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Partielle DifferenzialgleichungenFE-Methode

Finite Elemente

Fakultat Grundlagen

April 2011

Fakultat Grundlagen Finite Elemente


Ubersicht

1 Partielle DifferenzialgleichungenLosungsmethodenBalkenbiegungWarmeleitung

2 FE-MethodeTriangulierungApproximation

Fakultat Grundlagen Finite Elemente Folie: 2


LosungsmethodenBalkenbiegungWarmeleitung

Differenzenmethode fur Uxx(x , y) + Uyy(x , y) = f (x , y)

Wir legen ein regelmaßigesquadratisches Netz uberdas Gebiet G .Den Wert der exaktenLosungsfunktion U(x , y)in einem GitterpunktP(xi , yj) bezeichnen wir mitU(xi , yj), den zugehorigenNaherungswert mit Ui ,j .

Ux(xi , yj) ≈Ui+1,j − Ui−1,j

2h

Uy (xi , yj) ≈Ui,j+1 − Ui,j−1

2h

Uxx(xi , yj) ≈Ui+1,j − 2Ui,j + Ui−1,j

h2

Uyy (xi , yj) ≈Ui,j+1 − 2Ui,j + Ui,j−1

h2

P E

N

W

S

x

y

h h




Variationsansatz

Man kan zeigen, dass das Losen von partiellenDifferenzialgleichungen aquivalent zu sogenanntenVariationsproblemen ist.

Physikalisch bedeutet dies, dass man an Stelle der Newtonschenbewegungsgleichung - formuliert als Diferenzailgleichung zweiterOrdnung - das Energieprinzip benutzt.Dabei sind Gebietsintegrale im IR2 bzw. IR3 uber U(x , y) zuberechnen.Dies soll zunachst an einem einfachen eindimensionalen Beispielerklart werden.




Variationsansatz

Man kan zeigen, dass das Losen von partiellenDifferenzialgleichungen aquivalent zu sogenanntenVariationsproblemen ist.Physikalisch bedeutet dies, dass man an Stelle der Newtonschenbewegungsgleichung - formuliert als Diferenzailgleichung zweiterOrdnung - das Energieprinzip benutzt.

Dabei sind Gebietsintegrale im IR2 bzw. IR3 uber U(x , y) zuberechnen.Dies soll zunachst an einem einfachen eindimensionalen Beispielerklart werden.




Variationsansatz

Man kan zeigen, dass das Losen von partiellenDifferenzialgleichungen aquivalent zu sogenanntenVariationsproblemen ist.Physikalisch bedeutet dies, dass man an Stelle der Newtonschenbewegungsgleichung - formuliert als Diferenzailgleichung zweiterOrdnung - das Energieprinzip benutzt.Dabei sind Gebietsintegrale im IR2 bzw. IR3 uber U(x , y) zuberechnen.

Dies soll zunachst an einem einfachen eindimensionalen Beispielerklart werden.




Variationsansatz

Man kan zeigen, dass das Losen von partiellenDifferenzialgleichungen aquivalent zu sogenanntenVariationsproblemen ist.Physikalisch bedeutet dies, dass man an Stelle der Newtonschenbewegungsgleichung - formuliert als Diferenzailgleichung zweiterOrdnung - das Energieprinzip benutzt.Dabei sind Gebietsintegrale im IR2 bzw. IR3 uber U(x , y) zuberechnen.Dies soll zunachst an einem einfachen eindimensionalen Beispielerklart werden.




Balkenbiegung I

Zur Randwertaufgabe (Biegung eines zweiseitig gelagerten Balkens)

w ′′(x) = M(x) w(0) = w(1) = 0

wollen wir aus dem Energieprinzip die zugehorige Aufgabe derVariationsrechnung herleiten. Dazu betrachten wir

E (w) =

1∫0

[1

2(w ′(x))

2+ M(x)w(x)

]dx

und suchen diejenige Funktion w(x), die E (w) zu einem Minimummacht.

Ist w(x) die optimale Funktion, so mussen alle Variationen

w(x) + δ(x) mit δ(0) = δ(1) = 0

einen großeren Wert fur E ergeben.




