, b] (C − continuous).
Означення 4.0.3. Векторнi простори V = V (F) та W = W (F) називаються
iзоморфними, якщо iснує бiєкцiя φ : V ↔ W :
∀v1, v2 ∈ V φ(v1 + v2) = φ(v1) + φ(v2);59
∀v ∈ V, λ ∈ F φ(λv) = λφ(v).
За цих умов бiєкцiя φ називається iзоморфiзмом векторних просторiв.
Якщо V = W, то бiєкцiя, з вказаними властивостями називається
автоморфiзмом векторного простору.
Приклад 4.0.10. Векторнi простори Mm,n(F) та Fmn є iзоморфними.
Для побудови iзоморфiзму слiд рядки матрицi записати в один рядок дов-жини mn. Перевiрте, що отримане вiдображення Mm,n(F) 7→ Fmn дiйсно є iзо-морфiзмом.
Лема 4.0.1. Нехай V — пiдпростiр векторiв-стовпчикiв (векторiв -рядкiв)вiдповiдного арифметичного простору i C оборотна матриця вiдповiдного роз-
мiру. Тодi простiр V iзоморфний простору C · V = {C · v|v ∈ V }, (V · C ={v · C|v ∈ V }).
Доведення. Те що пiдмножина векторiв-стовпчикiв C ·V (векторiв- рядкiв V ·C)є векторним-пiдпростором арифметичного простору, пропонуємо довести само-стiйно; це є правильним для довiльної матрицi C (не обов’язково оборотної).Доведемо, що вiдображення v 7→ Cv, (v 7→ vC) є iзоморфiзмом. Його бiє-ктивнiсть випливає з леми 3.1.1. А з властивостi диструбутивностi множенняматриць:C · (λ1v1 + λ2v2) = λ1C · v1 + λ2C · v2 випливає, що це вiдображення є iзоморфi-змом.
Внутрiшнi конструкцiї.
4.0.1 Побудова з одних векторних просторiв з iнших.
Приклад 4.0.11. Нехай V = V (F) векторний простiр i W1, W2 ⊂ V два його
пiдпростори, тодi W1 ∩ W2 є пiдпростором.
Вправа 4.0.1. За яких умов об’єднання W1 ∪W2 є векторним пiдпростором?
Приклад 4.0.12. В ситуацiї попереднього прикладу, розглянемо множину
W1 + W2 = {w1 + w2|w1 ∈ W1, w2 ∈ W2} ⊆ V. (4.0.1)
Легко перевiрити, що W1 + W2 є векторним пiдпростором, причому вiн будемiнiмальним (вiдносно включення ⊂) пiдпростором, що мiстить пiдпростори
W1 та W2.
Означення 4.0.4. Векторний пiдпростiр W1 + W2 ⊆ V називають вектор-
ним пiдпростором породженим пiдпросторами W1, W2 або сумою векторнихпросторiв W1 та W2. Якщо W1 ∩ W2 = 0, то сума векторних просторiв W1
та W2 називається прямою i позначається W1 ⊕ W2.60
Означення 4.0.5. Вектор
u =k∑
i=1
λivi, λi ∈ F, (4.0.2)
називається лiнiйною комбiнацiєю векторiв v1, v2, . . . .
Приклад 4.0.13. Нехай v1, v2, . . . , vk, . . .− система (не обов’язково скiнченна)векторiв з векторного простору V . Розглянемо множину лiнiйних комбiнацiй
векторiв з цiєї системи:
L(v1, v2, . . . , vk, . . .) =
{∑
i
λivi|λi ∈ F
}⊆ V, (4.0.3)
зауважимо, що розглядаються лише скiнченнi суми векторiв. Неважко пере-
конатися, що L(v1, v2, . . . , vk, . . .) є мiнiмальним пiдпростором, що мiститьвектори v1, v2, . . . , vk, . . . i його називають пiдпростором, що породжуєтьсявекторами v1, v2, . . . , vk, . . . .
Вправа. Доведiть, що для довiльних λ ∈ F, i, j мають мiсце рiвностi
L(v1, v2, . . . , vk, . . .) = L(v1, v2, . . . , vi−1, λvi, vi+1, . . . , vk, . . .) =
= L(v1, v2, . . . , vi−1, vi + λvj, vi+1, . . . , vk, . . .).
Означення 4.0.6. Система векторiв v1, v2, . . . , vk, . . . ∈ V, для якихL(v1, v2, . . . , vk, . . .) = V будемо називати твiрною або породжуючою си-
стемою векторiв простору V.
Векторний простiр, який має скiнченну твiрну систему векторiв назива-ється скiнченновимiрним.
Iншими словами, довiльна (не обов’язково скiнченна) сукупнiсть векторiв{vi ∈ V |i ∈ I} є твiрною або породжуючою для векторного простору V , якщодля будь-який вектора v ∈ V можна подати як лiнiйну комбiнацiю векторiв iзцiєї системи.
Зовнiшнi конструкцiї.
Означення 4.0.7. Нехай V1 = V1(F), V2 = V2(F) два векторних простори над
полем F. На декартовому добутку V1 × V2 структура векторного просторувводиться таким чином:
(v1, v2) + (v′1, v′2) = (v1 + v′1, v2 + v′2), λ(v1, v2) = (λv1, λv2),
v1, v′1 ∈ V1, v2, v
′2 ∈ V2, λ ∈ F. Отриманий векторний простiр називається
декартовим добутком векторних просторiв V1, V2.61
Вправа 4.0.2. Нехай 1 ≤ k ≤ n, доведiть, що векторний простiр Fn iзомор-
фний декартовому добутку Fk × Fn−k.
Лема 4.0.2. Нехай W1, W2 — пiдпростори векторного простору V , причомуW1 ∩ W2 = {0}, тодi iснує iзоморфiзм :
W1 × W2 ↔ W1 ⊕ W2.
Доведення. Потрiбним iзоморфiзмом є вiдображення (w1, w2) 7→ w1 + w2. Всiнеобхiднi перевiрки пропонуємо зробити самостiйно.
Нехай W пiдпростiр простору V = V (F). Введемо на V вiдношення еквiва-лентностi:
∀v1, v2 ∈ V v1 ∼ v2 ⇔ v1 − v2 ∈ W.
Перевiрте, що це дiйсно є вiдношенням еквiвалентностi. Елементами фактор-множини V/ ∼ є пiдмножини векторiв з V, якi мають вигляд:
v + W = {v + w|w ∈ W}.Введемо на фактор-множинi V/ ∼ структуру векторного простору над полемF наступним чином:
(v1 + W ) + (v2 + W ) = (v1 + v2) + W,
λ (v + W ) = (λv) + W.
Перевiрте, що так введенi операцiї не залежать вiд вибору представникiв v1, v2
класiв еквiвалентностi i що всi умови з означення векторного простору викону-ються.
Означення 4.0.8. Побудований векторний простiр називаєтьсяфактор-простором i позначається V/W.
Приклад 4.0.14. Нехай Fn- арифметичний векторний простiр. Очевидно, щосукупнiсть наборiв виду (α1, α2, . . . , αk, 0, 0, . . . , 0) ∈ Fn утворюють вектор-
ний пiдпростiр, який iзоморфний простору Fk. Елементами фактор-простору
V/W є множини наборiв виду: Aαk+1,αk+2,...,αn= {(∗, ∗, . . . , ∗, αk+1, αk+2, . . . , αn)|∗ ∈
F}.Покажiть, що отриманий фактор-простiр iзоморфний арифметичному про-
стору Fn−k.
Означення 4.0.9. Вiдображення векторного простору в поле l : V = V (F) →F називається лiнiйним функцiоналом, визначеним на просторi V , якщо
∀v1, v2 ∈ V l(v1 + v2) = l(v1) + l(v2),
∀v ∈ V, λ ∈ F l(λv) = λ · l(v).62
Приклад 4.0.15. Нехай Fn− арифметичний векторний простiр, тодi вiд-
ображення
Fn 3 (α1, α2, . . . , αn) 7→n∑
i=1
αi
є лiнiйним функцiоналом. Якщо F = F2 — поле з двох елементiв, а сума єпобiтове додавання ⊕ (XOR), то вказаний функцiонал є контрольна сумабiтiв αi. Аналогiчно будуються контрольнi суми масивiв елементiв iншихскiнченних полiв, зокрема байтiв. При передачi даних контрольна сума пере-
дається разом з масивом.
Приклад 4.0.16. Прикладом лiнiйного функцiоналу в просторi неперервних
функцiй C[a, b] є визначений iнтеграл:
f(x) 7→∫ b
a
f(x)dx.
Приклад 4.0.17. Розглянемо множину лiнiйних функцiоналiв заданих на про-
сторi V = V (F) :V ∗ = {l : V → F} . (4.0.4)
Операцiї додавання функцiоналiв та множення на скаляр вводяться так самояк i для функцiй - поточково:
(l1 + l2)(v) = l1(v) + l2(v), (λl)(v) = λ · l(v). (4.0.5)
Множина лiнiйних функцiоналiв V ∗ з так введеними операцiями є векторним
простором, який називається двоїстим простором до простору V .
Узагальненням лiнiйного функцiоналу є поняття бiлiнiйного функцiоналу.
Означення 4.0.10. Будемо говорити, що на векторному просторi V = V (F)задано бiлiнiйний функцiонал, якщо визначено вiдображення: F : V × V 7→ F,що має властивостi
∀λ, µ ∈ F ∀u, v, w ∈ V F (λu + µv, w) = λF (u, w) + µF (v, w),
∀λ, µ ∈ F ∀u, v, w ∈ V F (u, λv + µw) = λF (u, v) + µF (u, w).
Приклад 4.0.18. Нехай v = Fn — арифметичний векторний простiр i u =(x1, x2, . . . , xn), v = (y1, y2, . . . , yn). Тодi для будь-яких aij ∈ F, i, j = 1, 2, . . . , nвiдображення
(u, v) → F (u, v) =n∑
i=1
n∑
j=1
aijxiyj
є бiлiнiйним функцiоналом. Перевiрку зробити самостiйно.63
Означення 4.0.11. Бiлiнiйна форма F на векторному просторi V називає-
ться симетричною, якщо
∀u∀v F (u, v) = F (v, u);
i називається кососиметричною, якщо
∀u∀v F (u, v) = −F (v, u).
Приклад 4.0.19. Бiлiнiйна форма з прикладу 4.0.18 буде симетричною (косо-
симетричною) тодi i тiльки тодi, коли ∀i, j aij = aji (aij = −aji) вiдповiдно.Доведiть це самостiйно.
Звернемо увагу на те, що для будь-якого фiксованого вектора u∗ бiлiнiйнаформа визначає лiнiйнi функцiонали на V : l1(v) = F (u∗, v) та l2(v) = F (v, u∗).
Бiлiнiйнi форми визначенi на даному векторному просторi V = V (F) самiутворюють векторний простiр вiдносно операцiй:
(F + G) (u, v) = F (u, v) + G(u, v) (4.0.6)
(λ · F ) (u, v) = λ (F (u, v)) . (4.0.7)
Вправа 4.0.3. Доведiть, що симетричнi та кососиметричнi функцiонали
утворюють векторнi пiдпростори. Визначити перетин цих пiдпросторiв.
Теорема 4.0.1. Якщо поле F таке, що 1 + 1 = 2 6= 0, то будь-яку бiлiнiйнуформу F на векторному просторi V = V (F) можна подати як суму симе-
тричної та кососиметричної форм.
Доведення. Очевидно, що форма G(u, v) = F (u, v) + F (v, u) є симетричною, аформа H(u, v) = F (u, v) − F (v, u) є кососиметричною i
F (u, v) =1
2(G(u, v) + H(u, v)) .
4.1 Лiнiйна залежнiсть векторiв
Означення 4.1.1. 1. Скiнченна система векторiв v1, v2, . . . , vk векторногопростору V = V (F) називається лiнiйно незалежною, якщо
k∑
i=1
λivi = 0 ⇔ λ1 = λ2 = . . . = λk = 0 (4.1.8)
2. Нескiнченна система векторiв vi, i ∈ I, векторного простору V = V (F)називається лiнiйно незалежною, якщо будь-яка її скiнченна пiдсистема є
лiнiйно незалежною.64
Завдання. Дайте означення лiнiйно залежної системи векторiв.Властивостi лiнiйно залежних векторiв.
1. Якщо нульовий вектор 0 належить системi векторiв v1, v2, . . . , vk, то вона єлiнiйно залежною.
Дiйсно, для довiльного λ ∈ F, λ 6= 0 має мiсце рiвнiсть
0v1 + 0v2 + . . . + λ0 + . . . + 0vk = 0,
яка i доводить лiнiйну залежнiсть векторiв.
2. Якщо система векторiв v1, v2, . . . , vk мiстить два однакових вектора, то вонає лiнiйно залежною.
Довести самостiйно.
3. Якщо пара ненульових векторiв {v1, v2} є лiнiйно залежними, то вони колi-нiарнi, тобто iснує число λ ∈ F таке, що v1 = λv2.
Довести самостiйно.
4. Якщо трiйка ненульових векторiв {v1, v2, v3} є лiнiйно залежними, то воникомпланарнi, тобто iснують λ, µ ∈ F такi, що v1 = λv2 + µv3.
Довести самостiйно.
5. Якщо вектор v ∈ V можна подати як лiнiйну комбiнацiю v =∑k
i=1 λivi
системи лiнiйно незалежних векторiв {v1, v2, . . . , vk}, то це можна зробитиєдиним способом.
Дiйсно, якщо v =∑k
i=1 λivi =∑k
i=1 µivi, то 0 =∑k
i=1(λi − µi)vi i з незале-жностi векторiв випливає λi = µi, i = 1, 2, . . . , k.
6. Система векторiв {v1, v2, . . . , vk} є лiнiйно залежною тодi i тiльки тодi, колиодин з цих векторiв можна подати як лiнiйну комбiнацiю решти.
Довести самостiйно.
7. Якщо система v1, v2, . . . , vk векторiв мiстить лiнiйно залежну пiдсистему, товона є лiнiйно залежною.
Довести самостiйно.
8. Система векторiв арифметичного векторного простору виду
v1 = (a11, a12, a13, . . . a1k, . . . a1n)v2 = (0, a22, a23, . . . a2k, . . . a2n)v3 = (0, 0, a33, . . . a3k, . . . a3n). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .vk = (0, 0, 0, . . . akk, . . . akn)
, (4.1.9)
65
де пiдкресленi координати вiдмiннi вiд нуля, є лiнiйно незалежною систе-мою векторiв.
Довести самостiйно.
Вправа 4.1.1. Довести таке узагальнення властивостi 6: якщо система ве-кторiв v1, v2, . . . , vk лiнiйно залежна, то серед векторiв цiєї системи знайде-
ться вектор, який є лiнiйною комбiнацiєю попереднiх векторiв.
Лема 4.1.1. Нехай v1, v2, . . . , vk i w1, w2, . . . , wl двi системи векторiв лiнiйногопростору V . Якщо k > l i вектори першої системи є лiнiйними комбiнацiями
векторiв другої, тобто
vi =l∑
j=1
αijwj, i = 1, 2, . . . , k, (4.1.10)
то система векторiв {v1, v2, . . . , vk} є лiнiйно залежною.
Доведення. Доведення леми проведемо методом математичної iндукцiї по l —кiлькостi векторiв у другiй системi. База iндукцiї: l = 1. Тодi всi вектори vi
пропорцiйнi одному вектору i очевидно є лiнiйно залежними.
Iндукцiйний крок. Припустимо, що твердження доведено для системи векто-рiв, у яких друга система мiстить менше нiж l векторiв. Якщо має мiсце (4.1.10),де α11 = α21 = . . . = αk1 = 0, то насправдi вектори vi є лiнiйними комбiнацiямивекторiв iз системи w2, w3, . . . , wl, яка мiстить l − 1 векторiв i твердження ви-пливає з припущення iндукцiї. Нехай принаймнi один з αi1 вiдмiннiй вiд нуля.Не втрачаючи загальностi можна вважати, що α11 6= 0. Розглянемо нову си-стему векторiв: v2 − α21
α11v1, v3 − α31
α11v1, . . . , vk − αk1
α11v1. Вiднiмаючи перше рiвняння
помножене на α31
α11вiд i-го рiвняння в системi (4.1.10), i = 2, 3, . . . , l, приходи-
мо до висновку, що вектори цiєї системи є лiнiйними комбiнацiями векторiв iзсистеми w2, w3, . . . , wl, а отже, за припущенням iндукцiї є лiнiйно залежними.Таким чином, iснують скаляри λ2, λ3, . . . , λk, не всi рiвнi нулю, що
k∑
i=2
λi
(vi −
αi1
α11v1
)= 0, звiдки
k∑
i=2
λivi −(
k∑
i=2
λi
αi1
α11
)v1 = 0.
В лiвiй частинi останньої рiвностi стоїть лiнiйна комбiнацiя векторiв v1, v2,. . ., vk, в якiй не всi коефiцiєнти дорiвнюють нулю, отже цi вектори є лiнiйнозалежними.
Теорема 4.1.1. Нехай v1, v2, . . . , vn — система векторiв простору V, тодi на-ступнi твердження еквiвалентнi:
1. v1, v2, . . . , vn є максимальною (по кiлькостi векторiв) лiнiйно незалежною
системою векторiв;66
2. v1, v2, . . . , vn є мiнiмальною (по кiлькостi векторiв) системою твiрних про-
стору V ;
3. v1, v2, . . . , vn є лiнiйно незалежною системою твiрних простору V.
Доведення. 1 ⇒ 2. Максимальна по кiлькостi векторiв лiнiйно незалежна си-стема векторiв має бути системою твiрних. Дiйсно, якщо iснує вектор, який неможна подати як лiнiйну комбiнацiю системи v1, v2, . . . , vn, то цей вектор мо-жна приєднати до цiєї системи i отримати лiнiйно незалежну систему з n+1-говектора, що суперечить умовi максимальностi. З iншого боку, якщо iснує твiр-на система векторного простору, що мiстить k векторiв, k < n , то всi векториv1, v2, . . . , vn мають бути лiнiйними комбiнацiями вiд k векторiв вказаної твiрноїсистеми. Але тодi за лемою 4.1.1 вектори v1, v2, . . . , vn є лiнiйно залежними, щосуперечить умовi 1.
2 ⇒ 1. Нехай w1, w2, . . . , wk, k > n, — деяка система векторiв. За умовою 2,wi, i = 1, 2, . . . , k, мають бути лiнiйними комбiнацiями векторiв v1, v2, . . . , vn i залемою 4.1.1 вектори w1, w2, . . . , wk є лiнiйно залежними. Отже, кожна лiнiйнонезалежна система може мiстити не бiльше нiж n векторiв. Крiм того самасистема векторiв v1, v2, . . . , vn має бути лiнiйно незалежною. В протилежномувипадку один з векторiв є лiнiйною комбiнацiєю решти i може бути вилученийз системи. Отримана система з n − 1 векторiв буде очевидно також твiрною, аце суперечить умовi мiнiмальностi.
2 ⇒ 3. Мiнiмальна (по кiлькостi векторiв) система твiрних v1, v2, . . . , vn маєбути лiнiйно незалежною. Якщо це не так, то за властивiстю 5 лiнiйно залежнихвекторiв, одни з векторiв vi має бути лiнiйною комбiнацiєю решти векторiв.Але тодi його можна вилучити з системи i тi n − 1 векторiв що залишились,теж утворюють твiрну систему. Це суперечить умовi 2 про мiнiмальнiсть n —можливої кiлькостi елементiв у твiрнiй системi.
3 ⇒ 2. Якщо iснує твiрна система, що мiстить менше нiж n векторiв, товектори vi мають бути лiнiйними комбiнацiями сукупностi, що мiстить меншенiж n векторiв, а отже за лемою 4.1.1 бути лiнiйно залежними, що суперечитьумовi 3.
Означення 4.1.2. Впорядкована система векторiв (vi|i ∈ I) ⊂ V називає-ться базисом векторного простору V , якщо вона є
1. лiнiйно незалежною;
2. твiрною системою для векторного простору V.
Приклад 4.1.1. Сукупнiсть векторiв арифметичного векторного простору
67
Fn
ε1 = (1, 0, 0, . . . , 0)ε2 = (0, 1, 0, . . . , 0)ε3 = (0, 0, 1, . . . , 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
εn = (0, 0, 0, . . . , 1)
, (4.1.11)
є базисом цього простору. Доведiть це.
Цей базис називається канонiчним базисом арифметичного векторногопростору.
Для скiнченновимiрних просторiв умови 1 та 2 теореми 4.1.1 можна розгля-дати як еквiвалентнi означення базису. З цих умов негайно випливає, що всiбазиси скiнченновимiрного простору складаються з однакової кiлькостi векто-рiв. Це число — кiлькiсть векторiв в базисi простору V = V (F) називаєтьсярозмiрнiстю простору i позначається dimF V або просто dim V.
Зокрема, розмiрнiсть нульового простору дорiвнює нулю, а розмiрнiсть ари-фметичного простору Fn дорiвнює n.
Лема 4.1.2. Якщо V1, V2 — пара iзоморфних векторних просторiв, то iзо-
морфним образом будь-якого базису простору V1 є базис простору V2, зокремаdim V1 = dim V2.
Доведення. Доведення пропонуємо провести самостiйно.
Лема 4.1.3. Якщо W — пiдпростiр скiнченновимiрного простору V, то будь-який базис пiдпростору W може бути доповнений до базису простору V.
Доведення. Дiйсно, якщо (wi|i ∈ I) — базис простору W i W 6= V, то iснуєвектор v 6∈ W додаємо його до базису i розглянемо простiр W1 = W + (v), де(v) — одновимiрний пiдпростiр породжений вектором v. Якщо W1 6= V, то зновуобираємо v1 ∈ V \W1 i приєднуємо його до базису пiдпростору W1 i породжуємопiдпростiр W2 = W1 + (v1). В такий спосiб ми отримуємо ланцюг пiдпросторiв
W ⊂ W1 ⊂ W2 ⊂ . . . ⊂ Wk ⊆ V.
Внаслiдок того, що dim V < +∞, для деякого k будемо мати Wk = V, а по-будований базис простору Wk як раз i буде потрiбним розширенням базисупiдпростору W.
Лема 4.1.4. Нехай W — пiдпростiр скiнченновимiрного простору V, dim W =k, dim V = n i e1, e2, . . . , ek, ek+1, ek+2, en — розширення базису W до базису V,
то класи векторiв ek+1 + W, ek+2 + W, . . . , en + W утворюють базис фактор-простору V/W
68
Доведення. Доведення пропонуємо провести самостiйно.
Наслiдок 4.1.1. Має мiсце формула
dim V = dim W + dim V/W.
Лема 4.1.5. Нехай W1, W2 — пiдпростори скiнченновимiрного простору V,тодi має мiсце формула
dim(W1 + W2) = dim W1 + dim W2 − dim W1 ∩ W2. (4.1.12)
Доведення. Доповнимо базис e1, e2, . . . , ek простору W1 ∩W2 до базисiв просто-рiв W1− e1, e2, . . . , ek, u1, u2, . . . ul та W2− e1, e2, . . . , ek, v1, u2, . . . vm; dim W1 =k+ l, dim W2 = k+m. Покажемо, що система векторiв e1, e2, . . . , ek, u1, u2, . . . ul,v1, u2, . . . vm є базисом простору W1+W2. Дiйсно, будь-який вектор v ∈ W1+W2
має вигляд v = w1 + w2, w1 ∈ W1, w2 ∈ W2. Оскiльки вказана система векторiвмiстить пiдмножини, що є базисами просторiв W1 та W2, то ця система є очеви-дно твiрною системою для простору W1 + W2. Доведемо лiнiйну незалежнiстьцiєї системи. Припустимо, що деяка лiнiйна комбiнацiя векторiв цiєї системидорiвнює нульовому вектору:
k∑
i=1
αiei +l∑
i=1
βiui +m∑
i=1
γivi = 0.
З цiєї рiвностi випливає, що w1 =∑l
i=1 βiui ∈ W2, w2 =∑m
i=1 γivi ∈ W1,звiдки w1, w2 ∈ W1 ∩ W2. Оскiльки довiльний вектор можна однозначно пред-ставити, як лiнiйну комбiнацiю векторiв базису, то в розкладах цих векторiвпо вищезгаданих базисах просторiв W1, W2 коефiцiєнти при векторах ui та vi
мають бути нульовими, тобто β1 = β2 = . . . βl = γ1 = γ2 = . . . = γm = 0. Злiнiйної незалежностi векторiв e1, e2, . . . , ek випливає, що i всi коефiцiєнти αi єнульовими.
Отже,e1, e2, . . . , ek, u1, u2, . . . ul, v1, u2, . . . vm є базисом простору W1+W2, звiд-ки
dim(W1+W2) = k+l+m = (k+l)+(k+m)−k = dim W1+dim W2−dim W1∩W2.
4.2 Координати вектора в базисi.
Нехай V = V (F) — скiнченновимiрний векторний простiр i e1, e2, . . . , en — йогобазис.
