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Fachwerke

Fachwerke

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In diesem Abschnitt geht es um:

Inhalt der Vorlesung

Fachwerke

Begriffe rund um Fachwerke

Das Knotenpunkt-Verfahren

Das Verfahren nach Cremona

Das Ritter-Schnitt-Verfahren

Das Culmann-Verfahren

Folie 2

Cul


2. Teil

1. Teil

© Prof. Dr. Remo IannielloFachwerke

Begriffe

Folie 3


Linien-Tragwerke

Linientragwerke, kurz „Träger“, sind Bauteile, deren Durchmesser sehr viel kleiner ist als die Länge.

Fachwerke

Tragwerke, die aus abgewinkelten, starr miteinander verbundenen Balken zusammengesetzt sind, werden als Rahmen bezeichnet.

Wird ein Träger nur in Richtung seiner Achse (Zug oder Druck) beansprucht, heißt er Stab.

Beansprucht man einen Träger quer zu seiner Achse, so nennt man ihn einen Balken.

Ein gekrümmter Balken heißt Bogen.

Folie 4

Cul



Flächen-Tragwerke

Bei den Flächentragwerken unterscheidet man Scheiben, Platten und Schalen:

Fachwerke Folie 5

Eine Platte ist auch eben, die Kräfte wirken aber senkrecht zu ihr. Merkbild: SchallplatteEine Schale ist ein einfach oder doppelt gekrümmtes Flächentragwerk, das beliebige Kräfte übertragen kann.Merkbild: Eierschale

Eine Scheibe ist ein ebenes Flächentragwerk, das nur Kräfte in seiner Ebene zu übertragen hat. Merkbild: TrennscheibeEine Verbindung von Stäben kann ebenfalls „Scheibe“ genannt werden. Cul



Frag

en

Fachwerke Folie 6

1) Tragwerke werden in zwei Gruppen eingeteilt. Welche sind das?Linien- und Flächentragwerke

2) Was ist der Unterschied zwischen einem „Träger“ und einem „Balken“ ?„Träger“ ist die allgemeine Bezeichnung für Linientragwerke. Ein Balken ist ein spezieller Träger. Er wird quer zu seiner Achse beansprucht.

3) Was ist der Unterschied zwischen einem „Rahmen“ und einem „Bogen“?Ein Bogen ist ein gebogener Träger, ein Rahmen ist ein zusammengesetzter Träger.

4) Wie kann eine Verbindung aus drei Stäben genannt werden,wenn man sie als Flächentragwerk betrachtet?„Scheibe“

5) Was ist der Unterschied zwischen einer „Platte“ und einer „Scheibe“ ?Eine Platte überträgt Kräfte nur senkrecht, eine Scheibe nur parallel zu Ihrer Fläche.

Fragen

Cul



Qui

z

Begriffe

Fachwerke Folie 7

Ein Fachwerk • ist eine Konstruktion aus…

Trägern, Stäben, Stangen• soll Lasten, Spannungen, Momente

aufnehmen.• hat weniger Volumen, Stabilität, Material

als ein entsprechender Massivträger.

Dimensionierung der StäbeDie Stabkräfte ermittelt man aus den …• äußeren Kräften (Lager + Lasten),• Abmessungen (Längen + Durchmesser)• Gleichgewichtsbedingungen

Cul



Kräfte

Äußere KräfteLasten, die von außen einwirken, z.B. eine Lagerkraft (wie FA) oder eine aufgeprägte Kraft (wie F1).

Fachwerke Folie 8

Innere KräfteZug- oder Druckkraft, die vom Stab übertragen wird.

Cul



Beschriftung

Fachwerke Folie 9

Stablinien = gezeichneter Stab arabische Ziffern: 1, 2, 3 …

Knoten(punkte) = Schnittpunkte der Stablinien römische Ziffern: I, II, III …

Merke:Alle äußeren Kräfte

werden auf die Knoten verteilt

Cul



Qui

z

Nullstab

Fachwerke Folie 10

„Nullstäbe“Es ist ratsam, vor der eigentlichen

Berechnung das Fachwerk auf Nullstäbe hin zu untersuchen, denn sie können bei der Berechnung weg gelassen werden.

Nullstäbe sind Stäbe, die weder Zug- noch Druckkräfte enthalten.

Sie sind jedoch in der Praxis notwendig: zur örtlichen Fixierung tragender Stäbe

oder zur Verhinderung von Durchbiegungen.

Cul



Qui

z

Nullstab

Fachwerke Folie 11

Regel 1: An einem unbelasteten Knoten sind nur zwei Stäbe angeschlossen, die nicht in die gleiche Richtung zeigen. Beide Stäbe sind Nullstäbe. Auf welche beiden Stäbe (rechts) trifft das zu?