Balkenbiegung I

Zur Randwertaufgabe (Biegung eines zweiseitig gelagerten Balkens)

w ′′(x) = M(x) w(0) = w(1) = 0

wollen wir aus dem Energieprinzip die zugehorige Aufgabe derVariationsrechnung herleiten. Dazu betrachten wir

E (w) =

1∫0

[1

2(w ′(x))

2+ M(x)w(x)

]dx

und suchen diejenige Funktion w(x), die E (w) zu einem Minimummacht. Ist w(x) die optimale Funktion, so mussen alle Variationen

w(x) + δ(x) mit δ(0) = δ(1) = 0

einen großeren Wert fur E ergeben.




Balkenbiegung IIWir betrachten die Differenz

δE = E (w +δ) − E (w) =

1∫0

[w ′(x) · δ′(x) + M(x) · δ(x)] dx + 12

1∫0

[δ′(x)]2dx

Vernachlassigen wir den Summanden mit Gliedern 2. Ordnung in δ′(x), so erhaltenwir einen stationaren Punkt (Minimum) aus der Forderung

δE =

1∫0

[w ′(x) · δ′(x) + M(x) · δ(x)] dx!

= 0 .

Wir wenden auf den ersten Summanden die partiellen Integration an:

1∫0

w ′(x) · δ′(x)dx = w ′(x) · δ(x)|10 −1∫

0

w ′′(x) · δ(x)dx = −1∫

0

w ′′(x) · δ(x)dx

da δ(0) = δ(1) = 0




Balkenbiegung IIWir betrachten die Differenz

δE = E (w +δ) − E (w) =

1∫0

[w ′(x) · δ′(x) + M(x) · δ(x)] dx + 12

1∫0

[δ′(x)]2dx

Vernachlassigen wir den Summanden mit Gliedern 2. Ordnung in δ′(x), so erhaltenwir einen stationaren Punkt (Minimum) aus der Forderung

δE =

1∫0

[w ′(x) · δ′(x) + M(x) · δ(x)] dx!

= 0 .

Wir wenden auf den ersten Summanden die partiellen Integration an:

1∫0

w ′(x) · δ′(x)dx = w ′(x) · δ(x)|10 −1∫

0

w ′′(x) · δ(x)dx = −1∫

0

w ′′(x) · δ(x)dx

da δ(0) = δ(1) = 0Fakultat Grundlagen Finite Elemente Folie: 6



Balkenbiegung IIIInsgesamt erhalten wir:

δE =

1∫0

[−w ′′(x) · δ(x) + M(x) · δ(x)]︸︷︷︸=(M(x)−w ′′(x))·δ(x)

dx!

= 0 .

Dieser Ausdruck wird fur alle Abweichungen δ(x) zu Null, wenn die ursprunglicheDifferenzialgleichung

w ′′(x) = M(x) x ∈ [0, 1]

erfullt ist. Wir formulieren das zu diesem Randwertproblem gehorende Variation-sproblem:

Gesucht ist die Funktion w(x) mit w(0) = w(1) = 0, die den Ausdruck

E (w) =

1∫0

[1

2(w ′(x))

2+ M(x)w(x)

]dx minimal macht.




Balkenbiegung IIIInsgesamt erhalten wir:

δE =

1∫0

[−w ′′(x) · δ(x) + M(x) · δ(x)]︸︷︷︸=(M(x)−w ′′(x))·δ(x)

dx!

= 0 .

Dieser Ausdruck wird fur alle Abweichungen δ(x) zu Null, wenn die ursprunglicheDifferenzialgleichung

w ′′(x) = M(x) x ∈ [0, 1]

erfullt ist. Wir formulieren das zu diesem Randwertproblem gehorende Variation-sproblem:Gesucht ist die Funktion w(x) mit w(0) = w(1) = 0, die den Ausdruck

E (w) =

1∫0

[1

2(w ′(x))

2+ M(x)w(x)

]dx minimal macht.




Warmeleitungsgleichung

Die partielle Differenzialgleichung

Uxx(x , y) + Uyy (x , y) = f (x , y)

beschreibt die Temperatur-verteilung in einem homogenenMedium mit einer Warmequellef (x , y), wobei die Randtempera-tur vorgegeben wird.