69
Означення 4.2.1. Довiльний вектор v ∈ V однозначно подається як лiнiйна
комбiнацiя векторiв базису:
v =n∑
i=1
xiei, (4.2.13)
xi ∈ F; набiр (x1, x2, . . . , xn) називається координатами вектора v в базисie1, e2, . . . , en.
Теорема 4.2.1. При фiксованому базисi e1, e2, . . . , en вiдповiднiсть -
вектор v ↔ (x1, x2, . . . , xn) − набiр його координат,
є iзоморфiзмом векторних просторiв V ↔ Fn.
Доведення. Бiєктивнiсть вiдображення випливає з того, що кожен вектор про-стору V однозначно подається як лiнiйна комбiнацiя базисних векторiв. Зали-шилося показати, що сумi двох векторiв вiдповiдає сума наборiв координат, адобутку вектора на скаляр добуток набору його координат на цей же скаляр.Цi простi перевiрки пропонуємо зробити самостiйно.
Наслiдок 4.2.1. Будь-який скiнченновимiрний векторний простiр над полем
F iзоморфний арифметичному векторному простору Fn, де n = dim V.
З’ясуємо тепер як змiнюється координати вектора при переходi до iншогобазису. Нехай вектор v в базисi e1, e2, . . . , en має координати (x1, x2, . . . , xn), ав базисi e′1, e
′2, . . . , e
′n цей же вектор має координати (x′
1, x′2, . . . , x
′n). Як пов’яза-
нi набори координат (x1, x2, . . . , xn), (x′1, x
′2, . . . , x
′n) мiж собою. Вектори нового
(штрихованого) базису можна записати як лiнiйнi комбiнацiї векторiв старогобазиса:
e′1 = c11e1+ c21e2+ . . . + cn1en
e′2 = c12e1+ c22e2+ . . . + cn2en
. . . . . . . . . . . . . . .e′n = c1ne1+ c2ne2+ . . . + cnnen
, (4.2.14)
де cij ∈ F. У формулу
v =n∑
i=1
x′ie
′i,
яка визначає координати вектора v у новому базисi, пiдставимо записанi вищевирази елементiв нового базису через елемента старого:
v =n∑
i=1
x′ie
′i =
n∑
i=1
x′i
n∑
j=1
cjiej =n∑
j=1
(n∑
i=1
cjix′i
)ej
70
Коефiцiєнти при векторах ej є як раз координати вектора v в базисi e1, e2, . . . , en,отже маємо формули зв’язку
xj =n∑
i=1
cjix′i, j = 1, 2, . . . , n.
Введемо в розгляд матрицю
C =
c11 c12 c13 . . . c1n
c21 c22 c23 . . . c2n
c31 c32 c33 . . . c3n
. . . . . . . . . . . . . . .cn1 cn2 cn3 . . . cnn
i вектор-стовпчики
x =
x1
x2
. . .xn
, x′ =
x′1
x′2
. . .x′
n
,
тодi отриманий вище зв’язок мiж координатами можна переписати у матричнiйформi
x = C · x′ (4.2.15)
Означення 4.2.2. Матриця C називається матрицею переходу вiд базису
e1, e2, . . . , en до базису e′1, e′2, . . . , e
′n.
Зауважимо, що базиси (e1, e2, . . . , en), (e′1, e′2, . . . , e
′n) визначають матрицю
переходу однозначно.
Нехай e′′1, e′′2, . . . , e
′′n — ще один базис простору i C ′ — матриця переходу вiд ба-
зису (e′1, e′2, . . . , e
′n) до базису e′′1, e
′′2, . . . , e
′′n. Якщо координати вектора v в цьому
базисi записати вектор-стовпчиком
x′′ =
x′′1
x′′2
. . .x′′
n
,
то подвiйним застосуванням формули (4.2.15) отримуємо:
x = C · x′ = C · (C ′x′′) = (C · C ′)x′′.
З однозначностi визначення матрицi переходу випливає, що добуток матрицьC ·C ′ є нiчим iншим як матрицею переходу вiд базису (e1, e2, . . . , en) до базису(e′′1, e
′′2, . . . , e
′′n).
71
Лема 4.2.1. Матриця переходу вiд одного базису до iншого є оборотною.
Доведення. Дiйсно, нехай третiй базис збiгається з першим — e1 = e′′1, e2 =e′′2, . . . , en = e′′n. Тодi матриця C ·C ′ є матрицею переходу вiд першого базису досамого себе. Але одиничну матрицю E також можна розглядати як матрицюпереходу вiд базису до самого себе. З однозначностi визначення матрицi перехо-ду маємо C ·C ′ = E, звiдки, за лемою 3.1.5, отримуємо C ′ = C−1, що i доводитьлему.
4.3 Застосування до долiджень лiнiйних многовидiв
Означення 4.3.1. Направляючим векторним простором афiнного многовиду,шо визначається системою рiвнянь Ax = b називається векторний простiр
всiх розв’язкiв вiдповiдної однорiдної системи Ax = 0.
Як випливає з теореми про структуру розв’язку системи лiнiйних рiвнянь,якщо зафiксувати точку x0 на вiдповiдному лiнiйному многовидi, то всi рештаможна отримати як x0 + v, v ∈ V, де V — направляючий простiр многовиду.
В залежностi вiд способу визначення направляючого пiдпростору один i тойже лiнiйний афiнний многовид можна задавати рiзними системами лiнiйнихрiвнянь. При цьому обирається вид рiвняння найбiльш зручний для розв’язанняпоставленої задачi.
Приклад 4.3.1. В двовимiрному арифметичному векторному просторi R2
(на площинi) одновимiрний пiдпростiр задається рiвнянням: Ax + By = 0(рiвняння прямої, що проходить через початок координат). Вiдповiдно довiль-
ний одновимiрний лiнiйний многовид задається рiвнянням: Ax + By + C = 0(рiвняння прямої, що не проходить через початок координат).
Приклад 4.3.2. В тривимiрному арифметичному векторному просторi R3
двовимiрний пiдпростiр задається рiвнянням: Ax + By + Cz = 0 (рiвняння
площини, що проходить через початок координат). Вiдповiдно довiльний дво-вимiрний лiнiйний многовид задається рiвнянням: Ax+By+Cz+D = 0 (рiв-
няння площини, що не проходить через початок координат). Одновимiрнийпiдпростiр або многовид (пряма в просторi) є перетином двох двовимiрних
пiдпросторiв або многовидiв. Тому рiвняння прямої в просторi таке:{
A1x + B1y + C1z + D1 = 0A2x + B2y + C2z + D2 = 0
.
Якщо вказати базис направляючого простору v1, v2, . . . , vk ∈ Fn, то вiдповiд-
72
на система лiнiйних параметричних рiвнянь у векторнiй формi набуде вигляду
x − x0 =k∑
i=1
tivi (4.3.16)
Приклад 4.3.3. В двовимiрному арифметичному векторному просторi R2
(на площинi) це рiвняння можна переписати у виглядi x−x0 = tv, або (x, y)−(x0, y0) = t(l1, l2). А тому можемо записати параметричне рiвняння прямої
x = x0 + l1t, y = y0 + l2t.
Останнi рiвностi можемо переписати у виглядi:
x − x0
l1= t,
y − y0
l2= t,
абоx − x0
l1=
y − y0
l2.
Це рiвняння називають рiвнянням прямої на площинi, що проходить через
точку (x0, y0) i паралельна вектору (l1, l2).
Приклад 4.3.4. В тривимiрному арифметичному векторному просторi R3
рiвняння (4.3.16) можна переписати у виглядi x−x0 = tv, звiдки отримаємопараметричне рiвняння прямої в просторi:
x = x0 + l1t, y = y0 + l2t, z = z0 + l3t.
З кожної рiвностi виразимо t i, прирiвнявши вiдповiднi вирази аналогiчно по-передньому прикладу, отримаємо рiвняння прямої, що проходить через точку
(x0, y0, z0) i паралельна вектору (l1, l2, l3):
x − x0
l1=
y − y0
l2=
z − z0
l3.
Це рiвняння також називають канонiчним рiвнянням прямої в просторi.
Якщо ж направляючий простiр визначається як множина розв’язкiв системилiнiйних однорiдних рiвнянь, Ax = 0, то вiдповiдний многовид визначаєтьсясистемою лiнiйних рiвнянь у матричнiй формi
A · (x − x0) = 0. (4.3.17)
Приклад 4.3.5. В R2 вiдповiдне рiвняння прямої називають рiвнянням пря-мої, що проходить через задану точку з координатами (x0, y0), воно має та-
кий вигляд:A(x − x0) + B(y − y0) = 0.
73
Приклад 4.3.6. В R3 двовимiрний многовид (площина), що проходить через
задану точку з координатами (x0, y0, z0) задається таким рiвнянням:
A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0.
k-вимiрний лiнiйний многовид можна визначити вказавши на ньому k + 1точку xi ∈ Fn, i = 0, 1, 2, . . . , k, так що вектори xj − x0 = ej, j = 1, 2, . . . kпороджували направляючий простiр. Пiсля вiдповiдних пiдстановок в рiвняння(4.3.16), ми отримуємо рiвняння k-вимiрний лiнiйного многовиду по k точкам.
Приклад 4.3.7. В R2 рiвняння прямої, що проходить через точки (x1, y1) i
(x2, y2) має вигляд:x − x1
x2 − x1=
y − y1
y2 − y1.
Приклад 4.3.8. В тривимiрному арифметичному векторному просторi R3
рiвняння прямої, що проходить через точки (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) має вигляд:
x − x1
x2 − x1=
y − y1
y2 − y1=
z − z1
z2 − z1.
4.3.1 Ранги матриць
Означення 4.3.2. Розмiрнiсть простору лiнiйних комбiнацiй L(v1, v2, . . . , vk)(див. (4.0.3)) називається рангом системи векторiв v1, v2, . . . , vk. Це число
позначають rank(v1, v2, . . . , vk). Рядковим ( стовпчиковим) рангом матрицiназивається ранг системи її рядкiв (стовпчикiв).
Питання. Як може змiнитися ранг системи векторiв, якщо до неї додати щеодин вектор?
Теорема 4.3.1. Рядковий ранг матрицi збiгається зi стовпчиковим.
Доведення. Розглянемо матрицю виду:
ε(1, 1)+ ε(2, 2)+ . . .+ ε(k, k) =
1 0 0 . . . 0 0 . . . 00 1 0 . . . 0 0 . . . 00 0 1 . . . 0 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 1 0 . . . 00 0 0 . . . 0 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 0 0 . . . 0
, (4.3.18)
У вказаної матрицi рядковий ранг очевидно збiгається зi стовпчиковим i дорiв-нює k.
74
З iншого боку, Будь-яка матриця A елементарними перетвореннями рядкiвта стовпчикiв приводиться до вказаного вище вигляду. Розглянемо векторнийпростiр V породжений рядками v1, v2, . . . , vmматрицi. Елементарнi перетворе-ння змiнюють твiрну систему цього простору, але не змiнюють саму лiнiйнуоболонку V = L(v1, v2, . . . , vm), а отже i ранг системи. Перетворення стовпчи-кiв здiйснюються шляхом множення рядкiв на вiдповiднi оборотнi матрицi . Прицьому змiнюється простiр vi → vi ·C, i = 1, 2, . . . n, де C — вiдповiдна оборотнаматриця. З лемою 4.0.1 множина рядкiв vC, v ∈ V, утворює пiдпростiр iзомор-фний простору V, а отже його розмiрнiсть збiгається з dim V тобто з рядковимрангом матрицi A. Отже, якщо елементарними перетвореннями рядкiв та стов-пчикiв матрицю A вдалося привести до вигляду ε(1, 1) + ε(2, 2) + . . . + ε(k, k),то її рядковий ранг дорiвнює k. Аналогiчнi мiркування можна провести длямножини стовпчикiв w1, w2, . . . , wn матрицi A. Елементарнi перетворення надстовпчиками не змiнюють простору W = L(w1, w2, . . . , wm), а елементарнi пере-творення над рядками, згiдно леми 4.0.1, переводять простiр W в iзоморфниййому простiр W1 = {Cw|w ∈ W}, де C — вiдповiдна невироджена матриця.Таким чином стовпчиковий ранг матрицi A збiгається з стовпчиковим рангомматрицi ε(1, 1) + ε(2, 2) + . . . + ε(k, k), а вiн також дорiвнює k.
Таким чином надалi можна говорити просто про ранг матрицi. Використо-вуючи це поняття, сформулюємо критерiй сумiсностi системи лiнiйних рiвнянь.
Теорема 4.3.2. (Кронекера-Капелi.)
Система лiнiйних рiвнянь є сумiсною тодi i тiльки тодi, коли ранг розши-реної матрицi системи збiгається з рангом основної.
Доведення. Доведення легко отримати з зображення системи рiвнянь у формi(3.2.9).
⇒ . Якщо система сумiсна, то стовпчик вiльних членiв є лiнiйною комбi-нацiєю стовпчикiв основної матрицi, а отже його приєднання до системи незбiльшить рангу сукупностi стовпчикiв основної матрицi.
⇐ . Навпаки, якщо приєднання стовпчика вiльних членiв до сукупностi стов-пчикiв основної матрицi не збiльшує рангу системи векторiв, то це означає, щоцей стовпчик вiльних членiв є лiнiйною комбiнацiєю стовпчикiв основної ма-трицi, а отже система (3.2.9) є сумiсною.
Теорема 4.3.3. Нехай маємо сумiсну систему лiнiйних рiвнянь Ax = b вiдn невiдомих. Розмiрнiсть вiдповiдного лiнiйного многовиду, тобто кiлькiсть
параметрiв вiд яких залежить загальний розв’язок системи дорiвнює: n −rank(A).
Доведення. Дiйсно елементарними перетвореннями рядкiв, та перестановкоюстовпчикiв за методом Гауса, розширену матрицю можна привести до виду
75
2.4.19. При цьому ранги як основної так i розширеної матриць дорiвнюютьs i це число збiгається з кiлькiстю головних змiнних, якi ми обираємо. Тодiкiлькiсть параметрiв, що ми вводимо, очевидно дорiвнює n − s, що i доводитьтвердження.
Наслiдок 4.3.1. Нехай Fn ⊃ V — векторний пiдпростiр розв’язкiв однорiдної
системи лiнiйних рiвнянь Ax = 0, тодi dimV = n − rank(A).
4.4 Задачi
1. Довести, що система векторiв, яка мiстить два пропорцiйнi вектори, лiнiйнозалежна.
2. Довести, що три вектори a1, a2, a3 – лiнiйно залежнi i вектор a3 не є лiнiй-ною комбiнацiєю векторiв a1, a2, то вектори a1, a2 вiдрiзняються мiж собоюлише числовим множником.
3. Довести, що якщо вектори a1, a2, . . . , ak лiнiйно незалежна, а системаa1, a2, . . . , ak, b — лiнiйно залежна, то вектор b є лiнiйною комбiнацiєювекторiв a1, a2, . . . , ak.
4. Довести, що впорядкована система векторiв a1, a2, ..., ak, вiдмiнних вiд ну-ля, тодi i тiльки тодi лiнiйно незалежна, коли нi один iз цих векторiв не єлiнiйною комбiнацiєю попереднiх.
5. Знайти вектор x з рiвняння a1+2a2+3a3+4x = 0, де a1 = (5,−8,−1, 2), a2 =(2,−1, 4,−3), a3 = (−3, 2,−5, 4).
6. З’ясувати, чи будуть лiнiйно залежними такi системи векторiв:
a)a1 = (2,−3, 1),a2 = (3,−1, 5),a3 = (1,−4, 3).
b)
a1 = (4,−5, 2, 6),a2 = (2,−2, 1.3),a3 = (6,−3, 3, 9),a4 = (4,−1, 5, 6).
7. Знайти всi значення параметра λ, при яких вектор b є лiнiйною комбiнацiєювекторiв a1, a2, . . . , an
a)
a1 = (2, 3, 5),a2 = (3, 7, 8),a3 = (1,−6, 1),b = (7,−2, λ),
b)
a1 = (2,−2, 1, 3, 5),a2 = (3, 1, 2, 5, 6),a3 = (3,−7, 1, 4, 9),b = (1,−5, 0, 1, λ),
c)
a1 = (2, 2, 3, 5),a2 = (2, 3, 4, 3),a3 = (3, 2, 3, 4),a4 = (−2, 1, 1, 0),b = (−3, 1, 1, λ).
76
8. Знайти всi максимальнi лiнiйно незалежнi пiдсистеми системи векторiв:
a1 = (4,−1, 3,−2),
a2 = (8,−2, 6,−4),
a3 = (3,−1, 4,−2),
a4 = (6,−2, 8,−4).
9. Знайти яку–небудь максимальну лiнiйно незалежну пiдсистему системи ве-кторiв i всi вектори системи, що не входять до цiєї пiдсистеми, виразитичерез вектори пiдсистеми:
a)
a1 = (5, 2,−3, 1),a2 = (4, 1,−2, 3),a3 = (1, 1,−1,−2),a4 = (3, 4,−1, 2).
b)
a1 = (2,−1, 3, 5),a2 = (4,−3, 1, 3),a3 = (3,−2, 3, 4),a4 = (4,−1, 15, 17),a5 = (7,−6,−7, 0).
c)
a1 = (1,−2,−3, 1),a2 = (3, 1, 4, 3),a3 = (5, 1,−1,−2),a4 = (3,−3,−8,−4),a5 = (2, 3,−1, 2).
d)
a1 = (6,−1, 2, 3),a2 = (4,−1, 1, 2),a3 = (2, 0, 1, 1),a4 = (10,−1, 4, 5),a5 = (8,−6,−4, 2).
10. За допомогою елементарних перетворень обчислити ранг матрицi:
a)A =
25 31 17 4375 94 53 13275 94 54 13425 32 20 48
, b)A =
24 19 36 72 −3849 40 73 147 −8073 59 98 219 −11847 36 71 141 −72
.
11. Знайти всi значення параметра λ при яких матриця
a)A =
2 1 1 11 2 1 11 1 2 λ
1 1 λ 2
, b)A =
3 1 1 4λ 4 10 11 7 17 32 2 4 3
.
має найменший ранг. Якому числу дорiвнює ранг матрицi при всiх iншихзначеннях λ?
12. Визначити, чи лежать в однiй площинi точки A, B, C, D, якщо
a) A(1, 1,−7), B(−3, 2, 1), C(2,−1, 2), D(4, 3, 0);77
b) A(2, 3, 1), B(3, 5, 2), C(0, 1, 3), D(1, 2, 4).
13. Визначити взаємне розташування прямих:
a) x−25 = y−4
1 = z−1 i x+1
−2 = y−21 = z+1
2 ;
b) x−12 = y−2
2 = z+31 i x+2
−1 = y−32 = z+4
0 .
14. Використовуючи ранги матриць
A =
(l1 m1 n1
l2 m2 n2
)i
x1 − x2 y1 − y2 z1 − z2
l1 m1 n1
l2 m2 n2
,
знайти умови необхiднi i достатнi для того, щоб прямi
x − x1
l1=
y − y1
m1=
z − z1
n1i
x − x2
l2=
y − y2
m2=
z − z2
n2
a) збiгалися; b) були мимобiжними;c) були паралельними; d) перетиналися.
15. Використовуючи ранги основної та розширеної матриць систем чотирьохлiнiйних рiвнянь, знайти необхiднi та достатнi умови того, що прямi
{A1x + B1y + C1z + D1 = 0A2x + B2y + C2z + D2 = 0
i
{A3x + B3y + C3z + D3 = 0A4x + B4y + C4z + D4 = 0
a) збiгалися; b) були мимобiжними;c) були паралельними; d) перетиналися.
16. Визначити взаємне розташування прямих:
a)
{2x + 3y − 3z − 2 = 0
2x − 3y + 1 = 0i
{2x + y − 4z + 1 = 0
x − 2z + 1 = 0
b)
{x − 2y − 2z + 1 = 0
x + 2z − 1 = 0i
{y + 2z − 1 = 0
x − y = 0
17. Знайти базис пiдпростору розв’язкiв однорiдної системи лiнiйних рiвнянь(фундаментальну систему розв’язкiв)
a)
2x1 + 2x2 + 4x3 − 3x4 = 04x1 + 4x2 + 4x3 − 6x4 = 0
8x1 + 8x2 + 12x3 − 12x4 = 0, b)
7x1 + 7x2 + 12x3 + 4x4 = 02x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 0
3x1 + 3x2 + 6x3 + 2x4 = 0,
78
c)
2x1 + 4x2 + 3x3 + x4 = 06x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 0
3x1 + 4x2 + x3 + x4 = 0, d)
3x1 − 2x2 + 3x3 + 4x4 = 04x1 − 4x2 + 4x3 + 3x4 = 05x1 − 4x2 + 3x3 + 2x4 = 0
,
e)
8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 03x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 0
10x1 + 6x2 + 6x3 + 2x4 = 013x1 + 9x2 + 8x3 + 3x4 = 05x1 + 3x2 + 3x3 + 1x4 = 0
, f)
2x1 − x2 + x3 = 05x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 0
8x1 + 5x2 − 3x3 + 4x4 = 03x1 + 3x2 − 2x3 + 2x4 = 0
.
18. Знайти розмiрнiсть i базис лiнiйних пiдпросторiв, породжених такими си-стемами векторiв:
1)a1 = (1, 0, 0,−1), a2 = (2, 1, 1, 0), a3 = (1, 1, 1, 1), a4 = (1, 2, 3, 4),a5 = (0, 1, 2, 3).
2) a1 = (1, 1, 1, 1, 0), a2 = (1, 1,−1,−1,−1), a3 = (2, 2, 0, 0,−1), a4 =(1, 1, 5, 5, 2),a5 = (1,−1,−1, 0, 0).
19. Знайти базис пiдпростору, породженого системою векторiв. Виразити черезбазиснi вектори вектор b.
a)
a1 = (−1, 1,−1, 1),a2 = (1, 2,−2, 1),a3 = (1, 1,−1,−2),a4 = (0, 7,−5, 1),b = (0, 8,−6,−2).
b)
a1 = (2,−2,−1, 3),a2 = (1,−3, 2, 3),a3 = (−1,−2, 3,−1),a4 = (1,−9, 7, 4),b = (1, 2,−3, 1).
Вектори e1, e2, . . . , en i x задано своїми координатами в деякому базисi.Довести, що система векторiв e1, e2, . . . , en є базисом i знайти координативектора x в цьому базисi.
20. e1 = (1, 1, 1), e2 = (1, 1, 2), e3 = (1, 2, 3); x = (6, 9, 14).
21. e1 = (2, 1,−3), e2 = (3, 2,−5), e3 = (1,−1, 1); x = (6, 2,−7).
Довести, що кожна з двох систем векторiв є базисом, i знайти зв’язок мiжкоординатами одного i того ж самого вектора в цих двох базисах:
22. e1 = (1, 2, 1), e2 = (2, 3, 3), e3 = (3, 7, 1); e′1 = (3, 1, 4), e′2 = (5, 2, 1), e′3 =(1, 1,−6).
23. e1 = (1, 1, 1), e2 = (1, 2, 1), e3 = (1, 1, 2); e′1 = (2, 2, 5), e′2 = (1, 0, 3), e′3 =(−2,−3,−4).
79
24. Знайти координати многочлена:
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anx
n
a) в базисi 1, x, x2, ..., xn;
b) в базисi 1, x−α, (x−α)2, ..., (x−α)n, з’ясувавши, що останнi многочленидiйсно утворюють базис.
25. Знайти матрицю переходу вiд базису 1, x, x2, ..., xn до базису 1, x − α, (x −α)2, ..., (x − α)n простору многочленiв степеня, меншого чи рiвного n.
26. Чи є лiнiйним пiдпростором в Rn множина всiх векторiв, координати яких— цiлi числа? Якщо є, то знайти базис цього пiдпростору.
27. Чи є лiнiйним пiдпростором в Rn множина всiх векторiв, координати якихзадовольняють рiвнянню x1 + x2 + ... + xn = 0? Якщо є, то знайти базисцього пiдпростору.
28. Чи є лiнiйним пiдпростором в Rn множина всiх векторiв, координати якихзадовольняють рiвнянню x1 + x2 + ... + xn = 2? Якщо є, то знайти базисцього пiдпростору.
29. Чи є лiнiйним пiдпростором в Rn множина всiх векторiв, в яких перша iтретя координати рiвнi мiж собою. Якщо є, то знайти базис цього пiдпро-стору.
30. Чи є лiнiйним пiдпростором в Rn множина всiх векторiв, у яких координатиз парними номерами дорiвнюють нулю. Якщо є, то знайти базис цьогопiдпростору.
31. Чи є лiнiйним пiдпростором в Rn множина всiх векторiв вигляду (α, β, α, β, α, β...),де α i β — будь-якi числа. Якщо є, то знайти базис цього пiдпростору.
32. Довести, що всi квадратнi матрицi порядку n з дiйсними елементами (чиелементами з будь-якого поля P ) утворюють векторний простiр над полемдiйсних чисел (вiдповiдно над полем P ), якщо за операцiї взяти додаванняматриць i множення матрицi на число. Знайти базис i розмiрнiсть цьогопростору.
