Komplexe Zahlen - Hochschule Esslingenmohr/mathematik/me1/komplex...3 Ausdruck e der Form z = x + j...

Komplexe ZahlenRechnen mit komplexen Zahlen

Anwendungen der komplexen Rechnung

Komplexe Zahlen

Fakultät Grundlagen

Juli 2015

Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen



Übersicht

1 Komplexe ZahlenErweiterung des ZahlbegriffsDefinitionDarstellung komplexer Zahlen

2 Rechnen mit komplexen ZahlenGrundrechenartenPotenzen und Wurzeln komplexer ZahlenLösen algebraischer Gleichungen

3 Anwendungen der komplexen RechnungHarmonische SchwingungenÜberlagerung von gleichfrequenten SchwingungenWechselstromkreise

Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 2



Erweiterung des ZahlbegriffsDefinitionDarstellung komplexer Zahlen

Zahlenmengen

Menge mögliche Rechenoperationen

N +, ·Z +, −, ·Q +, −, ·, :, Potenzen

R +, −, ·, :, PotenzenGrenzwerte

√2, e, π, . . .

C+, −, ·, :, Potenzen, WurzelnGrenzwerte

√2, e, π, . . .

algebraische Gleichungen

QZahlen des

”bürgerlichen Rechnens“

Darstellung als endliche oder periodischeDezimalbrüche

RVervollständigung durch Grenzwerte; jederPunkt der Zahlengeraden entspricht einerreellen Zahl.

N

Z

Q

R

C





imaginäre Einheit

Problem: x2 + 1 = 0 x = ±√−1 keine reelle Lösung!

Wir führen ein neues Symbol ein und legen fest:√−1 = j

”Formal“ besitzt damit obige Gleichung die Lösungen x = ±j .

Wenn wir voraussetzen, dass diese neue Zahlen denselbenRechengesetzen genügen, wie die reellen Zahlen, erhalten wirdamit auch Lösungen für andere bisher nicht lösbare Gleichungen.

x2 + 2x + 5 = 0

x1/2 =−2±

√4− 20

2 =−2±

√16·√

(−1)︷︸︸︷√16 · (−1)2 =

−2± 4j2

x1/2 = −1± 2jHier wird benutzt:

√a · b =

√a ·√b

”Linearkombinationen“ von

”alten“ reellen Zahlen und

Vielfachen der neuen Zahl j machen Sinn!





Definition der komplexen Zahlen

1 Der Ausdruck√−1 heißt imaginäre Einheit und wird mit j

bezeichnet.2 Ausdrücke der Form j y mit y ∈ R heißen imaginäre Zahlen.3 Ausdrücke der Form z = x + j y mit x , y ∈ R werden als

komplexe Zahlen bezeichnet.4 Ist z = x + j y eine komplexe Zahl, so heißen

x = Re (z) Realteil von zy = Im (z) Imaginärteil von z .

5 Die Menge C = {z = x + j y | x , y ∈ R} wird als Mengeder komplexen Zahlen bezeichnet.

Bemerkungen:

Der Imaginärteil y einer komplexen Zahl z = x + j y ist der Faktorbei j und damit selbst eine reelle Zahl.

In der Mathematik wird die imaginäre Einheit√−1 üblicherweise

mit i bezeichnet. (Technik: i : Stromstärke)Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 5




Kartesische Darstellung der komplexen Zahlen I

-

6

Re

Im

x

y sz = x + jy Jeder komplexen Zahl z = x + j yentspricht genau ein Punkt P(x , y)in der komplexen Zahlenebene undumgekehrt.

1 Die komplexe Zahlenebene wird als Gaußsche Zahlenebenebezeichnet.

2 In der Gaußschen Zahlenebene heißen die Achsen deskartesischen Koordinatensystems reelle Achse bzw.imaginäre Achse.





Kartesische Darstellung der komplexen Zahlen II

1 Wir beschriften die imaginäre Achse hier in der Form j , 2j , 3j . . .wie dies in der Elektrotechnik üblich ist (und nicht 1, 2, 3, . . .).Das bedeutet, dass auf dieser Achse nicht der Imaginärteil y ,sondern die imaginäre Zahl jy dargestellt wird.

2 Für manche Anwendungen ist eshilfreich, eine komplexe Zahl nichtals Punkt P(x , y) in der GaußschenZahlenebene zu veranschaulichen,sondern stattdessen den zugehörigenOrtsvektor zu betrachten:

z = x + j y ⇔ z =(xy

). - Re

6

Im

x

jy s

��3

z

In diesem Fall spricht man von z als einem komplexen Zeiger.





Polardarstellung der komplexen Zahlen I

Neben der oben eingeführten

”kartesischen“ Darstellung

z = x + j y kann eine komplexeZahl auch entsprechend derneben stehenden Skizze durchihren Abstand r vom Koordi-natenursprung und den Winkelϕ eindeutig festgelegt werden.

- Re

6

Im

x

jy sz = x + jy

��

r

.

............................................................ϕ

Zusammenhang zwischen den Koordinaten (x , y) und (r , ϕ):

x = r cosϕy = r sinϕ

bzw.r =

√x2 + y2

tanϕ = yx

Der Zusammenhang zwischen dem Quotienten yx und dem Winkel

ϕ ∈ [0, 2π) ist nicht eindeutig, da die Tangensfunktion π-periodisch ist.





Polardarstellung der komplexen Zahlen II

Trigonometrische Darstellung einer komplexen Zahl

z = x + j y = r cosϕ+ j r sinϕ z = r (cosϕ+ j sinϕ)

Im Folgenden wird der Ausdruck cosϕ+ j sinϕ sehr häufigauftreten. Deshalb führen wir dafür die

”Abkürzung“

e jϕ = cosϕ+ j sinϕ ein.Somit ergibt sich schließlich eine sehr kompakte Darstellung, diesogenannte Exponential-Darstellung einer komplexen Zahl:

z = r cosϕ+ j r sinϕ = r (cosϕ+ j sinϕ) = rejϕ

Bezeichnungen:

r = |z | Betrag von z (Abstand von z zum Koordinatenursprung)ϕ = arg z Argument oder Phase von z





Zusammenfassung

Darstellungsmöglichkeiten komplexer Zahlen:

1) z = x + jy (kartesische Darstellung)

2) z = r(cosϕ+ j sinϕ) (trigonometrische Darstellung)

3) z = rejϕ (Exponential-Darstellung)

Die Darstellungen 2) und 3) werden unter dem Begriff Polardar-stellung zusammengefasst.

Zusammenhang zwischen den Koordinaten (x , y) und (r , ϕ):

x = r cosϕy = r sinϕ

bzw.r =

√x2 + y2

tanϕ = yxVorsicht: Der Zusammenhang zwischen dem Quotienten yx und dem

Winkel ϕ ∈ [0, 2π) ist nicht eindeutig, da die Tangensfunktionπ-periodisch ist.