G

U(x , y) = ϕ(x , y) fur (x , y) ∈ ∂G Randtemperatur

∂U(x , y)∂n = 0 fur (x , y) ∈ ∂G ideale Isolation




Warmeleitung; Energieprinzip

Wir betrachten dazu den Energieausdruck:

I (U) =

∫∫G

[1

2

(U2

x (x , y) + U2y (x , y)

)+ f (x , y)U(x , y)

]dxdy .

Fur die Variation δ(x , y) mit δ(x , y) = 0 bzw.∂δ(x , y)∂n = 0 auf dem Rand ∂G

gilt:

δI = I (U + δ)− I (U)

=

∫∫G

{12

[(Ux + δx)2 − U2

x + (Uy + δy )2 − U2y

]+ f (U + δ) − fU

}dxdy

=

∫∫G

{Ux · δx + Uy · δy + f · δ} dxdy + 12

∫∫G

{δ2x + δ2

y

}dxdy

. . .



TriangulierungApproximation

Triangulierung

Wir zerlegen G naherungsweise in Dreiecke.Die Dreieckszerlegung (Triangulierung) seidabei so beschaffen, dass benachbarteDreiecke entweder eine ganze Seite gemein-sam haben oder nur einen Punkt.

In jedem Dreieck wahlen wir in Analogie zum Vorgehen bei Splines fur dieApproximation von U(x , y) einen bestimmten Funktionstyp als Ansatz.

U(x , y) = c1 + c2x + c3y + c4x2 + c5xy + c6y

2

Diese quadratische Ansatzfunktion ist durch die Vorgabe von Funktion-swerten in sechs Punkten festgelegt. Wir wahlen dafur die Eckpunkte desDreiecks und die drei Seitenmittelpunkte aus.Bei benachbarten Dreiecken stimmen jeweils drei Punkte miteinanderuberein. Eine Parabel ist aber durch drei Punkte festgelegt. Diese Para-bel ist dann die Schnittkurve der benachbarten Ansatzfunktionen.




Triangulierung

Wir zerlegen G naherungsweise in Dreiecke.Die Dreieckszerlegung (Triangulierung) seidabei so beschaffen, dass benachbarteDreiecke entweder eine ganze Seite gemein-sam haben oder nur einen Punkt.In jedem Dreieck wahlen wir in Analogie zum Vorgehen bei Splines fur dieApproximation von U(x , y) einen bestimmten Funktionstyp als Ansatz.


2





Triangulierung



2

Diese quadratische Ansatzfunktion ist durch die Vorgabe von Funktion-swerten in sechs Punkten festgelegt. Wir wahlen dafur die Eckpunkte desDreiecks und die drei Seitenmittelpunkte aus.

Bei benachbarten Dreiecken stimmen jeweils drei Punkte miteinanderuberein. Eine Parabel ist aber durch drei Punkte festgelegt. Diese Para-bel ist dann die Schnittkurve der benachbarten Ansatzfunktionen.




Triangulierung



2





Transformation

Wir betrachten nun ein einzelnes Dreieck mit den sechs KnotenpunktenP1, P2, . . . , P6, wobei die Eckpunkte des Dreiecks entsprechend der unterenSkizze im mathematisch positiven Sinne angeordnet seien. Zur Berechnung desVariationsintegrals unterwerfen wir das Dreieck Ti einer linearen Transformation,sodass ein Normdreieck entsteht.

P1P2

P3

P4

P5

P6

x

y

Ti

P1(x1, y1) −→ (0, 0)

P2(x2, y2) −→ (1, 0)

P3(x3, y3) −→ (0, 1)

1

1P1 P4

P2

P5

P3

P6

ζ

η

∆

x = x1 + (x2 − x1) · ζ + (x3 − x1) · ηy = y1 + (y2 − y1) · ζ + (y3 − y1) · η

; J =(x2 − x1) (x3 − x1)(y2 − y1) (y3 − y1)

Wobei J das Flachenverhaltnis Ti zu ∆ darstellt.




