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$: Fakult at Grundlagen Februar 2016 - Hochschule Esslingenmohr/praes/lt_math2_handout.pdf · Eine lineare Substitution beim de nierenden Integral (Nachrechnen!) ergibt den " Ahnlichkeitssatz\:$
TransformationenEigenschaften der Laplacetransformation

Anwendung auf Differenzialgleichungen

Laplacetransformation

Fakultat Grundlagen

Februar 2016

Fakultat Grundlagen Laplacetransformation



Ubersicht

1 TransformationenBezugssystemeDefinition der LaplacetransformationBeispiele

2 Eigenschaften der LaplacetransformationElementare EigenschaftenDifferenziationIntegration, Faltung

3 Anwendung auf DifferenzialgleichungenLosungsschemaDifferenzialgleichungenSysteme von Differenzialgleichungen

Fakultat Grundlagen Laplacetransformation Folie: 2



BezugssystemeDefinition der LaplacetransformationBeispiele

Philosophisches

Ein mathematischer oder physikalischer Sachverhalt lasst sichhaufig in unterschiedlichen Bezugssystemen darstellen.

Je nach Blickwinkel und Aufgabenstellung sind die verschiedenenDarstellungen von Vorteil.

Beispiel:

Licht:Wellennatur Beugung am Spalt

Korpuskelnatur Druck des Sonnenlichts

Je nach Aufgabenstellung benutzt man das Wellenmodell bzw. dasModell eines Teilchens.





Transformationsgedanke I

Koordinationtransformation: Gleichungder Ellipse lasst sich in einem

”geschickten“

Koordinatensystem”einfacher“ darstellen.

5x21 + 5x22 + 6x1x2 − 22x1 − 26x2 + 35 = 0

Verschiebungin Nullpunkt:

x1 = y1 + 1x2 = y2 + 2

eliminiert lineare Glieder:

5y21 + 5y22 + 6y1y2 = 2

Drehung:y1 = 1√

2[z1 + z2]

y2 = 1√2

[−z1 + z2]

eliminiert Produktglied:

2z21 + 8z22 = 2 bzw.z211 +

z22( 12)

2 = 1

x1

x2

y1

y2

z1

z2

1

1





Transformationsgedanke II

Zeitbereich:

x(t) = 1 + cos(t)− 12 sin(2t)− 1

3 cos(3t) + 14 sin(4t)

x(t) = 1 + cos(t) + 12 cos(2t + π

2 ) + 13 cos(3t + π) + 1

4 cos(4t − π2 )

tT

x(t)

x

1

1

Frequenzbereich:

Bei bekannter Schwingungs-

dauer T besitzt Amplitude

und Phase denselben Infor-

mationsgehalt wie die Zeit-

funktion x(t) !

k k

1

1

πPhaseAmplitude





Transformation von Funktionen

Laplacetransformation

Die Zeitfunktion f (t) mit f (t) = 0 fur t < 0 und dieFrequenzfunktion F (s) bilden ein Laplace-Transformationspaar ,wenn sie folgenden Transformationsgleichungen genugen:

F (s) = L {f (t)} =∞∫

t=0

f (t) · e−stdt; s ∈ C

f (t) = L−1 {F (s)} = 12πj

α+j∞∫s=α−j∞

F (s) · estds

Zur Beschreibung der Zusammengehorigkeit von f (t) und F (s)verwendet man das nachfolgende Korrespondenzsymbol.

f (t) d s F (s)





Definitionsbereich der Laplacetransformation

In der Definition wird stillschweigend die Existenz deruneigentlichen Integrale vorausgesetzt. Besitzt die Funktion f (t)die Eigenschaft

f (t) · eα0t → 0 fur t →∞

mit einem bestimmten reellen Parameter α0, dann existiert dasLaplace-Integral fur alle s = α + jω mit α > α0.

α∗

α∗ + j∞

α∗ − j∞

Re

Im

Zu einem Laplace-Integral gehort also stets eine Konver-

genzhalbebene Re(s) > α∗; α∗ ist das Minimum aller

Werte α0, fur die die obige Grenzbeziehung erfullt ist.

Die Konvergenzbedingung bedeutet anschaulich, dass

f (t) nicht starker anwachsen darf als eine Exponential-

funktion. Da f (t) = 0 fur t < 0 , spielt das Verhalten

des konvergenzerzwingenden Faktors e−st fur negative

Werte keine Rolle.