Beispiel: arg z für z1 = 1 + 2j und z2 = −1− 2jtanϕ1 =

21 = 2 TR

ϕ1 = 1.1071 . . . (63.43 . . .o)

ebenso gilt: tanϕ2 =−2−1 = 2

Aus der Skizze ergibt sich jedoch, dasssich ϕ1 und ϕ2 um π unterscheiden.ϕ2 = ϕ1 + π.Die Gleichung

tanϕ = yx mitx : Realteil,y : Imaginärteil

besitzt in [0, 2π) zwei verschiedeneLösungen hat, die sich um den Winkel πunterscheiden. Welche dieser Lösungenjeweils die Richtige ist, kann man durchein Handskizze leicht feststellen.

-

6

Re

Im

1

j

s z1 = 1 + 2j

sz2 = −1− 2j

��

.....................................................................ϕ1

��

.

................................................................................................................................................................................................

...................................................................... ............. ............. ..............

ϕ2





Arcustangens

Wird zur Berechnung von ϕ ein Rechner benutzt, so liefert dieser in derRegel zunächst einen Winkel ψ = arctan yx mit −

π2 ≤ ψ ≤

π2 .

Der gesuchte Winkel ϕ = arg z ergibt sich dann gegebenenfals durch Ad-dition eines Korrekturwinkels ∆ = ±π; abhängig vom Quadranten, in demdie komplexe Zahl z liegt.

x

yπ2

π4

1f (x) = arctan x

x 0 1√3

1√

3 ∞

arctan x 0 π6π4

π3

π2

0o 30o 45o 60o 90o

Ferner gilt: arctan(−x) = − arctan x

Für Punkte auf der Imaginärachse ist die Bestimmungsgleichung ψ = arctan yxnicht anwendbar; hier ergibt sich der Winkel aus der Lage in der Gaußschen

Zahlenebene.Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 12




Beispiele I z1 = 1 + 2j

-

6

Re

Im

1

2j sz1 = 1 + 2j

��

r

.

.............................................................................

ϕ1

Radius und Winkel?

1. Quadrant

r1 =√

12 + 22 =√

5

ϕ1= arctan21 + ∆

= 1, 1 . . .+ 0 = 1, 1 . . . (= 63, 4 . . .o)

z1 =√

5 e1,1...j

=√

5 [cos(1.1 . . .) + j sin(1.1 . . .)]





Beispiele II z2 = 2− 2j

- Re

6

Im

1

j

sz2 = 2− 2j

@@@@@@

r2

.

................................................................................................................................................................................................

..............

.............

.

.............

............... .............. ............. ............. .............. .............. .............. .............. .............. ..............

.............

ϕ2

Radius und Winkel?

4. Quadrant

r2 =√

(−2)2 + (−2)2 =√

8 = 2√

2

ϕ2= arctan−22 + ∆

= −π4 + 2π =7π4 (= 315

o).

z2 = 2√

2 e7π4j

= 2√

2[cos( 7π4 ) + j sin(

7π4 )]





Konjugiert komplexe Zahl I

Bei der Lösung einer quadratischen Gleichung mittels komplexer Zahlenergab sich stets ein Ausdruck der Gestalt x1,2 = a± jb.

x2 + 4x + 20 = 0 x1,2 =−4±

√16− 80

2 = −2± 4j

Zu einer gegebenen komplexenZahl z = x + j y ist diekonjugiert komplexe Zahldefiniert durch

z∗ = x − jy

In der Gaußschen Zahlenebeneerhält man z∗ indem man dieZahl z an der reellen Achsespiegelt.

-

6

Re

Im sz = x + j y

x

y

sz∗ = x − j y

−y

��

r

.

.......................................................ϕ

QQQQQQQQ

r

.

.......................................................

−ϕ





Konjugiert komplexe Zahl II

In der Polardarstellung ergibt sich entsprechend:

z = r(cosϕ+ j sinϕ) z∗ = r(cos(−ϕ) + j sin(−ϕ))

= r(cosϕ− j sinϕ)bzw.

z = r e jϕ z∗ = r e j(−ϕ) = r e−jϕ

Beispiele:

z = −2− 3j z∗ = −2 + 3jz = 1 + 2j z∗ = 1− 2jz = 2 · [cos(π4 ) + j sin(

π4 )] z

∗ = 2 · [cos(−π4 ) + j sin(−π4 )]

= 2 · [cos(π4 )− j sin(π4 )]

z = 2e3π4j z∗ = 2e−

3π4j




GrundrechenartenPotenzen und Wurzeln komplexer ZahlenLösen algebraischer Gleichungen

Gleichheit zweier komplexer Zahlen

Zwei Zahlen sind dann als gleich anzusehen, wenn die entsprechendenPunkte bzw. Zeiger in der Gaußschen Zahlenebene zusammen fallen.

x1 + jy1 = x2 + jy2 ⇔ x1 = x2 und y1 = y2

bzw.

r1ejϕ1 = r2e

jϕ2 ⇔ r1 = r2 und ϕ1 = ϕ2 + 2πk , (k = 0,±1, . . .)

Hierbei ist die Mehrdeutigkeit der Winkelangaben zu beachten!

Bemerkung:Eine Gleichung mit komplexen Zahlen besitzt denselben Informations-gehalt wie zwei Gleichungen mit reellen Zahlen. Dies ist besonders fürGleichungen in der Komponentenform deutlich. (vgl. Vektorrechnung!)Es ergeben sich stets zwei Gleichungen für Real- und Imaginärteil.





Addition und Subtraktion zweier komplexer Zahlen I

Addition und Subtraktion ergeben sich aus den entsprechenden Rechen-operationen für reelle Zahlen, indem man die üblichen Rechengesetzeanwendet und das Symbol j wie eine reelle Zahl behandelt.

z1 = x1 + jy1 z2 = x2 + jy2.

z1 + z2 = (x1 + jy1) + (x2 + jy2) = x1 + x2 + j(y1 + y2)

z1 − z2 = (x1 + jy1)− (x2 + jy2) = x1 − x2 + j(y1 − y2)

Beispiel:z1 = 3 + j , z2 = 1 + 2j

z1 + z2 = (3 + j) + (1 + 2j) = 4 + 3j ,

z1 − z2 = (3 + j)− (1 + 2j) = 2− jFakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 18




Addition und Subtraktion zweier komplexer Zahlen II

Die Addition von komplexen Zahlen entspricht in der GaußschenZahlenebene der Addition der entsprechenden komplexen Zeiger imSinne der Vektoraddition für Vektoren. Entsprechendes gilt für die Dif-ferenz von komplexen Zahlen. Es gelten die

”Parallelogrammregeln“.

-

6

Re

Im

1

1

��

��1

z1��

z2

��

��1

��

��>

z1 + z2

-

6

Re

Im

1

1

��

��1

z1��

z2��

−z2HHHH

HHjz1 − z2





Multiplikation zweier komplexer Zahlen I

Wir gehen von der Gültigkeit der Klammerregel aus und beachten j2 = −1.z1 = x1 + jy1,z2 = x2 + jy2

z1 · z2 = (x1 + jy1) · (x2 + jy2)= x1x2 + jy1x2 + x1jy2 + j

2︸︷︷︸=−1

· y1y2

= (x1x2 − y1y2) + j(x1y2 + x2y1)

z1 · z2 = (x1x2 − y1y2) + j(x1y2 + x2y1).