Ansatzfunktionen

Wir wollen nun versuchen, die Ansatzfunktion im Normdreieck durch die Funk-tionswerte von U(x , y) in den 6 Dreieckspunkten auszudrucken. Fur den Falleines rechtwinklig-gleichschenkligen Dreiecks lasst sich dies einfach explizitdarstellen. Wir verwenden dazu sogenannte Formfunktionen, die jeweils ineinem Punkt den Wert 1 annehmen und in den ubrigen Punkten verschwinden.

Ni (0|0) Ni (1|0) Ni (0|1) Ni (12 |0) Ni (

12 |

12 ) Ni (0| 12 )

N1 = (1− ζ − η) · (1− 2ζ − 2η) 1 0 0 0 0 0

N2 = ζ · (2ζ − 1) 0 1 0 0 0 0

N3 = η · (2η − 1) 0 0 1 0 0 0

N4 = 4ζ · (1− ζ − η) 0 0 0 1 0 0

N5 = 4ζ · η 0 0 0 0 1 0

N6 = 4η · (1− ζ − η) 0 0 0 0 0 1




Ansatzfunktion N1(ζ, η)

N1(ζ, η) = (1− ζ − η) · (1− 2ζ − 2η)




Ansatzfunktion N4(ζ, η)

N4(ζ, η) = 4ζ · (1− ζ − η)




Auswertung des Integrals

in i gilt: f1 = f (0, 0) = f (x1, y1)

f2 = f (1, 0) = f (x2, y2)

f3 = f (0, 1) = f (x3, y3)

f4 = f ( 12, 0) = f ( x1+x2

2, y1+y2

2)

f5 = f ( 12, 1

2) = f ( x2+x3

2, y2+y2

2)

f6 = f (0, 12) = f ( x1+x3

2, y1+y2

2)

∫∫f (x , y)dxdy ≈

∑i

∫∫i

f (x , y)dxdy =∑

i

Ji ·∫∫

fi (ζ, η)dζdη

Im Normdreieck approximieren wirfi (ζ, η) durch Interpolation der sechsPunkte auf den Bergrenzungsgeraden:

fi (ζ, η) ≈6∑

j=1

fi,j · Nj(ζ, η)

∫∫fi (ζ, η)dζdη ≈

6∑j=1

fi,j ·∫∫

Nj(ζ, η)dζdη

=6∑

j=1

fi,j ·

0 fur j = 1− 1

12 fur j = 2, 316 fur j = 4, 5, 6





in i gilt: f1 = f (0, 0) = f (x1, y1)

f2 = f (1, 0) = f (x2, y2)

f3 = f (0, 1) = f (x3, y3)

f4 = f ( 12, 0) = f ( x1+x2

2, y1+y2

2)

f5 = f ( 12, 1

2) = f ( x2+x3

2, y2+y2

2)

f6 = f (0, 12) = f ( x1+x3

2, y1+y2

2)∫∫

f (x , y)dxdy ≈∑

i

∫∫i

f (x , y)dxdy =∑

i

Ji ·∫∫

fi (ζ, η)dζdη


fi (ζ, η) ≈6∑

j=1

fi,j · Nj(ζ, η)


6∑j=1

fi,j ·∫∫

Nj(ζ, η)dζdη

=6∑

j=1

fi,j ·

0 fur j = 1− 1

12 fur j = 2, 316 fur j = 4, 5, 6





in i gilt: f1 = f (0, 0) = f (x1, y1)

f2 = f (1, 0) = f (x2, y2)

f3 = f (0, 1) = f (x3, y3)

f4 = f ( 12, 0) = f ( x1+x2

2, y1+y2

2)

f5 = f ( 12, 1

2) = f ( x2+x3

2, y2+y2

2)

f6 = f (0, 12) = f ( x1+x3

2, y1+y2

2)∫∫

f (x , y)dxdy ≈∑

i

∫∫i

f (x , y)dxdy =∑

i

Ji ·∫∫

fi (ζ, η)dζdη


fi (ζ, η) ≈6∑

j=1

fi,j · Nj(ζ, η)


6∑j=1

fi,j ·∫∫

Nj(ζ, η)dζdη =6∑

j=1

fi,j ·

0 fur j = 1− 1

12 fur j = 2, 316 fur j = 4, 5, 6


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