33. Довести, що всi симетричнi матрицi утворюють лiнiйний пiдпростiр про-стору всiх квадратних матриць порядку n. Знайти базис i розмiрнiсть цьогопiдпростору.
34. Довести, що кососиметричнi матрицi утворюють лiнiйний пiдпростiр про-стору всiх квадратних матриць порядку n. Знайти базис i розмiрнiсть цьогопiдпростору.
80
35. Знайти системи лiнiйних рiвнянь, що задають лiнiйнi пiдпростори, поро-дженi такими системами векторiв:
a) a1 = (1,−1, 1, 0), a2 = (1, 1, 0, 1), a3 = (2, 0, 1, 1).
b) a1 = (1,−1, 1,−1, 1), a2 = (1, 1, 0, 0, 3), a3 = (3, 1, 1,−1, 7),a4 = (0, 2,−1, 1, 2).
c) a1 = (1, 2, 1), a2 = (1,−1, 3), a3 = (2, 1, 4).
Знайти розмiрнiсть s суми i розмiрнiсть d перетину лiнiйних пiдпросто-рiв: L1, породженого векторами a1, a2, . . . , ak, L2, породженого векторамиb1, b2, . . . , bl.
36. a1 = (1, 2, 0, 1), a2 = (1, 1, 1, 0), b1 = (1, 0, 1, 0), b2 = (1, 3, 0, 1).
37. a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (1,−1, 1,−1), a3 = (1, 3, 1, 3), b1 = (1, 2, 0, 2),b2 = (1, 2, 1, 2), b3 = (3, 1, 3, 1).
Знайти базиси суми i перетину лiнiйних пiдпросторiв, породжених систе-мами векторiв a1, a2, . . . , ak i b1, b2, . . . , bl:
38. a1 = (1, 2, 1), a2 = (1, 1,−1), a3 = (1, 3, 3), b1 = (2, 3,−1),b2 = (1, 2, 2), b3 = (1, 1,−3).
39. a1 = (1, 2, 1,−2), a2 = (2, 3, 1, 0), a3 = (1, 2, 2,−3), b1 = (1, 1, 1, 1),b2 = (1, 0, 1,−1), b3 = (1, 3, 0,−4).
40. Довести, що простiр всiх квадратних матриць порядку n є пряма сумалiнiйних пiдпросторiв L1 — симетричних i L2 — кососиметричних матриць.Знайти проекцiї A1 i A2 матрицi
A =
1 1 . . . 10 1 . . . 1. . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1
.
на L1 паралельно L2 i на L2 паралельно L1.
41. Довести, що якщо P = L + x0, де L - лiнiйний пiдпростiр i x0 - векторпростору Rn, то вектор x0 належить многовиду P i пiсля замiни цьоговектора будь-яким iншим вектором x ∈ P отримаємо той же таки многовидP .
42. Довести, що для довiльного лiнiйного пiдпростору L1, простору Rn iснуєдругий пiдпростiр L2 такий, що весь простiр Rn є прямою сумою L1 та L2.
81
43. Довести, що простiр Rn є прямою сумою двох лiнiйних пiдпросторiв: L1,що заданий рiвнянням x1 + x2 + ... + xn = 0, та L2, заданого системоюрiвнянь x1 = x2 = ... = xn. Знайти проекцiї одиничних векторiв e1 =(1, 0, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ..., 0),... en = (0, 0, 0, ..., 1) на L1 паралельно L2 iна L2 паралельно L1.
82
Роздiл 5
Визначники матриць.
5.1 Орiєнтовнi площi та об’єми.
Нехай V — двовимiрний векторний простiр над полем дiйсних чисел R, елементиякого ми будемо зображувати направленими вiдрiзками на площинi.
Постановка задачi. Побудувати функцiю, яка б отримавши на вхiд двавектора ~a,~b повернула би число, модуль якого дорiвнює площi паралелограмапобудованого на вiдрiзках ~a,~b. Зауважимо, що тут для мотивацiї постановкизадачi нам досить означення площi зi шкiльного курсу геометрiї.
Питання: якщо така функцiя S : V × V 7→ R iснує, то якi природнi власти-востi вона повинна мати?
Зрозумiло, що якщо один з векторiв (вiдрiзкiв) розтягнути (стиснути) в λ
разiв, то площа вiдповiдного паралелограма має збiльшитись (зменшитися) в λразiв, Тобто мають виконуватись рiвностi:
S(λ~a,~b) = λS(~a,~b) = S(~a, λ~b).
Крiм того, з шкiльного курсу геометрiї вiдомо, що площа паралелограма по-будованого на векторах ~a,~b+~c дорiвнює сумi площ паралелограмiв побудованихна векторах ~a,~b та ~a,~c (див. малюнок.)
83
b
a
c
b+c
Тобто повиннi виконуватися рiвностi:
S(~a,~b + ~c) = S(~a,~b) + S(~a,~c); S(~a + ~c,~b) = S(~a,~b) + S(~c,~b).
Отже, S має бути бiлiнiйною формою (див. 4.0.10) Природно, що якщо нашагiпотетична функцiя S, отримає на вхiд два однакових вектора, то вона маєповернути 0. Тобто функцiя S повинна мати ще й таку властивiсть: S(~a,~a) = 0.Але тодi враховуючи бiлiнiйнiсть функцiї S будемо мати:
0 = S(~a+~b,~a+~b) = S(~a,~a)+S(~a,~b)+S(~b,~a)+S(~b,~b) = S(~a,~b)+S(~b,~a), (5.1.1)
звiдки маємо властивiсть S(~a,~b) = −S(~b,~a), яка називається кососиметричнi-стю. Дамо загальне означення.
Означення 5.1.1. Нехай V = V (F) — векторний простiр довiльної скiнченної
розмiрностi над довiльним полем F. Вiдображення S : V ×V 7→ F називаєтьсякососиметричним, якщо має мiсце тотожнiсть:
∀u, v ∈ V S(u, v) = −S(v, u).
Нехай на двовимiрному векторному просторi V = V (F) задано бiлiнiйнийкососиметричний функцiонал i e1, e2 який-небудь базис простору. Для довiльнихu, v ∈ V, що мають координати (x11, x12), (x21, x22) в цьому базисi з урахуваннямбiлiнiйностi та кососиметричностi будемо мати:
S(u, v) = S(x11e1 + x12e2, x21e1 + x22e2) =
= x11x21S(e1, e1) + x11x22S(e1, e2) + x12x21S(e2, e1) + x22x22S(e2, e2) =
= (x11x22 − x12x21) S(e1, e2). (5.1.2)
Висновок. Бiлiнiйний кососиметричний функцiонал на двовимiрному про-сторi однозначно визначається своїм значенням на парi базисних векторiв.
84
Отже, є всi пiдстави називати бiлiнiйний кососиметричний функцiонал надвовимiрному просторi орiєнтованою площею паралелограма.
З iншого боку, якщо α ∈ F — довiльний скаляр, то формула
S(u, v) = (x11x22 − x12x21) · α,
де (x11, x12), (x21, x22) — координати векторiв u, v ∈ V в деякому фiксованомубазисi e1, e2, визначає бiлiнiйний кососиметричний функцiонал на двовимiрномувекторному просторi. Вiдповiднi перевiрки пропонуємо зробити самостiйно.
Нехай тепер V — тривимiрний векторний простiр над полем дiйсних чиселR, елементи якого будемо зображувати також направленими вiдрiзками, алевже в тривимiрному просторi.
Тепер ми хотiли б побудувати функцiю, яка б отримавши на вхiд три ве-ктора ~a,~b,~c повернула би число, модуль якого дорiвнює об’єму паралелепiпеда,побудованого на вiдрiзках ~a,~b,~c. Тут також користуємося означення об’єму зiшкiльного курсу геометрiї .
O
A
D
Bc
a
bA1
D1
B 1
C
C1
c1
Якщо така функцiя V : V × V × V 7→ R iснує, то згадавши шкiльний курсстереометрiї, приходимо до висновку, що вона повинна мати властивостi:
V(λ~a,~b,~c) = λV(λ~a,~b,~c) = V(~a, λ~b,~c)) = V(~a,~b, λ~c));
V(~a1 + ~a2,~b,~c) = V(~a1,~b,~c) + V(~a2,~b,~c);
V(~a,~b1 +~b2,~c) = V(~a,~b1,~c) + V(~a,~b2,~c).
V(~a,~b,~c1 + ~c2) = V(~a,~b,~c1) + V(~a,~b,~c2).
Узагальнюючи отриманi властивостi, приходимо до такого означення.85
Означення 5.1.2. Нехай V = V (F) — векторний простiр довiльної скiнченної
розмiрностi над довiльним полем F. Вiдображення V : V × V × V 7→ F на-зивається три-лiнiйним функцiоналом визначеному на просторi V, якщо
мають мiсце тотожностi:
∀λ1, λ2 ∈ F, ∀u1, u2, v, w ∈ V V(λ1u1+λ2u2, v, w) = λ1V(u1, v, w)+λ2V(u2, v, w);
∀λ1, λ2 ∈ F, ∀u, v1, v2, w ∈ V V(u, λ1v1+λ2v2, w) = λ1V(u, v1, w)+λ2V(u, v2, w);
∀λ1, λ2 ∈ F, ∀u, v, w1, w2 ∈ V V(u, v, λ1w1+λ2w2) = λ1V(u, v, w1)+λ2V(u, v, w2).
Оскiльки, об’єм плоскої фiгури дорiвнює нулю, то маємо
V(~a,~a,~c) = V(~a,~b,~b) = V(~a,~b,~a) = 0.
Дослiвно повторивши обчислення (5.1.1), отримаємо, що при фiксованому одно-му аргументi, функцiя V = V(~a,~b,~c) є кососиметричною по двом iншим аргу-ментам.
Якщо на тривимiрному векторному просторi V = V (F) задано три-лiнiйнийкососиметричний функцiонал i e1, e2, e3 який-небудь базис простору, то для до-вiльних u, v, w ∈ V, що мають координати (x11, x12, x13), (x21, x22, x23), (x31, x32, x33)в цьому базисi з урахуванням три-лiнiйностi та кососиметричностi будемо мати:
V(u, v, w) = V(x11e1 +x12e2 +x13e3, x21e1 +x22e2 +x23e3, x31e1 +x32e2 +x33e3) =
= x11x22x33V(e1, e2, e3) + x12x23x31V(e2, e3, e1) + x13x21x32V(e3, e1, e2)+
+ x11x23x32V(e1, e3, e2) + x12x21x33V(e2, e1, e3) + x13x22x31V(e3, e2, e1).
Звернемо увагу на те, що ми отримали в правiй частинi шiсть доданкiв, якi вiд-повiдають всiм можливим перестановкам трьох базисних векторiв. Виконуючипопарнi перестановки базисних векторiв iз змiною знаку функцiї V отримаємо:
V(u, v, w) = V(x11e1 +x12e2 +x13e3, x21e1 +x22e2 +x23e3, x31e1 +x32e2 +x33e3) =
= (x11x22x33 + x12x23x31 + x13x21x32 − x11x23x32 − x12x21x33 − x13x22x31)V(e1, e2, e3).
Побудований таким чином функцiонал називають орiєнтованим об’ємомпаралелепiпеда або мiшаним добутком векторiв u, v, w. Якщо пiти дещоiншим шляхом, то можна отримати потрiбну формулу в iншому виглядi:
V(u, v, w) = V(x11e1 +x12e2 +x13e3, x21e1 +x22e2 +x23e3, x31e1 +x32e2 +x33e3) =
= x11V(e1, x22e2 + x23e3, x32e2 + x33e3) + x12V(e2, x21e1 + x23e3, x31e1 + x33e3)+
+ x13V(e3, x21e1 + x22e2, x31e1 + x32e2).
86
Якщо зафiксувати перший аргумент функцiї V в отриманих трьох доданках,то їх можна розглядати як бiлiнiйнi кососиметричнi функцiонали на трьох дво-вимiрних векторних просторах породженому векторами (e2, e3), (e1, e3), (e1, e2)вiдповiдно i скористатися отриманою ранiше формулою 5.1.2:
V(u, v, w) = x11 (x22x33 − x32x23)V(e1, e2, e3)+
+ x12 (x21x33 − x31x23)V(e2, e1, e3) + x13 (x21x32 − x31x22)V(e3, e1, e2) =
= [x11 (x22x33 − x32x23) − x12 (x21x33 − x31x23) + x13 (x21x32 − x31x22)]V(e1, e2, e3)
Це так звана формула розкладу по координатах першого вектора. Але вобох формулах ми отримуємо, що три-лiнiйний кососиметричний функцiонална тривимiрному просторi однозначно визначається заданням його значення надовiльному базисi. З iншого боку, для довiльного α ∈ F, формула
V(u, v, w) =
= (x11x22x33 + x12x23x31 + x13x21x32 − x11x23x32 − x12x21x33 − x13x22x31) α
визначає дiю три-лiнiйного кососиметричного функцiоналу на трiйках векто-рiв, що в певному базисi e1, e2, e3 мають координати (x11, x12, x13), (x21, x22, x23),(x31, x32, x33) вiдповiдно. Перевiрки три-лiнiйностi та кососиметричностi так ви-значеного функцiоналу пропонуємо зробити в якостi вправи.
Означення данi для функцiоналiв можна дослiвно повторити для вiдобра-жень V × V → V у векторний простiр i отримати означення їх бiлiнiйностi такососиметричностi. Нехай e1, e2, e3− який-небудь базис тривимiрного простору.Побудуємо вказане вiдображення V × V 3 (u, v) → [u, v] ∈ V визначивши йогоспочатку на базисних елементах. Покладемо
[e1, e2] = e3, [e2, e3] = e1, [e3, e1] = e2.
Якщо вектори u та v в цьому базисi мають координати (x11, x12, x13), (x21, x22, x23),то аналогiчно до (5.1.2) будемо мати
[u, v] = (x11x22−x12x21)[e1, e2]+(x12x23−x13x22)[e2, e3]+(x11x23−x13x21)[e1, e3] =
= (x11x22 − x12x21)e3 + (x12x23 − x13x22)e1 + (x13x21 − x11x23)e2.
Побудоване бiлiнiйне кососиметричне вiдображення називається векторнимдобутком вiдносно базису e1, e2, e3.
Вправа 5.1.1. Користуючись методами шкiльної векторної алгебри, дове-дiть, що якщо e1 =~i, e2 = ~j, e3 = ~k− декартова система координат простору,
то вектор [u, v] ортогональний до обох векторiв u, v, а його довжина дорiвнюєплощi паралелограма, побудованого на цих векторах.
87
5.2 Полiлiнiйнi кососиметричнi функцiонали.
Настав час дати загальнi означення для просторiв довiльної розмiрностi.
Означення 5.2.1. Нехай V = V (F) — векторний простiр довiльної скiнченноїрозмiрностi над довiльним полем F. Вiдображення D : V × V × V × . . . × V︸ ︷︷ ︸
n
7→
F називається полiлiнiйним функцiоналом або n-лiнiйним функцiона-лом визначеним на просторi V, якщо воно є лiнiйним по кожному аргументу,
тобто
∀λ1, λ2 ∈ F, ∀v1, . . . , vi−1, v′i, v
′′i , vi+1, . . . , vn ∈ V
D(v1, . . . , vi−1, λ1v′i + λ2v
′′i , vi+1, . . . , vm) =
= λ1D(v1, . . . , vi−1, v′i, vi+1, . . . , vn) + λ2D(v1, . . . , vi−1, v
′′i , vi+1, . . . , vn),
i = 1, 2, . . . n.
Означення 5.2.2. Вiдображення D : V × V × V × . . . × V︸ ︷︷ ︸n
7→ F називається
кососиметричним, якщо воно є таким по будь-яким двом аргументам прифiксованих значеннях решти.
Властивостi n-лiнiйних кососиметричних функцiоналiв на n−вимiрних просторах.
1. D(v1, v2, . . . , vi−1, vi + λvj, vi+1, . . . , vn) = D(v1, v2, . . . , vi−1, vi, vi+1, . . . , vn).
Довести самостiйно.
2. Якщо вектори v1, v2, . . . , vn є лiнiйно залежними, то D(v1, v2, . . . , vn) = 0.
Довести самостiйно.
3. Нехай e1, e2, . . . , en — базис який-небудь базис векторного простору i
vi =n∑
j=1
xijej.
Тодi має мiсце формула:
D(v1, v2, . . . , vn) = D(e1, e2, . . . , en)∑
(i1,i2,...,in)
(−1)χ(i1,i2,...in)x1i1x2i2 . . . xnin (5.2.3)
Дiйсно, використовуючи полiлiнiйнiсть та кососиметричнiсть будемо мати
D(v1, v2, . . . , vn) =∑
(i1,i2,...,in)
x1i1x2i2 . . . xninD(ei1, ei2, . . . , ein).
88
Тут сумування ведеться по всiм перестановкам (i1, i2, . . . in). Позначимо че-рез χ(i1, i2, . . . , in) число перестановок пар символiв, якi треба виконати щобвпорядкувати масив (i1, i2, . . . in) в зростаючому порядку, тобто отримати (1, 2, . . . , n).Тепер отриману формулу можна переписати виглядi (5.2.3).
4. Для довiльного α ∈ F формула
D(v1, v2, . . . , vn) = α ·∑
(i1,i2,...,in)
(−1)χ(i1,i2,...in)x1i1x2i2 . . . xnin
визначає дiю n-лiнiйного кососиметричного функцiоналу на наборах векторiвvi, i = 1, 2, . . . , n, що в певному базисi e1, e2, . . . en мають координати (xi1, xi2,. . ., xin). Перевiрки полiлiнiйностi та кососиметричностi так визначеного фун-кцiоналу знову залишаємо в якостi вправи.
5. Значення n-лiнiйного кососиметричного функцiоналу, який не є тотожнимнулем на довiльнiй сукупностi лiнiйно незалежних векторiв не є нульовим.
Дiйсно, сукупнiсть з n таких векторiв можна прийняти за базис. Якби нашогофункцiоналу на цьому базисi дорiвнювало нулю, то з формули (5.2.3) зразу бвипливало, що цей функцiонал є тотожний нуль.
Означення 5.2.3. Визначником (детермiнантом ) називається n− лiнiйнийкососиметричний функцiонал заданий на арифметичному векторному про-
сторi, який на елементах канонiчного базису приймає значення 1 ∈ F.
Визначником квадратної матрицi розмiрностi n називається число з поляF, яке є значенням визначника на векторах-рядках цiєї матрицi.
Як випливає з формули (5.2.3), умова одиничного значення функцiоналу набазисi робить означення коректним i для матрицi X = (xi,j), i, j = 1, 2, . . . nмаємо формулу:
Det(X) =∑
(i1,i2,...,in)
(−1)χ(i1,i2,...in)x1i1x2i2 . . . xnin (5.2.4)
При цьому для довiльного n — лiнiйного кососиметричного функцiоналу Dвизначеному на арифметичному Fn i довiльного базису цього простору e1, e2, . . . , en
має мiсце формула
D(v1, v2, . . . , vn) = Det(v1, v2, . . . , vn) · D(e1, e2, . . . , en). (5.2.5)
З формули (5.2.4) Негайно випливає, що якщо матриця X є трикутною, тобтоxij = 0 при i > j, (нижня трикутна) або xij = 0 при i < j (верхня трикутна), тоїї визначник Det(X) дорiвнює добутку дiагональних елементiв. На цьому грун-тується один з методiв обчислення визначникiв матриць. Адже згiдно власти-востi 1, додавання до рядка iншого, помноженого на скаляр не змiнює значення
89
визначника , крiм того множення рядка на скаляр приводить до множення зна-чення визначника на це ж число, а перестановка довiльних двох рядкiв простозмiнює знак на протилежний. Вказаними перетвореннями довiльну квадратнуматрицю можна звести до трикутного вигляду i пiсля цього легко обчислити їївизначник.
Лема 5.2.1.Det(X) = Det(XT ).
Доведення. Розглянемо вираз (−1)χ(i1,i2,...in)x1i1x2i2 . . . xnin, який є одним з до-данкiв формули (5.2.4). Як уже згадувалось, набiр натуральних чисел (i1, i2, . . . , in)є перестановкою чисел 1, 2, . . . , n, i нехай в цiй перестановцi число 1 стоїть на по-зицiї j1, 2 на позицiї j2, 3 на позицiї J3 . . . n на позицiї jn. Числа (j1, j2, . . . , jn)теж очевидно утворюють перестановку чисел 1, 2, . . . , n зворотну до початковоїперестановки. Переставимо спiвмножники в добутку i перепишемо його в та-кому виглядi xj11xj22 . . . xjnn. Перший спiвмножник є елементом першого рядкатранспонованої матрицi, другий — другого i так далi. Крiм того зауважимо, щовиконуючи попарнi перестановки з масивами (i1, i2, . . . , in) можна тi самi пере-становки виконувати з масивом (1, 2, . . . , n) i при цьому ми отримаємо масиви(1, 2, . . . , n) та (j1, j2, . . . , jn).
(i1 i2 . . . in1 2 . . . n
)7→
(1 2 . . . nj1 j2 . . . jn
)
Звiдси випливає, що χ(i1, i2, . . . , in) = χ(j1, j2, . . . , jn), а отже маємо рiвнiсть
(−1)χ(i1,i2,...in)x1i1x2i2 . . . xnin = (−1)χ(j1,j2,...,jn)xj11xj22 . . . xjnn,
а тому маємо рiвнiсть визначникiв.
Це означає що для зведення до трикутного виду можна використовувати iелементарнi перетворення над стовпчиками.
Iншим методом обчислення детермiнанта квадратної матрицi розмiрностi nє розклад по рядку або стовпчику, який зводить задачу до обчислення n визна-чникiв матриць розмiрностi n − 1.
Означення 5.2.4. Нехай X = (xij), i, j = 1, 2, . . . , n — квадратна матриця,тодi детермiнант матрицi, яка залишилась пiсля викреслювання i-го рядка
та j-го стовпчика з матрицi X називається доповнюючим мiнором i позна-чається Mij
Теорема 5.2.1. Мають мiсце формули:
DetX =n∑
j=1
xij · (−1)i+j · Mij i = 1, 2, . . . , n; (5.2.6)
90
DetX =n∑
i=1
xij · (−1)i+j · Mij j = 1, 2, . . . , n. (5.2.7)
Доведення. Доведемо формулу (5.2.6) при i = 1. Використовуючи лiнiйнiсть попершому аргументу маємо:
Det(X) = Det
(n∑
i=1
x1iεi,
n∑
j=1
x2jεj, . . . ,
n∑
j=1
xnjεj
)=
n∑
i=1
x1iDet
(εi,
n∑
j=1
x2jεj, . . . ,
n∑
j=1
xnjεj
)=
=n∑
i=1
x1iDet
εi,
n∑
j=1(j 6=i)
x2jεj, . . . ,
n∑
j=1(j 6=i)
xnjεj
.
Тут внаслiдок кососиметричностi i полiлiнiйностi функцiоналу Det в сумахщо входять в Det (εi, . . .), доданки що з номерами j = i будуть давати ну-льовий внесок. Тодi для кожного фiксованого i Det (εi, . . .) можна розгля-дати як n − 1− лiнiйний кососиметричний функцiонал на пiдпросторi L =<ε, . . . , εi−1, εi+1, . . . , εn > — породженому вказаними векторами канонiчного ба-зису. За формулою (5.2.5) маємо
Det
εi,
n∑
j=1(j 6=i)
x2jεj, . . . ,n∑
j=1(j 6=i)
xnjεj
=
= Det
n∑
j=1(j 6=i)
x2jεj, . . . ,n∑
j=1(j 6=i)
xnjεj
· Det (εi, ε1, . . . , εi−1, εi+1, . . . , εn) .
Легко бачити, що перший спiвмножник збiгається з доповнюючим мiнором M1i.Враховуючи, що
Det (ei, ε1, . . . , εi−1, εi+1, . . . , εn) =
= (−1)i−1 · Det (ε1, ε2, . . . , εi−1, εi, εi+1, . . . , εn) = (−1)i+1,
отримуємо формулу (5.2.6) розкладу детермiнанта по першому рядку. Скори-стаємося отриманою формулою для Det (vk, v1, . . . , vk−1, vk+1, vk+2, . . . , vn) , деvi — вектор-рядки матрицi X. Враховуючи, що
Det (vk, v1, . . . , vk−1, vk+1, vk+2, . . . vn) = (−1)k−1 · Det(X)
отримуємо розклад (5.2.6) по довiльному k− му рядку. Формули (5.2.7) випли-вають з ранiше доведеного результату про рiвнiсть детермiнантiв матрицi татранспонованої до неї.
91
Теорема 5.2.2. Для довiльних квадратних матриць A, B однакової розмiрно-
стi має мiсце формула
Det(A · B) = Det(A) · Det(B).