Beispiel:

1 z1 = 3 + j , z2 = 1 + 2jz1·z2 = (3+j)·(1+2j) = 3+j+6j+2j2 = 3+7j+2·(−1) = 1+7j

2 z1 = 4− 2j , z2 = −2 + jz1 · z2 = (4− 2j) · (−2 + j) = −8 + 4j + 4j − 2j2

= −8 + 8j + 2 = −6 + 8jFakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 20




Multiplikation zweier komplexer Zahlen II

Spezialfall:Es sei z = x + jy eine beliebige komplexe Zahl und z∗ die zu z konjugiertkomplexe Zahl. Dann gilt für das Produkt:

z · z∗ = (x + jy)(x − jy) = x2 + jxy − jxy − (jy)2

= x2 − (−y2) = x2 + y2

z · z∗ = x2 + y2 = r2 = |z |2 bzw. |z | =√z · z∗

Insbesondere ist der Ausdruck z · z∗ stets reell und nichtnegativ.

Beispiel:

z = 2− 3j z · z∗ = (2− 3j) · (2 + 3j) = 22 + 32 = 13

Vorsicht! z2 = (2− 3j) · (2− 3j) = 4− 9− 12J = −5− 12j





Division zweier komplexer Zahlen

Spezialfall: Division einer komplexe Zahl durch eine reelle Zahl.4 + 6j

2 =42 +

62 j = 2 + 3j ”

Beweis“ (2 + 3j) · 2 = 4 + 6jReal- und Imaginärteil werden getrennt durch den reellen Faktor dividiert!

Die Division von zwei beliebigen komplexen Zahlen kann durch einen kleinen

”Trick“ auf diesen Spezialfall zurückgeführt werden.

2 + j3− j = ?

Idee: Erweitere den Bruch mit 3 + j Nenner wird reell.

2 + j3− j =

(2 + j)(3 + j)(3− j)(3 + j) =

6 + 3j + 2j + j2

32 + 12

=6 + 5j + (−1)

10 =5 + 5j

10 =12 +

12 j

Probe:12 (1 + j) · (3− j)= 2 + j

Beispiel:1− j

1− 2j =(1− j)(1 + 2j)

(1− 2j)(1 + 2j) =1− j + 2j − 2j2

12 + 22= 1 + j + 25 =

3 + j5 =

35 +

15 j





Multiplikation und Division in Polardarstellung I

z1 = r1(cosϕ1 + j sinϕ1), z2 = r2(cosϕ2 + j sinϕ2)

z1 · z2 = r1(cosϕ1 + j sinϕ1) · r2(cosϕ2 + j sinϕ2)= r1r2[(cosϕ1 · cosϕ2 − sinϕ1 · sinϕ2) . . .

+j(cosϕ1 · sinϕ2 + sinϕ1 · cosϕ2)]

Additionstheoreme:cos(ϕ1 + ϕ2) = cosϕ1 · cosϕ2 − sinϕ1 · sinϕ2sin(ϕ1 + ϕ2) = cosϕ1 · sinϕ2 + sinϕ1 · cosϕ2.

z1 · z2 = r1(cosϕ1 + j sinϕ1) · r2(cosϕ2 + j sinϕ2)= r1r2[(cosϕ1 · cosϕ2 − sinϕ1 · sinϕ2) . . .

+j(cosϕ1 · sinϕ2 + sinϕ1 · cosϕ2)]= r1r2[cos(ϕ1 + ϕ2) + jsin(ϕ1 + ϕ2)]

Regel: Die Radien werden multipliziert und die Winkel addiert.





Additionstheoreme

α

β

α

cosα · sinβ

cos(α+ β) cosα · cosβ

sinα · sinβ

sinα · cosβ

sin(α+ β)

cos(α + β) = cosα · cos β − sinα · sin βsin(α + β) = cosα · sin β + sinα · cos β





Multiplikation und Division in Polardarstellung II

Die Division lässt sich durch Erweiterung mit dem konjugiert komplexenNenner auf das Multiplikationsproblem zurückführen.

z1z2 =

r1(cosϕ1 + j sinϕ1)r2(cosϕ2 + j sinϕ2)

= r1r2 ·(cosϕ1 + j sinϕ1) · (cosϕ2 − j sinϕ2)(cosϕ2 + j sinϕ2) · (cosϕ2 − j sinϕ2)︸︷︷︸

=cos2 ϕ2+sin2 ϕ2=1

= r1r2 · (cosϕ1 + j sinϕ1) · (cosϕ2 − j sinϕ2)

= r1r2 [(cosϕ1 · cosϕ2 + sinϕ1 · sinϕ2) . . .+j(sinϕ1 · cosϕ2 − cosϕ1 · sinϕ2)]

= r1r2 [cos(ϕ1 − ϕ2) + jsin(ϕ1 − ϕ2)]

Regel: Die Radien werden dividiert und die Winkel subtrahiert.

Additionstheoreme:cos(ϕ1 − ϕ2) = cosϕ1 · cosϕ2 + sinϕ1 · sinϕ2sin(ϕ1 − ϕ2) = cosϕ1 · sinϕ2 − sinϕ1 · cosϕ2.





Multiplikation und Division in Polardarstellung III

Benutzen wir die Abkürzung e jϕ = cosϕ + j sinϕ, so können wir dieRechenregeln zur Multiplikation und Division kürzer schreiben:

z1 · z2 = r1e jϕ1 · r2e jϕ2 = r1r2 e jϕ1+jϕ2 = r1r2 e j(ϕ1+ϕ2)

z1z2 =

r1ejϕ1

r2ejϕ2

= r1r2 · ejϕ1 · e−jϕ2 = r1r2 e

jϕ1−jϕ2 = r1r2 ej(ϕ1−ϕ2)

Die Regeln für die Multiplikation und Division von komplexen Zahlenin Polardarstellung zeigen, dass sich der zunächst als reine Abkürzungeingeführte Ausdruck ejϕ tatsächlich wie eine Exponentialfunktion verhält.

Zusammenfassung:Produkt z1 · z2: z1 · z2 = r1r2 e j(ϕ1+ϕ2)(Produkt der Beträge, Summe der Argumente)

Quotienten z1z2 :z1z2 =

r1r2 e

j(ϕ1−ϕ2)

(Quotient der Beträge, Differenz der Argumente)





Potenzen komplexer Zahlen

zn = z · z · . . . · z︸︷︷︸n Faktoren

z = r e jϕ =⇒ zn = (r e jϕ)n = rn e jnϕ

Regel:Bilde die n-te Potenz von r = |z | und multipliziere ϕ = arg z mit n.In der trigonometrischen Darstellung erhalten wir entsprechend:

z = r(cosϕ+ j sinϕ) =⇒ zn = rn[cos(nϕ) + j sin(nϕ) ]

z = 1 + j =√

2 e jπ4

z2 =√

22ej

π2 = 2j

z3 = (√

2)3ej3π4

= 2√

2(−√

22 + j

√2

2 )

= −2 + 2jz4 = (

√2)4ejπ = 4 · (−1) = −4

Rechnung in kart. Darstellung zur Kontrolle!