Beispiel I

f (t) = eat · σ(t) , a ∈ C

t

e−0.5·t1

L {eat} =∞∫

t=0

eat · e−stdt =∞∫

t=0

e(a−s)tdt = e(a−s)ta− s

∣∣∣∣∞t=0

= 1a− s

[lim

T→∞e(a−s)T − 1

]= 1

s − a ,

Es gilt: e(a−s)T → 0 fur T →∞ falls Re(s) > Re(a)

Korrespondenz:

⇒ eat d s 1s − a ; Re(s) > Re(a)





Beispiel II

f1(t) = cos(ωt) · σ(t)

f2(t) = sin(ωt) · σ(t)ω ∈ IR

e±jωt · σ(t) d s 1s ∓ jω

1

1

t

cos(2t)

sin(5t)

Eulersche Formel (ejα = cosα+ j sinα) :

cos(ωt) = 12

[ejωt + e−jωt

] d s 12

[1

s − jω + 1s + jω

]= s

s2 + ω2

sin(ωt) = 12j

[ejωt − e−jωt

] d s 12j

[1

s − jω −1

s + jω

]= ω

s2 + ω2

Argumentation ohne σ(t)!

⇒cos(ωt) d s s

s2 + ω2

sin(ωt) d s ωs2 + ω2

; Re(s) > 0




Elementare EigenschaftenDifferenziationIntegration, Faltung

Rechenregeln der Laplacetransformation f (t) d s F (s)

Die Linearitat des Integrals ergibt sofort die Linearitat derLaplacetransformation

f1(t) d s F1(s)f2(t) d s F2(s)

⇒ a1f1(t) + a2f2(t) d s a1F1(s) + a2F2(s)

Eine lineare Substitution beim definierenden Integral(Nachrechnen!) ergibt den

”Ahnlichkeitssatz“:

f (at); a > 0 d s 1a · F

( sa)

Interpretieren wir s als Frequenz, dann ergibt sich daraus das

”Grundgesetz“ der Nachrichtentechnik:

Zeitdauer eines Signals und die Bandbreite des Spektrums sindzueinander umgekehrt proportional.






L {f (t − a) · σ(t − a)} =∞∫

t=af (t − a) · e−stdt = . . .

τ = t − adτ = dt

t a ∞τ 0 ∞

. . . =∞∫

τ=0

f (τ) · e−s(τ+a)dτ = e−as ·∞∫

τ=0

f (τ)e−sτdτ = e−as · F (s)

f (t) · σ(t) f (t − a) · σ(t − a)

at t

sd Verschiebungssatz: sdF (s) e−as · F (s)






Eine Verschiebung im Frequenzbereich entspricht im Zeitbereicheiner Multiplikation mit einer e-Funktion (analoger Nachweis durchSubstitution beim Umkehrintegral)

e−at · f (t) d s F (s + a)

Die Bezeichnung Dampfungssatz folgt aus der Tatsache, dass fura > 0 die Zeitfunktion f (t) gedampft wird.

Die Endwertsatze stellen einen Zusammenhang zwischen Anfangs-bzw. Endwerten der Zeitfunktion f (t) und den End- bzw.Anfangswerten der Frequenzfunktion F (s) her.

limt→∞

f (t) = lims→0

s · F (s)

limt→0

f (t) = lims→∞

s · F (s)






Welche Rechenoperation im Frequenzbereich entspricht derDifferenziation im Zeitbereich?

L {f ′(t)} =∞∫

t=0

f ′(t)e−st dt partielle Integration∫f ′gdx = fg −

∫fg ′dx

= f (t) · e−st∣∣∞t=0︸︷︷︸

=0−f (0+)

− (−s) ·∞∫

t=0

f (t) · e−stdt

︸︷︷︸=F (s)= s · F (s)− f (0+)

Hohere Ableitungen:

L {f ′′(t)} = L {g ′(t)} mit g(t) = f ′(t) d s s · F (s)− f (0+)

= s · L {g(t)} − g(0+) = s · L {f ′(t)} − f ′(0+)

= s · [s · F (s)− f (0+)]− f ′(0+)

= s2 · F (s)− s · f (0+)− f ′(0+)





Beispiel zum Differenziationssatz

Bei Anfangswertproblemen werden die Anfangswerte bei derTransformation

”automatisch“ berucksichtigt.