Доведення. Зафiксуємо значення матричних елементiв матрицi B i розглянемофункцiонал:
DB(A) = Det(A · B),
який приймаючи n рядкiв матрицi A повертає значення з поля F, яке обчислює-ться за формулою, що стоїть у правiй частинi рiвностi. Легко переконатися, щоDB(A) є кососиметричним i n — лiнiйним функцiоналом. Дiйсно, перестанов-ка рядкiв матрицi A приведе до перестановки тих же рядкiв в матрицi A · B iзначення детермiнанта змiнить знак на протилежний. Якщо ж який-небудь ря-док матрицi A подано як лiнiйну комбiнацiю двох яких-небудь векторiв-рядкiв,то рядок з тим же номером в матрицi A · B буде лiнiйною комбiнацiєю вiдпо-вiдних вектор-рядкiв з тими самими коефiцiєнтами i n− лiнiйнiсть випливає звластивостi полiлiнiйностi функцiоналу Det.
Застосуємо формулу (5.2.5) до n-лiнiйного кососиметричного функцiоналуDB(A).
DB(A) = Det(A) · DB(ε1, ε2, . . . , εn).
Приймаючи до уваги, що
DB(ε1, ε2, . . . , εn) = Det(E · B) = Det(B),
де E — одинична матриця, завершуємо доведення теореми.
5.3 Використання визначникiв для обертання матриць тазнаходження розв’язкiв систем лiнiйних рiвнянь.
Означення 5.3.1. Число (−1)i+j ·Mij називають алгебраїчними доповненням
матричного елемента xij. Матриця у якої на перетинi i− го рядка та j−го стовпчика знаходиться алгебраїчне доповнення матричного елемента xji
(звернiть увагу на перестановку iндексiв) називається приєднаною матрицеюматрицi X i позначається X∗.
Теорема 5.3.1. Має мiсце формула
X · X∗ = Det(X) · E. (5.3.8)
Доведення. Обчислимо матричний (i, k)− й елемент матрицi X · X∗.n∑
j=1
xijx∗jk =
n∑
j=1
xij · (−1)k+j · Mkj.
92
Скористаємося тепер формулою (5.2.6). Якщо i 6= k, то отримана формулає розклад по i− му рядку детермiнанта матрицi, яка утворена з матрицi Xзамiною k− го рядка на i — й. Оскiльки у такої матрицi будуть два однаковiрядка, то цей детермiнант дорiвнює нулю. При i = k отримуємо просто формулу(5.2.6). Отже, маємо формулу
n∑
j=1
xij · (−1)k+j · Mkj = δikDet(X)
(δik - символ Кронекера), звiдки i випливає потрiбна формула.
Наслiдок 5.3.1. Матриця X є оборотною тодi i тiльки тодi, коли Det(X) 6=0 при цьому має мiсце формула:
X−1 =1
Det(X)· X∗. (5.3.9)
Формули Крамера.
Використаємо знайдену формулу для оберненої матрицi для знаходженняявного виду розв’язку системи лiнiйних рiвнянь
A · x = b,
де A — оборотна квадратна матриця розмiрностi n, а b — вектор-стовпчик тiєїж розмiрностi. Помноживши обидвi частини рiвностi на обернену матрицю A−1
злiва, ми отримаємо еквiвалентну систему:
x = A−1 · b,
звiдки за формулою (5.3.9) маємо
x =1
Det(A)· A∗ · b.
Обчислимо k− ту координату вектора x :
xk =1
Det(A)·
n∑
i=1
(−1)k+iMik · bi.
Тут Mik доповнюючий мiнор матрицi A. Порiвнюючи з формулою (5.2.7) роз-кладу по стовпчику детермiнанта, приходимо до висновку, що сума в правiйчастинi є нiчим iншим як детермiнантом матрицi, яка отримана з матрицi Aзамiною її k− го стовпчика на вектор-стовпчик b. Позначивши вказаний детер-мiнант через Dk отримуємо формулу Крамера
xk =Dk
Det(A), k = 1, 2, . . . , n. (5.3.10)
93
5.4 Задачi
Обчислити визначники:
1.
a)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 11 −1 1 11 1 −1 11 1 1 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣; b)
∣∣∣∣∣∣∣∣
0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0
∣∣∣∣∣∣∣∣; c)
∣∣∣∣∣∣∣∣
2 −5 4 33 −4 7 54 −9 8 5−3 2 −5 3
∣∣∣∣∣∣∣∣.
2.
a)
∣∣∣∣∣∣∣∣
3 −3 −2 −52 5 4 65 5 8 74 4 5 6
∣∣∣∣∣∣∣∣; b)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
3 6 5 6 45 9 7 8 66 12 13 9 74 6 6 5 42 5 4 5 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
; c)
∣∣∣∣∣∣∣∣
32 −9
2 −32 −3
53 −8
3 −23 −7
343 −5
3 −1 −23
7 −8 −4 −5
∣∣∣∣∣∣∣∣.
3. Обчислити визначники:
a)
∣∣∣∣∣∣∣∣
13 −5
225
32
3 −12 −215 15
23 −9
245
52
−17
27 −1
737
∣∣∣∣∣∣∣∣;
b)
∣∣∣∣∣∣∣∣
√2
√3
√5
√3√
6√
21√
10 −2√
3√10 2
√15 5
√6
2 2√
6√
10√
15
∣∣∣∣∣∣∣∣; c)
∣∣∣∣∣∣∣∣
27 44 40 5520 64 21 4013 −20 −13 2446 45 −55 84
∣∣∣∣∣∣∣∣.
4. Обчислити визначники порядку n:
a)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
3 2 . . . 22 3 . . . 22 2 . . . 2. . . . . .
2 2 . . . 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
; b)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 3 . . . n−1 0 3 . . . n
−1 −2 0 . . . n. . . . . . .
−1 −2 −3 . . . 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
; c)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 3 . . . n1 x + 1 3 . . . n
1 2 x + 1 . . . n. . . . . . .
1 2 3 . . . x + 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
5. Обчислити визначник порядку n + 1:
94
a)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 . . . 11 a1 0 . . . 01 0 a2 . . . 0. . . . . . .
1 0 0 . . . an
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
, b)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0 0 . . . 0 11 a1 0 0 . . . 0 01 1 a2 0 . . . 0 01 0 1 a3 . . . 0 0. . . . . . . . .
1 0 0 0 . . . 1 an
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
6. Обчислити визначники порядку n:
a)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
5 3 0 . . . 02 5 3 . . . 00 2 5 . . . 0. . . . . . .0 0 0 . . . 5
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
; b)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
3 2 0 . . . 01 3 2 . . . 00 1 3 . . . 0. . . . . . .0 0 0 . . . 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
; c)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
7 5 0 . . . 02 7 5 . . . 00 2 7 . . . 0. . . . . . .0 0 0 . . . 7
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
;
d)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
α + β α · β 0 . . . 01 α + β α · β . . . 00 1 α + β . . . 0. . . . . . .0 0 0 . . . α + β
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
; e)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 . . . 1x1 x2 x3 . . . xn
x21 x2
2 x23 . . . x2
n
. . . . . . .xn−1
1 xn−12 xn−1
3 . . . xn−1n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
;
f)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x + a1 a2 a3 . . . an
a1 x + a2 a3 . . . an
a1 a2 x + a3 . . . an
. . . . . . .a1 a2 a3 . . . x + an
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
; g)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0 1 1 . . . 11 0 x . . . x
1 x 0 . . . x. . . . . . .
1 x x . . . x1 x x . . . 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
7. Обчислити визначники :
a)
∣∣∣∣∣∣∣∣
0 a b ca′ 1 0 0b′ 0 1 0c′ 0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣; b)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2 3 0 0 1 −19 4 0 0 3 74 5 1 −1 2 43 8 3 7 6 91 −1 0 0 0 03 7 0 0 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
8. Розв’язати методом Крамера
a)
2x1+ 2x2− x3+ x4 = 44x1+ 3x2− x3+ 2x4 = 68x1+ 5x2− 3x3+ 4x4 = 123x1+ 3x2− 2x3+ 2x4 = 6
b)
2x1+ 3x2+ 11x3+ 5x4 = 2x1+ x2+ 5x3+ 2x4 = 1
2x1+ x2+ 3x3+ 2x4 = −3x1+ x2+ 3x3+ 4x4 = −3
95
9. Обчислити визначники :
a)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 . . . 11 2 22 . . . 2n
1 3 32 . . . 3n
. . . . . . .
1 n + 1 (n + 1)2 . . . (n + 1)n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
; b)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a 0 . . . 0 b0 a . . . b 0. . . . . . .0 b . . . a 0b 0 . . . 0 a
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
;
c)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 . . . 1x1 + 1 x2 + 1 x3 + 1 . . . xn + 1x2
1 + x1 x22 + x2 x2
3 + x3 . . . x2n + xn
. . . . . . .
xn−11 + xn−2
1 xn−12 + xn−2
2 xn−13 + xn−2
3 . . . xn−1n + xn−2
n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
;
d)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 + x1 1 + x21 1 + x3
1 . . . 1 + xn1
1 + x2 1 + x22 1 + x3
2 . . . 1 + xn2
1 + x3 1 + x23 1 + x3
3 . . . 1 + xn3
. . . . . . .
1 + xn 1 + x2n 1 + x3
n . . . 1 + xnn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
10. Вектори i утворюють кут φ = π6 . Знаючи, що |a| = 6, |b| = 5, обчислити
|[ab]|.
11. Дано три вектори : a = (1,−1, 3), b = (−2, 2, 1), c = (3,−2, 5). Визначити,чи будуть компланарними цi вектори. Обчислити abc.
12. Обчислити об’єм тетраедра, вершини якого розмiщенi в точках
a) A(2;−1; 1), B(5; 5; 4), C(3; 2;−1) i D(4; 1; 3);
b) A(4; 2; 1), B(−3;−3;−1), C(2; 1; 2) i D(5;−2;−1).
13. Знайти довжину висоти тетраедра з вершинами A(1, 1,−3), B(4, 2, 1), C(3,−1, 5)та D(3, 3, 7), опущеної з вершини D.
14. Знайти довжину висоти тетраедра з вершинами A(−1, 0,−3), B(2, 2, 1),C(4,−1, 2) та D(3, 3,−4), опущеної з вершини C.
15. Скласти рiвняння площини, що проходить через точки A(1, 2, 2), B(2, 0, 1),C(0,−1, 2).
16. Скласти рiвняння площини, що проходить через точки A(2, 0, 4), B(−2, 2, 1),C(3,−1,−2).
96
Роздiл 6
Бiлiнiйнi симетричнi та квадратичнi
форми
6.1 Матрицi бiлiнiйних форм
Як ми бачили ранiше, бiлiнiйний функцiонал повнiстю визначається своїми зна-ченнями на базисних елементах: F (ei, ej) = aij ∈ F. Дiйсно, адже для векторiвv =
∑ni=1 xiei, v =
∑nj=1 yjej будемо мати
F (v, w) = F
(n∑
i=1
xiei,
n∑
j=1
yjej
)=
n∑
i=1
n∑
j=1
xiyjF (ei, ej) =n∑
i=1
n∑
j=1
xiyjaij.
Розглянемо праву частину отриманого виразу як полiном вiд змiнних x1, x2, . . . , xn,y1, y2, . . . , yn. При цьому ми бачимо що кожен доданок має степiнь 1 по змiннимxi i по змiнним yj, а повний степiнь дорiвнює 2.
Означення 6.1.1. Полiном виду
S(x,y) =n∑
i=1
n∑
j=1
xiyjaij, (6.1.1)
який є однорiдним степеня 1 окремо по змiнним xi та окремо по змiнним
yj i має степiнь однорiдностi 2 по всiм змiнним, називається бiлiнiйноюформою вiд вказаних змiнних, а однорiдний полiном степеня 2 по змiннимxj
Q(x) =n∑
i=1
n∑
j=1
xixjbij, (6.1.2)
називається квадратичною формою вказаних змiнних.
Матрицi коефiцiєнтiв A = (aij) , B = (bij) називаються матрицями бiлi-нiйної та квадратичної форм вiдповiдно.
97
Будь-якiй бiлiнiйнiй формi можна поставити у вiдповiднiсть квадратичнуформу:
Q(x) = S(x,x). (6.1.3)
З iншого боку, для бiлiнiйної форми маємо:
S(x + y,x + y) = S(x,x) + S(y,y) + S(x,y) + S(y,x).
Якщо бiлiнiйний функцiонал є симетричним F (v, w) = F (w, v), то i вiдповiднабiлiнiйна форма є симетричною: S(x,y) = S(y,x), що еквiвалентно умовамaij = aji. Для таких форм будемо мати:
S(x + y,x + y) = S(x,x) + S(y,y) + 2S(x,y).
Якщо 1 + 1 6= 0 в полi F, то покладемо Q(x) = S(x,x) i отримаємо
S(x,y) =1
2(Q(x + y) − Q(x) − Q(y)) .
Отже, симетрична бiлiнiйна форма однозначно вiдновлюється по своїй квадра-тичнiй формi.
Бiлiнiйнi форми (не обов’язково симетричнi) зручно подавати у матричнiйформi:
S(x,y) = xTAy, (6.1.4)
де x,y− вектор-стовпчики змiнних, а A = (aij)− матриця. Якщо ж S є симе-тричною, то матриця A є симетричною i для вiдповiдної квадратичної формибудемо мати
Q(x) = xTAx. (6.1.5)
Якщо замiнити базис векторного простору на e′1, e′2, . . . , e
′n, то як ми пам’я-
таємо зв’язок мiж координатами здiйснюється за допомогою матрицi переходу:x = Cx′,y = Cy′. Для бiлiнiйної форми будемо мати:
S(x,y) = xTAy = (C · x′)TA · C · y′ = x′T (CTAC
)y′,
Отже, матрицi бiлiнiйних форм, отриманi одна з iншої замiною базису, по-в’язанi мiж собою наступним чином
A′ = CT · A · C (6.1.6)
Означення 6.1.2. Бiлiнiйнi та квадратичнi форми, матрицi яких пов’язанi
спiввiдношенням (6.1.6), називаються еквiвалентними .
Iншими словами еквiвалентнi бiлiнiйнi форми визначають одни i той же бi-лiнiйний функцiонал на векторному просторi.
Вправа Довести, що ранги матриць еквiвалентних форм збiгаються.
Означення 6.1.3. Попереднє твердження дозволяє ввести поняття рангубiлiнiйного не обов’язково симетричного функцiоналу. Зробiть це самостiйно.
98
6.2 Зведення бiлiнiйних симетричних форм до дiагональ-ного вигляду
Теорема 6.2.1. Для довiльного бiлiнiйного симетричного функцiоналу, визна-ченого на векторному просторi, iснує базис в якому цей функцiонал задається
бiлiнiйною формою, що має дiагональний вигляд:
S(x,y) =n∑
i=1
aixiyi, (6.2.7)
ai ∈ R. В цьому базисi вiдповiдна квадратична форма набуває вигляду:
Q(x) = S(x,x) =n∑
i=1
aix2i . (6.2.8)
Iншими словами будь-яка симетрична бiлiнiйна (квадратична) форма еквiва-
лентна дiагональнiй формi (6.2.7) ( (6.2.8)).
Доведення. Нехай в деякому базисi бiлiнiйна симетрична форма має вид (6.1.1),тодi за формулою (6.1.3) маємо
Q(x,x) = Q(x1, . . . , xn) =n∑
i=1
aiix2i +
∑
1≤i<j≤n
2aijxixj. (6.2.9)
Доведення проведемо методом математичної iндукцiї по n. При n = 1 твердже-ння очевидне. Припустимо, що один з коефiцiєнтiв aii вiдмiнний вiд нуля. Невтрачаючи загальностi, можна вважати, що a11 6= 0. Тодi квадратичну формуможна подати у такому виглядi
Q(x1, . . . , xn) = a11
(x1 +
a12
a11x2 + . . . +
a1n
a11xn
)2
+ Q1(x2, . . . , xn)
Перейдемо до iншого базису, в якому координати x′i пов’язанi зi старими коор-
динатами наступним чином
x′1 = x1 +
a12
a11x2 + . . . +
a1n
a11xn, x′
i = xi, i > 1.
Легко бачити, що матриця переходу вiд нових координат до старих x′ → xє оборотною, а отже дiйсно є матрицею переходу до iншого базису. В ньомуквадратична форма набуде вигляду
Q(x′1, . . . , x
′n) = a11x
′21 + Q1(x
′2, . . . , x
′n),
де Q1(x′2, . . . , x
′n)− квадратична форма вiд меншої кiлькостi змiнних, а отже
можна застосувати припущення iндукцiї. В побудованому базисi вiдповiдна бi-лiнiйна симетрична форма буде очевидно мати також дiагональний вигляд.
99
Якщо ж ∀i aii = 0, то знайдемо пару (i, j) : ai,j 6= 0. Новий базис оберемотаким чином, щоб новi i старi координати були пов’язанi формулами xi = x′
i −x′
j, xj = x′i + x′
j, xk = x′k, k 6= i, j. В цьому базисi квадратична форма (6.2.9)
набуде виглядуQ(x′,x′) = 2ai,j(x
′2i − x′2
j ) + Q1(x′,x′)
i вона мiстить доданки з квадратами змiнних. Цим задача до розглянутого вищевипадку. Очевидно, що у побудованому базисi вiдповiдна бiлiнiйна симетричнаформа також набуде дiагонального вигляду.
Наслiдок 6.2.1. Будь-яка квадратична форма над полем комплексних чисел
еквiвалентна формi x21 + x2
2 + . . . + x2k.
Описаний вище метод зведення квадратичної форми до дiагонального ви-гляду називають методои Лагранжа.
Опишемо iнший метод (метод Якобi), який пов’язаний з прямою побудо-вою потрiбного базису. Для його застосування необхiдно виконання додатковихумов: головнi мiнори матрицi A = (ai,j) (aij = F (ei, ej)) бiлiнiйної форми маютьбути вiдмiннi вiд нуля, тобто ∆1 = a11 6= 0,
∆2 = det
(a11 a12
a21 a22
)6= 0, ∆3 = det
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
6= 0, . . . , ∆n = det(A) 6= 0.
Будемо шукати потрiбний базис у виглядi
e′i =i∑
j=1
cijej.
Невизначенi коефiцiєнти знайдемо з умов
F (e′i, e′j) = 0, i 6= j. (6.2.10)
Цi умови будуть очевидно виконанi, якщо будуть мати мiсце такi рiвностi
F (e′k, ei) = 0, i = 1, 2, . . . , k − 1, k = 1, 2, . . . , n. (6.2.11)
Оскiльки елементи потрiбного базису визначаються з точнiстю до сталого мно-жника, то для визначеностi додамо ще умови F (e′k, ek) = 1, k = 1, 2, . . . , n. З цихумов та (6.2.11), отримуємо для кожного k систему лiнiйних рiвнянь вiдносноневiдомих коефiцiєнтiв cij :
{ ∑kj=1 ckjF (ej, ei) = 0 i = 1, 2, . . . , k − 1∑kj=1 ckjF (ej, ek) = 1
, (6.2.12)
100
визначник якої збiгається з ∆k, а отже вiдмiнний вiд нуля. Таким чином, на-веденi системи лiнiйних рiвнянь однозначно визначають базис e′1, e
′2, . . . , e
′n з
потрiбними властивостями. Для k = 1, 2, . . . , n за формулами Крамера отриму-ємо
ckk =∆k−1
∆k
.
Враховуючи, що для елементiв побудованого базису виконуються умови (6.2.10),отримуємо дiагональний вигляд квадратичної форми в цьому базисi:
∆1
∆2x′2
1 + . . . +∆n−1
∆n
x′2n . (6.2.13)
6.3 Закон iнерцiї квадратичних форм
Теорема 6.3.1 (Закон iнерцiї квадратичних форм над полем дiйснихчисел). Кiлькостi додатних та вiд’ємних коефiцiєнтiв в дiагональному ви-
глядi еквiвалентних квадратичних форм збiгаються.
Доведення. Очевидно, що досить розглядати дiагональнi вигляди з коефiцiєн-тами ±1. Припустимо, що еквiвалентнi квадратичнi форми мають дiагональнiформи:
F (x,x) = x21+. . .+x2
r−x2r+1−. . .−x2
r+s = x′21 +. . .+x′2
r′−x′2r”+1−. . .−x′2
r′+s′ (6.3.14)
в базисах e1, e2, . . . , en; e′1, e′2, . . . , e
′n. Розглянемо пiдпростiр U породжений ве-
кторами e′1, e′2, . . . , e
′r′. Для будь-якого u ∈ U будемо мати F (u, u) > 0. Для
векторiв пiдпростору W, породженому векторами er+1, er+2, . . . , er+s, . . . , en. бу-демо мати F (w, w) < 0. Якщо r′ > r, то будемо мати dim U+dim W = r′+n−r >n, а отже, згiдно формули (4.1.12), U ∩W 6= (0). Для вектора u ∈ U ∩W отри-муємо суперечнiсть F (u, u) > 0 i одночасно F (u, u) < 0. Отримана суперечнiстьдоводить, що r = r′.
Для отримання рiвностi s = s′ слiд провести тi самi мiркування для −F (x,x).
Означення 6.3.1. Бiлiнiний симетричний функцiонал F (u, v) визначений на
дiйсному векторному просторi називається додатно визначеним, якщо ∀u 6=0 має мiсце F (u, u) > 0.
Теорема 6.3.2. Бiлiнiний симетричний функцiонал F (u, v) є додатно визна-ченим тодi i тiльки тодi для елементiв його матрицi в деякому базисi вико-
нуються нерiвностi:
∆1 > 0, ∆2 > 0, ∆3 > 0, . . . , ∆n > 0. (6.3.15)
Доведення. Критерiй є прямим наслiдком методу Якобi, та закону iнерцiї ква-дратичних форм.
101
6.4 Задачi
1. Звести квадратичну форму до канонiчного вигляду методом Лагранжа:
a) x21 + 2x2
2 + 3x23 + 2x1x2 + 8x2x3;
b) x21 − 2x2
2 + x23 + 2x1x2 + 4x1x3 + 2x2x3;
c) x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4;
d) x21 − 3x2
2 − 2x1x2 + 2x1x3 − 6x2x3.
2. Звести квадратичну форму до канонiчного вигляду:
a) 2x21 + 3x2
2 + 4x23 − 2x1x2 + 4x1x3 − 3x2x3;
b) 3x21 − 2x2
2 + 2x23 + 4x1x2 − 3x1x3 − x2x3;
c) 4x21 + x2
2 + x23 − 4x1x2 + 4x1x3 − 3x2x3;
3. Чи еквiвалентнi такi квадратичнi форми?
a) x21 − x2x3 y1y2 − 3y2
3;
b) x21 + x2x3 y1y2 + y2
3;
c) −4x1x2 y21 − 8y1y2 + 2y2
2;
d) x21 +4x2
2 +x23 +4x1x2 − 2x1x3 − 4y2
1 − y22 − y2
3 − 4y1y2 +4y1y3 +18y2y3.
4. Знайти всi значення параметра λ, при яких квадратичнi форми будутьдодатно визначенi.
a) 2x21 + 2x2
2 + x23 + 2λx1x2 + 6x1x3 + 2x2x3;
b) x21 + x2
2 + 5x23 + 2λx1x2 − 2x1x3 + 4x2x3.
5. Довести, що квадратична форма f тодi i тiльки тодi додатно визначена,якщо матрицю цiєї квадратичної форми можна представити у виглядi до-бутку двох матриць A = CCT , де C невироджена матриця, а CT — транс-понована до неї.
102
Роздiл 7
Евклiдовi та унiтарнi векторнi простори
7.1 Нерiвнiсть Кошi-Буняковського
В цьому роздiлi ми будемо розглядати векторнi простори лише над полямидiйсних та комплексних чисел.
Означення 7.1.1. Векторний простiр V = V (R) називається евклiдовим,
якщо на ньому визначено бiлiнiйний, симетричний, додатно-визначений фун-кцiонал, який називається скалярним добутком.
Тобто скалярний добуток це вiдображення:
V × V 7→ R, (7.1.1)
яке отримавши на вхiд пару векторiв v1, v2 повертає скаляр (v1, v2) ∈ R, прицьому виконуються умови
1. бiлiнiйностi
∀λ, µ ∈ R ∀u, v, w ∈ V (λu + µv, w) = λ(u, w) + µ(v, w),
∀λ, µ ∈ R ∀u, v, w ∈ V (u, λv + µw) = λ(u, v) + µ(u, w);
2. симетричностi∀v, w ∈ V (v, w) = (w, v).
3. додатної визначеностi:
∀v ∈ V, v 6= 0 ⇒ (v, v) > 0.
Приклад 7.1.1. Для арифметичного векторного простору V = Rn введемоскалярний добуток двох рядкiв x = (x1, x2, . . . , xn),y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn
наступним чином:
(x,y) =n∑
i=i
xi · yi.
Самостiйно перевiрте, що всi умови 1–3 виконуються.103
Приклад 7.1.2. Для простору всiх неперервних функцiй на вiдрiзку C([a, b])введемо скалярний добуток двох функцiй f i g таким чином:
(f(x), g(x)) =
∫ b
a
f(x) · g(x)dx.
Самостiйно перевiрте, що введена таким чином бiлiнiйна функцiя є скаляр-ним добутком.
Для векторних просторiв над полем C розглядають ще iнший вид скалярногодобутку — ермiтiв скалярний добуток. Основна iдея цього означення полягаєв тому, щоб скалярний квадрат довiльного вектора, був дiйсним невiд’ємнимчислом.