-

6

Re

Im

1

j

��

z

6z2

@@@

@@@Iz3

�z4





Wurzeln komplexer Zahlen; Beispiel z3 = −8 IWir suchen wie im Reellen eine Zahl, die entsprechend oft mit sich selbermultipliziert die Ausgangszahl ergibt. Neu Exponentialdarstellung z = rejϕ

z3 =(re jϕ

)3= r3e j3ϕ

!= −8 = 8eiπ

Gleichheit =⇒ Radius und Winkel müssen übereinstimmen!

r3 = 8, 3ϕ = π

Erfüllt für r = 2 und ϕ = π3 ! Damit ist z = 2ej π

3 = 1 +√

3j eine Lösung.Frage: Wo bleibt die aus dem Reellen bekannte Lösung z = −2?−8 lässt sich in Polarkoordinaten auch noch formal anders darstellen:

z3 =(re jϕ

)3= r3e j3ϕ

!= −8 = 8e j3π

Dies liefert r = 2, ϕ = π und damit z = 2e jπ = −2Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 28




Wurzeln komplexer Zahlen; Beispiel z3 = −8 IINun gibt es noch eine dritte Möglichkeit für die Darstellung der Zahl −8:

z3 =(re jϕ

)3= r3e j3ϕ

!= −8 = 8e j5π

Damit erhalten wir schließlich als dritte Lösung

r = 2, ϕ = 5π3 z = 2ej5π3 = 1−

√3j

Addieren wir nochmals 2π hinzu, so ergibt sich die Ausgangslösung:

z3 =(re jϕ

)3= r3e j3ϕ

!= −8 = 8e j7π

⇒ r = 2, ϕ = 7π3 = 2π +π3 z = 2e

jπ3 = 1 +

√3j

Generelle Mehrdeutigkeit des Wurzelbegriffs im Komplexen! Im Reellennur bei Quadratwurzeln aus positiven Zahlen!





Wurzeln komplexer Zahlen zn = a ⇐⇒ z = n√a

Exponential-Darstellung: z = rejϕ a = Ae jα

Dann gilt: zn = rne jnϕ!

= A e jα = a

rn = A ⇐⇒ r = n√A bzw. nϕ = α ⇐⇒ ϕ = αn

Somit ist z0 =n√A ej

αn eine Lösung der Gleichung zn = a.

Die Winkel α und α + 2πk ergeben denselben Punkt in der Gaußschen Ebene.

e j(α+2πk) = e jα = a.

Daher erhalten wir weitere Lösungen von zn = a durch

zk =n√A ej

α+2πkn (zk)

n = A ej(α+2πk) = Aejα = a

Nur für k = 0, 1, . . . , n − 1 ergeben sich verschiedene Zahlen, denn

zn =n√A e j

α+2πnn = n

√A e j

αn

+2π = z0.Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 30




Wurzeln komplexer Zahlen zn = a ⇐⇒ z = n√a

Die Gleichung zn = a = Aejα (A > 0) besitzt genaun verschiedene komplexe Lösungen (Wurzeln)

zk = rejϕk = r(cosϕk + j sinϕk)

mit r = n√A, ϕk =

α + 2πkn ; k = 0, 1, . . . , n − 1.

Diese liegen in der Gaußschen Zahlenebene auf einem Ur-sprungskreis vom Radius r = n

√A und bilden die Eckpunkte

eines regelmäßigen n-Ecks.





Wurzeln komplexer Zahlen; Beispiele I

z = 4√

1 ⇐⇒ z4 = 1 = 1 · e j0

zk =4√

1 · e j0+2πk

4 k = 0, 1, 2, 3

z0 = 1 · e j0 = 1

z1 = 1 · e j2π4 = 1 · e j

π2 = j

z2 = 1 · e j4π4 = 1 · e jπ = −1

z3 = 1 · e j6π4 = 1 · e j

3π2 = −j

-

6

Re

Im

tz0

t z1

tz2

tz3

.

..........................

...........................

...........................

...........................

..........................

.........................

.........................

.....................................................

...........................................................................................................................................................................................

..........................

.........................

.........................

..........................

...........................

...........................

...........................

.............

.............

.............

.............

...........................

...........................

...........................

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.........................

.........................

..........................

........................... ........................... ........................... .......................... .......................... ...........................................................................................................

.........................

.........................

..........................

...........................

...........................

...........................

..........................

r = 1





Wurzeln komplexer Zahlen; Beispiele II

z = 3√j ⇐⇒ z3 = j = 1 · e j

π2

zk =3√

1 · e j(π6

+ 2πk3 ) k = 0, 1, 2

z0 = 1 · e jπ6 = 12 (

√3 + j)

z1 = 1 · e j5π6 = 12 (−

√3 + j)

z2 = 1 · e j9π6 = e j

3π2 = −j

-

6

Re

Im

tz0tz1

tz2

.

..........................

...........................

...........................

...........................

..........................

.........................

.........................

.....................................................

...........................................................................................................................................................................................

..........................

.........................

.........................

..........................

...........................

...........................

...........................

.............

.............

.............

.............

...........................

...........................

...........................

..........................

.........................

.........................

..........................

........................... ........................... ........................... .......................... .......................... ...........................................................................................................

.........................

.........................

..........................

...........................

...........................

...........................

..........................

r = 1





Wurzeln: komplex ⇐⇒ reell

Bemerkung:Im Reellen erhielten wir beim Wurzelziehen mit einem ungeradenExponenten nur eine Lösung, bei geradem Wurzelexponentenergaben sich (soweit überhaupt im Rellen lösbar) stets zweiLösungen.

Wie ist diese Beobachtung mit den obigen Resultaten verträglich?

Wie wir erkannt haben, liegen sämtliche komplexen Wurzeln einerZahl auf den Ecken eines regelmäßigen Vielecks mit Mittelpunktim Ursprung. Bei ungerader Eckenzahl kann nur eine Ecke auf derreellen Achse liegen. Liegt bei gerader Eckenzahl eine Ecke auf derreellen Achse, so stets auch eine zweite.





Fundamentalsatz der Algebra

Das Polynom pn(x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x + a0 = 0

besitzt im Reellen höchstens n Lösungen.Die Gleichung zn − a = 0 besitzt in C genau n Lösungen; allgemein:

pn(z) = anzn + an−1z

n−1 + . . .+ a1z + a0 = 0

besitzt in der Menge der komplexen Zahlen stets genau n Lösungenz1, z2, . . . zn.pn(z) lässt sich daher komplett in (komplexe) Linearfaktoren zerlegen:

pn(z) = an (z − z1) · (z − z2) · . . . · (z − zn).