Beispiel: y ′ + y = 0 ; y(0) = 5

Laplace-Transformation des Anfangswertproblems:Bezeichnung: L {y(x)} = Y (s) ; x entspricht t

L{y ′ + y

}= L {0} ⇐⇒ s · Y (s)− 5 + Y (s) = 0

Man erhalt eine algebraische Gleichung fur Y (s)

Y (s) =5

s + 1

Die Rucktransformation liefert die gesuchte Losung im x-Bereich

y(x) = 5 · e−x






Eine Differenziation im Frequenzbereich entspricht im Zeitbereichder Multiplikation mit −t. Dabei sind keine Anfangswerte zuberucksichtigen.

− t · f (t) d s d

dsF (s)

Diese Eigenschaft kann man bei der Rucktransformation nutzen.

L {t · cosωt} = ? cosωt d s ss2 + ω2

L {t · cosωt} = − d

dsL {cosωt} = − d

ds

(s

s2 + ω2

)=

s2 − ω2

(s2 + ω2)2

Fur hohere Ableitungen im Frequenzbereich gilt entsprechend

tn · f (t) d s (−1)n dn

dsnF (s)






Integrationssatz: Der Integration (als Umkehrung derDifferenziation) im Zeitbereich entspricht im Frequenzbereich dieDivision durch s.

Faltungssatz: Der Multiplikation im s-Bereich entspricht dieFaltung im t-Bereich.

F1(s) · F2(s) s d f1(t) ∗ f2(t) =t∫

τ=0

f1(τ)f2(t − τ)dτ

Wegen f (t) = 0 fur t < 0 erhalt man fur die untere Integrationsgrenze stets 0.

Da die Reihenfolge der Multiplikation im s-Bereich keine Rollespielt, kann bei der Faltung die Reihenfolge vertauscht werden:

f1(t) ∗ f2(t) = f2(t) ∗ f1(t)





Beispiel zur Faltung

g(t) = (1− e−t) · σ(t)

r(t) =

{e−t fur 0 ≤ t ≤ 1

0 sonst

f (t) =(g ∗ r

)(t)

=

{−e−t − te−t + 1, 0 ≤ t ≤ 1

−e−1 − e−t + 1, t > 0t

g(t − τ)

t

g(t − τ)

τ

1

r(τ)

g(τ)

f (τ)

f (t) =t∫0

r(τ) · g(t − τ) dτ =t∫0

e−τ [σ(τ)− σ(τ − 1)](1− e−(t−τ))σ(t − τ) dτ

0 ≤ t ≤ 1 f (t) =t∫0

e−τ (1− e−(t−τ))︸︷︷︸e−τ−e−t

dτ =[−e−τ − τe−t

]t0

= −e−t − te−t + 1

1 < t f (t) =1∫0

e−τ (1− e−(t−τ))︸︷︷︸e−τ−e−t

dτ =[−e−τ − τe−t

]10

= −e−1 − e−t + 1

MATLAB: faltung.m





Laplacetransformation periodischer Funktionen

Die Funktion f0(t) sei auf 0 < t < t1 definiert. Durch periodischeFortsetzung fur t > 0 entsteht die Funktion f (t) mit f (t + t1) = f (t).

t t

f0(t) f (t)

F0(s) F0(s) · 11− e−t1s??

t1 t1 2t1 3t1

Verschiebung von f0(t) um k · t1: fk(t) d s Fk(s) = F0(s) · e−kt1sAddition der Einzelimpulse:

f (t) =∞∑k=0

fk(t) d s F (s) =∞∑k=0

Fk(s) = F0(s) ·∞∑k=0

[e−t1s ]k︷︸︸︷e−kt1s =

F0(s)1− e−t1s

gultig fur |e−t1s | < 1, d. h. Re(s) > 0 vgl. Skript Reihen!




LosungsschemaDifferenzialgleichungenSysteme von Differenzialgleichungen

Losungsschema

Der Differentiation im t-Bereich entspricht die (mathematischwesentlich einfachere) Multiplikation mit s im Frequenzbereich;eine Differentialgleichung geht durch Laplace-Transformation ineine algebraische Gleichung uber. Anfangswertprobleme lassensich nach folgendem Schema behandeln:

DGL + Anfangsbedingungen

algebraische Gleichung Bildfunktion

Losung der DGL

L L−1

Algebra

s-Bereich

Zeitbereich

?