Означення 7.1.2. Якщо на комплексному векторному просторi V = V (C)задано вiдображення V × V 7→ C, яке задавольняє умовам:
1. лiнiйнiсть по першому аргументу
∀λ, µ ∈ F ∀u, v, w ∈ V (λu + µv, w) = λ(u, w) + µ(v, w),
2. ермiтовiсть∀u, v ∈ V (u, v) = (v, u),
3. додатної визначеностi:
∀v ∈ V (C) v 6= 0 (v, v) − дiйсне додатне число,
то говорять, що задано ермiтiв скалярний добуток, а векторний простiр з
визначеним на ньому ермiтовим скалярним добутком називається унiтар-ним.
Приклад 7.1.3. Стандартним прикладом ермiтового простору є арифмети-чний векторний простiр V = Cn з ермiтовим скалярним добутком двох ряд-
кiвx = (x1, x2, . . . , xn),y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Cn, що визначається наступним чи-
ном:
(x,y) =n∑
i=i
xi · yi.
Самостiйно перевiрте, що всi властивостi виконуються.
Якщо e1, e2, . . . , en — базис векторного простору, то з бiлiнiйностi (пiвтора-лiнiйностi) скалярного добутку випливає, що вiн повнiстю визначається своїми
104
значеннями на базисних векторах, при цьому вiдповiдна матриця
(e1, e1) (e1, e2) (e1, e3) . . . (e1, en)(e2, e1) (e2, e2) (e2, e3) . . . (e2, en)(e3, e1) (e3, e2) (e3, e3) . . . (e3, e3)
. . . . . . . . . . . . . . .(en, e1) (en, e2) (en, e3) . . . (en, en)
(7.1.2)
називається матрицею Грама.
Означення 7.1.3. Для евклiдових та унiтарних векторних просторiв число√
(v, v) = |v|
називається довжиною або нормою вектора v.
Теорема 7.1.1. Нерiвнiсть Кошi-Буняковського.
Для будь-яких двох векторiв v, w ∈ V має мiсце нерiвнiсть:
|(v, w)| ≤ |v| · |w|, (7.1.3)
причому рiвнiсть має мiсце тодi i тiльки тодi, коли цi вектори лiнiйно за-лежнi.
Доведення. Нехай λ — довiльне дiйсне число, тодi для квадрата довжини ве-ктора v + λw будемо мати
0 ≤ (v + λw, v + λw) = (w, w)λ2 + 2(v, w)λ + (v, v).
Оскiльки при всiх значеннях λ квадратний многочлен набуває невiд’ємних зна-чень, то його дискримiнант (v, w)2 − (v, v)(w, w) не повинен бути додатним,звiдки (v, w)2 ≤ (v, v)(w, w). Оскiльки отримана нерiвнiсть зв’язує невiд’ємнiчисла, то з обох частин можна вилучити квадратний корiнь i отримати потрi-бну нерiвнiсть. Якщо ж має мiсце рiвнiсть, то квадратне рiвняння має кратнийкорiнь λ∗ i для нього будемо мати 0 = (v + λ∗w, v + λ∗w). З умови невиродже-ностi скалярного добутку випливає рiвнiсть v + λ∗w = 0, яка i означає лiнiйнузалежнiсть векторiв.
Означення 7.1.4. Дiйсне число α ∈ [0, π] називається кутом мiж векторами
v, w, якщо
cos α =(v, w)
|v| · |w| . (7.1.4)
Означення 7.1.5. Два вектори v, w ∈ V називаються ортогональними,
якщо (v, w) = 0, тобто кут мiж цими векторами дорiвнює π2 .
105
Лема 7.1.1. Нехай v, w два ортогональних вектори, тодi має мiсце:
(v + w, v + w) = |v|2 + |w|2;
Нехай v1, v2, . . . , vk — сукупнiсть попарно ортогональних векторiв, тодi має
мiсце (k∑
i=1
vi,
k∑
i=1
vi
)=
k∑
i=1
|vi|2.
7.2 Ортогональнi системи векторiв
Лема 7.2.1. Сукупнiсть попарно ортогональних ненульових векторiв(∀i, j(i 6= j) (vi, vj) = 0) є лiнiйно незалежною.
Доведення. Припустимо, що деяка лiнiйна комбiнацiя цих векторiв дорiвнюєнульовому вектору:
n∑
i=1
λivi = 0.
Скалярний добуток обох частин рiвностi на довiльний вектор vj цiєї сукупностiдає рiвнiсть:
λj(vj, vj) = 0.
Оскiльки vj 6= 0, то з умови невиродженостi скалярного добутку маємо (vj, vj) 6=0, звiдки λj = 0. Оскiльки вектор vj був довiльним, то цим лема доведена.
Означення 7.2.1. Система з n попарно ортогональних векторiв n — вимiр-
ного векторного простору V, називається ортогональним базисом простору.
Якщо крiм того довжини векторiв ортогонального базису дорiвнюють оди-ницi, то базис називається ортонормованим.
Приклад 7.2.1. 1. В V = Rn ортонормованим базисом є канонiчний базис.
2. На площинi V = R2 ортогональний базис можна вибрати таким чином:( 1√
2, 1√
2) (− 1√
2, 1√
2).
3. В V = R3 система векторiв (34 ,
14 ,−
√6
4 ), (14 ,
34 ,
√6
4 ), (√
64 ,−
√6
4 , 12) є ортонор-
мованим базисом.
4. Система векторiв sin nx, cos nx, n ∈ N є ортонормованою системою
векторiв в просторi C([0, 1]) всiх неперервних функцiй на [0, 1].
Теорема 7.2.1. Будь-який евклiдiв (унiтарний) векторний простiр має ор-
тогональний базис.
106
Доведення. Доведення теореми проведемо методом математичної iндукцiї порозмiрностi k = dim V.
База iндукцiї k = 1. Якщо v ∈ V (v 6= 0), то вектор v|v| має одиничну
довжину i породжує одновимiрний простiр V = (v).
Припустимо, що теорему доведено для векторних просторiв розмiрнiсть якихменша за k i e1, e2, . . . , ek — базис векторного простору V . За припущеннямiндукцiї в векторному пiдпросторi L(e1, e2, . . . , ek−1) iснує ортонормований базисf1, f2, . . . , fk−1). Спробуємо знайти k — й базисний вектор у виглядi
fk =k−1∑
i=1
λifi + ek.
З умов ортогональностi отримуємо
0 = (fk, fj) =
(k−1∑
i=1
λifi + ek, fj
)=
k−1∑
i=1
λi(fi, fj) + (ek, fj) = λj(fj, fj) + (ek, fj).
Звiдки отримуємо значення
λj = −(ek, fj)
(fj, fj), j = 1, 2, . . . , k − 1,
якi визначають k — й базисний вектор ортогонального базису.
Описаний процес побудови ортогонального базису називається процесомортогоналiзацiї, при цьому маємо збiжнiсть пiдпросторiв
L(e1, e2, . . . , ei) = L(f1, f2, . . . , fi), i = 1, 2, . . . , k.
Якщо кожен вектор ортогонального базису подiлити на його довжину, то отри-маємо ортонормований базис. Неважко переконатися, що матриця Грама ска-лярного добутку для ортнормованого базису є одиничною.
Теорема 7.2.2. Нехай в ортонормованому базисi e1, e2, . . . , en вектори u, v ев-клiдового простору мають координати x1, x2, . . . , xn та y1, y2, . . . , yn, тодi для
їх скалярного добутку будемо мати формулу:
(u, v) =n∑
i=1
xiyi,
зокрема для квадрата довжини вектора має мiсце
(u, u) =n∑
i=1
x2i .
107
Для унiтарного простору формули будуть мати вигляд
(u, v) =n∑
i=1
xiyi, (u, u) =n∑
i=1
|xi|2.
Доведення. Для векторiв u =∑n
i=1 xiei, v =∑n
i=1 yiei будемо мати(
n∑
i=1
xiei,n∑
i=1
yiei
)=
n∑
i=1
n∑
j=1
xiyj(ei, ej).
Врахувавши ортонормованiсть базису отримуємо потрiбнi формули в евклiдово-му просторi. Для унiтарного простору слiд зауважити, що yj будуть виноситисьза знак скалярного добутку iз застосуванням спряження.
Як уже згадувалось арифметичний векторний простiр є стандартною мо-деллю скiнченновимiрного векторного простору. З теореми випливає, що цейпростiр оздоблений скалярним добутком значенням якого є сума добуткiв вiд-повiдних координат є стандартною моделлю евклiдового простору, а якщо наарифметичному просторi над полем комплексних чисел ввести ермiтiв скаляр-ний добуток:
(x,y) =n∑
i=1
xiyi,
то вiн буде стандартною моделлю унiтарного векторного простору.
Означення 7.2.2. Вiдстанню d = d(v, w) мiж векторами v, w ∈ V евклiдо-
вого (унiтарного) простору V називається довжина вектора v − w.
Теорема 7.2.3. Якщо вектори v, w в ортонормованому базисi мають коорди-нати (x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn), то
d(v, w) =
√√√√n∑
i=1
|xi − yi|2, (7.2.5)
зокрема
|v| = d(v, 0) =
√√√√n∑
i=1
|xi|2. (7.2.6)
7.2.1 Ортогональне доповнення векторного пiдпростору Нехай V —евклiдiв (унiтарний) векторний простiр i W векторний пiдпростiр, множинуW⊥ всiх векторiв
W⊥ = {v ∈ V |∀w ∈ W (v, w) = 0}будемо називати ортогональним доповненням пiдпростору W .
108
Лема 7.2.2. Справедливими є такi твердження:
1. Ортогональне доповнення W⊥ векторного пiдпоростору W є пiдпросто-
ром;
2.V = W ⊕ W⊥.
Доведення. Перевiрка п. 10 пропонуємо зробити самостiйно. Для доведення п.20 оберемо базис пiдпростору W , доповнимо його до базису простору V i доотриманого базису застосуємо процес ортогоналiзацiї. Вектори базису, якi неналежать W утворюють базис пiдпростору W⊥.
Означення 7.2.3. Згiдно попередньої леми, для довiльного вектора v ∈ Vмаємо однозначний розклад
v = w + w⊥, w ∈ W, w⊥ ∈ W⊥;
вектор w називається ортогональною проекцiєю вектора v на пiдпростiр
W, а вектор w⊥ — ортогональною складовою;
довжина ортогональної складової називається вiдстанню вектора v допiдпростору W, а кут мiж вектором v та його ортогональною проекцiєю
w називається кутом мiж v пiдпростором W.
7.3 Задачi
1. Використовуючи процес ортогоналiзацiї, побудувати ортогональний базиспiдпростору, породженого такою системою векторiв:
a)(1, 2, 2,−1)(1, 1,−5, 3)(3, 2, 8,−7)
; b)
(2, 1, 3,−1)(7, 4, 3,−3)(1, 1,−6, 0)(5, 7, 7, 8)
.
2. Перевiрити, що вектори систем попарно ортогональнi i доповнити їх доортогональних базисiв
a)(1,−2, 2,−3)(2,−3, 2, 4)
b)(1, 1, 1, 2)(1, 2, 3,−3)
3. Ортогоналiзувати систему векторiв a1, a2, a3 i доповнити її до ортогональ-ного базису, якщо
a) a1 = (2, 1, 0, 1), a2 = (−1, 2, 2, 1), a3 = (1, 1, 0,−2);
b) a1 = (−1, 1, 3, 1), a2 = (2, 2, 2,−5), a3 = (2, 3,−3, 3).109
4. Знайти ортогональну проекцiю y i ортогональну складову z вектора x налiнiйний пiдпростiр L, якщо
a) x = (4,−1,−3, 4), пiдпростiр L породжений векторами a1 = (1, 1, 1, 1, ),a2 = (1, 2, 2,−1), a3 = (1, 0, 0, 3).
b) x = (5, 2,−2, 2), пiдпростiр L породжений векторами a1 = (2, 1, 1,−1),a2 = (1, 1, 3, 0), a3 = (1, 2, 8, 1).
c) x = (7,−4,−1, 2), пiдпростiр L заданий такою системою рiвнянь:
2x1 + x2 + x3 + 3x4 = 03x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = 0x1 + 2x2 + 2x3 − 9x4 = 0
.
5. Лiнiйний пiдпростiр L заданий рiвняннями:x1 − 2x3 + x4 = 04x2 + x3 + 4x4 = 03x1 + 4x2 − x3 + x4 = 0.
Знайти рiвняння, що задають ортогональне доповнення простору L.
6. Простiр L породжений векторами a1, a2, a3. Знайти базис ортогональногодоповнення L∗ пiдпростору L.
a1 = (1, 0, 2, 1),a2 = (2, 1, 2, 3),a3 = (0, 1,−2, 1).
7. Лiнiйний пiдпростiр L заданий рiвняннями:x1 + x3 + 5x4 = 02x2 + 2x3 + 3x4 = 04x1 + 4x2 − x3 + x4 = 0.
Знайти рiвняння, що задають ортогональне доповнення простору L.
8. Довести, що ортогональне доповнення до лiнiйного пiдпростору L просторуR∗
n має такi властивостi:
a) (L∗)∗ = L;
b) (L1 + L2)∗ = L∗
1 ∩ L∗2;
c) (L1 ∩ L2)∗ = L∗
1 + L∗2;
Г) R∗N = 0, 0∗ = RN ,
де 0 – нульовий пiдпростiр, що мiстить лише нульовий вектор.
110
9. В просторi всiх многочленiв вiд однiєї змiнної x степеня ≤ n з дiснимикоефiцiєнтами задано скалярний добуток: для довiльних многочленiв f(x)i g(x)
(f, g) =
∫ 1
−1
f(x)g(x)dx.
Довести, що многочлени Лежандра
P0(x) = 1, Pk(x) =1
2kk!
dk
dxk[(x2 − 1)k], 1 ≤ k ≤ n
утворюють ортогональний базис цього простору.
10. Обчислити « довжину» полiнома Лежандра Pk(x) з попередньої задачi, яквектора.
11. Обчислити значення полiнома Лежандра Pk(x) при x = 1.
12. Довести, що якщо до базису 1, x, x2, . . ., xk простору всiх многочленiвстепеня ≤ n з дiйсними коефiцiєнтами застосувати процес ортогоналiза-цiї, то отримаємо многочлени f0(x), f1(x), . . ., fk(x), що вiдрiзнятимутьсявiд полiномiв Лежандра лише числовими множниками. Знайти многочлениf0(x), f1(x), . . ., fk(x).
13. Знайти вiдстань мiж вектором x i пiдпростором, породженим векторамиa1, a2, a3, якщо
a) x = (2, 2, 1, 1), a1 = (3, 4,−4,−1, ), a2 = (0, 1,−1, 2),
b) x = (1, 0, 3, 0), a1 = (5, 3, 4,−3), a2 = (1, 1, 4, 5), a3 = (2,−1, 1, 2).
14. Знайти довжини сторiн i внутрiшнi кути трикутникiв, вершини яких заданiсвоїми координатами A(2, 4, 2, 4, 2), B(6, 4, 4, 4, 6), C(5, 7, 5, 7, 2).
15. Скласти рiвняння площини, яка проходить через точку M(2; 1;−1) i маєнормальний вектор n = (1,−2, 3).
16. Вектор утворює з осями ox i oz кути α = 1200 i γ = 450. Який кут вiнутворює з вiссю oy?
17. Скласти рiвняння площини, що проходить через точку (−2; 7; 3) паралель-но площинi x − 4 + 5z − 1 = 0.
18. Написати рiвняння площини, що проходить через точку (3; 1; -2) i черезпряму x−4
2 = y+31 = z
−1 .
19. Написати рiвняння площини, що проходить через точку (3; 1; -2) i перпен-дикулярна прямiй x−4
2 = y+31 = z
−1 .
111
20. Скласти рiвняння прямої, що проходить через точки перетину площини2x + y − 3z + 1 = 0 з прямими x−3
1 = y−5−5 = z+1
2 i x−52 = y−3
4 = z+4−6 .
21. Скласти рiвняння прямої, що проходить через точку (−2; 7; 3) паралельноплощинi x − 4 + 5z − 1 = 0.
22. Скласти рiвняння прямої, що проходить через точку (−1; 3; 3) перпенди-кулярно площинi x − 2 + z − 1 = 0.
23. Скласти рiвняння площини, що проходить через пряму x−25 = y−3
1 = z+12 i
перпендикулярна до площини x + 4y − 3z + 7 = 0.
24. Чи можна через пряму x−74 = y−5
3 = z−16 провести площину паралельно
площинi 2x + y − 7z + 1 = 0?
25. Знайти точку, симетричну з точкою P (+4; +3; +10) вiдносно прямої x−12 =
y−24 = z−3
5 .
26. Знайти найкоротшу вiдстань мiж двома прямими x−94 = y+2
−3 = z1 i x
−2 =y+79 = z−2
2 .
27. Обчислити вiдстань мiж прямими: x+34 = y−6
−3 = z−32 i x−4
8 = y+12−3 = z+7
3 .
112
Роздiл 8
Лiнiйнi вiдображення та оператори
Нехай V, W — векторнi простори над полем F.
Означення 8.0.1. Вiдображення з простору V в простiр W називається лi-нiйним вiдображенням
φ : V 7→ W,
якщо воно задовольняє умови
∀v1, v2 ∈ V φ(v1 + v2) = φ(v1) + φ(v2); (8.0.1)
∀v ∈ V ∀λ ∈ F φ(λv) = λφ(v). (8.0.2)
Звернемо увагу на те, що операцiї додавання та множення на скаляр в лiвихта правих частинах рiвностей (8.0.1), (8.0.2) є операцiями в рiзних векторнихпросторах.
Приклад 8.0.1. Нехай e1, e2, . . . , en — базис векторного простору V i w1, w2, . . . , wn
— довiльна система векторiв iншого векторного простору W , тодi вiдображе-ння ei → wi, 1 ≤ i ≤ n однозначно продовжується до лiнiйного вiдображення
всього простору V в простiр W :
n∑
i=1
λiei →n∑
i=1
λiwi.
Твердження 8.0.1. Нехай V1 ⊆ V, W1 ⊆ W — векторнi пiдпростори, аφ : V → W — лiнiйне вiдображення, тодi множини
φ(V1) = {φ(v)|v ∈ V1} ⊆ W,
φ−1(W1) = {v ∈ V |φ(v) ∈ W1} ⊆ V
є векторними пiдпросторами, зокрема, векторними пiдпросторами є
Imφ = φ(V ) ⊆ W i Kerφ = φ−1(0) ⊆ V.
113
Вправа 8.0.1. Довести це твердження самостiйно.
Пiдпростори Imφ та Kerφ будемо називати образом та ядром лiнiйного опе-ратора φ вiдповiдно.
Теорема 8.0.1.Imφ ∼= V |Kerφ.
Доведення. Самостiйно перевiрте, що вiдображення
v + Kerφ 7→ φ(v)
є не тiльки бiєкцiєю, а й iзоморфiзмом векторних просторiв.
Означення 8.0.2. Якщо простори V та W рiвнi, V = W, то лiнiйне вiдобра-
ження називають лiнiйним оператором, визначеним на просторi V
Приклад 8.0.2. 1. Нульове вiдображення 0 : ∀v ∈ V 0(v) = 0 ∈ W є очевидно
лiнiйним;
2. Тотожним (одиничним) називається оператор Id : ∀v Id(v) = v,визначений на просторi V ;
3. Будь-який лiнiйний функцiонал на просторi V є лiнiйним вiдображенням
V 7→ F, де поле F розглядається як одновимiрний векторний простiр.
Приклад 8.0.3. Якщо V = R2, R3 є евклiдовi площина або тривимiрний
простiр, то повороти, симетрiї вiдносно прямої, гомотетiї є прикладами лi-нiйних операторiв.
Питання. Чи є паралельний перенос лiнiйним оператором на евклiдовiй пло-щинi?
Приклад 8.0.4. Нехай V = Fn, W = Fm — арифметичнi простори вектор-
стовпчикiв i A− довiльна m × n матриця, тодi вiдображення φ : Fn → Fm
φ(x) = A · x, x ∈ Fn
є очевидно лiнiйним.
Отже, з точки зору лiнiйних вiдображень, розв’язання системи лiнiйних рiв-нянь
A · x = b
можна розглядати як знаходження прооборазу вектора b при вищенаведеномулiнiйному вiдображеннi.
Наступний приклад є узагальненням попереднього.
114
Приклад 8.0.5. Нехай V = Mn,k(F), W = Mm,k(F), W1 = Mn,l(F)− простори
прямокутних матриць i A є m×n-матрицею, B — k×l-матриця, тодi маємолiнiйнi вiдображення V 7→ W, V 7→ W1 :
Mn,k 3 X 7→ A · X ∈ Mm,k,
Mn,k 3 X 7→ X · B ∈ Mn,l,
Приклад 8.0.6. Нехай V = V1×V2 — декартiв добуток векторних просторiв,тодi проекцiї:
Pr1 : (v1, v2) 7→ v1, P r2 : (v1, v2) 7→ v2
є прикладами лiнiйних вiдображень на простори V1 та V2 вiдповiдно;
Якщо маємо пряму суму пiдпросторiв V = V1 ⊕ V2, то вiдображення
π1 : v1 + v2 7→ v1, π2 : v1 + v2 7→ v2
є прикладами лiнiйних операторiв на просторi V.
8.1 Операцiї над лiнiйними вiдображеннями.
Позначимо через HomF(V, W ) множину всiх лiнiйних вiдображень з просто-ру V в простiр W, а через EndF(V ) = HomF(V, V ) — множину всiх лiнiйнихоператорiв на просторi V.
Введемо на цих множинах операцiї.
Сумою двох лiнiйних вiдображень φ1, φ2 ∈ HomF(V, W ) називається лiнiйневiдображення φ1 + φ2, дiя якого на вектор v ∈ V визначається рiвнiстю:
(φ1 + φ2)(v) = φ1(v) + φ2(v).
Добутком лiнiйного вiдображення φ ∈ HomF(V, W ) на скаляр λ ∈ F на-зивається лiнiйне вiдображення λ · φ, дiя якого на вектор v ∈ V визначаєтьсятаким чином:
(λ · φ)(v) = λ · φ(v).
Звернемо увагу на те, що в лiвiй частинi рiвностей операцiї +, · є операцiя-ми над вiдображеннями, якi визначаються через тi самi операцiї у векторномупросторi W (правi частини рiвностей).
Теорема 8.1.1. Множина HomF(V, W ) є векторним простором над полем F,
вiдносно так введених операцiй додавання та множення на скаляр.
Доведення. Пропонуємо довести цю теорему самостiйно.
115
Вправа 8.1.1. Яке лiнiйне вiдображення буде нейтральним елементом для
дiї додавання?
Введемо операцiю композицiї лiнiйних вiдображень. Нехай φ2 : V → W, φ1 :U → V — лiнiйнi вiдображення векторних просторiв. Композицiєю φ2 ◦ φ1 на-зивається лiнiйне вiдображення
φ1 ◦ φ2 : U 7→ W,
яке визначається таким чином:
(φ1 ◦ φ2)(u) = φ1 (φ2(u)) .
Самостiйно перевiрте, що це дiйсно лiнiйне вiдображення.
Теорема 8.1.2. Множина EndF(V ) є кiльцем з одиницею вiдносно введенихоперацiй додавання i композицiї лiнiйних операторiв.
Доведення. Цю теорему також пропонуємо довести самостiйно. З’ясуйте такожякий оператор буде нейтральним елементом вiдносно операцiї додавання, а якийвiдносно множення.
8.2 Iнварiантнi пiдпростори лiнiйних операторiв.
Означення 8.2.1. Пiдпростiр U називається iнварiантним для оператора
φ ∈ EndF(V ) (або φ-iнварiантним) якщо
∀u ∈ U φ(u) ∈ U.
Приклад 8.2.1. Для довiльного оператора φ iнварiантними пiдпросторами є
1. пiдпростiр, що складається з одного вектора — 0 i весь простiр V ;
2. ядро Kerφ та образ Imφ лiнiйного оператора φ.
Якщо пiдпростiр U є iнварiантним для оператора φ ∈ EndF(V ), то ми може-мо розглянути звуження оператора φ на U : φ|U : U → U .
Довiльний ненульовий вектор v одновимiрного iнварiантного пiдпростiру U(dimU = 1) називається власним вектором оператора φ. Тобто для деякогоλ ∈ F має мiсце
φ(v) = λv.
Нехай u0 ∈ U iнший ненульовий вектор пiдпростору U . Тодi, φ(u0) ∈ U, аоскiльки U — одновимiрний, то iснує λ ∈ F таке, що φ(u0) = λu0. Будь-якийiнший вектор простору U має вигляд u = αu0, α ∈ F. Результат дiї операторана цей вектор буде наступним:
φ(u) = φ(αu0) = αφ(u0) = αλu0 = λαu0 = λu.116
Означення 8.2.2. Число λ ∈ F називається власним числом оператора φ,
якщо iснує власний вектор u такий, що має мiсце рiвнiсть:
φ(u) = λu.
Множина всiх власних чисел оператора φ називається його спектром i
позначається Specφ.