Bemerkung: Dies ist ein reiner Existenzsatz. Explizite Lösungsformeln existieren

nur für”einfache“ Gleichungen. Neben der bekannten

”Mitternachtsformel“ für

quadratische Gleichungen existieren nur noch für Gleichungen der Ordnung drei

und vier explizite Lösungsformeln.Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 35




Quadratische Gleichung az2 + bz + c = 0, mit a, b, c ∈ C

z1/2 =−b ±

√b2 − 4ac

2a ”Mitternachtsformel“

Sind die Koeffizienten a, b und c reelle Zahlen, so hängt die Art derLösungen vom Vorzeichen der (reellen)

”Diskriminante“ b2 − 4ac ab.

a) b2 − 4ac > 0 zwei reelle Lösungen

b) b2 − 4ac = 0 eine (doppelte) reelle Lösung z1,2 = − b2ac) b2 − 4ac < 0 ein Paar konjugiert komplexer Lösungen

Im Fall c) z1,2 =−b ±

√b2 − 4ac

2a =−b ±

√(4ac − b2)(−1)

2a

=−b ± j

√(4ac − b2)2a

Vieta: Sind z1, z2 Lösungen der Gleichung z2 + pz + q = 0, so gilt:

p = − (z1 + z2), q = z1 · z2Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 36




Quadratische Gleichung; Beispiel

z2 − 8z + 25 = 0

z1,2 =8±√

64− 1002 = 4± 3j

Kontrolle mit Satz von Vieta:

z1 + z2 = (4 + 3j) + (4− 3j) = 8 = −p

z1 · z2 = (4 + 3j) · (4− 3j) = 25 = q

Zerlegung in (komplexe) Linearfaktoren:

p2(z) = [z − (4 + 3j)] · [z − (4− 3j)]

= z2 − [(4 + 3j) · z + (4− 3j) · z ] + (4 + 3j) · (4− 3j)

= z2 − 8z + 25Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 37




Konjugiert komplexe Nullstellen

Viele der bei quadratischen Gleichungen festgestellten Eigenschaften findensich auch bei Problemen höherer Ordnung.Sind alle Koeffizienten a0, a1, . . . , an von pn(z) reell, so treten komplexeNullstellen stets als Paare konjugiert komplexer Zahlen auf.Ist z0 Lösung von pn(z0) = anz

n0 + . . .+ a1z0 + a0 = 0, so gilt auch

pn(z∗0 ) = an (z

∗0 )

n + an−1 (z∗0 )

n−1 + . . .+ a1 (z∗0 ) + a0

= an (zn0 )∗ + an−1

(zn−10

)∗+ . . .+ a1 (z0)

∗ + a0

= (anzn0 )∗ +

(an−1z

n−10

)∗+ . . .+ (a1z0)

∗ + (a0)∗

= (pn(z0))∗ = 0∗ = 0

⇒ z∗0 ist ebenfalls Nullstelle.





Abspalten von Linearfaktoren

Ist z0 Lösung von pn(z) = 0, so gilt:

pn(z) = (z − z0) · qn−1(z), wobei q vom Grad (n − 1) ist.

Existiert ein Paar konjugiert komplexer Nullstellen, so ergeben diese beidenLinearfaktoren ausmultipliziert stets ein quadratisches Polynom mit reellenKoeffizienten. Es gilt

(z − z0)(z − z∗0 ) = z2 − z(z0 + z∗0 ) + z0 · z∗0 = z2 − 2Re (z0) · z + |z0|2

z0 + z∗0 = (x0 + jy0) + (x0 − jy0) = 2x0 = 2Re (z0)

z0 · z∗0 = (x0 + jy0) · (x0 − jy0) = x20 + y20 = |z0|2

Jedes Polynom mit reellen Koeffizienten ist zerlegbar in Linearfaktorenund quadratische Polynome mit reellen Koeffizienten.





Beispiel I

Bestimme sämtliche Lösungen von z3 − z2 + 4z − 4 = 0

Raten: z1 = 1

Polynomdivision

z3 − z2 + 4z − 4 : (z − 1) = (z2 + 4) z2 + 4 = 0 ⇔ z2 = −4 z2/3 = ±

√−4 = ±2j

Faktorzerlegung

z3 − z2 + 4z − 4 = (z − 1)(z − 2j)(z + 2j)= (z − 1) · (z2 + 4)





Beispiel II

Bestimme sämtliche Lösungen von z4 − 4z3 + 6z2 − 4z + 5 = 0

Raten: z1 = j z2 = z∗1 = −j

Abspalten von (z − j)(z + j) = z2 + 1

Polynomdivision: z4 − 4z3 + 6z2 − 4z + 5 : (z2 + 1) = (z2 − 4z + 5) z2 − 4z + 5 = 0 z3/4 = 4±

√16− 202 = 2± j

Komplexe Faktorzerlegung:

z4 − 4z3 + 6z2 − 4z + 5 = (z − z1) · (z − z2) · (z − z3) · (z − z4)= [(z − j) · (z + j)] · [(z − 2− j) · (z − 2 + j)]= (z2 + 1) · (z2 − 4z + 5)

In R, d. h. für z = x , so erhalten wir die reelle Faktorzerlegungp(x) = x4 − 4x3 + 6x2 − 4x + 5 = (x2 + 1) · (x2 − 4x + 5)




Harmonische SchwingungenÜberlagerung von gleichfrequenten SchwingungenWechselstromkreise

x = x(t) = A cos(ωt + ϕ)

x(t) = A cos (ωt + ϕ)A

−ϕω

T = 2πω

t

x(t) beschreibt z. B.:

mechanische Schwingungen,

elektrische Schwingkreise,

etc.

A: Amplitude (Maximalauslenkung) der Schwingung (A > 0)

ω: Kreisfrequenz (ω > 0) ω = 2πf = 2πT ; f=1T

ϕ: Nullphasenwinkel Winkel zur Zeit t = 0 (x(0) = A cosϕ)

Gilt ϕ > 0, so bedeutet dies, dass die durch x(t) beschriebene harmonische

Schwingung der Funktion cos (ωt) um ϕ voraus eilt. Die zugehörige Kurve ist umϕω nach links verschoben.





x = x(t) = A sin(ωt + ψ)

Harmonische Schwingungen lassen sich auch mittels der Sinusfunktionals Grundfunktion darstellen. Durch eine Phasenverschiebung um π2 gehtdiese in die Kosinus-Darstellung über.

x(t) = A sin(ωt + ψ) = A cos(ωt + ψ − π2︸︷︷︸ϕ

) = A cos (ωt + ϕ)

d. h. ψ = ϕ+ π2 bzw. ϕ = ψ −π2

Hier machen wir bevorzugt von der Kosinus-Darstellung Gebrauch!





x = x(t) = a cos(ωt) + b sin(ωt)

Eine harmonische Schwingung lässt sich auch als Summe von”reinen“

Kosinus- und Sinusfunktionen darstellen.Mit Hilfe der Additionstheoreme erhalten wir den Zusammenhang:

x(t) = A cos (ωt + ϕ)

= A [cosϕ cos(ωt) − sinϕ sin(ωt)]= A cosϕ cos(ωt) − A sinϕ sin(ωt)!

= a cos(ωt) + b sin(ωt)

a = A cosϕb = −A sinϕ bzw.

A =√a2 + b2

tanϕ = −ba

Bei der Bestimmung des Phasenwinkels ist wieder eine Quadrantenbe-trachtung notwendig. Der

”richtige“ Phasenwinkel ergibt sich dabei aus

den Gleichungen für die Koeffizienten a und b.





Beispiel: x(t) = cos(t)−√

3 sin(t)

x(t) = a cos(ωt)+b sin(ωt)!

= cos(t)−√

3 sin(t) ω = 1a = 1

b = −√

3

A =

√1 + 3 = 2,

tanϕ =

√3

1 ϕ1 =π3 , ϕ2 =

π3 + π =

4π3

Welcher Winkel ist der Richtige?