Regel 2: An einem belasteten Knoten sind nur zwei Stäbe angeschlossen und die äußere Kraft F greift in Richtung des einen Stabes an, so ist der andere Stab ein Nullstab.

Regel 3: An einem unbelasteten Knoten sind drei Stäbe angeschlossen, von denen zwei in gleicher Richtung liegen, so ist der dritte Stab ein Nullstab.

FF

F

Cul



Qui

z

Nullstäbe

Fachwerke Folie 12

[Quelle: www.ingenieurkurse.de/technische-mechanik-statik/fachwerke]

Nach welcher Regel liegt jeweils ein Nullstab vor?

Cul


© Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 13

Qui

z

Begriffe

Fachwerke

Was meinen Sie?Welche Nullstäbe gibt es in diesem Fachwerk?

[s.a. Tutorial auf https://www.youtube.com/watch?v=EijvFpvBEZY]

Cul


https://www.youtube.com/watch?v=EijvFpvBEZY

https://www.youtube.com/watch?v=EijvFpvBEZY


Auf

gabe

Auf

gabe

Begriffe

Fachwerke Folie 14

Wo sind Nullstäbe an dem Fachwerk in der Skizze?

Boden-Wand-FW

Cul



Frag

en

Fachwerke Folie 15

1) Was ist ein Fachwerk? Eine Konstruktion aus geraden starren Stäben.2) Was ist der Vorteil eines Fachwerks?

Ein Fachwerksträger erfordert weniger Material als ein Massivträger.3) Wonach richtet sich der Durchmesser eines Fachwerkstabes?

Nach der Größe seiner Stabkraft.4) Was ist der Unterschied zwischen “Knoten” und “Knotenpunkt” ?

Knoten sind die Verbindungsstellen der realen Stäbe, Knotenpunkte die Schnittstellen der gedachten Stablinien.

5) Römische Ziffern an einer Fachwerk-Skizze bezeichnen …?die Knotenpunkte

6) Die Gewichtskraft eines Stabes zählt als innere oder als äußere Kraft ? als äußere Kraft.

7) Wie behandelt man äußere Kräfte, die quer an der Mitte eines Stabes angreifen?Man zerlegt sie in Kräfte, die an den Knoten angreifen.

Fragen

Cul



Qui

z

instabil statisch bestimmt

statisch unbestimm

t

Statische Bestimmtheit

Fachwerke Folie 16

Ein Fachwerk kann instabil sein (zu wenig Stäbe), oder statisch bestimmt sein

(alle Kräfte sind bestimmbar) oder statisch unbestimmt sein

(mehr Stäbe als notwendig da).

Cul




Fachwerke Folie 17

Erstellbare Gleichungen:Jeder Knoten liefert 2 Gleichungen: ΣFx=0, ΣFy=0k Knoten liefern 2k Gleichungen.

Unbekannte Kräfte: Ein Loslager entspricht einer unbekannten Kraft → 1 Ein Festlager entspricht zwei unbek. Kräften → 2 Jeder Stab beinhaltet eine unbekannte Kraft → s

Das Abzählkriterium für statische Bestimmtheit lautet:

2k = 3+s

Vergleich

Cul



Qui

z


Fachwerke Folie 18

2 k = 3 + s2·4 > 3+ 4 8 > 7instabil

2 k = 3 + s2·4 = 3+ 5 8 = 8statisch bestimmt

2 k = 3 + s2·4 < 3+ 6 8 < 9statisch unbestimmt

Drei Fachwerke Ermitteln Sie die statische Stabilität bzw. statische Bestimmtheit der abgebildeten drei Fachwerke - mit Begründung.

Cul




Fachwerke Folie 19

zur Erinnerung:

Cul




Fachwerke Folie 20

Ein statisch bestimmter Stab, der mit zwei anderen Stäben ein Dreieck bildet, ist das einfachste ebene, statisch bestimmte Fachwerk. Denn:

Dreieckige Fachwerke erfüllen

immers = 2k - 3 Cul



Verfahren

Fachwerke Folie 21

zeichnerisch analytischganzes FW Cremona-

PlanKnotenpunkt-Verfahren

lokal Culmann-Verfahren

RitterscherSchnitt


© Prof. Dr. Remo IannielloFachwerke Folie 22

Knotenpunkt-Verfahren



„Rezept: Knotenpunkt-Verfahren“:1) Knoten (I, II, ..) und Stäbe (1, 2, ...)

nummerieren2) Statische Bestimmtheit kontrollieren3) Nullstäbe kennzeichnen4) Freimachen, Lagerkräfte ermitteln.5) Freischnitt um ersten Knoten; dabei

alle unbekannten Stabkräfte zunächst als Zugkräfte annehmen.