6

-






Transformation einer linearen Differenzialgleichung

f (t) d s F (s)f ′(t) d s sF (s)− f (0+)f ′′(t) d s s2F (s)− f (0+) · s − f ′(0+)· · · · · · · · ·f (n) d s sn · F (s)− f (0+) · sn−1 − f ′(0+) · sn−2 − . . .− f (n−1)(0+)

Differentiationim Zeitbereich

} d s

Multiplikation mit einer Potenz

der Variablen s+ Polynom in s, dessen KoeffizientenAnfangswerte von f , f ′, . . . sind

ergibt algebraische Gleichung fur F (s) .





Beispiel DGL 2. Ordnung I

AWP: x + x = t ; x(0) = 1 , x(0) = −2

(1) L-Transformation des AW-Problems: X (s) = L{x(t)}:

L {x + x} = L {x}+ L {x} = {s2X (s)− s + 2}+ X (s)

L {t} = 1s2

AWP ⇒ (s2 + 1) · X (s)− s + 2 =

1

s2

(2) Losung im s-Bereich: Die algebraische Gleichung fur dieBildfunktion X (s) hat die Losung

X (s) = 1s2(s2 + 1)

+ ss2 + 1

− 2s2 + 1





Beispiel DGL 2. Ordnung II

(3) L−1-Transformation: X (s) = 1s2(s2 + 1)

+ ss2 + 1

− 2s2 + 1

Partialbruchzerlegung des ersten Terms:

1

s2(s2 + 1)=

a

s+

b

s2+

cs + d

s2 + 1

Multiplikation mit dem Hauptnenner und Koeffizientenvergleich . . .

1s2(s2 + 1)

= 1s2− 1

s2 + 1

Damit geht die Bildfunktion X (s) uber in

X (s) = 1s2

+ ss2 + 1

− 3 · 1s2 + 1

ds ds ds ds Tabelle!

x(t) = t + cos t − 3 · sin t





Beispiel System I{x + 2y = 3ty − 2x = 4

}x(0) = 0 ; y(0) = 1

(1) LT des AW-Problems (L {x(t)} = X (s) , L {y(t)} = Y (s))

s · X + 2Y = 3s2

s · Y − 1− 2X = 4s

⇔ s · X + 2Y = 3

s2·2 ·s

−2X + sY = 4s + 1 ·s ·(−2)

(2) Losung des Gleichungssystems fur X (s),Y (s)

2s · X + 4Y = 6s2

−2s · X + s2Y = 4 + s

Y · (4 + s2) = 6s2

+ 4 + s

s2 · X + 2sY = 3s

4 · X − 2sY = −8s − 2

X · (4 + s2) = −5s − 2





Beispiel System II

⇒

X (s) = −5

s(s2 + 4)− 2

s2 + 4

Y (s) = 4s2 + 4

+ 6s2(s2 + 4)

+ ss2 + 4

(3) L−1-Transformation (Partialbruchzerlegung, Tabelle, . . .)

X (s) = −54 ·

1s + 5

4 ·s

s2 + 4− 2

s2+4

ds ds dsx(t) = − 5

4 · 1 + 54 · cos 2t − sin 2t

Y (s) = 32 ·

1s2

+ ss2 + 4

+ 54 ·

2s2 + 4

ds ds dsy(t) = 3

2 · t + cos 2t + 54 · sin 2t





Losen von DGL mittels Laplacetransformation

Wegen des 1. Differentiationssatzes werden bei derLaplacetransformations-Methode die Anfangsbedingungenautomatisch berucksichtigt. Interessiert man sich fur die allgemeineLosung, dann kann man allgemeine Anfangswerte verwenden, diedann die Rolle der Integrationskonstanten ubernehmen.Die Laplace-Transformationsmethode ist besonders einfach beilinearen Differentialgleichungen bzw. Differentialgleichungs-systemen mit konstanten Koeffizienten.Als Bildfunktionen ergeben sich gebrochen rationaleFunktionen, die sich mit Hilfe der Partialbruchzerlegung undeiner Korrespondenztabelle transformieren lassen.Im Nenner der Bildfunktion tritt dabei jeweils das charakteristischePolynom auf; die Eigenwerte der klassischen Losungsmethode sindNennernullstellen. Resonanzfalle mussen nicht gesondert behandeltwerden!


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