A cosϕ1 = 2 cosπ3 = 1

−A sinϕ1 = −2 sin π3 = −√

3

A cosϕ2 = 2 cos4π3 = −1

−A sinϕ2 = −2 sin 4π3 = −√

3

Damit ist ϕ1 der richtige Phasenwinkel und es gilt:

x(t) = cos t −√

3 sin t = 2 cos(t + π3

)Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 45




Darstellung der Kosinus-Schwingung A cos(ωt)

z(t) = A e jωt = A [cosωt + j sinωt] komplexe Erweiterung

x(t) = A cosωt = Re {z(t)}, y(t) = A sinωt = Im {z(t)}In Abhängigkeit von t bewegtsich der komplexe Zeiger aufeinem Ursprungskeis mit RadiusA. Die Projektion von z(t) aufdie reelle Achse ergibt die Kos-inusfunktion x(t), während mandurch die Projektion auf die ima-ginäre Achse die Sinusfunktiony(t) erhält.Man nennt z(t) = Ae jωt diekomplexe Zeigerdarstellung einerharmonischen Schwingung.

-

6

.

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......................

......................

......................

......................

......................-

A = z(0)��>

.

................................................................

ωt

A e jωt = z(t)

A cos(ωt)

A sin(ωt)

MATLAB: zeig mov(1,0)





Darstellung der Kosinus-Schwingung A cos(ωt + ϕ)

z(t) = A e j(ωt+ϕ) = A[cos(ωt + ϕ) + j sin(ωt + ϕ)]

x(t) = A cos(ωt + ϕ) = Re {z(t)}

z(t) = A e j(ωt+ϕ) = A e jϕ︸︷︷︸a

·e jωt

= a · e jωt

Geometrische Deutung: Bewegungder komplexen Zahl a = A ejϕ mitder Winkelgeschwindigkeit ω aufeinem Kreis um den Ursprung mitRadius A.Die Zahl a wird dabei als komplexeAmplitude bezeichnet.

-

6

.

......................

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......................

......................

......................

......................��

.

.................

..................................................ϕ

A

a = z(0)

HHH

HHY ................

..............................................................................................................................

................ ωtz(t)

MATLAB: zeig mov(1,pi/3)





Komplexe Zeiger-Darstellung

Komplexe Zeiger-Darstellung von SchwingungsvorgängenDie reelle harmonische Funktion x(t) = A cos(ωt+ϕ) und die komplexeErweiterung z(t) = A e(ωt+ϕ) besitzen denselben Informationsgehalt.Bei vorgegebener Kreisfrequenz ω wird eine harmonische Schwingungdurch die Amplitude A und den Phasenwinkel ϕ bestimmt.

Die Funktion x(t) = A cos(ωt + ϕ) kann als Realteil des in der kom-plexen Zahlenebene mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotierenden kom-plexen Zeigers a = z(0) = A · e jϕ betrachtet werden.Der Übergang zum Realteil entspricht geometrisch der Projektion aufdie reelle Achse.

Beispiel: x(t) = 3 cos(2t − π4 ) = Re {z(t)}

z(t) = 3e j(2t−π4

) = 3e−jπ4︸︷︷︸

a

·e j2t wobei a = 3e−jπ4 = 3

√2

2 [1− j ]





Überlagerung von: x1(t) = 2 cos(ωt +π4 ) und x2(t) = 2

√2 cos(ωt + π)

Strategie: Summe der komplexen”Ersatzgrößen“

z1(t) = 2ej(ωt+π

4) = 2e j

π4︸︷︷︸

a1

·e jωt , z2(t) = 2√

2e j(ωt+π) = 2√

2e jπ︸︷︷︸a2

·e jωt

⇒ z(t) = z1(t) + z2(t) =(

2e jπ4 + 2

√2e jπ

)e jωt

=

(2(

√2

2 + j

√2

2 ) + 2√

2 · (−1))e jωt = (−

√2 + j

√2)e jωt

⇒ a = −√

2 + j√

2 = Ae jϕA =

√(−√

2)2 + (√

2)2 = 2

ϕ = arctan

√2

−√

2+ ∆ = −π4 + π =

3π4

⇒ z(t) = 2 e j3π4 · e jωt = 2 e j(ωt+

3π4

) Nun gilt:

Re {z(t)} = Re {z1(t)}+ Re {z2(t)} = x1(t) + x2(t) = x(t)

⇒ x(t) = Re {z(t)} = 2 cos(ωt + 3π4 )Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 49




Überlagerung von: x1(t) = 2 cos(ωt +π4 ) und x2(t) = 2

√2 cos(ωt + π)

-

6

Re

Im

1

j

��

a1�

a2

�a2

@@

@@@I

a...................................................................................................................................................................... ϕ

a1 = 2ej π

4 , a2 = 2√

2ejπ

a = a1 + a2 = Aejϕ

⇒ A = 2, ϕ = 3π4⇒ x(t) = 2 cos(ωt + 3π4 )

Fazit: Die Addition von zwei harmonis-chen Schwingungen entspricht der Addi-tion der zugehörigen komplexen Zeiger.Dabei kommt dasselbe Konstruktions-prinzip wie bei der Addition zweier ebenerVektoren zur Anwendung.

-

6

Re

Im

1

j

��

�:a1�

��a2

��

a

.

.................

..................................................ϕ





Addition zweier Kosinus-Schwingungen

x(t) = A1 cos(ωt + ϕ1) + A2 cos(ωt + ϕ2)

Schritt 1: Übergang zu komplexer Schwingungsdarstellung

x1(t) = A1 cos(ωt + ϕ1) z1(t) = A1e j(ωt+ϕ1) = A1e jϕ1 · e jωt = a1e jωt

x2(t) = A2 cos(ωt + ϕ2) z1(t) = A2e j(ωt+ϕ2) = A2e jϕ2 · e jωt = a2e jωt

Schritt 2: Addition in komplexer Darstellung

z(t) = z1(t) + z2(t) = (a1 + a2)︸︷︷︸a

e jωt = ae jωt

a1 + a2 = a = A ejϕ

⇒ z(t) = A e jϕ · e jωt = A e j(ωt+ϕ)

Schritt 3: Rückkehr zu reeller Schwingungsdarstellung

⇒ x(t) = Re {z(t)} = A cos(ωt + ϕ)Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 51




Addition zweier Kosinus-Schwingungen; Schema

Reelle Zahlen Komplexe Zahlen

x1(t) = A1 cos(ωt + ϕ1)x2(t) = A2 cos(ωt + ϕ2)

⇒ a1 = A1ejϕ1

a2 = A2ejϕ2

⇓x(t) = x1(t) + x2(t) = A cos(ωt + ϕ) ⇐ a1 + a2 = a = A e jϕ

Bei der Berechnung von Amplitude A und Phase ϕ der resultierendenSchwingung x(t) ist der Zeitfaktor e jωt ohne Bedeutung. A und ϕ ergebensich vielmehr direkt als Betrag und Argument der komplexen Amplitudea = a1 + a2.Die Überlagerung der Schwingungen lässt sich somit einfach durch dieSumme a = a1 + a2 der zugehörigen komplexen Zeiger a1 und a2beschreiben.





x1(t) = 2 cos(ωt − π4 ) und x2(t) = 4 cos(ωt +π3 )

Zeichnung:

-

6

Re

Im

1

j

@@@@R

a1

��

a2�

a2""""""""3a = a1 + a2

A

.................................................ϕ

A ≈ 4ϕ ≈ 30o

Rechnung:

a1 = 2e− π4 = 2

(√2

2 − √

22

)=√

2− √

2

a2 = 4e π3 = 4

(12 +

√3

2

)= 2 + 2

√3

a = a1+a2 = (√

2+2)+(2√

3−√

2) = Ae ϕ

mit A =√

(√

2 + 2)2 + (2√

3−√

2)2 ≈ 3, 98

ϕ = arctan 2√

3−√

2√2 + 2

+ 0 ≈ 0, 54 (≈ 31o)

⇒x(t) = x1(t) + x2(t)

≈ 3, 98 cos(ωt + 0, 54)





Überlagerung von gleichfrequenten Sinus-Funktionen

Die Überlegungen dieses Abschnitts gelten entsprechend für dieÜberlagerung von zwei gleichfrequenten Sinus-Funktionen

y1(t) = A1 sin(ωt + ϕ1) und y2(t) = A2 sin(ωt + ϕ2).

In diesem Fall gehen wir bei der Wahl der komplexen Ersatzgrößen von derBeziehung y1(t) = Im {z1(t)} und y2(t) = Im {z2(t)} aus und erhaltendaher bei der Rückkehr zur reellen Darstellung (Schritt 3):

y(t) = Im {z(t)} = A sin(ωt + ϕ)

Auf die geometrische Addition der komplexen Zeiger a1 und a2 hat dieseÄnderung des

”Blickwinkels “ keine Auswirkung.





Potentialdifferenz beim Drehstrom

U1 = U0 cos(ωt) ∼= z1(t) = U0 eωt ⇔ a1 = U0U2 = U0 cos(ωt +

2π3 )

∼= z2(t) = U0 e(ωt+2π3 ) ⇔ a2 = U0 e

2π3

U3 = U0 cos(ωt +4π3 )

∼= z3(t) = U0 e(ωt+4π3 ) ⇔ a3 = U0 e

4π3

a2 − a1 = U0(−12 +

√3

2

)− U0

= 12U0(

√

3− 3)

|a2 − a1| = 12U0√

3 + 9 = U0√

3

tanϕ =

√3−3 = −

1√3

⇒(ϕ1 = −π6

), ϕ2 =

5π6

⇒ a2 − a1 = U0√

3 e5π6

⇒ R − S = U0√

3 cos(ωt + 5π6

)

Re

Im

U0

120o

240o a1

a2

a3

a2 − a1

Alternative:Kosinussatz





Ohmsches Gesetz

Ausgangspunkt ist das Ohmsche Gesetz für Gleichströme.

U = R · I bzw. R = UI

d. h. Spannung und Stromstärke sind zueinander proportional.Diese Beziehung gilt auch für Wechselstrom: Eine Wechselspannungerzeugt in einem Stromkreis, der nur ohmsche Verbraucher enthält, einenWechselstrom gleicher Phase. Der Quotient zwischen Spannung undStromstärke von der Zeit unabhängig.

u(t)i(t)

= U0 cosωtI0 cosωt= R = konstant

In Wechselstromkreisen gibt es allerdings darüber hinaus noch weit-ere Widerstandstypen: Kondensatoren und Spulen. Spannung undStromstärke sind hier gegeneinander phasenverschoben sind.





Plattenkondensator I

u(t) = U0 cosωtP1

P2 P3

P4

t

Die Spannung uCzwischen den Kon-densatorplatten istdabei stets propor-tional zur LadungqC.

qC = C · uC

Eine Veränderung der Spannung bewirkt eine Veränderung der Ladung auf denKondensator-Platten und damit einen Ladungstransport. Die

”Veränderungsrate “

(Steigung) der Spannung ist am Punkt P2 am größten, in der Umgebung von P1, P3gleich Null. Dies hat zur Folge, dass die Stromstärke an Nullstellen der Spannungs-funktion Extrema besitzt, während die Extrema der Spannung Nulldurchgänge beider Stromstärke zur Konsequenz haben.





Plattenkondensator II

Wenn wir die plausible Annahme machen, dass auch die Stromstärke eineharmonische Schwingung darstellt, so müssen die beiden Funktionen u(t)und i(t) eine Phasendifferenz von π2 haben.Die Stromstärke i(t) ist der Veränderung der Ladung q(t) pro Zeiteinheit.

q(t) = C · u(t) i(t) = dqdt = C ·dudt

Wird eine harmonische Schwingung der Form U0 cosωt als Spannung an-gelegt, so ergibt sich für die Stromstärke i(t) die Beziehung:

i(t) = C · ddt [U0 cosωt] = −ω C U0 sinωt = U0 ω C cos(ωt +

π

2

)d. h. die Stromstärke eilt der Spannung um π2 voraus.

Eine ähnliche Betrachtung des induktiven Widerstands einer Spule zeigt,dass dabei die Stromstärke der Spannung um π2 nacheilt.





Komplexe Ersatzgrößen für Spannung und StromIn Wechselstromkreisen ergibt sich im Allgemeinen eine Phasendifferenz zwischenSpannung und Stromstärke. Damit wird jedoch der reelle Quotient von Spannungund Stromstärke abhängig von der Zeit!

u(t)i(t)

= U0 cosωtI0 cos (ωt + α)

= U0I0· cosωt

cos (ωt + α)︸︷︷︸zeitabhängig!

Ausweg: Einführung komplexer Ersatzgrößen für Spannung und Strom

u(t) = U0 cosωt u(t) = U0ejωt

i(t) = I0 cos(ωt − ϕ) i(t) = I0e j(ωt−ϕ)

so ist das Verhältnis von Spannung und Stromstärke zeitunabhängig

u(t)i(t)

= U0 · ejωt

I0 · e( jωt−ϕ)= U0 · e

jωt

I0 · e jωt · e−jϕ= U0I0

· e jϕ = Z0e jϕ = Z





Ohmsches Gesetz für Wechselstromkreise

u = Z · i ,

mit u(t) = U0ejωt komplexe Spannung

i(t) = I0ej(ωt−ϕ) komplexe Stromstärke

Z = Z0ejϕ komplexer Widerstand (Impedanz)

|Z | = Z0 = U0I0 : Verhältnis der Scheitelwerte von Spannung und StromargZ = ϕ: Phasendifferenz zwischen Spannung und Strom

-

6

Re

Im

rZ = R + j X

��

Z0

.

......................................................

ϕ

X

R

Bezeichnungen:

Z0 = |Z |: Scheinwiderstand (Impedanz)

R = Re Z : Wirkwiderstand (Resistanz)

X = Im Z : Blindwiderstand (Reaktanz)





Widerstände in Wechselstromkreisen I (Ohmscher Widerstand)

Ausgangspunkt: komplexen Darstellung von Spannung und Stromaus:

u(t) = U0ejωt bzw. i(t) = I0e

(jωt−ϕ)

Ohmscher Widerstand R

Am Ohmschen Widerstand ist stets die Stromstärke proportionalzur Spannung.

i(t) ∼ u(t)

Damit gilt: ZΩ =u(t)i(t)

= Re j0

⇒ Widerstand rein reell

⇒ keine Phasendifferenz zwischen Spannung und Strom.