6) Zerlegung der Stabkräfte in ihre Komponenten

7) Kräfte-Bilanzen erstellen. 8) Ergebnis-Tabelle erstellen:

Kräfte in Zug-Stäben positiv, Kräfte in Druck-Stäbe negativ kennzeichnen

Fachwerke Folie 23

Wird bei allen Verfahren durchgeführt.

Cul



Auf

gabe

Auf

gabe


Fachwerke Folie 24

Die Stabkräfte des abgebildeten Fachwerks sind mit dem Knotenpunkt-Verfahren zu berechnen.

Gegeben: F = 7,071 kN, a = 2,828 mFAx = 5 kN

FAy = 15 kN

FB = 20 kN

Kran

Cul



Auf

gabe

Auf

gabe


Fachwerke Folie 25

Die Stabkräfte des abgebildeten Fachwerks sind mit dem Knotenpunkt-Verfahren zu berechnen.

Gegeben: F

1 = F

2 = F

3 = 10 kN

Boden-Wand-FW

Cul



Cremona-Plan


Cremona-Plan

„Rezept: Cremona-Plan“:1) Knoten (I, II, ..) und Stäbe (1, 2, ...) nummerieren2) Statische Bestimmtheit kontrollieren3) Nullstäbe kennzeichnen4) Freimachen, Lagerkräfte ermitteln.5) Umlaufsinn (Kraftfolge) festlegen6) Freischnitt des ersten Knotens = Lageplan;

nur zwei unbekannte Kräfte dürfen vorliegen.7) Kräfteplan aufbauen. Stabkräfte nummerieren.8) Vergleich von Umlaufrichtung und Lageplan gibt

an, ob ein Zug- oder Druckstab vorliegt.9) Stabkraft-Tabelle mit Kennzeichnung von Zug-

(+) bzw. Druck-(-) Stäben erstellen.

Fachwerke Folie 27

Wird bei allen Verfahren durchgeführt.

Cul



Auf

gabe

Auf

gabe

Cremona-Plan

Fachwerke Folie 28

Ein Fachwerk wird mit den Kräften F1 , F

2 und F

3 , sowie F

A

und FB nach Skizze belastet.

Alle Stabkräfte sollenmit Hilfe des Cremona-Plans ermittelt werden.

Brücke

Cul



Cremona-Plan

1) Stäbe und Knoten sind nummeriert.2) Das Fachwerk ist statisch bestimmt.3) Es gibt keine Nullstäbe.4) Lagerkräfte: FA = 5,75 kN,

FB = 6,25 kN

Fachwerke Folie 29

Lageplan

Kräfteplan

FA

2, Zugstab

1, Druckstab

Knoten mit max. 2 unbekannten Stab-kräften aussuchen

Drehsinn festlegen

(mit bekannter Kraft beginnen)

Wirklinie der - nach dem Drehsinn - nächsten Kraft zeichnen

Wirklinie der nächsten Kraft (nach dem Drehsinn) in den Kräfteplan ziehen

Hier enden

Hier fortfahren



Cremona-Plan

Den ersten Kräfteplan behalten.Dann den nächsten Knoten mit maximal zwei unbekannten Kräften aussuchen. Hier: Knoten II

Fachwerke Folie 30

2+

1-

FA

Lageplan

im Drehsinn mit bekannten Kräften starten

Kräfteplan

F1

hier weiter machen

hier enden

3-

4-



Cremona-Plan

Kräfteplan beibehalten.Jetzt den nächsten Knoten mit maximal zwei unbekannten Kräften aussuchen. Hier: Knoten III

Fachwerke Folie 31

2+

1-

FAim Drehsinn mit bekannten Kräften starten

Kräfteplan

6+hier weiter machen

hier enden

3-

4- 5-



Cremona-Plan

Jetzt den nächsten Knoten mit maximal zwei unbekannten Kräften aussuchen. Hier: Knoten IV

Fachwerke Folie 32

2+

1-

FAim Drehsinn mit bekannten Kräften starten

Kräfteplan

6+hier weiter machen

hier enden

3-

4- 5-

zur Lösung

F2

8-7-



Cremona-Plan

Fachwerke Folie 33

Lösung

Cul



Auf

gabe

Auf

gabe

Cremona-Plan

Fachwerke Folie 34

Die Stabkräfte des abgebildeten Fachwerks sind mit dem Cremona-Plan zu berechnen.