Рiвнiсть φ(u) = λu можна переписати в операторнiй формi:
φ(u) − λu = (φ − λ · Id) (u) = 0. (8.2.3)
Тодi власний вектор можна визначити, як ненульовий елемент ядра оператора(φ − λId) , при деякому λ.
Для фiксованого числа λ ∈ F розглянемо множину векторiв
V λ = {v ∈ V |(φ − λ · Id)(v) = 0},
Лема 8.2.1. Для довiльного λ ∈ F множина V λ, є iнварiантним векторним
пiдпростором.
Доведення. Пропонуємо довести самостiйно.
Означення 8.2.3. Пiдпростiр V λ називається пiдпростором власних векто-рiв, що вiдповiдають власному числу λ.
Означення 8.2.4. Оператор φ визначений на векторному просторi V нази-вається дiагоналiзовним або напiвпростим, якщо iснує базис простору V ,
що складається з власних векторiв оператора φ.
Теорема 8.2.1. Нехай v1, v2, . . . , vk — система власних векторiв оператора φ,
що вiдповiдають рiзним власним числам. Тодi ця система векторiв є лiнiйнонезалежною.
Доведення. Доведення теореми проведемо методом математичної iндукцiї покiлькостi векторiв. База iндукцiї — k = 1. Оскiльки власний вектор є ненульо-вим, то система з одного вектора v1 є, очевидно, лiнiйно незалежною.
Iндукцiйний крок. Припустимо, що твердження має мiсце для систем, щомiстять менше нiж k векторiв. Застосуємо оператор φ до лiнiйної комбiнацiї∑k
i=1 αivi його власних векторiв:
φ
(k∑
i=1
αivi
)=
k∑
i=1
αiφ(vi) =k∑
i=1
αiλivi.
117
Якщо вказана лiнiйна комбiнацiя є нульовою, то будемо мати двi рiвностi:
k∑
i=1
αivi = 0;
k∑
i=1
αiλivi = 0.
Не втрачаючи загальностi, можна вважати, що λ1 6= 0. Помножимо першу рiв-нiсть на λ1 i вiднiмаємо її вiд другої, отримаємо
k∑
i=2
αi(λi − λ1)vi = 0.
За припущенням iндукцiї вектори v2, v3, . . . , vk є лiнiйно незалежними, отжеостання рiвнiсть можлива лише якщо
α2(λ2 − λ1) = α3(λ3 − λ1) = . . . = αk(λk − λ1) = 0.
Оскiльки, за умовою теореми власнi числа λ2, λ3, . . . , λk вiдмiннi вiд λ1, отри-муємо, що α2 = α3 = . . . = αk = 0. Отже, маємо iмплiкацiї:
k∑
i=1
αivi = 0 ⇒ α1v1 = 0 ⇒ α1 = 0,
i приходимо до висновку, що вся система власних векторiв v1, v2, . . . , vk є лiнiйнонезалежною.
Наслiдок 8.2.1. (Достатня умова дiагоналiзовностi оператора.)
Якщо спектр оператора визначеного на n — вимiрному просторi складає-ться з n рiзних дiйсних чисел, то цей оператор є дiагоналiзовним.
Доведення. Дiйсно, згiдно доведеної теореми, власнi вектори, що вiдповiдаютьрiзним власним числам є лiнiйно незалежними, а оскiльки їх кiлькiсть дорiвнюєрозмiрностi простору, то вони утворюють базис.
Означення 8.2.5. Оператор φ визначений на векторному просторi V нази-
вається нiльпотентним, якщо iснує натуральне число m таке, що операторφm є нульовим.
Приклад 8.2.2. Використовуючи конструкцiю (8.0.1) отримаємо приклад
нiльпотентного оператора: e1 → e2, e2 → e3, . . ., en−1 → en, en → 0.
Лема 8.2.2. Спектр нiльпотентного оператора складається лише з нульово-
го власного числа.118
Доведення. Припустимо, що спектр нiльпотентного оператора φ мiстить власнечисло λ 6= 0 i u ∈ V вiдповiдний власний вектор. Тодi будемо мати
φm(u) = λmu;
якщо φm — нульовий оператор, то φm(u) = 0 i ми отримуємо суперечнiсть, аджеλ 6= 0 i u — ненульовий вектор.
8.3 Матрицi лiнiйних вiдображень.
Нехай V, W — векторнi простори над полем F i φ : V 7→ W — лiнiйне вiдобра-ження. Нагадаємо, що лiнiйне вiдображення однозначно визначається образамибазисних векторiв (8.0.1). Причому цi образи можуть-бути довiльними вектора-ми простору W. Оберемо базиси e1, e2, . . . , en ∈ V, u1, u2, . . . , um ∈ W i розгля-немо дiю вiдображення на елементах базису простору V. Розкладаючи образицих базисних елементiв по базису простору W отримуємо:
φ(ei) =m∑
j=1
αji · uj, i = 1, 2, . . . , n. (8.3.4)
Нехай тепер v ∈ V — довiльний вектор, який в базисi e1, e2, . . . , en має коорди-нати (x1, x2, . . . , xn), тобто v =
∑ni=1 xiei. Питання: якими будуть координати
(y1, y2, . . . , ym) вектора φ(v) (його образу) в базисi u1, u2, . . . , um ∈ W. Застосу-вавши формули (8.3.4), отримуємо
φ(v) = φ
(n∑
i=1
xiei
)=
n∑
i=1
xiφ(ei) =n∑
i=1
xi
m∑
j=1
αji · uj =m∑
j=1
(n∑
i=1
αjixi
)· uj
Коефiцiєнти при векторах uj i є координатами вектора φ(v) в базисi u1, u2, . . . , um,
тобто
yj =n∑
i=1
αjixi j = 1, 2, . . . , m.
Позначимо через x,y вектор-стовпчики координат векторiв v та φ(v), тодi за-писанi вище рiвностi можна переписати у матричнiй формi
y = Aφ · x. (8.3.5)
Означення 8.3.1. Матриця
Aφ =
α11 α12 α13 . . . α1n
α21 α22 α23 . . . α2n
α31 α32 α33 . . . α3n
. . . . . . . . . . . . . . .αm1 αm2 αm3 . . . αmn
, (8.3.6)
119
стовпчиками якої є коефiцiєнти розкладу (8.3.4) векторiв φ(ei) по базисним
векторам простору W (i− й стовпчик) називається матрицею лiнiйноговiдображення φ в базисах e1, e2, . . . , en ∈ V, u1, u2, . . . , um ∈ W
Отже при фiксацiї базисiв просторiв отримуємо вiдповiднiсть:
Лiнiйне вiдображення 7→ матриця. Навпаки, для даної матрицi (8.3.6)побудуємо оператор φ дiя якого на базисних векторах визначається формулами(8.3.4). Оскiльки розклад будь-якого вектора по елементах базису векторногопростору є однозначним, то маємо бiєкцiю:
φ ↔ Aφ. (8.3.7)
Теорема 8.3.1. Бiєкцiя (8.3.7) є iзоморфiзмом векторних просторiв
HomF (V, W ) ∼= Mmn(F).
Доведення. Для доведення теореми досить показати, що
Aφ1+φ2= Aφ1
+ Aφ2, Aλφ = λAφ.
Пропонуємо це зробити самостiйно застосуванням формули (8.3.5).
Нехай V = W i обидва базиси збiгаються з e1, e2, . . . , en ∈ V. В цiй ситуацiїмаємо iзоморфiзм кiлець.
Теорема 8.3.2. Бiєкцiя (8.3.7) є iзоморфiзмом кiлець
EndF (V ) ∼= Mn(F).
Доведення. Для доведення, слiд ще довести тотожнiсть:
Aφ1◦φ2= Aφ1
· Aφ2.
Наявнiсть iнварiантного пiдпростору для лiнiйного оператора φ дозволяє ви-брати базис простору таким чином, щоб матриця φ мала простiший вигляд.
Нехай пiдпростiр U є φ-iнварiантним, i e1, e2, . . ., ek — базис пiдпростору φ.Доповнимо його до базису всього простору V векторами ek+1, . . ., en. Оскiлькиφ(ei) =
∑kj=1 αijej, 1 ≤ i ≤ k, то в базисi e1, e2, . . ., en матриця лiнiйного
оператора має вигляд (A B
0 C
),
де A є матрицею φ|U в базисi e1, e2, . . ., ek.
120
Нехай тепер простiр V є прямою сумою двох iнварiантних пiдпросторiв U таW :
V = U ⊕ W.
Виберемо в них базиси e1, e2, . . ., ek i f1, f2, . . ., fm. Оскiльки V є прямою сумоюпiдпросторiв U i W , то вектори e1, . . ., ek, f1, . . ., fm утворюють базис просторуV . В цьому базисi матриця лiнiйного оператора φ має вигляд
(A 00 C
),
де A є матрицею φ|U в базисi e1, e2, . . ., ek, де C є матрицею φ|W в базисi f1,f2, . . ., fm. Позначимо φ1 = φ|U i φ2 = φ|W . Визначимо оператор φ1 ⊕ φ2 напросторi V за таким правилом: для довiльного вектора v ∈ V iснують v1 ∈ U
та v2 ∈ W такi, що v = v1 + v2, тодi
φ1 ⊕ φ2(v) = φ1(v1) + φ2(v2).
Очевидно, що φ1 ⊕ φ2 = φ. Будемо говорити, що лiнiйний оператор φ є прямоюсумою операторiв φ1 i φ2.
8.3.1 Зв’язок мiж матрицями лiнiйних вiдображень в рiзних бази-сах. Природним є питання про зв’язок мiж матрицями лiнiйних вiдображеньV → W при змiнi базисiв в цих просторах. Нехай e1, e2, . . . , en, e′1, e
′2, . . . , e
′n —
два базиси у векторному просторi V з матрицею переходу C, а u1, u2, . . . , um,u′
1, u′2, . . . , u
′m — два базиси у векторному просторi W з матрицею переходу S.
Позначимо через Aφ матрицю лiнiйного вiдображення в базисах e1, e2, . . . , en ∈V, u1, u2, . . . , um ∈ W, i через A′
φ матрицю лiнiйного вiдображення в базисахe′1, e
′2, . . . , e
′n ∈ V , u′
1, u′2, . . . , u
′m ∈ W. Якщо x− координати довiльного вектора
v ∈ V в базисi e1, e2, . . . , en, то згiдно формули (8.3.5) вектор-стовпчик коорди-нат y вектора φ(v) ∈ W в базисi v1, v2, . . . , vm отримується наступним чином:
y = Aφ · x.
Застосуємо формулу зв’язку (4.2.15) мiж координатами вектора у рiзних бази-сах. Для координат векторiв v, φ(v) в штрихованих базисах x′,y′ маємо: x =C · x′, y = S · y′. Пiдстановка в попередню рiвнiсть дає нам
S · y′ = Aφ · (C · x′) .
Згадаємо, що матриця переходу вiд одного базису до iншого є оборотною, аотже маємо таку рiвнiсть:
y′ =(S−1 · Aφ · C
)· x′.
121
Порiвнюючи цю тотожнiсть з формулою (8.3.5) приходимо до висновку, щоматриця S−1 ·Aφ ·C є матрицею оператора φ в штрихованих базисах, тобто маємiсце рiвнiсть:
A′φ = S−1 · Aφ · C. (8.3.8)
Зокрема, у випадку коли V = W (φ− є оператором), m = n, при e1 =u1, . . . , en = un, e′1 = u′
1, . . . , e′n = u′
n маємо S = C, звiдки отримуємо
A′φ = C−1 · Aφ · C. (8.3.9)
8.3.2 Знаходження спектра оператора та обчислення координат йо-го власних векторiв
Нехай при фiксованому базисi e1, e2, . . . , en векторного простору V операто-ру φ, визначеному на цьому просторi, вiдповiдає матриця Aφ, тодi операторуφ−λId вiдповiдає матриця Aφ −λE в цьому ж базисi. Отже, для знаходженнякоординат власного вектора u, з власним числом λ, який задовольняє рiвнянню8.2.3, тобто належить ядру оператора φ − λId, слiд розв’язати систему однорi-дних лiнiйних рiвнянь
(Aφ − λE) · x = 0. (8.3.10)
Система лiнiйних однорiдних рiвнянь має ненульовий розв’язок тодi i тiлькитодi коли стовпчики основної матрицi є лiнiйно залежними, а отже коли ви-значник матрицi Aφ − λE дорiвнює 0. Таким чином, власнi числа оператора φ
мають задовольняти рiвнянню:
Det (Aφ − λE) = 0, (8.3.11)
яке називається характеристичним рiвнянням. Для довiльної матрицi A
порядку n многочлен χA(λ) = |A−λE| будемо називати її характеристичниммногочленом.
Твердження 8.3.1. Якщо для квадратних матриць A i B iснує така матри-ця C, що A = C−1BC, то матрицi A i B мають однаковi характеристичнi
многочлени.
Доведення. Справдi, за умовою
|A − λE| = |C−1BC − λE|,оскiльки λE = λC−1C, то враховуючи, що визначник добутку матриць дорiв-нює добутку визначникiв, отримаємо
|A−λE| = |C−1BC−λC−1C| = |C−1(B−λE)C| = |C−1|·|B−λE|·|C| = |B−λE|,що i потрiбно було довести.
122
Отже, множина розв’язкiв характеристичного рiвняння дорiвнює спектруоператора φ, i не залежить вiд того, в якому базисi ми розглядаємо матрицюцього лiнiйного оператора. Розв’язуючи систему лiнiйних рiвнянь 8.3.10 длякожного iз знайдених власних чисел λ, ми отримаємо координати всiх власнихвекторiв оператора φ.
8.4 Жорданова нормальна форма
В цьому параграфi ми будемо розглядати лiнiйнi оператори, визначенi на n-вимiрному просторi V , що заданий над полем комплексних чисел C.
Означення 8.4.1. Квадратна матриця, у якої n стовпчикiв i рядочкiв, виду
Jn(λ) =
λ 1 0 0 . . . 0 00 λ 1 0 . . . 0 00 0 λ 1 . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 00 0 0 0 . . . λ 10 0 0 0 . . . 0 λ
(8.4.12)
називається жордановою клiтиною або клiтиною Жордана розмiру n.
Говоритимемо, що матриця A лiнiйного оператора φ має жорданову нормаль-ну форму, якщо вона має такий блочно-дiагональний вигляд:
Aφ =
Jn1(λ1) 0 0 0 . . . 0 0
0 Jn2(λ2) 0 0 . . . 0 0
0 0 Jn3(λ3) 0 . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
0 0 0 0 . . . Jnk−1(λk−1) 0
0 0 0 0 . . . 0 Jnk(λk)
. (8.4.13)
Базис, в якому матриця лiнiйного оператора має вигляд 8.4.13 називається жор-дановим базисом.
Твердження 8.4.1. Дiагональними елементами жорданової нормальної фор-ми лiнiйного оператора можуть бути лише його власнi числа.
Доведення. Нехай в деякому базисi матриця лiнiйного оператора φ має жорда-нову нормальну форму. I нехай i-й стовпчик є стовпчиком, що мiстить першийстовпчик клiтини Жордана. Тодi для i-го базисного вектора e справедливоює рiвнiсть: φ(e) = λe, де λ — єдине число i-го стовпчика, що не обов’язководорiвнює 0. Остання рiвнiсть означає, що λ є власним числом оператора φ.
123
8.4.1 Жорданова нормальна форма нiльпотентного оператора. Якщоφ — нiльпотентний оператор, то з доведеного твердження випливає, що жорда-нова нормальна форма φ буде мати вигляд
Aφ =
Jn1(0) 0 0 0 . . . 0 0
0 Jn2(0) 0 0 . . . 0 0
0 0 Jn3(0) 0 . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
0 0 0 0 . . . 0 Jnk(0)
, (8.4.14)
де кожна жорданова клiтина
Jn(λ) =
0 1 0 . . . 0 00 0 1 . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 0 10 0 0 . . . 0 0
. (8.4.15)
Для того, щоб матриця лiнiйного оператора в деякому базисi e11, e1
2, e13, . . .
,e1n1
, e21, . . ., ek
nk(n1+n2+. . .+nk = n) мала вигляд 8.4.4, тобто для того, щоб цей
базис був жордановим базисом, необхiдно i достатньо, щоб виконувались такiрiвностi φ(ei
1) = 0, φ(ei2) = ei
1, φ(ei3) = ei
2, . . ., φ(eini
) = eini−1. Дiаграма такого
базису буде мати вигляд:
e1n1
φ−→ e1n1−1
φ−→ e1n1−2
φ−→ . . .φ−→ e1
1
e2n2
φ−→ e2n2−1
φ−→ e2n2−2
φ−→ . . .φ−→ e2
1
. . . . . . . . . . . .
eknk
φ−→ eknk−1
φ−→ eknk−2
φ−→ . . .φ−→ ek
1,
причому останнiй стовпчик векторiв базису пiд дiєю оператора φ переходитьв 0:
e11
φ−→ 0; e21
φ−→ 0; . . . ek1
φ−→ 0.
Тобто, базис простору V можна представити у виглядi об’єднання k «лан-цюгiв». Такий базис називатимемо ланцюговим.
Теорема 8.4.1 (Жордана для нiльпотентного оператора). Для довiль-
ного нiльпотентного оператора iснує жорданiв базис.
Доведення. Для доведення теореми достатньо показати, що для довiльного нiль-потентного оператора iснує ланцюговий базис. Нехай φ — нiльпотентний опера-тор, i m — найменше натуральне число, для якого φm є нульовим. Називатимемоm показником нiльпотентностi. Доведення проведемо iндукцiєю по m.
124
База iндукцiї: m = 1. Тодi φ — це нульовий оператор, i для довiльного ве-ктора v ∈ V справедлива рiвнiсть φ(v) = 0. А тому будь-який базис e1, . . ., en
простору V буде ланцюговим, що складається з n ланцюгiв.
Iндукцiйний крок: припустимо, що твердження правильне для всiх операто-рiв, показник нiльпотентностi яких менше m, i нехай φ — лiнiйний нiльпотен-тний оператор, показник нiльпотентностi якого дорiвнює m.
Розглянемо пiдпростiр Imφ = W . Для довiльного вектора v ∈ W iснує такийx ∈ V , що v = φ(x), а тому справедливим є ланцюг рiвностей:
φm−1(v) = φm−1(φ(x)) = φm(x) = 0.
Тобто обмеження φ|W оператора φ на пiдпростiр W є нiльпотентним операто-ром з показником нiльпотентностi m − 1. За припущенням iндукцiї φ|W має упросторi W жорданiв базис, дiаграма якого має вигляд:
e1l1
φ−→ e1ll−1
φ−→ e1l1−2
φ−→ . . .φ−→ e1
1
e2l2
φ−→ e2l2−1
φ−→ e2l2−2
φ−→ . . .φ−→ e2
1
. . . . . . . . . . . .
eklk
φ−→ eklk−1
φ−→ eklk−2
φ−→ . . .φ−→ ek
1.
Побудуємо базис простору V .
Позначимо l1+l2+. . .+lk = s, i зауважимо, що s = dimImφ. Доповнимо базиспiдпростору W прообразами ei
li+1 векторiв eili, 1 ≤ i ≤ k ( тобто φ(ei
li+1) = eili,
1 ≤ i ≤ k).
Вектори e11, e2
1, . . ., ek1 належать до перетину двох пiдпросторiв : Kerφ i Imφ.
Доповнимо цю систему векторiв до базису Kerφ векторами f1, f2, . . ., fr, деr = dimKerφ − k, звiдки r + k = dimKerφ.
Розглянемо систему векторiв eili+1, ei
li,. . ., ei
1, 1 ≤ i ≤ k, f1, f2, . . ., fr. Вонамiстить s + k + r векторiв, а оскiльки
s + k + r = dimImφ + dimKerφ = dimV = n,
то для того, щоб довести, що ця система утворює жорданiв базис для лiнiйногонiльпотентного оператора φ, достатньо показати, що вектори ei
li+1, eili,. . ., ei
1,1 ≤ i ≤ k, f1, f2, . . ., fr є лiнiйно незалежними. Припустимо, що це не так.Нехай iснує лiнiйна комбiнацiя цих векторiв рiвна 0:
0 =k∑
i=1
li+1∑
j=1
αijeij +
r∑
i=1
βifi. (8.4.16)
125
Подiємо на цю рiвнiсть оператором φ, оскiльки φ(eij) = ei
j−1, φ(ei1) = 0, φ(fi) = 0,
то
0 =k∑
i=1
li+1∑
j=2
αijeij−1.
Але вектори eili,. . ., ei
1, 1 ≤ i ≤ k є базисом простору W , отже αij = 0,(1 ≤ i ≤ k, 2 ≤ j ≤ lk + 1 ). А тому рiвнiсть (8.4.16) можна переписати увиглядi:
0 = α11e11 + α21e
21 + . . . + αk1e
k1 +
r∑
i=1
βifi.
Ця лiнiйна комбiнацiя є комбiнацiєю базисних векторiв пiдпростору Kerφ. От-же, αi1 = 0, 1 ≤ i ≤ k, βj = 0, 1 ≤ j ≤ r. Таким чином, всi коефiцiєнти лiнiйноїкомбiнацiї (8.4.16) дорiвнюють 0, тобто вектори ei
li+1, eili,. . ., ei
1, 1 ≤ i ≤ k, f1,f2, . . ., fr лiнiйно незалежнi. Теорема доведена.
8.4.2 Анулюючий многочлен Нехай φ — лiнiйний оператор, A — йогоматриця в деякому базисi, f(x) = a0x
n +a1xn−1 + . . .+an−1x+anx — многочлен
з комплексними коефiцiєнтами.
Многочлен f(x) називатимемо анулюючим для лiнiйного оператора φ, якщоf(φ) = a0φ
n + a1φn−1 + . . . + an−1φ + an · Id = 0, тобто f(φ) є нульовим опера-
тором. Зауважимо, що в цьому випадку матриця f(A) = a0An + a1A
n−1 + . . . +an−1A + anA = 0 є нульовою матрицею.
Анулюючi многочлени iснують для довiльного оператора φ. Справдi, розгля-немо послiдовнiсть лiнiйних операторiв:
Id, φ, φ2, . . . , φn2
.
Вона мiстить n2 + 1 елемента, а оскiльки простiр всiх лiнiйних операторiв, ви-значених на n-вимiрному просторi V має розмiрнiсть n2, то ця послiдовнiстьє лiнiйно залежною системою векторiв. Отже, iснує нетривiальна лiнiйна ком-бiнацiя векторiв Id, φ, φ2, . . . , φn2
рiвна 0, тобто для φ iснує анулюючиймногочлен.
Теорема 8.4.2 (Гамiльтона-Келi). Характеристичний многочлен лiнiйногооператора є анулюючим для нього.
Доведення. Нехай φ — лiнiйний оператор, A = (αij)ni,j=1 — його матриця в базисi
e1, e2, . . ., en, χ(A) = Det(A − λE) — його характеристичний многочлен. Тодi
ϕ(e1) = α11 · Id(e1) + α21e2 + . . . + αn1en
126
ϕ(e2) = α12 · e1 + α22Id(e2) + . . . + αn2en
. . . . . . . . . . . .
ϕ(en) = α1n · e1 + α2ne2 + . . . + αnnId(en).
Перенесемо лiвi частини рiвностей в правi.
ϕ(e1) − α11 · Id(e1) − α21e2 − . . . − αn1en = 0
ϕ(e2) − α12 · e1 − α22Id(e2) − . . . − αn2en = 0
. . . . . . . . . . . .
ϕ(en) − α1n · e1 − α2ne2 − . . . + αnnId(en) = 0.
Позначимо через Aij(φ) алгебраїчне доповнення до (i, j)-го елемента матрицiлiнiйного оператора (A − φE). Домножимо першу рiвнiсть на A11(φ), другу —на A12(φ), . . ., останню — на A1n(φ), i всi отриманi рiвностi додамо:
(α11 · Id − φ)A11(φ)(e1) + α12 · Id · A12(φ)(e1) + . . . + α1n · Id · A1n(φ)(e1))+
+(α21 · Id−φ)A11(φ)(e2)+α22 · Id ·A12(φ)(e2)+ . . .+α2n · Id ·A1n(φ)(e2))+ . . .+
+(αn1 · Id−φ)A11(φ)(en)+αn2 · Id ·A12(φ)(en)+ . . .+αnn · Id ·A1n(φ)(en)) = 0
враховуючи формули розкладу визначника за стовпчиком i чужим стовпчикоммаємо:
χ(φ)(e1) = 0.
Аналогiчно χ(φ)(e2) = 0, . . ., χ(φ)(en) = 0. Отже для довiльного вектора v ∈ Vвиконується рiвнiсть: χ(φ)(v) = 0, тобто χ(A) є анулюючим для φ.
8.4.3 Кореневi пiдпростори.
Означення 8.4.2. Вектор a ∈ V називається кореневим вектором лiнiйного
оператора φ з власним значенням λ якщо iснує таке натуральне число k, що
(ϕ − λId)k(a) = 0.
Приклад 8.4.1. 1. Кожен власний вектор є кореневим.
2. 0-вектор є кореневим.