Widerstände in Wechselstromkreisen II (Kondensator)

Am Kondensator gilt: q(t) = C · u(t) i(t) = dqdt = C ·dudt

Entsprechend erhalten wir für die komplexen Ersatzgrößen:

i(t) = C · dudt = C ·ddt

[U0e

jωt]

= j ωC U0 ejωt = j ωC u

Für den komplexen Widerstand ergibt sich:

ZC =u(t)i(t)

= 1jω C = −j1ω C =

1ω C e

−j π2

⇒ ZC = −j 1ω CWiderstand rein imaginär mitnegativem Imaginärteil

⇒ Blindwiderstand XC = − 1ω C⇒ ϕ = argZC = −π2 (Strom eilt der Spannung um

π2 voraus)





Widerstände in Wechselstromkreisen III (Spule)

Induktionsgesetz: u(t) = L ddt i(t)

Entsprechend erhalten wir für die komplexen Ersatzgrößen:

u(t) = L· ddt i(t) = L·ddt

[I0 e

j(ωt+α)]

= jωL·I0 e j(ωt+α) = j ωL·i(t)

Somit erhalten wir für den induktiven Widerstand:

ZL =u(t)i(t)

= jω L = ω L e jπ2

⇒ ZL = jωL Widerstand rein imaginär mit positivem Imaginärteil

⇒ Blindwiderstand XL = ωL

⇒ ϕ = argZL = π2 (Strom läuft der Spannung umπ2 nach)





Kirchoffsche Gesetze

Die elektrischen Größen in Wechselstromkreisen könnn nach den ausder Gleichstromlehre bekannten Kirchoffschen Gesetzen (Maschenregel,Knotenregel) berechnet werden.

1 Bei Reihenschaltung addieren sich dieWiderstände.

Z = Z 1 + Z 2

Z 1 Z 2

2 Bei Parallelschaltung gilt:

1Z

= 1Z 1

+ 1Z 2 Z =

Z1 · Z2Z1 + Z2

Z 1

Z 2





Reihenschwingkreis I

i(t)

RL C

u(t)

Z = ZL + ZC + ZR = jω L +−jω C + R = R + j

(ω L− 1

ω C

)Wirkwiderstand: Re Z = R

Blindwiderstand: Im Z = ω L− 1ω C

Scheinwiderstand: |Z | =√R2 +

(ω L− 1

ω C

)2Phasenverschiebung: ϕ = arctan

ω L− 1ω C

R

R ≥ 0 Z liegt im 1. oder 4. QuadrantenFakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 65




Reihenschwingkreis II

i(t)

RL C

u(t)

Z (ω) = ZL(ω) + ZC (ω) + ZR = R + j(ω L− 1

ω C

)Im

ReR

ωL 1ωC

Z (ω)

ϕ

Resonanzfrequenz

|Z (ω)| =√

R2 +(ω L− 1

ω C

)2!

= Minimum (ω L− 1

ω C

)= 0 ω0 =

√1LC





Wirkleistung

Bei Gleichstrom ergibt sich die Leistung ausdem Produkt von Spannung und Stromstärke.

i(t)

u(t)Z

Bei Wechselströmen ist die zeitliche Veränderung und die Phasendifferenz zwis-chen Spannung und Strom zu berücksichtigen. Die Leistung P ist der zeitlicheMittelwert aus dem Produkt der Momentanwerte von Spannung und Strom.

Liegt an einem Wechselstromkreis mit dem Widerstand Z = R + jXdie Spannung u(t) = U0 cos(ωt) an, so fließt der Strom i(t) = I0e

j(ωt−ϕ) mit

U0I0

= |Z | =√R2 + X 2, tanϕ = XR bzw. cosϕ =

R√R2 + X 2

P = 1T

T∫0

U0 cos(ωt) · I0 cos(ωt − ϕ)︸︷︷︸cosωt cosϕ+sinωt sinϕ

dt = . . .

= U0 I0 cosϕ · 12 = Ueff Ieff cosϕ

Die Phasenverschiebung umϕ reduziert die WirkleistungP um den Faktor cosϕ.





Blindstromkompensation beim Elektromotor I

Bei vorgegebener Spannung und Leistung fließt bei”kleinem“ cosϕ (d. h.

großem Winkel ϕ) ein großer Strom, wobei nur ein kleiner Teil für die Wirkleis-tung relevant ist. Große Ströme führen bei den Zuleitungen etc. zu Verlusten,und deshalb versucht man durch einen zweiten Blindwiderstand – einen Kon-densator – den Imaginärteil des Gesamtwiderstands möglichst klein zu machen.

i(t)R

L

C

u(t)

Z =Z 1 · Z 2Z 1 + Z 2

Z 1 = R + jωL

Z 2 =1

jωC

Z =(R + jωL) · 1jωC

(R + jωL) + 1jωC

= . . . =R + j [ωL(1− ω2LC ) − ωR2C ]

(1− ω2LC )2 + R2ω2C 2





Blindstromkompensation beim Elektromotor II

Wir bestimmen nun C so, dass der Blindwiderstand X = Im {Z} zu Null wird:

ω · [L(1− ω2LC ) − R2C ] != 0 C = C0 = LR2 + ω2L2

Gesamtwiderstand Z = R(1− ω2LC )2 + ω2R2C 2

∣∣∣∣C = C0

= RN

N =

(1− ω2L L

R2 + ω2L2

)2+ R2ω2

(L

R2 + ω2L2

)2=

(R2

R2 + ω2L2

)2+ ω

2R2L2

(R2 + ω2L2)2=

R2(R2 + ω2L2)(R2 + ω2L2)2

= R2

R2 + ω2L2

Gesamtwiderstand Z = R2 + ω2L2

R rein reell!

Phasenwinkel: ϕ = 0 cosϕ = 1 optimale Blindstrom-Kompensation





Blindstromkompensation beim Elektromotor III (Beispiel)

U0 = 230V , R = 10Ω, L = 40mH, ω = 100π bzw. f = 50 Hz

benötigte Kapazität:

C = LR2 + (ωL)2

= 0.04102 + (100 · π · 0.04)2

≈ 0.000155 [F]

Gesamtwiderstand:

Z =R2 + (ωL)2

R =102 + (100 · π · 0.04)2

10 ≈ 25.79 . . . [Ω]

Amplitude der Stromstärke des Gesamtstroms:

Ig =U0|Z | =

23025.79 . . . ≈ 8.92[A]

Leistungsaufnahme: P = U0 · Ig = 230 · 8.92 ≈ 2051[VA]

MATLAB: blindstrom var(10,0.04,100*pi,230)


Komplexe ZahlenErweiterung des ZahlbegriffsDefinitionDarstellung komplexer Zahlen

Rechnen mit komplexen ZahlenGrundrechenartenPotenzen und Wurzeln komplexer ZahlenLösen algebraischer Gleichungen

Anwendungen der komplexen RechnungHarmonische SchwingungenÜberlagerung von gleichfrequenten SchwingungenWechselstromkreise

Komplexe Zahlen - Hochschule Esslingenmohr/mathematik/me1/komplex...3 Ausdruck e der Form z = x + j...

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