Gegeben:

F = 7,071 kN,

a = 2,828 m

Kran

zur Lösung

Cul



Cremona-Plan

Fachwerke Folie 35

Lösung

Cul



Auf

gabe

Auf

gabe

Cremona-Plan

Fachwerke Folie 36

FachwerkträgerFür den skizzierten Fachwerkträger sind die Stabkräfte zeichnerisch nach dem Cremona-Verfahren zu bestimmen.


Ritter-Schnitt-Verfahren


Ritterscher Schnitt

nicht ein Knoten, sondern mehrere StellenAnsatz: Nicht nur Kräftebilanz, sondern auch Momentenbilanz.

Fachwerke Folie 38

mehrere Stellen

ΣM = 0

Was ist das Verfahren nach Ritter?

Georg Dietrich August Ritter (*1826, † 1908 in Lüneburg) war ein deutscher Professor für Mechanik und für Astrophysik. Er entwickelte das Rittersche Schnittverfahren zur Berechnung von Stabkräften in Fachwerken.

Cul



Ritterscher Schnitt

Ein Ritterscher Schnitt muss entweder durch drei Stäbe, die nicht alle demselben Knoten angehören, gehen oder durch einen Knoten und einen Stab

Fachwerke Folie 39

Das Tragwerk zerfällt dabei in zwei Teile.

Für jeden Teilkörper gelten die drei GGW-Bedingungen → Σ Fx, Σ Fy und Σ M = 0.

drei unbekannte Stabkräfte sind ermittelbar.

Cul


Wie berechnet man nach Ritter?


Auf

gabe

Auf

gabe

Ritterscher Schnitt

Fachwerke Folie 40

Bestimmen Sie die Stabkräfte S4 = - 5,75 kN, S5 = -2,47 kN und S6 = +7,5 kN nach dem Ritterschen Schnitt-Verfahren.

Brücke

Cul



Auf

gabe

Auf

gabe

Ritterscher Schnitt

Fachwerke Folie 41

Für den abgebildeten Ausleger sind nach dem Ritterschen Schnittverfahren die Stabkräfte S

10 = -30 kN, S

11 = -27,4 kN,

S12

= 51,88 kN zu ermitteln. F = 8 kN

Ausleger

Cul



Auf

gabe

Auf

gabe

Ritterscher Schnitt

Fachwerke Folie 42

Kleine Ritter-BrückeBestimmen Sie die Kraft in den Stäben

GE, GC und BC des Fachwerks und geben Sie an, ob die Stäbe unter

Zug oder unter Druck stehen.F1 = 400 N, F2 = 1.200 N,

h = 3 m, l = 4 m.


Culmann-Verfahren


Culmann-Verfahren

Für den abgebildeten Ausleger sind nach dem Culmann-Verfahren die Stabkräfte S

10 = -30 kN, S

11 = -27,4 kN,

S12

= 51,88 kN zu ermitteln. F = 8 kN

Fachwerke Folie 44

Man benötigt zwei Kräftepaare – daher werden die drei einzelnen Kräfte F zu einer Resultierenden 3 F zusammen gefasst.

Wirklinien der Kräftepaare einzeichnenSchnittpunkte markieren und verbinden

Ausleger

Cul



Culmann-Verfahren

Für den abgebildeten Ausleger sind nach dem Culmann-Verfahren die Stabkräfte S

10 = -30 kN,

S11

= -27,4 kN,

S12

= 51,88 kN

zu ermitteln. F = 8 kN

Fachwerke Folie 45

Ein Parallelogramm mit der bekannten Kraft...

...liefert S10 unddamit auch R1

S10

R1

R1 hat eine gleich große, entgegen gesetzte Resultierende R2

Ein Parallelogramm der unbekannten Kräfte mit R2 liefert die fehlenden Beträge

S12

S11

Ausleger

Cul



Auf

gabe

Auf

gabe


Fachwerke Folie 47

Brücken-FW

Lösung: S1 = -5,75 kNS2 = 8,13 kN S3 = -4 kN

S7 = -1,77 kN S8 = -6,25 kN

S9 = -5 kN S10 = 8,84 kN S11 = -6,25 kN

S4 = - 5,75 kNS5 = -2,475 kNS6 = 7,5 kN

Lösung

Cul

Ein Fachwerk wird mit den äußeren Kräften F

1 , F

2 , F

3 ,

sowie FA und FB belastet.

Die Stabkräfte ("innere Kräfte") S1 bis S8 sollen mit Hilfe des Knotenpunkt-Verfah-rens ermittelt werden.


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