Лема 8.4.1. Для довiльного λ множина V (λ) всiх кореневих векторiв
V (λ) = {v ∈ V |∃k : (φ − λ · Id)k (v) = 0}
є iнварiантним векторним пiдпростором.
127
Доведення. зауважимо, що V (λ) 6= ∅, оскiльки 0 ∈ V (λ). Нехай x, y ∈ V (λ),тодi iснують такi натуральнi числа k1 i k2, що (ϕ−λId)k
1(x) = 0 i (ϕ−λId)k2(y) =
0. Визначимо k = max{k1, k2}. Тодi
(ϕ − λId)k(x + y) = (ϕ − λId)k(x) + (ϕ − λId)k(y) = 0 + 0 = 0.
Отже x + y ∈ V (λ).
Нехай тепер x ∈ V (λ), α ∈ F . Тодi iснує таке натуральне число k, що (ϕ −λId)k(x) = 0. А тому
(ϕ − λId)k(αx) = α(ϕ − λId)k(x) = α · 0 = 0.
Тобто α · x ∈ V (λ). Отже V (λ) — пiдпростiр.
V (λ) — iнварiантний. Справдi, якщо x ∈ V (λ), то (ϕ − λId)k(x) = 0 длядеякого k, а тому
(ϕ − λId)k(ϕ(x)) = ϕ((ϕ − λId)k(x)) = ϕ(0) = 0.
Тобто ϕ(x) ∈ V (λ).
Пiдпростiр всiх кореневих векторiв V (λ) будемо називати кореневим пiдпро-стором.
Лема 8.4.2. V (λ) 6= 0 тодi i тiльки тодi, коли λ — власне число.
Доведення. Якщо λ — власне число, то V (λ) мiстить власнi вектори з власнимчислом λ i V (λ) 6= 0.
Нехай тепер V (λ) 6= 0. Тодi iснує x ∈ V (λ), x 6= 0. Виберемо найменше k
для якого (ϕ − λId)k(x) = 0. Звiдки (ϕ − λId)(ϕ − λId)k−1(x) = 0. Покладемоy = (ϕ−λId)k−1(x), тодi (ϕ−λId)(y) = 0. Тобто y є власним вектором оператораφ з власним значенням λ.
Теорема 8.4.3. Нехай для характеристичного многочлена χφ(λ) лiнiйного
оператора φ виконується рiвнiсть:
χφ(λ) = (λ − λ1)k1 · (λ − λ2)
k2 · . . . · (λ − λm)km.
Тодi простiр V є прямою сумою кореневих пiдпросторiв оператора φ:
V = V (λ1) ⊕ V (λ2) ⊕ . . . V (λm).
Доведення. Нехай
fi(λ) =1
(λ − λi)k1
χϕ(λ).
Визначимо оператори ψi = fi(ϕ), i позначимо Vi = Imψi, 1 ≤ i ≤ m. Заува-жимо, що оскiльки Vi є образом оператора ψi, то Vi є пiдпростором векторногопростору V .
128
1. Покажемо, спочатку, що Vi є пiдпростором кореневого простору V (λi),тобто Vi ⊂ V (λi), 1 ≤ i ≤ m. Для цього достатньо показати, що для довiльноговектора x ∈ Vi виконується рiвнiсть: (φ − λiId)ki(x) = 0. Але якщо x ∈ Vi, тоiснує y ∈ V таке, що x = [fi(φ)](y), тодi
(φ − λiId)ki(x) = (φ − λiId)ki([fi(φ)](y)) = [(φ − λiId)kifi(φ)](y).
За теоремою Гамiльтона-Келi
(φ − λiId)kifi(φ) = χφ = 0.
А тому
(φ − λiId)ki(x) = [(φ − λiId)kifi(φ)](y) = 0(y) = 0.
2. Покажемо тепер, що простiр V є сумою просторiв V1, V2, . . ., Vm:
V = V1 + V2 + . . . + Vm. (8.4.17)
Справдi, многочлени f1, f2, . . ., fm взаємно простi, а тому iснують такi мно-гочлени g1, g2, . . ., gm, що
f1 · g1 + f2 · g2 + . . . + fm · gm = 1.
Пiдставивши φ в обидвi частини рiвностi, отримаємо
f1(φ) · g1(φ) + f2(φ) · g2(φ) + . . . + fm(φ) · gm(φ) = Id.
Розглянемо довiльний вектор x ∈ V . Враховуючи попередню рiвнiсть маємо:
x = Id(x) = [f1(φ) · g1(φ) + f2(φ) · g2(φ) + . . . + fm(φ) · gm(φ)](x) =
= [f1(φ) · g1(φ)](x) + [f2(φ) · g2(φ)](x) + . . . + [fm(φ) · gm(φ)](x) =
= ψ1(g1(φ)(x)) + ψ2(g2(φ)(x)) + . . . + ψm(gm(φ)(x)).
Позначимо yi = ψi(gi(φ)(x)). Але Imψ1 = Vi, а тому вектор x можна предста-вити у виглядi суми:
x = y1 + y2 + . . . + ym, yi ∈ Vi, 1 ≤ i ≤ m.
Отже рiвнiсть (8.4.17) доведена.
3. Доведемо, що простiр V є прямою сумою просторiв V1, V2, . . ., Vm:
V = V1 ⊕ V2 ⊕ . . . ⊕ Vm.
Для цього достатньо показати, що
Vi ∩ (V1 + V2 + . . . + Vi−1 + Vi+1 + . . . + Vm) = 0.129
Нехай y ∈ Vi ∩ (V1 + . . . + Vi−1 + Vi+1 + . . . + Vm). Оскiльки y ∈ Vi, то iснує такеx ∈ V , що ψi(x) = y, а тому (φ− λiId)ki(y) = 0. Оскiльки y ∈ (V1 + . . . + Vi−1 +Vi+1 + . . . + Vm), то за п.2 iснують такi yi ∈ Vi, що y =
∑j 6=i yj. Тодi
fi(φ)(y) = fi(φ)(∑
j 6=i
yj) =∏
l 6=i
((φ − λiId)kl(∑
j 6=i
yj)) =
=∑
j 6=i
(∏
l 6=i
(φ − λiId)kl(yj)) =∑
j 6=i
0 = 0.
Оскiльки многочлени (λ−λi)ki i fi(λ) взаємнопростi, то iснують такi многочлени
g(λ) i h(λ), що
(λ − λi)ki · g(λ) + fi(λ) · h(λ) = 1,
а отже справедливою є рiвнiсть для лiнiйних операторiв:
(φ − λiId)ki · g(ϕ) + fi(ϕ) · h(φ) = Id.
А тому для вектора y справедливий такий ланцюг рiвностей:
y = Id(y) = [(φ − λiId)ki · g(ϕ) + fi(ϕ) · h(φ)](y) =
= [(φ−λiId)(ki)·g(ϕ)](y)+[fi(ϕ)·h(φ)](y) = g(ϕ)[(φ−λiId)ki(y)]+h(φ)[fi(ϕ)(y)] =
= g(ϕ)(0) + h(φ)(0) = 0 + 0 = 0.
Тобто перетин пiдпросторiв V1 + . . . + Vi−1 + Vi+1 + . . . + Vm i Vi мiстить тiлькивектор 0.
4. Покажемо, що Vi = V (λi). Враховуючи п.1, досить показати, що кореневийпiдпростiр V (λi) є пiдпростором Vi.
Нехай y ∈ V (λi). Оскiльки простiр V є прямою сумою просторiв V1, V2, . . .,Vm, то iснують x ∈ Vi i z ∈ (V1 + . . . + Vi−1 + Vi+1 + . . . + Vm) такi, що y = x + z.За доведеним вище в п.1 y − x ∈ V (λi), а тому z = y − x ∈ V (λi). Отже(φ − λiId)ki(z) = 0. Крiм того, оскiльки z ∈ (V1 + . . . + Vi−1 + Vi+1 + . . . + Vm),то fi(z) = 0. Як уже зазначалося, многочлени (λ − λi)
ki i fi(λ) взаємно простi,а тому iснують такi многочлени g(λ) i h(λ), що
(λ − λi)ki · g(λ) + fi(λ) · h(λ) = 1.
Звiдки
z = Id(z) = [(φ − λiId)ki · g(ϕ) + fi(ϕ) · h(φ)](z) =
= [(φ−λiId)(ki)·g(ϕ)](z)+[fi(ϕ)·h(φ)](z) = g(ϕ)[(φ−λiId)ki(z)]+h(φ)[fi(ϕ)(z)] =
= g(ϕ)(0) + h(φ)(0) = 0 + 0 = 0.
А тому y = x ∈ Vi. Таким чином, V (λi) ⊆ Vi i теорема повнiстю доведена.130
Наслiдок 8.4.1. Якщо характеристичний многочлен лiнiйного оператора φ
розкладається на лiнiйнi множники, то лiнiйний оператор φ розкладається впряму суму лiнiйних операторiв, кожен з яких має тiльки одне власне число.
8.4.4 Теорема Жордана.
Теорема 8.4.4 (Жордана). Нехай φ лiнiйний оператор, заданий у скiнче-
новимiрному просторi над полем C. Тодi в деякому базисi матриця лiнiйногооператора φ має жорданову нормальну форму, причому ця форма єдина з то-
чнiстю до перестановки дiагональних блокiв.
Доведення. 1. Покажемо спочатку, що для лiнiйного оператора φ iснує жорданiвбазис. За основною теоремою алгебри многочлен f(x) з коефiцiєнтами з поля C
розкладається на лiнiйнi множники. Тому для характеристичного многочленаχφ(λ) лiнiйного оператора φ, що заданий у скiнченовимiрному просторi V надполем C, виконується рiвнiсть
χφ(λ) = (λ − λ1)k1 · (λ − λ2)
k2 · . . . · (λ − λm)km, λi ∈ C, 1 ≤ i ≤ m.
За теоремою (8.4.3) це означає, що
V = V (λ1) ⊕ V (λ2) ⊕ . . . V (λm),
при цьому V (λi), 1 ≤ i ≤ m, є кореневим пiдпростором. Оскiльки корене-вi пiдпростори є iнварiантними, то лiнiйний оператор φ можна представити увиглядi прямої суми лiнiйних операторiв:
φ = φ1 ⊕ φ2 ⊕ . . . ⊕ φm,
де φi = φ|V (λi) — звуження оператора φ на простiр V (λi), i кожен оператор φi
має єдине власне число λi, 1 ≤ i ≤ m.
Розглянемо оператор φi − λiId , 1 ≤ i ≤ m. Оскiльки V (λi) є кореневим пiд-простором, i φi має єдине власне число λi, то оператор φi−λiId є нiльпотентнимна V (λi). За теоремою Жордана для нiльпотентного оператора в пiдпросторiV (λi) iснує жорданiв базис f1i, f2i, . . ., fkii для φi − λiId. Нехай в цьому базисiматриця оператора φi − λiId має вигляд
Ji =
Jl1(0) 0 0 0 . . . 0 0
0 Jl2(0) 0 0 . . . 0 0
0 0 Jl3(0) 0 . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
0 0 0 0 . . . 0 Jlp(0)
.
Покажемо, що базис f1i, f2i, . . ., fkii є жордановим i для φi. Справдi, якщо вдеякому базисi простору V (λi) матриця A є матрицею лiнiйного оператора φi,
131
то матрицею оператора φi − λiId є матриця A − λiE. Якщо A − λiE = Ji, тоA = λiE + Ji, а це i означає, що базис f1i, f2i, . . ., fkii — жорданiв для φi.
Об’єднаємо жордановi базиси звужень φ на кореневi пiдпростори V (λi) : f11,f21, . . ., fki1, . . ., f1m, f2m, . . ., fkim. Оскiльки
φ = φ1 ⊕ φ2 ⊕ . . . ⊕ φm,
то отриманий базис є жордановим для лiнiйного оператора φ.
2. Тепер доведемо єдинiсть розкладу. Оскiльки кореневi пiдпростори визна-ченi однозначно, то досить довести, що в жордановiй нормальнiй формi опера-тора φ для кожного його власного числа λ однозначно визначеною є кiлькiстьклiтин Жордана з числом λ кожного розмiру. Тому можна вважати, що λ —єдине власне число лiнiйного оператора φ, причому λ = 0. Нехай в жордановiйнормальнiй формi такого лiнiйного оператора φ s1 клiтин Жордана розмiру 1,s2 — розмiру 2, . . ., sq — розмiру q, де q — найбiльший порядок клiтин Жор-дана у жордановiй нормальнiй формi φ. Зауважимо, що для довiльної клiти-ни Жордана Jk(0) розмiру k rank(Jk(0)) = k − 1, rank(J2
k(0)) = k − 2, . . .,rank(J t
k(0)) = k − t, якщо 1 ≤ t ≤ k, i rank(J tk(0)) = 0, якщо t > k. Нехай A —
матриця лiнiйного оператора φ в деякому базисi, J — його жорданова нормаль-на форма. Оскiльки для матриць A i J iснує невироджена матриця C така, щоC−1AC = J , то rank(At) = rankJ t. Позначимо rt = rank(At), тодi
q∑
i=t
si = rt−1 − rt,
q∑
i=t+1
si = rt − rt+1.
Вiднiмемо вiд першої рiвностi другу, i отримаємо: st = rt−1 + rt+1 − 2rt. Отже,кiлькiсть клiтин Жордана st розмiру t не залежить вiд вибору жорданової бази.Теорема доведена.
Приклад 8.4.2. Знайдемо жорданову нормальну форму i жорданiв базис лi-нiйного оператора φ, що в деякому базисi задається такою матрицею:
A =
0 −1 0 10 1 0 01 2 1 −11 1 0 0
.
1. Знайдемо власнi числа лiнiйного оператора φ. Обчислимо визначник
132
χA(λ) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
0 − λ −1 0 10 1 − λ 0 01 2 1 − λ −11 1 0 0 − λ
∣∣∣∣∣∣∣∣= (1 − λ)
∣∣∣∣∣∣
−λ 0 11 1 − λ −11 0 −λ
∣∣∣∣∣∣=
= (1 − λ)
∣∣∣∣∣∣
1 − λ 0 1 − λ1 1 − λ −11 0 −λ
∣∣∣∣∣∣= (1 − λ)2
∣∣∣∣∣∣
1 0 10 1 − λ −20 0 −1 − λ
∣∣∣∣∣∣=
= (1 − λ)3(−1 − λ).
Отже, характеристичний многочлен матрицi A має вигляд χA(λ) = (1 −λ)3(−1− λ). Кратнiсть кореня λ = 1 дорiвнює трьом, а тому для знаходже-
ння кiлькостi клiтин в жордановiй нормальнiй формi оператора φ з власнимчислом 1 (одна клiтина J3(1), двi J1(1) i J2(1), чи три клiтини J1(1)), знайде-
мо розмiрнiсть пiдпростору власних векторiв V 1, що вiдповiдають власномучислу 1. Для цього знайдемо базис пiдпростору розв’язкiв однорiдної системи
лiнiйних рiвнянь з такою матрицею:
0 − 1 −1 0 10 1 − 1 0 01 2 1 − 1 −11 1 0 0 − 1
.
Ця система еквiвалентна системi з матрицею
(1 0 0 −10 1 0 0
),
Отже всi власнi вектори мають вигляд (c, 0, d, c), c, d ∈ C, i за базиснiвектори пiдпростору V 1 можна обрати
f1 = (1 0 0 1)f2 = (0 0 1 0)
.
А тому розмiрнiсть V 1 дорiвнює 2. Таким чином, ланцюговий базис корене-вого пiдпростору V (1) має вигляд:
e13
φ−→ e12, e1
1,
звiдки отримаємо жорданову нормальну форму оператора φ
−1 0 0 00 1 0 00 0 1 10 0 0 1
.
133
Тепер знайдемо жорданiв базис v1, v2, v3, v4. Спочатку знайдемо власний
вектор з власним числом −1.
0 + 1 −1 0 10 1 + 1 0 01 2 1 + 1 −11 1 0 0 + 1
∼
1 0 0 10 1 0 00 0 1 −1
.
Ненульовим розв’язком цiєї системи є вектор v1 = (−1, 0, 1, 1). Це першийвектор жорданового базису. Далi шукатимемо базис кореневого пiдпростору
V (1). Для цього пiднесемо матрицю A − 1 · E до квадрату
0 − 1 −1 0 10 1 − 1 0 01 2 1 − 1 −11 1 0 0 − 1
2
∼
2 2 0 −20 0 0 0−2 −2 0 2−2 −2 0 2
.
Розв’язком вiдповiдної однорiдної системи лiнiйних рiвнянь є (−b + d, b, c, d),b, c, d ∈ C. Випишемо фундаментальну систему розв’язкiв:
f1 = (−1 1 0 0)
f2 = (0 0 1 0)
f3 = (1 0 0 1)
.
Один з трьох векторiв f1, f2, f3 не повинен перетворюватися в 0 при дiї на
нього оператора A − 1 · E. Це вектор e13. Але f2 = f2, f3 = f1. Тому вектори
f2, f3 при дiї на них оператора A− 1 ·E переходитимуть в 0. Отже e13 = f1.
Покладемо e13 = v4. Знайдемо вектор e1
2
e12 = (A − E)(e1
3) =
0010
.
Покладемо v3 = e12. Вектор v2 ∈ V 1 ми повиннi вибрати як лiнiйну комбiнацiю
векторiв f1 i f2 так, щоб v2 i v3 були лiнiйно незалежнi. Можна взяти v2 = f1.Отже жорданiв базис:
v1 = (−1 0 1 1)v2 = (1 0 0 1)v3 = (0 0 1 0)
v4 = (−1 1 0 0)
.
134
8.5 Лiнiйнi оператори в унiтарних та евклiдових просто-рах.
Теорема 8.5.1. Для будь-якого оператора φ в унiтарному (евклiдовому) про-сторi V iснує єдиний оператор φ∗ такий, що
∀u, v ∈ V (φ(u), v) = (u, φ∗(v)). (8.5.18)
Доведення. Нехай e1, e2, . . . , en− ортонормований базис простору V i нехай (αij)−матриця оператора φ в цьому базисi. Будемо шукати вид матрицi (βij) операто-ра φ∗, для якого виконується умова (8.5.18). Покладемо в цiй умовi u = ej, v =ek i отримуємо:
(φ(ej), ek) = (ej, φ∗(ek)) ⇔
(n∑
i=1
αijei, ek
)=
(ei,
n∑
i=1
βikei
)
Враховуючи лiнiйнiсть скалярного добутку по першому аргументу i напiвлiнiй-нiсть по другому отримуємо
(φ(ej), ek) = (ej, φ∗(ek)) ⇔
n∑
i=1
αij (ei, ek) =n∑
i=1
βik (ej, ei) .
Згадаємо, що базис ортонормований, а отже в лiвiй та правiй частинах рiвностiбуде лише по одному ненульовому доданку, тобто
(φ(ej), ek) = (ej, φ∗(ek)) ⇔ αkj = βjk
Остання рiвнiсть однозначно визначає матричнi елементи
βjk = αkj.
Оскiльки, лiнiйний оператор повнiстю визначається своєю дiєю на елементахбазису, то цим оператор φ∗ визначений однозначно. Перевiрку того, що рiвнiсть(8.5.18) має мiсце для всiх векторiв u, v, а не тiльки для базисних, залишаємочитачу.
Означення 8.5.1. Оператор φ∗, для якого має мiсце (8.5.18), називається
спряженим до оператора φ.
Наслiдок 8.5.1. Якщо Aφ− матриця оператора φ в ортонормованому базисi,то для матрицi Aφ∗ спряженого оператора в цьому ж базисi має мiсце
Aφ∗ = ATφ , (8.5.19)
де риска зверху означає процедуру спряження, застосовану до всiх матричнихелементiв. Зокрема, в евклiдових просторах будемо мати
Aφ∗ = ATφ . (8.5.20)
135
Наступнi властивостi спряжених операторiв пропонуємо довести самостiйно.
Лема 8.5.1.(φ∗)∗ = φ;
(φ + ψ)∗ = φ∗ + ψ∗;
(φ ◦ ψ)∗ = ψ∗ ◦ φ∗.
Лема 8.5.2. Якщо W ⊂ V пiдпростiр унiтарного (евклiдового) простору iн-варiантний при дiї оператора φ, ортогональне доповнення W⊥ є iнварiантним
при дiї спряженого оператора φ∗.
Доведення. Нехай w ∈ W i u ∈ W⊥, тодi
(w, φ∗(u)) = (φ(w), u) = 0.
Остання рiвнiсть випливає з того, що φ(w) ∈ W. Звiдки φ∗(u)⊥W, тобто φ∗(u) ∈W⊥.
8.5.1 Ортогональнi та унiтарнi оператори.
Означення 8.5.2. Оператор φ в евклiдовому (унiтарному) просторi V нази-
вається ортогональним (унiтарним), якщо вiн зберiгає скалярний добуток,тобто має мiсце
∀v, w ∈ V (φ(v), φ(w)) = (v, w).
З означення випливає, що ортогональнi (унiтарнi) оператори в скiнченнови-мiрних просторах є оборотними та зберiгають вiдстанi та кути мiж векторами.
Лема 8.5.3. Спектр ортогонального (унiтарного) оператора складається звласних чисел, модуль яких дорiвнює одиницi.
Доведення. Доведення пропонуємо провести самостiйно.
Теорема 8.5.2. Оператор φ в унiтарному (евклiдовому) просторi V є унiтар-
ним (ортогональним) тодi i тiльки тодi, коли iснує ортонормований базисe1, e2, . . . , en такий, що його образ - сукупнiсть векторiв φ(e1), φ(e2), . . . , φ(en)утворюють ортонормований базис також.
Доведення. ⇒ . Якщо оператор φ є ортогональним (унiтарним), то вiн зберiгаєвiдстанi i кути мiж векторами, а отже образ будь-якого ортонормованого базисабуде ортонормованим базисом.
⇐ . Припустимо, що для деякого ортонормованого базиса e1, e2, . . . , en йогообраз φ(e1), φ(e2), . . . , φ(en) є також ортонормованим базисом. Нехай векториv, w мають координати (x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn) в базисi e1, e2, . . . , en,
136
тобто v =∑n
i=1 xiei, w =∑n
i=1 yiei, тодi, враховуючи ортонормованiсть, маємо(v, w) =
∑ni=1 xiyi. З iншого боку,
φ(v) =n∑
i=1
xiφ(ei), φ(w) =n∑
i=1
yiφ(ei),
тобто (x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn) будуть координатами векторiв φ(v), φ(v)в ортонормованому базисi φ(e1), φ(e2), . . . , φ(en), звiдки
(φ(v), φ(w)) =n∑
i=1
xiyi = (v, w),
тобто оператор φ зберiгає скалярний добуток.
Теорема 8.5.3. Для ортогонального (унiтарного) оператора φ має мiсце
φ ◦ φ∗ = φ∗ ◦ φ = Id,
тобто оператор обернений до φ збiгається зi спряженим:
φ−1 = φ∗.
Доведення. Для довiльних векторiв v, w ∈ V маємо
(v, w) = (φ(v), φ(w)) = (v, φ∗(φ(w))),
звiдки за лiнiйнiстю по другому аргументу маємо
0 = (v, φ∗(φ(w)) − w) = (v, (φ∗ ◦ φ − Id)(w)).
Ця рiвнiсть має виконуватись для довiльного вектора v, зокрема для v = (φ∗ ◦φ − Id)(w), тобто маємо рiвнiсть нулю скалярного квадрата
((φ∗ ◦ φ − Id)(w), (φ∗ ◦ φ − Id)(w)) = 0,
звiдки ∀w ∈ V (φ∗ ◦ φ − Id)(w) = 0, що можливо лише коли φ∗ ◦ φ − Id єнульовим оператором, тобто φ∗ ◦ φ − Id = 0, звiдки φ∗ ◦ φ = Id. Замiняючи впопереднiх мiркуваннях φ ↔ φ∗ отримуємо, рiвнiсть φ ◦ φ∗ = 1d.
Наслiдок 8.5.2. Матриця Aφ ортогонального (унiтарного) оператора φ маєтаку властивiсть
A−1φ = AT
φ
(A−1
φ = ATφ
).
Доведення. Доведення випливає з попередньої теореми i наслiдку 8.5.1.
Означення 8.5.3. Матрицi, якi задовольняють вищенаведеним рiвностямназиваються ортогональними, вiдповiдно унiтарними.
Лема 8.5.4. Стовпчики (рядки) ортогональної або унiтарної матрицi утво-рюють ортонормований базис арифметичного векторного простору, як стан-
дартної моделi евклiдового, вiдповiдно унiтарного векторного простору.
Доведення. Доведення випливає з означення i пропонуємо провести його само-стiйно.
137
8.5.2 Нормальнi оператори.
Означення 8.5.4. Оператор φ називається самоспряженим, якщо
φ∗ = φ.
З означення випливає, що матриця самоспряженого оператора в евклiдовомупросторi має бути симетричною:
Aφ = ATφ ,
а в унiтарному просторi для неї має виконуватись рiвнiсть:
Aφ = ATφ ;
такi матрицi називаються ермiтовими.
Означення 8.5.5. Оператор φ) в унiтарному просторi називається нор-мальним якщо вiн комутує зi своїм спряженим, тобто має мiсце
φ ◦ φ∗ = φ∗ ◦ φ
Ортогональнi (унiтарнi) та самоспряженi оператори в евклiдовому (унiтар-ному) просторi є очевидно прикладами нормальних операторiв.
Теорема 8.5.4. Якщо λ− власне число нормального оператора φ в унiтар-ному просторi, то λ− спряжене до нього буде власним числом спряженого
оператора φ∗.
Доведення. Нехай v− власний вектор оператора φ, що вiдповiдає власному чи-слу λ, тобто для нього маємо φ(a) = λa. Тодi будемо мати
(v, φ∗(v)) = (φ(v), v) = (λv, v) = λ(v, v) = (v, λv),
звiдки (v,
(φ∗ − λId
)(v)
)= 0.
З iншого боку
(φ∗(v), φ∗(v)) = (φ(φ∗(v)), v) = (φ∗(φ(v)), v) = (φ∗(λv), v) = (φ∗(v), λv),
звiдки (φ∗(v),
(φ∗(v) − λId
)(v)
)= 0
Вiднiмання вiд цiєї рiвностi попередньої помноженої на λ дає наступну рiв-нiсть: ((
φ∗(v) − λId)(v),
(φ∗(v) − λId
)(v)
)= 0,
i з умови невиродженостi скалярного добутку отримуємо:
φ∗(v) − λv = 0.
138
Наслiдок 8.5.3. Спектр самоспряженого оператора в унiтарному просторi
складається з дiйсних чисел, зокрема власнi числа симетричної матрицi єдiйсними.
Доведення. Дiйсно, для власного вектора v самоспряженого оператора будемомати
λv = φ(v) = φ∗(v) = λv,
звiдки, (λ − λ)v = 0. Оскiльки вектор v ненульовий, то λ = λ ∈ R.
Наслiдок 8.5.4. Власнi числа симетричної матрицi A ∈ Mn(R) над полемдiйсних чисел є дiйсними.
Доведення. Нехай Cn− стандартна модель унiтарного простору i e1, . . . , en−канонiчний базис, що складається з векторiв-стовпчикiв. Визначимо операторφ : x → Ax, дiя якого полягає у множеннi вектора-стовпчика на матрицю.Очевидно, що для матрицi цього оператора у канонiчному базисi маємо Aφ =A i цей оператор є самоспряженим адже згiдно наслiдку 8.5.1 Aφ∗ = AT =A = Aφ, звiдки φ = φ∗. Отже, всi власнi числа матрицi A утворюють спектрсамоспряженого оператора φ.
Теорема 8.5.5. (Основна теорема про нормальнi оператори в унiтарному
просторi.)
Для будь-якого нормальний оператора в унiтарному просторi iснує ортого-нальний базис простору, що складається з власних векторiв цього оператора,
зокрема нормальний оператор є дiагоналiзовним.
Доведення. Доведення проведемо методом математичної iндукцiї по розмiрно-стi унiтарного векторного простору V .
База iндукцiї dim V = 1 є очевидною.
Iндукцiйний крок. Оскiльки над будь-який многочлен (зокрема характери-стичний) над полем комплексних чисел має корiнь, то оператор φ має однови-мiрний iнварiантний пiдпростiр U , що вiдноситься до власного числа λ ∈ C.Нехай U⊥− ортогональне доповнення, тодi згiдно леми 7.2.2 маємо
V = U ⊕ U⊥,
при цьому, згiдно леми 8.5.2, пiдпростiр U⊥ є iнварiантним при дiї спряженогооператора φ∗. З iншого боку оператор φ∗ (як i φ) є нормальним i за попередньоютеоремою U є власним пiдпростором i для спряженого оператора φ∗, але тодi залемою 8.5.2, ортогональне доповнення U⊥ буде iнварiантним пiдпростором i дляоператора (φ∗)∗ = φ. Отже, пiдпростiр U⊥ є iнварiантним при дiї оператора φ.
За припущенням iндукцiї, в ньому iснує базис з власних векторiв оператора φ,додавши довiльний ненульовий вектор з пiдпростору U , отримаємо потрiбнийбазис всього простору.
139
Теорема 8.5.6. (Класифiкацiя нормальних операторiв в дiйсному просторi.)
Для будь-якого нормального оператора в дiйсному евклiдовому просторi
iснує ортогональний базис в якому матриця оператора має вигляд:
r1 cos α1 r1 sinα1 0 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0−r1 sinα1 r1 cos α1 0 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0
0 0 r2 cos α2 r2 sinα2 . . . 0 0 0 0 . . . 00 0 −r2 sinα2 r2 cos α2 . . . 0 0 0 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 . . . rk cos αk rk sinαk 0 0 . . . 00 0 0 0 . . . −rk sinαk rk cos αk 0 0 . . . 00 0 0 0 . . . 0 s1 0 . . . 00 0 0 0 . . . 0 0 s2 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 . . . 0 0 0 0 . . . sl
,
(8.5.21)
де ri > 0, sj- дiйснi числа, (i = 1, 2, . . . , k, j = 1, 2, . . . , l), а αi ∈ (0, 2π)−кути поворотiв.
Доведення. Нехай e1, e2, . . . , en− ортонормований базис простору V (R) i A− ма-триця оператора φ. Розглянемо арифметичний векторний простiр Cn як стан-дартну модель унiтарного простору. Розглянемо оператор φ в цьому просторiматриця якого в канонiчному базисi збiгається з A. Згiдно основної теоремипро нормальнi оператори iснує ортогональний базис з власних векторiв цьогооператора. Оскiльки коефiцiєнти матрицi A є дiйсними числами, то коефiцiєн-ти характеристичного рiвняння будуть дiйсними, а отже якщо λ ∈ Specφ, тоλ ∈ Specφ. Крiм того, якщо z = (z1, z2, . . . , zn)− власний вектор, що вiдповiдаєвласному числу λ, то приймаючи до уваги, що
Az = Az = λz = λz,
приходимо до висновку, що спряжений вектор z є також власним векторомцього оператора, що вiдповiдає власному числу λ. Зауважимо, що якщо
zj = xj + iyj, zj = xj − iyj, j = 1, 2, . . . , n,
то маємо дiйснi числа
xj =1
2(zj + zj), yj =
1
2i(zj − zj),
а отже, вектори
x =1
2(z + z), y =
1
2i(z − z)
мають дiйснi координати. На цi вектори оператор дiє наступним чином:
Ax = A1
2(z + z) =
1
2(λz + λz);
140
Ay = A1
2i(z − z) =
1
2i(λz − λz).
Нехай λ = a + bi, a, b ∈ R. Згадаємо з шкiльного курсу математики методвведення допомiжного кута при розв’язаннi тригонометричних рiвнянь. Дiючипо аналогiї з ним маємо
λ = a + bi =√
a2 + b2 ·(
a√a2 + b2
+b√
a2 + b2i
).
Покладемо r =√
a2 + b2 i введемо в розгляд кут α для якого
cos α =a√
a2 + b2, sin α =
b√a2 + b2
.
Пiдстановка λ = r (cos α + i sin α) в отриманi вище формули дає
Ax =r
2((cos α + i sin α)z + (cos α − i sin α)z) = r
(cos α
z + z
2− sin α
z − z
2i
)=
= r cos α · x − r sin α · y. (8.5.22)
Ay =r
2i((cos α + i sin α)z − (cos α − i sin α)z) = r
(sin α
z + z
2+ cos α
z − z
2i
)=
= r sin α · x + r cos α · y. (8.5.23)
Тепер можна записати матрицю звуження оператора на iнварiантний пiдпростiрL(z, z) = L(x,y) в базисi x,y :
(r cos α r sin α−r sin α r cos α
).
Якщо для кожного комплексного числа λ в двовимiрному просторi породже-ному власному векторами z, z переобрати базис i взяти вектори x,y з дiйснимикоординатами, то матриця оператора в цьому базисi набуде потрiбного вигля-ду.
8.6 Зведення квадратичної форми до головних осей
Теорема 8.6.1. Для довiльної бiлiнiйного симетричного функцiонала визначе-ного на унiтарному (евклiдовому) просторi iснує ортогональний базис в якому
цей функцiонал задається бiлiнiйною формою, що має дiагональний вигляд:
S(x,y) =n∑
i=1
aixiyi,
141
ai ∈ R. В цьому базисi вiдповiдна квадратична форма набуває вигляду:
Q(x) = S(x,x) =n∑
i=1
aix2i .
Доведення. Нехай e1, e2, . . . , en− який не будь ортонормований базис. Вiдповiд-на бiлiнiйна симетрична форма в цьому базисi буде мати вигляд:
S(x,y) = xTAy,
де A− симетрична матриця. Розглянемо A, як матрицю самоспряженого опе-ратора у вказаному базисi. За основною теоремою про нормальнi оператори,iснує ортонормований базис u1, u2, . . . , un в якому матриця D цього операторає дiагональною. При цьому, оскiльки власнi числа самоспряженого оператора(симетричної матрицi) є дiйсними числами (див. наслiдок 8.5.3), то вказана ма-триця є дiагональною над полем R, та i координати векторiв ui в початковомубазисi ei є також дiйсними базисi.
За теоремою 8.5.2, матриця C переходу вiд базису ei до базису ui є ортого-нальною, тобто має мiсце C−1 = CT , звiдки
D = C−1AC = CTAC.
Порiвнюючи з формулами (6.1.4) приходимо до висновку, що бiлiнiйна формаx′TDy′ еквiвалентна формi S(x,y), а квадратична форма x′TDx′ еквiвалентнаформi Q(x) = S(x,x). Цим доведення завершено.
Для бiлiнiйних симетричних форм в довiльному векторному просторi маємотакий наслiдок.
Теорема 8.6.2. Для довiльної пари бiлiнiйних симетричних форм, одна з яких
додатно визначена, iснує базис векторного простору в якому вони обидвi на-бувають дiагонального виду.
Доведення. Розглянемо векторний простiр як евклiдiв вiдносно вказаної бiлiнiй-ної додатно визначеної форми. Тодi iнша форма може бути зведена до головнихосей, тобто до дiагонального виду в ортонормованому базисi. Ну а бiлiнiйнаформа, що вiдповiдає введеному скалярному добутку в цьому базисi набудевигляду
x1y1 + x2y2 + . . . + xnyn.
142
8.7 Зведення квадрик до канонiчного вигляду.
Квадрикою називають афiнний многовид, який є гiперповерхнею, що задаєтьсярiвнянням:
n∑
i=1
n∑
j=1
aijxixj +n∑
i=1
bixi + b0 = 0,
де aij− симетрична матриця.
Будемо вважати, що вказане рiвняння визначає многовид в ортонормованомубазисi. Зведення до канонiчного вигляду вiдбувається в два етапи:
1. Будується ортонормований базис в якому квадратична форма
Q(x) =n∑
i=1
n∑
j=1
aijxixj
набуває дiагонального вигляду, а рiвняння квадрики буде мати простiшу форму:
n∑
i=1
λix′2i +
n∑
i=1
b′ix′i + b0 = 0,
де λi− власнi числа матрицi (aij). Оскiльки x = Cx′, де C− ортогональнаматриця, стовпчиками якої є координати власних векторiв матрицi (aij) в по-чатковому базисi, то для коефiцiєнтiв b′i будемо мати формули:
n∑
i=1
bixi =n∑
i=1
bi
n∑
j=1
cijx′j =
n∑
j=1
(n∑
i=1
bicij
)x′
j,
звiдки
b′j =n∑
i=1
bicij.
2. Для кожного i такого, що λi 6= 0, видiлити повний квадрат - λix2i + b′ixi =
λi(x′i +ri)
2 +si; виконати перенесення початку координат, тобто зробити замiнуx′
i + ri = x′′i , i = 1, 2, . . . , n. Якщо всi λi 6= 0, то отримаємо таке рiвняння
квадрикиn∑
i=1
λix′′2i = c.
в новiй системi координат. В тривимiрному просторi будемо мати
λ1x2 + λ2y
2 + λ3z2 = c.
Отже, можна побудувати ортонормований базис, в якому квадрика набудевигляду
k∑
i=1
λix2i +
n∑
i=k+1
αixi = c (8.7.24)
143
Класифiкацiя кривих другого порядку на евклiдовiй площинi.
Описаним вище методом приведення квадрики на площинi до головних осей миможемо отримати:
λ1x21 + λ2x
22 = c
абоλ1x
21 + αx2 = c
В першому випадку, якщо λ1, λ2 одного знаку, а c 6= 0 то маємо елiпс: дiйсний,якщо знак c збiгається зi знаком λi i уявний в протилежному випадку. Приc = 0 елiпс виродиться в точку.
Якщо ж λ1, λ2 мають протилежнi знаки, а c 6= 0, то маємо гiперболу. Приc = 0, отримуємо пару прямих, що перетинаються в точцi.
В другому випадку, якщо α 6= 0, то маємо параболу, а при α = 0, 6= 0 маємоабо пару паралельних прямих, якщо λ1 i c одного знаку, i порожню множину впротилежному випадку. Якщо ж α = 0 i c = 0, то отримуємо подвiйну пряму.
Класифiкацiя поверхонь другого порядку в тривимiрномуевклiдовому просторi.
1.1. Якщо λ1, λ2, λ3 > 0 i c < 0, то маємо уявний елiпсоiд;
1.2 Якщо λ1, λ2, λ3 > 0 i c > 0, то маємо дiйсний елiпсоiд;
1.3 Якщо λ1, λ2, λ3 мають однаковий знак i c = 0, то маємо точку (уявнийконус).
1.4 Якщо c > 0 i одне з чисел λ1, λ2, λ3 вiдємне, а два iнших додатнi, то маємооднопорожнинний гiперболроiд;
1.5 Якщо c > 0 i серед чисел λ1, λ2, λ3 одне додатне, а два iнших вiдємнi, томаємо двопорожнинний гiперболроiд;
1.6 Якщо c = 0 i серед чисел λ1, λ2, λ3 є числа рiзних знакiв, то маємо дiйснийконус;
2. Якщо рiвняння поверхнi має вигляд
λ1x2 + λ2y
2 + az = c,
то отримаємо такi три випадки:
2.1 a 6= 0, i λ1, λ2 мають однаковi знаки, то маємо елiптичний параболоiд.
2.2 a 6= 0, i λ1, λ2 мають рiзнi знаки, то маємо гiперболiчний параболоiд.
2.3 a = 0, то маємо цилiндричну поверхню - елiптичний цилiндр якщочисла c, λ1, λ2 однакового знаку i гiперболiчний цилiндр в протилежномувипадку. Якщо ж a = c = 0, то маємо точку, якщо λ1, λ1 мають однаковi знакиi пару площин що перетинаються в протилежному випадку.
144
3. Для рiвняння поверхнi
λ1x2 + ay + bz = c.
отримаємо такi три випадки:
3.1 Якщо принаймнi одне з чисел a, b вiдмiнне вiд нуля, то зробимо ортого-нальну замiну
x′ = x,
y′ =a√
a2 + b2y +
b√a2 + b2
z
,
z′ =a√
a2 + b2y − b√
a2 + b2z
, пiсля якої отримаємо рiвняння
λ1x′2 +
√a2 + b2y′ = c,
яке є рiвнянням параболiчного цилiндра.
3.2 Рiвняння λ1x2 = c є рiвнянням пари паралельних площин, якщо c i λ1
мають однаковi знаки, пара уявних паралельних площин, якщо знаки рiзнi, аякщо c = 0, то маємо площину x = 0 (пара площин, що збiгаються.)
8.8 Задачi
1. Довести, що поворот тривимiрного векторного простору на кут 2π3 вiдносно
прямої x1 = x2 = x3 є лiнiйним перетворенням i знайти матрицю цьогоперетворення в канонiчному базисi e1, e2, e3.
2. Довести, що проектування простору R3 на координатну вiсь вектора e1 па-ралельно координатнiй площинi векторiв e2 i e3 є лiнiйним перетворенням,i знайти його матрицю в базисi e1, e2, e3.
3. Довести, що проектування простору R3 на координатну площину векторiвe1 i e2 паралельно осi координат вектора e3 є лiнiйним перетворенням, iзнайти його матрицю в базисi e1, e2, e3.
4. З’ясувати, чи є наступнi перетворення лiнiйними, якщо є, то знайти ядро,образ та матрицю лiнiйного перетворення (для скiнченновимiрних просто-рiв) в базисi, в якому заданi координати вектора x.
a) x 7−→ a (x ∈ Rn, a— фiксований вектор);
b) x 7−→ x + a (x ∈ Rn, a— фiксований вектор);
145
c) x 7−→ αx (x ∈ Rn, α— фiксований скаляр);
d) f(x) 7−→ f (4)(x) (f(x) ∈ R[x]n);
e) f(x) 7−→ f(x + 1) − f(x) (f(x) ∈ R[x]n);
f) (x1, x2, x3) 7−→ (2x1 + x3, x1 + 5x3, x2);
g) (x1, x2, x3) 7−→ (x1 + x3, x1 + 5, x3);
h) (x1, x2, x3) 7−→ (6x2 + 7x3, 0, x1);
i) (x1, x2, x3) 7−→ (x1, x2 + 5x21, x1 + x3).
5. Довести, що довiльний лiнiйний оператор будь-яку лiнiйно залежну систе-му векторiв вiдображає у лiнiйно залежну систему векторiв.
6. Лiнiйне перетворення ϕ в базисi e1, e2, e3, e4, задається матрицею
A =
1 2 0 11 −2 1 11 1 −2 31 2 1 3
.
Знайти матрицю цього перетворення в базисi:
a) e4, e2, e3, e1;
b) e1 + e2, e1 + e2 + e3, e1 + e2 + e3 + e4, e4.
c) 2e1 + 3e2 + e3, 3e1 − e2 + e3, 2e2 + e3 − 2e4, e1 + e4.
7. Оператору ϕ в базисi a1 = (1, 2), a2 = (2, 3) вiдповiдає матриця Aϕ, а опе-ратору ψ в базисi b1 = (2, 1), b2 = (3, 2) вiдповiдає матриця Bψ. Визначити
матрицю оператора ϕ + ψ + ϕψ в базисi a1, a2, якщо Aφ =
(3 54 3
),
Bψ =
(4 66 9
).
8. Оператору ϕ в базисi a1 = (1, 2), a2 = (2, 3) вiдповiдає матриця Aϕ, а опе-ратору ψ в базисi b1 = (1, 1), b2 = (3, 2) вiдповiдає матриця Bψ. Визначити
матрицю оператора ϕ + ψ + ϕψ в базисi b1, b2, якщо Aφ =
(2 −21 4
),
Bψ =
(1 3−3 2
).
9. З’ясувати, чи можна звести матрицю лiнiйного оператора до дiагональноговигляду i, якщо можна, то вказати матрицю переходу до власного базису
146
a)
2 −1 25 −3 3−1 0 −2
;
−2 2 12 0 31 2 0
;
1 −1 23 −3 62 −2 4
;
d)
1 1 1 11 1 −1 −11 −1 1 −11 −1 −1 1
; e)
1 −1 −1−1 1 −1−1 −1 1
; f)
3 2 1 12 3 1 10 0 2 10 0 1 2
.
10. Доведiть, що сума двох дiагоналiзовних матриць не обов’язково є дiагона-лiзовною матрицею.
11. Доведiть, що довiльний многочлен вiд дiагоналiзовної матрицi є дiагоналi-зовною матрицею.
12. Знайти ЖНФ i жорданiв базис оператора, заданого матрицею
a)
0 1 01 0 −1
−1 1 1
; b)
−1 1 1−1 1 1
0 0 0
; c)
2 0 −1−2 0 1
3 −1 −2
;
d)
2 1 3 −10 2 1 20 3 0 20 0 2 3
; e)
1 2 −2 −12 1 0 20 0 2 10 0 1 2
; f)
6 −9 5 47 −13 8 78 −17 11 81 −2 1 3
;
g)
2 1 3 −10 2 1 20 0 0 20 0 2 0
; h)
4 1 1 1−4 0 1 1
0 0 3 10 0 0 2
; i)
3 1 1 1−1 1 −1 −1
0 0 3 10 0 −1 1
.
13. Довести, що для довiльної невиродженої матрицi A iснує така матриця X,що X2 = A.
14. Обчислити A222, якщо A =
(2 11 2
).
15. Обчислити A300, якщо A =
(2 1
−4 −2
).
16. Обчислити√
A, якщо A =
(6 23 7
).
147
17. Обчислити sin A, якщо A =
(π − 1 1
0 π
).
18. Знайти матрицю лiнiйного перетворення ϕ∗, спряженого до перетворенняϕ, в базисi f1, f2, f3, якщо f1 = (1, 2, 1), f2 = (1, 1, 2), f3 = (1, 1, 0) iперетворення ϕ в цьому базисi задається матрицею:
A =
1 1 30 5 −12 7 −3
.
19. Знайти матрицю лiнiйного перетворення ϕ∗, спряженого до перетворенняϕ, в базисi f1, f2, f3, якщо f1 = (1, 1, 1), f2 = (1, 1, 0), f3 = (1, 0, 0) iперетворення ϕ в цьому базисi задається матрицею:
A =
1 1 10 3 12 −2 −2
.
20. Знайти канонiчний вид ортогонального перетворення i базис, в якому орто-гональне перетворення має канонiчний вид. Визначити тип перетворення.
a)
23
23 −1
323 −1
323
−13
23
23
; b)
12
12 −1
2
√2
12
12
12
√2
12
√2 −1
2
√2 0
;
c)
34
14 −1
4
√6
14
34
14
√6
14
√6 −1
4
√6 1
2
.
21. Довести, що добуток ϕψ двох самоспряжених операторiв ϕ i ψ буде са-моспряженим оператором тодi i тiльки тодi, коли виконується рiвнiстьϕψ = ψϕ.
22. Довести, що якщо ϕ i ψ — самоспряженi оператори, то самоспряженимтакож буде оператор ϕψ + ψϕ.
23. Довести, що для довiльних операторiв ϕ i ψ справедливi рiвностia) (ϕ∗)∗ = ϕ ;b) (ϕ + ψ)∗ = ϕ∗ + ψ∗;c) (ϕψ)∗ = ψ∗ϕ∗;d) (λϕ)∗ = λϕ∗.
148
24. Знайти власний ортонормований базис i матрицю оператора в цьому базисi,якщо в деякому ортонормованому базисi оператор задається матрицею:
a)
5 −1 −1−1 5 −1−1 −1 5
; b)
1 1 1 11 1 −1 −11 −1 1 −11 −1 −1 1
; c)
17 −8 4−8 17 −44 −4 11
.
25. Знайти ортогональне перетворення, що зводить наступну квадратичну фор-му до канонiчного виду (зведення до головних осей), та виписати цей вид:
a) 6x21 + 5x2
2 + 7x23 − 4x1x2 + 4x1x3;
b) x21 + x2
2 + 5x23 − 6x1x2 − 2x1x3 + 2x2x3;
c) x21 + x2
2 + x23 + 4x1x2 + 4x1x3 + 4x2x3;
d) x21 − 5x2
2 + x23 + 4x1x2 + 2x1x3 + 4x2x3;
e) 2x1x2 − 6x1x3 − 6x2x4 + 2x3x4;
f) x21 + 2x1x2 + x2
2 − 2x23 − 4x3x4 − 2x2
4;
g) 3x21 + 8x1x2 − 3x2
2 + 4x23 − 4x3x4 + x2
4.
26. За допомогою перетворення координат звести рiвняння кривої другого по-рядку до канонiчного вигляду i визначити, яке геометричне мiсце точоквоно визначає:
a) 5x2 − 2xy + 5y2 − 4x + 20y + 20 = 0
b) 9x2 + 12xy + 4y2 − 24x − 16y + 3 = 0
c) 4x2 + 12xy + 9y2 − 4x − 6y + 1 = 0
d) 9x2 + 24xy + 16y2 − 18x + 226y + 209 = 0
e) 4x2 + 24xy + 11y2 + 64x + 42y + 51 = 0
f) 41x2 + 24xy + 34y2 + 34x − 112y + 129 = 0
g) 11x2 − 20xy − 4y2 − 20x − 8y + 1 = 0
149
Рекомендована лiтература
[1] Калужнiн Л., Вишенський В., Шуб Ц., Лiнiйнi простори.—Київ: Вищашкола, 1971.—344с.
[2] Ильин В.А., Позняк Э.Т. Линейная алгебра .— Москва: Наука, 1999.—280c.
[3] Ильин В.А., Позняк Э.Т. Аналитическая геометрия.— Москва: Наука,1981.— 232 с.
[4] Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - Москва: Наука, 1984.— 416 с.
[5] Проскуряков И. Сборник задач по линейной алгебре.—Москва: Наука,1984.—336 с.
[6] Збiрник задач з аналiтичної геометрiї/ За редакцiєю В.В.Кириченка.—Кам’янець-Подiльський: Аксiома, 2005.-228 с.
[7] Кострикин А.И. Введение в алгебру. —- Москва: Наука, 1977, 496 с.
[8] Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. - Мо-сква: Наука, 1971.— 304 с.
150
